ملزمة الرياضيات للسادس العلمي الأحيائي 2017 الفصل 1 للأستاذ علي حميد

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد

1

األعداد المركبة /الفصل األول

:تعرف

مالحظة : فمثالا 𝒊 ر ألي عدد حقق سالب بداللة مكننا كتابة الجذ

𝒂 𝒊𝟏𝟔 𝒃 𝒊𝟓𝟖 𝒄 𝒊𝟏𝟐𝒏+𝟗𝟑 𝒅 𝒊−𝟏𝟑 : أكتب ما ل ف أبسط صورة /(1 مثال


2

3 − 5i

مالحظة

+𝒂األعداد التالة على الصورة أكتب / 2 مثال 𝒃𝒊

𝒅 𝟏+ −𝟐𝟓

𝟒 𝒄 − 𝟏− −𝟑 𝒃 −𝟏𝟎𝟎 𝒂 − 𝟓

𝒅 𝟏+ −𝟐𝟓

𝟒=𝟏

𝟒+ 𝟐𝟓𝒊

𝟒=

𝟏

𝟒+𝟓

𝟒𝒊

: لة بالصغة الجبرة للعدد المركبأكتب األعداد التا/ مثال

𝒂 𝒊𝟏𝟔 = 𝒊𝟒 𝟒 = 𝟏 𝟒 = 𝟏 = 𝟏 + 𝟎𝒊

𝒃 𝒊𝟏𝟓 = 𝒊𝟏𝟐 . 𝒊𝟑 = 𝟏 . −𝐢 = −𝐢 = 𝟎 − 𝐢

𝒄 𝒊 −𝟐𝟑 = 𝟏

𝒊𝟐𝟑=𝒊𝟐𝟒

𝒊𝟐𝟑= 𝒊 = 𝟎 + 𝒊

𝒅 𝒊−𝟔 = 𝟏

𝒊𝟔=𝒊𝟖

𝒊𝟔= 𝒊𝟐 = −𝟏 = −𝟏 + 𝟎𝐢

𝒆 𝒊−𝟒𝟒 = 𝟏

𝒊𝟒𝟒=𝒊𝟒𝟒

𝒊𝟒𝟒= 𝟏 = 𝟏+ 𝟎𝐢

𝒇 𝒊 −𝟏𝟑 = 𝟏

𝒊𝟏𝟑=𝒊𝟏𝟔

𝒊𝟏𝟑= 𝒊𝟑 = −𝒊 = 𝟎 − 𝒊 𝒐𝒓 𝒊 −𝟏𝟑 = 𝒊 −𝟏𝟑 . 𝒊 𝟏𝟔 = 𝒊𝟑 = −𝒊 = 𝟎− 𝒊


3

: biبالصغة تأأكتب كال مما مثال /

, , ,

.للعدد المركب ضعها بالصغة الجبرة عن الجزء الحقق والجزء التخل لؤلعداد المركبة التالة ثم/ مثال

بالصغة العادة أو الجبرة للعدد المركب كالا مما أت ضع

خاصة التساوي

: ان المعادلة ف كل مما أت الحققتن الت تحقق x ,yجد قمة كل من /(3)مثال

𝒂 𝟐𝒙− 𝟏+ 𝟐𝒊 = 𝟏+ 𝒚+ 𝟏 𝒊


4

𝒃 𝟑𝐱+ 𝟒𝒊 = 𝟐+ 𝟖𝒚𝒊

(c ) 𝟐𝒚 + 𝟏 – 𝟐𝒙 – 𝟏 𝒊 = −𝟖+ 𝟑𝒊

على األعداد المركبة عملة الجمع

بعضزها والنزاته زو أضزا عزدد عند جمع األعداد المركبة نجمع األجزاء الحققة مع بعضها واألجززاء التخلزة مزع

:وكما ل مركب

𝑪𝟏 نفرض = 𝒂𝟏 + 𝒃𝟏𝒊 و 𝑪𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐𝒊 : عددان مركبان فأن

𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + 𝒃𝟏 + 𝒃𝟐 𝒊

على األعداد المركبة : خواص الجمع

مغلقةأبدالة تجمعة

النظر الجمع العنصر المحاد

زمرة أبدالة

ف كل مما أت : نجد مجموع العدد /(4)مثال

𝒂 𝟑+ 𝟒 𝟐 𝒊 , 𝟓− 𝟐 𝟐 𝒊

𝟑 + 𝟒 𝟐 + 𝟓 − 𝟐 𝟐 = 𝟑 + 𝟓 + 𝟒 𝟐 − 𝟐 𝟐 = 𝟖 + 𝟐 𝟐

𝟑 , 𝟐 − 𝟓

𝟑 + 𝟎 + 𝟐 − 𝟓 = 𝟑 + 𝟐 + 𝟎 − 𝟓 = 𝟓 − 𝟓

𝟏 − , 𝟑

𝟏 − + 𝟎 + 𝟑 = 𝟏 + 𝟎 + −𝟏 + 𝟑 = 𝟏 + 𝟐


5

: أوجد ناته جمع األعداد المركبة التالة/ مثال

𝟏 = 𝟏 + 𝟓 , = 𝟑 + 𝟕 , = −𝟏 −

+ + = + 5 + 3 + 7 + − − = + 3 − + 5 + 7 − = 3 +

𝟐 𝟐 + −𝟐 , − 𝟓 + 𝟐

𝟐 + 𝟐 + −𝟓 + 𝟐 = 𝟐 − 𝟓 + 𝟐 + 𝟐 = −𝟑 + 𝟐 𝟐

طرح األعداد المركبة= أذا كان + = و + − فأن = + −

جد ناته : / (5)مثال

𝟕 − 𝟏𝟑 − 𝟗 + 𝟒

𝟕 − 𝟏𝟑 + −𝟗 − 𝟒

𝟕 − 𝟗 + −𝟏𝟑 − 𝟒 = −𝟐 − 𝟏𝟕

𝟐 حل المعادلة / (6)مثال − 𝟒 + = −𝟓 + ℂ حث

= −𝟓 + − 𝟐 − 𝟒 = −𝟓 + + −𝟐 + 𝟒 = −𝟓 − 𝟐 + 𝟏 + 𝟒 = −𝟕 + 𝟓

= أذا كان/ مثال 𝟏 + 𝟐 , = −𝟏 − 𝟕 , = −𝟏 − 𝟏𝟏

− 𝟐−ل فأوجد ما 𝟒 + 𝟑

−𝟐 − 𝟒 + 𝟑 = −𝟐 𝟏 + 𝟐 − 𝟒 −𝟏 − 𝟕 + 𝟑 −𝟏 − 𝟏𝟏

= −𝟐 − 𝟒 + 𝟒 + 𝟐𝟖 + −𝟑 − 𝟑𝟑

= −𝟐 + 𝟒 − 𝟑 + −𝟒 + 𝟐𝟖 − 𝟑𝟑 = −𝟏 − 𝟗

= أذا كان 𝟏 + 𝟐 , = −𝟏 − 𝟕 , = −𝟏 − :ل أوجد ماف 𝟏𝟏

𝟐 + 𝟑 𝟑 𝟑 + + − 𝟑 + 𝟐 − 𝟒 + 𝟐 𝟐 + + 𝟑


6

عملة الضرب على األعداد المركبة

= أذا كان + ، = + , k فأن

𝟏 . = + + = + + + 𝟐 = − + +

𝟐 . = + = +

على األعداد المركبة خواص عملة الضرب

أي أن الناته دائما عدد مركب مغلقة عملة الضرب (1). 𝟏 أي أن أبدالةعملة الضرب (2) 𝟐 = 𝟐 . 𝟏 . 𝟏 أي أن تجمعة عملة الضرب (3) 𝟐 . 𝟑 = 𝟏 . 𝟐 . 𝟑 𝟏( وكتب 1 و )المحاد الضرب (4) = 𝟏 + 𝟎

بالصغة كتبمكن أن و 𝟏− و ( c)للعدد النظر الضرب (5)𝟏

:جد ناته كال مما أت / (7) مثال

𝟐 − 𝟑 𝟑 − 𝟓

𝟐 − 𝟑 𝟑 − 𝟓 = 𝟔 − 𝟏𝟎 − 𝟗 + 𝟏𝟓 𝟐 = 𝟔 − 𝟏𝟓 + −𝟏𝟎 − 𝟗 = −𝟗 − 𝟏𝟗

𝟑 + 𝟒 𝟐

𝟑 + 𝟒 𝟐 = 𝟗 + 𝟐𝟒 + 𝟏𝟔 𝟐 = 𝟗 − 𝟏𝟔 + 𝟐𝟒 = −𝟕 + 𝟐𝟒

𝟏 +

𝟏 + = + 𝟐 = − 𝟏 = −𝟏 +

−𝟓

𝟐 𝟒 + 𝟑

−𝟓

𝟐 𝟒 + 𝟑 =

−𝟓

𝟐 𝟒 −

𝟓

𝟐 𝟑 = −𝟏𝟎 −

𝟏𝟓

𝟐i

𝟏 + 𝟐 + 𝟏 − 𝟐

𝟏 + 𝟐 + 𝟏 − 𝟐 = 𝟏 + 𝟐 + 𝟐 + 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 = 𝟎

جد ناته كل مما ل :

𝟐 𝟏 + − 𝟑 𝟏 + 𝟐 𝟏 𝟐 + −𝟑 𝟏 + 𝟐 −𝟑

𝟒 𝟐 + −𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 + −𝟖 𝟐 + 𝟐 −𝟐


7

مرافق العدد المركب

= أي أذا كان عدد مركب فأن مرافقه رمز له C أذا كان + فأن = − .

𝟑فمثالا : + 𝟑 و مرافق العدد − وبالعكس . − و وبالعكس , وكذلك مرافق العدد

𝟑 + 𝟑 و مرافق العدد 𝟐 − . 𝟑 و 𝟑وبالعكس , وكذلك مرافق العدد 𝟐

مالحظة

𝟏 أذا كان = + 𝟐 عدد مركب مرافقه هو = − فأن و

𝟏 𝟏 + 𝟐 = 𝟐 𝟐 𝟏 + 𝟐 = 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 = 𝟐 + 𝟐

: الجدول أدناه وضح المرافق للعدد المركب والنظر الجمع والضرب

المرافق النظر الضرب النظر الجمع العدد المركب

+ − − 𝟏

+ −

𝟑 − 𝟐 −𝟑 + 𝟐 𝟏

𝟑 − 𝟐 𝟑 + 𝟐

−𝟒 𝟒 𝟏

−𝟒 −𝟒

−𝟔 𝟔 𝟏

−𝟔 𝟔

𝟑 − 𝟑 = 𝟏

𝟑

𝟐 − 𝟐 = 𝟏 𝟏

𝟐= 𝟐 = −𝟏 𝟐 = −𝟏

𝟏 , −𝟒 −𝟏 , 𝟒 𝟏

𝟏 , −𝟒 𝟏 , 𝟒

𝟐 أذا كان / (8)مثال = 𝟑 − 𝟐 , 𝟏 = 𝟏 + من :فتحقق

𝟏 𝟏 + 𝟐 = 𝟏 + 𝟐

. 𝟏 + 𝟐 = 𝟏 + + 𝟑 − 𝟐 = 𝟒 − = 𝟒 +

. 𝟏 + 𝟐 = 𝟏 + + 𝟑 − 𝟐 = 𝟏 − + 𝟑 + 𝟐 = 𝟒 + . = .

𝟐 𝟏 − 𝟐 = 𝟏 − 𝟐

. 𝟏 − 𝟐 = 𝟏 + − 𝟑 + 𝟐 = −𝟐 + 𝟑 = −𝟐 − 𝟑

. 𝟏 − 𝟐 = 𝟏 + − 𝟑 − 𝟐 = 𝟏 − − 𝟑 + 𝟐 = −𝟐 − 𝟑 . = .


8

𝟑 𝟏. 𝟐 = 𝟏 . 𝟐

. 𝟏. 𝟐 = 𝟏 + . 𝟑 − 𝟐 = 𝟑 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟐 𝟐 = 𝟓 + = 𝟓 −

. 𝟏 . 𝟐 = 𝟏 + . 𝟑 − 𝟐 = 𝟏 − . 𝟑 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟐 − 𝟑 − 𝟐 𝟐 = 𝟓 −

𝟒 𝟏 = 𝟏

𝟏 = 𝟏 + = 𝟏 − = 𝟏 + = 𝟏

𝟓 ( 𝟏 𝟐)

=

𝟏

𝟐 𝟐 𝟎

. ( 𝟏 𝟐)

= (

𝟏 +

𝟑 − 𝟐 )

= (

𝟏 +

𝟑 − 𝟐

𝟑 + 𝟐

𝟑 + 𝟐 )

= .

𝟑 + 𝟐 + 𝟑 + 𝟐 𝟐

𝟗 + 𝟒/

= (

𝟏 + 𝟓

𝟏𝟑)

=𝟏 − 𝟓

𝟏𝟑

. 𝟏

𝟐 = 𝟏 +

𝟑 − 𝟐 =

𝟏 −

𝟑 + 𝟐 =

𝟏 −

𝟑 + 𝟐 𝟑 − 𝟐

𝟑 − 𝟐 =𝟑 − 𝟐 − 𝟑 + 𝟐 𝟐

𝟗 + 𝟒=𝟏 − 𝟓

𝟏𝟑

مالحظة

. بمرافق المقام لتبسط الحلف المقام نضرب مقام البسط وكسره عند ظهور (1)

و و ساوي 𝟏− مكن أستخدام التعبر )مقلوب العدد المركب( بدل )النظر الضرب( ورمز له بالرمز (2)𝟏

= مركب الجد النظر الضرب للعدد / (9مثال ) 𝟐 − وضعه بالصغة العادة للعدد المركب 𝟐

𝟏

=

𝟏

𝟐 − 𝟐 =

𝟏

𝟐 − 𝟐 𝟐 + 𝟐

𝟐 + 𝟐 =

𝟐 + 𝟐

𝟐𝟐 + 𝟐𝟐=𝟐 + 𝟐

𝟒 + 𝟒=𝟐 + 𝟐

𝟖=𝟐

𝟖+𝟐

𝟖 =

𝟏

𝟒+𝟏

𝟒

أذا كان / (10مثال )𝟑−𝟐

−

𝟏+𝟓 , مترافقان فجد قمة كل من , .

− 𝟏+𝟓

= (𝟑−𝟐

)

− 𝟏+𝟓

=𝟑+𝟐 −

− − = 𝟑 + 𝟐 𝟏 + 𝟓

− + 𝟐 = 𝟑 + 𝟏𝟓 + 𝟐 + 𝟏𝟎 𝟐 − − = −𝟕 + 𝟏𝟕

من تساوي األعداد المركبة نجد أن

− = −𝟕 = 𝟕 الحقيقي

− = 𝟏𝟕 = التخيلي 𝟏𝟕−


9

𝟏 أذا كان / (11مثال ) = 𝟑 − 𝟐 , 𝟐 = 𝟏 + )فتحقق من 𝟏

𝟐)

=

𝟏

𝟐

. ( 𝟏 𝟐)

= (

𝟑 − 𝟐

𝟏 + )

= (

𝟑 − 𝟐

𝟏 +

𝟏 −

𝟏 − )

= .

𝟑 − 𝟑 − 𝟐 + 𝟐 𝟐

𝟏𝟐 + 𝟏𝟐/

= (

𝟏 − 𝟓

𝟐)

=𝟏 + 𝟓

𝟐=𝟏

𝟐+𝟓

𝟐

. 𝟏

𝟐 = 𝟑 − 𝟐

𝟏 + =𝟑 + 𝟐

𝟏 − =𝟑 + 𝟐

𝟏 − 𝟏 +

𝟏 + =𝟑 + 𝟑 + 𝟐 + 𝟐 𝟐

𝟏𝟐 + 𝟏𝟐=𝟏 + 𝟓

𝟐=𝟏

𝟐+𝟓

𝟐

قسمة األعداد المركبة

عند قسمة عدد مركب على عدد مركب أخر نضرب بمرافق المقام وكما ل 𝟏

𝟐=

𝟏

𝟐

𝟐

𝟐

+ ضع كال مما أت بالصورة / (12مثال ) :

𝟏 +

𝟏 −

𝟏 +

𝟏 −

𝟏 +

𝟏 + =𝟏 + + + 𝟐

𝟏𝟐 + 𝟏𝟐=𝟐

𝟐= = 𝟎 +

𝟐 −

𝟑 + 𝟒

𝟐 −

𝟑 + 𝟒 𝟑 − 𝟒

𝟑 − 𝟒 =𝟔 − 𝟖 − 𝟑 + 𝟒 𝟐

𝟑𝟐 + 𝟒𝟐=𝟐 − 𝟏𝟏

𝟗 + 𝟏𝟔=𝟐 − 𝟏𝟏

𝟐𝟓=

𝟐

𝟐𝟓 −

𝟏𝟏

𝟐𝟓

𝟏 + 𝟐

−𝟐 +

𝟏 + 𝟐

−𝟐 + −𝟐 −

−𝟐 − =−𝟐 − − 𝟒 − 𝟐 𝟐

−𝟐 𝟐 + 𝟏𝟐=𝟎 − 𝟓

𝟓=−𝟓

𝟓= − = 𝟎 −

مالحظة

𝟐 مكن تحلل + + الى حاصل ضرب عددن مركبن كل منهما من الصورة 𝟐 :أي

𝟐 + 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 𝟐 = − +

+ الى حاصل ضرب عاملن من الصورة مما أت لل كالا ح/ (13مثال ) , حث . أعداد نسبة

𝟏𝟎 𝟓𝟑 𝟑𝟗

𝟏𝟎 = 𝟗 + 𝟏 = 𝟗 − 𝟐 = 𝟑 − 𝟑 +

𝟓𝟑 = 𝟒𝟗 + 𝟒 = 𝟒𝟗 − 𝟒 𝟐 = 𝟕 − 𝟐 𝟕 + 𝟐

𝟑𝟗 = 𝟑𝟔 + 𝟑 = 𝟑𝟔 − 𝟑 𝟐 = 𝟔 − 𝟑 𝟔 + 𝟑


10

− تمارين

: ضع كالا مما أت بالصغة العادة للعدد المركب / 1س

𝟓 , 𝟔 , 𝟏𝟐𝟒 , 𝟗𝟗𝟗 , 𝟒 +𝟏 , 𝟐 + 𝟑 𝟐 + 𝟏𝟐 + 𝟐 , 𝟏𝟎 + 𝟑 𝟎 + 𝟔 ,

𝟏 + 𝟒 − 𝟏 − 𝟒 ,𝟏𝟐 +

,

𝟑 + 𝟒

𝟑 − 𝟒 ,

𝟐 + 𝟑 , (

𝟑 +

𝟏 + )𝟑

,𝟐 + 𝟑

𝟏 −

𝟏 + 𝟒

𝟒 + ,

𝟏 + 𝟑 + 𝟏 − 𝟑

𝟓 = 𝟒. = 𝟏 . = = 𝟎 +

𝟔 = 𝟒. 𝟐 = 𝟏 −𝟏 = −𝟏 = −𝟏 + 𝟎

𝟏𝟐𝟒 = 𝟒 𝟑𝟏 = 𝟏 𝟑𝟏 = 𝟏 = 𝟏 + 𝟎

𝟗𝟗𝟗 = 𝟒 𝟐𝟒𝟗. 𝟑 = 𝟏 𝟐𝟒𝟗. 𝟐. = 𝟏. −𝟏 . = − = 𝟎 −

𝟒 +𝟏 = 𝟒 . = 𝟒 . = 𝟏 = = 𝟎 +

𝟐 + 𝟑 𝟐 + 𝟏𝟐 + 𝟐 = 𝟒 + 𝟏𝟐 + 𝟗 𝟐 + 𝟏𝟐 + 𝟐 = 𝟕 + 𝟏𝟒

𝟏𝟎 + 𝟑 𝟎 + 𝟔 = 𝟎 + 𝟔𝟎 + 𝟎 + 𝟏𝟖 𝟐 = −𝟏𝟖 + 𝟔𝟎

𝟏 + 𝟒 − 𝟏 − 𝟒 = 𝟏 + 𝟐 𝟐 − 𝟏 − 𝟐 𝟐 = 𝟏 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 − 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟐

= 𝟐 𝟐 − −𝟐 𝟐 = 𝟒 𝟐 − 𝟒 𝟐 = 𝟎 = 𝟎 + 𝟎

𝟏𝟐 +

=

𝟏𝟐 +

−

− =−𝟏𝟐 − 𝟐

− 𝟐=𝟏 − 𝟏𝟐

𝟏= 𝟏 − 𝟏𝟐

𝟑 + 𝟒

𝟑 − 𝟒 =

𝟑 + 𝟒

𝟑 − 𝟒

𝟑 + 𝟒

𝟑 + 𝟒 =𝟗 + 𝟏𝟐 + 𝟏𝟐 + 𝟏𝟔 𝟐

𝟑𝟐 + 𝟒𝟐=−𝟕 + 𝟐𝟒

𝟗 + 𝟏𝟔=−𝟕

𝟐𝟓+𝟐𝟒

𝟐𝟓

𝟐 + 𝟑 =

𝟐 + 𝟑 𝟐 − 𝟑

𝟐 − 𝟑 =𝟐 − 𝟑 𝟐

𝟐𝟐 + 𝟑𝟐=𝟑 + 𝟐

𝟒 + 𝟗=𝟑 + 𝟐

𝟏𝟑=

𝟑

𝟏𝟑+

𝟐

𝟏𝟑

(𝟑 +

𝟏 + )𝟑

= (𝟑 +

𝟏 + 𝟏 −

𝟏 − )𝟑

= .𝟑 − 𝟑 + − 𝟐

𝟏𝟐 + 𝟏𝟐/

𝟑

= (𝟒 − 𝟐

𝟐)𝟑

= 𝟐 − 𝟑

= 𝟐 − 𝟐 𝟐 − = 𝟒 − 𝟒 + 𝟐 𝟐 − = 𝟑 − 𝟒 𝟐 − = 𝟔 − 𝟑 − 𝟖 + 𝟒 𝟐 = 𝟐 − 𝟏𝟏

𝟐 + 𝟑

𝟏 −

𝟏 + 𝟒

𝟒 + =𝟐 + 𝟖 + 𝟑 + 𝟏𝟐 𝟐

𝟒 + − 𝟒 − 𝟐=−𝟏𝟎 + 𝟏𝟏

𝟓 − 𝟑 =−𝟏𝟎 + 𝟏𝟏

𝟓 − 𝟑

𝟓 + 𝟑

𝟓 + 𝟑

=−𝟓𝟎 − 𝟑𝟎 + 𝟓𝟓 + 𝟑𝟑 𝟐

𝟓𝟐 + 𝟑𝟐=−𝟖𝟑 + 𝟐𝟓

𝟐𝟓 + 𝟗=−𝟖𝟑 + 𝟐𝟓

𝟑𝟒=−𝟖𝟑

𝟑𝟒+𝟐𝟓

𝟑𝟒

𝟏 + 𝟑 + 𝟏 − 𝟑 = 𝟏 + 𝟐 𝟏 + + 𝟏 − 𝟐 𝟏 − = 𝟏 + 𝟐 + 𝟐 𝟏 + + 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟏 −

= 𝟐 + 𝟐 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟒 𝟐 = −𝟒 = −𝟒 + 𝟎


11

, كل منجد قمة / 2س الحققتن اللتن تحققان المعادالت األتة :

+ 𝟓 = 𝟐 + + 𝟐 + 𝟓 = 𝟐 𝟐 + 𝟒 + + 𝟐 𝟐 + 𝟓 = 𝟐 𝟐 − 𝟐 + 𝟒 +

+ 𝟓 = 𝟐 𝟐 − 𝟐 + 𝟓 = 𝟐 𝟐 − ①معادلة 𝟐

𝟓 = 𝟓 = 𝟏 ①معادلة نعوض في

= 𝟐 𝟏 𝟐 − 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 = 𝟎 = 𝟎

𝟖 = + 𝟐 + 𝟐 + 𝟏

𝟖 = + 𝟐 + 𝟐 + 𝟒 𝟐 + 𝟏 𝟖 = + 𝟐 + 𝟐 − 𝟑

𝟖 = − 𝟑 + 𝟐 + 𝟐

− 𝟑 = 𝟎 = 𝟑 =𝟑

①معادلة

𝟐 + 𝟐 = 𝟖 𝟐 ⇒ + = 𝟒 = 𝟒 − ①معادلة ② نعوض في

𝟒 − = 𝟑 𝟒 − 𝟐 = 𝟑 𝟐 − 𝟒 + 𝟑 = 𝟎 − 𝟑 − 𝟏 = 𝟎

− 𝟑 = 𝟎 = 𝟑 = نعوض في معادلة 𝟏

− 𝟏 = 𝟎 = 𝟏 = نعوض في معادلة 𝟑

(𝟏 −

𝟏 + ) + + = 𝟏 + 𝟐 𝟐

+ = 𝟏 + 𝟐 𝟐 − (𝟏 −

𝟏 + ) = 𝟏 + 𝟒 + 𝟒 𝟐 − (

𝟏 −

𝟏 + 𝟏 −

𝟏 − ) = −𝟑 + 𝟒 − .

𝟏 − − + 𝟐

𝟏𝟐 + 𝟏𝟐/

+ = −𝟑 + 𝟒 − (−𝟐

𝟐) = −𝟑 + 𝟒 + + = −𝟑 + 𝟓 = −𝟑 = 𝟓

𝟐 −

𝟏 + +

𝟑 −

𝟐 + =

𝟏

[𝟐 −

𝟏 + 𝟏 −

𝟏 − ] + [

𝟑 −

𝟐 + 𝟐 −

𝟐 − ] =

𝟒

0

𝟐 − 𝟐 − + 𝟐

𝟏𝟐 + 𝟏𝟐1 + 0

𝟔 − 𝟑 − 𝟐 + 𝟐

𝟐𝟐 + 𝟏𝟐1 = 𝟑

[𝟏 − 𝟑

𝟐] + [

𝟓 − 𝟓

𝟓] = −

( نضرب بالعدد 𝟏𝟎 )

⇒ 𝟓 𝟏 − 𝟑 + 𝟐 𝟓 − 𝟓 = −𝟏𝟎

𝟓 − 𝟏𝟓 + 𝟏𝟎 − 𝟏𝟎 = 𝟎 − 𝟏𝟎

𝟓 + 𝟏𝟎 = ①معادلة 𝟎

−𝟏𝟓 − 𝟏𝟎 = تحل أنيآ بالجمع معادلة 𝟏𝟎−

−𝟏𝟎 = −𝟏𝟎 = 𝟏 ①معادلة نعوض في

𝟓 𝟏 + 𝟏𝟎 = 𝟎 𝟏𝟎 = −𝟓 =−𝟓

𝟏𝟎 =

−𝟏

𝟐


12

:أثبت أن / 3س

𝟏

𝟐 − 𝟐−

𝟏

𝟐 + 𝟐=

𝟖

𝟐𝟓

الطريقة األولى 𝟏

𝟐 − 𝟐−

𝟏

𝟐 + 𝟐= (

𝟏

𝟐 − )𝟐

− (𝟏

𝟐 + )𝟐

(𝟏

𝟐 − 𝟐 +

𝟐 + )𝟐

− (𝟏

𝟐 + 𝟐 −

𝟐 − )𝟐

(𝟐 +

𝟐𝟐 + 𝟏𝟐)𝟐

− (𝟐 −

𝟐𝟐 + 𝟏𝟐)𝟐

(𝟐 +

𝟓)𝟐

− (𝟐 −

𝟓)𝟐

= .𝟒 + 𝟒 + 𝟐

𝟐𝟓/ − .

𝟒 − 𝟒 + 𝟐

𝟐𝟓/ = (

𝟑 + 𝟒

𝟐𝟓) − (

𝟑 − 𝟒

𝟐𝟓)

𝟑 + 𝟒 − 𝟑 + 𝟒

𝟐𝟓=

𝟖

𝟐𝟓

الطريقة الثانية 𝟏

𝟐 − 𝟐−

𝟏

𝟐 + 𝟐= 𝟐 + 𝟐 − 𝟐 − 𝟐

𝟐 − 𝟐 𝟐 + 𝟐= 𝟒 + 𝟒 + 𝟐 − 𝟒 − 𝟒 + 𝟐

𝟒 − 𝟒 + 𝟐 𝟒 + 𝟒 + 𝟐

𝟑 + 𝟒 − 𝟑 − 𝟒

𝟑 − 𝟒 𝟑 + 𝟒 =𝟑 + 𝟒 − 𝟑 + 𝟒

𝟑𝟐 + 𝟒𝟐=

𝟖

𝟗 + 𝟏𝟔=

𝟖

𝟐𝟓

الطريقة الثالثة 𝟏

𝟐 − 𝟐−

𝟏

𝟐 + 𝟐=

𝟏

𝟒 − 𝟒 + 𝟐 −

𝟏

𝟒 + 𝟒 + 𝟐=

𝟏

𝟑 − 𝟒 −

𝟏

𝟑 + 𝟒

(𝟏

𝟑 − 𝟒 𝟑 + 𝟒

𝟑 + 𝟒 ) − (

𝟏

𝟑 + 𝟒 𝟑 − 𝟒

𝟑 − 𝟒 ) = (

𝟑 + 𝟒

𝟑𝟐 + 𝟒𝟐) − (

𝟑 − 𝟒

𝟑𝟐 + 𝟒𝟐)

(𝟑 + 𝟒

𝟗 + 𝟏𝟔) − (

𝟑 − 𝟒

𝟗 + 𝟏𝟔) = (

𝟑 + 𝟒

𝟐𝟓) − (

𝟑 − 𝟒

𝟐𝟓) =

𝟑 + 𝟒 − 𝟑 + 𝟒

𝟐𝟓=

𝟖

𝟐𝟓

3د / 2012وزاري

𝟏 − 𝟐

𝟏 + + 𝟏 + 𝟐

𝟏 − = −𝟐

الطريقة األولى 𝟏 − 𝟑 + 𝟏 + 𝟑

𝟏 + 𝟏 − = 𝟏 − 𝟐 𝟏 − + 𝟏 + 𝟐 𝟏 +

𝟏𝟐 + 𝟏𝟐

𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟏 − + 𝟏 + 𝟐 + 𝟐 𝟏 +

𝟏 + 𝟏= −𝟐 𝟏 − + 𝟐 𝟏 +

𝟐

−𝟐 + 𝟐 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐

𝟐=𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐

𝟐=−𝟐 − 𝟐

𝟐=−𝟒

𝟐= −𝟐


13

الطريقة الثانية 𝟏 − 𝟐

𝟏 + + 𝟏 + 𝟐

𝟏 − = 𝟏 − 𝟏 −

𝟏 + + 𝟏 + 𝟏 +

𝟏 −

(𝟏 −

𝟏 + ) 𝟏 − + (

𝟏 +

𝟏 − ) 𝟏 + = (

𝟏 −

𝟏 + 𝟏 −

𝟏 − ) 𝟏 − + (

𝟏 +

𝟏 − 𝟏 +

𝟏 + ) 𝟏 +

.𝟏 − − + 𝟐

𝟏𝟐 + 𝟏𝟐/ 𝟏 − + .

𝟏 + + + 𝟐

𝟏𝟐 + 𝟏𝟐/ 𝟏 + = (

−𝟐

𝟐) 𝟏 − + (

𝟐

𝟐) 𝟏 +

− 𝟏 − + 𝟏 + = − + 𝟐 + + 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 = −𝟏− 𝟏 = −𝟐

الطريقة الثالثة 𝟏 − 𝟐

𝟏 + + 𝟏 + 𝟐

𝟏 − =𝟏 − 𝟐 + 𝟐

𝟏 + +𝟏 + 𝟐 + 𝟐

𝟏 − =

−𝟐

𝟏 + +

𝟐

𝟏 −

الحظ عززي الطالب نا تستطع أن تضرب كل جزء بالمرافق أو توجد المضاعف )توحد المقامات(

−𝟐 𝟏 − + 𝟐 𝟏 +

𝟏 + 𝟏 − =−𝟐 + 𝟐 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐

𝟏𝟐 + 𝟏𝟐=𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐

𝟏 + 𝟏=−𝟐 − 𝟐

𝟐=−𝟒

𝟐= −𝟐

الطريقة الرابعة 𝟏 − 𝟐

𝟏 + + 𝟏 + 𝟐

𝟏 − = 0

𝟏 − 𝟐

𝟏 + 𝟏 −

𝟏 − 1 + 0

𝟏 + 𝟐

𝟏 − 𝟏 +

𝟏 + 1

= 0 𝟏 − 𝟑

𝟏𝟐 + 𝟏𝟐1 + 0

𝟏 + 𝟑

𝟏𝟐 + 𝟏𝟐1 = 0

𝟏 − 𝟐 𝟏 −

𝟏 + 𝟏1 + 0

𝟏 + 𝟐 𝟏 +

𝟏 + 𝟏1

= 0 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟏 −

𝟐1 + 0

𝟏 + 𝟐 + 𝟐 𝟏 +

𝟐1 = 0

−𝟐 𝟏 −

𝟐1 + 0

𝟐 𝟏 +

𝟐1

= 0−𝟐 + 𝟐 𝟐

𝟐1 + 0

𝟐 + 𝟐 𝟐

𝟐1 = [

−𝟐 − 𝟐

𝟐] + [

−𝟐 + 𝟐

𝟐] = −𝟏 − − 𝟏 + = −𝟐

𝟏 − 𝟏 − 𝟐 𝟏 − 𝟑 = 𝟒

𝟏 − 𝟏 − 𝟐 𝟏 − 𝟑 = 𝟏 − 𝟏 + 𝟏 [𝟏 − − ]

𝟏 − 𝟐 [𝟏 + ] = 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 − 𝟐 − 𝟐 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 = 𝟒

, 𝟐𝟗 مززن األعززداد حلززل كززالا / 4س 𝟏𝟐𝟓 , 𝟒𝟏 , الززى حاصززل ضززرب عززاملن مززن 𝟖𝟓

+ الصورة , حث :عددان نسبان

𝟐𝟗 = 𝟐𝟓 + 𝟒 = 𝟐𝟓 − 𝟒 𝟐 = 𝟓 − 𝟐 𝟓 + 𝟐

𝟏𝟐𝟓 = 𝟏𝟐𝟏 + 𝟒 = 𝟏𝟐𝟏 − 𝟒 𝟐 = 𝟏𝟏 − 𝟐 𝟏𝟏 + 𝟐

𝟒𝟏 = 𝟐𝟓 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟓 − 𝟏𝟔 𝟐 = 𝟓 − 𝟒 𝟓 + 𝟒

𝟖𝟓 = 𝟖𝟏 + 𝟒 = 𝟖𝟏 − 𝟒 𝟐 = 𝟗 − 𝟐 𝟗 + 𝟐


14

, جد قمة / 5س أذا علمت أن 𝟔

+ ,

𝟑+

𝟐− . مترافقان

البسط والمقام للعدد التخل إشارةنغر 𝟑+

𝟐− . لك صبح العددان متساوان ونحل المعالة

𝟔

+ =𝟑 −

𝟐 + 𝟔 𝟐 + = + 𝟑 − + =

𝟔 𝟐 +

𝟑 −

+ = 𝟔 𝟐 +

𝟑 − 𝟑 +

𝟑 + = 𝟔 𝟔 + 𝟐 + 𝟑 + 𝟐

𝟑𝟐 + 𝟏𝟐= 𝟔 𝟓 + 𝟓

𝟗 + 𝟏=𝟑𝟎 + 𝟑𝟎

𝟏𝟎

+ = 𝟑 + 𝟑 = 𝟑 , = 𝟑

******************************************************************

أمثلة أضافية محلولة كل مما أت :أكتب بالصغة العادة أو الجبرة / مثال

𝟏 𝟓 + 𝟑 𝟏 + + 𝟐 − 𝟐

𝟓 + 𝟓 + 𝟑 + 𝟑 𝟐 + 𝟒 − 𝟒 + 𝟐 = 𝟐 + 𝟖 + 𝟑 − 𝟒 = 𝟓 + 𝟒

𝟐 . 𝟑 −

𝟏 + 𝟑 /

𝟗

. 𝟑 −

𝟏 + 𝟑 /

𝟗

= . 𝟑 −

𝟏 + 𝟑

𝟏 − 𝟑

𝟏 − 𝟑 /

𝟗

= ( 𝟑 − 𝟑 − + 𝟑 𝟐

𝟏𝟐 + 𝟑 𝟐

)

𝟗

= (−𝟒

𝟒)𝟗

= − 𝟗

= − 𝟖 = − = 𝟎 −

𝟑 𝟏 − −𝟑 𝟐+ 𝟐 − −𝟑

𝟐

𝟏 − 𝟑 𝟐+ 𝟐 − 𝟑

𝟐= 𝟏 − 𝟐 𝟑 + 𝟑 𝟐 + 𝟒 − 𝟒 𝟑 + 𝟑 𝟐

−𝟐 − 𝟐 𝟑 + 𝟏 − 𝟒 𝟑 = −𝟏 − 𝟔 𝟑

𝟔مجموعهما مترافقن جد عددن مركبن/ مثال 𝟏𝟎 وحاصل ضربهما = =

𝟏 العدد هو نفرض أن = + 𝟐 عدد مركب مرافقه هو = −

𝟏 + 𝟐 = 𝟐 𝟔 = 𝟐 = 𝟑

𝟏. 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 𝟏𝟎 = 𝟑𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟏 = 𝟏

𝟑 العددان هما ∴ − 𝟑 و +


15

𝟑 العدد أكتب/ مثال + 𝟐 −𝟐 + . بالصغة العادة ثم جد النظر الضرب له بالصغة الدكارتة

𝟑 + 𝟐 −𝟐 + = −𝟔 + 𝟑 − 𝟒 + 𝟐 𝟐 = −𝟖 − الصيغة االجبرية

𝟏

−𝟖 − =

𝟏

−𝟖 − −𝟖 +

−𝟖 + =

−𝟖 +

−𝟖 𝟐 + 𝟏𝟐=−𝟖

𝟔𝟓+

𝟏

𝟔𝟓 = (

−𝟖

𝟔𝟓 ,

𝟏

𝟔𝟓) الصيغة الديكارتية

= أذا كان / مثال −𝟏 + 𝟐 فأوجد قمة المعادلة 𝟐 + 𝟐 + 𝟓

𝟐 + 𝟐 + 𝟓 = −𝟏 + 𝟐 𝟐 + 𝟐 −𝟏 + 𝟐 + 𝟓

= 𝟏 − 𝟒 + 𝟒 𝟐 + −𝟐 + 𝟒 + 𝟓 = −𝟑 − 𝟒 − 𝟐 + 𝟒 + 𝟓 = 𝟎 = 𝟎 + 𝟎

+ 𝟐مرافق له جد العدد المركب الذي حقق و ℂ أذا كان / مثال 𝟑 =𝟑 +

= + = −

𝟑 + + − = 𝟐 + 𝟑 𝟑 + 𝟑 + − = 𝟐 + 𝟑

𝟑 + = 𝟑 𝟒 = 𝟑 =𝟑

𝟒

𝟑 − = 𝟐 𝟐 = 𝟐 = 𝟏

= + =𝟑

𝟒+

= كانأذا / مثال 𝟏𝟑−

𝟒+ , =

𝟕−

𝟐− , أثبت أن + 𝟐 أحسب المقدا ر ثم مترافقان 𝟐 𝟐 .

نثبت أن ناتج عملية الجمع والضرب ينتمي الى مجموعة األعداد الحقيقية

=𝟏𝟑 −

𝟒 + =𝟏𝟑 −

𝟒 +

𝟒 −

𝟒 − =𝟓𝟐 − 𝟏𝟑 − 𝟒 + 𝟐

𝟒𝟐 + 𝟏𝟐=𝟓𝟏 − 𝟏𝟕

𝟏𝟕=𝟓𝟏

𝟏𝟕−𝟏𝟕

𝟏𝟕 = 𝟑 −

=𝟕 −

𝟐 − =𝟕 −

𝟐 − 𝟐 +

𝟐 + =𝟏𝟒 + 𝟕 − 𝟐 − 𝟐

𝟐𝟐 + 𝟏𝟐=𝟏𝟓 + 𝟓

𝟓= 𝟑 +

𝟑 + + 𝟑 − = 𝟔

𝟑 + 𝟑 − = 𝟑𝟐 + 𝟏𝟐 = 𝟗 + 𝟏 = 𝟏𝟎

, مترافقان

𝟐 + 𝟐 = + = 𝟏𝟎 𝟔 = 𝟔𝟎


16

العادة أو الجبرة بدون الضرب بالعامل المنسب )المرافق(أكتب بالصغة / مثال

𝟓

𝟏 − 𝟐

𝟓

𝟏 − 𝟐 =

𝟏 + 𝟒

𝟏 − 𝟐 =𝟏 − 𝟒 𝟐

𝟏 − 𝟐 = 𝟏 − 𝟐 𝟏 + 𝟐

𝟏 − 𝟐 = 𝟏 + 𝟐

𝟓

𝟐 −

𝟓

𝟐 − =𝟒 + 𝟏

𝟐 − =𝟒 − 𝟐

𝟐 − = 𝟐 − 𝟐 +

𝟐 − = 𝟐 +

𝟏𝟑

𝟐 + 𝟑

𝟏𝟑

𝟐 + 𝟑 =

𝟒 + 𝟗

𝟐 + 𝟑 =𝟒 − 𝟗 𝟐

𝟐 + 𝟑 = 𝟐 − 𝟑 𝟐 + 𝟑

𝟐 + 𝟑 = 𝟐 − 𝟑

𝟏𝟑

𝟑 + 𝟐

𝟏𝟑

𝟑 + 𝟐 =

𝟗 + 𝟒

𝟑 + 𝟐 =𝟗 − 𝟒 𝟐

𝟑 + 𝟐 = 𝟑 − 𝟐 𝟑 + 𝟐

𝟑 + 𝟐 = 𝟑 − 𝟐

𝟏𝟎

𝟏 + 𝟐

𝟏𝟎

𝟏 + 𝟐 =

𝟐 𝟓

𝟏 + 𝟐 =𝟐 𝟏 + 𝟒

𝟏 + 𝟐 =𝟐 𝟏 − 𝟒 𝟐

𝟏 + 𝟐 =𝟐 𝟏 − 𝟐 𝟏 + 𝟐

𝟏 + 𝟐 = 𝟐 𝟏 − 𝟐

𝟏𝟎

𝟏 + 𝟐 = 𝟐 − 𝟒

𝟏𝟎

𝟐 +

𝟏𝟎

𝟐 + =𝟐 𝟓

𝟐 + =𝟐 𝟒 + 𝟏

𝟐 + =𝟐 𝟒 − 𝟐

𝟐 + =𝟐 𝟐 − 𝟐 +

𝟐 + = 𝟐 𝟐 − = 𝟒 − 𝟐

كل مما أت : حلل الى عاملن لعددن مركبن/ مثال

𝟏 𝟐 + 𝟒 𝟐 + 𝟒 = 𝟐 − 𝟒 𝟐 = − 𝟐 + 𝟐

𝟐 𝟐 + 𝟐𝟓 𝟐 𝟐 + 𝟐𝟓 𝟐 = 𝟐 − 𝟐𝟓 𝟐 𝟐 = − 𝟓 + 𝟓

𝟑 𝟑 − 𝟔𝟒 𝟑 − 𝟔𝟒 = 𝟑 + 𝟔𝟒 𝟑 = + 𝟒 𝟐 − 𝟒 − 𝟏𝟔

𝟒 𝟑 +𝟏

𝟐𝟕 𝟑 +

𝟏

𝟐𝟕 = 𝟑 −

𝟏

𝟐𝟕 𝟑 = ( −

𝟏

𝟑 ) ( 𝟐 +

𝟏

𝟑 +

𝟏

𝟗 𝟐)

𝟑 +𝟏

𝟐𝟕 = ( −

𝟏

𝟑 ) ( 𝟐 +

𝟏

𝟑 −

𝟏

𝟗)

𝟓 𝟐 − + 𝟏𝟐 𝟐 − + 𝟏𝟐 = 𝟐 − − 𝟏𝟐 𝟐 = − 𝟒 + 𝟑

𝟔 𝟐 + 𝟕 − 𝟏𝟎 𝟐 + 𝟕 + 𝟏𝟎 𝟐 = + 𝟓 + 𝟐

𝟕 − 𝟐 𝟐 + 𝟒 − 𝟐 𝟐 + 𝟒 = − 𝟐 𝟐 − 𝟒 𝟐 = − 𝟐 − 𝟐 − 𝟐 + 𝟐


17

, أوجد قمة / مثال ف كل مما أت : الحققتن والت تحقق المعادلة

𝟑 + 𝟐 𝟐 = + 𝟑 𝟐

𝟗 + 𝟏𝟐 + 𝟒 𝟐 = 𝟐 + 𝟔 + 𝟗 𝟐 𝟗 + 𝟏𝟐 − 𝟒 = 𝟐 + 𝟔 − 𝟗

𝟗 − 𝟒 = 𝟐 − 𝟗 𝟓 = 𝟐 − 𝟗 = 𝟐 − 𝟗

𝟓 معادلة

𝟏𝟐 = 𝟔 𝟐 = ①معادلة نعوض في

= 𝟐 − 𝟗

𝟓 =

𝟐 𝟐 − 𝟗

𝟓=𝟒 𝟐 − 𝟗

𝟓 𝟓 = 𝟒 𝟐 − 𝟗 𝟒 𝟐 − 𝟓 − 𝟗 = 𝟎

𝟒 𝟐 − 𝟓 − 𝟗 = 𝟎 𝟒 − 𝟗 + 𝟏 = 𝟎

𝟒 − 𝟗 = 𝟎 𝟒 = 𝟗 =𝟗

𝟒 = 𝟐 = 𝟐 (

𝟗

𝟒) =

𝟗

𝟐

+ 𝟏 = 𝟎 = −𝟏 = 𝟐 = 𝟐 −𝟏 = −𝟐

+ 𝟓 = 𝟐 + +

+ 𝟓 = 𝟐 + + + 𝟓 = 𝟐 𝟐 + 𝟐 + + 𝟐 + 𝟓 = 𝟐 𝟐 + 𝟑 − 𝟏

= 𝟐 𝟐 − معادلة 𝟏

𝟓 = 𝟑 =𝟓

𝟑①معادلة نعوض في

= 𝟐 (𝟓

𝟑)𝟐

− 𝟏 = 𝟐(𝟐𝟓

𝟗) − 𝟏 =

𝟓𝟎

𝟗− 𝟏 =

𝟓𝟎 − 𝟗

𝟗 =

𝟒𝟏

𝟗

+ 𝟐 − = 𝟖 +

+ =𝟖 +

𝟐 − =𝟖 +

𝟐 − 𝟐 +

𝟐 + =𝟏𝟔 + 𝟖 + 𝟐 + 𝟐

𝟐𝟐 + 𝟏𝟐=𝟏𝟓 + 𝟏𝟎

𝟓= 𝟑 + 𝟐

+ = 𝟑 + 𝟐 = 𝟑 = 𝟐

+ + = 𝟏

+ =𝟏

+ =

𝟏

+ −

− =

−

𝟐 + 𝟐 + =

−

𝟐 + 𝟐

=

𝟐 + 𝟐 =

−

𝟐 + 𝟐


18

+ + − = 𝟏𝟑 −

𝟐 + + 𝟐 − = 𝟏𝟑 − 𝟐 + 𝟐 + − = 𝟏𝟑 −

𝟐 + 𝟐 = معادلة 𝟏𝟑

− = −𝟏 = + في②معادلة ① معادلة 𝟏 نعوض

𝟐 + + 𝟏 𝟐 = 𝟏𝟑 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 + 𝟏 = 𝟏𝟑

𝟐 𝟐 + 𝟐 − 𝟏𝟐 = 𝟎 ( نقسم المعادلة على 𝟐)

⇒ 𝟐 + − 𝟔 = + 𝟑 − 𝟐 = 𝟎

+ 𝟑 = 𝟎 = −𝟑 = + 𝟏 = −𝟑 + 𝟏 = −𝟐

− 𝟐 = 𝟎 = 𝟐 = + 𝟏 = 𝟐 + 𝟏 = 𝟑

𝟐 + − + =𝟗 𝟐 + 𝟒𝟗

𝟑 + 𝟕

−𝟐 + 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 =𝟗 𝟐 − 𝟒𝟗 𝟐

𝟑 + 𝟕

−𝟑 + 𝟐 − 𝟐 = 𝟑 − 𝟕 𝟑 + 𝟕

𝟑 + 𝟕 −𝟑 + 𝟐 − 𝟐 = 𝟑 − 𝟕

−𝟑 = 𝟑 − = معادلة

𝟐 − 𝟐 = −𝟕 𝟐 + 𝟕 = 𝟐 𝟐 = 𝟗 = 𝟑 ①معادلة نعوض في

= − = − 𝟑 = 𝟑

:الى عاملن لعددن مركبنكل مما أت حلل / 1س

𝟒 𝟑 +𝟏

𝟏𝟐𝟓

𝟏 𝟐 + 𝟗

𝟓 𝟐 − + 𝟔 𝟐 𝟐 + 𝟏𝟔 𝟐

𝟔 𝟐 + 𝟕 − 𝟏𝟐 𝟑 𝟑 − 𝟖

𝟖 𝟑 − 𝟐 𝟐 + 𝟗 𝟕 − 𝟏 𝟐 + 𝟒


19

, أوجد قمة / 2س ف كل مما أت : الحققتن والت تحقق المعادلة

+ 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 𝟒

+ 𝟐 𝟏 + 𝟑 = 𝟏

+ −𝟏 = 𝟏 + 𝟑

𝟏 − 𝟑

𝟏

𝟏 + = + 𝟐

𝟏 + 𝟑

+ = 𝟓 + 𝟐 −𝟐

:ضع كال مما ل بالصغة العادة للعدد المركب / 3س

𝟓 + 𝟐 −𝟐 𝟑 + 𝟒 −𝟏 𝟏 + 𝟐 −𝟐 𝟑 + 𝟒 𝟐

******************************************************************

الجذور التربعة للعدد المركب

𝟐 أذا كان = = فأن 𝟐 أما أذا كانت و الجذور التربعة للعد د = = فأن 𝟒 زو 𝟐

. احد جذري المعادلة وألجاد الجذور التربعة للعدد المركب توجد طرقتان الحظ األمثلة التالة

= جد الجذور التربعة للعدد / (14مثال ) 𝟖 + 𝟔

+ و (c) نفرض أن الجذر التربع للعدد / ①الطرقة

+ 𝟐 = 𝟖 + 𝟔 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟖 + 𝟔 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟖 + 𝟔

𝟐 − 𝟐 = ①معادلة 𝟖

𝟐 = 𝟔 = 𝟑 =𝟑

②معادلة في②معادلة ① نعوض

𝟐 −𝟗

𝟐= 𝟖

(نضرب 𝟐 )

⇒ 𝟒 − 𝟗 = 𝟖 𝟐 𝟒 − 𝟖 𝟐 − 𝟗 = 𝟎 𝟐 − 𝟗 𝟐 + 𝟏 = 𝟎

𝟐 = 𝟗 = 𝟑 ②معادلة نعوض في

=𝟑

=

𝟑

𝟑 = 𝟏

𝟐 + 𝟏 = 𝟎 𝟐 = يهمل 𝟏−

𝟑 + , − 𝟑 − الجذران هما

نالجزء الحقق الى عدد نجزئ / ②الطرقة

𝟖 + 𝟔 = 𝟗 + 𝟔 − 𝟏 = 𝟗 + 𝟔 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟐 بالجذر ⇒ = 𝟑 +

𝟑 + , − 𝟑 − الجذران هما


20

مالحظة+ نفرض الجزذر زو حتوي على مركب عند أجاد الجذور التربعة لعدد ثزم نربعزه ونكمزل الحزل كمزا

. ف المثال التال, 𝟖 :جد الجذور التربعة لؤلعداد / (51مثال ) − , −𝟏𝟕,−𝟐𝟓

𝟖

+ و 𝟖 نفرض أن الجذر التربع للعدد / ①الطرقة

𝟖 = + 𝟐 𝟖 = 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟖 = 𝟐 − 𝟐 + 𝟐

𝟐 − 𝟐 = ①معادلة 𝟎

𝟐 = 𝟖 = 𝟒 =𝟒

②معادلة في②معادلة ① نعوض

𝟐 −𝟏𝟔

𝟐= 𝟎

(نضرب 𝟐 )

⇒ 𝟒 − 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐 − 𝟒 𝟐 + 𝟒 = 𝟎

𝟐 − 𝟒 = 𝟎 𝟐 = 𝟒 = 𝟐 نعوضها في معادلة ②

=𝟒

=

𝟒

𝟐 = 𝟐

𝟐 + 𝟒 = 𝟎 𝟐 = تهمل 𝟒−

𝟐 + 𝟐 , −𝟐 − الجذران هما 𝟐

/ ②الطريقة

𝟖 = 𝟒 + 𝟖 − 𝟒 = 𝟒 + 𝟖 + 𝟒 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 𝟐 بالجذر ⇒ 𝟐 + 𝟐

𝟐 + 𝟐 , −𝟐 − الجذران هما 𝟐

−

+ و − نفرض أن الجذر التربع للعدد / ①الطرقة

− = + 𝟐 − = 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 − = 𝟐 − 𝟐 + 𝟐

𝟐 − 𝟐 = ①معادلة 𝟎

𝟐 = −𝟏 =−𝟏

𝟐 =

−𝟏

𝟐 ②معادلة في②معادلة ① نعوض

𝟐 −𝟏

𝟒 𝟐= 𝟎

(نضرب 𝟐 𝟒)

⇒ 𝟒 𝟒 − 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐 − 𝟏 𝟐 𝟐 + 𝟏 = 𝟎

𝟐 𝟐 − 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐 = 𝟏 𝟐 =𝟏

𝟐 =

𝟏

𝟐 نعوضها في معادلة ②

=−𝟏

𝟐 =

−𝟏

𝟐 ( 𝟏

𝟐) =

−𝟏

𝟐 𝟐( 𝟏

𝟐) =

𝟏

𝟐


21

𝟐 𝟐 + 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐 = −𝟏 𝟐 =−𝟏

𝟐 تهمل

−𝟏

𝟐+

𝟏

𝟐 ,

𝟏

𝟐−

𝟏

𝟐 الجذران هما

/ ②الطريقة

− = √𝟏

𝟐− −

𝟏

𝟐 = √

𝟏

𝟐− +

𝟏

𝟐 𝟐 = √(

𝟏

𝟐−

𝟏

𝟐 )

𝟐

= (𝟏

𝟐−

𝟏

𝟐 )

−𝟏

𝟐+

𝟏

𝟐 ,

𝟏

𝟐−

𝟏


− 𝟏𝟕

𝟐 = −𝟏𝟕 = −𝟏𝟕 = 𝟏𝟕 −𝟏 = 𝟏𝟕 𝟐 = 𝟏𝟕

− 𝟐𝟓

𝟐 = −𝟐𝟓 = −𝟐𝟓 = 𝟐𝟓 −𝟏 = 𝟐𝟓 𝟐 = 𝟓

ℂحل المعادلة التربعة ف 𝟐 مثالا كن حلها بطرقة التجربة فه تحل بطرقة الدستورم كل معادلة تربعة ال + + = 𝟎

, و 𝟎 حث , = فزأن − 𝟐−𝟒

𝟐 ز ـزـدار الممــزـه أذا كزان مقــــزـظ أنـزـونالح

𝟐 − ا 𝟒 ووجزد نوعزان فأن مجموعة الحلول الخاصة بالمعادلزة تنتمز الزى مجموعزة األعزداد المركبزة سالبا .من حل المعادالت التربعة

على يال حتوالنوع األول / الممز

𝟐 حل المعادلة التربعة / (16مثال ) + 𝟒 + 𝟓 = .ف مجموعة األعداد المركبة 𝟎

= حسب قانون الدستور فأن , = 4 , = 5

=− 𝟐 − 𝟒

𝟐 =

−𝟒 𝟏𝟔 − 𝟒 𝟏 𝟓

𝟐 𝟏 =

−𝟒 𝟏𝟔 − 𝟐𝟎

𝟐=−𝟒 −𝟒

𝟐

=−𝟒 𝟒 −𝟏

𝟐 =

−𝟒 𝟒 𝟐

𝟐 =

−𝟒 𝟐

𝟐 = −𝟐

{−𝟐 + , −𝟐 − } مجموعة حل المعادلة هي


22

مالحظة

𝟐 المعادلة التربعة جذري من قانون الدستور نعلم أن + + = معامالتها الحققة الت 𝟎

𝟏 =− + 𝟐 − 𝟒

𝟐 , 𝟐 =

− − 𝟐 − 𝟒

𝟐

𝟏 + 𝟐 =− + 𝟐 − 𝟒

𝟐 +− − 𝟐 − 𝟒

𝟐 =− + 𝟐 − 𝟒 − − 𝟐 − 𝟒

𝟐

𝟏 + 𝟐 =−𝟐

𝟐 𝟏 + 𝟐 =

−

(مجموع الجذرين)

𝟏. 𝟐 =− + 𝟐 − 𝟒

𝟐 − − 𝟐 − 𝟒

𝟐

𝟏. 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 − 𝟒 − 𝟐 − 𝟒 − 𝟐 − 𝟒

𝟐

𝟒 𝟐 =

𝟐 − 𝟐 + 𝟒

𝟒 𝟐 =

𝟒

𝟒 𝟐=

𝟏. 𝟐 =

( حاصل ضرب الجذرين)

:من الخاصة أعاله ف أجاد الجذور التربعة وكما ل االستفادةومكن

𝟐 − ( مجموع الجذرين) + ( حاصل ضرب الجذرين) = 𝟎 𝟐 −

+

= 𝟎

𝟐 جذرا ا ت جد المعادلة التربعة ال/ (71مثال ) + 𝟐

−𝟐 − 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 = −𝟐 + 𝟐 + −𝟐 + 𝟐 = 𝟎 + مجموع الجذرين 𝟎

−𝟐 − 𝟐 . 𝟐 + 𝟐 = −𝟒 − 𝟒 − 𝟒 − 𝟒 𝟐 = −𝟒 − 𝟖 + 𝟒 = حاصل ضرب الجذرين 𝟖−

𝟐 − ( مجموع الجذرين) + ( حاصل ضرب الجذرين) = 𝟎

𝟐 − 𝟎 + −𝟖 = 𝟎 𝟐 − 𝟖 = المعادلة التربيعية 𝟎

مالحظة+ ا أحززد جززذرا معامالتهززا حققززة والتزز المعادلززة التربعززة التزز فززأن الجززذر األخززر ززو 𝟎 حززث

− والعكس صحح .

𝟑ها جذر معامالتها حققة وأحد كون المعادلة التربعة الت/ (81مثال ) − 𝟒

𝟑أحد الجذرين هو معامالت المعادلة حقيقية و ∵ − 𝟒

𝟑الجذر األخر هو المرافق ويساوي ∴ + 𝟒

𝟑 − 𝟒 + 𝟑 + 𝟒 = 𝟑 + 𝟑 + −𝟒 + 𝟒 = مجموع الجذرين 𝟔

𝟑 − 𝟒 . 𝟑 + 𝟒 = 𝟗 + 𝟏𝟐 − 𝟏𝟐 − 𝟏𝟔 𝟐 = 𝟗 + 𝟏𝟔 = حاصل ضرب الجذرين 𝟐𝟓


𝟐 − 𝟔 + 𝟐𝟓 = 𝟎 𝟐 − 𝟔 + 𝟐𝟓 = المعادلة التربيعية 𝟎


23

− تمارين 2

حل المعادالت التربعة األتة وبن أي منها كون جذرا ا مترافقان ؟ / 1س 𝟐 = −𝟏𝟐

𝟐 = 𝟏𝟐 𝟐 = 𝟏𝟐 𝟐 = ( جذراها مترافقان) 𝟑 𝟐

𝟐 − 𝟑 + 𝟑 + = 𝟎

= 𝟏 = −𝟑 = 𝟑 + تحل بالدستور

=− 𝟐 − 𝟒

𝟐 =

− −𝟑 𝟗 − 𝟒 𝟏 𝟑 +

𝟐 𝟏

=𝟑 𝟗 − 𝟏𝟐 − 𝟒

𝟐 =

𝟑 −𝟑 − 𝟒

𝟐①معادلة

𝟑− األن نحسب مقدار الجذر − ①ف المعادلة ثم نعوضه 𝟒

+ = −𝟑−𝟒 تربيع الطرفين⇒ + 𝟐 = −𝟑 − 𝟒 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = −𝟑 − 𝟒

𝟐 − 𝟐 = ②معادلة 𝟑−

𝟐 = −𝟒 =−𝟒

𝟐 =

−𝟐

③معادلة ③معادلة في نعوض

𝟐 − (−𝟐

)𝟐

= −𝟑 𝟐 −𝟒

𝟐= −𝟑 ( 𝟐 (نضرب

𝟒 − 𝟒 = −𝟑 𝟐 𝟒 + 𝟑 𝟐 − 𝟒 = 𝟎 𝟐 + 𝟒 𝟐 − 𝟏 = 𝟎

𝟐 + 𝟒 = 𝟎 𝟐 = (يهمل) 𝟒−

𝟐 − 𝟏 = 𝟎 𝟐 = 𝟏 = 𝟏 ③معادلة نعوض في

=−𝟐

=

−𝟐

𝟏 = 𝟐

𝟏 − 𝟐 , −𝟏 + ①نعوض في المعادلة الجذران هما 𝟐

=𝟑 − 𝟏 + 𝟐

𝟐 =

𝟐 + 𝟐

𝟐 = 𝟏 +

=𝟑 + 𝟏 − 𝟐

𝟐 =

𝟒 − 𝟐

𝟐 = 𝟐 −

𝟏}مجموعة الحل هي ∴ + , 𝟐 − والجذران غير مترافقان {


24

𝟐 𝟐 − 𝟓 + 𝟏𝟑 = 𝟎

= 𝟐 = −𝟓 = 𝟏𝟑 تحل بالدستور

=− 𝟐 − 𝟒

𝟐 =

− −𝟓 𝟐𝟓 − 𝟒 𝟐 𝟏𝟑

𝟐 𝟐 =𝟓 𝟐𝟓 − 𝟏𝟎𝟒

𝟒

=𝟓 −𝟕𝟗

𝟒 =

𝟓 𝟕𝟗 𝟐

𝟒=𝟓 𝟕𝟗

𝟒 =

𝟓

𝟒 𝟕𝟗

𝟒

,مجموعة الحل هي ∴𝟓

𝟒+

𝟕𝟗

𝟒 ,

𝟓

𝟒−

𝟕𝟗

𝟒 والجذران مترافقان -

𝟐 + 𝟐 + 𝟐 − = 𝟎

= 𝟏 = 𝟐 = 𝟐 − = 𝟐 − 𝟐 = 𝟏 + تحل بالدستور 𝟐

=− 𝟐 − 𝟒

𝟐 =−𝟐 𝟒 − 𝟒 𝟏 𝟏 + 𝟐

𝟐 𝟏 =

−𝟐 𝟒 − 𝟒 − 𝟖

𝟐

=−𝟐 −𝟖

𝟐①معادلة

①ثم نعوضه في المعادلة 𝟖− األن نحسب مقدار الجذر

+ = −𝟖 تربيع الطرفين⇒ + 𝟐 = −𝟖 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟎 − 𝟖

𝟐 − 𝟐 = ②معادلة 𝟎

𝟐 = −𝟖 =−𝟖

𝟐 =

−𝟒

③معادلة ③معادلة في نعوض

(−𝟒

)𝟐

− 𝟐 = 𝟎 𝟏𝟔

𝟐− 𝟐 = 𝟎 (− 𝟐 (نضرب

𝟒 − 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐 − 𝟒 𝟐 + 𝟒 = 𝟎

𝟐 − 𝟒 = 𝟎 𝟐 = 𝟒 = 𝟐 ③معادلة نعوض في

=−𝟒

=

−𝟒

𝟐 = 𝟐

𝟐 − 𝟐 , −𝟐 + ①نعوض في المعادلة الجذران هما 𝟐

=−𝟐 + 𝟐 − 𝟐

𝟐 =

−𝟐

𝟐 = −

=−𝟐 − 𝟐 + 𝟐

𝟐 =

−𝟒 + 𝟐

𝟐 = −𝟐 +

− , −}مجموعة الحل هي ∴ 𝟐 + والجذران غير مترافقان {


25

التجربة الحظ الحلأخرى بواسطة قانون السابق بطرقة (d)مكن حل الفرع

𝟐 + 𝟐 + 𝟐 − = 𝟎

+ + 𝟐 − = 𝟎

= − = −𝟐 +

− , −}مجموعة الحل هي ∴ 𝟐 + والجذران غير مترافقان {

𝟒 𝟐 + 𝟐𝟓 = 𝟎

𝟒 𝟐 = −𝟐𝟓 𝟐 =−𝟐𝟓

𝟒 𝟐 =

𝟐𝟓 𝟐

𝟒 = √

𝟐𝟓 𝟐

𝟒 =

𝟓

𝟐

−,مجموعة الحل هي ∴𝟓

𝟐 ,

𝟓

𝟐 والجذران مترافقان -

𝟐 − 𝟐 + 𝟑 = 𝟎

𝟐 − 𝟐 − 𝟑 𝟐 = 𝟎 − 𝟑 + = 𝟎

− 𝟑 = 𝟎 = 𝟑 + = 𝟎 = −

والجذران غير مترافقان { 𝟑 , −}مجموعة الحل هي ∴

𝟐 − 𝟐 + 𝟑 = ( حل أخر) 𝟎

= 𝟏 = −𝟐 = 𝟑 تحل بالدستور

=− 𝟐 − 𝟒

𝟐 =

− −𝟐 −𝟒 − 𝟒 𝟏 𝟑

𝟐 𝟏 =𝟐 −𝟏𝟔

𝟐=𝟐 𝟒

𝟐= 𝟐

والجذران غير مترافقان { 𝟑 , −}مجموعة الحل هي ∴

حث : , المعادلة التربعة الت جذرا ا كون / 2س

= 𝟏 + 𝟐 = 𝟏 −

𝟏 + 𝟐 + 𝟏 − = 𝟏 + 𝟏 + 𝟐 − 𝟏 = 𝟐 + مجموع الجذرين

𝟏 + 𝟐 . 𝟏 − = 𝟏 − + 𝟐 − 𝟐 𝟐 = 𝟑 + حاصل ضرب الجذرين


𝟐 − 𝟐 + + 𝟑 + = المعادلة التربيعية 𝟎


26

=𝟑 −

𝟏 + = 𝟑 − 𝟐 𝟐

=𝟑 −

𝟏 + =𝟑 −

𝟏 + 𝟏 −

𝟏 − =𝟑 − 𝟑 − + 𝟐

𝟏𝟐 + 𝟏𝟐=𝟐 − 𝟒

𝟐 = 𝟏 − 𝟐

= 𝟑 − 𝟐 𝟐 = 𝟗 − 𝟏𝟐 + 𝟒 𝟐 = 𝟓 − 𝟏𝟐 = 𝟓 − 𝟏𝟐

𝟏 − 𝟐 + 𝟓 − 𝟏𝟐 = 𝟏 + 𝟓 + −𝟐 − 𝟏𝟐 = 𝟔 − مجموع الجذرين 𝟏𝟒

𝟏 − 𝟐 . 𝟓 − 𝟏𝟐 = 𝟓 − 𝟏𝟐 − 𝟏𝟎 + 𝟐𝟒 𝟐 = −𝟏𝟗 − حاصل ضرب الجذرين 𝟐𝟐


𝟐 − 𝟔 − 𝟏𝟒 + −𝟏𝟗 − 𝟐𝟐 = المعادلة التربيعية 𝟎

: المركبة األتة لؤلعدادجد الجذور التربعة / 3س

− 𝟔

+ = 𝟔 تربيع الطرفين⇒ + 𝟐 = −𝟔 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 = −𝟔

𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = −𝟔

𝟐 − 𝟐 = ①معادلة 𝟎

𝟐 = −𝟔 =−𝟔

𝟐 =

−𝟑

②معادلة نعوض معادلة في ①

𝟐 − (−𝟑

)𝟐

= 𝟎 𝟐 −𝟗

𝟐= 𝟎

(نضرب 𝟐 )

⇒ 𝟒 − 𝟗 = 𝟎

𝟒 − 𝟗 = 𝟎 𝟐 − 𝟑 𝟐 + 𝟑 = 𝟎

𝟐 − 𝟑 = 𝟎 𝟐 = 𝟑 = 𝟑 نعوض في معادلة

=−𝟑

=

−𝟑

𝟑 = 𝟑

𝟐 + 𝟑 = 𝟎 𝟐 = ( تهمل) 𝟑−

− 𝟑 + 𝟑 , 𝟑 − الجذران هما 𝟑


27

𝟕 + 𝟐𝟒

+ = 𝟕 + 𝟐𝟒 تربيع الطرفين⇒ + 𝟐 = 𝟕 + 𝟐𝟒

𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟕 + 𝟐𝟒 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟕 + 𝟐𝟒

𝟐 − 𝟐 = ①معادلة 𝟕

𝟐 = 𝟐𝟒 =𝟐𝟒

𝟐 =

𝟏𝟐

②معادلة ①معادلة نعوض في

𝟐 − (𝟏𝟐

)𝟐

= 𝟕 𝟐 −𝟏𝟒𝟒

𝟐= 𝟕

(نضرب 𝟐 )

⇒ 𝟒 − 𝟏𝟒𝟒 = 𝟕 𝟐

𝟒 − 𝟕 𝟐 − 𝟏𝟒𝟒 = 𝟎 𝟐 − 𝟏𝟔 𝟐 + 𝟗 = 𝟎

𝟐 − 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐 = 𝟏𝟔 = 𝟒 ②معادلة نعوض في

=𝟏𝟐

=

𝟏𝟐

𝟒 = 𝟑

𝟐 + 𝟗 = 𝟎 𝟐 = ( تهمل) 𝟗−

𝟒 + 𝟑 , −𝟒 − الجذران هما 𝟑

𝟒

𝟏 − 𝟑

+ جب تحولة الى الصغة عن طرق الضرب بمرافق المقام

𝟒

𝟏 − 𝟑 =

𝟒

𝟏 − 𝟑 𝟏 + 𝟑

𝟏 + 𝟑 =𝟒 𝟏 + 𝟑

𝟏𝟐 + 𝟑 𝟐=𝟒 𝟏 + 𝟑

𝟏 + 𝟑=𝟒 𝟏 + 𝟑

𝟒= 𝟏 + 𝟑

/ ①الطرقة

+ = √𝟏 + 𝟑 تربيع الطرفين⇒ + 𝟐 = 𝟏 + 𝟑

𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟏 + 𝟑 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟏 + 𝟑

𝟐 − 𝟐 = ①معادلة 𝟏

𝟐 = 𝟑 = 𝟑

𝟐 ②معادلة ①معادلة نعوض في

. 𝟑

𝟐 /

𝟐

− 𝟐 = 𝟏 𝟑

𝟒 𝟐− 𝟐 = 𝟏

(نضرب 𝟐 𝟒 )

⇒ 𝟑 − 𝟒 𝟒 = 𝟒 𝟐

𝟒 𝟒 + 𝟒 𝟐 − 𝟑 = 𝟎 𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟐 𝟐 − 𝟏 = 𝟎

𝟐 𝟐 − 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐 = 𝟏 𝟐 =𝟏

𝟐 =

𝟏

𝟐②معادلة نعوض في

= 𝟑

𝟐 =

𝟑

𝟐( 𝟏

𝟐)=

𝟑

𝟐 𝟐( 𝟏

𝟐) =

𝟑

𝟐

𝟐 𝟐 + 𝟑 = 𝟎 𝟐 𝟐 = ( تهمل) 𝟑−

𝟑

𝟐+

𝟏

𝟐 , −

𝟑

𝟐−

𝟏



28

/ ②الطرقة

√𝟏 + 𝟑 = √𝟑

𝟐+ 𝟑 −

𝟏

𝟐 = √

𝟑

𝟐+ 𝟑 +

𝟏

𝟐 𝟐 = √.

𝟑

𝟐+

𝟏

𝟐 /

𝟐

= . 𝟑

𝟐+

𝟏

𝟐 /

𝟑

𝟐+

𝟏

𝟐 , −

𝟑

𝟐−

𝟏


: المعامالت الحققة وأحد جذرها و ما المعادلة التربعة ذات / 4س

− المعامالت أعداد حققة لذا فان الجذر األخر و المرافق و و

+ − = 𝟎 + 𝟎 + 𝟏 − 𝟏 = 𝟎 + مجموع الجذرين 𝟎

. − = − 𝟐 = − −𝟏 = حاصل ضرب الجذرين 𝟏


𝟐 − 𝟎 + 𝟏 = 𝟎 𝟐 + 𝟏 = المعادلة التربيعية 𝟎

𝟓 −

𝟓 المعامالت أعداد حققة لذا فان الجذر األخر و المرافق و و +

𝟓 − + 𝟓 + = 𝟓 + 𝟓 + −𝟏 + 𝟏 = مجموع الجذرين 𝟏𝟎

𝟓 − . 𝟓 + = 𝟐𝟓 − 𝟓 + 𝟓 − 𝟐 = 𝟐𝟓 + 𝟏 = حاصل ضرب الجذرين 𝟐𝟔


𝟐 − 𝟏𝟎 + 𝟐𝟔 = المعادلة التربيعية 𝟎

𝟐 + 𝟑

𝟒

)المعامالت أعداد حققة لذا فان الجذر األخر و المرافق و و 𝟐

𝟒−

𝟑

𝟒 )

. 𝟐

𝟒+𝟑

𝟒 / + .

𝟐

𝟒−𝟑

𝟒 / = .

𝟐

𝟒+ 𝟐

𝟒/ + (

𝟑

𝟒−𝟑

𝟒) =

𝟐 𝟐

𝟒 =

𝟐

𝟐 مجموع الجذرين

. 𝟐

𝟒+𝟑

𝟒 / . .

𝟐

𝟒−𝟑

𝟒 / = .

𝟐

𝟒/

𝟐

+ (𝟑

𝟒)𝟐

=𝟐

𝟏𝟔+

𝟗

𝟏𝟔=𝟏𝟏

𝟏𝟔 حاصل ضرب الجذرين


𝟐 − . 𝟐

𝟐/ + (

𝟏𝟏

𝟏𝟔 ) = 𝟎 𝟐 −

𝟏

𝟐 +

𝟏𝟏

𝟏𝟔= المعادلة التربيعية 𝟎


29

𝟑أذا كان / 5س + 𝟐 ذري المعادلزة ــــزـ و أحزد ج − + 𝟓 + 𝟓 = ؟ ومزا فمزا قمزة 𝟎

1د / 2011وزاري قمة الجذر األخر؟

نفرض الجذر األخر و

𝟑 + + = ①معادلة (مجموع الجذرين)

𝟑 + . = 𝟓 + ( حاصل ضرب الجذرين) 𝟓

=𝟓 + 𝟓

𝟑 + =𝟓 + 𝟓

𝟑 + 𝟑 −

𝟑 − =𝟏𝟓 − 𝟓 + 𝟏𝟓 − 𝟓 𝟐

𝟑𝟐 + 𝟏𝟐=𝟐𝟎 + 𝟏𝟎

𝟏𝟎= 𝟐 + (الجذر األخر)

= 𝟐 + ①معادلة ) (نعوض في

𝟑 + + = 𝟑 + + 𝟐 + = = 𝟓 + 𝟐

******************************************************************

أمثلة أضافية محلولة𝟓𝟓−المركب أوجد الجذور التربعة للعدد / مثال − تخدم الناته ف أجاد الحل للمعادلة التربعة ــــثم أس 𝟒𝟖𝟐 التالة + 𝟏 + 𝟐 + 𝟏𝟑 𝟏 + = 𝟎

𝟓𝟓− نفرض أن الجذر التربع للعدد − + و 𝟒𝟖

+ = −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖 تربيع الطرفين⇒ + 𝟐 = −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖

𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 = −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖

𝟐 − 𝟐 = ①معادلة 𝟓𝟓−

𝟐 = −𝟒𝟖 =−𝟒𝟖

𝟐 =

−𝟐𝟒


𝟓𝟕𝟔

𝟐− 𝟐 = −𝟓𝟓

(نضرب 𝟐 )

⇒ 𝟓𝟕𝟔 − 𝟒 = −𝟓𝟓 𝟐 𝟒 − 𝟓𝟓 𝟐 − 𝟓𝟕𝟔 = 𝟎

𝟐 − 𝟔𝟒 𝟐 + 𝟗 = 𝟎

𝟐 = 𝟔𝟒 = 𝟖 ②معادلة نعوض في

=−𝟐𝟒

=−𝟐𝟒

𝟖 = 𝟑

𝟐 + 𝟗 = 𝟎 𝟐 = يهمل 𝟗−

𝟑 − 𝟖 , − 𝟑 + الجذران هما 𝟖

𝟐 األن نحل المعادلة + 𝟏 + 𝟐 + 𝟏𝟑 𝟏 + = بأستخدام قانون الدستور حث 𝟎

= 𝟏 , = 𝟏 + 𝟐 , = 𝟏𝟑 𝟏 +

=− 𝟐 − 𝟒

𝟐 =− 𝟏 + 𝟐 𝟏 + 𝟐 𝟐 − 𝟒 𝟏 𝟏𝟑 + 𝟏𝟑

𝟐 𝟏

=− 𝟏 + 𝟐 𝟏 + 𝟒 + 𝟒 𝟐 − 𝟓𝟐 + 𝟓𝟐

𝟐 𝟏 =− 𝟏 + 𝟐 𝟏 + 𝟒 − 𝟒 − 𝟓𝟐 + 𝟓𝟐

𝟐


30

=− 𝟏 + 𝟐 𝟏 + 𝟒 − 𝟒 − 𝟓𝟐 − 𝟓𝟐

𝟐=− 𝟏 + 𝟐 −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖

𝟐

𝟓𝟓−لت قمنا بحسابها سابقا للعدد األن نعوض الجذور ا − 𝟒𝟖

=− 𝟏 + 𝟐 𝟑 − 𝟖

𝟐

𝟏 =−𝟏 − 𝟐 − 𝟑 − 𝟖

𝟐=−𝟏 − 𝟐 − 𝟑 + 𝟖

𝟐=−𝟒 + 𝟔

𝟐 𝟏 = −𝟐+ 𝟑

𝟐 =−𝟏 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟖

𝟐=−𝟏 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟖

𝟐=𝟐 − 𝟏𝟎

𝟐 𝟐 = 𝟏 − 𝟓

𝟐−}مجموعة الحل + 𝟑 , 𝟏 − 𝟓 }

𝟑/ كون المعادلة التربعة الت جذر ا مثال − , 𝟏𝟎

𝟑−

𝟏 = 𝟑 − , 𝟐 =𝟏𝟎

𝟑 − =

𝟏𝟎

𝟑 − 𝟑 +

𝟑 + =𝟏𝟎 𝟑 +

𝟑𝟐 + 𝟏𝟐=𝟏𝟎 𝟑 +

𝟏𝟎 𝟐 = 𝟑 +

𝟑 − + 𝟑 + = 𝟑 + 𝟑 + −𝟏 + 𝟏 = مجموع الجذرين 𝟔

𝟑 − . 𝟑 + = 𝟗 + 𝟑 − 𝟑 − 𝟐 = 𝟗 + 𝟏 = حاصل ضرب الجذرين 𝟏𝟎


𝟐 − 𝟔 + 𝟏𝟎 = المعادلة التربيعية 𝟎

𝟖−جد الجذور التكعبة للعدد المركب / مثال

𝟑 = −𝟖 𝟑 + 𝟖 = 𝟎 𝟑 − 𝟖 𝟐 = 𝟎 𝟑 − 𝟖 𝟑 = 𝟎

𝟑 − 𝟖 𝟑 = − 𝟐 𝟐 + 𝟐 + 𝟒 𝟐 = − 𝟐 𝟐 + 𝟐 − 𝟒 = 𝟎

− 𝟐 = 𝟎 𝟏 = 𝟐

𝟐 + 𝟐 − 𝟒 = 𝟎 ( بالدستور)

⇒ = 𝟏 = 𝟐 = −𝟒

=− 𝟐 − 𝟒

𝟐 =

−𝟐 𝟒 𝟐 − 𝟒 𝟏 −𝟒

𝟐 𝟏 =

−𝟐 −𝟒 + 𝟏𝟔

𝟐

=−𝟐 𝟏𝟐

𝟐 =

−𝟐 𝟐 𝟑

𝟐 = − 𝟑

− , 𝟐}مجموعة الحل هي ∴ + 𝟑 , − − 𝟑}


31

𝟖جد الجذور التكعبة للعدد المركب / مثال

𝟑 = 𝟖 𝟑 − 𝟖 = 𝟎 𝟑 − 𝟖 = − 𝟐 𝟐 + 𝟐 + 𝟒 = 𝟎

− 𝟐 = 𝟎 = 𝟐

𝟐 + 𝟐 + 𝟒 = 𝟎 ( بالدستور)

⇒ = 𝟏 = 𝟐 = 𝟒

=− 𝟐 − 𝟒

𝟐 =

−𝟐 𝟒 − 𝟒 𝟏 𝟒

𝟐 𝟏 =

−𝟐 𝟒 − 𝟏𝟔

𝟐

=−𝟐 −𝟏𝟐

𝟐 =

−𝟐 𝟏𝟐 𝟐

𝟐 =

−𝟐 𝟐 𝟑

𝟐 = −𝟏 𝟑

, 𝟐}مجموعة الحل هي ∴ −𝟏 + 𝟑 , −𝟏 − 𝟑 }

𝟐 أوجد مجموعة الحل للمعادلة التالة / مثال − 𝟐 − 𝟐 = 𝟎

𝟐 − 𝟐 − 𝟐 = ( نقسم المعادلة على ) 𝟎

𝟐 −𝟐

−

𝟐

= 𝟎 𝟐 −

𝟐 𝟒

− 𝟐 = 𝟎 𝟐 − 𝟐 𝟑 − 𝟐 = 𝟎

𝟐 + 𝟐 − 𝟐 = 𝟎 ( تحل بالدستور)

⇒ = 𝟏 = 𝟐 = −𝟐

=− 𝟐 − 𝟒

𝟐 =−𝟐 𝟐 𝟐 − 𝟒 𝟏 −𝟐

𝟐 𝟏 =−𝟐 −𝟒 + 𝟖

𝟐

=−𝟐 𝟒

𝟐=−𝟐 𝟐

𝟐 = − 𝟏

+ −}مجموعة الحل هي ∴ 𝟏 , − − 𝟏}

𝟐 أوجد مجموعة الحل للمعادلة التالة / مثال − 𝟒 + 𝟒 = 𝟎

𝟐 − 𝟒 + 𝟒 = 𝟎 ( تحل بالدستور)

⇒ = 𝟏 = −𝟒 = 𝟒

=− 𝟐 − 𝟒

𝟐 =− −𝟒 −𝟒 𝟐 − 𝟒 𝟏 𝟒

𝟐 𝟏

=𝟒 𝟏𝟔 𝟐 − 𝟏𝟔

𝟐 =

𝟒 𝟏𝟔 𝟐 − 𝟏

𝟐

=𝟒 𝟏𝟔 − 𝟐

𝟐 =

𝟒 𝟏𝟔 𝟐 𝟐

𝟐=𝟒 𝟒

𝟐

= 𝟐 𝟐

𝟐}مجموعة الحل هي ∴ + 𝟐 , 𝟐 − 𝟐 }


32

+ من المعادلة التالة x , yأوجد قمة كل من / مثال 𝟐 −𝟖−𝟖

𝟏+ + 𝟏𝟓 = 𝟎

+ 𝟐 −𝟖 − 𝟖

𝟏 + + 𝟏𝟓 = 𝟎 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 =

𝟖 − 𝟖

𝟏 + − 𝟏𝟓

𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = (𝟖 − 𝟖

𝟏 + 𝟏 −

𝟏 − ) − 𝟏𝟓

𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = .𝟖 − 𝟖 − 𝟖 + 𝟖 𝟐

𝟏𝟐 + 𝟏𝟐/ − 𝟏𝟓

𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = (−𝟏𝟔

𝟐) − 𝟏𝟓 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = −𝟖 − 𝟏𝟓

𝟐 − 𝟐 = ①معادلة 𝟏𝟓−

𝟐 = −𝟖 =−𝟖

𝟐 =

−𝟒


(−𝟒

)

𝟐

− 𝟐 = −𝟏𝟓 𝟏𝟔

𝟐− 𝟐 = −𝟏𝟓

(نضرب 𝟐 )

⇒ 𝟏𝟔 − 𝟒 = −𝟏𝟓 𝟐

𝟒 − 𝟏𝟓 𝟐 − 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐 − 𝟏𝟔 𝟐 + 𝟏 = 𝟎

𝟐 − 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐 = 𝟏𝟔 = 𝟒 ②معادلة نعوضها في

=−𝟒

=−𝟒

𝟒 = 𝟏

𝟐 + 𝟏 = 𝟎 𝟐 = تهمل 𝟏−

+ من المعادلة التالة x , yأوجد قمة كل من / مثال 𝟐 =𝟑𝟔−𝟐

𝟑+𝟐

+ 𝟐 =𝟑𝟔 − 𝟐

𝟑 + 𝟐 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 = (

𝟑𝟔 − 𝟐

𝟑 + 𝟐

𝟑 − 𝟐

𝟑 − 𝟐 )

𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = .𝟏𝟎𝟖 − 𝟕𝟐 − 𝟔 + 𝟒 𝟐

𝟑𝟐 + 𝟐𝟐 / = (

𝟏𝟎𝟒 − 𝟕𝟖

𝟗 + 𝟒 ) = (

𝟏𝟎𝟒 − 𝟕𝟖

𝟏𝟑 )

𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟖 − 𝟔 𝟐 − 𝟐 = ①معادلة 𝟖

𝟐 = −𝟔 =−𝟔

𝟐 =

−𝟑


(−𝟑

)

𝟐

− 𝟐 = 𝟖 𝟗

𝟐− 𝟐 = 𝟖

(نضرب 𝟐 )

⇒ 𝟗 − 𝟒 = 𝟖 𝟐

𝟒 + 𝟖 𝟐 − 𝟗 = 𝟎 𝟐 + 𝟗 𝟐 − 𝟏 = 𝟎

𝟐 − 𝟏 = 𝟎 𝟐 = 𝟏 = 𝟏 ②معادلة نعوضها في

=−𝟑

=

−𝟑

𝟏 = 𝟑

𝟐 + 𝟗 = 𝟎 𝟐 = تهمل 𝟗−


33

𝟐 معامالتها حققة وأحد جذرا ا كون المعادلة التربعة الت / مثال − 𝟐

𝟐 − 𝟐= 𝟐

𝟐− 𝟐 𝟐 + 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 𝟐 − 𝟏 = 𝟏 − الجذر األول 𝟐 𝟐

𝟏معامالت المعادلة حققة لذا فأن الجذر األخر و المرافق + 𝟐 𝟐

𝟏 − 𝟐 𝟐 + 𝟏 + 𝟐 𝟐 = 𝟏 + 𝟏 + −𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐 = مجموع الجذرين 𝟐

𝟏 − 𝟐 𝟐 . 𝟏 + 𝟐 𝟐 = 𝟏 + 𝟐 𝟐 − 𝟐 𝟐 − 𝟐 𝟐 𝟐= 𝟏 + 𝟖 = حاصل ضرب الجذرين 𝟗


𝟐 − 𝟐 + 𝟗 = المعادلة التربيعية 𝟎

******************************************************************

, 𝟔𝟒 , 𝟔𝟒− التالة لؤلعدادجد الجذور التكعبة 𝟏𝟐𝟓 , 𝟔𝟒 ثم جد الجذر التربع للعدد 𝟐𝟕−

ةد المركباعد لؤلهندسالتمثل ال+ العدد المركب ا بالنقطة , مكن تمثله ندسا − حث سمى المحور بالمحور

− الحقق و و مثل الجزء الحقق للعدد المركب , أما المحور فسمى المحور التخل و و مثل

ا وتسمى الجزء التخل للعدد المركب , ومكن تمثل بعض العملات الت تجري على األعداد المركبة تمثالا ندسا

األشكال الناتجة بأشكال أرجاند وسمى المستوي الذي حتوها بالمستوي المركب .


34

𝟏 أذا كان = 𝟏 + 𝟏 , 𝟐 = 𝟐 + , 𝟏 𝟏 عددان مركبان ممثالن بالنقطتن 𝟐 𝟏

𝟐 𝟐 , فأن : 𝟐

𝟏 + 𝟐 = 𝟏 + 𝟐 + 𝟏 + 𝟐

𝟏 ومكن تمثل + 𝟏 𝟑 بالنقطة 𝟐 + 𝟐 , 𝟏 + وذلك بأستخدام المعلومات المتعلقة بالمتجهات 𝟐

وكما موضح بالشكل :

𝟏 أي أن : + 𝟐

= 𝟑

ا ف شكل أرجاند : (19مثال ) / مثل العملات األتة ندسا

𝟑 + 𝟒 + 𝟓 + 𝟐

𝟏 = 𝟑 + 𝟒 𝟏 𝟑, 𝟒 𝟐 = 𝟓 + 𝟐 𝟐 𝟓, 𝟐

𝟏 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟒 + 𝟓 + 𝟐 𝟏 + 𝟐 = 𝟑 = 𝟖 + 𝟔 𝟑 𝟖, 𝟔

𝟔 − 𝟐 − 𝟐 − 𝟓

𝟏 = 𝟔 − 𝟐 𝟏 𝟔,−𝟐 𝟐 = 𝟐 − 𝟓 𝟐 −𝟐, 𝟓

𝟏 + − 𝟐 = 𝟔 − 𝟐 + −𝟐 + 𝟓 𝟏 + 𝟐 = 𝟑 = 𝟒 + 𝟑 𝟑 = 𝟒 + 𝟑 𝟑 𝟒, 𝟑


35

− تمارين 3

أكتب النظر الجمع لكل من االعداد األتة ثم مثل ذه االعداد ونظائر ا الجمعة على شكل أرجاند . / 1س 𝟏 = 𝟐 + 𝟑 , 𝟐 = −𝟏+ 𝟑 , 𝟑 = 𝟏 − , 𝟒 =

العدد نظره الجمع تمثله البان

− 𝟏 = −𝟐− 𝟑 − 𝟏 = −𝟐 ,− 𝟑

𝟏 = 𝟐 + 𝟑 𝟏 = 𝟐 , 𝟑

− 𝟐 = 𝟏 − 𝟑 − 𝟐 = 𝟏 , − 𝟑

𝟐 = −𝟏 + 𝟑 𝟐 = −𝟏 , 𝟑

− 𝟑 = −𝟏+ − 𝟑 = −𝟏 , 𝟏

𝟑 = 𝟏 − 𝟑 = 𝟏 , −𝟏

− 𝟒 = − − 𝟒 = 𝟎 , −𝟏

𝟒 = 𝟒 = 𝟎 , 𝟏


36

أكتب العدد المرافق لكل من االعداد التالة ثم مثل األعداد ومرافقاتها على شكل أرجاند / 2س

𝟏 = 𝟓 + 𝟑 , 𝟐 = −𝟑 + 𝟐 , 𝟑 = 𝟏 − , 𝟒 = −𝟐

العدد مرافق العدد تمثله البان

𝟏 = 𝟓 − 𝟑 𝟏 𝟏 = 𝟓 , − 𝟑

𝟏 = 𝟓 + 𝟑 𝟏 𝟏 = 𝟓 , 𝟑

𝟐 = −𝟑 − 𝟐 𝟐 𝟐 = −𝟑 ,− 𝟐

𝟐 = −𝟑 + 𝟐 𝟐 𝟐 = −𝟑 , 𝟐

𝟑 = 𝟏 + 𝟑 𝟑 = 𝟏 , 𝟏

𝟑 = 𝟏 − 𝟑 𝟑 = 𝟏 , −𝟏

𝟒 = 𝟐 𝟒 𝟒 = 𝟎 , 𝟐

𝟒 = −𝟐 𝟒 = 𝟎 , −𝟐


37

= أذا كان / 3س 𝟒 + , فوضح على شكل أرجاند كآل من 𝟐 , −

= 4 + 2 = 4 , 2

= 4 − 2 = 4 , −2

− = −4 − 2 − = −4 , −2

𝟐 أذا كان / 4س = 𝟏 + 𝟐 , 𝟏 = 𝟒 − :فوضح على شكل أرجاند كآل من 𝟐

−𝟑 𝟐 , 𝟐 𝟏 , 𝟏 − 𝟐 , 𝟏 + 𝟐

−3 = −3 + 2 = −3 − 6 −3 = −3 , −6

2 = 2 4 − 2 = 8 − 4 2 = 8 , −4

− = 4 − 2 − + 2 = 4 − + −2 − 2 = 3 − 4 − = = 3 − 4 = 3,−4

+ = 4 − 2 + + 2 = 4 + + −2 + 2 = 5 + i + = = 5 + i = 5,


38

للعدد المركب 𝑷𝒐𝒍𝒂𝒓 𝑭𝒐𝒓𝒎 الصورة القطبة

= كان ارا + = , = فان = = و = أن حث

ذدع وهو انمركب انعذد مقاش ( ) انمركب نهعذد انتخه انجسء انمركب نهعذد انحقق انجسء

وتكتب انمركب انعذد سعة( 𝜃) تسمى و ‖ ‖ بانرمس نه ورمس وسمى سانب غر حقق

= , 𝟎 ] حث = ومكه انقول أن 𝟐 ‖ ‖ +

= أو كتب +

= ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐

=

=

‖ ‖

=

=

‖ ‖

= اذا كان / (02مثال ) 𝟏 + . فجد المقاس والقمة األساسة لسعة 𝟑

= = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟏 + 𝟑 = 𝟐

=

=

‖ ‖=𝟏

𝟐 =

=

‖ ‖= 𝟑

𝟐 =

𝟑 الربع األول

=

𝟑

= اذا كان / (12مثال ) −𝟏 − . فجد المقاس والقمة األساسة للعدد

= = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟏 + 𝟏 = 𝟐

=

=

‖ ‖=−𝟏

𝟐 =

=

‖ ‖=−𝟏

𝟐 =

𝟒 الربع الثالث

= +

𝟒=𝟓

𝟒


39

عبر عن كل من االعداد التالة بالصغة القطبة :/ (22مثال )


𝟐 𝟑 − 𝟐

= 𝟐 𝟑 − 𝟐

= = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟏𝟐 + 𝟒

= 𝟏𝟔 = 𝟒

=

=

‖ ‖=

𝟐 𝟑

𝟒= 𝟑

𝟐

=

=

‖ ‖=

−𝟐

𝟒 =

−𝟏

𝟐

= = 𝟐 −

𝟔=𝟏𝟏

𝟔

= 𝟒 ( 𝟏𝟏

𝟔+

𝟏𝟏

𝟔)

1د / 2013وزاري − 𝟐 + 𝟐 = −𝟐 + 𝟐

= = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟒 + 𝟒

= 𝟖 = 𝟐 𝟐

=

=

‖ ‖=

−𝟐

𝟐 𝟐=−𝟏

𝟐

=

=

‖ ‖=

𝟐

𝟐 𝟐 =

𝟏

𝟐

= = −

𝟒=𝟑

𝟒

= 𝟐 𝟐 ( 𝟑

𝟒+

𝟑

𝟒)

التالة بالصغة القطبة : عبر عن كل من االعداد/ (32مثال )

𝟏 − 𝟏 −

𝟏 = 𝟏 + 𝟎 = 𝟏 𝟎 + 𝟎

− 𝟏 = −𝟏 + 𝟎 = 𝟏 +

= 𝟎 + = 𝟏 (

𝟐 +

𝟐)

− = 𝟎 − = 𝟏 ( 𝟑

𝟐 +

𝟑

𝟐)

مالحظة

على األعداد المركبة وكما ل :( السابق نستنته طرقة مكن تطبقها 23من خالل المثال )

𝟑 = 𝟑 𝟏 = 𝟑 𝟏 + 𝟎 = 𝟑 𝟎 + 𝟎

𝟓 = 𝟓 𝟎 + = 𝟓(

𝟐 +

𝟐)

−𝟐 = 𝟐 −𝟏 = 𝟐 −𝟏 + 𝟎 = 𝟐 +

−𝟕 = 𝟕 − = 𝟕 𝟎 − = 𝟕( 𝟑

𝟐 +

𝟑

𝟐)


40

𝑫𝒆 𝑴𝒐𝒊𝒗𝒓𝒆′𝒔 𝑻𝒉𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎 مبر نة دموافر

= + = + لكل , فأن

= − = − − , فأن لكل

= (𝟏 )( (

+ 𝟐

) + (

+ 𝟐

)) = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, , − 𝟏

)أحسب / (42مثال )𝟑

𝟖 +

𝟑

𝟖 )

𝟒

( 𝟑

𝟖 +

𝟑

𝟖 )

𝟒

= ( 𝟏𝟐

𝟖 +

𝟏𝟐

𝟖 ) = (

𝟑

𝟐 +

𝟑

𝟐 ) = 𝟎 −

− / (52مثال ) = − بين لكل , فأن

الطرف األيسر = − = + − = [ + − ]

= [ − + − ] = وبجعل −

= [ + ] = +

= − + − = − =

مالحظة

التبسط : عملات القوانن التالة مهمة ف

+ = +

− = −

+ = −

− = +

𝟏 / أحسب بأستخدام مبر نة دموافر (62مثال ) + 1د / 2015وزاري 2د / 3201وزاري . 𝟏𝟏


41

= + = = ‖ ‖ = + = + = 2

𝜃 =

=

‖ ‖=

2 𝜃 =

=

2 =

4

= + = 𝜃 + i i 𝜃 = 2

( (

4) + i i (

4))

= 2

( (

4) + i i (

4)) = 2 2

( (

8 + 3

4) + i i (

8 + 3

4))

= 2 2 ( (2 +3

4) + i i (2 +

3

4))

= 32 2 *( 2 (

) − 2 (

)) + ( 2 (

) + 2 (

))+

= 32 2 0( (3

4)) + . (

3

4)/1 = 32 2 [

−

2+

2 ] = 32 − + = −32 + 32

مالحظة

− = + − = − + − = −

− = −

𝟑 / حل المعادلة (27مثال ) + 𝟏 = ℂ حث 𝟎

𝟑 + 𝟏 = 𝟎 𝟑 = −𝟏 𝟑 = + بالجذر التكعيبي

= + 𝟏𝟑 = (

+ 𝟐

𝟑) + (

+ 𝟐

𝟑) = 𝟎, 𝟏, 𝟐

= 𝟎 = (

𝟑) + (

𝟑) =

𝟏

𝟐+ 𝟑

𝟐

= 𝟏 = + =−𝟏 + 𝟎 = −𝟏

= 𝟐 = (𝟓

𝟑) + (

𝟓

𝟑) =

𝟏

𝟐− 𝟑

𝟐

2𝟏

𝟐+ 𝟑

𝟐 , −𝟏 ,

𝟏

𝟐+ 𝟑

𝟐 3 مجموعة الحل للمعادلة هي

𝟑 أوجد الصغة القطبة للمقدار : / (28مثال ) + 𝟐

ثم جد الجذور الخمسة له .


42

= 𝟑 + = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟏 = 𝟐

=

=

‖ ‖= 𝟑

𝟐 =

=𝟏

𝟐 =

𝟔

= 𝟐 (

𝟔+

𝟔) 𝟐 = 𝟐𝟐 (

𝟔+

𝟔)𝟐

𝟐 = 𝟒(

𝟑+

𝟑)

𝟐 𝟏𝟓 = 𝟒

(𝟏𝟓)(

𝟑+

𝟑)

𝟏𝟓= 4

4 6

( 𝟑) + 𝟐

𝟓7 + i i 6

( 𝟑) + 𝟐

𝟓75

= 4

6 4

+ 𝟔 𝟑𝟓

5 + 4

+ 𝟔 𝟑𝟓

57

𝟐𝟓

= 𝟒𝟓

[ ( + 𝟔

𝟏𝟓) + (

+ 𝟔

𝟑)] = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒

= 𝟎 𝟏 = 𝟒𝟓

𝟏𝟓+

𝟏𝟓

= 𝟏 𝟐 = 𝟒𝟓

𝟕

𝟏𝟓+

𝟕

𝟏𝟓

= 𝟐 𝟑 = 𝟒𝟓

𝟏𝟑

𝟏𝟓+

𝟏𝟑

𝟏𝟓

= 𝟑 𝟒 = 𝟒𝟓

𝟏𝟗

𝟏𝟓+

𝟏𝟗

𝟏𝟓

= 𝟒 𝟓 = 𝟒𝟓

𝟐𝟓

𝟏𝟓+

𝟐𝟓

𝟏𝟓 = 𝟒

𝟓

𝟓

𝟑+

𝟓

𝟑


43

− تمارين 4

أحسب ما ل : / 1س

[ 𝟓

𝟐𝟒 +

𝟓

𝟐𝟒 ]

𝟒

[ 𝟓

𝟐𝟒 +

𝟓

𝟐𝟒 ]

𝟒

= [ 𝟐𝟎

𝟐𝟒 +

𝟐𝟎

𝟐𝟒 ] = [

𝟓

𝟔 +

𝟓

𝟔 ] = * ( −

𝟔) + ( −

𝟔)+

= * (

𝟔) + (

𝟔)+ + * (

𝟔) − (

𝟔)+

= −

𝟔+

𝟔=− 𝟑

𝟐+𝟏

𝟐

[ 𝟕

𝟏𝟐 +

𝟕

𝟏𝟐 ]

−𝟑

[ 𝟕

𝟏𝟐 +

𝟕

𝟏𝟐 ]

−𝟑

= [ −𝟐𝟏

𝟏𝟐 +

−𝟐𝟏

𝟏𝟐 ] = [

−𝟕

𝟒 +

−𝟕

𝟒 ] = [

𝟕

𝟒 −

𝟕

𝟒 ]

= * (𝟐 −

𝟒) − (𝟐 −

𝟒)+

= * 𝟐 (

𝟒) + 𝟐 (

𝟒)+ − * 𝟐 (

𝟒) − 𝟐 (

𝟒)+

= 𝟐 (

𝟒) + 𝟐 (

𝟒) =

𝟏

𝟐+

𝟏

𝟐

:ما أت )أو التعمم ( أحسب بأستخدام مبر نة دموافر / 2س 1د / 2012وزاري

𝟏 − 𝟕

= − = = ‖ ‖ = + = + = 2

𝜃 =

=

‖ ‖=

2 , 𝜃 =

=−

2 , = 2 −

4=7

4 الربع الرابع

= 𝟏 − 𝟕 = 𝜃 + i i 𝜃 = 2

( 7

4+ i i

7

4)

= 2

( 49

4+ i i

49

4) = 2 2

* (

4+ 2 ) + i i (

4+ 2 )+

= 2 2 *( (

4) 2 − (

4) 2 ) + ( i (

4) 2 + (

4) 2 )+

= 8 2 *( (

4) 2 ) + ( i (

4) 2 )+ = 8 2 * (

4) + i (

4)+

= 8 2 [

2+

2] = 8 + = 8 + 8


44


𝟑 + −𝟗

= 𝟑 + = = ‖ ‖ = + = 3 + = 2

𝜃 =

=

‖ ‖= 𝟑

2 𝜃 =

=

2 =

6 الربع األول

− = 𝟑 + −𝟗

= − 𝜃 + i i 𝜃 − = 2 − (

6+ i i

6)−

− =

2 ( (

−9

6) + i i (

−9

6)) =

5 2( (

−3

2) + i i (

−3

2)) =

5 2(

3

2− i i

3

2)

− =

5 2[ − − ] =

5 2

2د / 2013وزاري :بسط ما أت / 3س

𝟐 + 𝟐 𝟓

𝟑 + 𝟑 𝟑

𝟐 + 𝟐 𝟓

𝟑 + 𝟑 𝟑=[ + 𝟐]𝟓

[ + 𝟑]𝟑= + 𝟏𝟎

+ 𝟗= +

+ 𝟖 − 𝟒

= 𝜃 + i 𝜃 𝜃 + i 𝜃 𝜃 − i 𝜃

= 𝜃 + i 𝜃 [ 𝜃 + i 𝜃 𝜃 − i 𝜃 ] = 𝜃 + i 𝜃 [ 𝜃 − i 𝜃 ]

= 𝜃 + i 𝜃 [ 𝜃 + i 𝜃 ] = 𝜃 + i 𝜃 = 4 𝜃 + i 4𝜃

𝟏−باستخدام مبر نة دموافر جد الجذور التربعة للعدد المركب / 4س + 𝟑

= − + 3 = = ‖ ‖ = + = + 3 = 4 = 2

𝜃 =

=

‖ ‖=−𝟏

2 , 𝜃 =

= 3

2 = −

3=2

3 الربع الثاني

= √− + 3 = − + 3 ( )= (

) 𝜃 + i i 𝜃 (

) = 2(

) ( (

2

3) + i i (

2

3))

( )

= 2 6 4

2 3 + 2

25 + i i 4

2 3 + 2

257 = 2 6 4

2 + 6 32

5 + i i 4

2 + 6 32

57

= 2 [ (2 + 6

6) + i i (

2 + 6

6)] = 𝟎, 𝟏

= 𝟎 = 2[ (2

6) + (

2

6)] = 2 (

𝟑+

𝟑) = 2.

𝟏

𝟐+ 𝟑

𝟐 / =

𝟏

2+ 𝟑

2

= 𝟏 = 2[ (8

6) + (

8

6)] = 2 (

𝟒

𝟑+

𝟒

𝟑) = 𝟐 * ( +

𝟑) + ( +

𝟑)+

= 2[ (

𝟑) − (

𝟑)] + * (

𝟑) + (

𝟑)+

= 2[− (

𝟑) − (

𝟑)] = 2.

−𝟏

𝟐− 𝟑

𝟐 / =

−𝟏

2− 𝟑

2


45

𝟐𝟕باستخدام مبر نة دموافر جد الجذور التكعبة للعدد المركب / 5س

= 𝟐𝟕 = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟐𝟕 𝟐 = 𝟐𝟕

=

=

‖ ‖=

𝟎

𝟐𝟕= 𝟎 , =

=𝟐𝟕

𝟐𝟕= 𝟏 =

𝟐 الربع االول

𝟑

= 𝟐𝟕 𝟑

= 𝟐𝟕 (𝟏𝟑) = (

𝟏𝟑) + (

𝟏𝟑) = 𝟐𝟕 (

𝟏𝟑) (

𝟐+

𝟐)(𝟏𝟑)

𝟑

= 𝟐𝟕𝟑

4 4

𝟐 + 𝟐

𝟑5 + 4

𝟐 + 𝟐

𝟑55 = 𝟎, 𝟏, 𝟐

= 𝟎 = 3[ (

6) + (

6)] = 𝟑 0

𝟑

𝟐+

𝟏

𝟐1 =

𝟑 𝟑

𝟐+𝟑

𝟐

= 𝟏 = 3[ (5

6) + (

5

6)] = 𝟑 * ( −

6) + ( −

6)+

= 𝟑 *− (

6) + (

6)+ = 𝟑 0

− 𝟑

𝟐+𝟏

𝟐 1 =

−𝟑 𝟑

𝟐+𝟑

𝟐

= 𝟐 = 3[ (9

6) + (

9

6)] = 𝟑 [ (

3

2) + (

3

2)] = 𝟎 + 𝟑 − = −𝟑

. باستخدام مبر نة دموافر 𝟏𝟔− للعدد ور األربعةجد الجذ / 6س

= −𝟏𝟔 = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟏𝟔 𝟐 = 𝟏𝟔

=

=

‖ ‖=−𝟏𝟔

𝟏𝟔= −𝟏 , =

=

𝟎

𝟏𝟔= 𝟎 =

𝟒

= −𝟏𝟔𝟒

= −𝟏𝟔 (𝟏𝟒) = (

𝟏𝟒) + (

𝟏𝟒) = 𝟏𝟔 (

𝟏𝟒) + (

𝟏𝟒)

= 6

( ( + 2

) + i i (

+ 2

)) = 4

= 𝟎 = 2[ (

4) + (

4)] = 𝟐 [

𝟏

𝟐+

𝟏

𝟐] = 𝟐 + 𝟐

= 𝟏 𝟐 = 𝟐[ (𝟑

𝟒) + (

𝟑

𝟒)] = 𝟐[ ( −

𝟒) + ( −

𝟒)] = 𝟐[− (

𝟒) + (

𝟒)]

= 𝟐 [−𝟏

𝟐+

𝟏

𝟐] = − 𝟐 + 𝟐

= 𝟐 𝟑 = 𝟐[ (𝟓

𝟒) + (

𝟓

𝟒)] = 𝟐[ ( +

𝟒) + ( +

𝟒)] = 𝟐[− (

𝟒) − (

𝟒)]

= 𝟐 [−𝟏

𝟐−

𝟏

𝟐] = − 𝟐 − 𝟐

= 𝟑 𝟒 = 𝟐[ (𝟕

𝟒) + (

𝟕

𝟒)] = 𝟐[ (𝟐 −

𝟒) + (𝟐 −

𝟒)]

= 𝟐[ (

𝟒) − (

𝟒)] = 𝟐 [

𝟏

𝟐−

𝟏

𝟐] = 𝟐 − 𝟐


46

. بأستخدام مبر نة دموافر 64− جد الجذور الستة للعدد / 7س

= −64 = = ‖ ‖ = + = 64 = 64

𝜃 =

=

‖ ‖=

𝟎

64= , 𝜃 =

=−𝟔𝟒

64= − =

3

2

= −64

= −64 ( ) = (

) 𝜃 + i i 𝜃 (

) = 64 (

) (

3

2+ i i

3

2)( )

= 64

6 4

3 2 + 2

65 + i i 4

3 2 + 2

657 = 2 [ (

3 + 4

2) + i i (

3 + 4

2)]

= 𝟎 = 2[ (3

2) + (

3

2)] = 𝟐 * (

𝟒) + (

𝟒)+ = 𝟐 [

𝟏

𝟐+

𝟏

𝟐]

= 𝟐 + 𝟐

= 𝟏 𝟐 = 𝟐[ (𝟕

𝟏𝟐) + (

𝟕

𝟏𝟐)] = 𝟐[ (

𝟑+

𝟒) + (

𝟑+

𝟒)]

= 𝟐 *( (

𝟑) (

𝟒) − (

𝟑) (

𝟒)) + ( (

𝟑) (

𝟒) + (

𝟑) (

𝟒))+

= 𝟐 0.𝟏

𝟐 𝟏

𝟐− 𝟑

𝟐 𝟏

𝟐/ + .

𝟑

𝟐 𝟏

𝟐+𝟏

𝟐 𝟏

𝟐/1 = 𝟐 0.

𝟏

𝟐 𝟐−

𝟑

𝟐 𝟐/ + .

𝟑

𝟐 𝟐+

𝟏

𝟐 𝟐/1

= 𝟐 0.𝟏 − 𝟑

𝟐 𝟐/ + .

𝟑 + 𝟏

𝟐 𝟐/1 =

𝟏 − 𝟑

𝟐+

𝟑 + 𝟏

𝟐

= 𝟐 𝟑 = 𝟐[ (𝟏𝟏

𝟏𝟐) + (

𝟏𝟏

𝟏𝟐)] = 𝟐[ ( −

𝟏𝟐) + ( −

𝟏𝟐)]

= 𝟐 *( (

𝟏𝟐) + (

𝟏𝟐)) + ( (

𝟏𝟐) − (

𝟏𝟐))+

= 𝟐 *− (

𝟏𝟐) + (

𝟏𝟐)+ = *− (

𝟒−

𝟔) + (

𝟒−

𝟔)+

= 𝟐 *−( (

𝟒) (

𝟔) + (

𝟒) (

𝟔)) + ( (

𝟒) (

𝟔) − (

𝟒) (

𝟔))+

= 𝟐 0−.𝟏

𝟐 𝟑

𝟐+

𝟏

𝟐 𝟏

𝟐/ + .

𝟏

𝟐 𝟑

𝟐−

𝟏

𝟐 𝟏

𝟐/1 = 𝟐 0

− 𝟑 − 𝟏

𝟐 𝟐+ 𝟑 − 𝟏

𝟐 𝟐 1

=− 𝟑 − 𝟏

𝟐+ 𝟑 − 𝟏

𝟐

= 𝟑 = 2[ ( 5

2) + (

5

2)] = 𝟐 [ (

𝟓

𝟒) + (

𝟓

𝟒)]

= 𝟐[ ( +

𝟒) + ( +

𝟒)]

= 𝟐 *( (

𝟒) − (

𝟒)) + ( (

𝟒) + (

𝟒))+

= 𝟐 *− (

𝟒) − (

𝟒)+ = 𝟐 [

−𝟏

𝟐−

𝟏

𝟐] = − 𝟐 − 𝟐


47

= 𝟒 𝟓 = 𝟐[ (𝟏𝟗

𝟏𝟐) + (

𝟏𝟗

𝟏𝟐)] = 𝟐[ (𝟐 −

𝟓

𝟏𝟐) + (𝟐 −

𝟓

𝟏𝟐)]

= 𝟐 [( 𝟐 (𝟓

𝟏𝟐) + 𝟐 (

𝟓

𝟏𝟐)) + ( 𝟐 (

𝟓

𝟏𝟐) − 𝟐 (

𝟓

𝟏𝟐))]

= 𝟐 [ (𝟓

𝟏𝟐) − (

𝟓

𝟏𝟐)] = * (

𝟒+

𝟔) − (

𝟒+

𝟔)+

= 𝟐 *( (

𝟒) (

𝟔) − (

𝟒) (

𝟔)) − ( (

𝟒) (

𝟔) + (

𝟒) (

𝟔))+

= 𝟐 0.𝟏

𝟐 𝟑

𝟐−

𝟏

𝟐 𝟏

𝟐/ − .

𝟏

𝟐 𝟑

𝟐+

𝟏

𝟐 𝟏

𝟐/1 = 𝟐 0

𝟑 − 𝟏

𝟐 𝟐 −

𝟑 + 𝟏

𝟐 𝟐 1

= 𝟑 − 𝟏

𝟐 −

𝟑 + 𝟏

𝟐

= 𝟓 𝟔 = 𝟐[ (𝟐𝟑

𝟏𝟐) + (

𝟐𝟑

𝟏𝟐)] = 𝟐[ (𝟐 −

𝟏𝟐) + (𝟐 −

𝟏𝟐)]

= 𝟐 *( 𝟐 (

𝟏𝟐) + 𝟐 (

𝟏𝟐)) + ( 𝟐 (

𝟏𝟐) − 𝟐 (

𝟏𝟐))+

= 𝟐 * (

𝟏𝟐) − (

𝟏𝟐)+ = * (

𝟒−

𝟔) − (

𝟒−

𝟔)+

= 𝟐 *( (

𝟒) (

𝟔) + (

𝟒) (

𝟔)) − ( (

𝟒) (

𝟔) − (

𝟒) (

𝟔))+

= 𝟐 0.𝟏

𝟐 𝟑

𝟐+

𝟏

𝟐 𝟏

𝟐/ − .

𝟏

𝟐 𝟑

𝟐−

𝟏

𝟐 𝟏

𝟐/1 = 𝟐 0

𝟑 + 𝟏

𝟐 𝟐 −

𝟑 − 𝟏

𝟐 𝟐 1

= 𝟑 + 𝟏

𝟐 −

𝟑 − 𝟏

𝟐

******************************************************************

حلول التمارين العامة الخاصة بالفصل األول

, جد قمة / 1س والت تحقق :

𝟏+ =

𝟐+𝟒

+𝟐 3د / 2013وزاري

𝟏 + =

𝟐 + 𝟒

+ 𝟐

𝟏 + 𝟏 −

𝟏 − =

𝟐 − 𝟒 𝟐

+ 𝟐

−

𝟏𝟐+𝟏𝟐=

−𝟐 +𝟐

+𝟐

−

𝟐= − 2

− = 𝟐 − 4 = 𝟐

− = −4 − ⇒ = 𝟒 نعوض في معادلة

𝟒 = 𝟐 = 𝟐


48

= أذا كان / 2س𝟏− 𝟑

𝟏+ −𝟑ا , جد بأستخدام مبر نة دموافر عدداا مركبا

𝟏

𝟐

=𝟏 − 𝟑

𝟏 + −𝟑=𝟏 − 𝟑

𝟏 + 𝟑 𝟏 − 𝟑

𝟏 − 𝟑 = 𝟏 − 𝟑

𝟐

𝟏𝟐 + 𝟑 𝟐=𝟏 − 𝟐 𝟑 + 𝟑 𝟐

𝟏 + 𝟑

=−𝟐 − 𝟐 𝟑

𝟒 =

−𝟏

𝟐− 𝟑

𝟐

= = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = √.−𝟏

𝟐/

𝟐

+ .− 𝟑

𝟐/

𝟐

= √𝟏

𝟒+𝟑

𝟒= 𝟏 = 𝟏

=

=

‖ ‖=(−𝟏 𝟐 )

𝟏=−𝟏

𝟐 , =

=

.− 𝟑 𝟐 /

𝟏=− 𝟑

𝟐 تقع في الربع الثالث

= +

𝟑=𝟒

𝟑

𝟏𝟐 = .

−𝟏

𝟐− 𝟑

𝟐 /

(𝟏𝟐)

= (𝟏𝟐) + (

𝟏𝟐) = 𝟏 (

𝟏𝟐) (

𝟒

𝟑+

𝟒

𝟑)(𝟏𝟐)

𝟏𝟐 = 6 4

𝟒 𝟑 + 2

25 + i i 4

𝟒 𝟑 + 2

257 = ,

= 𝟎 𝟏𝟐 = (

4

6) + (

4

6) = (

2

3) + (

2

3) = ( −

3) + ( −

3)

𝟏

𝟐 = [ (

𝟑) + (

𝟑)] + * (

𝟑) − (

𝟑)+

𝟏𝟐 = (

𝟑) − (

𝟑) = −

𝟏

𝟐+ 𝟑

𝟐

= 𝟏 𝟏𝟐 = [ 4

𝟒 𝟑 + 2

25 + 4

𝟒 𝟑 + 2

25] = 4

𝟒 + 𝟔 𝟑2

5+ 4

𝟒 + 𝟔 𝟑2

5

𝟏𝟐 = .

𝟏𝟎

6/ + .

𝟏𝟎

6/ = .

5

3/+ .

5

3/ = (2 −

3)+ (2 −

3)

𝟏

𝟐 = [ 2 (

𝟑) + 2 (

𝟑)] + * 2 (

𝟑) − 2 (

𝟑)+

𝟏𝟐 = 2 (

𝟑) − 2 (

𝟑) =

𝟏

𝟐− 𝟑

𝟐


49

حلول األسئلة الوزارية الخاصة بالفصل األول

𝟏 : ضع 1/ د 98سؤال وزاري + 𝟑 𝟐 + 𝟑 − بالصغة العادة للعد المركب. 𝟐 𝟐

المقدار الحل/ = + 6 + 9 + 9 − 2 + 4

= + 6 − 9 + 9 − 2 − 4 = −3 − 6

+ 𝟑 انحققته إرا عهمت أن: yو x: جذ قمت 1/د99سؤال وزاري 𝟐 𝟐 = 𝟐𝟎𝟎

𝟒+𝟑

+ 9 انحم/ 2 + 4 =

+

−

−

9 − 4 + 2 = −

+

9 − 4 + 2 = 32 − 24

9 − 4 = 32 . . , 2 = −24 ⇒ = −2 =

−

. 2

9 − 4(

) = 32 9 −

= 32

. ⇒ 9 − 6 = 32

9 − 32 − 6 = 9 + 4 − 4 =

+ 9 أمايهمـــل 4 =

− أو 4 = = 4 = 22 =

−

= −

−2 =

= : إرا كان:1/د2000سؤال وزاري 𝟐 + 𝟑 , = 𝟑 − 𝟐 , جذ قمة + 𝟐 𝟐 .

2 = انحم/ + 3 = 4 + 2 + 9 = −5 + 2

= 3 − = 9 − 6 + = 8 − 6

+ 2 = −5 + 2 + 2 8 − 6 = −5 + 2 + 6 − 2 =


50

انحققته إرا عهمت: yو x: جذ قمة كم مه 2/د2000سؤال وزاري

+ + − + = 3

+ انحم/ + − + = 3 + + − + = 3 +

+ = 3 . , − + = = + . . 2

+ + = 3 + + 2 + − 3 =

2 + 2 − 2 = ⇒ + − 6 = + 3 − 2 =

+ 3 = = −3 = −3 + = −2

− 2 = = 2 = 2 + = 3

: ضؤؤؤؤم انمقؤؤؤؤذار 1/د2001سؤؤؤؤال وزاري 𝟕+ 𝟑

𝟏+𝟐 𝟑 بانصؤؤؤاة انعادؤؤؤؤة نهعؤؤؤؤذد انمركؤؤؤؤب اؤؤؤم جؤؤؤؤذ انمقؤؤؤؤاش وانقمؤؤؤؤة

األساسة نهسعة.

انحم/ +

+ =

+

+

−

−

= − + −

+ =

−

= − 3

المقياس = + 3 = 4 = 2 , 𝜃 =

, i 𝜃 =

−

= 𝜃 القيمة األساسية للسعة 2 −

=

𝜃 تقع في الربع الرابع

𝟑 : ضؤؤؤم 1/د2002سؤؤؤؤال وزاري + 𝟐 −𝟐 + بانصؤؤؤاة انعادؤؤؤة نهعؤؤؤذد انمركؤؤؤب اؤؤؤم جؤؤؤذ و ؤؤؤر ان ؤؤؤرب

وبانصاة انعادة أ ا.

3 انحم/ + 2 −2 + = −6 + 3 − 4 + 2 = −8 −

النظير الضربي =

− −

− +

− + =

− +

+ =

−

+

− المعادلة التربيعية −3 − 4 + 5 + 6 =


51

= : اذا كان 2/د2002سؤال − 𝟑, ا, أكتب الشكل الجبري لهذا العدد ثم جد مقاسه والقمة 𝟏 عدداا مركبا

األساسة لسعته.

= الحل/ − 3 + الشكل الجبري

║ = 3 + = 4 = 𝜃 , المقياس 2 =−

, i 𝜃 =

= 𝜃 القيمة األسياسية للسعة −

6=5

6 𝜃 تقع في الربع الثاني

= : إذا كان 1/د2003سؤال وزاري 𝟏 − , = 𝟑 + + إثبت أن 𝟐 = + .

+ الحل/ = 3 + 2 + − = 4 + = 4 −

+ = 3 + 2 + − = 3 − 2 + + = 4 −

+ = +

𝟑: جد النظر الضرب للعدد المركب 1/د2003سؤال وزاري + ثم ضعه بالصورة العادة. 𝟓

النظير الضربي الحل/ =

+ =

+

−

− =

−

+ =

−

=

−

ا مقاسه ) Z: إذا كان 2/د2003سؤال وزاري )( وسزعته 2عدداا مركبا

𝟑جزد كزال مزن الشزكل الزدكارت والجبزري (

لهذا العدد.

𝜃 الحل/ =

=

=

=

i 𝜃 =

i

=

=

= 3

= الشكل الجبري + 3

= الشكل الديكارتي , 3


52

𝟏 : جد الصغة العادة للعد المركب 1/د2004سؤال وزاري − 𝟑 𝟐+ 𝟐 − 𝟑

𝟐.

𝟑 − الحل/ + 2 − 𝟑

= − 2 𝟑 + 3 + 4 − 4 𝟑 + 3

= 5 − 6 𝟑 − 3 − 3

= − − 6 𝟑

𝟑 : جد ناته 1/د2005سؤال وزاري + 𝟒 𝟐 + 𝟓 − 𝟑 𝟏 + بالصغة الدكارتة.

المقدار الحل/ = 9 + 24 + 6 + 5 + 5 − 3 − 3

= 9 − 6 + 5 + 3 + 24 + 5 − 3 = + 26

الصيغة الديكارتية 26,

= : إذا كان 2/د2005سؤال −𝟏 + 𝟐 فجد 𝟐 + 𝟑 + بالصغة الدكارتة. 𝟓

+ 3 + 5 = − + 2 + 3 − + 2 + 5

= − 4 + 4 − 3 + 6 + 5 = − + 2

2, − الديكارتية الصيغة

ا مقاسه ) z: إذا كان 1/د2006سؤال وزاري )( وسعته االساسة 4عددا مركبا𝟓

𝟔فجد كال من الشكل الدكارت (

.z د والشكل الجبري للعد

الحل/

=

−

=

2 = −4 3 = −2 3

i

=

=

2 = 4 = 2

= الشكل الجبري −2 3 + 2

= الشكل الديكارتي −2 3, 2


53

+ 𝟐 الحققتن من المعادلة: yو x: جد قمت 1/د2006سؤال وزاري + 𝟐 = 𝟐 + 𝟗 .

+ 2 الحل/ 4 + + 2 = 2 + 9 2 − 2 + 4 + = 2 + 9

2 − 2 = 2 2 = 4 = 2 =

4 + = 9 . 2

4 +

= 9

. ⇒ 4 + 2 = 9 4 − 9 + 2 =

4 − − 2 =

− 4 أما = 4 = =

4 =

2

4

= 8

− أو 2 = = 2 =2

2 =

الحققتن إذا علمت أن: yو x: جد قمت 2/د2006سؤال وزاري

3 − 2 + + = 7

+ 6 الحل/ 3 − 2 − + = + 7

6 + 2 + 3 − 2 = + 7

6 + 2 = ⇒ = −2 =

−

. .

3 − 2 = 7 . 2

3 − 2 (−

) = 7

. ⇒ 3 + 4 = 7 3 − 7 + 4 =

3 − 4 − =

3 − 4 = 3 = 4 =

=

−

=−

=

−

− = = =−

= −2


54

𝟑: جد الجذر التربع للعدد 1/د2007سؤال وزاري + 𝟒 .

3 نفرض الحل/ + 4 = + بالتربيع

3 + 4 = − + 2

− = 3 . . , 2 = 4 ⇒ = 2 =

2

. . 2

−4

= 3

. ⇒ − 4 = 3 − 3 − 4 = − 4 + =

− 4 = = 4 = {2 =

−2 = −

3 + 4 = ,2 + −2 −

): جد المقاس والسعة األساسة للعدد المركب 2/د2007سؤال وزاري 𝟐

𝟏+ ).

الحل/

+ =

+

−

− =

−

=

+

= + = +

المقياس = + = 2 , 𝜃 =

, i 𝜃 =

𝜃 =

𝟏 : جد المقاس والقمة األساسة للسعة للعدد المركب 1/د 2008سؤال وزاري + 𝟑 𝟐

.

+ الحل/ 3 = + 2 3 + 3 = −2 + 2 3

المقياس = 4 + 2 = 6 = 4 , 𝜃 =−

=

−

, i 𝜃 =

=

= −

=

تقع في الربع الثاني

الحققتن واللتان تحققان المعادلة yو x : جد قمت 2/د2008سؤال وزاري

+ 5 = 2 + +

+ الحل/ 5 = 2 + 2 + + + 5 = 2 − + 3

= 2 − . , 5 = 3 =

= 2 (

) − =

− =

−

=

= 4


55

: جد الجذر التربع للعدد:1/د2009سؤال وزاري 𝟏𝟒+𝟐

𝟏+ .

الحل/ +

+ =

+

+

−

−

= − + −

=

−

= 8 − 6

8 نفرض − 6 = + بالتربيع⇒ 8 − 6 = − + 2

− = 8 . . , 2 = −6 ⇒ = −3 =

−

. 2

−9

= 8

. ⇒ − 9 = 8 − 8 − 9 = − 9 + =

يهمل

− 9 = = 9 = {3 = − −3 =

8 − 6 = ,3 − −3 +

𝟒 : حل المعادلة 2/د2009سؤال وزاري + 𝟏𝟑 𝟐 + 𝟑𝟔 = عدد مركب. zحث 𝟎

+ الحل/ 9 + 4 =

+ 9 = = −9 = 9 = 3

+ 4 = = −4 = 4 = 2

مج = {−2 , 2 , −3 , 3 }


56

الحققتن واللتان تحققان المعادلة: yو x: جد قمت 1/د2010سؤال وزاري

+ 𝟑 − 𝟐 = 𝟏𝟐 + 𝟓

− الحل/ 2 + 3 − 6 = 2 + 5 + 6 + −2 + 3 = 2 + 5

+ 6 = 2 = 6 =

.

−2 + 3 = 5 2

−2 + 3(

) = 5

. ⇒ −2 + 8 = 5 2 + 5 − 8 =

2 + 9 − 2 =

2 + 9 = 2 = −9 =−

=

=−

= =

−

− 2 = = 2 =

= = 3

= حث z: جد الجذرن التربعن للعدد المركب 2/د2010سؤال وزاري −𝟏 + 𝟕 𝟏 +

= الحل/ − − + 7 + 7 = −8 + 6

8− نفرض + 6 = + بالتربيع⇒ −8 + 6 = − + 2

− = −8 . , 2 = 6 = 3 =

. . 2

− (

) = −8 −

= −8

. ⇒ − 9 = −8 + 8 − 9 =

+ 9 − =

+ أما 9 = يهمل

− أو = = = { = 3

− = −3

−8 + 6 = , + 3 − − 3


57

: إذا كان 1/د2012سؤال وزاري 𝟐+

𝟑− ,

𝟓

+ الحققتن. y ,xمترافقن, جد قمت

الحل/

+ =

−

+ 2 − + = 5 + 5 + =

+

−

+

+

+ = + + +

+ + =

+

= 5 , = 5 + = 5 + 5

𝟏 ضع بالصغة العادة للعدد المركب المقدار : : 2/د2012سؤال وزاري + 𝟓 + 𝟏 − 𝟓

الحل/

𝟏 + 𝟓 − 𝟏 − 𝟓 = [ 𝟏 + 𝟐]𝟐 𝟏 + − [ 𝟏 − 𝟐]𝟐 𝟏 −

= 𝟏 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟏 + − 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟏 −

= 𝟐 𝟐 𝟏 + − −𝟐 𝟐 𝟏 −

= −𝟒 𝟏 + − −𝟒 𝟏 −

= −𝟒 − 𝟒 + 𝟒 − 𝟒 = −𝟖 = 𝟎 − 𝟖

𝟏 جد قمة : : 1/د2013سؤال وزاري − 𝟏 − 𝟐 𝟏 − 𝟑

𝟏 بصغة أثبت (13)الحل/ ذا السؤال محلول ف الصفحة − 𝟏 − 𝟐 𝟏 − 𝟑 = 𝟒

𝟏 − 𝟏 − 𝟐 𝟏 − 𝟑 = 𝟏 − 𝟏 + 𝟏 [𝟏 − − ] = 𝟏 − 𝟐 [𝟏 + ]

= 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 − 𝟐 − 𝟐 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 = 𝟒

: 3/د2013سؤال وزاري

𝟐 أذا كان = 𝟓 + 𝟐 , 𝟏 = 𝟑 + 𝟏 وضح ف شكل أرجاند 𝟒 + 𝟐

الحل/

𝟏 = 𝟑 + 𝟒 𝟏 = 𝟑 , 𝟒

𝟐 = 𝟓 + 𝟐 𝟐 = 𝟓 , 𝟐

𝟏 + 𝟐 = 𝟑 = 𝟑 + 𝟒 + 𝟓 + 𝟐

𝟑 = 𝟖 + 𝟔 𝟑 = 𝟖 , 𝟔


58

𝟑 √للمقدار : للجذور الخمسة جد الصغة القطبة: 1/د2014سؤال وزاري + 𝟐𝟓

= 𝟑 + = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟏 = 𝟐

=

=

‖ ‖= 𝟑

𝟐 =

=𝟏

𝟐 =

𝟔

= 𝟐 (

𝟔+

𝟔) 𝟐 = 𝟐𝟐 (

𝟔+

𝟔)𝟐

𝟐 = 𝟒(

𝟑+

𝟑)

𝟐 𝟏𝟓 = 𝟒(

𝟏𝟓) (

𝟑+

𝟑)

𝟏𝟓= 4

4 6

( 𝟑) + 𝟐

𝟓7 + i i 6

( 𝟑) + 𝟐

𝟓75

= 4

6 4

+ 𝟔 𝟑𝟓

5 + 4

+ 𝟔 𝟑𝟓

57

𝟐𝟓

= 𝟒𝟓

[ ( + 𝟔

𝟏𝟓) + (

+ 𝟔

𝟏𝟓)] = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒

= 𝟎 𝟏 = 𝟒𝟓

𝟏𝟓+

𝟏𝟓

= 𝟏 𝟐 = 𝟒𝟓

𝟕

𝟏𝟓+

𝟕

𝟏𝟓

= 𝟐 𝟑 = 𝟒𝟓

𝟏𝟑

𝟏𝟓+

𝟏𝟑

𝟏𝟓

= 𝟑 𝟒 = 𝟒𝟓

𝟏𝟗

𝟏𝟓+

𝟏𝟗

𝟏𝟓

= 𝟒 𝟓 = 𝟒𝟓

𝟐𝟓

𝟏𝟓+

𝟐𝟓

𝟏𝟓 = 𝟒

𝟓

𝟓

𝟑+

𝟓

𝟑


59

= جد الصغة القطبة للعدد المركب : 3/د2014سؤال وزاري 𝟓 − 𝟓

الحل/

= ‖ ‖ = = 𝟐 + 𝟐 = 𝟐𝟓 + 𝟐𝟓 = 𝟓𝟎 = 𝟓 𝟐

=

‖ ‖=

𝟓

𝟓 𝟐 =

𝟏

𝟐 , =

‖ ‖=

−𝟓

𝟓 𝟐 =

−𝟏

𝟐

= 𝟐 −

𝟒 =

𝟕

𝟒 الربع الرابع

= 𝟓 𝟐 𝟕

𝟒+

𝟕

𝟒

𝟐 اذا كان : 2/د2015سؤال وزاري − – 𝟐 𝟐 و أحد جذري المعادلة 𝟒 – + – 𝟔 = 𝟎 ,

, معامالتها حققة , جد قمت

بما ان المعامالت حققة فان الجذران مترافقان الحل/

= 𝟐 − 𝟒 , = 𝟐 + 𝟒

+ = 𝟐 − 𝟒 + 𝟐 + 𝟒 = 𝟒

. = 𝟐 − 𝟒 𝟐 + 𝟒 = 𝟒 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟎

𝟐 – 𝟒 + 𝟐𝟎 = 𝟎 .𝟐 ⇒ 𝟐 𝟐 – 𝟖 + 𝟒𝟎 = 𝟎

+ 𝟏 – 𝟐 𝟐 بالمقارنة مع + − 𝟔 = 𝟎

𝟏 + = 𝟖 = 𝟕

– 𝟔 = 𝟒𝟎 = 𝟒𝟔

: 3/د2015سؤال وزاري


60

𝟑 جد مجموعة حل المعادلة ف مجموعة األعداد المركبة بأستخدام مبر نة دموافر : − 𝟖 = 𝟎 الحل/

𝟑 − 𝟖 = 𝟎 𝟑 = 𝟖 𝟑 = 𝟖 * (

𝟐) + (

𝟐 بالجذر التكعيبي +(

= 𝟐. (

𝟐) + (

𝟐)/

𝟏𝟑

= 𝟐 6 4

𝟐 + 𝟐

𝟑5 + 4

𝟐 + 𝟐

𝟑57

= 𝟐 6 4

+ 𝟒 𝟐𝟑

5 + 4

+ 𝟒 𝟐𝟑

57 = 𝟐 [ ( + 𝟒

𝟔) + (

+ 𝟒

𝟔)]

= 𝟎, 𝟏, 𝟐

= 𝟎 =𝟐 * (

𝟔) + (

𝟔)+ = 𝟐 0

𝟑

𝟐+𝟏

𝟐 1 = 𝟑 +

= 𝟏 =𝟐 [ (𝟓

𝟔) + (

𝟓

𝟔)] = 𝟐 0

− 𝟑

𝟐+𝟏

𝟐 1 =− 𝟑 +

= 𝟏 =𝟐 [ (𝟗

𝟔) + (

𝟗

𝟔)] = 𝟐[𝟎 − ] =−𝟐

{ 𝟑 + , −𝟐 , − 𝟑 + مجموعة الحل للمعادلة هي {

. 𝟖بأستخدام مبر نة دموافر , جد الجذور التكعبة للعدد : 1/د2016سؤال وزاري الحل/

= 𝟖 = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟖 𝟐 = 𝟖

=

=

‖ ‖=𝟎

𝟖= 𝟎 , =

=𝟖

𝟖= 𝟏 =

𝟐 الربع االول

𝟑

= 𝟖𝟑

= 𝟖 (𝟏𝟑)=

(𝟏𝟑) +

(𝟏𝟑)= 𝟖

(𝟏𝟑)(

𝟐+

𝟐)(𝟏𝟑)

𝟑

= 𝟖𝟑

4 4

𝟐 + 𝟐

𝟑5 + 4

𝟐 + 𝟐

𝟑55 = 𝟎, 𝟏, 𝟐

= 𝟎 = 2[ (

6) + (

6)] = 𝟐 0

𝟑

𝟐+

𝟏

𝟐1 = 𝟑 +

= 𝟏 = 2[ (5

6) + (

5

6)] = 𝟐 * ( −

6) + ( −

6)+

= 𝟐 *− (

6) + (

6)+ = 𝟐 0

− 𝟑

𝟐+𝟏

𝟐 1 = − 𝟑 +

= 𝟐 = 2[ (9

6) + (

9

6)] = 𝟐 [ (

3

2) + (

3

2)] = 𝟎 + 𝟐 − = −𝟐


61

األعداد المركبةأسئلة حول

– إذا كان/ 1س , ( حث bi +3أحد الجذرن التربعن للعدد ) أعداد حققة, جد السعة للعدد المركب

= 𝟐 − 𝟑 − 𝟐 − 𝟏𝟗

جد ناته ما ل : / 2س

𝟏 + 𝟑 𝟓− 𝟏 + 𝟑

𝟓

𝟐 𝟏 − 𝟑 𝟒 𝟏

𝟏 − 𝟔

𝟒 𝟏 + 𝟖 𝟑

𝟓 للعدد أوجد الجدور التربعة /3س + 𝟏𝟐

= أذا كان /4س + . , جد قمة 𝟐 عدد مركب مقاسه 𝟑

+ إذا كان /5س =𝟐+

𝟏− 𝟑 ]𝟐فأثبت أن + 𝟑] = 𝟕

𝟏 أذا كان / 6س + + التربعة للعدد المعادلة و أحد الجذور , فجد قمت 𝟒

𝟏 / العدد المركب 7س − 𝟐 و أحذ جذور المعادلة 𝟐 − 𝟐 − + − 𝟕 = , فجد قم 𝟎

𝟐 بأستخدام مبر نة دموافر , حل المعادلة /8س + 𝟐𝟕 = ℂ حث 𝟎

ℂ بطرقتن مختلفتن ف المجموعة التالة حل المعادالت /9س

𝟑 − 𝟖 = 𝟎

𝟐 𝟑 − 𝟖 = 𝟎

𝟏

𝟑 − 𝟔𝟒 = 𝟎

𝟒 𝟑 + 𝟔𝟒 = 𝟎

𝟑

أحسب بأستخدام مبر نة دموافر كالا مما أت : /10س

𝟑 − 𝟕 −𝟏 + 𝟕 𝟏 + 𝟓

Education

ملزمة الرياضيات للسادس العلمي الأحيائي 2017 الفصل 1 للأستاذ علي حميد