ΠΑΝΔΛΛΖΝΗΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ' ΣΑΞΖ

ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β΄)

ΠΑΡΑΚΔΤΖ 02 IOYNIOY 2014

ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ

ΑΠΑΝΣΖΔΗ

ΘΔΜΑ Α

Α1. Απόδεημε ζρνιηθνύ βηβιίνπ ζει. 251

Α2. Θεωξία ζρνιηθό ζει. 273

Α3. Θεωξία ζρνιηθό ζει. 150

Α4. α. Λάθος

β. ωζηό

γ. ωζηό

δ. ωζηό

ε. Λάθος

ΘΔΜΑ Β

B1.

Έζηω z x yi

Είλαη 2 2 2 22 2 4 2 0 2 2 0x y xi i x y x i 2 2 2 0x y θαη

1 0 1x x . Επνκέλωο 2 2 22 0 1 1x y y y . Επνκέλωο έρνπκε ηνπο

κηγαδηθνύο 1 1z i θαη 2 1z i

Β2. Έρνπκε

3939 23939 39 39

1

2

939 4 3

11 1 1 1 2 1 1 2 13 3 3 3 3 3

1 1 1 2 2 2

3 3 3

iz i i i i iw

z i i i

w i i i i

Β3. Έρνπκε,

1 24 3 4 1 1 3 3 4 3 5u w z z i u i i i i u i i u i .

Επνκέλωο ν γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ ηωλ κηγαδηθώλ u είλαη θύθινο θέληξνπ

Κ(0,3) θαη αθηίλαο ξ=5.

ΘΔΜΑ Γ

Γ1.

Η ζπλάξηεζε h είλαη ζπλερήο θαη δύν θνξέο παξαγωγίζηκε ζην R κε παξάγωγν

1 1

1 1 01 1 1

x x

x x x

e eh x

e e e

. Άξα ε h είλαη γλεζίωο αύμνπζα. Είλαη,

2

10

1 1

x

x x

eh x

e e

, επνκέλωο ε ζπλάξηεζε h ζηξέθεη ηα θνίια θάηω (θνίιε).

Γ2. Οη ζπλαξηήζεηο , ln , xh x e είλαη . Επνκέλωο είλαη,

2 2

ln ln 2 ln ln 1 2 1 ln 11 1

h h x h h xe ee e h h x e e h h x e

e e

01 1 12 1 2 1 1 0

2 1 2

x x

xh h x h h x h x e e e x

e

.

Γ3.

Έρνπκε, lim lim ln 1 lim ln ln 1 lim ln1

xx x x

xx x x x

eh x x e e e

e

.

Θέηνπκε1

x

x

et

e

Είλαη lim lim 111

1

x x

xx xx

x

e e

ee

e

. Οπόηε 1t άξα lim lim ln 0x x

h x t

Άξα ε 0y νξηδόληηα αζύκπηωηε ηεο hC ζην .

Είλαη, ln 1 ln 1

lim lim 1 1 lim 1

x x

x x x

e eh x

x x x

Επίζεο lim lim ln 1 0x

x xh x x e

.

Άξα ε y x είλαη πιάγηα αζύκπηωηε ηεο hC ζην .

Γ4. Είλαη 2

ln 2 ln 1 ln 2 ln1

xx x x x

x

ex e h x e x e e

e

Λύλνπκε ηελ εμίζωζε 2 2

0 ln 0 1 1 01 1

x xx x

x x

e ex e e x

e e

.

Επνκέλωο ην δεηνύκελν εκβαδόλ ηζνύηαη κε 1

0

E x dx . Επίζεο, ιύλνπκε ηελ

αλίζωζε 2

0 0 2 1 1 01

xx x x

x

ex e e e x

e

. Επνκέλωο

1 1 1

0 0 0

2ln

1

xx

x

eE x dx x dx e dx

e

.

Θέηνπκε 0xe t άξα xe dx dt . Γηα 0x είλαη 1t θαη γηα 1x είλαη t e .

Επνκέλωο ην νινθιήξωκα γίλεηαη

11 1 1 1

2 22

11 1 1

2

2 2 2 2 2 1ln ln ln ln ln

21 1 1 1 1

1

2 1 2 1

1 12 2 2 1 2ln ln ln ln ln 1

2 21 1 1 1 1

1 1

ee e e e

e ee

t

t t t t e tE dt t dt t t dt e t dt

tt t t t e

t

t t

t te e e eE e t dt e dt e dt e t

te e e t e

t t

1

2 2 2 2ln ln 1 ln ln 1 ln 2 ln ln

1 1 1 1

ee e eE e t e e e

e e e e

ΘΔΜΑ Γ

Γ1. Είλαη

. .

0 0 0 0

11lim lim lim lim 1 0

xx D L Hx

x x x x

eef x e f

x x

. Επνκέλωο ε ζπλάξηεζε

f είλαη ζπλερήο ζην κεδέλ.

Γηα 0x . Η ζπλάξηεζε f είλαη παξαγωγίζηκε κε 2

10

x xe x ef x

x

γηα θάζε

0x .

Θεωξνύκε ηε ζπλάξηεζε 1x xh x e x e . Είλαη x x x xh x e xe e xe . Λύλνπκε

ηελ εμίζωζε 0 0 0xh x xe x .

Η κνλνηνλία ηεο g θαίλεηαη ζηνλ πίλαθα πνπ αθνινπζεί.

x 0

h x - +

h x

Η ζπλάξηεζε h παξνπζηάδεη νιηθό κέγηζην ζηε ζέζε 0 0 0xh x xe x .

Επνκέλωο 0 0h x h h x .

Γηα 0x από ηνλ νξηζκό ηεο παξαγώγνπ έρνπκε

0 0

0 0

20 0 0 . . 0 . . 0

110 1 1 1

0 lim lim lim lim lim 00 2 2 2

x

x x x

x x x D L H x D L H x

ef x f e x e exf

x x x x

.

Επνκέλωο είλαη 0f x γηα θάζε x R .

Γ2.

α) Είλαη 0f x γηα θάζε x R , επνκέλωο 2 0f x . Επνκέλωο αθνύ ε f ηόηε

γηα θάζε 0 0 1 0h f h f f h .

Αλ 1 2 f x ηόηε 2

1

0

f x

f u du

. Άηνπν.

Αλ 2 1f x ηόηε 2

1

0

f x

f u du

. Άηνπν.

Άξα 2 1f x . Πξνθαλήο ξίδα ε 0x αθνύ 1

02

f . Η ζπλάξηεζε f είλαη θπξηή

επνκέλωο ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα. Άξα ε 0x κνλαδηθή ξίδα.

β) Είλαη 0

1 12 2

2

x x

dx

dt

e ed d

x xdx dx dxx t y t

dt dt dt dx dt

2 2

1 1 1 11 2

2 2

x x x xxe e xe ef t

x x

. Επνκέλωο 0x θαη άξα

0, 0 0,1A f .

0

Γ3.

Είλαη 2 2

1 2 , 0g x xf x e x x .

Επνκέλωο 2 22 2

1 1 2 2x xg x e e x e e x

Η ζπλάξηεζε g παξαγωγίζηκε ζην 0, κε

2 22 22 2 2 2 2 2 2 2

2 2

x x x x x x x

x x x

g x e e x e e e x x e e x e e e x e e

g x e e x xe e e

Λύλνπκε ηελ εμίζωζε

0 2 2 0 0 2 0 0x x x x x xg x e e x xe e e e e ή x ή xe e e

1 2x ή x .

Θεωξνύκε ηελ ζπλάξηεζε x xx xe e e στο 0, .

Η ζπλάξηεζε

είλαη ζπλερήο ζην 1,2 ωο πξάμεηο ζπλερώλ ζπλαξηήζεωλ.

1 0e

22 0e e

Επνκέλωο 1 2 0 θαη άξα από ην ζεώξεκα Bolzano ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ

0 1,2x ώζηε 0 0x .

Η ζπλάξηεζε παξαγωγίζηκε στο 0, κε 0xx xe , άξα ε είλαη γλεζίωο

αύμνπζα ζην 0, . Επνκέλωο ε ξίδα 0x είλαη κνλαδηθή.

Η επνκέλωο γηα θάζε 0 02 0x x x x x .

Οκνίωο γηα θάζε 0 01 0x x x x x .

Επνκέλωο ν πίλαθαο κνλνηνλίαο ηεο g είλαη,

x 0 0x 2 xe e - + + +

x 2 - - - +

φ x - - + +

g x

- + - +

g x

Επνκέλωο ε ζπλάξηεζε g παξνπζηάδεη δύν ζέζεηο ηνπηθώλ ειαρίζηωλ γηα x=1 θαη x=2

θαη κία ζέζε ηνπηθνύ κεγίζηνπ γηα 0x x .

0

1

0

0 0 0

0