Легенда о шаху

Милош Ружић, Маја Бабић Милош Ружић, Маја Бабић VII-1VII-1

Милош Ружић, Маја Бабић Милош Ружић, Маја Бабић VII-1VII-1

Сматра се да је шах настао у Кини, али се верује да се пре 2000 година играо у Индијина дрвеној плочи “Чантуранга”.

Измислио га је мудрац Сиси бен Дахир. Индијски махараџа толико је био одушевљен новом игром, да је понудио мудрацу награду какву год зажели.

Милош Ружић, Маја Бабић Милош Ружић, Маја Бабић VII-1VII-1

Легенда каже да је мудрац затражио жито, тако да му се на свако од 64 поља на шаховској табли редом ставља двоструко више зрна него на претходно поље.

Цар је био лош математичар и помислио је да низ 1+2+4+8 … зрна и није тако велики и да ће веома лако испунити жељу мудраца.

Милош Ружић, Маја Бабић Милош Ружић, Маја Бабић VII-1VII-1

Шта је цар превидео?2o 21 22 23 24 25 26 27

28 29 210 211 212 213 214 215

216 217 218 219 220 221 222 223

224 225 226 227 228 229 230 231

232 233 234 235 236 237 238 239

240 241 242 243 244 245 246 247

248 249 250 251 252 253 254 255

256 257 258 259 260 261 262 263

Превидео је да се на сваком следећем пољу врши множе-ње бројаева, а не сабирање.

Ми данас не знамо да ли су цареви дворски математичари познавали теорију низова бројева.

Милош Ружић, Маја Бабић Милош Ружић, Маја Бабић VII-1VII-1

Цареви дворски математичари морали су (без компјутера или макар дигитрона) дасрачунају збир од 64 члана низа, од којих је најмањи члан 2o = 1, а највећи 263 = 9 223 372 036 854 775 808 зрна пшенице.

Цар се натмурио, јер није навикао да се његове наредбе извршавају тако споро. Увече се цар још једном занимао да ли је Сета са својом врећом напустио царски врт. Одговорили су му да његови математичари раде без одмора и надају се да ће до сванућа завршити рачун.

Милош Ружић, Маја Бабић Милош Ружић, Маја Бабић VII-1VII-1

„Зашто оклевате с том испоруком?“ - гневно је подвикнуо цар. Пре него што сване, све до последњег зрна треба да буде испоручено Сети. Ја двапут не заповедам.

Ујутро су математичари рекли цару: Савесно смо изрa-чунали колико зрна пшенице треба да добије Сета. Тај број је толико велик ...

„Колико велик био да био“, надмено је упао у реч цар, моје житнице не оскудевају. Награда је обећана и треба је предати Сети.

Укупан број зрна које цар треба да испоручи Сисију бен Дахиру износио је 18 446 744 073 709 551 615

Милош Ружић, Маја Бабић Милош Ружић, Маја Бабић VII-1VII-1

Ако желите да испуните обећање, тада наредите да се сва земаљска пространства претворе у оранице, наредите да се исуше сва мора и океани; наредите да се истопи сав лед и снег који покрива далеке северне крајеве. Нека сва та пространства буду засејана пшеницом, рекли су царудворски математичари.

И све то, што роди на тим пољима, наредите да дају Сети. Цар је запањено слушао објашњавање математичара. „Кажи ми тај чудовишни број“, рекао је цар размишљајући.

Милош Ружић, Маја Бабић Милош Ружић, Маја Бабић VII-1VII-1

Техника рачунања Ако је цар на прво шаховско поље (N=1) ставио једно зрно пшенице, то је број 2о = 1. На сваком следећем пољу изложилац степена је за 1 мањи од редног броја поља, тако да је на пос-ледњем, 64. пољу изложилац једнак 63. Основа степена је увек 2, јер на сваком наредном пољу број зрна добијамо множењем са 2 (дупло више него на претходном). Колико се брзо повећава вредност степена са великим изло-жиоцем види се и по томе што је број зрна на 64. пољу готово једнак збиру бројева зрна на претходна 63 поља.

Милош Ружић, Маја Бабић Милош Ружић, Маја Бабић VII-1VII-1Поље (N) Степен броја 2 Резултат

1 2N-1 = 2o 12 2N-1 = 21 23 2N-1 = 22 44 2N-1 = 23 85 2N-1 = 24 166 2N-1 = 25 327 2N-1 = 26 648 2N-1 = 27 1289 2N-1 = 28 25610 2N-1 = 29 51211 2N-1 = 210 1.02412 2N-1 = 211 2.04813 2N-1 = 212 4.09614 2N-1 = 213 8.19215 2N-1 = 214 16.38416 2N-1 = 215 32.76817 2N-1 = 216 65.53618 2N-1 = 217 131.07219 2N-1 = 218 262.14420 2N-1 = 219 524.28821 2N-1 = 220 1.048.57622 2N-1 = 221 2.097.15223 2N-1 = 222 4.194.30424 2N-1 = 223 8.388.60825 2N-1 = 224 16.777.21626 2N-1 = 225 33.554.43227 2N-1 = 226 67.108.86428 2N-1 = 227 134.217.72829 2N-1 = 228 268.435.45630 2N-1 = 229 536.870.912 31 2N-1 = 230 1.073.741.82432 2N-1 = 231 2.147.483.648

Милош Ружић, Маја Бабић Милош Ружић, Маја Бабић VII-1VII-1Поље (N) Степен броја 2 Резултат

33 2N-1 = 232 4.294.967.29634 2N-1 = 233 8.589.934.59235 2N-1 = 234 17.179.869.18436 2N-1 = 235 34.359.738.36837 2N-1 = 236 68.719.476.73638 2N-1 = 237 137.438.953.47239 2N-1 = 238 274.877.906.94440 2N-1 = 239 549.755.813.88841 2N-1 = 240 1.099.511.627.77641 2N-1 = 241 2.199.023.255.55243 2N-1 = 242 4.398.046.511.10444 2N-1 = 243 8.796.093.022.20845 2N-1 = 244 17.592.186.044.41646 2N-1 = 245 35.184.372.088.83247 2N-1 = 246 70.368.744.177.66448 2N-1 = 247 140.737.488.355.32849 2N-1 = 248 281.474.976.710.65650 2N-1 = 249 562.949.953.421.31251 2N-1 = 250 1.125.899.906.842.62452 2N-1 = 251 2.251.799.813.685.24853 2N-1 = 252 4.503.599.627.370.49654 2N-1 = 253 9.007.199.254.740.99255 2N-1 = 254 18.014.398.509.481.98456 2N-1 = 255 36.028.797.018.963.96857 2N-1 = 256 72.057.594.037.927.93658 2N-1 = 257 144.115.188.075.855.87259 2N-1 = 258 288.230.376.151.711.74460 2N-1 = 259 576.460.752.303.423.48861 2N-1 = 260 1.152.921.504.606.846.97662 2N-1 = 261 2.305.843.009.213.693.95263 2N-1 = 262 4.611.686.018.427.387.90464 2N-1 = 263 9.223.372.036.854.775.808

Укупно зрна: 18.446.744.073.709.551.615

Милош Ружић, Маја Бабић Милош Ружић, Маја Бабић VII-1VII-1

ХВАЛА НА ПАЖЊИ!