правила перевода чисел в позиционных системах счисления

Долинин А.А., учитель информатики и ИКТ МБОУ «Уренская СОШ № 1»

Правила перевода чисел в позиционных системах счисления.

Позиционныесистемы счисления

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

В позиционных системах счисления количественный эквивалент (значение) цифры зависит от её места (позиции) в записи числа.

Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. Основанием позиционной системы счисления называется целое число, которое равно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. Основание показывает, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении её в младший или старший разряд.

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ОСНОВАНИЕМ

Возможно использование множества позиционных систем счисления, основание которых равно или больше 2.

В системах счисления с основанием q (q-ичная система счисления) числа в развернутой форме записываются в виде суммы ряда степеней основания q с

коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0, 1, …, q-1.

или

1n

mi iqiaqA

-m-m

--

n-n-

n-n-q ·q a ·q a ·q a ·q a ·q a A 1

10

02

21

1

Aq – число в q-ичной системе счисления,q – основание системы счисления,Ai – цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления,n – число целых разрядов числа,m – число дробных разрядов числа.

Коэффициенты ai - цифры числа, записанного в q-ичной системе счисления.

-m-n-n- aaaaa aA 10121 ,Свернутая форма записи числа:

Свернутой формой записи чисел мы пользуемся в повседневной жизни, её называют естественной или цифровой.

Для записи дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания.

ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Основание: q = 10.Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

-m-m

--

n-n-

n-n- · a · a · a · a · a A 1010101010 1

10

02

21

110

-m-n-n- aaaaa a A 1012110 ,Свернутая форма записи числа:

Развернутая форма записи числа:

Коэффициенты ai - цифры десятичного числа.

Например, число 123,4510 в развернутой форме будет записываться следующим образом:

2101210 10510410310210145,123 -- · · · · ·

Умножение или деление десятичного числа на 10 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд вправо или влево. Например: 123,4510 · 10 = 1234,510;

123,4510 : 10 = 12,34510.

ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Основание: q = 2.Алфавит: 0, 1.

-m-m

--

n-n-

n-n- · a · a · a · a · a A 22222 1

10

02

21

12



Коэффициенты ai - цифры двоичного числа (0 или 1).

Например, число 101,012 в развернутой форме будет записываться следующим образом:

210122 212021202101,101 -- · · · · ·

Умножение или деление двоичного числа на 2 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд вправо или влево. Например:

101,012 · 2 = 1010,12;101,012 : 2 = 10,1012.

ВОСЬМЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Основание: q = 8.Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

-m-m

--

n-n-

n-n- · a · a · a · a · a A 88888 1

10

02

21

18



Коэффициенты ai - цифры восьмеричного числа.

Например, число 123,678 в развернутой форме будет записываться следующим образом: 21012

8 878683828167,123 -- · · · · ·

Умножение или деление восьмеричного числа на 8 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд вправо или влево. Например:

123,678 · 8 = 1236,78;123,678 : 8 = 12,3678.

ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Основание: q = 16.Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

-m-m

--

n-n-

n-n- · a · a · a · a · a A 1616161616 1

10

02

21

116



Коэффициенты ai - цифры шестнадцатеричного числа.

Например, число 2BC,DE16 в развернутой форме будет записываться следующим образом:

2101216 16161616162,2 -- E· D· C· B· · DEBC

Умножение или деление шестнадцатеричного числа на 16 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд вправо или влево. Например:

2BC,DE16 · 16 = 2BCD,E16;2BC,DE16 : 16 = 2B,CDE16.

Перевод целых чисел из десятичной системы в двоичную,

восьмеричную и шестнадцатеричную

ВЫВОД АЛГОРИТМА ПЕРЕВОДА

Разложим целое десятичное число Ацл в ряд по основанию 2. Получим запись в развернутой форме двоичного целого числа, так как в этой записи отсутствуют отрицательные степени основания, т.е. числа 2:

00

11

22

11 2222 · a · a · a · a A n-

n-n-

n-öë

011 aaaA n-öë

На первом шаге разделим число Ацл на основание двоичной системы, т.е. на 2. Частное от деления будет равно: ,

а остаток равен . 1

32

21 22 a · a ·a n-

n-n-

n- 0a

На втором шаге целое частное опять разделим на 2, остаток от деления будет равен .1a

После n-го шага получим последовательность остатков: ,110 ,...,, n-aaaкоторая совпадает с обратной последовательностью цифр целого двоичного числа, записанного в свернутой форме:

Чтобы получить искомое двоичное число, достаточно записать остатки в обратной последовательности.

Аналогичные рассуждения могут быть проведены и для перевода целых десятичных чисел в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

АЛГОРИТМ ПЕРЕВОДА ЦЕЛЫХ ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ В ДВОИЧНУЮ, ВОСЬМЕРИЧНУЮ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Получить искомое двоичное, восьмеричное или шестнадцатеричное число, для чего записать полученные остатки в обратной последовательности.

Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа и получаемых целых частных на основание системы (на 2, 8 или 16) до тех пор, пока не получим частное равное нулю.

КОМПЬЮТЕРНЫЙ ПРАКТИКУМ

Перевод целого десятичного числа в целые двоичное, восьмеричное и шестнадцатеричное числа

Десятичное целое / целое частное

Делитель (основание системы)

Остаток Цифры двоичного числа

19 2 1 а0

9 2 1 а1

4 2 0 а2

2 2 0 а3

1 2 1 а4

0




19 8 3 а0

2 8 2 а1

0




19 16 3 а0

1 16 1 а1

0

А2=а4а3а2а1а0=100112

А8=а1а0=238

А16=а1а0=1316

Перевод дробей из десятичной системы в

двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную

ВЫВОД АЛГОРИТМА ПЕРЕВОДА Разложим десятичную дробь Адд в ряд по основанию 2.Получим запись в развернутой форме двоичной дроби, так как в этой записи

отсутствуют положительные степени основания, т.е. числа 2: · a · a A -

--

-ÄÄ 22

11 22

21àaA -ÄÄ

На первом шаге умножим число АДД на основание двоичной системы, т.е. на 2. Произведение будет равно:Целая часть равна - значению первого дробного разряда двоичного числа.

· a a --- 121 2

1aНа втором шаге оставшуюся дробную часть опять умножим на 2.Получим целую часть, равную - значению второго дробного разряда двоичного числа.

2a

Аналогичные рассуждения могут быть проведены и для перевода дробных десятичных чисел в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Описанный процесс необходимо продолжать до тех пор, пока в результате умножения не получим нулевую дробную часть или не будет достигнута

требуемая точность вычислений.

Последовательность полученных чисел совпадает с последовательностью цифр дробного двоичного числа, записанного в свернутой форме:

АЛГОРИТМ ПЕРЕВОДА дробных ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ В ДВОИЧНУЮ, ВОСЬМЕРИЧНУЮ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Получить искомую двоичную, восьмеричную или шестнадцатеричную дробь, записав полученные целые части

произведения в прямой последовательности.

Последовательно выполнять умножение исходной десятичной дроби и получаемых дробей на основание системы (на 2, 8 или 16) до тех пор, пока не получим нулевую дробную часть

или не будет достигнута требуемая точность вычислений.

ПРАКТИКУМПеревод десятичной дроби в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную дроби

Десятичная дробь / др. часть произв.

Множитель (основание системы)

Целая часть произв.

Цифры двоичного числа

0,65625 2 1 а-1

0,3125 2 0 а-2

0,625 2 1 а-3

0,25 2 0 а-4

0,5 2 1 а-5

0





0,65625 8 5 а-1

0,25 8 2 а-2

0





0,65625 16 10 (А) а-1

0,5 16 8 а-2

0

А2=0,а-1а-2а-3а-4а-5=0,101012

А8=0,а-1а-2=0,528

А16=0,а-1а-2=0,А816

Перевод чисел из двоичной системы в

восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ

Для записи двоичного числа используются две цифры.Определим количество информации, которое содержит один двоичный разряд:

N=2I; 2 = 2I, так как 2 = 21, то I = 1 бит.Каждый разряд двоичного числа содержит 1 бит.

Для записи восьмеричного числа используются восемь цифр.8 = 2I, так как 8 = 23, то I = 3 бита.

Каждый разряд восьмеричного числа содержит 3 бита.

Для перевода двоичного числа в восьмеричное двоичное число нужно разбить на группы по три цифры (триады).

Двоичные триады 000 001 010 011 100 101 110 111Восьмеричные цифры 0 1 2 3 4 5 6 7

ПЕРЕВОД ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ

Для перевода двоичного целого числа в восьмеричное двоичное число нужно разбить на группы по три цифры, справа налево; если в последней группе

окажется меньше чем три разряда, то необходимо её дополнить слева нулями. Затем надо преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру.


1010012 101 0012 = 518

110012 011 0012 = 318

ПЕРЕВОД ДРОБЕЙ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ

Для перевода дробного двоичного числа в восьмеричное нужно разбить двоичное число на триады, слева направо; если в последней группе окажется

меньше чем три разряда, то необходимо дополнить её справа нулями. Затем надо триады заменить на восьмеричные цифры.


0,1010012 0,101 0012 = 0,518

0,110012 0,110 0102 = 0,628

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ

Для записи шестнадцатеричного числа используются шестнадцать цифр.16 = 2I, так как 16 = 24, то I = 4 бита.

Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита.

Для перевода двоичного числа в шестнадцатеричное двоичное число нужно разбить на группы по четыре цифры (тетрады).

Двоичные тетрады 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111Шестнадцатеричные цифры 0 1 2 3 4 5 6 7Двоичные тетрады 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111Шестнадцатеричные цифры

8 9 A B C D E F

ПЕРЕВОД ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ

Для перевода двоичного целого числа в шестнадцатеричное двоичное число нужно разбить на группы по четыре цифры (тетрады), справа налево; если в последней группе окажется меньше чем четыре разряда, то необходимо её

дополнить слева нулями. Затем надо преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру.

101010012 1010 10012 = А916

110012 0001 10012 = 1916


8 9 A B C D E F

ПЕРЕВОД ДРОБЕЙ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ

Для перевода дробного двоичного числа в шестнадцатеричное двоичное число нужно разбить на тетрады, слева направо; если в последней группе

окажется меньше чем четыре разряда, то необходимо дополнить её справа нулями. Затем надо тетрады заменить на шестнадцатеричные цифры.

0,101010012 0,1010 10012 = 0,А916

0,110012 0,1100 10002 = 0,С816


8 9 A B C D E F

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ВОСЬМЕРИЧНОЙ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ СИСТЕМ В ДВОИЧНУЮ

Для перевода из восьмеричной системы в двоичную каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных разрядов (триаду),

а при преобразовании шестнадцатеричного числа – в группу из четырех разрядов (тетраду).


АВ,4716 = 10101011,010001112


8 9 A B C D E F

0,478 = 0,1001112

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Двоичная Восьмеричная Шестнадцатеричная

111101,1233,5

59,В

Заполнить таблицу, в каждой строке которой одно и то же произвольное число должно быть записано в различных системах счисления:

Education

правила перевода чисел в позиционных системах счисления