Логика предикатов

Логика предикатов расчленяет элементарное высказывание на

субъект (буквально - подлежащее, хотя оно и может играть роль

дополнения) и предикат (буквально - сказуемое, хотя оно может играть и

роль определения).

Понятие предиката

Одноместным предикатом Р(х) называется произвольная функция переменного х, определенная на множестве М и принимающая значения из

множества {1,0}.Пример: Q(x) == «x2<-1, х R» — одноместный предикат, определенный на ∈

множестве действительных чисел М=R. Ясно, что Q(-1) = Л, Q(5) = Л, и вообще предикат Q(x) — тождественно ложен, т. е. Q(x) = Л для всех х R.∈

Множество М, на котором определен предикат P(х) , называется областью определения предиката

Область истинности предиката Р(х) - множество всех элементов, при которых предикат принимает значения "истина" (1). I p={x:x ∈ М P(x=1},

Примеры:Р(х) - «х - простое число» определен на множестве N, а множество истинности

для него есть множество всех простых чисел. Предикат Q{x} - « sin х = 0 » определен на множестве R, а его множество

истинности -Q.Предикат F(x) - «Диагонали параллелограмма перпендикулярны» определен на

множестве всех параллелограммов, а его множеством истинности является множество всех ромбов.

Предикат Р(х), определенный на множестве М, называется тождественно истинным ,если область определения предиката и область истинности совпадают

М = IР - ТИ предикат - IР = 0 - ТЛ предикат

Двухместным предикатом Р(х,у) называется функция двух переменных x и y определенных на множестве М=M1 x M2 принимающая значения из множества { 1 ;0}.1 Q(x, у) - "х=у" - предикат равенства, определенный на множестве RxR=R2; 2 F(x,y) - "х параллелен у", "прямая х параллельна прямой у", определенный на множестве прямых, лежащих на данной плоскости.3 S(x,y,z) - "x+y=z". Подстановка в него х=3 превращает его в двухместный предикат: S(y,z) - "3+y=z", а подстановка х=3, z=2 - одноместный предикат S(y) - "з+у=2".Подстановка же S(2,3,5) превращает его в истинное высказывание, a S(1,7,4)- в ложное. Аналогично определяется и n-местный предикат (функция n переменных). Пример n- местного предиката: R(xx, x2,...,xn): а1х1+...+апхп=о, который, как видим, представляет собой алгебраическое уравнение с n неизвестными.

КОНЪЮНКЦИЕЙ ДВУХ ПРЕДИКАТОВ P(X) И Q(X) НАЗЫВАЕТСЯ НОВЫЙ (СЛОЖНЫЙ) ПРЕДИКАТ P(X) ∧ Q(X) , КОТОРЫЙ ПРИНИМАЕТ ЗНАЧЕНИЕ “ИСТИНА” ПРИ ТЕХ И ТОЛЬКО ТЕХ ЗНАЧЕНИЯХ X ∈ M , ПРИ КОТОРЫХ КАЖДЫЙ ИЗ ПРЕДИКАТОВ ПРИНИМАЕТ ЗНАЧЕНИЕ “ИСТИНА”, И ПРИНИМАЕТ ЗНАЧЕНИЕ “ЛОЖЬ” ВО ВСЕХ ОСТАЛЬНЫХ СЛУЧАЯХ

Логические операции над предикатами

Областью истинности предиката P(x) ∧ Q(x) является общая часть области истинности предикатов P(x) и Q(x), т.е. пересечение –I p ∩ I q .

Так, например, для предикатов P(x): “x – четное число” и Q(x): “x кратно 3” конъюнкцией P(x) ∧ Q(x) является предикат “x – четное число и x кратно

трем”, т.е. предикат “x делится на 6”.

Дизъюнкцией двух предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат Р(х) ∨ Q(x), который принимает значение “ложь” при тех и только тех значениях x ∈ M , при которых каждый из предикатов принимает значение “ложь”, и принимает значение “истина” во всех остальных случаях

Областью истинности предиката Р(х) ∨ Q(x), является объединение области истинности предикатов P(x) и Q(x), т.е Ip I∪ q .

Пусть даны предикаты P(x) : «x – четное число» и Q(x) : «x кратно 3», определенные на множестве N. Множество истинности предиката Р(х) ∨ Q(x):

IP∨Q= Ip I∪ q ={6,12,…,6n,…}

Отрицанием предиката P(x) называется новый предикат , который принимает значение “истина” при всех значениях x

∈ M , при которых предикат P(x) принимает значение “ложь”, и принимает значение “ложь” при тех значениях x ∈ M , при которых предикат P(x) принимает значение “истина”.Очевидно, что , т.е. множество истинности предиката является дополнением к множеству IP.

PPII

)()( xQxP

Импликацией предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат , который является ложным при тех и только тех значениях x ∈ M , при которых одновременно P(x) принимает значение “истина”, а Q(x) – значение “ложь”, и принимает значение “истина” во всех остальных случаях.Поскольку при каждом фиксированном x ∈ M справедлива равносильность , то .

)()( xQxP

)()()()(18

xQxPxQxP QPQP III

Эквиваленцией предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат , который обращается в “истину” при всех тех и только тех x ∈ M , при которых P(x) и Q(x) обращаются оба в истинные или оба в ложные высказывания.Для его множества истинности имеем:

)()( xQxP

QPQPQP IIIII

Пусть даны предикаты А(x,y) и B(x,y), определенные на множестве M=M1 *M2⊂R*R. Найти множество истинности предиката A(x,y)↔B(x,y) и изобразить ее с помощью кругов Эйлера-Венна.Так как A(x,y)↔B(x,y) = (A(x,y)→B(x,y))& (B(x,y)→A(x,y)), то IA↔B=(IA→B)∩(IB→A)=((CIA I∪ B)∩(CIB I∪ A))=(IA∩IB)∪(CIA∩CIB). IA↔B изображена темно серым цветом

Записать предикат, полученный в результате логических операций над предикатами P(x), Q(x) и R(x), область истинности которогоI заштрихована

на рисунке

Решение: Так как здесь I=IP∩IQ∩IR, то искомый предикат имеет вид P(x)&Q(x)&R(x)

Изображение с помощью круга Эйлера-Венна

Кванторы

Всеобщности Существования Численные

~

1.Квантор всеобщности.

Пусть Р(х) – предикат, определенный на множестве М. Под выражением понимают высказывание, истинное,

когда Р(х) истинно для каждого элемента х из множества М, и ложное в противном случае. Это высказывание уже не

зависит от х. Соответствующее ему словесное выражение звучит так: “Для всякого х Р(х) истинно ”.

Символ называют квантором всеобщности (общности). Переменную х в предикате Р(х) называют свободной (ей

можно придавать различные значения из М), в высказывании же х называют связанной квантором

всеобщности.

)(xxP

)(xxP

2.Квантор существованияПусть Р(х) -предикат определенный на

множестве М. Под выражением хР(х) понимают высказывание, которое является

истинным, если существует элемент х∈М, для которого Р(х) истинно, и ложным - в противном случае. Это высказывание уже не зависит от х. Соответствующее ему словесное выражение звучит так: "Существует х, при котором Р(х) истинно." Символ называют квантором

существования.

3.Численные кванторыВ математике часто встречаются выражения вида "по меньшей мере n" ("хотя бы n"), "не более чем n", "n и только n" ("ровно n"), где n - натуральное

число.Эти выражения, называемые численными

кванторами, имеют чисто логический смысл; они могут быть заменены равнозначными

выражениями, не содержащими числительных и состоящими только из логических терминов и

знака = или означающего тождество (совпадение) объектов.

Даны предикаты P(x): и Q(x): , определенные на множестве R. Требуется установить, какие из следующих высказываний истинны и какие ложны:1) 2) 3) 4) Решение. Так как при всех х, то будут истинны высказывания . Так как уравнение имеет только два действительных корня и ,то предикат Q(x) принимает значение 1 только при х=3 и х=1 и 0 в остальных случаях. Но тогда высказывание ложно, а высказывание истинно

012 xx

0342 xx

)(xxP)(xxP)(xxQ)(xxQ

04

3)

2

1(

212 xxx

)(xxP )(xxP

0342 xx3

1x 1

2x

)(xxQ

)(xxQ

Запись математических предложении и Запись математических предложении и определений в виде формул логики определений в виде формул логики

предикатовпредикатов 1.Определение непрерывности функции в точке. Функция , определенная на множестве Е, непрерывна в точке х0 ∈ Е, если , где

2. Построение противоположный утверждений

)),,((00 xPEx

))()(0(),,( 00 xfxfxxxP

))((

))(())(())((3131

MxfExRM

MxfExRMMxfExRMMxfExRM

Прямая, обратная и противоположная теоремы Рассмотрим четыре теоремы:1 234 “Если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником ” (1) обратной является теорема “Если четырехугольник является прямоугольником, то его диагонали равны” (2). Для теоремы (1) противоположной является теорема “Если в четырехугольнике диагонали не равны, то четырехугольник не является прямоугольником ” (3), а для теоремы (2) противоположной является теорема “Если четырехугольник не является прямоугольником, то его диагонали не равны ” (4)

))()(( xQxPEx ))()(( xQxPEx

))()(( xPxQEx ))()(( xPxQEx

9.4 Необходимые и достаточные условия.Рассмотрим теорему

Как отмечалось, множество истинности предиката есть множество . Но тогда

множеством ложности этого предиката будет . Последнее множество будет пустым лишь в

случае, когда Итак, предикат является истинным для всех

том и в только в том случае, когда множество истинности предиката Р(х) содержится в множестве

истинности предиката Q(x). При этом говорят, что предикат Q(x) логически следует из предиката Р(х), и предикат Q(x) называют необходимым условием для

предиката Р(х), а предикат Р(х) – достаточным условием для Q(x).

))()(( xQxPEx

)()( xQxP QP

II

QPQPIIII

QP II )()( xQxP

Логика и множества (10ч)Тема Кол-во часов1Теоретико-множественные понятия 5§1 Множество, элемент множества 1 §2 Задание множеств перечислением элементов, характеристическим свойством 1 §3Стандартные обозначения числовых множеств. Пустое множество и его обозначение. Подмножество 1 §4 Объединение и перечисление множеств, разность множеств. Иллюстрация отношений между множествами с помощью диаграмм Эйлера-Венна 22Элементы логики 5 §5 Определение. Аксиомы и теоремы 1 §6 Доказательство от противного 1 §7 Теорема, обратная данной. Пример и контрпример. 1 §8 Понятие о равносильности, следовании, употребление логических связок если …, то …, в том и только в том случае, логические связки и, или 1 Контрольная работа 1 .

Содержание учебного материала Требования к уровню подготовки обучающихся

Множества. Элементы логикиМножество, элемент множества. Задание множеств перечислением элементов, характеристическим свойством. Стандартные обозначения числовых множеств. Пустое множество и его обозначение. Подмножество. Объединение и пересечение множеств, разность множеств. Иллюстрация отношений между множествами с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Определение. Аксиомы и теоремы. Доказательство. Доказательство от противного. Теорема, обратная данной. Пример и контрпример. Иллюстрация отношений между множествами с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Понятие о равносильности, следовании, употребление логических связок если ..., то ..., в том и только том случае. Логические связки и, или

. Приводить примеры конечных и бесконечных множеств. Находить объединение и пересечение конкретных множеств, разность множеств. Приводить примеры несложных классификаций. Использовать теоретико-множественную символику и язык при решении задач в ходе изучения различных разделов курса. Воспроизводить формулировки определений; конструировать несложные определения самостоятельно. Воспроизводить формулировки и доказательства изученных теорем, проводить несложные доказательства самостоятельно, ссылаться в ходе обоснований на определения, теоремы, аксиомы. Иллюстрировать математические понятия и утверждения примерами. Использовать примеры и контрпримеры в аргументации. Конструировать математические предложения с помощью связок если ..., то ..., в том и только том случае, логических связок и, или

Содержание рабочей программы