Решение задачи на построение сечений состоит, обычно, из двух частей.

Часть первая – само построение и описание построения.

Часть вторая – доказательство того, что построенный многоугольник и есть искомое сечение.

В условиях задач на построение сечений обычно указывается несколько точек, принадлежащих

сечению и/или дополнительные условия, которым должно соответствовать построенное сечение.

Данные точки могут лежать на ребрах многогранника и/или на его гранях

N

M

K

M

N

K

N принадлежит (ADB)

В том случае, если соединив данные в условии точки, мы получим многоугольник, все стороны которого будут лежать на гранях многогранника, сечение построено.

NM

K

1.M (ADC) , N (ADC)

=> MN (ADC)

2. M (ADB), K (ADB)

=> MK (ADB)

3. K (BDC), N (BDC)

=> KN (BDC)

MNK – искомое сечение.

Но это может произойти только тогда, когда каждые две соединяемые нами точки лежат в одной грани.

Если же какие-нибудь две, из данных в условии, точки не лежат в одной плоскости, то, соединив их, мы получим отрезок лежащий внутри многогранника

M

N

K

Нет такой грани, в которой точки M и N (M и K) лежат вместе.

Следовательно отрезок MN (MK) лежит внутри параллелепипеда.

Значит треугольник MNK не является сечением.

(см. особенность сечений №2)

В таких случаях надо: 1) использовать все известные знания из теории;

2) Использовать дополнительные условия задачи;

3) Использовать специальные способы построения сечений.

В нашем случае мы должны вспомнить, что противоположные грани параллелепипеда параллельны. Следовательно, секущая плоскость пересечет их по параллельным прямым (особенность сечений №3).

M

N

K

Построение.

1. N (BB1C1), K (BB1C1) => NK (BB1C1)

A

B1

A1

B C

D

D1

C1

2. (BB1C1) // (AA1D1) следовательно линии пересечения секущей

плоскости с этими гранями будут параллельны.

Секущая плоскость пересекает (BB1C1) по прямой NK и имеет с плоскостью (AA1D1) общую точку M .

Следовательно, надо в плоскости (AA1D1) через точку М провести прямую, параллельную NK.

M

N

K

A

B1

A1

B C

D

D1

C1

Т.к. проведенная прямая и прямая DD1 лежат в одной плоскости, они пересекутся. Назовем точку

пересечения – R.

R

3. Теперь в грани DD1C1С есть две точки, принадлежащие плоскости сечения: K и R.

Соединим их.

4.Т.к. грани DD1C1 и AA1B1 параллельны и М AA1B1, то,

аналогично п.2,

проведем в плоскости AA1B1 через точку М прямую,

параллельную KR. Она пересечет прямую А1B1 в точке S (аналогично п.3).

S

M

N

K

A

B1

A1

B C

D

D1

C1

R

S

Теперь в верхней грани A1B1C1D1 есть две точки сечения: S и N. Соединим их.

MRKNS – искомое сечение.

Рассматривая две предыдущие задачи, мы не разделяли этапы построения и доказательства.

Посмотрим, как лучше оформлять решение таких задач.

NM

K

Задача 1. Построить сечение тетраэдра, проходящее через точки M, N и K.

1. Построение1. MN2. NK3. KN

Докажем, что MNK - искомое сечение.

2. Доказательство

2. M (ADC) , N (ADC) => MN (ADC).

3. M (ADB), K (ADB)=> MK (ADB).

4. K (BDC), N (BDC) => KN (BDC).

1. Точки M, N, K –принадлежат сечению.

Следовательно, MNK – искомое сечение ч.т.д.

M

N

K

A

B1

A1

B C

D

D1

C1

R

S

Задача 2. Построить сечение параллелограмма, проходящее через точки M, N и K.

1. Построение1. NK

2. В плоскости AA1D MR // NK, MR DD1=R

3. RK

4. В плоскости AA1B1 MS // RK, MS A1B1=S

5. SN

Докажем, что MRKNS – искомое сечение.

7. S (A1B1C1), N (A1B1C1) => SN (A1B1C1)

M

N

K

A

B1

A1

B C

D

D1

C1

R

S

2. Доказательство

1. Точки M,N,K –принадлежат сечению.

2. Секущая плоскость пересекает параллельные грани AA1D1D и BB1C1C, AA1B1B и DD1C1C по параллельным прямым: MR // NK, MS // RK ( по построению).

3. K (BB1C1) , N (BB1C1) => KN (BB1C1).

Следовательно, MRKNS – искомое сечение ч.т.д.

4. MR (AA1D) по построению

5. R (DD1C1), K (DD1C1) => RK (DD1C1)6. MS (AA1B1) по построению

4. V (ADC), R (ADC) => VR (ADC).

3. S (ADB), P (ADB)=> PS (ADB), V (ADB)

2. S (BDC) , R (BDC) => SR (BDC).

R

S

Задача 3. Построить сечение тетраэдра, проходящее через точки R, S и P, P (ABD).

P

1. Построение1. SR2. SP, SP AD = V3. VR

Докажем, что RSV - искомое сечение.

2. Доказательство1. Точки R, S, P –принадлежат сечению.

Следовательно, RSV – искомое сечение ч.т.д.

V

Задание 2.

Построить сечение, проходящее через указанные точки.

1.

2. 3.

R

KT

Q

TM

M

K

L

A

A

A1

A1

B

B

B1

B1

C1

C1

C

C

D1

D1

D

D

М (ABC)

М

М

К

M (DD1C1), K (AA1)B1

4. 5.

6.

SK

S

T

T

T

A

A

A

A1

A1

A1

BB

B

B1

B1

B1

C1

C1C1

C

CC

D1

D1D1

D

DD