ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣΓ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΕΡΟΣ 1ο

ΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ kgaveras@sch.gr

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1Έχουμε τις ισότητες:• 1. (χ + 2)2 = 9χ• 2. (χ + 3)2 = χ2 + 9• 3. (χ + 3)2 = χ2 + 9 + 6χ• 4. (χ + ψ)2 = 9χ + ψ• 5. (χ + ψ)2 = χ2 + ψ2

• 6. (χ + ψ)2 = χ2 + ψ2 + 2χψΥπάρχουν τιμές των μεταβλητών χ, ψ που τις

επαληθεύουν;ΑΝΟΙΞΤΕ:ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1.ggb

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1

• Οι ισότητες όπως οι: 4 και 6 που επαληθεύονται για κάθε τιμή των μεταβλητών λέγονται ταυτότητες

ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

• ΟΡΙΣΜΟΣ: Ταυτότητα λέμε κάθε ισότητα που

περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της.

Π.χ. α(α+2) = α2 + 2α χ2 – 4 = (χ-2)(χ+2)

Οι ταυτότητες….. …έρχονται από πολύ παλιά. Αναφέρονται στα Στοιχεία του Ευκλείδη . «Το ΙΙ βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη

….περιέχει την εφαρμογή της γεωμετρίας στην Άλγεβρα και αποδίδεται κατά το μέγιστο στους Πυθαγορείους . Τα πρώτα 10 θεωρήματα αφορούν εις αλγεβρικάς ταυτότητας , τας οποίας δυνάμεθα να παραστήσωμεν ως ακολούθως αν δια των γραμμάτων α,β,γ ,…νοήσωμεν τμήματα ευθειών γραμμών» Ε. Σταμάτης (1975,σελ.17)

Προσοχή…

• Δεν πρέπει να συγχέουμε τις ταυτότητες με τις εξισώσεις. Οι ταυτότητες όπως είπαμε είναι ισότητες που ισχύουν για κάθε τιμή των μεταβλητών τους όπως π.χ. χ2-9 = (χ-3)(χ+3)

ενώ οι εξισώσεις είναι ισότητες που ψάχνουμε να βρούμε για ποια τιμή της μεταβλητής της ισχύει

π.χ. η 3χ-4 = 2 ισχύει μόνο για χ=2 Βέβαια μια εξίσωση μπορεί να είναι και ταυτότητα π.χ 3(χ-1)-4 = 3χ - 7

Η 1η ταυτότητα…. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2: Ανοίξτε το αρχείο..ταυτοτητα 1.ggb ,

ακολουθήστε τις οδηγίες και συμπληρώστε το φύλλο εργασίας βάσει των ενεργειών σας…

Η 1η ταυτότητα…. (ανάπτυγμα τετραγώνου του αθροίσματος)

• Έχουμε λοιπόν ανακαλύψει την 1η ταυτότητα που είναι:

(α + β)2 = α2 +2αβ + β2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

(α+β)2 = (α+β)(α+β) =

= α2 + αβ + βα + β2 =

= α2 + 2αβ + β2

1. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Το ανάπτυγμα του (x + α)2 είναι: α) x2+α2 β) x2 -2xα+α2 γ) x2 + xα + α2 δ) x2+ 2xα + α2

Το ανάπτυγμα του (2α + 1)2 είναι: α) 2α2+4α + 1 β) 4α2 + 1 γ) 4α2+ 4α + 1 δ) 4α2+2α+ 1

Το ανάπτυγμα του (y + 2)2 είναι: α) y2 + 2y + 4 β) y2 + 4 γ) y2 + 4y + 4 δ) y2 - 4y + 4

2. Υπολογίστε τις ταυτότητες

• (2χ + 3)2 = …………………………………………………..

• (2χ + 4ψ)2 = …………………………………………………

• (2χψ + 5)2 = …………………………………………………

Η 1η ταυτότητα…. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3: Ανοίξτε το αρχείο..ταυτοτητα 2.ggb ,

ακολουθήστε τις οδηγίες και συμπληρώστε το φύλλο εργασίας βάσει των ενεργειών σας…

Η 2η ταυτότητα…. (ανάπτυγμα τετραγώνου της διαφοράς)

(α-β)2 = α2 - 2αβ + β2

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Στην ταυτότητα:

(α + β)2 = α2 +2αβ + β2

Θέτουμε όπου β το –β όποτε έχουμε

(α-β)2 = α2 + 2α(-β) + (-β)2 =

= α2 - 2αβ + β2

προσοχή!!!• ΔΕΝ ΓΡΑΦΟΥΜΕ ΠΟΤΕ ΤΑ ΠΑΡΑΚΑΤΩ (α + β)2 = α2 + β2

ή (α – β)2 = α2 – β2

είναι ΛΑΘΟΣπ.χ (3+4)2 = 72 = 49 ενώ 32 + 42 = 9 + 16 = 25

1. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Το ανάπτυγμα του (x - α)2 είναι: α) x2+α2 β) x2 -2xα+α2 γ) x2 + xα + α2 δ) x2- 2xα + α2

Το ανάπτυγμα του (2α - 1)2 είναι: α) 2α2+4α + 1 β) 4α2 + 1 γ) 4α2- 4α + 1 δ) 4α2-2α+ 1

Το ανάπτυγμα του (y - 3)2 είναι: α) y2 + 6y + 9 β) y2 - 9 γ) y2 - 6y + 9 δ) y2 - 4y + 9

2. Υπολογίστε τις ταυτότητες

• (2χ - 3)2 = ………………………………………………….

• (2χ - ψ)2 = …………………………………………………

• (2χψ - 5)2 = ………………………………………………

Η 3η ταυτότητα…

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3: Ανοίξτε το αρχείο..ταυτοτητα 3.ggb ,

ακολουθήστε τις οδηγίες και συμπληρώστε το φύλλο εργασίας βάσει των ενεργειών σας…

Η 3η ταυτότητα…(διαφορά τετραγώνων)

• Έχουμε λοιπόν ανακαλύψει την 3η ταυτότητα που είναι:

α2 - β2 = (α +β)(α-β)

ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

(α+β)(α-β) =

= α2 - αβ + βα - β2 =

= α2 - β2

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1. Υπολογίστε τις παραστάσεις:

•(χ – 2ψ)(χ + 2ψ) = ……………………………

•(3 + α)(3 – α) = ………………………………

•(2χ – 4ψ)(2χ + 4ψ) = ………………………

1. Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες:• (2χ-3ψ)2 =……………………………………• (χ2+2)2 = ………………………………………• (√χ - √ψ)2=……………………………………• (2χ-3)(2χ+3)=………………………………

4χ2 – 12χψ + 9ψ2

χ4 + 4χ2 + 4

χ – 2 √χψ + ψ

4χ2 - 9

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2. Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες:• (χ … ….)2 = ….. - …… + 16

• (3χ -….)(…. +….) = …. – 16ψ2

• (….. + …..)2 = 25χ2 + 20χ + …….

• ω2 - ……. +……. = (…. … 2φ)2

ΛΥΣΗ

• (χ - 4)2 = χ2 – 8χ + 16

• (3χ – 4ψ)(3χ + 4ψ) = 9 χ2 – 16ψ2

• (5 χ2 + 2)2 = 25χ2 + 20χ + 4

• ω2 - 4ωφ + 4φ2 = (ω - 2φ)2

Άλλες ταυτότητες θα δούμε στο επόμενο μάθημα…..

ΤΕΛΟΣ