آموزش ساختمان داده ها - بخش دوم

ساختمان داده ها

faradars.org/fvds9402

:مدرسفرشید شیرافکن

دانشگاه تهران دانشجوی دکتری (بیو انفورماتیک: دکتری( )کامپیوتر نرم افزار: کارشناسی و کارشناسی ارشد )

ساختمان داده ها(توابع بازگشتی)

1

فرادرس

FaraDars.org



تعریف

2

:(recursive)بازگشتیتابعوودمی‌شاجرامحدوديمراحلتعدادبهتابعاين.بزندصداراتابعخودکهباشددستوريکحداقلحاويکهاستتابعی.می‌شودمتوقفآنازپس:بازگشتیتوابعازهايیمثالفاکتوريل-1nتا1اعدادمجموع-2توان-3ترکیب-4صحیحتقسیمقسمتخارج-5آکرمان-6هانوي-7فیبوناچی-8هاخرگوشولدوزاد-9

فرادرس

FaraDars.org



تابع فاکتوریل

3

:کندمیمحاسبهراnفاکتوریلزیرتابعf( n ){

if (n==1)

return 1;

else

return n * f(n-1);

}:‌4فراخوانی‌تابع‌با‌مقدار‌:‌مثال

f(4)=4*f(3)=4*6=24

f(3)=3*f(2)=3*2=6

f(2)=2*f(1)=2*1=2

1)1(

11)(

nnfn

nnfفرادرس

FaraDars.org



nتا 1مجموع اعداد

4

:را محاسبه می کندnتا 1تابع زیر مجموع اعداد

sum( n )

{

if (n==1)

return 1;

else

return n+ sum(n-1) ;

}

:‌‌است6برابر‌n=3ازاي‌به‌خروجی‌فراخوانی‌تابع‌

sum(3)=3+sum(2) =3+3=6

sum(2)=2+sum(1) =2+1=3

1)1(

11)(

nnsumn

nnsumفرادرس

FaraDars.org



تابع توان

5

(هستندمثبتوصحیحهاورودي):کندمیمحاسبهرامقدارزيرتابع

f (n , m){

if (m==1)

return n;

else

return n * f(n,m-1);

}

:فراخوانی‌می‌کنیم f(3,4)به‌طور‌نمونه‌تابع‌را‌به‌صورتf(3,4) = 3 * f(3,3) =3*3*3*3

f(3,3) = 3 * f(3,2) =3*3*3

f(3,2) = 3 * f(3,1) =3*3

1)1,(

1),(

mmnfn

mnmnf

mn

فرادرس

FaraDars.org



تابع ترکیب

6

:کندمیمحاسبهراnازmترکیبfتابعf ( n , m )

{

if ( (n==m) || (m==0) )

return 1;

else

return f(n-1 , m) + f(n-1 , m-1);

}

:‌f(4,2)فراخوانی‌f (4,2) = f (3,2) + f (3,1) =3+3=6

f (3,2) = f (2,2) + f (2,1) =1+2=3

f (3,1) = f (2,1) + f (2,0) =2+1=3

f (2,1) = f (1,1) + f (1,0) =1+1=2

فرادرس

FaraDars.org



divتابع (محاسبه خارج قسمت تقسیم صحیح)

7

:bبرaصحیحتقسیمقسمتخارجمحاسبه

:f(11,3)فراخوانی

f (11,3) = f (8,3) + 1 = 2+1=3

f (8,3) = f (5,3) + 1 = 1+1=2

f (5,3) = f (2,3) + 1 = 0+1=1

.کنیدسازيپیادهراmodتابع،ايندرتغییريبا:تمرين

babbaf

babaf

1),(

0),( فرادرس

FaraDars.org



تابع آکرمان

8

:استمعروفآکرماننامبهزيرتابع

:f(1,1)فراخوانیf ( 1 , 1 )

= f ( 0 , f ( 1 ,0 ) )

= f ( 0 , f ( 0 , 1 ) )

= f ( 0 , 2 )

=3

0,0))1,(,1(

0)1,1(

01

),(

babafaf

baf

ab

baf فرادرس

FaraDars.org



روابطی در تابع آکرمان

9

:استبرقرارزیرروابطآکرمانتابعدر

:نمونهطوربه 32),4(

32),3(

3)3(2),2(

3)3(2),1(

3

2

3

2...

n

n

nf

nf

nnf

nnf

173)37(2)7,2( f

102132)7,3( )37( f 32)1,4(222 f

93)37(2)7,1( f

فرادرس

FaraDars.org



برج هانوی

10

میلهازکاراينبرايکهاستCمیلهبهمهرهnانتقالهدف.داردقرارAمیلهرويبرمهرهnکهدارد،وجودA,B,CمیلهسهBشودمیگرفتهکمک.

.يابدمیکاهشباالبهپايینازAمیلهدرهامهرهاندازهازکهردداوجودمهرهيکانتقالامکانفقطبارهردر.بگیردقرارنبايدکوچکترمهرهرويبربزرگترمهرههرگزهامهرهانتقالدر

فرادرس.شودمیانتخابمیلهباالي

FaraDars.org



(ادامه)برج هانوی

11

:کنیممیحلزيرصورتبهرامسئله،مهرهيکازبیشوجودصورتدر

.BمیلهبهAمیلهازمهرهn-1انتقال(1

.CمیلهبهAمیلهازامnمهرهانتقال(2 فرادرس.CمیلهبهBمیلهازمهرهn-1انتقال(3

FaraDars.org



(ادامه)برج هانوی

12

BکمکبهCبهAازمهرهnانتقالالگوریتم

tower (n , A, B, C)

{

if (n ==1 )

A to C;

else {

tower ( n–1 , A, C, B);

A to C;

tower ( n–1 , B, A, C);

}

}

فرادرس

FaraDars.org



(مثال)برج هانوی

13

B:T(3,A,B,C)میلهکمکبهCمیلهبهAمیلهازمهره3انتقال

)7(),,,1(

)6(

)5(),,,1(

),,,2(

)4(

)3(),,,1(

)2(

)1(),,,1(

),,,2(

CACBAT

CB

ABACBT

CABT

CA

BCBACT

BA

CACBAT

BCAT فرادرس

FaraDars.org



تمرین

14

رويبرترکوچکمهره.دارندقرارAمیلهدرترتیببهمهرهnابتدادرکهبگیريدنظردرCوA،Bمیلهسهباراهانويبرجمسئله.داردقرارتربزرگمهره

ازراستيکراايمهرههیچتواننمیکهشرطاينباببريمBمیلهبهراهامهرههمهمسئله،اينمقرراترعايتباخواهیممی.بردAبهBازياBبهAمیله

.بنويسیدرامسئلهاينبرايبازگشتیرابطهباشد،مسئلهاينبرايهامهرهحرکتتعدادکمینهT(n)اگر فرادرس

FaraDars.org



تابع فیبوناچی

15

(…,0,1,1,2,3,5,8,13,21,34):فیبوناچیسریامnجملهمحاسبه

f(n){

if ((n==0) || (n==1) )

return n;

else

return f(n-1) + f(n-2);

}

:‌‌محاسبه‌جمله‌چهارم‌سري‌فیبوناچی‌

f(4)=f(3) + f(2) =2+1=3

f(3)=f(2) + f(1) =1+1=2

f(2)=f(1) + f(0) =1+0=1

2)2()1(

11

00

)(

nnfnf

n

n

nfفرادرس

FaraDars.org



زاد و ولد خرگوش ها

16

:استزیرصورتبههاخرگوشجمعیترشدمدلوداردوجودنوزادمادهونرخرگوشجفتیکجزیرهیکدر.رسندمیبلوغسنبهتولدازپسماهيکهاخرگوش(1).استماهيکباردايدوران(2)

.شودمیباردارحتمارسدمیبلوغسنبهمادهخرگوشکههنگامی(3).آوردمیدنیابهمادهخرگوشيکونرخرگوشيکبارداري،هردرمادهخرگوش(4)

.میرندنمیهرگزهاخرگوش(5)

دهد؟نشانامnماهشروعدرراهاخرگوشتعدادکهبنويسیدبازگشتیرابطه

فرادرس

FaraDars.org



(ادامه)زاد و ولد خرگوش ها

17

:پاسخ

مجموعبااستبرابرامnماهشروعدرهاخرگوشجفتتعداد

:زيرمقداردوقبلماههايخرگوشجفتتعداد-الفهايخرگوشجفتتعدادبااستبرابرکه)نوزادانجفتتعداد-ب

(قبلماهدوهايخرگوشکلبااستبرابرهمآنکهقبلماهبالغ:داريمبنابراين

1)2(,1)1( ff

)2()1()( nfnfnf

233,144,89,55,34,21,13,8,5,3,2,1,1

فرادرس

FaraDars.org



در زیر برنامه های بازگشتی پشتهکاربرد

(stack):پشتهتعريف

.می‌شودانجامآنبااليازاضافهوحذفکهاستايدادهساختمانپشته

.می‌شودبرداشتهآنازکهاستعنصرياولینآن،درشدهواردعنصرآخرينچون،می‌نامندFILOراپشته

.شدخواهندبررسیمفصلطوربهپشتهفصلدرآنکاربردهايوپشتهدرعملیات

18

فرادرس

FaraDars.org



تمرین

19

.کنیدمشخصراf(1,1)خروجی

f(x,0)=f(x+1,0) + f(x+1,1) , if x<3

f(x,1)=2f(x+1,0) + f(x+1,1) , if x<3

f(3,0)=1

f(3,1)=0

فرادرس

FaraDars.org



مثال

fفراخوانیازایبهزیر،برنامهزیرخروجی ؟چیست(1)

f (n){

if (n==3) exit( );

else{

n=n+1; f(n);

cout<<n;}

}

.‌‌بودخواهد‌32خروجی‌برابر‌بنابراين‌

20

3

2

)3()2()1( fff فرادرس

FaraDars.org



مثال

چه‌می‌باشد؟f(4)خروجی‌

f (n){

if (n >2)

{

f(n-1);

cout << 'a' ;

cout << 'b' ;

}

}.می‌باشدababخروجی‌:‌پاسخ

21

)2()3()4( fff

a

b

a

b

فرادرس

FaraDars.org



مثال

fفراخوانیازایبهزیر،برنامهزیرخروجی ؟چیست(1,4)

f (n,m){if (n==3)

exit( );else {

n=n+1;m=m+1; f(n,m);cout<<n;cout<<m;

}}

.‌بودخواهد‌3625خروجی‌برابر‌بنابراين‌

22

3

6

2

5

)6,3()5,2()4,1( fff فرادرس

FaraDars.org



تمرين

چیست؟ f(4)خروجی‌f (int x){

if (x) g(x–1);

cout<<x; }

g(int y){if (y)

{cout<<y+1;f(y–1);

}}

23

فرادرس

FaraDars.org



رابطه بازگشتی برای توابع بازگشتی

.بنويسیدفاکتوريلتابعدرهاضربتعدادبرايبازگشتیرابطهيک

fact (n){

if (n==0) return 1;

else return n*fact(n-1);

}

:حل

عملاضافهبه(n-1)فراخوانیدرشدهانجامهايضربتعدادبااستبرابرشودمیامجانکههايیضربتعدادمعینnيکبراي:داريمدهیم،نمايشT(n)باراnمعینمقداريکبرايشدهانجامهايضربتعداداگربنابراين.fact(n-1)درnضرب

:گیردهیچ‌ضربی‌صورت‌نمی‌،باشدn=0وقتی

24

)1(1)( nTnT 0)0( T

فرادرس

FaraDars.org



حرکت در صفحه شطرنجی

25

.باشدمیباالياراستسمتبهفقطمجازهايحرکت.برويمBنقطهبهAنقطهازخواهیممیزيرشطرنجیصفحهدر

.بنويسید(BبهAازممکنمسیرهايتعداد)T(n,m)برايبازگشتیرابطهيک

:بااستبرابربازگشتیرابطهاينجواب

)m,1n(T)1m,n(T)m,n(T

1),0( mT

1)0,( nT

m

nm

فرادرس

FaraDars.org



مثال

26

.کنیدمشخصراT(n)بازگشتیرابطهباشد،f(n)توسطشدهچاپهايستارهتعدادT(n)اگر

f (n){

if (n>=2)

{

f (n-1);

f (n-1);

f (n-2);

cout<<"*";

}

}

0)1(

0)0(

1)2()1()1()(

T

T

nTnTnTnTفرادرس

FaraDars.org



رابطه بازگشتی برای مسئله برج هانوی

27

:کندمی‌اگر‌به‌تابع‌برج‌هانوي‌نگاه‌کنیم،‌مشاهده‌می‌شود‌که‌تابع‌دو‌بار‌خودش‌را‌فراخوانی‌

:جواب‌اين‌رابطه‌برابر‌است‌با

1)1(2)( nTnT

12)( nnT

فرادرس

FaraDars.org



تمرین

28

.بنویسیدبازگشتیرابطهیکزیرهایمسئلهازیکهربرای

.ندارندمتوالیصفردوهیچکهnطولبه1و0هايدنبالهتعداد(1)

هايموزايیکباياندازهباشطرنجیصفحهيککردنفرشهايروشتعداد(2)

.باشدزوجآندرشدهظاهرصفرهايتعدادکهاستمعتبرزمانیnطولبا2و1و0ارقامشاملتايیسهکديکنیدفرض(3).کندمحاسبهراهستندمعتبرکهnطولبهکدهايتعدادبنويسیدکهبازگشتیرابطه

12 n2فرادرس

FaraDars.org



روش های حل رابطه های بازگشتی

29

:کردحلزیرهایروشبهتوانمیرابازگشتیهایرابطهحدس-1

جايگذاريباتکرار-2اصلیقضیه-3

بازگشتدرخت-4

ناهمگنوهمگنبازگشتیهايرابطهحلهايروش-5

.شودمیبررسیالگوریتمطراحیوتحلیلدرسدرهاروشاین

فرادرس

FaraDars.org



30

این اسالید ها بر مبنای نکات مطرح شده در فرادرس« مجموعه فرادرس های ساختمان داده ها»

.تهیه شده است

.نماییدلینک زیر مراجعه برای کسب اطالعات بیشتر در مورد این آموزش به


فرادرس

FaraDars.org


Education

آموزش ساختمان داده ها - بخش دوم