Построение сечений

многогранников

В работе над проектом принимали участие

ученики 9 класса

ГОУ СОШ «Школа здоровья» №198

г. Москвы

Пономарёв Руслан

Нелюбова Татьяна

Колотикова Дарина

Руководитель проекта:

учитель информатики школы №198

Сейтова Галина Евгеньевна

Âè ä û ì í î ãî ãð à í í è ê î â

Ï è ð à ì è ä à

Ê óá

Òð ¸ õ ãð à í í à ÿ ï ð è çì à

Ø åñòè ãð à í í à ÿ ï ð è çì à

1 . À ê ñè î ì û ñòåð åî ì åò ð è è

À 1× åð åç ä â å òî ÷ ê è À è Â ì î æ í î ï ð î â åñòè ï ð ÿ ì ó þ è òî ë üê î î ä í ó.

À 2Òð è òî ÷ ê è À , Â è Ñ ì î ãóò ï ð è í àä ë åæ àòü åä è í ñòâ åí í î é ï ë î ñê î ñòè .

Å ñë è ï ð ÿ ì à ÿ ï ð è í à ä ë åæ è ò ä â ó ì ð à çí û ì ï ë î ñê î ñòÿ ì , ò î î í à ÿ â ë ÿ åò ñÿ è õ ë è í è åé ï åð åñå÷ åí è ÿ è ë þ á à ÿ òî ÷ ê à ýòî é ï ð ÿ ì î é ï ð è í à ä ë åæ è ò è ò î é è ä ð ó ãî é ï ë î ñê î ñò è .

À 3

АВ

а

А В

С

2 . Ñ ë åä ñòâ è ÿ è ç à ê ñè î ì ñòåð åî ì åò ð è è

Ñ ë . 1 Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости.

Ñ ë . 2Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость и при том только одну.

Ñ ë .3Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и при том только одну.

Çà ä à÷ ó ï î ñò ð î åí è ÿ ñå÷ åí è ÿ ì í î ãî ãð à í í è ê î â ð à ññì î ò ð è ì í à ï ð è ì åð à õ :

Ï î ñò ð î è òü ñå÷ åí è å ê óá à ï ë î ñê î ñòüþ , ï ð î õî ä ÿ ù åé ÷ åð åç ò ð è çà ä à í í û å ò î ÷ ê è .

Ï ð è ì åð 1 .

Ï î ñò ð î è òü ñå÷ åí è å ï è ð à ì è ä û ï ë î ñê î ñòüþ , ï ð î õî ä ÿ ù åé ÷ åð åç ò ð è çà ä à í í û å òî ÷ ê è .

Ï ð è ì åð 2 .

Ï î ñò ð î è òü ñå÷ åí è å ï ð è çì ûï ë î ñê î ñòüþ , ï ð î õî ä ÿ ù åé ÷ åð åç ò ð è çà ä à í í û å ò î ÷ ê è .

Ï ð è ì åð 3 .

* Óê à æ è " ì û ø ê î é " í à â û á ð à í í í û é ï ð è ì åð .

А

В С

D

A1

B1 C1

D1

Дан куб A B C D A1 B1 C1 D1

На гранях куба заданы точкиR, P, Q. Требуется построить сечение куба плоскостью, проходящей через заданные точки.

А

В С

D

A1

B1 C1

D1

RP

Q

Точки Р и Q заданы, как принадлежащие плоскости сечения. В то же время эти точки принадлежат плоскости грани C D D1 C1, следовательно линия PQ является линий пересечения этих плоскостей

А

В С

D

A1

B1 C1

D1

RP

Q

Линии PQ и C1D1 лежат в плоскости грани C C1 D1 D. Найдем точку Е пересечения линий PQ и C1 D1.

А

В С

D

A1

B1 C1

D1

RP

Q

E

Точки R и E принадлежат плоскости сечения и плоскости основания куба, следовательно линия RE, соединяющая эти точки будет линией пересечения плоскости сечения и плоскости основания куба .

А

В С

D

A1

B1 C1

D1

RP

Q

E

RE пересекает A1 D1 в точке F и линия RF будет линией пересечения плоскости сечения и плоскости грани A1 B1 C1 D1.

А

В С

D

A1

B1 C1

D1

RP

Q

E

F

Точки и Q, и F принадлежат плоскости сечения и плоскости грани A A1 D1 D, следовательно линия QF будет линией пересечения этих плоскостей.

А

В С

D

A1

B1 C1

D1

R

P

Q

E

F

Линии RE и B1C1, лежащие в плоскости основания куба пересекаются в точке G.

А

В С

D

A1

B1 C1

D1

R

P

Q

E

F

G

Точки P и G принадлежат плоскости сечения иплоскости грани B B1 C1 C, следовательно линия PG является линией пересечения этих плоскостей

А

В С

D

A1

B1 C1

D1

R

P

Q

E

F

G

PG пересекает B B1 в точке H и линия PH будет линией пересечения плоскости сечения и плоскости грани B B1 C1 C.

А

В С

D

A1

B1 C1

D1

R

P

Q

E

F

G

H

Точки R и H принадлежат плоскости сечения и плоскости грани A A1 B1 B и следовательно линия RH будет линией пересечения этих плоскостей.

А

В С

D

A1

B1 C1

D1

R

P

Q

E

F

G

H

А пятиугольник RHPQF будет искомым сечением куба плоскостью, проходящей через точки R, P, Q.

А

В С

D

A1

B1 C1

D1

R

P

Q

E

F

G

H

А пятиугольник RHPQF будет искомым сечением куба плоскостью, проходящей через точки R, P, Q.

А

В С

D

A1

B1

C1

D1

R

P

Q

F

H

A

B C

D

S

Дана пирамида SABCD.

Требуется построить сечение заданной пирамиды плоскостью, проходящей через точки: М на ребре AS, P на ребре CS и Q на ребре DS.

A

B C

D

S

M

P

Q

A

B C

D

S

M

P

Q

Точки M и Q лежат в плоскости грани АSD. Линия МQ, соединяющая эти точки являетсялинией пересечения плоскости сечения и плоскости грани ASD.

A

B C

D

S

M

P

Q

Линия QP, соединяющая заданные точки Q и P, является линией пересечения плоскости сечения и плоскости грани DSC.

A

B C

D

S

M

P

Q

Линии MQ и AD лежат в одной плоскости грани ASD. Найдём точку Е, как точку пересечениялиний MQ и AD. Точка Е будет принадлежать искомой плоскости сечения, так как она принадлежит линии MQ, лежащей в этой плоскости.

Е

A

B C

D

S

M

P

Q

Е

Линии PQ и CD лежат в одной плоскости грани CSD. Найдём точку F, как точку пересечениялиний PQ и CD. Точка F, как и точка Е, будет принадлежать искомой плоскости сечения, так как она принадлежит линии PQ, лежащей в этой плоскости.

F

A

B C

D

S

M

P

Q

ЕF

Точки Е и F принадлежат плоскости сечения и плоскости основания пирамиды, поэтому линия EF будет линией пересечения плоскости сечения иплоскости основания пирамиды.

A

B C

D

S

M

P

Q

ЕF

Линии EF и BC лежат в одной плоскости основания пирамиды ABCD. Найдём точку G, как точку пересечения линий EF и BC. Точка G будет принадлежать искомой плоскости сечения, так как она принадлежит линии EF, лежащей в этой плоскости.

G

A

B C

D

S

M

P

Q

ЕF

G

Точки P и G принадлежат плоскости сечения и плоскости грани BSC, поэтому линия PG будет линией пересечения плоскости сечения и плоскости грани BSC.

A

B C

D

S

M

P

Q

ЕF

G

Линией пересечения плоскости сечения и плоскости грани BSC будет линия , являющаяся продолжением PG, которая пересечёт ребро BS пирамиды в точке H.

H

A

B C

D

S

M

P

Q

ЕF

G

H

PH будет линией пересечения плоскости сечения и плоскости грани BSC.

A

B C

D

S

M

P

Q

ЕF

G

H

Ну и наконец, так как точки Mи H одновременно принадлежат и плоскости сечения и плоскости грани ASB, то линия MH будет линией пересечения этих плоскостей.

M

P

Q

H

И четырёхугольник MHPQ будет искомым сечением пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через заданные точкиM, P, Q.

A D

B C

Дана трёхгранная призма A B C A1 B1 C1. Требуется построить сечение призмы плоскостью, проходящей через три заданные точки D, E, и F.

A B

C

A1 B1

C1

D

EF

Точки D и E принадлежат плоскости грани А А1 С1 С и плоскости сечения, следовательно линия DEбудет линией пересеченияэтих плоскостей.

A B

C

A1 B1

C1

D

EF

Точки E и F принадлежат плоскости грани B C C1 B1 и плоскости сечения, следовательно линия EFбудет линией пересеченияэтих плоскостей.

A B

C

A1 B1

C1

D

EF

Линии DE и A A1 лежат в плоскости грани A A1 C1 C.Найдём точку G, пересечения этих линий.A B

C

A1 B1

C1

D

EF

G

Точка G принадлежит плоскости сечения, так как она принадлежит линии DE. Точки G и F принадлежат плоскости грани A A1 B1 B иплоскости сечения, следовательно линия GF будет линией пересеченияэтих плоскостей.

A B

C

A1 B1

C1

D

EF

G

В плоскости грани A A1 B1 Bлинии GF и A1 B1 пересекаются в точке L. Точки F и L принадлежат плоскости грани A A1 B1 B иплоскости сечения, следовательно линия FL будет линией пересеченияэтих плоскостей.

A B

C

A1 B1

C1

D

EF

G

L

Точки D и L принадлежат плоскости основания призмы A1 B1 C1 и плоскости сечения, следовательно линия DL будет линией пересечения этих плоскостей.

A B

C

A1 B1

C1

D EF

G

L

А четырёхугольник DEFL будет искомым сечением трёхгранной призмы плоскостью,проходящеё через три заданные точки D,E,F.

A B

C

A1 B1

C1

DE

FL