Embed Size (px)
Citation preview
Тема «Функції, їх властивості і графіки» ВСТУП
Вступаючи до коледжу, дехто сподівається, що йому не доведеться вивчати математику, інші навіть думають, що майбутньому працівникові вона взагалі не потрібна. Насправді це не так. Вивчення математики сприяє формуванню певної системи знань, навичок і вмінь, які мають служити не лише основою для успішної праці в конкретній галузі виробництва, а й забезпечити майбутньому працівникові можливості для самостійного поглибленого вивчення теоретичних питань, пов'язаних з освоєнням нової техніки і технології.
У практичній діяльності сучасного працівника все більшого значення набувають елементи розумової праці при одночасному підвищенні вимог до швидкісних і точнісних характеристик діяльності. Вивчення математики сприятиме формуванню в студентів цих здібностей.
Видатний російський учений М.В.Ломоносов вважав, що математику вивчати треба хоча б тому, що вона розум в порядок приводить. Справді, доводячи теореми, розв'язуючи задачі, студенти навчаються логічно мислити, обгрунтовувати кожне своє твердження, не сприймати на віру те, що на перший погляд є очевидним. А саме це і є ознаками розумового розвитку.
Математичні знання потрібні для засвоєння курсів фізики, хімії, загальнотехнічних і спеціальних дисциплін. Математичні розрахунки широко застосовують також під час виробничого навчання.
Серед майбутніх працівників лісового господарства є чимало юнаків і дівчат, які в школі мало уваги приділяли вивченню математики, відчували труднощі в оволодінні матеріалом і втратили віру в свої сили. Але ніколи не пізно серйозно взятися за подолання прогалин у знаннях і налагодити „добрі стосунки” з математикою.Сучасна математика дає можливість пояснити, описати різні процеси, які відбуваються навколо нас. Це можливе завдяки можливості створення математичної моделі даного процесу. ( Формули, графіки і т.д. на виробництві, в статистиці і т.д.)
Тема «Функції, їх властивості і графіки» ДІЙСНІ ЧИСЛА ТА ДІЇ З НИМИПоняття натурального числа виникло з потреб лічби та вимірювання величин. Числа 1, 2, 3, 4 і т.д. дістали назву натуральні числа.Такими числами позначають також наближений результат вимірювання величин, коли одиниця вимірювання поміщається у вимірюваній величині ціле число разів. Наприклад, довжина кімнати – 7 метрів. 7 – натуральне число. Поняття натурального числа вводиться без означення. Натуральні числа записують за допомогою десяти цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.Спосіб запису чисел назвали десятковою системою. В десятковій системі існує поняття розряду:
− розряд одиниць;− розряд десятків;− розряд сотень;− розряд тисяч;− розряд десятків тисяч; і т.д.
Кожний розряд починається з розрядної одиниці: 1; 10; 100; 1000; 10000; …В десятковій системі для читання багатоцифрового числа розбивають його на класи по три розряди справа на ліво.
Класи Розряди
одиницьодиницьдесятківсотень
тисячтисячдесятків тисячсотень тисяч
мільйонівмільйонівдесятків мільйонівсотень мільйонів
Читання багатоцифрових чисел:− розбити число на класи (справа на ліво);− прочитати розряди кожного класу зліва на право як трицифрове число, додавши до нього
назву кожного класу, крім класу одиниць.Порівнюють багатоцифрові числа від найвищого розряду до найнижчого. Більшим за значенням буде число, в якого є більшим за значенням розряд, що порівнюється. Знаки порівняння:
" < " – знак менше;" > " – знак більше;" = " – знак рівності.
До натуральних чисел застосовують закони додавання і множення:
Комутативний Асоціативний Дистрибутивнийa + b = b + aa ⋅ b = b ⋅ a
(a + b) + c = a + (b + c)(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)
(a + b) ⋅ c = a⋅c + b⋅c(a – b) ⋅ c = a⋅c – b⋅c
Числа поділяють на прості і складені. Просте натуральне число ділиться тільки на 1 і на саме себе. Складене число крім цього має інші дільники. При розкладанні складеного числа на прості множники, використовують ознаки подільності на 2, 3, 5, 9, 10.Число ділиться на 2, якщо остання цифра числа ділиться на 2.Число ділиться на3 (9), якщо сума цифр числа ділиться на 3 (9).Число ділиться на 5, якщо остання цифра числа 5 або 0.Число ділиться на 10, якщо остання цифра числа 0.
Тема «Функції, їх властивості і графіки» У зв′язку з необхідністю знаходження частини числа або кількох рівних частин предмета (яблука, відрізка, прямокутника і т.п.) ввели дробові числа. Дробовими числами виражаються результати вимірювання різних величин (площ, довжин, часу, кутових величин, і т.д.).Дробове число записюють у вигляді звичайного дробу, цілого числа і звичайного дробу.
Наприклад: 75
; 92
3 .
Запис звичайного дробу: ba
(a – чисельник дробу, b – знаменник дробу).
Звичайні дроби є правильні і неправильні.Правильним називається звичайний дріб, у якого чисельник менший від знаменника.
Приклад: правильні дроби .15
1;
3
2
Неправильним називається звичайний дріб, у якого чисельник дорівнює знаменнику, або чисельник більший від знаменника.
Приклад: неправильні дроби .12
17;
2
2;
3
4;
4
4
Якщо дріб неправильний, то потрібно його перетворити в правильний, виділивши цілу частину.
Приклад: 41
44
17 = (17:4=4(остача 1))
Правила дій з дробами.
Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками: c
bacb
ca ±=±
Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками: db
bcdadc
ba
⋅⋅±⋅=±
Множення дробів: dbca
dc
ba
⋅⋅=⋅
Множення числа на дріб: d
cadc
a⋅=⋅
Ділення числа на дріб: cda
cd
adc
a⋅=⋅=:
Ділення дробів: ;:np
mq
q
p
n
m =
Основна властивість дробу: .mbma
ba
⋅⋅=
Зведення дробів b
a і
n
m до спільного знаменника:
b
a
nbna
⋅⋅
; n
m
bnbm
⋅⋅
b⋅ n – спільний знаменник.
Порівняння дробів з рівними знаменниками
c
a>
c
b, якщо a > b
c
a <
c
b, якщо a < b
Щоб порівняти дроби з різними знаменниками, потрібно попередньо звести їх до спільного знаменника.
Два числа називаються взаємно оберненими, якщо їхній добуток дорівнює 1.
Тема «Функції, їх властивості і графіки»
Приклад: 7
3 і
3
7 - взаємно обернені, оскільки .1
3
7
7
3 =⋅
Приклади дій з числами, що мають цілу і дробову частини:
•
( ) ;36
297
36
297
36
9
36
207
12
3
9
525
12
32
9
55
12
32
9
55 =+=
++=
+++=
++
+=+
•
( ) .28
15
28
15
28
20
28
211015
28
2010
28
2115
28
2010
28
2115
7
510
4
315 =+=
−+−=
+−
+=−=−
Десяткові дроби – це звичайні дроби, знаменник яких є розрядною одиницею. Запис десяткового дробу: знаменник не пишуть, а цілу частину відділяють від дробової за допомогою коми.
Наприклад: 004,51000
45;7,0
107 == .
Десяткові дроби є скінченні, нескінченні, періодичні, неперіодичні.Додатні і від′ємні числа були введені у зв′язку потребою практики – потрібно було виражати числом величини, які могли змінюватись у двох протилежних напрямках (температура, висота рівня води у річці, озері, морі відносно умовного нуля і т.п.). В алгебрі ці числа використовують для запису коренів рівняння a + x = b, якщо a > b.Числа утворюють числові множини. Натуральні числа утворюють множину натуральних чисел N.Натуральні числа, протилежні їм від′ємні числа і нуль утворюють множину цілих чисел Z. Цілі числа і дробові числа утворюють множину раціональних чисел Q. Загальний запис раціонального
числа: nm
, де m∈Z, n∈N. Крім раціональних чисел є ірраціональні числа. Прикладом
ірраціонального числа є число π - нескінченний неперіодичний десятковий дріб.Раціональні та ірраціональні числа утворюють множину дійсних чисел R.
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Наближені обчислення виконують тоді, коли компонентами дій є наближені значення величин чи чисел, які здобуті шляхом заокруглення результатів вимірювання геометричних, фізичних, хімічних, та інших величин, використання табличних значень, результатів виконання ділення, добування кореня з чисел, знаходження значень тригонометричних функцій, логарифмів чисел і т.д.
У наближених обчисленнях доводиться користуватися правилами округлення натуральних чисел та десяткових дробів (повторити правила округлення).
У наближених обчисленнях використовують поняття „абсолютна похибка”, „відносна похибка” наближеного значення.
Абсолютною похибкою наближеного значення називається модуль різниці точного і наближеного значень числа чи величини.
Якщо абсолютна похибка наближеного значення не перевищує числа h, то це значення називають наближеним значенням з точністю до h.
Якщо х – точне значення, а – наближене значення числа чи величини, h – точність наближення, то використовують такий запис: х = а ± h.
Відносною похибкою наближеного значення називається відношення абсолютної похибки до модуля наближеного значення.
На практиці часто використовують правила наближених обчислень без строгого урахування похибок, або так званий спосіб підрахунку правильних цифр.
Тема «Функції, їх властивості і графіки» Правильною цифрою наближеного значення називають цифру будь-якого розряду, якщо
абсолютна похибка не перевищує одиниці цього розряду.
Наближені значення записують так, щоб усі цифри запису були правильними. Такий запис дає уявлення про точність наближення. У таблицях усі значення записують лише правильними цифрами.
При виконанні дій додавання і віднімання в результаті враховують кількість правильних десяткових знаків даних чисел. При цьому вважають, що дані наближені значення записані лише правильними цифрами.
Правило. При додаванні і відніманні наближених значень у результаті залишають стільки десяткових знаків, скільки їх має дане число з найменшою кількістю десяткових знаків.
При виконанні дій множення і ділення в результаті підраховують кількість значущих цифр. Значущими цифрами наближення, записаного у вигляді десяткового дробу, називаються всі його цифри, крім нулів на початку числа. Наприклад, наближені значення 2,25; 0,317; 9,05; 12,0 мають по три значущі цифри, а у наближеннях 78,21; 10,40; 0,009658 – по чотири значущі цифри.
Правило. При множенні і діленні наближених значень у результаті залишають стільки значущих цифр, скільки їх має наближене дане з найменшою кількістю значущих цифр.
При виконанні проміжних дій інколи користуються „правилом запасної цифри”: в результатах проміжних дій залишають на одну (запасну) цифру більше. В остаточному результаті запасна цифра відкидається за правилами округлення.
Тема «Функції, їх властивості і графіки»
ВІДСОТКОВІ РОЗРАХУНКИВідсотки широко використовуються і в математиці, і в фізиці і т.д. при обчисленні відносної похибки вимірювань і наближених обчислень, у хімії – при обчисленні концентрації розчинів.
Дріб одна сота називають відсотком.Запис: %
1% = 100
1 = 0,01
Відсотки – це одна із можливих форм запису числа.
%8080,010080
108
54 ====
Правило 1.Для того, щоб перетворити дане число у відсотки, треба це число помножити на 100.0,258 = (0,258 ⋅ 100) % = 25,8 %
Правило 2.Для того, щоб перетворити дане число відсотків у дріб чи ціле число, треба розділити дане число відсотків на 100.
54 % = %100%54
= 0,54
Є три основні задачі на відсотки:− знаходження відсотків від числа;− знаходження числа за його відсотками;− знаходження відсоткового відношення двох чисел.
Відповідні розв ′ язки цих задач:
− n % від числа а дорівнює %100
%na ⋅;
− якщо n % від числа а дорівнює b, то %
%100
n
bа
⋅= ;
− відсоткове відношення чисел a і b дорівнює %100⋅bа
.
Формула складних відсотків: t
t
pAA
+⋅=
1001
t - роки;At – сума на рахунку через t роківp % – річні відсотки A – внесена сума
Тема «Функції, їх властивості і графіки»
ПРОПОРЦІЯЧастка від ділення а на b називається відношенням.
Запис: a : b =ba
= m, то a = b ⋅ m, b = ma
Рівність двох відношень називається пропорцією.
dc
ba = або a : b = c : d
b і c – середні члени пропорціїa і d – крайні члени пропорціїОсновна властивість пропорції:Добуток крайніх членів пропорції дорівнює добуткові середніх членів пропорції.
a ⋅ d = b⋅ c якщо dc
ba =
Тема «Функції, їх властивості і графіки»
ЧИСЛОВІ ФУНКЦІЇ.Множиною називають сукупність елементів або об′єктів.Множини позначають великими буквами латинського алфавіту.Запис: М = {c; n; m; d}, c ∈ M, b ∉ MA = {} - порожня множина, А = ∅
Множина, елементами якої є числа або проміжки числової осі, називається числовою множиною.Якщо всі елементи множини А є елементами множини В, то множина А називається підмножиною множини В.А ⊂ ВN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ RОб′єднанням множин А і В називається множина С усіх тих і тільки тих елементів, які належать хоча б одній із множин А і В.А U В = СПерерізом множин А і В називається множина С їх усіх спільних елементів.А ∩ В = С
Функцією називають відповідність, при якій кожному елементу х з множини D відповідає деякий певний елемент у з множини Е.Поняття "функція" виникло у ХVІІ ст.. Сам термін "функція" запропонував німецький філософ і математик Готфрід Вільгельм Лейбніц. Великий внесок у розвиток і розширення поняття "функція" зробили швейцарські математики Л.Ейлер, Йоганн Бернуллі, російський
математик М.І.Лобачевський та ін.Функція є одним з найважливіших понять сучасної математики. Щоб успішно оволодіти подальшим курсом математики потрібно добре засвоїти поняття функції та її властивостей.Числовою функцією називають відповідність, яка кожному числу х з деякої заданої множини ставить єдине число у.Запис: у = f(x) х – аргумент функції (незалежна змінна), у – значення функції (залежна змінна).
ОБЛАСТЬ ВИЗНАЧЕННЯ І МНОЖИНА ЗНАЧЕНЬ. СПОСОБИ ЗАДАННЯ ФУНКЦІЇ.Множина значень, яких набуває незалежна змінна х, називають областю визначення функції.Запис: D(y) або D(f(x))
При знаходженні області визначення функції потрібно враховувати:
№ п/п функція область визначення1. DCxBxAxy nnn ++++= −− ...21
многочлен n-го степеня ( )+∞∞−∈ ;x
2.)(
)(
xg
xfy = g(x) ≠ 0
3. )(xfy = f(x) ≥ 0
4.)(
)(
xf
xgy = f(x) > 0
Тема «Функції, їх властивості і графіки» Множина значень залежної змінної у, яких вона набуває при всіх значеннях х з області визначення функції, називається областю значень або областю зміни функції.Запис: Е(у) або Е(f(x))Щоб задати функцію, потрібно:
− Встановити область визначення функції;− Задати закон відповідності, за яким для кожного х з області визначення будемо знаходити
число у.Основні способи задання функції:
1) Аналітичний (формулою);2) Графічний (графіком);3) Табличний (таблицею);4) Описовий (словами).
ГРАФІК ФУНКЦІЇ.Для графічного відображення функції потрібно побудувати прямокутну декартову систему координат. Вона складається з двох взаємно перпендикулярних числових прямих, що мають спільний початок відліку.
т.О – початок координат ОХ – вісь абсцис ОУ – вісь ординат Кожна пара дійсних чисел відповідає деякій точці координатної площини і навпаки кожна точка координатної площини має свою пару координат. (А(х; у))Осі ділять координатну площину на чотири квадранти (чверті).
Графіком функції y = f(x) у вибраній системі координат називається множина всіх тих і тільки тих точок А (х; у), для яких виконується рівність y = f(x), х ∈ D(f).
Щоб побудувати графік функції, потрібно знати її властивості. Для цього необхідно функцію дослідити за певною схемою.Не складні графіки будують за точками.Проекція графіка на вісь ОХ дає уявлення про область визначення D, а проекція на вісь ОУ – про область значень Е функції. Точки перетину графіка функції з координатними осями мають координати:(х; 0) – з віссю ОХ; (0; у) – з віссю ОУ.
МОНОТОННІСТЬ, ПАРНІСТЬ І НЕПАРНІСТЬ ФУНКЦІЙ.Парною називається функція, область визначення якої симетрична відносно початку координат і виконується рівність f(–x) = f(x).Графік парної функції – це лінія, симетрична відносно осі OY.
Непарною називається функція, область визначення якої симетрична відносно початку координат і виконується рівність f(–x) =– f(x).Графік непарної функції – це лінія, симетрична відносно початку координат.
Функція називається монотонною на деякій множині, якщо вона тільки зростає або тільки спадає на цій множині.Функція f(x) зростає на інтервалі М, якщо для будь-яких чисел х1 і х2 з цього інтервалу, таких, що х1< х2, виконується нерівність f(x1) < f(x2).
Тема «Функції, їх властивості і графіки» Функція f(x) спадає на інтервалі М, якщо для будь-яких чисел х1 і х2 з цього інтервалу, таких, що х1< х2, виконується нерівність f(x1) > f(x2).
НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОНЯТТЯ ОБЕРНЕНОЇ ФУНКЦІЇ.При вивченні графіків функцій зустрічаються точки, в яких графік функції із спадного змінюється на зростаючий і навпаки. Ці точки називаються відповідно точками мінімуму і точками максимуму.
Точка х0 називається точкою мінімуму функції f(x), якщо для всіх х з деякого околу точки х0 виконується нерівність f(x) > f(x0).
Точка х0 називається точкою максимуму функції f(x), якщо для всіх х з деякого околу точки х0
виконується нерівність f(x) < f(x0).
Околом точки називають невеликий інтервал, що містить цю точку.
Нехай задано деяку функцію, наприклад f(x) = 2x – 1.Розглянемо графік цієї функції та таблицю її значень у точках, які на числовій прямій розташовані достатньо близько до числа 2.
x 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1
f(x) 2,8 2,98 2,998 3,002 3,02 3,2
З таблиці та графіка видно, що чим ближче аргумент х до числа 2 (це позначають х→2 і кажуть, що х прямує до 2), тим ближче значення функції f(x) = 2x – 1 до числа 3(позначають f(x)→3 і
кажуть, що f(x) прямує до 3). Це записують також так: 3)12(lim2
=−→
xx (читають: "ліміт 2х – 1 при х,
що прямує до 2, дорівнює 3) і кажуть, що границя функції 2х – 1 при х, що прямує до 2 (або границя функції в точці 2), дорівнює 3.
У загальному випадку запис Axfax
=→
)(lim означає, що при х→а f(x)→А, тобто А – число, до
якого прямує значення функції f(x), коли х прямує до а.
Знак lim (читається: "ліміт") – скорочений запис латинського слова limes (лімес), що в перекладі означає "межа", "границя". Саме цей знак запровадив 1786 року швейцарський математик С.Люїльє (1750 - 1840) для позначення границі.
Функцію f(x) називають неперервною в точці а, якщо при х→а f(x)→f(a), тобто )()(lim afxfax
=→ .
Якщо функція f(x) неперервна в кожній точці деякого проміжку М, то її називають неперервною на проміжку М.Графік функції, неперервної на проміжку, - нерозривна лінія на цьому проміжку.
Усі елементарні функції неперервні в кожній точці своєї області визначення, тому на кожному проміжку з області визначення їх графіки – нерозривні лінії. (В цьому і полягає спосіб побудови графіка "за точками").
Тема «Функції, їх властивості і графіки» Точка, в якій порушується умова неперервності функції, називається точкою розриву функції.Функція, яка має точку розриву, називається розірвною.
Поняття оберненої функції може бути застосоване тільки до функцій, що мають таку властивість: кожному значенню у з області значень функції відповідає єдине значення х з області визначення цієї функції.Функція q називається оберненою для функції f, якщо кожному y з області значень функції f функція q ставить у відповідність таке х з області визначення функції f, що y = f(x). Таким чином, якщо y = f(x), то x = q(y).Функції f і q є взаємно оберненими.
− Область визначення функції f є областю значень функції q, а область значень функції f є областю визначення функції q.
− Графіки взаємно обернених функцій симетричні один одному відносно прямої y = x.
Знаходження формули для функції, оберненої до даної: За допомогою формули y = f(x) необхідно виразити х через у, а в одержаній формулі х =
q(y) замінити за допомогою перетворень х на у, а у на х.Приклад. Знайти формулу для функції, оберненої до функції у = 2х – 1.
21
21
12 +=⇒+=⇒+=⇒−=⇒−= xyxy2
11212
xyxyyx
