คณิตศาสตร์ ม.ต้น พค21001

หนังสือเรียนสาระความรูพื้นฐาน

รายวิชา คณิตศาสตร

(พค21001)

ระดบัมัธยมศึกษาตอนตน

(ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2554)

หลักสตูรการศึกษานอกระบบระดับการศึกษาขัน้พืน้ฐาน

พุทธศักราช 2551

สํานกังานสงเสริมการศึกษานอกระบบและการศึกษาตามอธัยาศัย

สํานกังานปลดักระทรวงศึกษาธิการ

กระทรวงศึกษาธิการ

2

หนังสือเรียนสาระความรูพื้นฐาน

รายวิชา คณิตศาสตร (พค21001)

ระดบัมัธยมศึกษาตอนตน

ฉบบัปรับปรุง พ.ศ.2554

ลิขสิทธิ์เปนของ สํานักงาน กศน. สํานักงานปลัดกระทรวงศึกษาธิการ

เอกสารทางวิชาการลําดับท่ี 7/2555

3

4

สารบัญ

เร่ือง หนา

คํานํา 3

สารบัญ 4

คําแนะนําการใชหนังสือ 5

โครงสรางวิชาคณิตศาสตร ระดับมัธยมศึกษาตอนตน 6

บทที่ 1 จํานวนและการดําเนินการ 7

บทที่ 2 เศษสวนและทศนิยม 18

บทที่ 3 เลขยกกําลัง 46

บทที ่ 4 อัตราสวนและรอยละ 58

บทที่ 5 การวัด 75

บทที่ 6 ปริมาตรและพื้นที่ผิว 106

บทที่ 7 คูอันดับและกราฟ 128

บทที่ 8 ความสัมพันธของรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ 138

บทที่ 9 สถิติ 151

บทที่ 10 ความนาจะเปน 182

บทที่ 11 การใชทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรในงานอาชีพ 192

5

คําแนะนําการใชแบบเรียน

หนังสือเรียนสาระความรูพื ้นฐาน รายวิชา คณิตศาสตร พค 21001 ระดับมัธยมศึกษา

ตอนตน เปนหนังสือเรียนที่จัดทําขึ้น สําหรับผูเรียนที่เปนนักศึกษานอกระบบ ในการศึกษา

หนังสือเรียนสาระความรูพื้นฐาน รายวิชา คณิตศาสตร ผูเรียนควรปฏิบัติดังน้ี

1. ศึกษาโครงสรางรายวิชาใหเขาใจในหัวขอสาระสําคัญ ผลการเรียนรูที่คาดหวัง

และขอบขายเนื้อหา

2. ศึกษารายละเอียดเนื้อหาของแตละบทอยางละเอียด และทํากิจกรรมตามที่กําหนด

แลวตรวจสอบกับแนวตอบกิจกรรมที่กําหนด ถาผูเรียนตอบผิดควรกลับไป

ศึกษาและทําความเขาใจในเนื้อหานั้นใหมใหเขาใจกอนที่จะศึกษาเร่ืองตอไป

3. ปฏิบัติกิจกรรมทายเร่ืองของแตละเร่ือง เพื่อเปนการสรุปความรูความเขาใจของ

เน้ือหาในเร่ืองน้ันๆ อีกคร้ัง และการปฏิบัติกิจกรรมของแตละเน้ือหาในแตละ

เร่ือง ผูเรียนสามารถนําไปตรวจสอบกับครูและเพื่อนๆ ที่รวมเรียนในรายวิชา

และระดับเดียวกนัได

4. แบบเรียนเลมน้ีมี 10 บท

บทที่ 1 จํานวนและการดําเนินการ

บทที่ 2 เศษสวนและทศนิยม

บทที่ 3 เลขยกกําลัง

บทที่ 4 อัตราสวนและรอยละ

บทที่ 5 การวัด

บทที่ 6 ปริมาตรและพื้นที่ผิว

บทที่ 7 คูอันดับและกราฟ

บทที่ 8 ความสัมพันธของรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ

บทที่ 9 สถิติ

บทที่ 10 ความนาจะเปน

6

โครงสรางรายวิชาคณิตศาสตร

ระดับมัธยมศึกษาตอนตน

สาระสําคัญ ใหผูเรียนมีความรูความเขาใจเกี่ยวกับจํานวนและการดําเนินการ เศษสวน และทศนิยม เลข

ยกกําลัง อัตราสวน สดัสวน และรอยละ การวัด ปริมาตรและพื้นที่ผิว คูอันดับและกราฟ

ความสัมพันธระหวางรูปทรงเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ สถิติ และความนาจะเปน

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวัง

1. ระบุหรือยกตัวอยางเกี่ยวกับจํานวนและการดําเนินการ เศษสวนและทศนิยม เลขยก

กําลังอัตราสวน สัดสวน รอยละ การวัด การหาปริมาตรและพื้นที่ผิว คูอันดับและกราฟ

ความสัมพันธระหวางรูปเรขาคณิตสองมิติ สามมิติ สถิติ และความนาจะเปน

2. สามารถคิดคาํนวณและแกปญหาโจทยที่ใชในชีวิตประจําวัน

ขอบขายเน้ือหา


บทที่ 2 เศษสวนและทศนิยม

บทที่ 3 เลขยกกําลัง

บทที่ 4 อัตราสวนและรอยละ

บทที่ 5 การวัด

บทที่ 6 ปริมาตรและพื้นที่ผิว

บทที่ 7 คูอันดับและกราฟ

บทที่ 8 ความสัมพันธระหวางรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ

บทที่ 9 สถิติ

บทที่ 10 ความนาจะเปน

สื่อการเรียนรู

1. ใบงาน

2. หนังสือเรียน

7


สาระสําคัญ

เร่ืองของจํานวนและการดําเนินการ เปนหลักการเบื้องตนที่เปนพื้นฐานในการนําไปใชใน

ชีวิตจริงเกี่ยวกับการเปรียบเทียบ การบวก การลบ การคูณ และการหาร


1. ระบุหรือยกตัวอยางจํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และศูนยได

2. เปรียบเทียบจํานวนเต็มได

3. บวก ลบ คูณ หาร จํานวนเต็ม และอธิบายผลที่เกิดขึ้นได

4. บอกสมบัติของจํานวนเต็มและนําความรูเกี่ยวกับสมบัติของจํานวนเต็มไปใชได


เร่ืองที่ 1 จํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และศนูย

เร่ืองที่ 2 การเปรียบเทียบจํานวนเต็ม

เร่ืองที่ 3 การบวก การลบ การคูณ และการหารจํานวนเต็ม

เร่ืองที่ 4 สมบัติของจํานวนเต็มและการนําไปใช

8

เร่ืองที่ 1 จํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และศูนย

จํานวนเต็มประกอบไปดวย จํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และจํานวนเต็มศูนย ดัง

โครงสรางตอไปน้ี

จาํนวนเตม็บวก คือ จํานวนนับ เปนจํานวนชนิดแรกที่มนุษยรูจัก มีคามากกวาศูนย จํานวนนับจํานวน

แรก คือ 1 จํานวนที่อยูถัดไปจะเพิ่มขึ้นทีละ 1 เสมอ เห็นวาไมสามารถหาจํานวนนับที่มากที่สุด และ

สามารถเขียนจํานวนนับ เรียงตามลําดับไดดังน้ี 1, 2, 3,... ไปเร่ือยๆ จํานวนนับเหลาน้ีอาจเรียกไดวา

“จาํนวนเตม็บวก” ถานําจํานวน 0 และจํานวนเต็มบวกมาเขยีนแสดงดวยเสนจํานวนได ดังน้ี

จาํนวนเตม็ศูนย มีจํานวนเดียว คือ ศูนย(0)

สําหรับ 0 ไมเปนจํานวนนับ เพราะจะไมกลาววามีผูเรียนจํานวน 0 คน แตศูนยก็ไมได

หมายความวา ไมมีเสมอไป เชน เมื่อกลาวถึงอุณหภูมิ เพราะทําใหเราทราบและเกิดความรูสึกขณะ

อุณหภูมิ 0 องศาเซลเซียสได

จาํนวนเตม็ลบ หมายถึงจํานวนที่ตรงขามกับจํานวนเต็มบวก มีคานอยกวาศูนย (0) มีคาลดลง

เร่ือยๆ ไมมีที่สิ้นสุด เชน -1, -2, -3, ....

พิจารณาจากเสนจํานวน จะเห็นวาจํานวนที่อยูทางซายของ 0 เปนระยะทาง 1 หนวย เขียน

แทนดวย -1 อานวา ลบหน่ึง

จากจํานวนที่อยูทางซายของ 0 สองชอง เขียนแทนดวย -2 อานวา ลบสอง ถาอยูทางซาย

ของ 0 สามชอง เขียนแทนดวย -3 อานวา ลบสาม

จํานวนเต็ม

จํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มศูนย จํานวนเต็มลบ

9

เร่ืองที่ 2 การเปรียบเทียบจํานวนเต็ม

จํานวนเต็ม 2 จํานวน เมื่อนํามาเปรียบเทียบกันจะไดวา จํานวนหน่ึงทีม่ากกวาจํานวนหน่ึง

หรือจํานวนหน่ึงที่นอยกวาอีกจํานวนหน่ึง หรือจํานวนทัง้ 2 จํานวนเทากัน เพียงอยางใดอยางหน่ึง

เทาน้ัน

ถา a, b, c เปน จํานวนธรรมชาติใดๆ แลว

a – b = c แลว a มากกวา b

a – b = - c แลว b มากกวา a

หรือ a นอยกวา b

a – b = 0 แลว a เทากับ b

เคร่ืองหมายที่ใช > แทนมากกวา

< แทนนอยกวา

= แทนเทากับ หรือเทากัน

การเปรียบเทียบจํานวนเต็มสามารถเปรียบเทียบจากเสนจํานวนไดดังนี้

จากเสนจํานวนจะเห็นวา 4 > 3 > 2 > 1 > 0 > -1 > -2 > -3 ซึ่งจะเห็นไดวา จํานวนที่อยู

บนเสนจํานวนดานขวามีคามากกวาจํานวนที่อยูดานซายเสมอ

10

แบบฝกหัดท่ี 1

1. จงเลอืกจํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และจํานวนเต็มจากจํานวนตอไปน้ี

- 1, 24

, 0, - 3, 1000500

, 250

500−

จํานวนเต็มบวก ประกอบดวย...............................................................................................

จํานวนเต็มลบ ประกอบดวย...............................................................................................

จํานวนเต็ม ประกอบดวย..............................................................................................

2. จงเติมเคร่ืองหมาย < หรือ > เพื่อใหประโยคตอไปน้ีเปนจริง

1) -4 ..................................... 3

2) -4 .................................... -3

3) -2 ..................................... -5

4) 4..................................... -2

5) 4..................................... -8

3. จงเรียงลําดับจํานวนเต็มจากนอยไปหามาก

1) -2, -8, -4, -15, -20, -7

…………………………………………………………………………………………………..

2) 4, -8, 0, -2, 16, -17

…………………………………………………………………………………………………..

11

2.1 จาํนวนตรงขามของจาํนวนเตม็

ถา a เปนจํานวนใดๆ จํานวนตรงขามของ a มเีพยีงจํานวนเดียว เขยีนแทนดวย -a

พิจารณาจากเสนจํานวน

จํานวนเต็มบวกและจํานวนเต็มลบจะอยูคนละขางของศูนย (0) และอยูหางจาก 0 เปน

ระยะเทากัน เชน -3 กับ 3 เปนจํานวนตรงขามกัน

ซึ่งสรุปไดวา

สําหรับจํานวนเต็ม a ใดๆ จํานวนตรงขามของ a คอื –a

และจํานวนตรงขามของ -a คอื – a

เนื่องจากจํานวนตรงขามของ(-a) เขยีนแทนดวย – (-a)

ดังน้ัน – (-a) = a

เชน จํานวนตรงขามของ (-3) เขยีนแทนดวย –(-3) คือ 3

2.2 คาสัมบูรณของจาํนวนเตม็

สัญลักษณของคาสัมบูรณ ไดแก

ขอสงัเกต เมื่อ a แทนจํานวนใดๆ

พิจารณาจากเสนจํานวนจะเห็นวา

คาสัมบูรณของ 2 เทากับ 2 เขียนในรูปสัญลักษณ 22 =

คาสัมบูรณของ -2 เทากับ 2 เขียนในรูปสัญลักษณ 22 =−

ซึ่งสรุปไดวาคาสัมบูรณของจํานวนใดๆ เทากับระยะทางท่ีจํานวนน้ันอยูหางจาก 0 บนเสน

จาํนวน

12


1. จงเติมคําวา “มากกวา” หรือ “นอยกวา” หรือ “เทากับ”

1) คาสัมบูรณของ (-3).................................................คาสัมบูรณของ 3

2) จํานวนตรงขามของ (-4) .........................................จํานวนตรงขามของ 4

3) จํานวนตรงขามของ 5 ..............................................จํานวนตรงขามของ -5

4) คาสัมบูรณของ A....................................คาสัมบูรณของ(-A) เมื่อA เปนจํานวนใดๆ

5) จํานวนตรงขามของ A ...........................จํานวนตรงขามของ (-A) เมื่อA เปนจํานวนใดๆ

2. จงเติมเคร่ืองหมาย <, > หรือ = ลงในชองวาง

1) – (- 5) ............................................5

2) จํานวนตรงขามของ 8 .........................................8

3) จํานวนตรงขามของ (-8).......................................(-8)

4) 25.........................................25 −−

5) ( )20.........................................20 −−

6) 5..........................................25 −−

7) จํานวนตรงขามของ (-2) .........................................จํานวนตรงขามของ(-7)

8) จํานวนตรงขามของ 32.............................................จํานวนตรงขามของ 77

13

เร่ืองที่ 3 การบวก การลบ การคณู และการหารจาํนวนเตม็

3.1 การบวกจํานวนเต็ม

หาผลบวกดวยการนําคาสัมบูรณมาบวกกนัแลวตอบเปนจํานวนเต็มบวก เชน 2 + 3 = 5

1). การบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวก


เร่ิมตนที่ 0 นับไปทางขวา 2 ชอง และนับเพิ่มไปทางขวาอีก 3 ชอง จะสิ้นสุดที่ 5

จะได 5 เปนผลบวกของ 2 กับ 3

หาผลบวกดวยการนําคาสัมบูรณมาบวกกันแลวตอบเปนจํานวนเต็มลบ เชน

(-2) + (-3) = (-5)

2). การบวกจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ


เร่ิมตนที่ 0 นับไปทางซาย 2 ชอง และนับเพิ่มไปทางซายอีก 3 ชอง จะสิ้นสุดที่ -5

จะได -5 เปนผลบวกของ -2 กับ -3

3.1 กรณีที่จํานวนเต็มบวกมีคาสัมบูรณมากกวา

3). การบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ

หาผลบวกดวยการนําคาสัมบูรณมาลบกันแลวผลลัพธเปนจํานวนเต็มบวก เชน 12 + (-8) = 4


เร่ิมตนที่ 0 นับไปทางขวา 12 ชอง เมือ่บวกดวย -8 ใหนับลดไปทางซายอีก 8 ชอง

จะสิ้นสุดที่ 4

จะได 4 เปนผลบวกของ 12 กับ -8

14

3.2 กรณีที่ จํานวนเต็มลบมีคาสัมบูรณมากกวา

หาผลบวกดวยการนําคาสัมบูรณมาลบกนัแลวผลลัพธเปนจํานวนเต็มลบ เชน 3 +(-10) = -7


เร่ิมตนที่ 0 นับไปทางขวา 3 ชอง เมือ่บวกดวย – 10 ใหนับลดไปทางซายอีก 10 ชอง

จะสิ้นสุดที่ -7

จะได -7 เปนผลบวกของ 3 กับ -10

4.1 กรณีที่จํานวนเต็มบวกมีคาสัมบูรณมากกวา

4). การบวกจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มบวก

หาผลบวกดวยการนําคาสัมบูรณมาลบกนัแลวผลลัพธเปนจํานวนเต็มบวก เชน (-3) + 5 = 2


เร่ิมตนที่ 0 นับไปทางซาย 3 ชอง เมือ่บวกดวย 5 ใหนับเพิ่มไปทางขวาอีก 5 ชอง

จะสิ้นสุดที่ 2

จะได 2 เปนผลบวกของ -3 กับ 3

4.2 กรณีจํานวนเต็มลบมีคาสัมบูรณมากกวา

หาผลบวกดวยการนําคาสัมบูรณมาลบกนัแลวผลลัพธเปนจํานวนเต็มลบ เชน (-5) + 3 = -2


เร่ิมตนที่ 0 นับไปทางซาย 5 ชอง เมือ่บวกดวย 3 ใหนับเพิ่มไปทางขวาอีก 3 ชอง

จะสิ้นสุดที่ -2

จะได -2 เปนผลบวกของ -5 กับ 3

15

1. จงแสดงการหาผลบวกของสองจํานวนทีก่าํหนดให โดยใชเสนจํานวน


1. 3+2

2. (-3)+(-2)

3. 2+1

4. (-2)+(-1)

5. 5+ (-1)

6. (-1) +5

7. (-5) +3

8. 3 + (-5)

16

2. จากผลการบวกโดยใชเสนจํานวน จงเติมคําตอบตอไปน้ีใหสมบูรณ

ประโยคแสดงผลบวกของ a+b คาสัมบูรณของ a คาสัมบูรณของ b คาสัมบูรณของ(a+b) ผลบวกของ a กับ b

เทากันหรือไมกับ ba +

1. 3+2 = 5 3 2 5 เทากัน

2. (-3)+(-2) = -5

3. 2+1 = 3

4. (-2)+(-1) = -3

5. 5+ (-1) = 4

6. (-1) +5 = 4

7. (-5) +3 = -2

8. 3 + (-5) = -2

สรุป หลักการบวกจํานวนเต็ม

1. การบวกระหวางจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวก ใหนาํคาสัมบูรณมาบวกกัน แลว

ตอบเปนจํานวนเต็มบวก

2. การบวกจํานวนเต็มลบกับจํานวนเต็มลบ ใหนําคาสัมบูรณมาบวกกันแลวตอบเปน

จํานวนเต็มลบ

3. การบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบ ที่จํานวนเต็มบวกมีคาสัมบูรณ

มากกวาใหนําคาสัมบูรณมาลบกนั แลวตอบเปนจํานวนเต็มบวก

4. การบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบ ที่จํานวนเต็มลบมีคาสัมบูรณมากกวา

ใหนําคาสัมบูรณมาลบกัน แลวคําตอบเปนจํานวนเต็มลบ

5. การบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกบัจํานวนเต็มลบที่มีคาสัมบูรณเทากัน ผลบวกเปน 0

3.2 การลบจํานวนเต็ม

ทบทวนจํานวนตรงขามของจํานวนเต็มดังตอไปนี้

จํานวนตรงขามของ 3 คือ -3

จํานวนตรงขามของ – 3 คอื 3 และ 3+(-3) = 0

จํานวนตรงขามของ -3 เขยีนแทนดวย –(-3) ดังน้ี –(-3) = 3

17

พิจารณาการลบจํานวนเต็มสองจํานวนทีก่าํหนดใหดังน้ี

1. 3 – 2

2. 3 – 5

โดยพิจารณาทั้งสองแบบ

1. แสดงการหาผลลบของสองจํานวนทีก่าํหนดให โดยใชเสนจํานวน

1). 3 – 2 = 1

2). 3 – 5 = -2

2. แสดงการหาผลลบโดย กาํหนดให – b แทนจํานวนตรงขามของ b แลวพิจารณาคาของ a + (-b)

ประโยคแสดงผลลัพธของ a – b a b (-b) ประโยคแสดงผลลัพธของ a + (-b)

1). 3 – 2 = 1 3 2 (-2) 3 + (-2) = 1

2). 3 – 5 = -2 3 5 (-5) 3 + (-5) = -2

จากการลบจํานวนเต็มสองจํานวนทัง้ 2 แบบจะเห็นไดวา

กาํหนด (-b) เปนจํานวนตรงขามของ b

ผลลัพธของ a-b และผลลัพธของ a+(-b) มีคาเทากัน

ดังน้ัน การลบจํานวนเต็ม เราอาศัยการบวกตามขอตกลงดังตอไปนี้

ตัวต้ัง – ตัวลบ = ตัวต้ัง + จํานวนตรงขามของตัวลบ

น่ันคือ เมื่อ a และ b แทนจํานวนใดๆ

a –b = a + จํานวนตรงขามของ b

หรือ a – b = a + (-b)

18

1. จงทําใหเปนผลสําเร็จ


1. (-12) – 7

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

2. 7 – (-12)

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

3. (-8) – (-5)

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

4. (-5) – (-8)

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

5. [8 – (-2)] – 6

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

6. 8 – [(-2) – 6]

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

2. จงหาคาของ a – b และ b – a เมื่อกําหนด a และ b ดังตอไปน้ี

1. a = 5, b = (-3)

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

2. a = (-14), b = (-6)

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

3. a = (-4), b = (-4)

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

19

3.3 การคูณจํานวนเต็ม

1) การคณูจํานวนเต็มบวกดวนจํานวนเต็มบวก

เชน 3 × 5 = 5 + 5 + 5

= 15

7 × 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4

= 28

การคณูจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวกน้ัน ไดคาํตอบเปนจํานวนเต็มบวกที่มีคา

สัมบูรณเทากับผลคูณของคาสัมบูรณของสองจํานวนน้ัน

2) การคณูจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ

เชน 3 × (-8) = (-8) + (-8) + (-8)

= -24

2 × (-7) = (-7) + (-7)

= -14

การคูณจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ ไดคําตอบเปนจํานวนเต็มลบที่มีคาสัมบูรณ

เทากับผลคูณของคาสัมบูรณของสองจํานวนนั้น

3) การคณูจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มบวก

เชน (-7) × 4 = 4 × (-7) (สมบัติการสลับที่การคูณ)

= (-7) + (-7)+ (-7) + (-7)

= -28

การคูณจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มบวก ไดคําตอบเปนจํานวนเต็มลบที่มีคาสัมบูรณ


4) การคูณจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ

เชน (-3) × (-5) = 15

( -11) × (-20) = 220

การคูณจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ ไดคําตอบเปนจํานวนเต็มบวกที่มีคาสัมบูรณ


20

จงหาผลลัพธ


1). [(-3) × (-5)] × (-2)

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

…………………………………………

2). (-3) × [(-5) × (-2)]

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

3). [4 × (-3)] × (-1)

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

4). 4 × [(-3) × (-1)]

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

5). [(-5) × (-6)] + [(-5) × (-6)]

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

6). (-5) × [6 + (-6)]

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

7). [(-7) × (-5)] + [(-7) × 2]

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

8). (-7) × [(-5) + 2]

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

9). [5 × (-7)] + [5 × 3]

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

10). 5 × [(-7) + 3]

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

21

3.4 การหารจาํนวนเตม็

การหารจํานวนเต็ม เมื่อ a, b และ c แทนจํานวนเต็มใดๆ ที่ b ไมเทากับ 0 จะหาผลหารได

โดยอาศัยการคูณ ดังน้ี

ตัวต้ัง ÷ ตัวหาร = ผลลัพธ มีความหมายเดียวกับ ผลลัพธ × ตัวหาร = ตัวต้ัง

ถา cba =÷ แลว cba ×=

การหาผลหาร 525−

จะตองหาจํานวนที่คูณกับ 5 แลวได -25 ดังน้ัน 5525

−=−

การหาผลหาร 5

25−

จะตองหาจํานวนที่คูณกับ -5 แลวได 25 ดังน้ัน 55

25−=

−

จากการหาผลหารขางตนจะไดวา

ถาทั้งตัวต้ังหรือตัวหาร ตัวใดตัวหน่ึงเปนจํานวนเต็มลบโดยที่อีกตัวหน่ึงเปนจํานวนเต็มบวก

คําตอบเปนจํานวนเต็มลบ ที่มีคาสัมบูรณเทากับผลหารของคาสัมบูรณของสองจํานวนน้ัน

การหาผลหาร 525−−

จะตองหาจํานวนที่คูณกับ -5 แลวได -25 ดังน้ัน 5525

=−−

การหาผลหาร 525

จะตองหาจํานวนที่คูณกับ 5 แลวได 25 ดังน้ัน 5525

=

จากการหาผลหารขางตนจะไดวา

ถาทั้งตัวต้ังและตัวหารเปนจํานวนเต็มบวกทั้งคูหรือจํานวนเต็มลบทั้งคู คําตอบเปนจํานวน

เต็มบวก ที่มีคาสัมบูรณเทากับผลหารของคาสัมบูรณของสองจํานวนนั้น

22


1. จงเติมคําตอบใหสมบูรณเพื่อแสดงหลักของความสัมพันธระหวางการหารและการคูณ ตอไปนี้

ประโยคที่แสดงความสัมพันธ cba ×= ประโยคที่แสดงความสัมพันธ cba =÷ หรือ bca =÷

10 = 5 x 2 10 ÷ 5 = 2 หรือ 10 ÷ 2 = 5

35 = 7 x 5

33 = 3 x 11

(-14) = 7 x (-2) (-14) ÷7 = (-2) หรือ (-14) ÷ (-2) = 7

(-21) = 7 x (-3)

(-15) = 3 x (-5)

10 = (-5) x (-2)

จงหาผลหาร

1. 17 ÷ 17

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

2. 23 ÷ (-23)

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

3. 15 ÷ (-3)

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

4. (-72) ÷ 9

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

5. [(-51) ÷ (-17)] ÷ [15 ÷(-5)]

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

6. [(-72) ÷ 9] ÷ [ 16 ÷ (-2)]

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

17

เร่ืองที่ 4 สมบัติของจํานวนเต็มและการนาํไปใช

4.1 สมบัติเกี่ยวกับการบวกและการคูณจํานวนเต็ม

1). สมบัติการสลับที่

ถา a และ b แทนจํานวนเต็มใดๆ

a + b = b + a (สมบัติการสลับที่การบวก)

a × b = b × a (สมบัติการสลับที่การคูณ)

2) สมบัติการเปลี่ยนหมู


(a + b) + c = a + (b + c) (สมบัติการเปลี่ยนหมูการบวก)

(a × b) × c = a × (b × c) (สมบัติการเปลี่ยนหมูการคูณ)

3) สมบติัการแจกแจง


a + (b × c) = ab + ac

และ (b + c) × a = ba + ca

4.2 สมบัติของหน่ึงและศูนย

1). สมบัติของหน่ึง

1). ถา a แทนจํานวนใดๆ แลว a × 1 = 1 × a = a

2). ถา a แทนจํานวนใดๆ แลว aa=

1

2).สมบัติของศูนย

1). ถา a แทนจํานวนใดๆ แลว a + 0 = 0 + a = a

2). ถา a แทนจํานวนใดๆ แลว a × 0 = 0 × a = 0

3). ถา a แทนจํานวนใดๆ ที่ไมใช 0 แลว 00=

a (เราไมใช 0 เปนตัวหาร

ถา a แทนจํานวนใดๆ แลว 0a

ไมมีความหมายทางคณิตศาสตร)

4). ถา a และ b แทนจํานวนใดๆ และ a × b = 0 แลว จะได a = 0 หรือ b = 0

บทท่ี 2

เศษสวนและทศนิยม

18


การอาน เขยีนเศษสวน และทศนิยมโดยใชสมบัติ การบวก การลบ การคูณ การหาร

การเปรียบเทียบ และการแกโจทยปญหาตามสภาพการณจริงได


1. บอกความหมายของเศษสวนและทศนิยมได

2. เขียนเศษสวนในรูปทศนิยมและเขียนทศนิยมซ้ําในรูปเศษสวนได

3. เปรียบเทียบเศษสวนและทศนิยมได

4. สามารถบวก ลบ คูณ หาร เศษสวนและทศนิยมได และอธิบายผลที่เกิดขึ้นได

5. นําความรูเกี่ยวกับเศษสวนและทศนิยมไปใชแกโจทยปญหา


เร่ืองที่ 1 ความหมายของเศษสวนและทศนิยม

เร่ืองที่ 2 การเขียนเศษสวนดวยทศนิยม และการเขียนทศนิยมซ้ําเปนเศษสวน

เร่ืองที่ 3 การเปรียบเทียบเศษสวนและทศนิยม

เร่ืองที่ 4 การบวก ลบ คูณ หาร เศษสวนและทศนิยม

เร่ืองที่ 1 ความหมายของเศษสวน และทศนิยม

1.1 เศษสวน หมายถึง สวนตางๆ ของจํานวนเต็มที่ถูกแบงออกเปนสวนละเทาๆ กัน การ

นําเสนอเศษสวนสามารถนําเสนอไดทั้งแบบรูปภาพ หรือแบบเสนจํานวน เชน

19

รูปวงกลม 1 วง แบงออกเปน 4 สวนเทา ๆ กัน

สวนที่แรเงาเปน 1 สวนใน 4 สวน

เขยีนแทนดวย 41

อานวา “เศษหน่ึงสวนสี่”

หรือ

1 หนวยบนเสนจํานวนแบงออกเปน 5 สวนเทา ๆ กัน

จุด A อยูหางจาก 0 ไปทางขวามือเปนระยะ 3 สวน ใน 5 สวน ดังน้ัน A แทนดวย 53

จุด B อยูหางจาก 0 ไปทางขวามือเปนระยะ 7 สวน ใน 5 สวน ดังน้ัน B แทนดวย

57

หรือ 521

จุด C อยูหางจาก 0 ไปทางขวามือเปนระยะ 13 สวน ใน 5 สวน ดังน้ัน C แทนดวย

5

13 หรือ

532

จุด D อยูหางจาก 0 ไปทางซายมือเปนระยะ 8 สวน ใน 5 สวน ดังน้ัน D แทนดวย

58−

หรือ 531−

เศษสวน "

บทนิยาม เศษสวนเปนจํานวนที่เขียนอยูในรูป เมือ่ a และ b เปนจํานวนเต็ม โดยที่ b ไมเทากับศูนย

เรียก a วา "ตัวเศษ" เรียก b วา "ตัวสวน”

อานวา เศษหน่ึงสวนหา

อานวา เศษหน่ึงสวนสอง

อานวา ลบเศษสามสวนสอง

อานวา ลบเศษสี่สวนสาม

20

ตัวอยางท่ี 1 จงเติมเศษสวนลงใน ใหถูกตอง

1.2. ทศนิยม

ทศนิยม คือ จํานวนที่อยูในรูปทศนิยมประกอบดวยสองสวนคือ สวนที่เปนจํานวนเต็ม

และสวนที่เปนทศนิยม และมีจุด (.) คั่นระหวางจํานวนเต็มกบัสวนทีเ่ปนทศนิยม

ทศนิยมแบงไดเปน 2 ชนิด คือ

1. ทศนิยมแบบไมซ้ํา เชน 1.5 , 2.35, 3.14, ...

2 ทศนิยมซ้ํา แบงเปน

2.1 ทศนิยมซ้ําศูนย เชน 1.5000 … เขียนแทนดวย 1.5

0.0030000 … เขยีนแทนดวย 0.003

ถาตัวซ้ําเปน 0 ไมนิยมเขียน

2.2 ทศนิยมที่ตัวซ้ําไมเปนศูนย เชน

0.3333… เขยีนแทนดวย 0.3 อานวา ศูนยจุดสามสามซ้ํา

21

1.414141 … เขยีนแทนดวย 1.41 อานวา หน่ึงจุดสี่หน่ึงสี่หน่ึงซ้ํา

0.213213213 … เขยีนแทนดวย 0.213 อานวา ศูนยจุดสองหนึ่งสาม สองหน่ึงสามซ้ํา

2.10371037 … เขยีนแทนดวย 2.1037 อานวา สองจุดหน่ึงศูนยสามเจ็ด หน่ึงศูนยสามเจ็ดซ้ํา

แบบฝกหัดที่ 1

1. จงเติมเศษสวนลงใน ใหถูกตอง

2. จงเขยีนเสนจํานวนแลวหาจุดทีแ่ทนจํานวนตอไปน้ี

1) 84

, 211 ,

820

2) 211 ,

634 ,

629

จงเขียนจํานวนตอไปน้ีใหอยูในรูปของทศนิยม

1. 106

= ………………………… 2. .................................10012

=

3. ................................1000357

= 4. ..............

10003

1002

101

=++

เร่ืองที่ 2 การเขียนเศษสวนดวยทศนยิม และการเขียนทศนิยมซํ้าเปนเศษสวน

2.1 การเขียนเศษสวนดวยทศนิยม

1) 2)

22

เศษสวนและทศนิยมอาจเปลี่ยนรูปกันได หมายความวา เศษสวนสามารถเขียนใน

รูปของทศนิยมได และทศนิยมสามารถเขียนในรูปของเศษสวนไดเชนเดียวกัน เชน

1. ทําสวนใหเปน 10 , 100 , 1,000,.......

เชน 0.2 = 102

0.25 =

×+

×

10015

1012

= 100

5102+

= 10025

เพื่อใหเกิดความรวดเร็วในการเปลี่ยนทศนิยมเปนเศษสวน อาจทําไดโดยการเลื่อน

จุดทศนิยมและตัวหารเปนจํานวน 10, 100 หรือ 1,000 ขึ้นอยูกับจํานวนทศนิยม เชน ถาทศนิยม 1

ตําแหนง ตัวทีเ่ปนสวนกจ็ะเปน 10 ถา 2 ตําแหนง ตัวทีเ่ปนสวนกจ็ะเปน 100 หรือสรุปไดวา จํานวน

0 ที่ถัดเลข 1 จะเทากับจํานวนตําแหนงของทศนิยม

หมายเหตุ เศษสวนที่เปนลบเมื่อเขียนใหอยูในรูปทศนิยมจะไดทศนิยมที่เปนลบ

เชน 10

7− = 7.0− ,

000,139−

= 039.0−

2.2 การเขียนทศนิยมซ้ําเปนเศษสวน

ทศนิยมซ้ํา คือ จํานวนเต็มของทศนิยมที่ซ้ําๆ กัน เชน 0.777.... เขยีนแทนดวย 7.0

เมื่อจะเขียนใหเปนเศษสวน สามารถทําไดดังน้ี

ตัวอยางท่ี 1 จงเปลี่ยน 7.0 ใหเปนเศษสวน

วิธีทํา 7.0 = 0.77777..... = X

ให X = 0.77777… -------------- (1)

(1) × 10 ------> 10X = 7.7777… -------------- (2)

(2) –(1) ------> 10X – X = 7.7777… - 0.777…

9X = 7

X = 97

∴ 7.0 = 97

ตัวอยางท่ี 2 จงเปลี่ยน 312.1 เปนเศษสวน

จาก 312.1 = 1.2131313…

23

ให x = 1.2131313… -------------- (1)

(1) × 10 10x = 12.131313….. ---------------(2) (1) × 1,000 1,000x = 1213.131313… ---------------(3) (3) – (2) 1,000x – 10x = 1213 – 12 990x = 1213 – 12

x = 990

121213−

x = 9901201

ดังนั้น 312.1 = 9901201

จากตัวอยาง สรุปไดวา การเปลี่ยนทศนิยมซ้ําเปนเศษสวนโดยวิธีลัด ทําไดดังน้ี

1. 7134.0 = 9900

373417 −

= 99003383

เศษ เขยีนจํานวนทัง้หมดลบดวยจํานวนที่ไมซ้ํา สวน แทนดวย 9 เทากับจํานวนที่ซ้ําและ

แทนดวย 0 เทากับจํานวนไมซ้ํา

2. 513.1 = 990

131315 −

= 990

1302 =

495651

3. 3410.3 = 9900

31031043 −

= 990030733


24

1. จงเปลีย่นเศษสวนตอไปน้ีใหเปนทศนิยม โดยการทําสวนใหเปน 10 , 100 ,1,000, .......

1) 49

2) 431

........................................................... ............................................................

............................................................ ............................................................

3) 4039

4) 257

............................................................ ............................................................

............................................................ ............................................................

5) 81

6) 125

8

............................................................ ............................................................

............................................................ ............................................................

2. จงเปลี่ยนเศษสวนตอไปนี้เปนทศนิยม โดยการหารเศษสวน

1) 119

2) 713

............................................................ ............................................................

............................................................ ............................................................

3) 167

4) 45

............................................................ ............................................................

............................................................ ............................................................

5) 65

6) 538

............................................................ ............................................................

............................................................ ............................................................

เร่ืองที่ 3 การเปรียบเทียบเศษสวนและทศนิยม

3.1 การเปรียบเทียบเศษสวน

25

เศษสวนท่ีเทากัน

การหาเศษสวนที่เทากัน ใชจํานวนที่ไมเทากับศูนยมาคูณหรือหารทั้งตัวเศษและ

ตัวสวน

เชน 43

= 2423

××

= 86

43

= 86

= 129

เปนเศษสวนที่เทากัน

43

= 3433

××

= 129

1812

= 218212

÷÷

= 96

32

96

1812

== เปนเศษสวนที่เทากัน

1812

= 618612

÷÷

= 32

เศษสวนท่ีไมเทากัน

การเปรียบเทียบเศษสวนที่ไมเทากันตองทําสวนใหเทากัน โดยนํา ค.ร.น. ของตัว

สวนของเศษสวนที่ตองการเปรียบเทียบกัน คูณทั้งตัวเศษและตัวสวน เมื่อตัวสวนเทากันแลวใหนํา

ตัวเศษมาเปรียบเทียบกัน

เชน 54

มากกวาหรือนอยกวา 107

ค.ร.น. ของ 5 และ 10 คอื 10

54

= 2524

××

= 108

จะเห็นวา 8 > 7

ดังน้ัน 107

108> หรือ

107

54>

ยังมีวิธีเปรียบเทียบโดยใชผลคูณไขว ถาผลคูณขางใดมีคามากกวา เศษสวนขางน้ัน

จะมีคามากกวา

เชน 54

107

เปรียบเทียบ 104× กับ 75× จะเห็นวา 3540 >


54>

ตัวอยางท่ี 1 จงเปรียบเทียบ 127

และ 1811

26

วิธีท่ี 1 หา ค.ร.น. ของ 12 และ 18 ได 36

ทําสวนของเศษสวนทั้งสองใหเปน 36

31237××

= 3621

218211

××

= 3622

จะได 3622

> 3621


> 127

วิธีท่ี 2

127

1811

ผลจากการคูณไขว จะได

7 × 18 และ 12 × 11

จะเห็นวา 126 < 132


< 1811

2.1 เปรียบเทียบทศนิยม

การเปรียบเทียบทศนิยมที่เปนบวก ใหพิจารณาเลขโดดจากซายไปขวา ถาเลขโดด

ตัวใดมีคามากกวาทศนิยม จํานวนน้ันจะมีคามากกวา เชน 38.586 กับ 38.498 ทศนิยมใน

ตําแหนงที่ 1 ของทั้ง 2 จํานวนมเีลขโดดคือ 5 และ 4 ตามลําดับ จะเห็นไดวา 5 มากกวา 4

ดังน้ัน 38.586 มากกวา 38.498

การเปรียบเทียบทศนิยมที่เปนลบ เชน -0.7 กับ -0.8

คาสัมบูรณของ -0.7 เทากับ 0.7

คาสัมบูรณของ -0.8 เทากับ 0.8

จํานวนที่มีคาสัมบูรณนอยกวาจะเปนจํานวนที่มีคามากกวา ดังน้ัน

- 0.7 มากกวา - 0.8


1. ใหเติมตัวเศษหรือตัวสวนของเศษสวนลงใน เพื่อใหไดเศษสวนที่เทากัน

27

2. ใหเติมเคร่ืองหมาย > , < หรือ = ลงใน ใหถูกตอง

3. ใหนักศึกษาเติมเคร่ืองหมาย > , < หรือ = ระหวางจํานวนสองจํานวน

1) -0.500 ..............0.501 2) 103.012 ...................... – 0.501

3) 5.28 .................... 5.82 4) – 5.28 .......................... -5.28

28

5) 8.354 ................. 8.534 6) -8.544 ........................... -8.534

7) -13.06 ................. 13.06 8) 103.012 ....................... -103.012

9) -5.125 .................. -5.1250 10) -7.10 ......................... -7.01

4. ใหนักศึกษาเรียงลําดับจํานวนตอไปนี้จากคานอยไปคามาก

1) -1.724, -1.738, 0.832, -2.000

2) -30.710, -31.170, -31.107, 30.017

3) 83.000, -38.000, -83.001, -138.500

4) -34.50, -37.40, -41.54, -39.62, -42.50

เร่ืองที่ 4 การบวก ลบ คูณ หารเศษสวนและทศนิยม

4.1 การบวกเศษสวน

วิธีการหาผลบวกของเศษสวน สามารถทําไดดังนี้

29

1) หา ค.ร.น.ของตัวสวน

2) ทาํเศษสวนแตละจํานวนใหมีตัวสวนเทากับ ค.ร.น.ที่หาไดจากขอ 1

3) บวกตัวเศษเขาดวยกันโดยที่ตัวสวนยังคงเทาเดิม

ตัวอยางท่ี 1 จงหาผลบวก

วิธีทํา ค.ร.น. ของ 3 กับ 4 คอื 12

= 129

124+

ตอบ

4.2 การลบเศษสวน

การลบเศษสวน ใชหลักการเดียวกันกับการลบจํานวนเต็ม คือ

ตัวอยางท่ี 1 จงหาผลลบ

วิธีทํา ค.ร.น. ของ 6 และ 12 คอื 12

=

=

××

+

××

11217

2625

=

= 127

1210

+

ตัวต้ัง - ตัวลบ = ตัวต้ัง + จํานวนตรงขามของตัวลบ

30

= 1217

= 1251

ตอบ


31

1. ใหหาผลลัพธตอไปน้ี

2. ใหเติมจํานวนลงใน แลวทําใหประโยคเปนจริง

3. ใหหาจํานวนมาเติมลงใน แลวทําใหประโยคเปนจริง


32

4.5 การคูณเศษสวน

33

ผลคูณของเศษสวนสองจํานวน คือ เศษสวนซึ่งมีตัวเศษเทากับผลคูณของตัวเศษสอง

จํานวนและตัวสวนเทากบัผลคณูของตัวสวนสองจํานวนน้ัน

เมื่อba

และ dc

เปนเศษสวน ซึ่ง b , d 0

ผลคูณของba

และ dc

หาไดจากกฎ ba

×dc

=dbca

××

ตัวอยางท่ี 1 จงหาผลคูณของจํานวน

วิธีทํา

=

=

ตอบ

ตัวอยางท่ี 2 จงหาผลคูณของ 10125

52

21

××

วิธีทํา 101

511

11

××

= 10111

511××××

= 101

5

ตอบ 101

5


34

จงหาผลคูณตอไปน้ี

1) 511

312 ×

2) 95

511 ×

3) 911

1125 ×

4) 107

3216 ×

5) 521

322

165

××

6) 61

43

326 ××

7) 1835

2524

4915

××

8) 2210

2511

2710

2524

×××

4.6 การหารเศษสวน

35

การหารจํานวนที่เปนเศษสวนไมมีสมบัติการสลับที่ และสมบัติการเปลี่ยนหมู

เมื่อ ba

และ dc

แทนเศษสวนใดๆ และ

พิจารณาผลหารที่เกิดจากการหาร ba

ดวย dc

ดังน้ี

dc

ba÷ =

dcba

=

cd

dc

cd

ba

×

× =

1cd

ba×

= cd

ba×

ดังน้ัน dc

ba÷ =

cd

ba×

ตัวอยางท่ี 1 จงหาผลหารของ


=

ตอบ


36

1. จงหาผลลัพธตอไปน้ี


4.7 การนําความรูเร่ืองเศษสวนไปใชในการแกโจทยปญหา

37

โจทยปญหาเศษสวน

การทําโจทยปญหาเศษสวน ควรกําหนดจํานวนทั้งหมดเปน 1 หนวย แลวดําเนินการตาม

โจทย เชน นักเรียนหองหน่ึง เปนชาย 53

ของจํานวนนักเรียนในหอง

ดังน้ัน หองน้ีเปนนักเรียนหญิง 1 - 53

= 52

ของจํานวนนักเรียนในหอง

ตัวอยางท่ี 1 ถังใบหน่ึงจุนํ้า 140 ลิตร มีนํ้าอยู 43

ถัง หลังจากใชนํ้าไปจํานวนหน่ึงจะ

เหลือนํ้าอยู 21

ถัง จงหาวาใชนํ้าไปเทาไหร

วิธีทํา มีนํ้าในถัง 43

× 140 = 105 ลติร

หลังจากใชนํ้าเหลือนํ้าในถัง ×21

140 = 70 ลติร

ดังน้ันใชนํ้าไปจํานวน 70105 − = 35 ลติร


38

1. ใหหาคําตอบของโจทยปญหาตอไปนี้

1) ตองมีเงิน 320 บาท ซื้อรองเทา 52

ของเงินทั้งหมด ซื้อเสื้อ 165

ของเงินทีเ่หลอื จง

หาวาตองเหลือเงินเทาไร

2) หองประชุมหองหนึ่งมีความยาวเปน 433 ของความกวาง และความกวางเปน

524 ของ

ความสูง ถาหองสูง 213 เมตร และมีนักเรียน 462 คน จงหาวา โดยเฉลี่ยนักเรียนคนหนึ่งมีอากาศ

หายใจกี่ลูกบาศกเมตร

3) จางคนปลูกหญาบนสนามรูปสี่เหลี่ยมผืนผากวาง 546 เมตร ยาว

2110 เมตร ใน

ราคาตารางเมตรละ 45 บาท จะตองจายเงินทั้งหมดเทาไร

4) โทรทัศนเคร่ืองหนึ่งประกาศลดราคาลง 41

ของราคาที่ปดไวเดิม แตผูซื้อเปนเพื่อน

กับผูขายลดใหอีก51

ของราคาที่ประกาศลดแลวในคร้ังแรก ซึ่งปรากฏวาผูซื้อจายไป 4,200 บาท

จงหาวาโทรทัศนเคร่ืองนี้ปดราคาเดิมไวเทาไร

5) ในการเดินทางคร้ังหน่ึงเสียคาที่พัก 52

ของคาใชจายทั้งหมด คาเดินทาง 41

ของ

คาใชจายทั้งหมด คาใชจายอ่ืน ๆ คิดเปนเงิน 1,470 บาท จงหาวาคาใชจายทั้งหมดเปนเงินเทาไร

39

4.8 การบวก และการลบทศนิยม

การหาผลบวกของทศนิยมใดๆ จะใชหลักเกณฑดังน้ี

1. การหาผลบวกระหวางทศนิยมที่เปนบวก ใหนําคาสัมบูรณมาบวกกันแลวตอบเปน

จํานวนบวก

2. การหาผลบวกระหวางทศนิยมที่เปนลบ ใหนําคาสัมบูรณมาบวกกันแลวตอบเปน

จํานวนลบ

3. การหาผลบวกระหวางทศนิยมที่เปนบวกกับทศนิยมที่เปนลบ ใหนําคาสัมบูรณมาลบ

กนัแลวตอบเปนจํานวนบวกหรือจํานวนลบตามจํานวนที่มคีาสมับรูณมากกวา

การหาผลลบของทศนิยมใด ๆ ใชขอตกลงเดียวกันกับที่ใชในการหาผลลบของจํานวน

เต็ม คือ

สรุป การบวกและการลบทศนิยม จะตองต้ังใหจุดทศนิยมตรงกันกอน แลวจึงบวก

ลบ จํานวนในแตละหลัก ถาจํานวนตําแหนงทศนิยมไมเทากัน นิยมเติมศูนยขางทายเพื่อให

จํานวนตําแหนงทศนิยมเทากัน

ตัวต้ัง - ตัวลบ = ตัวต้ัง + จํานวนตรงขามของตัวลบ

40


1. จงเติมผลลัพธตอไปน้ี

41

4.9 การคณูทศนิยม

การคูณทศนิยม มีหลักเกณฑดังน้ี

1. การหาผลคูณระหวางทศนิยมที่เปนบวก ใหนําคาสัมบูรณมาคูณกันแลวตอบเปน


2. การหาผลคูณระหวางทศนิยมที่เปนลบ ใหนําคาสัมบูรณมาคูณกันแลวตอบเปน


3. การหาผลคูณระหวางทศนิยมที่เปนบวกกับทศนิยมที่เปนลบ ใหนําคาสัมบูรณมาคูณ

กนัแลวตอบเปนจํานวนลบ

หมายเหตุ ผลคูณทศนิยม จะมีจํานวนหลักทศนิยมเทากับผลบวกของจํานวนหลัก

ทศนิยมของตัวต้ังและจํานวนหลักทศนิยมของตัวคูณ

ตัวอยางที่ 1 จงหาผลคูณของ

1. 1.25 ×2.431

1.25 ×2.431 = 2.431 × 1.25

2.431

12155

125

4862

303875 0

2431 0

∴ 1.25 ×2.431 = 3.03875

2. -5.12 × 0.125

512

2560

125

1024

64000 0

512 0

∴-5.12 × 0.125 = - 0.64000 = -0.64

×

×

42

4.10 การหารทศนิยม

การหารทศนิยม มีหลักเกณฑดังน้ี

1. การหาผลหารระหวางทศนิยมที่เปนบวก ใหนําคาสัมบูรณมาหารกันแลวตอบเปน


2. การหาผลหารระหวางทศนิยมที่เปนลบ ใหนําคาสัมบูรณมาหารกันแลวตอบเปน


3. การหาผลหารระหวางทศนิยมที่เปนบวกกับทศนิยมที่เปนลบ ใหนําคาสัมบูรณมาหาร

กนัแลวตอบเปนจํานวนลบ ขอสาํคญัตองทาํใหตัวหารเปนจํานวนเต็ม

ตัวอยางที่ 1 จงหาคาของ

1. 15.015 ÷ (-0.15)

วิธีทํา 15.015 ÷ (-0.15) = 15.0

015.15−

= 10015.0100015.15

×−×

= 15

5.1501−

1.100

155.150115

00

0

01

0

15

15

∴15.015 ÷ (-0.15) = -100.1

2. (-37.65) ÷ (-1.5)

วิธีทํา (-37.65) ÷ (-1.5) = 5.165.37

−−

= 105.1

1065.37××

= 15

5.376

1.125

305.37615

76

75

15

15

∴(-37.65) ÷ (-1.5) = 25.1

43


1. จงหาคาของ


1) {(-12.4) ×33.6} +{(-12.4 × 66.4)

………………………………………………………………………………………………...

2) {(-3.145) × 2.76} + {(-27.39) ÷18.26}

………………………………………………………………………………………………...

3) (-14.307 – 2.809) + (6.78 ÷1.5)

………………………………………………………………………………………………...

4) {(0.036 ÷0.15) + (-4.07 ×1.1)} ของ (-5.8)

………………………………………………………………………………………………...

5) (-1.58 ÷0.15) – [ 2× (-3.6)]

………………………………………………………………………………………………...

44

4.11 การนําความรูเร่ืองทศนิยมไปใชในการแกโจทยปญหา

ตัวอยางท่ี 1 เหล็กเสนกลมขนาดเสนผานศูนยกลาง 1.75 เซนติเมตร ยาว 1 เมตร จะ

หนัก 3.862 กิโลกรัม ถาเหล็กเสนขนาดเดียวกันน้ียาว 1.25 เมตร จะหนักกี่กิโลกรัม

วิธีทํา เหล็กเสนกลมมีขนาดเสนผานศูนยกลาง 1.75 เซนติเมตร

และยาว 100 เซนติเมตร หนัก 3.862 กโิลกรัม

ถายาว 1 เซนติเมตร หนัก 03862.0100862.3

= กโิลกรัม

ดังน้ัน เหล็กเสนขนาดเดิมแตยาว 125 เซนติเมตร หนัก 12503862.0 ×

= 8275.4 กโิลกรัม

เหลก็เสนขนาดเดิมยาว 25.1 เมตร หนัก 8275.4 กโิลกรัม

ตัวอยางท่ี 2 รูปสี่เหลี่ยมผืนผารูปหน่ึงมีพื้นที่ 11.3364 ตารางเซนติเมตร ถาดานยาว

เทากับ 4.23 เซนติเมตร ดานยาวยาวกวาดานกวางเทาไร

วิธีทํา พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผา = กวาง × ยาว

11.3364 = กวาง × 4.23

ดังน้ัน กวาง = 23.4

3364.11

= 68.2 เซนติเมตร

ดานยาวยาวกวาดานขาง = 68.223.4 −

= 55.1 เซนติเมตร

ดานยาวยาวกวาดานกวาง = 55.1 เซนติเมตร

45


1. ใหนักศึกษาแกปญหาโจทยตอไปน้ี

1) เชอืกยาว 17.25 เมตร นําอีกเสนหน่ึงยาว 5.2 เมตร มาผูกตอกันทําใหเสียเชือกตรง

รอยตอ 0.15 เมตร นําเชือกที่ตอแลวมาวางเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผา ใหดานกวางยาวดานละ 1.5

เมตร ดานยาวจะยาวดานละกีเ่มตร

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

………………………………………………………………………………………………………

2. นํ้าตาลถุงหน่ึงหนัก 9.35 กิโลกรัม จํานวน 16 ถุง ใชทําขนมเฉลี่ยแลววันละ 4.4 กิโลกรัม

จะใชนํ้าตาลไดทั้งหมดกี่วัน

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

………………………………………………………………………………………………………

3. หองรูปสี่เหลี่ยมผืนผา กวาง 4.8 เมตร ยาว 9.6 เมตร นํากระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 32

ตารางเซนติเมตร มาปูหองจะตองใชกระเบื้องกี่แผน

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

………………………………………………………………………………………………………

4. มีทองคําแทงหน่ึงหนัก 12.04 กรัม ซื้อเพิ่มอีก 25.22 กรัม แบงขายไปสองคร้ัง หนักคร้ังละ

8.02 กรัม ที่เหลือนําไปทําแหวน 5 วง หนักวงละ 3.45 กรัมเทาๆ กัน จะเหลือทองอีกกี่กรัม

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

………………………………………………………………………………………………………

46

บทที่ 3

เลขยกกําลัง


สัญลักษณของการเขียนแทนการคูณจํานวนเดียวกันซ้ํา ๆ หลาย ๆ คร้ัง เขยีนแทนดวย na

อานวา a ยกกําลัง n และการเขยีนแสดงจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตรได


1. บอกความหมายและเขียนเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มแทนจํานวนที่

กาํหนดใหได

2. บอกและนําเลขยกกําลังมาใชในการเขียนแสดงจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตรได

3. อธิบายการคูณและหารของเลขยกกําลังที่มีฐานเดียวกัน และเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มได


เร่ืองที่ 1 ความหมายและการเขียนเลขยกกําลัง

เร่ืองที่ 2 การเขียนแสดงจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร

เร่ืองที่ 3 การคูณและการหารเลขยกกําลังที่มีฐานเดียวกันและเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม

47

เร่ืองท่ี 1 ความหมายและการเขียนเลขยกกําลัง

เลขยกกําลัง หมายถึง การใชสัญลักษณ เขียนแทนจํานวนที่เกิดขึ้นจากการคูณ ซ้ําๆ กัน

หลายๆ คร้ัง เชน 3333 ××× สามารถเขยีนแทนไดดวย 43 อานวา สามยกกําลังสี่ ซึ่งมีบทนิยาม

ดังน้ี

บทนิยาม

na

ถา a แทนจํานวนใด ๆ และ n แทนจํานวนเต็มบวก “a ยกกําลัง n” หรือ “a

กําลัง n” เขยีนแทนดวย = n

aaaa ×××× ......

เรียก na วาเลขยกกําลังที่มี a เปนฐานและ n เปนเลขชี้กําลัง เชน

54 แทน 4 × 4 × 4 × 4 × 4

54 มี 4 เปนฐาน และมี 5 เปนเลขชี้กําลัง

สัญลักษณ 54 อานวา “สี่ยกกําลังหา” หรือ “สี่กําลังหา” หรือกําลังหาของสี่

( )62− แทน ( )2− × ( )2− × ( )2− × ( )2− × ( )2− × ( )2−

( )62− มี ( )2− เปนฐาน และมี 6 เปนเลขชี้กําลัง

ในทํานองเดียวกันสัญลักษณ ( )62− อานวา “ลบสองทั้งหมดยกกําลังหก” หรือกําลัง

หกของลบสอง

จงพจิารณาตารางตอไปน้ี

เลขยกกําลัง ฐาน เลขชี้กําลัง เขียนในรูปของการคูณ แทนจาํนวน

33 3 3 3×3×3 27

54 4 5 4×4×4×4×4 1,024

( )42− -2 4 (-2) ×(-2) ×(-2) ×(-2) 16 2

21

2

1 2

21 ×

21

41

yx x y X×X×X…(y คร้ัง) X×X×X…(y คร้ัง)

ตัวอยาง จงตอบคําถามตอไปนี้

1. 38 อานวาอยางไร

2. 310 มจํีานวนใดเปนฐาน

3. 511 มีจํานวนใดเปนเลขชี้กําลัง

4. 35 มีความหมายอยางไร

5. ( )55− อานวาอยางไร

วิธีทํา 1. 38 อานวา 8 ยกกําลัง 3

2. 310 มี 10 เปนฐาน

3. 511 มี 5 เปนเลขชี้กําลัง

4. 35 มีความหมายเทากับ 5 ×5×5

5. ( )55− อานวา (-5) ลบหาทั้งหมดยกกําลังหา

48

แบบฝกหัดท่ี 1 1. จงเขียนจาํนวนตอไปน้ีในรูปเลขยกกําลังท่ีมีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มท่ีมากกวา 1 พรอมท้ัง

บอกฐานและเลขชี้กําลัง

1.1 25 = ……………………………….=…………………………..

มี = ………………………….เปนฐานและ.................................เปนเลขชี้กําลัง

1.2 64 = ……………………………….=…………………………..


1.3 169 = ……………………………….=…………………………..


1.4 729 = ……………………………….=…………………………..


1.5 -32 = ……………………………….=…………………………..


1.6 -243 = ……………………………….=…………………………..


1.7 0.125 = ……………………………….=…………………………..


2. จงเขียนจาํนวนท่ีแทนดวยสัญลักษณตอไปน้ี

2.1 82 =…………………………………=………………………………

2.2 ( )43− =…………………………………=………………………………

2.3 ( )53.0 =…………………………………=………………………………

2.4 ( )602.0 =…………………………………=………………………………

2.5 3

31

=…………………………………=………………………………

2.6 3

72

=…………………………………=………………………………

2.7 ( )45− =…………………………………=………………………………

2.8 32− =…………………………………=………………………………

2.9 5

101

=…………………………………=………………………………

2.10 ( )65.0 =…………………………………=………………………………

49

เร่ืองที่ 2 การเขียนแสดงจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร

การเขียนจํานวนที่มีคามาก ๆ ใหอยูในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร มีรูปทั่วไปเปน A × n10

เมื่อ 1 ≤ A < 10 และ n เปนจํานวนเต็ม

พิจารณาการเขียนจํานวนที่มีคามาก ๆ ใหอยูในรูปสัญกรณวิทยาศาสตรตอไปน้ี

1. 2,000 = 2 × 1,000

= 2 × 310

2. 800,000 = 8 × 100,000

= 8 × 510

ตัวอยางท่ี 1 จงเขียน 600,000,000 ใหอยูในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร

วิธีทํา 600,000,000 = 6 × 100,000,000

= 6 × 810

ตอบ 6 × 810

ตัวอยางท่ี 2 จงเขียน 73,200,000 ใหอยูในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร

วิธีทํา 73,200,000 = 732 × 100,000

= 7.32 × 100 × 100,000

= 7.32 × 210 × 510

= 7.32 × 710

ตัวอยางท่ี 3 ดาวเสารมีเสนผานศูนยกลางยาวประมาณ 113,000,000 เมตร จงเขียนใหอยูใน

รูปสัญกรณวิทยาศาสตร

วิธีทํา ดาวเสารมีเสนผานศูนยกลางยาวประมาณ 113,000,000 เมตร

113,000,000 = 113 × 1,000,000

= 113 × 100 × 1,000,000

= 1.13 × 210 × 610

= 1.13 × 810

ตอบ 1.13 × 810 เมตร

50


1. จงเขียนจํานวนตอไปน้ีในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร

1. 400,000 =………………………………………………………………

=………………………………………………………………

2. 23,000,000,000 =………………………………………………………………

=………………………………………………………………

=………………………………………………………………

=………………………………………………………………

3. 639,000,000 =………………………………………………………………

=………………………………………………………………

=………………………………………………………………

=………………………………………………………………

4. 247,500,000 =………………………………………………………………

=………………………………………………………………

=………………………………………………………………

=………………………………………………………………

2. ดาวเสารอยูหางจากดวงอาทิตยประมาณ1,430,000,000 กิโลเมตร จงเขียนใหอยูในรูปสัญกรณ

วิทยาศาสตร 1,430,000,000 =………………………………………………………………

=………………………………………………………………

=………………………………………………………………

=………………………………………………………………

3. สัญกรณวิทยาศาสตรในแตละขอตอไปน้ีแทนจํานวนใด 3.1 2 × 610 =………………………………………………………………

=………………………………………………………………

3.2 4.8 × 1310 =………………………………………………………………

=………………………………………………………………

3.3 4.03 × 910 =………………………………………………………………

=………………………………………………………………

3.4 9.125 × 510 =………………………………………………………………

=………………………………………………………………

51

3. การคูณและการหารเลขยกกําลังที่มีฐานเดียวกัน และเปนเลขช้ีกําลังเปนจํานวนเต็ม

3.1 การคูณเลขยกกําลังเมื่อเลขชี้กําลังเปนจาํนวนเตม็

พิจารณาการคูณเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดียวกันตอไปน้ี

32 × 42 = ( ) ( )2222222 ××××××

= 2 × 2 × 2 × 2 ×2 × 2 × 2 = 72 หรือ 432 +

32 33 × = ( ) ( )33333 ××××

= 3 × 3 × 3 × 3 ×3 = 53 หรือ 323 +

23

31

31

×

=

×

×

×

×

31

31

31

31

31

=

×

×

×

×

31

31

31

31

31

= 5

31

หรือ 23

31

+

การคูณเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดียวกันและมีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวกเปนไป

ตามสมบัติของการคูณเลขยกกําลังดังนี้

เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ m และ n แทนจํานวนเต็มบวก nm aa × = nma +

52

แบบฝกหัดท่ี 3 1. จงเขียนจํานวนที่แทนดวยสัญลักษณตอไปน้ี

1.1 65 22 × =……………………………=…………………………………

1.2 25 32 × =……………………………=…………………………………

1.3 ( )332× =……………………………=…………………………………

1.4 ( )275.0 =……………………………=…………………………………

1.5 22

331

×

− =……………………………=…………………………………

1.6 ( )323×− =……………………………=…………………………………

1.7 43

25

52

×

=……………………………=…………………………………

1.8 56

27

71

×

=……………………………=…………………………………

1.9 ( )4

3

215.0

=……………………………=…………………………………

1.10 ( ) ( )32 1111 −− =……………………………=…………………………………

2. จงเขียนผลคูณของจํานวนในแตละขอตอไปน้ีในรูปเลขยกกําลัง

2.1 732 222 ×× =……………………………=…………………………………

2.2 ( ) ( ) ( )53 333 −×−×− =……………………………=………………………………

2.3 5 × 625 × 25 =……………………………=…………………………………

2.4 121 × 11 × 211 =……………………………=…………………………………

2.5 ( ) ( ) ( )734 333 −×−×− =……………………………=………………………………

53

การหารเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดียวกันและฐานไมเทากับศูนยมีเลขชี้กําลังเปน

จํานวนเต็มบวกในรูปของ

3.2 การหารเลขยกกําลังเมื่อเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม

ma ÷ na จะพิจารณาเปน 3 กรณี คือ เมื่อ m > n , m = n และ m <

n ดังน้ี

กรณีท่ี 1 ma ÷ na เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ ที่ไมใชศูนย m,n แทนจํานวนเต็มบวก

และ m > n พิจารณาการหารเลขยกกําลังตอไปนี้

1. 2

5

22

= 22

22222×

××××

= 222 ××

= 32 หรือ 252 −

2. 7

533

= 33333

3333333××××

××××××

= 23 หรือ 573 −

3. ( )( )3

8

55

−−

= ( )( )( )( )( )( )( )( )

( )( )( )55555555555

−−−−−−−−−−−

= ( )( )( )( )( )55555 −−−−−

= ( )55− หรือ ( ) 385 −−

จากการหารเลขยกกําลังขางตนจะเห็นวา ผลหารเปนเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดิม

และเลขชี้กําลังเทากับเลขชี้กาํลังของตัวต้ัง ลบดวยเลขชี้กําลังของตัวหาร ซึ่งเปนไปตามสมบัติของ

การหารเลขยกกําลังดังนี้

เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ ที่ไมใชศูนย m , n แทนจํานวนเต็มบวก และ m > n nm aa ÷ = nma −

54

ตัวอยางท่ี 1 จงหาผลลัพธ 410 55 ÷


10

55

= 4105 −

= 65 ตอบ 65 ตัวอยางท่ี 2 จงหาผลลัพธ ( ) ( )36 2.02.0 ÷

วิธีทํา ( )( )3

6

2.02.0

= ( ) 362.0 −

= ( )32.0

= ( )( )( )2.02.02.0

= 008.0

ตอบ 008.0

กรณีท่ี 2 nm aa ÷ เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ ที่ไมใชศูนย m , n แทนจํานวนเต็มบวก

และ m = n พิจารณา 44 55 ÷

ถาใชบทนิยามของเลขยกกําลังจะได 4

4

55

= 55555555

××××××

= 1

ถาลองใชสมบัติของการหารเลขยกกําลัง nm aa ÷ = nma − , oa ≠ ในกรณีที่ m = n จะได

4

4

55

= 445 −

= 05

แตจากการใชบทนิยามของเลขยกกําลังดังที่แสดงไวขางตน เราไดวา 155 44 =÷

ดังน้ัน เพื่อใหสมบัติของการหารเลขยกกําลัง nm aa ÷ = nma − ใชไดในกรณีที่ m = n

ดวยจึงตองให 150 = ในกรณีทั่ว ๆ ไปมีบทนิยามของ 0a ดังน้ี

จะเห็นวา nm aa ÷ = nma − , oa ≠ เปนจริงในกรณีที่ m = n ดวย

บทนิยาม เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ ที่ไมใชศูนย 10 =a

55

ตัวอยางท่ี 1 จงหาผลลัพธ 8

53

777 ×


53

777 ×

= 8

83

77 +

= 8

8

77

= 887 −

= 07

= 1

ตอบ 1

กรณีท่ี 3 nm aa ÷ เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ ที่ไมใชศูนย m , n แทนจํานวนเต็มบวก

และ m < n พิจารณา 85 22 ÷ ถาใชบทนิยามของเลขยกกําลัง

จะได 8

5

22

= 22222222

22222×××××××

××××

= 222

1××

= 321

ถาลองใชสมบัติของการหารเลขยกกําลัง nm aa ÷ = nma − , 0≠a ในกรณีที่ m < n จะได

8

5

22

= 852 −

= 32−

แตจากการใชบทนิยามของเลขยกกําลังขางตน เราไดวา 85 22 ÷ = 321

ดังน้ันเพื่อให

สมบัติของการหารเลขยกกําลัง nm aa ÷ = nma − ใชไดในกรณีที่ m < n ดวยจึงตองให

33

212 =− ในกรณีทั่ว ๆ ไปมีบทนิยามของ na − ดังน้ี

บทนิยาม เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ ที่ไมใชศูนยและ n แทนจํานวนเต็มบวก

na − = na1

56

ตัวอยางท่ี 1 จงหาผลลัพธ 2313

746

111111111111××××

ในรูปเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนบวก


746

111111111111××××

= 2313

746

1111

++

++

= 18

17

1111

= 181711 −

= 111−

= 111

ตอบ 111

57

แบบฝกหัดท่ี 4 1. จงหาผลลัพธ

1.1 29 22 ÷

1.2 336 ÷

1.3 63 1111 ÷

1.4 24

51

51

÷

1.5 ( ) ( )45 03.003.0 ÷

1.6 ( )7

5

548.0

÷

1.7 ( ) 743 555 ÷×

1.8 ( ) 46 777 ÷×

1.9 ( )542 131313 ÷×

1.10 ( ) 476 mmm ×÷ เมื่อ 0≠m

2. จงหาผลลัพธตอไปน้ีในรูปท่ีมีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวก 2.1 43 55 −×

2.2 2

68

333 −×

2.3 44 6 ÷−

2.4 ( )0

16

222

−× −

2.5 ( )( )3

2

5.15.1

2.6 52 xx ÷ เมื่อ 0≠x

2.7 ( ) ( )503 aaaa ×÷× เมื่อ 0≠a

2.8 5

7

−

−

mm

เมื่อ 0≠m

58

บทท่ี 4

อัตราสวนและรอยละ


1. อัตราสวนเปนการเปรียบเทียบปริมาณ 2 ปริมาณขึ้นไป จะมีหนวยเหมือนกัน หรือ

ตางกันก็ได

2. รอยละเปนอัตราสวนแสดงการเปรียบเทียบปริมาณใดปริมาณหน่ึง ตอ 100


1. บอกและกาํหนดอัตราสวนได

2. สามารถคาํนวณสดัสวนได

3. สามารถหาคารอยละได

4. สามารถแกโจทยปญหาในสถานการณตางๆ เกี่ยวกับอัตราสวน สัดสวน และรอยละได


เร่ืองที่ 1 อัตราสวน

เร่ืองที่ 2 สดัสวน

เร่ืองที่ 3 รอยละ

เร่ืองที่ 4 การแกโจทยปญหาเกี่ยวกับอัตราสวน สัดสวน และรอยละ

59

เร่ืองที่ 1 อัตราสวน

อัตราสวน (Ratio) ใชเปรียบเทียบปริมาณ 2 ปริมาณ หรือมากกวาก็ได โดยที่ปริมาณ 2

ปริมาณที่นํามาเปรียบเทียบกันน้ันจะมีหนวยเหมือนกัน หรือตางกันก็ได

บทนิยาม อัตราสวนของปริมาณ a ตอ ปริมาณ b เขยีนแทนดวย a : b หรือ ba

เรียก a วา จํานวนแรกหรือจํานวนที่หน่ึงของอัตราสวน

เรียก b วา จํานวนหลงัหรือจํานวนทีส่องของอัตราสวน

(อัตราสวน a : b หรือ ba

อานวา a ตอ b )

การเขียนอัตราสวน มี 2 แบบ

1. ปริมาณ 2 ปริมาณมีหนวยเหมือนกัน

เชน โตะตัวหน่ึงมีความกวาง 50 เซนติเมตร ยาว 120 เซนติเมตร

เขยีนเปนอัตราสวนไดวา

ความกวางตอความยาวของโตะ เทากับ 50 : 120

2. ปริมาณสองปริมาณมีหนวยตางกัน

เชน นมเปร้ียว 4 กลอง ราคา 23 บาท

เขยีนเปนอัตราสวนไดวา

อัตราสวนของนมเปร้ียวเปนกลองตอราคาเปนบาท เปน 4 : 23

ตัวอยางเชน

ถาเปนปริมาณที่มีหนวยเหมือนกัน อัตราสวนจะไมมีหนวยเขียนกํากับ เชน

มานะหนัก 25 กิโลกรัม มานีหนัก 18 กโิลกรัม

จะกลาววาอัตราสวนของน้ําหนักของมานะตอมานีเทากับ 25: 18 หรือ 1825

ถาเปนปริมาณที่มีหนวยตางกัน อัตราสวนจะตองเขียนหนวยแตละประเภทกํากับดวย เชน

สุดาสูง 160 เซนติเมตร หนัก 34 กโิลกรัม

อัตราสวนความสูงตอน้ําหนักของสุดา เทากับ 160 เซนติเมตร : 34 กโิลกรัม

60

1. จงเขียนอัตราสวนจากขอความตอไปนี้


1). ระยะทางในแผนที่ 1 เซนติเมตร แทนระยะทางจริง 100 กโิลเมตร

……………………………………………………………………………………………...

2). รถยนตแลนไดระยะทาง 200 กโิลเมตร ในเวลา 3 ชั่วโมง

……………………………………………………………………………………………...

3). โรงเรียนแหงหน่ึงมีครู 40 คน นักเรียน 1,000 คน

……………………………………………………………………………………………...

4). อัตราการเตนของหัวใจมนุษยเปน 72 คร้ังตอนาที

……………………………………………………………………………………………...

2. สลากกินแบงรัฐบาลแตละงวดเปนเลข 6 หลัก เชน 889748 ซึ่งมีหมายเลขตางกันทั้งหมด

1,000,000 ฉบับ ในจํานวนทั้งหมดนี้มีสลากที่ถูกรางวัลเลขทาย 2 ตัวทัง้หมด 10,000 ฉบับ ถูก

รางวัลเลขทาย 3 ตัว 4,000 ฉบับ และถูกรางวัลที่ 1 อีก 1 ฉบับ

จงเขียนอัตราสวนแสดงการเปรียบเทียบจํานวนตอไปนี้

1) จํานวนที่ถูกรางวัลที่ 1 ตอทั้งหมด

……………………………………………………………………………………………...

2) จํานวนที่ถูกรางวัลเลขทาย 3 ตัวตอทั้งหมด

……………………………………………………………………………………………...

3) จํานวนที่ถูกรางวัลเลขทาย 2 ตัวตอทั้งหมด

……………………………………………………………………………………………...

4) อัตราสวนของสลากที่ถูกรางวัลเลขทาย 2 ตัว ตอเลขทาย 3 ตัว

……………………………………………………………………………………………...

3. พอคาจัดลกูกวาดคละสขีนาดเทากนัลงในขวดโหลเดียวกนั โดยนับเปนชดุดังน้ี “ลกูกวาดสแีดง

3 เม็ด สีเขียว 2 เม็ด สเีหลือง 5 เมด็” จงหา

1) อัตราสวนจํานวนลกูกวาดสแีดงตอลกูกวาดทัง้หมด

……………………………………………………………………………………………...

2) อัตราสวนของจํานวนลกูกวาดสแีดงตอลกูกวาดสเีหลอืง

……………………………………………………………………………………………...

3) ถาสุมหยิบลูกกวาดขึ้นมาจากโหลจํานวน 5 เมด็ นาจะไดลูกกวาดสใีดมากที่สุด เพราะ

เหตุใด

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

61

อัตราสวนท่ีเทากัน

การหาอัตราสวนที่เทากับอัตราสวนที่กําหนดให ทําไดโดยการคูณหรือหารอัตราสวน

ทัง้ตัวแรกและตัวทีส่องดวยจํานวนเดียวกนั ตามหลักการ ดังน้ี

หลักการคูณ เมือ่คูณแตละจํานวนในอัตราสวนใดดวยจํานวนเดียวกนั โดยที่จํานวนน้ันไม

เทากับศูนย จะไดอัตราสวนใหมที่เทากับอัตราสวนเดิม

น่ันคือ dbda

cbca

ba

××

=××

= เมื่อ c ≠ 0 และ d ≠0

หลกัการหาร เมือ่หารแตละจํานวนในอัตราสวนใดดวยจํานวนเดียวกนั โดยทีจ่าํนวนน้ันไม

เทากับศูนย จะไดอัตราสวนใหมเทากับอัตราสวนเดิม

น่ันคือ dbda

cbca

ba

÷÷

=÷÷

= เมื่อ c ≠ 0 และ d ≠0

ตัวอยาง

จงหาอัตราสวนอีก 3 อัตราสวนที่เทากับอัตราสวนที่กําหนด

วิธีทํา 3 : 4 หรือ

16

12

44

43

4

3=

×

×=

36

27

94

93

4

3=

×

×=

44

33

114

113

4

3=

×

×=

ดังน้ัน , , เปนอัตราสวนที่เทากับอัตราสวน 3 : 4

การตรวจสอบการเทากนัของอัตราสวนใดๆ ทําไดโดยใชลักษณะการคูณไขว ไดโดยใชวิธดัีงน้ี

เมือ่ a , b, c และ d เปนจํานวนนับ

1) ถา cbda ×=× แลว dc

ba=

2) ถา cbda ×≠× แลว dc

ba≠

62

ตัวอยาง จงตรวจสอบวาอัตราสวนในแตละขอตอไปน้ีเทากนัหรือไม

1) 43

และ 65

2) 3026

และ 4539

1) พิจารณาการคูณไขวของ 43

และ 65

เน่ืองจาก 63× = 18

54× = 20

ดังน้ัน 63× ≠ 54×

น่ันคือ 43

≠ 65

2) พิจารณาการคูณไขวของ 3026

และ 4539

เน่ืองจาก 4526× = 1,170

3930× = 1,170

ดังน้ัน 4526× = 3930×

น่ันคือ 3026

= 4539

1. ถาอัตราการแลกเปลี่ยนเงินดอลลารตอเงินหนึ่งบาทเทากับ 1 : 43 จงเติมราคาเงินในตาราง


2. จงเขียนอัตราสวนที่เทากับอัตราสวนที่กําหนดใหตอไปน้ีมาอีก 3 อัตราสวน

1) 32

= ...............................................................................................................................

2) 95

= ...............................................................................................................................

63

3. จงตรวจสอบวาอัตราสวนตอไปน้ีเทากันหรือไม

4. จงทําใหอัตราสวนตอไปน้ีมีหนวยเดียวกันและอยูในรูปอยางงาย

ตัวอยาง อัตราสวนความกวางตอความยาวของโตะเปน 50 เซนติเมตร : 1.2 เมตร

มีความหมายเหมือนกับ

50 เซนติเมตร : 1.2 x 100 เซนติเมตร

ดังนั้น อัตราสวนความกวางตอความยาวของโตะเปน 50 : 120 หรือ 5 : 12

1) อัตราสวนของจํานวนวันที่นาย ก. ทํางาน ตอชั่วโมงที่นาย ข. ทํางาน เปน 2 วัน : 10 ชั่วโมง

ดังน้ัน อัตราสวนเวลาที่นาย ก. ทํางาน ตอเวลาที่นาย ข. ทํางานเปน

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

2) อัตราสวนของระยะทางจากบานไปตลาด ตอระยะทางจากบานไปโรงเรียนเปน 200 เมตร : 1.5

กิโลเมตร ดังนั้น อัตราสวนของระยะทางจากบานไปตลาด ตอระยะทางจากบานไปโรงเรียนเปน

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

64

อัตราสวนตอเน่ือง (อัตราสวนของจํานวนหลาย ๆ จาํนวน)

ในสถานการณจริงทีเ่กีย่วกับชีวิตประจําวัน เรามักจะพบความสัมพันธของจํานวนหลาย ๆ

จํานวน เชน ขนมผิงบานคุณยาย ใชสวนผสมดังน้ี

แปงขาวเจา 3 ถวยตวง

นํ้ากะทิเขมขน 1 ถวยตวง

น้ําตาลมะพราว 21

ถวยตวง

น่ันคือ อัตราสวนของจํานวนแปงขาวเจาตอนํ้ากะทิเปน 3 : 1 หรือ 6 : 2

อัตราสวนของจํานวนนํ้ากะทิตอนํ้าตาลมะพราวเปน 1 : 21

หรือ 2 : 1

อัตราสวนของจํานวนแปงขาวเจาตอน้าํตาลมะพราวเปน 3 : 21

หรือ 6 : 1 หรือเขียนในรูป

อัตราสวนของจํานวนหลาย ๆ จํานวน ดังน้ี

อัตราสวนของแปงขาวเจาตอนํ้ากะทิ ตอนํ้าตาลมะพราว เปน 3 : 1 : 21

หรือ 6 : 2 : 1

ตัวอยาง หองเรียนหองหนึง่มีอัตราสวนของความกวางตอความยาวหองเปน 3 : 4 และความสูงตอ

ความยาวของหองเปน 1 : 2 จงหาอัตราสวนของความกวาง : ความยาว : ความสูงของหอง

วิธีทํา อัตราสวนความกวาง : ความยาวของหอง เทากับ 3 : 4

อัตราสวนความสูง : ความยาวของหอง เทากับ 1 : 2 หรือ 1 x 2 : 2 x 2

เทากับ 2 : 4

น่ันคือ อัตราสวนความกวางตอความยาว ตอความสูงของหอง

เทากับ 3 : 4 : 2

65


1. พอแบงเงนิใหลกูสามคนโดยกาํหนด

อัตราสวนของจํานวนเงนิลกูคนโต ตอคนกลาง ตอคนเล็กเปน 5 : 3 : 2 จงหาอัตราสวนตอไปน้ี

1) อัตราสวนจํานวนเงินที่ลูกคนโตไดรับตอลูกคนเล็ก

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

2) อัตราสวนจํานวนเงินที่ลูกคนเล็กไดรับตอลูกคนกลาง

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

3) อัตราสวนจํานวนเงินที่ลูกคนกลางไดรับตอเงินทั้งหมด

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

4) อัตราสวนจํานวนเงินที่ลูกคนเล็กไดรับตอเงินทั้งหมด

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

2. เศรษฐีคนหน่ึงไดเขียนพินัยกรรมไวกอนจะเสียชีวิตวา ถาภรรยาที่กําลังต้ังครรภคลอดลูกเปนชาย

ใหแบงเงินในพินัยกรรมเปนอัตราสวนเงินของภรรยาตอบุตรชายเปน 1 : 2 แตถาคลอดลูกเปนหญิง

ใหแบงเงนิในพนิัยกรรมเปนอัตราสวนเงินของภรรยาตอบุตรหญิงเปน 2 : 1 เมื่อเศรษฐีคนน้ีเสียชีวิต

ลงปรากฏวาภรรยาคลอดลูกแฝด เปนชาย 1 คน หญิง 1 คน จงหาอัตราสวนของเงนิในพนิยักรรม

ของภรรยาตอบุตรชาย ตอบุตรหญิง

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

66

เร่ืองที่ 2 สัดสวน

สดัสวนเปนการเขยีนแสดงการเทากนัของอัตราสวนสองอัตราสวน

เชน a : b = c : d หรือ d

c

b

a= อานวา เอตอบี เทากับ ซีตอดี

ตัวอยางท่ี จงหาคา m ในสดัสวน 1253

=m

วิธีที่ 11253

=m

5312

5353

×

×=

m (ทําเศษใหเทากับ 3 โดยคณูดวย

53

)

2.7

33=

m

ดังน้ัน m มีคาเทากับ 7.2


=m

12

53=

m (คูณไขว)

m=×5123

ดังน้ัน m= 7.2

1. จงเขยีนสดัสวนจากอัตราสวนตอไปน้ี


1) 3 ตอ 4 เทากับ 6 ตอ 8 ……………………………………………………..

2) A ตอ 7 เทากับ 9 ตอ 27 ……………………………………………………..

3) 12 ตอ 10 เทากับ B ตอ 5 ……………………………………………………..

4) 5 ตอ 4 เทากับ 65 ตอ D ……………………………………………………..

2. จงหาคาตัวแปรจากสัดสวนทีก่าํหนดใหตอไปน้ี

1) 1512

3=

A

……………………………………………………..………………………………………………

2) 28213

=B

……………………………………………………..………………………………………………

67

การแกโจทยปญหาโดยใชสัดสวน

ในชีวิตประจําวันเราจะพบสถานการณที่ตองแกไขปญหาโดยการใชหลักการคิดคํานวณ

เชน

กําหนดอัตราสวนของเคร่ืองด่ืมโกโกสําเร็จรูป 1 ถวย ตอผงโกโก 2 ชอนโตะ ตอนํ้าตาล

1 ชอนโตะ ตอนํ้าตมสุก 1 ถวย เทากับ 1 : 2 : 1 : 1

ถามีผงโกโกทั้งหมด 30 ชอนโตะ

สมมติวา ชงเคร่ืองด่ืมได A ถวย ใชนํ้าตาล B ชอนโตะ ครีมเทียม C ชอนโตะ และนํ้าตมสุก

D ถวย

ดังน้ัน อัตราสวนของจํานวนถวยโกโกที่ชงไดตอจํานวนผงโกโก เทากับ 1 ถวย ตอ 2 ชอน

โตะ หรือ A ถวย ตอ 30 ชอนโตะ

น่ันคือ 1 : 2 = A : 30

หรือ 21

= 30A

จะไดวา 1 x 30 = A x 2

A = 15

ดังน้ัน ผงโกโก 30 ชอนโตะ จะชงเคร่ืองด่ืมได 15 ถวย

ตัวอยาง ซื้อสมโอมา 3 ลูก ราคา 50 บาท ถามีเงิน 350 บาท จะซื้อสมโอในอัตราเดิมไดกี่ลูก

วิธีทํา สมมติ มีเงิน 350 บาท ซื้อสมโอได A ลูก

ราคาของสมโอ 50 บาท ซื้อได 3 ลูก

จะไดวา A × 50 = 3 × 350

50

50×Ä =

503503×

A = 21

จะซื้อสมโอได 21 ลูก

68


1. ขายมะละกอ 3 ผล ราคา 50 บาท ถาขาย มะละกอ 15 ผล จะไดเงินเทาไร

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

2. กศน.แหงหนึ่งมีนักศึกษาทั้งหมด 400 คน มีจํานวนนักศึกษาหญิงตอจํานวนนักศึกษาชาย

เปน 5: 3 จงหาวา มีนักศึกษาชายกี่คนและนักศึกษาหญิงกี่คน

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

3. พอแบงมรดกใหลูกสองคน โดยอัตราสวนของสวนแบงของลูกคนโตตอสวนแบงลูกคนเลก็

เปน 7: 3 ถาลูกคนโตไดเงินมากกวาลูกคนเล็ก 80,000 บาท จงหาสวนแบงที่แตละคนไดรับ

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

69

เร่ืองที่ 3 รอยละ

ในชวีติประจําวัน ผูเรียนจะเห็นวาเราเกี่ยวของกับรอยละอยูเสมอ เชน การซื้อขาย กําไร

ขาดทุน การลดหรือการเพิ่มที่คิดเปนรอยละ การคิดภาษีมูลคาเพิ่ม ฯลฯ

คําวา รอยละ หรือ เปอรเซ็นต เปนอัตราสวนแสดงการเปรียบเทียบปริมาณใดปริมาณ

หน่ึงตอ 100 เชน

รอยละ 50 หรือ 50% เขยีนแทนดวย 50:100 หรือ10050

รอยละ 7 หรือ 7% เขยีนแทนดวย 7:100 หรือ 100

7

การเขียนอัตราสวนใดใหอยูในรูปรอยละ จะตองเขียนอัตราสวนน้ันใหอยูในรูปที่มีจํานวน

หลงัอัตราสวนเปน 100 ดังตัวอยางตอไปน้ี

8010080

54

== %

2010020

1022.0 === %

การเขียนรอยละใหเปนอัตราสวนทําไดโดยเขียนอัตราสวนที่มีจํานวนหลังเปน 100

ดังตัวอยางตอไปน้ี

33% = 10033

25.75 % = 400103

100002575

10075.25

==

ตัวอยาง จงเขียน 73

ใหอยูในรูปรอยละ

วิธีทํา วิธีที่ 173

ทาํใหอัตราสวน โดยมจํีานวนหลงัของอัตราสวนเปน 100

73

=

7

1007

7

1003

×

×

= 100

7300


คิดเปนรอยละ 7

300 หรือ

7300

%


สมมติ = รอยละ A หรือ 100

A

3 x 100 = A x 7

A = 7

30071003

=×

70

การคํานวณเกี่ยวกับรอยละ

ผูเรียนเคยคํานวณโจทยปญหาเกี่ยวกับรอยละมาแลวโดยไมไดใชสัดสวน ตอไปน้ีจะเปนการ

นําความรูเร่ืองสัดสวนมาใชคํานวณเกี่ยวกับรอยละ ซึ่งจะพบใน 3 ลักษณะ ดังตัวอยางตอไปน้ี

1. 25% ของ 60 เทากับเทาไร หมายความวา ถามี 25 สวนใน 100 สวน แลวจะมีกี่สวน

ใน 60 สวน

ใหมี a สวนใน 60 สวน

เขียนสดัสวนไดดังน้ี 10025

60=

a

จะได 2560100 ×=×a

100

2560×=a

ดังน้ัน 15=a

น่ันคือ 25% ของ 60 คือ 15

2. 9 เปนกีเ่ปอรเซน็ตของ 45 หมายความวา ถามี 9 สวนใน 45 สวน แลวจะมีกี่สวน

ใน 100 สวน

ให 9 เปน x% ของ 45

x% หมายถึง 100

x

เขยีนสดัสวนไดดังน้ี 10045

9 x=

จะได x×=× 451009

451009×

=x

ดังน้ัน 20=x

น่ันคือ 9 เปน 20% ของ 45

3. 8 เปน 25% ของจํานวนใด หมายความวา ถามี 25 สวนใน 100 สวน แลวจะ

มี 8 สวนในกีส่วน

ให 8 เปน 25% ของ y


=y

จะได 251008 ×=× y

251008×

=y

ดังน้ัน 32=y

น้ันคือ 8 เปน 25% ของ 32

71


1. จงแสดงวิธีหาคําตอบ

1) 15% ของ 600 เทากับเทาไร

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

2) 120% ของ 40 เทากับเทาไร

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

3) 28 คิดเปนกี่เปอรเซ็นต ของ 400

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

4) 1.5 เปนกีเ่ปอรเซน็ตของ 6

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

5) 180 เปน 30 % ของจํานวนใด

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

6) 0.125 เปน 25% ของจํานวนใด

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

72

เร่ืองท่ี 4 การแกโจทยปญหาเกี่ยวกับอัตราสวน สัดสวน และรอยละ

ใหนักเรียนพิจารณาตัวอยางโจทยปญหาและวิธีแกปญหาเกี่ยวกับรอยละ โดยใชสดัสวน

หรืออัตราสวน ตอไปน้ี

ตัวอยาง 1 ในหมูบานแหงหน่ึงมีคนอาศัยอยู 1,200 คน 6% ของจํานวนคนที่อาศัยอยูในหมูบาน

ทํางานในโรงงานสับปะรดกระปอง จงหาจํานวนคนงานที่ทํางานในโรงงานแหงนี้

ใหจํานวนคนที่ทํางานในโรงงานสับปะรดกระปอง เปน s คน


อัตราสวนของจํานวนคนที่ทํางานในโรงงานตอจํานวนคนทั้งหมด เปน 200,1s

อัตราสวนดังกลาวคิดเปน 100

6%6 =


6200,1

=s

จะได 6200,1100 ×=×s

100

6200,1 ×=s

ดังน้ัน 72=s

น่ันคือ จํานวนคนงานที่ทํางานในโรงงานสับปะรดกระปองเปน 72 คน

ตอบ

72 คน

โรงเรียนแหงหน่ึงมีนักเรียน 1,800 คน นักเรียนคนที่หนักเกิน 60 กิโลกรัมมีอยู 81 คน จง

หาวา จํานวนนักเรียนทีห่นักเกนิ 60 กิโลกรัม คิดเปนกี่เปอรเซ็นตของจํานวนนักเรียนทั้งหมด

ตัวอยางที่ 2

ใหจํานวนนักเรียนที่หนักเกิน 60 กโิลกรัม เปน n% ของจํานวนนักเรียนทัง้หมด


เขยีนสดัสวนไดดังน้ี 800,181

100=

n

จะได 81100800,1 ×=×n

800,1

81100×=n

ดังน้ัน 5.4=n

น่ันคือ จํานวนนักเรียนทีห่นักเกนิ 60 กิโลกรัมคิดเปน 4.5% ของจํานวนนักเรียนทั้งหมด

ตอบ

4.5 เปอรเซน็ต

73


จงแสดงวิธีหาคําตอบ

1. นักศึกษา กศน. 500 คน สอบไดเกรด 4 จํานวน 25% ของทัง้หมด จงหาจํานวนนักศึกษาที่

สอบไดเกรด 4

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

2. โรงเรียนแหงหน่ึงมีนักเรียน 2,000 คน เปนชาย 40% ของทั้งหมด ในจํานวนน้ีมาจาก

ตางจังหวัดรอยละ60 จงหา

1) จํานวนนักเรียนหญิง

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

2) จํานวนนักเรียนชายที่ไมไดมาจากตางจังหวัดทั้งหมด

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

3. รานคาแหงหน่ึงประกาศลดราคาสินคาทุกชนิด รอยละ 20 ถาคุณแมซื้อเคร่ืองแกวมาไดรับ

สวนลด 250 บาท จงหาวารานคาปดราคาขายผลิตภัณฑน้ันกอนลดราคาเทาไร

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

74

4. แผนผงัสนามหญาแหงหน่ึงกวาง 5 เซนติเมตร ยาว 8 เซนติเมตร ใชมาตราสวน 1

เซนติเมตร : 50 เมตร จงหาวาสนามหญาแหงนี้มีพื้นที่เทาไร

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

5. นกนอยฝากเงินไวกับธนาคารเปนเวลา 2 ป อัตราดอกเบี้ยรอยละ 3 ตอป คิดดอกเบี้ยทบตน

ทุก 12 เดือนและถูกหักภาษีดอกเบี้ย 15% ถานกนอยฝากเงินไว 10,000 บาท ครบ 2 ป จะมี

เงนิในบัญชีเทาไร

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

6. วีระซื้อรถยนตมาคันหน่ึงราคา 200,000 บาท นําไปขายตอไดกําไรรอยละ 20 ตอมาเอาเงิน

ทั้งหมดไปเลนหุนขาดทุนรอยละ 20 วีระจะมีเงินเหลือจากการเลนหุนเทาไร

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

75

บทที่ 5

การวัด


1. การวัดความยาวพื้นที่ ที่มีหนวยตางกันสามารถนํามาเปรียบเทียบกันได

2. เคร่ืองมือการวัด ตองเลือกใชใหเหมาะสมกับสิ่งที่จะวัด

3. การคาดคะเนเกิดจากประสบการณของผูสังเกตเปนสําคัญ


1. บอกการเปรียบเทียบหนวยความยาวพื้นที่ในระบบเดียวกนัและตางระบบได

2. เลือกใชหนวยการวัดเกี่ยวกับความยาวและพื้นที่ไดอยางเหมาะสม

3. แสดงการหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิตได

4. สามารถแกโจทยปญหาเกี่ยวกับพื้นที่สถานการณตาง ๆ ในชีวิตประจําวันได

5. อธิบายวิธีการคาดคะเนและนําวิธีการไปใชในการคาดคะเนเวลา ระยะทาง ขนาด

นํ้าหนัก


เร่ืองที่ 1 การเปรียบเทียบหนวยความยาวและพื้นที่

เร่ืองที่ 2 การเลือกใชหนวยการวัด ความยาวและพื้นที่

เร่ืองที่ 3 การหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิต

เร่ืองที่ 4 การแกโจทยปญหาเกี่ยวกับพื้นที่ในสถานการณตาง ๆ

เร่ืองที่ 5 การคาดคะเนเวลา ระยะทาง ขนาด น้ําหนัก

76

เร่ืองที่ 1 การเปรียบเทียบหนวยความยาวและพ้ืนที่

การวัด

การวัดเปนเร่ืองที่มีความสําคัญ และจําเปนตอชีวิตประจําวันอยางมากในทุกยุคทุกสมัย ใน

แตละถิ่นฐานแตละประเทศ จะมีหนวยการวัดที่แตกตางกันออกไป และเมื่อโลกเจริญกาวหนาทัง้

ดานเทคโนโลยีและการสื่อสาร จึงมีความจําเปนที่ตองมีความชัดเจนของการสื่อสารความหมาย

เกี่ยวกับปริมาณของการวัด หนวยการวัด เพื่อใหเกิดความสะดวกในการนํามาเปรียบเทียบ และเพื่อ

ประโยชนในการใชงาน

โดยทั่วไปคนเรามักจะคุนเคยกับการวัด หมายถึง การชั่ง การตวง การวัดความยาว การจับ

เวลา เปนตน ในความเปนจริงน้ันการวัดมหีลายอยางเชน

1. การวัดความยาว มีหนวยเปน มิลลิเมตร เซนติเมตร น้ิว ฟุต เมตร กิโลเมตร

2. การวัดพื้นที่ มีหนวยเปน ตารางวา ตารางเมตร งาน ไร

3. การชั่ง มีหนวยเปน กรัม ขีด ปอนด ตัน

4. การตวง มีหนวยเปน ลูกบาศกเซนติเมตร ลิตร ถัง

5. การวัดอุณหภูมิ มีหนวยเปน องศาเซลเซียส องศาฟาเรนไฮต

6. การวัดเวลา มหีนวยเปน วินาท ีนาที ชั่วโมง วัน ป

7. การวัดความเร็วหรืออัตราเร็ว มีหนวยเปน กโิลเมตร/ชั่วโมง

1.1 การเปรียบเทียบการวัดความยาว

หนวยการวัดความยาวที่นิยมใชกันในประเทศไทย

หนวยการวัดความยาวในระบบอังกฤษ

12 น้ิว เทากับ 1 ฟุต

3 ฟุต เทากับ 1 หลา

1,760 หลา เทากับ 1 ไมล

หนวยการวัดความยาวในระบบเมตริก

10 มิลลิเมตร เทากับ 1 เซนติเมตร

100 เซนติเมตร เทากับ 1 เมตร

1,000 เมตร เทากับ 1 กโิลเมตร

หนวยการวัดความยาวในมาตรไทย

12 น้ิว เทากับ 1 คืบ

2 คืบ เทากับ 1 ศอก

77

4 ศอก เทากับ 1 วา

20 วา เทากับ 1 เสน

400 เสน เทากับ 1 โยชน

กําหนดการเทียบ 1 วา เทากับ 2 เมตร

หนวยการวัดความยาวในระบบอังกฤษเทียบกับระบบเมตริก ( โดยประมาณ )

1 น้ิว เทากับ 2.54 เซนติเมตร

1 หลา เทากับ 0.9144 เมตร

1 ไมล เทากับ 1.6093 กโิลเมตร

ตัวอยาง การเปรียบเทียบหนวยการวัดในระบบเดียวกันและตางระบบกัน

1. สดุาสูง 160 เซนติเมตร อยากทราบวาสุดาสูงกี่เมตร

เน่ืองจาก 100 เซนติเมตร เทากับ 1 เมตร และสดุาสูง 160 เซนติเมตร

ดังน้ัน สดุาสูง 160 = 1.60 เมตร

100

2. ความกวางของร้ัวบานดานติดถนนเปน 1.05 กิโลเมตร อยากทราบวาความกวางของร้ัว

บานดานติดกบัถนนเปนกีเ่มตร

เน่ืองจาก 1 กิโลเมตร เทากับ 1,000 เมตร และร้ัวบานกวาง 1.05 กโิลเมตร

ดังนั้น ความกวางของร้ัวบานเปน 1.05 x 1,000 = 1,050 เมตร

1.2 การเปรียบเทียบการวัดพื้นท่ี

หนวยการวัดพื้นท่ีท่ีสําคัญ ท่ีควรรูจัก

หนวยการวัดพื้นท่ีในระบบเมตริก

1 ตารางเซนติเมตร เทากับ 100 หรือ 102 ตารางมิลลิเมตร

1 ตารางเมตร เทากับ 10,000 หรือ 104 ตารางเซนติเมตร

1 ตารางกิโลเมตร เทากับ 1,000,000 หรือ 106 ตารางเมตร

หนวยการวัดพื้นท่ีในระบบอังกฤษ

1 ตารางฟุต เทากับ 144 หรือ 122 ตารางนิ้ว

1 ตารางหลา เทากับ 9 หรือ 32 ตารางนิ้ว

1 เอเคอร เทากับ 4, 840 ตารางหลา

1 ตารางไมล เทากับ 640 เอเคอร

หรือ 1 ตารางไมล เทากับ 1, 7602 ตารางหลา

78

หนวยการวัดพื้นท่ีในมาตราไทย

100 ตารางวา เทากับ 1 งาน

4 งาน เทากับ 1 ไร

หรือ 400 ตารางวา เทากับ 1 ไร

หนวยการวัดพื้นท่ีในมาตราไทยเทียบกับระบบเมตริก

1 ตารางวา เทากับ 4 ตารางเมตร

1 งาน เทากับ 400 ตารางเมตร

หรือ 1 ไร เทากับ 1, 600 ตารางเมตร

1 ตารางกิโลเมตร เทากับ 625 ไร

หนวยการวัดพื้นท่ีในระบบอังกฤษกับระบบเมตริก ( โดยประมาณ )

1 ตารางนิ้ว เทากับ 6.4516 ตารางเซนติเมตร

1 ตารางฟุต เทากับ 0.0929 ตารางเมตร

1 ตารางหลา เทากับ 0.8361 ตารางเมตร

1 เอเคอร เทากับ 4046.856 ตารางเมตร ( 2. 529 ไร )

1 ตารางไมล เทากับ 2.5899 ตารางกิโลเมตร


1. ที่ดิน 12.5 ตารางกิโลเมตร คิดเปนกี่ตารางเมตร

เน่ืองจากพื้นที่ 1 ตารางกิโลเมตร เทากับ 106 ตารางเมตร

ดังน้ันพื้นที่ 12.5 ตารางกิโลเมตร เทากับ 12.5 x 106

= 1.25 x 107 ตารางเมตร

ตอบ 1.25 x 107 ตารางเมตร

2. พื้นที่ชั้นลางของบานรูปสี่เหลี่ยมผืนผากวาง 6 วา ยาว 12 วา ผูรับเหมาปูพื้นคิดคาปูพื้น

ตารางเมตรละ 37 บาท จะตองเสียคาปูพื้นเปนเงินเทาไร

พื้นที่ชั้นลางของบานมีความกวาง 6 วา

ความยาว 12 วา

ดังน้ัน พื้นที่ชั้นลางของบานมีพื้นที่เปน 6 x 12 = 72 ตารางวา

พื้นที่ 1 ตารางวา เทากับ 4 ตารางเมตร

ถาคิดพื้นที่เปนตารางเมตร พื้นที่ชั้นลางของบานมีพื้นที่เปน

72 x 4 = 288 ตารางเมตร

ดังน้ัน เสียคาปูพื้นเปนเงิน 288 x 37 = 10, 656 บาท

ตอบ 10, 656 บาท

79

1. จงเติมหนวยความยาวหรือหนวยพื้นที่ใหเหมาะสมกับขอความตอไปนี้


1) ไมอัดชนิดบางมีความหนาแผนละ 4 .........................................................................................

2) สมุดปกออนมีความกวาง 16.5 .....................ยาว 24......................หนา 4 ................................

3) จังหวัดเชียงใหมและจังหวัดเลยอยูหางกันประมาณ 1,600 ......................................................

4) สนามฟุตบอลแหงหนึ่งมีความกวาง 45 …………… มีความยาว 90 ..................... และถาว่ิง

รอบสนามแหงนี้สามรอบ จะไดระยะทาง 1 ...............................

5) แผนดิสกมีความกวาง 9 ................... ยาว 9.4 ........................... และหนา 3 .........................

6) กระดาษ A4 มีพื้นที่ประมาณ 630 .........................................

7) หองเรียนมีพื้นที่ประมาณ 80 ................................................

9) การวัดความยาวของที่ดินในประเทศไทยนิยมใชหนวยเปน ................... หรือ....................

และอาจบอกจํานวนพื้นที่ของที่ดินตามมาตราไทยเปน ..........................หรืออาจบอกโดยใช

มาตรเมตริกเปน ........................ กไ็ด

10) แมนํ้าโขงชวงจังหวัดมุกดาหารมีความกวางประมาณ 200 ............................

2. จงเติมคําลงในชองวางที่กําหนดใหถูกตอง

1) พื้นที่ 1 ไร เทากับ ..................................... ตารางเมตร

2) พื้นที่ 17 ตารางเมตร คิดเปนพื้นที่ .................................. ตารางเซนติเมตร

3) ที่ดิน 3,119 ตารางวา เทากับที่ดิน ............................... (ตอบเปนไร งาน ตารางวา)

4) กระดาษแผนหน่ึงมีพื้นที่ 720 ตารางน้ิว กระดาษแผนน้ีมีพื้นที่ ............................ ตารางฟุต

5) พื้นที่ 2 ตารางกิโลเมตร คิดเปนพื้นที่ .................... ตารางเซนติเมตร (ตอบในรูป nA 10×

เมือ่ 1 ≤ A < 10 และ n เปนจํานวนเต็ม)

6) สวนสาธารณะแหงหน่ึงมีพื้นที่ 5 ไร 2 งาน 22 ตารางวา แลวสวนสาธารณะแหงน้ีจะมีพื้นที่

.................... ตารางวา

7) ที่นา 2,900,000 ตารางเมตร เทากับที่นา ................................ ตารางกิโลเมตร

8) โลหะแผนหน่ึงมีพื้นที่ 3 ตารางฟุต โลหะแผนน้ีจะมีพื้นที่ ................... .. ตารางนิ้ว

9) พื้นที่ 9.5 ตารางวา จะเทากับ .......................... ตารางเมตร

10) ลุงสอนมีที่ดินอยู 2 งาน 68 ตารางวา คิดเปนพื้นที่ ..................... ตารางเมตร แลวถาลุงสอน

ขายที่ดินไป ตารางเมตรละ 875 บาท ลุงสอนจะไดรับเงิน ...................... บาท แสดงวาที่ดิน

ของลุงสอน ราคาไรละ......................... บาท

80

3. จงตอบคําถามตอไปนี้ พรอมแสดงวิธทีาํ

1) สวนแหงหน่ึงมีพื้นที่ 4,800 ตารางเมตร คิดเปนพื้นที่กี่ไร

2) พื้นที่ 25 ตารางฟุต คิดพื้นที่กี่ตารางเซนติเมตร

3) ลุงแดงแบงที่ดินใหลูกชาย 3 คน โดยแบงใหลูกชายคนโตได 2 ไร ลูกชายคนกลาง 850

ตารางวา และลูกชายคนเล็กได 3,000 ตารางเมตร อยากทราบวาใครไดสวนแบงที่ดินมากที่สุด

4) พื้นที่ 5,625 ไร คิดเปนพื้นที่ กี่ตารางกิโลเมตร

5) สมเกียรติซื้อโลหะแผนชนิดหน่ึง 3 ตารางเมตร ราคา 456 บาท สมนึกซื้อโลหะแผน

ชนิดเดียวกนั 4 ตารางหลา ราคา 567 บาท อยากทราบวาใครซื้อไดถูกกวากัน ตารางเมตรละกี่บาท

(กาํหนด 1 หลา = 90 เซนติเมตร)

81

เร่ืองที่ 2 การเลือกใชหนวยการวัดความยาวและพ้ืนที ่

การวัดความยาว หรือการวัดพื้นที่ ควรเลอืกใชหนวยการวัดทีเ่ปนมาตรฐาน และเหมาะสมกบั

สิ่งที่ตองการวัด เชน

- ความหนาของกระเบื้องหรือความหนาของกระจก ใชหนวยวัดเปน "มิลลิเมตร"

- ความยาวของกระเปาหรือความสูงของนักเรียน ใชหนวยวัดเปน "เซนติเมตร"

- ความยาวของถนน ความสูงของตึก ใชหนวยวัดเปน "เมตร"

- ระยะทางจากรุงเทพฯ ถึงนครศรีธรรมราช ใชหนวยวัดเปน "กิโลเมตร"

1.จงเติมหนวยการวัดท่ีเหมาะสมลงในชองวาง


1.ความยาวของร้ัวโรงเรียน …………………………………

2.ความหนาของหนังสือ ………………………………….

3. ระยะทางจากกรุงเทพฯ ถึงเชียงใหม ……………………………..

4. นํ้าหนักของแตงโม …………………………………………..

5. เวลาที่นักเรียนใชในการวิ่งแขงในระยะทาง 100 เมตร ……………………..

6. อุณหภูมิหอง .....................................

7. พื้นที่สวน ......................................

8. ปริมาณของน้ํา 1 เหยือก ......................................

9. สวนสงูของนักเรียน .....................................

10. น้ําหนักของขาวสาร 1 ถุง ....................................

82

เร่ืองที่ 3 การหาพ้ืนที่ของรูปเรขาคณิต

1. รูปสามเหลี่ยม

รูปสามเหลี่ยม คือ รูปปดที่มีดานสามดาน มุมสามมุม เมื่อกําหนดใหดานใดดานหนึ่งเปน

ฐานของรูปสามเหลี่ยม แลวมุมที่อยูตรงขามกับฐานจะเปนมุมยอด และถาลากเสนตรงจากมุมยอด

มาต้ังฉากกับฐาน หรือสวนตอของฐานจะเรียกเสนต้ังฉากวาสวนสูง

จากรูปสามเหลี่ยม ABC ใหกาํหนด BC เปนฐาน

เรียก A วา มุมยอด

เรียก AD วา สวนสูง

จากรูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปที่ 3 พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผา ABCD แตละรูปเทากับ 12 ตารางหนวย

และพื้นที่สามเหลี่ยมแตละรูปเทากับคร่ึงหน่ึงของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผา

จากสูตร พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผา = ฐาน x สูง

ดังน้ัน พื้นที่รูปสามเหลี่ยม = ×21

ฐาน × สูง

83

ตัวอยาง รูปสามเหลี่ยมรูปหน่ึงพื้นที่ 40 ตารางเซนติเมตร และมีฐานยาว 8 เซนติเมตร จะมีความสูง

กี่เซนติเมตร


ดังน้ัน ความสูงของสามเหลี่ยมเทากับ 10 เซนติเมตร


1. จงหาพื้นที่สวนที่แรเงาของรูปตอไปน้ี ตัวเลขที่เขียนกํากับดานไวถือเปนความยาวของดาน และมี

หนวยเปนหนวยความยาว

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

....................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

ใหความสูงของสามเหลี่ยม h เซนติเมตร

สูตร พื้นที่ = ×21

ฐาน × สูง

40 = h×× 821

h=×8

240

10 = h

84

2. รูปสามเหลี่ยมหน่ึงรูปมีพื้นที่ 90 ตารางเซนติเมตร มีฐานยาว 12 เซนติเมตร จะมีความสูง

กี่เซนติเมตร

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

3. สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีมุม BAC เปนมุมฉาก และกําหนดความยาวของดานดังรูป จงหาความ

ยาวของดาน A

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

85

4. จงหาพื้นที่ของสวนที่แรเงาของไมฉากรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมีขนาดตามรูป (ความยาวที่กําหนดมี

หนวยเปนเซนติเมตร)

30

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

2. รูปสี่เหลี่ยม

2.1 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก

บทนิยาม รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมแตละมุมเปนมุมฉาก

รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากมี 2 ชนิด คอื

ก) รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

เปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีดานทุกดานยาวเทากัน

ข) รูปสี่เหลี่ยมผืนผา

เปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีดานตรงขามยาวเทากัน

86

ถาแบงรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากออกเปนตาราง ๆ โดยแบงดานกวางและดานยาวออกเปนสวนๆ

เทาๆ กัน แลวลากเสนเชื่อมจุดแบงดังรูป

จากรูปตารางเล็กๆ ที่เกิดจากแบงแตละรูป จะมีความกวาง 1 หนวย และยาว 1 หนวย คิด

เปน พื้นที่ 1 ตารางหนวย

การหาพื้นของสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปที่ 1

สี่เหลี่ยมมุมฉากรูปที่ 1 มีดานกวาง 3 หนวย ดานยาว 3 หนวย เมือ่แบงแลวไดจํานวนตาราง

9 ตาราง หรือมีพื้นที่ 9 ตารางหนวย

สี่เหลี่ยมมุมฉากรูปที่ 2 มีดานกวาง 3 หนวย ดานยาว 4 หนวย เมือ่แบงแลวไดจํานวนตาราง

12 ตาราง หรือมีพื้นที่ 12 ตารางหนวย

การหาพื้นที่ดังกลาว สามารถคํานวณไดจากผลคูณของดานกวางและดานยาว

น่ันคือ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก = ดานกวาง x ดานยาว

ในกรณีที่เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จะมีดานกวางเทากับดานยาว

น่ันคือ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก = ดาน x ดาน

หรือ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก = (ดาน)2

ตัวอยาง จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมตอไปน้ี

87


(ก) พ.ท. สี่เหลี่ยมผืนผา = กวาง x ยาว

= 5 x 8

= 40 ตารางหนวย

ดังน้ัน พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผา เทากับ 40 ตารางหนวย ตอบ

(ก) พ.ท. สี่เหลี่ยมผืนผา = ดาน x ดาน

= 4 x 4

= 16 ตารางเซนติเมตร

ดังน้ัน พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผา เทากับ 16 ตารางเซนติเมตร ตอบ

(ก) พ.ท. สี่เหลี่ยมผืนผา = (2x3) + (4x7)

= 6 + 28

= 34 ตารางน้ิว

ดังน้ัน พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผา เทากับ 34 ตารางน้ิว ตอบ

2.2 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน

บทนิยาม รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีดานตรงขามขนานกันสองคู

88

การหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน

ถารูปสี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD กาํหนด a แทนความยาวของดาน AB และ b แทนความ

สูง DE

จากรูปที่ 1 ลากเสนทแยงมุม BD และลาก DE ใหต้ังฉากกับ AB ดังรูปที่ 2 เราสามารถ

ใชพื้นที่ของรูปสามเหลีย่มหาสูตรพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD ไดดังน้ี

พื้นที่ของ � ABCD เทากับผลบวกของพื้นที่ ABD และพื้นที่ CDB

เน่ืองจาก พื้นที่ ABD เทากับ พื้นที่ CDB

ดังน้ัน พื้นที่ � ABCD = 2 เทาของพื้นที่ ABD

=

××× ba

212

สูตรพื้นที่ รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน = ความยาวของฐาน x ความสูง

รูปสี่เหลี่ยมดานขนานที่มีดานทุกดานยาวเทากันและมุมไมเปนมุมฉาก เรียกวา รูปสี่เหลี่ยม

ขนมเปยกปูน

ในกรณีเปนรูปสี่เหลี่ยมขนมเปยกปูน ถาลากเสนทแยงมุม แบงรูปสี่เหลี่ยมออกเปนรูป

สามเหลี่ยมสองรูป และไดสูตรดังน้ี

สูตรพื้นที่ � ขนมเปยกปูน = ×21

ผลคูณของเสนทแยงมุม

ตัวอยาง จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD


89

รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน = ฐาน × สูง

= AB × AB

= 10 × 7 ตารางเซนติเมตร

ดังน้ัน พื้นที่สี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD = 70 ตารางเซนติเมตร ตอบ

2.3 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

บทนิยาม รูปสี่เหลี่ยมคางหมู คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีดานขนานกันหน่ึงคูเทาน้ัน

รูปสี่เหลี่ยมทั้งสามรูป แตละรูปมีดานขนานกันเพียง 1 คูเทาน้ัน รูปสามเหลี่ยมทั้งสามรูปจึง

เปนสี่เหลี่ยมคางหมู

รูปสี่เหลี่ยมรูปที่ 2 มีดานที่ไมขนานกัน 1 ดาน ต้ังฉากกับดานคูขนาน เรียกรูปสี่เหลี่ยมคาง

หมูน้ีวา สี่เหลี่ยมคางหมูมุมฉาก

รูปสี่เหลี่ยมรูปที่ 3 มีดานที่ไมขนานกันยาวเทากัน เรียกรูปสี่เหลี่ยมคางหมูน้ีวา สี่เหลี่ยม

คางหมูหนาจ่ัว

รูปสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD มดีาน AB ขนานกบัดาน CD ลาก CE ใหต้ังฉากกับ AB

และลากเสนทแยงมุม AC ดังรูปที่ 2

กาํหนด a แทนความยาวของดาน AB

b แทนความยาวของดาน CD

c แทนความสูง

เราสามารถใชพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหาสูตรพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD ไดดังน้ี

90

พื้นที่ � ABCD เทากับ ผลบวกของ พื้นที่ ABC และพื้นที่ ACD

จากพื้นที่ ABC = ca ××21

พื้นที่ ACD = cb ××21

ดังน้ัน พื้นที่ � ABCE =

××+

×× ebea

21

21

= )(21 bac +××

สูตร พื้นที่ � คางหมู = ×21

สูง × ผลบวกดานคูขนาน

ตัวอยาง จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยม ABCD


พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู ABCD = ×21

สูง × ผลบวกดานคูขนาน

= ( )DCABDE +××21

= ( )812621

+××

= 3 × 20 ตารางเซนติเมตร

ดังน้ัน พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู ABCD = 60 ตารางเซนติเมตร

2.4 พื้นที่ของสี่เหลี่ยมรูปวาว

บทนิยาม รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีดานประชิดกันยาวเทากันสองคู

เมื่อลากเสนทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมรูปวาว จะพบวา เสนทแยงมุมตัดกันเปนมุมฉาก และ

แบงคร่ึงซึ่งกันและกัน

91

การหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว

เราสามารถใชพื้นที่รูปสามเหลี่ยมหาสูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมรูปวาว ABCD ไดดังน้ี

พื้นที่ � ABCD เทากับ ผลบวกของ พื้นที่ ACD และพื้นที่ ABC

จาก ABC =

××× ba

21

21

ADC =

××× ba

21

21

ดังน้ัน พื้นที่ � ABCD =

×××+

××× baba

21

21

21

21

พื้นที่ � ABCD =

×+

××× bba

21

21

21

=

+××

2221 bba

= ba ××21

สูตร พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปวาว = ×21


รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว ABCD มี ADAB = และ CDBC =

กาํหนด a แทนความยาวของเสนทแยงมุม AC

b แทนความยาวของเสนทแยงมุม BD

เสนทแยงมุม AC และ BD ตัดกันที่จุด E

ทําให DE ต้ังฉากกับ AC

BE ต้ังฉากกับ AC

92

ตัวอยาง จงหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว ABCD ที่มี 10=BD เซนติเมตร และ 12=AC เซนติเมตร


พื้นที่รูปวาว = ×21


= BDAC ××21

= 101221

×× ตารางเซนติเมตร

ดังน้ัน พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว ABCD = 60 ตารางเซนติเมตร

2.5 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมใดๆ

รูปสี่เหลี่ยมใดๆ เปนรูปสี่เหลี่ยมที่ไมเขาลักษณะของรูปสี่เหลี่ยมขางตน การหาพื้นที่อาจทํา

ไดโดยลากเสนทแยงมุม แลวหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้น

พื้นที่ � ABCD เทากับ ผลบวกของ พื้นที่ ABC และพื้นที่ ADC

จากพื้นที่ ABC = BEAC ××21

พื้นที่ ABD = DFAC ××21

ดังน้ัน พื้นที่ � ABCE =

××+

×× DFACBEAC

21

21

= ( )DFBEAC +××21

จากรูปสี่เหลี่ยม ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมใดๆ จากเสนทแยงมุม AC

จากจุด B ลากเสน BE ใหต้ังฉากกับ AC

D ลากเสน DF ใหต้ังฉากกับ AC

ซึ่งเสน BE และ DF เรียกวา เสนกิ่ง

93

สูตร พื้นที่สี่เหลี่ยมใดๆ = 21

× ความยาวของเสนทแยงมุม × ผลบวกของความยาวของเสนกิ่ง

ตัวอยาง จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD มี AC = 10 เซนติเมตร เสนกิ่ง DF = 7 เซนติเมตร และ

EB = 5 เซนติเมตร


พื้นที่ � ABCD = ×21

เสนทแยงมุม × ผลบวกของความยาวของเสนกิ่ง

= ( )DFBEAC +××21

= ( )571021

+×× ตารางเซนติเมตร

ดังน้ัน พื้นที่ � ABCD = 60 ตารางเซนติเมตร


94

95

2. จงหาพื้นที่สวนที่แรเงา ตัวเลขที่เขียนกํากับไวถือวาเปนความยาวของดานและมีหนวยความยาว

เปนเมตร

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

96

2.6 พื้นท่ีรูปหลายเหลี่ยม

การหาพื้นที่รูปหลายเหลี่ยม ใชวิธีแบงรูปหลายเหลี่ยม เปนรูปสี่เหลี่ยมยอยๆ แลว หาพื้นที่

ของรูปแตละรูปนําผลลัพธมารวมกัน แตบางคร้ังอาจใชวิธีตอเติมรูปเพื่อใหเกิดรูปเหลี่ยมใหมแลว

นํามาหักลบกัน ดังตัวอยาง

ตัวอยาง จงหาพื้นที่รูปเหลี่ยมที่แรเงา

วิธีทํา ลากตอ EF และ HG ทําใหเกิดเปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากยอย 3 รูป คือ � DEJC,

� FGKJ, � ABKH

พื้นที่รูปหลายเหลี่ยม ABCDEFGH = พ.ท.� DEJC + พ.ท.� FGKJ + พ.ท.� ABKH

= ( 2×6) + (1×4) + (3×10)

= 12 + 4 + 30 ตารางเซนติเมตร

ดังน้ัน พื้นที่รูปหลายเหลี่ยม ABCDEFGH = 46 ตารางเซนติเมตร

2.7 พื้นท่ีรูปวงกลม

การหาพื้นที่ของรูปวงกลมโดยวิธีแบงออกเปนสวนเล็กๆ แลวนําแตละสวนมาสลับกัน ดัง

รูป

จากรูป EJ = 6 เซนติเมตร

FJ = 4 เซนติเมตร

97

จะเห็นไดวา ถายิ่งแบงสวนยอยใหมีจํานวนมากขึ้น รูปสี่เหลี่ยมที่ไดจะมีรูปใกลเคียงกับรูป

สี่เหลี่ยมผืนผา โดยมีสวนสูงใกลเคียงกับรัศมีของวงกลม

ความยาวของฐาน ใกลเคียงกับคร่ึงหนึ่งของเสนรอบวง หรือ ( ) rr ππ =221

จากสูตร พื้นที่ � ผืนผา = ฐาน × สูง

= ( ) rr ×π

= 2rπ

สูตร พื้นที่วงกลม = 2rπ

เมื่อ 722

=π หรือ 3.14 โดยประมาณ

r แทนความยาวรัศมี

ตัวอยาง จงหาพื้นที่วงกลมที่มีรัศมียาว 7 เซนติเมตร


พื้นที่วงกลม = 2rπ

= 77722

×× ตารางเซนติเมตร

พื้นที่วงกลม = 154 ตารางเซนติเมตร

98


1. จงหาพื้นที่สวนที่แรเงา ตัวเลขที่เขียนกํากับดานมีหนวยเปนเซนติเมตร และจุด O แทน

จุดศูนยกลางของวงกลม

1

99

สรุปสูตรการหาพ้ืนที่

100

101

เร่ืองท่ี 4 การแกโจทยปญหาเกี่ยวกับพื้นท่ีในสถานการณตางๆ

ตัวอยาง ที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผากวาง 12 เมตร ยาว 20 วา ตองการทําถนนในที่ดินกวาง 1 วา

โดยรอบถนนจะมีพื้นที่กี่ตารางวา


ตัวอยาง หองๆ หน่ึง 6.5 เมตร กวาง 4 เมตร ตองการปูกระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งมีความกวาง

ดานละ 25 เซนติเมตร จะตองใชกระเบื้องกี่แผน

วิธีทํา หองหน่ึงมีความยาว 6.5 เซนติเมตร = 650 เซนติเมตร

ความกวาง 4 เมตร = 400 เซนติเมตร

พื้นที่หอง = 400 × 650 = 260,000 เซนติเมตร

พื้นที่กระเบื้อง = 25 × 25 = 625 ตารางเซนติเมตร

ตองใชกระเบื้อง = 416625

000,260= แผน

ดังน้ัน ตองใชกระเบื้อง 416 แผน

พื้นที่ทั้งหมด = 12 × 20

= 240 ตารางวา

พื้นที่รูปใน = 10 × 18

= 180 ตารางวา

พื้นที่ถนน = 240 – 180

∴ พื้นที่ถนน = 60 ตารางวา

102


1. แผนผังบานหลังหน่ึงมีลักษณะและขนาดดังรูป ถาบริเวณที่แรเงาตองการเทปูนซีเมนต โดยเสยี

คาใชจายตารางเมตรละ 250 บาท จะตองเสียคาใชจายทั้งหมดกี่บาท กําหนดความยาวมีหนวยเปนเมตร

2. ตองการตัดเสื้อตัวหน่ึงมีลักษณะดังรูป จะตองใชผากี่ตารางเมตร (ไมคิดตะเข็บ) ความยาวที่

กาํหนดมหีนวยเปนเซนติเมตร

103

เร่ืองท่ี 5 การคาดคะเนเวลา ระยะทาง ขนาด น้ําหนัก

ในชีวิตประจําวันบางคร้ังเราอาจตองการทราบรายละเอียดเกี่ยวกับเวลา ระยะทาง ขนาด

หรือนํ้าหนัก ของสิ่งตางๆ แตไมสะดวกที่จะวัดสิ่งตางๆ เหลาน้ัน เน่ืองจากมีขอจํากัดบางประการ

ตัวอยางเชน ตองการวัดความยาว และความกวางของสนามฟุตบอลของโรงเรียน แตไมมีอุปกรณที่

เหมาะสม ทําใหตองมีกี่ประมาณอยางคราวๆ ซึ่งในบางคร้ังอาจจะถูกตอง หรืออาจผิดไปจากความ

เปนจริงบาง เราเรียกวิธีการประมาณในลักษณะน้ีวา การคาดคะเน

การคาดคะเนปริมาณตางๆ เชน ชวงเวลา ระยะทาง ขนาด และนํ้าหนักของสิ่งตางๆ ผู

คาดคะเนมักใชสายตารวมกับประสบการณของผูคาดคะเนเอง ซึ่งในการคาดคะเนแตละคร้ังอาจ

ถูกตองพอดี หรืออาจมีขอผิดพลาดเกิดขึ้นบางก็ได เราเรียกขอผิดพลาดน้ีวา ความคลาดเคลื่อน และ

ความคลาดเคลื่อนคํานวณไดจากผลตางของปริมาณที่คาดคะเนไวกับปริมาณที่วัดไดจริง เชน

คะเนวาหนังสือเรียนกวาง 15 เซนติเมตร ยาว 20 เซนติเมตร และหนา 1 เซนติเมตร แตเมื่อ

วัดจริงพบวาหนังสอืเรียนกวาง 14.6 เซนติเมตร ยาว 20.9 เซนติเมตร และหนา 1 เซนติเมตร ดังน้ัน

คะเนความกวาง และความยาวของหนังสือเรียนคลาดเคลื่อนไป 0.4 และ 0.9 ตามลําดับ (15.0

เซนติเมตร – 14.6 เซนติเมตร = 0.4 เซนติเมตร และ 20.9 เซนติเมตร – 20 เซนติเมตร = 0.9

เซนติเมตร สวนความหนาคาดคะเนไดถูกตองไมคลาดเคลื่อนเลย )

หมายเหตุ บางคร้ังอาจพบการใชสัญลักษณ ± ตามความคลาดเคลื่อน เชน เคร่ืองบรรจุนํ้า

ไดขวดละ 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร ± 5 ลูกบาศกเซนติเมตร หมายความวา โดยปกติแลวนํ้าด่ืมที่

บรรจุขวดโดยเคร่ืองน้ีจะมีปริมาตร 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร แตอาจจะมีบางขวดที่มีปริมาตร

มากกวาหรือนอยกวา 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร ซึ่งปริมาตรที่คลาดเคลื่อนน้ีไมเกิน 5 ลูกบาศก

เซนติเมตร น่ันคือ นํ้าด่ืมที่บรรจุขวดจะมีปริมาตรต้ังแต 995 ลูกบาศกเซนติเมตร ถึง 1,005

ลูกบาศกเซนติเมตร

104


1. จงคาดคะเนเวลาหรือชวงเวลาใหเหมาะสมกับสถานการณตอไปนี้

1) ฟาใกลสวาง อากาศเย็นสบาย ไกตัวผูตีปกและสงเสียงขัน มีนํ้าคางจับตามยอดหญา

นาจะเปนเวลาประมาณ...................นาฬกิา

2) เมื่ออยูกลางแจงดวงอาทิตยอยูตรงศีรษะพอดี เงาของตัวเองอยูบนพื้นที่ยืนอยูพอดี นาจะ

เปนเวลาประมาณ...................นาฬกิา

3) ในจังหวัดทางภาคเหนือเปนเวลาเชาตรู ฟาสวางแลว แตยังไมเห็นพระอาทิตย ทองฟาขมุกขมัว

อากาศหนาวเยน็จัด นาจะเปนฤดู....................และควรจะเปนชวงเดือน.....................

2. จงวงกลมลอมรอบขอที่เหมาะสมที่สุด สําหรับใชหนวยในการคาดคะเน ระยะทาง น้ําหนัก หรือ

ขนาดของสิ่งตอไปนี้

1) ความยาวของคัตเตอร

ก. 1.5 มิลลิเมตร ข. 15 เซนติเมตร ค. 15 เมตร

2) นํ้าหนักของมะพราว 1 ผล

ก. 1 กรัม ข. 1 กโิลกรัม ค. 1 ตัน

3) ปริมาณของนม 1 กลอง

ก. 4 ×5×12 เซนติเมตร3 ข. 4 ×5×12 ฟุต3 ค. 4 ×5×12 เมตร3

4) รถกระบะ

4.1 มีนํ้าหนัก ก. 10 กิโลกรัม ข. 100 กิโลกรัม ค. 1 ตัน

4.2 ความกวาง ก. 160 เซนติเมตร ข. 16 ฟุต ค. 16 เมตร

4.3 ความยาว ก. 5 ฟุต ข. 5 เมตร ค. 5 วา

4.4 ความสูง ก. 160 มิลลิเมตร ข. 1,600 มิลลิเมตร ค. 16,000 มิลลิเมตร

5) เกาอ้ีน่ัง

5.1 กวาง ยาว สูง

ก. 40 ×50×80 มิลลิเมตร3

ข. 40 ×50×80 เซนติเมตร3

ค. 4 ×5×8 เมตร3

5.2 นํ้าหนัก

ก. 10 กโิลกรัม ข. 100 กโิลกรัม ค. 1 ตัน

105

3. ทางหลวงสายพหลโยธินกรุงเทพฯ-แมสาย ยาว 952 กิโลเมตร รถประจําทางปรับอากาศวิ่งบน

ทางหลวงสายน้ีตลอดเสนทางดวยอัตราเร็ว 80-100 กิโลเมตรตอชั่วโมง

(1) รถประจําทางปรับอากาศใชเวลาวิ่งตลอดเสนทางนานเทาไร

(2) ถารถออกจากกรุงเทพฯ ประมาณ 18.00 นาฬิกา จะถึงแมสายในชวงใด

(3) ถาตองการใหถึงแมสายประมาณเที่ยงวันที่ 16 กันยายน จะตองออกจากกรุงเทพฯ เวลา

เทาไร

4. ลฟิตของโรงแรมแหงหนึ่งบรรทุกผูโดยสายไดเที่ยวละไมเกนิ 10 คน (600 กิโลกรัม) บางคร้ังมี

ผูโดยสารเขาลิฟตเพียง 8 คน ลฟิตจะมีเสียงเตือน บางคร้ังมีผูโดยสาร 12 คน ลิฟตไมมีเสียงเตือนยัง

ใชงานไดเปนเพราะเหตุใด จงอธิบาย

5. ทางหลวงสายเพชรเกษม (กรุงเทพฯ-บานคลองพราน จังหวัดนราธิวาส) 1,352 กิโลเมตร ทาง

หลวงสายมิตรภาพ (กรุงเทพฯ-จังหวัดหนองคาย) 508 กิโลเมตร ทางหลวงสายสุขุมวิท (กรุงเทพฯ-

จังหวัดตราด) 400 กโิลเมตร

(1) ถาขับรถจากบานคลองพรานตามทางหลวงสายเพชรเกษมผานกรุงเทพฯ แลวมุงสู

จังหวัดหนองคายตามทางหลวงสายมิตรภาพ ดวยอัตราเร็วในชวง 90-100 กิโลเมตรตอชั่วโมง จะใช

เวลาประมาณกี่ชั่วโมง

(2) ถาเดินทางจากกรุงเทพฯ ไปตามทางหลวงสายเพชรเกษม เวลา 12.00 นาฬิกา วันน้ี จะ

ถึงจังหวัดนราธิวาสเมื่อใด โดยใชอัตราความเร็ว 100 กิโลเมตรตอชั่วโมง

(3) ถาตองการเดินทางจากกรุงเทพฯ ไปจังหวัดตราดทางหลวงสายสุขุมวิท และถึงจังหวัด

ตราดประมาณเที่ยงวัน จะตองออกจากกรุงเทพฯ เวลาใด เมื่อใชอัตราความเร็ว 80 กิโลเมตรตอ

ชั่วโมง

(4) ใหนักเรียนเปรียบเทียบความยาวของทางหลวงทั้งสามสาย

106

บทท่ี 6

ปริมาตรและพื้นท่ีผิว


การหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของ ปริซึม พีระมิด ทรงกระบอก กรวย ทรงกลม จําเปน

จะตองรูกระบวนการคิด และการใชสูตร เพื่อสะดวกในการคํานวณอันจะเปนประโยชนตอการ

นําไปใชในชีวิตจริง


1. อธิบายลักษณะและสมบัติของปริซึม พีระมิด ทรงกระบอก กรวย ทรงกลม หา

ปริมาตรและพื้นที่ผิวของปริซึมได

2. สามารถหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกระบอกได

3. สามารถหาปริมาตรของพีระมิด กรวยและทรงกลมได

4. เปรียบเทยีบหนวย ความจุ หรือหนวยปริมาตรในระบบเดียวกนัหรือตางระบบ และ

เลอืกใชหนวยการวัดเกีย่วกบัความจุหรือปริมาตรไดอยางเหมาะสม

5. ใชความรูเกี่ยวกับปริมาตรและพื้นที่ผิวแกปญหาในสถานการณตางๆ ได

6. ใชการคาดคะเนเกี่ยวกับปริมาตรและพื้นที่ผิวในสถานการณตางๆ ไดอยางเหมาะสม


เร่ืองที่ 1 ลักษณะสมบัติและการหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึม

เร่ืองที่ 2 การหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกระบอก

เร่ืองที่ 3 การหาปริมาตรของพีระมิด กรวยและทรงกลม

เร่ืองที่ 4 การเปรียบเทียบหนวยปริมาตร

เร่ืองที่ 5 การแกโจทยปญหาเกี่ยวกับปริมาตรและพื้นที่ผิว

เร่ืองที่ 6 การคาดคะเนปริมาตรและพื้นที่ผิว

107

เร่ืองที่ 1 ลักษณะสมบัติและการหาพ้ืนที่ผิวและปริมาตรของปริซึม

พื้นท่ีผิวและปริมาตรของปริซึม

รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีหนาตัด (ฐาน) ทั้งสองเปนรูปหลายเหลี่ยมที่เทากันทุกประการและ

อยูในระนาบที่ขนานกัน มีหนาขางเปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน เรียกวา ปริซึม

สวนตางๆ ของปริซึมมีชื่อเรียกดังน้ี

เราเรียกชื่อปริซึมชนิดตาง ๆ ตามลักษณะของฐานของปริซึมดังตัวอยาง

ปริซึมสี่เหลี่ยมผืนผา ปริซึมสามเหลี่ยม ปริซึมสี่เหลี่ยมคางหมู

ปริซึมหาเหลี่ยม ปริซึมหกเหลี่ยม

สตูร การหาพื้นที่ผิวของปริซึม = พื้นที่ผิวขาง + พื้นที่ผิวหนาตัด

ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง

108

ตัวอยาง 1 จงหาพื้นที่ผิวของปริซึมตอไปน้ี กาํหนดความยาวทีห่นวยเปนเซนติเมตร


ตัวอยาง 2 จงหาปริมาตรของปริซึมตอไปนี้ (ความยาวที่กาํหนดใหมหีนวยเปนเมตร)



จงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึมตอไปน้ี

ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง

= (4 x 5) x 8

= 160 ลูกบาศกเมตร

พื้นที่ผิวดานขาง 4 ดาน = 2(3 x5) + 2 ( 4 x 5)


พื้นที่หนาตัด = 2 ( 3 x 4)


พื้นที่ผิวของปริซึม = 70 + 24


109

เร่ืองที่ 2 การหาปริมาตรและพ้ืนที่ผิวของทรงกระบอก

ทรงกระบอก คือ ทรงสามมิติที่มีฐานเปนรูปวงกลมที่เทากันทุกประการ และอยูในระนาบ

ที่ขนานกัน ซึ่งเมื่อตัดทรงสามมิติน้ีดวยระนาบที่ขนานกับฐานแลวจะไดรอยตัดเปนวงกลมที่เทากัน

ทุกประการกับฐานเสมอ

พื้นท่ีผิวของทรงกระบอก

เมื่อคลี่ผิวขางของทรงกระบอกใดๆ พบวา จะเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผาที่มีความยาวเทากับเสน

รอบฐานวงกลม และสวนสูงเทากับความสูงของทรงกระบอก

สูตร พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = พื้นที่ผิวขาง + พื้นที่ฐานทั้งสอง

= 222 rrh ππ +

เมื่อ r แทน รัศมีของฐานของทรงกระบอก

h แทน ความสูงของทรงกระบอก

110

ปริมาตรทรงกระบอก

จาก ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง

ปริมาตรทรงกระบอก = hr 2π

สตูร ปริมาตรทรงกระบอก = hr 2π

ตัวอยางที่ 5 กระปองทรงกระบอกใบหนึ่งมีรัศมี 7 เซนติเมตร และสูง 10 เซนติเมตร

ก) ตองการปดกระดาษรอบขางและปดฝาทั้งสองจะตองใชกระดาษกี่ตาราง

เซนติเมตร

ข) กระปองใบน้ีมีความจุกี่ลูกบาศกเซนติเมตร


ข) ปริมาตร = พื้นที่ฐาน x สงู

= hr 2π

= 1077722

×××

= 1,540 ลูกบาศกเซนติเมตร

ดังน้ัน ก. ตองใชกระดาษ 748 ตารางเซนติเมตร

ข. กระปองมีความจุ 1,540 ลูกบาศกเซนติเมตร

ก) พื้นที่ฐานทั้งหมด = 22 rπ

= 777222 ×××


พื้นที่ผิวขาง = ความยาวรอบฐาน x สูง

= hr ×π2

= 1077222 ×××


พื้นที่ผิวกระปอง = 308 + 440


111

1. จงหาปริมาตร และพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอกสูง 10 เซนติเมตร มีเสนผานศูนยกลาง 14



.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

2. จงหาปริมาตรของทรงกระบอกใบหนึ่งที่มีรัศมีของฐาน 3.5 น้ิว และสูง 5 น้ิว

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

3. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวทั้งหมดของถังเก็บนํ้ารูปทรงกระบอกใบหน่ึงที่มีรัศมีที่ฐาน 3 เมตร

สูง 4 เมตร 90 เซนติเมตร

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

112

เร่ืองที่ 3 การหาปริมาตรของพีระมิด กรวยและทรงกลม

3.1 พื้นท่ีผิวและปริมาตรของพีระมิด

พีระมิด คือ ทรงสามมิติที่มีฐานเปนรูปเหลี่ยมใดๆ มียอดแหลม ซึ่งไมอยูในระนาบเดียวกับ

ฐาน และหนาทุกหนาเปนรูปสามเหลี่ยม ที่มีจุดยอดรวมกันที่ยอดแหลม

ลักษณะของพีระมิดตรง

1. หนาของพีระมิดตรงเปนรูปสามเหลี่ยมหนาจ่ัว

2. สันของพีระมิดตรงจะยาวเทากันทุกเสน

3. ความสูงเอียงของพีระมิดตรง ดานเทา มุมเทา จะยาวเทากันทุกเสน

4. ปริมาตรของพีระมิด เปนหนึ่งในสามของปริมาตร ปริซึมที่มีฐานเทากับพีระมิด และมี

สวนสูงเทากับพีระมิด

สูตร พื้นที่ผิวขางของพีระมิด = ×21

ความยาวรอบฐาน x สงูเอียง

พื้นที่ผิวทั้งหมดของพีระมิด = พื้นที่ผิวขาง + พื้นที่ฐาน

ปริมาตรของพีระมิด = ×31

พื้นที่ฐาน x สูง

113

ตัวอยางที่ 3 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผา กวาง 10 เซนติเมตร ยาว 18 เซนติเมตร และความสูงของ

พรีะมิดเปน 12 เซนติเมตร จงหาความสูงเอียงของพีระมิดทั้งสองดาน

1. ความสูงเอียงดานกวาง

2. ความสูงเอียงดานยาว

ตัวอยางที่ 4 พีระมิดแหงหน่ึงมีฐานเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาวดานละ 6 เมตร สงูเอียง 5 เมตร และ

สูงตรง 4 เมตร จงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของพรีะมดิ


พื้นที่ผิวขางของพีระมิด = ×21


= ×21

(6x4) x 5

= 60 ตารางเมตร

พื้นที่ฐาน = 6 x 6


ดังน้ันพื้นที่ผิวของพีระมิด = 60 + 36 = 96 ตารางเซนติเมตร

ปริมาตรของพีระมิด = ×31


= ×31

36 x 4


222 912 +=a

=144 + 81

2252 =a

15=a เซนติเมตร

222 125 +=c

= 25 + 144

= 169

c = 13 เซนติเมตร

114

1. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวทั้งหมดของพีระมิดที่สูง 6 เซนติเมตร ฐานเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาว

ดานละ 16 เซนติเมตร


.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

2. จงหาพื้นที่ผิวเอียงของพีระมิดฐานรูปหกเหลี่ยมดานเทา มุมเทา ยาวดานละ 4 เซนติเมตร สูงเอียง

7.5 เซนติเมตร

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

115

3.2 พื้นท่ีผิวและปริมาตรของทรงกรวย

กรวย คือ ทรงสามมิติที่มีฐานเปนรูปวงกลม มียอดแหลมที่ไมอยูบนระนาบเดียวกับฐาน

และเสนที่ตอระหวางจุดยอดกับจุดใด ๆ บนเสนรอบวงของฐาน เรียกเสนตรงน้ีวา “สงูเอียง”

พื้นที่ผิวของกรวย

การหาพื้นที่ผิวเอียงของกรวย ทําไดโดยตัดกรวยตามแนวสูงเอียงแลวคลี่แผออกจะเกิดเปน

รูปสามเหลี่ยมฐานโคง

สูตร พื้นที่ผิวของกรวย = 2rrl ππ +

เมื่อ r เปนรัศมีของฐานกรวย

l เปนความยาวของสูงเอียง

ปริมาตรของกรวย

ความสัมพันธของปริมาตรของกรวยกับทรงกระบอก จะเหมือนกับความสัมพันธของ

ปริซึมกับพีระมิด ที่มีสวนสูงและพื้นที่ฐานเทากัน น่ันคือ

สูงตรง สูงเอียง

h

116

ปริมาตรของกรวย เปน 31

ของปริมาตรของทรงกระบอก ที่มีพื้นที่ฐานและสวนสูงเทากับ

กรวย

สตูร ปริมาตรของกรวย = ×31 hr 2π

เมื่อ r แทน รัศมีของฐานกรวย

h แทน ความสูงของกรวย

ตัวอยางที่ 6 จงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของกรวย ซึ่งสูง 24 เซนติเมตร และเสนผานศูนยกลาง 14



พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ผิวขาง + พื้นที่ฐาน

= 550 + 154


ปริมาตรของกรวย = ×31 hr 2π

= 2477722

31

××××


พื้นที่ผิวทั้งหมด 704 ตารางเซนติเมตร

ปริมาตรของกรวย 1,232 ลูกบาศกเซนติเมตร

รัศมี = 72

14= เซนติเมตร

หาความสูงเอียง (l) จาก ABO

222 724 +=l

= 576 + 49 = 625

l = 25 เซนติเมตร

พื้นที่ผิวขาง = rlπ

= 257722

××


พื้นที่ฐาน = 2rπ

= 77722

××


117


1. จงหาปริมาตร และพื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยกลมที่สูง 24 เซนติเมตร มีเสนผานศูนยกลาง 14


.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

2. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยกลมที่สูงเอียง 5 เซนติเมตร มีเสนผานศูนยกลาง 8

เซนติเมตร (ตอบในรูป π)

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

3. จงหาปริมาตรจรวดทรงกระบอกมีปลายเปนกรวย มีเสนผานศูนยกลาง 14 เซนติเมตร ความยาว

ทรงกระบอก 30 เซนติเมตร ความสงูยอดกรวย 12 เซนติเมตร

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

118

3.3 พื้นท่ีผิวและปริมาตรของทรงกลม

ทรงกลม คือ ทรงสามมิติที่มีผิวโคงเรียบ และจุดทุกจุดอยูบนผิวโคงอยูหางจากจุดคงที่จุด

หน่ึงเปนระยะเทากัน

จุดคงที่ เรียกวา จุดศูนยกลางของทรงกลม

ระยะที่เทากัน เรียกวา รัศมีของทรงกลม

พื้นที่ผิวของทรงกลม

พื้นที่ผิวของทรงกลม เปนสี่เทาของพื้นที่วงกลม ซึ่งมีรัศมีเทากับรัศมีของทรงกลม

จาก พื้นที่ของรูปวงกลม = 2rπ

ดังน้ัน พื้นที่ผิวของทรงกลม = 4 2rπ

สูตร พื้นท่ีผิวของทรงกลม = 4 2rπ

ปริมาตรของทรงกลม

ปริมาตรของทรงกลมอาจหาไดจากการทดลองหาความสัมพันธระหวางปริมาตรของคร่ึง

วงกลมกับปริมาตรของกรวย

ขอกาํหนด

2) กรวยที่มีรัศมีเทากับคร่ึงทรงกลม r หนวย และสวนสงูของกรวย (h) เปน 2 เทา

ของรัศมี ฐานของกรวย คือ 2 r หนวย

1) คร่ึงของทรงกลมที่มีรัศมี r หนวย

119

สตูร ปริมาตรของทรงกลม = 3

34 rπ

เมื่อแทน r รัศมีของทรงกลม

ตัวอยางที่ 7 จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของลูกโลกพลาสติก ซึ่งมีรัศมียาว 7 เซนติเมตร


พื้นที่ผิวของทรงกลม = 616 ตารางเซนติเมตร

ปริมาตรของทรงกลม = 1,437.3 ลูกบาศกเซนติเมตร

พื้นที่ผิวทรงกลม = 4 2rπ

= 777224 ×××


ปริมาตรทรงกลม = 3

34 rπ

= 777722

34

××××

= 3312,4

= 1,437.3 ลูกบาศกเซนติเมตร

120


1. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกลมซึ่งมีเสนผานศูนยกลาง 14 เซนติเมตร

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

2. ทรงกลมมีปริมาตร 38,808 ลูกบาศกเซนติเมตร จงหารัศมีและพื้นที่ผิว

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

3. ทรงกลมมีพื้นที่ผิว 616 ตารางนิ้ว จงหาปริมาตรของทรงกลม

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

4. โลหะกลมลูกหน่ึง รัศมีภายนอก 21 เซนติเมตร รัศมีภายใน 7 เซนติเมตร จงหาปริมาตรเน้ือโลหะ

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

121

เร่ืองที่ 4 การเปรียบเทียบหนวยปริมาตร

การตวง คือ การนําสิ่งท่ีตองการหาปริมาตรใสในภาชนะท่ีใชสําหรับตวง หนวยการตวง

ท่ีนิยมและใชกันมาก คือ ลิตร

เมื่อเทียบกับหนวยปริมาตร

หนวยการตวงในมาตราไทย เปนหนวยการตวงท่ีนิยมใชกันมาก คือ

1 ลติร = 1,000 มิลลิลิตร

1,000 ลติร = 1 กิโลลิตร

1 ลิตร = 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร

10 มิลลิลติร = 1 ลูกบาศกเซนติเมตร

1 ลูกบาศกเมตร = 1,000 ลติร

1 ลูกบาศกเมตร = 1,000,000 ลูกบาศกเซนติเมตร

1 ถัง = 20 ลติร (ทะนานหลวง)

1 เกวียน = 100 ถัง

1 เกวียน = 2 ลูกบาศกเมตร

1 เกวียน = 2,000 ลติร

1 แกลลอน = 4.546 ลติร

1 ลูกบาศกน้ิว = 16.103235 ลูกบาศกเซนติเมตร

1 ลูกบาศกน้ิว = 0.0164 ลติร

1 ลูกบาศกฟุต = 1.728 ลูกบาศกน้ิว

1 ลูกบาศกฟุต = 28.32 ลติร

1 บารเรล = 158.98 ลติร

122

ตัวอยางท่ี 1 อางน้ําทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากใบหนึ่ง กวาง 30 เซนติเมตร ยาว 50 เซนติเมตร และสูง

40 เซนติเมตร 1. อางใบน้ีจุนํ้ากี่ลิตร 2. ถามีนํ้าบรรจุเต็มอาง และนํ้า 1 ลูกบาศกเซนติเมตร หนัก 1 กรัม จงหานํ้าหนักของ

นํ้าในอางใบน้ี

วิธีทํา 1. ปริมาตรของอางนํ้า = ความกวาง × ความยาว × ความสูง แทนคา ปริมาตรของอางน้ํา = 30 × 50 × 40 = 60,000 ลูกบาศกเซนติเมตร

เมื่อเทียบกับหนวยปริมาตร

1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร = 1 ลติร

60,000 ลูกบาศกเซนติเมตร 000,1000,60

= = 60 ลติร

2. นํ้า 1 ลูกบาศกเซนติเมตร หนัก 1 กรัม

นํ้า 60,000 ลูกบาศกเซนติเมตร หนัก 60,000 กรัม 000,1000,60

= = 60 กโิลกรัม

ตอบ 60 กโิลกรัม

ตัวอยางท่ี 2 ถังเก็บน้ําฝนทรงกระบอกเสนผานศูนยกลางภายใน 3 เมตร สูง 5 เมตร คิดเปน

ปริมาตรของนํ้ากี่ลิตร

วิธีทํา ปริมาตร = πr2 h

= 55.15.1722

×××

= 35.36 ลูกบาศกเมตร

= 35.36 X 1,000,000 ลูกบาศกเซนติเมตร

= 35,360,000 ลูกบาศกเซนติเมตร

เน่ืองจาก 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร = 1 ลติร

ดังน้ัน 35,360,000 ลูกบาศกเซนติเมตร = 000,1

000,360,35 = 35,360 ลติร

123


1. สระแหงหน่ึงเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผา กนสระกวาง 5 วา ลึก 3 เมตร ยาว 15 เมตร ถาใชเคร่ืองสูบนํ้า

ออกจากสระไดนาทีละ 9,000 ลิตร จะตองใชเวลาสูบนํ้าเทาไร

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

2. อางเลี้ยงปลาทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากกวาง 90 เซนติเมตร ยาว 1.2 เมตร จุนํ้า 540 ลิตร ตองการปู

กระเบื้องภายในอางดวยแผนกระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาวดานละ 10 เซนติเมตร ตองใชกระเบือ้ง

อยางนอยที่สุดเทาไร

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

3. นายาบวนปากขวดหนึ่งปริมาตรสุทธิ 700 มิลลิลิตร ใชอมปวนปากคร้ังละ 10 มิลลิลิตร วันละ 2

คร้ัง จะใชไดกี่วัน

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

4. ถังน้ําทรงลูกบาศกยาวดานละ 2 เมตร จุนํ้าไดกี่ลิตร

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

5. ถังทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากวัดภายในกวาง 90 เซนติเมตร ยาว 1.50 เซนติเมตร สงู 1.20 เมตร บรรจุนํ้า

เต็มถัง ถาตองการตวงนํ้าจากถังใสแกลอนซึ่งมีความจุ 4.5 ลิตร จะไดนํ้าทั้งหมดกี่แกลอน

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

124

เร่ืองที่ 5 การแกโจทยปญหาเก่ียวกับปริมาตรและพ้ืนที่ผิว

ตัวอยาง ลังกระดาษบรรจุกลองซีดี วัดความยาวภายในไดกวาง 12 เซนติเมตร บรรจุ ยาว 14 เซนติเมตร

และสูง 15 เซนติเมตร และบรรจุกลองซีดีเต็มลังพอดี ลังกระดาษน้ีมีปริมาตรเทาไร และถาหยิบกลอง

ซดีอีอกมา 1 กลอง ซึ่งมีปริมาตร 270 ลูกบาศกเซนติเมตร กลองซีดีจะหนาเทาไร


= (12 x 14) x 15

ลังกระดาษมีปริมาตร = พื้นที่ฐาน x สูง

= 2, 520 ลูกบาศกเซนติเมตร

กลองซีดี 1 กลอง มีปริมาตร = พื้นที่ฐาน x หนา

270 = (12 x 15) x หนา

หนา = 1512

270×

กลองใสซีดีมีความหนา = 1.5 เซนติเมตร

ลังกระดาษมีปริมาตร 2,520 ลูกบาศกเซนติเมตร

ตัวอยาง นํ้าขันคร่ึงวงกลมรัศมี 3 น้ิว ตักนํ้าใสถังทรงกระบอกที่มีรัศมี 10 น้ิว และสงู 27 น้ิว กี่คร้ัง

นํ้าจึงจะเต็มถัง

วิธีทํา21

ปริมาตรน้ํา 1 ขัน = ของปริมาตรของทรงกลม

= 3

34

21 rπ×

= 33334

21

××××× π

= 18 π ลูกบาศกน้ิว

ปริมาตรถังทรงกระบอก = hr 2π

= π 27102 ××

= 2,700 π ลูกบาศกน้ิว

จะตองตักนํ้า = ππ

18700,2

คร้ัง

= 150 คร้ัง

ตอบ 150 คร้ัง

125


1. ถังเก็บนํ้ามันของปมแหงหน่ึงเปนรูปทรงกลม มีเสนผานศูนยกลาง 7 เมตร ตองการทาสีคร่ึง

ทรงกลมบน โดยเสียคาทาสีตารางเมตรละ 40 บาท ตองเสียคาทาสีกี่บาท

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

2. หินออนทรงลูกบาศกมีขนาดดานละ 2.1 เมตร ถาตองการกลึงใหเปนรูปทรงกลมใหมีขนาดเสน

ผานศูนยกลางเทากับความยาวของดานลูกบาศก จงหาวาจะตองกลึงหินออกไปปริมาตรเทาใด

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

3. นําแทงตะกั่วทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากกวาง 8 น้ิว ยาว 11 น้ิว หนา 5 น้ิว ไปหลอมเปนลูกปนทรงกลม

ขนาดรัศมี 1 น้ิว จะหลอมไดกี่ลูก

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

126

เร่ืองที่ 6 การคาดคะเนเก่ียวกับปริมาตรและพ้ืนที่ผิว

การคาดคะเนพื้นที่ เปนการประมาณพื้นที่อยางคราวๆ จากการมองโดยอาศัยประสบการณ

และความรูเกี่ยวกับขนาดและความยาวมาชวยในการเปรียบเทียบและตัดสินใจ เพื่อใหใกลเคียงกับ

พื้นที่จริงมากที่สุด หนวยพื้นที่ที่นิยมใช คือ ตารางเซนติเมตร(ซม.2 ) ตารางเมตร(ม.2) และตารางวา

(วา2)

การคาดคะเนพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม

ตัวอยาง จงคะเนหาพื้นที่รูปหลายเหลี่ยมตอไปน้ี

127

วิธีคิด ในบางคร้ังการหาพื้นที่รูปหลายเหลี่ยมตางๆ ที่ไมไดระบุหนวยความยาว เราอาจจะใช

วิธีการสรางหนวยตาราง 1 หนวย คลุมพื้นที่ดังกลาว

โดยกาํหนด

แทนพื้นที่ 1 หนวย

หรือ

แทนพื้นที่ 1 ตารางเซนติเมตร

หรือ

แทนพื้นที่ 1 ตารางเมตร

หรือ

แทนพื้นที่ 1 ตารางวา

จากรูปภาพนับรูป ได 22 รูป ซึ่งแทนพื้นที่ 22 ตารางหนวย

ดังน้ันพื้นที่รูปหลายเหลี่ยม = 22 ตารางหนวย

128

บทท่ี 7

คูอันดับและกราฟ


คูอันดับ เปนการจับคูระหวางสมาชิกสองตัวจากกลุม เพื่อนําไปจัดทํากราฟบนระนาบพิกัด

หาปริมาณ ความเกี่ยวของของปริมาณสองชุด


1. อานและอธิบายความหมายคูอันดับได

2. อานและแปลความหมายกราฟบนระนาบพิกัดฉากที่กําหนดใหได

3. เขียนกราฟแสดงความเกี่ยวของของปริมาณสองชุดที่กําหนดใหได


เร่ืองที่ 1 คูอันดับ

เร่ืองที่ 2 กราฟของคูอันดับ

เร่ืองที่ 3 การนําคูอันดับและกราฟไปใช

129

เร่ืองที่ 1 คูอันดับ คูอันดับ (Ordered pairs) เปนการจับคูระหวางสมาชิกสองตัวจากกลุม 2 กลุมที่มี

ความสัมพันธภายใตเงื่อนไขที่กําหนด เขียนแทนดวยสัญลักษณ (a , b) อานวา คูอนัดับเอบี

เรียก a วา สมาชิกตัวหนา หรือสมาชิกตัวที่หน่ึง

และเรียก b วา สมาชกิตัวหลัง หรือสมาชิกตัวที่สอง ดังแผนภาพ

เขียนเปนคูอันดับไดดังน้ี (1, 12), (2,24), (3,36), (4,48)

หมายเหตุ คูอันดับ (1,a) ≠ (a,1)

ถากาํหนด ( a , b ) และ ( x , y ) เปนคูอันดับ 2 คูใดๆ จะไดวา ( a , b ) = ( x , y ) ก็ตอเมื่อ

a = x และ b = y

เชน 1. ( x , y ) = (5 , 12)

ดังน้ัน x = 5 และ y = 12

2. (x – 3, y – 2 ) = (0,0)

วิธีทํา x – 3 = 0 และ y – 2 = 0

ดังน้ัน x = 3 และ y = 2

130


1. จงเขยีนคูอันดับจากแผนภาพทีก่าํหนดใหตอไปน้ี

1).

…………………………………………………………………………………………

2).

…………………………………………………………………………………………

3).

………………………………………………………………………………………… 2. จงหาคา x และ y จากเงื่อนไขที่กําหนดใหในแตละขอตอไปน้ี

1). (x,y) = (4,3)

………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

2). (x,y) = (y,2)

131

………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

3). (x,0) = (6,y)

………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

4). (x+1,y) = (5,4)

………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

132

เร่ืองที่ 2 กราฟของคูอันดับ กราฟของคูอันดับเปนแผนภาพทีแ่สดงความสัมพันธระหวางสมาชิกของกลุมหนึ่งกลับ

สมาชิกของอีกกลุ มหนึ่งโดยใชเสนจํานวนในแนวนอนหรือแนวตั้ง ใหตัดกันเปนมุมฉาก ที ่

ตําแหนงของจุดทีแ่ทนศนูย (0) ซึ่งเราเรียกวา จุดกําเนิด ดังภาพ

เสนจํานวนในแนวนอน หรือแกน X และเสนจํานวนในแนวต้ัง หรือแกน Y อยูบนระนาบ

เดียวกนั และแบงระนาบออกเปน 4 สวนเรียกวา จตุภาค (Quadrant)

การอานและแปลความหมายกราฟบนระนาบพิกัดฉากท่ีกําหนดให

133

ตําแหนงของจุด A คอื (1,2)

ตําแหนงของจุด B คอื (-2,3)

ตําแหนงของจุด C คอื (-3,-2)

ตําแหนงของจุด D คอื (2,-4)

เรียกจุดที่แทนตําแหนงคูอันดับวากราฟของคูอันดับ และเรียกตําแหนงของคูอันดับวา พิกัด

ตัวอยาง กาํหนด A = (-4,6) , B= (3,-5) , C= (2,2) , D = (-1,-2) จุด A, B, C, D อยูในจตุภาคใด

วิธีทํา จุด A = (-4,6) อยูในจตุภาคที่ 2

จุด B = (3,-5) อยูในจตุภาคที่ 4

จุด C = (2,2) อยูในจตุภาคที่ 1

จุด D = (-1,-2) อยูในจตุภาคที่ 3

134


1. จงหาพกิดัของจุด A, B, C, D ในแตละขอ

1.1

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. 1.2

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

135

2. จงเขียนกราฟของคูอันดับในแตละขอ 1). (1, 2), (-2, 4), (3, -6), (4, 0)

2). (5, -1), (2, 2), (-4, 3), (-2, 0)

136

เร่ืองที่ 3 การนําคูอันดับและกราฟไปใช เราสามารถนําคูอันดับและกราฟไปใชในชีวิตประจําวันได ซึ่งจะกลาวในตัวอยางตอไปน้ี ตัวอยางท่ี 1 กราฟที่แสดงปริมาณน้ํามัน (ลิตร) และราคาน้ํามัน (บาท) ของวันที่ 5 เดือนมีนาคม ป 2552

ซึ่งมีราคาลิตรละ 19 บาท


ตัวอยางท่ี 2 จากกราฟในตัวอยางที่ 1 จงตอบคําถามตอไปนี้

(1) นํ้ามัน 9 ลิตร ราคาเทาใด

(2) เงนิ 209 บาท ซื้อนํ้ามันไดกี่ลิตร


ราคาน้ํามัน (บาท)

ปริมาณน้ํามัน (ลติร)

137

(1) จากตําแหนงแสดงปริมาณนํ้ามนั 9 ลติร ลากเสนตรงใหขนานกับแกนต้ังไป

ตัดกราฟและจากจุดทีตั่ดกราฟลากเสนตรงขนานแกนนอนไปตัดแกนที่แสดงราคานํ้ามนั เปนเงิน

171 บาท ดังน้ัน นํ้ามัน 9 ลติร เปนราคา 171 บาท

(2) จากตําแหนงแสดงราคานํ้ามนั 209 ลติร ลากเสนตรงใหขนานกับแกนนอนไปตัดกราฟและ

จากจุดที่ตัดกราฟลากเสนตรงขนานแกนต้ังไปตัดที่แกนแสดงจํานวนน้ํามันเปนปริมาณ 11 ลติร

ดังน้ัน เงิน 209 ลิตร จะซื้อนํ้ามันได 11 ลติร


กราฟขางลางแสดงการเดินทางของอนุวัฒนและอนุพันธ

จงใชกราฟที่กําหนดใหตอบคําถามตอไปนี้

1.อนุวัฒนออกเดินทางกอนอนุพันธกี่ชั่วโมง 4.อนุวัฒนออกเดินทางนานเทาไรจึงจะหยดุพกั

................................................................. .................................................................

2.อนุพันธใชเวลาเดินทางกี่ชั่วโมงจึงทันอนุวัฒน 5.ตําแหนงที่อนุวัฒนหยุดพกัหางจากตําแหนงที่

อนุพันธออกเดินทางกี่กิโลเมตร

................................................................. .................................................................

3. อนุพันธเดินทางทันอนุวัฒนเมื่อทัง้สอง

เดินทางไดกี่กิโลเมตร

.................................................................

138

บทที่ 8

ความสัมพันธระหวางรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ


รูปเรขาคณิตสองมิติ และสามมิติ มีความสัมพันธกันเปนอยางมาก เหมาะที่จะนําไปใชใน

การประดิษฐเปนรูปลูกบาศกและใชประโยชนในชีวิตประจําวัน


1. อธิบายลักษณะของรูปเรขาคณิตสามมิติจากภาพสองมิติที่กําหนดใหได

2. ระบุภาพสองมิติที่ไดจากการมองดานหนา ดานขาง ดานบน ของรูปเรขาคณิตสาม

มิติที่กําหนดใหได

3. วาดหรือประดิษฐรูปเรขาคณิตที่ประกอบขึ้นจากลูกบาศกเมื่อกําหนดภาพสองมิติที่ได

จากการมองทางดานหนา ดานขาง หรือดานบนได


เร่ืองที่ 1 ภาพของรูปเรขาคณิตสองมิติที่เกิดจากการคลี่รูปเรขาคณิตสามมิติ

เร่ืองที่ 2 ภาพสองมิติที่ไดจากการมองดานหนา ดานขาง หรือดานบนของรูปเรขาคณิตสามมิติ

เร่ืองที่ 3 การวาดหรือประดิษฐรูปเรขาคณิตที่ประกอบขึ้นจากลูกบาศก

139

เร่ืองที่ 1 ภาพของรูปเรขาคณิตสองมิติที่เกิดจาการคล่ีรูปเรขาคณิตสามมิติ

รูปเรขาคณิตมีสวนเกี ่ยวของสัมพันธกับชีวิตประจําวันมนุษยตั้งแตอดีตจนถึงปจจุบัน

สิ่งแวดลอมตางๆ ที่อยูรอบตัวเราลวนเปนไปดวยวัตถุรูปเรขาคณิต นอกจากนีเ้ราใชเรขาคณิตเพื่อ

ทําความเขาใจหรืออธิบายสิ่งตางๆ รอบตัว เชน ในการสํารวจพื้นที่ สรางผังเมือง เปนตน ภาพของรูปเรขาคณิต รูปเรขาคณิต เปนรูปที่ประกอบดวย จุด ระนาบ เสนตรง เสนโคง ฯลฯ อยางนอยหน่ึงอยาง ตัวอยางภาพเรขาคณิตสองมิติ

ตัวอยางรูปเรขาคณิตสามมิติ

จะเห็นวา รูปเรขาคณิตสามมิติ หรือทรงสามมิติ มีสวนประกอบของรูปเรขาคณิตหนึ่งมิติ

และสองมิติ

140

รูปคลี่ของรูปเรขาคณิตสามมิติ รูปคลี่ของรูปเรขาคณิตสามมิติ หรือทรงสามมิติใดๆ เปนรูปเรขาคณิตสองมิติที่สามารถ

นํามาประกอบกันแลวไดทรงสามมิติ พิจารณาทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีความกวาง ความยาว และความสูง 1 หนวย เทากัน ซึ่งเรา

เรียกทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากน้ีวา “ลูกบาศก”

141

1. จงบอกชนิดของรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีรูปคลี่ดังตอไปน้ี แบบฝกหัดท่ี 1

1. ……..………………………...…. 2. ….……………………………….

3. …….…………………………….. 4. …..……………………………….

142

2. จงเขียนรูปคลี่ของรูปเรขาคณิตสามมิติในแตละขอตอไปน้ี

143

เร่ืองที่ 2 ภาพสองมิติที่ไดจากการมองดานหนา ดานขาง หรือดานบนของรูปเรขาคณิต

สามมิติ โดยทั่วไปการเขียนรูปเรขาคณิตสองมิติ ในการอธิบายลักษณะของรูปเรขาคณิตสามมิติ

นิยมเขยีน 3 ภาพ ซึ่งประกอบดวย ภาพที่ไดจากการมองทางดานหนา ดานขาง และดานบน ดัง


ตัวอยาง จงแรเงาพรอมทั้งเขียนรูปเรขาคณิตสองมิติสวนที่เปนดานบน ดานหนา และดานขางของ

ทรงสามมิติที่กําหนดใหตอไปนี้

144


145

แบบฝกหัดท่ี 2 จงเขียนภาพดานบน ดานหนา และดานขางของรูปเรขาคณิตสามมิติที่กําหนดให

146

เร่ืองที่ 3 การวาดหรือประดิษฐรูปเรขาคณิตที่ประกอบข้ึนจากลูกบาศก พิจารณารูปเรขาคณิตสามมิติที่ประกอบขึ้นจากลูกบาศกตอไปนี้

จะเห็นวา เมื่อเขียนรูปเรขาคณิตสองมิติ แสดงภาพที่ไดจากการมองดานหนา ดานขาง และ

ดานบนดังภาพ

จะเห็นวาการเขียนรูปเรขาคณิตสองมิติ เพื่อแสดงรูปเรขาคณิตสามมิติที่ประกอบขึ้นจาก

ลูกบาศก เราสามารถเขียนจํานวนลูกบาศกกํากับไวในตารางรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสในดานที่มองทั้งสาม

ดานดังภาพตอไปน้ี

147

ตัวอยาง จงเขียนภาพที่ไดจากการมองทางดานหนา ดานขาง และดานบนของรูปสามมิติที่

กําหนดให พรอมทั้งเขียนตัวเลขแสดงจํานวนลูกบาศกกํากับไวในตาราง

เขยีนแสดงภาพทัง้หมดไดดังน้ี

148

แบบฝกหัดท่ี 3 จงจับคูภาพดานหนา ดานขาง และดานบน ในแตละขอตอไปน้ีกับรูปเรขาคณิตสามมิติที่

กําหนดใหทางขวามือ โดยเลือกตัวอักษรที่กํากับไวในรูปเรขาคณิตสามมิติ เขียนเติมลงในชองวาง

บนขวาของแตละขอ

149

150

2. จงเขียนภาพดานหนา ดานขาง และดานบนของรูปเรขาคณิตสามมิติตอไปน้ี พรอมทั้งเขียน

จํานวนลูกบาศกกํากับไวในตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัส

151

บทที่ 9

สถิต ิ


1. ขอมูลเบื้องตนของสถิติ จะชวยใหทราบขอเท็จจริงที่ชัดเจนถูกตอง ซึ่งจะเปนประโยชน

สําหรับการวางแผนการดําเนินงาน และตัดสินใจปรับปรุงการดําเนินงานตามผลที่ไดนําเสนอขอมูล

ไว

2. การนําเสนอขอมูล มีความมุงหมายเพื่อแสดงใหเห็นรายละเอียดของขอมูลไดงาย ชัดเจน

และรวดเร็ว สามารถนําขอมูลไปใชประโยชนไดทันที ฉะน้ันการเลือกใชวิธีการนําเสนอขอมูลตอง

ใหเหมาะสมกับลักษณะของขอมูลและการใชประโยชนเปนสําคัญ


1. สามารถจัดเก็บรวบรวมขอมูลที่เหมาะสมได

2. สามารถนําเสนอขอมูลในรูปแบบที่เหมาะสมได

3. หาคากลางของขอมูลที่ไมแจกแจงความถี่

4. เลอืกและใชคากลางของขอมูลที่กําหนดใหไดอยางเหมาะสม

5. อาน แปลความหมาย และวิเคราะหขอมูลจากการนําเสนอขอมูลที่กําหนดใหได

6. อภิปรายและใหขอคิดเห็นเกี่ยวกับขอมูลขาวสารทางสถิติที่สมเหตุสมผลได


เร่ืองที่ 1 การรวบรวมขอมูล

เร่ืองที่ 2 การนําเสนอขอมลู

เร่ืองที่ 3 การหาคากลางของขอมูล

เร่ืองที่ 4 การเลือกใชคากลางของขอมูล

เร่ืองที่ 5 การใชสถิติขอมูลและสารสนเทศ

152

เร่ืองที่ 1 การรวบรวมขอมูล

1.1 สถิติ

คําวา สถิติ (Statistics) มาจากภาษาเยอรมันวา Statistik มีรากศัพทมาจาก Stat

สถิติ หมายถึง ขอมูลหรือสารสนเทศ หรือตัวเลขแสดงจํานวนหรือปริมาณของสิ่งตาง ๆ ที่

ไดรวบรวมไว

สถิติ หมายถึง วิธีการที่วาดวยการเก็บรวบรวมขอมูล การนําเสนอขอมูล การวิเคราะห

ขอมูลและการตีความหมายขอมูล สถิติในความหมายนี้เปนทั้งวิทยาศาสตรและศิลปศาสตร เรียกวา

"สถิติศาสตร”

สรุป สถิติ หมายถึง ศาสตรท่ีวาดวยการเก็บรวบรวมขอมูล การนําเสนอขอมูล และการวิเคราะห

ขอมูล

1.2 การรวบรวมขอมูล (Data Collection)

การรวบรวมขอมูล หมายถึง การนําเอาขอมูลตางๆ ที่ผูอ่ืนไดเก็บไวแลว หรือรายงานไวใน

เอกสารตางๆ มาทําการศึกษาวิเคราะหตอ

1.3 ประเภทของขอมลู

ขอมูล หมายถึง ขอเท็จจริงเกี่ยวกับตัวแปรที่สํารวจโดยใชวิธีการวัดแบบใดแบบหน่ึง

โดยทั่วไปจําแนกตามลักษณะของขอมูลไดเปน 2 ประเภท คือ

1) ขอมูลเชิงปริมาณ (Quantitative Data) คือ ขอมูลที่เปนตัวเลขหรือนํามาใหรหัสเปน

ตัวเลข ซึ่งสามารถนําไปใชวิเคราะหทางสถิติได เชน อายุ นํ้าหนัก สวนสูง

2) ขอมูลเชิงคุณภาพ (Qualitative Data) คือ ขอมูลที่ไมใชตัวเลข ไมไดมีการใหรหัส

ตัวเลขที่จะนําไปวิเคราะหทางสถิติ แตเปนขอความหรือขอสนเทศ เชน เพศ ระดับการศึกษา อาชีพ

1.4 แหลงท่ีมาของขอมูล

แหลงขอมูลที่สําคัญ ไดแก บุคคล เชน ผูใหสัมภาษณ ผูกรอกแบบสอบถาม บุคคลที่ถูก

สังเกต เอกสารทุกประเภท และขอมูลสถิติจากหนวยงาน รวมไปถึง ภาพถาย แผนที่ แผนภูมิ หรือ

แมแตวัตถุ สิ่งของ ก็ถือเปนแหลงขอมูลไดทั้งสิ้น โดยทั่วไปสามารถจัดประเภทขอมูลตาม

แหลงที่มาได 2 ประเภท คือ

153

1) ขอมูลปฐมภูมิ (Primary Data) คือ ขอมูลที่ผูวิจัยเก็บขึ้นมาใหมเพื่อ

ตอบสนองวัตถุประสงคการวิจัยในเร่ืองน้ันๆ โดยเฉพาะการเลือกใชขอมูลแบบปฐมภูมิ ผูวิจัยจะ

สามารถเลือกเก็บขอมูลไดตรงตามความตองการและสอดคลองกับวัตถุประสงค ตลอดจนเทคนิค

การวิเคราะห แตมีขอเสียตรงที่สิ้นเปลืองเวลา คาใชจาย และอาจมีคุณภาพไมดีพอ หากเกิดความ

ผิดพลาดในการเก็บขอมูลภาคสนาม

2) ขอมูลทุติยภูมิ (Secondary Data) คือ ขอมูลตางๆ ที่มีผูเก็บหรือรวบรวมไว

กอนแลว เพียงแตนักวิจัยนําขอมูลเหลาน้ันมาศึกษาใหม เชน ขอมูลสํามะโนประชากร สถิติจาก

หนวยงาน และเอกสารทุกประเภท ชวยใหผูวิจัยประหยัดคาใชจาย ไมตองเสียเวลากับการเก็บขอมูล

ใหม และสามารถศึกษายอนหลังได ทําใหทราบถึงการเปลี่ยนแปลงและแนวโนมการเปลี่ยนแปลง

ของปรากฏการณที่ศึกษา แตจะมีขอจํากัดในเร่ืองความครบถวนสมบูรณ เนื่องจากบางคร้ังขอมูลที่

มีอยูแลวไมตรงตามวัตถุประสงคของเร่ืองที่ผูวิจัยศึกษา และปญหาเร่ืองความนาเชื่อถือของขอมูล

กอนจะนําไปใชจึงตองมีการปรับปรุงแกไขขอมูล และเก็บขอมูลเพิ่มเติมจากแหลงอ่ืนในบางสวนที่

ไมสมบูรณ

1.4 วิธีการเก็บรวบรวมขอมูล อาจแบงเปนวิธีการใหญๆ ได 3 วิธี คือ

1) การสังเกตการณ (Observation) ทั้งการสังเกตการณแบบมสีวนรวม และการ

สังเกตการณแบบไมมีสวนรวม หรืออาจจะแบงเปนการสังเกตการณแบบมีโครงสราง และการ

สังเกตการณแบบไมมีโครงสราง

2) การสัมภาษณ (Interview) นิยมมากในทางสังคมศาสตร โดยเฉพาะการ

สัมภาษณโดยใชแบบสอบถาม การสัมภาษณแบบเจาะลึก หรืออาจจะจําแนกเปนการสัมภาษณเปน

รายบุคคล และการสัมภาษณเปนกลุม เชน เทคนิคการสนทนากลุม ซึ่งนิยมใชกันมาก

3) การรวบรวมขอมูลจากเอกสาร เชน หนังสือ รายงานวิจัย วิทยานิพนธ บทความ

สิ่งพิมพตางๆ เปนตน

1.5 ข้ันตอนการเก็บรวบรวมขอมูล

1. การสัมภาษณบุคคลที่เกี่ยวของ

2. การบันทึกขอมูลจากจากบันทึกหรือเอกสารของหนวยงานตางๆ

3. การอานและศึกษาคนควา

4. การคนหาขอมูลจากอินเทอรเน็ต

5. การเขารวมในเหตุการณตางๆ

6. การฟงวิทยุและดูโทรทัศน

154


1. ใหผูเรียนพิจารณาขอความตอไปน้ีแลวเขียนเคร่ืองหมาย ลงในชองที่ตรงกับความคิดเห็นของ

ผูเรียน

ขอท่ี ขอความ ขอมูลสถิติ

เปน ไมเปน

1 แดงสงู 163 เซนติเมตร

2 นางสาวิภาวีมีสวนสัดเปน 35-24-36

3 นํ้าหนักของนักเรียนทุกคนที่เรียนชุดการเรียนทางไกล

4 อุณหภูมิที่จังหวัดปทุมธานีวันน้ีวัดได 25 องศาเซลเซยีส

5 สมศรีไดคะแนน 15 คะแนน

6 ในการโยนเหรียญ 10 คร้ัง เกิดหัว 6 คร้ัง เกิดกอย 4 คร้ัง ได

อัตราสวนที่จะเกิดหัว 106

7 อาจารยศุภราเงินเดือน 23,000 บาท

8 ความสูงเฉลี่ยของประชาชนที่เปนชาย 162 เซนติเมตร

9 คน 6 คน เปนชาย 4 คน เปนหญิง 2 คน ที่อยูในบานวิชัย

10 จํานวนคดีอาชญากรรมในป 2551 ซึ่งรวบรวมมาจากบันทึกคดี

อาชญากรรมแตละวันในแตละสถานีตํารวจ

2. ใหผูเรียนพิจารณาขอมูลในแตละขอตอไปน้ี แลวเขียนเคร่ืองหมาย ลงในชองที่ตรงกับความ

คดิเห็น

ขอท่ี ขอความ

ขอมูลสถิติ

ขอมูล

คุณภาพ

ขอมูล

ปริมาณ

1 สถิติคนไขแยกตามเชื้อโรคของโรงพยาบาลแหงหนึ่ง

2 จํานวนคร้ังของการโทรศัพททางไกลจากแตละเคร่ืองใน

สํานักงาน 10 เคร่ือง ในวันหน่ึง

3 ผูจัดการถูกสัมภาษณถึงจํานวนเปอรเซ็นตของเวลาทํางานที่ใชใน

การประชุม

4 เคร่ืองสําอางโดยเฉพาะสีของสีทาปาก ซึ่งแตละบริษัทใน 10

บริษัท ไดระบุวามียอดขายมากที่สุด

155

3. ใหผูเรียนพิจารณาขอความตอไปน้ี แลวเติมคําตอบลงในชองวางตามความคิดเห็นของผูเรียนวา

เปนขอมูลปฐมภูมิ หรือทุติยภูมิ

1) รายงานประจําปของหนวยงานตางๆ

………………………………………………………………………………………………………

2) สํานักงานสถิติแหงชาติ ตองการเก็บสถิติผลผลิตขาวทั่วประเทศ โดยการไปสัมภาษณ

ชาวนา

………………………………………………………………………………………………………

3) ศิรินภาไปขอขอมูลเกี่ยวกับจํานวนคนเกิด ตาย และยาย ซึ่งสํานักงานเทศบาลแหงหนึ่ง

ไดรวบรวมไว

………………………………………………………………………………………………………

4) บรรณารักษหองสมุดโรงเรียนแหงหน่ึง ไดสังเกตและบันทึกการใชหองสมุดของ

นักเรียนแตละวัน

………………………………………………………………………………………………………

5) ครูคนหนึ่งตองการทราบวาหองสมุดของโรงเรียนมีนักเรียนใชมากหรือนอยเพียงใดใน

แตละวัน จึงไปขอลอกขอมูลจากบรรณารักษ

………………………………………………………………………………………………………

156

เร่ืองที่ 2 การนําเสนอขอมูล

การนําเสนอขอมูลเปนการนําขอมูลที่เก็บรวบรวมมาจากแหลงตาง ๆ ซึ่งยังไมเปนระบบ

มาจัดเปนหมวดหมูใหมีความสัมพันธเกี่ยวของกันตามวัตถุประสงค เพื่อสะดวกแกการอาน ทํา

ความเขาใจ การวิเคราะห และแปลความหมาย เพื่อประยุกตใชในชีวิตประจําวันตอไป

การนําเสนอขอมูลแบงออกเปน 2 ประเภท ไดแก

1. การนําเสนอขอมูลอยางไมมีแบบแผน (informal presentation) หมายถึง การนําเสนอ

ขอมูลที่ไมมีกฎเกณฑ หรือแบบแผนทีแ่นนอนตายตัว เปนการอธิบายลักษณะของขอมูลตามเนื้อหา

ขอมูล ที่นิยมใชมีสองวิธีคือ การนําเสนอขอมูลในรูปบทความหรือขอความเรียง และการนําเสนอ

ขอมูลในรูปบทความกึ่งตาราง

- การนําเสนอขอมูลในรูปขอความ นิยมใชกับขอมูลที่มีจํานวนไมมากนัก เชน ใน

ปงบประมาณ 2552 กศน.บานแพว ไดอนุมัติใหนักเรียนระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนตนจบการศึกษา

จํานวน 480 คน คดิเปนรอยละ 92 อนุมัติใหนักเรียนระดับมัธยมศึกษาตอนปลายจบการศึกษา

จํานวน 372 คน คดิเปนรอยละ 95

- การนําเสนอขอมูลในรูปขอความกึ่งตาราง (Semi – tabular arrangement) คือ การนําเสนอ

ขอมูล โดยแยกตัวเลขออกจากขอความ เพื่อตองการใหเห็นตัวเลขที่ชัดเจนและเปรียบเทียบความ

แตกตางไดสะดวกยิ่งขึ้น ตัวอยาง เชน บริษัทคอมพิวเตอรแหงหนึ่งมีจํานวนยอดขายประจําเดือน

มกราคม 2553 ของลูกคา จําแนกตามภาคตาง ๆ ดังน้ี

ภาค จาํนวนยอดขาย ( พันเคร่ือง )

เหนือ 210

กลาง 398

ตะวันออก 135

ตะวันออกเฉยีงเหนือ 102

ใต 170

2. การนําเสนอขอมูลอยางมีแบบแผน เปนการนําเสนอขอมูลที่มีกฎเกณฑ โดยแตละแบบ

จะตองประกอบดวยชื่อเร่ือง สวนของการนําเสนอ และแหลงทีม่าของขอมูล การนําเสนอขอมูล

อยางมีแบบแผน ประกอบดวย การนําเสนอขอมูลในรูปตาราง แผนภูมิรูปภาพ แผนภูมิวงกลม

(แผนภูมิกง) แผนภูมิแทง กราฟเสน และตารางแจกแจงความถี่

2.1 การนําเสนอขอมูลในรูปตาราง

การนําเสนอในรูปตาราง (Tabular presentation) ขอมูลตางๆ ที่เก็บรวบรวมมาไดเมือ่ทํา

การประมวลผลแลวจะอยู ในรูปตาราง เปนการนําเสนอขอมูลที ่งาย และนิยมใชกันอยาง

แพรหลาย เพราะมีความสะดวกและงายแกการนําไปวิเคราะหและแปลความหมายทางสถิติ

157

เปรียบเทียบการปรับราคานํ้ามันป 2521-2523

(ราคา : บาท / ลิตร)

ชนิดนํ้ามัน 2521 2522 2523

10 มี.ค. 31 ม.ค. 22 มี.ค. 13 ก.ค. 20 ก.ค. 9 ก.พ. 20 มี.ค.

เบนซินพิเศษ 4.98 5.60 - 7.84 - 9.80 -

เบนซินธรรมดา 4.98 5.12 - 7.45. - 9.26 -

นํ้ามันกาด 2.68 3.06 - 5.12 4.20 6.71 5.70

ดีเซลหมุนเร็ว 2.64 3.03 - 4.88 - 7.39 6.50

ดีเซลหมุนชา 2.50 2.93 - 4.71 - 7.12 6.27

นํ้ามันเตา 450 1.52 - - - - - -

นํ้ามันเตา 600 1.66 1.86 1.90 3.04 - 3.78 -

นํ้ามันเตา 1,200 1.62 1.79 1.83 2.93 - 3.64 -

นํ้ามันเตา 1,500 1.61 1.77 1.81 2.90- - 3.61 -

ที่มา: ภาวะการคาของประเทศไทยป 2522 สภาหอการคาแหงประเทศไทย

2.2 การนําเสนอขอมลูดวยแผนภูมิรูปภาพ

แผนภูมิรูปภาพ คือ แผนภูมิที่ใชรูปภาพแทนจํานวนของขอมูลที่นําเสนอ เชน แผนภูมิ

รูปภาพคน รูปภาพคน 1 คน แสดงประชากรที่นําเสนอ 1 ลานคน เปนตน

การเขียนแผนภูมิรูปภาพ อาจกาํหนดใหรูปภาพ 1 รูปแทนจํานวนสิ่งของ 1 หนวย หรือ

หลายหนวยกไ็ดรูปภาพแตละรูปตองมีขนาดเทากันเสมอ

แผนภูมแิสดงงานอดิเรกของนักเรียนชั้น ป. 6 ของโรงเรียนแหงหน่ึง (สํารวจเมื่อวันที่ 19 มกราคม

2548)

ปลูกตนไม

อานหนังสือ

วาดรูป

เลี้ยงสัตว

เลนกีฬา

หมายเหตุ 1 ภาพ แทนจํานวนนักเรียน 15 คน

158

2.3 การนําเสนอดวยแผนภูมิแทง (Bar chart) ประกอบดวยรูปแทงสี่เหลี่ยมผืนผาซึ่งแตละ

แทงมีความหนาเทาๆ กัน โดยจะวางตามแนวต้ังหรือแนวนอนของแกนพกิดัฉากกไ็ด

แผนภูมิแทงแบบทางเดียว เปนการนําขอมูลเพียงขอมูลเดียวมานําเสนอในรูปแบบของ

แทงสี่เหลี่ยม

ตัวอยาง แผนภูมิแทงแสดงการสงออกไกไปตางประเทศ

แผนภูมิแทงแสดงการเปรียบเทียบ เปนการนําขอมูลต้ังแต 2 ชุดขึ้นไปที่เปนเร่ืองเดียวกัน

นํามาเขียนบนแกนคูเดียวกัน แลวระบายสีแทงสี่เหลี่ยมใหตางกันเพื่องายตอการดู แลวอธิบายวาสี

ใดแทนอะไร

ตัวอยาง แผนภูมิแสดงการเปรียบเทียบยอดการขายแตละเดือนของบริษัทหน่ึง

ปริมาณ (ตัน)

ประเทศ

จํานวน (ลานบาท)

159

2.4 การนําเสนอดวยกราฟเสน (Line graph) เปนแบบที่รูจักกันดีและใชกันมากที่สุดแบบ

หน่ึง เหมาะสําหรับขอมูลที่อยูในรูปของอนุกรมเวลา เชน ราคาขาวเปลือกในเดือนตางๆ ปริมาณ

สินคาสงออกรายป เปนตน

จากตาราง นําเสนอขอมูลดวนกราฟเสน ดังน้ี

2.5 การนําเสนอดวยรูปแผนภูมิวงกลม (Pie chart) เปนการแบงวงกลมออกเปนสวนตางๆ

ตามจํานวนชนิดของขอมูลที่จะนําเสนอ

ตัวอยาง แผนภูมิวงกลมแสดงการใชที่ดินที่ถือครอบ เพื่อการเกษตร พ.ศ. 2518

160

2.6 การนําเสนอขอมูลในรูปตารางแจกแจงความถี่

ขอมูลที่เก็บรวบรวมมาไดนั้น ถามีจํานวนมากหรือซ้ํากันอยูมาก เมื่อมาเรียงกันหรือจัดให

อยูเปนหมวดหมูแลว จะชวยใหเราบอกรายละเอียดตางๆ หรือสรุปผลเกี่ยวกับขอมูลไดสะดวกและ

รวดเร็วขึ้น

เชน

ในการชั่งนํ้าหนักของนักเรียน 40 คน หนวยเปนกโิลกรัม ปรากฏผลดังน้ี

57 44 46 41 48 50 51 42 43 45

45 43 42 40 50 41 47 60 50 52

46 42 42 53 46 55 45 41 50 42

44 41 40 45 59 44 49 50 39 42

ในทางสถิติเรียกวา ขอมูลดิบ หรือคะแนนดบิ หรือคาจากสังเกต เมื่อนํามาจัดเรียงใหมให

เปนระบบโดยอาจเรียงจากมากไปหานอยหรือจากนอยไปหามาก แลวบนัทกึรอยขีด แสดงจํานวน

คร้ังของขอมูลที่เกิดขึ้นซ้ํากันในตาราง จํานวนรอยขีดที่นับไดเรียกวา ความถี่ของแตละขอมูล

ตารางที่นําเสนอขอมูลในรูปแบบน้ีเรียกวา ตารางแจกแจงความถี่ และวิธกีารจําแนกขอมลู

โดยการบันทึกรอยขีดเพื่อหาคาความถี่เรียกวา การแจกแจงความถี่

การสรางตารางแจกแจงความถี่

ในกรณีที่ขอมูลที่เก็บรวบรวมมามีจํานวนมากๆ และไมคอยซ้ํากัน ถาจะเรียงลําดับจะเปน

การเสียเวลาและสิ้นเปลืองมาก จึงกําหนดขอมูลเปนชวงๆ และหาความถี่ของชวงขอมูลนั้นๆ

วิธีการสรางตารางแจกแจงความถี่ โดยจัดเปนอันตรภาคชั้นใหทกุๆ ชั้นมีความกวาง

เทากัน มีวิธีการดังน้ี

1. หาพิสัยของขอมูล

พิสัย = ขอมูลที่มีคาสูงสุด – ขอมูลที่มีคาตํ่าสุด

161

2. กาํหนดจํานวนชัน้หรือกาํหนดความกวางของอันตรภาคชัน้ขึน้มา

- ถากําหนดจํานวนชั้นก็ใหหาความกวางของอันตรภาคชั้น

ความกวางของอันตรภาคชั้น = พิสัย

จํานวนอันตรภาคชั้น

(เศษเทาไรปดขึ้นเสมอ)

- ถากําหนดความกวางของอันตรภาคชั้นก็หาจํานวนชั้นไดจาก

จํานวนอันตรภาคชั้น = พิสัย

ความกวางของอันตรภาคชั้น

(เศษเทาไรปดขึ้นเสมอ)

3. เขียนอันตรภาคชั้นโดยเรียงคาจากนอยไปมากหรือจากมากไปนอย ถาเรียงคาจากนอยไปมาก

ตองใหขอมูลที่มีคาตํ่าสุดในอันตรภาคชั้นแรก และขอมูลที่มีคาสูงสุดอยูในอันตรภาคชั้นสุดทาย

4. นําขอมูลดิบมาใสในตารางโดยใชรอยขีด

5. รวมความถี่ตามรอยขีด

ตัวอยาง จากขอมูล

72 74 49 50 62 43 44 54 46 54

45 53 63 67 65 57 65 50 66 69

80 77 60 55 52 56 61 61 82 74

48 66 71 81 51 59 48 68 70 63

จงหา

1. พิสัย

2. จงสรางตารางแจกแจงความถี่ ใหมีทั้งหมด 6 ชั้น

3. จงสรางตารางแจกแจงความถี่ ใหมีความกวางของอันตรภาคชั้นทุกชั้นเปน 8 ทุกชั้น

162


1. ขอมูลที่มีคาสูงสุดเปน 82

ขอมูลที่มีคาตํ่าสุดเปน 43

ดังน้ันพิสัย = 82 – 43= 39

ตอบ พิสัยเปน 39

2. โจทยกําหนดใหสรางตารางแจกแจงความถี่ทั้งหมด 6 ชั้น

จํานวนอันตรภาคชั้น = พิสัย

ความกวางของอันตรภาคชั้น

จํานวนชั้น = 6

39

= 6.5

≈ 7

ดังนั้นความกวางของอันตรภาคชั้นเปน 7

เขยีนอันตรภาคชั้นโดยเรียงคาจากนอยไปมากหรือจากมากไปนอย ถาเอาขอมูลที่มีคาตํ่าสุดเปนตัว

เร่ิมตน และใหมีความกวางของอันตรภาคชั้นเปน 7 จัดไดดังน้ี

อันตรภาคชั้น รอยขีด ความถี ่

43-49 //// // 7

50-56 //// //// 9

57-63 //// /// 8

64-70 //// /// 8

71-77 //// 5

78-84 /// 3

รวม 40

จากตารางแจกแจงความถี่ขางตน มีคาตางๆ ที่ผูเรียนควรทราบอีก คือ

1. ขอบลาง = คาที่นอยที่สุดของอันตรภาคชั้นน้ัน + คาที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นที่ตํ่ากวาหน่ึงชั้น

2

หรือ ขอบลาง = คาที่นอยที่สุดของอันตรภาคชั้นที่เราตองการ - 0.5

เชน ขอบลางของอัตรภาคชั้น 50-56 ไดแก 49.5

163

2. ขอบบน = คาที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นน้ัน + คาที่นอยที่สุดของอันตรภาคชั้นที่สูงกวาหน่ึงชั้น

2

หรือ ขอบบน = คาที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นที่เราตองการ + 0.5

เชน ขอบบนของอันตรภาคชั้น 50 - 56 = 5.562

5756=

− หรือ ขอบบน = 56 + 0.5 = 56.5

3. จุดกึ่งกลางชั้น = ขอบลาง + ขอบบน (ของอันตรภาคชั้น)

2

เชน อันตรภาคชั้น 50 – 56 มีขอบบน และขอบลาง ไดแก 49.5 และ 56.5 ตามลําดับ

ดังน้ัน จุดกึ่งกลางชั้น = 532

5.565.49=

+

164


1. แผนภมูิรูปวงกลมแสดงรายไดของหางสรรพสนิคาแหงหน่ึงโดยเฉลีย่ตอวัน จําแนกตามแผนกตางๆ

จากแผนภูมิจงตอบคําถามตอไปน้ี

1) รายไดจากแผนกเสื้อผาบุรุษ และแผนกเสื้อผาสตรีรวมกันมากกวาหรือนอยกวารายไดจากแผนก

เคร่ืองเขียน แบบเรียนอยูกี่เปอรเซ็นต

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

2) รายไดจากแผนกใดนอยที่สุด และคิดเปนรอยละเทาไรของรายไดจากแผนกที่รายไดมากที่สุด

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

3) รายไดจากแผนกเสื้อผาสตรีคิดเปนรอยละเทาไรของรายไดจากแผนกเคร่ืองเขียน แบบเรียน

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

4) แผนกใดที่มีรายไดมากเปนอันดับสอง และรายไดน้ันคิดเปนรอยละเทาไรของรายไดทั้งหมด

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

165

2. จากการสอบถามงบประมาณที่แตละกลุมสาระการเรียนรูไดมาจากการจัดสรรงบประมาณของ

ทางโรงเรียน เปนดังน้ี

กลุมสาระการเรียนรู งบประมาณ

(บาท)

จาํนวนเปอรเซน็ต ขนาดของมุมท่ีจุดศูนยกลาง

ของรูปวงกลม (องศา)

คณติศาสตร 35,000 29.1010034000035000

=× 06.3736034000035000

=×

วิทยาศาสตร 100,000

ภาษาตางประเทศ 48,000

ภาษาไทย 34,500

ศิลปะ 18,500

การงานอาชีพและเทคโนโลยี 40,500

สุขศึกษาและพลศกึษา 29,500

สังคมศึกษา ศาสนา และ

วัฒนธรรม

34,000

รวม 340,000

3. จงเขียนแผนภูมิรูปวงกลมโดยใชจํานวนเปอรเซ็นตและขนาดของมุมที่จุดศูนยกลางของรูป

วงกลมที่คํานวณไดจากตารางขางตน

166

4. ใหผูเรียนพิจารณากราฟเสนตอไปน้ี

จากกราฟเสน จงตอบคําถามตอไปนี้

1) ใน พ.ศ. ใดบางที่ปริมาณไมสักที่ผลิตไดมีมากกวาไมประดู

.............................................................................................................................................................

2) ในพ.ศ. ใดที่ปริมาณของไมสักและไมประดูที่ผลิตไดตางกันมากที่สุด และตางกันประมาณกี่

ลูกบาศกเมตร

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

167

3) ในชวง พ.ศ. 2531 – 2533 ปริมาณไมสักและไมประดูที่ผลิตไดมีลักษณะการเปลี่ยนแปลงเปน

อยางไร และชนิดใดมีการเปลี่ยนแปลงมากกวา

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

4) ใน พ.ศ. 2532 ปริมาณไมสักที่ผลิตไดคิดเปนกี่เปอรเซ็นตของปริมาณไมประดูที่ผลิตไดในป

เดียวกนั (ตอบเปนคาประมาณของจํานวนเต็มหนวย)

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

5) ปริมาณไมประดูในปที่ผลิตไดมากที่สุดและในปที่ผลิตไดนอยที่สุดแตกตางกันประมาณกี่

ลูกบาศกเมตร

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

168

4. ตารางแสดงรายจับ – รายจายของนาย ก ในรอบ 6 เดือนแรกของป พ.ศ. 2546 เปนดังน้ี

จากตารางจงนําเสนอขอมูลดวยกราฟเสน

169

เร่ืองที่ 3 การหาคากลางของขอมูล

การหาคากลางของขอมูลที่เปนตัวแทนของขอมูลทั้งหมดเพื่อความสะดวกในการสรุป

เร่ืองราวเกี่ยวกับขอมูลน้ันๆ จะชวยทําใหเกิดการวิเคราะหขอมูลถูกตองดีขึ้น การหาคากลางของ

ขอมูลมีวิธีหาหลายวิธี แตละวิธีมีขอดีและขอเสีย และมีความเหมาะสมในการนําไปใชไมเหมือนกัน

ขึ้นอยูกับลักษณะขอมูลและวัตถุประสงคของผูใชขอมูลน้ันๆ

คากลางของขอมูลที่สําคัญ มี 3 ชนิด คือ

1. คาเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic mean) คือ คาที่ไดจากผลรวมของขอมูลทั้งหมด หารดวยจํานวน

ขอมูลทั้งหมด ใชสัญลักษณ คือ x

Nxxxxx n...321 +++

=

X แทน ขอมูล

N แทน จํานวนขอมลู

ตัวอยาง จากการสอบถามอายุของนักเรียนกลุมหน่ึงเปนดังน้ี 14 , 16 , 20 , 25 , 30

วิธีทํา คาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดน้ี คือ 5

3025201614 ++++

= 5

105

= 21

ตัวอยาง จากขอมูล 4, 8, 4, 5, 8, 5, 6, 8

วิธีทํา คาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดน้ี คือ 8

86585484 +++++++

= 848

= 6

170

2. มธัยฐาน (Median)

คือ คาที่มีตําแหนงอยูกึ่งกลางของขอมูลทั้งหมด เมื่อไดเรียงขอมูลตามลําดับ ไมวาจากนอย

ไปมาก หรือจากมากไปนอย ใชสัญลักษณ Med

หลักการคิด

21+N

1) เรียงขอมูลที่มีอยูท้ังหมดจากนอยไปมาก หรือมากไปนอยก็ได

2) ตําแหนงมัธยฐาน คือ ตําแหนงกึ่งกลางขอมูล ดังน้ันตําแหนงของมัธยฐาน =

เมือ่ N คือ จํานวนขอมูลทั้งหมด

ตัวอยาง จงหามัธยฐานจากขอมูลตอไปน้ี 3, 10, 4, 15, 1,24, 28, 8, 30, 40, 23

วิธีทํา 1. เรียงขอมูลจากนอยไปหามาก หรือมากไปหานอย

จะได 1, 3, 4, 8, 10, 15, 23, 24, 28, 30, 40

2. หาตําแหนงของขอมูล จาก 2

1+N

จะได 62

111=

+

ดังน้ัน มัธยฐานอยูตําแหนงที่ 6 มีคาเปน 15

ถาขอมูลชุดนั้นเปนจํานวนคู จะใชคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลคูที่อยูตรงกลางเปนมัธยฐาน

ตัวอยาง จงหามัธยฐานจากขอมูลตอไปน้ี 25, 3, 2, 10, 14, 6, 19, 22, 30, 8, 45, 36, 50, 17

วิธีทํา 1. เรียงขอมูลจากนอยไปหามาก หรือมากไปหานอย

จะได 2, 3, 6, 8, 10, 14, 17, 19, 22, 25, 30, 36, 45, 50

2. หาตําแหนงของขอมูล จาก 2

1+N

จะได 5.72

114=

+

มัธยฐานอยูระหวางตําแหนงที่ 7 และ 8

ดังน้ัน มัธยฐาน คือ 182

1917=

+

171

3. ฐานนิยม (Mode)

ฐานนิยมของขอมูลชุดหน่ึง คือ ขอมูลที่มีความถี่สูงสุดในขอมูลชุดน้ัน หรืออาจกลาววา

ขอมูลใดการซ้ํากันมากที่สุด(ความถี่สูงสดุ) ขอมูลนั้นเปนฐานนิยมของขอมูลชุดนั้น และ ฐาน

อาจจะไมมี หรือ มีมากกวา 1 คาก็ได

ตัวอยาง จากขอมูล 2, 3, 4, 3, 4, 5, 6, 8, 6, 4, 6, 7 จงหาฐานนิยม

วิธีทํา จากขอมูลจะเห็นวา

มี 2 อยูหน่ึงตัว

มี 3 อยูสองตัว

มี 4 อยูสามตัว


มี 6 อยูสามตัว



ขอมูลที่มีความถี่สูงสุดในที่น้ีมี 2 ตัวคือ 4 และ 6 ซึ่งตางก็มีความถี่เปน 3

ดังน้ัน ฐานนิยมของขอมูลชุดน้ี คือ 4 และ 6

172


1. จากขอมูล 2, 6,1, 5, 13, 6, 16 จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิต ฐานนิยม และมัธยฐาน

คาเฉลี่ยเลขคณิต = ………………………………………………….\

มัธยฐาน = ………………………………………………….

ฐานนิยม = ………………………………………………….

เรียงขอมูลจากมากไปหานอยหรือนอยไปหามาก

คาเฉลี่ยเลขคณิต = ………………………………………………….

มัธยฐาน คือ = ………………………………………………….

ฐานนิยม คือ = ………………………………………………….

2. จากขอมูล 24, 16,18, 36, 7, 28, 6, 36, 12 จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิต ฐานนิยม และมัธยฐาน

คาเฉลี่ยเลขคณิต = ………………………………………………….\

มัธยฐาน = ………………………………………………….

ฐานนิยม = ………………………………………………….


คาเฉลี่ยเลขคณิต = ………………………………………………….

มัธยฐาน คือ = ………………………………………………….

ฐานนิยม คือ = ………………………………………………….

3. จากขอมูล 10.1, 13.8, 15.6, 4.5, 18.6, 8.4 จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิต ฐานนิยม และมัธยฐาน

คาเฉลี่ยเลขคณิต = ………………………………………………….\

มัธยฐาน = ………………………………………………….

ฐานนิยม = ………………………………………………….


คาเฉลี่ยเลขคณิต = ………………………………………………….

มัธยฐาน คือ = ………………………………………………….

ฐานนิยม คือ = ………………………………………………….

173

เร่ืองที่ 4 การเลือกใชคากลางของขอมูล

ในการที่จะเลือกใชคากลางคาใดน้ัน ขึ้นอยูกับจุดประสงคของผูใช ซึ่งคากลางทั้งสามมี

สมบัติที่แตกตางกันดังน้ี

คาเฉลี่ยเลขคณิต

ขอเสีย

1. ถาขอมูลมีบางคาตํ่าเกินไปหรือสูงเกินไป จะมีผลตอคาเฉลี่ยเลขคณิต จึงไมเหมาะสมที่

จะใช เชน รายไดของพนักงาน 5 คน เปนดังน้ี 7,000 บาท 9,000 บาท 13,500 บาท 18,000 บาท

80,000 บาท

2. ถาขอมูลแจกแจงความถี่ชนิดปลายเปด เชน นอยกวาหรือเทากับ มากกวาหรือเทากับ จะ

คาํนวณหาคาเฉลี่ยเลขคณิตไมได

3. ใชไดกับขอมูลเชิงปริมาณเทานั้น

ขอดี

1. มีประโยชนในการใชขอมูลจากตัวอยางอางอิงไปสูประชากร

2. สามารถคํานวณไดงายโดยใชคาที่ไดมาทุกจํานวน

3. มีการนําไปใชในสถิติชั้นสูงมากกวาคาเฉลี่ยแบบอ่ืน ๆ

4. สามารถเปรียบเทียบกับขอมูลชุดอ่ืนไดงาย

ฐานนิยม

ขอเสีย

1. บางคร้ังหาฐานนิยมไมได

2. การคาํนวณฐานนิยมไมไดใชคาของขอมูลทุกตัว จึงไมเปนตัวแทนที่ดีนัก

3. คาฐานนิยมไมคอยนิยมใชในสถิติชั้นสูง

ขอดี

1. เขาใจงายและคํานวณงาย

2. สามารถคํานวณจากกราฟได

3. เปนคากลางที่ใชไดกับขอมูลเชิงคุณภาพ

4. เมื่อมีขอมูลบางตัวเล็กหรือใหญผิดปกติจะไมกระทบฐานนิยม

5. ใชไดดีเมื่อจุดประสงคมุงที่จะศึกษาสิ่งที่เกิดขึ้นบอย หรือลักษณะที่คนชอบมากหรือมี

คะแนนสวนใหญรวมกันอยู ณ คาใดคาหน่ึง

6. กรณีที่ขอมูลแจกแจงความถี่ชนิดปลายเปดสามารถหาฐานนิยมได

174

มธัยฐาน

ขอเสีย

1. ใชไดกับขอมูลเชิงปริมาณเทานั้น

2. สําหรับขอมูลที่แจกแจงความถี่หรือขอมูลที่จัดกลุมมัธยฐานที่คํานวณไดจะไมใชคา

ขอมูลจริง

ขอดี

1. คํานวณไดงายสําหรับขอมูลไมจัดกลุม

2. ขอมูลบางคามีคาสูงหรือตํ่าเกินไป ไมกระทบกระเทือนตอมัธยฐาน จึงเหมาะที่จะใชมัธย

ฐานมากที่สุด

3. กรณีที่ขอมูลแจกแจงความถี่ชนิดปลายเปดก็สามารถหามัธยฐานได


1. จากตารางใหนักเรียนหาความถี่สะสม โดยเติมลงในชองความถี่สะสม

175

2. จากตารางในขอ 1

ฐานนิยม คือ ........................................................................................

มัธยฐาน คือ .......................................................................................

หาคาเฉลี่ยเลขคณิต ใหนักเรียนเติมคาตางๆ ลงในชองวางใหสมบูรณ

คาเฉลี่ยเลขคณิต = ……………………………………………..

= ……………………………………………..

ดังน้ันคาเฉลี่ยเลขคณิต คือ .......................................................

176

3. ตอไปนี้เปนตารางแจกแจงความถี่ของน้ําหนัก (หนวยเปนกโิลกรัม) ของนักเรียน 60 คน

177

2) ฐานนิยมของนํ้าหนักอยูในชวงใด

.............................................................................................................................................................

3) โดยสวนใหญนกัเรียนหนักอยูในชวงใด

.............................................................................................................................................................

4) ถาเรียงนํ้าหนักนอยที่สุดไปยังนํ้าหนักมากที่สุด จงหาตําแหนงของมัธยฐาน

.............................................................................................................................................................

5) นักเรียนคิดวามัธยฐานของนํ้าหนักอยูในชวงใด

.............................................................................................................................................................

6) หาคาเฉลี่ยเลขคณิต ใหนักเรียนเติมคาตางๆ ลงในชองวางใหสมบูรณ

คาเฉลี่ยเลขคณิต = ……………………………………………..

= ……………………………………………..

ดังน้ันคาเฉลี่ยเลขคณิต คือ .......................................................

178

เร่ืองที่ 5 การใชสถิติ ขอมูลสารสนเทศ

5.1 สถิตใินชีวิตประจําวนั

ในชีวิตประจําวันของคนเราน้ัน สถิติมีสวนเกี่ยวของอยูเสมอ เชน

ในเร่ืองเกี่ยวกับตัวนักเรียน อาจจะมีการหาความสูงโดยเฉลี่ย หรือหานํ้าหนักโดยเฉลี่ย

หรือหาคะแนนเฉลีย่ หรือหาสวนสดัโดยเฉลี่ยของนักเรียนทั้งหองเรียน เปนตน

ในเร่ืองเกี่ยวกับครู-อาจารย ก็มีสถิติเกี่ยวกับจํานวนครู-อาจารย ระดับผลการเรียนของ

นักเรียน จํานวนนักเรียนที่ติด 0, ร. มส. จํานวนนักเรียนที่สอบเขามหาวิทยาลัยไดในแตละรุน แต

ละปและสถิติการทํางานในสถานที่ตางๆ ของนักเรียนที่จบการศึกษาในแตละรุน เปนตน

ในเร่ืองของขาวสาร สารสนเทศ จะเห็นวาในหนังสือพิมพ หรือในโทรทัศนจะมีตัวเลข

แสดงใหเห็นขอเท็จจริงตางๆ เชน สถิติเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงราคาหุน อาจจะนําเสนอในรูปแบบ

ตางๆ เชน นําเสนอในรูปตาราง นําเสนอในรูปแผนภูมิแทง นําเสนอในรูปแผนภูมิวงกลม หรือ

นําเสนอในรูปกราฟเสน เปนตน

ในเร่ืองของแรงงาน ก็มีสถิติเกี่ยวกับจํานวนคนในกําลังแรงงาน เปอรเซ็นตของคนวางงาน

รายไดและสวัสดิการทีค่นงานไดรับ เปนตน

ในเร่ืองเกี่ยวกับการกสิกรรม จะเห็นวาเกษตรกรตองมีการพัฒนาอยูเร่ือยๆ เชน การศึกษา

ผลผลิตขาวพันธุใหมเทียบกับพันธุเดิม หรือการทดลองปลูกออยในที่ดินลักษณะตางๆ การปลูกมัน

สําปะหลังแบบใดจึงจะเหมาะกับสภาพดินของตนเอง หรือการปลูกหมอนเลี้ยงไหมพันธุไหนดีกวา

กัน จึงจะไดใบหมอนที่มีคุณภาพทั้งยังเปนการประหยัดเวลาและแรงงาน ซึ่งสถิติมีสวนในการวาง

แผนการ ทดลองและการวิเคราะหขอมูล

ในเร่ืองของการประกันชีวิต บริษัทประกันก็ตองมีสถิติของพนักงานหรือตัวแทน หรือ

ผูจัดการแตละฝาย หรือตําแหนงที่สูงกวา หรือสถิติยอดขายในแตละเดือน หรือการปรับอัตราการ

ชําระเบี้ยประกันที่มีการปรับปรุงเปลี่ยนแปลง อาจจะแยกตามเพศ ตามอายุ ตามวงเงิน การกําหนด

อัตราเบี้ยประกัน จะตองอาศัยขอมูลที่ผานมา สถิติมีสวนในการคํานวณเบี้ยประกันตามวิธีของการ

ประกันภัย พรอมทั้งมีการเสนอในรูปแบบตางๆ โดยเฉพาะแบบตาราง เปนตน

ในเร่ืองเกี่ยวกับธุรกิจการคา บริษัทหางรานหรือสรรพสินคาตางๆ ก็มีสถิติเกี่ยวกับยอดขาย

สินคาในแผนกตางๆ สถิติแสดงปริมาณสินคาที่ขายประเภทตางๆ สถิติยอดขายของพนักงานแตละ

คน นอกจากน้ีสถิติยังไปเกี่ยวของกับการรับประกันอายุใชงานของสินคา สถิติชวยในการกําหนด

วิธีเก็บรวบรวมขอมูลและการวิเคราะหขอมูล นอกจากน้ีสถิติก็ยังมีสวนเกี่ยวของกับการควบคุม

คุณภาพสินคาที่ผลิตดวย

179

ในวงการแพทยก็มีสถิติเกี่ยวกับจํานวนแพทย พยาบาล จํานวนผูปวย จําแนกโรคตางๆ

สถิติการผลิตและจํานวนยาประเภทตางๆ จํานวนคนตายจําแนกตามสาเหตุของการตาย จํานวนผู

บริจาคเลือดในแตละป เปนตน นอกจากน้ีสถิติยังไมเกี่ยวของในการออกแบบ และการวางแผนการ

ทดลอง การเก็บรวบรวมขอมูล การวิเคราะหขอมูลเพื่อหาขอสรุป เกี่ยวกับการทดสอบประสิทธิผล

ของยารักษาโรคชนิดตางๆ อีกดวย

ในเร่ืองของการบริหารงานขององคกรตางๆ อาทิ องคกรของรัฐ เชน ระดับอําเภอก็มีสถิติ

เกี่ยวกับประชากร ในแตละหมูบาน ในแตละตําบล สถิติเกี่ยวกับอาชีพตาง ๆ ผลผลิตแตละป

การศึกษาของคนในแตละชุมชนเปนอยางไร จะจัดสรรงบประมาณไปใหแตละแหงมากนอย

เพียงใด สถิติมีสวนเกี่ยวของมาก

นอกจากที่กลาวมาแลวขางตน สถิติยังไปเกี่ยวของกับชีวิตประจําวันอีกหลายอยาง เชน การ

สํารวจความคิดเห็นหรือโพล การรวมแสดงความคิดเห็นโดยการสง sms ซึ่งคิดออกมาในรูปรอยละ

เห็นดวยไมเห็นดวย นําเสนอผานหนาจอโทรทัศนเปนประจํา สถิติเกี่ยวกับนํ้าทวม ไรนาเสียหายไป

กี่ไร จะมีมาตรการอยางไรที่จะแกไข ในปตอไปซึ่งตองมีการเก็บรวบรวมขอมูลจากปที่ผานๆ มา

หรือสถิติคนใชบริการรถโดยสารในชวงเทศกาลตางๆ สถิติการเกิดอุบัติเหตุบนทองถนน ซึ่งขอมูล

เหลาน้ีลวนแตเกี่ยวของกับสถิติทั้งสิ้น


ใหนักศึกษาอภิปรายหาขอมูลสารสนเทศที่เคยมีประสบการณ มา 4 – 5 ชนิด

180

5.2 การใชขอมูลสารสนเทศ

การเลือกใชขอมูลในการตัดสินใจ เปนสิ่งที่มีประโยชนมาก เพราะในการดํารงชีวิตของ

คนเรามักเกี่ยวของกับเหตุการณตางๆ มากมาย จึงจําเปนตองอาศัยการตัดสินใจอยางมีระบบระเบียบ

มีหลักมีเกณฑ และมีเหตุผล โดยนําปจจัยตางๆ มาพิจารณากอนที่จะตัดสินใจ เพื่อใหไดทางเลอืกที่

ดีที่สุด ซึ่งตองอาศัยทั้งความรู ประสบการณ ขอมูล ขาวสารตางๆ เปนสวนประกอบ เพื่อไมใหเกิด

ความผิดพลาดหรือโอกาสที่จะผิดพลาดมีนอยที่สุด เชน

การเลือกสิ่งตาง ๆ การตัดสินใจ

การเลือกซื้อสินคาอยางหน่ึง 1. คุณภาพดี

2. ราคาไมแพงเกินไป

3. มีคนนิยมมาก

4. จําเปนตองใช

5. ชอบเปนชีวิตจิตใจ

การเลอืกธนาคารเพือ่การออม 1. ธนาคารของรัฐบาล

2. ธนาคารใกลบาน

3. ธนาคารใกลที่ทํางาน

4. ใหผลประโยชนมาก

5. การไปมาสะดวก

6. ธนาคารที่มีความมั่นคงไม

สั่นคลอน หรือ ไมมีขาวออกมา

ในทางไมสูดีอยูเสมอๆ

การลงทุนในกิจการอยางใดอยางหนึ่ง 1. เงินลงทุน

2. ผลผลิตที่ได

3. คุมคาแรงงานหรือไม

4. เปนที่นิยมหรือเปลา

การเลือกชมรายการโทรทัศนชองตางๆ 1. รายการโปรด

2. เน้ือหาสาระดี

3. ใหความบันเทิง

4. การนําเสนอทันสมัย

5. มีประโยชนสามารถนําไป

ประยุกตใชได

6. เพื่อการลงทุน เชน หุน

181

การเดินทาง

รายงานขาวบอกวามีรถติดที่ถนนใดบาง 1. อาจหลีกเลี่ยงเสนทางดังกลาว

2. รอจนกวาจะเดินรถสะดวกกอน

เทศกาลตางๆ รถจะแนน เมื่อเดินทาง 1. อาจไมกลับในชวงเทศกาล

ไปตางจังหวัด 2. อาจเลือกกลับหลังเทศกาล 1 – 2 วัน

เปนตน

นอกจากนี้การตัดสินใจยังมีความสําคัญในการประกอบธุรกิจตางๆ ทัง้ธุรกิจขนาดเล็กและ

ธุรกิจขนาดใหญ นักธุรกิจอาจพบปญหาในดานตางๆ มากมายทีจ่ะตองตัดสินใจอยู เสมอ เชน

ปญหาดานการตลาด ปญหาดานการขยายการลงทุน ปญหาแรงงาน ปญหาในดานการกําหนดราคา

ปญหาพนักงาน คาครองชีพ ปญหาดานการเงิน ซึ่งนักธุรกิจจะใชประสบการณหรือคําสัง่สอน

อบรมจากพอแม บรรพบุรุษมาแกปญหาอยางเดียวไมได อาจจะเกิดความผิดพลาดได ดังนั ้น

นักธุรกิจควรใชขอมูลและวิธีการทางสถิติมาชวยในการตัดสินใจ

สําหรับในระดับนีก้ารเลือกใชขอมูลในการตัดสินใจอาจจะเกี่ยวกับคากลางที่กลาวมาแลวดวย

เชน ถาตองการกะประมาณรายไดของประชากรทั้งประเทศ ควรใชคากลาง คือ คาเฉลี่ยเลขคณิต หรือ

ประมาณจํานวนพลเมืองที่ชอบดูทีวีสีชอง 7 ควรเลือกใชคากลางฐานนิยม หรือถาขอมูลมีคาต่าํและ

คาสูงแตกตางกันมากควรตัดสินใจเลือกใชคากลางมัธยฐาน เปนตน

ในเร่ืองน้ีผูเรียนจะไดเรียนละเอียดในชั้นสูงตอไป

182

บทท่ี 10

ความนาจะเปน


1. การนับจํานวนผลลัพธที่เกิดจากการทดลองใด ๆ

2. ความนาจะเปน แสดงใหทราบวา เหตุการณใดเหตุการณหน่ึงมีโอกาสเกิดขึ้นมากนอย

เพยีงใด อันจะมปีระโยชนตอการตัดสนิใจในการดําเนินงานน้ัน ๆ


1. หาความนาจะเปนของเหตุการณจากการทดลองสุมที่ผลแตละตัวมีโอกาสที่จะเกิดขึ้น

เทา ๆ กัน

2. ใชความรูเกี่ยวกับความนาจะเปนในการคาดการณไดอยางสมเหตุสมผล

3. ใชความรูเกี่ยวกับความนาจะเปนประกอบการตัดสินใจ


เร่ืองที่ 1 การทดลองสุมและเหตุการณ

เร่ืองที่ 2 ความนาจะเปนของเหตุการณ

เร่ืองที่ 3 การนําความนาจะเปนของเหตุการณตางๆ ไปใช

183

เร่ืองที่ 1 การทดลองสุม และเหตกุารณ

1.1 การทดลองสุม

คือการกระทําที่เราทราบผลทั้งหมดที่อาจจะเกดิขึน้ได แตเราไมทราบวาผลลัพธใดจะ

เกิดขึ้น เชน

1. โยนเหรียญ 1 อัน 1 คร้ัง ผลที่เกิดขึ้นไดมีสองอยาง คือ “ออกหัว” หรือ “ออกกอย” จะได

วาผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นคือ หัวและกอย

2. ทอดลกูเตา 1 ลูก 1 คร้ัง ผลที่เกิดขึ้น คือ การขึ้นแตมของหนาใดหนาหน่ึงของลูกเตา ซึ่ง

มีทั้งหมด 6 หนา ไดแก 1, 2 , 3, 4, 5, 6

ตัวอยาง จงเขียนผลที่อาจเกิดขึ้นไดทั้งหมดในการโยนเหรียญสิบบาท 1 อัน และเหรียญหาบาท 1

อัน พรอมกัน

วิธีทํา ในการโยนเหรียญ 1 อัน ผลที่อาจเกิดขึ้นคือ หัวและกอย

ถาให H แทนหัว

ให T แทนกอย

ในการหาผลที่อาจจะเกิดขึ้นไดทั้งหมด จากการโยนเหรียญสิบบาท และโยนเหรียญหาบาท

อยางละ 1 อัน อาจใชแผนภาพชวยไดดังน้ี

H

184

จากแผนภาพจะเห็นวา ถาเหรียญสิบบาทออกหัว เหรียญหาบาทจะออกหัวหรือออกกอยก็

ได จึงไดผลที่อาจเกิดจากการโยนทั้งสองเหรียญเปน H,H กับ H,T

ในทํานองเดียวกัน ถาเหรียญสิบบาทออกกอย เหรียญหาบาทอาจจะออกหัวหรือออกกอยก็

ได จึงไดผลที่อาจเกิดจากการโยนเหรียญทั้งสองเปน T,H กับ T,T

ฉะน้ัน ถาเราใชคูอันดับเขียนผลทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นได โดยใหสมาชิกตัวที่หน่ึงของคู

อันดับแทนผลที่อาจเกิดขึ้นจากเหรียญสิบบาท สมาชิกตัวที่สองของคูอันดับแทนผลที่อาจเกิดขึ้น

จากเหรียญหาบาท จะได

ผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้น คือ (H,H), (H,T), (T,H), (T,T)

เราอาจเขียนแสดงผลในรูปตารางไดดังนี้

185


1. ใหผูเรียนพิจารณาการทดลองสุมตอไปนี้วาผลจากการทดลองสุมอาจเปนอยางไรบาง

1). โยนเหรียญสิบบาท 1 อัน

……………………………………………………………………………………………...

2). โยนเหรียญสิบบาทสองอันพรอมกัน

……………………………………………………………………………………………...

3). หยิบลูกปงปอง 2 ลูกพรอมๆกัน จากกลองที่มีลูกปงปองสีเหลือง 3 ลูก สีแดง 1 ลูก

……………………………………………………………………………………………...

2. จงเขียนผลที่อาจจะเกิดขึ้นไดทั้งหมดจากการหมุนแปนวงกลมที่มีหมายเลข 1 และ2 แลวมาโยน

เหรียญบาท 1 อัน

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………….

3. จงเขียนผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นไดจากการหยิบสลาก 1 ใบ จากสลากที่เขียนหมายเลขต้ังแต

10 ถึง 20 ไว

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………….

1.2 เหตกุารณ

ในการทดลองสุมโยนเหรียญบาท 1 เหรียญและเหรียญหาสิบสตางค 1 เหรียญ นักเรียน

ทราบแลววาผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นไดคือ (H, H), (H, T), (T, H) และ (T, T) ถาเราสนใจผลที่

จะเกิดกอยอยางนอย 1 เหรียญ จะไดวา ผลที่จะเกิดกอยอยางนอย 1 เหรียญ คอื (H, T), (T, H)

และ (T, T) เราเรียกผลที่เราสนใจจากการทดลองสุมวา

พิจารณาการหลับตาหยิบลูกบอล 1 ลูกจากถุงซึ่งมีลูกบอลสีเขียว 4 ลูก คือ ข1, ข2, ข3

และ ข4 ดังน้ัน

เหตุการณ

186

จากการทดลองสุมคร้ังน้ีจะเห็นไดวาจะหยิบลูกบอลคร้ังใดก็จะไดลูกบอลสีเขียวเสมอ ซึ่งผล

ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นไดคือ ข1, ข2, ข3 และ ข4

และถาสนใจเหตุการณ "หยิบไดลูกบอลสีเขียว” จะไดวาเหตุการณคือ ข1, ข2, ข3 และ ข4

จะเห็นวา ผลทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นได และเหตุการณที่จะหยิบไดลูกบอลสีเขียวเปนผลชุด

เดียวกนั เราเรียกเหตุการณ "หยิบไดลูกบอลสีเขียว" จากการทดลองสุมคร้ังน้ีวา "เหตุการณที่

แนนอน"

และจากการทดลองสุมคร้ังนี้จะเห็นวาเราไมอาจที่จะหยิบไดลูกบอลสีแดงไดเลย เราเรียก

เหตุการณ "หยบิไดลกูบอลสแีดง" จากการทดลองสุมคร้ังน้ีวา "เหตุการณที่เปนไปไมได”

ตัวอยางเหตุการณ

ตัวอยางที่ 1

จงหาความนาจะเปนของเหตุการณตอไปนี้

หลับตาหยิบลูกบอล 1 ลูกจากกลองที่มีลูกบอลสีแดง 1 ลูก สีขาว 1 ลูก และสีนํ้า

เงนิ 1 ลูก

(1) หยบิไดลกูบอลสแีดง

(2) หยิบไดลูกบอลที่ไมใชสีแดง


ดังน้ัน จํานวนทัง้หมดทีอ่าจจะเกดิขึน้ไดเปน 3

ผลทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นไดจากการทดลองสุมคือ แดง ขาว และนํ้าเงิน

(1) เหตุการณที่จะหยิบไดลูกบอลสีแดง คอื แดง

จํานวนผลที่เกิดในเหตุการณน้ีเปน 1

ฉะน้ันความนาจะเปนของเหตุการณหยิบไดลูกบอลสีแดงเปน

(2) เหตุการณที่จะหยิบไดลูกบอลที่ไมใชสีแดง คือ

หยบิได ขาว และ นํ้าเงิน

จํานวนผลที่เกิดขึ้นในเหตุการณเปน 2

ฉะน้ันความนาจะเปนของเหตุการณหยิบไดลูกบอลที่ไมใชสีแดงเปน

187

แบบฝกหัดท่ี 2 1. ทอดลูกเตา 1 ลูก 1 คร้ัง จงเขียน

1) ผลทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้น

……………………………………………………………………………………………

2) เหตุการณที่ไดแตมไมเกิน 5

……………………………………………………………………………………………

3) เหตุการณที่ไดแตมเปนจํานวนที่หารดวย 3 ลงตัว

……………………………………………………………………………………………

2. ทอดลูกเตา 2 ลูกพรอมกัน 1 คร้ังจงเขียน


……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

2) ผลรวมของแตมเปน 8

……………………………………………………………………………………………

3) ผลรวมของแตมมากกวา 9

……………………………………………………………………………………………

4) ผลรวมของแตมนอยกวา 4

……………………………………………………………………………………………

5) ผลรวมของแตมหารดวย 2 ลงตัว

……………………………………………………………………………………………

6) ผลรวมของแตมนอยกวา 2

……………………………………………………………………………………………

3. จากการสอบถามถึงปกรายงานที่ผูเรียนชอบ 2 สี ในจํานวน 5 สี คือ สีขาว สีฟา สีชมพู สี

เขยีว และสีเหลือง จงเขียน


……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

2) เหตุการณที่นิตยาจะชอบสีฟาหรือสีชมพู

…………………………………………………………………………………………

188

เร่ืองที่ 2 ความนาจะเปนของเหตกุารณ

พิจารณาการทดลองสุมและเหตุการณที่สนใจ

ทอดลกูเตา 1 ลูก 1 คร้ัง ผลทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้น คือ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ซึ่งมีทั้งหมด 6 จํานวน

1). ถาเหตุการณที่สนใจ คือ แตมหงายบนหนาลูกเตาเปนจํานวนคู ซึ่งไดแก 2, 4, 6 จะเห็น

ไดวามี 3 จํานวน น่ันคือ จํานวนผลที่จะเกิดในเหตุการณ เปน 3

เรากลาววาความนาจะเปนของเหตุการณที่แตมหงายบนหนาลูกเตาเปนจํานวนคู คือ 63

หรือ 21

2). ถาเหตุการณที่สนใจ คือ แตมที่หงายบนหนาลูกเตา เปนจํานวนที่นอยกวา 3 ซึ่งไดแก

1, 2 จะเห็นวามทีัง้หมด 2 จํานวน น่ันคือ จํานวนผลที่จะเกิดในเหตุการณเปน 2

เรากลาววาความนาจะเปนของเหตุการณที่แตมหงายบนหนาลูกเตาเปนจํานวนคู คือ 62

หรือ 31

จากทั้ง 2 เหตุการณที่กลาวมาเราสามารถเขียนใหอยูในรูปของตารางได ดังน้ี

จากตัวอยางที่กลาวมาแลวขางตน อาจจะสรุปเปนสูตรการหาความนาจะเปนของเหตุการณไดดังน้ี

จํานวนผลของเหตุการณที่สนใจ

จํานวนเหตุการณทั้งหมดของการทดลองสุม

ความนาจะเปน =

189

1. เหตุการณที่แนนอน คือ เหตุการณที่มีความนาจะเปน = 1 เสมอ

ขอควรจํา

2. เหตุการณที่เปนไปไมได คือ เหตุการณที่มีความนาจะเปน = 0

3. ความนาจะเปนใด ๆ จะมีคาไมตํ่ากวา 0 และ ไมเกิน 1 เสมอ

4. ในการทดลองหนึ่งสามารถทําใหเกิดผลที่ตองการอยางมีโอกาสเทากันและมีโอกาส

เกดิได N สิ่ง และเหตุการณ A มีจํานวนสมาชิกเปน n ดังน้ันความนาจะเปนของ A

คือ P(A) = Nn

190


1. มีสลาก 10 ใบ เขียนเลข 1-10 แลวมวนใสกลอง ความนาจะเปนที่จะหยิบไดสลากที่เปน

จํานวนคี่เทาไร

………………………………………………………………………………………………………

2. ใสลูกเตา 1 ลูกลงในถวยแกว เขยาแลวเทออก จงหาความนาจะเปนของเหตุการณที่ขึ้นแตม 6

………………………………………………………………………………………………………

3. ถงุใบหน่ึงมลีกูกวาดสแีดง 5 เม็ด สีเหลือง 2 เม็ด แมวหยิบขึ้นรับประทาน 1 เม็ดโดยไมไดดู

จงหาความนาจะเปนที่แมวจะหยบิไดลกูกวาดสแีดง

………………………………………………………………………………………………………

4. ความนาจะเปนที่จะหยิบไดไพ K โพแดง จากไพ 1 สํารับเปนเทาไร

………………………………………………………………………………………………………

5. ความนาจะเปนที่จะหยิบไดไพสีดําจากไพ 1 สํารับ เปนเทาไร

………………………………………………………………………………………………………

6. ทอดลูกเตา 2 ลกูพรอมกัน ความนาจะเปนทีจ่ะทอดไดแตมรวมกนัเปน 7 คอืขอใด

………………………………………………………………………………………………………

7. ทอดลูกเตา 2 ลูกพรอมกัน ความนาจะเปนที่จะทอดไดแตมรวมกันไมเกิน 1 คือขอใด

………………………………………………………………………………………………………

8. ถาตองการถูกรางวัลเลขทาย 2 ตัวแนๆ จะตองซื้อสลากกินแบงรัฐบาลกี่ใบ

………………………………………………………………………………………………………

9. จากการทดลองโยนเหรียญหน่ึงอัน 3 คร้ัง ความนาจะเปนที่ออกหัว 1 คร้ัง เปนเทาไร

………………………………………………………………………………………………………

10. ถาทอดลูกเตาที่สมดุล 1 ลูกพรอมกันกับโยนเหรียญ 1 เหรียญ จงหาความนาจะเปนที่แตมบน

ลูกเตาจะเปนแตมคู

………………………………………………………………………………………………………

191

เร่ืองที่ 3 การนําความนาจะเปนของเหตุการณตางๆไปใช

ในชีวิตประจําวัน คนเราไดนําประโยชนจากความนาจะเปนมาใชอยูตลอดเวลา เพียงแต

ไมไดเรียกวาความนาจะเปนเทาน้ัน เชน ในเร่ืองการซื้อหวย หรือสลากกินแบงรัฐบาล จะเห็นวา

โอกาสที่จะถูกเลขทาย 2 ตัวมีคาเปน 1 ใน100 และโอกาสที่จะถูกรางวัลอ่ืนๆ ยิ่งนอยลงตามลําดับ

นอกจากนี้ยังมีการคํานวณคาความนาจะเปนเพื่อประมาณคาอัตราการเกิดอุบัติเหตุ ในแต

ละลักษณะของการกําหนดเบี้ยประกันภัยรถยนต หรือการคาดหมายผลการเลือกตั้ง การพยากรณ

ตางๆ ทางธุรกิจ การทดสอบคุณภาพผลิตภัณฑใหมจากโรงงาน ฯลฯ ซึ่งความนาจะเปนมีบทบาท

สําคัญมาก ผูเรียนจะไดเห็นประโยชนชัดเจนขึ้นเมื่อเรียนตอในระดับสูงขึ้นไป


จากโจทยตอไปน้ีใหนักเรียนตอบวาใครไดเปรียบ

1. ใหนักเรียนทําลูกบาศกหน่ึงลูกแลวเขียนเลข 1 ที่หนาหน่ึงของลูกบาศก เขียนเลข 2 ที่หนาอีก

สองหนา สวนอีกสามหนาที่เหลือเขียน 3 ใชกติกาตอไปน้ีตัดสินการแพ ชนะ เสมอ ในการโยน

ลูกบาศกที่ทําขึ้นน้ีคนละคร้ัง

1) ผูเลนคนที่หน่ึงชนะถาเขาโยนลูกบาศกแลวหนาที่เขียนเลข 3 หงายขึ้น และคูแขงขัน

ไดเลข 3 ดวย ผูเลนคนที่สองชนะถาไดเลขที่ตํ่ากวา 3 และผูแขงขันไดเลขที่ตํ่ากวา 3 กรณีอ่ืน ๆ

ถอืวาเสมอกนั

2) ผูเลนคนที่หน่ึงถาเขาโยนลูกบาศกแลวหนาที่เขียนเลข 1 หงายขึ้น และคูแขงขันได

เลขที่ตํ่ากวา 3 ผูเลนคนที่สองชนะ ถาเขาโยนลูกบาศกหงายหนาที่เขียนเลข 3 และคูแขงขันไดเลข

สูงกวา 1 กรณีอ่ืนถือวาเสมอกัน

192

บทที ่11

การใชทกัษะกระบวนการทางคณติศาสตรในงานอาชีพ


ในการประกอบอาชีพตาง ๆ ในสังคม ผูประกอบอาชีพในหลายสาขา เชน เกษตรกรรม

การประมง การกอสราง การบัญชี งานบริการและการทองเที่ยว เปนตน จําเปนตองใชทักษะ

กระบวนการทางคณิตศาสตรไปใชในการพัฒนาอาชีพใหมีความมั่นคง เพื่อเสริมสรางรายไดและ

ผลกําไรที่สูงขึ้น


1. สามารถวิเคราะหงานอาชีพในสังคมที่ใชทักษะทางคณิตศาสตร

2. มีความสามารถในการเชื่อมโยงความรูและทักษะตาง ๆ ทางคณิตศาสตรกับงานอาชีพได


เร่ืองที่ 1 ลักษณะประเภทของงานอาชีพที่ใชทักษะทางคณิตศาสตร

เร่ืองที่ 2 การนําความรูทางคณิตศาสตรไปเชื่อมโยงกับงานอาชีพในสังคม

193

เร่ืองท่ี 1 ลักษณะ ประเภทของงานอาชีพท่ีใชทักษะทางคณิตศาสตร

1.1 กลุมอาชีพเกษตรกรรม ไดแก อาชีพ การทํานา ทําไร การปลูกผัก การเลี้ยงสัตว ฯลฯ

(1) ลักษณะงานเบื้องตนท่ีใชทักษะทางคณิตศาสตร

1. การสํารวจของตลาดที่จะปลูกพืชเกษตรกรรม

2. การเตรียมพื้นที่ดิน ซึ่งขึ้นอยูกับความกวาง ความยาวของพื้นที่วา

ผูประกอบการใชพื้นที่กี่ไร กี่งาน กี่ตารางวา ในการทําแปลง ขุดรอง

เพื่อใชเปนพื้นที่นา 1 สวน พื้นที่ปลูกผัก 1 สวน บอนํ้า 1 สวน

การเลี้ยงสัตว 1 สวน พื้นที่อยูอาศัย 1 สวน เปนตน

3. การเตรียมเมล็ดพันธุขาว ผัก และพืชพันธุอ่ืน ๆ (ภาพ)

4. การเตรียมปุยวาใชขนาดกี่กิโลกรัมตอไร

5. การรดนํ้า พรวนดิน ซึ่งตองกําหนดวา รดนํ้าวันละ 2 คร้ัง ในปริมาณ

มากนอยเทาไร

6. การฉีดยาฆาแมลงโดยใชสารกําจัดศัตรูพืชทางชีวภาพ เชน สะเดา และ

สมุนไพรอ่ืน ๆ เปนตน ใชความรูเร่ืองอัตราสวน สัดสวน เพื่อผสม

ยากําจัดศัตรูพืชกับนํ้ากอนฉีดพน

7. การเก็บเกี่ยวผลผลิต ซึ่งตองใชทักษะการคํานวณระยะเวลาต้ังแต

การปลูกจนถึงระยะการเก็บเกี่ยวผลผลิต

- การตรวจสอบความชื้นของวัสดุและสถานที่เก็บผลผลิต

- การคํานวณพื้นที่ในการเก็บรักษาผลผลิต

8. การจําหนายผลผลิต ซึ่งตองใชทักษะการจัดทําบัญชีรับ – จาย

การจดบันทึกจํานวนและบันทึกของผลผลิตที่ได

9. การคํานวณภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา

194

(2) เคร่ืองมือและเทคโนโลยีท่ีใช

1. เคร่ืองคดิเลข

2. สมุดบันทึกรายรับ รายจายหรือคอมพิวเตอรโนตบุค

3. สมุดจดบันทึกระยะเวลาการเจริญเติบโตต้ังแตการปลูกจนถึง

การเก็บเกี่ยวผลผลิต

(3) ความรูทางคณิตศาสตรทีใ่ช

1. การวัดความยาว การหาพื้นที่

2. อัตราสวนในการผสมปุยตอความกวางความยาวของพื้นที่ดิน

3. การชั่งผลผลิตที่ได

4. การกําหนดราคาขายตอกิโลกรัม

5. การบวก ลบ คูณ หาร

6. การทําบัญชีรายรับ รายจายประจําวัน


1.2 กลุมอาชีพอุตสาหกรรม ไดแก อาชีพพนักงานในโรงงานอุตสาหกรรมตางๆ ไดแก

อุตสาหกรรมหองเย็น ถวยชามอุปกรณเซรามิค ผาขนหนู กระดาษและสิ่งพิมพ สแตนเลส เหล็ก

พลาสติก ฯลฯ

(1) ลักษณะงานเบื้องตนท่ีใชทักษะคณิตศาสตร

1. การคํานวณเงินรายไดประจําวัน

2. การคํานวณเงินคาทํางานลวงเวลา

3. การคํานวณเงินกูและดอกเบี้ยคงที่หรือดอกเบี้ยทบตน

4. การทําบัญชีรายรับ – รายจายประจําวัน

5. การจัดทําบัญชีพัสดุ (การจัดซื้อ การเบิกจายพัสดุ)

6. การสํารวจและวิจัยการตลาด


195



2. เคร่ืองคอมพวิเตอร

3. เคร่ืองจักรอุตสาหกรรมในแตละสาขาอุตสาหกรรม

4. เคร่ืองบรรจุภัณฑลงกลองหรือแพ็คเปนพลาสติก

(3) ความรูและทักษะทางคณิตศาสตรท่ีใช

1. การคํานวณเงินรายไดประจําสัปดาห ประจําเดือนโดยหักวันลาหยดุ

2. การคํานวณเงินคาทํางานลวงเวลาเปนจํานวนชั่วโมงตอคาจางรายชั่วโมง

3. การคํานวณเงินกูและดอกเบี้ย (ดอกเบี้ยคงที่, ดอกเบี้ยทบตน)

4. การทําบัญชีรับ – จายประจําวัน


1.3 กลุมอาชีพพาณิชยกรรม ไดแก อาชีพคาขาย ผูประกอบการรานอาหารและเคร่ืองด่ืม

ผูประกอบการขายปลีกและขายสง ธุรกิจการซื้อขายอสังหาริมทรัพย ธุรกิจการซื้อขายหุนในตลาด

หลักทรัพย อาชีพการทําบัญชี การตลาด เปนตน


1. การจัดเตรียมสถานที่ การคํานวณการจัดวางโตะ เกาอ้ี หรือวัสดุ

อุปกรณในการขาย

2. การจัดซื้อวัตถุดิบในการคาขายปลีกหรือขายสง

3. การจําหนายสินคา การคํานวณราคาสินคาตอหนวย การทอนเงิน


5. การจัดทําบัญชีรับ – จายประจําวัน

6. การฝากเงิน การถอนเงิน การออมเงิน

196

7. การประชาสัมพันธในงานธุรกิจคาขายหรือพาณิชยกรรม ซึ่งตองใช

ทักษะในการคํานวณขนาดของปายโฆษณา ขนาดตัวอักษร ขนาดและ

จํานวนแผนพับหรือใบปลิวโฆษณา




2. เคร่ืองเกบ็เงิน – ทอนเงนิ


4. เคร่ืองไมโครเวฟ

5. เคร่ืองปนนํ้าผลไม


1. การคํานวณขนาดของพื้นที่ใชสอยเพื่อจัดวาง โตะ เกาอ้ีหรือวัสดุ

อุปกรณในการขาย

2. การคํานวณปริมาณการจัดซื้อวัตถุดิบในแตละวัน

3. การคาํนวณในการจัดซื้อพัสดุ


5. การคํานวณขนาดของปายโฆษณา ประชาสัมพันธหรือแผนพับ

แผนปลิว โฆษณา


1.4 กลุมอาชีพดานความคิดสรางสรรค ไดแก ธุรกิจโฆษณา ธุรกิจการออกแบบตกแตงที่

อยูอาศัย สํานักงานและสวนหยอม การจัดดอกไมและแจกันประดับ ธุรกิจการทําพวงหรีด การจัด

กระเชาของขวัญ เปนตน

197


1. การจัดเตรียมขนาด ปริมาตร รูปทรงของพื้นที่หรือชิ้นงานในการจัดทํา

ธุรกิจ ซึ่งตองใชการวัดความกวาง ความยาว ความสูงของพื้นที่หรือ

ชิ้นงาน การออกแบบรูปทรงโดยใชรูปเรขาคณิตสามมิติ

2. การคํานวณปริมาณของวัสดุอุปกรณในการใชประดิษฐสรางสรรค

ชิ้นงาน หรือการจัดตกแตงสวนหยอม

3. การคํานวณเพื่อกําหนดราคาขายสินคา


5. การจัดทําบัญชีรับ – จาย ประจําวัน

6. การประชาสัมพันธในอาชีพธุรกิจทุกประเภท ซึ่งตองใชทักษะใน

การคํานวณเปนพื้นฐาน





3. โปรแกรมสําเร็จรูปในการออกแบบสินคา


1. การคํานวณพื้นที่ผิว ปริมาตรของพื้นที่หรือออกแบบรูปทรงที่ใชใน

การทํางานอาชีพ

2. การคํานวณปริมาณของวัสดุ อุปกรณที่ใชประดิษฐ สรางสรรค ชิ้นงาน

3. การคํานวณตนทุนและกําไร เพื่อกําหนดราคาขายสินคา

4. การจัดทําบัญชีพัสดุ



1.5 กลุมอาชีพบริหารจัดการและการบริการ ไดแก อาชีพกลุมงานบริการและการทองเที่ยว

งานบริการรักษาความปลอดภัย บริการดูแลสตอก บริการดูแลผูสูงอายุ บริการสันทนาการและการ

กีฬา เปนตน

198


1. การสํารวจพื้นที่ในการใหบริการ การคํานวณระยะทางในการใหบริการ

2. การจัดซื้อวัสดุ อุปกรณในการใหบริการ

3. การรับสมัครและกาํหนดเงนิเดือนตามตําแหนงงานของเจาหนาทีใ่น

การใหบริการ

4. การจัดทําตารางเวลา การอยูเวร - ยามของเจาหนาที่ประจําสํานักงาน

5. การจัดทํากําหนดการทองเที่ยวและการใหบริการ รวมทั้งกําหนด

ราคาขายบริการในแตละพื้นที่

6. การคํานวณการใชนํ้ามันเชื้อเพลิงของยานพาหนะที่ใหบริการ

7. การจัดทําบัญชีพัสดุ และการเบิกจายพัสดุ


9. การจัดทําแผนปายโฆษณา ประชาสัมพันธการใหบริการ

10. การจัดทําสรุปรายงานและการนําเสนอขอมูล





3. เคร่ืองออกกําลังกาย

4. อุปกรณในการเตรียมอาหาร นํ้าด่ืม นมแกทารกและผูสูงอายุ

5. ยานพาหนะในการใหบริการ

6. แผนที่ของสถานที่หรือจุดที่ใหบริการ

199


1. การคํานวณพื้นที่และการวัดระยะทาง

2. การคํานวณปริมาณของวัสดุ อุปกรณที่จําเปนตองจัดซื้อ จัดหา

เพื่อใหบริการ

3. การคาํนวณเงนิเดือนและกาํหนดตําแหนงงานของเจาหนาที่

4. การจัดทําตารางการปฏิบัติงาน

5. การคํานวณการใชเชื้อเพลิงรถยนตตอระยะทางที่ใหบริการ

6. การจัดทําบัญชีเบื้องตน

7. การใชสถิติในการจัดทําสรุปรายงานหรือนําเสนอขอมูล


200

เร่ืองที่ 2 การนําความรูทางคณิตศาสตรไปเช่ือมโยงกับงานอาชีพในสังคม

คณิตศาสตรเปนวิชาที่วาดวยเหตุผล กระบวนการคิดและแกปญหาเสริมสรางใหมีการคิด

อยางมีวิจารญาณเปนระบบ เปนคนมีเหตุผล มีทักษะการแกปญหา สามารถวิเคราะหปญหาและ

สถานการณไดอยางถี่ถวน รอบคอบ

การเชื่อมโยงความรูตาง ๆ ทางคณิตศาสตรกับงานอาชีพเปนการนําความรูและทักษะ/

กระบวนการตาง ๆ ทางคณิตศาสตรไปสัมพันธกับเนื้อหาและความรูของงานอาชีพอยางเปนเหตุ

เปนผล ชวยในการตัดสินใจในงานอาชีพ เชน การใชตารางและกราฟประกอบการใชสถิติมาชวยใน

การวิเคราะหงานอาชีพเพื่อสํารวจความตองการสินคาเพื่อการผลิต ใชรอยละในการคิดคํานวณ

ดอกเบี้ย ภาษี กําไรขาดทุน เปนตน

2.1 ทักษะการจัดทําบัญชีรายรับ – รายจายประจําวัน

ตัวอยาง การจัดทําบัญชีรายรับ – รายจายประจําวันของผูประกอบการรานอาหาร

วันที่ 25 กันยายน 2554 จายคาซื้อวัตถุดิบในการขายอาหาร 3,000 บาท คาน้ํา คาไฟฟา

850 บาท คาอาหาร 250 บาท ไดรับเงินจากการขายอาหาร 6,500 บาท

วันที่ 26 กันยายน 2554 จายคาโทรศัพท 650 บาท จายคาน้ํามันรถยนต 1,400 บาท

จายคาอาหาร 280 บาท จายคาผลไม 150 บาท ไดรับเงินจาก

การขายอาหาร 5,400 บาท

วันที่ 27 กันยายน 2554 จายคาหนังสือพิมพ 480 บาท จายคาอาหาร 310 บาท จายคาน้ําด่ืม

270 บาท จายคาซอมรถยนต 4,800 บาท ไดรับเงินจากการขายอาหาร

4,500 บาท

วันที่ 28 กันยายน 2554 จายคาอาหาร 240 บาท จายคาบัตรการกุศล 1,000 บาท

ซื้อถุงพลาสติกใสอาหาร 550 บาท ไดรับเงินจากการขายอาหาร

6,800 บาท

201

ตัวอยาง การจัดทําบัญชีรายรับ – รายจายประจําวันของผูประกอบการรานอาหาร

วัน เดือน ป รายการรับ จํานวนเงนิ

วัน เดือน ป รายการจาย จํานวนเงนิ

บาท สต. บาท สต.

25 ก.ย. 54 ไดเงินจากการขาย

อาหาร

6,500 - 25 ก.ย. 54 ซื้อวัตถุดิบในการ

ขายอาหาร

คานํ้า คาไฟฟา

คาอาหาร

3,000

850

250

-

-

-


อาหาร

5,400 - 26 ก.ย. 54 คาโทรศัพท

คานํ้ามันรถยนต


คาผลไม

650

1,400

280

150

-

-

-

-


อาหาร

4,500 - 27 ก.ย. 54 คาหนังสือพิมพ


คานํ้าด่ืม

คาซอมรถยนต

480

310

270

4,800

-

-

-

-


อาหาร

6,800 - 28 ก.ย. 54 คาอาหาร

คาบัตรการกุศล

ซื้อถุงพลาสติกใส

อาหาร

240

1,000

550

-

-

-

รวม 23,200 - รวม 14,230 -

ยอดคงเหลือยกไป 8,970 -

เมื่อจัดทําบัญชีรายรับและรายจายประจําวันแลว ผูเรียนจะคํานวณยอดคงเหลือ ซึ่งไดจากการ

นํารายรับไปลบกับรายจาย เมื่อจัดทําบัญชีในหนาถัดไปหรือในเดือนถัดไปก็จะนํายอดคงเหลือไป

บันทึกในรายการของรายรับในหนาถัดไป ซึ่งจะไปเปนยอดรายการรับรวมกับรายการรับเงินที่จะได

จากการรับเงินจากการขายอาหารในวันตอ ๆ ไป

202

2.2 ทักษะการคํานวณรายไดและการแลกเปลี่ยนเงินตรา

ตัวอยาง บริษัทแหงหนึ่งสั่งซื้อเคร่ืองจักรจากตางประเทศราคา 45,000 ดอลลารสหรัฐ เมื่อสินคา

สงมาถึงเมืองไทยตองผานพิธีการศุลกากร เสียภาษีศุลกากร 10% ภาษีมูลคาเพิ่ม 7%

คาธรรมเนียมและคาบริการตาง ๆ รวม 4,000 บาท ราคาเคร่ืองจักรและคาใชจายทั้งหมดรวม

เปนเงินเทาไร (1 ดอลลารสหรัฐ เทากับ 30.42 บาท)


ราคาเคร่ืองจักร 45,000 × 30.42 = 1,368,900 บาท

เสียภาษีศุลกากร 10% = 1,368,900 × 100

10 = 136,890 บาท

เสียภาษีมูลคาเพิ่ม 7% = 1,368,900 × 100

7 = 95,823 บาท

∴ ราคาเคร่ืองจักรและคาใชจายทั้งหมด รวมเปนเงิน

= ราคาเคร่ืองจักร + ภาษีศุลกากร + ภาษีมูลคาเพิ่ม +

คาธรรมเนียมและคาบริการตาง ๆ

= 1,368,900 + 136,890 + 95,823 + 4,000

= 1,605, 613 บาท

2.3 การคิดคํานวณดอกเบี้ยสินเชื่อธนาคาร

ตัวอยาง บริษัทสั่งซื้อเคร่ืองจักรจากตัวอยางขางตน บริษัทไดขอสินเชื่อจากธนาคารไดรับสิทธิในการ

ผอนชําระเคร่ืองจักรเปนรายเดือน เดือนละ 120,000 บาท คิดดอกเบี้ยปละ 7.5% เมื่อผอนชําระ

ครบ 1 ป จะตองเสียเงินทั้งหมดเทาไร


ดอกเบีย้ = 100

ระยะเวลา ี้ยอัตราดอกเบ เงินตน ××

เดือนที่ 1 เสียดอกเบี้ย = 12

1

100

7.51,368,900 ×× = 8,555.63 บาท

เดือนที่ 2 เงนิตนคงเหลอื = 1,368,900 – 120,000 = 1,248,900 บาท

เสียดอกเบี้ย = 12

1

100

7.51,248,900 ×× = 7,805.63 บาท

เดือนที่ 3 เงนิตนคงเหลอื = 1,248,900 – 120,000 = 1,128,900 บาท


1

100

7.5128,9001 ××, = 7,055.63 บาท

203

เดือนที่ 4 เงินตนคงเหลอื = 1,128,900 – 120,000 = 1,008,900 บาท


1

100

7.51,008,900 ×× = 6,305.63 บาท

เดือนที่ 5 เงนิตนคงเหลอื = 1,008,900 – 120,000 = 888,900 บาท


1

100

7.5888,900 ×× = 5,555.63 บาท

เดือนที่ 6 เงนิตนคงเหลอื = 888,900 – 120,000 = 768,900 บาท


1

100

7.5768,900 ×× = 4,805.63 บาท



1

100

7.5648,900 ×× = 4,055.63 บาท



1

100

7.5528,900 ×× = 3,305.63 บาท


เสยีดอกเบีย้ = 12

1

100

7.5408,900 ×× = 2,555.63 บาท



1

100

7.5288,900 ×× = 1,805.63 บาท



1

100

7.5168,900 ×× = 1,055.63 บาท



1

100

7.548,900 ×× = 305.63 บาท

เมื่อผอนชําระครบ 1 ป จะตองเสียเงินทั้งหมด = ราคาเคร่ืองจักร + ดอกเบีย้ 12 เดือน

= 1,368,900 + 8,555.63 + 7,805.63 + 7,055.63 +

6,305.63 + 5,555.63 + 4,805.63 + 4,055.63 +

3,305.63 + 2,555.63 + 1,805.63 + 1,055.63 + 305.63

= 1,422,067.56 บาท

204

2.4 การคํานวณกําลังการผลิต (อัตราสวน/สัดสวน)

ตัวอยาง เคร่ืองจักรบรรจุนํ้าตาลทรายขนาด 8 กรัม ไดนาทีละ 100 ซอง ทํางานวันละ 8 ชั่วโมง

เคร่ืองจักรจะทําการบรรจุไดกี่ซอง

วิธีทํา อัตราสวนของเวลาที่ใชในการบรรจุตอจํานวนซองเทากับ 1 นาที ตอ 100 ซอง หรือ 8 ชั่วโมง

ตอ A (8 ชั่วโมง × 60 นาท ี: A)

น่ันคือ 1 : 100 = 8 ×60 : A

100

1 =

A

480

A = 480 × 100

A = 48,000

ดังน้ัน เคร่ืองจักรบรรจุนํ้าตาลทรายขนาด 8 กรัม วันละ 8 ชั่วโมง

เทากับ 48,000 ซอง

2.5 การคํานวณรายได (รอยละ อัตราสวน สัดสวน)

ตัวอยาง พนักงานไดรับเงินเดือน ๆ ละ 12,000 บาท คาเบี้ยขยัน 10% ของเงินเดือน คาลวงเวลาได

ชั่วโมงละ 50 บาท เดือนนี้ทํางานลวงเวลา 8 วัน ๆ ละ 3 ชั่วโมง หักเงินคาประกันสังคม 5%

ของเงนิเดือน พนักงานคนน้ีจะไดรับเงินเทาไร

วิธีทํา คาเบี้ยขยัน = 12,000100

10× = 1,200 บาท

อัตราสวนของจํานวนชัว่โมงลวงเวลา : รายได เทากับ 1 ชั่วโมง ตอ 50 บาท

น่ันคือ 8 × 3 : รายได = 1 : 50

24 : รายได = 1 : 50

รายได

24 =

50

1

รายได = 24 × 50 = 1,200 บาท

คาประกันสังคม = 12,000100

5× = 600 บาท

พนักงานคนน้ีไดรับเงิน = เงนิเดือน + เบี้ยขยัน + คาลวงเวลา – คาประกันสังคม

= 12,000 + 1,200 + 1,200 – 600

= 13,800 บาท

205

2.6 ทักษะการคํานวณภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา

ตัวอยางท่ี 5 โอฬารมีรายไดจากการประกอบอาชีพเดือนละ 10,500 บาท ไมมีครอบครัว เมื่อยื่นแบบ

คํานวณภาษี มีสิทธิหักคาใชจายได 40% ของรายไดแตไมเกิน 60,000 บาท

คาลดหยอนผูมีเงินได 30,000 บาท สิ้นปโอฬารจะตองชําระภาษีหรือไม

วิธีทํา เงินไดพึงประเมินของโอฬารตลอดป = 10,500 × 12 = 126,000 บาท

หัก คาใชจายไดรอยละ 40 ของเงินไดพึงประเมิน = 126,000100

40× = 50,400 บาท

หัก คาลดหยอนผูมีเงินได 30,000 บาท

เงินไดสุทธิที่ตองคํานวณภาษี = เงินไดพึงประเมิน – (เงินหักคาใชจาย + คาลดหยอน)

= 126,000 – (50,400 + 30,000)

= 45,600 บาท

กรมสรรพากรกําหนดใหผูมีเงินไดสุทธิต้ังแต 0 ถึง 150,000 บาท ไดรับการยกเวนภาษี

ดังน้ัน โอฬารตองยื่นแบบภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา (ภ.ง.ด.91) แตไมตองชําระเงิน

เพราะไดรับการยกเวนภาษี ดังตาราง

ตารางอัตราภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา

ขั้นเงินไดสุทธติั้งแต

เงินไดสุทธิ

จํานวนสูงสุด

ของขั้น

เงินไดสุทธิ

แตละขั้น

อตัราภาษี

รอยละ ภาษีเงินได

ภาษีในแตละ

ขั้นเงินได

ภาษสีะสม

สูงสุดของขั้น

0 ถึง 100,000

เกนิ 100,000 ถึง 150,000

เกนิ 150,000 ถึง 500,000

เกนิ 500,000 ถึง 1,000,000

เกนิ 1,000,000 ถึง 4,000,000

เกนิ 4,000,000 บาทขึ้นไป

100,000

50,000

350,000

500,000

3,000,000

..............

..............

..............

..............

..............

..............

....

....

....

…

…

…

5

10

10

20

30

37

..............

..............

..............

..............

..............

..............

....

....

....

…

…

…

ยกเวน

ยกเวน

35,000

100,000

900,000

0

0

35,000

135,000

1,035,000

รวม →

206

2.7 การทําปายจากแผนอะครีลิก

ตัวอยาง ทําปายจากแผนอะครีลิกติดหนาหองตาง ๆ ดังน้ี

ปายทั้ง 3 ทาํดวยแผนอะครีลกิหนา 3 มม. สีขาว โดยมีขนาดกวาง 8 น้ิว ยาว 21 นิ้ว โดยทางราน

คิดคาใชจายการจัดทําตารางฟุตละ 165 บาท จะตองเสียคาใชจายทําปายทั้งสามเทากับเทาไร


ปายมีความกวาง 8 น้ิว = 12

8 ฟุต

ความยาว 21 น้ิว = 12

21 ฟตุ

พื้นที่ปายทั้งหมด = 312

21

12

8×× = 3.5 ตารางฟุต

เสียคาใชจายทําปาย = 3.5 × 165 = 577.50 บาท

หองประชุม Meeting Room

หองแสดงสินคา

Show Room

หองเก็บของ

Store Room

207

แบบฝกหัด

1. จงจัดทําบัญชีรับจายประจําวันของนายสมพร ซึ่งประกอบอาชีพเปนผูขายปาทองโก ในเวลา 5 วัน

ดังรายการดังน้ี

วันที่ 1 ตุลาคม 2554 ยอดเงนิคงเหลอืมาจากเดือนกนัยายน 2554 8,000 บาท

จายคาซื้อแปงสาลีและวัตถุดิบอ่ืน ๆ 2,500 บาท

จายคาแกสหุงตม 350 บาท คาอาหาร 270 บาท

ไดรับเงินจากการขายปาทองโก 4,800 บาท

วันที่ 2 ตุลาคม 2554 จายคานํ้า คาไฟฟา 840 บาท คาอาหาร 320 บาท

คาถุงพลาสติก 200 บาท คาถงุกระดาษ 100 บาท


วันที่ 3 ตุลาคม 2554 จายคาโทรศัพท 430 บาท คาอาหาร 290 บาท

จายคาหนังสือเรียนลูก 950 บาท คานํ้าด่ืม 160 บาท


วันที่ 4 ตุลาคม 2554 จายคาเสื้อผา 1,250 บาท คาอาหาร 340 บาท

ซื้อแปงสาลีและวัตถุดิบอ่ืน ๆ 2,000 บาท


วันที่ 5 ตุลาคม 2554 จายคาอาหาร 250 บาท คาน้ําด่ืม 120 บาท

จายคาหนังสอืพิมพ 480 บาท


2. ใหผูเรียนจัดทําบัญชีรับ – จายประจําวันของตนเองในเวลา 1 สัปดาห ตามความเปนจริง พรอมทั้ง

สรุปรายรับ รายจาย และยอดเงินคงเหลือ

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

208

3. รานเฟอรนิเจอรแหงหน่ึง ซื้อเฟอรนิเจอรครบ 25,000 บาท (ราคาสินคา + ภาษีมูลคาเพิ่ม) ไดลด 10%

และทุกรายการตองเสียภาษีมูลคาเพิ่ม 7% สมรตองการซือ้

เตียงนอน ตูเสื้อผา และโตะ สมรตองจายเงินเทาไร

หากสมรซื้อเฟอรนิเจอรทุกรายการในตาราง สมรตองจายเงิน

เทาไร

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

4. อมรมีเงินสด 500,000 บาท อมรควรนําเงินสดไปออมประเภทใด จึงจะไดผลตอบแทนมากที่สุด

ในระยะเวลา 1 ป จงบอกเหตุผล

(1) ฝากออมทรัพยไดดอกเบี้ยรอยละ 0.75 บาท/ป

(2) ฝากประจํา 4 เดือนไดดอกเบีย้รอยละ 3.42 บาท/ป

กรณีฝากประจําตองเสียภาษี 15% ของดอกเบีย้

(3) ซื้อสลากออมสิน ฉบับละ 50 บาทไดดอกเบี้ยฉบับละ 2.50 บาท เมื่อฝากครบ 3 ป

ฝากครบ 1 ป ไดดอกเบี้ยฉบับละ 0.25 บาท และมีสิทธถิูกรางวัลเลขทาย 4 ตัว รางวัลละ

150 บาท จํานวน 2 รางวัล/เดือน

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

ราคาเฟอรนิเจอร

ประเภท ราคา

เตียงนอน

ตูเสื้อผา

เกาอ้ี

โตะ

ตูติดผนัง

6,000

8,500

600

5,500

3,200

209

5. จํานงเปนพนักงานขายอุปกรณการแพทยไดคาตอบแทนเดือนละ 15,000 บาท แตยังไมมีครอบครัว

สิ้นปมีสิทธิหักคาใชจายรอยละ 40 ของเงินไดพึงประเมิน แตไมเกิน 60,000 บาท หักลดหยอน

ผูมีเงินได 30,000 บาท หักคาเบี้ยประกันชีวิต 10,000 บาท สิ้นปยื่นแบบแสดงรายการภาษีเงินได

บุคคลธรรมดาตองชําระภาษีหรือไม ถาชําระตองชําระภาษีเทาไร

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

6. การใชสถิติชวยในการวิเคราะห (สถิติ)

050

100150

200250

300350

400

ม.ค. ก.พ. มี.ค. เม.ย. พ.ค.

บริษัทแหงหนึ่งจําหนายกระเปาไดตามกราฟขางตน เมื่อพิจารณาจากกราฟ บริษัทแหงนี้ควร

ดําเนินการอยางไร

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

ชิ้น

210

7. พนักงานไดรับคาจางรายวันวันละ 215 บาท ไดคาลวงเวลา 1.5 เทาของรายได ทํางานปกติ 5 วัน

ทําลวงเวลา 3 วัน พนักงานคนน้ีไดรับคาจางเทาไร

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

8. ถาตองการดูแนวโนมผลกําไรของธรุกจิยอนหลงั 3 ป ควรใชแผนภูมชินิดใดในการวิเคราะห

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

9. ทําแผนปายติดหนาหองตางๆ ดังน้ี

ปายทั้ง 3 ทําดวยแผนอะคริลิกหนา 2 มม. สีครีม โดยมีขนาดกวาง 10 น้ิว ยาว 21 น้ิว โดยทาง

รานคิดคาใชจายตารางฟุตละ 185 บาท ตองเสียคาใชจายทั้งหมดเทาไร

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

สตูดิโอ

Studio หองประชุม 1

Meeting Room 1

หองประชุม 2

Meeting Room 2

211

เฉลยแบบฝกหัด

212

เฉลย บทที่ 1 จํานวนและการดําเนินการ


1. จงเลอืกจํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และจํานวนเต็มจากจํานวนตอไปน้ี

- 1, 24

, 0, -3, 1000500

, 250

500−

จํานวนเต็มบวก ประกอบดวย 24

จํานวนเต็มลบ ประกอบดวย -1 -3 250

500−

จํานวนเต็ม ประกอบดวย -1, 24

, 0, -3, 250500−

2. จงเติมเคร่ืองหมาย < หรือ > เพื่อใหประโยคตอไปน้ีเปนจริง

1) -4 ............... <................. 3

2) -4 .............. <................. -3

3) -2 .............. >............... -5

4) 4................ >................ -2

5) 4................ >................. -8

3. จงเรียงลําดับจํานวนเต็มจากนอยไปหามาก

1) -2, -8, -4, -15, -20, -7

………-20, -15, -8, -7, -4, -2…………………

2) 4, -8, 0, -2, 16, -17

………-17, -8, -2, 0, 4, 16 ……………………

213


1. จงเติมคําวา “มากกวา” หรือ “นอยกวา” หรือ “เทากับ”

1) คาสัมบูรณของ (-3)..................เทากับ...........คาสัมบูรณของ 3

2) จํานวนตรงขามของ (-4) ...........มากกวา..........................จํานวนตรงขามของ 4

3) จํานวนตรงขามของ 5 ...............นอยกวา..........................จํานวนตรงขามของ -5

4) คาสัมบูรณของ A...........เทากับ...................คาสัมบูรณของ(-A) เมื่อA เปนจํานวนใดๆ

5) จํานวนตรงขามของ A .....นอยกวา......จํานวนตรงขามของ (-A) เมื่อA เปนจํานวนใดๆ

2. จงเติมเคร่ืองหมาย <, > หรือ = ลงในชองวาง

1) – (- 5) .....................=...........................5

2) จํานวนตรงขามของ 8 .................. <..................................8

3) จํานวนตรงขามของ (-8)................. >................................(-8)

4) 25......................................25 −=−

5) ( )20........................................20 −⟩−

6) 5..........................................25 −⟩−

7) จํานวนตรงขามของ (-2) .......................... <.........................จํานวนตรงขามของ(-7)

8) จํานวนตรงขามของ 32........................ >...............................จํานวนตรงขามของ 77

214


1. จงแสดงการหาผลบวกของสองจํานวนทีก่าํหนดให โดยใชเสนจํานวน

1. 3+2

2. (-3)+(-2)

3. 2+1

4. (-2)+(-1)

5. 5+ (-1)

6. (-1) +5

7. (-5) +3

8. 3 + (-5)

215

2. จากผลการบวกโดยใชเสนจํานวน จงเติมคําตอบตอไปน้ีใหสัมบูรณ

ประโยคแสดงผลบวกของ a+b คาสัมบูรณของ a คาสัมบูรณของ b คาสัมบูรณของ(a+b) ผลบวกของ a กับ b

เทากันหรือไมกับ ba +

1. 3+2 = 5 3 2 5 เทากัน

2. (-3)+(-2) = -5 3 2 5 เทากัน

3. 2+1 = 3 2 1 3 เทากัน

4. (-2)+(-1) = -3 2 1 3 เทากัน

5. 5+ (-1) = 4 5 1 4 เทากัน

6. (-1) +5 = 4 1 5 6 เทากัน

7. (-5) +3 = -2 5 3 2 เทากัน

8. 3 + (-5) = -2 3 5 2 เทากัน

216



1. (-12) – 7

วิธีทํา (-12) – 7 = (-12) + (-7)

= - 19

2. 7 – (-12)

วิธีทํา 7 – (-12) = 7 + 12

= 19

3. (-8) – (-5)

วิธีทํา (-8) – (-5) = (-8) + 5

= -3

4. (-5) – (-8)

วิธีทํา (-5) – (-8) = (-5) + 8

= 3

5. [8 – (-2)] – 6

วิธีทํา [8 – (-2)] – 6 = [ 8 + 2] + (-6)

= 10 + (-6)

= 4

6. 8 – [(-2) – 6]

วิธีทํา 8 – [(-2) + (-6)] = 8 – (-8)

= 8 + 8

= 16

2. จงหาคาของ a – b และ b – a เมื่อกําหนด a และ b ดังตอไปน้ี

1. a = 5, b = (-3)

วิธีทํา a – b = 5 – (-3) b – a = (-3) – 5

= 5 + 3 = (-3) + (-5)

= 8 = -8

2. a = (-14), b = (-6)

วิธีทํา a – b = (-14) – (-6) b – a = (-6) – (-14)

= (-14) + 6 = (-6) + 14

= (-8) = 8

3. a = (-4), b = (-4)

วิธีทํา a – b = (-4) – (-4) b – a = (-4) – (-4)

= (-4) + 4 = (-4) + 4

= 0 = 0

217


จงหาผลลัพธ

1). [(-3) × (-5)] × (-2)

วิธีทํา [(-3) × (-5)] × (-2) = 15 × (-2)

= (-30)

2). (-3) × [(-5) × (-2)]

วิธีทํา (-3) × [(-5) × (-2)] = (-3) × 10

= -30

3). [4 × (-3)] × (-1)

วิธีทํา [4 × (-3)] × (-1) = (-12) × (-1)

= 12

4). 4 × [(-3) × (-1)]

วิธีทํา 4 × [(-3) × (-1) ] = 4 × 3

= 12

5). [(-5) × (-6)] + [(-5) × (-6)]

วิธีทํา [(-5) × (-6)] + [(-5) × (-6)] = 30+30

= 60

6). (-5) × [6 + (-6)]

วิธีทํา (-5) × [6 + (-6)] = (-5) ×0

= 0

7). [(-7) × (-5)] + [(-7) × 2]

วิธีทํา [(-7) × (-5)] + [(-7) × 2] = 35 + (-14)

= 21

8). (-7) × [(-5) + 2]

วิธีทํา (-7) × [(-5) + 2] = (-7) × (-3)

= 21

9). [5 × (-7)] + [5 × 3]

วิธีทํา [5 × (-7)] + [5 × 3] = (-35) + 15

= (-20)

10). 5 × [(-7) + 3]

วิธีทํา 5 × [(-7) + 3] = 5 × (-4)

= (-20)

218


1. จงเติมคําตอบใหสมบูรณเพื่อแสดงหลักของความสัมพันธระหวางการหารและการคูณ ตอไปนี้

ประโยคที่แสดงความสัมพันธ cba ×= ประโยคที่แสดงความสัมพันธ cba =÷ หรือ bca =÷

10 = 5 x 2 10 ÷ 5 = 2 หรือ 10 ÷ 2 = 5

35 = 7 x 5 35 ÷ 7 = 5 หรือ 35 ÷ 5 = 7

33 = 3 x 11 33 ÷ 3 = 11 หรือ 33 ÷ 11 = 3

(-14) = 7 x (-2) (-14) ÷7 = (-2) หรือ (-14) ÷ (-2) = 7

(-21) = 7 x (-3) (-21) ÷7 = (-3) หรือ (-21) ÷ (-3) = 7

(-15) = 3 x (-5) (-15) ÷3 = (-5) หรือ (-15) ÷ (-5) = 3

10 = (-5) x (-2) 10÷(-5) = (-2) หรือ 10÷(-2) = (-5)

จงหาผลหาร

1. 17 ÷ 17

วิธีทํา 17 ÷ 17 = 1

2. 23 ÷ (-23)

วิธีทํา 23 ÷ (-23) = -1

3. 15 ÷ (-3)

วิธีทํา 15 ÷ (-3) = -5

4. (-72) ÷ 9

วิธีทํา (-72) ÷ 9 = -8

5. [(-51) ÷ (-17)] ÷ [15 ÷(-5)]

วิธีทํา [(-51) ÷ (-17)] ÷ [15 ÷(-5)] = 3 ÷ (-3)

= -1

6. [(-72) ÷ 9] ÷ [ 16 ÷ (-2)]

วิธีทํา [(-72) ÷ 9] ÷ [ 16 ÷ (-2)] = (-8) ÷ (-8)

= 1

198


1. จงเติมจํานวนเต็มในชองวางที่เวนไวเพื่อใหแตละประโยคตอไปน้ีเปนจริง

1.1 5 1.2 (-5)

1.3 7 1.4 6

1.5 (-9) 1.6 (-5)

1.7 (-13) 1.8 13

1.9 0 1.10 (-3)

2. เมื่อกําหนดให a = 8, b = 10, c = 3 และ d = -6 จงหาคาของ babdac

++

วิธีทํา ( ) ( )( ) ( )

186024

10861038 −+

=+

−×+×

( )

18

36−=

= (-2)

199

เฉลย บทที่ 2

เศษสวนและทศนิยม


1. จงเติมเศษสวนลงใน ใหถูกตอง

1)

2)

2. จงเขียนเสนจํานวนแลวหาจุดทีแ่ทนจํานวนตอไปน้ี

1) 84

, 211 ,

820

2) 211 ,

634 ,

629

3. จงเขียนจํานวนตอไปน้ีใหอยูในรูปของทศนิยม

1. 106

= 0.6 2. =10012

0.12

3. =1000357

0.357 4. =++1000

3100

2101

0.123

*

211

0 1 2 3

200


1. จงเปลีย่นเศษสวนตอไปน้ีใหเปนทศนิยม โดยการทําสวนใหเปน 10 , 100 ,1,000,.......

1) 49

= 100225

= 2.25 2) 431 =

100175

= 1.75

3) 4039

= 100

5.97 = 0.975 4)

257

= 10028

= 0.28

5) 81

= 1000125

= 0.125 6) 125

8 =

100064

= 0.064

2. จงเปลีย่นเศษสวนตอไปน้ีใหเปนทศนิยม โดยการหารเศษสวน

1) 119

= 18.0 2) 713 = 3.14

3) 167

= 0.4375 4) 45

= 1.25

5) 65

= 38.0 6) 538 = 8.6

201


1. ใหเติมตัวเศษหรือตัวสวนของเศษสวนลงใน เพื่อใหไดเศษสวนที่เทากัน

2. ใหเติมเคร่ืองหมาย > , < หรือ = ลงใน ใหถูกตอง

202

3. ใหนักศึกษาเติมเคร่ืองหมาย > , < หรือ = ระหวางจํานวนสองจํานวน

1) -0.500 ......<........0.501 2) 103.012 .........>............. – 0.501

3) 5.28 .......... <.......... 5.82 4) – 5.28 .........=................. -5.28

5) 8.354 ......... <........ 8.534 6) -8.544 .............. <............. -8.534

7) -13.06 ......... <........ 13.06 8) 103.012 ......... >........... -103.012

9) -5.125 ..........=........ -5.1250 10) -7.10 .............. <........... -7.01

4. ใหนักศึกษาเรียงลําดับจํานวนตอไปนี้จากคานอยไปคามาก

5) -1.724, -1.738, 0.832, -2.000

- 2.000, - 1.738, -1.724, 0.832

6) -30.710, -31.170, -31.107, 30.017

-30.710, -31.170, -31.107, 30.017

7) 83.000, -38.000, -83.001, -138.500

-138.500, -83.001, -38.000, 83.000

8) -34.50, -37.40, -41.54, -39.62, -42.50

-42.50, -41.54, -39.62, -37.40, -34.50



1.1 62

12= 1.2

21

126=

1.3 21224

= 1.4 1116

= 1151

1.5 61

122= 1.6

121

242=

203

2. ใหเติมจํานวนลงใน แลวทําใหประโยคเปนจริง

2.1 86

2.2 66

2.3 8

12 2.4

35

2.5 87

3. ใหหาจํานวนมาเติมลงใน แลวทําใหประโยคเปนจริง

3.1 63

3.2 149

3.3 61

3.4 6

15 =

212

632 =

3.5 47

= 431 3.6

2414

3.7 1835

=18171 3.8

28111


1. วิธีทํา =

++

3520

3514

73

2. วิธีทํา = 99

107

94

95

107

+=

++

= 3534

3515

3534

5753

3534

73

+=+××

=+ = 1107+

= 3549

= 1071

= 35141

= 521

3. วิธีทํา =52

55

87

88

53

+

++

× 4. วิธีทํา =

−+

337

37

1146

= 52

4035

4024

+

+ =

−

×+

337

1111

37

1146

= 52

4059

+ =

−+

337

3377

1146

=

×+

88

52

4059

= 3370

1146

+

= 4016

4059

+ = 3370

33

1146

+

×

= 40351

4075

= = 3370

33138

+ = 33208

= 33106

204


1. จงหาผลคูณตอไปน้ี

1) 511

312 ×

วิธีทํา = 56

37×

= 1542

= 542

15122 =

2) 95

511 ×


56×

= 32

4530

=

3) 911

1125 ×


101157

×

= 33255

99755

99570

==

4) 107

3216 ×


350

×

= 3211

335

=

5) 521

322

165

××


38

165

××

= 611

67=

6) 61

43

326 ××


43

320

×× =65

321115=

××××

205

7) 1835

2524

4915

××


2524

4915

××

= 74

8) 2210

2511

2710

2524

×××


2511

2710

2524

×××

=15951128××××××

= 22516


1. จงหาผลลัพธตอไปน้ี

1.1 วิธีทํา = 58

54×

= 2571

2532

=


1110

×

= 114


12249×

= 43


1615

×

= 214

29=

1.5 วิธีทํา = 1125

10099

×

= 412

49=


23×

= 21

206


2.1 วิธีทํา =

−×

931

521

179

= 4534

179

45155

45189

179

×=

−×

= 52

2.2 วิธีทํา =

−÷

+

62

63

62

63

= 665

61

65

×=÷

= 5

2.3 วิธีทํา = 1112

67

311

××

= 3

14

= 324


1057

724

××

= 16


1. ใหหาคําตอบของโจทยปญหาตอไปนี้

1) ตองมีเงิน 320 บาท ซื้อรองเทา 52

ของเงินทั้งหมด ซื้อเสื้อ 165

ของเงินทีเ่หลอื จง

หาวาตองเหลือเงินเทาไร

วิธีทํา ตองมีเงิน 320 บาท

ซือ้รองเทา 52

ของเงินทั้งหมด คิดเปน 12832052

=×

เหลอืเงินจากการซือ้รองเทา 320 – 128 = 192 บาท

ซื้อเสื้อ 165

ของเงินที่เหลือ คิดเปน 60192165

=× บาท

เหลือเงินจากการซื้อเสื้อ 192 – 60 = 132 บาท

ตอบ ตองเหลอืเงิน 132 บาท

207

2) หองประชุมหองหนึ่งมีความยาวเปน 433 ของความกวาง และความกวางเปน

524 ของ

ความสูง ถาหองสูง 213 เมตร และมีนักเรียน 462 คน จงหาวาโดยเฉลี่ยนักเรียนคนหน่ึง

มีอากาศหายใจกี่ลูกบาศกเมตร

วิธีทํา หองประชุมมีความกวาง 524 ของความสูง =

577

27

522

=× เมตร

มีความยาวเปน 433 ของความกวาง =

4231

577

415

=× เมตร

ดังนั้นหองประชุมมีปริมาตร = 40

509,1244

2315

7727

=×× ลูกบาศกเมตร

ในหองประชุมมีนักเรียน 462 คน โดยเฉลีย่นักเรียนคนหน่ึงมอีากาศหายใจ

= 46240

509,124÷

= 4621

40509,124

×


ตอบ โดยเฉลี่ยนักเรียนคนหนึ่งมีอากาศหายใจ 6.7375 ลูกบาศกเมตร

3) จางคนปลูกหญาบนสนามรูปสี่เหลี่ยมผืนผากวาง 546 เมตร ยาว

2110 เมตร ในราคาตาราง

เมตรละ 45 บาท จะตองจายเงินทั้งหมดเทาไร

วิธีทํา สนามรูปสี่เหลี่ยมผืนผากวาง 546 เมตร =

534

เมตร

ยาว 2110 เมตร =

221

เมตร

พื้นที่สนาม = 5

357221

534

=× ตารางเมตร

จายคาจางคนปลูกหญา ตารางเมตรละ 45 บาท

ตองจายเงิน = 375,35

35745 =× บาท

ตอบ จายคาจางปลูกหญาบนสนามเทากับ 3,213 บาท

208

4) โทรทัศนเคร่ืองหนึ่งประกาศลดราคาลง 41

ของราคาที่ปดไวเดิม แตผูซื้อเปนเพื่อนกับผูขาย

ลดใหอีก51

ของราคาที่ประกาศลดแลวในคร้ังแรก ซึ่งปรากฏวาผูซื้อจายไป 4,200 บาท จงหาวา

โทรทัศนเคร่ืองน้ีปดราคาเดิมไวเทาไร

วิธีทํา โทรทัศนเคร่ืองหนึ่งลดราคาลง 41

ของราคาที่ปดไว

ถาลดราคา 41

บาท ราคาทีล่ดแลวเหลือ 43

411 =− บาท

ขายใหเพื่อนลดใหอีก 51

ของราคาที่ประกาศลด 203

43

51

=×

ขายไปจริงราคา 53

2012

20315

203

43

==−

=− บาท

เศษสวน 53

คดิเปนเงนิ 4,200 บาท

ดังนั้นราคาเดิมขายไว = 000,735200,4 =× บาท

ตอบ เดิมติดราคาไว 7,000 บาท

5) ในการเดินทางคร้ังหน่ึงเสียคาที่พัก 52

ของคาใชจายทั้งหมด คาเดินทาง 41

ของคาใชจาย

ทั้งหมด คาใชจายอ่ืน ๆ คิดเปนเงิน 1,470 บาท จงหาวาคาใชจายทั้งหมดเปนเงินเทาไร

วิธีทํา คาใชจายทั้งหมดเปนเงิน 1 บาท

เสียคาที่พัก 52

ของคาใชจายทั้งหมดเปนเงิน = 52

บาท

เสียคาเดินทาง 41

ของคาใชจายทั้งหมดเปนเงิน = 41

บาท

รวมคาที่พักและคาเดินทาง = 2013

41

52

=+ บาท

เปนคาใชจายอ่ืนๆ = 207

20131 =− บาท


คิดเปนเงิน 1,470 บาท

ดังน้ัน คาใชจายทั้งหมด = 1,470 x 200,4720

= บาท

ตอบ คาใชจายทั้งหมด 4,200 บาท

209


1. จงเติมผลลัพธตอไปน้ี

1.1 0.99 1.2 -0.2

1.3 -0.1 1.4 0.1

1.5 -16.7 1.6 -12.5

1.7 50.09 1.8 -15.15

1.9 10.1 1.10 3.306

1.11 -9.1 1.12 -16.57

1.13 -36.7 1.14 -50.1

1.15 8.4782 1.16 2.7843

1.17 -57.03 1.18 -63.938

1.19 -3.237 1.20 3.327



1.1 -28.92 1.2 -0.1176

1.3 6.6742 1.4 -32.6808


2.1 -1,240

2.2 -10.1802

2.3 -12.596

2.4 24.5746

2.5 -3.33

210


ใหนักศึกษาแกปญหาโจทยตอไปน้ี

1. เชอืกยาว 17.25 เมตร นําอีกเสนหน่ึงยาว 5.2 เมตร มาผูกตอกันทําใหเสียเชือกตรงรอยตอ

0.15 เมตร นําเชือกที่ตอแลวมาวางเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผา ใหดานกวางยาวดานละ 1.5 เมตร ดาน

ยาวจะยาวดานละกี่เมตร

วิธีทํา เชือกที่เหลือจากการนํามาตอกันคิดเปน (17.25 + 5.2) – 0.15 = 22.3 เมตร

นํามาวางใหเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผาใหดานกวางยาว 1.5 เมตร

ดานกวางทั้ง 2 ดานจะใชเชือกไป 1.5 x 2 = 3 เมตร

เหลอืเชือกเปนดานยาว 22.3 – 3 = 19.3

แตดานยาว ม ี2 ดาน ดังน้ันดานยาว ดานละ 19.3 ÷ 2 = 9.65 เมตร

ตอบ ดานยาวจะยาวดานละ 9.65 เมตร

2. นํ้าตาลถุงหน่ึงหนัก 9.35 กิโลกรัม จํานวน 16 ถุง ใชทําขนมเฉลี่ยแลววันละ 4.4 กิโลกรัม

จะใชนํ้าตาลไดทั้งหมดกี่วัน

วิธีทํา นํ้าตาลถุงหน่ึงหนัก 9.35 กิโลกรัม จํานวน 16 ถุง = 9.35 x 16 = 149.6 กโิลกรัม

ใชทําขนมเฉลี่ยแลววันละ 4.4 กิโลกรัม จะใชนํ้าตาลได = 344.46.149= วัน

ตอบ จะใชนํ้าตาลไดทั้งหมด 34 วัน

3. หองรูปสี่เหลี่ยมผืนผา กวาง 4.8 เมตร ยาว 9.6 เมตร นํากระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 32

ตารางเซนติเมตร มาปูหองจะตองใชกระเบื้องกี่แผน

วิธีทํา พื้นที่หองสี่เหลี่ยมผืนผา กวาง 4.8 เมตร ยาว 9.6 เมตร = 480 x 960 = 460,800 ตร.ซม.

พื้นที่กระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด = 32 ตร.ซม.

ถาปูหองจะตองใชกระเบื้อง = 400,1432

800,460 แผน

ตอบ จะตองใชกระเบื้อง 14,400 แผน

211

4. มีทองคําแทงหน่ึงหนัก 12.04 กรัม ซื้อเพิ่มอีก 25.22 กรัม แบงขายไปสองคร้ัง หนักคร้ังละ

8.02 กรัม ที่เหลือนําไปทําแหวน 5 วง หนักวงละ 3.45 กรัมเทาๆ กัน จะเหลือทองอีกกี่กรัม

วิธีทํา ทองคําแทงหน่ึงหนัก 12.04 กรัม ซื้อเพิ่มอีก 25.22 กรัม = 12.04 + 25.22 = 37.26 กรัม

แบงขายไปสองคร้ัง หนักคร้ังละ 8.02 กรัม = 8.02 x 2 = 16.04 กรัม

เหลอืทอง = 37.26 – 16.04 = 21.22 กรัม

นําไปทาํแหวน 5 วง หนักวงละ 3.45 กรัมเทา ๆ กัน = 5 x 3.45 = 17.25 กรัม

ทองที่เหลือจากการทําแหวนจะได = 21.22 – 17.25 = 3.97 กรัม

ตอบ จะเหลือทองอีก 3.97 กรัม

212


เลขยกกําลัง


1. จงเขียนจํานวนตอไปน้ีในรูปเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1 พรอมทั้ง

บอกฐานและเลขชี้กําลัง

1.1 25 = ……… 5 x 5…………………=……..… 25 ……………..

มี = …………5…………….เปนฐานและ..............2..................เปนเลขชี้กําลัง

1.2 64 = ………8 x 8…………………=…………… 28 …………..

มี = …………8…………….เปนฐานและ...............2..................เปนเลขชี้กําลัง

1.3 169 = ………13 x 13……………....=…………… 213 …….…..

มี = ……………13……….เปนฐานและ..............2....................เปนเลขชี้กําลัง

1.4 729 = ……………27 x 27………..=………… 227 ……….…..

มี = …………27………….เปนฐานและ............2......................เปนเลขชี้กําลัง

1.5 -32 = …(-2) (-2) (-2) (-2) (-2)…….=………… ( )52− ………..

มี = …………(-2)…………เปนฐานและ............5.....................เปนเลขชี้กําลัง

1.6 -243 = …(-3) (-3) (-3) (-3) (-3)……….=……… ( )53− …………..

มี = ……………(-3)………เปนฐานและ............5.....................เปนเลขชี้กําลัง

1.7 0.125 = …(0.5) (0.5) (0.5)………….=………… ( )35.0 ……..…..

มี = …………(0.5)………เปนฐานและ.....................3..............เปนเลขชี้กําลัง

2. จงเขียนจํานวนที่แทนดวยสัญลักษณตอไปน้ี

2.1 2 × 2 ×2 ×2 ×2× 2× 2 × 2 = 256

2.2 (-3) (-3) (-3) (-3) = 81

2.3 (0.3) (0.3) (0.3) (0.3) (0.3) = 0.00243

2.4 (0.02) (0.02) (0.02) (0.02) (0.02) (0.02) = 0.000000000064

2.5

31

31

31

=

271

2.6

72

72

72

= 343

8

2.7 (-5) (-5) (-5) (-5) = 625

2.8 - (2×2×2) = -8

2.9

101

101

101

101

101

= 100000

1

2.10 (0.5) (0.5) (0.5) (0.5) (0.5) (0.5) = 0.015625

213


1 จงเขียนจํานวนตอไปน้ีในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร

1. 4 x 510

2. 2.3 x 1010

3. 6.39 x 810

4. 2.475 x 810

2. ดาวเสารอยูหางจากดวงอาทิตยประมาณ1,430,000,000 กิโลเมตร จงเขียนใหอยูในรูปสัญกรณ

วิทยาศาสตร

ตอบ 1.43 x 910

3. สัญกรณวิทยาศาสตรในแตละขอตอไปน้ีแทนจํานวนใด

3.1 2,000,000

3.2 48,000,000,000,000

3.3 4,030,000,000

3.5 912,500


1 จงเขียนจํานวนที่แทนดวยสัญลักษณตอไปน้ี

1.1 652 + = 2,048

1.2 32 x 9 = 288

1.3 36 = 216

1.4 275.0 = 0.5625

1.5 991

×

= 1

1.6 ( )36− = -216

1.7 16625

1258

× = 25

= 2

12

1.8 32

16807117649

1× =

224

1

1.9 ( )

161125.0 = 0.0078125

1.10 ( )511− = 161051

214

2. จงเขียนผลคูณของจํานวนในแตละขอตอไปน้ีในรูปเลขยกกําลัง

2.1 7322 ++ = 122

2.2 ( ) 5133 ++− = ( )93−

2.3 24 555 ×× = 2415 ++ = 75

2.4 22 111111 ×× = 21211 ++ = 511

2.5 ( ) 7343 ++− = ( )143−


1. จงหาผลลัพธ

1.1 292 − = 72

1.2 163 − = 53

1.3 6311 − = 311− = 311

1

1.4 24

51 −

=

2

51

1.5 ( ) 4503.0 − = ( )03.0

1.6 ( ) 75 )8.0(8.0 ÷ = ( ) 758.0 − = 2)8.0( − = 2)8.0(

1

1.7 ( ) 7435 −+ = 05 = 1

1.8 ( ) 4167 −+ = 37

1.9 ( )54213 −+ = 13

1.10 ( ) 476 +−m = 3m

2. จงหาผลลัพธตอไปน้ีในรูปที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวก

2.1 )4(35 −+ = 15− = 51

2.2 ( ) 2683 −−+ = 03 = 1

2.3 ( ) 164 −− = 74− = 741

2.4 ( )162 −+ = 52

2.5 ( ) 325.1 − = ( ) 15.1 − = 5.11

2.6 52−x = 3−x = 3

1x

2.7 ( ) ( )5013 ++ ÷ aa = 54−a = 1−a = a1

2.8 ( )57 −−−m = 57+−m = 2−m = 2

1m

215

เฉลย บทที่ 4 อัตราสวนรอยละ

แบบฝกหัดท่ี 1 1.จงเขียนอัตราสวนจากขอความตอไปนี้

1.1 1 เซนติเมตร : 100 กโิลเมตร

1.2 200 กโิลเมตร : 3 ชั่วโมง

1.3 40 คน : 1,000 คน

1.4 72 คร้ัง : 1 นาที

2. สลากกินแบงรัฐบาลแตละงวดเปนเลข 6 หลัก เชน 889748 ซึ่งมีหมายเลขตางกันทั้งหมด

1,000,000 ฉบับ ในจํานวนทั้งหมดนี้มีสลากที่ถูกรางวัลเลขทาย 2 ตัวทัง้หมด 10,000 ฉบับ ถูก

รางวัลเลขทาย 3 ตัว 4,000 ฉบับ และถูกรางวัลที่ 1 อีก 1 ฉบับ

2.1 1 : 1,000,000

2.2 10,000 : 1,000,000

2.3 4,000 : 1,000,000

2.4 10,000 : 4,000

3. พอคาจัดลกูกวาดคละสขีนาดเทากนัลงในขวดโหลเดียวกนั โดยนับเปนชดุดังน้ี “ลกูกวาดสแีดง

3 เม็ด สีเขียว 2 เม็ด สเีหลอืง 5 เมด็” จงหา

3.1 3: 10

3.2 3: 5

3.3 สีเหลืองเพราะมีจํานวนมากที่สุด ดังน้ันโอกาสที่จะหยิบไดสีเหลืองจึงมีมาก


1. ถาอัตราการแลกเปลี่ยนเงินดอลลารตอเงินหนึ่งบาทเทากับ 1 : 43 จงเติมราคาเงินในตาราง

43 86 129 430 860

216

2. จงเขียนอัตราสวนที่เทากับอัตราสวนที่กําหนดใหตอไปน้ีมาอีก 3 อัตราสวน

2.1 128,

96,

64

2.2 3620,

2715,

1810

3. จงตรวจสอบวาอัตราสวนตอไปน้ีเทากันหรือไม

4. จงทําใหอัตราสวนตอไปน้ีมีหนวยเดียวกันและอยูในรูปอยางงาย

4.1 2x 24 : 10 หรือ 48 : 10 หรือ 24 : 5

4.2 200 : 1.5 x 1,000 เมตร หรือ 200 : 1,500

6 x9 = 8 x 7

54 ≠ 56

12 x15 = 18 x 10

180 =180

0.3 x200 = 6 x 10

60 = 60

86 ≠

97

1012 =

1518

103.0 =

2006

217


1. พอแบงเงินใหลูกสามคนโดยกาํหนด

อัตราสวนของจํานวนเงินลูกคนโต ตอคนกลาง ตอคนเล็กเปน 5 : 3 : 2 จงหาอัตราสวนตอไปน้ี

1.1 5 : 2

1.2 2 : 3

1.3 3 : 10

1.4 2 : 10

2. เศรษฐีคนหน่ึงไดเขียนพินัยกรรมไวกอนจะเสียชีวิตวา ถาภรรยาที่กําลังต้ังครรภคลอดลูกเปนชาย

ใหแบงเงนิในพนิยักรรมเปนอัตราสวนเงินของภรรยาตอบุตรชายเปน 1 : 2 แตถาคลอดลูกเปนหญิง

ใหแบงเงินในพินัยกรรมเปนอัตราสวนเงินของภรรยาตอบุตรหญิงเปน 2 : 1 เมื่อเศรษฐีคนน้ีเสียชีวิต

ลงปรากฏวาภรรยาคลอดลูกแฝด เปนชาย 1 คน หญิง 1 คน จงหาอัตราสวนของเงนิในพนิยักรรม

ของภรรยาตอบุตรชาย ตอบุตรหญิง

ตอบ อัตราสวนเงินของภรรยาตอเงินของบุตรชาย เปน 1 : 2

อัตราสวนเงินของภรรยาตอเงินของบุตรหญิง เปน 2 : 1

เมื่อเศรษฐีเสียชีวิตลงภรรยาคลอดลูกเปนฝาแฝด ชาย 1 คน หญิง 1 คน ตองแบงพินัยกรรมเปน

สามสวน คือ

อัตราสวนเงินของภรรยาตอเงินของบุตรชาย เปน 1: 2 = 2: 4

อัตราสวนเงินของภรรยาตอเงินของบุตรหญิง เปน 2 : 1

น่ันคือ อัตราสวนเงินของภรรยาตอเงินของบุตรชายตอบุตรหญิงเปน 2 :4 : 1


1. จงเขยีนสดัสวนจากอัตราสวนตอไปน้ี

1.1 86

43=

1.2 279

7=

A

1.3 510

12 B=

1.4 D

65

4

5=

218

2. จงหาคาตัวแปรจากสดัสวนทีก่าํหนดใหตอไปน้ี

2.1 1512

3=

A


×=A

= 2.4

2.2 28213

=B

วิธีทํา 21283×=B

= 4


1. ขายมะละกอ 3 ผล ราคา 50 บาท ถาขาย มะละกอ 15 ผล จะไดเงินเทาไร

วิธีทํา ขายมะละกอ 3 ผล ราคา 50 บาท

ขายมะละกอ 15 ผล ราคา x บาท

จะได x

15503=

35015xx =

x = 250

2. กศน.แหงหนึ่งมีนักศึกษาทั้งหมด 400 คน มีจํานวนนักศึกษาหญิงตอจํานวนนักศึกษาชาย

เปน 5: 3 จงหาวา มีนักศึกษาชายกี่คนและนักศึกษาหญิงกี่คน

วิธีทํา กศน. แหงหน่ึงมนีักศึกษาทั้งหมด 400 คน

มีจํานวนนักศึกษาหญิงตอจํานวนนักศึกษาชาย เปน 5: 3

ด้ังน้ันถาแบงนักศึกษา กศน.ทั้งหมดออกเปน 5+3 = 8 สวน

จะไดนักศึกษา กศน. สวนละ 8

400= = 50 คน

ฉะน้ัน มีนักศึกษาชาย อยู 3 สวน เปน 3 x 50 = 150 คน

มีนักศึกษาหญิงอยู 5 สวน เปน 5 x 50 = 250 คน

219

3. พอแบงมรดกใหลูกสองคน โดยอัตราสวนของสวนแบงของลูกคนโตตอสวนแบงลูกคนเล็ก

เปน 7: 3 ถาลูกคนโตไดเงินมากกวาลูกคนเล็ก 80,000 บาท จงหาสวนแบงที่แตละคนไดรับ

วิธีทํา อัตราสวนของสวนแบงของลูกคนโตตอสวนแบงลูกคนเล็ก เปน 7: 3

ดังนั้น พอแบงเงินทั้งหมดเปน 10 สวน

ลูกคนโตมีเงินมากกวาลูกคนเล็ก 4 สวน เปนเงิน 80,000 บาท

ดังน้ัน เงิน 1 สวน เปนเงิน 000,204000,80

= บาท

สรุปไดวา ลูกคนโตไดรับเงินมรดก 7 สวน เปนเงิน 7 x 20,000 = 140,000 บาท

ลกูคนเลก็ไดรับเงินมรดก 3 สวน เปนเงิน 3 x 20,000 = 60,000 บาท


1.1 90

1.2 48

1.3 7%

1.4 25%

1.5 600

1.6 0.5


1. 125 คน

2. 2.1 1,200 คน

2.2 480 คน

3.

วิธีทํา สินคาทุกชนิดลดราคา 20 %

คุณแมซื้อเคร่ืองแกวแลวไดสวนลด 250 บาท

ดังนั้นรานคาปดราคา =×20

100250 1, 250 บาท

4. วิธีทํา สนามหญาแหงหน่ึงกวาง 5 เซนติเมตร ยาว 8 เซนติเมตร

มาตราสวน 1 เซนติเมตร : 50 เมตร

ดังน้ันสนามหญาจริงกวาง 250 เมตร ยาว 400 เมตร

หาพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผา จะได 250 x 400 = 100,000 ตารางเมตร

220

5. วิธีทํา นกนอยไดอัตราดอกเบี้ยรอยละ 3 ตอป แตถูกหักภาษีรอยละ 15 คดิเปน 45.0310015

=×

เทากับดอกเบี้ยที่ถูกหักภาษีแลว 3 – 0.45 = 2.55

นกนอยฝากเงนิ 10,000 บาท สิ้นปจะไดดอกเบี้ยที่ถูกหักภาษี รอยละ 2.55

คิดเปน 255000,10100

55.2=× บาท

รวมมีเงินบัญชี 10,000 + 225 = 10,225 บาทในตนปที่สอง

สิ้นปที่สองจะไดดอกเบี้ยรอยละ 2.55 ของเงินฝากปที่สอง = 50.261255,10100

55.2=× บาท

ครบสองปจะมีเงินในบัญชี 10,255 + 261.50 = 10,516.50 บาท

6. วิธีทํา วีระซื้อรถยนต ราคา 200,000 บาท

ขายตอไดกําไร 20% เปนเงิน 000,40000,20010020

=× บาท

วีระมีเงินทั้งหมด 240,000 บาท

วีระเอาเงนิไปเลนหุนขาดทุน 20% เปนเงิน 000,48000,24010020

=× บาท

ดังน้ันวีระเหลือเงิน 240,000 - 48,000 = 192,000 บาท

221

เฉลย บทที่ 5 การวัด


1. จงเติมหนวยความยาวหรือหนวยพื้นที่ใหเหมาะสมกับขอความตอไปนี้

1.1 มิลลิเมตร

1.2 เซนติเมตร, เซนติเมตร, มิลลิเมตร

1.3 กโิลเมตร

1.4 เมตร, เมตร, กโิลเมตร

1.5 เซนติเมตร, เซนติเมตร, มิลลิเมตร

1.6 ตารางเซนติเมตร

1.7 ตารางเมตร

1.8 เมตร หรือ วา , ไร-งาน-ตารางวา, ตารางเมตร

1.9 เมตร

2. จงเติมคําลงในชองวางที่กําหนดใหถูกตอง

2.1 1,600

2.2 170,000

2.3 7 ไร 3 งาน 19 ตารางวา

2.4 5

2.5 2 x 1010

2.6 2,222

2.7 2.9

2.8 432

2.9 38

2.10 1,072 938,000 และ 1,400,000

3. จงตอบคําถามตอไปนี้ พรอมแสดงวิธทีาํ

1) สวนแหงหน่ึงมีพื้นที่ 4,800 ตารางเมตร คิดเปนพื้นที่กี่ไร

วิธีทํา พื้นที่ 1,600 ตารางเมตร เทากับ 1 ไร

พื้นที่ 4,800 ตารางเมตร เทากับ 3600,1800,4

= ไร

222

2) พื้นที่ 25 ตารางฟุต คิดพื้นที่กี่ตารางเซนติเมตร

วิธีทํา 1 ฟุต = 30 เซนติเมตร

1 ตารางฟุต = 30 x 30 ตารางเซนติเมตร

25 ตารางฟุต = 30 x 30 x 25 = 22,500 ตารางเซนติเมตร

3) ลุงแดงแบงที่ดินใหลูกชาย 3 คน โดยแบงใหลกูชายคนโตได 2 ไร ลูกชายคนกลาง 850

ตารางวา และลูกชายคนเล็กได 3,000 ตารางเมตร อยากทราบวาใครไดสวนแบงที่ดินมากที่สุด

วิธีทํา คนโตได 2 ไร คิดเปน 2 x 1,600 = 3,200 ตารางเมตร

คนที่สองได 850 ตารางวา คิดเปน 850 x 4 = 3,400 ตารางเมตร

คนเลก็ได 3,000 ตารางเมตร

แสดงวา คนกลางไดมากที่สุด

4) พื้นที่ 5,625 ไร คิดเปนพื้นที่ กี่ตารางกิโลเมตร

วิธีทํา พื้นที่ 625 ไร = 1 ตารางกิโลเมตร

พื้นที่ 5,625 ไร = 9625625,5

= ตารางกิโลเมตร

5) สมเกียรติซื้อโลหะแผนชนิดหน่ึง 3 ตารางเมตร ราคา 456 บาท สมนึกซื้อโลหะแผน

ชนิดเดียวกนั 4 ตารางหลา ราคา 567 บาท อยากทราบวาใครซื้อไดถูกกวากัน ตารางเมตรละกี่บาท

(กาํหนด 1 หลา = 90 เซนติเมตร)

วิธีทํา 1 หลา = 90 เซนติเมตร

1 ตารางหลา = 90 x 90 ตารางเซนติเมตร

4 ตารางหลา = 90 x 90 x 4 ตารางเซนติเมตร

100 x 100 ตารางเซนติเมตร = 1 ตารางเมตร

ดังน้ัน 90 x 90 x 4 ตารางเซนติเมตร = 24.3100100

49090=

xxx

ตารางเมตร

ดังน้ัน สมนึกซื้อโลหะแผน ราคา 567 บาท คิดเปนราคาตารางเมตรละ 17524.3

567= บาท

สมเกียรติซื้อโลหะแผนราคา 456 บาท คิดเปนราคาตารางเมตรละ 1523

456= บาท

ดังน้ัน สมเกียรติซื้อไดในราคาที่ถูกกวา

223


1.จงเติมหนวยการวัดที่เหมาะสมลงในชองวาง

2.1 เมตร

2.2 มิลลิเมตร

2.3 กโิลเมตร

2.4 กโิลกรัม

2.5 วินาที

2.6 องศาเซลเซยีส

2.7 ไร – งาน – ตารางวา

2.8 ลูกบาศกเซนติเมตร หรือ ลติร


2.10 กโิลกรัม


1. จงหาพื้นที่สวนที่แรเงาของรูปตอไปน้ี ตัวเลขที่เขียนกํากับดานไวถือเปนความยาวของดาน และมี

หนวยเปนหนวยความยาว

1. 150152021

=xx ตารางหนวย 2. 2551021

=xx ตารางหนวย

2. รูปสามเหลี่ยมหน่ึงรูปมีพื้นที่ 90 ตารางเซนติเมตร มีฐานยาว 12 เซนติเมตร จะมีความสูงกี่


วิธีทํา 90 = xx1221

สูง

ความสูง = 1512

290=

x

224

3. สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีมุม BAC เปนมุมฉาก และกําหนดความยาวของดานดังรูป จงหาความ

ยาวของดาน A

วิธีทํา ABC เมื่อ AB เปนฐาน พื้นที่สามเหลี่ยมคือ 1248621

−−−−−=xx

ABC เมื่อ BC เปนฐาน พื้นที่สามเหลี่ยม คือ 21021

−−−−−−−xax

สมการที่ 1 = สมการที่ 2 จะได 241021

=xax

ดังน้ัน a = 4.8 หนวย

4. จงหาพื้นที่ของสวนที่แรเงาของไมฉากรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมีขนาดตามรูป (ความยาวที่กําหนดมี

หนวยเปนเซนติเมตร)

30

วิธีทํา พื้นที่สามเหลี่ยมรูปนอก = 375253021


พื้นที่สามเหลี่ยมรูปใน = 240202421


ดังน้ัน พื้นที่สวนที่แรเงามีพื้นที่เทากับ 375 – 240 = 135 ตารางหนวย

225


1.1 พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส = ดาน x ดาน = 8 x 8 = 64 ตารางเซนติเมตร

1.2 พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส = x21

ผลคูณของเสนทแยงมุม = 72)1212(2

1=× ตาราง


1.3 พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผา = กวาง x ยาว = 4 x 7 = 28 ตารางเซนติเมตร

1.4 พื้นที่สี่เหลี่ยมดานขนาน = ฐาน x สูง = 12 x 8 =96 ตารางเมตร

1.5 พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู = 21

x ผลบวกดานคูขนาน x สูง = ( ) 48611521

=+ xx ตารางเมตร

1.6 พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปยกปูน = x21

ผลคูณของเสนทแยงมุม = 4881221

=xx ตารางเมตร

1.7 พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว = x21



1.8 พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว = x21



1.9 พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมใดๆ = x21

เสนทแยงมุม x ผลบวกของเสนกิ่ง = ( ) 60751021

=+xx

ตารางเมตร

2. จงหาพื้นที่สวนที่แรงเงา ตัวเลขที่เขียนกํากับไวถือวาเปนความยาวของดานและมีหนวยความยาว

เปนเมตร

วิธีทํา พื้นที่สามเหลี่ยมรูปเล็ก = 84421


พื้นที่สามเหลี่ยมรูปใหญ = 246821


จะเห็นวาพื้นที่สวนที่แรเงามีพื้นที่เทากับ 24 – 8 = 16 ตารางเมตร

226

วิธีทํา พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปใหญ = 000,24050 =x ตารางเมตร

พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปเล็ก = 496,13444 =x ตารางเมตร

จะเห็นวาพื้นที่สวนที่แรเงามีพื้นที่เทากับ 2,000 – 1,496 = 504 ตารางเมตร


1. จงหาพื้นท่ีสวนท่ีแรเงา ตัวเลขท่ีเขียนกํากับดานมีหนวยเปนเซนติเมตร และจุด O, Q แทนจดุ

ศูนยกลางของวงกลม

1.1

วิธีทํา พื้นที่สามเหลี่ยม รูป 1 = 123821

=xx

พื้นที่สี่เหลี่ยม รูป 2 = 4081021

=xx

ดังน้ัน พื้นที่ที่แรเงาทั้งหมด = 12 + 40 = 52 ตารางหนวย

227

1.2

วิธีทํา พื้นที่วงกลม = 5.35.3722 xx

พื้นที่ที่แรเงาทั้งหมด = 38.5 ตารางหนวย

1.3

วิธีทํา พื้นที่วงกลม = 15477722

=xx

พื้นที่สี่เหลี่ยม = 14 x 14 = 196

พื้นที่ที่แรเงาทั้งหมด = 196 – 154 = 42 ตารางหนวย

228

1.4

วิธีทํา พื้นที่สามเหลี่ยมรูปที่ 1 = 1 x 6 = 6

พื้นที่สามเหลี่ยมรูปที่ 2 = 2 x 1 = 2

พื้นที่สามเหลี่ยมรูปที่ 3 = 1 x 6 = 6

ดังน้ันพื้นที่แรเงาทั้งหมด = 6+2+6 = 14 ตารางหนวย

1.5

วิธีทํา พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปที่ 1 = 4 x 5 = 20

พื้นที่สามเหลี่ยมรูปที่ 2 = 63421

=xx

ดังน้ัน พื้นที่ทั้งหมด = 20 + 6 = 26 ตารางหนวย

1.6

วิธีทํา พื้นที่สามเหลี่ยมรูปที่ 1 = พื้นที่สามเหลี่ยมรูปที่ 2

พื้นที่สามเหลี่ยมรูปที่ 1และรูปที่ 2 = 622321

=

xxx

พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปที่ 3 = 5 x 3 = 15

ดังน้ันพื้นที่สี่เหลี่ยมทั้งหมด = 6 + 15 = 21 ตารางหนวย

1 1

6

2.5

2.5 2

229


1. แผนผังบานหลังหน่ึงมีลักษณะและขนาดดังรูป ถาบริเวณที่แรเงาตองการเทปูนซีเมนต โดยเสีย

คาใชจายตารางเมตรละ 250 บาท จะตองเสียคาใชจายทั้งหมดกี่บาท กําหนดความยาวมีหนวยเปน


วิธีทํา พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปที่ 1 = 1 x 2 = 2 ตารางเมตร

พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปที่ 2 = 1 x 3 = 3 ตารางเมตร

พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปที่ 3 = 1.5 x 2 = 3 ตารางเมตร

ดังน้ันพื้นที่สวนที่แรเงา = 2+3+3 = 8 ตารางเมตร

ตองการเทปูนซีเมนตโดยเสียคาใชจายตารางเมตรละ 250 บาท

จะตองเสยีคาใชจายทั้งหมด = 250 x 8 = 2,000 บาท

2. ตองการตัดเสื้อตัวหน่ึงมีลักษณะดังรูป จะตองใชผากี่ตารางเมตร (ไมคิดตะเข็บ) ความยาวที่

กาํหนดมหีนวยเปนเซนติเมตร

230

วิธีทํา พื้นที่สี่เหลี่ยมสวนแขนเสื้อ สวนที่ 1= (21

x (0.2+0.3) x 0.15) = 0.0375 ตารางเมตร

พื้นที่สี่เหลี่ยมสวนแขนเสื้อ สวนที่ 2= (21

x (0.2+0.3) x 0.15) = 0.0375 ตารางเมตร

พื้นที่สี่เหลี่ยมสวนที่เปนลําตัว = 0.4 x 0.4 = 0.16 ตารางเมตร

พื้นที่ทั้งหมด คือ 0.0375 + 0.0375 + 0.16 = 0.235

จะตองใชผา 2 ชิ้น จะตองใชผาทั้งหมด 0.235 x 2 = 0.47 ตารางเมตร


1. จงคาดคะเนเวลาหรือชวงเวลาใหเหมาะสมกับสถานการณตอไปนี้

1.1 5.00 นาฬกิา

1.2 12.00 นาฬกิา

1.3 หนาว , ธนัวาคม

2. จงวงกลมลอมรอบขอที่เหมาะสมที่สุด สําหรับใชหนวยในการคาดคะเน ระยะทาง น้ําหนัก หรือ

ขนาดของสิ่งตอไปนี้

2.1 ข

2.2 ข

2.3 ก

2.4

2.4.1 ค

2.4.2 ก

2.4.3 ข

2.4.4 ข

2.5

2.5.1 ข

2.5.2 ก

3. ทางหลวงสายพหลโยธินกรุงเทพฯ-แมสาย ยาว 952 กิโลเมตร รถประจําทางปรับอากาศวิ่งบน

ทางหลวงสายน้ีตลอดเสนทางดวยอัตราเร็ว 80-100 กิโลเมตรตอชั่วโมง

3.1 10 – 12 ชั่วโมง

3.2 4.00 – 6.00

3.3 24.00 – 2.00

231

4. ลิฟตของโรงแรมแหงหน่ึงบรรทุกผูโดยสายไดเที่ยวละไมเกิน 10 คน (600 กิโลกรัม) บางคร้ังมี

ผูโดยสารเขาลิฟตเพียง 8 คน ลิฟตจะมีเสียงเตือน บางคร้ังมีผูโดยสาร 12 คน ลิฟตไมมีเสียงเตือนยัง

ใชงานไดเปนเพราะเหตุใด จงอธิบาย

ตอบ ถานํ้าหนักของคน 8 คน รวมกันเกิน 600 กโิลกรัม

ถานํ้าหนักของคน 12 คน รวมกันไมเกิน 600 กโิลกรัม

5. ทางหลวงสายเพชรเกษม (กรุงเทพฯ-บานคลองพราน จังหวัดนราธิวาส) 1,352 กโิลเมตร ทาง

หลวงสายมิตรภาพ (กรุงเทพฯ-จังหวัดหนองคาย) 508 กิโลเมตร ทางหลวงสายสุขุมวิท (กรุงเทพฯ-

จังหวัดตราด) 400 กโิลเมตร

5.1 ระยะทาง 1,352 + 508 = 1,860 กโิลเมตร

ใชอัตราเร็ว 90 – 100 กิโลเมตร ตอชั่วโมง จะใชเวลาประมาณ 19 – 22 ชั่วโมง

5.2 ใชเวลา 52.13100352,1

= ชั่วโมง จะถึงนราธิวาสเมื่อเวลาประมาณ ตี 2

5.3 ใชเวลา 580400

= ชั่วโมง

5.4 ทางหลวงเพชรเกษม ประมาณ 1,400 กโิลเมตร

ทางหลวงมิตรภาพ ประมาณ 500 กโิลเมตร

ทางหลวงสุขุมวิท ประมาณ 400 กโิลเมตร

232

เฉลย บทที่ 6 พ้ืนที่ผิวและปริมาตร


1. จงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึมตอไปน้ี

วิธีทํา ปริมาตร = พื้นที่ฐาน x สูง

= 53821 xxx

= 60 ลูกบาศกเซนติเมตร

วิธีทํา ปริมาตร = พื้นที่ฐาน x สูง

= 421221 xxx

= 48 ลูกบาศกเซนติเมตร


1. จงหาปริมาตร และพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอกสูง 10 เซนติเมตร มีเสนผานศูนยกลาง 14


วิธีทํา ปริมาตร = ¶ 2r h

= 540,11077722

=xxx ลูกบาศกเซนติเมตร

พื้นที่ฐาน = ¶ 2r

= 15477722

=xx ตารางเซนติเมตร

พื้นที่ผิวขาง = 2¶rh

= 4401077222 =xxx ตารางเซนติเมตร

233

ดังน้ันพื้นที่ผิวทั้งหมด คือ 440 + (154 x 2) = 748 ตารางเซนติเมตร

2. จงหาปริมาตรของทรงกระบอกใบหนึ่งที่มีรัศมีของฐาน 3.5 น้ิว และสูง 5 น้ิว


= 5.19255.35.3722

=xxx ลูกบาศกน้ิว

3. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวทั้งหมดของถังเก็บนํ้ารูปทรงกระบอกใบหน่ึงที่มีรัศมีที่ฐาน 3 เมตร

สูง 4 เมตร 90 เซนติเมตร


= 6.1389.433722

=xxx ลูกบาศกเมตร

พื้นที่ผิวขาง = 2¶rh

= 4.929.437222 =xxx ตารางเมตร

พื้นที่ฐานทั้ง 2 ขาง = 2 x (3.14)x 3x 3 = 56.52 ตารางเมตร

ดังน้ันพื้นที่ผิวทั้งหมด = 92.4 + 56.52 = 148.92 ตารางเมตร


1. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวทั้งหมดของพีระมิดที่สูง 6 เซนติเมตร ฐานเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาว

ดานละ 16 เซนติเมตร

วิธีทํา หาสงูเอียง จากสตูร 222 bac +=

222 68 +=c

C = 10

พื้นที่ฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส = 16 x 16 = 256 ตารางเซนติเมตร

ปริมาตรพีระมิด = x31


= 625631 xx = 512 ตารางเซนติเมตร

พื้นที่ผิวเอียง = ( ) 1016421 xxx = 320 ตารางเซนติเมตร

ดังน้ันพื้นที่ผิวทั้งหมด = 256 + 320 = 576 ตารางเซนติเมตร

234

2. จงหาพื้นที่ผิวเอียงของพีระมิดฐานรูปหกเหลี่ยมดานเทา มุมเทา ยาวดานละ 4 เซนติเมตร สูงเอียง


วิธีทํา พื้นที่ผิวเอียง = x21


= x21

(4 x 6) x 7.5

= 2 x 6 x 7.5 = 90 ตารางเซนติเมตร


1. จงหาปริมาตร และพื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยกลมที่สูง 24 เซนติเมตร มีเสนผานศูนยกลาง 14


วิธีทํา ปริมาตร = 31 ¶ 2r h

= 2477722

31 xxxx


สงูเอียง = 222 724 +=A = 625

A = 25


= 15477722


พื้นที่ผิวเอียง = ¶rl

= 550257722


ดังน้ันพื้นที่ผิวทั้งหมด = 154 + 550 = 704 ตารางเซนติเมตร

2. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยกลมที่สูงเอียง 5 เซนติเมตร มีเสนผานศูนยกลาง

8 เซนติเมตร (ตอบในรูป π)

วิธีทํา หาสูงตรง 222 bac +=

222 45 −=a

a = 3

ปริมาตร = 31 ¶ 2r h

= 31 ¶ 342 x = 16 ¶ ลูกบาศกเซนติเมตร

พื้นที่ผิวเอียง = ¶rl

235

= ¶ (4)(5) = 20 ¶ ตารางเซนติเมตร


= ¶ 24 = 16 ¶ ตารางเซนติเมตร

พื้นที่ผิวทั้งหมด = 20 ¶ + 16¶ = 36¶ ตารางเซนติเมตร

3. จงหาปริมาตรจรวดทรงกระบอกมีปลายเปนกรวย มีเสนผานศูนยกลาง 14 เซนติเมตร ความยาว

ทรงกระบอก 30 เซนติเมตร ความสงูยอดกรวย 12 เซนติเมตร

วิธีทํา ปริมาตรทรงกระบอก = ¶ 2r h

= 3077722 xxx = 4,620 ลูกบาศกเซนติเมตร

ปริมาตรทรงกรวย = 31 ¶ 2r h

= 1277722

31 xxxx = 616 ลูกบาศกเซนติเมตร

ปริมาตรทั้งหมด = 4,620 + 616 = 5,236 ลูกบาศกเซนติเมตร


1. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกลมซึ่งมีเสนผานศูนยกลาง 14 เซนติเมตร

วิธีทํา ปริมาตรทรงกลม = 34 ¶ 3r

= 777722

34

×××× = 1,437.3 ลูกบาศก


พื้นที่ผิวทรงกลม = 4¶ 2r

= 4 x 77722 xx = 616 ตารางเซนติเมตร

236

2. ทรงกลมมีปริมาตร 38,808 ลูกบาศกเซนติเมตร จงหารัศมีและพื้นที่ผิว

วิธีทํา ปริมาตรทรงกลม = 34 ¶ 3r

38,808 = 3

722

34 xrx

3r = 224

73808,38×

××

r = 21 เซนติเมตร

พื้นที่ผิวทรงกลม = 4¶ 2r

= 21217224 xxx = 5,544 ตารางเซนติเมตร

3. ทรงกลมมีพื้นที่ผิว 616 ตารางน้ิว จงหาปริมาตรของทรงกลม

วิธีทํา พื้นที่ผิวทรงกลม = 4¶ 2r

616 = 2

7224 r××

2r = 616 227

41××

r = 7 เซนติเมตร

ปริมาตรทรงกลม = 34 ¶ 3r

= 777722

34

××××


4. โลหะกลมลูกหน่ึง รัศมีภายนอก 21 เซนติเมตร รัศมีภายใน 7 เซนติเมตร จงหาปริมาตรเน้ือโลหะ

วิธีทํา ปริมาตรทรงกลมรูปนอก = 34 ¶ 3r

= 212121722

34

××××


ปริมาตรทรงกลมรูปใน = 34 ¶ 3r

= 777722

34

××××


ดังน้ันปริมาตรเน้ือโลหะ = 38,808 - 1,437.33 = 37,370.67

237


1. สระแหงหน่ึงเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผา กนสระกวาง 5 วา ลึก 3 เมตร ยาว 15 เมตร ถาใชเคร่ืองสูบนํ้า

ออกจากสระไดนาทีละ 9,000 ลิตร จะตองใชเวลาสูบนํ้าเทาไร

วิธีทํา ปริมาตรสระนํ้า = กวาง x ยาว x ลึก

= 10 x 15 x 3 ลูกบาศกเมตร


1 ลูกบาศกเมตร = 1,000,000 ลูกบาศกเซนติเมตร

= 450 x 1,000,000


1 ลติร = 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร

= 000,450000,1

000,000,450= ลติร

สูบน้ําออกจากสระไดนาทีละ = 9,000 ลติร

ตองใชเวลาสูบนํ้า = 50000,9

000,450= นาที

2. อางเลี้ยงปลาทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากกวาง 90 เซนติเมตร ยาว 1.2 เมตร จุนํ้า 540 ลิตร ตองการปู

กระเบื้องภายในอางดวยแผนกระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาวดานละ 10 เซนติเมตร ตองใชกระเบือ้ง

อยางนอยที่สุดเทาไร

วิธีทํา อางเลี้ยงปลาจุนํ้า 540 ลติร คิดเปน 540 x 1,000 = 540,000 ลูกบาศกเซนติเมตร

หาความลึกอางเลี้ยงปลาจาก 540,000 = 90 x 120 x ลึก

ความลึก = 5012090000,540

=×


หาพื้นที่อางเลี้ยงปลาดานที่ 1 = 50 x 90 = 4,500 ตารางเซนติเมตร






ดังน้ันพื้นที่อางเลี้ยงปลาทั้งหมด = 4,500 +4,500 +6,000 +6,000 +

10,800 +10,800= 42,600 ตารางเซนติเมตร

หาพื้นที่กระเบื้อง = 10 x 10 = 100 ตารางเซนติเมตร

ดังน้ันตองใชกระเบื้อง = 426100

600,42= แผน

238

3. นํ้ายาบวนปากขวดหนึ่งปริมาตรสุทธิ 700 มิลลิลิตร ใชอมปวนปากคร้ังละ 10 มิลลิลิตร วันละ 2

คร้ัง จะใชไดกี่วัน

วิธีทํา นํ้ายาบวนปากขวดหน่ึงปริมาตรสุทธิ 700 มิลลิลิตร

ใชนํ้ายาบวนปาก คร้ังละ 10 มิลลิลิตร วันละ 2 คร้ัง = 10 x 2 = 20 มิลลิลิตร

จะใชไดทั้งหมด = 3520

700= วัน

4. ถังน้ําทรงลูกบาศกยาวดานละ 2 เมตร จุนํ้าไดกี่ลิตร

วิธีทํา ถังน้ําทรงลูกบาศก มีความจุ = 2 x 2 x 2 = 8 ลูกบาศกเมตร

คิดเปน = 8 x 1,000,000 = 8,000,000 ลูกบาศกเซนติเมตร

จุนํ้าได = 000,1

000,000,8 = 8,000 ลติร

5. ถังทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากวัดภายในกวาง 90 เซนติเมตร ยาว 1.50 เซนติเมตร สงู 1.20 เมตร บรรจุนํ้า

เต็มถัง ถาตองการตวงนํ้ามันจากถังใสแกลอนซึ่งมีความจุ 4.5 ลิตร จะไดนํ้าทั้งหมดกี่แกลอน

วิธีทํา ถังทรงสี่เหลี่ยมมีปริมาตร = 90 x 150 x 120


สามารถจุนํ้าได = 000,1

000,620,1

= 1,620 ลติร

และแกลอน 1 ใบสามารถจุนํ้าได = 4.5 ลติร

ดังน้ัน นํ้า 1,620 ลิตร สามารถจุได = 3605.4

620,1= แกลอน

239


1. ถังเก็บนํ้ามันของปมแหงหน่ึงเปนรูปทรงกลม มีเสนผานศูนยกลาง 7 เมตร ตองการทาสีคร่ึงทรงกลม

บน โดยเสียคาทาสีตารางเมตรละ 40 บาท ตองเสียคาทาสีกี่บาท

วิธีทํา พื้นที่ผิวทรงกลม = 4¶ 2r

พื้นที่ผิวคร่ึงทรงกลม = x21

4¶ 2r

= 5.35.37224

21

××××


เสียคาทาสีตารางเมตรละ = 40 บาท

จะเสียคาทาสี = 77 x 40

= 3,080 บาท

2. หินออนทรงลูกบาศกมีขนาดดานละ 2.1 เมตร ถาตองการกลึงใหเปนรูปทรงกลมใหมีขนาดเสน

ผานศูนยกลางเทากับความยาวของดานลูกบาศก จะหาวาจะตองกลึงหินออกไปปริมาตรเทาใด


ปริมาตรลูกบาศก = ดาน3

= 2.1 x 2.1 x 2.1 = 9.261 ลูกบาศกเมตร

ปริมาตรทรงกลม = 34 ¶ 3r

=

×

×

××

21.2

21.2

21.2

722

34


จะตองกลงึออก = 9.261 – 4.851


240

3. นําแทงตะกั่วทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากกวาง 8 น้ิว ยาว 11 น้ิว หนา 5 น้ิว ไปหลอมเปนลูกปนทรงกลม

ขนาดรัศมี 1 น้ิว จะหลอมไดกี่ลูก

วิธีทํา ปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก = 8 x 11 x 5

= 440 ลูกบาศกน้ิว

ปริมาตรลูกปนทรงกลม 1 ลกู = 34 ¶ 3r

= ( )31722

34

××

= 2188

ลูกบาศกน้ิว

จํานวนลกูปนทีไ่ด = 440 ÷ 2188

= 440 × 8821

= 105 ลูก

241

เฉลยบทที่ 7 คูอันดับและกราฟ


1. จงเขยีนคูอันดับจากแผนภาพทีก่าํหนดใหตอไปน้ี

1.1 (1,-1), (2,-2), (3,-3), (4,-4)

1.2 (1,c), (2,b), (3,a) , (4,d)

1.3 (1,0), (2,-1), (3,-2), (4,-3),(5,-4)

2. จงหาคา x และ y จากเงื่อนไขที่กําหนดใหในแตละขอตอไปน้ี

2.1 x = 4 , y = 3

2.2 x = y , y = 2

2.3 x = 6 , y = 0

2.4 x = 4 , y = 4


1.1 A = ( 1,3) B= (-1,2) C= (-4, -2) D=(1,-1)

1.2 A = ( 0,2) B= (-3,1) C= (4, 0) D=(3,-4)

242

2.1

243

2.2


กราฟขางลางแสดงการเดินทางของอนุวัฒนและอนุพันธ

3.1 2 ชั่วโมง


3.3 320 กโิลเมตร


3.5 160 กโิลเมตร

244


ความสัมพันธระหวางรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ

แบบฝกหัดท่ี 1 1. จงบอกชนิดของรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีรูปคลี่ดังตอไปน้ี

1. พีระมิดฐานสามเหลี่ยม 2. ปริซึมสี่เหลี่ยม หรือทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก

3. พีระมินฐานหกเหลี่ยม 4. ปริซึมหาเหลี่ยม

2. จงเขียนรูปคลี่ของรูปเรขาคณิตสามมิติในแตละขอตอไปนี้

245

246


247

แบบฝกหัดท่ี 3 จงจับคูภาพดานหนา ดานขาง และดานบน ในแตละขอตอไปน้ีกับรูปเรขาคณิตสามมิติที่

กําหนดใหทางขวามือ โดยเลือกตัวอักษรที่กํากับไวในรูปเรขาคณิตสามมิติ เขียนเติมลงในชองวาง

บนขวาของแตละขอ

ค

ก

248

ข

จ

ง

249

2. จงเขยีนภาพดานหนา ดานขาง และดานบนของรูปเรขาคณิตสามมิติตอไปน้ี พรอมทั้งเขียน

จํานวนลูกบาศกกํากับไวในตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัส

250


สถิต ิ


ขอท่ี ขอความ ขอมูลสถิติ

เปน ไมเปน

1 แดงสงู 163 เซนติเมตร

2 นางสาวิภาวีมีสวนสัดเปน 35-24-36

3 นํ้าหนักของนักเรียนทุกคนที่เรียนชุดการเรียนทางไกล

4 อุณหภูมิที่จังหวัดปทุมธานีวันน้ีวัดได 25 องศาเซลเซยีส

5 สมศรีไดคะแนน 15 คะแนน

6 ในการโยนเหรียญ 10 คร้ัง เกิดหัว 6 คร้ัง เกิดกอย 4 คร้ัง ได

อัตราสวนที่จะเกิดหัว 106

7 อาจารยศุภราเงินเดือน 23,000 บาท

8 ความสูงเฉลี่ยของประชาชนที่เปนชาย 162 เซนติเมตร

9 คน 6 คน เปนชาย 4 คน เปนหญิง 2 คน ที่อยูในบานวิชัย

10 จํานวนคดีอาชญากรรมในป 2551 ซึ่งรวบรวมมาจากบันทึกคดี

อาชญากรรมแตละวันในแตละสถานีตํารวจ

2. ใหผูเรียนพิจารณาขอมูลในแตละขอตอไปน้ี แลวเขียนเคร่ืองหมาย ลงในชองที่ตรงกับ

ความคิดเห็น

ขอท่ี ขอความ

ขอมูลสถิติ

ขอมูล

คุณภาพ

ขอมูล

ปริมาณ

1 สถิติคนไขแยกตามเชื้อโรคของโรงพยาบาลแหงหนึ่ง

2 จํานวนคร้ังของการโทรศัพททางไกลจากแตละเคร่ืองใน

สํานักงาน 10 เคร่ือง ในวันหน่ึง

3 ผูจัดการถูกสัมภาษณถึงจํานวนเปอรเซ็นตของเวลาทํางานที่ใชใน

การประชุม

4 เคร่ืองสําอางโดยเฉพาะสีของสีทาปาก ซึ่งแตละบริษัทใน 10

บริษัท ไดระบุวามียอดขายมากที่สุด

251

3. ใหผูเรียนพิจารณาขอความตอไปน้ี แลวเติมคําตอบลงในชองวางตามความคิดเห็นของผูเรียนวา

เปนขอมูลปฐมภูมิ หรือทุติยภูมิ

3.1 ทุติยภูมิ

3.2 ปฐมภูมิ


3.4 ปฐมภูมิ



1. แผนภมูิรูปวงกลมแสดงรายไดของหางสรรพสนิคาแหงหน่ึงโดยเฉลีย่ตอวัน จําแนกตามแผนก

ตางๆ

1.1 นอยกวา 0.86 %

1.2 รายไดจากแผนกเคร่ืองสําอางนอยที่สุด คิดเปน 12.87% ของรายไดจากแผนกที่รายไดมากที่สุด

1.3 51.43%

1.4 แผนกเคร่ืองเขยีนแบบเรียน คดิเปน 20.11% ของรายไดทั้งหมด

252

2. จากการสอบถามงบประมาณที่แตละกลุมสาระการเรียนรูไดมาจากการจัดสรรงบประมาณของ

ทางโรงเรียน เปนดังน้ี

กลุมสาระการเรียนรู งบประมาณ

(บาท)

จาํนวนเปอรเซน็ต ขนาดของมุมท่ีจุดศูนยกลาง

ของรูปวงกลม (องศา)

คณิตศาสตร 35,000 29.10100000,340

000,35=× 06.37360

000,340000,35

=×

วิทยาศาสตร 100,000 29.41 105.88

ภาษาตางประเทศ 48,000 14.12 50.82

ภาษาไทย 34,500 10.15 36.53

ศิลปะ 18,500 5.44 19.59

การงานอาชีพและเทคโนโลยี 40,500 11.91 42.83

สุขศึกษาและพลศกึษา 29,500 8.68 31.24

สังคมศึกษา ศาสนา และ

วัฒนธรรม

34,000 10.00 36.0

3. จงเขยีนแผนภูมรูิปวงกลมโดยใชจํานวนเปอรเซน็ตและขนาดของมุมที่จุดศูนยกลางของรูป

วงกลมที่คํานวณไดจากตารางขางตน

253

4. ใหผูเรียนพิจารณากราฟเสนตอไปน้ี

4.1 พ.ศ. 2529 , พ.ศ. 2531 , พ.ศ. 2533

4.2 พ.ศ. 2529 แตกตางกันประมาณ 28,000 ลูกบาศกเมตร

4.3 ปริมาณไมสักและไมประดูที่ผลิต จะลดลงเร่ือยๆ แตปริมาณไมประดูจะมีการเปลี่ยนแปลง

มากกวา

4.4 ไมสักผลิตได %47.76100000,34000,26

=× ของไมประดู

4.5 ปที่ผลิตไดมากที่สุด คอื พ.ศ. 2530 คือ 52,000 ลูกบาศกเมตร

ปที่ผลิตไดนอยสุด คือ พ.ศ. 2533 คือ 5,000 ลูกบาศกเมตร

ดังน้ัน ทั้งสองปน้ีตางกันอยู 52,000 – 5,000 = 47,000 ลูกบาศกเมตร

5. ตารางแสดงรายรับ – รายจายของนาย ก ในรอบ 6 เดือนแรกของป พ.ศ. 2546 เปนดังน้ี

254

จากตารางนําเสนอขอมลูดวยกราฟเสน ไดดังน้ี


1. จากขอมูล 2, 6,1, 5, 13, 6, 16 จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิต ฐานนิยม และมัธยฐาน

คาเฉลี่ยเลขคณิต = 7

มัธยฐาน = 4

ฐานนิยม = 6

2. จากขอมูล 24, 16,18, 36, 7, 28, 6, 36, 12 จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิต ฐานนิยม และมัธยฐาน

คาเฉลี่ยเลขคณิต = 20.33



3. จากขอมูล 10.1, 13.8, 15.6, 4.5, 18.6, 8.4 จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิต ฐานนิยม และมัธยฐาน

คาเฉลี่ยเลขคณิต = 11.83

มัธยฐาน = 11.95

ฐานนิยม = -

255


1. จากตารางใหนักเรียนหาความถี่สะสม โดยเติมลงในชองความถี่สะสม



คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 44.72

256

3. ตอไปนี้เปนตารางแจกแจงความถี่ของน้ําหนัก (หนวยเปนกโิลกรัม) ของนักเรียน 60 คน

หาความถี่สะสมไดดังนี้

2) ฐานนิยมของนํ้าหนักอยูในชวงใด ตอบ 40 -44

3) โดยสวนใหญนกัเรียนหนักอยูในชวงใด ตอบ 40 -44

4). ถาเรียงนํ้าหนักนอยที่สุดไปยังน้ําหนักมากที่สุด จงหาตําแหนงของมัธยฐาน

ตอบ มัธยฐานอยูระหวางนํ้าหนักของคนที่ 30 และ 31

5) นักเรียนคิดวามัธยฐานของนํ้าหนักอยูในชวงใด ตอบ 40 -44

257

6) หาคาเฉลี่ยเลขคณิต ใหนักเรียนเติมคาตางๆ ลงในชองวางใหสมบูรณ

258

259


ความนาจะเปน


1. ใหผูเรียนพิจารณาการทดลองสุมตอไปนี้วาผลจากการทดลองสุมอาจเปนอยางไรบาง

1.1 อาจได หัว หรือ กอย

1.2 อาจไดหัวทั้ง 2 เหรียญ หรือได หัว และ กอย หรืออาจไดกอยทั้งสองเหรียญ

1.3 อาจไดลูกปงปองสีเหลืองสองลูก หรือสเีหลือง 1 ลกูและสแีดง 1 ลูก

2. จงเขียนผลที่อาจจะเกิดขึ้นไดทั้งหมดจากการหมุนแปนวงกลมที่มีหมายเลข 1 และ2 แลวมาโยน

เหรียญบาท 1 อัน

ตอบ H,1 H,2 T,1 T, 2

3. จงเขียนผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นไดจากการหยิบสลาก 1 ใบ จากสลากที่เขียนหมายเลขต้ังแต

10 ถึง 20 ไว

ตอบ 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

แบบฝกหัดท่ี 2 1. ทอดลูกเตา 1 ลูก 1 คร้ัง จงเขียน

1.1 1, 2, 3, 4, 5,6

1.2 1, 2, 3, 4, 5

1.3 3, 6

2. ทอดลูกเตา 2 ลูกพรอมกัน 1 คร้ังจงเขียน

2.1 {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

2.2 (2,6), (3,5), (4,4), (5,3) (6,2)

2.3(4,6), (5,5), (5,6), (6,4),(6,5),(6,6)

2.4 (1,1),(1,2), (2,1)

260

2.5 (1,1), (1,3),(1,5),(2,1),(2,2),(2,4),(2,6), (3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),

(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)

2.6 ไมมี หรือ เปนเหตุการณที่เปนไปไมได

3. จากการสอบถามถึงปกรายงานที่ผูเรียนชอบ 2 สี ในจํานวน 5 สี คือ สีขาว สีฟา สีชมพู สี

เขยีว และสีเหลือง จงเขียน

3.1 (สีขาว,สีฟา), (สีขาว,สีชมพ)ู, (สีขาว,สีเขียว), (สีขาว,สเีหลอืง), (สีฟา,สีชมพู), (สีฟา,

สีเขียว), (สีฟา,สเีหลอืง), (สีชมพู,สีเขียว), (สีชมพู,สเีหลอืง), (สีเขียว,สเีหลอืง)

3.2 (สีขาว,สีฟา), (สีขาว,สีชมพ)ู, (สีฟา,สีชมพู), (สีฟา,สีเขียว), (สีฟา,สเีหลอืง), (สีชมพู.

สีเขียว), (สีชมพ,ูสเีหลอืง)


1 105

2. 61

3. 75

4. 521

5. 5226

6. 366

7. ไมมี

8. 100 ใบ

9. 41

10. 126


จากโจทยตอไปน้ีใหนักเรียนตอบวาใครไดเปรียบ

1. ใหนักเรียนทําลูกบาศกหน่ึงลูกแลวเขียนเลข 1 ที่หนาหน่ึงของลูกบาศก เขียนเลข 2 ที่หนาอีก

สองหนา สวนอีกสามหนาที่เหลือเขียน 3 ใชกติกาตอไปน้ีตัดสินการแพ ชนะ เสมอในการโยน

ลูกบาศกที่ทําขึ้นน้ีคนละคร้ัง

1.1 ไมมีใครไดเปรียบเสียเปรียบ

1.2 ผูเลนคนที่สองไดเปรียบ

261


เร่ือง การใชทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรในงานอาชีพ

1. บัญชีรับจายประจําวันของนายสมพร ซึ่งประกอบอาชีพเปนผูขายปาทองโกในเวลา 5 วัน

วัน เดือน ป รายการรับ จาํนวนเงิน

วัน เดือน ป รายการจาย จาํนวนเงิน


1 ต.ค. 54

2 ต.ค.54

3 ต.ค. 54

4 ต.ค. 54

5 ต.ค. 54

- ยอดเงินคงเหลือ

ยกมาจากเดือน

กันยายน 2554

- ไดรับเงินจาก

การขายปาทองโก









8,000

4,800

4,200

3,900

4,500

3,800

-

-

-

-

-

-

1 ต.ค. 54

2 ต.ค. 54

3 ต.ค. 54

4 ต.ค. 54

5 ต.ค. 54

- ซื้อแปงสาลีและ

วัตถุดิบอ่ืน ๆ

- คาแกสหุงตม

- คาอาหาร

- คานํ้า คาไฟฟา


- คาถุงพลาสติก

- คาถุงกระดาษ

- จายคาโทรศัพท


- คาหนังสือเรียน

- คานํ้าด่ืม

- จายคาเสื้อผา


- ซื้อแปงสาลีและ

วัตถุดิบอ่ืน ๆ



- คาหนังสือพิมพ

2,500

350

270

840

320

200

100

430

290

950

160

1,250

340

2,000

250

120

480

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

รวมรายรับ 29,200 - รวมรายจาย 10,850 -


262

2. ใหผูเรียนจัดทําบัญชีรับจายประจําวันของผูเรียนในเวลา 1 สปัดาห

วัน เดือน ป รายการรับ จาํนวนเงิน

วัน เดือน ป รายการจาย จาํนวนเงิน


วันที่ 1


ไดรับเงินเดือนหรือ

ไดเงินจากการขาย

ไดดอกเบี้ยจาก

เงินฝาก

18,000

3,000

-

-








- คานํ้ามันรถยนต


- คาผลไม


- คาโทรศัพท


- คากาซหุงตม


- คาหนังสือพิมพ


- คาเสื้อผา

- คาซักอบรีด

- คานํ้ามันรถยนต


- คาผลไม

- คาอาหารและนมสด

- คารองเทา



1,200

340

130

280

430

150

360

240

240

220

850

350

1,200

280

180

400

1,800

280

140

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

รวมรายรับ 21,000 - รวมรายจาย 9,070 -


263

3. (1) สมรตองการซื้อเตียงนอน ตูเสื้อผา และโตะ

= 6,000 + 8,500 + 5,500 = 20,000

เสียภาษีมูลคาเพิ่ม = 20,000 100

7× = 1,400 บาท

สมรตองจายเงิน = 20,000 + 1,400 = 21,400 บาท

สมรซื้อเฟอรนิเจอรขางตนไมครบ 25,000 บาท ไมไดรับสวนลด

(2) สมรซื้อทุกรายการจากตาราง 6,000 + 8,500 + 600 + 5,500 +3,200 = 23,800 บาท

เสียภาษีมูลคาเพิ่ม 23,800 100

7× = 1,666 บาท

ราคาเฟอรนิเจอรทั้งหมด 23,800 + 1,666 = 25,466 บาท

สมรซื้อสินคาเกิน 25,000 บาท ไดรับสวนลด 10%

∴ ไดรับสวนลด 25,466 100

10× = 2,546.60 บาท

สมรตองจายเงิน = 25,466 – 2,546.60 = 22,919.40 บาท

4. (1) ดอกเบี้ยออมทรัพย = 500,000 1100

0.75×× = 3,750 บาท

(2) ดอกเบี้ยฝากประจํา 4 เดือน = 500,000 12

4

100

3.42×× = 5,700 บาท

ฝากครบ 1 ป = 5,700 × 3 = 17,100 บาท

เสียภาษี = 17,100 100

15× = 2,565 บาท

ไดรับดอกเบี้ยจริง = 14,535 บาท

(3) ซื้อสลากออมสินได = 50

500,000 = 10,000 ฉบับ

ฝากครบ 1 ป ขอถอนไดรับดอกเบี้ยฉบับละ 0.25 บาท

ไดรับดอกเบี้ย 0.2550

500,000× = 2,500 บาท

มีสิทธิถูกรางวัลเลขทาย 4 ตัว 12 เดือน ๆ ละ 2 รางวัล ๆ ละ 150 บาท

= 12 ×2 × 150 = 3,600 บาท

∴ ไดรับเงินรางวัลและดอกเบี้ยจากการซื้อสลากออมสิน

= 2,500 + 3,600 = 6,100 บาท

∴ อมรควรฝากประจํา 4 เดือน จะไดรับผลตอบแทนมากที่สุด

264

5. เงินไดพึงประเมินของจํานง 15,000 × 12 = 180,000 บาท

หัก คาใชจาย 40% ของเงินไดพึงประเมิน แตไมเกิน 60,000 บาท

= 180,000100

40× = 72,000 บาท

จํานงสามารถหักคาใชจายไดแค 60,000 บาท

หัก คาลดหยอนตนเอง 30,000 บาท และคาเบี้ยประกันชีวิต 10,000 บาท

รวมหักคาลดหยอน 30,000 + 10,000 = 40,000 บาท

เงินไดสุทธิของจํานง = เงินไดพึงประเมิน – (หักคาใชจาย + หักคาลดหยอน)

= 180,000 – (60,000 + 40,000)

= 80,000 บาท

ดังนั้น จํานงตองยื่นแบบภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา (ภ.ง.ด. 91) แตไมตองชําระเงิน

เพราะไดรับการยกเวนภาษี (กรมสรรพากรกําหนดใหผูมีเงินไดสุทธิต้ังแต 0 ถึง 150,000 บาท

ไดรับการยกเวนภาษี)

6. เมื่อพิจารณาขอมูลจากกราฟ บริษัทแหงน้ีจําหนายกระเปาไดสูงขึ้นตามลําดับ

ควรเพิ่มจํานวนในการสั่งซื้อกระเปาเพิ่มขึ้น เพื่อเปนสตอคในการจําหนาย

7. คาจางทํางานปกติ = 215 × 5 = 1,075 บาท

คาลวงเวลา = 215 × 1.5 × 3 = 967.50 บาท

พนักงานคนนี้ไดรับคาจาง = 1,075 + 967.50

= 2,042.50 บาท

8. ควรใชกราฟเสนในการดูแนวโนมผลกําไรของธุรกิจยอนหลัง

9. วิธีทํา ปายมีความกวาง 10 น้ิว = 12

10 ฟุต

ยาว 21 น้ิว = 12

21 ฟุต

พื้นที่ปายทั้งหมด = 312

21

12

10×× = 4.375 ตารางฟุต

เสียคาใชจายทั้งหมด = 4.375 × 185 = 809.375 บาท

265

คณะผูจัดทํา

ท่ีปรึกษา

1. นายประเสริฐ บญุเรือง เลขาธิการ กศน.

2. ดร.ชัยยศ อ่ิมสุวรรณ รองเลขาธิการ กศน.

3. นายวัชรินทร จําป รองเลขาธิการ กศน.

4. ดร.ทองอยู แกวไทรฮะ ที่ปรึกษาดานการพัฒนาหลักสูตร กศน.

5. นางรักขณา ตัณฑวุฑโฒ ผูอํานวยการกลุมพัฒนาการศึกษานอกโรงเรียน

ผูเขียนและเรียบเรียง 1. นายไชโย มวงบุญมี ขาราชการบํานาญ

2. นางสาวกรุณา ตติยรัตนาภรณ ขาราชการบํานาญ

ผูบรรณาธิการ และพัฒนาปรับปรุง

1. นายชุมพล หนูสง ขาราชการบํานาญ

2. นายไชโย มวงบุญมี ขาราชการบํานาญ

3. นางสาวสริินธร นาคคุม สํานักงาน กศน. จ.สมุทรสาคร

4. นางสาวบีบีฮารา สะมัท สํานักงาน กศน. จ.สมุทรสาคร

5. นางพรทิพย กลารบ กลุมพัฒนาการศึกษานอกโรงเรียน

6. นายสุรพงษ มั่นมะโน กลุมพัฒนาการศึกษานอกโรงเรียน

คณะทํางาน

1. นายสุรพงษ มั่นมะโน กลุมพัฒนาการศึกษานอกโรงเรียน

2. นายศุภโชค ศรีรัตนศิลป กลุมพัฒนาการศึกษานอกโรงเรียน

3. นางสาววรรณพร ปทมานนท กลุมพัฒนาการศึกษานอกโรงเรียน

4. นางสาวศริญญา กุลประดิษฐ กลุมพัฒนาการศึกษานอกโรงเรียน

5. นางสาวเพชรินทร เหลอืงจิตวัฒนา กลุมพัฒนาการศึกษานอกโรงเรียน

ผูพิมพตนฉบับ

นางสาวเพชรินทร เหลอืงจิตวัฒนา กลุมพัฒนาการศึกษานอกโรงเรียน

ผูออกแบบปก

นายศุภโชค ศรีรัตนศิลป กลุมพัฒนาการศึกษานอกโรงเรียน

266

คณะผูพัฒนาและปรบัปรุงครั้งที่ 2

ที่ปรึกษา

1. นายประเสริฐ บญุเรือง เลขาธิการ กศน.

2. ดร.ชัยยศ อ่ิมสุวรรณ รองเลขาธิการ กศน.

3. นายวัชรินทร จําป รองเลขาธิการ กศน.

4. นางวัทนี จันทรโอกลุ ผูเชี่ยวชาญเฉพาะดานพัฒนาสื่อการเรียนการสอน

5. นางชุลีพร ผาตินินนาท ผูเชี่ยวชาญเฉพาะดานเผยแพรทางการศึกษา

6. นางอัญชลี ธรรมวิธีกุล หัวหนาหนวยศกึษานิเทศก

7. นางศุทธีนี งามเขต ผูอํานวยการกลุมพัฒนาการศึกษานอกโรงเรียน

ผูพัฒนาและปรับปรุงคร้ังที่ 2

1. นางจารุพร พุทธวิริยากร ศูนยเทคโนโลยีทางการศึกษา

2. น.ส.วรวรรณ เบญ็จนิรัตน ขาราชการบํานาญ สํานักงาน กศน.

3. นางพรรณทิพา ชินชัชวาล กลุมพัฒนาการศึกษานอกโรงเรียน

4. น.ส.เบญ็จวรรณ อําไพศรี กลุมพัฒนาการศึกษานอกโรงเรียน

5. นางสาวปยวดี คะเนสม กลุมพัฒนาการศึกษานอกโรงเรียน

Education

คณิตศาสตร์ ม.ต้น พค21001