В предыдущих задачах для построения сечения нам оказалось достаточно знаний теории.

Рассмотрим другую задачу.

Задача 1. Построить сечение тетраэдра, проходящее через точку М, параллельно плоскости ABD.

M

Одна точка нам ничем не поможет, но в задаче есть дополнительное условие:

сечение должно быть параллельно плоскости

ABD.

Что это нам дает?

M

1. Плоскости ADB и DBC пересекаются по прямой DB, следовательно сечение, параллельное ADB, пересекает DBC по прямой, параллельной DB. (Если две параллельные

плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны)

Точка М принадлежит грани DBC. Проведем через нее прямую MK, параллельную DB.

K 2. Аналогично: (ADB) (ABC)=AB, следовательно сечение будет пересекать (ABC) по прямой,

параллельной AB.

K (ABC). Через точку K в плоскости ABC проведет прямую KN, параллельную AB.

N

M

K

N

N (ADC), M (ADC), следовательно MN (ADC) (и плоскости сечения).

Проведем NM.

MKN – искомое сечение.

M

K

N

Итак:

1. Построение:1. В плоскости (DBC) MK // DB,

MK BC = K.2. В плоскости (ABC) KN // AB, KN AC = N.3. MN

Докажем, что MKN – искомое сечение

2. Доказательство.1. Сечение проходит через точку М

3. MK // DB, NK // AB по построению, следовательно (NMK) // (ABD) по признаку.

Следовательно, MKN – искомое сечение ч.т.д.

2. N (ADC), M (ADC) => NM (ADC)

A

A1

B1 C1

D1

D

CB

M

Задача 2. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, проходящее через середину ребра D1C1 и точку D, параллельно прямой a.

Рассуждения.

1. Отметим указанную в условии точку (назовем ее произвольным образом).

M – середина D1C1.

A

A1

B1 C1

D1

D

CB

M

2. Точки M и D лежат

в одной плоскости DD1C1,

значит их можно соединить.

Больше соединять нечего.

Проведем в плоскости ABC через точку D прямую DS, параллельную прямой a. DS AB = S.

3. Воспользуемся дополнительным условием: секущая плоскость должна быть параллельна прямой a.

Для этого она должна содержать прямую, параллельную прямой a. Проще всего провести такую прямую в плоскости ABC, т.к. в ней лежат прямая a и точка D, принадлежащая сечению.

M

B1 C1

A D

BC

A1

S

A

A1

B1 C1

D1

D

CB

P

M

5. Т.к. (DD1C1) // (AA1B1), то в плоскости (AA1B1) можно через точку S провести прямую SN, параллельную DM. SN BB1 = N

SNPMD - искомое сечение.

S

N

6. Точки N и P лежат в плоскости (A1B1C1). Соединим их.

4. Т.к. (ABC) // (A1B1C1), проведем в плоскости (A1B1C1), через точку M, прямую MP // SD. MP B1C1 = P

A

A1

B1 C1

D1

D

CB

P

M

Докажем, что SNPMD - искомое сечение.

S

N

Итак: 1. Построение.

1. MD

2. В (ABC), через точку D, DS // a, DS AB = S

3. В (A1B1C1), через точку M, MP // DS, MP B1C1 = P

4. В плоскости (AA1B1), через точку S, SN // DM, SN BB1 = N5. NP

A

A1

B1 C1

D1

D

CB

P

M

Следовательно, SNPMD - искомое сечение ч.т.д.

S

N

2. Доказательство. 1. Сечение проходит через точку D и середину ребра D1C1 - точку M по построению.

2. DS // a, (S AB) по построению, следовательно (KNP) // a по признаку.

3. PM // SD, P B1C1 по построению4. SN // DM, N BB1 по построению

5. P (BB1C1), N (BB1C1) => PN (BB1C1).

Задача 3. Построить сечение параллелепипеда, параллельное B1A и проходящее через точки M и N.

A1

B1 C1

D1

A

B

D

C

NM

Рассуждения. 1. Соединим M и N (они лежат в плоскости (C1A1B1) ).

2. Для того, чтобы секущая плоскость оказалась параллельна AB1, нужно, чтобы в ней лежала прямая, параллельная AB1 (или DC1, т.к. DC1 // AB1 по свойству параллелепипеда).

Удобнее всего изображать такую прямую в грани DD1C1C, т.к. (DD1C1) // (AA1B1), а AB1 (AA1B1).

Больше соединять нечего. Воспользуемся дополнительным условием: секущая плоскость должна быть параллельна прямой B1A

A1

B1 C1

D1

A

B

D

C

NM

K

3. Теперь в плоскости AA1D1 есть две точки, M и K, принадлежащие сечению. Соединим их.

MNK – искомое сечение.

Проведем в плоскости (DD1C1) прямую NK // AB1, NK DD1 = K.

A1

B1 C1

D1

A

B

D

C

NM

K

Итак:1. Построение.

2. В плоскости (DD1C1) NK // AB1, NK DD1 = K. .

1. MN

3. MKДокажем, что MNK – искомое сечение

2. Доказательство.1. Сечение проходит через точки M и N.

4. Т.к. NK // AB1 по построению, то (MNK) // AB1 по признаку параллельности прямой и плоскости.

Следовательно, MNK - искомое сечение ч.т.д.

2. M (A1B1C1), N (A1B1C1) => MN (A1B1C1).

3. M (ADD1), K (ADD1) => MK (ADD1).

Задание 3.

1. В тетраэдре DABC постройте сечение плоскостью, проходящей через середину ребра DC, вершину B и параллельной прямой AC.

2. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через середину ребра B1C1 и точку K, лежащую на ребре CD, параллельной прямой BD, если DK : KC = 1 : 3.

M3. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M и C, параллельно прямой a (рис. 1).

рис.1

4. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка E принадлежит ребру CD. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через эту точку и параллельной плоскости BC1D.

5. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через AA1, параллельно MN, где M – середина AB, N – середина BC.

6. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через середину ребра B1C1 параллельно плоскости AA1C1.