Побудова перерізів 2

36-1136-936-736-536-336-1 № 10–11 (418–419) квітень 2014 р.Видавнича група «Основа»

Методика та пошук

№24ФАХОВИЙ СЕРВЕР

Файл 1. Побудова Перерізів

Н. К. Швейда, м. Харків

На відповідних моделях демонструємо, що перетином многогранника і площини може бути:

відрізок (ребро куба); 9грань многогранника; 9многокутник, що лежить усередині много 9гранника;можуть не перетинатися. 9Нагадаємо, що площину, у тому числі й січ

ну площину, можна задавати:трьома точками, що не лежать на одній 9прямій;прямою і точкою поза нею; 9двома прямими, що перетинаються або па 9ралельні.Отже, якщо задані відповідні елементи на

поверхні многогранника, то можна побудувати переріз многогранника.

Побудова Перерізів многогранниківРозглянемо перерізи певного положення —

паралельно або перпендикулярно до заданих елементів. Під час побудови перерізів многогранників розміщення січної площини задається у формі певної залежності між геометричними елементами (паралельно або перпендику

лярно до заданих елементів). У таких випадках зручно використовувати відомі аксіоми, ознаки, теореми, а саме:

якщо дві площини мають дві спільні точки, 9то пряма, що проведена через ці дві точки, є прямою перетину поданих площин;прямі перетину двох паралельних площин 9третьою площиною паралельні між собою;якщо площина проходить через пряму, па 9ралельну другій площині, і перетинає цю площину, то пряма перетину площин паралельна цій прямій тощо.Розглянемо найпростіші задачі на побудову

перерізу многогранників площиною на прикладі перерізу куба.

задача 1. Побудувати переріз куба площиною, яка проходить через діагональ основи паралельно діагоналі куба, яка не перетинає задану діагональ основи.

Аналіз. Для того щоб переріз проходив через діагональ BD основи куба паралельно діагоналі куба АС1, необхідно, щоб площина перерізу містила пряму, паралельну діагоналі АС1. Звідси маємо спосіб розв’язання.

Побудова. У площині діагонального перерізу АА С С1 1 , яка містить АС1, проводимо пряму OM, паралельну прямій АС1. Сполучимо точки B і M, C і M. Трикутник BMC — шуканий переріз.

ФАХОВИЙ СЕРВЕР Файл 1. Побудова перерізів

36-1236-1036-836-636-436-2Математика в школах України № 10–11 (418–419) квітень 2014 р.

B1

C1

D1

А1

А D

C

M

B

O

рис. 1

задача 2. Побудувати переріз куба площиною MNP (4 випадки розташування точок M, N, P).

1) 2)

А

D

А

P

D

D1

D1

C1

C1

B1

B1

А1

А1

B M( ) B M( )

P

P A B C D∈( )1 1 1 1

C N( ) C N( )

3) 4)

А

P

C

А B

P

D C

D1

D1

C1

C1

B1

B1

А1

А1

B N( )

D M( )

рис. 2

Аналіз. Нехай задачу (1) розв’язано, тобто чотирикутник XPMN — шуканий переріз. Тоді площина перерізу перетинає верхню основу А В С D1 1 1 1 по прямій XP, паралельній прямій MN (прямі перетину двох паралельних пло

щин третьою площиною — січною — паралельні). Звідси маємо спосіб розв’язання.

Побудова. Проводимо через точку P у площині А В С D1 1 1 1 пряму, паралельну прямій MN, її перетин з ребром А В1 1 дає вершину перерізу — точку X. Прямокутник XPMN — шуканий переріз ( XC перпендикулярна до прямої MN за теоремою про три перпендикуляри).

Аналогічно розв’язуємо задачі 2), 3), 4).

Побудова Перерізів многогранниківДля побудови більш складних перерізів ви

користовують метод знаходження точки перетину прямої й площини. А саме, нехай маємо пряму k, що проходить через точки A і B, та маємо паралельні проекції ′А і ′В цих точок на площину a. Тоді перетином прямої k з прямою ′k , що проходить через точки ′А і ′В , є шуканий перетин прямої k з площиною a. Результатом перетину є точка X.

Висновок. Точку перетину прямої з площиною можна знайти як точку перетину поданої прямої з її проекцією на цю площину.

X

А

Bk

′A′B

′k

a

рис. 3

задача 1. Задані точки A , B , C, які не лежать на одній прямій, та їх проекції А1, B1, С1 на площину a. Побудувати пряму перетину площин ABC і a.

Аналіз. Щоб побудувати пряму перетину площин ABC і a, достатньо знайти дві спільні точки цих площин. Щоб знайти спільну точку

ФАХОВИЙ СЕРВЕРМетодика та пошук

36-1136-936-736-536-336-1Видавнича група «Основа» 36-1 36-3 № 10–11 (418–419) квітень 2014 р.

двох площин, достатньо знайти точку перетину прямої AB у площині ABC з площиною a, тобто з її проекцією на площину a. Звідси маємо розв’язання задачі.

Побудова. Проводимо пряму AB та її проекцію ′ ′A B , точка M є їх точкою перетину. Аналогічно, точка N є точкою перетину прямої AC та її проекції ′ ′A C . Пряма MN є лінією

перетину площин ABC і a.

A

B

C

N

M

a

A1

B1

C1

рис. 4

задача 2. Дано куб АВСDА В С D1 1 1 1. На його ребрі BB1 задано точку M. Знайти точку перетину прямої С М1 з площиною грані куба ABCD.

D1

C1

B1

А1

А B

X

C

M

D

рис. 5

Аналіз. Шукана точка X має належати одночасно двом граням ABCD і ВВ С С1 1 , з цього випливає, що точка X лежить на лінії їх перетину — на прямій BC, яка є проекцією С М1 . Точка X є точка перетину прямої С М1 з її проекцією BC на площину ABC. Звідси маємо побудову.

Побудова. Продовжимо С М1 і BC до їх перетину в точці X, яка є шуканою.

задача 3. Дано куб АВСDА В С D1 1 1 1 та точку М D D∈ 1 . Побудувати переріз куба площиною, що проходить через точки А1, С1, M. Знайти пряму перетину січної площини з площиною нижньої основи куба.

Побудова. Січна площина має з гранню А В С D1 1 1 1

дві спільні точки А1 і С1, отже, перетинається з нею по прямій А С1 1. Сполучаємо точки А1 і С1 відрізком прямої ( A C1 1↔ ). Пря ма А С1 1 — слід перетину січної площини А С М1 1 і площини верхньої грані.

Аналогічно знаходимо слід січної площини А С М1 1 на грані АА D D1 1 — це відрізок прямої А М1

( А М1 ↔ ), слід січної площини А С М1 1 на грані DD С С1 1 — це відрізок прямої С М1 ( С М1 ↔ ).

B1

C1

D1

А1

А D

X

Y

CM

B

рис. 6

Знаходимо пряму перетину січної площини з площиною основи куба. Точкою перетину прямої А М1 з площиною ABC є точка перетину



прямої А М1 з її проекцією АD на площину основи — це точка Y. Аналогічно точка X — точка перетину прямої С М1 з її проекцією CD на площину основи. Сполучаємо точки X та Y ( X Y↔ ), дістанемо пряму XY — пряму перетину січної площини з площиною основи куба або слід.

задача 4. Побудувати переріз куба площиною, що проходить через точки А1, М D С∈ 1 1, N D D∈ 1 . Знайти пряму перетину січної площини А МN1 з площиною нижньої основи куба.

Побудова. Обмежимося скороченим записом побудови.

B1

C1

D1

А1

А D

X

Y

CN

M

B

рис. 7

і. 1) А М1 ↔ ;2) А N1 ↔ ;3) M N↔ ;4) А МN1 — шуканий переріз.

іі. 1) MN СD X∩ = ( MN перетинає СD у точці X);

2) А N AD Y1 ∩ = (продовжуємо А N1 до перетину з прямою AD у точці Y);

3) пряма XY — шукана пряма перетину січної площини з площиною основи куба або слід.задача 5. Побудувати переріз куба площи

ною, що проходить через точки А1, М В С∈ 1 1, N D D∈ 1 . Знайти пряму перетину січної площини А МN1 з площиною нижньої основи куба.


І. 1) А М1 ↔ ;2) А N1 ↔ ;3) А М В С Е1 1 1∩ = ;4) Е N↔ ;5) ЕN СС F∩ =1 ;6) F М↔ ;7) А МFN1 — шуканий переріз.

іі. 1) NF СD X∩ = ;2) А N AD Y1 ∩ = ;3) пряма XY — шукана пряма перетину січної

площини з площиною основи куба або слід.

B1 C

1

D1А

1

А D

X

Y

CN

F

EM

B

рис. 8

задача 6. Побудувати переріз куба площиною, що проходить через точки

К D D∈ 1 , М А В∈ 1 1, N В С∈ 1 1.


1) M N↔ ;2) MN А D X∩ =1 1 ;3) Х K↔ ;4) ХK АА Р∩ =1 ;5) Р М↔ ;6) МN С D Y∩ =1 1 ;7) Y K↔ ;8) KY CC Q∩ =1 ;

36-1136-936-736-536-336-1Видавнича група «Основа»


№ 10–11 (418–419) квітень 2014 р.

B1

C1

D1

A1

Y

N

Q

M

P

K

A D

CB

X

рис. 9

9) Q N↔ ;

10) МNQKP — шуканий переріз.задача 7. Побудувати переріз куба площи

ною, що проходить через точки

N АD∈ , М С D∈ 1 1, В1.


1) В M1 ↔ ;2) В M А D X1 1 1∩ = ;3) Х N↔ ;4) ХN DD Р∩ =1 ;5) PN AA Y∩ =1 ;6) Y B↔ 1;7) YB AB Q1 ∩ = ;8) Q N↔ ;9) B МPNQ1 — шуканий переріз.

B1

C1

D1

A1

MX

P

N

Q

D

B C

A

Y

рис. 10

задача 8. Побудувати переріз трикутної призми АВСА В С1 1 1 площиною, що проходить через точки

K АС∈ , М А В∈ 1 1, N ВВ∈ 1.


1) M N↔ ;2) AB MN X∩ = ;3) ХK BC P∩ = ;4) K Q↔ ;5) Q M↔ ;6) N P↔ ;7) K P↔ ;8) KQMNP — шуканий переріз.

Y

Q

M

N

X

B

P

C

K

A

A1

B1

C1

рис. 11

задача 9. Побудувати переріз шестикутної призми А F... 1 площиною, що проходить через точки

Q FF∈ 1, P ВВ∈ 1,

вершину A .Побудова. Обмежимося скороченим записом

побудови.1) P Q↔ ;2) B F↔ ;3) PQ BF X∩ = ;4) X A↔ ;5) XA BC Y∩ = ;6) Y P↔ ;7) YP CC T∩ =1 ;8) QR PT ;9) SP AB ;

10) APTSRQ — шуканий переріз.


36-1236-1036-836-636-436-2 № 10–11 (418–419) квітень 2014 р.Математика в школах України 36-1236-1036-836-636-436-2 № 10–11 (418–419) квітень 2014 р.Математика в школах України 36-1236-1036-836-636-436-2Математика в школах України № 10–11 (418–419) квітень 2014 р.

А1 F

1

B1

C1

D1

E1

Y B

А F

R

ST

QE

X

PC D

рис. 12

Побудова Перерізів Пірамідизадача 1. Побудувати переріз трикутної

піраміди SABC площиною, що проходить через точки

М SA∈ , N SC∈ , K BC∈ .

Побудова. Січна площина має з гранню SAC дві спільні точки M i N, звідси перетинається з нею по прямій MN (сполучаємо точки M i N відрізком прямої ( M N↔ ). Пряма MN — слід перетину січної площини MNK і площини бічної грані SAC.

Аналогічно знаходимо слід січної площини MNK на грані SBC — це відрізок прямої NK ( N K↔ ).

Щоб знайти пряму (слід) перетину січної площини MNK з площиною основи піраміди ABC, необхідно знайти дві точки, що нале

жать цим площинам. Такою точкою є точка K, а другу точку X дістанемо в результаті перетину прямої MN з її проекцією AC. Відрізок прямої XK — слід перетину січної площини MNK і площини основи ABC. Точка P — точка перетину XK з ребром AB. Відрізок прямої MP — слід перетину січної площини на грані SBА.

МNKP — шуканий переріз.

S

M

N

XCB

P

DKA

Q

Y

рис. 13

задача 2. Побудувати переріз чотирикутної піраміди SABCD площиною, що проходить через точки М SB∈ , N SC∈ , K AD∈ .


1) M N↔ ;2) MN BС X∩ = ;3) Х K↔ ;4) ХK DC Р∩ = ;5) МN AB Y∩ = ;6) Y M↔ ;7) YM SA Q∩ = ;8) P N↔ ;9) Q K↔ ;

10) МNPKQ — шуканий переріз.

B

C

A

B

C

D

A

рис. 14

СамоСтійна робота № 1задача 1. Побудувати переріз куба пло

щиною, що проходить через точки М В С∈ 1 1 , N АD∈ , вершину А1. Знайти пряму перетину


36-1136-936-736-536-336-1 № 10–11 (418–419) квітень 2014 р.Видавнича група «Основа» 36-1136-936-736-536-336-1 № 10–11 (418–419) квітень 2014 р.Видавнича група «Основа» 36-1136-936-736-536-336-1Видавнича група «Основа» № 10–11 (418–419) квітень 2014 р.

січної площини А МN1 з площиною нижньої основи куба.


K СС∈ 1, М А В∈ 1 1, N В С∈ 1 .


K AA∈ 1, М С D∈ 1 1, N СC∈ 1.

задача 4. Побудувати переріз куба площиною, що проходить через точки K AD∈ , N DD∈ 1, точка М С D∈ 1 1 належить верхній осно

ві куба А В С D1 1 1 1.задача 5. Побудувати переріз трикутної

призми АВСА В С1 1 1 площиною, що проходить через точки

М АС∈ , K ВВ∈ 1, N СС∈ 1.


М АС∈ , K ВВ∈ 1, N А В∈ 1 1.


N АС∈ , K ВC∈ , М А В∈ 1 1.

СамоСтійна робота № 2задача 1. Побудувати переріз трикутної

піраміди SAВC площиною, що проходить через точки М SС∈ , K SВ∈ , N АC∈ .

задача 2. Побудувати переріз чотирикутної піраміди SAВ площиною, що проходить через точки М SС∈ , K SВ∈ , N АC∈ .

ФАХОВИЙ СЕРВЕР Файл 2. Побудова перерізів многогранників


Перерізом опуклого многогранника площиною є опуклий плоский многокутник, сторони якого — відрізки, по яких січна площина перетинає грані многогранника. Кількість сторін утвореного перерізу не перевищує кількість граней многогранника. Розглянемо побудову перерізів методом слідів та методом проекцій на конкретних задачах.

метод СлідівПрямі, по яких січна площина перетинає

площини граней многогранника, називають слідами січної площини на площинах цих граней. Щоб побудувати кожен такий слід, потрібно визначити дві спільні точки площини грані многогранника та січної площини.

Для цього розглянемо деякі базові побудови точки перетину прямої, яка належить січній площині, з площиною грані многогранника.

1. базові побудови точки X — точки перетину прямої AB січної площини з площиною основи призми та піраміди.

1.1. Точки A і B знаходяться на бічних ребрах однієї бічної грані.У площині A AB1 (рис. 1) будуємо точку

X AB A B= ∩ 1 1.

У площині SCD (рис. 2) будуємо точку

X AB CD= ∩ .

1.2. Точки A і B знаходяться на бічних ребрах, що не належать одній грані.

A1

B1

X

B

A

рис. 1

XC

DB

A

S

рис. 2

Паралельні прямі AM і BN визначають площину AMN (рис. 3), у якій точка

X AB MN= ∩ .

Прямі SB і SA визначають площину SAB (рис. 4), у якій точка

X AB CD= ∩ .

Файл 2. Побудова Перерізів многогранників

Семінар-практикум з геометрії для 10–11 класів

Л. М. Пиркіна, м. Київ


36-1136-736-536-3 № 10–11 (418–419) квітень 2014 р.Видавнича група «Основа» 36-1 36-9

X

B

N

A

M

рис. 3

S

A

B

D

CX

рис. 4

1.3. Точки A і B знаходяться на бічній грані й на ребрі, що не належить цій грані.Проведемо пряму BB1, паралельну бічно

му ребру (рис. 5). У площині A AB1 будуємо точку

X AB A B= ∩ 1 1.

У площині SAB (рис. 6) будуємо точку

X AB A B= ∩ 1 1.

X

B

B1

A1

A

рис. 5


36-1236-836-636-4 № 10–11 (418–419) квітень 2014 р.Математика в школах України 36-2 36-10

S

A

B

B1

A1

X

рис. 6

1.4. Точки A і B знаходяться на двох сусідніх бічних гранях.Проведемо прямі AM і BN, паралельні

бічному ребру (рис. 7).У площині ABN будуємо точку

X AB MN= ∩ .

XB

A

M N

рис. 7


X AB MP= ∩ .

X

B

A

MP

S

рис. 8


36-936-736-536-3 № 10–11 (418–419) квітень 2014 р.Видавнича група «Основа» 36-1 36-11

1.5. Точки A і B знаходяться на двох бічних гранях, які не є сусідніми.Проведемо прямі AO і BP, паралельні біч

ному ребру (рис. 9).У площині ABP будуємо точку

X AB OP= ∩ .


X AB MN= ∩ .

X

B

A

OP

рис. 9

S

AB

M NX

рис. 10

2. задачі на побудову перерізів методом слідів

2.1. Побудувати переріз трикутної призми ABCA B C1 1 1 площиною MNK (рис. 11).

Пряма NK — слід січної площини на площині грані ABC (рис. 12). У площині ABC будуємо точку X NK AB= ∩ . Точки M та X належать січній площині і площині AA B1 1, отже, ці площини перетинаються по прямій MX, що є слідом січної площини на площині AA B1 1.

У площині AA B1 1 будуємо точку

L MX BB= ∩ 1, Y MX AA= ∩ 1.

Точки Y і N належать площинам MNKі CAA1, отже, YN — пряма перетину цих площин — слід січної площини на площині CAA1. MLKNF — шуканий переріз.

M

A B

KN

C

B1

A1

C1

рис. 11

M

Y

FL

A B X

KN

C

B1

A1

C1

рис. 12

2.2. Побудувати переріз піраміди SABCD площиною MNK,

M ASB∈( ), N DSC∈( ),

K BSC∈( )

(рис. 13).

M SM AB1 = ∩ , N SN DC1 = ∩ ,

K SK BC1 = ∩ .

У площині SMN (рис. 14) будуємо точку

Y MN M N= ∩ 1 1,

у площині SNK — точку


36-1036-836-636-4 № 10–11 (418–419) квітень 2014 р.Математика в школах України 36-2 36-12

X NK N K= ∩ 1 1.

S

M

K

A B

CD

N

рис. 13

S

Z MF

K

OT

N1

M1A B

K1

CD

XR Y

N

рис. 14

Точки X та Y належать площинам MNK і ABC , отже, XY — пряма їх перетину, тобто слід січної площини на площині основи піраміди.

У площині ABC будуємо точку

R BC XY= ∩ .

Точки R і K належать січній площині та площині SCB, отже, пряма RK — слід січної

площини на площині грані SCB. У площині SCB будуємо точку

O RK SC= ∩ , F RK SB= ∩ .

FM і ON — сліди січної площини на площинах граней ASB та DSC відповідно. У площині ASB будуємо точку

Z FM SA= ∩ ,

у площині DSC — точку

T ON SD= ∩ .

Пряма ZT — слід площини MNK на площині грані ASD . Чотирикутник ZFOT — шуканий переріз.

метод ПроекційБудувати перерізи многогранників можна

також методом проекцій (методом внутрішнього проектування). Його застосовують для побудови перерізів у тих випадках, коли незручно знаходити слід січної площини, зокрема, коли слід будується далеко від поданої фігури.

Розглянемо суть методу проекцій на конкретних задачах.

3. задачі на побудову перерізів методом про-екцій

3.1. Побудувати переріз чотирикутної призми ABCDA B C D1 1 1 1 площиною MNP (рис. 15).

P

C

D

N

B

A

M

A1

B1

C1

D1

рис. 15


№ 10–11 (418–419) квітень 2014 р.Видавнича група «Основа» 36-2336-2136-1936-1736-1536-13

Застосуємо в призмі паралельне проектування точок, що задають переріз, на площину основи (напрям проектування — паралельно бічному ребру). Проекціями точок M, N, P будуть відповідно точки A , D , C (рис. 16). Розглянемо в основі призми чотирикутник ABCD, у якого три вершини — проекції A , D , C поданих точок перерізу, а четверта — вершина основи B. Будуємо дві допоміжні площини AA C1 1 та BB D1 1, які перетинаються по прямій OO1. Вибираємо з них площину AA C1 1, яка містить дві точки січної площини M і P, тобто січна площина і площина AA C1 1 перетинаються по прямій MP.

R

T P

CN

O

DA

M

B

B1

C1

D1

A1

O1

рис. 16

MP OO T∩ =1

— прообраз точки O за вибраного проектування. Точки N і T належать площинам MNP та BB D1 1, отже, ці площини перетинаються по прямій NT . У площині BB D1 1 будуємо точку R, у якій січна площина перетинає ребро BB1:

R NT BB= ∩ 1.

Чотирикутник MNPR — шуканий переріз.3.2. Побудувати переріз чотирикутної призми

ABCDA B C D1 1 1 1 площиною KLM,

K ABB∈( )1 , L BCC∈( )1 ,

M CDD∈( )1

(рис. 17).Спроектуємо точки перерізу K, L, M на

площину основи паралельно бічному ребру

(рис. 18). Дістанемо їх проекції — точки K1, L1, M1 відповідно. Розглянемо в площині основи чотирикутник K B L M1 1 1 1 (точка B — одна

K

LM

DA

B C

A1

D1

C1

B1

рис. 17

T R

E

F

Y X

M

D

CB

A

K

P L S

O

A1

O1

K1

L1

M1

D1

C1

B1

рис. 18

з вершин основи призми), його діагоналі перетинаються в точці O1. Будуємо допоміжні площини K TF1 (визначається прямими KK1

і LL1) та BB R1 (визначається прямими BB1

і MM1). Ці площини перетинаються по прямій EO1. Площині K TF1 належать дві точки K та


№ 10–11 (418–419) квітень 2014 р.Математика в школах України 36-2436-2236-2036-1836-1636-14

L січної площини KLM, отже, ці площини перетинаються по прямій KL.

KL EO O∩ =1

— прообраз точки O1 за вибраного проектування. Точки M та O належать січній площині та площині BB R1 , отже, MO — пряма їх перетину.

У площині BB R1 будуємо точку

P MO BB= ∩ 1,

у площині BB C1 1 — точку

S PL CC= ∩ 1,

у площині CC D1 1 — точку

X SM DD= ∩ 1.

У площині AA B1 1 будуємо точку

Y PK AA= ∩ 1.

Чотирикутник PSXY — шуканий переріз.3.3. Побудувати переріз піраміди PABCD пло

щиною MNK (рис. 19).

P

N K

M

A

B C

D

рис. 19


№ 10–11 (418–419) квітень 2014 р.Видавнича група «Основа» 36-2336-2136-1936-1736-1536-13

Застосуємо центральне проектування точок M, N, K на площину ABC (центр проектування — вершина піраміди — точка P) та дістанемо їх проекції — точки B, A , D відповідно (рис. 20). Розглянемо чотирикутник ABCD, діагоналі якого перетинаються в точці T, та допоміжні площини PAC і PBD.

P

N K

M

A

B C

D

T1

L

T

рис. 20

PAC PBD PT( )∩( ) = .

Січна площина з площиною PBD має дві спільні точки M і K, отже, перетинається з нею по прямій MK.

У площині PBD:

MK PT T∩ = 1.

Точка T1 — прообраз точки T за цього проектування. Точки N і T1 — спільні для січної площини і площини PAC, отже,

PAC MNK NT( )∩( ) = 1.

У площині PAC:

NT PC L1 ∩ = .

Чотирикутник MNKL — шуканий переріз.3.4. Побудувати переріз піраміди SABCD (рис. 21)

площиною MNK,

M ASB∈( ), N DSC∈( ),K BSC∈( ).

N

KM

A B

CD

S

рис. 21

Застосуємо центральне проектування (рис. 22)точок перерізу M, N, K на площину основи піраміди (точка S — центр проектування). Дістанемо точки M1, N1, K1. Розглянемо в площині основи піраміди чотирикутник, вершини якого — проекції M1, N1, K1 та одна з вершин основи — точка C. Його діагоналі перетинаються в точці O1. Використаємо для побудови допоміжні площини SM C1 та SN K1 1, які

PN

KM

A B

CD

S

T

O

Q

K1

O1

N1

F

M1

рис. 22

перетинаються по прямій SO1. Січна площина з площиною SN K1 1 мають спільні точки N і K, отже, перетинаються по прямій NK.

У площині SN K1 1: NK SO O∩ =1 — прообраз точки O1 за цього проектування.


№ 10–11 (418–419) квітень 2014 р.Математика в школах України 36-2436-2236-2036-1836-1636-14

Точки M та O належать січній площині та площині SM C1 , отже, ці площини перетинаються по прямій MO.

У площині SM C1 :

MO SC P∩ = ;

у площині DSC:

PN SD Q∩ = ;

у площині CSB:

PK SB F∩ = .

У площині ASB:

FM SA T∩ = .

Чотирикутник TQPF — шуканий переріз.

* Задачі на побудову перерізів у курсі стереометрії можна розглядати відразу після вивчення аксіом стереометрії та наслідків з них, а також протягом усього курсу стереометрії з метою усвідомлення учнями взаємного розташування прямих та площин у просторі, роз

винення просторової уяви, логічного мислення за чіткого пояснення всіх етапів побудови та формування навичок креслення під час зображення просторових фігур. Ці задачі продуктивно розв’язуються всіма групами учнів, незалежно від рівня їх математичної підготовки, а тому мають велику педагогічну цінність для підвищення самооцінки учнів та розвинення в них пізнавального інтересу під час вивчення математики.

література1. Погорєлов О. В. Геометрія, 10–11. — К. : Освіта,

1995.2. Єршова А. П. та ін. Геометрія, 11. Академіч

ний рівень, профільний рівень. — Х. : Ранок, 2011.

3. Апостолова Г. В. Геометрія, 11. Академічний рівень, профільний рівень. — К. : Генеза, 2011.

4. Пиркіна Л. М. Побудова перерізів многогранників // Математична газета. — 2012. — № 7–8.

Education

Побудова перерізів 2