ـتاذاألس أعداد

طبعة جديدة

ومنقحة

للعام الدراسي

2017

لجميع أمثلة وتمارين الفصل السادسمفصل شرح .

للفصل السادسحلول التمارين العامة وجميع األسئلة الوزارية .

أسئلة أضافية محلولة.

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل السادس/ الهندسة الفضائــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد

380

الفصل السادس

/SPACE GEOMETRY الهندسة الفضائة

:مراجعة

لكل مستقمن متقاطعن وجد مستو وحد حتوهما. -1

حتوهما.لكل مستقمن متوازن وجد مستو وحد -2

)إذا علم مستقم ونقطة ال تنتم إله فوجد مستقم وحد مر من تلك النقطة ووازي عبارة التوازي -3

.المستقم المعلوم(

ف المستوى الواحد المستقم العمودي على أحد مستقمن متوازن كون عمودا على اآلخر. -4

ودا على اآلخر.المستقم العمودي على أحد مستون متوازن كون عم -5

) تنتم ف المستوى الواحد مكن رسم مستقم واحد فقط عمودي على مستقم معلوم من نقطة معلومة -6

.للمستقم أو ال تنتم إله(

إذا توازى مستقمان فالمستوي الذي حوي احدهما ونقطة من اآلخر فأنه حتوهما. -7

عمودا على اآلخر.المستوى العمودي على أحد مستقمن متوازن كون -8

ف المستوى الواحد المستقمان العمودان على مستقم واحد متوازان. -9

إذا توازى مستقمان فالمستوي الذي حوي احدهما وازي اآلخر. - 10

المستقم العمودي على مستقمن متقاطعن من نقطة تقاطعهما كون عمودا على مستوهما. - 11

مستو كون عمودا على جمع المستقمات المرسومة من أثره ضمن المستوي.المستقم العمودي على - 12

إذا كان كل من مستقمن متقاطعن وازان مستوي معلوم فأن مستوهما وازي المستوي المعلوم. - 13

إذا وازى ضلعا زاوة ضلع زاوة أخرى تساوت الزاوتان وتوازى مستوهما. - 14

ن منتصف ضلع مثلث توازي الضلع الثالث وتساوي نصفه بالقاس.قطعة المستقم الواصلة ب - 15

العمود النازل من رأس المثلث المتساوي الساقن على القاعدة نصفها. - 16

فالمستقم المرسوم من أة نقطة من نقااط المساتوي موازاا للمساتقم المعلاوم مستوي إذا وازى مستقم - 17

كون محتوى ف ذلك المستوي.

مان العمودان على مستو واحد متوازان.المستق - 18

المستقمان الموازان لمستقم ثالث ف الفراغ متوازان. - 19

كون الشكل الرباع متوازي أضالع إذا توازى كل ضلعن متقابلن فه. - 20

كون الشكل الرباع متوازي أضالع إذا توازى وتساوى ضلعن متقابلن فه. - 21

ضالع أحدى زوااه قائمة.المستطل هو متوازي أ - 22

مكن رسم مستقم وحد عمودي على مستو معلوم من نقطة معلومة. - 23

تطابق المثلثان بضلعن وزاوة محددة بهما. - 24

العمود النازل من نقطة معلومة على مستو هو أقصر مسافة بن النقطة المعلومة والمستوي. - 25

مبرهنة األعمدة الثالثة ونتجتها. - 26

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل السادس/ الهندسة الفضائــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد

381

الزوجة والمستوات المتعامدة الزاوة

مشتركة. (Edge)اتحاد نصف مستون لهما حافة الزاوة الزوجة:

.)حرف الزاوة الزوجة(وتسمى الحافة المشتركة بـ

كما ف الشكل:)وجه الزاوة الزوجة( وسمى كل من نصف المستون بـ

هو حرف الزاوة الزوجة حث

(X) و(Y) هما وجهاها

– – وعبر عن الزاوة الزوجة بالتعبر:

وقد عبر عنها بحرف الزاوة الزوجة أن لم كن مشتركا مع زاوة أخرى.

مثال:

الزاوة الزوجة:

– –

– –

– –

مشترك ف أكثر من زاوة زوجة. ف هذا المثال ألن الحرف وال مكن أن تكتب الزاوة الزوجة بشكل

عندما تكون أربع نقاط لست ف مستو واحد :مالحظة

أو A – – Dنكتب الزاوة الزوجة

و (DBC)الزاوة الزوجة بن المستون

(ABC:كما ف الشكل )

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل السادس/ الهندسة الفضائــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد

382

وتقاس الزاوة الزوجة كاآلت:

على الحرف ف والعمود ف العمود Dونرسم من على الحافة المشتركة Dنأخذ نقطة

الزاوة العائدة وتسمى الزاوة فكون قاس الزاوة الزوجة بن المستون هو قاس الزاوة

للزاوة الزوجة, كما ف الشكل:

– – بعبارة أخرى لدنا الزاوة الزوجة

ولدنا

– – أو ه الزاوة العائدة للزاوة الزوجة ∢

ه الزاوة الت ضلعاها عمودان على حرف الزاوة الزوجة من :الزاوة المستوة العائدة للزاوة الزوجة

نقطة تنتم إله وكل منهما ف أحد وجه الزاوة الزوجة.

ه اتحاد شعاعن عمودن على حرف الزاوة الزوجة من نقطة تنتم إله وكل منهما ف أحد وجه أو:

الزاوة الزوجة.

جة مكن استنتاج اآلت:ومن تعرف الزاوتن العائدة والزو

قاس زاوة عائدة لزاوة زوجة ثابت. -1

قاس الزاوة الزوجة ساوي قاس الزاوة العائدة لها وبالعكس. -2

إذا كانت الزاوة الزوجة قائمة فأن المستون متعامدان وبالعكس.

°𝟗𝟎 – – أي : أذا كان قاس

فأن

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل السادس/ الهندسة الفضائــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد

383

: (3/ د5201)وزاري و (2/ د2013( و )وزاري 1/ د2011(: )وزاري 7مبرهنة )

العمودي على مستقم التقاطع كون عمودا على المستوي اآلخر.وإذا تعامد مستوان فالمستقم المرسوم ف احدهما

أي أنه:

إذا كان:

في

فأن

D , ف نقطة المعطات:

المطلوب إثباته:

البرهان:

ف المستوى الواحد مكن رسم مستقم وحد عمودي على مستقم فه من نقطة معلومة() نرسم ف

)معطى(

)تعرف الزاوة العائدة( – – عائدة للزاوة الزوجة ∢

)قاس الزاوة الزوجة ساوي قاس الزاوة العائدة لها وبالعكس( 𝟗𝟎 ∢

فأن المستقمن متعامدان وبالعكس( 𝟗𝟎)إذا كان قاس الزاوة بن مستقمن

)المستقم العمودي على مستقمن متقاطعن من نقطة تقاطعهما كون عمودا على مستوهما(

)و. هـ. م(

:(2/ د5201)وزاري و (3/ د2013(: )وزاري 7نتجة مبرهنة )

على المستوى اآلخر كون محتوى فه.إذا تعامد مستوان فالمستقم المرسوم من نقطة ف احدهما عمودا

المعطات:

المطلوب إثباته:

لكنالبرهان:

ان لم كن

وعمودي على نرسم

نقطة معلومة()ف المستوى الواحد وجد مستقم وحد عمودي على مستقم فه من

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل السادس/ الهندسة الفضائــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد

384

)معطى(

( ) إذا تعامد مستوان فالمستقم المرسوم ف احدهما العمودي على مستقم التقاطع كون 7)مبرهنة

عمودا على المستوى اآلخر(

)معطى( ولكن

)وجد مستقم وحد عمودي على مستو معلوم من

تنتم إله( نقطة تنتم أو ال

)و. هـ. م(

: (1/ د6201)وزاري و (1/ د2011(: )وزاري 8مبرهنة )

كل مستو مار بمستقم عمودي على مستو آخر كون عمودا على ذلك المستوي

عمودي على اآلخر.تعامد المستوان إذا احتوى أحدهما على مستقم أو :

, المعطات:

: المطلوب إثباته

)تقاطع المستوان بخط مستقم( لكن البرهان:

)مستقم التقاطع حتوي على النقاط المشتركة(

)ف المستوى الواحد وجد مستقم وحد عمودي على مستقم فه من نقطة معلومة( نرسم ف

) معطى(

على جمع المستقمات المحتوى ف )المستقم العمودي على مستوى كون عمودا

المستوي والمارة من أثره(

)معطى(

)تعرف الزاوة العائدة( عائدة للزاوة الزوجة ∢

°𝟗𝟎 ∢ ألن

– – قاس الزاوة الزوجة قاس الزاوة العائدة اوي ــــة ســـــ)قاس الزاوة الزوج 𝟗𝟎°

لها وبالعكس(

( فأن المستون متعامدان وبالعكس ° 90إذا كان قاس الزاوة الزوجة )

)و. هـ. م(

⇒ 𝑦 𝑥

𝑨𝑩 𝒙 : أي أنه

𝑨𝑩 𝒚

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل السادس/ الهندسة الفضائــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد

385

(:1/ د2014(: )وزاري 9مبرهنة )

وحد عموديمستو معلوم وجد من مستقم غر عمودي على مستو

. على المستوى المعلوم

غر عمودي على : أي أنه

وعمودي على فوجد مستوي وحد حتوي

غر عمودي على المعطات:

وعمودي على إجاد مستو وحد حتوي المطلوب إثباته:

البرهان:

إله()وجد مستقم وحد عمودي على مستو معلوم من نقطة ال تنتم نرسم من نقطة

متقاطعان

)لكل مستقمن متقاطعن وجد مستو وحد حوهما(حوهما وجد مستو وحد مثل

)تعامد المستوان إذا احتوى أحدهما على مستقم عمودي على اآلخر( (8رهنة ب)م

ولبرهنة الوحدانة:

وعمودي على ( مستوي آخر حوي Zلكن )

)بالبرهان(

(7)نتجة مبرهنة

)لكل مستقمن متقاطعن وجد مستو وحد حوهما( )و. هـ. م(

(:3/ د2012(: )وزاري 9نتجة مبرهنة )

على مستو ثالث فأن مستقم على المستوى إذا كان كل من مستون متقاطعن عمودا تقاطعهما كون عمودا

الثالث.

المعطات:

المطلوب إثباته:

عمودا على إن لم كن البرهان:

(9)مبرهنة وعمودي على لما وجد أكثر من مستوي حوي

)و. هـ. م(

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل السادس/ الهندسة الفضائــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد

386

(:1مثال )

ABC ∆ف

∢ 𝟑𝟎°

𝟏𝟎 𝟓

– جد قاس الزاوة الزوجة –

المعطات:

∢ 𝟑𝟎° 𝟏𝟎 𝟓

– إجاد قاس الزاوة الزوجة المطلوب إثباته: –

البرهان:

نرسم ف المستوى )ف المستوى الواحد وجد مستقم وحد عمودي على آخر ف نقطة من نقطة معلومة(

)معطى(

)مبرهنة األعمدة الثالثة(

عائدة للزاوة الزوجة ∢ (ة)تعرف الزاوة العائد

على جمع المستقمات المحتواة ف المستوى ـــ)المس تقم العمودي على مستوي كون عمودا والمارة من أثره(

∆ DBE قائم الزاوة فB

: Eالقائم الزاوة ف BEA ∆ف

𝟑𝟎

⇒

𝟏

𝟐

𝟏𝟎 ⇒ 𝟓

:Bالقائم الزاوة ف DBE ∆ف

∢ 𝟓

𝟓 𝟏

°𝟒𝟓 ∢ قاس

– قاس الزاوة الزوجة – قاس الزاوة الزوجة هو قاس الزاوة العائدة لها وبالعكس( ) 𝟒𝟓°

)و. هـ. م(

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل السادس/ الهندسة الفضائــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد

387

(:2مثال )

مثلثا ولكن ABCلكن

برهن أن:

المعطات:

المطلوب إثباته:

البرهان:

)معطى(

على مستقم عمودي على اآلخر( ( )تعامد المستوان إذا احتوى احدهما8)مبرهنة

)معطى(

( )إذا تعامد مستوان فالمستقم المرسوم ف احدهما والعمودي على مستقم التقاطع 7)مبرهنة

كون عمودا على اآلخر(

)معطى(

)نتجة مبرهنة االعمدة الثالثة(

)و. هـ. م(

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل السادس/ الهندسة الفضائــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد

388

(2/ د 2012(: )وزاري 3مثال )

, مستوان متعامدان

على الترتب C, Dف وقطعان عمودان على

برهن أن:

المعطات:

على الترتب. C, Dف وقطعان عمودن على ( , إن

المطلوب إثباته:

البرهان:

)لكل مستقمن متقاطعن وجد مستوا وحدا حوهما( مستوي المستقمن المتقاطعن لكن

)معطى(

العمودي على مستقمن متقاطعن من نقطة تقاطعهما كون عمودا على مستوهما()المستقم

)معطى(

)تعامد المستوان إذا احتوى احدهما على مستقم عمودي على اآلخر(

)معطى(

)ألنه محتوى ف كل منهما( ولما كان

أن مستقم تقاطعهما كون عمودا )إذا كان كل من مستون متقاطعن عمودا على مستو ثالث ف

على المستوي الثالث(

)و. هـ. م(

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل السادس/ الهندسة الفضائــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد

389

تمارين

(1/ د 2013)وزاري برهن أن مستوي الزاوة العائدة لزاوة زوجة كون عمودا على حرفها. / 1س

– – الزاوة الزوجة المعطات:

زاوة مستوة عائدة لها. CDEوالزاوة

المطلوب إثباته:

البرهان:

)معطى( – – زاوة عائدة للزاوة الزوجة CDEالزاوة

)من تعرف الزاوة العائدة لزاوة زوجة(

عمودن على حرف الزاوة الزوجة من نقطة تنتم شعاعن)ه الزاوة الناتجة من اتحاد

وجه الزاوة الزوجة( دمنهما ف اح إله وكل

المستقم العمودي على مستقمن متقاطعن من نقطة تقاطعهما كون عمودا على مستوهما()

)و. هـ. م(

(3د2014/وزاري )

إذا وازى مستقم مستوا وكان عمودا على مستو آخر فأن المستون متعامدان. هبرهن أن / 2س

المعطات:

المطلوب إثباته:

البرهان:

فأن قطع أن لم كن

)معطى(

احد مستون متوازن كون عمودا على اآلخر()المستقم العمودي على

يقطع ولكن هذا خالف المعطات

)تقاطع المستوان بخط مستقم( ولكن

)عبارة التوازي: وجد مستقم وحد وازي مستقم معلوم من نقطة ال , ولتكن لتكن

تنتم إله(

)معطى(

للمستقم فالمستقم المرسوم من أة نقطة من نقط المستوي موازا )إذا وازى مستقم مستوا المعلوم كون محتوى فه(

)المستوي العمود على احد مستقمن متوازن كون عمودا على اآلخر( )كل مستو مار بمستقم أو)تعامد المستوان إذا احتوى احدهما على مستقم عمودي على اآلخر(

عمودي على مستو كون عمودي على المستو اآلخر( )و. هـ. م(

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل السادس/ الهندسة الفضائــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد

390

( 2د/ 2014)وزاري برهن أن المستوي العمودي على احد مستون متوازن كون عمودا على اآلخر / 3س .أضا

المعطات: المطلوب إثباته:

البرهان:

لكن

ولتكن

بحث نرسم معلوم من نقطة ال تنتم إله()مكن رسم مستقم وحد عمودي على مستقم

(ى )معط

تقم التقاطع كون ــــوم ف احدهما والعمودي على مســـ)إذا تعامد مستوان فالمستقم المرس عمودا على اآلخر(

)معطى( ولكن

كون عمودا على اآلخر()المستقم العمودي على احد مستون متوازن )تعامد المستوان إذا احتوى احدهما على مستقم عمودي على اآلخر(

)و. هـ. م(

و أربع نقاط لست ف مستو واحد بحث A, B, C, D / 4س ∢فإذا كانت

– عائدة للزاوة الزوجة – . برهن

أربع نقاط مختلفة لست ف مستو واحد A, B, C, Dالمعطات:

– عائدة للزاوة الزوجة ∢ –

المطلوب إثباته:

البرهان:

– عائدة للزاوة الزوجة ∢ – )معطى(

)الزاوة العائدة ه الزاوة الناتجة من اتحاد شعاعن عمودن على حرف الزاوة الزوجة

من نقطة تنتم إله وكل منهما ف أحد وجه الزاوة الزوجة(

)معطى( ABCف المثلث

على القاعدة نصفها()العمود النازل من رأس مثلث متساوي الساقن

فهما: DECو DEBالمثلثان

)قوائم( 𝟐 ∢ 𝟏 ∢

)ضلع مشترك(

CE = BE )بالبرهان(

تطابق المثلثان بضلعن وزاوة محددة بهما.

ومن التطابق نتج:

)و. هـ. م(

تقاطع المستوان بخط مستقم

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل السادس/ الهندسة الفضائــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد

391

(1د / 2015)وزاري

وازى كل من مستقمن متقاطعن مستوا معلوم وكانا عمودن على مستون متقاطعن إذاأنه برهن / 5س

.فأن مستقم تقاطع المستون المتقاطعن كون عمودا على المستوى المعلوم

المعطات:

يوازيان

المطلوب إثباته:

البرهان:

)لكل مستقمن متقاطعن وجد مستوي وحد حتوهما( مستوي المستقمن المتقاطعن لكن

)معطى(

معلوما فإن مستوهما وازي المستوي المعلوم()إذا كان كل من مستقمن متقاطعن وازان مستوا

ولكن

)تعامد المستوان إذا احتوى أحدهما على مستقم عمودي على اآلخر(

)معطى(

مستو ثالث فأن مستقم تقاطعهما كون عمودا مستون متقاطعن عمودا على من ) إذا كان كل

على المستوي الثالث(

)المستقم العمودي على احد مستون متوازن كون عمودا على اآلخر(

)و. هـ. م(

)معطى(

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل السادس/ الهندسة الفضائــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد

392

دائرة قطرها / 6س عمودي نقطة تنتم للدائرة برهن أن D, توهاــــعمودي على مس

على

المعطات:

قطر ف دائرة و مستوي الدائرة.

D .نقطة تنتم للدائرة

المطلوب إثباته:

البرهان:

زاوة محطة ∢

)الزاوة المحطة المقابلة لنصف دائرة قائمة( 𝟗𝟎° ∢

)إذا كانت الزاوة بن مستقمن قائمة فأن المستقمن متعامدن(

)معطى(عمودي على مستوي الدائرة

)مبرهنة االعمدة الثالثة(

اصبح لدنا: )بالبرهان(

من نقطة تقاطعهما كون عمودا على مستوهما()المستقم العمودي على مستقمن متقاطعن

ولكن

)تعامد المستوان إذا احتوى أحدهما على مستقم عمودي على اآلخر(

)و. هـ. م(

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل السادس/ الهندسة الفضائــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد

393

االسقاط العمودي على مستو

المرسوم من تلك النقطة على المستوي.هو أثر العمود مسقط نقطة على مستو: -1

مجموعة من نقاط ف الفراغ فأن مسقطهما هو مجموعة كل اثار Lلتكن مسقط مجموعة نقط على مستوي: -2

على المستوي. هاالعمدة المرسومة من نقاط

المحددة بأثري العمودن المرسومن هو قطعة المستقممسقط قطعة مستقم غر عمودة على مستو معلوم: -3

من نهات القطعة على المستوي المعلوم.

لكن غر عمودي على

ولكن هو على Aمسقط

هو على Bمسقط

مسقط هو على

إذا كان مالحظة: فأن

: هو المستقم غر العمودي على المستوي وقاطع له.المستقم المائل على مستو -4

ه الزاوة المحددة بالمائل ومسقطه على المستوي.زاوة المل: -5

ف مائال على لكن

ولكن ف

حث على مسقط

مسقط نفسها حث كذلك

مسقط على

𝛉 𝟗𝟎° 𝟎أي أن

𝜽 𝟎 𝟗𝟎°

جب تمام زاوة المل. طول المائل طول مسقط قطعة مستقم على مستو = طول المسقط: -6

فعندما تكون ومسقطه 𝜽وزاوة ملة مائال على 𝛉 فأن

مستو معلوم هو قاس الزاوة المستوة العائدة للزاوة على مستو زاوة مل : مسقط مستوي مائل على -7

الزوجة بنهما.

جب تمام زاوة المل مساحة المنطقة المائلة مساحة مسقط منطقة مائلة على مستو معلوم =

𝛉 قاس زاوة المل 𝜽مساحة المسقط و مساحة المنطقة المائلة و

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل السادس/ الهندسة الفضائــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد

394

(:2/ د 2013(: )وزاري 4مثال )

إذا وازى أحد ضلع زاوة قائمة مستوا معلوما فأن مسقط ضلعهما على المستوي متعامدان.

B قائمة ف ∢ المعطات:

هو مسقط على

هو مسقط على

'A'B' ┴ B'C المطلوب إثباته:

البرهان:

مسقط

مسقط

)مسقط قطعة مستقم على مستو معلوم هو القطعة المحددة بأثري العمودن

طرف القطعة المستقمة(المرسومن على المستوي من

)المستقمان العمودان على مستو واحد متوازان(

نعن بالمستقمن المتوازن

نعن بالمستقمن المتوازن

لكن )معطى(

)تقاطع المستوان بخط مستقم(

تقمات الناتجة من تقاطع هذا ــــ)إذا وازى مستقم مستوا معلوما فأنه وازي جمع المس

المستقم(المستوي والمستوات الت تحوي

كذلك )المستقم العمودي على مستوي كون عمودا على جمع المستقمات المرسومة من أثره

ضمن ذلك المستوي(

( ف المستوي الواحد: المستقم العمودي على أحد مستقمن متوازن كون عمودا على اآلخر )

لكن معطى( 𝟗𝟎 ∢ ) ألن

)المستوي العمودي على أحد مستقمن متوازن كون عمودا على اآلخر(

على جمع المستقمات المرسومة من أثره )المستقم العمودي على مستوي كون عمودا

ضمن ذلك المستوي(.

م(. )و. هـــ

( حتوهما لكل مستقمن متوازن وجد مستو وحد)

يحتويهما

)معطى(

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل السادس/ الهندسة الفضائــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد

395

(: 5مثال )

مثلث, فإذا كان °𝟔𝟎قاسها والمستوي والزاوة الزوجة بن مستوي المثلث

ثاام جااد مساااحة مسااقط علااى مسااقط المثلااث جااد 𝟏𝟎 𝟏𝟑

ABC ∆على .

المعطات:

°𝟔𝟎 – – قاس

𝟏𝟑 𝟏𝟎

على إجاد مسقطالمطلوب إثباته: على وإجاد مساحة مسقط

البرهان:

)مكن رسم عمود على مستوي من نقطة معلومة( ف نرسم

مسقط

مسقط

مسقط نفسه على

على مسقط

نرسم ف )ف المستوى الواحد مكن رسم مستقم عمود على آخر من نقطة معلومة( ف

)معطى( وبما أن

)العمود النازل من رأس مثلث متساوي الساقن على القاعدة نصفها( 𝟓

)نتجة مبرهنة االعمدة الثالثة(

للزاوة الزوجة عائدة ∢ )تعرف الزاوة العائدة(

°𝟔𝟎 لكن قاس الزاوة الزوجة )معطى(

𝟏𝟔𝟗√ : القائم ف ف 𝟐𝟓 √𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟐

𝟔𝟎 : القائم ف ف

⇒

𝟏

𝟐

𝟏𝟐 ⇒ 𝟔

𝟏

𝟐 𝟏𝟎 𝟔 BCDمساحة المثلث = 𝟐 𝟑𝟎

)و. هـ .م(

)مسقط قطعة مستقم على مستو معلوم هو القطعة المحددة بأثري العمودن

من طرف القطعة المستقمة( المرسومن على المستوي

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل السادس/ الهندسة الفضائــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد

396

تمارين

المعلوم قطه على المستويـــاوي طول مســـــلوم ستو معــتقم الموازي لمســبرهن أن طول قطعة المس / 1س

( 1 / د 2016و 1 / د 2014و 1/ د 2011)وزاري ووازه.

المعطات:

مسقط على

المطلوب إثباته:

أوال :

ثانا :

البرهان:

مسقط )معطى( على

ومن ـ)مسقط قطعة مستقم على مستو هو القطعة المحددة بأثري العمودن المرس عمودان على

من طرف القطعة على المستوي(

)المستقمان العمودان على مستو واحد متوازان(

)لكل مستقمن متوازن وجد مستو وحد حتوهما( نعن بالمستقمن المتوازن

)معطى(

)مستقم تقاطع مستون وازي كل مستقم محتوى ف احدهما ووازي اآلخر(

)إذا وازى مستقم مستوا معلوما فأنه وازي جمع المستقمات الناتجة من تقاطع هذا المستوي أو

مع المستوات الت تحوي هذا المستقم(

(1)و. هـ . م( )

)ألن كل ضلعن متقابلن فه متوازن(متوازي أضالع الشكل

) كل ضلعن متقابلن فه متساون بالطول(خواص متوازي األضالع

(2)و. هـ . م( )

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل السادس/ الهندسة الفضائــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد

397

توان متوازان بمستقم فأن مله على احدهما ساوي مل اآلخر عله.ـــبرهن أنه إذا قطع مس / 2س

(3/ د 2015)وزاري و (2/ د 2012)وزاري

المعطات:

{ }

{ }

المطلوب إثباته:

على مل على مل

البرهان:

( مكن رسم مستقم وحد عمودي على مستو معلوم من نقطة معلومة ) نرسم

)معطى(

)المستقم العمودي على أحد مستون متوازن كون عمودا على اآلخر( ف نقطة

على مسقط

على مسقط وكذلك

على ه زاوة مل 𝟏∢

على ه زاوة مل 𝟐∢

( متوازانخطأ تقاطع مستون متوازن بمستو ثالث )

( مستوهما ىقاسهما وتواز ىإذا وازى ضلعا زاوة ضلع زاوة أخرى تساو ) 𝟐 ∢ 𝟏∢

على مل على مل

)و. هـ . م(

)مسقط قطعة مستقم غر عمودة على مستو معلوم هو قطعة المستقم

المحددة بأثري العمودن المرسومن من طرف القطعة على المستوي(

زاوة مل مستقم مائل على مستو معلوم ها الزاواة المحاددة )

( يالمستوذلك بالمائل ومسقطه على

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل السادس/ الهندسة الفضائــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد

398

ن على أن للمستقمات المتوازة المائلة على مستو المل نفسه.هبر / 3س

(3/ د 2013( )وزاري 3/ د 2011) وزاري

المعطات:

وكل منهما مائل على

المطلوب إثباته:

على قاس زاوة مل = على قاس زاوة مل

البرهان:

ف لكن

ف لكن و

على مسقط

على مسقط

على ه زاوة مل ∢ 1

على ه زاوة مل ∢ 2

( معطى )

( المستقمان العمودان على مستو متوازان )

( قاسهما وتوازي مستوهما ىضلعا زاوة ضلع زاوة أخرى تساو إذا وازى ) 𝟒 ∢ 𝟑∢

تقمات ــــع المسـتوي كون عمودا على جمــتقم العمودي على مســالمس ) 𝟗𝟎° 𝟔∢ 𝟓∢

المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي (

∢ 𝟏 °𝟏𝟖𝟎مجموع قاسات زواا المثلث ) 𝟐 ∢ )

على زاوة مل قاس على مل زاوةقاس

)و. هـ. م(

( مكن رسم مستقم وحد عمودي على مستو معلوم من نقطة معلومة)

مسااقط قطعااة مسااتقم غاار عمودااة علااى مسااتو معلااوم هااو قطعااة المسااتقم )

( من من طرف القطعة على المستويالمحددة بأثري العمودن المرسو

الزاوة المحددة زاوة مل مستقم مائل على مستو معلوم ه )

( بالمائل ومسقطه على المستوي المعلوم

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل السادس/ الهندسة الفضائــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد

399

برهن على أنه إذا رسم مائالن مختلفان ف الطول من نقطة ال تنتم إلى مستو معلوم فإن أطولهما زاوة / 4س

على المستوي أصغر من زاوة مل اآلخر عله. همل

المعطات:

المطلوب إثباته:

زاوة مل زاوة مل على على

البرهان:

لكن ( مكن رسم مستقم وحد عمودي على مستو من نقطة ال تنتم إله )

على مسقط

على مسقط

𝛉𝟏 ∢ على ه زاوة مل

𝛉𝟐 ∢ على ه زاوة مل

( معطى )

𝟏

𝟏

)خواص التراجح(

نتج: وبضرب طرف المتراجحة بـ

𝜽𝟏 𝜽𝟐 ( الطرفن ألن دالة رفع بو )دالة متزادة

𝛉𝟏 𝜽𝟐

زاوة مل زاوة مل على على

)و. هـ. م(

عمودااة علااى مسااتو معلااوم هااو قطعااة المسااتقم مسااقط قطعااة مسااتقم غاار )

( من من طرف القطعة على المستويالمحددة بأثري العمودن المرسو

ددة زاوة مل مستقم مائل على مستو معلوم ه الزاوة المح )

( المستوي ذلك بالمائل ومسقطه على

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل السادس/ الهندسة الفضائــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد

400

برهن على أنه إذا رسم مائالن من نقطة ما إلى مستو فأصغرهما مال هو األطول. / 5س

المعطات:

مائالن على

زاوة مل زاوة مل على على

المطلوب إثباته:

البرهان:

لكن ( مكن رسم مستقم عمودي على مستو من نقطة ال تنتم إله )

مسقط على

وكذلك مسقط على

𝛉𝟏

ه زاوة مل ∢ على

𝛉𝟐

ه زاوة مل ∢ على

∢ 𝛉𝟏 ∢ 𝜽𝟐

للطرفن: وبأخذ دالة الـ

𝛉𝟏 𝛉

𝟐

ADبقسمة طرف المتراجحة على و

𝟏

𝟏

: وبقلب التراجح نتج

( خواص التراجح )

)و. هـ . م(

مسقط قطعة مستقم غار عموداة علاى مساتو معلاوم هاو قطعاة المساتقم )

( القطعة على المستويمن من طرف المحددة بأثري العمودن المرسو

زاوة مل مستقم مائل على مستو معلوم ه الزاوة المحددة )

( بالمائل ومسقطه على المستوي المعلوم

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل السادس/ الهندسة الفضائــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد

401

برهن على أنه زاوة المل بن المستقم ومسقطه على مستو أصغر من الزاوة المحصورة بن المستقم / 6س

(3/ د2012)وزاري من موقعه ضمن ذلك المستوي.مرسوم نفسه وأي مستقم آخر

المعطات:

, مائل على مسقط على

∢ , محددة بـ و

محددة بـ ∢ و

المطلوب إثباته:

∢ ∢

البرهان:

نرسم )مكن رسم مستقم وحد عمودي على مستوي معلوم من نقطة ال تنتم إله(

ونرسم مستوي معلوم من نقطة ال تنتم إله( )مكن رسم مستقم وحد عمودي على

𝜽𝟐 ∢ 𝜽𝟏 ∢ لتكن

مسقط )معطى( على

AC AD )العمود النازل من نقطة على مستوي هو أقصر مسافة بن النقطة المعلومة والمستوي(

ABوبالقسمة على

)خواص التراجح(

𝜽𝟏 𝜽𝟐

𝜽𝟏 𝜽𝟐

∢ ∢

)و. هـ. م(