15.04.2023 1

Кут між двома прямими

ГЕОМЕТРІЯЗадачі за готовими малюнками

для підготовки до ЗНО

10 – 11 класи

Жданюк Валентина Миколаївнавчитель математики

Великочечеліївська загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів

15.04.2023 2

𝐴1

A

C

B

D

𝐵1

𝐶1𝐷1

Задача 1В одиничному кубі знайдіть кут між двома прямими AC і BD.

Кут між двома прямими. Куб

Відповідь:

ABCD – квадрат ⇒ AC ⊥ BDРозв’язок:

15.04.2023 3

Задача 2В одиничному кубі знайдіть кут між двома прямими і .

A

C

B

D

𝐵1

𝐶1𝐷1

𝐴1

Відповідь:

Розв’язок:

⊥ (ABCD) ⇒ ⊥ AD

Кут між двома прямими. Куб

15.04.2023 4

A

C

B

D

𝐵1

𝐶1𝐷1 Задача 3

В одиничному кубі знайдіть кут між двома прямими і .

𝐴1

Відповідь:

Розв’язок:∥ ⇒ ∠(

Кут між двома прямими. Куб

15.04.2023 5

A

C

B

D

𝐵1

𝐶1𝐷1 Задача 4

В одиничному кубі знайдіть кут між двома прямими і .

𝐴1

Відповідь:

Розв’язок:

∥ ⇒ ∠(

𝜶

Кут між двома прямими. Куб

15.04.2023 6

A

C

B

D

𝐵1

𝐶1𝐷1 Задача 5

В одиничному кубі знайдіть кут між двома прямими і .

𝐴1

Відповідь:

Розв’язок:

O

𝑁1

N

Проведемо через середину AD (NM(DC),

M

𝑀 1

N ∥ ⇒ , кут що потрібнознайти- ∠

; NO=; ; по Т., оберненої до теореми Піфагора тому ∠ =

Кут між двома прямими. Куб

7

A

C

B

D

𝐵1

𝐶1𝐷1 Задача 6

В одиничному кубі знайдіть кут між двома прямими і .

𝐴1

Відповідь:

Розв’язок:∥ =

Кут між двома прямими. Куб

8

A

C

B

D

𝐵1

𝐶1𝐷1 Задача 7

В одиничному кубі знайдіть кут між двома прямими і .

𝐴1

Відповідь:

Розв’язок:

∥DB ⇒ ∠() = =∠() Искомый угол находим в

равностороннем ∆

Кут між двома прямими. Куб

9

A

C

B

D

𝐵1

𝐶1𝐷1 Задача 8

В одиничному кубі знайдіть кут між двома прямими и BD.

𝐴1

Відповідь:

Розв’язок:

BD ∥ ⇒ ∠() = =∠() ∠A = (як кут правильного трикутника)

Кут між двома прямими. Куб

10

A

C

B

D

𝐶1𝐷1

𝐵1

Задача 9

В одиничному кубі знайдіть кут між двома прямими і C.

𝐴1

Відповідь:

Розв’язок:

Розв’язок аналогічний до розв’язку задач № 7 – 8

Кут між двома прямими. Куб

15.04.2023 11

𝜶

A

C

B

D

𝐵1

𝐶1𝐷1 Задача 10

В одиничному кубі знайдіть кут між двома прямими і .

𝐴1

Відповідь:

Розв’язок:

AD∥BC ⇒ ∠( = ∠( ;

Кут між двома прямими. Куб

15.04.2023 12

A

C

B

D

𝐵1

𝐶1𝐷1 Задача 11

В одиничному кубі знайдіть кут між двома прямими і .

𝐴1

Відповідь:

Розв’язок:∥AC, ⇒ ∠(=∠(;∆- рівносторонній ⇒ ∠(;=

Кут між двома прямими. Куб

15.04.2023 13

A

C

B

D

𝐵1

𝐶1𝐷1 Задача 12

В одиничному кубі знайдіть кут між двома прямими і .

𝐴1

Відповідь:

Розв’язок:

∠(=∠D;= ∥ DB ⇒

Кут між двома прямими. Куб

14

A

C

B

D

𝐶1𝐷1

𝐵1

Задача 13В одиничному кубі знайдіть кут між двома прямими і .

𝐴1

Відповідь:

Розв’язок:∥ ⇒∠(=∠D;=, ∆- рівносторонній

Кут між двома прямими. Куб

15.04.2023 15

A

C

B

D

𝐵1

𝐶1𝐷1 Задача 14

В одиничному кубі знайдіть кут між двома прямими і .

𝐴1

Відповідь:

Розв’язок:

Розв’язок аналогічний до розв’язку задачі №5

презентації

Кут між двома прямими. Куб

16

A

C

B

D

𝐵1

𝐶1𝐷1 Задача 15

В одиничному кубі знайдіть кут між двома прямими і .

𝐴1

Відповідь:.

Розв’язок:AB∥DC ⇒∠(=∠D;

∠=(по Т. Про три перпендикуляри)

.

Кут між двома прямими. Куб

15.04.2023 17

A

C

B

D

𝐵1

𝐶1𝐷1

Задача 16В одиничному кубі знайдіть кут між двома прямими і .

𝐴1

Відповідь:

Розв’язок:

∥ BD, искомый угол найдём из равностороннего ∆BD

Кут між двома прямими. Куб

18

A

C

B

D

𝐵1

𝐶1𝐷1 Задача 17

В одиничному кубі знайдіть кут між двома прямими і .

𝐴1

Відповідь:

Розв’язок:

Розв’язок аналогічний до розв’язку задачі №5

презентації

Кут між двома прямими. Куб

Антонова Г.В. 19

A

C

B

D

𝐵1

𝐶1𝐷1 Задача 18

В одиничному кубі знайдіть кут між двома прямими і .

𝐴1

Відповідь: .

Розв’язок:∥AB ⇒ ∠(AB; D)= ∠(DC; D)

𝑡𝑔 𝐵1𝐷𝐶=𝐵1𝐶𝐷𝐶

=√2

Кут між двома прямими. Куб