Εγγεγραμμένες γωνίες

Κοζαλάκης Ευστάθιος

Μια γωνία της οποίας η κορυφή είναι σημείο ενός κύκλου και οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλο, ονομάζεται εγγεγραμμένη γωνία στον κύκλο.

Αν η κορυφή είναι το κέντρο του κύκλου,τότε η γωνία λέγεται επίκεντρη

Κοζαλάκης Ευστάθιος

ΘΕΩΡΗΜΑ: Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της επίκεντρης γωνίας που βαίνει στο ίδιο τόξο.

Κοζαλάκης Ευστάθιος

ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ

Το μέτρο μίας εγγεγραμμένης γωνίας ισούται με το μισό του μέτρου του αντίστοιχου τόξου της.

Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή.

Οι εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο ή σε ίσα τόξα του ίδιου ή ίσων κύκλων είναι ίσες και αντίστροφα.

Ασκηση 1

Τα τόξα που περιέχονται

μεταξύ παράλληλων χορδών είναι ίσα και αντίστροφα.

Κοζαλάκης Ευστάθιος

Απόδειξη: Αν οι χορδές ΑΒ και ΓΔ του κύκλου είναι παράλληλες και φέρουμε την ΑΔ, τότε οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες. Οι γωνίες αυτές, όμως είναι εγγεγραμμένες στον κύκλο και βαίνουν στα τόξα ΒΔ και ΑΓ αντίστοιχα. Αρα είναι τα τόξα ΒΔ=ΑΓ.

Αντιστρόφως: Αν τα τόξα ΒΔ=ΑΓ, τότε οι γωνίες Α =Δ

Γωνία χορδής και εφαπτομένης

Θεώρημα

Η γωνία που σχηματίζεται από μία χορδή κύκλου και την εφαπτομένη στο άκρο της χορδής ισούται με την εγγεγραμμένη που βαίνει στο τόξο της χορδής.

Ερωτήσεις Κατανόησης 1. Πότε μια γωνία λέγεται εγγεγραμμένη; 2. Αν φ και ω είναι αντίστοιχα η εγγεγραμμένη και η

επίκεντρη γωνία που βαίνουν στο ίδιο τόξο ενός κύκλου, τότε: α. φ = ω, β. φ = 2ω, γ. ω = 2φ, δ. φ = 90°+ω, ε. Τίποτα από τα προηγούμενα. Κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντησή σας.

3. Συμπληρώστε το κενό στην επόμενη πρόταση: "Η γωνία χορδής και εφαπτομένης ισούται με ………………………………….

Ασκηση 2

1. Σε καθένα από τα

σχήματα να βρείτε τα

x και y.

Κοζαλάκης Ευστάθιος

2. Αν στα σχήματα οι ευθείες ε και ε' είναι εφαπτόμενες να βρεθούν τα x και y.

Ασκηση 3

3.Αν στο σχήμα είναι ΜΒ = ΜΓ και A = 70°, να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων ΟΒΓ και ΜΒΓ.

Ασκηση 4

4. Να υπολογιστεί η γωνία ΔΟΓ του παρακάτω σχήματος

Ασκηση 5

Κοζαλάκης Ευστάθιος

Μικροπείραμα 1

Κοζαλάκης Ευστάθιος

Μικροπείραμα 2

Κοζαλάκης Ευστάθιος

Διάλειμμα