aa bb

Угол между векторамиУгол между векторами

aa

bb

aa bb ==

Градусную меру этого угла Градусную меру этого угла обозначим буквой обозначим буквой

Лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ.Лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ.

Угол между векторами и Угол между векторами и равенравен

aa bb

ОО

АА ВВ

aa

dd

Найти углы между векторами.

bb

303000 aa bb ==

cc

ff303000

aa cc ==

bb cc ==

dd ff ==

dd cc ==

12012000

909000

18018000

0000

aa

bbdd

ff

Два вектора называются перпендикулярнымиперпендикулярными,

если угол между ними равен 900.

bb cc bb dd bb ff

№ № 441 441 АВСDA1B1C1D1 – куб. Найдите угол между векторами.

454500

BCBC,, AAС = С =

BBBB11,, ACAC = =

BB11CC,, ADAD11 = =

13513500

660000

454500

909000

909000

0000

CC

ВВ11В,В, ВВ11С = С =

DDА,А, BB11DD11 = =

АА11CC11,, AA11BB = =

АА11DD11,, BCBC = =

AAАА11,, CC11CC = =

BBAA

DD

CC11DD11

AA11 BB11

18180000

№ № 442442 Угол между векторами и равен . Найдите углы между векторами

ВА,ВА, DDС = С =

ВА,ВА, ССDD = =

ААBB,, DCDC = =

АВ САВ СDD

CC

DD

BB

АА

OO (C)(C)(A)(A)

BB

DD

18018000–– 18018000––

Сумма векторов – вектор.Сумма векторов – вектор.

Разность векторов – вектор.Разность векторов – вектор.

Произведение вектора на число – вектор.Произведение вектора на число – вектор.

Скалярное произведение векторов – число (скаляр). Скалярное произведение векторов – число (скаляр).

Скаляр – лат. Скаляр – лат. scalescale – – лестница, шкала. лестница, шкала.

Ввел в 1845г. У. Гамильтон, английский математик.Ввел в 1845г. У. Гамильтон, английский математик.

Скалярным произведением двух векторов Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус называется произведение их длин на косинус угла между ними.угла между ними.

aa bb == aa bb coscos( ( ))aa bb

Формула для нахождения Формула для нахождения скалярного произведенияскалярного произведения

через координаты векторовчерез координаты векторов

a = xa = x11 ii + y + y

1 1 j j + z+ z11 kk

b = xb = x22 ii + y + y

2 2 j j + z+ z22 kk

aa bb = ?= ?

(x(x11 ii + y + y

1 1 j j + z+ z11 kk))aa bb == (x(x

22 ii + y + y2 2 j j + z+ z

22 kk) =) =

= x= x11xx22 + y + y

11yy22 + z+ z11zz22

aa bb == xx11xx22 + y + y11yy22 + z+ z

11zz22

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121coszyxzyx

zzyyxx

Косинус угла между ненулевыми векторами

111 ;; zyxа 222 ;; zyxb

|||| ba

baсоs

Скалярное произведение в физикеСкалярное произведение в физике

A = A = FF MNMN coscos

FF

NNMM

A = A = FF MNMN

точку NN равна произведению силы FF и перемещения

MNMN на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов встречается в физике. Например, из курса механики известно, что

работа AA постоянной силы FF при

перемещении тела из точки MM в

aa bb == aa bb cos cos 909000

aabb

= 0 = 0 0 0

Если векторы и перпендикулярны, то скалярное произведение векторов равно нулю.

aa bb

Обратно: если , то векторы и перпендикулярны.

aa bb == 00 aa bb

aa bb == 00 aa bb

Скалярное произведение ненулевых векторов равно Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.перпендикулярны.

aa bb == 909000

aa bb == aa bb coscos

aabb

Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда , когда угол между векторами острый.острый.

aa bb >> 00

> > 00> > 00

> > 00

aa bb < < 909000

aa bb < < 909000

aa bb == aa bb coscos

aa

bb

Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда , когда угол между векторами тупой.тупой.

aa bb << 00

< < 00< < 00

< < 00

aa bb > > 909000

aa bb > > 909000

aa bb == aa bb == aa bb cos cos 0000aabb 1111

aa bb == 0000

Если aa bb

aa bb == aa bb coscos18018000

aa

bb

-1-1-1-1aa bb == 18018000

Если aa bb

= = –– aa bb

aa aa == aa aa coscosaa0000

1111aa aa == 0000

aa aa == == aa 22

Скалярное произведение называется

скалярным квадратом скалярным квадратом вектора и обозначается

aa aaaa aa

22

Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

aa 22 == aa 22

Пример №1Пример №1

Найти скалярное произведение векторов:

a a {-6; 9; 5}{-6; 9; 5} b b {-1; 0; 7}{-1; 0; 7}

aa bb == xx11xx22 + y + y11yy22 + z+ z

11zz22

aa bb == -6 (-1) + 9 0-6 (-1) + 9 0 + 5 7 = 41+ 5 7 = 41

Пример №2Пример №2

Найти скалярное произведение векторов:

a a {0; 0; 4}{0; 0; 4} b b {22; 1; 8}{22; 1; 8}

aa bb == xx11xx22 + y + y11yy22 + z+ z

11zz22

aa bb == 0 22 + 0 10 22 + 0 1 + 4 8 = 32+ 4 8 = 32

Пример №3Пример №3

Найти скалярное произведение векторов:

a a {1; 7; 9}{1; 7; 9} b b {-2; 4; 0}{-2; 4; 0}

aa bb == xx11xx22 + y + y11yy22 + z+ z

11zz22

aa bb == 1 (-2) + 7 41 (-2) + 7 4 + 9 0 = 26+ 9 0 = 26

Проверочная работаПроверочная работа

1. Найти скалярное произведение векторов:

a a {1; 10; 7}{1; 10; 7} b b {0; 7; 0}{0; 7; 0}

Проверочная работаПроверочная работа

2. Найти скалярное произведение векторов:

a a {7; 25; 0}{7; 25; 0} b b {11; 0; 54}{11; 0; 54}

Проверочная работаПроверочная работа

3. Найти скалярное произведение векторов:

a a {|-2|; 0; |3|}{|-2|; 0; |3|} b b {1; |-11|; 1}{1; |-11|; 1}

Проверочная работаПроверочная работа

4. Найти скалярное произведение векторов:

a a {sin(90{sin(9000); 2; 3}); 2; 3} b b {3; 2; 1}{3; 2; 1}

Проверочная работаПроверочная работа

5. Найти скалярное произведение векторов:

a a {-1; 2; 8}{-1; 2; 8} b b {5; 5; 0}{5; 5; 0}

DD11

№ № 443 443 АВСDA1B1C1D1 – куб. Найдите скалярное произведение векторов

CC

BBAA

DD

CC11

AA11 BB11

aa

aaAA11OO11 AA11CC11

BOBO11 C C11B B

DD11OO11 B B11OO11

BABA11 BC BC11 DD11B AC B AC

AD AD BB11CC11 AC AC CC11AA11

OO11

303000

Все ребра тетраэдра АВСD равны друг другу. Точки М и

N – середины ребер АD и ВС. Докажите, что MN MN AD = 0AD = 0

BB

CCNN

AA

DD

MM

Маленький тестМаленький тест

5

3

2ВЕРНО!

1

3 ПОДУМАЙ!

ПОДУМАЙ!

Проверка

На каком расстоянии от плоскости xOy xOy находится точка А(2; -3; 5)

I

I

I

II

I

I

I

MMzz

yy

xx

I I I I I II I I I I I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

OO

OxyOxy

2

5;

3.

1

ВЕРНО!

2

3ПОДУМАЙ!

ПОДУМАЙ!

Проверка

4;

На каком расстоянии от начала координат находится точка А(-3; 4; 0)

АА

OxyOxy

zz

yy

xx

I I I II I I I I I II

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

OO

2ВЕРНО!

1

3 ПОДУМАЙ!

ПОДУМАЙ!

Найти координаты середины отрезка, если концы его

имеют координаты и AA((-3; 2-3; 2;;-4-4)) B(1;-4; 2) B(1;-4; 2)

CC((--11;-1;;-1;-1)-1)

CC (( ; ; ;; ))--3 3 + + 11 22 22

22+(-+(-44) ) 22

-4-4++22

CC((--22;; 1;1;-1)-1)

CC((--22;-;-22;;-2)-2)

Проверка

1ВЕРНО!

2

3

ПОДУМАЙ!

Проверка

Дан квадрат АВСD. Найдите угол между векторами и .

1350;

900.

450;

ПОДУМАЙ!

АСАС DADA

АА

ВВ СС

DD

Скалярное произведение координатных векторов

и :

3 ВЕРНО!

2

1ПОДУМАЙ!

ПОДУМАЙ!

Проверка

равно нулю, т.к. угол между векторами прямой

kk jj

1

– 1

0

xx

yy

zz

I I I I I I I I I I I I I I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

jj

kk

iiOO

1

ВЕРНО!

2

3 ПОДУМАЙ!

ПОДУМАЙ!

Проверка

Скалярный квадрат вектора равен:77 ii

49

7

1

Скалярный квадрат вектора Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. равен квадрату его длины.

(( 77ii ))22 = 7 = 7 i i 22 = 7 = 722 = 49 = 49

2ВЕРНО!

1

3 ПОДУМАЙ!

ПОДУМАЙ!

Записать координаты вектора n n = – 8= – 8j j + + ii

n n {-8; 1; 0}{-8; 1; 0}

n n {1;-8; 0}{1;-8; 0}

n n {1; 0;-8}{1; 0;-8}

3

ВЕРНО!2

1

ПОДУМАЙ!

ПОДУМАЙ!

Проверка

500

600

1200

mm nn == –15–15,, mm = = 55,, nn = = 66..Найдите угол между векторами и , еслиmm nn

Скалярное произведение ненулевых Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только векторов отрицательно тогда и только

тогда , когда угол между векторами тогда , когда угол между векторами тупойтупой

ПОДУМАЙ!

3

2

1

ПОДУМАЙ!

Проверка (3)

ABCDA1B1C1D1 – куб, ребро которого равно 1.

Найдите скалярное произведение векторов и .

4;

1.

2;

ВЕРНО!

ААDD11 BC BC

DD11

CC

BBAA

DD

CC11

AA11 BB11

011 45cosBCBCBCBC 1

2

221

Сылки: