Побудова перерізів многогранників.Метод слідів.

ДНЗ “Кіровоградський професійний ліцейімені Героя Радянського Союзу О. С. Єгорова”

Викладач математики Є. В. Лазовік

Побудова перерізів многогранників використовується при розв’язуванні великої кількості задач стереометрії.

AB

CD

A1

D1 C1

B1

K

H

N

Що означає побудувати переріз?

Побудувати переріз многогранника площиною означає:1. В площині кожної перетнутої грані вказати дві точки, що належать перерізу;2. З'єднати ці точки прямою;3. Знайти точки перетину прямої з ребрами многогранника.

А В

С

S

K M

L

Приклад 1.

Побудувати переріз, що проходить через вершину S і точки М і N, що лежать на ребрах АВ і ВС тетраедра SABC.

А C

B

S

Розв’язання.

Через три точки M, N, S що не лежать в одній

прямий, завжди можна провести площину і до

того ж тільки одну. Вкажемо, як ця площина

перетинається з елементами (гранями і

ребрами) тетраедра SABC.

M N

Приклад 1.

1. Оскільки точки М і N є спільними для площин (MNS) та (ABC), то пряма MN є прямою перетину цих площин (з’єднаємо точки N і M відрізком).

2. Аналогічно міркуючи, з’єднаємо точки M і S, N і S.

M N

А C

B

S

M N

А C

B

S

Приклад 1.

Шуканий переріз – ΔMNS.

M N

А C

S

B

Приклад 2.

Побудувати переріз, що проходить через вершину С і точки Мта N, що лежать в гранях (ADC) і (ABC) тетраедра ABCD.

Розв’язання.

Через три точки M, N і С можна провести площину і

притому тільки одну. Вкажемо, як ця площина

перетинається з гранями і ребрами тетраедра.

A

BD

C

N

M

Приклад 2.

1. Так як точки M і С є спільними для площин (MNC) та (ADC), то пряма СМ є прямою перетину цих площин. Продовжимо її до перетину з прямою AD. Точку їх перетину позначимо Р.

A

BD

C

N

MP

2. Аналогічним чином обґрунтовується побудова прямої CQ .

A

BD

N

MP

C

Q

Приклад 2.

Точки Р і Q належать площині (MNC) та (АBD), тоді пряма PQ є прямою перетину цих площин.

Шуканий переріз – ΔPQC.

A

D

N

MP

C

Q

B

Як побудувати переріз многогранника площиною у випадку, коли задано точки, що попарно не лежать на одній грані?

В такому випадку користуються одним з трьох методів побудови:1. Метод слідів;2. Метод допоміжних перерізів (метод внутрішнього проектування);3. Комбінований метод.

Детально зупинимось на першому з них.

Методи побудови перерізів многогранника площиною.

Суть методу слідів полягає в побудові слідів січної площини на площинах кожної грані многогранника.

Метод слідів.

Метод слідів включає три важливі пункти:

1. Будується лінія перетину (слід) січної площини з площиною основи многогранника;2. Знаходимо точки перетину січної площини з ребрами многогранника;3. Будуємо і заштриховуємо переріз.

Приклад 3.

Побудувати переріз, що проходить через точки P, Q, R.

Розв’язання.

Через три точки P, Q і R можна провести площину і

притому тільки одну. Вкажемо, як ця площина

перетинається з гранями і ребрами куба. A

B C

D

A1

B1 C1

D1

P

Q

R

Приклад 3.

Точки P і Q належать грані AA1B1B. Проведемо пряму PQ.

O1

B

A

C

D

A1

B1 C1

D1

P

Q

R

Пряма PQ перетинає AB. Побудуємо точку O1 – точку їх перетину.

Приклад 3.

Аналогічно отримаємо точку O2 в результаті перетину прямих QR і BC.

O1

A

BC

D

A1

B1 C1

D1

P

Q

R

Тепер в площині основи призми є дві точки майбутнього перерізу – це точки O1 і O2.

O2

Приклад 3.

Пряма O1O2 - слід перерізу на площині нижньої основи призми.

O1

A

BC

D

A1

B1 C1

D1

P

Q

R

O2

Пряма O1O2 перетинає сторону AD в точці T і сторону CD в точці U.

T

U

Приклад 3.

O1

A

BC

D

A1

B1 C1

D1

P

Q

R

O2

T

U

З’єднаємо точки P і T, оскільки вони належать одній грані АА1D1D.

Аналогічно з’єднаємо точки R і U, оскільки вони належать одній грані DD1C1C.

Приклад 3.

O1

A

BC

D

A1

B1 C1

D1

P

Q

R

O2

T

U

Шуканий переріз – п’ятикутник TPQRU.

Приклад 4.

Побудувати переріз, що проходить через точки P, Q і R, якщо точка R належить грані A1B1C1.

Розв’язання.

Через три точки P, Q і R, що не лежать в одній

прямий, завжди можна провести площину і до

того ж тільки одну. Вкажемо, як ця площина

перетинається з елементами (гранями і

ребрами) призми ABCA1B1C1.

A B

C

A1

C1

B1

P

QR

Приклад 4.

Точки Q і R належать верхній грані призми, проведемо через них пряму QR.

A B

C

A1

C1

B1

P

QR

Пряма QR перетинає ребро A1C1. S – точка їх перетину.

S

Пряма QR перетинає пряму B1C1. O – точка їх перетину.

O

Приклад 4.

Точки P і S належать поверхні грані AA1C1C, проведемо через них пряму PS.

Точки P і O належать поверхні грані CC1B1B, проведемо через них пряму PO.

A B

C

A1

C1

B1

P

QR

S

O

Приклад 4.

Пряма PO перетинає ребро BB1. Нехай точка T – точка їх перетину.

A B

C

A1

C1

B1

P

QR

S

O

TТочки Q і T лежать на грані AA1B1B. Проведемо пряму QT.

A B

C

A1

C1

B1

P

QR

S

O

T

Приклад 4.

Шуканий переріз – чотирикутник SQTP.

Кіровоград. 2013 рік.