підручник істер 6 клас математика

ÓÄÊ 51(075.3)ÁÁÊ 22.1ÿ723

І-89

© Іñòåð Î.Ñ., 2014© Âèäàâíèöòâî «Ãåíåçà»,

îðèãіíàë-ìàêåò, 2014ISBN 978-966-11-0431-9

І-89Іñòåð Î.Ñ. Ìàòåìàòèêà : ïіäðó÷. äëÿ 6-ãî êë. çàãàëüíîîñâіò. íàâ÷. çàêë. / Î.Ñ. Іñòåð. — Ê. : Ãåíåçà, 2014. — 296 ñ. : іë. ISBN 978-966-11-0431-9. Ïіäðó÷íèê âіäïîâіäàє ÷èííіé ïðîãðàìі ç ìàòåìàòèêè, ñêëàäàєòüñÿ іç ÷îòèðüîõ ðîçäіëіâ, ùî ìіñòÿòü 54 ïàðàãðàôè, êîæíèé ç ÿêèõ óìіùóє äîñòàòíþ êіëüêіñòü äèôåðåíöіéîâà-íèõ âïðàâ. Äëÿ ïіäãîòîâêè äî êîíòðîëüíîї ðîáîòè ïåðåäáà-÷åíî «Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü». Íàïðèêіíöі ïіäðó÷-íèêà íàâåäåíî âïðàâè ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі, ïðåäìåòíèé ïîêàæ÷èê òà âіäïîâіäі äî áіëüøîñòі âïðàâ. Äëÿ íàéáіëüø äî-ïèòëèâèõ є íèçêà öіêàâèõ і ñêëàäíèõ çàäà÷ ó ðóáðèöі «Äëÿ òèõ, õòî ëþáèòü ìàòåìàòèêó».

ÓÄÊ 51(075.3)ÁÁÊ 22.1ÿ723

Ðåêîìåíäîâàíî Ìіíіñòåðñòâîì îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè (Íàêàç ÌÎÍ Óêðàїíè âіä 07.02.2014 № 123)

Íàóêîâó åêñïåðòèçó ïðîâîäèâ Іíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðàїíè.

Å ê ñ ï å ð ò Òîðáіí Ã.Ì., ïðîâіäíèé ñïіâðîáіòíèê Іíñòèòóòó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðàїíè, ïðîôåñîð, äîêòîð ôіçèêî-ìàòåìà-

òè÷íèõ íàóê

Ïñèõîëîãî-ïåäàãîãі÷íó åêñïåðòèçó ïðîâîäèâ Іíñòèòóò ïåäàãîãіêè ÍÀÏÍ Óêðàїíè.

Å ê ñ ï å ð ò Ãëîáіí Î.І., çàâіäóâà÷ ëàáîðàòîðії ìàòåìàòè÷íîї òà ôіçè÷íîї îñâіòè Іíñòèòóòó ïåäàãîãіêè ÍÀÏÍ Óêðàїíè, êàíäèäàò ïåäàãîãі÷íèõ íàóê, ñòàðøèé íàóêîâèé ñïіâðîáіòíèê

Âіäïîâіäàëüíі çà ïіäãîòîâêó ïіäðó÷íèêà äî âèäàííÿ:Ãëàäêîâñüêèé Ð.Â., ãîëîâíèé ñïåöіàëіñò äåïàðòàìåíòó çàãàëü-

íîї ñåðåäíüîї òà äîøêіëüíîї îñâіòè ÌÎÍ Óêðàїíè;Ïàíüêîâ À.Â., íàóêîâèé ñïіâðîáіòíèê Іíñòèòóòó іííîâàöіéíèõ

òåõíîëîãіé і çìіñòó îñâіòè ÌÎÍ Óêðàїíè.

Âèäàíî çà ðàõóíîê äåðæàâíèõ êîøòіâ. Ïðîäàæ çàáîðîíåíî

Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_R.indd 2Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_R.indd 2 28.05.2014 15:28:1328.05.2014 15:28:13

3

Øàíîâíèé øåñòèêëàñíèêó!

Òè ïðîäîâæóєø âèâ÷àòè îäíó ç íàéäàâíіøèõ і íàéâàæ-ëèâіøèõ íàóê — ìàòåìàòèêó. Â îâîëîäіííі ìàòåðіàëîì êóðñó òîáі äîïîìîæå öåé ïіäðó÷íèê. Âіí ñêëàäàєòüñÿ іç ÷îòèðüîõ ðîçäіëіâ, ùî ìіñòÿòü 54 ïàðàãðàôè. Ïіä ÷àñ âè-â÷åííÿ òåîðåòè÷íîãî ìàòåðіàëó çâåðíè óâàãó íà òåêñòè, âèäіëåíі æèðíèì øðèôòîì. Öå ìàòåìàòè÷íі îçíà÷åííÿ, òåðìіíè, ïðàâèëà, ìàòåìàòè÷íі çàêîíè.

Ó ïіäðó÷íèêó òè ïîáà÷èø óìîâíі ïîçíà÷åííÿ. Îñü ùî âîíè îçíà÷àþòü:

— òðåáà çàïàì’ÿòàòè;

— çàïèòàííÿ äî âèâ÷åíîãî òåîðåòè÷íîãî ìàòåðіàëó;

— âïðàâè äëÿ ïîâòîðåííÿ;

— âïðàâè ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі;

— öіêàâі çàäà÷і äëÿ ó÷íіâ íåëåäà÷èõ.

×îðíèì êîëüîðîì ïîçíà÷åíî íîìåðè âïðàâ äëÿ ðîçâ’ÿ-çóâàííÿ â êëàñі, à áëàêèòíèì êîëüîðîì ïîçíà÷åíî íîìåðè âïðàâ äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ âäîìà.

Óñі âïðàâè ðîçïîäіëåíî âіäïîâіäíî äî ðіâíіâ íàâ÷àëü-íèõ äîñÿãíåíü і âèîêðåìëåíî òàê:

çі çíà÷êà ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè ïî÷àòêîâîãî ðіâíÿ;

çі çíà÷êà ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè ñåðåäíüîãî ðіâíÿ;

çі çíà÷êà ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè äîñòàòíüîãî ðіâíÿ;

çі çíà÷êà ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè âèñîêîãî ðіâíÿ.

Ïåðåâіðèòè ñâîї çíàííÿ òà ïіäãîòóâàòèñÿ äî òåìàòè÷-íîãî îöіíþâàííÿ òè çìîæåø, ÿêùî ðîçâ’ÿæåø «Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü ç òåìè».

ßêùî òè öіêàâèøñÿ ìàòåìàòèêîþ, ìîæåø óäîñêîíà-ëþâàòè âìіííÿ, ðîçâ’ÿçóþ÷è ïðîòÿãîì íàâ÷àëüíîãî ðîêó çàäà÷і іç çіðî÷êàìè òà çàäà÷і ðóáðèêè «Öіêàâі çàäà÷і äëÿ ó÷íіâ íåëåäà÷èõ», à òàêîæ çàäà÷і ðóáðèêè «Äëÿ òèõ, õòî ëþáèòü ìàòåìàòèêó».

Áàæàþ óñïіõіâ!

Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 3Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 3 28.05.2014 15:47:4528.05.2014 15:47:45

4

ØÀÍÎÂÍІ Â×ÈÒÅËІ!

Ïіäðó÷íèê ìіñòèòü âåëèêó êіëüêіñòü âïðàâ. Îáèðàéòå їõ äëÿ âèêîíàííÿ íà óðîêàõ òà ÿê äîìàøíі çàâäàííÿ çàëåæíî âіä ïîñòàâëåíîї ìåòè, ðіâíÿ ïіäãîòîâëåíîñòі ó÷íіâ, ñòóïåíÿ іíäèâіäóàëіçàöії íàâ÷àííÿ òîùî. Âïðàâè, ÿêі íå ðîçãëÿíó-ëè, ìîæíà âèêîðèñòàòè ïіä ÷àñ äîäàòêîâèõ, іíäèâіäóàëü-íèõ, ôàêóëüòàòèâíèõ çàíÿòü, à òàêîæ çàíÿòü ìàòåìàòè÷íî-ãî ãóðòêà.

Äîäàòêîâі âïðàâè ó «Çàâäàííÿõ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü» ïðèçíà÷åíî äëÿ ó÷íіâ, ÿêі âïîðàëèñÿ ç îñíîâíèìè çàâäàí-íÿìè ðàíіøå âіä іíøèõ ó÷íіâ. Ïðàâèëüíå їõ ðîçâ’ÿçàííÿ â÷èòåëü ìîæå îöіíèòè îêðåìî.

ØÀÍÎÂÍІ ÁÀÒÜÊÈ!

ßêùî âàøà äèòèíà ïðîïóñòèòü îäèí ÷è êіëüêà óðîêіâ ó øêî ëі, òî âèíèêíå íåîáõіäíіñòü îïðàöþâàòè öåé ìàòåðі-àë óäîìà. Òåîðåòè÷íó ÷àñòèíó êîæ íîãî ïàðàãðàôà ïîäàíî ìàêñèìàëüíî ïðîñòîþ, çðîçóìіëîþ ìîâîþ, ñóïðîâîäæóþ÷è її äîñòàòíüîþ êіëüêіñòþ ïðèêëàäіâ. Òîìó ñïî÷àòêó íåîá-õіäíî çàïðîïîíóâàòè äèòèíі îçíàéîìèòèñÿ ç òåîðåòè÷íîþ ÷àñòèíîþ ïàðàãðàôà, ïіñëÿ öüîãî äàòè âіäïîâі äі íà çàïè-òàííÿ, ùî ïîäàíî ïіñëÿ íåї. Äàëі ñëіä ïðèñòóïèòè äî ðîçâ’ÿçóâàííÿ âïðàâ ç óðàõóâàííÿì ïðèíöèïó «âіä ïðîñòî-ãî äî ñêëàäíîãî». Ñàìå çà òàêèì ïðèíöèïîì ðîçìіùåíî âïðàâè ó êîæíîìó ïàðàãðàôі.

Êðіì òîãî, âè ìîæåòå çàïðîïîíóâàòè äèòèíі äîäàòêîâî ðîçâ’ÿçàòè âäîìà âïðàâè, ÿêі íå áóëè ðîçâ’ÿçàíі íà óðîöі. Öå ñïðèÿòèìå êðàùîìó çàñâîєííþ íàâ÷àëüíîãî ìàòåðіàëó.

Ùîá ïіäãîòóâàòèñÿ äî òåìàòè÷íîãî îöіíþâàííÿ, äèòèíі âàðòî ðîçâ’ÿçàòè «Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü ç òåìè», ïîäàíі â ïіäðó÷íèêó. Öå äîïîìîæå ïðèãàäàòè îñíîâíі òèïè âïðàâ.

Áàæàþ óñïіõіâ!



Ðîçäië 1

6

Áóäü-ÿêå íàòóðàëüíå ÷èñëî a äіëèòüñÿ íà 1 і a. Îòæå, 1 і a — äіëüíèêè ÷èñëà à, ïðè÷îìó 1 — íàéìåíøèé äіëü-íèê, a — íàéáіëüøèé.

Ïðèêëàä 1. Çíàéòè âñі äіëüíèêè ÷èñëà 18.Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Äâà äіëüíèêè ÷èñëà 18 î÷åâèäíі: 1 і

18. Ùîá çíàéòè іíøі, áóäåìî ïåðåâіðÿòè ïіäðÿä óñі íàòó-ðàëüíі ÷èñëà, ïî÷èíàþ÷è ç 2. Îòðèìàєìî ùå ÷îòèðè äіëü-íèêè: 2, 3, 6 і 9. Îòæå, ÷èñëî 18 ìàє øіñòü äіëüíèêіâ: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Öåé ïåðåáіð ìîæíà ñêîðîòèòè, ÿêùî, çíàé-øîâøè îäèí äіëüíèê, çàïèñóâàòè âіäðàçó é іíøèé, ÿêèé є ÷àñòêîþ âіä äіëåííÿ ÷èñëà 18 íà çíàéäåíèé äіëüíèê. Òà-êèì ÷èíîì, îòðèìàєìî ïàðè: 1 і 18, 2 і 9, 3 і 6. Ïіä ÷àñ ïåðåáîðó їõ çðó÷íî çàïèñóâàòè òàê:

1 2 3 18 9 6.Íåõàé íà ñòîëі ëåæàòü êîðîáêè, â êîæíіé ç ÿêèõ çíà-

õîäèòüñÿ 12 îëіâöіâ. Íå ðîçêðèâàþ÷è êîðîáîê, ìîæíà âçÿ-òè 12 îëіâöіâ, 24 îëіâöі, 36 îëіâöіâ, à îò 16 îëіâöіâ óçÿòè íå ìîæíà. Êàæóòü, ùî ÷èñëà 12, 24, 36 êðàòíі ÷èñëó 12, à ÷èñëî 16 íå êðàòíå ÷èñëó 12.

Êðàòíèì íàòóðàëüíîìó ÷èñëó à íàçèâàþòü íà-òóðàëüíå ÷èñëî, ÿêå äіëèòüñÿ íà à.

Áóäü-ÿêå íàòóðàëüíå ÷èñëî à ìàє áåçëі÷ êðàòíèõ. Íà-ïðèêëàä, ïåðøі ï’ÿòü ÷èñåë, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 12, òàêі: 12, 24, 36, 48, 60. Íàéìåíøèì ç êðàòíèõ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà є ñàìå öå ÷èñëî.

Óçàãàëі, âñі ÷èñëà, ÿêі êðàòíі ÷èñëó à, ìîæíà îäåðæà-òè, ïîìíîæèâøè à ïîñëіäîâíî íà ÷èñëà 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., à ñàìå:

a 1; à 2; à 3; à 4; à 5; à 6; à 7; ...

Çàóâàæèìî, ùî ñëîâà «äіëèòüñÿ» і «êðàòíå» çàìіíþ-þòü îäíå îäíîãî. Íàïðèêëàä, âèðàçè «40 äіëèòüñÿ íà 8» і «40 êðàòíå ÷èñëó 8» ìàþòü îäèí і òîé ñàìèé çìіñò.

Ïðèêëàä 2. Çíàéòè íàéìåíøå òà íàéáіëüøå ÷îòèðè-öèôðîâі ÷èñëà, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 23.

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. 1) 1000 — íàéìåíøå ÷îòèðèöèôðîâå ÷èñëî. 1000 : 23 43 (îñò. 11). Òîìó 23 44 1012 — íàé-ìåíøå ÷îòèðèöèôðîâå ÷èñëî, ÿêå êðàòíå ÷èñëó 23.


Ïîäiëüíiñòü íàòóðàëüíèõ ÷èñåë

7

2) 9999 — íàéáіëüøå ÷îòèðèöèôðîâå ÷èñëî. 9999 : 23 434 (îñò. 17). Òîìó 23 434 9982 — íàéáіëüøå ÷îòèðè-öèôðîâå ÷èñëî, ÿêå êðàòíå ÷èñëó 23.

ßêå ÷èñëî íàçèâàþòü äіëüíèêîì äàíîãî íàòóðàëüíî-ãî ÷èñëà à? Íàçâè äіëüíèêè ÷èñëà 8. ßêå íàòó-ðàëüíå ÷èñëî íàçèâàþòü êðàòíèì ÷èñëó à? Íàçâè ÷îòèðè ÷èñëà, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 8.

1. Íàçâè òі ïàðè ÷èñåë, ó ÿêèõ ïåðøå ÷èñëî є äіëüíè-êîì äðóãîãî:

1) 2 і 8; 2) 3 і 5; 3) 14 і 7;4) 5 і 18; 5) 10 і 50; 6) 1 і 2012.

2. Ïåðåâіð, ÷è є ïåðøå ÷èñëî äіëüíèêîì äðóãîãî: 1) 25 і 400; 2) 13 і 1613; 3) 123 і 3321.

3. Ïåðåâіð, ÷è є ïåðøå ÷èñëî äіëüíèêîì äðóãîãî:1) 3 і 112; 2) 42 і 1050; 3) 37 і 1645.

4. Íàçâè ïàðè ÷èñåë, ó ÿêèõ ïåðøå ÷èñëî є êðàòíèì äðóãîìó:1) 12 і 3; 2) 17 і 9; 3) 18 і 1; 4) 23 і 23.

5. Ïåðåâіð, ÷è є ïåðøå ÷èñëî êðàòíèì äðóãîìó:1) 810 і 5; 2) 1036 і 45; 3) 4144 і 37.

6. Ïåðåâіð, ÷è є ïåðøå ÷èñëî êðàòíèì äðóãîìó: 1) 189 і 3; 2) 1051 і 6; 3) 3000 і 24.

7. Çàïèøè âñі äіëüíèêè ÷èñëà: 1) 12; 2) 19; 3) 27; 4) 36.

8. Çàïèøè âñі äіëüíèêè ÷èñëà: 1) 15; 2) 23; 3) 28; 4) 40.

9. Çàïèøè ÷îòèðè ÷èñëà, êðàòíі ÷èñëó: 1) 8; 2) 10; 3) 19.

10. Çàïèøè ÷îòèðè ÷èñëà, êðàòíі ÷èñëó: 1) 6; 2) 11; 3) 23.

11. Òðåáà ïîäіëèòè ïîðіâíó ìіæ êіëüêîìà äіòüìè 24 öó-êåðêè. Ñ êіëüêè ìîæå áóòè äіòåé?

12. ×è ìîæíà äàòè çäà÷ó 2 ãðí 25 êîï. ìîíåòàìè: 1) ïî 25 êîï.; 2) ïî 50 êîï.?

13. ×è ìîæíà 65 îãіðêіâ ðîçêëàñòè ïîðіâíó: 1) â 2 êîøèêè; 2) â 3 êîøèêè; 3) â 5 êîøèêіâ?

14. Çàïèøè âñі ä âîöèôðîâі ÷èñëà, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 17.


Ðîçäië 1

8

15. Çàïèøè âñі äâîöèôðîâі ÷èñëà, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 13.

16. Âêàæè ÿêå-íåáóäü ÷èñëî, ùî є äіëüíèêîì ÷èñåë:1) 8 і 12; 2) 20 і 30; 3) 13 і 26; 4) 7 і 15.

17. Âêàæè ÿêå-íåáóäü ÷èñëî, ùî є äіëüíèêîì ÷èñåë:1) 4 і 9; 2) 15 і 10.

18. Âêàæè ÿêå-íåáóäü ÷èñëî, ùî є êðàòíå ÷èñëàì:1) 2 і 5; 2) 3 і 6; 3) 9 і 12.

19. Âêàæè ÿêå-íåáóäü ÷èñëî, ùî є êðàòíå ÷èñëàì:1) 3 і 7; 2) 8 і 12.

20. Çàïèøè çíà÷åííÿ x, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 5, ïðè ÿêèõ ïî-äâіéíà íåðіâíіñòü 23 < x < 36 áóäå ïðàâèëüíîþ.

21. Çàïèøè çíà÷åííÿ ó, ùî є äіëüíèêàìè ÷èñëà 30, ïðè ÿêèõ ïîäâіéíà íåðіâíіñòü 2 < ó < 14 áóäå ïðàâèëüíîþ.

22. Çàïèøè çíà÷åííÿ b, ïðè ÿêèõ ïîäâіéíà íåðіâíіñòü 4 < b < 17 áóäå ïðàâèëüíîþ і ÿêі:

1) êðàòíі ÷èñëó 3; 2) є äіëüíèêàìè ÷èñëà 36.

23. Çíàé äè: 1) íàéáіëüøå ÷îòèðèöèôðîâå ÷èñëî, ùî êðàòíå ÷èñ-ëó 115; 2) íàéìåíøå ï’ÿòèöèôðîâå ÷èñëî, ùî êðàòíå ÷èñëó 12.

24. ßêà íàéìåíøà êіëüêіñòü ãîðіõіâ ïîâèííà áóòè â êîøè-êó, ùîá їõ ìîæíà áóëî ðîçêëàñòè íà êóïêè àáî ïî 6, àáî ïî 8, àáî ïî 9 ãîðіõіâ ó êîæíіé?

25. Íà êîîðäèíàòíîìó ïðîìåíі ïîçíà-÷åíî ÷èñëî b (ìàë. 1). Ïîçíà÷ íà òà-êîìó ïðîìåíі ó çîøèòі òðè ÷èñëà, ÿêі êðàòíі ÷èñëó b.

26. Çíàé äè ïåðèìåòð і ïëîùó êâàäðàòà, ñòîðîíà ÿêîãî äîðіâíþє 2,4 ñì. Âèðàçè ïëîùó öüîãî êâàäðàòà ó ìì2.

27. Îêðóãëè:1) 17,89 äî îäèíèöü; 2) 15,135 äî äåñÿòèõ;3) 18,475 äî ñîòèõ; 4) 189,145 äî äåñÿòêіâ.

28. Äîâåäè, ùî äâà íàòóðàëüíèõ ÷èñëà a і b ìàþòü òàêó âëàñòèâіñòü: àáî a, àáî b, àáî a + b, àáî a – b äіëèòü-ñÿ íà 3.

Ìàë. 1



9

2.2. Ознаки подільності на 10, 5 та 2Ïðèïóñòèìî, ùî òðåáà äіçíàòèñÿ, ÷è äіëèòüñÿ ÷èñëî

137 146 íà 5. Äëÿ öüîãî ìîæíà âèêîíàòè äіëåííÿ é îäåð-æàòè âіäïîâіäü íà ïîñòàâëåíå çàïèòàííÿ. Àëå âіäïîâіäü ìîæíà çíàéòè çíà÷íî ïðîñòіøå, íå âèêîíóþ÷è äіëåííÿ, çà äîïîìîãîþ îçíàê ïîäіëüíîñòі. Ðîçãëÿíåìî äåÿêі ç íèõ.

Áóäü-ÿêå íàòóðàëüíå ÷èñëî, ùî çàêіí÷óєòüñÿ öèôðîþ 0, äіëèòüñÿ íà 10. Ùîá îäåðæàòè ÷àñòêó, äîñèòü ó äіëå-íîìó âіäêèíóòè öþ öèôðó 0. Íàïðèêëàä, 2730 : 10 273. Ïðè äіëåííі æ ÷èñëà 2734 íà 10 îäåðæèìî íåïîâíó ÷àñòêó 273 і îñòà÷ó 4 (òîáòî îñòàííþ öèôðó çàïèñó öüîãî ÷èñëà). Òîìó ÿêùî îñòàííÿ öèôðà â çàïèñó íàòóðàëüíîãî ÷èñëà âіäìіííà âіä íóëÿ, òî öå ÷èñëî íå äіëèòüñÿ íà 10. Îòæå, ìàєìî îçíàêó ïîäіëüíîñòі íà 10:

íà 10 äіëÿòüñÿ âñі òі íàòóðàëüíі ÷èñëà, çàïèñ ÿêèõ çàêіí÷óєòüñÿ öèôðîþ 0.

ßêùî çàïèñ ÷èñëà çàêіí÷óєòüñÿ áóäü-ÿêîþ іíøîþ öèô-ðîþ, òî ÷èñëî íå äіëèòüñÿ íà 10.

Íà 5 äіëÿòüñÿ ëèøå ÷èñëà, ùî êðàòíі ÷èñëó 5, òîáòî ÷èñëà: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ... Îñòàííüîþ öèô-ðîþ êîæíîãî ç öèõ ÷èñåë є àáî 0, àáî 5. Òîìó ìàєìî îçíà-êó ïîäіëüíîñòі íà 5:

íà 5 äіëÿòüñÿ âñі òі íàòóðàëüíі ÷èñëà, çàïèñ ÿêèõ çàêіí÷óєòüñÿ öèôðîþ 0 àáî öèôðîþ 5. ßêùî çàïèñ ÷èñëà çàêіí÷óєòüñÿ áóäü-ÿêîþ іí-øîþ öèôðîþ, òî ÷èñëî íå äіëèòüñÿ íà 5.

Íà 2 äіëÿòüñÿ ëèøå ÷èñëà, ùî êðàòíі ÷èñëó 2, òîáòî ÷èñëà: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ... Çàïèñ ÷èñåë, êðàòíèõ ÷èñëó 2, çàêіí÷óєòüñÿ îäíієþ ç öèôð: 0, 2, 4, 6, 8. Öі öèôðè íàçèâàþòü ïàðíèìè öèôðàìè. Ðåøòó öèôð, òîáòî 1, 3, 5, 7, 9, íàçèâàþòü íåïàðíèìè öèôðàìè. Îòæå, ìàєìî îçíàêó ïîäіëüíîñòі íà 2:

íà 2 äіëÿòüñÿ âñі òі íàòóðàëüíі ÷èñëà, çàïèñ ÿêèõ çàêіí÷óєòüñÿ ïàðíîþ öèôðîþ. ßêùî çàïèñ ÷èñëà çàêіí÷óєòüñÿ íåïàðíîþ öèô-ðîþ, òî ÷èñëî íå äіëèòüñÿ íà 2.


Ðîçäië 1

10

Íàòóðàëüíі ÷èñëà, ÿêі äіëÿòüñÿ íà 2, íàçèâàþòü ïàð-íèìè ÷èñëàìè, óñі іíøі íàòóðàëüíі ÷èñëà — íåïàðíèìè. Íàïðèêëàä, ÷èñëà 86, 104, 510, 78, 1112 — ïàðíі, à 87, 113, 2001, 405, 9999 — íåïàðíі.

ßê çà çàïèñîì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà âèçíà÷èòè, äіëè-òüñÿ âîíî íà 10 ÷è íі? ßê çà çàïèñîì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà âèçíà÷èòè, äіëèòüñÿ âîíî íà 5 ÷è íі? ßê çà çàïèñîì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà âèçíà÷èòè, äіëèòüñÿ âîíî íà 2 ÷è íі? ßêі öèôðè íàçèâàþòü ïàðíèìè, à ÿêі — íåïàðíèìè? ßêі ÷èñëà íàçèâàþòü ïàðíèìè, à ÿêі — íåïàðíèìè? Íàâåäè ïðèêëàä ïàðíèõ ÷è-ñåë, íåïàðíèõ ÷èñåë.

29. (Óñíî) Ñåðåä ÷èñåë 275, 96, 107, 95, 100, 512, 715, 2100, 109 íàçâè òі, ùî äіëÿòüñÿ íà 2; íà 5; íà 10.

30. (Óñíî) ßêі іç ÷èñåë 1002, 913, 714, 7008, 411, 1005, 676 є ïàðíèìè; ÿêі — íåïàðíèìè?

31. ßêі іç ÷èñåë 6538, 7780, 9835, 10 391, 15 932, 18 060, 44 445 äіëÿòüñÿ: 1) íà 2; 2) íà 5; 3) íà 10?

32. ßêі іç ÷èñåë 5866, 5075, 8160, 13 382, 15 047, 405 185, 80 407, 72 310 äіëÿòüñÿ: 1) íà 2; 2) íà 5; 3) íà 10?

33. Çàïèøè ïî òðè ÷îòèðèöèôðîâèõ ÷èñëà, ÿêі äіëÿòü-ñÿ: 1) íà 2; 2) íà 5; 3) íà 10.

34. Çàïèøè ïî äâà ï’ÿòèöèôðîâèõ ÷èñëà, ÿêі äіëÿòüñÿ:1) íà 2; 2) íà 5; 3) íà 10.

35. (Óñíî) Íàïðèêіíöі óðîêó ó÷íі çäàëè çîøèòè äëÿ êîí-òðîëü íèõ ðîáіò і çîøèòè äëÿ âïðàâ, óñüîãî 51 çîøèò. ×è âñі ó÷íі çäàëè îáèäâà çîøèòè?

36. Äîïèøè ïðàâîðó÷ äî ÷èñëà 37 òàêó öèôðó, ùîá öå ÷èñëî äіëèëîñÿ: 1) íà 2; 2) íà 5; 3) íà 10.

37. Çàìіñòü çіðî÷êè ïîñòàâ òàêó öèôðó, ùîá ÷èñëî 519*: 1) áóëî ïàðíèì; 2) áóëî íåïàðíèì;3) äіëèëîñÿ íà 5; 4) äіëèëîñÿ íà 10.

38. Çàïèøè çíà÷åííÿ x, ïðè ÿêèõ íåðіâíіñòü 413 < x < 424 áóäå ïðàâèëüíîþ і ÿêі êðàòíі ÷èñëó 2.



11

39. Çàïèøè çíà÷åííÿ b, ïðè ÿêèõ íåðіâíіñòü 182 < b < 223 áóäå ïðàâèëüíîþ і ÿêі êðàòíі ÷èñëó 10.

40. Іç öèôð 0, 1, 5 і 8 ñêëàäè ïî òðè ÷îòèðèöèôðîâі ÷èñ-ëà, ÿêі äіëÿòüñÿ: 1) íà 2; 2) íà 5; 3) íà 10. (Öèôðè â çà-ïèñó ÷èñëà íå ïîâòîðþþòüñÿ.)

41. ×è ìîæíà, âèêîðèñòîâóþ÷è ëèøå öèôðè 1 і 2, çàïèñàòè:1) ÷èñëî, ùî äіëèòüñÿ íà 10; 2) ïàðíå ÷èñëî;3) ÷èñëî, ÿêå êðàòíå ÷èñëó 5; 4) íåïàðíå ÷èñëî?

42. Âèêîðèñòîâóþ÷è êîæíó öèôðó îäèí ðàç, çàïèøè íàéáіëüøå:

1) ÷îòèðèöèôðîâå ÷èñëî, ùî êðàòíå ÷èñëó 2;2) ï’ÿòèöèôðîâå ÷èñëî, ùî êðàòíå ÷èñëó 5;3) øåñòèöèôðîâå ÷èñëî, ùî êðàòíå ÷èñëó 10.

43. Іç öèôð 2, 0, 5 і 7 óòâîðè âñі ìîæëèâі ÷îòèðèöèôðîâі ïàðíі ÷èñëà. (Öèôðè â çàïèñó ÷èñëà íå ïîâòîðþþòüñÿ.)

44. Çíàé äè îá’єì і ïëîùó ïîâåðõíі êóáà, ðåáðî ÿêîãî äîðіâíþє 1,2 ñì.

45. Çàïèøè òðè ÷èñëà, êîæíå ç ÿêèõ:1) áіëüøå çà 6,7, àëå ìåíøå âіä 6,9;

2) ìåíøå âіä , àëå áіëüøå çà 13.

46. Ïåðåâіð, ùî êîæíå іç ÷èñåë 6, 28, 496 äîðіâíþє ñóìі âñіõ éîãî äіëüíèêіâ, íå âðàõîâóþ÷è ñàìîãî ÷èñëà. (Òàêі ÷èñëà íàçèâàþòü äîñêîíàëèìè.)

3.3. Ознаки подільності на 9 та 3Çàïèøåìî êіëüêà ïåðøèõ ÷èñåë, êðàòíèõ ÷èñëó 9:

9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, ...

Î÷åâèäíî, ùî ÷èñëî, ÿêå êðàòíå ÷èñëó 9, ìîæå çàêіí-÷óâàòèñÿ áóäü-ÿêîþ öèôðîþ. Òîìó ðîáèòè âèñíîâîê ïðî ïîäіëüíіñòü íà 9 çà îñòàííüîþ öèôðîþ çàïèñó íå ìîæíà.

Çíàéäåìî ñóìó öèôð êîæíîãî ç êіëüêîõ ÷èñåë, ÿêі äі-ëÿòüñÿ íà 9, і ñóìó öèôð êîæíîãî ç êіëüêîõ ÷èñåë, ÿêі íå äіëÿòüñÿ íà 9. Ðåçóëüòàòè ïîäàìî ó âèãëÿäі òàáëèöі (äèâ. ñ. 12) òà ç’ÿñóєìî, ÿê ïîâ’ÿçàíà ïîäіëüíіñòü ñàìîãî ÷èñëà íà 9 іç ïîäіëüíіñòþ ñóìè éîãî öèôð íà 9.


Ðîçäië 1

12

×èñëî ×è äіëèòüñÿ ÷èñëî íà 9?

Ñóìà öèôð ×è äіëèòüñÿ ñóìà öèôð íà 9?

1908 Òàê 18 Òàê

78 957 Òàê 36 Òàê

405 Òàê 9 Òàê

58 464 Òàê 27 Òàê

1205 Íі 8 Íі

15 478 Íі 25 Íі

5840 Íі 17 Íі

256 Íі 13 Íі

Ñôîðìóëþєìî îçíàêó ïîäіëüíîñòі íà 9:

íà 9 äіëÿòüñÿ âñі òі íàòóðàëüíі ÷èñëà, ñóìà öèôð ÿêèõ äіëèòüñÿ íà 9. ßêùî ñóìà öèôð ÷èñëà íå äіëèòüñÿ íà 9, òî öå ÷èñëî íå äіëèòüñÿ íà 9.

Ïîäіáíîþ äî öієї îçíàêè є îçíàêà ïîäіëüíîñòі íà 3:

íà 3 äіëÿòüñÿ âñі òі íàòóðàëüíі ÷èñëà, ñóìà öèôð ÿêèõ äіëèòüñÿ íà 3. ßêùî ñóìà öèôð ÷èñëà íå äіëèòüñÿ íà 3, òî öå ÷èñëî íå äіëèòüñÿ íà 3.

Ïðèêëàä. Ç’ÿñóâàòè, ÷è äіëèòüñÿ íà 3 ÷èñëî: 1) 2571; 2) 14 021.

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. 1) Ñóìà öèôð ÷èñëà 2571 äîðіâíþє 2 + + 5 + 7 + 1 15, ñóìà öèôð äіëèòüñÿ íà 3, òîìó ÷èñëî 2571 äіëèòüñÿ íà 3.

2) Îñêіëüêè ñóìà öèôð ÷èñëà 14 021, ùî äîðіâíþє 1 ++ 4 + 0 + 2 + 1 8, íå äіëèòüñÿ íà 3, òî і ÷èñëî 14 021 íå äіëèòüñÿ íà 3.

ßê çà çàïèñîì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà âèçíà÷èòè, äі-ëèòüñÿ âîíî íà 9 ÷è íі? ßê çà çàïèñîì íàòóðàëüíî-ãî ÷èñëà âèçíà÷èòè, äіëèòüñÿ âîíî íà 3 ÷è íі?

47. (Óñíî) ßêі іç ÷èñåë 42, 217, 35, 1002, 8109 äіëÿòü-ñÿ: 1) íà 3; 2) íà 9?



13

48. Çàïîâíè â çîøèòі òàêó òàáëèöþ:

×èñëî 12 352 45 981 2568 2583 15 875

Ñóìà öèôð

×è äіëèòüñÿ íà 3?

×è äіëèòüñÿ íà 9?

49. Çíàé äè ñóìó öèôð êîæíîãî іç ÷èñåë: 135, 207, 396, 1086, 12 002, 576. ßêі ç íèõ äіëÿòüñÿ: 1) íà 3; 2) íà 9?

50. Іç ÷èñåë 180, 2109, 541, 4590, 111 102, 7891 âè-ïèøè òі, ÿêі:

1) äіëÿòüñÿ íà 3; 2) äіëÿòüñÿ íà 9;3) äіëÿòüñÿ íà 2 і íà 3; 4) íå äіëÿòüñÿ íà 3;5) äіëÿòüñÿ íà 3, àëå íå äіëÿòüñÿ íà 9.

51. Іç ÷èñåë 582, 509, 450, 3105, 2017 âèïèøè òі, ÿêі:1) äіëÿòüñÿ íà 3; 2) äіëÿòüñÿ íà 9;3) äіëÿòüñÿ íà 3 і íà 2; 4) äіëÿòüñÿ íà 9 і íà 5.

52. ×è ìîæíà ñêëàñòè òðèöèôðîâå ÷èñëî, ÿêå íå ìіñòèòü îäíàêîâèõ öèôð і äіëèòüñÿ íà 3, іç öèôð:

1) 1, 2, 3; 2) 2, 3, 5; 3) 1, 0, 8?

53. ×è ìîæíà ç äàíèõ öèôð ñêëàñòè ÷îòèðèöèôðîâå ÷èñ-ëî, ùî íå ìіñòèòü îäíàêîâèõ öèôð, ÿêå äіëèòüñÿ íà 9:

1) 4, 6, 0, 9; 2) 9, 1, 2, 6?

54. ßêó öèôðó ïîòðіáíî ïіäñòàâèòè çàìіñòü çіðî÷êè, ùîá îòðè ìàòè ÷èñëî, ÿêå äіëèòüñÿ íà 9:

1) 2*00; 2) *375; 3) 8*19?

55. ßêó öèôðó ïîòðіáíî ïіäñòàâèòè çàìіñòü çіðî÷êè, ùîá îòðèìàòè ÷èñëî, ÿêå äіëèòüñÿ íà 3:

1) 28*1; 2) 4*5; 3) 1111*?

56. Çàïèøè çíà÷åííÿ x, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 3, ïðè ÿêèõ íåðіâíіñòü 45 < x < 57 áóäå ïðàâèëüíîþ.

57. Çàïèøè çíà÷åííÿ ó, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 3, àëå íå êðàòíі ÷èñëó 9, ïðè ÿêèõ íåðіâíіñòü 116 < ó < 145 áóäå ïðàâèëüíîþ.

58. Ç äàíèõ öèôð óòâîðè, ÿêùî öå ìîæëèâî, îäíå òðèöèô-ðîâå ÷èñëî, ÿêå äіëèòüñÿ íà 3, і îäíå òðèöèôðîâå ÷èñëî, ÿêå äіëèòüñÿ íà 9 (öèôðè â ÷èñëі ìîæóòü ïîâòîðþâàòèñÿ):

1) 5, 8; 2) 3, 6; 3) 1, 8.


Ðîçäië 1

14

59. Ïіäñòàâ çàìіñòü çіðî÷îê òàêі öèôðè, ùîá ÷èñëî:1) 5*7* äіëèëîñÿ íà 3 і íà 10;2) 10 0** äіëèëîñÿ íà 9 і íà 10;3) *0 00* äіëèëîñÿ íà 5 і íà 9;4) 71** äіëèëîñÿ íà 3, íà 5 і íà 2.

60. Ïіäñòàâ çàìіñòü çіðî÷îê òàêі öèôðè, ùîá ÷èñëî:1) 2*7* äіëèëîñÿ íà 3 і íà 5;2) 20* 06* äіëèëîñÿ íà 2 і íà 9.

61. Çàïèøè íàéìåíøå ÷îòèðèöèôðîâå ÷èñëî, ÿêå äіëèòüñÿ:1) íà 2 і íà 3; 2) íà 5 і íà 9;3) íà 3 і íà 10; 4) íà 2, íà 3 і íà 5.

62. Ïіäñòàâ çàìіñòü çіðî÷îê òàêі öèôðè, ùîá ÷èñëî 1*2* äіëèëîñÿ íà 15. (Çíàé äè âñі ìîæëèâі ðîçâ’ÿçêè.)

63. Ó÷åíü ïðî÷èòàâ 150 ñòîðіíîê, ùî ñòàíîâèòü

êíèæêè. Ñêіëüêè ñòîðіíîê ó êíèæöі?

64. Çíàé äè ãðàäóñíó ìіðó êóòà ìіæ ñòðіëêàìè ãî-äèííèêà, êîëè âîíè ïîêàçóþòü:1) 5 ãîä; 2) 6 ãîä; 3) 11 ãîä; 4) 14 ãîä.

65. Íà ñòîëі ëåæàòü 25 ñіðíèêіâ. Äâîє ãðàâöіâ ïî ÷åðçі áåðóòü 1 àáî 2 ñіðíèêè. Ïåðåìîæå òîé, õòî âіçüìå îñòàííіé ñіðíèê. ßê ìàє äіÿòè ïåðøèé ãðàâåöü, ùîá âèãðàòè?

4.4. Прості та складені числа

×èñëî 11 äіëèòüñÿ òіëüêè íà 1 і íà ñåáå. Іíøèìè ñëîâà-ìè, ÷èñëî 11 ìàє òіëüêè äâà äіëüíèêè: 1 і 11. Ó ÷èñëà 8 ÷îòèðè äіëüíèêè: 1, 2, 4 і 8. ×èñëî 18 ìàє øіñòü äіëüíè-êіâ: 1, 2, 3, 6, 9 і 18.

Òàêі ÷èñëà, ÿê 8 і 18, íàçèâàþòü ñêëàäåíèìè ÷èñëà-ìè, à òàêі, ÿê 11, — ïðîñòèìè ÷èñëàìè.

Íàòóðàëüíå ÷èñëî íàçèâàþòü ïðîñòèì, ÿêùî âîíî ìàє òіëüêè äâà ðіçíèõ äіëüíèêè: îäèíèöþ і ñàìå öå ÷èñëî. Íàòóðàëüíå ÷èñëî íàçèâàþòü ñêëà-äåíèì, ÿêùî âîíî ìàє áіëüøå äâîõ äіëü íèêіâ.



15

×èñëî 1 ìàє òіëüêè îäèí äіëüíèê: ñàìå ñåáå. Òîìó âîíî íå є àíі ïðîñòèì, àíі ñêëàäåíèì.

Ïåðøèìè äåñÿòüìà ïðîñòèìè ÷èñëàìè є 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Íà ôîðçàöі ïіäðó÷íèêà íàâåäåíî òàáëè-öþ ïðîñòèõ ÷èñåë âіä 2 äî 997.

Íàéìåíøå ïðîñòå ÷èñëî — 2, íàéáіëüøîãî ïðîñòîãî ÷èñëà íå іñíóє. ßêå ïðîñòå ÷èñëî ìè íå âçÿëè á, іñíóє áіëüøå çà íüîãî ïðîñòå ÷èñëî. Ïðîñòèõ ÷èñåë áåçëі÷. Ñåðåä ïðî-ñòèõ ÷èñåë ëèøå ÷èñëî 2 є ïàðíèì, óñі іíøі — íåïàðíі.

ßê âèçíà÷èòè, ùî äàíå ÷èñëî є ïðîñòèì àáî ñêëàäåíèì? ßêùî ÷èñëî ìàє äіëüíèê, âіäìіííèé âіä 1 і ñàìîãî ñåáå, òî öå ÷èñëî ìàє áіëüøå äâîõ äіëüíèêіâ і òîìó є ñêëàäåíèì.

Ïðèêëàä. Ïðîñòèì ÷è ñêëàäåíèì є ÷èñëî 10 345?Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Öå ÷èñëî є ñêëàäåíèì, áî ìàє äіëüíè-

êîì ÷èñëî 5, âіäìіííå âіä 1 і 10 345.

Áóäü-ÿêå ñêëàäåíå ÷èñëî ìîæíà ðîçêëàñòè íà äâà ìíîæíèêè, êîæíèé ç ÿêèõ áіëüøèé çà 1 (íà-ïðèêëàä, 10 345 5 2069). Ïðîñòå ÷èñëî òàê ðîç êëàñòè íà ìíîæíèêè íå ìîæíà.

À ùå ðàíіøå...À ùå ðàíіøå...Давньогрецький математик Евклід (бл. 356 — 300 до н. е.) довів,

що простих чисел безліч і найбільшого простого числа не існує.Інший давньогрецький учений Ератосфен (бл. 276—194 до

н. е.) запропонував спосіб для складання таблиці простих чисел. Цей спосіб назвали «решето Ерато сфена». У чому він полягає? Знайдемо, наприклад, усі прості числа від 1 до 30. Для цього ви-пишемо їх підряд. Викреслюємо 1, яке не є простим числом. Далі підкреслюємо число 2, яке є простим, і викреслюємо всі числа, що кратні 2, тобто числа 4, 6, 8, ... Наступне незакреслене чис-ло 3, яке є простим. Підкреслюємо його і закреслюємо всі числа, кратні 3, тобто числа 6, 9, 12, ... Підкреслюємо наступне неза-креслене число 5, яке є простим, і т. д. Таким чином «висіяли» всі прості числа, що не перевищують число 30:

2 3 5 7

11 13 17 19

23 29


Ðîçäië 1

16

Значним є внесок у вивчення простих чисел математиків П.Л. Чебишова (1821—1894), який довів, що між будь-якими на-туральними числами n і 2n – 2, де n > 3, завжди є принаймні одне просте число (наприклад, між числами 4 і 6 є просте число 5; між 5 і 8 — просте число 7; між 15 і 28 — просте число 17 і т. д.), та І.М. Виноградова (1891—1983), який встановив, що будь-яке непарне число, більше за 5, можна подати у вигляді суми трьох простих чисел, наприклад:

7 2 + 2 + 3; 9 3 + 3 + 3 2 + 2 + 5;11 2 + 2 + 7 3 + 3 + 5 і т. д.

ßêі ÷èñëà íàçèâàþòü ïðîñòèìè? ßêі ÷èñëà íàçèâà-þòü ñêëàäåíèìè? ×îìó ÷èñëî 1 íå є àíі ïðîñòèì, àíі ñêëàäåíèì? Íàâåäè ïðèêëàäè ïðîñòèõ ÷èñåë, ñêëàäåíèõ ÷èñåë.

66. (Óñíî) Âèêîðèñòîâóþ÷è òàáëèöþ ïðîñòèõ ÷èñåë, íàçâè ïðîñòі ÷èñëà, ÿêі:

1) ìåíøі âіä 37, àëå áіëüøі çà 20;2) áіëüøі çà 78, àëå ìåíøі âіä 110.

67. Ïåðåâіð, êîðèñòóþ÷èñü òàáëèöåþ ïðîñòèõ ÷èñåë, ÿêі іç ÷èñåë ïðîñòі, à ÿêі — ñêëàäåíі:

197, 203, 239, 489, 563, 839, 871.

68. Âèçíà÷, âèêîðèñòîâóþ÷è òàáëèöþ ïðîñòèõ ÷èñåë, ÿêі іç ÷èñåë ïðîñòі, à ÿêі — ñêëàäåíі:

113, 137, 171, 251, 293, 403, 439, 501, 701.

69. Äîâåäè, ùî є ñêëàäåíèì ÷èñëî:1) 7152; 2) 60 003; 3) 11 115; 4) 3819.

70. Äîâåäè, ùî є ñêëàäåíèì ÷èñëî:

1) 80 001; 2) 7315; 3) 12 340; 4) 738.

71. Çàïèøè âñі äіëüíèêè ÷èñëà 24. Ïіäêðåñëè òі ç íèõ, ÿêі є ïðîñòèìè ÷èñëàìè.

72. Çàïèøè çàìіñòü çіðî÷êè òàêó öèôðó, ùîá áóëî ñêëàäå-íèì ÷èñëî: 1) 273*; 2) 5*39.

73. Çàïèøè çàìіñòü çіðî÷êè òàêó öèôðó, ùîá áóëî ñêëàäå-íèì ÷èñëî: 1) 987*; 2) 5*41.



17

74. Íå âèêîðèñòîâóþ÷è òàáëèöþ ïðîñòèõ ÷èñåë, çàïè-øè:

1) óñі ïðîñòі ÷èñëà, áіëüøі çà 7 і ìåíøі âіä 20;2) óñі ñêëàäåíі ÷èñëà, áіëüøі çà 50 і ìåíøі âіä 66.

75. Íå âèêîðèñòîâóþ÷è òàáëèöþ ïðîñòèõ ÷èñåë, çíàéäè:1) óñі ïðîñòі ÷èñëà x, ïðè ÿêèõ íåðіâíіñòü 37 < x < 60 є ïðàâèëüíîþ;2) óñі ñêëàäåíі ÷èñëà ó, ïðè ÿêèõ íåðіâíіñòü 4 < ó < 21 є ïðàâèëüíîþ.

76. Ïðîñòèì ÷è ñêëàäåíèì ÷èñëîì є äîáóòîê:

1) 13 1; 2) 15 1; 3) 7 11; 4) 1 2 67?

77. ×è ìîæíà çàïèñàòè ïðîñòå òðèöèôðîâå ÷èñëî, âè-êîðèñòàâøè ëèøå îäèí ðàç êîæíó іç öèôð:

1) 4, 6, 8; 2) 1, 3, 5; 3) 0, 2, 5?78. ×è ìîæíà çàïèñàòè ïðîñòå òðèöèôðîâå ÷èñëî, âèêî-ðèñòàâøè ëèøå îäèí ðàç êîæíó іç öèôð:

1) 0, 4, 5; 2) 1, 2, 0?

79. Ïðîñòèì ÷è ñêëàäåíèì є ÷èñëî, çàïèñàíå çà äîïîìîãîþ:

1) ï’ÿòíàäöÿòè îäèíèöü; 2) äâі òèñÿ÷і ÷îòèðíàäöÿòè ï’ÿòіðîê; 3) óñіõ äåñÿòè öèôð?

80. Âèäіëè öіëó òà äðîáîâó ÷àñòèíè ÷èñëà:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

81. Çíàé äè ïðîïóùåíі ÷èñëà òà ïðî÷èòàé ïðіçâèùå âèäàòíîãî ïèñüìåííèêà, ÿêèé íàðîäèâñÿ â Óêðàїíі.

82. Çíàé äè çðó÷íèé ñïîñіá äëÿ îá÷èñëåííÿ çíà÷åííÿ âèðàçó:

1) 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 97 + 99;2) 2 + 4 + 6 + ... + 98 + 100 – 1 – 3 – 5 – ... – 97 – 99.


Ðîçäië 1

18

5.5. Розкладання чисел на прості множники

Êîæíå ñêëàäåíå ÷èñëî ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿäі äîáóòêó õî÷à á äâîõ ìíîæíèêіâ, âіäìіííèõ âіä îäèíèöі. Íàïðèêëàä, 330 10 33. ßêùî ñåðåä òàêèõ ìíîæíèêіâ є ñêëàäåíі ÷èñëà, òî їõ òàêîæ ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿäі äîáóòêó äâîõ ìíîæíèêіâ. Íàïðèêëàä, 330 10 33 (2 5) (3 11) 2 3 5 11. Ñõåìàòè÷íî öå ìîæíà ïîäàòè òàê:

ßêùî ñêëàäåíå ÷èñëî ïîäàíî ó âèãëÿäі äîáóòêó, âñі ìíîæíèêè ÿêîãî є ïðîñòèìè ÷èñëàìè, òî êàæóòü: ñêëàäå-íå ÷èñëî ðîçêëàëè íà ïðîñòі ìíîæíèêè. Íàïðèêëàä, 12 2 2 3; 150 2 3 5 5; 900 2 2 3 3 5 5 òîùî. Ðîçêëàäîì ïðîñòîãî ÷èñëà íà ïðîñòі ìíîæíèêè áóäåìî ââàæàòè ñàìå öå ÷èñëî.

Ïðè ðîçêëàäàííі ÷èñëà íà ïðîñòі ìíîæíèêè äîöіëüíî âèêîðèñòîâóâàòè îçíàêè ïîäіëüíîñòі íà 2, 3 òà 5. Ïðè ðîç-êëàäàííі áàãàòîöèôðîâèõ ÷èñåë íà ïðîñòі ìíîæíèêè âè-êîðèñòîâóþòü ñõåìó, ïîäàíó â íàñòóïíîìó ïðèêëàäі.

Ïðèêëàä 1. Ðîçêëàñòè íà ïðîñòі ìíîæíèêè ÷èñëî 420.Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Çàïèøåìî ÷èñëî 420 і ïðà-

âîðó÷ âіä íüîãî ïðîâåäåìî âåðòèêàëüíó ðèñêó. Öå ÷èñëî äіëèòüñÿ íà 2, áî çàêіí÷óєòüñÿ öèô-ðîþ 0. Çàïèøåìî öåé äіëüíèê 2 ïðàâîðó÷ âіä ðèñêè, à ÷àñòêó 420 : 2 210 çàïèøåìî ïіä ÷èñëîì 420. Äàëі іç ÷èñëîì 210 âèêîíóєìî òå ñàìå: 210 : 2 105. ×èñëî 105 íå äіëèòüñÿ íà 2,

áî çàêіí÷óєòüñÿ íåïàðíîþ öèôðîþ. Àëå 105 äіëèòüñÿ íà 3, áî ñóìà éîãî öèôð (1 + 0 + 5 6) äіëèòüñÿ íà 3. Ìàєìî 105 : 3 35. Äàëі 35 : 5 7. ×èñëî 7 — ïðîñòå, ïîäі-ëèâøè éîãî íà 7, îäåðæèìî 1. Ðîçêëàä çàêіí÷åíî. Îòæå, ñòîâï÷èê ÷èñåë ïðàâîðó÷ âіä ðèñêè ñêëàäàєòüñÿ ç ïðîñòèõ ìíîæíèêіâ, äîáóòîê ÿêèõ äîðіâíþє 420, òîáòî

420 2210 2105 335 57 71



19

420 2 2 3 5 7.

Çàóâàæèìî, ùî äîáóòîê îäíàêîâèõ ìíîæíèêіâ ó ðîç-êëàäі ÷èñëà íà ïðîñòі ìíîæíèêè ìîæíà çàìіíþâàòè ñòå-ïåíåì. Íàïðèêëàä, 420 22 3 5 7; 150 2 3 52; 1000 23 53 òîùî.

Óòâîðþþ÷è âñі ìîæëèâі äîáóòêè çі çíàéäåíèõ ïðîñòèõ ìíîæíèêіâ ïî äâà, ïî òðè òîùî, îäåðæèìî âñі іíøі äіëü-íèêè ÷èñëà.

Ïðèêëàä 2. Çíàéòè âñі äіëüíèêè ÷èñëà 84.Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Ðîçêëàäàєìî ÷èñëî 84 íà

ïðîñòі ìíîæíèêè: 84 2 2 3 7. Äіëüíèêà-ìè ÷èñëà 84 є 1, ïðîñòі ÷èñëà 2, 2, 3, 7 òà âñі ìîæëèâі їõ äîáóòêè:

ïî äâà: 2 2 4, 2 3 6, 2 7 14, 3 7 21;

ïî òðè: 2 2 3 12, 2 2 7 28, 2 3 7 42;ïî ÷îòèðè: 2 2 3 7 84. Îòæå, äіëüíèêàìè ÷èñëà 84 є: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14,

21, 28, 42, 84.

Ïîÿñíè, ùî îçíà÷àє ðîçêëàñòè ÷èñëî íà ïðîñòі ìíîæíèêè.

83. (Óñíî) ×è є ðîçêëàäîì íà ïðîñòі ìíîæíèêè äîáó-òîê: 1) 3 5; 2) 1 5; 3) 2 7 12; 4) 4 3 5?

84. (Óñíî) Ðîçêëàäè íà ïðîñòі ìíîæíèêè ÷èñëî:

1) 8; 2) 10; 3) 12; 4) 14; 5) 17; 6) 18; 7) 20; 8) 25; 9) 27; 10) 31.

85. Ðîçêëàäè íà ïðîñòі ìíîæíèêè ÷èñëî:1) 56; 2) 130; 3) 60; 4) 96; 5) 250; 6) 315; 7) 561; 8) 175; 9) 2240; 10) 1782.

86. Ðîçêëàäè íà ïðîñòі ìíîæíèêè ÷èñëî:1) 48; 2) 105; 3) 88; 4) 660;5) 600; 6) 3003; 7) 2772; 8) 4900.

87. ×è äіëèòüñÿ ÷èñëî 2 2 2 3 17 íà: 1) 2; 2) 6; 3) 51?Ó ðàçі ïîçèòèâíîї âіäïîâіäі çíàéäè ÷àñòêó âіä äіëåííÿ.

84 242 221 37 71


Ðîçäië 1

20

88. Çíàé äè ÷àñòêó âіä äіëåííÿ:1) ÷èñëà 2 3 7 19 íà ÷èñëî 2 7 19;2) ÷èñëà 2 2 3 3 5 7 íà ÷èñëî 15.

89. Ó äåÿêó êіëüêіñòü êîøèêіâ, ÿêèõ ìåíøå íіæ 20, ðîç-êëàëè ïîðіâíó 85 ÿáëóê. Ñêіëüêè âñüîãî áóëî êîøèêіâ і ñêіëüêè ÿáëóê ìіñòèâ êîæíèé êîøèê?

90. Ðîçêëàäè íà ïðîñòі ìíîæíèêè ÷èñëî 990 òà çíàé äè âñі éîãî äіëüíèêè.

91. Ðîçêëàäè íà ïðîñòі ìíîæíèêè ÷èñëî 700 òà çíàéäè âñі éîãî äіëüíèêè.

92. Çàìіíè çіðî÷êè öèôðàìè, ùîá ðіâíіñòü áóëà ïðà-âèëüíîþ: 7** 5 7 11 *.

93. Ïëîùà Іòàëії ðàçîì ç îñòðîâàìè ñòàíîâèòü ïðè-áëèçíî 309 500 êì2, à ïëîùà Óêðàїíè íà 95 % çà íåї áіëüøà. Çíàé äè ïëîùó Óêðàїíè. Ïîðіâíÿé îòðèìàíèé ðåçóëüòàò ç òî÷íèìè äàíèìè ïðî ïëîùó Óêðàїíè.

94. Âèêîíàé äії:

1) ; 2)

95. 1) Âèêîðèñòîâóþ÷è òàáëèöþ ïðîñòèõ ÷èñåë (äî 1000), çíàéäè âñі ïàðè ïðîñòèõ ÷èñåë, ó êîæíіé ç ÿêèõ äðóãå ÷èñëî áіëüøå çà ïåðøå íà 2. (Òàêі ïàðè ïðîñòèõ ÷è-ñåë íàçèâàþòü ÷èñëàìè-áëèçíþêàìè).

2) Âèêîðèñòîâóþ÷è êàëüêóëÿòîð, êîìï’þòåð àáî іíôîð-ìàöіþ â Іíòåðíåòі, ñïðîáóé çíàéòè ùå êіëüêà òàêèõ ïàð ÷èñåë, êîæíå ç ÿêèõ áіëüøå çà 1000.

6.6. Найбільший спільний дільникÐîçãëÿíåìî çàäà÷ó.Çàäà÷à. ßêó íàéáіëüøó êіëüêіñòü îäíàêîâèõ ïîäàðóíêіâ

ìîæíà ñêëàñòè, ìàþ÷è 32 öóêåðêè «Áіëî÷êà» і 24 öóêåð-êè «×åáóðàøêà», ÿêùî òðåáà âèêîðèñòàòè âñі öóêåðêè і ó êîæíîìó ïîäàðóíêó ìàþòü áóòè öóêåðêè äâîõ âèäіâ?

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Êîæíå іç ÷èñåë 32 і 24 ìàє äіëèòèñÿ íà êіëüêіñòü ïîäàðóíêіâ. Òîìó ñïî÷àòêó âèïèøåìî âñі äіëü-



21

íèêè ÷èñëà 32: 1, 2, 4, 8, 16 і 32, à ïîòіì — óñі äіëüíèêè ÷èñëà 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 і 24.

Ñïіëüíèìè äіëüíèêàìè (їõ ïіäêðåñëåíî) ÷èñåë 32 і 24 áóäóòü 1, 2, 4, 8, à íàéáіëüøèì — 8. Öå ÷èñëî íàçèâàþòü íàéáіëüøèì ñïіëüíèì äіëüíèêîì ÷èñåë 32 і 24.

Îòæå, ìîæíà ñêëàñòè 8 ïîäàðóíêіâ, ó êîæíîìó ç ÿêèõ áóäå 4 öóêåðêè «Áіëî÷êà» (32 : 8 4) і 3 öóêåðêè «×åáó-ðàøêà» (24 : 8 3).

Íàéáіëüøèì ñïіëüíèì äіëüíèêîì êіëüêîõ íàòó-ðàëüíèõ ÷èñåë íàçèâàþòü íàéáіëüøå íàòóðàëüíå ÷èñëî, íà ÿêå äіëèòüñÿ êîæíå ç äàíèõ ÷èñåë.

Íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÷èñåë a і b ïîçíà÷àþòü òàê: ÍÑÄ (a; b). Äëÿ ïîïåðåäíüîї çàäà÷і ìîæíà çàïèñàòè ÍÑÄ (32; 24) 8.

Ó ðîçãëÿíóòіé çàäà÷і çíàéøëè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê íåâåëèêèõ ÷èñåë 32 і 24, çàïèñàâøè âñі äіëüíè-êè êîæíîãî ç íèõ. Òàêîæ äëÿ çíàõîäæåííÿ íàéáіëüøîãî ñïіëüíîãî äіëüíèêà (çîêðåìà, âåëèêèõ ÷èñåë) êîðèñòóþòü-ñÿ òàêèì ïðàâèëîì:

íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê êіëüêîõ ÷èñåë äî-ðіâíþє äîáóòêó ñïіëüíèõ ïðîñòèõ ìíîæíèêіâ öèõ ÷èñåë.

Ïðèêëàä 1. Çíàéòè ÍÑÄ (630; 1470).Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Ðîçêëàäåìî

÷èñëà 630 і 1470 íà ïðîñòі ìíîæ-íèêè і ïіäêðåñëèìî òі ç íèõ, ÿêі є ñïіëüíèìè â îáîõ ðîçêëàäàõ (à ñàìå 2, 3, 5 і 7):

630 2 3 3 5 7;1470 2 3 5 7 7.

Îòæå, ÍÑÄ (630; 1470) 2 3 5 7 210.

Ïðèêëàä 2. Çíàéòè ÍÑÄ (60; 140; 220).Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. 60 2 2 3 5; 140 2 2 5 7;

220 2 2 5 11.Îòæå,

ÍÑÄ (60; 140; 220) 2 2 5 20.

630 2315 3105 335 57 71

1470 2735 3245 549 77 71


Ðîçäië 1

22

Ìàєìî òàêå ïðàâèëî:

ùîá çíàéòè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê êіëü-êîõ ÷èñåë, äîñòàòíüî:1) ðîçêëàñòè äàíі ÷èñëà íà ïðîñòі ìíîæíèêè;2) âèïèñàòè âñі ñïіëüíі ïðîñòі ìíîæíèêè â çíàé äåíèõ ðîçêëàäàõ і îá÷èñëèòè їõ äîáóòîê.

ßêùî ñåðåä äàíèõ ÷èñåë є ÷èñëî, íà ÿêå äіëÿòüñÿ іíøі ç äàíèõ ÷èñåë, òî öå ÷èñëî і áóäå íàéáіëüøèì ñïіëüíèì äіëüíèêîì äàíèõ ÷èñåë.

Ïðèêëàä 3. Çíàéòè ÍÑÄ (8; 64; 320).Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Îñêіëüêè ÷èñëà 64 і 320 äіëÿòüñÿ íà 8,

òî ÍÑÄ (8; 64; 320) 8.ßêùî ðîçêëàäè äàíèõ ÷èñåë íà ïðîñòі ìíîæíèêè íå

ìàþòü ñïіëüíèõ ìíîæíèêіâ, òî íàéáіëüøèì ñïіëüíèì äіëüíèêîì öèõ ÷èñåë áóäå ÷èñëî 1.

Äâà íàòóðàëüíèõ ÷èñëà, íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÿêèõ äîðіâíþє 1, íàçèâàþòü âçàєìíî ïðîñòèìè ÷èñëàìè.

Íàïðèêëàä, ÷èñëà 12 і 35 — âçàєìíî ïðîñòі, áî 12 2 2 3, 35 5 7 і ÍÑÄ (12; 35) 1. ×èñëà æ 15 і 18 íå є âçàєìíî ïðîñòèìè, áî ìàþòü ñïіëüíèé äіëüíèê 3.

À ùå ðàíіøå...À ùå ðàíіøå...Цікавий спосіб знаходження найбільшого спільного дільника

двох чисел описав у своїй книзі «Начала» давньогрецький матема-тик Евклід (бл. 300 р. до н. е.). Для цього він ділив більше число на менше, менше — на одержану остачу, першу остачу — на другу і т. д. Остання відмінна від нуля остача й була шуканим НСД двох чисел. Цей спосіб отримав назву алгоритм Евкліда.

Знайдемо, наприклад, за цим алгоритмом НСД (407; 148):

Отже,

НСД (407; 148) 37.



23

ßêå ÷èñëî íàçèâàþòü íàéáіëüøèì ñïіëüíèì äіëüíè-êîì äâîõ ÷èñåë? ßê çíàéòè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê äâîõ ÷èñåë? ×èñëî à є äіëüíèêîì ÷èñëà b. ×îìó äîðіâíþє ÍÑÄ (à; b)? ßêі äâà ÷èñëà íàçèâà-þòü âçàєìíî ïðîñòèìè?

96. (Óñíî) ×è є ÷èñëî 5 ñïіëüíèì äіëüíèêîì ÷èñåë: 1) 30 і 25; 2) 48 і 15?

97. (Óñíî) Çíàé äè ñïіëüíі äіëüíèêè òà íàéáіëüøèé ñïіëü-íèé äіëüíèê ÷èñåë:

1) 2 і 4; 2) 6 і 15; 3) 8 і 18.

98. Çíàé äè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÷èñåë a і b, ÿêùî:

1) a 2 3 5 11 і b 2 3 11 13;2) a 3 5 5 7 і b 5 5 19.

99. Çíàé äè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÷èñåë ñ і d, ÿêùî:

1) ñ 3 3 5 11 і d 3 5 11 13;2) ñ 2 3 5 5 і d 3 5 7.

100. (Óñíî) ×è є âçàєìíî ïðîñòèìè ÷èñëà:1) 6 і 9; 2) 7 і 8; 3) 9 і 12; 4) 4 і 11?

101. (Óñíî) Ñåðåä ÷èñåë 2, 7, 14 і 20 çíàéäè âñі ïàðè âçàєìíî ïðîñòèõ ÷èñåë.

102. Çíàé äè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÷èñåë:

1) 78 і 195; 2) 35 і 18; 3) 210 і 120;4) 735 і 70; 5) 4, 24 і 32; 6) 36, 54 і 72.

103. Çíàé äè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÷èñåë:

1) 24 і 40; 2) 70 і 110; 3) 49 і 48;4) 231 і 273; 5) 5, 25 і 45; 6) 150, 375 і 600.

104. Çíàé äè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÷èñåëüíèêà і

çíàìåííèêà äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

105. Äîâåäè, ùî: 1) ÷èñëà 35 і 72 є âçàєìíî ïðîñòèìè;2) ÷èñëà 209 і 171 íå є âçàєìíî ïðîñòèìè.

106. Äîâåäè, ùî: 1) ÷èñëà 299 і 184 íå є âçàєìíî ïðîñòèìè;2) ÷èñëà 26 і 45 є âçàєìíî ïðîñòèìè.


Ðîçäië 1

24

107. ×è є âçàєìíî ïðîñòèìè ÷èñëà:

1) 3 і 100; 2) 35 і 133; 3) 143 і 209; 4) 2010 і 2012?

108. ×è є âçàєìíî ïðîñòèìè ÷èñëà:

1) 7 і 48; 2) 21 і 161; 3) 66 і 455; 4) 2005 і 3005?

109. Çàïèøè âñі ïðàâèëüíі äðîáè çі çíàìåííèêîì 18, ó ÿêèõ ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê — âçàєìíî ïðîñòі ÷èñëà.

110. Çàïèøè âñі íåïðàâèëüíі äðîáè іç ÷èñåëüíèêîì 20, ó ÿêèõ ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê — âçàєìíî ïðîñòі ÷èñëà.

111. ßêó íàéáіëüøó êіëüêіñòü îäíàêîâèõ ïîäàðóíêіâ ìîæ-íà ñêëàñòè, ìàþ÷è 60 öóêåðîê і 45 ÿáëóê, òàê, ùîá âè-êîðèñòàòè âñі öóêåðêè і ÿáëóêà òà ùîá êîæåí ïîäàðóíîê ìіñòèâ і öóêåðêè, і ÿáëóêà.

112. Ó ÿêó íàéáіëüøó êіëüêіñòü ìàãàçèíіâ ìîæíà ïîðіâíó ðîçïîäіëèòè äëÿ ïðîäàæó 108 DVD-äèñêіâ ç ìóëüòôіëüìà-ìè і 120 äèñêіâ іç ôіëüìàìè ïðî òâàðèí? Ïî ñêіëüêè äèñ-êіâ êîæíîãî æàíðó îòðèìàє êîæíèé ìàãàçèí?

113. Ó øîñòèõ êëàñàõ 24 õëîï÷èêè і 36 äіâ÷àòîê. Ó÷íіâ ïîäіëèëè íà ãðóïè äëÿ ïðèâіòàííÿ âåòåðàíіâ òàê, ùîá â óñіõ ãðóïàõ áóëà îäíàêîâà êіëüêіñòü äіâ÷àòîê і îäíàêîâà êіëüêіñòü õëîï÷èêіâ. Ñêіëüêîõ âåòåðàíіâ ïðèâіòàëè, ÿêùî їõ áіëüøå çà 7?

114. Â îäíîìó ïîòÿçі 252 êóïåéíèõ ìіñöÿ, à â іíøîìó — 396 êóïåéíèõ ìіñöü. Ïî ñêіëüêè êóïåéíèõ âàãîíіâ ó êîæ-íîìó ïîòÿçі, ÿêùî â óñіõ êóïåéíèõ âàãîíàõ êіëüêіñòü ìіñöü є îäíàêîâîþ і їõ áіëüøå çà 20?

115. Іç 210 áіëèõ, 150 æîâòèõ і 90 ÷åðâîíèõ òðîÿíä íåîá-õіäíî ñêëàñòè îäíàêîâі áóêåòè òàê, ùîá ó êîæíîìó áóêåòі áóëè òðîÿíäè âñіõ òðüîõ êîëüîðіâ. ßêó íàéáіëüøó êіëü-êіñòü òàêèõ áóêåòіâ ìîæíà ñêëàñòè? Ïî ñêіëüêè òðîÿíä êîæíîãî êîëüîðó áóäå â êîæíîìó áóêåòі?

116. Øëÿõ âіä À äî Â çàâäîâæêè 360 êì àâòîìî-áіëü ïðîїõàâ çà 4 ãîä, à ïîâåðíóâñÿ íàçàä — çà 5 ãîä. ßêà ñåðåäíÿ øâèäêіñòü àâòîìîáіëÿ çà âåñü ÷àñ ðóõó?

117. Àâòîìîáіëü їõàâ 2 ãîä çі øâèäêіñòþ 72,4 êì/ãîä і 3 ãîä çі øâèäêіñòþ 71,6 êì/ãîä. Çíàé äè ñåðåäíþ øâèäêіñòü àâòîìîáіëÿ çà âåñü ÷àñ ðóõó.



25

118. Âêëàäíèê ïîêëàâ äî áàíêó 8000 ãðí ïіä 15 % ðі÷íèõ. Ñêіëüêè ãðîøåé áóäå íà ðàõóíêó âêëàäíèêà ÷åðåç ðіê; ÷åðåç äâà ðîêè?

119. Çíàé äè îñòàííþ öèôðó ÷èñëà:1) 52015; 2) 320; 3) 22000.

7.7. Найменше спільне кратне

Ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó.Çàäà÷à. ßêà íàéìåíøà öіëà êіëüêіñòü ìåòðіâ òêàíèíè

ìàє áóòè â ñóâîї, ùîá її ìîæíà áóëî âñþ ðîçðіçàòè áåç îñòà÷і ïî 4 ì àáî ïî 6 ì?

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. ×èñëî ìåòðіâ ó ñóâîї ïîâèííî äіëèòè-ñÿ і íà 4, і íà 6, òîáòî ïîâèííî áóòè êðàòíèì і ÷èñëó 4, і ÷èñëó 6.

Çàïèøåìî ÷èñëà, êðàòíі ÷èñëó 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ..., і ÷èñëà, êðàòíі ÷èñëó 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...

Ñïіëüíèìè êðàòíèìè (їõ ïіäêðåñëåíî) ÷èñåë 4 і 6 áó-äóòü ÷èñëà 12, 24, 36, ..., íàéìåíøå ç ÿêèõ 12. Öå ÷èñëî íàçèâàþòü íàéìåíøèì ñïіëüíèì êðàòíèì ÷èñåë 4 і 6. Îòæå, íàéìåíøà êіëüêіñòü ìåòðіâ òêàíèíè, ùî ìàє áóòè ó ñóâîї, äîðіâíþє 12 ì. Òîäі її ìîæíà ðîçðіçàòè ïî 4 ì íà 3 ÷àñòèíè (12 : 4 3) àáî ïî 6 ì íà 2 ÷àñòèíè (12 : 6 2).

Íàéìåíøèì ñïіëüíèì êðàòíèì êіëüêîõ íàòó-ðàëüíèõ ÷èñåë íàçèâàþòü íàéìåíøå íàòóðàëüíå ÷èñëî, ÿêå äіëèòüñÿ íà êîæíå ç äàíèõ ÷èñåë.

Íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå äâîõ ÷èñåë à і b ïîçíà÷àþòü ÍÑÊ (à; b). Îòæå, ìîæíà çàïèñàòè ÍÑÊ (4; 6) 12.

Ó ðîçãëÿíóòіé çàäà÷і ìè çíàéøëè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå íåâåëèêèõ ÷èñåë 4 і 6, âèïèñàâøè ïîñïіëü êіëüêà êðàòíèõ öèõ ÷èñåë. Äëÿ âåëèêèõ ÷èñåë öåé ñïîñіá є ãðî-ìіçäêèì, òîìó íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå çíàõîäÿòü іíàêøå.

Ïðèêëàä 1. Çíàéòè ÍÑÊ (30; 36).Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Ðîçêëàäåìî äàíі ÷èñëà íà ïðîñòі ìíîæ-

íèêè 30 2 3 5 і 36 2 2 3 3. Íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ìàє äіëèòèñÿ і íà 30, і íà 36. Òîìó âîíî ïîâèííî ìіñòèòè âñі ïðîñòі ìíîæíèêè і ïåðøîãî, і äðóãîãî ÷èñåë.


Ðîçäië 1

26

Ðîçãëÿíåìî ðîçêëàä îäíîãî іç öèõ ÷èñåë, íàïðèêëàä 30 2 3 5, і ç’ÿñóєìî, ÿêèõ ïðîñòèõ ìíîæíèêіâ äðóãîãî ÷èñëà â öüîìó ðîçêëàäі íåìàє. Òàêèìè ìíîæíèêàìè áó-äóòü 2 і 3. Ñïðàâäі, â ðîçêëàäі 30 2 3 5 є îäèí ìíîæ-íèê 2 і îäèí ìíîæíèê 3, à â ðîçêëàäі 36 2 2 3 3 äâà ìíîæíèêè 2 і äâà ìíîæíèêè 3. Îòæå, ùîá çíàéòè ÍÑÊ (30; 36), òðåáà ðîçêëàä 30 2 3 5 äîïîâíèòè ìíîæ-íèêàìè 2 і 3, ÿêèõ íå âèñòà÷àє. Ìàєìî:

ÍÑÊ (30; 36) .

Ùîá çíàéòè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå äâîõ ÷è-ñåë, äîñòàòíüî:1) ðîçêëàñòè äàíі ÷èñëà íà ïðîñòі ìíîæíèêè;2) äîïîâíèòè ðîçêëàä îäíîãî ç íèõ òèìè ìíîæ-íèêàìè ðîçêëàäó äðóãîãî ÷èñëà, ÿêèõ íå âèñòà-÷àє â ðîçêëàäі ïåðøîãî;3) îá÷èñëèòè äîáóòîê çíàéäåíèõ ìíîæíèêіâ.

Çà öèì ñàìèì ïðàâèëîì ìîæíà çíàéòè íàéìåíøå ñïіëü-íå êðàòíå òðüîõ і áіëüøå ÷èñåë. Òîäі ðîçêëàä îäíîãî іç öèõ ÷èñåë íà ïðîñòі ìíîæíèêè òðåáà äîïîâíèòè òèìè ïðî-ñòèìè ìíîæíèêàìè іíøèõ ÷èñåë, ÿêèõ íå âèñòà÷àє â éîãî ðîçêëàäі, òà îá÷èñëèòè äîáóòîê çíàéäåíèõ ìíîæíèêіâ.

Ïðèêëàä 2. Çíàéòè ÍÑÊ (42; 66; 90).Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. 42 2 3 7; 66 2 3 11; 90 2 3 3 5.ÍÑÊ (42; 66; 90) .

ßêùî îäíå ç äàíèõ ÷èñåë äіëèòüñÿ íà âñі іíøі, òî öå ÷èñëî і є їõ íàéìåíøèì ñïіëüíèì êðàòíèì.

Ïðèêëàä 3. Çíàéòè ÍÑÊ (6; 9; 36).Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Îñêіëüêè ÷èñëî 36 äіëèòüñÿ ÿê íà 6,

òàê і íà 9, òî ÍÑÊ (6; 9; 36) 36.Íàéìåíøèì ñïіëüíèì êðàòíèì äâîõ âçàєìíî ïðîñòèõ

÷èñåë áóäå äîáóòîê öèõ ÷èñåë. Íàïðèêëàä, ÍÑÊ (5; 8) 5 8 40.

ßêå ÷èñëî íàçèâàþòü íàéìåíøèì ñïіëüíèì êðàòíèì ÷èñåë à і b? ßê çíàéòè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå äâîõ ÷èñåë? ×èñëî m äіëèòüñÿ íà ÷èñëî n. ×îìó äîðіâíþє ÍÑÊ (m; n)?



27

120. (Óñíî) ×è є:1) ÷èñëî 56 ñïіëüíèì êðàòíèì ÷èñåë 2 і 7;2) ÷èñëî 48 ñïіëüíèì êðàòíèì ÷èñåë 5 і 6?

121. Íàçâè êіëüêà ñïіëüíèõ êðàòíèõ ÷èñåë:1) 5 і 2; 2) 4 і 8; 3) 3 і 7.

122. Çíàé äè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ÷èñåë à і b, ÿêùî:1) a 2 3 3 11 і b 2 3 7;2) a 2 2 3 5 7 і b 2 3 3 3 5.

123. Çíàé äè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ÷èñåë m і n, ÿêùî:1) m 3 5 7 і n 2 3 5 13;2) m 3 3 5 5 11 і n 3 5 7 11.

124. Äîâåäè, ùî äàíі ÷èñëà є âçàєìíî ïðîñòèìè, òà çíàéäè їõ íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå:

1) 7 і 9; 2) 8 і 39; 3) 25 і 42.

125. Çíàé äè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ÷èñåë:1) 15 і 18; 2) 16 і 24; 3) 48 і 72; 4) 350 і 420; 5) 12, 18 і 36; 6) 280, 360 і 840.

126. Çíàé äè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ÷èñåë:1) 12 і 10; 2) 16 і 21; 3) 110 і 160; 4) 540 і 306; 5) 15, 25 і 75; 6) 270, 324 і 540.

127. Çíàé äè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå çíàìåííèêіâ äðîáіâ:

1) і ; 2) і ;

3) ; і ; 4) ; і .

128. Çíàé äè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå çíàìåííèêіâ äðîáіâ:

1) і ; 2) ; і .

129. Äîâæèíà êðîêó áàòüêà 75 ñì, äîâæèíà êðîêó ñèíà 50 ñì. ßêó íàé-ìåíøó îäíàêîâó âіäñòàíü âîíè ìàþòü ïðîéòè, ùîá êіëüêіñòü êðîêіâ êîæíîãî äîâіðíþâàëà öіëîìó ÷èñëó?


Ðîçäië 1

28

130. Âіä ïóíêòó À âçäîâæ äîðîãè âñòàíîâëåíî ñòîâïè ÷å-ðåç êîæíі 40 ì. Öі ñòîâïè âèðіøèëè çàìіíèòè іíøèìè і âñòàíîâèëè їõ íà âіäñòàíі 55 ì îäèí âіä îäíîãî. Çíàé äè âіä-ñòàíü âіä ïóíêòó À äî íàéáëèæ÷îãî ñòîâïà, ÿêèé áóäå âñòà-íîâëåíî íà ìіñöі ñòàðîãî.

131. Áàáóñÿ ìàє òðüîõ îíóêіâ. Ñåðãіé âіäâіäóє áàáóñþ êîæíі 4 äíі, Іâàí — êîæíі 5 äíіâ, Ïåòðî — êîæíі 6 äíіâ. Õëîïöі çóñòðіëèñÿ ó áàáóñі 1 ñі÷íÿ íåâèñîêîñíîãî ðîêó. ßêîãî ÷èñëà âîíè çóñòðіíóòüñÿ ó áàáóñі íàñòóïíîãî ðàçó?

132. Òðè òåïëîõîäè çäіéñíþþòü ðåãóëÿðíі ðåéñè ç Îäåñè. Îäèí ç íèõ ïîâåðòàєòüñÿ ÷åðåç 10 äіá, äðóãèé — ÷åðåç 12 äіá, òðåòіé — ÷åðåç 18 äіá. Òåïëîõîäè çóñòðіëèñÿ â îäåñü-êîìó ïîðòó â ïîíåäіëîê. ×åðåç ñêіëüêè äіá і â ÿêèé äåíü òèæíÿ âîíè çóñòðіíóòüñÿ â öüîìó ïîðòó çíîâó?

133. Îäíó æіíêó çàïèòàëè, ñêіëüêè êóð÷àò âîíà ïðèâåçëà íà áàçàð. Âîíà âіäïîâіëà, ùî їõ áіëüøå íіæ 115, àëå ìåí-øå íіæ 145 і ïðè öüîìó їõ ìîæíà ðîçäіëèòè ïî 4, ïî 6 і ïî 10. Ñêіëüêè êóð÷àò ïðèâåçëà æіíêà íà áàçàð?

134. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ:1) (õ – 37,15) 5,1 245,82; 2) (37,5 + õ) : 1,2 43,5.

135. Çóñòðіëèñÿ øåñòåðî äðóçіâ і ïîòèñëè îäèí îä-íîìó ðóêè. Ñêіëüêè âñüîãî áóëî çäіéñíåíî ðóêîñòèñ-êàíü?

136. Ìîæíà äîâåñòè, ùî äëÿ áóäü-ÿêèõ íàòóðàëüíèõ ÷è-ñåë a і b âèêîíóєòüñÿ ðіâíіñòü

ÍÑÄ (a; b) ÍÑÊ (a; b) a b. Ïåðåâіð âèêîíàííÿ öієї ðіâíîñòі äëÿ òàêèõ ïàð ÷èñåë:1) a 18; b 12; 2) a 15; b 17; 3) a 9; b 27.

Завдання для перевірки знань № 1 (§ 1 — § 7)

1. ×è ïðàâèëüíî, ùî:

1) 4 є äіëüíèêîì ÷èñëà 20; 2) 14 є êðàòíèì ÷èñëó 3?

2. ßêі іç ÷èñåë 135, 290, 72, 112, 75 äіëÿòüñÿ:

1) íà 9; 2) íà 5?



29

3. Çíàé äè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê òà íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ÷èñåë à і b, ÿêùî: à 2 2 3 5 і b 2 3 7.

4. Ðîçêëàäè íà ïðîñòі ìíîæíèêè ÷èñëà: 1) 36; 2) 150.

5. Çíàé äè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÷èñåë 77 і 132.

6. Çíàé äè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ÷èñåë 63 і 72.

7. ×è є ÷èñëà 3234 і 3575 âçàєìíî ïðîñòèìè?

8. Ó ÷èñëі 12 37* çàìіíè çіðî÷êó öèôðîþ òàê, ùîá óòâîðåíå ÷èñëî áóëî êðàòíèì ÷èñëó: 1) 2; 2) 3.

Çíàé äè âñі ðîçâ’ÿçêè.

9. Åêñêóðñàíòè ìîæóòü ðîçìіñòèòèñÿ â ÷îâíàõ ïî 12 àáî ïî 16 ó êîæíîìó. Â îáîõ âèïàäêàõ âіëüíèõ ìіñöü íå çàëèøèòüñÿ. Ñêіëüêè áóëî åêñêóðñàíòіâ, ÿêùî їõ áіëüøå íіæ 53, àëå ìåíøå çà 100?

Äîäàòêîâі âïðàâè

10. Çíàé äè íàéáіëüøå ï’ÿòèöèôðîâå ÷èñëî, ÿêå áóäå êðàòíèì ÷èñëó 49.

11. Çàìіíè çіðî÷êè öèôðàìè òàê, ùîá ìíîæåííÿ áóëî âèêîíàíî ïðàâèëüíî:

1) * * * 483; 2) * * * * 385.



Çâè÷àéíi äðîáè

31

Ðîçãëÿíåìî, íàïðèêëàä, ðіâíіñòü . Ó öіé ðіâíîñòі

ç ëіâîї ÷àñòèíè îäåðæèìî ïðàâó, ÿêùî ÷èñåëüíèê і çíà-

ìåííèê äðîáó ïîìíîæèìî íà 2. Ñïðàâäі, .

Äàëі ðîçãëÿíåìî ðіâíіñòü . Ó öіé ðіâíîñòі ç ëіâîї

÷àñòèíè îäåðæèìî ïðàâó, ÿêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê

äðîáó ïîäіëèìî íà 2, òîáòî .

Ìàєìî îñíîâíó âëàñòèâіñòü äðîáó:

çíà÷åííÿ äðîáó íå çìіíèòüñÿ, ÿêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîìíîæèòè àáî ïîäіëèòè íà îäíå é òå ñàìå âіäìіííå âіä íóëÿ ÷èñëî.

Íàïðèêëàä: ; .

Ç ðіâíîñòі âèïëèâàє, ùî äðîáè і є ðіçíèìè

çàïèñàìè îäíîãî é òîãî ñàìîãî ÷èñëà. Îñêіëüêè , òî

äðîáè і є òàêîæ ðіçíèìè çàïèñàìè îäíîãî ÷èñëà.

Äіëåííÿ ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà äðîáó íà îäíå é òå ñàìå íàòóðàëüíå ÷èñëî íàçèâàþòü ñêîðî÷åííÿì äðîáó. Ïðè öüî-ìó îäèí äðіá çàìіíþþòü íà іíøèé, ùî äîðіâíþє äàíîìó, àëå ïîðіâíÿíî ç íèì ìàє ìåíøі ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê.

Ïðèêëàä 1. , äðіá ñêîðî÷åíî íà 2.

Ïðèêëàä 2. , äðіá ñêîðî÷åíî íà 3.

Äіëåííÿ ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà äðîáó íà їõ ñïіëüíèé äіëüíèê íàçèâàþòü ñêîðî÷åííÿì äðîáó.

ßê ïðàâèëî, äіþ äіëåííÿ ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà äðî-áó íà îäíå é òå ñàìå ÷èñëî íå ïèøóòü і ïіñëÿ çíàêà ðіâíî-ñòі îäðàçó çàïèñóþòü ñêîðî÷åíèé äðіá.

Ïðèêëàä 3. , àáî , äðіá ñêîðî÷åíî íà 4.


Ðîçäië 2

32

Äðіá ìîæíà ñêîðîòèòè, ÿêùî éîãî ÷èñåëüíèê і çíàìåí-íèê ìàþòü ñïіëüíèé äіëüíèê, âіäìіííèé âіä 1. ßêùî ÷è-ñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó âçàєìíî ïðîñòі ÷èñëà, òî äðіá ñêîðîòèòè íå ìîæíà. Òàêèé äðіá íàçèâàþòü íåñêîðîòíèì

äðîáîì. Íàïðèêëàä: , , .

Ùîá ç äàíîãî äðîáó îäåðæàòè íåñêîðîòíèé äðіá, òðåáà ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê ïîäіëèòè íà їõ íàéáіëüøèé ñïіëü-íèé äіëüíèê. Ñêîðî÷óâàòè äðіá ìîæíà äâîìà ñïîñîáàìè.

І ñïîñіá. Ïîñòóïîâî äіëÿ÷è ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê íà їõ âіäïîâіäíі ñïіëüíі äіëüíèêè, ïîêè íå îòðèìàєìî íåñêî-ðîòíèé äðіá.

II ñïîñіá. Îäðàçó äіëÿ÷è ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê íà їõ íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê.

Ïðèêëàä 4. Ñêîðîòèòè äðіá .

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. І ñïîñіá. , ñïî÷àòêó ñêîðî-

òèëè íà 2, ïîòіì íà 3.

II ñïîñіá. ÍÑÄ (66; 78) 6, òîìó , ÷èñåëüíèê і

çíàìåííèê îäðàçó ñêîðîòèëè íà 6.Іíîäі çðó÷íî ïðè ñêîðî÷åííі äðîáó ðîçêëàñòè ÷èñåëü-

íèê і çíàìåííèê íà êіëüêà ìíîæíèêіâ, à ïîòіì óæå ñêî-ðîòèòè.

Ïðèêëàä 5. . Ñêîðîòèìî íà

3 3 5 і îòðèìàєìî .

Ñôîðìóëþé îñíîâíó âëàñòèâіñòü äðîáó. ×è çìі-íèòüñÿ çíà÷åííÿ äðîáó, ÿêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîìíîæèòè íà 10; ÿêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåí-íèê äðîáó ïîäіëèòè íà 2? Ùî íàçèâàþòü ñêîðî÷åí-íÿì äðîáó? ßêèé äðіá íàçèâàþòü íåñêîðîòíèì?

137. (Óñíî) Îáґðóíòóé ðіâíіñòü:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .



33

138. (Óñíî) ×è ïðàâèëüíà ðіâíіñòü:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ?

139. Çàïèøè òðè äðîáè, ÿêі äîðіâíþþòü .

140. Çàïèøè äâà äðîáè, ÿêі äîðіâíþþòü .

141. Ïîìíîæ ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê êîæíîãî äðîáó íà 3

òà çàïèøè âіäïîâіäíі ðіâíîñòі: 1) ; 2) .

142. Ïîìíîæ ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê êîæíîãî äðîáó íà 2

òà çàïèøè âіäïîâіäíі ðіâíîñòі: 1) ; 2) .

143. Ïîäіëè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê êîæíîãî äðîáó íà 2 òà

çàïèøè âіäïîâіäíі ðіâíîñòі: 1) ; 2) .

144. Ïîäіëè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê êîæíîãî äðîáó íà 3 òà

çàïèøè âіäïîâіäíі ðіâíîñòі: 1) ; 2) .

145. (Óñíî) Ñêîðîòè äðіá:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

146. Çàïèøè òðè äðîáè, ùî äîðіâíþþòü äðîáó , çíà-

ìåííèêè ÿêèõ ìåíøі âіä çíàìåííèêà äàíîãî äðîáó.

147. Çàïèøè òðè äðîáè, ùî äîðіâíþþòü äðîáó , çíàìåí-

íèêè ÿêèõ ìåíøі âіä çíàìåííèêà äàíîãî äðîáó.

148. Çàìіíè äðîáîì, çíàìåííèê ÿêîãî äîðіâíþє 36, êîæ-

íèé ç äðîáіâ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

149. Çàìіíè äðîáîì, çíàìåííèê ÿêîãî äîðіâíþє 24, êîæ-

íèé ç äðîáіâ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

150. Ñêîðîòè äðіá:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;


Ðîçäië 2

34

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

151. Ñêîðîòè äðіá:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

152. Çíàé äè ÍÑÄ ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà êîæíîãî ç äðî-áіâ òà ñêîðîòè äðîáè:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

153. Âèïèøè ç ïîäàíèõ íèæ÷å äðîáіâ òі, ÿêі ìîæíà ñêîðî-òèòè, і ñêîðîòè їõ:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) .

154. Âèïèøè äðîáè, ÿêі ìîæíà ñêîðîòèòè, і ñêîðîòè їõ:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) .

155. Çàïèøè âіäñîòêè çâè÷àéíèì íåñêîðîòíèì äðîáîì: 1) 5 %; 2) 20 %; 3) 38 %; 4) 60 %.

156. Âіäíîâè çàïèñ: 1) ; 2) .

157. Íàêðåñëè êîîðäèíàòíèé ïðîìіíü, óçÿâøè çà îäèíè÷-íèé âіäðіçîê 24 êëіòèíêè çîøèòà. Ïîçíà÷ íà ïðîìåíі òî÷-êè ç êîîðäèíàòàìè:

.

ßêі ç öèõ òî÷îê çîáðàæóþòüñÿ íà êîîðäèíàòíîìó ïðî-ìåíі îäíієþ і òієþ ñàìîþ òî÷êîþ? Çàïèøè âіäïîâіäíі ðіâ-íîñòі.

158. Íàêðåñëè êîîðäèíàòíèé ïðîìіíü, óçÿâøè çà îäèíè÷-íèé âіäðіçîê 18 êëіòèíîê. Ïîçíà÷ íà ïðîìåíі òî÷êè ç êî-îðäèíàòàìè:



35

.

ßêі ç öèõ òî÷îê çîáðàæóþòüñÿ íà êîîðäèíàòíîìó ïðî-ìåíі îäíієþ і òієþ ñàìîþ òî÷êîþ? Çàïèøè âіäïîâіäíі ðіâ-íîñòі.

159. Çàïèøè äåñÿòêîâèé äðіá ó âèãëÿäі çâè÷àéíîãî і ðåçóëüòàò, ÿêùî ìîæëèâî, ñêîðîòè:

1) 0,4; 2) 0,22; 3) 0,75; 4) 0,31; 5) 0,125; 6) 0,734.

160. Çàïèøè äåñÿòêîâèé äðіá ó âèãëÿäі çâè÷àéíîãî і ðå-çóëüòàò, ÿêùî ìîæëèâî, ñêîðîòè:

1) 0,2; 2) 0,18; 3) 0,25; 4) 0,47; 5) 0,375; 6) 0,832.

161. Äàé âіäïîâіäü ó âèãëÿäі íåñêîðîòíîãî äðîáó:1) ÿêó ÷àñòèíó êіëîãðàìà ñêëàäàþòü: 40 ã, 120 ã, 750 ã;2) ÿêó ÷àñòèíó ãîäèíè ñêëàäàþòü: 5 õâ, 12 õâ, 45 õâ;3) ÿêó ÷àñòèíó ðîçãîðíóòîãî êóòà ñòàíîâèòü êóò, ãðà-äóñíà ìіðà ÿêîãî: 18, 45, 120?

162. Äàé âіäïîâіäü ó âèãëÿäі íåñêîðîòíîãî äðîáó:1) ÿêó ÷àñòèíó ìåòðà ñêëàäàþòü: 25 ñì, 12 ñì, 80 ñì;2) ÿêó ÷àñòèíó õâèëèíè ñêëàäàþòü: 10 ñ, 42 ñ, 40 ñ;3) ÿêó ÷àñòèíó ïðÿìîãî êóòà ñêëàäàє êóò, ãðàäóñíà ìіðà ÿêîãî: 5, 12, 27?

163. Âèêîíàé äії і ðåçóëüòàò ñêîðîòè:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

164. (Óñíî) Ñïî÷àòêó äðіá ñêîðîòèëè íà 2, ïîòіì — íà 3, à ïîòіì — íà 7 é îòðèìàëè íåñêîðîòíèé äðіá. Íà ÿêå ÷èñ-ëî ìîæíà áóëî îäðàçó ñêîðîòèòè äðіá?

165. Âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòèâіñòü äðîáó, çíàéäè x:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

166. Âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòèâіñòü äðîáó, çíàéäè ó:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

167. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ:

1) ; 2) ; 3) .


Ðîçäië 2

36

168. Äðіá ñêîðîòèëè íà 9 і îòðèìàëè . Çíàé äè çíà-

÷åííÿ à і b.

169. Äðіá ñêîðîòèëè íà 2 і îòðèìàëè . Çíàé äè çíà-

÷åííÿ õ і ó.

170. Ñêîðîòè äðіá (áóêâàìè ïîçíà÷åíî íàòóðàëüíі ÷èñëà):

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

171. Ïîðіâíÿé äðîáè:

1) і ; 2) і ; 3) 1 і ; 4) і 1; 5) і .

172. Çíàé äè:1) ÍÑÊ (24; 36); 2) ÍÑÊ (80; 120); 3) ÍÑÊ (42; 91).

173. Ñòîðîíè ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþþòü 8 ñì і 12 ñì. Çíàé äè ïëîùó êâàäðàòà, ïåðèìåòð ÿêîãî íà 4 ñì áіëüøèé çà ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà.

174. Ìàëåíüêà êîðîáêà âìіùóє 12 îëіâöіâ, à âåëèêà — 18 îëіâ öіâ. Âіäîìî, ùî Іðèíà ìîæå ðîçêëàñòè âñі ñâîї îëіâöі ÿê ó ìàëåíüêі êîðîáêè, òàê і ó âåëèêі. Ñêіëüêè îëіâöіâ ó Іðèíè, ÿêùî їõ áіëüøå íіæ 57, àëå ìåíøå íіæ 80?

175. 24 ñåðïíÿ 1991 ðîêó ïîçà÷åðãîâîþ ñåñієþ Âåðõîâ-íîї Ðàäè ÓÐÑÐ áóëî ïðèéíÿòî Àêò ïðîãîëîøåííÿ íåçà-ëåæíîñòі Óêðàїíè. Ñêіëüêè äíіâ ïðîéøëî ç öієї äàòè äî ñüîãîäíіøíüîãî äíÿ?

9.9. Найменший спільний знаменник дробів. Зведення дробів до спільного знаменника. Порівняння дробів

Ìè âæå âìієìî ïîðіâíþâàòè äðîáè ç îäíàêîâèìè çíà-ìåííèêàìè: ç äâîõ äðîáіâ ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè áіëüøèì є òîé, ó ÿêîãî áіëüøèé ÷èñåëüíèê.

Íàïðèêëàä, , .



37

À ÿê ïîðіâíþâàòè äðîáè ç ðіçíèìè çíàìåííèêàìè?

Ïðèêëàä 1. Ïîðіâíÿòè äðîáè і .

Ðî çâ ’ÿ çàííÿ. Âèêîðèñòàєìî îñíîâíó âëàñòèâіñòü äðî-

áó і çâåäåìî äðîáè і äî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà.

Ñïіëüíèé çíàìåííèê öèõ äðîáіâ ìàє äіëèòèñÿ і íà 4, і íà 6, òîáòî âіí є ñïіëüíèì êðàòíèì ÷èñåë 4 і 6. Òàêèõ ñïіëüíèõ

êðàòíèõ áåçëі÷: 12, 24, 36, 48, ... І äðіá , і äðіá ìîæíà

çâåñòè äî çíàìåííèêіâ 12, 24, 36, 48, ... Íàéìåíøå ñïіëü-íå êðàòíå çíàìåííèêіâ äâîõ äðîáіâ (ó íàøîìó âèïàäêó — 12) íàçèâàþòü íàéìåíøèì ñïіëüíèì çíàìåííèêîì.

Îòæå, çâåäåìî äðîáè і äî çíàìåííèêà 12. Çíàéäåìî

äëÿ öüîãî äîäàòêîâèé ìíîæíèê äëÿ êîæíîãî ç äðîáіâ, òîáòî ÷èñëî, íà ÿêå òðåáà ïîìíîæèòè ÷èñåëüíèê і çíà-ìåííèê äðîáó, ùîá îäåðæàòè äðіá іç çíàìåííèêîì 12. Äëÿ öüîãî òðåáà íîâèé çíàìåííèê 12 ïîäіëèòè íà çíàìåííèêè äàíèõ äðîáіâ: 12 : 4 3 і 12 : 6 2. Äîäàòêîâèì ìíîæíè-

êîì äëÿ äðîáó áóäå ÷èñëî 3, à äëÿ äðîáó — ÷èñëî 2.

Äîäàòêîâі ìíîæíèêè çà ïè øåìî ëіâîðó÷ íàä âіäïîâіäíèìè

÷èñåëüíèêàìè і ïіäêðåñëèìî їõ êîñîþ ðèñêîþ:

і .

Äàíі äðîáè çâåëè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà.

Ùîá çâåñòè äðîáè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà, äîñòàòíüî:1) çíàéòè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå çíàìåííè-êіâ äàíèõ äðîáіâ, ÿêå é áóäå íàéìåíøèì ñïіëü-íèì çíàìåííèêîì;2) çíàéòè äëÿ êîæíîãî äðîáó äîäàòêîâèé ìíîæ íèê, ïîäіëèâøè íàéìåíøèé ñïіëüíèé çíà-ìåííèê íà çíàìåííèêè äàíèõ äðîáіâ;3) ïîìíîæèòè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê êîæíîãî äðîáó íà éîãî äîäàòêîâèé ìíîæíèê.


38

Ïіñëÿ çâåäåííÿ äðîáіâ і äî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà

ìîæåìî їõ ïîðіâíÿòè. Îñêіëüêè

, à і , òî .

Ùîá ïîðіâíÿòè äðîáè ç ðіçíèìè çíàìåííèêàìè, äîñòàòíüî çâåñòè їõ äî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà і ïîðіâíÿòè îäåðæàíі äðîáè.

Çâîäèòè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà ìîæíà íå òіëüêè äâà äðîáè, à é òðè, ÷îòèðè і ò. ä.

Ïðèêëàä 2. Çâåñòè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà

äðîáè , і .

Ðî çâ ’ÿ çàííÿ. Íàéìåíøèì ñïіëüíèì çíàìåííèêîì áóäå ÷èñëî 24, áî öå íàéìåíøå ÷èñëî, ÿêå äіëèòüñÿ íà âñі äàíі çíàìåííèêè. Îäåðæèìî:

; ; .

ßêùî íàéìåíøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê çíàéòè âàæêî, òî çíàìåííèêè òðåáà ðîçêëàñòè íà ïðîñòі ìíîæíèêè.

Ïðèêëàä 3. Çâåñòè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà

äðîáè і .

Ðî çâ ’ÿ çàííÿ. 48 2 2 2 2 3; 60 2 2 3 5. ÍÑÊ (48; 60) 2 2 2 2 3 5 240. Òîäі

і .

Ñôîðìóëþé ïðàâèëî çâåäåííÿ äðîáіâ äî íàéìåíøî-

ãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà. ×è ìîæíà äðіá çâåñòè

äî çíàìåííèêà 25; äî çíàìåííèêà 27? ßê çíàéòè äîäàòêîâèé ìíîæíèê? ßê ïîðіâíÿòè äâà äðîáè ç ðіçíèìè çíàìåííèêàìè?



39

176. (Óñíî) Çâåäè äî çíàìåííèêà 12 äðіá:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

177. Çâåäè äðіá äî çíàìåííèêà: 14, 21, 70, 700.

178. Çâåäè äðіá äî çíàìåííèêà: 10, 15, 50, 500.

179. Íàçâè íàéìåíøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê äðîáіâ:

1) і ; 2) і ; 3) і ; 4) і .

180. (Óñíî) Ïîðіâíÿé:

1) і ; 2) і ; 3) і ; 4) і .

181. Çâåäè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà äðîáè:

1) і ; 2) і ; 3) і ; 4) і ;

5) і ; 6) і ; 7) і ; 8) і .


1) і ; 2) і ; 3) і ; 4) і ;

5) і ; 6) і ; 7) і ; 8) і .


1) і ; 2) і ; 3) і ; 4) і .


1) і ; 2) і ; 3) і ; 4) і .

185. Ùî áіëüøå: 1) ÷è ; 2) ÷è ?

186. Ùî ìåíøå:

1) ÷è ; 2) ÷è ; 3) ÷è ; 4) ÷è ?


Ðîçäië 2

40


1) , і ; 2) , і ; 3) , і .


1) , і ; 2) , і ; 3) , і .

189. Ðîçìіñòè â ïîðÿäêó çðîñòàííÿ äðîáè і ïðî÷èòàé ïðіç-

âèùå âèäàòíîãî óêðàїíñüêîãî ïèñüìåííèêà: (Í), (Ê),

(Ð), (Ô), (Î), (À).

190. Ðîçìіñòè â ïîðÿäêó çðîñòàííÿ äðîáè òà ïðî÷èòàé íàç-

âó ïåðøîї ñòîëèöі Óêðàїíè: (Ð), (І), (Õ), (Â), (Ê),

(À).

191. Íàêðåñëè êîîðäèíàòíèé ïðîìіíü, óçÿâøè çà îäèíè÷-íèé âіäðіçîê 16 êëіòèíîê. Ïîçíà÷ íà ïðîìåíі òî÷êè, ÿêèì

âіäïîâіäàþòü ÷èñëà , , , , , . Çàïèøè öі ÷èñëà â

ïîðÿäêó ñïàäàííÿ.

192. Çíàé äè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå çíàìåííèêіâ

äðîáіâ , і ðîçêëàäàííÿì їõ íà ïðîñòі ìíîæ-

íèêè, à ïîòіì çâåäè öі äðîáè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåí íèêà.

193. Çíàé äè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå çíàìåííèêіâ äðîáіâ

, і ðîçêëàäàííÿì їõ íà ïðîñòі ìíîæíèêè, à ïî-

òіì çâåäè öі äðîáè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåí íèêà.

194. Ðîçìіñòè â ïîðÿäêó ñïàäàííÿ: , , , , , .

195. Ïîðіâíÿé: 1) 0,675 і ; 2) 0,84 і .

196. Ïîðіâíÿé: 1) 0,32 і ; 2) 0,45 і .



41

197. Îäèí ðîáіòíèê âèãîòîâëÿє 54 îäíàêîâі äåòàëі çà 7 ãîä, à äðóãèé — 23 òàêі ñàìі äåòàëі çà 3 ãîä. ßêèé ðîáіòíèê âèãîòîâëÿє áіëüøå äåòàëåé çà ãîäèíó?

198. Çíàé äè âñі íàòóðàëüíі çíà÷åííÿ õ, ïðè ÿêèõ є ïðà-âèëüíîþ íåðіâíіñòü:

1) ; 2) .

199. Çíàé äè âñі íàòóðàëüíі çíà÷åííÿ ó, ïðè ÿêèõ є ïðà-

âèëüíîþ íåðіâíіñòü:

1) ; 2) .

200. Çíàé äè áóäü-ÿêèõ äâà äðîáè, êîæíèé ç ÿêèõ:

1) áіëüøèé çà , àëå ìåíøèé âіä ;

2) áіëüøèé çà , àëå ìåíøèé âіä .

201. Çíàé äè áóäü-ÿêèõ äâà äðîáè, êîæíèé ç ÿêèõ áіëüøèé

çà , àëå ìåíøèé âіä .


1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

203. Ç äâîõ ìіñò îäíî÷àñíî íàçóñòðі÷ îäèí îäíî-ìó âèéøëè äâà ïîòÿãè. Øâèäêіñòü îäíîãî 58 êì/ãîä, à øâèäêіñòü äðóãîãî ñòàíîâèòü 90 % âіä øâèäêîñòі ïåðøîãî. Ïîòÿãè çóñòðіëèñÿ ÷åðåç 2,5 ãîä. Çíàé äè âіä-ñòàíü ìіæ ìіñòàìè.

204. Ïðè ÿêîìó íàéìåíøîìó òðèöèôðîâîìó íàòó-ðàëüíîìó çíà÷åííі x çíà÷åííÿ âèðàçó 157 + x є êðàò-íèì ÷èñëó 10?

205. ×è ìîæíà ç ïðÿìîêóòíèõ ïàðàëåëåïіïåäіâ, ëіíіé-íі âèìіðè ÿêèõ äîðіâíþþòü 1 ñì, 2 ñì і 3 ñì, ñêëàñòè êóá, ðåáðî ÿêîãî äîðіâíþє 5 ñì?


Ðîçäië 2

42

Ìè âæå âìієìî äîäàâàòè і âіäíіìàòè äðîáè ç îäíàêîâè-ìè çíàìåííèêàìè:

; (a > b àáî a b).

Ùîá äîäàòè (âіäíÿòè) äðîáè ç ðіçíèìè çíàìåí-íèêàìè, äîñòàòíüî:1) çâåñòè öі äðîáè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà;2) äîäàòè (âіäíÿòè) їõ çà ïðàâèëîì äîäàâàííÿ (âіäíіìàííÿ) äðîáіâ ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè.

Ïðèêëàä 1. Çíàéòè ñóìó .

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Íàéìåíøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê öèõ äðîáіâ 30. Äîäàòêîâèé ìíîæíèê äëÿ ïåðøîãî äðîáó 5 (30 : 6 5), äëÿ äðóãîãî äðîáó 3 (30 : 10 3). Çàïèñóєìî:

.

ßê ïðàâèëî, ïіäêðåñëåíó ÷àñòèíó íå çàïèñóþòü. Òîäі çàïèñ ìàє âèãëÿä:

.

Ðåçóëüòàò äії ïðèéíÿòî çàïèñóâàòè íåñêîðîòíèì äðî-

áîì, òîìó îòðèìàëè , ñêîðîòèâøè äðіá íà 2.

Ïðèêëàä 2. Çíàéòè ðіçíèöþ .

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Íàéìåíøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê öèõ äðîáіâ 24. Êîðîòêèé çàïèñ ðîçâ’ÿçàííÿ:

.

Òàê ñàìî ìîæíà äîäàâàòè і âіäíіìàòè òðè, ÷îòèðè і áіëüøå äðîáіâ. ßêùî ðåçóëüòàòîì îá÷èñëåííÿ є íåïðàâèëü-

10.10. Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками



43

íèé äðіá, òî çàçâè÷àé éîãî çàïèñóþòü ó âèãëÿäі ìіøàíîãî ÷èñëà.

Ïðèêëàä 3. Îá÷èñëèòè: .

Ðî çâ ’ÿ çàííÿ (ðîçãëÿíü ñàìîñòіéíî).

.

Äëÿ äîäàâàííÿ äðîáіâ ñïðàâäæóþòüñÿ ïåðåñòàâíà і ñïî-ëó÷íà âëàñòèâîñòі äîäàâàííÿ.

ßê âèêîíàòè äîäàâàííÿ äâîõ äðîáіâ ç ðіçíèìè çíà-ìåííèêàìè? ßê âèêîíàòè âіäíіìàííÿ äâîõ äðîáіâ ç ðіçíèìè çíàìåííèêàìè?

206. (Óñíî) Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

207. Îá÷èñëè:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .


1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

209. Ìàãàçèí ïåðøîãî äíÿ ïðîäàâ , à äðóãîãî — âñіõ

ôðóêòіâ, ÿêі íàäіéøëè ç áàçè. ßêó ÷àñòèíó ôðóêòіâ ïðî-äàâ ìàãàçèí çà äâà äíі?

210. Îëÿ çà ïåðøèé äåíü ïðî÷èòàëà , à çà äðóãèé —

âñієї êíèæêè. ßêó ÷àñòèíó êíèæêè Îëÿ ïðî÷èòàëà çà äâà

äíі?


Ðîçäië 2

44


1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

212. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

213. Ïåðøîãî äíÿ äî øêîëè çàâåçëè âіä çàìîâëåíîї êіëü-

êîñòі ïіäðó÷íèêіâ, à äðóãîãî — íà ìåíøå. ßêó ÷àñòèíó çà -

âåçëè äðóãîãî äíÿ? ×è çàâåçëè âñі ïіäðó÷íèêè çà öі äâà äíі?

214. Ñåðãіé âèêîíàâ äîìàøíє çàâäàííÿ ç ìàòåìàòèêè çà

ãîä, à íà âèêîíàííÿ äîìàøíüîãî çàâäàííÿ ç óêðàїíñüêîї

ìîâè âèòðàòèâ íà ãîä ìåíøå. Ñêіëüêè ÷àñó âèòðàòèâ

Ñåðãіé íà âèêîíàííÿ çàâäàíü ç öèõ äâîõ ïðåäìåòіâ ðàçîì?

215. Îá÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) .

216. Îá÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) .

217. Â îäíîìó ãëå÷èêó ë ìîëîêà, à â äðóãîìó — ë

ìîëîêà. Â ÿêîìó ãëå÷èêó ìîëîêà áіëüøå і íà ñêіëüêè?


1) ; 2) ; 3) .

219. Îá÷èñëè: 1) ; 2) .

220. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 2) .



45

221. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 2) .

222. Çà ïåðøó ãîäèíó àâòîìîáіëü ïðîїõàâ óñієї âіäñòàíі,

ÿêó ìàâ ïðîїõàòè, çà äðóãó ãîäèíó — óñієї âіäñòàíі, à çà

òðåòþ — ðåøòó øëÿõó. ßêó ÷àñòèíó âñієї âіäñòàíі ïðîїõàâ àâòîìîáіëü çà òðåòþ ãîäèíó?

223. Íà ñíіäàíîê Âіííі-Ïóõ ç’їâ ë ìåäó, íà îáіä — ë,

à íà âå÷åðþ — ðåøòó. Ñêіëüêè ëіòðіâ ìåäó ç’їâ Âіííі-Ïóõ

íà âå÷åðþ?

224. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) .

225. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó, âèêîðèñòîâóþ÷è âëàñ-òèâîñòі äîäàâàííÿ і âіäíіìàííÿ:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

226. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó, âèêîðèñòîâóþ÷è âëàñòè-âîñòі äîäàâàííÿ і âіäíіìàííÿ:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

227. Ïåðèìåòð òðèêóòíèêà äîðіâíþє ì. Îäíà ç éîãî

ñòîðіí äîðіâíþє ì, à äðóãà — ìåíøà âіä ïåðøîї íà ì.

Çíàé äè äîâæèíó òðåòüîї ñòîðîíè òðèêóòíèêà.

228. Ìàëþê ç’їäàє áàíêó âàðåííÿ çà 12 õâ, à Êàðëñîí — çà 8 õâ.

1) ßêó ÷àñòèíó áàíêè âàðåííÿ ç’їäàє êîæåí ç íèõ çà õâèëèíó? 2) ßêó ÷àñòèíó áàíêè âàðåííÿ âîíè ç’їäÿòü ðàçîì çà: 1 õâ; 2 õâ; 3 õâ?


Ðîçäië 2

46

229. ×åðåç îäíó òðóáó áàñåéí íàïîâíþєòüñÿ çà 18 õâ, à ÷åðåç äðóãó — çà 24 õâ. 1) ×è íàïîâíèòüñÿ áіëüøå ÷âåð-òі áàñåéíó çà äâі õâèëèíè îäíî÷àñíîї ðîáîòè îáîõ òðóá? 2) ßêà ÷àñòèíà áàñåéíó çàëèøèòüñÿ íåçàïîâíåíîþ ÷åðåç äâі õâèëèíè îäíî÷àñíîї ðîáîòè äâîõ òðóá?

230. Ç äâîõ ìіñò îäíî÷àñíî íàçóñòðі÷ îäèí îäíîìó âèéøëè äâà ïîòÿãè. Âіäñòàíü ìіæ öèìè ìіñòàìè ïåðøèé ïîòÿã äî-ëàє çà 3 ãîä, à äðóãèé — çà 4 ãîä. 1) ßêó ÷àñòèíó âñüîãî øëÿõó ñòàíîâèëà âіäñòàíü ìіæ ïîòÿãàìè ÷åðåç ãîäèíó ïіñ-ëÿ їõ âèõîäó? 2) ×è âіäáóëàñÿ çóñòðі÷ ïîòÿãіâ, ÿêùî âîíè áóëè ó äîðîçі 2 ãîä?

231. ßê çìіíèòüñÿ ðіçíèöÿ, ÿêùî:

1) çìåíøóâàíå çáіëüøèòè íà , à âіä’єìíèê — íà ;

2) çìåíøóâàíå çìåíøèòè íà , à âіä’єìíèê — íà ?

232. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó:

.

233. Ïåðèìåòð ðіâíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà 12,8 ñì.

Äîâ æèíà îäíієї ñòîðîíè ñòàíîâèòü ïåðèìåòðà, à äâі

іíøі ñòîðîíè ðіâíі ìіæ ñîáîþ. Çíàé äè äîâæèíè ñòîðіí òðèêóòíèêà.

234. Ó ÷èñëі 20*06* çàìіíè çіðî÷êè öèôðàìè òàê, ùîá öå ÷èñëî äіëèëîñÿ íà 5 і íà 9 і íå äіëèëîñÿ íà 10.

235. 1) Ðîçìіñòè ó ðÿäêàõ âêàçàíі ïðіçâèùà âіäîìèõ ìàòåìàòèêіâ: Ïіôàãîð, Íüþòîí, Îñòðîãðàäñüêèé, Êîøі, Êðàâ÷óê, Âîðîíèé, Ñìîãîðæåâñüêèé òà ïðî÷èòàé ó âèäі-ëåíîìó ñòîâï÷èêó íàçâó ãåîìåòðè÷íîї ôіãóðè.

2) Çäîãàäàéñÿ, ó ÿêèõ ðÿäêàõ çàïèñàíî ïðіçâèùà óêðà-їíñüêèõ ìàòåìàòèêіâ. Ïåðåâіð ñâîþ çäîãàäêó çà äîïîìîãîþ Іíòåðíåòó àáî êíèæîê. Îçíàéîìñÿ ç áіîãðàôіÿìè öèõ ìàòå-ìàòèêіâ.



47

11.11. Додавання і віднімання мішаних чисел

Ïåðåñòàâíà òà ñïîëó÷íà âëàñòèâîñòі äîäàâàííÿ äàþòü ìîæëèâіñòü çâåñòè äîäàâàííÿ ìіøàíèõ ÷èñåë äî äîäàâàííÿ їõ öіëèõ ÷àñòèí і äîäàâàííÿ їõ äðîáîâèõ ÷àñòèí.

ßêùî ïðè äîäàâàííі äðîáîâèõ ÷àñòèí îòðèìóєìî íå-ïðàâèëüíèé äðіá, òî ó öüîìó ðàçі ç íüîãî âèäіëÿþòü öіëó ÷àñòèíó і äîäàþòü її äî öіëîї ÷àñòèíè, ÿêà âæå є.

Ïðèêëàä 1.

.

ßê ïðàâèëî, ïðîìіæíі îá÷èñëåííÿ âèêîíóþòü óñíî і ðîçâ’ÿçàííÿ çàïèñóþòü êîðîòøå:

.

Ïðè âіäíіìàííі ìіøàíèõ ÷èñåë âèêîðèñòîâóþòü âëàñòè-âîñòі âіäíіìàííÿ ñóìè âіä ÷èñëà і ÷èñëà âіä ñóìè:

à – (b + ñ) (à – b) – ñ і(à + b) – ñ (à – ñ) + b(ÿêùî à > ñ àáî à ñ),

à òàêîæ ïðèéîì âіäíіìàííÿ âіä íàòóðàëüíîãî ÷èñëà ïðà-âèëüíîãî äðîáó.

Ïðèêëàä 2.

, àáî êîðîòøå:


Ðîçäië 2

48

.

Ïðèêëàä 3.


.

Ïðèêëàä 4. .

Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàä, â ÿêîìó äðîáîâà ÷àñòèíà çìåíøó-âàíîãî ìåíøà çà äðîáîâó ÷àñòèíó âіä’єìíèêà.

Ïðèêëàä 5. . Çâåäåìî äðîáîâі ÷àñòèíè äî ñïіëü-

íîãî çíàìåííèêà: , . Îñêіëüêè äðîáîâà ÷àñòèíà

çìåíøóâàíîãî ìåíøà âіä äðîáîâîї ÷àñòèíè âіä’єìíèêà, òî òðåáà âіä öіëîї ÷àñòèíè çìåíøóâàíîãî âçÿòè îäíó îäèíèöþ і ïåðåòâîðèòè її ó äðіá ç íåîáõіäíèì çíàìåííèêîì (ó íà-øîìó ïðèêëàäі öå çíàìåííèê 18). Äàëі:


.

ßê äîäàþòü ìіøàíі ÷èñëà і ÿêі âëàñòèâîñòі äîäàâàí-íÿ âèêîðèñòîâóþòü? ßê âèêîíóþòü âіäíіìàííÿ ìі-øàíèõ ÷èñåë і ÿêі âëàñòèâîñòі âèêîðèñòîâóþòü?

236. (Óñíî) Îá÷èñëè:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .



49

237. Âèêîíàé äîäàâàííÿ:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .


1) ; 2) ; 3) ; 4) .

239. Âèêîíàé âіäíіìàííÿ:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .


1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

241. Ñòðі÷êó ðîçðіçàëè íà äâі ÷àñòèíè çàâäîâæêè ì і

ì. ßêîþ áóëà äîâæèíà ñòðі÷êè? Íà ñêіëüêè äîâæèíà

îäíієї ÷àñòèíè âèÿâèëàñÿ áіëüøîþ çà äîâæèíó äðóãîї?

242. Òóðèñòè çà ïåðøó ãîäèíó ïðîéøëè êì, à çà äðó-

ãó — íà êì ìåíøå. Ñêіëüêè êіëîìåòðіâ ïîäîëàëè òó-

ðèñòè çà äâі ãîäèíè?

243. Íà îäíîìó àâòîìîáіëі ò âàíòàæó, à íà іíøîìó — íà

ò ìåíøå. Ñêіëüêè òîíí âàíòàæó íà îáîõ àâòîìîáіëÿõ ðàçîì?

244. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .


1) ; 2) ; 3) ; 4) .


Ðîçäië 2

50

246. Îá÷èñëè .

247. Çíàé äè çíà÷åííÿ ñóìè .


1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .


1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

250. Âëàñíà øâèäêіñòü ÷îâíà äîðіâíþє êì/ãîä, à

øâèäêіñòü òå÷ії — êì/ãîä. Çíàé äè øâèäêіñòü ÷îâíà çà

òå÷ієþ і ïðîòè òå÷ії.



253. Êіò Ìàòðîñêіí âðàíöі íàäîїâ âіä êîðîâè ë ìîëîêà,

â îáіä — íà ë ìåíøå, íіæ âðàíöі, à ââå÷åðі — ë.

ßêèì âèÿâèâñÿ äåííèé íàäіé ìîëîêà?

254. Ó äâîõ ìіøêàõ ðàçîì êã áîðîøíà, ïðè÷îìó â ïåð-

øîìó êã. Ó ÿêîìó ìіøêó áіëüøå áîðîøíà і íà ñêіëüêè?

255. Ìîòîöèêëіñò ïðîїõàâ çà äâі ãîäèíè êì, ïðè÷îìó

çà ïåðøó ãîäèíó êì. Çà ÿêó ãîäèíó ìîòîöèêëіñò ïðî-

їõàâ áіëüøó âіäñòàíü і íà ñêіëüêè?



51

256. Ìàâïî÷êà Àáó ïðèäáàëà òðè ÿùèêè áàíàíіâ. Ó ïåð-

øîìó ÿùèêó êã áàíàíіâ, ó äðóãîìó — íà êã áіëüøå,

íіæ ó ïåðøîìó, à â òðåòüîìó — íà êã ìåíøå, íіæ ó äðó-

ãîìó. Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ áàíàíіâ ïðèäáàëà ìàâïî÷êà Àáó?

257. Îäíà ñòîðîíà òðèêóòíèêà äîðіâíþє äì, äðóãà —

íà äì êîðîòøà âіä ïåðøîї, à òðåòÿ — íà äì äîâ øà

çà äðóãó. Çíàé äè ïåðèìåòð òðèêóòíèêà.

258. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó, âèêîðèñòîâóþ÷è âëàñòè-âîñòі äîäàâàííÿ:

1) ; 2) .


1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .


1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .


1) ; 2) .


1) ; 2) .


Ðîçäië 2

52

263. Ïåðåòâîðè äåñÿòêîâі äðîáè ó çâè÷àéíі é îá÷èñëè:

1) ; 2) .

264. Ïåðåòâîðè äåñÿòêîâі äðîáè ó çâè÷àéíі é îá÷èñëè:

1) ; 2) .

265. Îäíà ñòîðîíà ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє äì, à äðó-

ãà — íà äì äîâøà. Çíàé äè ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà.

266. Â îäíîìó ìіøêó áóëî êã áîðîøíà. Êîëè іç öüîãî

ìіøêà ïåðåñèïàëè â äðóãèé ìіøîê êã, òî áîðîøíà â

îáîõ ìіøêàõ ñòàëî ïîðіâíó. Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ áîðîøíà áóëî â äðóãîìó ìіøêó ñïî÷àòêó?

267. Çà 3 ãîä âåëîñèïåäèñò ïðîїõàâ êì. Çà ïåðøі

2 ãîä âіí ïðîїõàâ êì, à çà îñòàííі 2 ãîä — êì.

Ñêіëüêè êіëîìåòðіâ äîëàâ âåëîñèïåäèñò ùîãîäèíè?

268. Ñàøêî, Äìèòðî òà Ñåðãіé ðàçîì çіáðàëè êã ñóíèöü.

Ñàøêî і Äìèòðî ðàçîì çіáðàëè êã ñóíèöü, à Äìèòðî і

Ñåðãіé — êã ñóíèöü. Ïî ñêіëüêè êіëîãðàìіâ ñóíèöü çі-

áðàâ êîæåí іç õëîïöіâ?

269. ßê çìіíèòüñÿ ñóìà äâîõ ÷èñåë, ÿêùî:

1) îäèí ç äîäàíêіâ çáіëüøèòè íà , à äðóãèé — íà ;

2) îäèí ç äîäàíêіâ çáіëüøèòè íà , à äðóãèé — çìåí-

øèòè íà ?

270. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó:1) 0,42 : 5 + 0,23; 2) (1,52 6 – 12,5)3.



53

271. ßêå ÷èñëî òðåáà ïіäñòàâèòè çàìіñòü a, ùîá êî-ðåíåì ðіâíÿííÿ (õ + 5) à 75 áóëî ÷èñëî 20?

272. ×èñëî à ïðè äіëåííі íà 5 äàє â îñòà÷і 2. ßêó îñòà÷ó ïðè äіëåííі íà 5 äàє ÷èñëî b, ÿêùî ñóìà à + b äіëèòüñÿ íà 5?

273. 1) Ó ÿùèêó, ùî çíàõîäèòüñÿ ó òåìíіé êіìíàòі, ëåæàòü 12 áіëèõ і 12 ÷îðíèõ øêàðïåòîê. ßêó íàéìåíøó êіëüêіñòü øêàðïåòîê òðåáà âçÿòè íàâìàííÿ, ùîá ñåðåä íèõ îáîâ’ÿçêîâî áóëà ïàðà øêàðïåòîê îäíîãî êîëüîðó?

2) Ó êîðîáöі, ùî çíàõîäèòüñÿ ó òåìíіé êіìíàòі, ëåæàòü 12 ïàð êîðè÷íåâèõ і 12 ïàð ÷îðíèõ ðóêàâè÷îê. ßêó íàé-ìåíøó êіëüêіñòü ðóêàâè÷îê òðåáà âçÿòè íàâìàííÿ, ùîá ñå-ðåä íèõ îáîâ’ÿçêîâî áóëà ïàðà ðóêàâè÷îê îäíîãî êîëüîðó?

12.12. Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби

Ìè âæå âìієìî ïåðåòâîðþâàòè äåñÿòêîâі äðîáè ó çâè-÷àéíі àáî ó ìіøàíі ÷èñëà, íàïðèêëàä:

; ; ;

.

Òàêîæ ìè âìієìî ïåðåòâîðþâàòè çâè÷àéíі äðîáè іç çíàìåííèêàìè 10, 100, 1000, ... ó äåñÿòêîâі, íàïðèêëàä,

; ; .

Ùîá íàâ÷èòèñÿ ïåðåòâîðþâàòè çâè÷àéíі äðîáè ç іíøè-ìè çíàìåííèêàìè ó äåñÿòêîâі, íåîáõіäíî çãàäàòè, ùî çâè-÷àéíèé äðіá є ÷àñòêîþ âіä äіëåííÿ ÷èñåëüíèêà íà çíàìåí-íèê. Îòæå,

ùîá ïåðåòâîðèòè çâè÷àéíèé äðіá ó äåñÿòêîâèé, äîñòàòíüî ÷èñåëüíèê ïîäіëèòè íà çíàìåííèê.


Ðîçäië 2

54

Íàïðèêëàä:

; ; .

ßêùî íà äåñÿòêîâèé äðіá òðåáà ïåðåòâîðèòè ìіøàíå ÷èñëî, äîñòàòíüî ÷èñåëüíèê äðîáîâîї ÷àñòèíè ïîäіëèòè íà çíàìåííèê і äî óòâîðåíîãî äåñÿòêîâîãî äðîáó äîäàòè öіëó ÷àñòèíó ìіøàíîãî ÷èñëà.

Ïðèêëàä. Ïîäàòè ÷èñëî äåñÿòêîâèì äðîáîì.

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ.

Îñêіëüêè , òî .

Ñïðîáóєìî ïåðåòâîðèòè äðіá íà äåñÿòêîâèé.

Îòæå, 0,818181... Áà÷èìî, ùî äіëåííÿ íå çàêіí÷è-

ëîñÿ, òîáòî îòðèìàëè íåñêіí÷åííèé äåñÿòêîâèé ïåðіîäè÷-íèé äðіá. À â óñіõ ïîïåðåäíіõ âèïàäêàõ ìè îòðèìóâàëè ñêіí÷åííі äåñÿòêîâі äðîáè. Öèôðè 8 і 1, ÿêі ñòîÿòü ïîðÿä ó çàïèñó íåñêіí÷åííîãî äåñÿòêîâîãî äðîáó і ïîâòîðþþòüñÿ áåçëі÷ ðàçіâ ïîñïіëü, óòâîðþþòü ïåðіîä íåñêіí÷åííîãî äå-ñÿòêîâîãî äðîáó. Öå çàïèñóþòü òàê: 0,818181... 0,(81) (÷è-

òàþòü: «íóëü öіëèõ 81 ñîòà ó ïåðіîäі»). Îòæå, 0,(81).



55

ßê áà÷èìî, ïðè ïåðåòâîðåííі çâè÷àéíîãî äðîáó íà äåñÿò-êîâèé ìîæóòü óòâîðþâàòèñÿ ÿê ñêіí÷åííі, òàê і íåñêіí÷åííі äåñÿòêîâі äðîáè. Ñêіí÷åííі äðîáè óòâîðþþòüñÿ ëèøå òîäі, êî- ëè â ðîçêëàäі çíàìåííèêà íà ïðîñòі ìíîæíèêè íåìàє ïðîñ-òèõ ìíîæíèêіâ, êðіì 2 і 5. Â іíøèõ âèïàäêàõ óòâîðþєòüñÿ íåñêіí ÷åííèé ïåðіîäè÷íèé äåñÿòêîâèé äðіá. Íàïðèêëàä,

äðіá ïåðåòâîðèòüñÿ â ïåðіîäè÷íèé äåñÿòêîâèé äðіá, áî

12 2 2 3, òîáòî â ðîçêëàäі є ìíîæíèê 3. Ïåðåêîíàєìîñÿ:

(÷èòàþòü: «íóëü öіëèõ 41 ñîòà і 6 ó ïåðіîäі»).

Äðіá ïåðåòâîðèòüñÿ â ñêіí÷åííèé äåñÿòêîâèé äðіá,

áî 20 2 2 5, òîáòî íå ìіñòèòü іíøèõ ïðîñòèõ ìíîæíè-êіâ, êðіì 2 òà 5. Ñïðàâäі,

.

Ïåðåòâîðèòè çâè÷àéíі äðîáè ó äåñÿòêîâі ìîæíà é іí-øèì ñïîñîáîì: äîìíîæèòè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê íà íå-îáõіäíó êіëüêіñòü äâіéîê àáî ï’ÿòіðîê òàê, ùîá êіëüêіñòü äâіéîê ó çíàìåííèêó äîðіâíþâàëà êіëüêîñòі ï’ÿòіðîê. Òîäі çíàìåííèê áóäå êðàòíèì ÷èñëó 10. Íàïðèêëàä:

; ;

.

À ùå ðàíіøå...À ùå ðàíіøå...У XVII ст. перетворенням звичайного дробу в десятковий зай-

малися італійський математик Бонавентура Кавальєрі (1598—1647), англійський математик Джон Валліс (1616—1703) та інші.

У процесі нескінченного ділення чисельника звичайного дробу на його знаменник ці вчені отримали періодичні дроби.

У XVIII ст. періодичні дроби також вивчалися німецьким вче-ним Йоганом Ламбертом (1728—1777) та видатним математиком, фізиком, механіком і астрономом Леонардом Ейлером (1707—1783). Повну теорію періодичних дробів розробив на початку


Ðîçäië 2

56

XIX ст. видатний німецький математик Карл Фрідріх Гаус (1777—1855).

Термін «період» для групи цифр, що нескінченно повторюють-ся, походить від грецького слова «періодис» — обхід, обертання по колу.

ßê ïåðåòâîðèòè çâè÷àéíèé äðіá ó äåñÿòêîâèé? ×è çàâæäè öå ïåðåòâîðåííÿ äàє ñêіí÷åííèé äåñÿòêîâèé äðіá? ßêèé çàïèñ ÷èñëà íàçèâàþòü íåñêіí÷åííèì äåñÿòêîâèì ïåðіîäè÷íèì äðîáîì? Ó ÿêîìó âèïàä-êó çâè÷àéíèé íåñêîðîòíèé äðіá ìîæíà ïåðåòâîðèòè ó ñêіí÷åííèé äåñÿòêîâèé äðіá?

274. Ïðî÷èòàé: 0,5; 1,13; 0,(7); 3,1(2); 4,2(37).

275. Ïåðåâіð, ùî:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

276. Ïåðåâіð, ùî:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

277. Ïåðåòâîðè ó äåñÿòêîâèé äðіá äàíå ÷èñëî (ó âèïàä-êó îòðèìàííÿ íåñêіí÷åííîãî äðîáó äіëåííÿ ïðèïèíè ïіñëÿ âèçíà÷åííÿ ïåðіîäó):

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

278. Ïåðåòâîðè ó äåñÿòêîâèé äðіá äàíå ÷èñëî (ó âèïàäêó îòðèìàííÿ íåñêіí÷åííîãî äðîáó äіëåííÿ ïðèïèíè ïіñëÿ âèçíà÷åííÿ ïåðіîäó):

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

279. Ïåðåòâîðè çâè÷àéíèé äðіá ó äåñÿòêîâèé і îá÷èñëè:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .



57

280. Ïåðåòâîðè çâè÷àéíèé äðіá ó äåñÿòêîâèé і îá÷èñëè:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

281. Çàïèøè ó âèãëÿäі íåñêіí÷åííîãî äåñÿòêîâîãî ïåðі-îäè÷íîãî äðîáó ÷àñòêó:

1) 5 : 99; 2) 19 : 11; 3) 43 : 12; 4) 12,5 : 27.

282. Çàïèøè ó âèãëÿäі íåñêіí÷åííîãî äåñÿòêîâîãî ïåðіî-äè÷íîãî äðîáó ÷àñòêó:

1) 10 : 9; 2) 7 : 15; 3) 44 : 6; 4) 25,4 : 11.

283. Ïîðіâíÿé äðîáè, çàïèñàâøè ïîïåðåäíüî çâè÷àéíі äðî-áè ó âèãëÿäі äåñÿòêîâèõ äðîáіâ:

1) і 0,18; 2) і 0,36; 3) і ; 4) і .

284. Ïîðіâíÿé äðîáè, çàïèñàâøè ïîïåðåäíüî çâè÷àéíі äðî-áè ó âèãëÿäі äåñÿòêîâèõ äðîáіâ:

1) і 0,88; 2) і 0,9; 3) і ; 4) і .

285. ×åðâîíó ñòðі÷êó, äîâæèíà ÿêîї 25 ì, ðîçðіçàëè íà 7 îäíàêîâèõ ÷àñòèí, à çåëåíó ñòðі÷êó, äîâæèíà ÿêîї 39 ì, ðîçðіçàëè íà 11 îäíàêîâèõ ÷àñòèí. Äîâæèíà ÿêîї ç îòðè-ìàíèõ ÷àñòèí áіëüøà: ÷åðâîíîї ÷è çåëåíîї?

286. Îêðóãëè äåñÿòêîâі äðîáè:1) äî îäèíèöü: 2,73; 3,052; 7,5789;2) äî äåñÿòèõ: 11,82; 0,4859; 11,2342;3) äî ñîòèõ: 0,451; 12,499; 1,574.

287. 1) ×è є âçàєìíî ïðîñòèìè ÷èñëà 2012 і 2015? 2) Íàçâè òðè ÷èñëà, êîæíå ç ÿêèõ є âçàєìíî ïðîñòèì ç ÷èñëîì 2012 і ç ÷èñëîì 2015.

288. ×è ìîæíà ÷èñëî 1 ïîäàòè ó âèãëÿäі ñóìè äðîáіâ

, äå a, b, c, d — íåïàðíі íàòóðàëüíі ÷èñëà?


Ðîçäië 2

58

13.13. Десяткове наближення звичайного дробу

Ïðè ïåðåòâîðåííі çâè÷àéíèõ äðîáіâ ó äåñÿòêîâі ìîæíà îòðèìóâàòè íåñêіí÷åííі ïåðіîäè÷íі äðîáè. Âèêîíóþ÷è îá-÷èñëåííÿ ç òàêèìè äðîáàìè, çðó÷íî êîðèñòóâàòèñÿ їõ íà-áëèæåííÿìè, ÿêі îòðèìóþòü ïðè îêðóãëåííі íåñêіí÷åííèõ äðîáіâ äî ïåâíîãî ðîçðÿäó. Óòâîðþєòüñÿ ñêіí÷åííèé äåñÿò-êîâèé äðіá, ÿêèé íàçèâàþòü äåñÿòêîâèì íàáëèæåííÿì çâè÷àéíîãî äðîáó. ×èñëî, ÿêå óòâîðèëîñÿ ïіñëÿ îêðóãëåí-íÿ, òèì òî÷íіøå, ÷èì áіëüøå äåñÿòêîâèõ çíàêіâ ó éîãî íà-áëèæåííі.

Ïðèêëàä 1. 1,58333... . Äåñÿòêîâі íàáëèæåííÿ

öüîãî äðîáó òàêі:

(îêðóãëåíî äî îäèíèöü);

(îêðóãëåíî äî äåñÿòèõ);

(îêðóãëåíî äî ñîòèõ);

(îêðóãëåíî äî òèñÿ÷íèõ).

Ùîá çíàéòè äåñÿòêîâå íàáëèæåííÿ çâè÷àéíî-ãî äðîáó, ÿêå îêðóãëåíå äî äàíîãî ðîçðÿäó, äî-ñòàòíüî: 1) âèêîíàòè äіëåííÿ äî íàñòóïíîãî ðîçðÿäó;2) çíàéäåíèé ðåçóëüòàò îêðóãëèòè.

Ïðèêëàä 2. Îêðóãëèòè äî òèñÿ÷íèõ і îá÷èñëèòè: 4,5(3) ++ 7,(18).

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Îñêіëüêè 4,5(3) 4,5333… 4,533, à 7,(18) 7,1818 7,182, òî 4,5(3) + 7,(18) 4,533 + 7,182 11,715.

Ùî ðîçóìіþòü ïіä äåñÿòêîâèì íàáëèæåííÿì çâè÷àé-íîãî äðîáó? ßê çíàéòè äåñÿòêîâå íàáëèæåííÿ çâè-÷àéíîãî äðîáó, ÿêå îêðóãëåíå äî äàíîãî ðîçðÿäó?



59

289. Âіäîìî, ùî і . Çíàé-

äè äåñÿòêîâå íàáëèæåííÿ êîæíîãî ç öèõ çâè÷àéíèõ äðî-áіâ, îêðóãëåíå äî: 1) äåñÿòèõ; 2) ñîòèõ; 3) òèñÿ÷íèõ.

290. Âіäîìî, ùî . Çíàé äè äåñÿòêîâå íà-

áëèæåííÿ öüîãî çâè÷àéíîãî äðîáó, îêðóãëåíå äî:

1) äåñÿòèõ; 2) ñîòèõ; 3) òèñÿ÷íèõ.

291. Çíàé äè äåñÿòêîâå íàáëèæåííÿ äðîáó, îêðóãëåíå äî ñîòèõ:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

292. Çíàé äè äåñÿòêîâå íàáëèæåííÿ äðîáó, îêðóãëåíå äî äåñÿòèõ:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

293. Âåëîñèïåäèñò ïðîїõàâ 43 êì çà 3 ãîä. Çíàé äè éîãî øâèäêіñòü. (Âіäïîâіäü îêðóãëè äî òèñÿ÷íèõ êì/ãîä).

294. Ïîїçä ïðîїõàâ 307 êì çà 6 ãîä. Çíàé äè éîãî øâèä-êіñòü. (Âіäïîâіäü îêðóãëè äî ñîòèõ êì/ãîä.)

295. Çíàé äè êîðіíü ðіâíÿííÿ і îêðóãëè éîãî äî ñîòèõ:

1) 13õ 7; 2) 8 : õ 125; 3) 56õ 103; 4) 17 : õ 6.

296. Çíàé äè êîðіíü ðіâíÿííÿ і îêðóãëè éîãî äî ñîòèõ:

1) 19õ 25; 2) 7 : õ 57.

297. Ïëîùà ïðÿìîêóòíîї äіëÿíêè çåìëі 2730 ì2, à äî-âæèíà îäíієї çі ñòîðіí 55 ì. Çíàé äè äîâæèíó іíøîї ñòîðî-íè. (Âіäïîâіäü îêðóãëè äî ñîòèõ ìåòðà.)

298. Îá÷èñëè âèñîòó ïðÿìîêóòíîãî ïàðàëåëåïіïåäà, ÿêùî éîãî îá’єì äîðіâíþє 14 äì3, äîâæèíà — 3 äì, à øèðè-íà — 2,5 äì. (Âіäïîâіäü îêðóãëè äî äåñÿòèõ äåöèìåòðà.)

299. Âåëîñèïåäèñò çà ïåðøó ãîäèíó ïðîїõàâ êì, çà

äðóãó — êì, à çà òðåòþ — êì. Çíàé äè ñåðåäíþ

øâèäêіñòü ðóõó âåëîñèïåäèñòà. (Âіäïîâіäü îêðóãëè äî äå-ñÿòèõ êì/ãîä.)


Ðîçäië 2

60

300. Îêðóãëè ïåðіîäè÷íі äðîáè äî ñîòèõ і îá÷èñëè: 1) 2,(76) + 4,(5) – 3,(1); 2) 4,0(3) – 2,(7) – 0,(24).

301. Ñêîðîòè äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .


1) ; 2) ; 3) ; 4) .

303. ×è ìîæíà ÷èñëî 64 ïîäàòè ó âèãëÿäі ñóìè òðüîõ ïðîñòèõ ÷èñåë?


1. Ñêîðîòè äðіá: 1) ; 2) .

2. Çàïèøè äâà äðîáè, ÿêі äîðіâíþþòü äðîáó .

3. Ïîðіâíÿé äðîáè: 1) і ; 2) і .

4. Âèêîíàé äîäàâàííÿ: 1) ; 2) .

5. Âèêîíàé âіäíіìàííÿ: 1) ; 2) .

6. Ïåðåòâîðè ó äåñÿòêîâèé äðіá äàíå ÷èñëî (ó âèïàä-êó îòðèìàííÿ íåñêіí÷åííîãî äðîáó äіëåííÿ ïðèïèíè ïіñëÿ

âèçíà÷åííÿ ïåðіîäó): 1) ; 2) .

7. Çíàé äè âñі íàòóðàëüíі çíà÷åííÿ b, ïðè ÿêèõ є ïðà-

âèëüíîþ íåðіâíіñòü: 1) ; 2) .

8. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ, ïîïåðåäíüî ïåðåòâîðèâøè äå-ñÿòêîâèé äðіá ó çâè÷àéíèé, àáî ìіøàíі ÷èñëà ó äåñÿòêîâі

äðîáè: .

9. Çà ïåðøó ãîäèíó ðîçâàíòàæèëè îòðèìàíîãî âàí-

òàæó, çà äðóãó — 25 %, çà òðåòþ — , à çà ÷åòâåðòó —



61

ðåøòó. ßêó ÷àñòèíó îòðèìàíîãî âàíòàæó ðîçâàíòàæèëè çà ÷åòâåðòó ãîäèíó?



11. Çíàé äè áóäü-ÿêі äâà äðîáè, êîæíèé ç ÿêèõ áіëü-

øèé çà , àëå ìåíøèé âіä .

12. ßê çìіíèòüñÿ ñóìà òðüîõ äîäàíêіâ, ÿêùî îäèí ç

íèõ çáіëüøèòè íà , äðóãèé — çáіëüøèòè íà , à òðå-

òіé — çìåíøèòè íà 7,48?

14.14. Множення звичайних дробівІñíóє áàãàòî çàäà÷, ïðè ðîçâ’ÿçóâàííі ÿêèõ òðåáà ìíî-

æèòè çâè÷àéíі äðîáè. Ðîçãëÿíåìî îäíó ç òàêèõ çàäà÷.Çàäà÷à. Äîâæèíè ñòîðіí ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþþòü

äì і äì. Çíàéòè éîãî ïëîùó.

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Ùîá ðîçâ’ÿçàòè çàäà÷ó, çàïèøåìî ñòî-ðîíè ïðÿìîêóòíèêà äåñÿòêîâèìè äðîáàìè. Ìàєìî:

äì 0,3 äì; äì 0,43 äì і

S 0,3 0,43 0,129 (äì2).

Ïåðåòâîðèìî çíàéäåíèé äåñÿòêîâèé äðіá ó çâè÷àéíèé:

0,129 äì2 äì2.

Öåé ñàìèé ðåçóëüòàò ìîæíà çíàéòè, íå ïåðåòâîðþþ÷è çâè÷àéíі äðîáè â äåñÿòêîâі. ßê áà÷èìî, ÷èñåëüíèê äðîáó

äîðіâíþє äîáóòêó ÷èñåëüíèêіâ: 3 43, à çíàìåí-

íèê — äîáóòêó çíàìåííèêіâ, à ñàìå: 10 100. Çíàéäåíèé

äðіá і є äîáóòêîì äðîáіâ і . Ìàєìî:


Ðîçäië 2

62

.

Äîáóòîê äâîõ çâè÷àéíèõ äðîáіâ — öå äðіá, ÷è-ñåëüíèê ÿêîãî äîðіâíþє äîáóòêó ÷èñåëüíèêіâ, à çíàìåííèê — äîáóòêó çíàìåííèêіâ äàíèõ äðîáіâ:

.

ßêùî ìîæíà, òî ðåçóëüòàò òðåáà ñêîðîòèòè, ïðè÷îìó ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê êðàùå ñêîðîòèòè ïåðåä îá÷èñëåí-íÿì їõ äîáóòêіâ, ùî ñïðîñòèòü îá÷èñëåííÿ.

Ïðèêëàä 1. .

ßêùî ñåðåä ìíîæíèêіâ є íàòóðàëüíå ÷èñëî, òî éîãî çà-ìіíþþòü äðîáîì іç çíàìåííèêîì 1.

Ïðèêëàä 2. , àáî êîðîòøå:

.

ßêùî ñåðåä ìíîæíèêіâ є ìіøàíі ÷èñëà, òî їõ òðåáà ïå-ðåòâîðèòè â íåïðàâèëüíі äðîáè, à ïîòіì çàñòîñóâàòè ïðà-âèëî ìíîæåííÿ äðîáó íà äðіá.

Ïðèêëàä 3. .

ßêùî ç äâîõ ìíîæíèêіâ îäèí — çâè÷àéíèé äðіá, à äðó-ãèé ïîçíà÷åíî áóêâîþ, òî áóêâó çàïèñóþòü çà äðîáîì íà ðіâíі ðèñêè äðîáó. Íàãàäàєìî, ùî ïåðåä áóêâåíèì ìíîæ-íèêîì і ïåðåä äóæêàìè çíàê ìíîæåííÿ ìîæíà íå ïèñàòè.

Íàïðèêëàä, çàïèñ îçíà÷àє äîáóòîê .

Ìîæíà ïåðåêîíàòèñÿ, ùî âñі âèâ÷åíі ðàíіøå âëàñòèâîñ-òі ìíîæåííÿ (ïåðåñòàâíà, ñïîëó÷íà і ðîçïîäіëüíà) ñïðàâ-äæóþòüñÿ і äëÿ ìíîæåííÿ çâè÷àéíèõ äðîáіâ, à ñàìå: ÿêùî a, b, ñ – äðîáè, òî:



63

a · b b · a,a · (b · c) (a · b) · c,

a · (b + c) a · b + a · c,

a · (b – c) a · b – a · c.

Êðіì òîãî, a · 0 0 a 0;

à · 1 1 · à à.

Ïðèêëàä 4. Îá÷èñëèòè çðó÷íèì ñïîñîáîì:

1) ; 2) ; 3) .

Ðî çâ ’ÿ çàííÿ. 1) Âèêîðèñòîâóþ÷è ïåðåñòàâíó і ñïî-ëó÷íó âëàñòèâîñòі, ìàєìî:

.

2) Âèêîðèñòîâóþ÷è ðîçïîäіëüíó âëàñòèâіñòü, ìàєìî:

.

3) Ïîäàìî ñïî÷àòêó ó âèãëÿäі ñóìè öіëîї òà äðîáî-

âîї ÷àñòèí: , à ïîòіì çàñòîñóєìî ðîçïîäіëüíó

âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ. Ìàєìî:

.

ßê âèêîíóєòüñÿ ìíîæåííÿ äâîõ äðîáіâ і ÿê — ìíî-æåííÿ ìіøàíèõ ÷èñåë? ßêі âëàñòèâîñòі ñïðàâäæó-þòüñÿ ïðè ìíîæåííі äðîáіâ? ßê çà äîïîìîãîþ ðîç-ïîäіëüíîї âëàñòèâîñòі ìíîæåííÿ ìîæíà ïîìíîæèòè ìіøàíå ÷èñëî íà íàòóðàëüíå ÷èñëî?


1) ; 2) ; 3) ; 4) .


Ðîçäië 2

64


1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ; 12) .


1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ; 12) .

307. Çíàé äè ïåðèìåòð і ïëîùó êâàäðàòà, ñòîðîíà ÿêîãî äî-

ðіâíþє ì.

308. (Óñíî) Îá÷èñëè, âèêîðèñòîâóþ÷è ïåðåñòàâíó òà ñïîëó÷íó âëàñòèâîñòі ìíîæåííÿ:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

309. Âèêîíàé ìíîæåííÿ:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .


1) ; 2) ; 3) ; 4) .


1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .


1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .



65

313. ßêèé øëÿõ ïîäîëàє ìîòîöèêëіñò çà ãîä, ÿêùî

éîãî øâèäêіñòü 42 êì/ãîä?

314. 1 êã ïå÷èâà êîøòóє ãðí. Ñêіëüêè êîøòóє êã,

êã, êã, êã öüîãî ïå÷èâà?

315 . Âèêîíàé ìíîæåííÿ:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .


1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

317. Çíàé äè îá’єì ïðÿìîêóòíîãî ïàðàëåëåïіïåäà, ÿêùî

éîãî âèìіðè äîðіâíþþòü: ñì, ñì, ñì.

318. Îá÷èñëè ïëîùó ïðÿìîêóòíèêà, ÿêùî éîãî ñòîðîíè

äîðіâíþþòü: 1) ñì і ñì; 2) äì і äì.

319. Îá÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

320. Îá÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

321. Ïåðåòâîðè äåñÿòêîâі äðîáè ó çâè÷àéíі, à ïîòіì îá-÷èñëè:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

322. (Óñíî) Îá÷èñëè, çàñòîñîâóþ÷è ðîçïîäіëüíèé çàêîí ìíîæåííÿ:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .


Ðîçäië 2

66

323. Çíàé äè ìàñó ìåòàëåâîї äåòàëі, îá’єì ÿêîї äîðіâíþє

äì3, ÿêùî ìàñà 1 äì3 öüîãî ìåòàëó äîðіâíþє êã.

324. Ùîá ïîòðàïèòè â ãîñòі äî êðîêîäèëà Ãåíè, ×åáóðàøêà

ïðîéøîâ ïіøêè êì òà ùå ïðîїõàâ íà àâòîáóñі ãîä çі

øâèäêіñòþ êì/ãîä. ßêó âіäñòàíü ïîäîëàâ ×åáóðàøêà?

325. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó, âèêîðèñòîâóþ÷è ïåðåñòàâ-íó òà ñïîëó÷íó âëàñòèâîñòі ìíîæåííÿ:

1) ; 2) ; 3) .

326. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó, âèêîðèñòîâóþ÷è ïåðåñòàâ-íó òà ñïîëó÷íó âëàñòèâîñòі ìíîæåííÿ:

1) ; 2) ; 3) .

327. Ç îäíîãî ìіñòà îäíî÷àñíî â ïðîòèëåæíèõ íàïðÿìàõ âè їõàëè àâòîìîáіëü і ìіêðîàâòîáóñ. Øâèäêіñòü àâòîìîáіëÿ

êì/ãîä, à øâèäêіñòü ìіêðîàâòîáóñà — êì/ãîä.

ßêîþ áóäå âіäñòàíü ìіæ íèìè ÷åðåç ãîä?

328. Ç îäíîãî ïîðòó îäíî÷àñíî â îäíîìó íàïðÿìі âèðóøèëè

êàòåð і òåïëîõіä. Êàòåð ðóõàâñÿ çі øâèäêіñòþ êì/ãîä,

à òåïëîõіä — êì/ãîä. ßêà âіäñòàíü áóäå ìіæ íèìè

÷åðåç ãîä?

329. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó, âèêîðèñòîâóþ÷è ðîçïî-äіëüíó âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ:

1) ; 2) ;



67

3) ; 4) .

330. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó, âèêîðèñòîâóþ÷è ðîçïî-äіëüíó âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .


1) ; 2) ; 3) .


1) ; 2) .

333. Ðîçêðèé äóæêè:

1) ; 2) ; 3) .

334. Ñïðîñòè âèðàç òà îá÷è ñëè éîãî çíà-

÷åííÿ, ÿêùî .

335. Ñïðîñòè âèðàç òà îá÷èñëè éîãî çíà-

÷åííÿ, ÿêùî y 30; .

336. Ìàòè êóïèëà êã àïåëüñèíіâ çà öіíîþ ãðí çà

êіëîãðàì òà êã ÿáëóê çà öіíîþ ãðí. Çà ÿêі ôðóêòè,

àïåëüñèíè ÷è ÿáëóêà, ìàòè çàïëàòèëà áіëüøå і íà ñêіëüêè?

337. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ .



Ðîçäië 2

68

339. Íå âèêîíóþ÷è ìíîæåííÿ, ïîðіâíÿé çíà÷åííÿ âèðàçіâ:

1) і ; 2) і ; 3) і .

340. Ïåðåòâîðè ó çâè÷àéíі äðîáè: 5 %; 7 %; 14 %;

20 %; 52 %; 100 %; 120 %.

341. Ïåðèìåòð òðèêóòíèêà äîðіâíþє ñì. Äâі

ñòîðîíè òðèêóòíèêà äîðіâíþþòü ñì òà ñì.

Çíàé äè òðåòþ ñòîðîíó òðèêóòíèêà. ßê íàçèâàþòü òà-êèé òðèêóòíèê?

342. ßê çà äîïîìîãîþ âіäåð, ùî âìіùóþòü 5 ë і 7 ë, íàëèòè ç êðàíó â àêâàðіóì 6 ë âîäè?

15.15. Знаходження дробу від числаÐîçãëÿíåìî çàäà÷ó, ùî çâî-

äèòüñÿ äî çíàõîäæåííÿ äðîáó âіä ÷èñëà.

Çàäà÷à 1. Ó êëàñі 30 ó÷íіâ,

іç íèõ õëîïöі. Ñêіëüêè õëîïöіâ ó

êëàñі?Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. (Ìàë. 3).

1) 30 : 5 6 (ó÷.) — ñòàíîâèòü âіä 30 ó÷íіâ;

2) 6 2 12 (ó÷.) — ñòàíîâèòü âіä 30 ó÷íіâ.

Îòæå, ó êëàñі 12 õëîïöіâ.

Ðîçâ’ÿçàííÿ öієї çàäà÷і ìîæíà çàïèñàòè іíàêøå:

(ó÷.).

Îòæå, êіëüêіñòü õëîïöіâ ó êëàñі ìîæíà çíàéòè, ÿêùî

ïîìíîæèòè êіëüêіñòü óñіõ ó÷íіâ (30) íà äðіá . Ïðè ðîçâ’ÿ-

çóâàííі çàäà÷і çíàéøëè äðіá âіä ÷èñëà 30.

Ìàë. 3



69

Çàäà÷і íà çíàõîäæåííÿ äðîáó âіä ÷èñëà ðîçâ’ÿçóþòü äієþ ìíîæåííÿ.

Ùîá çíàéòè äðіá âіä ÷èñëà, äîñòàòíüî ÷èñëî ïîìíîæèòè íà öåé äðіá.

Çàäà÷à 2. Øèðèíà ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 12 ñì, à äîâ-

æèíà ñòàíîâèòü øèðèíè. Çíàéòè äîâæèíó ïðÿìîêóòíèêà.

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Äîâæèíà ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє

(ñì).

Çàäà÷à 3. Ó êíèæöі 140 ñòîðіíîê. Ïåðøîãî äíÿ ó÷åíü ïðî÷èòàâ 0,3 âіä óñі єї êіëüêîñòі ñòîðіíîê. Ñêіëüêè ñòîðі-íîê ïðî÷èòàâ ó÷åíü ïåðøîãî äíÿ?

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Îñêіëüêè , òî äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ

çàäà÷і òðåáà ïîìíîæèòè 140 íà , òîáòî (ñ.).

Îòæå, ïåðøîãî äíÿ ó÷åíü ïðî÷èòàâ 42 ñòîðіíêè. Òîé ñà-ìèé ðåçóëüòàò îòðèìàєìî, ÿêùî ïîìíîæèòè 140 íà 0,3: 140 0,3 42.

Ðîçãëÿíåìî ÿê ìîæíà çàñòîñóâàòè öå ïðàâèëî äëÿ çíà-õîäæåííÿ âіäñîòêіâ âіä ÷èñëà.

Çàäà÷à 4. Òóðèñò ïîâèíåí ïðîéòè 12 êì. Çà ïåðøó ãî-äèíó âіí ïðîéøîâ 25 % öієї âіäñòàíі. Ñêіëüêè êіëîìåòðіâ ïðîéøîâ òóðèñò çà ïåðøó ãîäèíó?

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Çàïèøåìî 25 % äåñÿòêîâèì і çâè÷àé-

íèì äðîáîì: 25 % 0,25 . Ïîìíîæèìî äàíå ÷èñëî

íà öåé äðіá: 12 0,25 3, àáî .

Îòæå, çà ïåðøó ãîäèíó òóðèñò ïðîéøîâ 3 êì.

Ñôîðìóëþé ïðàâèëî çíàõîäæåííÿ äðîáó âіä ÷èñëà. ßê çíàéòè âіäñîòêè âіä ÷èñëà?

343. (Óñíî) Çíàé äè:

1) âіä 16; 2) âіä 7; 3) 0,4 âіä 100; 4) 30 % âіä 40.


Ðîçäië 2

70


1) âіä 24; 2) âіä 12; 3) 0,7 âіä 40;

4) 0,32 âіä 10; 5) 10 % âіä 27; 6) 20 % âіä 30.


1) âіä 180; 2) âіä 15; 3) 0,5 âіä 10;

4) 0,47 âіä 100; 5) 50 % âіä 2; 6) 30 % âіä 40.

346. Ïåòðî çіáðàâ 40 ãðèáіâ, ç ÿêèõ — ìàñëþêè. Ñêіëü-

êè ìàñëþêіâ çіáðàâ Ïåòðî?

347. Ìàñà áåãåìîòà 2000 êã, à ìàñà íîñîðîãà ñòàíîâèòü

ìàñè áåãåìîòà. Çíàé äè ìàñó íîñîðîãà.

348. Ïëîùà îäíієї êіìíàòè 21 ì2, à ïëîùà äðóãîї ñòà-

íîâèòü âіä ïëîùі ïåðøîї êіìíàòè. Çíàé äè ïëîùó îáîõ

êіìíàò ðàçîì.

349. Ïîøòàðêà ìàє äîñòàâèòè àäðåñàòàì 96 ëèñòіâ, ïðè-

÷îìó êіëüêîñòі ëèñòіâ âîíà äîñòàâèëà äî îáіäó. Ñêіëüêè

ëèñòіâ çàëèøèëîñÿ ïîøòàðöі äîñòàâèòè àäðåñàòàì?

350. Äâі áðèãàäè òðàêòîðèñòіâ çîðàëè 550 ãà çåìëі, ïðè-

÷îìó ïåðøà áðèãàäà âèêîíàëà öüîãî îáñÿãó. Ñêіëüêè

ãåêòàðіâ çåìëі çîðàëà äðóãà áðèãàäà?

351. Çàïèøè çâè÷àéíèì äðîáîì:

1) 20 %; 2) %; 3) %; 4) %.

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. 4) Îñêіëüêè 1% , òî

% .



71

352. Çàïèøè ó âèãëÿäі âіäñîòêіâ äðіá:

1) ; 2) ; 3) ; 4) 0,215; 5) 2,7; 6) 4,19.

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. 3) Îñêіëüêè 1 100 %, òî

.

353. Çàïèøè:

1) çâè÷àéíèì äðîáîì: 5 %; %; %; %;

2) ó âèãëÿäі âіäñîòêіâ: ; ; ; 1,8.

354. Äîâæèíà ïðÿìîêóòíèêà 24 ñì, à øèðèíà ñòàíîâèòü 75 % äîâæèíè. Çíàé äè ïëîùó ïðÿìîêóòíèêà.

355. Äîâæèíà ïðÿìîêóòíèêà 25 ñì, à øèðèíà ñòàíîâèòü

äîâæèíè. Îá÷èñëè ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà.

356. Çíàéêî ïðî÷èòàâ êíèæêè, ÿêà ìàє a ñòîðіíîê.

Ñêëàäè âèðàç äëÿ çíàõîäæåííÿ êіëüêîñòі ñòîðіíîê, ÿêі ïðî÷èòàâ Çíàéêî, òà çíàéäè éîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî a 180.

357. Çíàé äè:

1) âіä 0,35; 2) 0,24 âіä ; 3) 8,5 % âіä 34,6.

358. Çíàé äè:

1) âіä 0,27; 2) 0,36 âіä ; 3) 4,2% âіä 24,5.

359. Ìîðñüêà âîäà ìіñòèòü 7 % ñîëі. Ñêіëüêè ñîëі ìіñòèòü-ñÿ â 340 êã ìîðñüêîї âîäè?

360. Òîêàð ìàâ âèãîòîâèòè çà äåíü 200 äåòàëåé. Àëå âіí ïåðåâèêîíàâ çàâäàííÿ íà 5 %. Ñêіëüêè äåòàëåé âèãîòîâèâ òîêàð?

361. Íà áàçó ïðèâåçëè 2800 êã êàðòîïëі. Ç íèõ 45 % ïðè-âåçëè ïåðøîãî äíÿ, à ðåøòó — äðóãîãî. Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ êàðòîïëі ïðèâåçëè ïåðøîãî äíÿ і ñêіëüêè äðóãîãî?

362. Ïіä ÷àñ ñóøіííÿ ÿáëóêà âòðà÷àþòü ñâîєї ìàñè.

Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ ñóøåíèõ ÿáëóê âèéäå ç 240 êã ñâіæèõ?


Ðîçäië 2

72

363. Çà òðè äíі çіáðàëè 532 êã íàñіííÿ ñîíÿøíèêà.

Ó ïåðøèé äåíü çіáðàëè , ó äðóãèé — öієї ìàñè. Ñêіëü-

êè êіëîãðàìіâ íàñіííÿ áóëî çіáðàíî â òðå òіé äåíü?

364. Òðè êîíäèòåðè âèãîòîâèëè 270 òîðòіâ. Ïåðøèé âè-

êîíàâ öієї ðîáîòè, äðóãèé — , à òðåòіé — ðåøòó. Ïî

ñêіëüêè òîðòіâ âèãîòîâèâ êîæåí êîíäèòåð?

365. Íà áàçі áóëî 270 ö êàðòîïëі. Ñïî÷àòêó âèâåçëè âіä

öієї ìàñè, à ïîòіì — âіä òîãî, ùî çàëèøèëîñÿ. Ñêіëüêè

öåíòíåðіâ êàðòîïëі ïіñëÿ öüîãî çàëèøèëîñÿ íà áàçі?

366. Âіä ñòðі÷êè äîâæèíîþ 40 ì ñïî÷àòêó âіäðіçàëè її

äîâæèíè, à ïîòіì — 0,45 ðåøòè. Ñêіëüêè ìåòðіâ ñòðі÷êè âіäðіçàëè çà äðóãèé ðàç?

367. Àâòîìîáіëü çà 3 ãîä ïðîїõàâ 234 êì. Çà ïåðøó ãîäèíó

âіí ïðîїõàâ öієї âіäñòàíі, çà äðóãó — 0,4 ðåøòè. ßêó

âіäñòàíü ïðîїõàâ àâòîìîáіëü çà òðåòþ ãîäèíó?

368. Ùî áіëüøå: 18,7 % âіä 12,7 ÷è 12,7 % âіä 18,7?

369. ßêå іç ÷èñåë x àáî y є áіëüøèì (õ òà ó íå äîðіâíþþòü íóëþ), ÿêùî:

1) âіä x äîðіâíþє âіä y;

2) âіä x äîðіâíþє âіä y?

370. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ і âèêîíàé ïåðåâіðêó:1) 3x 1; 2) x 13 1; 3) 0,2x 1.

371. Âèêîðèñòîâóþ÷è öèôðè 0, 1, 2, 3, 5, çàïè-øè íàéáіëüøå òà íàéìåíøå òðèöèôðîâі ÷èñëà, êðàòíі ÷èñëó 3 òàê, ùîá öèôðè â êîæíîìó ÷èñëі íå ïîâòîðþ-âàëèñÿ.

372. Çíàé äè íåâіäîìі ÷èñëà òà ñêëàäè íàçâó ñòîëèöі єâðî ïåéñüêîї äåðæàâè.



73

16.16. Взаємно обернені числа

Ðîçãëÿíåìî äðіá і ïîìіíÿєìî â íüîìó ÷èñåëüíèê і

çíàìåííèê ìіñöÿìè. Îòðèìàєìî äðіá .

ßêùî òåïåð ïîìíîæèòè äðіá íà , òî îòðèìàєìî 1:

.

Òàêîæ îòðèìàєìî 1 ïðè ìíîæåííі 5 íà , íà òîùî.

Äâà ÷èñëà, äîáóòîê ÿêèõ äîðіâíþє 1, íàçèâàþòü âçàєìíî îáåðíåíèìè.

Ëåãêî çðîáèòè âèñíîâîê: ùîá çíàéòè äðіá âçàєìíî îáåð-íåíèé ç äàíèì çâè÷àéíèì äðîáîì, òðåáà ÷èñåëüíèê і çíà-

ìåííèê äðîáó ïîìіíÿòè ìіñöÿìè (íàïðèêëàä, і — âçà-

єìíî îáåðíåíі ÷èñëà, ìîæíà ãîâîðèòè іíàêøå: îáåðíåíèé

äî ). ×èñëî, îáåðíåíå äî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà, — öå äðіá, ÷èñåëüíèê ÿêîãî 1, à çíàìåííèê — öå ñàìå íàòóðàëüíå

÷èñëî îáåðíåíèì äî ÷èñëà 13 є ÷èñëî .

Ïðèêëàä 1. Çíàéòè ÷èñëî, îáåðíåíå äî ÷èñëà: 1) ; 2) 1,3.

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. 1) Çàïèøåìî ó âèãëÿäі íåïðàâèëüíî-

ãî äðîáó . Îáåðíåíèì äî ÷èñëà áóäå .


Ðîçäië 2

74

2) . Îáåðíåíèì äî ÷èñëà 1,3 áóäå ÷èñëî .

Ïðèêëàä 2. Çíàéòè çíà÷åííÿ äîáóòêó .

Ðî çâ ’ÿ çàííÿ .

.

Ïðèêëàä 3. Ðîçâ’ÿçàòè ðіâíÿííÿ .

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Îñêіëüêè äîáóòîê ÷èñåë і x äîðіâ-

íþє 1, òî x – îáåðíåíå äî ÷èñëà . Îòæå, x .

ßêі ÷èñëà íàçèâàþòü âçàєìíî îáåðíåíèìè? ßê çà-ïèñàòè ÷èñëî, îáåðíåíå äî çâè÷àéíîãî äðîáó? ßê çàïèñàòè ÷èñëî, îáåðíåíå äî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà? ßê çàïèñàòè ÷èñëî, îáåðíåíå äî ìіøàíîãî ÷èñëà;

äî äåñÿòêîâîãî äðîáó?

373. (Óñíî) 1) ßêå ÷èñëî є îáåðíåíèì äî îäèíèöі? 2) ×è іñíóє ÷èñëî, îáåðíåíå ÷èñëó íóëü?

374. Çíàé äè ÷èñëî, îáåðíåíå ÷èñëó:

1) ; 2) ; 3) ; 4) 6; 5) 17; 6) .

375. Ïåðåòâîðè äåñÿòêîâèé äðіá ó çâè÷àéíèé і çíàéäè îáåðíåíå äî íüîãî ÷èñëî:

1) 0,1; 2) 0,13; 3) 0,02; 4) 0,25; 5) 0,36; 6) 0,45.


1) ; 2) ; 3) 4; 4) ; 5) 0,2; 6) 0,24.

377. ×è áóäóòü âçàєìíî îáåðíåíèìè ÷èñëà:

1) і ; 2) 0,3 і ; 3) 0,2 і 0,5; 4) 0,125 і 8?

378. ×è áóäóòü âçàєìíî îáåðíåíèìè ÷èñëà:

1) і ; 2) 0,4 і ; 3) 5 і 0,2; 4) 0,7 і ?



75

379. Çíàé äè ÷èñëî, îáåðíåíå äî ÷èñëà:

1) ; 2) ; 3) ; 4) 1,8; 5) 2,55; 6) 7,38.

380. Çíàé äè ÷èñëî, îáåðíåíå äî ÷èñëà:

1) ; 2) ; 3) ; 4) 2,4; 5) 3,45; 6) 5,38.

381. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) 0,8x 1.

382. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) 0,9x 1.

383. Îá÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) 0,4 (9,8 2,5).

384. (Óñíî) ×è ïðàâèëüíî, ùî:1) äî êîæíîãî ÷èñëà іñíóє éîìó îáåðíåíå;2) іñíóþòü ÷èñëà, îáåðíåíі äî ñàìèõ ñåáå?

385. Çíàé äè ÷èñëî, îáåðíåíå:

1) ñóìі ÷èñåë і ; 2) ðіçíèöі ÷èñåë і .

386. Çíàé äè ÷èñëî, îáåðíåíå:

1) ñóìі ÷èñåë і ; 2) ðіçíèöі ÷èñåë і .


1) ; 2) ; 3) ; 4) b; 5) ; 6) .

388. Ñïðîñòè âèðàç:

1) ; 2) ; 3) .

389. Ñêëàäè çàäà÷і çà ñõåìàìè òà ðîçâ’ÿæè їõ. Ñòðіëêà íàïðÿìëåíà äî áіëüøîãî ÷èñëà.


Ðîçäië 2

76

390. ßê іç øåñòè ñіðíèêіâ ñêëàñòè 4 ðіâíîñòîðîííіõ òðèêóòíèêè çі ñòîðîíîþ, ùî äîðіâíþє äîâæèíі ñіðíèêà?

17.17. Ділення звичайних дробів

Íàãàäàєìî, ùî äіëåííÿ — öå äіÿ, çà äîïîìîãîþ ÿêîї çà äîáóòêîì і îäíèì ç ìíîæíèêіâ ìîæíà çíàéòè äðóãèé ìíîæíèê.

Îñêіëüêè , òî , îñêіëüêè , òî

.

Âèñëîâèìî ïðèïóùåííÿ: ùîá ïîäіëèòè ÷èñëî íà çâè÷àé-íèé äðіá, òðåáà ïîìíîæèòè éîãî íà ÷èñëî, îáåðíåíå äî äіëü-

íèêà. Ñïðàâäі, і . Ïåðåâіðèìî íàøå ïðèïó-

ùåííÿ ùå é íà òàêîìó ïðèêëàäі.

Ïðèêëàä 1. Çíàéòè ÷àñòêó .

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Çàìіíèìî äіëåííÿ ìíîæåííÿì íà ÷èñ-ëî, îáåðíåíå äî äіëüíèêà, à ïîòіì âèêîíàєìî ïåðåâіðêó:

.

Ïåðåâ іðêà. .

×àñòêîþ äâîõ äðîáіâ є äðіá, ùî äîðіâíþє äî-áóòêó äіëåíîãî íà äðіá, îáåðíåíèé äî äіëüíèêà:

.

Ðîçãëÿíåìî ùå îäèí ïðèêëàä.

Ïðèêëàä 2. .



77

ßêùî ñåðåä äàíèõ є ìіøàíі ÷èñëà, òî їõ òðåáà ïåðåòâî-ðèòè â íåïðàâèëüíі äðîáè і òіëüêè ïіñëÿ öüîãî âèêîíàòè äіëåííÿ.

Ïðèêëàä 3. .

ßêùî ñåðåä äàíèõ є íàòóðàëüíі ÷èñëà, òî їõ çàïèñóþòü ó âèãëÿäі äðîáó іç çíàìåííèêîì 1.

Ïðèêëàä 4. .

Ïðèêëàä 5. .

Îñêіëüêè áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì íóëÿ, ìàє îáåðíåíå ÷èñ-ëî, òî äіëåííÿ âèêîíóєìî áåç îáìåæåíü, êðіì äіëåííÿ íà íóëü. Íà íóëü äіëèòè íå ìîæíà!

Ñôîðìóëþé ïðàâèëî äіëåííÿ äðîáіâ. ßê âèêîíó-þòü äіëåííÿ ìіøàíèõ ÷èñåë? ßê âèêîíóþòü äіëåí-íÿ, êîëè ñåðåä êîìïîíåíòіâ є íàòóðàëüíå ÷èñëî?


1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

392. Âèêîíàé äіëåííÿ:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) .

393. Âèêîíàé äіëåííÿ:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) .

394. Çíàé äè çíà÷åííÿ ÷àñòêè:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .


Ðîçäië 2

78

395. Çíàé äè çíà÷åííÿ ÷àñòêè:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .


1) ; 2) ; 3) ; 4) .


1) ; 2) ; 3) ; 4) .

398. Ïëîùà ïðÿìîêóòíèêà ì2. Çíàé äè éîãî äîâæèíó,

ÿêùî øèðèíà äîðіâíþє ì.

399. Ñêіëüêè êîøòóє 1 ì òêàíèíè, ÿêùî ì êîøòóє

ãðí?

400. Âåëîñèïåäèñò ïðîїõàâ 12 êì çà ãîä. Çíàé äè éîãî

øâèäêіñòü.

401. Ç äîñëіäíèöüêîї äіëÿíêè, ïëîùà ÿêîї ãà, çіáðàëè

300 ö ïøåíèöі. Ñêіëüêè öåíòíåðіâ ïøåíèöі â ñåðåäíüîìó çіáðàëè ç 1 ãà?

402. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî ; ; 18; .

403. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî ; ; .


1) ; 2) ; 3) ; 4) .


1) ; 2) ; 3) ; 4) .

406. Ñêіëüêè êîøòóє 2 êã öóêåðîê, ÿêùî çà êã çàïëà-

òèëè 42 ãðí?



79

407. Äîâæèíà ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 14 äì, à øèðèíà —

â ðàçà ìåíøà. Çíàé äè ïëîùó ïðÿìîêóòíèêà.

408. Äîâæèíà ïðÿìîêóòíîãî ïàðàëåëåïіïåäà äîðіâíþє

12 ñì, øèðèíà — â ðàçà ìåíøà âіä äîâæèíè, à âè-

ñîòà — â ðàçà ìåíøà âіä øèðèíè. Çíàé äè îá’єì ïðÿ-

ìîêóòíîãî ïàðàëåëåïіïåäà.

409. Îá’єì îäíієї êіìíàòè 48 ì3, à äðóãîї — â ðàçà ìåí-

øèé. Çíàé äè îá’єì îáîõ êіìíàò ðàçîì.

410. Ïåðåòâîðè äåñÿòêîâèé äðіá ó çâè÷àéíèé, à ïîòіì îá-

÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

411. Ïåðåòâîðè äåñÿòêîâèé äðіá ó çâè÷àéíèé, à ïîòіì îá-

÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

412. Âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè 210 êì ïîòÿã ïðîéøîâ çà ãîä.

Íàçàä âіí éøîâ çі øâèäêіñòþ 50 êì/ãîä. Áіëüøîþ ÷è ìåíøîþ áóëà øâèäêіñòü ïîòÿãà íà çâîðîòíîìó øëÿõó? Ó ñêіëüêè ðàçіâ?

413. Îäíà ñòîðîíà òðèêóòíèêà äîðіâíþє ñì, äðóãà і

òðåòÿ — âіäïîâіäíî â òà ðàçà êîðîòøі âіä ïåðøîї.

Çíàé äè ïåðèìåòð òðèêóòíèêà.

414. Îá÷èñëè: 1) ; 2) .

415. Îá÷èñëè: 1) ; 2) .

416. Ïåðøèé àâòîìîáіëü çà ãîä ïðîéøîâ 60 êì, à äðóãèé

çà ãîä — 54 êì. ßêèé àâòîìîáіëü ìàâ áіëüøó øâèäêіñòü?

Ó ñêіëüêè ðàçіâ?


Ðîçäië 2

80

417. Â îäíîìó ÿùèêó 16 êã ÿá -

ëóê, ùî â ðàçà áіëüøå, íіæ ó

äðóãîìó, і â ðàçà ìåíøå, íіæ

ó òðåòüîìó. Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ ÿáëóê ó òðüîõ ÿùèêàõ ðàçîì?

418. Îäèí ç ðîáіòíèêіâ ìîæå âèêîíàòè çàìîâëåííÿ çà 30 ãîä, à äðóãèé — çà 45 ãîä. Çà ñêіëüêè ãîäèí âîíè âè-êîíàþòü çàìîâëåííÿ, ïðàöþþ÷è ðàçîì?

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Îñêіëüêè ïåðøèé ðîáіòíèê âèêîíóє çà-

ìîâëåííÿ çà 30 ãîä, òî çà îäíó ãîäèíó âіí âèêîíóє çà-

ìîâëåííÿ. Àíàëîãі÷íî, äðóãèé ðîáіòíèê âèêîíóє çà îäíó

ãîäèíó çàìîâëåííÿ. Ïðàöþþ÷è ðàçîì, âîíè âèêîíà-

þòü çà îäíó ãîäèíó òàêó ÷àñòèíó çàìîâëåííÿ:

.

Òîìó îáñÿã âèêîíàíîї ðîáîòè (ÿêèé ïðèéìàєìî çà 1) ðîáіòíèêè, ïðàöþþ÷è ðàçîì, âèêîíàþòü çà

(ãîä).

Â іäïîâ іäü. 18 ãîä.

419. ×åðåç îäíó òðóáó áàñåéí ìîæíà íàïîâíèòè çà 6 ãîä, à ÷åðåç äðóãó — çà 12 ãîä. Çà ñêіëüêè ãîäèí íàïîâíèòüñÿ áàñåéí, ÿêùî îáèäâі òðóáè âіäêðèòè îäíî÷àñíî?


1) ; 2) ;

3) ; 4) .


1) ; 2) ;



81

3) ; 4) .

422. Äâà âåëîñèïåäèñòè âèїõàëè îäíî÷àñíî ç îäíîãî ïóíê-òó ó ïðîòèëåæíèõ íàïðÿìàõ. Øâèäêіñòü îäíîãî ç íèõ

15 êì/ãîä, à äðóãîãî — â ðàçà ìåíøà. ×åðåç ñêіëüêè

ãîäèí âіäñòàíü ìіæ íèìè áóäå 72 êì?

423. Àâòîáóñ і ëåãêîâèé àâòîìîáіëü ðóõàþòüñÿ íàçóñòðі÷ îäèí îäíîìó. Øâèäêіñòü ëåãêîâîãî àâòîìîáіëÿ 90 êì/ãîä,

à øâèäêіñòü àâòîáóñà — ó ðàçà ìåíøà. ×åðåç ñêіëüêè

ãîäèí âîíè çóñòðіíóòüñÿ, ÿêùî çàðàç ìіæ íèìè 168 êì?


1) ;

2) .


1) ;

2) .

426. ×îâåí ïðîïëèâ êì çà òå÷ієþ ðі÷êè çà ãîä.

Íà ñêіëüêè áіëüøå ÷àñó áóäå òðèâàòè çâîðîòíèé øëÿõ,

ÿêùî øâèäêіñòü òå÷ії ñòàíîâèòü êì/ãîä?

427. Ó äâîõ öèñòåðíàõ 120 ò íàôòè. Â îäíіé ç íèõ íàôòè â

ðàçà ìåíøå, íіæ ó äðóãіé. Ñêіëüêè òîíí íàôòè â êîæ-

íіé öèñòåðíі?

428. Áàòüêî ñòàðøèé çà ñèíà â ðàçà, à ñèí ìîëîäøèé

çà áàòüêà íà 26 ðîêіâ. Ñêіëüêè ðîêіâ áàòüêîâі і ñêіëüêè ñèíó?


Ðîçäië 2

82

429. Äâîє áðàòіâ çáèðàëè ãðèáè, ïðè÷îìó ñòàðøèé áðàò

çіáðàâ ó ðàçà áіëüøå ãðèáіâ, íіæ ìîëîäøèé. Ñêіëüêè

ãðèáіâ çіáðàâ êîæåí ç áðàòіâ, ÿêùî ìîëîäøèé áðàò çіáðàâ íà 30 ãðèáіâ ìåíøå, íіæ ñòàðøèé?

430. Ïîðіâíÿé:

1) âіä 2 ö і âіä 1 ò;

2) 15 % âіä 6 äì і 4 % âіä 3 ì.

431. Çà òðè äíі çîðàëè 288 ãà çåìëі. Ïåðøîãî

äíÿ çîðàëè 62,5 % öієї ïëîùі, à äðóãîãî — ðåøòè.

Ñêіëüêè ãåêòàðіâ çåìëі çîðàëè òðåòüîãî äíÿ?

432. Ç öèôð 0, 1, 5, 7 óòâîðè âñі ìîæëèâі ÷îòèðè-öèôðîâі ÷èñëà, êðàòíі ÷èñëó 5 (öèôðè ó çàïèñó ÷èñëà íå ïîâòîðþþòüñÿ). ßêі ç öèõ ÷èñåë êðàòíі ÷èñëó 2?

433. Ó ñêіëüêè ðàçіâ ñõîäè íà 6-é ïîâåðõ äîâøі âіä ñõîäіâ íà 2-é ïîâåðõ öüîãî ñàìîãî áóäèíêó?

18.18. Знаходження числа за його дробомÐîçãëÿíåìî çàäà÷ó, ùî çâîäèòüñÿ äî çíàõîäæåííÿ ÷èñ-

ëà çà éîãî äðîáîì.

Çàäà÷à 1. Ñåðãіé ïðî÷èòàâ 120 ñòîðіíîê. Öå ñòàíîâèòü

êíèæêè. Ñêіëüêè ñòîðіíîê ó êíèæöі?

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Óìîâó çàäà÷і çîáðàæåíî íà ìàëþíêó 4.

1) 120 : 3 40 (ñ.) — ïðèïà-

äàє íà êíèæêè;

2) 40 5 200 (ñ.) — óñüîãî ñòîðіíîê.

Îòæå, ó êíèæöі 200 ñòîðіíîê. Ðîçâ’ÿçàííÿ öієї çàäà÷і ìîæíà çàïèñàòè іíàêøå:

Ìàë. 4



83

(ñ.).

Îòæå, êіëüêіñòü ñòîðіíîê ó êíèæöі ìîæíà çíàéòè, ÿêùî

ïîäіëèòè ÷èñëî 120 íà äðіá .

Ó çàäà÷і âіäîìî, ùî êíèæêè — öå 120 ñòîðіíîê, à

òðåáà çíàéòè çàãàëüíó êіëüêіñòü ñòîðіíîê. Òîáòî âіäîìî, ñêіëüêè ñòàíîâèòü äðіá âіä ÷èñëà, à òðåáà çíàéòè ñàìå ÷èñ-ëî. Îòæå, ìàєìî çàäà÷ó íà çíàõîäæåííÿ ÷èñëà çà éîãî äðî-áîì. Ðîçâ’ÿçóþòü її äієþ äіëåííÿ.

Ùîá çíàéòè ÷èñëî çà éîãî äðîáîì, äîñòàòíüî íà öåé äðіá ïîäіëèòè ÷èñëî, ÿêå éîìó âіäïîâіäàє.

Çàäà÷à 2. Çà ïåðøó ãîäèíó âåëîñèïåäèñò ïðîїõàâ 16,8 êì,

ùî ñòàíîâèòü âіäñòàíі âіä ñåëà äî ìіñòà. ßêà âіäñòàíü

âіä ñåëà äî ìіñòà?

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Âіäñòàíü âіä ñåëà äî ìіñòà äîðіâíþє

(êì).

Çàäà÷à 3. Æèòîì çàñіÿíî 1800 ãà, ùî ñòàíîâèòü 0,9 ïîëÿ. Çíàéòè ïëîùó âñüîãî ïîëÿ.

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Îñêіëüêè , òî äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ

çàäà÷і íåîáõіäíî ïîäіëèòè 1800 íà . Îòðèìàєìî:

.

Îòæå, ïëîùà âñüîãî ïîëÿ 2000 ãà. ßêùî 1800 ïîäіëèìî íà 0,9, îòðèìàєìî òîé ñàìèé ðåçóëüòàò:

1800 : 0,9 18 000 : 9 2000.Ðîçãëÿíåìî, ÿê ìîæíà çàñòîñóâàòè öå ïðàâèëî äëÿ çíà-

õîäæåííÿ ÷èñëà çà éîãî âіäñîò êàìè.

Çàäà÷à 4. Ó øêіëüíіé ìàòåìàòè÷íіé îëіìïіàäі âçÿëè ó÷àñòü 12 ó÷íіâ 6-ãî êëàñó, ùî ñòàíîâèòü 40 % âіä óñіõ ó÷íіâ êëàñó. Ñêіëüêè ó÷íіâ ó êëàñі?


Ðîçäië 2

84

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Ùîá âіäïîâіñòè íà çàïèòàííÿ çàäà÷і, òðåáà çíàéòè òàêå ÷èñëî, 40 % ÿêîãî äîðіâíþþòü 12. Çà-ïèøåìî 40 % äåñÿòêîâèì äðîáîì і çâè÷àéíèì äðîáîì:

.

Ïîäіëèìî íà öåé äðіá ÷èñëî, ÿêå éîìó âіäïîâіäàє:

12 : 0,4 30, àáî .

Îòæå, ó êëàñі 30 ó÷íіâ.

Ñôîðìóëþé ïðàâèëî çíàõîäæåííÿ ÷èñëà çà éîãî äðî-áîì. ßê ìîæíà çíàéòè ÷èñëî çà äåñÿòêîâèì äðîáîì і çà éîãî âіäñîòêàìè?

434. (Óñíî) Çíàé äè ÷èñëî, ÿêùî:

1) éîãî äîðіâíþє 8; 2) éîãî äîðіâíþє 7.

435. ßêà äîâæèíà âіäðіçêà, ÿêùî éîãî äîðіâíþє 8 ñì?

436. Áðèãàäà çà ïåðøèé äåíü çîðàëà 120 ãà, ùî ñòàíîâèòü

ïîëÿ. Çíàé äè ïëîùó ïîëÿ.

437. Çíàé äè ÷èñëî:

1) ÿêîãî äîðіâíþþòü 72;

2) ÿêîãî äîðіâíþþòü 4,5;

3) 0,9 ÿêîãî äîðіâíþþòü 216;


5) 36 % ÿêîãî äîðіâíþþòü 27;

6) % ÿêîãî äîðіâíþþòü 11,7.

438. Çíàé äè ÷èñëî:

1) ÿêîãî äîðіâíþþòü 42;



85


3) 0,8 ÿêîãî äîðіâíþþòü 60;


5) 17 % ÿêîãî äîðіâíþþòü 153;

6) % ÿêîãî äîðіâíþþòü 9,4.

439. Ó êëàñі 12 õëîïöіâ. Öå ñòàíîâèòü âіä óñіõ ó÷íіâ

êëàñó. Ñêіëüêè ó÷íіâ ó êëàñі?

440. Øèðèíà ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 24 ñì, ùî ñòàíîâèòü

éîãî äîâæèíè. Çíàé äè ïåðèìåòð òà ïëîùó ïðÿìîêóòíèêà.

441. Ìàñà áîðîøíà, âèêîðèñòàíîãî äëÿ âèïіêàííÿ õëіáà, ñòàíîâèòü 75 % âіä çàãàëüíîї ìàñè âèïå÷åíîãî õëіáà. Ñêіëü-êè êіëîãðàìіâ õëіáà ìîæíà âèïåêòè ç 486 êã áîðîøíà?

442. Âèõіä áîðîøíà ïіä ÷àñ ïîìåëó ïøåíèöі ñêëàäàє 80 %. Ñêіëüêè ïøåíèöі òðåáà çìîëîòè, ùîá îòðèìàòè 40 ö ïøåíè÷íîãî áîðîøíà?

443. Òàðàñèêó 6 ðîêіâ, ùî ñòàíîâèòü 0,2 âіä âіêó éîãî áàòüêà. Ñêіëüêè ðîêіâ áàòüêîâі?

444. Ìàñà òîâàðó, çàïàêîâàíîãî â ÿùèêó, 20 êã, ùî ñòàíî-

âèòü âіä ìàñè ÿùèêà ç òîâàðîì. Îá÷èñëè ìàñó ïîðîæ-

íüîãî ÿùèêà.

445. Îäíà ñòîðîíà òðèêóòíèêà äîðіâíþє 18 ñì і ñòàíîâèòü

âіä êîæíîї ç äâîõ іíøèõ ñòîðіí òðèêóòíèêà. Çíàé äè ïå-

ðèìåòð òðèêóòíèêà.

446. Ó ïåðøîìó ÿùèêó 16 êã ÿáëóê, ùî ñòàíîâèòü ìàñè

ÿáëóê, ÿêі çíàõîäÿòüñÿ ó äðóãîìó ÿùèêó, і ìàñè ÿáëóê,

ÿêі çíàõîäÿòüñÿ ó òðåòüîìó ÿùèêó. Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ ÿáëóê ó òðüîõ ÿùèêàõ ðàçîì?

447. Îäèí ç äîäàíêіâ äîðіâíþє 3,6, ùî ñòàíîâèòü 0,3 âіä їõ ñóìè. Çíàé äè äðóãèé äîäàíîê.


Ðîçäië 2

86

448. Íà ìàðøðóò âèéøëî 63 àâòîáóñè, ùî ñòàíîâèòü 0,9 âіä óñіõ àâòîáóñіâ àâòîïàðêó. Ñêіëüêè àâòîáóñіâ íå âèéøëî íà ìàðøðóò?

449. Ó ïåðøó ãîäèíó àâòîìîáіëü ïðîїõàâ 15 % âіä óñüî-ãî øëÿõó, ïіñëÿ ÷îãî éîìó çàëèøèëîñÿ ïðîїõàòè 408 êì. ßêà äîâæèíà âñüîãî øëÿõó?

450. Çà ïåðøèé äåíü òóðèñò ïðîéøîâ óñüîãî øëÿõó, à

çà äðóãèé — ðåøòó êì. ßêó âіäñòàíü ïðîéøîâ òóðèñò

çà äâà äíі?

451. Çà ïåðøó ãîäèíó ìàéñòåð âèêîíàâ 0,2 óñüîãî çàìîâ-ëåííÿ, ïіñëÿ ÷îãî éîìó ùå çàëèøèëîñÿ âèãîòîâèòè 56 äå-òàëåé. Ñêіëüêè äåòàëåé ñòàíîâèëî çàìîâëåííÿ?

452. Òðè çàâîäè îòðèìàëè çàìîâëåííÿ íà âèãîòîâëåííÿ ìî-

òîðіâ. Ïåðøèé çàâîä âèêîíàâ óñüîãî çàìîâëåííÿ, äðó-

ãèé — 0,4 óñüîãî çàìîâëåííÿ, à òðåòіé — ðåøòó 280 ìî-òîðіâ. Ñêіëüêè ìîòîðіâ áóëî çàìîâëåíî òðüîì çàâîäàì ðàçîì?

453. Îïåðàòîð êîìï’þòåðíîãî íàáîðó ïåðøîãî äíÿ íàáðàâ

ðóêîïèñó, ïіñëÿ ÷îãî éîìó çàëèøèëîñÿ íàáðàòè íà

10 ñòîðіíîê áіëüøå, íіæ âіí óæå íàáðàâ. Ñêіëüêè ñòîðіíîê ìіñòèòü ðóêîïèñ?

454. Ïіñëÿ òîãî ÿê ó÷åíü ïðî÷èòàâ êíèæêè, âèÿâèëî-

ñÿ, ùî éîìó çàëèøèëîñÿ ïðî÷èòàòè íà 60 ñòîðіíîê ìåíøå, íіæ âіí ïðî÷èòàâ. Ñêіëüêè ñòîðіíîê ó êíèæöі?

455. Ïåðøîãî äíÿ îëіéíÿ ïåðåðîáèëà îòðèìàíîãî íà-

ñіííÿ ñîíÿøíèêó, äðóãîãî äíÿ — ðåøòè, ïіñëÿ ÷îãî òðå-



87

òüîãî äíÿ çàëèøèëîñÿ ïåðåðîáèòè 7,8 ò. Ñêіëüêè òîíí íà-ñіííÿ ñîíÿøíèêó íåîáõіäíî áóëî ïåðåðîáèòè çà 3 äíі?

456. Ïåðøîãî äíÿ òóðèñòè ïðîéøëè âñüîãî øëÿõó, à

äðóãîãî äíÿ — 60 % ðåøòè. Òðåòüîãî äíÿ çàëèøèëîñÿ ïðîéòè îñòàííі 12 êì. Ñêіëüêè êіëîìåòðіâ ïîâèííі áóëè ïðîéòè òóðèñòè çà öі òðè äíі?

457. Çíàé äè äåÿêå òðèöèôðîâå ÷èñëî, ÿêå êðàòíå ÷èñëàì 3 і 7 і íå êðàòíå ÷èñëó 6.


1) ; 2) .

459. Ãðîøі, âêëàäåíі â àêöії ôіðìè «Àëüôà», ïðèíî-ñÿòü 20 % ùîðі÷íîãî ïðèáóòêó. Çà ñêіëüêè ðîêіâ âêëàäåíà ñóìà ïîäâîїòüñÿ?

19.19. Розв’язування вправ на всі дії зі звичайними та десятковими дробами

460. (Óñíî) Çáіëüøè íà êîæíå іç ÷èñåë:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) 9; 6) .

461. (Óñíî) Çìåíøè íà êîæíå іç ÷èñåë:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 2.

462. Çàïèøè çâè÷àéíèì íåñêîðîòíèì äðîáîì:

1) 0,13; 2) 0,2; 3) 1,5; 4) 1 %; 5) 7 %; 6) 40 %.

463. (Óñíî) Çáіëüøè ó 2 ðàçè êîæíå іç ÷èñåë:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .


Ðîçäië 2

88

464. (Óñíî) Ñòîðîíà êâàäðàòà äîðіâíþє ì. Çíàé äè éîãî

ïåðèìåòð.

465. ×èñëî çáіëüøè: 1) íà ; 2) ó 2 ðàçè.

466. ×èñëî çìåíøè: 1) íà ; 2) ó 2 ðàçè.

467. ×èñëî :

1) çáіëüøè íà ; 2) çìåíøè íà ;

3) çáіëüøè ó 3 ðàçè; 4) çìåíøè ó 2 ðàçè.


1) ; 2) ; 3) .


1) ; 2) ; 3) .

470. Êóïèëè êã àïåëüñèíіâ ïî ãðí çà êіëîãðàì і

êàâóí çà ãðí. Ñêіëüêè âñüîãî çàïëàòèëè çà ïîêóïêó?

471. Îá÷èñëè øâèäêіñòü àâòîìîáіëÿ (ó êì/ãîä), ÿêèé çà 36 õâ ïðîїõàâ 42 êì.

472. Øâèäêіñòü àâòîìîáіëÿ 80 êì/ãîä. ßêó âіäñòàíü ïðî-їäå àâòîìîáіëü çà 45 õâ?

473. Îá÷èñëè: 1) ; 2) .

474. Îá÷èñëè: 1) ; 2) .

475. Âåðòîëіò çðîáèâ ïåðøó ïîñàäêó íà âіäñòàíі 92 êì âіä

çëіòíîї ïëîùàäêè, ïðîëåòіâøè íàìі÷åíîãî ìàðøðóòó.

Îá÷èñëè äîâæèíó âñüîãî ìàðøðóòó.



89



478. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî ,

.

479. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî ,

.

480. Çíàé äè îá’єì і ïîâåðõíþ êóáà, ðåáðî ÿêîãî äîðіâíþє

äì.

481. Ó ìàãàçèí ïðèâåçëè 30 ÿùèêіâ ç áàíàíàìè. 12 ÿùè-

êіâ ìіñòèëè ïî êã áàíàíіâ ó êîæíîìó, à ðåøòà — ïî

10,4 êã. Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ áàíàíіâ ïðèâåçëè â ìàãàçèí?

482. Ó ìàãàçèí çàâåçëè 24 ÿùèêè ç öèòðóñîâèìè ôðóêòà-

ìè: 10 ÿùèêіâ ç àïåëüñèíàìè ïî êã ó êîæíîìó, ðåø-

òà ÿùèêіâ — ç ìàíäàðèíàìè ïî êã ó êîæíîìó. ×îãî

áіëüøå — àïåëüñèíіâ ÷è ìàíäàðèíіâ — çàâåçëè ó ìàãàçèí? Íà ñêіëüêè êіëîãðàìіâ?

483. Çíàê ÿêîї äії ìîæíà ïîñòàâèòè çàìіñòü çіðî÷êè, ùîá

íåðіâíіñòü áóëà ïðàâèëüíîþ: ?

484. Çíàé äè ìàñó ñêëà, ÿêùî éîãî äîâæèíà 80 ñì, øè-ðèíà ñòàíîâèòü 75 % äîâæèíè, à òîâùèíà 0,6 ñì. Ìàñà

1 äì3 ñêëà äîðіâíþє êã.

485. Äîâæèíà êіìíàòè 6 ì, øèðèíà ñòàíîâèòü 60 % äî-

âæèíè, à âèñîòà — øèðèíè. Çíàé äè ìàñó ïîâіòðÿ â öіé

êіìíàòі, ÿêùî ìàñà 1 ì3 ïîâіòðÿ äîðіâíþє 1,29 êã.


Ðîçäië 2

90

486. Ïîëå ïðÿìîêóòíîї ôîðìè ìàє äîâæèíó 900 ì, à øè-

ðèíà äîðіâíþє äîâæèíè. Ïøåíèöåþ çàñіÿíî ïîëÿ.

Ñêіëüêè ãåêòàðіâ ïîëÿ çàñіÿíî ïøåíèöåþ?

487. Äîâæèíà ðі÷êè Ïіâäåííèé Áóã 806 êì, ùî ñòàíîâèòü

âіä äîâæèíè Äíіïðà. Íà ñêіëüêè êіëîìåòðіâ äîâæèíà

Äíіï ðà áіëüøà çà äîâæèíó Ïіâäåííîãî Áóãó? Ó ñêіëüêè ðà-

çіâ äîâæèíà Äíіïðà áіëüøà çà äîâæèíó Ïіâäåííîãî Áóãó? (Âіäïîâіäü îêðóãëè äî ñîòèõ).

488. Ñòîðîíè ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþþòü 0,8 ì і ì. Çíàé-

äè ñòîðîíó êâàäðàòà, ïåðèìåòð ÿêîãî äîðіâíþє ïåðèìåòðó ïðÿìîêóòíèêà, і îá÷èñëè éîãî ïëîùó.

489. Âåëîñèïåäèñò 2 ãîä ðóõàâñÿ çі øâèäêіñòþ êì/ãîä,

à ïîòіì ùå 3 ãîä çі øâèäêіñòþ êì/ãîä. Çíàé äè ñåðåäíþ

øâèäêіñòü ðóõó âåëîñèïåäèñòà íà âñüîìó øëÿõó.

490. Îá÷èñëè äâîìà ñïîñîáàìè (ïåðåòâîðèâøè äåñÿòêî-âèé äðіá ó ìіøàíå ÷èñëî àáî ïåðåòâîðèâøè ìіøàíå ÷èñëî ó äåñÿòêîâèé äðіá):

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

491. Îá÷èñëè äâîìà ñïîñîáàìè (ïåðåòâîðåííÿì ó ìіøàíå ÷èñëî àáî ïåðåòâîðåííÿì ó äåñÿòêîâèé äðіá):

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

492. (Іç êíèãè Àäàìà Ð і ç å XVI ñò.) Òðîє îñіá âèãðà-

ëè äåÿêó ñóìó ãðîøåé. Íà äîëþ ïåðøîãî ïðèïàëà öієї

ñóìè, íà äîëþ äðóãîãî — , à íà äîëþ òðåòüîãî — 17 ôëî-

ðèíòіâ. ßêèì áóâ óâåñü âèãðàø?


1) ; 2) .



91


1) ; 2) .

495. Іç äâîõ ìіñò îäíî÷àñíî íàçóñòðі÷ îäèí îäíîìó âèїõàëè

äâà àâòîáóñè і çóñòðіëèñÿ ÷åðåç ãîä. Îäèí ç íèõ ðóõàâñÿ

çі øâèäêіñòþ êì/ãîä, à øâèäêіñòü äðóãîãî áóëà â ðà-

çà ìåíøà âіä øâèäêîñòі ïåðøîãî. Çíàé äè âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè.


1) ; 2) .

497. Âèêîíàé äії: .

498. (Áðàõìàãóïòà , Іíäіÿ, áë. 598—660.) Ñëîí, ñëîíèõà òà ñëîíåíÿ ïіäіéøëè äî îçåðà, ùîá íàïèòèñÿ âîäè. Ñëîí ìîæå âèïèòè îçåðî çà 3 ãîä, ñëîíèõà — çà 5 ãîä, à ñëîíå-íÿ — çà 6 ãîä. Çà ñêіëüêè ãîäèí âîíè ðàçîì âèï’þòü îçåðî?

499. (Ñòàðîäàâíÿ Ãðåöіÿ, Ã åðîí Àëåêñàíäð іéñüêèé , І ñò. äî í. å.) Áàñåéí ìîæå çàïîâíèòèñÿ ÷åðåç ÷îòèðè ôîí-òàíè. ßêùî âіäêðèòè òіëüêè ïåðøèé ôîíòàí, áàñåéí çàïî-âíèòüñÿ çà äîáó, òіëüêè äðóãèé — çà äâі äîáè, òðåòіé — çà òðè äîáè, òіëüêè ÷åòâåðòèé — çà ÷îòèðè äîáè. Çà ÿêèé ÷àñ çàïîâíèòüñÿ áàñåéí, ÿêùî âіäêðèòè âñі ÷îòèðè ôîíòàíè?

500. ßêùî íåâіäîìå ÷èñëî çáіëüøèòè ó ðàçà, à ïîòіì äî

óòâîðåíîãî ÷èñëà äîäàòè , òî îòðèìàєìî . Çíàé äè

íåâіäîìå ÷èñëî.

501. ßêùî íåâіäîìå ÷èñëî çìåíøèòè â ðàçà, à ïîòіì âіä

óòâîðåíîãî ÷èñëà âіäíÿòè , òî îòðèìàєìî . Çíàé äè íå-

âіäîìå ÷èñëî.


Ðîçäië 2

92

502. Ó äâîõ ìіøêàõ ðàçîì áóëî 96 êã êàðòîïëі. Êîëè

ç îáîõ ìіøêіâ ïðîäàëè êàðòîïëі ïîðіâíó, òî â ïåðøîìó

ìіøêó çàëèøèëîñÿ êã, à â äðóãîìó — êã. Ñêіëü-

êè êàðòîïëі áóëî ñïî÷àòêó â êîæíîìó ìіøêó?

503. (Ç Àêìèìñüêîãî ïàïіðóñó VI ñò.) Äåõòî âçÿâ іç ñêàðá-

íèöі її âìіñòó. Ç òîãî, ùî çàëèøèëîñÿ, äðóãèé âçÿâ .

Ïіñëÿ öüîãî ó ñêàðáíèöі çàëèøèëîñÿ 192 êîøòîâíîñòі. Ñêіëüêè êîøòîâíîñòåé áóëî ó ñêàðáíèöі ñïî÷àòêó?

504. Çíàé äè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê і íàé-ìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ÷èñåë 660 і 528.

505. Ñêіëüêè ðіçíèõ òðèöèôðîâèõ ÷èñåë ìîæíà óòâîðèòè, âèêîðèñòîâóþ÷è öèôðè 3 і 7, ÿêùî öèôðè â ÷èñëі ìîæóòü ïîâòîðþâàòèñÿ?

506. Îá÷èñëè çðó÷íèì ñïîñîáîì:

1) ; 2) .

507. Ñêіëüêè іñíóє äâàíàäöÿòèöèôðîâèõ ÷èñåë, ñóìà öèôð êîæíîãî ç ÿêèõ äîðіâíþє 2?

508. Äåÿêå ÷èñëî çáіëüøèëè íà 25 %. Íà ñêіëüêè âіä-ñîòêіâ ïîòðіáíî çìåíøèòè îäåðæàíå ÷èñëî, ùîá îòðèìàòè ïî÷àòêîâå?


1. Âèêîíàé ìíîæåííÿ: 1) ; 2) .

2. Âèêîíàé äіëåííÿ: 1) ; 2) .

3. Âіä ìîòóçêè çàâäîâæêè 12 ì âіäðіçàëè її äîâæèíè.

Ñêіëüêè ìåòðіâ ìîòóçêè âіäðіçàëè?

4. Çíàé äè äîáóòîê: 1) ; 2) .



93

5. Çíàé äè ÷àñòêó:

1) ; 2) .

6. ×îâåí ïðîïëèâ 32 êì, ùî ñòàíîâèòü âіä äîâæèíè

ìàðøðóòó. ßêà äîâæèíà ìàðøðóòó?

7. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó .


9. Ç äâîõ ìіñò îäíî÷àñíî íàçóñòðі÷ îäèí îäíîìó âèðó-øèëè äâà àâòîìîáіëі. Øâèäêіñòü îäíîãî ç íèõ 72 êì/ãîä,

à øâèäêіñòü äðóãîãî — â ðàçà ìåíøà. ßêîþ áóäå âіä-

ñòàíü ìіæ àâòîìîáіëÿìè ÷åðåç ãîä ïіñëÿ ïî÷àòêó ðóõó,

ÿêùî âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè 272 êì?


10. Çíàé äè òàêå çíà÷åííÿ a, ùîá áóëè âçàєìíî îáåðíå-

íèìè ÷èñëà:

1) і ; 2) 1 і ; 3) 0,4 і .

11. Àíäðіé, Ïåòðî і Ñåðãіé ðàçîì êóïèëè ì’ÿ÷. Àíäðіé

çàïëàòèâ âàðòîñòі ì’ÿ÷à. Ïåòðî — ðåøòè, à Ñåð-

ãіé — 10,5 ãðí. Ñêіëüêè êîøòóâàâ ì’ÿ÷?

12. Çíàé äè äâà òàêèõ íåñêîðîòíèõ äðîáè, ùîá їõíÿ ðіçíèöÿ äîðіâíþâàëà їõíüîìó äîáóòêó.



Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿

95

ñêîðî÷åííÿ) äîðîãè. Òîé ñàìèé ðåçóëüòàò îòðèìàëè á,

ïîäіëèâøè 8 íà 10.

.

Ïðè ðîçâ’ÿçóâàííі çàäà÷і ìè çíàéøëè ÷àñòêè äâîõ ÷è-ñåë. Òàêі ÷àñòêè íàçèâàþòü âіäíîøåííÿì äâîõ ÷èñåë.

×àñòêó äâîõ ÷èñåë íàçèâàþòü âіäíîøåííÿì öèõ ÷èñåë. Âіäíîøåííÿ ïîêàçóє, ó ñêіëüêè ðàçіâ ïåðøå ÷èñëî áіëü-

øå çà äðóãå àáî ÿêó ÷àñòèíó ïåðøå ÷èñëî ñêëàäàє âіä äðóãîãî.

ßêùî äâі âåëè÷èíè âèìіðþþòüñÿ îäíієþ é òієþ ñàìîþ îäèíèöåþ, òî âіäíîøåííÿ їõ ÷èñëîâèõ çíà÷åíü íàçèâàþòü âіäíîøåííÿì öèõ âåëè÷èí (âіäíîøåííÿ äîâæèí, âіäíîøåííÿ ìàñ, âіäíîøåííÿ ïëîù òîùî). Íàïðèêëàä, âіäíîøåííÿ 3 êã

äî 8 êã äîðіâíþє . Ùîá çíàéòè âіäíîøåííÿ 1 ãîä äî

25 õâ, íåîáõіäíî ïðåäñòàâèòè 1 ãîä ó õâèëèíàõ: 1 ãîä 60 õâ; òîäі øóêàíå âіäíîøåííÿ äîðіâíþє

.

Îñêіëüêè âіäíîøåííÿ äâîõ ÷èñåë ìîæíà çàïèñàòè äðî-áîì, à çíà÷åííÿ äðîáó íå çìіíþєòüñÿ, ÿêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîìíîæèòè àáî ïîäіëèòè íà îäíå é òå ñàìå ÷èñëî, âіäìіííå âіä íóëÿ, òî

âіäíîøåííÿ äâîõ ÷èñåë íå çìіíèòüñÿ, ÿêùî êîæíå іç ÷èñåë âіäíîøåííÿ ïîìíîæèòè àáî ïî-äіëèòè íà îäíå é òå ñàìå, âіäìіííå âіä íóëÿ, ÷èñëî.

Ìàєìî îñíîâíó âëàñòèâіñòü âіäíîøåííÿ.

Ïðèêëàä 1. 20 : 16 5 : 4 (ïîäіëèëè êîæíå іç ÷èñåë âіäíîøåííÿ íà 4).

Ïðèêëàä 2. Çàìіíèòè âіäíîøåííÿ âіäíîøåííÿì íà-

òóðàëüíèõ ÷èñåë.

І ñïîñіá. .


Ðîçäië 3

96

II ñïîñіá. .

Äëÿ äðîáó îáåðíåíèì є äðіá . Òîìó äëÿ âіäíîøåííÿ

à : b àáî äðîáó âіäíîøåííÿ b : à àáî äðіá íàçèâàþòü

îáåðíåíèì. Íàïðèêëàä, äëÿ âіäíîøåííÿ îáåðíåíèì є âіä-

íîøåííÿ , à äëÿ âіäíîøåííÿ 19 : 12 îáåðíåíèì є âіäíî-

øåííÿ 12 : 19.

Ùî íàçèâàþòü âіäíîøåííÿì äâîõ ÷èñåë? Ùî ïîêà-çóє âіäíîøåííÿ äâîõ ÷èñåë? ßê çíàéòè âіäíîøåí-íÿ âåëè÷èí, ÿêі âèìіðþþòüñÿ îäíієþ і òієþ ñàìîþ îäèíèöåþ? Ñôîðìóëþé îñíîâíó âëàñòèâіñòü âіäíî-øåííÿ.

509. Çàïèøè âіäíîøåííÿ:1) ÷èñëà 2 äî ÷èñëà 7; 2) ÷èñëà 15 äî ÷èñëà 8.

510. Çàïèøè âіäíîøåííÿ: 1) ÷èñëà 8 äî ÷èñëà 13; 2) ÷èñëà 17 äî ÷èñëà 9.

511. (Óñíî) Ñòîðîíè òðèêóòíèêà äîðіâíþþòü 4 ñì, 6 ñì і 7 ñì. Çíàéäіòü âіäíîøåííÿ íàéìåíøîї ñòîðîíè äî íàéáіëü-øîї. Çíàéäіòü âіäíîøåííÿ íàéáіëüøîї ñòîðîíè äî ñåðåä-íüîї çà çíà÷åííÿì ñòîðîíè.

512. Çíàé äè âіäíîøåííÿ ÷èñåë:

1) 12 äî 9; 2) 40 äî 105; 3) 4,2 äî 3,5; 4) äî .


1) 15 äî 9; 2) 70 äî 90; 3) 7,2 äî 6,4; 4) äî .

514. Çíàé äè âіäíîøåííÿ âåëè÷èí:

1) 5 äì äî 4 äì; 2) 20 êã äî 12 êã; 3) 42 õâ äî 1 ãîä; 4) 4 ñì äî 12 ìì; 5) 800 ã äî 2 êã; 6) 1 ì2 äî 25 äì2.



97

515. Çíàé äè âіäíîøåííÿ âåëè÷èí: 1) 3 êì äî 4 êì; 2) 18 ö äî 6 ö; 3) 100 ì äî 1 êì; 4) 1 ãîä äî 10 õâ;5) 15 êã äî 250 ã; 6) 20 ñì2 äî 1 äì2.

516. Ó ñóïåðìàðêåò ïðèâåçëè 2,4 ö ãðóø òà 3,6 ö ÿáëóê. Ó ñêіëüêè ðàçіâ áіëüøå ïðèâåçëè ÿáëóê, íіæ ãðóø? ßêó ÷àñòèíó ïðèâåçåíèõ ôðóêòіâ ñêëàäàþòü ãðóøі; ÿáëóêà?

517. Çà êíèæêó çàïëàòèëè 12 ãðí, à çà áëîêíîò — 4 ãðí. Ó ñêіëüêè ðàçіâ êíèæêà äîðîæ÷à çà áëîêíîò? ßêó ÷àñòè-íó âàðòîñòі ïîêóïêè ñêëàäàþòü âàðòіñòü êíèæêè; âàðòіñòü áëîêíîòà?

518. Ñêîðîòè âіäíîøåííÿ: 1) 25 : 35; 2) 50 : 40; 3) .

519. Çíàé äè âіäíîøåííÿ, îáåðíåíå äî äàíîãî:

1) 6 : 12; 2) 15 : 6; 3) ; 4) .

520. Çàìіíè âіäíîøåííÿ äðîáîâèõ ÷èñåë âіäíîøåííÿì íàòóðàëüíèõ ÷èñåë:

1) ; 2) ; 3) 0,2 : 1,2; 4) .

521. Çàìіíè âіäíîøåííÿ äðîáîâèõ ÷èñåë âіäíîøåííÿì íà-òóðàëüíèõ ÷èñåë:

1) ; 2) ; 3) 1,8 : 0,4; 4) .

522. Âіäíîøåííÿ ÷èñëà õ äî ÷èñëà 16 äîðіâíþє . Çíàé äè

÷èñëî õ.

523. Âіäíîøåííÿ ÷èñëà 20 äî ÷èñëà a äîðіâíþє . Çíàé äè

÷èñëî a.

524. ßê çìіíèòüñÿ âіäíîøåííÿ à : b, ÿêùî ÷èñëî:1) à çáіëüøèòè ó 2 ðàçè; 2) à çìåíøèòè ó 3 ðàçè;3) b çáіëüøèòè ó 1,5 ðàçà; 4) b çìåíøèòè ó 5 ðàçіâ?


1) ; 2) ; 3) .


Ðîçäië 3

98

526. Ó êîðîáöі ëåæàòü 3 áіëі і 5 ÷îðíèõ êóëüîê. ßêó íàéìåíøó êіëüêіñòü êóëüîê òðåáà âèòÿãíóòè íàâìàííÿ ç êîðîáêè, ùîá ñåðåä íèõ îáîâ’ÿçêîâî áóëî:

1) äâі áіëі êóëüêè; 2) îäíà áіëà і îäíà ÷îðíà êóëüêè; 3) äâі ÷îðíі êóëüêè; 4) äâі êóëüêè îäíîãî êîëüîðó?

21.21. Пропорція. Основна властивість пропорції

Âіäíîøåííÿ 12 : 3 і 20 : 5 ðіâíі, îñêіëüêè їõ çíà÷åííÿ äîðіâíþþòü 4. Òîìó ìîæíà çàïèñàòè ðіâíіñòü

12 : 3 20 : 5, àáî .

Ðіâíіñòü äâîõ âіäíîøåíü íàçèâàþòü ïðîïîðöієþ.

Ñëîâî «ïðîïîðöіÿ» ïîõîäèòü âіä ëàòèíñüêîãî proportio, ùî îçíà÷àє «ñïіâðîçìіðíіñòü», òîáòî ïåâíå âіäíîøåííÿ ÷àñòèí ìіæ ñîáîþ. Çà äîïîìîãîþ áóêâ ïðîïîðöіþ çàïèñó-þòü òàê:

à : b ñ : d, àáî .

Öі ïðîïîðöії ìîæíà ïðî÷èòàòè òàê: «à, ïîäіëåíå íà b, äîðіâíþє ñ, ïîäіëåíîìó íà d», àáî: «âіäíîøåííÿ à äî b äî-ðіâíþє âіäíîøåííþ ñ äî d», àáî: «a âіäíîñèòüñÿ äî b, ÿê ñ âіäíîñèòüñÿ äî d».

Ó ïðîïîðöії à : b ñ : d, àáî , à і d íàçèâàþòü êðàé-

íіìè ÷ëåíàìè ïðîïîðöії, à b і ñ — ñåðåäíіìè ÷ëåíàìè ïðîïîðöії:

Íàäàëі áóäåìî ââàæàòè, ùî âñі ÷ëåíè ïðîïîðöії âіäìіí-íі âіä íóëÿ: à 0, b 0, ñ 0, d 0.



99

Ðîçãëÿíåìî ïðîïîðöіþ . Âèêîðèñòàєìî îñíîâíó

âëàñòèâіñòü äðîáó: ïîìíîæèìî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðî-

áó íà d, à ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó íà b. Ìàєìî:

.

Îòðèìàíі äðîáè є ðіâíèìè, âîíè ìàþòü ðіâíі çíàìåííè-êè, òîìó ðіâíèìè áóäóòü і їõ ÷èñåëüíèêè: à d ñ b.

Çàóâàæèìî, ùî à d — öå äîáóòîê êðàéíіõ ÷ëåíіâ, à ñ b — äîáóòîê ñåðåäíіõ ÷ëåíіâ ïðîïîðöії. Ïðèéøëè äî îñíîâíîї âëàñòèâîñòі ïðîïîðöії:

ó ïðîïîðöії äîáóòîê êðàéíіõ її ÷ëåíіâ

äîðіâíþє äîáóòêó ñåðåäíіõ:ad bc.

Ïðèêëàä 1. Ïåðåâіðèòè, ÷è є ðіâíіñòü ïðîïîð-

öієþ.Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. І ñïîñіá (çà îçíà÷åííÿì ïðîïîðöії).

Îñêіëüêè 1,8 : 2 0,9 і 4,5 : 5 0,9, òî ðіâíіñòü є ïðîïîð-öієþ.

II ñïîñіá (çà îñíîâíîþ âëàñòèâіñòþ ïðîïîðöії). Îñêіëüêè 1,8 5 9 і 2 4,5 9, òî ðіâíіñòü є ïðîïîðöієþ.

Ïðèêëàä 2. Ïåðåâіðèòè, ÷è ìîæíà ç âіäíîøåíü

ñêëàñòè ïðîïîðöіþ.Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Îñêіëüêè 7 4 28, 2 13 26, à

28 26, òî ñêëàñòè ïðîïîðöіþ ç äàíèõ âіäíîøåíü íå ìîæíà.Âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòèâіñòü ïðîïîðöії, ìîæíà

çíàéòè її íåâіäîìèé ÷ëåí, ÿêùî âñі іíøі ÷ëåíè âіäîìі.

Ïðèêëàä 3. Çíàéòè à ç ïðîïîðöії 4 : à 5 : 12.Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòèâіñòü

ïðîïîðöії, ìàєìî: a 5 4 12, 5a 48, a 48 : 5, a 9,6.

Ïðèêëàä 4. Ðîçâ’ÿçàòè ðіâíÿííÿ .


Ðîçäië 3

100

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòèâіñòü ïðîïîðöії, ìàєìî: 2x 5 4 3,5; 10õ 14; x 14 : 10; õ 1,4.

Ðîçãëÿíåìî ïðîïîðöіþ , çâіäêè 4 12 8 6.

Îñòàííþ ðіâíіñòü ìîæíà îäåðæàòè, î÷åâèäíî, і ç òàêèõ ïðîïîðöіé:

(ïîìіíÿëè ìіñöÿìè ñåðåäíі ÷ëåíè çàäàíîї ïðî-

ïîðöії);

(ïîìіíÿëè ìіñöÿìè êðàéíі ÷ëåíè çàäàíîї ïðî-

ïîðöії);

(ïîìіíÿëè ìіñöÿìè ñåðåäíі òà êðàéíі ÷ëåíè çà-

äàíîї ïðîïîðöії).Çâіäñè âèïëèâàє, ùî ñåðåäíі ÷ëåíè àáî (òà) êðàéíі

÷ëåíè ïðîïîðöії ìîæíà ìіíÿòè ìіñöÿìè.

À ùå ðàíіøå...À ùå ðàíіøå...У IV ст. до н. е. загальну теорію пропорційності розглянули

давньогрецькі вчені, зокрема Тестет та Евдокс. Цю теорію було детально викладено у п’ятій книзі «Начал» Евкліда.

У сьомій книзі «Начал» Евклід виклав теорію відношень та пропор цій для цілих чисел. Так, зокрема, у її 19-му реченні Евклід доводить основну властивість пропорції.

Також з пропорції a : b = c : d Евклід виводить такі: b : a = d : c; (a + b) : b = (c + d) : d;a : c = b : d; (a – b) : b = (c – d) : d; a : (a – b) = c : (c – d).

Ùî òàêå ïðîïîðöіÿ? Ó ïðîïîðöії m : n p : k íàçâè êðàéíі ÷ëåíè, ñåðåäíі ÷ëåíè. Ñôîðìóëþé îñíîâíó âëàñòèâіñòü ïðîïîðöії. ßêі ïåðåñòàíîâêè ÷ëåíіâ ïðîïîðöії ìîæíà âèêîíóâàòè?

527. (Óñíî) ×îìó ðіâíіñòü є ïðîïîðöієþ? Íàçâè

її êðàéíі ÷ëåíè і ñåðåäíі ÷ëåíè.



101

528. (Óñíî) ×îìó ç âіäíîøåíü íå ìîæíà ñêëàñòè

ïðîïîöіþ?

529. Ó ïðîïîðöії 25 : 5 60 : 12 âêàæè êðàéíі ÷ëåíè, ñå-ðåäíі ÷ëåíè.

530. Çàïèøè ó âèãëÿäі ïðîïîðöії òâåðäæåííÿ:1) 7, ïîäіëåíå íà 2, äîðіâíþє 14, ïîäіëåíîìó íà 4;2) 2 âіäíîñèòüñÿ äî 3, ÿê 10 âіäíîñèòüñÿ äî 15;3) âіäíîøåííÿ à äî 2 äîðіâíþє âіäíîøåííþ 3 äî 7.

531. Çàïèøè ó âèãëÿäі ïðîïîðöії òâåðäæåííÿ:1) 2, ïîäіëåíå íà 5, äîðіâíþє 8, ïîäіëåíîìó íà 20;2) âіäíîøåííÿ 4 äî 2 äîðіâíþє âіäíîøåííþ 6 äî 3;3) x âіäíîñèòüñÿ äî 5, ÿê y âіäíîñèòüñÿ äî 7.

532. Ïåðåâіð, êîðèñòóþ÷èñü îçíà÷åííÿì, ÷è ìîæíà ç äàíèõ âіäíîøåíü ñêëàñòè ïðîïîðöіþ:

1) 11,2 : 3,2 і 15,75 : 4,5; 2) .

533. Ïåðåâіð, êîðèñòóþ÷èñü îçíà÷åííÿì, ÷è ìîæíà ç äà-íèõ âіäíîøåíü ñêëàñòè ïðîïîðöіþ:

1) 0,7 : 0,1 і 0,8 : 0,2; 2) .

534. Ïåðåâіð, êîðèñòóþ÷èñü îñíîâíîþ âëàñòèâіñòþ ïðîïîð-öії, ÷è ìîæíà ç äàíèõ âіäíîøåíü ñêëàñòè ïðîïîðöіþ:

1) ; 2) .

535. Ïåðåâіð, êîðèñòóþ÷èñü îñíîâíîþ âëàñòèâіñòþ ïðîïîð-öії, ÷è ìîæíà ç äàíèõ âіäíîøåíü ñêëàñòè ïðîïîðöіþ:

1) ; 2) .

536. Çíàéäè ðіâíі ìіæ ñîáîþ âіäíîøåííÿ і ñêëàäè ç íèõ ïðî-ïîðöії:

27 : 9; 5 : 15; 28 : 4; 4 : 12; ; 3 : 1.

537. Çíàéäè ðіâíі ìіæ ñîáîþ âіäíîøåííÿ і ñêëàäè ç íèõ ïðî-ïîðöії:

0,4 : 0,2; ; 7 : 70; .


Ðîçäië 3

102

538. Çíàé äè íåâіäîìèé ÷ëåí ïðîïîðöії:

1) õ : 6 2 : 3; 2) .


1) õ : 4 5 : 25; 2) .

540. Ç ïðîïîðöії:

1) óòâîðè íîâó, ïîìіíÿâøè ìіñöÿìè êðàéíі ÷ëåíè;

2) óòâîðè íîâó, ïîìіíÿâøè ìіñöÿìè ñåðåäíі ÷ëåíè.

541. Ç ïðîïîðöії óòâîðè íîâі, ïåðåñòàâèâøè ìіñöÿ-

ìè êðàéíі àáî ñåðåäíі ÷ëåíè.


1) ; 2) ; 3) .


1) ; 2) .

544. Âèêîðèñòîâóþ÷è ðіâíіñòü 4 · 5 2 · 10, çàïèøè óñі ìîæëèâі ïðîïîðöії.

545. Ç ÷èñåë 8, 4, 3 і 6 ñêëàäè ïðîïîðöіþ.

546. Çíàé äè âіäíîøåííÿ x äî y, ÿêùî: 1) ; 2) .

547. Ñêëàäè äâі ïðîïîðöії, äîáóòîê êðàéíіõ ÷ëåíіâ ÿêèõ äîðіâíþє 16.

548. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі ó є ïðàâèëüíîþ ïðîïîðöіÿ:

1) ; 2) ?


1) ; 2) .

550. Âіäîìî, ùî . Äîâåäè, ùî:

1) ; 2) .



103

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. 1) . Âіäíіìåìî îäèíèöþ âіä îáîõ

÷àñòèí ðіâíîñòі: ; ; .

Ðіâíіñòü äîâåäåíî.

551. Äî ÷èñåë 10, 5 і 4 äîáåðè ÷åòâåðòå òàê, ùîá ìîæíà áóëî ñêëàñòè ïðîïîðöіþ (ðîçãëÿíü óñі âèïàäêè).

552. Âåëîñèïåäèñò, ùî ðóõàєòüñÿ çі øâèäêіñòþ 12 êì/ãîä, ïîäîëàâ âіäñòàíü ìіæ äâîìà ñåëàìè çà 0,75 ãîä. Çà ÿêèé ÷àñ ïîäîëàє öþ âіäñòàíü ïіøîõіä, ùî ðóõàєòüñÿ çі øâèäêіñòþ 5 êì/ãîä?

553. Çàïîâíè òàêó òàáëèöþ â çîøèòі çà çðàçêîì:

Âіäñîòêè Äåñÿòêîâèé äðіá Çâè÷àéíèé äðіá

25 % 0,25

75 %

0,8

150 %

2,4

554. 96 êîìàíä ãðàþòü ó áàñêåòáîëüíîìó òóðíіðі çà îëіìïіéñüêîþ ñèñòåìîþ, òîáòî íі÷èїõ íåìàє, êîìàíäà, ùî ïðîãðàє ìàò÷, – çі çìàãàíü âèáóâàє. Ñêіëüêè áóäå ïðîâåäå-íî ìàò÷іâ, ùîá âèÿâèòè ïåðåìîæöÿ?

22.22. Пряма пропорційна залежністьÍåõàé 1 êã òîâàðó êîøòóє 8 ãðí. Âèçíà÷èìî âàðòіñòü,

íàïðèêëàä, 2 êã, 4 êã, 5 êã, 0,5 êã, 10 êã öüîãî òîâàðó:

Êіëüêіñòü òîâàðó, êã 1 2 4 5 0,5 10

Âàðòіñòü òîâàðó, ãðí 8 16 32 40 4 80


Ðîçäië 3

104

Êîæíîãî ðàçó ìàєìî ðіçíó âàðòіñòü òîâàðó, âîíà çàëå-æèòü âіä êіëüêîñòі ïðèäáàíîãî òîâàðó, à âіäíîøåííÿ âàð-òîñòі òîâàðó äî éîãî êіëüêîñòі є ÷èñëî ñòàëå. Âîíî äîðіâ-íþє âàðòîñòі 1 êã öüîãî òîâàðó (ó ãðèâíÿõ), òîáòî 8:

.

Äâі âåëè÷èíè, âіäíîøåííÿ âіäïîâіäíèõ çíà÷åíü ÿêèõ є ñòàëèì, íàçèâàþòü ïðÿìî ïðî ïîð öіé-íèìè.

Ç âіäïîâіäíèõ çíà÷åíü ïðÿìî ïðîïîðöіéíèõ âåëè÷èí

ìîæíà ñêëàñòè ïðîïîðöіþ, íàïðèêëàä . Ïðÿìî ïðî-

ïîðöіéíèìè âåëè÷èíàìè є: âàðòіñòü òîâàðó і éîãî êіëü-êіñòü; øëÿõ, ïðîéäåíèé òіëîì іç ñòàëîþ øâèäêіñòþ, і ÷àñ; ïåðèìåòð êâàäðàòà і äîâæèíà éîãî ñòîðîíè òîùî.

Îñêіëüêè 1 êã òîâàðó êîøòóє 8 ãðí, à 2 êã êîøòóþòü 16 ãðí, òî ïîìі÷àєìî, ùî âäâі÷і áіëüøіé êіëüêîñòі òîâà-ðó âіäïîâіäàє óäâі÷і áіëüøà éîãî âàðòіñòü. Òîìó ïðÿìî ïðîïîð öіéíі âåëè÷èíè ìàþòü òàêó âëàñòèâіñòü:

іç çáіëüøåííÿì (çìåíøåííÿì) çíà÷åíü îäíієї ç ïðÿìî ïðîïîðöіéíèõ âåëè÷èí ó êіëüêà ðàçіâ çíà÷åííÿ äðóãîї âåëè÷èíè çáіëüøóєòüñÿ (çìåí-øóєòüñÿ) ó ñòіëüêè æ ðàçіâ.

Çàäà÷і íà ïðÿìî ïðîïîðöіéíі âåëè÷èíè ìîæíà ðîçâ’ÿ-çó âàòè çà äîïîìîãîþ ïðîïîðöії.

Çàäà÷à. Çà 2,5 ãîä àâòîìîáіëü ïðîїõàâ 170 êì. ßêó âіä-ñòàíü ïðîїäå àâòîìîáіëü çà 3,5 ãîä, ÿêùî øâèäêіñòü éîãî ðóõó є ñòàëîþ?

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Íåõàé çà 3,5 ãîä àâòîìîáіëü ïðîїõàâ õ êì. Çàïèøåìî óìîâó çàäà÷і ñõåìàòè÷íî:

2,5 ãîä — 170 êì;3,5 ãîä — õ êì.

Öþ ñõåìó ðîçóìіòèìåìî òàê: 2,5 ãîä âіäïîâіäàþòü 170 êì, à 3,5 ãîä âіäïîâіäàþòü x êì. Âіäñòàíü, ÿêó ïðî-їõàâ àâòîìîáіëü çі ñòàëîþ øâèäêіñòþ, і ÷àñ є âåëè÷èíàìè ïðÿìî ïðîïîðöіéíèìè: іç çáіëüøåííÿì ó ïåâíó êіëüêіñòü



105

ðàçіâ ÷àñó ðóõó ó ñòіëüêè æ ðàçіâ çáіëüøèòüñÿ âіäñòàíü, ÿêó ïðîїõàâ àâòîìîáіëü. Òîìó ìîæíà çàïèñàòè ïðîïîðöіþ:

.

Ìàєìî 2,5õ 170 3,5; ; õ 238 (êì).

Â іäïîâ іäü. 238 êì.

ßêі âåëè÷èíè íàçèâàþòü ïðÿìî ïðîïîðöіéíèìè? Íàâåäè ïðèêëàäè ïðÿìî ïðîïîðöіéíèõ âåëè÷èí. ßêó âëàñòèâіñòü ìàþòü ïðÿìî ïðîïîðöіéíі âåëè-

÷èíè?

555. (Óñíî) Çíà÷åííÿ îäíієї ç äâîõ ïðÿìî ïðîïîðöіé-íèõ âåëè÷èí çáіëüøèëîñÿ âòðè÷і. ßê çìіíèëîñÿ çíà÷åííÿ äðóãîї âåëè÷èíè?

556. Çíà÷åííÿ îäíієї ç äâîõ ïðÿìî ïðîïîðöіéíèõ âåëè÷èí çìåíøèëîñÿ óäâі÷і. ßê çìіíèëîñÿ çíà÷åííÿ äðóãîї âåëè-÷èíè?

557. (Óñíî) Çà êіëüêà îäíàêîâèõ çîøèòіâ çàïëàòèëè 12 ãðí. Ñêіëüêè òðåáà çàïëàòèòè çà òàêі ñàìі çîøèòè, ÿêùî їõ áóäå: 1) ó 2 ðàçè áіëüøå; 2) ó 2 ðàçè ìåíøå?

558. (Óñíî) Çà êіëüêà îäíàêîâèõ áëîêíîòіâ çàïëàòèëè 16 ãðí. Ñêіëüêè òðåáà çàïëàòèòè çà òàêó ñàìó êіëüêіñòü áëîêíîòіâ, êîæíèé ç ÿêèõ:

1) óäâі÷і äîðîæ÷èé; 2) óäâі÷і äåøåâøèé?

559. (Óñíî) ßêі ç âåëè÷èí є ïðÿìî ïðîïîðöіéíèìè:1) êіëüêіñòü ïðîäàíèõ êâèòêіâ і âèðó÷êà êàñè, ÿêùî öіíà êâèòêà є ñòàëîþ;2) ìàñà ñòàëåâîãî áðóñêà і éîãî îá’єì;3) ïëîùà êâàäðàòà і äîâæèíà éîãî ñòîðîíè;4) ìàñà îäíîãî öâÿõà òà їõ êіëüêіñòü â îäíîìó êіëîãðàìі;5) êіëüêіñòü ðîáіòíèêіâ і îáñÿã âèêîíàíîї ðîáîòè, ÿêùî ïðîäóêòèâíіñòü ïðàöі âñіõ ðîáіòíèêіâ є îäíàêîâîþ;6) äîâæèíà і øèðèíà ïðÿìîêóòíèêà, ïëîùà ÿêîãî 100 ñì2?

560. ßêі ç âåëè÷èí є ïðÿìî ïðîïîðöіéíèìè:1) âіäñòàíü, ÿêó ïðîéøîâ òóðèñò, і ÷àñ ðóõó ïðè ñòàëіé øâèäêîñòі;2) îá’єì êóáà і äîâæèíà éîãî ðåáðà;


Ðîçäië 3

106

3) êіëüêіñòü îäíàêîâèõ äåòàëåé òà їõ ìàñà ïðè ñòàëіé ìàñі îäíієї äåòàëі;4) êіëüêіñòü ðîáіòíèêіâ, ùî âèêîíóþòü ïåâíó ðîáîòó, і ÷àñ âèêîíàííÿ ðîáîòè?

561. (Óñíî) Âèçíà÷òå, ó ÿêèõ òàáëèöÿõ çàïèñàíî ïðÿìî ïðîïîðöіéíі âåëè÷èíè õ і ó.

1) õ 1 2 3 4ó 4 8 12 16

2) õ 8 10 16 20ó 4 5 8 12

3) õ 10 15 0,1 0,25ó 1 1,5 0,01 0,025

4) õ 2 4 3 10ó 10 20 27 90

562. Ùîá ïîøèòè 15 êîñòþìіâ, âèòðà÷àþòü 51 ì òêàíèíè. Ñêіëüêè ïîòðіáíî òêàíèíè, ùîá ïîøèòè 26 òàêèõ ñàìèõ êîñòþìіâ?

563. Çà 2 ãîä ìëèí çìîëîâ 13 ò çåðíà. Ñêіëüêè òîíí çåðíà ìîæíà çìîëîòè çà 6 ãîä, ÿêùî ïðîäóêòèâíіñòü ìëèíà є ñòà-ëîþ?

564. Ñòàëåâà êóëüêà îá’єìîì 4 ñì3 ìàє ìàñó 31,2 ã. ßêà ìàñà êóëüêè ç òàêîї ñòàëі, ÿêùî її îá’єì 6 ñì3?

565. Çà 1,5 ãîä òóðèñòè ïðîéøëè 5,1 êì. ßêó âіäñòàíü ïðî éäóòü òóðèñòè çà 2,5 ãîä, ÿêùî øâèäêіñòü їõ ðóõó є ñòàëîþ?

566. Çà 0,5 ë îëії çàïëàòèëè 7,6 ãðí. Ñêіëüêè òðåáà çà-ïëàòèòè çà 1,25 ë îëії? Ñêіëüêè îëії ìîæíà êóïèòè íà 22,8 ãðí?

567. Çà 0,4 êã êîâáàñè çàïëàòèëè 19,2 ãðí. Ñêіëüêè òðåáà çàïëàòèòè çà 0,6 êã òàêîї êîâáàñè? Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ òà-êîї êîâáàñè ìîæíà êóïèòè íà 36 ãðí?

568. Ç 10 êã ìîðñüêîї âîäè ìîæíà âèäîáóòè 0,7 êã ñîëі. Ñêіëüêè ìîæíà âèäîáóòè ñîëі ç 1 ò âîäè?

569. Ïëîùà ïðÿìîêóòíèêà 40 ñì2. ßêîþ ñòàíå ïëîùà, ÿêùî øèðèíà ïðÿìîêóòíèêà çàëèøèòüñÿ áåç çìіí, à äî-âæèíó: 1) çáіëüøèòè â 2,5 ðàçà; 2) çìåíøèòè â 5 ðàçіâ?



107

570. Îá’єì ïðÿìîêóòíîãî ïàðàëåëåïіïåäà äîðіâíþє 60 ñì3. ßêèì ñòàíå îá’єì öüîãî ïàðàëåëåïіïåäà, ÿêùî éîãî äîâ-æèíó і øèðèíó çàëèøèòè áåç çìіí, à âèñîòó:

1) çáіëüøèòè âäâі÷і; 2) çìåíøèòè âòðè÷і?

571. Ìàñà 10 ì3 ïîâіòðÿ äîðіâíþє 13 êã. Çíàéäè ìàñó ïîâіòðÿ â êіìíàòі, äîâæèíà ÿêîї 5 ì, øèðèíà — 4 ì, à âèñîòà — 2,5 ì.

572. Çàëіçíà êóëüêà, îá’єì ÿêîї 10 ñì3, ìàє ìàñó 79 ã. Âè-çíà÷ ìàñó êóáà, ðåáðî ÿêîãî äîðіâíþє 5 ñì, ÿêèé âèãîòîâ-ëåíî ç òàêîãî ñàìîãî çàëіçà.

573. Çà òðè äíі çіáðàëè âðîæàé ç 15 % óñієї ïëîùі ïîëÿ. Ñêіëüêè äíіâ òðåáà ïðàöþâàòè ùå, ùîá çіáðàòè âðîæàé ç 55 % ïîëÿ, ÿêùî ïðîäóêòèâíіñòü ïðàöі є ñòàëîþ?

574. Ðîçôàñóâàëè 0,9 ö êðóïè, ùî ñòàíîâèòü 46,8 % óñієї êðóïè, ùî çàâåçëè äî ìàãàçèíó. Ñêіëüêè êðóïè òðåáà ùå ðîçôàñóâàòè, ùîá âîíà ñòàíîâèëà 65 % ïðèâåçåíîї êðóïè?

575. Çàïîâíè â çîøèòі òàêó òàáëèöþ, ÿêùî ìіæ âåëè÷èíà-ìè à і b іñíóє ïðÿìà ïðîïîðöіéíіñòü:

à 9 10,2 4,2 99

b 1,4 4,5 19,7

576. Çà n êã äåÿêîãî òîâàðó çàïëàòèëè ñ ãðí. Âèçíà÷ öіíó êіëîãðàìà òîâàðó òà çàïîâíè â çîøèòі òàêó òàáëèöþ:

n, êã 7 10 3

c, ãðí 31,5 67,5 54

577. Ïðîòÿãîì òðüîõ ãîäèí 7 íàñîñіâ âèêà÷àëè 882 âіä-ðà âîäè. Ñêіëüêè âіäåð âîäè âèêà÷àþòü 4 òàêèõ íàñîñè çà 5 ãîä?

578. Äëÿ âîñüìè êîíåé íà 12 äíіâ çàãîòîâèëè 576 êã âіâñà. Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ âіâñà ñëіä çàãîòîâèòè äëÿ äåâ’ÿòè êî-íåé íà 10 äíіâ çà òàêîї ñàìîї íîðìè ñïîæèâàííÿ?

579. Çíàé äè âіäíîøåííÿ:1) 2 õâ äî 15 ñ; 2) 300 ì äî 12 êì;3) 0,2 êã äî 300 ã; 4) 0,8 ì2 äî 12 ñì2.


Ðîçäië 3

108


1) ; 2) .

581. 25 % îäíîãî ÷èñëà äîðіâíþþòü 40 % äðóãîãî. Çíàéäіòü âіäíîøåííÿ öèõ ÷èñåë.

582. Є îëіâöі ï’ÿòè êîëüîðіâ. Ñêіëüêè ðіçíèõ íàáîðіâ, ùî ìіñòÿòü ëèøå òðè îëіâöі ðіçíèõ êîëüîðіâ, ìîæíà ç íèõ ñêëàñòè?

Ïðèïóñòèìî, ùî íàì íåîáõіäíî ðîçãëÿíóòè êàðòó (÷è ïëàí) äåÿêîї ìіñöåâîñòі (àáî áóäіâëі ÷è ïðåäìåòà). Íà êàð-òі (ìàë. 5) âñі ðîçìіðè çìåíøåíî â îäíó é òó ñàìó êіëü-êіñòü ðàçіâ. Ó ñêіëüêè ðàçіâ íàñïðàâäі ðîçìіðè áіëüøі, íіæ íà êàðòі, ïîêàçóє ìàñøòàá êàðòè.

Íà ìàëþíêó 5 êàðòó âèêîíàíî â ìàñøòàáі 1 : 100 000. Öå îçíà÷àє, ùî âñі ðîçìіðè íàñïðàâäі â 100 000 ðàçіâ áіëü-øі, íіæ âіäïîâіäíі ðîçìіðè íà êàðòі. Íàïðèêëàä, ÿêùî íà êàðòі âіäñòàíü ìіæ ñåëàìè Êàëèíіâêà і ßáëóíåâå äîðіâ-íþє 4 ñì, òî íàñïðàâäі öÿ âіäñòàíü ñòàíîâèòü 4 100 000 400 000 ñì, òîáòî 4000 ì, àáî 4 êì.

Ìàë. 5

23.23. Масштаб. Знаходження відстаней на карті



109

Âіäíîøåííÿ äîâæèíè âіäðіçêà íà êàðòі (÷è ïëà-íі) äî äîâæèíè âіäïîâіäíîãî âіäðіçêà íà ìіñöå-âîñòі íàçèâàþòü ìàñøòàáîì êàðòè (÷è ïëàíà).

Îòæå, ìàñøòàá çàïèñóєòüñÿ ÿê ÷àñòêà (íàïðèêëàä, 1 : 100, 1 : 2000, 1 : 1 000 000), äіëåíèì ÿêîãî є îäèíè-öÿ, à äіëüíèê ïîêàçóє, ó ñêіëüêè ðàçіâ ðåàëüíі ðîçìіðè áіëüøі, íіæ ðîçìіðè íà êàðòі (àáî ïëàíі). Òàê, ìàñøòàá 1 : 2000 îçíà÷àє, ùî îäíîìó ñàíòèìåòðó íà ïëàíі âіäïîâі-äàє 2000 ñì, òîáòî 20 ì íà ìіñöåâîñòі.

Çàäà÷і, ïîâ’ÿçàíі ç ìàñøòàáîì, ðîçâ’ÿçóþòü íå òіëüêè ó ìàòåìàòèöі, à é ó ãåîãðàôії, ãåîäåçії òîùî. Öі çàäà÷і ìîæ-íà ðîçâ’ÿçóâàòè íà îñíîâі îçíà÷åííÿ ìàñøòàáó.

Ïðèêëàä 1. Âіäîìî, ùî 100 ì — öå 1 ñì íà êàðòі. ßêèé ìàñøòàá öієї êàðòè?

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. 100 ì 10 000 ñì. Òîìó ìàñøòàá 1 : 10 000.

Ïðèêëàä 2. Ìàñøòàá êàðòè 1 : 100 000. Ìіæ ñåëàìè Âèøíåâå òà ßáëóíåâå âіäñòàíü 6 êì. ßêà âіäñòàíü ìіæ çî-áðàæåííÿìè öèõ ñіë íà êàðòі?

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ . Îñêіëüêè 100 000 ñì 1 êì, òî 1 êì — öå 1 ñì íà êàðòі, òîìó âіäñòàíü 6 êì — öå 6 ñì íà êàðòі (ìàë. 5).

Ïðèêëàä 3. Âіäñòàíü ìіæ äâîìà ìіñòàìè 400 êì, à íà êàðòі öіé âіäñòàíі âіäïîâіäàє âіäñòàíü 10 ñì. ßêèé ìàñø-òàá öієї êàðòè?

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ . Îäíîìó ñàíòèìåòðó íà êàðòі âіäïîâіäà-þòü 400 : 10 40 êì, òîáòî 4 000 000 ñì. Òîìó ìàñøòàá êàðòè 1 : 4 000 000.

Îñêіëüêè âіäíîøåííÿ äîâæèíè âіäðіçêà íà êàðòі (÷è ïëàíі) äî äîâæèíè âіäïîâіäíîãî âіäðіçêà íà ìіñöåâîñ-òі є ÷èñëîì ñòàëèì, òî öі âåëè÷èíè — ïðÿìî ïðîïîðöіé-íèìè. Òîìó çàäà÷і, ïîâ’ÿçàíі ç ìàñøòàáîì, ìîæíà òàêîæ ðîçâ’ÿçóâàòè çà äîïîìîãîþ ïðîïîðöії.

Çàäà÷à. Âіäñòàíü ìіæ äâîìà ìіñòàìè íà ìіñöåâîñòі äî-ðіâíþє 280 êì. ßêà âіäñòàíü ìіæ öèìè ìіñòàìè íà êàðòі, ìàñøòàá ÿêîї 1 : 4 000 000?

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Îñêіëüêè ìàñøòàá êàðòè 1 : 4 000 000, òî 1 ñì íà êàðòі — öå 4 000 000 ñì 40 000 ì 40 êì íà ìіñöåâîñòі. Íåõàé âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè íà êàðòі äîðіâíþє õ ñì. Çàïèøåìî äàíі çàäà÷і ñõåìàòè÷íî:


Ðîçäië 3

110

1 ñì — 40 êì;õ ñì — 280 êì.

Âіäñòàíü íà ìіñöåâîñòі ïðÿìî ïðîïîðöіéíà âіäñòàíі íà êàðòі. Ìàєìî ïðîïîðöіþ:

, çâіäñè 40x 280, õ 7 (ñì).

Â іäïîâ іäü. 7 ñì.

Ùî íàçèâàþòü ìàñøòàáîì êàðòè (÷è ïëàíà)? ßê çàïèñóþòü ìàñøòàá? Ùî îçíà÷àє ìàñøòàá, çàïè-ñàíèé íà êàðòі 1 : 10 000; çàïèñàíèé íà ïëàíі çå-ìåëüíîї äіëÿíêè 1 : 2000? ßêèìè ñïîñîáàìè ìîæ-íà ðîçâ’ÿçóâàòè çàäà÷і, ïîâ’ÿçàíі ç ìàñøòàáîì?

583. Ó ñêіëüêè ðàçіâ âіäñòàíü íà êàðòі ìåíøà âіä âіä-ñòàíі íà ìіñöåâîñòі, ÿêùî ìàñøòàá êàðòè:

1) 1 : 10 000; 2) 1 : 200 000; 3) 1 : 1 000 000?

584. Ñêіëüêîì êіëîìåòðàì íà ìіñöåâîñòі âіäïîâіäàє 1 ñì íà êàðòі ç ìàñøòàáîì:

1) 1 : 100 000; 2) 1 : 500 000; 3) 1 : 3 000 000?

585. Âèçíà÷ ìàñøòàá êàðòè (ïëàíó, ñõåìè), ÿêùî:1) 1 ñì íà ñõåìі — 50 ì íà ìіñöåâîñòі;2) 1 ñì íà ïëàíі — 1 êì íà ìіñöåâîñòі;3) 1 ñì íà êàðòі — 120 êì íà ìіñöåâîñòі.

586. Âèçíà÷ ìàñøòàá êàðòè (ïëàíó), ÿêùî:1) 1 ñì íà ïëàíі — 25 ì íà ìіñöåâîñòі;2) 1 ñì íà êàðòі — 3 êì íà ìіñöåâîñòі.

587. Íà ïëàíі çåìåëüíîї äіëÿíêè âêàçàíî ìàñøòàá 1 : 1000. Âіäîìî, ùî âіäñòàíü ìіæ òî÷êàìè íà ïëàíі:

1) 1 ñì; 2) 2 ñì; 3) 4,5 ñì; 4) 13,7 ñì.Îá÷èñëè âіäïîâіäíі âіäñòàíі íà ìіñöåâîñòі.

588. Íà ïëàíі çåìåëüíîї äіëÿíêè âêàçàíî ìàñøòàá 1 : 2000. Âіäîìî, ùî âіäñòàíü ìіæ òî÷êàìè íà ïëàíі:

1) 1 ñì; 2) 2,6 ñì. Îá÷èñëè âіäïîâіäíі âіäñòàíі íà ìіñöåâîñòі.



111

589. Âіäñòàíü ìіæ äâîìà ìіñòàìè íà êàðòі, ìàñøòàá ÿêîї 1 : 400 000, äîðіâíþє 3,7 ñì. Îá÷èñëè âіäñòàíü ìіæ öèìè ìіñòàìè íà ìіñöåâîñòі.

590. Âèçíà÷ çà êàðòîþ (ìàë. 6) ïðèáëèçíó âіäñòàíü ìіæ ìіñ-òàìè:

1) Âіííèöÿ і Êèїâ; 2) Óæãîðîä і Õàðêіâ;3) ×åðíіãіâ і Ñіìôåðîïîëü; 4) Ëóöüê і Äîíåöüê.

591. Âèêîíàé íåîáõіäíі âèìіðþâàííÿ і çíàéäè çà ìàëþí-êîì 5:

1) âіäñòàíü ìіæ ñåëèùàìè Êàëèíіâêà і Ñîñíіâêà;2) âіäñòàíü ìіæ ñåëèùàìè Ñîñíіâêà òà ßáëóíåâå;3) âіäñòàíü âіä ñåëèùà Âèøíåâå äî ñòàíöії.

Ìàë. 6

592. Äîâæèíà êàáіíåòó ìàòåìàòèêè 8 ì, à øèðèíà 5 ì. Íàêðåñëè ïëàí êàáіíåòó â ìàñøòàáі 1 : 100.

593. Âèìіðÿé ëіíіéêîþ ðîçìіðè îáêëàäèíêè öüîãî ïіäðó÷-íèêà і íàêðåñëè її â çîøèòі, çìåíøèâøè ðîçìіðè â 5 ðà-çіâ. ßêèì áóäå ìàñøòàá öüîãî ìàëþíêà?


Ðîçäië 3

112

594. Íà ìàëþíêó 7 çîáðàæåíî ïëàí çåìåëüíîї äіëÿíêè ïðÿìî-êóòíîї ôîðìè. Âèêîíàé íåîáõіäíі âèìіðþâàííÿ òà çíàéäè ïåðèìåòð і ïëîùó äіëÿíêè.

595. Âіäñòàíü ìіæ äâîìà ìіñòà-ìè äîðіâíþє 120 êì. ßêîþ áóäå âіäñòàíü ìіæ çîáðàæåííÿìè öèõ ìіñò íà êàðòі ç ìàñøòàáîì 1 : 800 000?

596. Âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè ×åðíіãіâ і Ñóìè äîðіâíþє 240 êì. ßêîþ áóäå âіäñòàíü ìіæ çîáðàæåííÿìè öèõ ìіñò íà êàðòі ç ìàñøòàáîì 1 : 3 000 000?

597. Ïіøîõіä âèðóøèâ іç ñåëèùà Êàëèíіâêà äî çàëіçíè÷-íîї ñòàíöії (êàðòà ìіñöåâîñòі íà ìàë. 5). Øâèäêіñòü ïіøî-õîäà äîðіâíþє 80 ì/õâ. Çà ñêіëüêè õâèëèí ïіøîõіä äіéäå äî ñòàíöії?

598. Âèêîðèñòîâóþ÷è êàðòó (ìàë. 6), çíàéäè âіäñòàíü âіä Æèòîìèðà äî Ïîëòàâè òà âèçíà÷, çà ñêіëüêè ïðèáëèç-íî ãîäèí ïðîїäå öþ âіäñòàíü àâòîìîáіëü, ùî ðóõàєòüñÿ çі øâèäêіñòþ 70 êì/ãîä.

599. Ñåðãіé, ùî ìåøêàє â ñåëèùі Âèøíåâå, éäå ïî äîðî-çі äî áàáóñі â ñåëèùå Êàëèíіâêà (äèâ. êàðòó íà ìàë. 5). Øâèäêіñòü Ñåðãіÿ äîðіâíþє 5 êì/ãîä. Ïіäіéøîâøè äî ñòàíöії, Ñåðãіé áóâ âèìóøåíèé ÷åêàòè 5 õâ, ïîêè ïðîéäå ïîòÿã. Ñêіëüêè ïðèáëèçíî ÷àñó áóâ ó äîðîçі Ñåðãіé?

600. Äîâæèíà ãàçîïðîâîäó 360 êì. Çîáðàçè âіäðіçêîì öåé ãàçîïðîâіä ó ìàñøòàáі 1 : 10 000 000.

601. Äîâæèíà çàëіçíèöі 480 êì. Çîáðàçè âіäðіçêîì öþ çà-ëіçíèöþ â ìàñøòàáі 1 : 8 000 000.

602. Âіäñòàíü ìіæ äâîìà ìіñòàìè íà ìіñöåâîñòі 126 êì, à íà êàðòі 10,5 ñì. Çíàé äè ìàñøòàá êàðòè.

603. Çàïîâíè òàáëèöþ.

Рівне – ЖитомирМасштаб 1 : 4 000 000 1 : 5 000 000Відстань на карті, см 4,5 9Відстань на місцевості, км 180 180

Ìàñøòàá 1 : 2000

Ìàë. 7



113

604. Ïðîéøîâøè âіä äîìó äî øêîëè, Áóðàòіíî çðîáèâ 500 êðîêіâ. Äîâæèíà êðîêó Áóðàòіíî ñòàíîâèòü 0,7 ì. Çî-áðàçè âіäðіçêîì âіäñòàíü âіä äîìó äî øêîëè â ìàñøòàáі 1 : 10 000.

605. Ðóõàþ÷èñü çі øâèäêіñòþ 80 êì/ãîä, àâòîìîáіëü ïðî-їõàâ âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè À і Â çà 1,5 ãîä. Çîáðàçè âіäðіç-êîì öþ âіäñòàíü ó ìàñøòàáі 1 : 5 000 000.

606. Âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè Ì і N íà ìіñöåâîñòі äîðіâíþє 150 êì, à íà êàðòі — 2,5 ñì. Çíàéäè âіä-ñòàíü íà ìіñöåâîñòі ìіæ ìіñòà-ìè À і Â, ÿêùî âіäñòàíü ìіæ íè-ìè íà öіé ñàìіé êàðòі äîðіâíþє 4,5 ñì.

607. Âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè K і L íà ìіñöåâîñòі äîðіâíþє 160 êì, à íà êàðòі — 3,2 ñì. Âèçíà÷ âіä-ñòàíü íà êàðòі ìіæ ìіñòàìè Ñ і D, ÿêùî âіäñòàíü ìіæ íèìè íà ìіñöåâîñòі äîðіâíþє 240 êì.

608. Ðîçìіðè äіëÿíêè ïðÿìîêóòíîї ôîðìè 16 ì і 10 ì. Íà-êðåñëè ïëàí äіëÿíêè â ìàñøòàáі 1 : 200. Çíàé äè ïëîùó äі-ëÿíêè òà ïëîùó ïëàíó äіëÿíêè. Ó ñêіëüêè ðàçіâ ïëîùà äі-ëÿíêè áіëüøà çà ïëîùó ïëàíó? Çðîáè âèñíîâêè.

609. Êëàñíó êіìíàòà íà ïëàíі ç ìàñøòàáîì 1 : 50 çîáðàæå-íî ïðÿìîêóòíèêîì ç ðîçìіðàìè 8 ñì і 12 ñì. Ñêіëüêè êі-ëîãðàìіâ ôàðáè íåîáõіäíî äëÿ òîãî, ùîá ïîôàðáóâàòè ïіä-ëîãó öієї êіìíàòè, ÿêùî íà 1 ì2 ïіäëîãè éäå 0,2 êã ôàðáè?

610. Âіäñòàíü íà êàðòі ìіæ ïóíêòàìè À і Â äîðіâíþє 8,4 ñì, à ìіæ ïóíêòàìè Â і Ñ — 7,2 ñì. Íà ìіñöåâîñòі âіä-ñòàíü ìіæ À і Â äîðіâíþє 21 êì. Çíàé äè ìàñøòàá êàðòè òà âіäñòàíü ìіæ Â і Ñ íà ìіñöåâîñòі.

611. Âіäñòàíü íà ìіñöåâîñòі ìіæ ïóíêòàìè À і Â äîðіâíþє 6,4 êì, à ìіæ ïóíêòàìè Â і Ñ — 4,8 êì. Ïðè öüîìó íà êàðòі âіäñòàíü ìіæ À і Â äîðіâíþє 1,6 ñì. Çíàé äè ìàñøòàá êàðòè òà âіäñòàíü ìіæ Â і Ñ íà êàðòі.

612. Íîðìè âèñіâó ïøåíèöі — 0,175 ò íà 1 ãà. Ñêіëüêè ïøåíèöі ïîòðіáíî äëÿ çàñіâó ïðÿìîêóòíîї äіëÿíêè, ðîçìіðè ÿêîї íà ïëàíі ç ìàñøòàáîì 1 : 20 000 äîðіâíþþòü 8 ñì і 6 ñì?


Ðîçäië 3

114

613. Âіäñòàíü ìіæ äâîìà ìіñòàìè íà îäíіé êàðòі äîðіâ-íþє 6,4 ñì, à íà іíøіé — 12,8 ñì. Ìàñøòàá ïåðøîї êàðòè 1 : 3 000 000. Çíàé äè ìàñøòàá äðóãîї êàðòè. Çðîáè âèñíîâîê.

614. Âіäñòàíü ìіæ äâîìà ñåëèùàìè íà êàðòі ç ìàñøòàáîì 1 : 20 000 äîðіâíþє 8 ñì. ßêîþ áóäå âіäñòàíü ìіæ öèìè ñåëèùàìè íà іíøіé êàðòі ç ìàñøòàáîì 1 : 10 000? Çðîáè âèñíîâîê.

615. Ùî îçíà÷àє ìàñøòàá: 1) 10 : 1; 2) 100 : 1? Ó ÿêèõ âèïàäêàõ çàñòîñîâóþòü öåé ìàñøòàá?

616. Äîâæèíà êðèëà êîìàõè, ÿêó íàìàëüîâàíî â ìàñ-øòàáі 50 : 1, äîðіâíþє 20 ñì. Çíàé äè äіéñíó äîâæèíó êðèëà.

617. Ïîáóäóé êóò MKN, ùî äîðіâíþє 80. Ïîçíà÷ íà ñòîðîíі KÌ òî÷êó D, à íà ñòîðîíі KN — òî÷êó Ñ. Ñïîëó÷è òî÷êè D і Ñ. Âèìіðÿé ñòîðîíè òðèêóòíèêà, ùî óòâîðèâñÿ, òà çíàéäè éîãî ïåðèìåòð.

618. Ñêіëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà âèøèêóâàòè â îäèí ðÿä ÷îòèðüîõ ó÷íіâ?

619. Çíàé äè ïðіçâèùå âèäàòíîãî óêðàїíñüêîãî ïèñü-ìåííèêà:

1 2 3 4 5 6

24.24. Поділ числа у даному відношенні

Ðîçãëÿíåìî çàäà÷і, â ÿêèõ âèìàãàєòüñÿ ïîäіëèòè ÷èñëî àáî çíà÷åííÿ âåëè÷èíè ó äàíîìó âіäíîøåííі, òîáòî íà ÷àñ-òèíè, ïðîïîðöіéíі äåÿêèì ÷èñëàì. Òàêі çàäà÷і íàçèâàþòü çàäà÷àìè íà ïîäіë ÷èñëà ó äàíîìó âіäíîøåííі àáî çàäà÷à-ìè íà ïðîïîðöіéíèé ïîäіë.

Çàäà÷à 1. Ñïëàâ ìàñîþ 30 êã ñêëàäàєòüñÿ іç çàëіçà і ìіäі, ÿêі âçÿòî ó âіäíîøåííі 3 : 2. Ñêіëüêè ó ñïëàâі çàëіçà і ñêіëüêè ìіäі?



115

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. І ñïîñіá. (Ìàë. 8). Ìàñè çàëіçà і ìіäі âіä-íîñÿòüñÿ ÿê 3 : 2, òîáòî äî ñïëàâó âõîäèòü 3 ÷àñòèíè çàëіçà і 2 ÷àñòèíè ìіäі. Âñüîãî ìàєìî 3 + 2 5 (÷àñòèí). Îñêіëüêè ï’ÿòè ÷àñòèíàì âіäïîâіäàє 30 êã, òî íà îäíó ÷àñòèíó ïðè-ïàäàє 30 : 5 6 (êã). Òîäі çàëіçà ó ñïëàâі 6 3 18 (êã), à ìіäі 6 2 12 (êã).

Ìàë. 8 Ìàë. 9

II ñïîñіá. (Ìàë. 9). Ïîçíà÷èìî ìàñó îäíієї ÷àñòèíè áóê-âîþ x. Îñêіëüêè çàëіçà âçÿòî òðè ÷àñòèíè, òî éîãî ó ñïëàâі õ + õ + õ 3õ (êã), à ìіäі âçÿòî äâі ÷àñòèíè, òîìó її ó ñïëàâі õ + õ 2õ (êã).

Çà óìîâîþ ìàєìî ðіâíÿííÿ 3õ + 2õ 30. Òîäі 5õ 30. Îòæå, õ 6 (êã) — ìàñà îäíієї ÷àñòèíè, òîáòî 6 3 18 (êã) — âçÿòî çàëіçà, 6 2 12 (êã) — ìіäі.

Â іäïîâ іäü. 18 êã çàëіçà і 12 êã ìіäі.

×àñòî ÷èñëî àáî çíà÷åííÿ âåëè÷èíè íåîáõіäíî ïîäіëèòè íà òðè і áіëüøå ÷àñòèí. Òàê, íàïðèêëàä, ÿêùî ÷èñëî òðåáà ïîäіëèòè íà òðè ÷àñòèíè, ïðîïîðöіéíî ÷èñëàì 2, 3 і 4, òî êàæóòü, ùî ÷èñëî òðåáà ïîäіëèòè ó âіäíîøåííі 2 : 3 : 4; ÿêùî âіäðіçîê òðåáà ïîäіëèòè ïðîïîðöіéíî ÷èñëàì 3, 7, 5 і 1, òî êàæóòü, ùî âіäðіçîê òðåáà ïîäіëèòè ó âіäíîøåííі 3 : 7 : 5 : 1.

Çàäà÷à 2. Ìіæ ìàìîþ, òàòîì і їõíіì ñèíîì ïîäіëèëè ÿáëóêà ó âіäíîøåííі 2 : 1 : 3. Ñêіëüêè ÿáëóê îòðèìàëà ìàìà і ñêіëüêè òàòî, ÿêùî ñèí îòðèìàâ 12 ÿáëóê?

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Îñêіëüêè òðüîì ÷àñòèíàì âіäïîâіäàþòü 12 ÿáëóê, òî íà îäíó ÷àñòèíó ïðèïàäàє 12 : 3 4 (ÿáëóêà). Îòæå, òàòî îòðèìàâ 4 ÿáëóêà, à ìàìà — 4 2 8 (ÿáëóê).

Â іäïîâ іäü . 4 ÿáëóêà — òàòî, 8 ÿáëóê — ìàìà.

Ïîÿñíè õіä ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷і 1 (І ñïîñіá і II ñïî-ñіá) òà çàäà÷і 2.

620. (Óñíî) Øàïîêëÿê і êðîêîäèë Ãåíà ãðàëè â òåíіñ. Êіëüêіñòü ïàðòіé, ÿêі âèãðàëà Øàïîêëÿê, âіäíîñèòüñÿ äî êіëüêîñòі ïàðòіé, ÿêі âèãðàâ Ãåíà, ÿê 1 : 3. Ñêіëüêè ïàð-òіé âèãðàëà Øàïîêëÿê, ÿêùî Ãåíà âèãðàâ 6 ïàðòіé?


Ðîçäië 3

116

621. Êіëüêіñòü çàäà÷, ÿêі ðîçâ’ÿçàâ Þðêî, âіäíîñèòüñÿ äî êіëüêîñòі çàäà÷, ÿêі âіí íå ðîçâ’ÿçàâ, ÿê 1 : 2. Ñêіëüêè çàäà÷ ðîçâ’ÿçàâ Þðêî, ÿêùî éîìó çàëèøèëîñÿ ðîçâ’ÿçàòè 4 çàäà÷і?

622. Ïîäіëè:1) ÷èñëî 21 íà äâі ÷àñòèíè ó âіäíîøåííі 2 : 5;2) ÷èñëî 48 íà òðè ÷àñòèíè ó âіäíîøåííі 3 : 7 : 2.

623. Ïîäіëè:1) ÷èñëî 210 íà äâі ÷àñòèíè ó âіäíîøåííі 7 : 3;2) ÷èñëî 104 íà òðè ÷àñòèíè ó âіäíîøåííі 2 : 5 : 6.

624. Ëàòóíü — öå ñïëàâ ìіäі і öèíêó, ìàñè ÿêèõ âіäíîñÿòü-ñÿ ÿê 3 : 2. Äëÿ âèãîòîâëåííÿ øìàòêà ëàòóíі ïîòðіáíî 240 ã ìіäі. Ñêіëüêè òðåáà âçÿòè öèíêó, ùîá âèïëàâèòè òà-êèé øìàòîê ëàòóíі?

625. Ñïëàâ ìіñòèòü 3 ÷àñòèíè öèíêó і 4 ÷àñòèíè çàëіçà. Ñêіëüêè òðåáà âçÿòè öèíêó äëÿ òàêî-ãî ñïëàâó, ÿêùî çàëіçà âçÿòî 240 êã?

626. Äëÿ âèãîòîâëåííÿ ñîêó áåðóòü 3 ÷àñòèíè ôðóêòіâ і 5 ÷àñòèí âîäè. Ñêіëüêè ôðóêòіâ òðåáà âçÿòè, ùîá îòðèìàòè 96 êã ñîêó?

627. Ïåðèìåòð òðèêóòíèêà äîðіâíþє 60 äì, à äîâæèíè ñòîðіí âіäíîñÿòüñÿ ÿê 6 : 5 : 4. Çíàé äè ñòîðîíè òðèêóòíèêà.

628. Ñòîðîíè òðèêóòíèêà âіäíîñÿòüñÿ ÿê 4 : 7 : 8. Ñóìà íàéáіëüøîї і íàéìåíøîї ñòîðіí äîðіâíþє 36 ñì. Çíàé äè äî-âæèíó ñåðåäíüîї ñòîðîíè.

629. Ñòîðîíè òðèêóòíèêà âіäíîñÿòüñÿ ÿê 2 : 3 : 4. Ðіçíè-öÿ íàéáіëüøîї і íàéìåíøîї ñòîðіí äîðіâíþє 12 ñì. Çíàé äè ñòîðîíè òðèêóòíèêà.

630. Òðè áóäіâåëüíèêè, ÿêі ìàþòü îäíàêîâó ïðîäóêòèâ-íіñòü ïðàöі, âñòàíîâëþâàëè ïàðêàí ó çàìіñüêîìó áóäèíêó. Ïåðøèé ïðàöþâàâ 5 äíіâ ïî 6 ãîä ùîäíÿ, äðóãèé — 8 äíіâ ïî 5 ãîä ùîäíÿ, òðåòіé — 4 äíі ïî 7 ãîä ùîäíÿ. Çà âñòà-íîâëåíèé ïàðêàí їì çàïëàòèëè 3430 ãðí. Ïî ñêіëüêè ãðè-âåíü îòðèìàâ êîæåí áóäіâåëüíèê?

631. Íà ñïîðóäæåííі áóäèíêó ïðàöþâàëî òðè áðèãàäè. Ó ïåð øіé áðèãàäі 8 ðîáіòíèêіâ ïðàöþâàëî 10 äíіâ, ó äðó-ãіé 10 ðîáіòíèêіâ ïðàöþâàëî 9 äíіâ, ó òðåòіé 6 ðîáіòíè-



117

êіâ ïðàöþâàëî 12 äíіâ. Çà ðîáîòó âñі òðè áðèãàäè ðàçîì îòðèìàëè 31 460 ãðí. Ïî ñêіëüêè ãðèâåíü îòðèìàëà êîæíà áðèãàäà, ÿêùî ïðîäóêòèâíіñòü ïðàöі âñіõ ðîáіòíèêіâ îäíà-êîâà?

632. Ïîäіëè ÷èñëî 182 íà òðè ÷àñòèíè õ, ó і z òàê, ùîá õ : ó 2 : 1, ó : z 3 : 4.

633. Іç 25 ë ìîëîêà îòðèìóþòü 3 ë âåðøêіâ. Ñêіëü-êè âåðøêіâ îòðèìàþòü ç 35 ë ìîëîêà? Ñêіëüêè òðåáà ìîëîêà, ùîá îòðèìàòè 7,5 ë âåðøêіâ?

634. Ñïðîñòè âіäíîøåííÿ: 1) 875 : 1125; 2) .

635. Îäíієþ ç ðîáіò âіäîìîãî óêðàїíñüêîãî ìàéñòðà ìі-êðîìіíіàòþð Ìèêîëè Ñåðãіéîâè÷à Ñÿäðèñòîãî, є íàéìåíøà ó ñâіòі ñêðèïêà, äîâæèíà ÿêîї 3,45 ìì. Ñïðàâæíÿ äîâæè-íà ñêðèïêè äîðіâíþє 58—59 ñì. Â ÿêîìó ìàñøòàáі (ïðè-áëèçíî) ìàéñòåð âèêîíàâ ñâîþ ìіêðîìіíіàòþðó?

25.25. Ймовірність випадкової події

Ìè ÷àñòî ãîâîðèìî: «öå ìîæëèâî», «öå íåìîæëèâî», «öå ìàëîéìîâіðíî», «öå äîñèòü іìîâіðíî», «öå îáîâ’ÿçêîâî âіäáóäåòüñÿ», «öüîãî íіêîëè íå áóäå». Óñі öі òâåðäæåí-íÿ íàé÷àñòіøå âæèâàþòü, êîëè ìîâà éäå ïðî ìîæëèâіñòü çäіéñíåííÿ ïåâíèõ ïîäіé.

Ïðî ïîäії «ïіñëÿ 9 ãðóäíÿ íàñòàíå 10 ãðóäíÿ» і «ïіñëÿ íàãðіâàííÿ âîäè äî 100 Ñ âîíà êèïіòèìå» ìîæíà ñêàçàòè, ùî âîíè âіäáóäóòüñÿ çàêîíîìіðíî. Ïîäії «ïðè ïіäêèäàííі ãðàëüíîãî êóáèêà âèïàäå 6 î÷îê», «ïðè ïіäêèäàííі ìîíå-òè âèïàäå ãåðá», «ó ïîøòîâó ñêðèíüêó ïðèéäå 2 ëèñòè» ìîæóòü âіäáóòèñÿ, à ìîæóòü і íå âіäáóòèñÿ. Òàêі ïîäії íà-çèâàþòü âèïàäêîâèìè.

Âèïàäêîâà ïîäіÿ — ïîäіÿ, ÿêà çà îäíèõ і òèõ ñà-ìèõ óìîâ ìîæå âіäáóòèñÿ, à ìîæå íå âіäáóòèñÿ.

Ïðèêëàä. Ó ÿùèêó çíàõîäÿòüñÿ ëèøå 5 áіëèõ і 5 ÷îð-íèõ êóëüîê. Ç íüîãî íàâìàííÿ âèéìàþòü îäíó êóëüêó. ßêі ç ïîäіé À, Â, Ñ, D ïðè öüîìó ìîæóòü âіäáóòèñÿ:

À – âèéíÿòî áіëó êóëüêó; Â – âèéíÿòî ÷îðíó êóëüêó;Ñ – âèéíÿòî çåëåíó êóëüêó; D – âèéíÿòî êóëüêó?


Ðîçäië 3

118

Îñêіëüêè ç ÿùèêà ìîæíà âèéíÿòè ëèøå òå, ùî â íüî-ìó çíàõîäèòüñÿ, òî âèéíÿòè áіëó àáî ÷îðíó êóëüêó ìîæíà, à çåëåíó – íі. Ìîæíà òàêîæ ñòâåðäæóâàòè, ùî áóäü-ÿêèé ïðåäìåò, ÿêèé íàâìàííÿ âèéìàþòü ç ÿùèêà, áóäå êóëü-êîþ, áî òàì, êðіì êóëüîê, íі÷îãî íåìàє. Îòæå, ó âèùåíà-âåäåíîìó ïðèêëàäі ïîäії À і Â ìîæóòü âіäáóòèñÿ, ïîäіÿ Ñ íå ìîæå âіäáóòèñÿ, à ïîäіÿ D îáîâ’ÿçêîâî âіäáóäåòüñÿ.

Ïîäіþ, ÿêà çà äàíèõ óìîâ îáîâ’ÿçêîâî âіäáóäåòü-ñÿ, íàçèâàþòü âіðîãіäíîþ.Ïîäіþ, ÿêà çà äàíèõ óìîâ íå ìîæå âіäáóòèñÿ, íà-çèâàþòü íåìîæëèâîþ.

Ó ðîçãëÿíóòîìó ïðèêëàäі: ïîäіÿ D — âіðîãіäíà, à ïî-äіÿ Ñ — íåìîæëèâà.

ßêùî âñі êóëüêè â ðîçãëÿíóòîìó ïðèêëàäі îäíàêîâі, òî éìîâіðíіñòü âèéíÿòè áóäü-ÿêó ç íèõ òàêà ñàìà, ÿê і éìîâіð íіñòü âèéíÿòè іíøó. Òàêі ñèòóàöії áóäåìî ðîçãëÿäà-òè é íàäàëі.

Îñêіëüêè â ÿùèêó îäíàêîâà êіëüêіñòü áіëèõ і ÷îðíèõ êóëüîê, òî ìàєìî ðіâíі øàíñè íàâìàííÿ âèòÿãíóòè áіëó àáî ÷îðíó êóëüêó. Íіÿêèõ іíøèõ êóëüîê ó ÿùèêó íåìàє, òîìó ÿêùî âèòÿãóâàòè êóëüêè âåëèêó êіëüêіñòü ðàçіâ, ïіñ-ëÿ êîæíîãî ç ÿêèõ ïîâåðòàòè êóëüêó â ÿùèê, òî ìîæíà ñêàçàòè, ùî ïðèáëèçíî â ïîëîâèíі âèïàäêіâ áóäå âèòÿãíó-òî áіëó êóëüêó і â ïîëîâèíі âèïàäêіâ — ÷îðíó.

×èñëî 0,5 (ïîëîâèíà) — öå éìîâіðíіñòü âèïàäêîâîї ïîäії «âèéíÿòî áіëó êóëüêó». Éìîâіðíіñòü ïîäії À ïîçíà-÷àþòü Ð(À) àáî p(À) (ïåðøà áóêâà ôðàíöóçüêîãî ñëîâà probabilite, ùî ïåðåêëàäàєòüñÿ ÿê ìîæëèâіñòü, éìîâіð-íіñòü). Îòæå, ìîæíà çàïèñàòè: Ð(À) 0,5 àáî p(À) 0,5 (÷èòàþòü: «éìîâіðíіñòü ïîäії À äîðіâíþє 0,5»). ßêùî ó çàäà÷і ðîçãëÿäàþòü ëèøå îäíó ïîäіþ, òî її éìîâіðíіñòü ìîæíà ïîçíà÷àòè Ð àáî p.

Öþ éìîâіðíіñòü ìîæíà îäåðæàòè, ÿêùî êіëüêіñòü áі-ëèõ êóëüîê, òîáòî 5, ïîäіëèòè íà êіëüêіñòü óñіõ êóëüîê,

òîáòî 10. Ìàєìî . Ìîæíà ñôîðìóëþâàòè

îçíà ÷åííÿ éìîâіðíîñòі:

éìîâіðíіñòþ âèïàäêîâîї ïîäії À íàçèâàþòü âіäíî-øåííÿ êіëüêîñòі âèïàäêіâ, ùî ñïðèÿþòü ïîÿâі ïî-äії À, äî êіëüêîñòі âñіõ ðіâíîìîæëèâèõ âèïàäêіâ.



119

Öå ìîæíà çàïèñàòè ôîðìóëîþ òàê:

,

äå ò — êіëüêіñòü âèïàäêіâ, ùî ñïðèÿþòü ïîÿâі ïîäії À, à ï — êіëüêіñòü âñіõ ìîæëèâèõ âèïàäêіâ.

Ðîçãëÿíóòå îçíà÷åííÿ ùå ïðèéíÿòî íàçèâàòè êëàñè÷-íèì îçíà÷åííÿì éìîâіðíîñòі.

Іíîäі éìîâіðíіñòü âèðàæàþòü ó âіäñîòêàõ, òîäі ó íàâå-äåíîìó ïðèêëàäі Ð(À) 50 %.

Çàäà÷à 1. Ó ëîòåðåї 100 áіëåòіâ, ç íèõ 7 — âèãðàøíі. Çíàéäè éìîâіðíіñòü âèãðàøó (ïîäіÿ À); ïðîãðàøó (ïîäіÿ B) ïðè êóïіâëі îäíîãî áіëåòà.

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. 1) . 2) Íåâèãðàø-

íèõ áіëåòіâ: 100 – 7 93. Òîìó éìîâіðíіñòü ïðîãðàøó

.

Çàäà÷à 2. Ç êîðîáêè, ó ÿêіé çíàõîäÿòüñÿ òіëüêè 6 ÷åð-âîíèõ îëіâöіâ, íàâìàííÿ âèòÿãóþòü îëіâåöü. Çíàéäè éìî-âіðíіñòü òàêèõ ïîäіé:

À — âèòÿãíóòî ÷åðâîíèé îëіâåöü;Â — âèòÿãíóòî ñèíіé îëіâåöü.

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Ïîäіÿ À є âіðîãіäíîþ â äàíèõ óìîâàõ, îñêіëüêè â êîðîáöі ëèøå ÷åðâîíі îëіâöі. Çíàéäåìî її éìî-

âіðíіñòü: . Ïîäіÿ Â â äàíèõ óìîâàõ íåìîæëèâà,

îñêіëüêè â êîðîáöі íåìàє ñèíіõ îëіâöіâ (їõ êіëüêіñòü äîðіâ-

íþє íóëü ). Çíàéäåìî éìîâіðíіñòü ïîäії Â:

.

Ïðèõîäèìî äî âèñíîâêó, ùî éìîâіðíіñòü âіðîãіäíîї ïî-äії äîðіâíþє 1, à éìîâіðíіñòü íåìîæëèâîї ïîäії äîðіâíþє 0.

ßêó ïîäіþ íàçèâàþòü âèïàäêîâîþ? Íàâåäè ïðè-êëàä âèïàäêîâîї ïîäії. ßêó ïîäіþ íàçèâàþòü âі-ðîãіäíîþ, ÿêó — íåìîæëèâîþ? ßê çíàéòè éìîâіð-íіñòü âèïàäêîâîї ïîäії? ×îìó äîðіâíþє éìîâіðíіñòü âіðîãіäíîї ïîäії; íåìîæëèâîї ïîäії?


Ðîçäië 3

120

636. Ñåðåä òàêèõ ïîäіé íàçâè âèïàäêîâі:1) «ïðè ïіäêèäàííі ãðàëüíîãî êóáèêà âèïàäå 5 î÷îê»;2) «ïðè òåìïåðàòóðі, íèæ÷іé âіä 0 Ñ, âîäà çàìåðçíå»; 3) «êóïèâøè ëîòåðåéíèé áіëåò, âèãðàþòü 5 ãðí»;4) «іì’ÿ íàâìàííÿ âèáðàíîãî øåñòèêëàñíèêà ïî÷èíà-єòüñÿ ç ëіòåðè À»;5) «ïіñëÿ 31 ãðóäíÿ íàñòàíå 1 ñі÷íÿ».

637. (Óñíî) ßêі ç òàêèõ ïîäіé — âèïàäêîâі, âіðîãіäíі, íå-ìîæëèâі:

1) «âèãðàєòå ïàðòіþ â òåíіñ»;2) «ñëîí íàâ÷èòüñÿ ðîçìîâëÿòè»;3) «ïîòÿã Êèїâ—Ëüâіâ çàïіçíèòüñÿ»;4) «ïîÿâà êіëüêîñòі î÷îê, ùî â ñóìі ìåíøà âіä 13, ïðè îäíî÷àñíîìó ïіäêèäàííі äâîõ ãðàëüíèõ êóáèêіâ»;5) «ïðè íàòèñêàííі êíîïêè äçâіíêà âіí íå ñïðàöþє»;6) «ïіñëÿ ïîíåäіëêà íàñòàíå âіâòîðîê»;7) «ïіñëÿ âіâòîðêà íàñòàíå ïîíåäіëîê»;8) «ëþäèíà, ÿêó âè çóñòðіíåòå ñüîãîäíі, íàðîäèëàñÿ 29 âå ðåñíÿ»?

638. ßêі ç òàêèõ ïîäіé — âèïàäêîâі, âіðîãіäíі, íåìîæëèâі:1) «äâà ïîïàäàííÿ ïðè òðüîõ ïîñòðіëàõ»;2) «íàâìàííÿ âèáðàíå òðèöèôðîâå ÷èñëî ìåíøå âіä 1000»;3) «çàâòðà áóäå äîù»;4) «ñüîãîäíі 30 ëþòîãî»;5) «íàâìàííÿ âçÿòà ç ïîëèöі êíèæêà — «Ìàòåìàòèêà, 6»;6) «ïðè ïіäêèäàííі ìîíåòè âèïàäå ãåðá àáî öèôðà»?

639. Â îäíîìó ÿùèêó çíàõîäèòüñÿ 1 áіëà êóëüêà і 9 ÷îðíèõ, à â äðóãîìó — 5 áіëèõ і 5 ÷îðíèõ. Ç ÿêîãî ÿùèêà áіëüø іìîâіðíî íàâìàííÿ âèòÿãíóòè áіëó êóëüêó; ÷îðíó êóëüêó?

640. Â îäíîìó ïàêåòі 20 öóêåðîê, ç ÿêèõ 3 øîêîëàäíі, à â äðóãîìó — 50 öó-êåðîê, ç ÿêèõ 25 øîêîëàäíèõ. Ç ÿêîãî ïà-êåòà ñëіä íàâìàííÿ âçÿòè öóêåðêó, ÿêùî âè õî÷åòå, ùîá âîíà áóëà øîêîëàäíîþ?

641. Ìàëþê і Êàðëñîí äîìîâèëèñÿ: ÿêùî ñòðіëêà âåðòóøêè (ìàë. 10) çóïèíèòüñÿ íà Ìàë. 10



121

áіëîìó ïîëі, òîðò ç’їäàє Êàðëñîí, ÿêùî íà çàôàðáîâàíî-ìó — Ìàëþê. Ó êîãî áіëüøå øàíñіâ ïîëàñóâàòè òîðòîì?

642. ×è є éìîâіðíîñòі ïîäіé ðіâíèìè:1) ïîäіÿ À — ç äâàäöÿòè ï’ÿòè áіëåòіâ ç íîìåðàìè âіä 1 äî 25 âèòÿãíóòî áіëåò № 1 і ïîäіÿ Â — ç äâàäöÿòè ï’ÿòè áіëåòіâ ç íîìåðàìè âіä 1 äî 25 âèòÿãíóòî áіëåò № 13?2) ïîäіÿ Ñ — ïðè ïіäêèäàííі ãðàëüíîãî êóáèêà âèïà-äå ïàðíà êіëüêіñòü î÷îê і ïîäіÿ D — ïðè ïіäêèäàííі ãðàëüíîãî êóáèêà âèïàäå íåïàðíà êіëüêіñòü î÷îê?3) ïîäіÿ Ì – âèãðàòè ó ëîòåðåþ, êóïèâøè îäèí êâè-òîê, ó ÿêіé çі ñòà áіëåòіâ — 5 âèãðàøíèõ, і ïîäіÿ N — íå âèãðàòè â ëîòåðåþ, êóïèâøè îäèí êâèòîê, ó ÿêіé çі ñòà áіëåòіâ — 5 âèãðàøíèõ?

643. ×è ðіâíі éìîâіðíîñòі ïîäіé:1) ïîäіÿ À — ïðè ïіäêèäàííі ìîíåòè âèïàäå ãåðá і ïî-äіÿ Â – ïðè ïіäêèäàííі ìîíåòè âèïàäå öèôðà?2) ïîäіÿ Ñ — âèòÿãíóòè áіëó êóëüêó ç ÿùèêà, ó ÿêîìó 7 áіëèõ і 3 ÷îðíі êóëüêè, і ïîäіÿ D — âèòÿãíóòè ÷îðíó êóëüêó ç ÿùèêà, ó ÿêîìó 7 áіëèõ і 3 ÷îðíі êóëüêè?3) ïîäіÿ Ì — ó ìàéáóòíüîìó òè ñòàíåø êîñìîíàâòîì і ïîäіÿ N — ó ìàéáóòíüîìó òè íå ñòàíåø êîñìîíàâòîì?

644. Ó êîæíіé çі ñêðèíü (ìàë. 11) є ïî îäíіé çîëîòіé ìî-íåòі. Ç ÿêîї ñêðèíі íàâìàííÿ òðåáà âèòÿãíóòè ìîíåòó, ùîá ìîæëèâіñòü âçÿòè ñàìå çîëîòó áóëà íàéáіëüøîþ?

40 ìîíåò 10 ìîíåò 100 ìîíåò

Ìàë. 11

645. Ó êîæíіé çі ñêëÿíèõ êóëüîê (ìàë. 12) є ïî îäíîìó âèãðàøíîìó ëîòåðåéíîìó áіëåòó. Ç ÿêîї êóëüêè òðåáà íà-âìàííÿ âçÿòè áіëåò, ùîá ìîæëèâіñòü âèãðàòè áóëà íàé-áіëüøîþ?


Ðîçäië 3

122

20 áіëåòіâ 50 áіëåòіâ 5 áіëåòіâ

Ìàë. 12

646. Íà çàïèòàííÿ âіêòîðèíè áóëî îòðèìàíî 120 ïðàâèëü-íèõ âіäïîâіäåé, ó òîìó ÷èñëі і òâîÿ. Äëÿ âèçíà÷åííÿ єäè-íîãî ïåðåìîæöÿ âåäó÷èé íàâìàííÿ âèòÿãóє êàðòêó. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî ñàìå òè îòðèìàєø ïðèç?

647. Ó çáіðíèêó çàâäàíü ÄÏÀ ç ìàòåìàòèêè çàïðîïîíîâàíî 25 âàðіàíòіâ. Ñåðãіé íå ðîçâ’ÿçàâ ëèøå îäèí âàðіàíò. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî ñàìå öåé âàðіàíò éîìó äіñòàíåòüñÿ ïіä ÷àñ äåðæàâíîї ïіäñóìêîâîї àòåñòàöії?

648. Ç êëàñó, ó ÿêîìó íàâ÷àþòüñÿ 25 ó÷íіâ, íàâìàííÿ âè-áèðàþòü îäíîãî. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî öå áóäå õëî-ïåöü, ÿêùî õëîïöіâ ó êëàñі 12?

649. Ó ÿùèêó — 1000 äåòàëåé, ç ÿêèõ 3 áðàêîâàíі. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî íàâìàííÿ âèòÿãíóòà äåòàëü áðàêîâà-íà; íå áðàêîâàíà?

650. Íà ñêëàäі — 1000 êàëüêóëÿòîðіâ, ç ÿêèõ 7 áðàêîâà-íèõ. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî íàâìàííÿ âèáðàíèé êàëü-êóëÿòîð є áðàêîâàíèì; є ÿêіñíèì?

651. Ó ëîòåðåї 25 âèãðàøíèõ áіëåòіâ і 175 áіëåòіâ áåç âè-ãðàøó. ßêà éìîâіðíіñòü âèãðàòè â öþ ëîòåðåþ, ïðèäáàâøè ëèøå îäèí áіëåò?

652. Ó ÿùèêó 15 çåëåíèõ і 25 ÷åðâîíèõ êóëüîê. ßêà éìî-âіðíіñòü ïîäії:

1) À — íàâìàííÿ âèòÿãíóòà ç ÿùèêà êóëüêà є çåëåíîþ;2) Â — íàâìàííÿ âèòÿãíóòà ç ÿùèêà êóëüêà є ÷åðâîíîþ?

653. Ó÷åíü ìàє 7 ìîíåò (ìàë. 13). Âіí íàâìàííÿ áåðå ìî-íåòó. ßêà éìîâіðíіñòü ïîäії:

1) À — âçÿòî ìîíåòó íîìіíàëîì 5 êîï.;2) Â — âçÿòî ìîíåòó íîìіíàëîì, ìåíøèì âіä 25 êîï.;3) Ñ — âçÿòî ìîíåòó íîìіíàëîì, áіëüøèì çà 25 êîï.?



123

Ìàë. 13

654. Ó ãàìàíöі äÿäå÷êà Ñêðóäæà âіñіì êóïþð: ïî îäíіé íîìіíàëîì 1 ãðí, 2 ãðí, 5 ãðí, 10 ãðí, 20 ãðí, 50 ãðí, 100 ãðí, 200 ãðí. Âіí íàâìàííÿ âèéìàє îäíó êóïþðó. ßêà éìîâіðíіñòü ïîäії:

1) À — âèéíÿòî êóïþðó íîìіíàëîì 200 ãðí;2) Â — âèéíÿòî êóïþðó íîìіíàëîì, ìåíøèì âіä 10 ãðí;3) Ñ — âèéíÿòî êóïþðó íîìіíàëîì, áіëüøèì çà 10 ãðí;4) D — âèéíÿòî êóïþðó ç ïàðíèì ÷èñëîì ãðèâåíü?

655. Íàâåäè ïî äâà ïðèêëàäè âèïàäêîâèõ, âіðîãіäíèõ, íåìîæëèâèõ ïîäіé.

656. Òðîє äðóçіâ ïðèéøëè â ãîñòі і ïîâіñèëè ñâîї êàïåëþ-õè íà âіøàëêó. Êîëè âîíè ðîçõîäèëèñÿ ïî äîìіâêàõ, òî êîæíèé âçÿâ îäèí êàïåëþõ íàâìàííÿ. ßêі ç òàêèõ ïîäіé âèïàäêîâі, íåìîæëèâі, âіðîãіäíі:

1) À — êîæåí âçÿâ ñâіé êàïåëþõ; 2) Â — êîæåí âèéøîâ ç êàïåëþõîì;3) Ñ — âñі îäÿãëè ÷óæі êàïåëþõè;4) D — äâîє îäÿãëè ÷óæі êàïåëþõè, à îäèí — ñâіé;5) Å — îäèí îäÿãíóâ ÷óæèé êàïåëþõ, à äâîє — ñâîї?

657. Ìàðіÿ çàïðîïîíóâàëà Ïåòðó òàêі ïðàâèëà ãðè: «Ïðè ïіäêèäàííі ãðàëüíîãî êóáèêà âèãðàє Ìàðіÿ, ÿêùî êіëü-êіñòü î÷îê, ÿêі âèïàëè, є äіëüíèêîì ÷èñëà 6, і âèãðàє Ïå-òðî, ÿêùî êіëüêіñòü î÷îê, ÿêі âèïàëè, íå є äіëüíèêîì ÷èñ-ëà 6». Ó êîãî áіëüøå øàíñіâ íà âèãðàø?

658. Ñêëàäåíî òàáëèöþ ñóìè î÷îê, ùî âèïàëà íà äâîõ ãðàëüíèõ êóáèêàõ ïðè їõ îäíî÷àñíîìó ïіäêèäàííі. Çíàé äè éìîâіðíіñòü ïîäії:

1) À — ñóìà î÷îê íà êóáèêàõ äîðіâíþâàòèìå 4;2) Â — ñóìà î÷îê íà êóáèêàõ äîðіâíþâàòèìå 11;3) Ñ — ñóìà î÷îê íà êóáèêàõ áóäå ìåíøîþ âіä 4;4) D — ñóìà î÷îê íà êóáèêàõ áóäå íàéáіëüøîþ ç óñіõ ìîæëèâèõ.


Ðîçäië 3

124

ІII 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. 1) Îñêіëüêè êіëüêіñòü óñіõ ìîæëèâèõ âèïàäêіâ 36 (n 36), à êіëüêіñòü âèïàäêіâ, ïðè ÿêèõ ñóìà

î÷îê äîðіâíþє 4, âñüîãî 3 (m 3), òî

659. Âèêîðèñòîâóþ÷è òàáëèöþ äî № 658, çíàéäè éìîâіð-íіñòü ïîäії:

1) À — ñóìà î÷îê íà êóáèêàõ äîðіâíþâàòèìå 5;2) Â — ñóìà î÷îê íà êóáèêàõ áóäå áіëüøîþ çà 9;3) Ñ — ñóìà î÷îê íà êóáèêàõ áóäå íåïàðíèì ÷èñëîì.

660. Ó êîøèêó ëåæàòü 18 ÷åðâîíèõ, 8 çåëåíèõ і 4 æîâòèõ ÿáëóêà. Íàâìàííÿ âèáèðàþòü îäíå ÿáëóêî. Çíàé äè éìî-âіðíіñòü ïîäії:

1) À — ÿáëóêî çåëåíå;2) Â — ÿáëóêî æîâòå;3) Ñ — ÿáëóêî ÷åðâîíå àáî çåëåíå;4) D — ÿáëóêî íå ÷åðâîíå.

661. Ó êëàñі 9 ó÷íіâ — áðþíåòè, 14 — øàòåíè, 7 — áëîí-äèíè. Íàâìàííÿ âèáèðàєòüñÿ îäèí ó÷åíü. Çíàé äè éìîâіð-íіñòü ïîäії:

1) À — âèáðàíèé ó÷åíü — øàòåí;2) Â — âèáðàíèé ó÷åíü — áëîíäèí àáî øàòåí;3) Ñ — âèáðàíèé ó÷åíü — íå áëîíäèí;4) D — âèáðàíèé ó÷åíü — ðóäèé.

662. Ãðàëüíèé êóáèê ïіäêèäàþòü îäèí ðàç. ßêà éìîâіð-íіñòü ïîäії:

1) À — ç’ÿâèòüñÿ ÷èñëî, ùî є äіëüíèêîì ÷èñëà 8;2) Â — ç’ÿâèòüñÿ íå ìåíøå íіæ 5 î÷îê;3) Ñ — ç’ÿâèòüñÿ íå áіëüøå ÿê 5 î÷îê;



125

4) D — ç’ÿâèòüñÿ ÷èñëî, ùî áóäå êâàäðàòîì íàòóðàëü-íîãî ÷èñëà?

663. Çàäà÷à Äàëàìáåðà. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî ïðè äâîõ ïîñëіäîâíèõ ïіäêèäàííÿõ ìîíåòè õî÷à á îäèí ðàç âèïàäå ãåðá?

664. Ç íàòóðàëüíèõ ÷èñåë âіä 1 äî 30 ó÷åíü íàâìàííÿ íàçèâàє îäíå. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî öå ÷èñëî є äіëüíè-êîì ÷èñëà 30?

665. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî íàâìàííÿ âèáðàíå íàòó-ðàëüíå ÷èñëî âіä 1 äî 12, áóäå äіëüíèêîì ÷èñëà 12 àáî ïðîñòèì ÷èñëîì?

666. Òè âèãðàєø, ÿêùî íàâìàííÿ âçÿòà ç êîðîáêè êóëü-êà — áіëà. ßêó ç êîðîáîê âèãіäíіøå âèáðàòè äëÿ ãðè, ùîá іìîâіðíіñòü âèãðàøó áóëà áіëüøîþ:

ïåðøó — ó ÿêіé 12 áіëèõ êóëüîê і 36 ÷îðíèõ;äðóãó — ó ÿêіé 8 áіëèõ êóëüîê і 12 æîâòèõ;òðåòþ — ó ÿêіé ïîðіâíó áіëèõ, ÷îðíèõ òà æîâòèõ êó-ëüîê;÷åòâåðòó — ó ÿêіé 7 áіëèõ êóëüîê, 4 æîâòі і 3 ÷îðíі?

667. Îäíî÷àñíî ïіäêèäàþòü òðè ìîíåòè. Çíàé äè éìîâіð-íіñòü ïîäії:

1) À — òіëüêè íà äâîõ ìîíåòàõ âèïàäå ãåðá;2) Â — íà òðüîõ ìîíåòàõ âèïàäå ãåðá;3) Ñ — òіëüêè íà îäíіé ìîíåòі âèïàäå ãåðá;4) D — íå âèïàäå æîäíîãî ãåðáà.


1) õ : 8 3 : 12;

2) .

669. Çà 1,4 êã öóêåðîê çàïëàòèëè 23,1 ãðí. Ñêіëü-êè ïîòðіáíî çàïëàòèòè çà 1,6 êã òàêèõ öóêåðîê?

670. Íàêðåñëè ðîçãîðíóòèé êóò ÀÂÑ і ïðîâåäè ïðîìіíü ÂÌ òàê, ùîá ãðàäóñíі ìіðè êóòіâ ÀÂÌ і ÌÂÑ âіäíîñèëèñü ÿê 11 : 7.

671. Íàìàëþéòå çàìêíåíó ëàìàíó ëіíіþ іç øåñòè ëà-íîê, òàêó, ùî êîæíó ñâîþ ëàíêó âîíà ïåðåòèíàє îäèí ðàç. ×è іñíóє òàêà ëàìàíà іç ñåìè ëàíîê?


Ðîçäië 3

126


1. Ïåðåâіð, êîðèñòóþ÷èñü îçíà÷åííÿì, ÷è ìîæíà ç âіä-íîøåíü 8 : 4 і 12 : 6 ñêëàñòè ïðîïîðöіþ.

2. Ïåðåâіð, êîðèñòóþ÷èñü îñíîâíîþ âëàñòèâіñòþ ïðî-

ïîð öії, ÷è ìîæíà ç âіäíîøåíü ñêëàñòè ïðîïîðöіþ.

3. Çà êіëüêà îäíàêîâèõ áëîêíîòіâ çàïëàòèëè 16 ãðí. Ñêіëüêè òðåáà çàïëàòèòè çà òàêі ñàìі áëîêíîòè, ÿêùî їõ áóäå:

1) ó 3 ðàçè áіëüøå; 2) ó 2 ðàçè ìåíøå?

4. Çíàé äè âіäíîøåííÿ: 1) 120 äî 80; 2) 250 ì äî 1 êì.

5. 10 ë ãàñó ìàþòü ìàñó 8,1 êã. ßêó ìàñó ìàþòü 25 ë ãàñó?

6. Âіäñòàíü ìіæ äâîìà ìіñòàìè íà êàðòі, ìàñøòàá ÿêîї 1 : 8 000 000, äîðіâíþє 2,5 ñì. Îá÷èñëè âіäñòàíü ìіæ öèìè ìіñòàìè íà ìіñöåâîñòі.

7. Ïåðèìåòð òðèêóòíèêà äîðіâíþє 150 äì, à äîâæèíè ñòîðіí éîãî âіäíîñÿòüñÿ ÿê 7 : 8 : 10. Çíàé äè äîâæèíè ñòî-ðіí òðèêóòíèêà.

8. Ó ÿùèêó 7 áіëèõ, 10 ÷îðíèõ і 3 çåëåíі êóëüêè. Íà-âìàííÿ âèéìàþòü îäíó êóëüêó. Çíàé äè éìîâіðíіñòü ïîäії:

1) À — âèòÿãíóòà êóëüêà — çåëåíà;2) Â — âèòÿãíóòà êóëüêà — íå ÷îðíà.



10. Âіäñòàíü ìіæ äâîìà ñåëèùàìè íà îäíіé êàðòі äî-ðіâíþє 10 ñì, à íà іíøіé – 4 ñì. Ìàñøòàá ïåðøîї êàðòè 1 : 50 000. Çíàé äè ìàñøòàá äðóãîї êàðòè.

11. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî íàâìàííÿ âèáðàíå íà-òóðàëüíå ÷èñëî âіä 1 äî 18 áóäå äіëüíèêîì ÷èñëà 18 àáî ïðîñòèì ÷èñëîì?

12. Çíàé äè ÷èñëà à, b і ñ, ÿêùî âіäîìî, ùî à : b 2 : 3,

à : ñ , à ñóìà ÷èñåë b і ñ äîðіâíþє 26.



127

26.26. Обернена пропорційна залежність

Íåõàé ïëîùà ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 36 ñì2, à äîâ-æèíà і øèðèíà ïðÿìîêóòíèêà є íàòóðàëüíèìè ÷èñëàìè. Äåÿêі ç ìîæëèâèõ çíà÷åíü äîâæèíè a і øèðèíè b ïîäàíî ó òàáëèöі.

a, ñì 36 18 12 9 6

b, ñì 1 2 3 4 6

Êîæíîãî ðàçó ìàєìî ðіçíі çíà÷åííÿ äîâæèíè і øèðèíè ïðÿìîêóòíèêà, ïðîòå äîáóòîê öèõ çíà÷åíü є ñòàëèì ÷èñ-ëîì. Âîíî äîðіâíþє ïëîùі ïðÿìîêóòíèêà (ó ñì2), òîáòî ÷èñëó 36:

36 1 18 2 12 3 9 4 6 6 36.

Äâі âåëè÷èíè, äîáóòîê âіäïîâіäíèõ çíà÷åíü ÿêèõ є ñòàëèì, íàçèâàþòü îáåðíåíî ïðîïîð öіéíèìè.

Çàóâàæèìî, ùî ç âіäïîâіäíèõ çíà÷åíü îäíієї ç äâîõ îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèõ âåëè÷èí і çíà÷åííÿ, îáåðíåíîãî äî äðóãîї âåëè÷èíè, ìîæíà ñêëàñòè ïðîïîðöіþ. Äіéñíî, âè-õîäÿ÷è, íàïðèêëàä, ç óìîâè 12 3 9 4, ìîæíà ñêëàñòè

ïðîïîðöіþ . Öèì і ïîÿñíþєòüñÿ íàçâà îáåðíåíî ïðî-

ïîðöіéíèõ âåëè÷èí.Îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèìè âåëè÷èíàìè є äîâæèíà і

øèðèíà ïðÿìîêóòíèêà ïðè ñòàëіé ïëîùі ïðÿìîêóòíèêà; øâèäêіñòü òіëà і ÷àñ ïðè ñòàëîìó øëÿõó; êіëüêіñòü ðîáіò-íèêіâ і ÷àñ âèêîíàííÿ ðîáîòè, ÿêùî îáñÿã ðîáîòè є ñòàëèì òîùî.

Ðîçãëÿíåìî äâà çíà÷åííÿ äîâæèíè ïðÿìîêóòíèêà a 18 ñì і a 9 ñì òà âіäïîâіäíі їì çíà÷åííÿ øèðèíè b 2 ñì і b 4 ñì. Óäâі÷і áіëüøîìó çíà÷åííþ äîâæèíè ïðÿìîêóòíèêà âіäïîâіäàє âäâі÷і ìåíøå çíà÷åííÿ éîãî øè-ðèíè. Ìîæíà çðîáèòè âèñíîâîê ïðî òå, ùî îáåðíåíî ïðî-ïîðöіéíі âåëè÷èíè ìàþòü òàêó âëàñòèâіñòü:


Ðîçäië 3

128

іç çáіëüøåííÿì (çìåíøåííÿì) çíà÷åííÿ îäíієї ç îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèõ âåëè÷èí ó êіëüêà ðàçіâ çíà÷åííÿ äðóãîї âåëè÷èíè çìåíøóєòüñÿ (çáіëüøó-єòüñÿ) â òàêó ñàìó êіëüêіñòü ðàçіâ.

Çâіäñè ìîæíà çðîáèòè âèñíîâîê, ùî ÿêùî âåëè÷èíè îáåðíåíî ïðîïîðöіéíі, òî âіäíîøåííÿ çíà÷åíü îäíієї âåëè-÷èíè äîðіâíþє îáåðíåíîìó âіäíîøåííþ âіäïîâіäíèõ çíà-÷åíü іíøîї âåëè÷èíè.

Äіéñíî, ó ðîçãëÿíóòîìó âèùå ïðèêëàäі âіäíîøåííÿ çíà÷åíü a 18 ñì і a 9 ñì äîðіâíþє îáåðíåíîìó âіäíî-øåííþ âіäïîâіäíèõ çíà÷åíü b 2 ñì і b 4 ñì:

.

Îòæå, çàäà÷і, ïîâ’ÿçàíі ç îáåðíåíîþ ïðîïîðöіéíîþ çà-ëåæíіñòþ, ÿê і çàäà÷і, ïîâ’ÿçàíі іç ïðÿìîþ ïðîïîðöіéíîþ çàëåæíіñòþ, ìîæíà ðîçâ’ÿçóâàòè çà äîïîìîãîþ ïðîïîðöії.

Çàäà÷à. 10 ðîáіòíèêіâ âèêîíóþòü ïåâíó ðîáîòó çà 12 ãîäèí. Ñêіëüêè ÷àñó çíàäîáèòüñÿ äëÿ âèêîíàííÿ òàêîї ðîáîòè øåñòè ðîáіòíèêàì, ÿêùî ïðîäóêòèâíіñòü ïðàöі âñіõ ðîáіòíèêіâ îäíàêîâà?

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. ×èñëî ðîáіòíèêіâ і ÷àñ âèêîíàííÿ äà-íîї ðîáîòè є âåëè÷èíàìè îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèìè (ïðè îä-íàêîâіé ïðîäóêòèâíîñòі ïðàöі âñіõ ðîáіòíèêіâ).

Íåõàé 6 ðîáіòíèêіâ âèêîíóþòü ðîáîòó çà x ãîä. Çàïè-øåìî óìîâó çàäà÷і ñõåìàòè÷íî:

10 ðîá – 12 ãîä6 ðîá – x ãîä

Äâîíàïðÿìëåíà ñòðіëêà ïðàâîðó÷ îçíà÷àє, ùî âåëè÷è-íè ó çàäà÷і îáåðíåíî (à íå ïðÿìî) ïðîïîðöіéíі, і «ïіäêà-çóє», ùî ïðè ñêëàäàííі âіäïîâіäíîãî ðіâíÿííÿ 12 і x òðåáà ïîìіíÿòè ìіñöÿìè. Îòæå, ìàєìî ðіâíÿííÿ

.

Çâіäñè 6x 10 12; 6x 120; x 20 (ãîä).Â іäïîâ іäü. 20 ãîä.

Íå áóäü-ÿêі äâі âåëè÷èíè є ïðÿìî ïðîïîðöіéíèìè ÷è îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèìè. Íàïðèêëàä, ìàñà äèòèíè çáіëü-



129

øóєòüñÿ ïðè çáіëüøåííі її âіêó. Àëå öі âåëè÷èíè íå є ïðî-ïîðöіéíèìè, îñêіëüêè ïðè çáіëüøåííі óäâі÷і âіêó äèòèíè її ìàñà óäâі÷і íå çáіëüøóєòüñÿ.

ßêі âåëè÷èíè íàçèâàþòü îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèìè? Íàâåäè ïðèêëàäè îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèõ âåëè÷èí. ßêó âëàñòèâіñòü ìàþòü îáåðíåíî ïðîïîðöіéíі âåëè-

÷èíè?

672. (Óñíî) Çíà÷åííÿ îäíієї ç äâîõ îáåðíåíî ïðîïîð-öіéíèõ âåëè÷èí çìåíøèëîñÿ â 6 ðàçіâ. ßê çìіíèëîñÿ çíà-÷åííÿ äðóãîї âåëè÷èíè?

673. Çíà÷åííÿ îäíієї ç äâîõ îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèõ âåëè-÷èí çáіëüøèëîñÿ â 10 ðàçіâ. ßê çìіíèëîñÿ çíà÷åííÿ äðóãîї âåëè÷èíè?

674. (Óñíî) Ó÷åíü ìàâ äåÿêó ñóìó êîøòіâ і âèòðàòèâ óñþ íà 6 îäíàêîâèõ çîøèòіâ. Ñêіëüêè çîøèòіâ íà öі ãðîøі çìіã áè êóïèòè ó÷åíü, ÿêáè öіíà çîøèòà áóëà:

1) óäâі÷і ìåíøîþ; 2) óäâі÷і áіëüøîþ?

675. (Óñíî) Âèçíà÷, ÿêі ç âåëè÷èí є ïðÿìî ïðîïîðöіé-íèìè, ÿêі – îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèìè, à òàêîæ âåëè÷èíè, ÿêі íå є ïðÿìî ïðîïîðöіéíèìè ÷è îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèìè:

1) êіëüêіñòü îäíîìàíіòíîãî êðàìó òà éîãî âàðòіñòü;2) öіíà êðàìó òà éîãî âàðòіñòü;3) öіíà êðàìó òà éîãî êіëüêіñòü ïðè ñòàëіé âàðòîñòі;4) ïðîäóêòèâíіñòü ïðàöі ðîáіòíèêіâ òà òðèâàëіñòü ðîáî-òè ïðè ñòàëіé êіëüêîñòі ðîáîòè;5) êіëüêіñòü ðîáіòíèêіâ òà êіëüêіñòü âèêîíàíîї ðîáîòè ïðè ñòàëіé ïðîäóêòèâíîñòі;6) âіê äèòèíè òà її çðіñò.

676. Âèçíà÷, ÿêі ç âåëè÷èí є ïðÿìî ïðîïîðöіéíèìè, à ÿêі – îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèìè:

1) øâèäêіñòü ðіâíîìіðíîãî ðóõó òà éîãî òðèâàëіñòü ïðè ñòàëіé äîâæèíі øëÿõó;2) øâèäêіñòü ðóõó òà äîâæèíà ïðîéäåíîãî øëÿõó;3) ÷èñåëüíèê òà çíà÷åííÿ äðîáó ïðè ñòàëîìó çíàìåí-íèêó;4) çíàìåííèê òà çíà÷åííÿ äðîáó ïðè ñòàëîìó ÷èñåëüíèêó.


Ðîçäië 3

130

677. (Óñíî) Âèçíà÷, â ÿêèõ òàáëèöÿõ âåëè÷èíè x і y є îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèìè.

1) x 1 2 3 4 2) x 1 2 3 4

y 6 3 2 1,5 y 10 20 30 40

3) x 6 3 12 10 4) x 0,25 0,1 2 4

y 4 8 2 3 y 8 20 1 0,5

678. ßêùî âàíòàæіâêà ïåðåâîçèòèìå çà ãîäèíó ïî 4 ò çåð-íà, òî âñå çåðíî çìîæå ïåðåâåçòè çà 10 ãîä. Ïðîòå âàíòà-æіâêà çà ãîäèíó ïåðåâîçèëà ïî 5 ò çåðíà. Çà ñêіëüêè ãîäèí áóëî ïåðåâåçåíî âñå çåðíî?

679. Äâà ïðÿìîêóòíèêè ìàþòü îäíàêîâó ïëîùó. Äîâæèíà îäíîãî ïðÿìîêóòíèêà 8 ñì, à øèðèíà 3 ñì. Çíàéäіòü äî-âæèíó äðóãîãî ïðÿìîêóòíèêà, ÿêùî éîãî øèðèíà äîðіâ-íþє 4 ñì.

680. Ïіøîõіä ïðîéøîâ âіäñòàíü ìіæ äâîìà ñåëàìè çà 1,5 ãîä çі øâèäêіñòþ 3,6 êì/ãîä, à íà çâîðîòíèé øëÿõ âè-òðàòèâ 2,4 ãîä. Ç ÿêîþ øâèäêіñòþ âіí ïîâåðòàâñÿ?

681. Є äâà ñóâîї òêàíèíè îäíàêîâîї âàðòîñòі. Ó ïåðøîìó ñóâîї 60 ì òêàíèíè çà öіíîþ 64,8 ãðí çà 1 ì. Ñêіëüêè êîøòóє 1 ì òêàíèíè ó äðóãîìó ñóâîї, ÿêùî â íüîìó 40 ì òêàíèíè?

682. Äâà øêіâè ç’єäíàíî ïðèâîäíèì ïàñîì (ìàë. 14). Äîâ æèíà îáîäó ïåð-øîãî øêіâà 21 ñì, à äðóãîãî – 14 ñì. Ñêіëüêè îáåðòіâ çà õâèëèíó ðîáèòü ïåðøèé øêіâ, ÿêùî äðóãèé îáåðòà-єòüñÿ 600 ðàçіâ çà õâèëèíó?

683. Çàïîâíè â çîøèòі òàêó òàáëèöþ, ÿêùî âåëè÷èíè a і b є îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèìè.

a 0,4 25 0,04 0,25 0,01

b 0,2 20 4 10

684. Ëіòàê çà êîæíі ãîäèíè ïðîëіòàє 270 êì, à âñþ âіä-

ñòàíü ìіæ ìіñòàìè äîëàє çà 4,5 ãîäèíè. Íàçàä ëіòàê ïîâåð-

Ìàë. 14



131

òàєòüñÿ çі øâèäêіñòþ 405 êì/ãîä. Çà ñêіëüêè ãîäèí ëіòàê äîëàє çâîðîòíèé øëÿõ?

685. Âåëîñèïåäèñò çà êîæíі ãîäèíè ïðîїæäæàє 12 êì,

à âñþ âіäñòàíü ìіæ ñåëàìè ïðîїõàâ çà 3,5 ãîä. Ïîâåðòàâñÿ âåëîñèïåäèñò çі øâèäêіñòþ 15 êì/ãîä. Ñêіëüêè ãîäèí âå-ëîñèïåäèñò ïîâåðòàâñÿ íàçàä?

686. Äëÿ ïåðåâåçåííÿ äåÿêîãî âàíòàæó 3 ìàøèíè âàí-òàæîïіäéîìíіñòþ 7,5 ò çäіéñíèëè ïî 8 ðåéñіâ. Ñêіëüêè òðåáà ìàøèí âàíòàæîïіäéîìíіñòþ 4,5 ò, ùîá íà ïåðåâåçåí-íÿ âàíòàæó çíàäîáèëîñÿ 10 ðåéñіâ?

687. Íàÿâíîãî çàïàñó ïàëüíîãî âèñòà÷èòü íà 10 äíіâ äëÿ 9 òðàêòîðіâ ïðè ðîáîòі ïî 7 ãîäèí íà äåíü. Íà ñêіëüêè äíіâ âèñòà÷èòü öüîãî çàïàñó ïàëüíîãî äëÿ 14 òàêèõ òðàê-òîðіâ, ÿêùî âîíè ïðàöþâàòèìóòü ïî 9 ãîäèí íà äåíü?

688. Çàïèøè çâè÷àéíі äðîáè ó âèãëÿäі äåñÿòêîâèõ, à ïîòіì ó âèãëÿäі âіäñîòêіâ:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

689. Îïåðàòîð êîìï’þòåðíîãî íàáîðó ïëàíóâàâ çà äåíü íàáðàòè 20 ñòîðіíîê òåêñòó, àëå ïåðåâèêîíàâ ïëàí íà 15 %. Ñêіëüêè ñòîðіíîê íàáðàâ îïåðàòîð çà äåíü?

690. Ïîÿñíè, ÷îìó ÷èñëî є íàòóðàëüíèì ïðè áóäü-ÿêîìó íàòóðàëüíîìó çíà÷åííі n.

27.27. Відсоткове відношення двох чисел. Зміна величини у відсотках

Ìè çíàєìî äâà âèäè çàäà÷ íà âіäñîò êè: çíàõîäæåííÿ âіäñîòêіâ âіä ÷èñëà òà çíàõîäæåííÿ ÷èñëà çà éîãî âіäñî-òêàìè. Ðîçãëÿíåìî ùå çàäà÷і, ó ÿêèõ òðåáà çíàéòè, ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñêëàäàє îäíå ÷èñëî âіä іíøîãî, òîáòî âіäñîòêîâå âіäíîøåííÿ äâîõ ÷èñåë.

Ìè âìієìî çíàõîäèòè âіäíîøåííÿ äâîõ ÷èñåë àáî âå-ëè÷èí. Íàïðèêëàä, âіäíîøåííÿ ÷èñëà 8 äî ÷èñëà 16 äî-

ðіâíþє , à âіäíîøåííÿ 9 êã äî 5 êã äîðіâíþє


Ðîçäië 3

132

. Îñêіëüêè âіäíîøåííÿ ÷èñåë àáî âåëè÷èí є

äðîáîì, éîãî ìîæíà âèðàçèòè ó âіäñîòêàõ, à ñàìå:

;

.

Êàæóòü, ùî ÷èñëî 8 ñêëàäàє 50 % ÷èñëà 16, à 9 êã ñêëàäàє 180 % âіä 5 êã.

Ùîá çíàéòè âіäñîòêîâå âіäíîøåííÿ äâîõ ÷èñåë, äîñòàòíüî çíàéòè âіäíîøåííÿ öèõ ÷èñåë і ïî-ìíîæèòè éîãî íà 100 %.Ùîá äіçíàòèñÿ, ñêіëüêè âіäñîòêіâ îäíå ÷èñëî ñêëà-äàє âіä іíøîãî, äîñòàòíüî ïåðøå ÷èñëî ïîäіëèòè íà äðóãå і çíàéäåíó ÷àñòêó ïîìíîæèòè íà 100 %.

Çàäà÷à 1. Ó êëàñі 30 ó÷íіâ, ç íèõ 27 âіäâіäàëè òåàòð. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ âіä ó÷íіâ êëàñó âіäâіäàëè òåàòð?

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. .

Çìіíó âåëè÷èíè ÷àñòî õàðàêòåðèçóþòü çà äîïîìîãîþ âіäñîòêіâ. Ðîçãëÿíåìî äâі çàäà÷і åêîíîìі÷íîãî çìіñòó.

Çàäà÷à 2. Äî çíèæåííÿ öіí* ÌÐ3-ïëåєð êîøòóâàâ 400 ãðí, à ïіñëÿ çíèæåííÿ ñòàâ êîøòóâàòè 360 ãðí. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çíèçèëàñÿ öіíà ÌÐ3-ïëåєðà?

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Çíàéäåìî ñïî÷àòêó, íà ñêіëüêè ãðè-âåíü çìåíøèëàñÿ öіíà ÌÐ3-ïëåєðà: 400 – 360 40 (ãðí). Âèçíà÷èìî, ñêіëüêè âіäñîòêіâ öÿ ðіçíèöÿ ñêëàäàє âіä ïî-÷àòêîâîї öіíè ÌÐ3-ïëåєðà:

.

Îòæå, öіíà ÌÐ3-ïëåєðà çíèçèëàñÿ íà 10 %.

Çàäà÷à 3. Âêëàäíèê ïîêëàâ äî áàíêó 800 ãðí, à ÷åðåç ðіê çàáðàâ 944 ãðí. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ðі÷íèõ íàðàõîâóє áàíê?

* Ïîíÿòòÿ öіíà і âàðòіñòü, ÿêі òðàïëÿþòüñÿ ó äåÿêèõ çàäà-÷àõ, ñïðèéìàé ÿê óìîâíі âåëè÷èíè, çðó÷íі äëÿ âèêîíàííÿ ìàòå-ìàòè÷íèõ îá÷èñëåíü.



133

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Ïðèáóòîê äîðіâíþє 944 – 800 144 (ãðí). Çíàéäåìî, ñêіëüêè âіäñîòêіâ öå ñòàíîâèòü âіä âêëàäó:

. Îòæå, áàíê íàðàõîâóє 18 % ðі÷íèõ.

Ùîá äіçíàòèñÿ, íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çáіëüøè-ëàñü àáî çìåíøèëàñü ïåâíà âåëè÷èíà, äîñòàò-íüî çíàéòè: 1) íà ñêіëüêè îäèíèöü çáіëüøèëàñü àáî çìåíøè-ëàñü öÿ âåëè÷èíà;2) ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñòàíîâèòü çíàéäåíà ðіçíè-öÿ âіä ïî÷àòêîâîãî çíà÷åííÿ âåëè÷èíè.

ßê çíàéòè âіäñîòêîâå âіäíîøåííÿ äâîõ ÷èñåë? ßê äіçíàòèñÿ, ñêіëüêè âіäñîòêіâ îäíå ÷èñëî ñêëàäàє âіä іíøîãî? ßê äіçíàòèñÿ, íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çáіëü-øèëàñü àáî çìåíøèëàñü ïåâíà âåëè÷èíà?

691. (Óñíî) Ïîÿñíè îá÷èñëåííÿ:1) 8 : 10 0,8 80 %; 2) 125 : 100 1,2 5 125 %.

Ùî ïîêàçóє âіäïîâіäü?

692. (Óñíî) Ñêіëüêè âіäñîòêіâ âіä ÷èñëà 100 ñêëàäàє ÷èñëî:

1) 13; 2) 37; 3) 100; 4) 173?

693. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ÷èñëà 1000 ñêëàäàє ÷èñëî: 1) 150; 2) 100; 3) 250; 4) 1800?

694. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ÷èñëà ñêëàäàє éîãî:1) ïîëîâèíà; 2) ÷âåðòü; 3) ï’ÿòà ÷àñòèíà; 4) äâàäöÿòà ÷àñòèíà?

695. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ÷èñëà ñêëàäàє éîãî: 1) äåñÿòà ÷àñòèíà; 2) äâàäöÿòü ï’ÿòà ÷àñòèíà?

696. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñòàíîâèòü ÷èñëî 60 âіä ÷èñëà:1) 100; 2) 120; 3) 300; 4) 20; 5) 48; 6) 5?

697. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ÷èñëî 40 ñòàíîâèòü âіä ÷èñëà: 1) 80; 2) 100; 3) 120; 4) 25; 5) 8?

698. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñòàíîâèòü:

1) 3 âіä 5; 2) 12 âіä 8; 3) 4,5 âіä 22,5; 4) âіä ?


Ðîçäië 3

134

699. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñòàíîâèòü:

1) 12 âіä 16; 2) 10 âіä 8; 3) 1,6 âіä 2,5; 4) âіä ?

700. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñòàíîâèòü: 1) 1 ì âіä 5 ì; 2) 250 ã âіä 1 êã; 3) 72 âіä ðîçãîðíóòîãî êóòà?

701. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñòàíîâèòü: 1) 4 êã âіä 5 êã; 2) 3 êì âіä 2000 ì; 3) 18 âіä ïðÿìîãî êóòà?

702. Ó êіíîòåàòðі 480 ìіñöü. Ïіä ÷àñ äåìîíñòðàöії ôіëü-ìó áóëî çàïîâíåíî 456 ìіñöü. ßêèé âіäñîòîê ìіñöü áóëî çàïîâ íåíî?

703. Êîíòðîëüíó ðîáîòó ïèñàëè 25 ó÷íіâ. Òðè ðîáîòè â÷è-òåëü îöіíèâ íà «12». Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñêëàäàþòü 12-áàëü-íі ðîáîòè âіä çàãàëüíîї êіëüêîñòі ðîáіò?

704. Ðîáіíçîí Êðóçî ïðî÷èòàâ 90 ñòîðіíîê êíèæêè, ó ÿêіé âñüîãî 250 ñòîðіíîê. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ êíèæêè ïðî÷èòàâ Ðîáіíçîí Êðóçî? ßêèé âіäñîòîê êíèæêè éîìó çàëèøèëîñÿ ïðî ÷èòàòè?

705. Ó êëàñі 32 ó÷íі, ç ÿêèõ 4 áóëè âіäñóòíі ó øêîëі ÷åðåç õâîðîáó. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ó÷íіâ áóëè âіäñóòíі ó øêîëі і ñêіëüêè âіäñîò êіâ áóëè ïðèñóòíі?

706. Âèçíà÷ âіäñîòîê âìіñòó ñîëі â ðîç÷èíі, ÿêùî â 700 ã ðîç÷èíó ìіñòèòü ñÿ 56 ã ñîëі.

707. Çíàé äè âіäñîòîê âìіñòó çàëіçà â ðóäі, ÿêùî 40 ò öієї ðóäè ìіñòèòü 2,8 ò çàëіçà.

708. Ìàãàçèí çà äåíü ïðîäàâ 280 êã ÿáëóê і 120 êã ãðóø. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñòàíîâèòü ìàñà ïðîäàíèõ ÿáëóê âіä çà-ãàëüíîї ìàñè ïðîäàíèõ ÿáëóê і ãðóø?

709. Íà òðåíóâàííі ïіä ÷àñ âèêîíàííÿ øòðàôíèõ êèäêіâ áàñêåòáîëіñò 32 ðàçè âëó÷èâ ó êîøèê і 4 ðàçè íå âëó÷èâ. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñòàíîâèòü êіëüêіñòü âëó÷åíü âіä óñієї êіëüêîñòі øòðàôíèõ êèäêіâ (âіäïîâіäü îêðóãëè äî äåñÿòèõ âіäñîò êà)?

710. Ó çâ’ÿçêó ç áóäіâíèöòâîì íîâîãî ìіêðîðàéîíó ìàðø-ðóò àâòîáóñà ñòàâ äîâøèì íà 16 %. Çíàéäè äîâæèíó íîâî-ãî ìàðøðóòó, ÿêùî äîâæèíà ïîïåðåäíüîãî áóëà 15 êì.



135

711. Êіëüêіñòü íàñåëåííÿ ìіñòå÷êà çà ðіê çðîñëà íà 5 %. Ñêіëüêè íàñåëåííÿ ñòàëî â ìіñòå÷êó, ÿêùî ðіê òîìó â íüî ìó ìåøêàëî 32 500 îñіá?

712. (Óñíî) Çíàé äè çìіíó âåëè÷èíè ó âіäñîòêàõ:1) âіä 4 ö äî 6 ö; 2) âіä 10 êã äî 12 êã;3) âіä 10 õâ äî 7 õâ; 4) âіä 100 ã äî 30 ã;5) âіä 200 ì äî 180 ì; 6) âіä 30 ñ äî 36 ñ.

713. Çíàé äè ó âіäñîòêàõ çìіíó âåëè÷èíè:1) âіä 45 ã äî 54 ã; 2) âіä 4,8 êì äî 3,6 êì;3) âіä 1 ãðí äî 70 êîï.; 4) âіä 4000 êã äî 5 ò;5) âіä 1 ãîä äî 30 õâ; 6) âіä 15 ö äî 3 ò.

714. Çíàé äè ó âіäñîòêàõ çìіíó âåëè÷èíè:1) âіä 24 ã äî 18 ã; 2) âіä 3,2 ö äî 4,8 ö;3) âіä 1 êã äî 1400 ã; 4) âіä 15 õâ äî 1 ãîä;5) âіä 1 ò äî 1 ö; 6) âіä 1 ì 20 ñì äî 90 ñì.

715. Çàïîâíè â çîøèòі òàêó òàáëèöþ ùîäî âèâåçåííÿ îâî÷іâ ç ïîëÿ ïðîòÿãîì ÷îòèðüîõ äíіâ:

Äíі Ïí Âò Ñð ×ò Óñüîãî

Ìàñà îâî÷іâ, ò 60 42 240Âіäñîòîê âіä çàãàëüíîї ìàñè, %

20 100

716. Ïðè îáðîáöі çàãîòîâêè її ìàñà çìåíøèëàñÿ âіä 1,2 êã äî 1,14 êã. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çìåíøèëàñÿ ìàñà çàãîòîâêè?

717. 1) Öіíà äåÿêîãî òîâàðó çðîñëà âіä 64 ãðí äî 80 ãðí. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ ïіäâèùèëàñÿ öіíà?

2) Öіíà äåÿêîãî òîâàðó çíèçèëàñÿ âіä 80 ãðí äî 64 ãðí. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çíèçèëàñÿ öіíà?


Ðîçäië 3

136

718. 1) Ïåðøîãî äíÿ ðîáіòíèê âèãîòîâèâ 120 äåòàëåé, à äðóãîãî äíÿ — 150 äåòàëåé. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çáіëüøè-ëàñÿ ïðîäóêòèâíіñòü ïðàöі ðîáіòíèêà?

2) Ïåðøîãî äíÿ ðîáіòíèê âèãîòîâèâ 150 äåòàëåé, à äðó-ãîãî äíÿ — 120 äåòàëåé. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çìåíøèëàñÿ ïðîäóêòèâíіñòü ïðàöі ðîáіòíèêà?

719. Äî 160 ã 15-âіäñîòêîâîãî ðîç÷èíó ñîëі äîäàëè 40 ã âîäè. ßêèì ñòàâ âіäñîòêîâèé âìіñò ñîëі â íîâîìó ðîç÷èíі?

720. Äî ñïëàâó ìàñîþ 350 ã, ùî ìіñòèòü 60 % îëîâà, äî-äàëè 150 ã îëîâà. ßêèì ñòàâ âіäñîòêîâèé âìіñò îëîâà â íîâîìó ñïëàâі?

721. Äî çíèæåííÿ öіí òîâàð êîøòóâàâ 240 ãðí. Îá÷èñëè öіíó òîâàðó ïіñëÿ äâîõ ïîñëіäîâíèõ çíèæåíü, ÿêùî ïåðøå áóëî íà 10 %, à äðóãå — íà 5 %. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çìåíøèëàñÿ ïî÷àòêîâà öіíà òîâàðó?

722. Öіíà òîâàðó áóëà 400 ãðí. Ñïî÷àòêó âîíà áóëà ïіäâè-ùåíà íà 15 %, à ïîòіì çíèæåíà íà 15 %. ×è çìіíèëàñÿ ïðè öüîìó öіíà òîâàðó? ßêùî çìіíèëàñÿ, òî ÿê і íà ñêіëü-êè âіäñîòêіâ?

723. Öіíó íà òîâàð, ùî êîøòóâàâ 200 ãðí, çíèçèëè íà 20 %. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ òðåáà ïіäíÿòè íîâó öіíó, ùîá îäåðæàòè ïî÷àòêîâó?

724. Õëîï÷èê êóïèâ äâі êíèæêè, ïåðøà ç ÿêèõ íà 10 % äåøåâøà âіä äðóãîї. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ äðóãà êíèæêà äîðîæ÷à çà ïåðøó?

725. Ïіä ÷àñ ñóøіííÿ ãðèáè âòðà÷àþòü 89 % ñâîєї ìàñè. Ñêіëüêè ñóõèõ ãðèáіâ îòðèìàєìî іç 70 êã ñâіæèõ?

726. Äî îïåðàòîðà äîâіäêîâîãî öåíòðó áàíêó íà-äіéøëà äåÿêà êіëüêіñòü çâåðíåíü. Ïіñëÿ òîãî ÿê âіí îïðàöþâàâ 14 % âіä óñієї êіëüêîñòі, éîìó çàëèøèëîñÿ îïðàöþâàòè ùå 129. Ñêіëüêè âñüîãî çâåðíåíü íàäіéøî äî îïåðàòîðà?

727. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî ñóìà î÷îê íà äâîõ ãðàëüíèõ êóáèêàõ, ïіäêèíóòèõ îäíî÷àñíî, áóäå äîðіâ-íþâàòè 8?




137

729. Ïîðіâíÿé çíà÷åííÿ òàêèõ âèðàçіâ: 1 2 3 ... 20 і 1 + 2 + 3 + ... + 1 000 000.

28.28. Відсоткові розрахункиÍàãàäàєìî, ùî âіäñîòêè ìîæíà çàïèñóâàòè ó âèãëÿäі

äåñÿòêîâèõ äðîáіâ:12 % 0,12; 37 % 0,37; 119 % 1,19,

àáî ó âèãëÿäі çâè÷àéíèõ äðîáіâ:

; ; .

Ïðèãàäàєìî, ÿê ðîçâ’ÿçóєòüñÿ êîæíà ç òðüîõ òèïіâ çà-äà÷ íà âіäñîòêè.

Çàäà÷à 1 (çíàõîäæåííÿ âіäñîòêіâ âіä ÷èñëà). Âêëàäíèê ïîêëàâ äî áàíêó 2500 ãðí. Áàíê íàðàõîâóє 12 % ðі÷íèõ. ßêèé ïðèáóòîê ìàòèìå âêëàäíèê ÷åðåç ðіê?

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. І ñïîñіá.1) 2500 : 100 25 (ãðí) — öå 1 %;2) 25 12 300 (ãðí) — ïðèáóòîê âêëàäíèêà.II ñïîñіá. Îñêіëüêè 12 % 0,12, òî ïðèáóòîê âêëàäíèêà

ìîæíà çíàé òè ÿê äðіá âіä ÷èñëà: 2500 0,12 300 (ãðí).Çàäà÷à 2 (çíàõîäæåííÿ ÷èñëà çà éîãî âіäñîòêàìè).

Ó÷åíü ïðî÷èòàâ 63 ñòîðіíêè, ùî ñêëàäàє 35 % îáñÿãó êíèæêè. Ñêіëüêè ñòîðіíîê ó êíèæöі?

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. І ñïîñіá.1) 63 : 35 1,8 (ñ.) — öå 1 %;2) 1,8 100 180 (ñ.) — ó êíèæöі.II ñïîñіá. 35 % 0,35, òî êіëüêіñòü ñòîðіíîê ìîæíà

çíàé òè ÿê ÷èñëî çà éîãî äðîáîì: 63 : 0,35 180 (ñ.).Çàäà÷à 3 (âіäñîòêîâå âіäíîøåííÿ äâîõ ÷èñåë). Âіäñòàíü

ìіæ ìіñòàìè äîðіâíþє 65 êì. Âåëîñèïåäèñò ïîäîëàâ 39 êì öієї âіäñòàíі. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ âіäñòàíі ìіæ ìіñòàìè ïðî-їõàâ âåëîñèïåäèñò?

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. .

Ðîçãëÿíåìî áіëüø ñêëàäíі çàäà÷і.Çàäà÷à 4. Ïåðøèé ñìіòòєâîç âèâіç 32 % ñìіòòÿ, äðó-

ãèé — 35 %, à òðåòіé — ðåøòó 2,64 ò. Ñêіëüêè òîíí ñìіò-òÿ âèâіç ïåðøèé ñìіòòєâîç і ñêіëüêè äðóãèé?


Ðîçäië 3

138

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Îñêіëüêè âåñü îáñÿã âèâåçåíîãî ñìіòòÿ ñêëàäàє 100 %, òî 100 % – (32 % + 35 %) 33 % — âèâіç òðåòіé ñìіòòєâîç, ùî ñêëàäàє 2,64 ò. Òîìó çàãàëüíèé îáñÿã âèâåçåíîãî ñìіòòÿ çíàéäåìî ÿê ÷èñëî çà éîãî äðîáîì, òîáòî äієþ äіëåííÿ: 2,64 : 0,33 8 (ò). Îòæå, ïåðøèé ñìіò-òєâîç âèâіç 8 0,32 2,56 (ò), à äðóãèé 8 0,35 2,8 (ò).

Çàäà÷à 5. Ìàñà äâîõ êàâóíіâ ðàçîì 27 êã, ïðè÷îìó ìàñà äðóãîãî ñòàíîâèòü 80 % âіä ìàñè ïåðøîãî. Çíàéòè ìàñó êîæíîãî ç êàâóíіâ.

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Íåõàé ìàñà ïåðøîãî êàâóíà x êã, òîäі ìàñà äðóãîãî — õ 0,8 0,8õ (êã). Çà óìîâîþ çàäà÷і:

õ + 0,8õ 27.Ðîçâ’ÿæåìî öå ðіâíÿííÿ:

õ(1 + 0,8) 27;1,8õ 27;

õ 27 : 1,8;õ 15.

Îòæå, ìàñà ïåðøîãî êàâóíà 15 êã. 0,8 15 12 (êã) — ìàñà äðóãîãî.

ßêі òðè òèïè çàäà÷ íà âіäñîòêè òè çíàєø? Ïîÿñíè ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷і 1 äâîìà ñïîñîáàìè. Ïîÿñíè ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷і 2 äâîìà ñïîñîáàìè. Ïîÿñíè ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷і 3.

730. Çàïèøè âіäñîòêè ó âèãëÿäі çâè÷àéíèõ äðîáіâ:

1) 5 %; 2) 10 %; 3) 24 %; 4) 60 %; 5) 100 %; 6) 140 %.

731. Çàïèøè âіäñîòêè ó âèãëÿäі äåñÿòêîâèõ äðîáіâ:

1) 7 %; 2) 15 %; 3) 30 %; 4) 100 %; 5) 170 %; 6) 380 %.

732. Çàïèøè âіäñîòêè ó âèãëÿäі çâè÷àéíèõ òà äåñÿòêîâèõ äðîáіâ:

1) 6 %; 2) 20 %; 3) 25 %; 4) 120 %; 5) 200 %; 6) 320 %.

733. Çíàé äè: 1) 15,5 % âіä 40; 2) 16 % âіä .

734. Çíàé äè: 1) 27,5 % âіä 60; 2) 35 % âіä .

735. Êóïóþ÷è â êðåäèò òåëåâіçîð, ùî êîøòóє 1400 ãðí, ïî-êóïåöü ìàє çàïëàòèòè ïåðøèé âíåñîê ó ðîçìіðі 30 % âіä âàðòîñòі. Ñêіëüêè ãðèâåíü ñòàíîâèòèìå ïåðøèé âíåñîê?



139

736. Ìàãàçèí âñòàíîâëþє òîðãîâåëüíó íàäáàâêó â 15 %. Ñêіëüêè ãðèâåíü ñòàíîâèòèìå òîðãîâåëüíà íàäáàâêà íà òî-âàð, ÿêèé êîøòóє 80 ãðí?

737. Çíàé äè ÷èñëî, ÿêùî: 1) 3,8 % éîãî äîðіâíþþòü 76;

2) 45 % éîãî äîðіâíþþòü .

738. Çíàé äè ÷èñëî, ÿêùî: 1) 8,5 % éîãî äîðіâíþþòü 13,6;

2) 25 % éîãî äîðіâíþþòü .

739. Áàíê íàðàõîâóє 18 % ðі÷íèõ. Ïîêëàâøè äî áàíêó äåÿêó ñóìó êîøòіâ, âêëàäíèê ÷åðåç ðіê îòðèìàâ 2160 ãðí ïðèáóòêó. Çíàéäè ðîçìіð âêëàäó.

740. Ðóäà ìіñòèòü 60 % çàëіçà. Ñêіëüêè òðåáà äîáóòè ðóäè, ùîá îòðèìàòè 3 ò çàëіçà?

741. Çíàé äè âіäñîòîê âìіñòó öóêðó ó ðîç÷èíі, ÿêùî 10 êã ðîç÷èíó ìіñòèòü 0,8 êã öóêðó.

742. Âêëàäíèê ïîêëàâ äî áàíêó 6000 ãðí íà 1 ðіê, і îòðè-ìàâ ïðèáóòîê ó ðîçìіðі 1020 ãðí. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ðі÷íèõ íàðàõîâóє áàíê?

743. Ó ñі÷íі ðîáіòíèê îäåðæàâ çàðïëàòó 1800 ãðí, à â ëþòîìó — íà 8 % áіëüøå, íіæ ó ñі÷íі. Çàðïëàòà ëþòî-ãî ñòàíîâèëà 90 % âіä çàðïëàòè áåðåçíÿ. Ñêіëüêè ãðîøåé îäåðæàâ ðîáіòíèê çà öі òðè ìіñÿöі?

744. Äîâæèíà ïðÿìîêóòíîãî ïàðàëåëåïіïåäà äîðіâíþє 12 ñì, øèðèíà ñòàíîâèòü 60 % äîâæèíè і 80 % âèñîòè. Çíàé äè îá’єì ïðÿìîêóòíîãî ïàðàëåëåïіïåäà.

745. Ìàãàçèí ïðîäàâ ïåðøîãî äíÿ 30 % óñієї êàðòîïëі, äðóãîãî — 34 %, à òðåòüîãî — ðåøòó 288 êã. Ñêіëüêè êі-ëîãðàìіâ êàðòîïëі ïðîäàâ ìàãàçèí ïåðøîãî і ñêіëüêè äðó-ãîãî äíÿ?

746. Ñïëàâ îëîâà òà ñâèíöþ ìіñòèòü 58 % îëîâà. Ñêіëüêè ïîòðіáíî âçÿòè îëîâà, ùîá âèãîòîâèòè ñïëàâ, ÿêèé ìіñòè-òèìå 3,36 êã ñâèíöþ?

747. Äëÿ ïðèãîòóâàííÿ 13-âіäñîòêîâîãî ðîç÷èíó ñîëі âçÿ-ëè 39 ã ñîëі. Ó ñêіëüêîõ ãðàìàõ âîäè íåîáõіäíî ðîç÷èíèòè öþ ñіëü?


Ðîçäië 3

140

748. Ñóìà äâîõ ÷èñåë äîðіâíþє 400, ïðè÷îìó îäíå ç íèõ ñêëàäàє 60 % âіä äðóãîãî. Çíàé äè öі ÷èñëà.

749. Ñóìà òðüîõ ÷èñåë ñòàíîâèòü 460, ïðè÷îìó äðóãå ÷èñ-ëî ñêëàäàє 50 % âіä ïåðøîãî, à òðåòє — 80 % âіä ïåðøî-ãî. Çíàé äè öі ÷èñëà.

750. Ñâіæі ãðèáè ìіñòÿòü 90 % âîäè. Äëÿ ñóøіííÿ âçÿëè 12 êã ãðèáіâ. ×åðåç äåÿêèé ÷àñ âìіñò âîäè â íèõ ñêëàäàâ 70 %. ßêîþ ñòàëà ìàñà ãðèáіâ?

751. Ñòîðîíó êâàäðàòà çáіëüøèëè íà 30 %.

1) Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çáіëüøèâñÿ ïåðèìåòð êâàäðàòà?2) Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çáіëüøèëàñÿ ïëîùà êâàäðàòà?

752. Çíàé äè: 1) âіä ; 2) 0,15 âіä .

753. Çíàé äè ÷èñëî, ÿêùî:

1) éîãî äîðіâíþþòü 31,5;

2) 0,45 âіä íüîãî äîðіâíþþòü .

754. Çàìіíè âіäíîøåííÿ äðîáîâèõ ÷èñåë âіäíîøåí-íÿì íàòóðàëüíèõ ÷èñåë:

1) 1,6 : 0,5; 2) ; 3) .

755. ×è ìîæíà ÷èñëî 36 ïîäàòè ó âèãëÿäі äîáóòêó êіëüêîõ íàòóðàëüíèõ ÷èñåë òàê, ùîá ñóìà êâàäðàòіâ öèõ ÷èñåë òàêîæ äîðіâíþâàëà 36?

29.29. Коло. Довжина кола

Äóæå äàâíî ëþäè âèíàéøëè êîëåñî òà ïîáà÷èëè éîãî êîðèñíі â ïîáóòі âëàñòèâîñòі. Ãåîìåòðè÷íèìè ôіãóðàìè, ÿêі äàþòü óÿâëåííÿ ïðî êîëåñî, є êîëî і êðóã.

Íà ìàëþíêó 15 çîáðàæåíî êðåñëÿðñüêèé іíñòðóìåíò — öèðêóëü. Íà îäíіé éîãî íіæöі — âіñòðÿ, à íà äðóãіé — ãðèôåëü. ßêùî ïîñòàâèòè íіæêó ç âіñòðÿì íà ïàïіð ó òî÷êó Î, òî äðóãà íіæêà (ç ãðèôåëåì) ïіä ÷àñ îáåðòàííÿ îïèøå êîëî. Òî÷êó Î íàçèâàþòü öåíòðîì êîëà. Óñі òî÷êè êîëà ëå-æàòü â îäíіé ïëîùèíі і íà îäíàêîâіé âіäñòàíі âіä öåíòðà Î.



141

Öþ âіäñòàíü íàçèâàþòü ðàäіóñîì êîëà. Íàïðèêëàä, íà ìàëþíêó 16 öå âіäðіçîê ÎÀ, ùî ñïîëó÷àє öåíòð êîëà — òî÷êó Î — ç äîâіëüíîþ òî÷êîþ À öüîãî êîëà. Ðàäіóñ êîëà ïðèéíÿòî ïîçíà÷àòè áóêâîþ r. Âіäðіçîê ÑD, ÿêèé ñïîëó-÷àє äâі òî÷êè êîëà і ïð îõîäèòü ÷åðåç éîãî öåíòð (ìàë. 17), íàçèâàþòü äіàìåòðîì êîëà. Äіàìåòð êîëà ïðèéíÿòî ïî-çíà÷àòè áóêâîþ d. Âіí ñêëàäàєòüñÿ ç äâîõ ðàäіóñіâ: ÎÑ і ÎD. Òîìó äіàìåòð êîëà óäâі÷і áіëüøèé çà ðàäіóñ:

d 2r.

Ìàë. 15 Ìàë. 16 Ìàë. 17

Âіçüìåìî êîíñåðâíó áàíêó (êðóãëó ñêëÿíêó òîùî), ïî-ñòàâèìî її íà àðêóø ïàïåðó і îáâåäåìî îëіâöåì (ìàë. 18). Íà àðêóøі îòðèìàєìî êîëî. ßêùî âçÿòè íèòêó òà îáâèòè íåþ áàíêó, à ïîòіì âèïðÿìèòè öþ íèòêó, òî äîâæèíà íèò-êè áóäå ïðèáëèçíî äîðіâíþâàòè äîâæèíі íàìàëüîâàíîãî êîëà (ìàë. 19).

Ìàë. 18 Ìàë. 19

Âèìіðÿєìî äіàìåòð êîëà òà çíàéäåìî âіäíîøåííÿ äîâæè-íè êîëà äî éîãî äіàìåòðà. ßêùî âèìіðè çðîáëåíî äîñèòü ðå-òåëüíî, òî âèÿâèòüñÿ, ùî öå âіäíîøåííÿ òðіøêè áіëüøå çà 3.

Äëÿ âñіõ êіë âіäíîøåííÿ äîâæèíè êîëà äî äîâæèíè éîãî äіàìåòðà є îäíèì і òèì ñàìèì ÷èñëîì. Öå ÷èñëî ïî-


Ðîçäië 3

142

çíà÷àþòü ãðåöüêîþ áóêâîþ (÷èòàєòüñÿ: «ïі»), éîãî çàïè-ñóþòü íåñêіí÷åííèì äåñÿòêîâèì äðîáîì: 3,14159265...

Íàäàëі äëÿ çðó÷íîñòі îá÷èñëåíü áóäåìî âèêîðèñòîâóâà-

òè íàáëèæåíå çíà÷åííÿ : , àáî .

ßêùî äîâæèíó êîëà ïîçíà÷èòè áóêâîþ Ñ, òî .

Çâіäñè.

Äîâæèíà êîëà äîðіâíþє äîáóòêó ÷èñëà íà äіà-ìåòð êîëà.

Îñêіëüêè d 2r, òî ôîðìóëó äëÿ îá÷èñëåííÿ äîâæèíè êîëà ìîæíà çàïèñàòè і òàê:

.

Çàäà÷à 1. Çíàéòè äîâæèíó êîëà, ðàäіóñ ÿêîãî 3 ñì.Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. (ñì).

Çàäà÷à 2. Çíàéòè äіàìåòð êîëà, äîâæèíà ÿêîãî äîðіâ-íþє 44 äì.

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. , òîìó d Ñ : .

Äîöіëüíî âçÿòè . Ìàєìî

.

À ùå ðàíіøå...À ùå ðàíіøå...У далекому минулому людям доводилося розв’я зу вати задачі

на обчислення довжини кола. Відношення довжини кола до до-вжини його діаметра у різні часи вважали різним.

У Стародавньому Єгипті (бл. 3500 років тому) це відношен-ня дорівнювало 3,16; стародавні римляни вважали, що воно до-рівнює 3,12. Досить точно визначив значення числа давньо-

грецький учений Архімед (бл. 287—212 до н. е.). Він довів, що

, або 3,1408... < < 3,1428...

Першим використовувати букву для позначення відношення довжини кола до його діаметра запропонував англійський мате-матик Джонс у 1706 р., але загально вживаним це позначення ста-ло завдяки працям великого математика Л. Ейлера (1707—1783).



143

Він обчислив 153 десяткових знаки для числа . У наш час за допомогою сучасних потужних комп’ютерів для обчислено по-над 200 мільярдів десяткових знаків.

ßê çà äîïîìîãîþ öèðêóëÿ áóäóþòü êîëî? ßêèé âіäðіçîê íàçèâàþòü ðàäіóñîì êîëà; äіàìåòðîì êîëà? Ó ñêіëüêè ðàçіâ äіàìåòð êîëà äîâøèé çà ðàäіóñ? ßê îá÷èñëèòè äîâæèíó êîëà, ÿêùî âіäîìî äіàìåòð

êîëà; ðàäіóñ êîëà?

756. (Óñíî) Íà ìàëþíêó 20 çî-áðàæåíî êîëî ç öåíòðîì ó òî÷öі O, ðàäіóñ ÿêîãî 1,5 ñì.

1) Íàçâè âіäðіçêè, ÿêі є ðàäіóñà-ìè êîëà.2) Íàçâè âіäðіçîê, ÿêèé є äіà-ìåòðîì êîëà. Çíàé äè éîãî äîâ-æèíó.3) Ïîðіâíÿé ç äîâæèíîþ ðàäіó-ñà êîëà äîâæèíè âіäðіçêіâ ÎK, ÎÌ, OQ.

757. Íàêðåñëè äîâіëüíå êîëî. Âèìіðÿé éîãî ðàäіóñ і äіàìåòð.

758. Íàêðåñëè êîëî, ðàäіóñ ÿêîãî äîðіâíþє 3 ñì.

759. Çíàé äè äіàìåòð êîëà, ðàäіóñ ÿêîãî äîðіâíþє:

1) 2 ñì; 2) 3,2 äì; 3) 4,1 äì; 4) ì.

760. Çíàé äè äіàìåòð êîëà, ðàäіóñ ÿêîãî äîðіâíþє:

1) 4 ñì; 2) 5,6 ñì; 3) 4,7 äì; 4) äì.

761. Çíàé äè ðàäіóñ êîëà, äіàìåòð ÿêîãî äîðіâíþє:

1) 4 äì; 2) 5,6 ñì; 3) 4,7 ñì; 4) ì.

762. Çíàé äè ðàäіóñ êîëà, äіàìåòð ÿêîãî äîðіâíþє:

1) 18 ñì; 2) 4,2 äì; 3) 5,9 ñì; 4) äì.

763. Âèìіðÿé ðàäіóñ êîëà, çîáðàæåíîãî íà ìàëþíêó 16, òà çíàéäè äîâæèíó öüîãî êîëà.

Ìàë. 20


Ðîçäië 3

144

764. Íàêðåñëè âіäðіçîê ÀÂ äîâæèíîþ 6 ñì. Óçÿâøè òî÷-êè À і Â çà öåíòðè, ïðîâåäè äâà êîëà, îäíå ç ÿêèõ (іç öåí-òðîì ó òî÷öі À) ðàäіóñà 4 ñì, äðóãå (іç öåíòðîì ó òî÷öі Â) ðàäіóñà 3 ñì. Çíàé äè òî÷êè ïåðåòèíó öèõ êіë і ïîçíà÷ їõ òî÷êàìè Ñ і D. Âèçíà÷ âіäñòàíü âіä òî÷êè À äî òî÷êè Ñ; âіä òî÷êè Â äî òî÷êè D.

765. Îá÷èñëè äîâæèíó êîëà, ÿêùî éîãî äіàìåòð äîðіâíþє:

1) 1 ñì; 2) 2 äì; 3) 4,2 ñì; 4) ì.

766. Çíàé äè äîâæèíó êîëà, ÿêùî éîãî ðàäіóñ äîðіâíþє:

1) 1 äì; 2) 3 ñì; 3) 4,5 äì; 4) ì.

767. Çíàé äè äîâæèíó êîëà, ÿêùî éîãî:

1) äіàìåòð äîðіâíþє: 4 ñì; äì; 3,8 ñì;

2) ðàäіóñ äîðіâíþє: 6 ñì; 1,5 äì; 4,2 ñì.

768. Êàé ïðîїõàâ íà êîâçàíàõ 6 êіë ç äіàìåòðîì 10 ì. ßêó âіä-ñòàíü ïðîїõàâ Êàé? (Âіäïîâіäü îêðóãëè äî îäèíèöü ìåòðà.)

769. Ïіä ÷àñ çìàãàíü âåëîñèïåäèñò ïðîїõàâ 3 êîëà ðàäіóñà 20 ì. ßêó âіäñòàíü ïðîїõàâ âåëîñèïåäèñò? (Âіäïîâіäü îêðó-ãëè äî îäèíèöü ìåòðà.)

770. Íàêðåñëè êîëî äîâіëüíîãî ðàäіóñà. Ïðîâåäè â íüîìó äіà ìåòð ÀÂ. Ïîçíà÷ íà êîëі òî÷êó Ñ. Âèìіðÿé êóò ÀÑÂ.

771. Âèêîíàé íåîáõіäíі âèìіðþâàííÿ òà çíàé äè äîâæèíó ïîëîâèíè êîëà, çîáðàæåíîãî íà ìàëþíêó 21.

772. Íà ìàëþíêó 22 äâà êîëà çі ñïіëüíèì öåíòðîì — òî÷êîþ Î — ìàþòü ðàäіóñè 7 ñì і 5 ñì. Çíàé-äè äîâæèíè âіäðіçêіâ BD, ÀÂ, ÑÂ.

773. Íà ìàëþíêó 23 ðàäіóñ áіëüøîãî êîëà 5 ñì, ìåíøîãî — 3 ñì. Çíàé äè âіäñòàíü ìіæ öåíòðàìè êіë òà äîâæèíó âіä-ðіçêà ÀÂ.


Ìàë. 21



145

774. Äîâæèíà êîëà äîðіâíþє 31,4 ì. Çíàé äè ðàäіóñ êîëà. ( .)

775. Äîâæèíà êîëà äîðіâíþє ñì. Çíàé äè äіàìåòð êîëà.

( .)

776. Äіàìåòð êîëåñà òåïëîâîçà äîðіâíþє 160 ñì. Çà 1,5 õâ êîëåñî ðîáèòü 300 îáåðòіâ. Çíàé äè øâèäêіñòü òåïëî-âîçà â êіëîìåòðàõ çà ãîäèíó. Âіäïîâіäü îêðóãëè äî äåñÿòèõ.

777. Êîëåñî àâòîìîáіëÿ ìàє äіàìåòð 90 ñì. Âіí ðóõàєòüñÿ ç òàêîþ øâèäêіñòþ, ùî êîëåñà ðîáëÿòü 7 îáåðòіâ ùîñåêóí-äè. Çíàé äè øâèäêіñòü àâòîìîáіëÿ â êіëîìåòðàõ çà ãîäèíó. Âіäïîâіäü îêðóãëè äî äåñÿòèõ.

778. Êіíåöü õâèëèííîї ñòðіëêè ãîäèííèêà çà 15 õâ ïðîõî-äèòü âіäñòàíü 6,28 ñì. Çíàé äè äîâæèíó ñòðіëêè ãîäèííèêà.

779. 6 êã ðèñó ìіñòÿòü 4,5 êã êðîõìàëþ. Çíàé äè âіä ñîòêîâèé âìіñò êðîõìàëþ â ðèñі. Ñêіëüêè êðîõìà-ëþ ìіñòèòü 9 êã ðèñó?

780. Ïîäіëè ÷èñëî 290 íà òðè ÷àñòèíè ó âіäíîøåí-íі 5 : 6 : 9.

781. Ãðîøі, âêëàäåíі â àêöії ôіðìè «Ïîëå ÷óäåñ», ïðèíîñÿòü ùîðі÷íî 30 % âіä öіíè íà àêöії çà ïîïåðåä-íіé ðіê. ×è ïîäâîїòüñÿ âêëàäåíà ñóìà ÷åðåç òðè ðîêè?

782. Äîâåäіòü, ùî .

30.30. Круг. Площа круга. Круговий сектор

Êîëî äіëèòü ïëîùèíó íà äâі ÷àñòèíè. ×àñòèíà ïëîùèíè, ÿêà ëåæèòü óñåðåäè-íі êîëà, ðàçîì іç êîëîì óòâîðþþòü êðóã (ìàë. 24). Öåíòð, ðàäіóñ і äіàìåòð êîëà îä-íî÷àñíî є öåíòðîì, ðàäіóñîì і äіàìåòðîì êðóãà. Âіäñòàíü âіä öåíòðà äî áóäü-ÿêîї òî÷êè êðóãà íå ïåðåâèùóє ðàäіóñà êðóãà.

ßê çíàéòè ïëîùó êðóãà? Ó ñòàðøèõ êëàñàõ áóäå äîâåäåíî, ùî Ìàë. 24


Ðîçäië 3

146

ïëîùà êðóãà äîðіâíþє äîáóòêó ÷èñëà íà êâà-äðàò ðàäіóñà:

, äå r — ðàäіóñ êðóãà.

Çàäà÷à 1. Çíàéòè ïëîùó êðóãà, ðàäіóñ ÿêîãî äîðіâíþє 2,5 ñì.


(ñì2).

Ïðîâåäåìî äâà ðàäіóñè ÎÀ і ÎÂ êðóãà (ìàë. 25). Âîíè ðîçáèâàþòü êðóã íà äâі ÷àñòèíè, êîæíó ç ÿêèõ íàçèâàþòü êðóãîâèì ñåêòîðîì. Íåçàôàðáîâàíîìó ñåêòîðó âіäïîâіäàє êóò ÀÎÂ, ÿêèé ìåíøèé âіä ðîçãîðíóòîãî êóòà. Êóò çàôàð-áîâàíîãî ñåêòîðà áіëüøèé çà ðîçãîðíóòèé êóò, òîìó éîãî ãðàäóñíà ìіðà áіëüøà çà 180.


Íà ìàëþíêó 26 äіàìåòð ÀÂ ðîçáèâàє êðóã íà äâà ïіâ-êðóãè. Êóò êîæíîãî ç íèõ äîðіâí þє 180. Ñóìà öèõ êóòіâ óòâîðþє ïîâíèé êóò. Îñ êіëüêè 180 + 180 360, òî ïðè-õîäèìî äî âèñíîâêó, ùî

ãðàäóñíà ìіðà ïîâíîãî êóòà äîðіâíþє 360.

Çàäà÷à 2. Êóò íåçàôàðáîâàíîãî ñåêòîðà íà ìàëþíêó 25 äîðіâíþє 100. Çíàéòè êóò çàôàðáîâàíîãî ñåêòîðà.

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Äëÿ çíàõîäæåííÿ êóòà çàôàðáîâàíîãî ñåêòîðà âіäíіìåìî âіä ìіðè ïîâíîãî êóòà ìіðó êóòà íåçà-ôàðáîâàíîãî ñåêòîðà: 360 – 100 260. Îòæå, øóêàíèé êóò äîðіâíþє 260.



147

Çàäà÷à 3. Ìàðіéêà íàìàëþâàëà êîëî, ðàäіóñ ÿêîãî äî-ðіâíþє 6 ñì. Ïîòіì âîíà çàôàðáóâàëà ñåêòîð êðóãà, îáìå-æåíîãî öèì êîëîì, êóò ÿêîãî äîðіâíþє 90. Çíàéòè ïëîùó çàôàðáîâàíîãî ñåêòîðà.

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Îñêіëüêè 360 : 90 4, òî 90 — öå ïîâ-

íîãî êóòà 360. Òîìó Ìàðіéêà çàôàðáóâàëà êðóãà.

Ïëîùà êðóãà (ñì2).

Ïëîùà çàôàðáîâàíîãî ñåêòîðà: 113,04 : 4 28,26 (ñì2).

ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü êðóãîì? ßê çíàéòè ïëîùó êðóãà? ßê óòâîðþєòüñÿ êðóãîâèé ñåêòîð? ßêîþ є ãðàäóñíà ìіðà ïîâíîãî êðóãà?

783. Íà ìàëþíêó 27 çîáðàæåíî êðóã іç öåíòðîì Î. Íàçâè òî÷êè, ÿêі:

1) íàëåæàòü êîëó, ùî îáìåæóє êðóã;2) íàëåæàòü êðóãó;3) íå íàëåæàòü êðóãó.

784. Íàêðåñëè êðóã іç öåíòðîì ó òî÷öі Î, ðàäіóñ ÿêîãî 25 ìì. Ïîçíà÷ òî÷êó À, ùî íàëåæèòü êðóãó і íå ëå-æèòü íà êîëі, ÿêå îáìåæóє êðóã, і òî÷êó Â, ÿêà íå íà-ëåæèòü êðóãó. Âèìіðÿé âіäñòàíі ÎÀ і ÎÂ òà ïîðіâíÿé їõ ç ðàäіóñîì. ×è ïåðåòèíàє âіäðіçîê ÀÂ êîëî?

785. Îá÷èñëè ïëîùó êðóãà, ðàäіóñ ÿêîãî äîðіâíþє: 1) 4 ñì; 2) 2,5 äì.

786. Îá÷èñëè ïëîùó êðóãà, ðàäіóñ ÿêîãî äîðіâíþє:1) 10 ì; 2) 1,2 äì.

787. Îá÷èñëè ïëîùó êðóãà, äіàìåòð ÿêîãî äîðіâíþє: 1) 2 äì; 2) 3,6 ñì.

788. Îá÷èñëè ïëîùó êðóãà, äіàìåòð ÿêîãî äîðіâíþє:1) 40 ñì; 2) 1,6 äì.

789. Çðîáè íåîáõіäíі âèìіðþâàííÿ òà çíàéäè ïëîùó êðóãà íà ìàëþíêó 27.

Ìàë. 27


Ðîçäië 3

148

790. Âèìіðÿé êóòè ÀÎÂ і ÂÎÑ (ìàë. 28) і îá÷èñëè ìіðó êóòà ÀÎÑ. Ïåðåâіð îá÷èñ-ëåííÿ çà äîïîìîãîþ òðàíñïîðòèðà.

791. Ïîäіëè êðóã íà ÷îòèðè ñåêòîðè òàê, ùîá êóòè òðüîõ ç íèõ äîðіâíþâàëè 70, 80 і 100. Çàôàðáóé öі òðè ñåêòîðè ðіç-íèìè êîëüîðàìè. Çíàéäè ãðàäóñíó ìіðó êóòà íåçàôàðáîâàíîãî ñåêòîðà. Ïåðåâіð îá÷èñëåííÿ çà äîïîìîãîþ òðàíñïîðòèðà.

792. Îá÷èñëè êóò ñåêòîðà, ÿêèé âіä ïîâíîãî êóòà ñêëàäàє:

1) ; 2) ; 3) ; 4) 5 %; 5) 10 %; 6) 50 %.

793. Ïіä ÷àñ ðåñòàâðàöії äâîïîâåðõîâîї êðóãëîї áàøòè âñþ ïіäëîãó ïîêðèëè ïëèòêîþ. Ñêіëüêè êâàäðàòíèõ ìåòðіâ ïëèòêè áóëî âèêîðèñòàíî, ÿêùî âíóòðіøíіé äіàìåòð áàø-òè 6 ì?

794. Äîâæèíà êîëà 47,1 ì. Çíàé äè ïëîùó êðóãà, îáìå-æåíîãî öèì êîëîì.

795. Äîâæèíà êîëà 50,24 ñì. Çíàé äè ïëîùó êðóãà, îáìåæåíîãî öèì êîëîì.

796. Ðàäіóñ îäíîãî êîëà, çîáðàæåíîãî íà ìàëþíêó 29, äîðіâíþє 6 ñì, à äðó-ãîãî — 4 ñì. Îá÷èñëè ïëîùó êіëüöÿ, óòâîðåíîãî öèìè êîëàìè.

797. Çíàé äè ïëîùó êðóãà, ðàäіóñ

ÿêîãî 7 ì.

798. Çíàé äè ïëîùó êðóãà, ðàäіóñ ÿêîãî 8,1 äì.

799. Çíàé äè ðàäіóñ êðóãà, ïëîùà ÿêîãî äîðіâíþє 314 ñì2.

800. Çíàé äè ðàäіóñ êðóãà, ïëîùà ÿêîãî äîðіâíþє 50,24 äì2.

801. Íà êîæíіé ñòîðîíі êâàäðàòà ïîáóäîâàíî ïіâêðóã (ìàë. 30). Çðîáè íåîáõіäíі âèìіðþâàííÿ і îá÷èñëè ïëîùó óòâîðåíîї ôі ãóðè.

802. Îá÷èñëè ïëîùі çàôàðáîâàíèõ ôіãóð (ìàë. 31–33).

Ìàë. 28

Ìàë. 29



149



803. Ðàäіóñ ïåðøîãî êðóãà 12 äì, à äðóãîãî — 4 äì. Ó ñêіëüêè ðàçіâ ðàäіóñ ïåðøîãî êðóãà áіëüøèé çà ðàäіóñ äðóãîãî? Ó ñêіëüêè ðàçіâ ïëîùà ïåðøîãî êðóãà áіëüøà çà ïëîùó äðóãîãî êðóãà? Çðîáè âèñíîâêè.

804. Êðóã, ðàäіóñ ÿêîãî 3 ì, ïîäіëåíî íà äâà ñåêòîðè (ìàë. 34). ÀÎÂ 120. Ñêіëüêè âèòðàòèëè ôàðáè êîæíîãî êî-ëüîðó, ÿêùî íà îäèí êâàäðàòíèé ìåòð ïëîùі ïîòðіáíî 0,2 êã ôàðáè?

805. Àâòîìîáіëü ïðîїõàâ 28 % âіäñòàíі ìіæ ìіñòàìè. Ñêіëüêè êіëî-ìåòðіâ ïîòðіáíî ùå ïðîїõàòè àâòîìî-áіëþ, ùîá äіñòàòèñÿ ïóíêòà ïðèçíà-÷åííÿ, ÿêùî âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè 450 êì?

806. Çà ïåðøó ãîäèíó àâòîìîáіëü ïðîїõàâ 70 êì, ïіñëÿ ÷îãî éîìó çàëèøèëîñÿ ïðîїõàòè ùå 80 % âіä óñієї âіäñòàíі. Ñêіëüêè âñüîãî êіëîìåòðіâ ìàâ ïðîїõàòè àâòîìîáіëü?

Ìàë. 34


Ðîçäië 3

150

807. Òîâàð êîøòóâàâ 100 ãðí. Ñïî÷àòêó öіíó íà òîâàð ïіäâèùèëè íà 20 %, à ïîòіì äâі÷і çíèæóâàëè, ïðè÷îìó êîæíîãî ðàçó íà 10 %. Ñêіëüêè ñòàâ ïіñëÿ öüîãî êîøòóâàòè òîâàð?

808. ×è ìîæíà òðèêóòíèê ðîçðіçàòè òàê, ùîá îòðèìà-òè òðè ÷îòèðèêóòíèêè?

31.31. Стовпчасті і кругові діаграмиÃðàôі÷íà іíôîðìàöіÿ є äîñèòü íàî÷íîþ і çàïàì’ÿ òî-

âóєòüñÿ êðàùå, íіæ ñëîâà і öèôðè.Äіàãðàìà — öå îäèí іç ãðàôі÷íèõ çàñîáіâ çîáðàæåííÿ

ñïіââіäíîøåííÿ ìіæ âåëè÷èíàìè, ÿêі ïîðіâíþþòü.Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàä ïîáóäîâè ñòîâï÷àñòîї äіàãðàìè.

Ïðèêëàä 1. Ìàêñèìàëüíà ìàñà òâàðèí: ëàìè — 110 êã, îëåíÿ — 230 êã, òèãðà — 320 êã. Ïîáóäóєìî ñòîâï÷àñòó äіàãðàìó çà öèìè äàíèìè: çîáðàçèìî ìàñè òâàðèí çà äîïîìîãîþ ñòîâï-÷èêіâ. Øèðèíó öèõ ñòîâï÷èêіâ âè-áèðàєìî îäíàêîâó (íàïðèêëàä, 7 ìì), à їõ âèñîòè ìàþòü âіäïîâіäàòè ìàñі êîæíîї ç òâàðèí. Ùîá çîáðàçèòè 10 êã âіçü ìåìî 1 ìì. Òîäі âèñîòà ñòîâï-÷èêà, ùî çîáðàæóє ìàñó ëàìè, áóäå 110 : 10 11 (ìì), îëåíÿ — 230 : 10 23 (ìì), òèã ðà — 320 : 10 32 (ìì). Îòðèìàëè ñòîâï÷àñòó äіà-ãðàìó (ìàë. 35).

Іíîäі ñïіââіäíîøåííÿ ìіæ âåëè÷èíàìè çðó÷íî çîáðàæó-âàòè çà äîïîìîãîþ êðóãîâèõ äіàãðàì.

Ïðèêëàä 2. Ïðîòÿãîì òèæíÿ áіáëіîòåêó âіäâіäàëè 27 øåñ-òè êëàñíèêіâ: 9 — іç 6-À êëàñó, 12 — іç 6-Á і 6 — іç 6-Â.

Çíàéäåìî, ÿêó ÷àñòèíó êіëüêîñòі âñіõ øåñòèêëàñíèêіâ, ùî âіäâіäàëè áіáëіîòåêó, ñêëàäàє êіëüêіñòü ó÷íіâ ç êîæíî-

ãî êëàñó: (äëÿ 6-À), (äëÿ 6-Á), (äëÿ

6-Â).Íåõàé êіëüêіñòü óñіõ øåñòèêëàñíèêіâ, ÿêі âіäâіäàëè áіá-

ëіîòåêó, çîáðàæåíî ó âèãëÿäі êðóãà. Ïîäіëèìî öåé êðóã íà

Ìàë. 35



151

ñåêòîðè, ÿêі âіäïîâіäàþòü äðîáàì , і . Îñêіëüêè ïîâíèé

êóò ñòàíîâèòü 360, òî êіëüêіñòü ó÷íіâ 6-À êëàñó, ùî âіäâі-

äàëè áіáëіîòåêó, áóäå çîáðàæåíî ñåêòîðîì, êóò ÿêîãî äîðіâ-

íþє , 6-Á êëàñó — ñåêòîðîì, êóò ÿêîãî äîðіâ-

íþє , à 6-Â — ñåêòîðîì, êóò ÿêîãî äîðіâíþє

.

Áóäóєìî êðóãîâó äіàãðàìó (ìàë. 36). Äіàãðàìè âèêîðèñòîâóþòü äëÿ íàî÷ íî-

ãî çîáðàæåííÿ і àíàëіçó äàíèõ ó áàãàòüîõ íàóêàõ: іñòîðії, ãåîãðàôії, áіîëîãії òîùî.

Ó ñòàðøèõ êëàñàõ íà óðîêàõ іíôîð-ìàòèêè ðîçãëÿäàòèìóòüñÿ ðіçíі ñïîñîáè ïîáóäîâè äіàãðàì ç âèêîðèñòàííÿì ïðî-ãðàìíèõ çàñîáіâ.

Äëÿ ÷îãî âèêîðèñòîâóþòü äіàãðàìè? ßê áóäóþòü ñòîâï÷àñòі òà êðóãîâі äіàãðàìè?

809. Êðóãîâà äіàãðàìà (ìàë. 37) ïîêàçóє ðîçïîäіë äåí-íîї íîðìè õàð÷óâàííÿ ëþäèíè. Ïîÿñíè, ÿê ðîçïîäіëÿєòüñÿ äåííà íîðìà õàð÷óâàííÿ ëþäèíè.


810. Êîðèñòóþ÷èñü ñòîâï÷àñòîþ äіàãðàìîþ (ìàë. 38), âè-çíà÷ ïëîùó äіëÿíîê, âіäâåäåíèõ ïіä ðіçíі ñіëüñüêîãîñïî-äàðñüêі êóëüòóðè ó ôåðìåðñüêîìó ãîñïîäàðñòâі.

Ìàë. 36


Ðîçäië 3

152

811. Êîðèñòóþ÷èñü ñòîâï÷àñòîþ äіàãðàìîþ (ìàë. 39), íà-çâè ìàêñèìàëüíó äîâæèíó çàçíà÷åíèõ íà äіàãðàìі ðèá.

Ìàë. 39

812. Ó Ñåðãіÿ 29 íàëіïîê, ó Іâàíà — 42, ó Ïåòðà — 38. Çà öèìè äàíèìè ïîáóäóé ñòîâï÷àñòó äіàãðàìó ðîçïîäіëó êіëüêîñòі íàëіïîê ìіæ õëîïöÿìè, âçÿâøè çà çîáðàæåííÿ îäíієї íàëіïêè ïðÿìîêóòíèê, âèñîòà ÿêîãî 1 ìì.

813. Ïîáóäóé ñòîâï÷àñòó äіàãðàìó ðîçïîäіëó õëîïöіâ і äі-â÷àò ó òâîєìó êëàñі.

814. Ó êëàñі 14 õëîïöіâ і 16 äіâ÷àò. Ïîáóäóé êðóãîâó äіà-ãðàìó çà öèìè äàíèìè.

815. Íàêðåñëè êðóãîâó äіàãðàìó ðîçïîäіëó êіëüêîñòі ì’ÿ ÷іâ, çàáèòèõ êîìàíäîþ «Äèíàìî»: ó âîðîòà êîìàíäè «Àðñå-íàë» — 3 ì’ÿ÷і, «Áàðñåëîíà» — 4 ì’ÿ÷і, «Þâåíòóñ» — 1 ì’ÿ÷, «Ôåéєíîîðä» — 2 ì’ÿ÷і.

816. Âіä Êèєâà äî Äíіïðîïåòðîâñüêà 552 êì, äî Æèòî-ìèðà — 131 êì, äî Ñіìôåðîïîëÿ — 957 êì, äî Ëüâîâà — 549 êì.

1) Îêðóãëè äàíі äî äåñÿòêіâ.2) Âіçüìè äëÿ çîáðàæåííÿ 10 êì âіäñòàíі ïðÿìîêóò-

íèê, âèñîòà ÿêîãî 1 ìì, òà íàêðåñëè ñòîâï÷àñòó äіàãðàìó âіäñòàíåé âіä Êèєâà äî âêàçàíèõ ìіñò.

817. Çà òðè äíі ïîäîðîæі òóðèñò ïðîéøîâ 60 êì. Ó ïåðøèé äåíü âіí éøîâ 4 ãîä çі øâèäêіñòþ 5 êì/ãîä, ó äðóãèé —



153

6 ãîä çі øâèäêіñòþ 4 êì/ãîä, à ðåøòó âіäñòàíі ïðîéøîâ çà òðåòіé äåíü. Íàêðåñëè êðóãîâó äіàãðàìó ñïіââіäíîøåííÿ âіäñòàíåé, ÿêі äîëàâ òóðèñò ùîäíÿ.


818. Äіàãðàìà (ìàë. 40) ïîêàçóє ðîçïîäіë êіëüêîñòі øàéá, çàêèíóòèõ õîêåéíîþ êîìàíäîþ «Ñîêіë» ïðîòÿãîì ïåðøèõ ÷îòèðüîõ ìàò÷іâ ÷åìïіîíàòó Óêðàїíè. Ñêіëüêè â ñåðåäíüî-ìó øàéá çàêèäóâàëà êîìàíäà «Ñîêіë» çà ìàò÷? (Ðåçóëüòàò îêðóãëè äî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà.)

819. Íà äіàãðàìі (ìàë. 41) çîáðàæåíî äàíі ïðîäàæіâ öóêå-ðîê ìàãàçèíîì ïðîòÿãîì òðüîõ äíіâ. Ñêіëüêè â ñåðåäíüîìó êіëîãðàìіâ öóêåðîê ïðîäàâàëè â ìàãàçèíі ùîäíÿ?

820. Ó êëàñі 12 õëîïöіâ і 14 äіâ÷àò. Ñêіëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà âèáðàòè ïàðó (õëîïåöü і äіâ÷èíà) äëÿ ïðèâіòàííÿ âåòåðàíіâ?

821. Äî 160 ã 5-âіäñî-òêîâîãî ðîç÷èíó ñîëі äîäàëè 20 ã ñîëі. Çíàé äè ó âіäñîòêàõ âìіñò ñîëі ó íîâîìó ðîç÷èíі.

822. Çíàé äè ïëîùó çà-ôàðáîâàíîї ôіãóðè, çîáðàæå-íîї íà ìàëþíêó 42.

823. Äàíî n òî÷îê, æîäíі òðè ç ÿêèõ íå ëåæàòü íà îä-íіé ïðÿìіé. Ñêіëüêè ïðÿìèõ ìîæíà ïðîâåñòè ÷åðåç êîæíі äâі ç öèõ n äàíèõ òî÷îê?

Ìàë. 42


Ðîçäië 3

154

32.32. Циліндр. Конус. Куля

Ôîðìè ïðåäìåòіâ, ÿêі íàñ îòî÷óþòü, äîñèòü ðіçíîìàíіò-íі. Ñåðåä íèõ çóñòðі÷àþòüñÿ ïðåäìåòè, ùî ìàþòü ôîðìó öèëіíäðà, êîíóñà é êóëі (ìàë. 43).


Òàêі ïðåäìåòè, ÿê ñêëÿíêà, êîëîäà, êîíñåðâíà áàíêà, ìàþòü ôîðìó öèëіíäðà (ìàë. 44).

Ñëîâî «öèëіíäð» ïðèéøëî äî íàñ іç Äàâíüîї Ãðåöії і ïåðåêëàäàєòüñÿ ÿê «âàëèê». Êîëîíè áàãàòüîõ áóäіâåëü, ïî-áóäîâàíèõ ó òі ÷àñè, ìàëè ôîðìó öèëіíäðà (ìàë. 45).


Ïîâåðõíÿ öèëіíäðà ñêëàäàєòüñÿ ç äâîõ îñíîâ і áі÷íîї ïîâåðõíі (ìàë. 46). Îñíîâè öèëіíäðà – ðіâíі ìіæ ñîáîþ êðóãè. Íà ìàëþíêó öі êðóãè çîáðàæàþòü ó âèãëÿäі åëіïñіâ (îâàëіâ). Ðàäіóñè öèõ êðóãіâ íàçèâàþòü ðàäіóñàìè îñíîâ öèëіíäðà (àáî ïðîñòî ðàäіóñàìè öèëіíäðà). Âіäðіçîê, ÿêèé ñïîëó÷àє öåíòðè îñíîâ і óòâîðþє ç áóäü-ÿêèì ðàäіóñîì êóò 90, íàçèâàþòü âèñîòîþ öèëіíäðà.

Ïðî ïðåäìåòè, çîáðàæåíі íà ìàëþíêó 47, êàæóòü, ùî âîíè ìàþòü ôîðìó êîíóñà. Ñëîâî «êîíóñ» ïåðåêëàäàєòüñÿ



155

ç äàâíüîãðåöüêîї ÿê «øèøêà» àáî «âåðõіâêà øîëîìà». Êî-íóñ ïåâíîþ ìіðîþ ñõîæèé íà ïіðàìіäó. Ó êîíóñà òàêîæ, ÿê і â ïіðàìіäè, є âåðøèíà і îñíîâà. Ïîâåðõíÿ êîíóñà ñêëàäà-єòüñÿ ç îñíîâè і áі÷íîї ïîâåðõíі (ìàë. 48). ßêùî îñíîâîþ ïіðàìіäè є ìíîãîêóòíèê, òî îñíîâîþ êîíóñà є êðóã. Ðàäіóñ öüîãî êðóãà íàçèâàþòü ðàäіóñîì îñíîâè êîíóñà (àáî ðàäіó-ñîì êîíóñà).


Âіäðіçîê, ÿêèé ñïîëó÷àє âåðøèíó êîíóñà іç öåíòðîì îñíîâè і óòâîðþє ç áóäü-ÿêèì ðàäіóñîì êóò 90, íàçèâàþòü âèñîòîþ êîíóñà.

Òàêі ïðåäìåòè, ÿê ì’ÿ÷, êóëüêà, êàâóí, ãëîáóñ ìàþòü ôîðìó êóëі (ìàë. 49). Ïîâåðõíþ êóëі íàçèâàþòü ñôåðîþ. Ôîðìó, áëèçüêó äî ôîðìè êóëі, ìàþòü Çåìëÿ, Ìіñÿöü, Ñîíöå òîùî.


Ó êóëі (ñôåðè), òàê ñàìî ÿê і ó êðóãà (êîëà), є öåíòð, ðàäіóñ і äіàìåòð.

Ðàäіóñ êóëі (ñôåðè), òàê ñàìî ÿê і ðàäіóñ êðóãà (êîëà), ïðèéíÿòî ïîçíà÷àòè áóêâîþ r, à äіàìåòð – áóêâîþ d. Çðî-çóìіëî, ùî äіàìåòð êóëі (ñôåðè) óäâі÷і áіëüøèé çà ðàäіóñ êóëі (ñôåðè):

d 2r.


Ðîçäië 3

156

ßêі ç îòî÷óþ÷èõ íàñ ïðåäìåòіâ ìàþòü ôîðìó öèëіí-äðà, êîíóñà, êóëі? Ç ÷îãî ñêëàäàєòüñÿ ïîâåðõíÿ öèëіíäðà? Ïîÿñíè, ùî òàêå ðàäіóñ öèëіíäðà, âèñî-òà öèëіíäðà. Ç ÷îãî ñêëàäàєòüñÿ ïîâåðõíÿ êîíóñà? Ïîÿñíè, ùî òàêå âåðøèíà êîíóñà, ðàäіóñ êîíóñà,

âèñîòà êîíóñà. Ïîÿñíè, ùî òàêå öåíòð êóëі, ðà-äіóñ êóëі, äіàìåòð êóëі. ßêèì ñïіââіäíîøåííÿì ïîâ’ÿçàíі äîâæèíè äіàìåòðà і ðàäіóñà êóëі?

824. Çíàé äè äіàìåòð êóëі, ðàäіóñ ÿêîї äîðіâíþє:1) 3 ñì; 2) 2,5 äì.

825. Çíàé äè äіàìåòð êóëі, ðàäіóñ ÿêîї äîðіâíþє:1) 4 äì; 2) 9,5 ñì.

826. Çíàé äè ðàäіóñ êóëі, äіàìåòð ÿêîї äîðіâíþє:1) 8 äì; 2) 7,6 ñì.

827. Çíàé äè ðàäіóñ êóëі, äіàìåòð ÿêîї äîðіâíþє:1) 10 ñì; 2) 5,4 äì.

828. Ïåðåìàëþé ó çîøèò çîá-ðàæåííÿ öèëіíäðà, êîíóñà і êóëі (ìàë. 51).

829. Ïðàêòè÷íå çàâäàííÿ.1) Âіçüìè àðêóø ïàïåðó і çãîðíè éîãî ó ôîðìі öèëіíäðà. Âèçíà÷ âèñîòó öüîãî öèëіíäðà.2) Çãîðíè òîé ñàìèé àðêóø ïàïåðó ó ôîðìі öèëіíäðà ç іíøîþ âèñîòîþ.

830. Ïðàêòè÷íå çàâäàííÿ. 1) Íàìàëþé íà àðêóøі ïàïåðó êðóã, ðàäіóñ ÿêîãî äî-ðіâíþє 8 ñì. Âèðіæ іç êðóãà äâà íåðіâíèõ ìіæ ñîáîþ ñåêòîðè.2) Çãîðíè êîæíèé іç ñåêòîðіâ â êîíі÷íó ïîâåðõíþ.3) ßêèé іç êîíóñіâ ìàє áіëüøó âèñîòó: òîé, ùî çãîðíó-òî ç áіëüøîãî ñåêòîðà, ÷è òîé, ùî çãîðíóòî ç ìåíøîãî ñåêòîðà?

831. Òî÷êè Î і Î1 – öåíòðè îñíîâ öèëіíäðà (ìàë. 52). Ðàäіóñ îñíîâè öèëіíäðà äîðіâíþє 5 ñì, à âèñîòà – 7 ñì. Äîâæèíè ÿêèõ âіäðіçêіâ íà öüîìó ìàëþíêó ìîæíà çíàé-òè?

Ìàë. 51



157


832. Òî÷êà O – öåíòð êóëі, ðàäіóñ ÿêîї äîðіâíþє 6 ñì (ìàë. 53), òî÷êà B íå íàëåæèòü ïîâåðõíі êóëі. Äîâæèíè ÿêèõ âіäðіçêіâ íà öüîìó ìàëþíêó ìîæíà çíàéòè?

833. Ïðàêòè÷íå çàâäàííÿ. Ïðîäåìîíñòðóé, ÿê çà äîïî-ìîãîþ øåñòè–ñåìè îëіâöіâ öèëіíäðè÷íîї ôîðìè îäíàêîâîãî äіàìåòðà ìîæíà ïåðåìіñòèòè íåâåëè÷êèé ïðåäìåò.

834. Êóëþ ïîìіñòèëè ó êóá òàê, ùî âîíà òîðêàєòüñÿ óñіõ éîãî ãðàíåé (ìàë. 54). Ðåáðî êóáà äîðіâíþє 8 ñì.

1) Ñêіëüêè òî÷îê äîòèêó ìàþòü êóëÿ і êóá?2) Çíàé äè äіàìåòð êóëі, ðàäіóñ êóëі.3) ×è ìîæíà ó êóá ç ðåáðîì 10 ñì ïîìіñ-òèòè êóëþ, ðàäіóñ ÿêîї äîðіâíþє 5,5 ñì?

835. Öèëіíäð ïîìіñòèëè ó ïðÿìîêóò-íèé ïàðàëåëåïіïåä òàê, ÿê ïîêàçàíî íà ìàëþíêó 55.

1) Çíàéäè âèñîòó öèëіíäðà.2) Çíàéäè äіàìåòð îñíîâè öèëіí-äðà, ðàäіóñ îñíîâè öèëіíäðà.

836. Äіàìåòð çåìíîї êóëі ïðèáëèçíî äîðіâíþє 12,7 òèñ. êì. Ñêіëüêîì òè-ñÿ÷àì êіëîìåòðіâ äîðіâíþє ðàäіóñ çåìíîї êóëі òà äîâæèíà åêâàòîðà çåìíîї êóëі?

837. 1) ßêà íàéáіëüøà êіëüêіñòü êóëüîê, äіàìåòð ÿêèõ 1 ñì, ïîìіñòèòüñÿ ó êîðîáöі ôîðìè êóáà ç ðåáðîì 4 ñì (ìàë. 56), ÿêùî êîæíà êóëüêà äîòèêàєòüñÿ íå áіëüøå øåñ-òè іíøèõ êóëüîê?

2) Ñêіëüêè êóëüîê, ðàäіóñ ÿêèõ äîðіâíþє 1 ñì, ïîìіñ-òèòüñÿ â òàêіé ñàìіé êîðîáöі? Çðîáè âèñíîâêè.

Ìàë. 54

Ìàë. 55


Ðîçäië 3

158

838. ßêó íàéáіëüøó êіëüêіñòü êóëüîê, ðàäіóñ êîæíîї ç ÿêèõ äîðіâíþє 1 ñì, ìîæíà ïîìіñòèòè ó êîðîáêó, ùî ìàє ôîðìó êóáà ç ðåáðîì 6 ñì? Ðîçòàøóâàííÿ êóëüîê òàêå, ÿê ó № 837.


839. Êóëÿ ðîçìіùåíà ó öèëіíäðі òàê, ùî âîíà äîòèêàєòüñÿ îñíîâ öèëіíäðà òà éîãî áі÷íîї ïîâåðõíі (ìàë. 57). Ðàäіóñ êóëі äîðіâíþє 5 ñì. Çíàé äè ðàäіóñ îñíîâè, äіàìåòð îñíîâè òà âèñîòó öèëіíäðà.

840. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñêëàäàþòü:1) 5 êã âіä 1 ö; 2) 12 ñì âіä 2 ì; 3) 24 õâ âіä 1 ãîä; 4) 36 ñ âіä 1 õâ?

841. Ðîáіòíèê âèãîòîâèâ äåÿêó êіëüêіñòü äåòàëåé çà 21 ãîäèíó. Çà ñêіëüêè ãîäèí ðîáіòíèê âèãîòîâèòü òàêó ñàìó êіëüêіñòü äåòàëåé, ÿêùî ïіäâèùèòü ïðîäóê-òèâíіñòü ïðàöі íà 5 %?

842. ×è ìîæå êâàäðàò ðіçíèöі äâîõ ÷èñåë áóòè ìåí-øèì, íіæ ðіçíèöÿ їõ êâàäðàòіâ?


1. Çíà÷åííÿ îäíієї ç äâîõ îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèõ âåëè-÷èí çáіëüøèëîñÿ ó 6 ðàçіâ. ßê çìіíèòüñÿ çíà÷åííÿ äðóãîї âåëè÷èíè?

2. Çàïèøè âіäñîòêè ó âèãëÿäі çâè÷àéíèõ і äåñÿòêîâèõ äðîáіâ: 1) 29 %; 2) 140 %.

3. Ðàäіóñ êóëі äîðіâíþє 4,8 ñì. Çíàéäè äіàìåòð öієї êóëі.



159

4. 8 ðîáіòíèêіâ âèêîíàëè äåÿêó ðîáîòó çà 12 ãîäèí. Çà ñêіëüêè ÷àñó 6 ðîáіòíèêіâ âèêîíàþòü òàêó ñàìó ðîáîòó, ÿêùî ïðîäóêòèâíіñòü ïðàöі ó âñіõ ðîáіòíèêіâ îäíàêîâà?

5. Íàêðåñëè êîëî, ðàäіóñ ÿêîãî äîðіâíþє 4 ñì. Çíàé äè äîâæèíó êîëà і ïëîùó êðóãà, îáìåæåíîãî öèì êîëîì.

6. Ó Ñåðãіÿ 5 ìîäåëåé ëіòàêіâ і 7 ìîäåëåé àâòîìîáіëіâ. Ïîáóäóé êðóãîâó äіàãðàìó ðîçïîäіëó êіëüêîñòі ëіòàêіâ òà àâòîìîáіëіâ, ùî âіäïîâіäàє öèì äàíèì.7. Âåëîñèïåäèñò ñïî÷àòêó ðóõàâñÿ çі øâèäêіñòþ 18 êì/ãîä, à ïîòіì çáіëüøèâ її äî 22,5 êì/ãîä. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ âіí çáіëüøèâ ñâîþ øâèäêіñòü?8. Âèçíà÷ ïëîùó çàôàðáîâàíîї íà ìàëþíêó 58 ôіãóðè, ÿêùî äіàìåòð êðóãà äîðіâíþє 3,8 ñì, à ñòîðîíà êâàäðàòà 1,2 ñì.9. Òîâàð êîøòóâàâ 350 ãðí. Ñêіëüêè êîøòóâàòèìå òîâàð ïіñëÿ äâîõ ïîñëіäîâíèõ çíèæåíü, ÿêùî ïåð-øå çíèæåííÿ áóäå íà 10 %, à äðó-ãå — íà 15 %?


10. Äî 400 ã 15-âіäñîòêîâîãî ðîç÷èíó ñîëі äîëèëè 100 ã âîäè. Çíàé äè âіäñîòêîâèé âìіñò ñîëі â íîâîìó ðîç÷èíі.

11. Ðàäіóñ êðóãà äîðіâíþє 6 äì. Çíàé äè ïëîùó ñåêòîðà öüîãî êðóãà, ÿêùî êóò öüîãî ñåêòîðà äîðіâíþє 30.

12. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çáіëüøèòüñÿ ïëîùà ïðÿìî-êóòíèêà, ÿêùî éîãî äîâæèíó çáіëüøèòè íà 20 %, à øèðè-íó — íà 30 %?

Ìàë. 58



Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ ä³¿ íàä íèìè

161

ðîçìіùåíèé íà ìàëþíêó 59 ïðàâîðó÷, ïîêàçóє 2 ãðàäóñè íèæ÷å íóëÿ, òîáòî 2 Ñ ìîðîçó. Òàêó òåìïåðàòóðó çàïè-ñóþòü çі çíàêîì «–», à ñàìå –2Ñ (÷èòàþòü: «ìіíóñ äâà ãðàäóñè çà Öåëüñієì»).

Ïðèêëàä 2. Ùîá çàäàòè ïîëîæåííÿ äåÿêîãî ìіñöÿ çåì-íîї ïîâåðõíі, çà ïî÷àòêîâó âіäìіòêó ïðèéìàþòü ðіâåíü ìîðÿ. Éîãî ïîçíà÷àþòü ÷èñëîì 0.

Âåðøèíà íàéâèùîї ãîðè Óêðàїíñüêèõ Êàðïàò Ãîâåðëè ëåæèòü íà âèñîòі 2061 ì âèùå âіä ðіâíÿ ìîðÿ, âåðøèíà íàéâèùîї ãîðè Êðèìñüêèõ ãіð Ðîìàí-Êîø — íà 1545 ì âèùå âіä ðіâíÿ ìîðÿ, âåðøèíà íàéâèùîї ãîðè ðіâíèííîї ÷àñòèíè Óêðàїíè Áåðäè — íà 515 ì âèùå âіä ðіâíÿ ìîðÿ. Íàéãëèáøå ìіñöå Áàëòіéñüêîãî ìîðÿ — íà 470 ì íèæ÷å âіä ðіâíÿ ìîðÿ, Êàñïіéñüêîãî ìîðÿ — íà 1025 ì íèæ÷å âіä ðіâíÿ ìîðÿ, ×îðíîãî ìîðÿ — íà 2210 ì íèæ÷å âіä ðіâíÿ ìîðÿ (ìàë. 60).

Ìàë. 60

Ïîëîæåííÿ äåÿêîї òî÷êè, ðîçòàøîâàíîї íèæ÷å âіä ðіâ-íÿ ìîðÿ, ïîçíà÷àþòü ÷èñëàìè іç çíàêîì «–», à ïîëîæåííÿ äåÿêîї òî÷êè, ðîçòàøîâàíîї âèùå âіä ðіâíÿ ìîðÿ, іç çíà-êîì «+». Îòæå, ìîæíà ñêàçàòè, ùî âèñîòà ãîðè Ãîâåðëà äîðіâíþє +2061 ì, à ãëèáèíà ×îðíîãî ìîðÿ â íàéãëèáøî-ìó ìіñöі äîðіâíþє –2210 ì.


Ðîçäië 4

162

×èñëà çі çíàêîì «–», íàïðèêëàä –2; –1,5; ; , íàçèâà-

þòü âіä’єìíèìè ÷èñëàìè. ×èñëà çі çíàêîì «+», íàïðèêëàä

+5; +4,7; ; , íàçèâàþòü äîäàòíèìè ÷èñëàìè.

×èñëî 0 íå є àíі äîäàòíèì, àíі âіä’єìíèì.Ó çàïèñó äîäàòíèõ ÷èñåë çíàê «+», ÿê ïðàâèëî, íå ïè-

øóòü, íàïðèêëàä, çàìіñòü +6 çàïèñóþòü 6. Îòæå, ÷èñëà +6 і 6 íå âіäðіçíÿþòüñÿ îäíå âіä îäíîãî: +6 6. Òàê ñàìî

; +4,7 4,7 òîùî.

À ùå ðàíіøå...À ùå ðàíіøå...Від’ємні числа з’явилися у Стародавньому Китаї приблизно

у II ст. до н. е. Під час розв’язування багатьох задач, особливо за допомогою рівнянь, необхідно було від меншого числа відніма-ти більше. Це стало причиною введення нових видів чисел.

Також у Стародавньому Китаї уміли додавати і віднімати до-датні та від’ємні числа. Від’ємні числа тоді тлумачили як борг, а додатні як майно. В Індії в VII ст. ці числа розуміли так само, але вже знали і правила множення та ділення додатних і від’ємних чисел.

У Європі від’ємні числа почали використовувати приблизно у XII ст. Спочатку до них ставилися з недовірою: їх вважали не зовсім реальними, називаючи «фіктивними», «хибними», «аб-сурдними». «Справжніми» вважали лише додатні числа. Від’ємні числа були повністю визнані в Євро пі лише у XVII ст. завдяки працям видатного французького математика Рене Декарта (1596—1650).

Íàâåäè ïðèêëàäè, ó ÿêèõ âèêîðèñòîâóþòüñÿ ÷èñëà çі çíàêàìè «+» òà «–». Íàâåäè ïðèêëàäè äîäàòíèõ ÷èñåë, âіä’єìíèõ ÷èñåë. ßêå ÷èñëî íå є àíі äîäàò-íèì, àíі âіä’єìíèì?

843. Ïðî÷èòàé ÷èñëà: –3,2; ; –12; ; 7,2; 0; –0,29.

844. (Óñíî) ßêі ç íàâåäåíèõ ÷èñåë є äîäàòíèìè, à ÿêі —

âіä’єìíèìè: –12; 12,3; ; –5,2; 0; ; –14,598?



163

845. Іç ÷èñåë –1,5; ; ; 0; 5,7; –3; –7,9; 4,9 âèïèøè

ñïî÷àòêó âñі âіä’єìíі ÷èñëà, à ïîòіì — óñі äîäàòíі ÷èñëà.

846. Íàçâè ïîêàçè òåðìîìåòðіâ íà ìàëþíêó 61.

Ìàë. 61

847. Çàïèøè çà äîïîìîãîþ çíàêіâ «+» і «–» ïîâіäîìëåííÿ ñëóæáè ïîãîäè:

1) 18 ãðàäóñіâ òåïëà; 2) 5 ãðàäóñіâ ìîðîçó;3) 3 ãðàäóñè ìîðîçó; 4) 7 ãðàäóñіâ òåïëà.

848. Çàïèøè çà äîïîìîãîþ çíàêіâ «+» і «–» âèñîòè ãіð і ãëèáèíè ìîðіâ:

1) âèñîòà ãîðè Àé-Ïåòðі 1234 ì;2) íàéáіëüøà ãëèáèíà Àçîâñüêîãî ìîðÿ 15 ì;3) âèñîòà Òàðàñîâîї ãîðè 198 ì;4) íàéáіëüøà ãëèáèíà Áіëîãî ìîðÿ 350 ì.

849. Ñåðãіé çàéøîâ ó ëіôò øіñòíàäöÿòèïîâåðõîâîãî áó-äèíêó íà 9-ìó ïîâåðñі, ïðîїõàâ ÷îòèðè ïîâåðõè і âèéøîâ ç ëіôòà. Íà ÿêîìó ïîâåðñі âіí âèéøîâ? Ðîçãëÿíü óñі ìîæ-ëèâі âèïàäêè.

850. Äàðèíà æèâå íà 5-ìó ïîâåðñі äåâ’ÿòèïîâåðõîâîãî áó-äèíêó. Âîíà âèéøëà çі ñâîєї êâàðòèðè, ïðîéøëà 2 ïîâåð-õè і çàéøëà ó ãîñòі äî ñâîєї ïîäðóãè Іâàííè. Íà ÿêîìó ïîâåðñі æèâå Іâàííà? Ñêіëüêè є ìîæëèâîñòåé?

851. Ïîçíà÷èìî äîäàòíèì ÷èñëîì ñóìó íàÿâíèõ ãðîøåé, à âіä’єìíèì — áîðã. ßêîãî çíà÷åííÿ íàáóâàþòü òâåðäæåííÿ:


Ðîçäië 4

164

1) Ó Іâàíà –8 ãðí; 2) Ó Ïåòðà 0 ãðí;3) Ó Ìàðії 5 ãðí; 4) Ó Ñòåïàíà –12 ãðí?

852. Â іãðîâèõ âèäàõ ñïîðòó ðіçíèöþ çàáèòèõ і ïðîïóùå-íèõ ì’ÿ÷іâ ïðèéíÿòî ïîçíà÷àòè òàê: ÿêùî êîìàíäà áіëü-øå çàáèëà, àíіæ ïðîïóñòèëà, òî ðіçíèöþ ïîçíà÷àþòü çі çíàêîì «+», ÿêùî áіëüøå ïðîïóñòèëà, àíіæ çàáèëà, òî çі çíàêîì «–». Çà äàíèìè òàáëèöі çíàéäè ðіçíèöþ çàáèòèõ і ïðîïóùåíèõ ì’ÿ÷іâ êîæíîї êîìàíäè:

ÊîìàíäàÊіëüêіñòüçàáèòèõì’ÿ÷іâ

Êіëüêіñòü ïðîïóùåíèõ

ì’ÿ÷іâ

Ðіçíèöÿ çà-áèòèõ і ïðîïó-ùåíèõ ì’ÿ÷іâ

«Àâàíãàðä» 12 6«Ñîêіë» 10 7«Íèâà» 6 6«Àëüôà» 7 8«Ëîêîìîòèâ» 6 9«Çіðêà» 5 10

853. (Óñíî) Ó êîãî ç äіòåé (çàäà÷à 851) íàéáіëüøå ãðî-øåé? Ó êîãî íàéáіëüøèé áîðã?

854. ßêó òåìïåðàòóðó ïîêàæå êîæíèé ç òåðìîìåòðіâ íà ìàëþíêó 61, ÿêùî:

1) òåìïåðàòóðà ïіäâèùèòüñÿ íà 2 Ñ;2) òåìïåðàòóðà çíèçèòüñÿ íà 3 Ñ?

855. ßêó òåìïåðàòóðó ïîêàæå êîæíèé ç òåðìîìåòðіâ íà ìàëþíêó 61, ÿêùî:

1) òåìïåðàòóðà ïіäâèùèòüñÿ íà 3 Ñ;2) òåìïåðàòóðà çíèçèòüñÿ íà 2 Ñ?

856. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíîìó ïðîìåíі òî÷êè A(4),

B , Ñ(5,5), D , E(4,75).

857. Ó ñêіëüêè ðàçіâ çáіëüøèòüñÿ ïëîùà êðóãà, ÿêùî éîãî ðàäіóñ çáіëüøèòè ó 3 ðàçè?

858. Äî ÷èñëà 10 äîïèøè ëіâîðó÷ і ïðàâîðó÷ ïî îäíіé öèôðі òàê, ùîá îòðèìàíå ÷èñëî áóëî êðàòíèì ÷èñëó 72.



165

34.34. Координатна пря ма

Äîäàòíі і âіä’єìíі ÷èñëà òà ÷èñëî 0 ìîæíà çîáðàçèòè òî÷êàìè íà ïðÿìіé. Äëÿ öüîãî íàêðåñëèìî ãîðèçîíòàëü-íó ïðÿìó і ïîçíà÷èìî íà íіé òî÷êó O — ïî÷àòîê âіä-ëіêó (ìàë. 62). Òî÷êà O äіëèòü ïðÿìó íà äâà ïðîìåíі. Äî-äàòíі ÷èñëà ïðèéíÿòî ïîçíà÷àòè ïðàâîðó÷ âіä òî÷êè O, à âіä’єìíі — ëіâîðó÷. Ñàìå òîìó íàïðÿì ïðàâîðó÷ âіä òî÷êè âіäëіêó íàçèâàþòü äîäàòíèì íàïðÿìîì, à íàïðÿì ëіâî-ðó÷ — âіä’єìíèì íàïðÿìîì. Äîäàòíèé íàïðÿì ïîçíà÷à-þòü ñòðіëêîþ.

Ìàë. 62

Âèáåðåìî íà äîäàòíîìó íàïðÿìі îäèíè÷íèé âіäðіçîê. Òåïåð íà öіé ïðÿìіé ïîçíà÷èìî ÷èñëà (àáî òî÷êè, ùî âіä-ïîâіäàþòü öèì ÷èñëàì). Ùîá ïîçíà÷èòè, íàïðèêëàä, ÷èñ-ëî 3, òðåáà âіä òî÷êè Î âіäêëàñòè òðè îäèíè÷íèõ âіäðіçêè ïðàâîðó÷. Ùîá ïîçíà÷èòè ÷èñëî –4, òðåáà âіä òî÷êè Î âіä-êëàñòè ÷îòèðè îäèíè÷íèõ âіäðіçêè ëіâîðó÷.

Ïðÿìó ç âèáðàíèìè íà íіé ïî÷àòêîì âіäëіêó, îäèíè÷íèì âіäðіçêîì і âêàçàíèì äîäàòíèì íà-ïðÿìîì íàçèâàþòü êîîðäèíàòíîþ ïðÿìîþ.

×èñëî, ÿêîìó âіäïîâіäàє ïåâíà òî÷êà íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé, íàçèâàþòü êîîðäèíàòîþ öієї òî÷êè. Íà ìàëþí-êó 62 òî÷êà M ìàє êîîðäèíàòó 3, à òî÷êà K ìàє êîîðäèíàòó –4. Öå çàïèñóþòü òàê: M(3) (÷èòàþòü: «òî÷êà M ç êîîðäè-íàòîþ 3») і K(–4) (÷èòàþòü: «òî÷êà K ç êîîðäèíàòîþ –4»).

Ïðèêëàä 1. Çàïèñàòè êîîðäèíàòè òî÷îê A, B, C, D, E, K, çîáðàæåíèõ íà ìàëþíêó 63.

Ìàë. 63


Ðîçäië 4

166

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. A(2), B(–3), C(3,5), D , E(–4,5), K(5).

ßêùî êîîðäèíàòà òî÷êè âіäîìà, òî öþ òî÷êó ìîæíà ïî-çíà÷èòè íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé.

Ïðèêëàä 2. Íàêðåñëèòè êîîðäèíàòíó ïðÿìó, âçÿâøè çà îäèíè÷íèé âіäðіçîê ÷îòèðè êëіòèíêè. Ïîçíà÷èòè òî÷êè:

A , B(–2), C , D , E .

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. (Ìàë. 64.)

Ìàë. 64

Ïðèêëàä 3. Íàêðåñëèòè êîîðäèíàòíó ïðÿìó, ïîçíà÷èòè íà íіé òî÷êó L (–1). Ïîçíà÷èòè íà öіé ïðÿìіé òî÷êè, âіä-äàëåíі âіä òî÷êè L íà 3 îäèíèöі.

Ðî çâ ’ÿ çàííÿ. Òî÷êà, âіääàëåíà âіä òî÷êè L(–1) íà 3 îäèíèöі і ðîçìіùåíà ïðàâîðó÷ âіä íåї, ìàє êîîðäèíàòó 2: M(2), à òî÷êà, âіääàëåíà íà 3 îäèíèöі і ðîçìіùåíà ëіâîðó÷ âіä L(–1), ìàє êîîðäèíàòó –4: N(–4) (ìàë. 65).

Ìàë. 65

Ùî íàçèâàþòü êîîðäèíàòíîþ ïðÿìîþ? ßêèé íà-ïðÿì íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé íàçèâàþòü äîäàòíèì íàïðÿìîì, ÿêèé — âіä’єìíèì? Ùî òàêå êîîðäèíà-òà òî÷êè?

859. (Óñíî) ßêі ç òî÷îê, çîáðàæåíèõ íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé (ìàë. 64), ðîçìіùåíі ïðàâîðó÷ âіä ïî÷àòêó âіäëіêó, à ÿêі — ëіâîðó÷?



167

860. (Óñíî) Äå âіäíîñíî ïî÷àòêó âіäëіêó (ëіâîðó÷ ÷è ïðàâî-ðó÷) ðîçìіùåíî òî÷êè: M(5), K(–17), D(–17,292), P(0,01), T(–9,999), N(2014)?

861. Âèïèøè òî÷êè, ÿêі íà ìàëþíêó 64 ðîçìіùåíî ïðàâî-ðó÷ âіä ïî÷àòêó âіäëіêó, і òî÷êè, ÿêі ðîçìіùåíî ëіâîðó÷ âіä ïî÷àòêó âіäëіêó.

862. Íàçâè êîîðäèíàòó òî÷êè Ì, ÿêùî âîíà ëåæèòü íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé:

1) ïðàâîðó÷ âіä ïî÷àòêó âіäëіêó íà âіäñòàíі äîâæèíîþ 2 îäèíè÷íèõ âіäðіçêè;2) ëіâîðó÷ âіä ïî÷àòêó âіäëіêó íà âіäñòàíі äîâæèíîþ 7 îäèíè÷íèõ âіäðіçêіâ.

863. ßêà êîîðäèíàòà òî÷êè, ùî çíàõîäèòüñÿ íà âіäñòàíі:1) 3 îäèíè÷íèõ âіäðіçêè ëіâîðó÷ âіä ïî÷àòêó âіäëіêó;2) 5 îäèíè÷íèõ âіäðіçêіâ ïðàâîðó÷ âіä ïî÷àòêó âіäëіêó?

864. Çàïèøè êîîðäèíàòè òî÷îê, çîáðàæåíèõ íà ìàëþí-êó 66.

Ìàë. 66

865. Çàïèøè êîîðäèíàòè òî÷îê, çîáðàæåíèõ íà ìàëþí-êó 67.

Ìàë. 67

866. Çàïèøè êîîðäèíàòè òî÷îê A, B, C, D, E і F, çî-áðàæåíèõ íà ìàëþíêó 68.

Ìàë. 68


Ðîçäië 4

168

867. Çàïèøè êîîðäèíàòè òî÷îê G, H, K, L, M, N, çîáðà-æåíèõ íà ìàëþíêó 69.

Ìàë. 69

868. Çàïèøè äåÿêі äâà ÷èñëà, ùî ëåæàòü íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé:

1) ëіâîðó÷ âіä ÷èñëà 0; 2) ëіâîðó÷ âіä ÷èñëà –5; 3) ïðàâîðó÷ âіä ÷èñëà 10; 4) ïðàâîðó÷ âіä ÷èñëà –2.

869. Çàïèøè äåÿêі äâà ÷èñëà, ùî ëåæàòü íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé:

1) ëіâîðó÷ âіä ÷èñëà 7; 2) ëіâîðó÷ âіä ÷èñëà –2;3) ïðàâîðó÷ âіä ÷èñëà 0; 4) ïðàâîðó÷ âіä ÷èñëà –4.

870. Íàêðåñëè êîîðäèíàòíó ïðÿìó і ïîçíà÷ íà íіé òî÷êè,

ùî âіäïîâіäàþòü ÷èñëàì: 0; 1; 2; –1; 3,5; ; –6.

871. Íàêðåñëè êîîðäèíàòíó ïðÿìó òà ïîçíà÷ íà íіé òî÷êè,

ùî âіäïîâіäàþòü ÷èñëàì 0; 1; –2; 3; ; 4,5; –5.

872. Íàêðåñëè êîîðäèíàòíó ïðÿìó, âçÿâøè çà îäèíè÷íèé âіäðіçîê äâі êëіòèíêè. Ïîçíà÷ íà íіé òî÷êè: P(3), M(–2),

T , Q(–3,5), N(0), S .

873. Íàêðåñëè êîîðäèíàòíó ïðÿìó, âçÿâøè çà îäèíè÷íèé âіäðіçîê äâі êëіòèíêè. Ïîçíà÷ íà íіé òî÷êè: A(4), M(–3),

B(0,5), T , P(0), C(–1,5).

874. Íà ñêіëüêè îäèíèöü âіä ïî÷àòêó âіäëіêó âіääàëåíі òî÷êè: A(3), B(–2), C(1), D(–3,5)?

875. Íàêðåñëè êîîðäèíàòíó ïðÿìó, ïîçíà÷ íà íіé òî÷êó M(–3). Ïîçíà÷ íà öіé ïðÿìіé òî÷êó, âіääàëåíó âіä òî÷êè M:

1) íà 3 îäèíèöі â äîäàòíîìó íàïðÿìі;2) íà 2 îäèíèöі ó âіä’єìíîìó íàïðÿìі;



169

3) íà 4,5 îäèíèöі â äîäàòíîìó íàïðÿìі;4) íà 3,5 îäèíèöі ó âіä’єìíîìó íàïðÿìі.

876. Íàêðåñëè êîîðäèíàòíó ïðÿìó, ïîçíà÷ íà íіé òî÷êó P(–2). Ïîçíà÷ íà öіé ïðÿìіé òî÷êó, âіääàëåíó âіä òî÷êè P:

1) íà 3 îäèíèöі â äîäàòíîìó íàïðÿìі;2) íà 1,5 îäèíèöі ó âіä’єìíîìó íàïðÿìі.

877. Çàïèøè ÷èñëà, âіääàëåíі íà 3 îäèíèöі âіä ÷èñëà:1) 0; 2) 3; 3) –3; 4) –5.

878. Çàïèøè ÷èñëà, âіääàëåíі íà 2 îäèíèöі âіä ÷èñëà: 1) 0; 2) 2; 3) –2; 4) –4.

879. Íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé ïîçíà÷ òî÷êè: A(3), B(1), C(–2), D(4,5), E(–0,5). Çíàé äè â îäèíè÷íèõ âіäðіçêàõ âіä-ñòàíü âіä òî÷êè B äî іíøèõ òî÷îê.

880. ßêà ç äâîõ òî÷îê ðîçìіùåíà ëіâіøå: 1) A(x) ÷è B(x + 2); 2) M(x) ÷è N(x –3); 3) P(x + 1) ÷è Q(x – 2)?

881. Íà ìàëþíêó 70 òî÷êà A ìàє êîîðäèíàòó –2, à B — êîîð äèíàòó 3. Çíàé äè і ïîçíà÷ ïî÷àòîê âіäëіêó і îäèíè÷íèé âіäðіçîê. ßêі êîîðäèíàòè ìàþòü òî÷êè C, D і M?

Ìàë. 70

882. Íàêðåñëè ãîðèçîíòàëüíó ïðÿìó і ïîçíà÷ íà íіé òî÷êè A òà B, ùîá òî÷êà B áóëà ïðàâîðó÷ âіä òî÷êè A і AB 7 ñì. Ïîçíà÷ òî÷êó O — ïî÷àòîê âіäëіêó, ÿêùî A(–4) і B(3).

883. Îá÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

884. Ñïðîñòè âèðàç òà çíàéäè éîãî

çíà÷åííÿ, ÿêùî ; .


Ðîçäië 4

170

885. ×èñëî x ñòàíîâèòü 1 % âіä ÷èñëà y. Ó ñêіëü-êè ðàçіâ òðåáà çáіëüøèòè àáî çìåíøèòè ÷èñëî y, ùîá ÷èñëî x ñòàíîâèëî 3 % âіä ÷èñëà y?

886. Íà ïàïåðі â êëіòèíêó íàìàëüîâàíî êâàäðàò, ñòî-ðîíà ÿêîãî äîðіâíþє 7 êëіòèíîê. ×è ìîæíà éîãî ïîäіëèòè íà äâі ðіâíі ôіãóðè òàê, ùîá ëіíії ïîäіëó ïðîõîäèëè ïî ñòîðîíàõ êëіòèíîê?

35.35. Протилежні числа. Цілі числа. Раціональні числа

Òî÷êè A і B ç âіäïîâіäíèìè êîîðäèíàòàìè 2 і –2 îäíà-êîâî âіääàëåíі âіä ïî÷àòêó âіäëіêó — òî÷êè Î і çíàõîäÿòü-ñÿ ïî ðіçíі áîêè âіä íåї (ìàë. 71). Ùîá ïîòðàïèòè ç òî÷-êè Î â òî÷êè A(2) і B(–2), òðåáà âіäêëàñòè îäíàêîâі âіäñòàíі, ùî äîðіâíþþòü äâîì îäèíè÷íèì âіä-ðіçêàì, àëå ó ïðîòèëåæíèõ íà-ïðÿìàõ. ×èñëà 2 і –2 íàçèâàþòü ïðîòèëåæíèìè ÷èñëàìè.

Äâà ÷èñëà, ùî âіäðіçíÿþòüñÿ îäíå âіä îäíîãî ëèøå çíàêàìè, íàçèâàþòü ïðîòèëåæíèìè ÷èñëàìè.

×èñëî 2 ïðîòèëåæíå ÷èñëó –2 і, íàâïàêè, ÷èñëî –2 ïðî-òèëåæíå ÷èñëó 2. Ïðîòèëåæíèìè є òàêîæ ÷èñëà –3 і 3; 4,7

і –4,7; і ; і òîùî.

×èñëî 0 ââàæàþòü ïðîòèëåæíèì ñàìîìó ñîáі.×èñëî, ïðîòèëåæíå ÷èñëó a, ïîçíà÷àþòü –a. Íàïðè-

êëàä, ÿêùî a 7, òî –a –7; ÿêùî a –8,5, òî –a – (–8,5) 8,5 (áî ÷èñëî, ïðîòèëåæíå ÷èñëó –8,5, äîðіâ-íþє 8,5). Òàê ñàìî – (–5) 5, – (–7) 7, –0 0, âçàãàëі – (–à) à. ßêùî à ÷èñëî äîäàòíå, òî –a — ÷èñëî âіä’єìíå, à ÿêùî a — âіä’єìíå ÷èñëî, òî –a — ÷èñëî äîäàòíå.

Ïðèêëàä. Çíàéòè x, ÿêùî: 1) –x 5; 2) –x –2. Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. ×èñëî x ïðîòèëåæíå ÷èñëó –x.1) Îñêіëüêè ïðîòèëåæíèì ÷èñëó 5 є ÷èñëî –5, òî x –5.2) Ïðîòèëåæíèì ÷èñëó –2 є ÷èñëî 2, òîìó x 2.

Ìàë. 71



171

Íàòóðàëüíі ÷èñëà, ïðîòèëåæíі їì ÷èñëà і ÷èñëî 0 íàçèâàþòü öіëèìè ÷èñëàìè.

Öіëі ÷èñëà: ...; –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; ...

Öіëі ÷èñëà (äîäàòíі, âіä’єìíі і ÷èñëî 0) òà äðî-áîâі ÷èñëà (äîäàòíі і âіä’єìíі) íàçèâàþòü ðàöіî-íàëüíèìè ÷èñëàìè.

Íàïðèêëàä, ðàöіîíàëüíèìè є ÷èñëà: 37; –28; 4,5; –5,17;

; ; 0.

ßêі äâà ÷èñëà íàçèâàþòü ïðîòèëåæíèìè? ×èñëî m ïðîòèëåæíå ÷èñëó n; ÿêå ÷èñëî ïðîòèëåæíå ÷èñ-ëó n? ßêå ÷èñëî ïðîòèëåæíå äî íóëÿ? ßêі ÷èñëà íàçèâàþòü öіëèìè; ðàöіîíàëüíèìè?

887. Іç ÷èñåë –5; 2,7; 4; ; –18; 0; 6; –9 íàçâè:

1) öіëі ÷èñëà; 2) äîäàòíі öіëі ÷èñëà; 3) âіä’єìíі öіëі ÷èñëà.

888. Çàïèøè ÷èñëà, ïðîòèëåæíі äî ÷èñåë:

–4; 3; –2,5; ; ; 0; 0,8; 1,4.


–8; –7,5; ; ; 5,42; –4,3.

890. Çàïîâíè â çîøèòі òàêó òàáëèöþ (ó ðàçі ïîçèòèâíîї âіäïîâіäі ïîñòàâ çíàê «+», íåãàòèâíîї — çíàê «–»):

×èñëî 7 –4,2 0 –8

Äîäàòíå ÷èñëî

Âіä’єìíå ÷èñëî

Íàòóðàëüíå ÷èñëî

Öіëå ÷èñëî

Ðàöіîíàëüíå ÷èñëî


Ðîçäië 4

172


x 8 –5 –7,3

–x –4,5 7 –2,4


à –8 7,3

–à 5 –4,2

893. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé òî÷êè ç êîîðäèíàòà-ìè 2; –1,5; 3,5; –3 òà òî÷êè, êîîðäèíàòàìè ÿêèõ є ÷èñëà, ïðîòèëåæíі äàíèì.

894. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé òî÷êè, êîîðäèíàòè ÿêèõ — íàòóðàëüíі ÷èñëà, ìåíøі âіä 6, і òî÷êè, êîîðäèíà-òàìè ÿêèõ є ÷èñëà, äî íèõ ïðîòèëåæíі.

895. (Óñíî) ßêі ç ðіâíîñòåé є ïðàâèëüíèìè: 1) – (–12) 12; 2) –8 – (–8); 3) 1,4 – (–1,4)?

896. ßêі ç ðіâíîñòåé є ïðàâèëüíèìè:

1) 8 – (–8); 2) – (–1,5) –1,5; 3) ?

897. Çíàé äè çíà÷åííÿ x, ÿêùî: 1) –x 20; 2) –x –8; 3) –x 0.

898. Çíàé äè y, ÿêùî: 1) –y 15; 2) –y –18,7.

899. Çíàé äè çíà÷åííÿ –b, ÿêùî: 1) b 4,5; 2) b 0; 3) b –0,8.

900. Çíàé äè –m, ÿêùî: 1) m 4,9; 2) m –29,13.

901. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó – (–b), ÿêùî:1) b 8; 2) b –1,3; 3) b 0.

902. ßêå ÷èñëî òðåáà âïèñàòè ó êëіòèíêó, ùîá ðіâíіñòü

áóëà ïðàâèëüíîþ: 1) – (–8) ; 2) 7 – ?

903. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ:1) –x 15; 2) –y –1,7; 3) –b – (–8); 4) –m 0.



173


1) –y 4,7; 2) –b –8,9; 3) .

905. (Óñíî) ßêèì ÷èñëîì є ÷èñëî –p, ÿêùî:1) ð — äîäàòíå ÷èñëî; 2) p 0; 3) p — âіä’єìíå ÷èñëî?

906. Çàïèøè âñі öіëі ÷èñëà, ðîçìіùåíі íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé ìіæ ÷èñëàìè:

1) 0,2 і 4,9; 2) –12,5 і ; 3) –4,2 і .

907. Ìіæ ÿêèìè äâîìà ñóñіäíіìè öіëèìè ÷èñëàìè íà êîîð-äèíàòíіé ïðÿìіé ðîçìіùåíå ÷èñëî:

1) 2,5; 2) ; 3) –9,13; 4) ?

908. Ñêіëüêè öіëèõ ÷èñåë ðîçìіùåíî íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé ìіæ ÷èñëàìè –2014,1 і 2013,7?

909. Çàïèøè ÷èñëî, ùî äîðіâíþє ÷èñëó: 1) – (– (–3)); 2) – (– (– (–5))).

910. Ó êîðîáöі є 24 öóêåðêè, 8 ç ÿêèõ – øîêîëàäíі. Íàâìàííÿ âèéìàþòü îäíó öóêåðêó. Çíàéäè éìîâіðíіñòü òîãî, ùî âîíà øîêîëàäíà.

911. Çíàé äè ïëîùó çàôàðáîâàíîї ôі-ãóðè (ìàë. 72), ÿêùî ñòîðîíà êâàäðàòà äîðіâíþє 35 ìì, à äіàìåòð êðóãà 22 ìì.

912. Ñåðåäíє àðèôìåòè÷íå äâîõ ÷èñåë äîðіâíþє 33,6, ïðè÷îìó îäíå ç íèõ ñêëàäàє 40 % âіä äðóãîãî. Çíàé äè öі ÷èñëà.

913. Ìàєìî ÷îòèðè êëþ÷і âіä ÷îòèðüîõ ðіçíèõ íîìå-ðіâ ãîòåëþ. Ñêіëüêè ñïðîá ó íàéãіðøîìó âèïàäêó ïîòðіáíî çðîáèòè, ùîá äî êîæíîãî íîìåðó ïіäіáðàòè êëþ÷?

36.36. Модуль числаÂіäñòàíü âіä òî÷êè A(–3) äî ïî÷àòêó âіäëіêó òî÷êè — Î

äîðіâíþє 3 îäèíèöі (ìàë. 73). ×èñëî 3 íàçèâàþòü ìîäó-

Ìàë. 72


Ðîçäië 4

174

ëåì ÷èñëà –3. Ïèøóòü: 3 (÷èòàþòü: «ìîäóëü ÷èñëà –3 äîðіâíþє 3»).

Ìàë. 73

Ìîäóëåì ÷èñëà íàçèâàþòü âіäñòàíü âіä ïî÷àòêó âіäëіêó äî òî÷êè, ùî çîáðàæóє öå ÷èñëî íà êîîð-äèíàòíіé ïðÿìіé.

Âіäñòàíü âіä ïî÷àòêó âіäëіêó äî òî÷êè B(2) íà êîîðäè-íàòíіé ïðÿìіé äîðіâíþє 2 îäèíèöі (ìàë. 74), òîìó ìîäó-ëåì ÷èñëà 2 є ñàìå ÷èñëî 2. Ïèøóòü: 2. Ìîäóëü ÷èñëà íóëü äîðіâíþє íóëþ: 0. Îòæå,

ìîäóëåì äîäàòíîãî ÷èñëà і ÷èñëà 0 є ñàìå öå ÷èñëî, à ìîäóëåì âіä’єìíîãî ÷èñëà — ïðîòèëåæ-íå éîìó ÷èñëî.

Öå ïðàâèëî ìîæíà çàïèñàòè çà äîïîìîãîþ ôіãóðíîї äóæêè:

Ïðèêëàä 1. ; ; ; .

Ïðèêëàä 2. Ðîçâ’ÿçàòè ðіâíÿííÿ:

1) ; 2) |x| 0; 3) .

Ðî çâ ’ÿ çàííÿ.1) Іñíóþòü äâà ÷èñëà, ìîäóëі ÿêèõ äîðіâíþþòü 4; öå

÷èñëà 4 і –4. Îòæå, x 4 àáî x –4. 2) Іñíóє îäíå ÷èñ-ëî, ìîäóëü ÿêîãî äîðіâíþє íóëþ; öå ÷èñëî 0. Òîìó x 0. 3) Ðіâíÿííÿ íå ìàє ðîçâ’ÿçêіâ, îñêіëüêè ìîäóëü áóäü-ÿêîãî ÷èñëà çàâæäè є ÷èñëîì äîäàòíèì àáî íóëåì, òîáòî ìîäóëü ÷èñëà є íåâіä’єìíèì ÷èñëîì.



175

Âëàñòèâîñòі ìîäóëÿ:

1) Ìîäóëü ÷èñëà є çàâæäè äîäàòíèì ÷èñëîì àáî íóëåì: |a| I 0 äëÿ áóäü-ÿêîãî ÷èñëà à. 2) Ïðîòèëåæíі ÷èñëà ìàþòü ðіâíі ìîäóëі:

|–a| |a|.

Ïðèêëàä 3. Çíàéòè öіëі ÷èñëà, ïðè ÿêèõ íåðіâíіñòü |x| < 3,1 áóäå ïðàâèëüíîþ.

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Íåîáõіäíî çíàéòè öіëі ÷èñëà, âіäñòàíі âіä ÿêèõ äî ïî÷àòêó âіäëіêó ìåíøі âіä 3,1. Òàêèìè öіëè-ìè ÷èñëàìè є: –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3.

Ùî íàçèâàþòü ìîäóëåì ÷èñëà? ßê ïîçíà÷àþòü ìî-äóëü ÷èñëà? ßê çíàéòè ìîäóëü äîäàòíîãî ÷èñëà àáî íóëÿ; âіä’єìíîãî ÷èñëà? ×è ìîæå ìîäóëü äåÿêîãî ÷èñëà áóòè âіä’єìíèì ÷èñëîì?

914. Íàçâè âіäñòàíü âіä ïî÷àòêó âіäëіêó äî êîæíîї ç

òî÷îê: M(4), N(–3,8), P , Q(1,3).

915. Çíàé äè ìîäóëü êîæíîãî іç ÷èñåë: 3; –5,1; 7,8; 14,5;

; –42; 0; ; –2015. Çàïèøè âіäïîâіäíі ðіâíîñòі.

916. Çíàé äè |a|, ÿêùî a –5; 7; 2,3; –4,1.

917. (Óñíî) ßêі ç ðіâíîñòåé є ïðàâèëüíèìè: 1) |–7| 7; 2) |–5| –5; 3) |12| 12; 4) |37| –37?

918. (Óñíî) Іç äàíèõ ÷èñåë âèáåðè ÷èñëî, ùî ìàє íàé-áіëüøèé ìîäóëü, і ÷èñëî, ùî ìàє íàéìåíøèé ìîäóëü:

1) –5,7; 4,8; –2,9; 17,3; 2) 14,5; –27,2; 21,9; –13,4.

919. Іç äàíèõ ÷èñåë âèáåðè ÷èñëî, ìîäóëü ÿêîãî є íàéáіëü-øèì, і ÷èñëî, ìîäóëü ÿêîãî є íàéìåíøèì:

1) 4,7; –6,3; –14,5; 12,3; 2) 1,8; 0; –7,3; –4,5.

920. Çàïèøè óñі ÷èñëà, ìîäóëü ÿêèõ äîðіâíþє: 1) 11; 2) 0,3.

921. Çàïèøè óñі ÷èñëà, ìîäóëü ÿêèõ äîðіâíþє: 1) 8,3; 2) .

922. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó:1) |2,7| + |–1,8|; 2) |–3,9| – |–0,9|; 3) |–2,5| |4,2|;


Ðîçäië 4

176

4) |7,2| : |–0,6|; 5) ; 6) .

923. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó:1) |–8,2| + |–3,1|; 2) |–4,75| – |3,38|; 3) |–8,4| ∙ |–1,5|;

4) |–2,73| : |1,3|; 5) ; 6) .

924. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) |õ| 8; 2) |õ| –7.

925. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) |y| –9; 2) |y| 1.

926. 1) Âіäîìî, ùî |a| 5. Çíàéäè |–a|. 2) Âіäîìî, ùî |–b| 7. Çíàéäè |b|.

927. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó 2|a| – |b|, ÿêùî:

1) a –1,8; b –1,2; 2) .

928. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó |m| + 3|n|, ÿêùî:

1) m –4,5; n 1,2; 2) m ; n .

929. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé ÷èñëà, ìîäóëü

ÿêèõ äîðіâíþє 2; 7; 3,5; 0; 5 .

930. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ:1) |x| – 2 3; 2) 5 – |x| 5;

3) 2 |x| – 3 4; 4) .

931. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) |x| + 7 18; 2) 7 – 4 |x| 3.

932. Çíàé äè x, ÿêùî: 1) |–x| 5; 2) |–x| –3; 3) –|x| –6; 4) –|x| 0.

933. Çíàé äè y, ÿêùî:1) |–y| 8; 2) |–y| –17; 3) –|y| –4; 4) –|y| 8.

934. Çíàé äè âñі öіëі ÷èñëà, ïðè ÿêèõ íåðіâíіñòü áóäå ïðà-âèëüíîþ: 1) |x| < 3; 2) |x| < 4,7; 3) |x| < 0,8; 4) |x| < –3.

935. Çàïèøè òðè âіä’єìíèõ ÷èñëà, ùî çàäîâîëüíÿþòü íå-ðіâíіñòü: 1) |x| < 5; 2) |x| < 1,8; 3) |x| > 1,9.

936. Íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé (ìàë. 74–77) çîáðàæåíî ÷èñ-ëà m і n. Ïîðіâíÿé ìîäóëі öèõ ÷èñåë.



177



937. (Óñíî) ×è є ïðàâèëüíèì òâåðäæåííÿ? ×îìó?1) ßêùî äâà ÷èñëà ðіâíі, òî їõ ìîäóëі òåæ ðіâíі;2) ÿêùî ìîäóëі äâîõ ÷èñåë ðіâíі, òî öі ÷èñëà ðіâíі.

938. ×è є ïðàâèëüíèì òâåðäæåííÿ:1) ìîäóëі ïðîòèëåæíèõ ÷èñåë ðіâíі;2) ÿêùî ìîäóëі äâîõ ÷èñåë ðіâíі, òî öі ÷èñëà ïðîòèëåæíі?

939. Íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé ïîçíà÷ óñі öіëі íåäîäàòíі ÷èñëà, ó ÿêèõ ìîäóëü ìåíøèé çà 6.

940. Ñêіëüêè іñíóє öіëèõ ÷èñåë, ïðè ÿêèõ áóäå ïðàâèëü-íîþ íåðіâíіñòü: 1) |x| < 200; 2) |x| < 200,1?

941. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ:1) |x – 1| 0; 2) |x + 2| –7; 3) |4 – x| + 3 3; 4) ||x| – 1| 0.

942. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) |5 – x| 0; 2) |2x – 4| 0; 3) |x – 3| –3; 4) ||x| – 2| 0.

943. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé âñі öіëі ÷èñëà, ïðè ÿêèõ áóäå ïðàâèëüíîþ íåðіâíіñòü:

1) |x| < 4,13; 2) 1,2 < |x| < 3,8.

944. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé âñі öіëі ÷èñëà, ïðè ÿêèõ áóäå ïðàâèëüíîþ íåðіâíіñòü:

1) |x| < 2,7; 2) 1,8 < |x| < 4,9.

945. Ïîðіâíÿé ÷èñëà:

1) 0,8 і ; 2) і ; 3) і ; 4) 1,33 і .


Ðîçäië 4

178

946. Çíàé äè ïî÷àòîê âіäëіêó çîáðàæåíîї íà ìàëþí-êó 78 êîîðäèíàòíîї ïðÿìîї.

Ìàë. 78

947. ×è є ïðàâèëüíèì òâåðäæåííÿ:1) ÿêùî x –y, òî y –x;2) ÿêùî m –n, m ð, òî n p, äå n — âіäìіííå âіä íóëÿ ÷èñëî?

948. Óñі ÷èñëà âіä 1 äî 100 âèïèñàíі ïîñïіëü. ßê ç óò âî-ðåíîãî ÷èñëà âèêðåñëèòè ï’ÿòäåñÿò öèôð òàê, ùîá óòâîðå-íå ïіñëÿ öüîãî ÷èñëî áóëî íàéáіëüøèì ç óñіõ ìîæëèâèõ?

37.37. Порівняння раціональних чисел

Ìè âæå âìієìî ïîðіâíþâàòè äîäàòíі ÷èñëà. Íàïðè-

êëàä, 3 < 5; 7,2 > 7,1; ; . Âіäîìî, ùî ÷èñëî íóëü

ìåíøå âіä áóäü-ÿêîãî äîäàòíîãî ÷èñëà. À ÿê ïîðіâíþâàòè ÷èñëà, ÿêùî ñåðåä íèõ є âіä’єìíі?

Ç 5-ãî êëàñó âіäîìî, ùî ç äâîõ äîäàòíèõ ÷èñåë ìåí-øèì є òå, ÿêå íà êîîðäèíàòíîìó ïðîìåíі ðîçìіùåíî ëіâі-øå. ßêùî áóäü-ÿêі äâà ÷èñëà ïîçíà÷èòè íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé, òî îòðèìàєìî àíàëîãі÷íèé âèñíîâîê:

ç äâîõ ÷èñåë ìåíøèì є òå, ÿêå íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé ðîçìіùåíî ëіâіøå, à áіëüøèì — òå, ÿêå íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé ðîçìіùåíî ïðà âіøå.

Íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé (ìàë. 79) òî÷êà C(–2) ëåæèòü ëіâіøå âіä òî÷êè O(0). Òîìó –2 < 0. І öå є ïðèðîäíèì: àäæå, ÿêùî âðàíöі òåìïåðàòóðà áóëà –2Ñ, à âäåíü ñòàëà 0 Ñ, òî ìè êàæåìî, ùî òåìïåðàòóðà ïіäâèùèëàñÿ, òîáòî çáіëüøèëàñÿ.

Îñêіëüêè òî÷êà A(–3) ëåæèòü ëіâіøå, íіæ òî÷êà B(1), òî –3 < 1.



179

Ìàë. 79

Áóäü-ÿêå âіä’єìíå ÷èñëî ìåíøå çà íóëü і ìåíøå çà áóäü-ÿêå äîäàòíå ÷èñëî.

Òî÷êà C(–2) ëåæèòü ïðàâîðó÷ âіä òî÷êè A(–3), òîìó –2 > –3. Çàçíà÷èìî, ùî –2 ëåæèòü áëèæ÷å äî íóëÿ, íіæ –3, òîìó |–2| < |–3|. Ìàєìî –2 > –3, àëå |–2| < |–3|. Îòæå,

ç äâîõ âіä’єìíèõ ÷èñåë áіëüøèì є òå, ìîäóëü ÿêî-ãî ìåíøèé, і ìåíøèì є òå, ìîäóëü ÿêîãî áіëüøèé.

Íàïðèêëàä, –5 > –100; –1,2 < –1,1; ;

(îñêіëüêè ; і ).

Ïðèêëàä 1. Çàïèñàòè çà äîïîìîãîþ íåðіâíîñòі òâåðäæåííÿ:1) x — äîäàòíå ÷èñëî; 2) a — âіä’єìíå ÷èñëî; 3) m — íåâіä’єìíå ÷èñëî; 4) y — íåäîäàòíå ÷èñëî.Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. 1) x > 0; 2) a < 0; 3) ÿêùî ÷èñëî m

íåâіä’єìíå, òî âîíî ìîæå áóòè äîäàòíèì àáî äîðіâíþâàòè íóëþ. Öå çàïèñóþòü òàê: m I 0. Çíàê I îçíà÷àє: «áіëüøå àáî äîðіâíþє». Îñòàííþ íåðіâíіñòü ÷èòàþòü òàê: «m áіëüøå àáî äîðіâíþє íóëþ»; 4) ÿêùî ÷èñëî y íåäîäàòíå ÷èñëî, òî âîíî ìîæå áóòè âіä’єìíèì àáî äîðіâíþâàòè íóëþ. Öå çà-ïèñóþòü òàê: y J 0. Çíàê J îçíà÷àє «ìåíøå àáî äîðіâ-íþє». Îñòàííþ íåðіâíіñòü ÷èòàþòü òàê: «y ìåíøå àáî äî-ðіâíþє íóëþ».

Ïðèêëàä 2. Çíàéòè íàéáіëüøå öіëå ÷èñëî, ùî çàäîâîëü-íÿє íåðіâíіñòü: 1) à J –5; 2) b J –12,3.

Â іäïîâ іäü . 1) a –5; 2) b –13.

ßê íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé ðîçìіùóþòüñÿ òî÷êè A(a) і B(b), ÿêùî a > b? Ùî áіëüøå: äîäàòíå ÷èñëî ÷è âіä’єìíå; âіä’єìíå ÷è íóëü? Ñôîðìóëþé ïðàâè-ëî ïîðіâíÿííÿ âіä’єìíèõ ÷èñåë.


Ðîçäië 4

180

949. (Óñíî) ßêі ç íåðіâíîñòåé є ïðàâèëüíèìè:1) 4 > 0; 2) –5 < 0; 3) –7 > 2; 4) –13 > 0; 5) 9 > –3; 6) 1 < –5?

950. (Óñíî) ßêà ç äâîõ òî÷îê ðîçìіùåíà ëіâîðó÷ âіä іíøîї:1) B (0) ÷è A (–3); 2) M (0) ÷è N (2,5); 3) C (1) ÷è P (–2)?

951. ßêà ç äâîõ òî÷îê ðîçìіùåíà ïðàâîðó÷ âіä іíøîї:

1) M (0) ÷è P (–2); 2) A (7) ÷è B (0); 3) T (–5) ÷è F (3)?

952. Ïîðіâíÿé ÷èñëà:1) 18 і –27; 2) 0 і –129; 3) 137 і 0; 4) –1,6 і 1,5.

953. Ïîñòàâ çàìіñòü çіðî÷êè çíàê > àáî < òàê, ùîá óòâîðè-ëàñü ïðàâèëüíà íåðіâíіñòü:

1) –37 * 12; 2) –18 * 0; 3) 13 * 0; 4) 14 * –2.

954. Çàïèøè òâåðäæåííÿ ó âèãëÿäі íåðіâíîñòі:1) –2 — âіä’єìíå ÷èñëî; 2) 7,8 — äîäàòíå ÷èñëî;3) x — âіä’єìíå ÷èñëî; 4) y — äîäàòíå ÷èñëî;5) a — ìåíøå çà 7; 6) b — íå áіëüøå çà –2.

955. Çàïèøè òâåðäæåííÿ ó âèãëÿäі íåðіâíîñòі:

1) 4,5 — äîäàòíå ÷èñëî; 2) –3,8 — âіä’єìíå ÷èñëî;3) b — áіëüøå çà –2; 4) c — íå ìåíøå çà 9,5.

956. Ïîñòàâ çàìіñòü çіðî÷êè çíàê >, < àáî òàê, ùîá óòâî-ðèëàñü ïðàâèëüíà íåðіâíіñòü àáî ðіâíіñòü:

1) –52 * –58; 2) –8,4 * –8,3; 3) –4,18 * –4,81;

4) ; 5) –5,01 * –5,001; 6) ;

7) ; 8) ; 9) .


1) –63 і –64; 2) –5,4 і –5,7; 3) –7,16 і –7,61;

4) –4,02 і –4,002; 5) і ; 6) і .

958. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé ÷èñëà: –3,5; 1; 2,5; –4; 0; –2; 5 і âèïèøè їõ ó ïîðÿäêó çðîñòàííÿ.

959. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé ÷èñëà: 2; –4,5; 4; –5; 0; – 3; 5,5 òà âèïèøè їõ ó ïîðÿäêó ñïàäàííÿ.



181

960. Çàïèøè â ïîðÿäêó ñïàäàííÿ ÷èñëà: 3,8; –5,2; 4,7; –3,8; 0,6; –0,3.

961. Çàïèøè â ïîðÿäêó çðîñòàííÿ ÷èñëà: 7,8; –8,7; 8,1; –7,6; 0,3; –0,2.

962. Çàïèøè âñі öіëі ÷èñëà, ùî ìіñòÿòüñÿ íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé ìіæ ÷èñëàìè: 1) –5,6 і 2; 2) –8,9 і –3,7.

963. Çàïèøè âñі öіëі ÷èñëà, ùî ìіñòÿòüñÿ ìіæ ÷èñëàìè:1) –2,9 і 4,1; 2) –10,1 і –5,6.

964. Ìіæ ÿêèìè äâîìà ñóñіäíіìè öіëèìè ÷èñëàìè ìіñòèòü-

ñÿ ÷èñëî: 1) –6,5; 2) 4,6; 3) ; 4) –0,2; 5) 0,99? Çàïèøè

âіäïîâіäü çà äîïîìîãîþ ïîäâіéíîї íåðіâíîñòі, íàïðèêëàä: –3 < –2,5 < –2.

965. Ìіæ ÿêèìè ïîñëіäîâíèìè öіëèìè ÷èñëàìè ìіñòèòüñÿ

÷èñëî: 1) –5,7; 2) ; 3) 6,7; 4) –0,19; 5) ? Çàïèøè

âіäïîâіäü çà äîïîìîãîþ ïîäâіéíîї íåðіâíîñòі.

966. (Óñíî) 1) Ó Êèєâі òà Ëüâîâі âèìіðþâàëè òåìïåðàòóðó ïîâіòðÿ 1, 6, 11, 16, 21 òà 26 ãðóäíÿ î 12 ãîä äíÿ. Ðåçóëü-òàòè ïîäàíî â òàáëèöі. Ïîðіâíÿé òåìïåðàòóðó â Êèєâі òà Ëüâîâі â îäèí і òîé ñàìèé ÷àñ:

×èñëî 01.12 06.12 11.12 16.12 21.12 26.12

Êèїâ 4,7 2,1 –3,2 –14,7 –8,9 –2,7

Ëüâіâ 3,8 0 –2,1 –13,9 –10,1 1,3

2) Ó ÿêèé іç öèõ äíіâ ó Êèєâі áóëà íàéâèùà òåìïåðàòóðà, à ó Ëüâîâі íàéíèæ÷à?

967. Çàïèøè ÷îòèðè ïîñëіäîâíèõ öіëèõ ÷èñëà: 1) ìåíøå ç ÿêèõ äîðіâíþє –2; 2) áіëüøå ç ÿêèõ äîðіâíþє –1.

968. Çàïèøè òðè ïîñëіäîâíèõ öіëèõ ÷èñëà:1) áіëüøå ç ÿêèõ äîðіâíþє 0;2) ìåíøå ç ÿêèõ äîðіâíþє –5.

969. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé óñі âіä’єìíі öіëі ÷èñ-ëà, áіëüøі çà –6,17.

970. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé óñі âіä’єìíі öіëі ÷èñ-ëà, áіëüøі çà –4,99.


Ðîçäië 4

182

971. Çàïèøè âñі öіëі ÷èñëà, ùî çàäîâîëüíÿþòü íåðіâ-íіñòü: 1) –2,17 < õ < 3,8; 2) –0,5 < õ < 1,01; 3) –5 J õ J –1.

972. Çíàé äè âñі öіëі ÷èñëà, ùî çàäîâîëüíÿþòü íåðіâíіñòü:1) –2,7 < y < 3,7; 2) –3 J y < 4,001.

973. Ñêіëüêè є öіëèõ ÷èñåë, ÿêі ìåíøі âіä 15,6, àëå áіëü-øі çà –16,7?

974. (Óñíî) ×èñëà a і b — âіä’єìíі.1) |a| > |b|. Ïîðіâíÿé a і b; 2) a > b. Ïîðіâíÿé |a| і |b|.

975. Çíàé äè íàéáіëüøå öіëå ÷èñëî, ùî çàäîâîëüíÿє íåðіâ-íіñòü: 1) a J –13,4; 2) a J –12.

976. Çíàé äè íàéìåíøå öіëå ÷èñëî, ùî çàäîâîëüíÿє íåðіâ-íіñòü: 1) m I –18; 2) m I –12,3.

977. Çíàé äè:1) íàéáіëüøå öіëå ÷èñëî, ùî çàäîâîëüíÿє íåðіâíіñòü x J –5;2) íàéìåíøå öіëå ÷èñëî, ùî çàäîâîëüíÿє íåðіâíіñòü

.

978. (Óñíî) Íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé (ìàë. 80) ïîçíà÷èëè ÷èñ-ëà a, b, c, d. Ïîðіâíÿé:

1) d і b; 2) c і d; 3) d і 0; 4) –b і d; 5) –a і 0; 6) –b і –c.

979. Âіäîìî, ùî a і b — äîäàòíі ÷èñëà, x і y — âіä’єìíі ÷èñëà. Ïîðіâíÿé:

1) 0 і x; 2) a і 0; 3) –b і 0; 4) 0 і –y;5) a і y; 6) x і b; 7) –a і b; 8) –x і y.

980. Âіäîìî, ùî m — äîäàòíå ÷èñëî, à ï — âіä’єìíå. Ïî-ðіâíÿé:

1) 0 і m; 2) n і 0; 3) m і n;4) –m і m; 5) n і –n; 6) –m і –n.

981. (Óñíî) Íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé (ìàë. 81) ÷èñëà x і y — ïðîòèëåæíі. ßêèì (äîäàòíèì ÷è âіä’єìíèì) є ÷èñëî a?

Ìàë. 80

Ìàë. 81



183

982. Çàìіñòü çіðî÷êè ïіäñòàâ öèôðó òàê, ùîá óòâîðè-ëàñü ïðàâèëüíà íåðіâíіñòü (ðîçãëÿíü óñі ìîæëèâі âèïàä-êè):

1) –4,03 < –4,*1; 2) –0,3*7 > –0,316;3) –7,3*9 < –7,379; 4) –42,1* < –42,16;5) –4,4*4 > –4,442; 6) –3*,05 < –32,1.

983. Çàïèøè âñі öіëі çíà÷åííÿ çìіííîї õ, ÿêі îäíî÷àñíî çàäîâîëüíÿþòü íåðіâíîñòі:

1) –5 J x < 6 і –7 < x J 2;2) –8,3 < x < –1,2 і x J 3.

984. Çàïèøè âñі öіëі çíà÷åííÿ çìіííîї ó, ÿêі îäíî÷àñíî çàäîâîëüíÿþòü íåðіâíîñòі

–8,9 < y < 0,2 і –5 J y J 3.

985. Çàïèøè òðè äðîáè, ÿêі çàäîâîëüíÿþòü íåðіâíіñòü

.

986. Ïîðіâíÿé õ і –õ.Ðî çâ ’ÿ çàííÿ. ßêùî x > 0, òî x > –x; ÿêùî x 0, òî x –x; ÿêùî x < 0, òî x < –x.

987. ×è є ïðàâèëüíèìè òâåðäæåííÿ:1) ÿêùî x > 2, òî x — äîäàòíå ÷èñëî;2) ÿêùî x > –1, òî x — äîäàòíå ÷èñëî;3) ÿêùî y < –1, òî y — âіä’єìíå ÷èñëî;4) ÿêùî ó < 2, òî y — âіä’єìíå ÷èñëî?

988. Çíàé äè ÷èñëî, ïðîòèëåæíå:

1) ñóìі ÷èñåë 2,4 і ;

2) ðіçíèöі ÷èñåë 4 і .

989. Ó êîðîáöі 20 îëіâöіâ, ç ÿêèõ 4 — çåëåíèõ. Íàâìàííÿ âèéìàþòü îäèí îëіâåöü. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî âіí íå çåëåíèé?

990. Çàäà÷à-äîñëіäæåííÿ. Çíàé äè âñі äâîöèôðîâі íàòó-ðàëüíі ÷èñëà, ÿêі êðàòíі äîáóòêó ñâîїõ öèôð.


Ðîçäië 4

184


1. Çàïèøè êîîðäèíàòè òî÷îê A, B, C і D, çîáðàæåíèõ íà ìàëþíêó 83.


1) –3; 2) 7; 3) 0; 4) .

3. ßêà ç òî÷îê ðîçìіùåíà ïðàâîðó÷ âіä іíøîї:

1) A(0) ÷è B(3); 2) N(0) ÷è M(–2);3) P(–2) ÷è Q(2); 4) D(1) ÷è C(–3)?

4. Íàêðåñëè êîîðäèíàòíó ïðÿìó, âçÿâøè çà îäèíè÷íèé âіäðіçîê äâі êëіòèíêè. Ïîçíà÷ íà íіé òî÷êè E(2), F(–3),

K , L(3,5).

5. Ïîðіâíÿé ÷èñëà: 1) –4,19 і –4,2; 2) і .

6. Îá÷èñëè: 1) ; 2) –2,8 1,25.


1) –x 18; 2) –x –7; 3) |x| – 4 5; 4) –|x| 3.

8. Çíàé äè âñі öіëі ÷èñëà, ïðè ÿêèõ áóäå ïðàâèëüíîþ íåðіâíіñòü |x| < 2,5.

9. Çàìіíè çіðî÷êó öèôðîþ òàê, ùîá óòâîðèëàñü ïðà-âèëüíà íåðіâíіñòü (ðîçãëÿíü âñі ìîæëèâі âèïàäêè):

1) –5,07 < –5,*5; 2) –0,2*6 > –0,217.


10. Ñêіëüêè öіëèõ ÷èñåë íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé ëå-æèòü ìіæ ÷èñëàìè –25,9 і 37,8?

11. Çàïèøè òðè äðîáè, ÿêі çàäîâîëüíÿþòü íåðіâíіñòü

.

Ìàë. 83



185

12. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі x äðіá äîðіâíþє 2?

38.38. Додавання від’ємних чисел

Íåõàé ó ïîíåäіëîê Іâàí óçÿâ ó Ñåðãіÿ â áîðã 2 ãðí, à ó âіâòîðîê — ùå 3 ãðí. Òîäі çà äâà äíі ðàçîì áîðã ñêëàäàє 2 + 3 5 (ãðí). Áîðã ìîæíà òëóìà÷èòè ÿê âіä’єìíі ÷èñëà. Òîìó ñóìó áîðãó çà äâà äíі ìîæíà ïîäàòè òàê:

(–2) + (–3) –5.

Ó çàïèñó äіé ç âіä’єìíèìè ÷èñëàìè ïåðøèé êîìïîíåíò, ÿê ïðàâèëî, çàïèñóþòü áåç äóæîê: –2 + (–3).

Ïîìі÷àєìî, ùî â äàíîìó âèïàäêó ìîäóëü ñóìè äîðіâíþє ñóìі ìîäóëіâ äîäàíêіâ: |–2| + |–3| |–5|. Çíàõîäæåííÿ ñóìè ÷èñåë –2 і –3 ìîæíà çàïèñàòè òàê:

–2 + (–3) – (|–2| + |–3|) – (2 + 3) –5, àáî ñêîðî÷åíî: –2 + (–3) – (2 + 3) –5.

Ìàєìî ïðàâèëî äîäàâàííÿ äâîõ âіä’єìíèõ ÷èñåë:

ùîá äîäàòè äâà âіä’єìíèõ ÷èñëà, äîñòàòíüî äîäàòè їõ ìîäóëі і ïåðåä îòðèìàíèì ÷èñëîì çàïèñàòè çíàê «–».

Ïðèêëàä. 1) –5,2 + (–4,8) – (5,2 + 4,8) –10;

2) .

Ñôîðìóëþé ïðàâèëî äîäàâàííÿ äâîõ âіä’єìíèõ ÷è-ñåë. ×è ìîæíà ïðè äîäàâàííі äâîõ âіä’єìíèõ ÷èñåë îòðèìàòè äîäàòíå ÷èñëî; íóëü; âіä’єìíå ÷èñëî?

991. (Óñíî) ßêèì áóäå ðåçóëüòàò ãðè, ÿêùî çà 2 ïàðòії íàðàõîâàíî:

1) –1 î÷êî і –3 î÷êè; 2) –7 î÷îê і –2 î÷êè.

992. (Óñíî) Îá÷èñëè: 1) –4 + (–2); 2) –8 + (–1,8);

3) –0,3 + (–3,7); 4) .


Ðîçäië 4

186

993. Çíàé äè çíà÷åííÿ ñóìè: 1) –78 + (–2); 2) –2,5 + (–1); 3) –0,6 + (–0,2); 4) –1,8 + (–12); 5) –1,7 + (–2,3); 6) –13,8 + (–77,7); 7) –3011 + (–4192); 8) –6,17 + (–7,9).

994. Îá÷èñëè:1) –13 + (–5); 2) –3,2 + (–2); 3) –0,7 + (–0,3); 4) –13 + (–1,5); 5) –1,2 + (–1,8); 6) –14,2 + (–25,9); 7) –5017 + (–4291); 8) –2,8 + (–3,21).

995. (Óñíî) Çà ïåðøó ïîëîâèíó íî÷і òåìïåðàòóðà çìі-íèëàñÿ íà –3Ñ, à çà äðóãó — íà –2Ñ. Íà ñêіëüêè ãðàäó-ñіâ çìіíèëàñÿ òåìïåðàòóðà çà íі÷?


1) ; 2) ;

3) ; 4) .

997. Çíàé äè çíà÷åííÿ ñóìè:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

998. Çàïîâíè ó çîøèòі òàáëèöþ:

a –4,7

b –3,92 –7

a + b

999. Çàïîâíè ó çîøèòі òàáëèöþ:

x –8,37 –13

y –9,8

x + y



187

1000. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó:1) (–3,17 + (–8,92)) + (–5,27);2) –4,13 + (–209,6 + (–13,19)).

1001. Îá÷èñëè:1) –5,79 + (–27,5 + (–36,17)); 2) (–8,25 + (–7,13)) + (–1,49).

1002. Ïîñòàâ çàìіñòü * çíàê >, < àáî , ùîá óòâîðèëàñÿ ïðàâèëüíà íåðіâíіñòü àáî ðіâíіñòü:

1) –27 + (–37) * –37; 2) –39 + (–21) * –72;3) –82 + (–11) * –83; 4) –37 + (–42) * –47 + (–32).


1) –71 + (–19) * –71; 2) –94 + (–47) * –139;3) –87 + (–13) * –100; 4) –95 + (–13) * –87 + (–24).

1004. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó –a + (–b), ÿêùî:

1) a 12,7; b 13,48; 2) a ; b .

1005. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó x + y + (–17,2), ÿêùî:

1) x –19; y –27,5; 2) x –23,9; y –37,14.


1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

1007. Îá÷èñëè ñóìó:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

1008. Äî ñóìè ÷èñåë і äîäàé ÷èñëî, ïðîòèëåæíå

÷èñëó .

1009. Äî ÷èñëà, ïðîòèëåæíîãî ÷èñëó 3,5, äîäàé ñóìó ÷è-

ñåë і .


Ðîçäië 4

188

1010. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó

.

1011. Äîáåðè òàêå ÷èñëî, ùîá óòâîðèëàñü ïðàâèëüíà ðіâíіñòü:

1) –2 + ... –13; 2) ... + (–0,8) –1,89;

3) ; 4) .

1012. Äîáåðè ÷èñëî òàê, ùîá óòâîðèëàñü ïðàâèëüíà ðіâ-

íіñòü: 1) ... + (–13,2) –15,2; 2) .

1013. Ïîäàé ó âèãëÿäі ñóìè äâîõ ðіâíèõ äîäàíêіâ ÷èñëî:

1) –18; 2) –7; 3) –4,7; 4) .

1014. Ïîðіâíÿé çíà÷åííÿ âèðàçіâ a + b òà x + y, ÿêùî

a ; b –3,8; x ; y –0,95.

1015. Ïîðіâíÿé çíà÷åííÿ âèðàçіâ m + n òà p + q, ÿêùî

m ; n –1,8; p ; q –2,2.

1016. Íàêðåñëè êîîðäèíàòíó ïðÿìó, âçÿâøè çà îäè-íè÷íèé âіäðіçîê ï’ÿòü êëіòèíîê. Ïîçíà÷ íà íіé òî÷êè

A(–1,2), B(–0,8), C(2,2), D і E .

1017. ßéöÿ â ñåðåäíüîìó ìіñòÿòü 12,5 % áіëêіâ і 12 % æèðіâ. Ñêіëüêè ãðàìіâ áіëêіâ і ñêіëüêè ãðàìіâ æèðіâ ìіñòèòüñÿ â ï’ÿòè ÿéöÿõ, ÿêùî ìàñà îäíîãî ÿéöÿ 60 ã?

1018. Çíàé äè ïëîùó çàôàðáîâà-íîї ôіãóðè (ìàë. 84).

1019. Ãîëîâêà ñèðó ìàє ôîðìó öèëіíäðà. Ïðîäàâåöü òðüîìà ïðÿìèìè ðîçðіçàìè ïîäіëèâ її íà 8 ÷àñòèí. ßê âіí öå çðîáèâ?

Ìàë. 84



189

39.39. Додавання двох чисел з різними знаками

Ïðèïóñòèìî, ùî â ïîíåäіëîê Іâàí çàáîðãóâàâ Ñåðãіþ 3 ãðí, à ó âіâòîðîê ïîâåðíóâ áîðã, òîáòî âіääàâ Ñåðãіþ 3 ãðí. Îñêіëüêè áîðã ìîæíà òëóìà÷èòè ÿê âіä’єìíі ÷èñëà, à ìàéíî — ÿê äîäàòíі, òî ðîçðàõóíîê ìіæ õëîïöÿìè ìîæ-íà ïîäàòè òàê:

–3 + 3 0.

×èñëà –3 і 3 — ïðîòèëåæíі, їõ ñóìà äîðіâíþє íóëþ.

Ñóìà äâîõ ïðîòèëåæíèõ ÷èñåë äîðіâíþє íóëþ.

Ïðèêëàä 1. 1) 5 + (–5) 0; 2) ; 3) 1,23 +

+ (–1,23) 0.ßêùî ó ïîíåäіëîê Іâàí çàáîðãóâàâ Ñåðãіþ 3 ãðí, à ó

âіâòîðîê ïîâåðíóâ 2 ãðí, òî áîðã Іâàíà Ñåðãіþ ñòàíîâèòü 1 ãðí. Öå ìîæíà çàïèñàòè òàê: –3 + 2 –1.

Ó öіé ðіâíîñòі ìîäóëі äîäàíêіâ äîðіâíþþòü 3 і 2, à ìî-äóëü ñóìè äîðіâíþє 1, òîáòî ìîäóëü ñóìè äîðіâíþє ðіçíè-öі áіëüøîãî і ìåíøîãî ìîäóëіâ. Çíàê, ÿêèé ñòîїòü ïåðåä çíàéäåíèì ÷èñëîì (ìіíóñ), çáіãàєòüñÿ çі çíàêîì äîäàíêà, ìîäóëü ÿêîãî є áіëüøèì (÷èñëà –3).

Íåõàé ó ïîíåäіëîê Іâàí çàáîðãóâàâ Ñåðãіþ 3 ãðí, à ââå-÷åðі îòðèìàâ âіä áàòüêіâ 5 ãðí. Êîëè Іâàí âіääàñòü áîðã, òî â íüîãî ùå çàëèøèòüñÿ 2 ãðí. Òîäі ìàєìî: –3 + 5 2.

Ó öіé ðіâíîñòі ìîäóëі äîäàíêіâ äîðіâíþþòü 3 і 5, à ìî-äóëü ñóìè 2, òîáòî ìîäóëü ñóìè çíîâó äîðіâíþє ðіçíèöі áіëüøîãî і ìåíøîãî ìîäóëіâ. Çíàê, ÿêèé ñòîїòü ïåðåä çíà-éäåíèì ÷èñëîì (ïëþñ), çíîâó çáіãàєòüñÿ çі çíàêîì äîäàí-êà, ìîäóëü ÿêîãî є áіëüøèì (÷èñëà 5).

Ìàєìî ïðàâèëî äîäàâàííÿ äâîõ ÷èñåë ç ðіçíèìè çíàêàìè:

ùîá äîäàòè äâà ÷èñëà ç ðіçíèìè çíàêàìè, äî-ñòàòíüî âіä áіëüøîãî ìîäóëÿ äîäàíêіâ âіäíÿòè ìåíøèé ìîäóëü і çàïèñàòè ïåðåä çíàéäåíèì ÷èñëîì çíàê òîãî äîäàíêà, ìîäóëü ÿêîãî áіëü-øèé.


Ðîçäië 4

190

Âèêîíóþ÷è îá÷èñëåííÿ, çðó÷íî ñïî÷àòêó âèçíà÷èòèі çà ïè ñàòè çíàê ñóìè, à ïîòіì ó äóæêàõ çàïèñàòè ðіçíèöþ ìîäóëіâ.

Ïðèêëàä 2. 1) –12 + 8 – (12 – 8) –4;2) 10 + (–13) – (13 – 10) –3;3) 13 + (–7) +(13 – 7) 6, àáî 13 + (–7) 13 – 7 6;4) –8 + 15 +(15 – 8) 7, àáî –8 + 15 15 – 8 7.Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàä äîäàâàííÿ çâè÷àéíèõ äðîáіâ ç ðіç-

íèìè çíàêàìè, â ÿêîìó ñïî÷àòêó òðåáà ïîðіâíÿòè ìîäóëі äîäàíêіâ і, ëèøå ïіñëÿ öüîãî, çàñòîñóâàòè ïðàâèëî.

Ïðèêëàä 3. .

ßêùî äî ÷èñëà a äîäàòè äîäàòíå ÷èñëî, òî îòðèìàíà ñóìà áóäå áіëüøîþ çà a; ÿêùî äîäàòè âіä’єìíå ÷èñëî, òî îòðèìàíà ñóìà áóäå ìåíøîþ âіä a. Ñïðàâäі:

5 + 7 12 > 5; 5 + 3 8 > 5; 5 + 19 24 > 5; 5 + (–2) 3 < 5; 5 + (–5) 0 < 5; 5 + (–8) –3 < 5.

ßêîìó ÷èñëó äîðіâíþє ñóìà ïðîòèëåæíèõ ÷èñåë? Ñôîðìóëþé ïðàâèëî äîäàâàííÿ äâîõ ÷èñåë ç ðіç-

íèìè çíàêàìè. Íàâåäè ïðèêëàä, ó ÿêîìó ñóìîþ äâîõ ÷èñåë ç ðіçíèìè çíàêàìè є ÷èñëî äîäàòíå; íóëü; ÷èñëî âіä’єìíå.

1020. Íàçâè çíàê ñóìè:1) –2 + 3; 2) 4 + (–5); 3) 8 + (–8); 4) –17 + 1.

1021. (Óñíî) ßêà ñóìà äîðіâíþє íóëþ:1) 2,1 + (–2); 2) 9 + (–9);

3) –8,5 + 1,2; 4) ?

1022. (Óñíî) Îá÷èñëè:1) –40 + 20; 2) 18 + (–7); 3) 500 + (–600); 4) –20 + 32.

1023. Çíàé äè ñóìó ÷èñåë:1) 25 + (–15); 2) –110 + 37;3) 4,9 + (–5); 4) –2,3 + 2,5.

1024. Çíàé äè ñóìó ÷èñåë:

1) 32 + (–12); 2) –115 + 15; 3) 4,2 + (–8,2); 4) –7,3 + 7,9.



191

1025. (Óñíî) Îá÷èñëè îñòàòî÷íèé ðåçóëüòàò ãðè, ÿêùî çà äâі ïàðòії íàðàõîâàíî:

1) –2 î÷êè і +3 î÷êè; 2) +5 î÷îê і –7 î÷îê; 3) –4 î÷êè і +4 î÷êè.

1026. Âèêîíàé äîäàâàííÿ:1) –4,254 + 6,44; 2) –6,7 + 5,9; 3) –4,8 + 4,8;

4) 0,8957 + (–1); 5) ; 6) – ;

7) ; 8) ; 9) .


1) 5,75 + (–3,83); 2) –5,5 + 7,23; 3) –1 + 1,138;

4) 5,9 + (–5,9); 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) .

1028. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó x + (–4,5), ÿêùî x 0,92; –0,8; 4,5; 5,2.

1029. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó –5,2 + y, ÿêùî y 8,3; 5,2; –2,3; 0,8.

1030. (Óñíî) ßêі ç íåðіâíîñòåé (ðіâíîñòåé) ïðàâèëüíі, à ÿêі — íі:

1) 200 + (–40) > 0; 2) 7,39 + (–8,32) > 0; 3) 29,7 + (–29,7) < 0; 4) –14,7 + 14,7 0; 5) –82 + 81 < 0; 6) –20 + 2 < –20;7) 28 + (–13) > 28; 8) –29 + (–29) < –29; 9) –8 + 0 0?

1031. Îá÷èñëè:1) (8,23 + (–5,47)) + (–3,84); 2) 4,47 + (–2,98 + 0,47).


1) (4,42 + (–10,8)) + 17,3; 2) –8,13 + (–3,42 + 4,59).

1033. Äîäàé:1) äî ñóìè ÷èñåë –56 і 37 ÷èñëî –19;2) äî ÷èñëà 12 ñóìó ÷èñåë –39 і 15.


Ðîçäië 4

192

1034. Äîäàé äî ñóìè ÷èñåë –12 і 14 ñóìó ÷èñåë 18 і –25.

1035. Çà äàíèìè òàáëèöі çíàéäè ñóìó:

m –3,75 2,6

4,2

–1

n 0,785 –1,94 1 –4,2

m + n

1036. Çà äàíèìè òàáëèöі çíàéäè ñóìó:

a 4,61 –3,08 7,9 –1

b –3,29 0,69 1 –7,9

a + b

1037. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó:1) (–8,92 + 7,39) + (4,82 + (–3,17));2) (4,39 + (–5,19)) + (–8,13 + 9,42).


1) (–5,17 + 4,92) + (7,42 + (–6,59));2) (3,48 + (–2,17)) + (–7,18 + 4,49).

1039. Ñåðåä ÷èñåë –1,8; 1,7; 1,26; –2,5; 2,5; 1,59 çíàéäè òі, ÿêі çàäîâîëüíÿþòü íåðіâíіñòü x + (–4,2) > –2,6.

1040. Ñåðåä ÷èñåë –0,8; 4,7; 5; –0,41; 6,7; –0,9 çíàéäè òі, ÿêі çàäîâîëüíÿþòü íåðіâíіñòü –5,8 + y < –6,2.

1041. Ïîñòàâ çàìіñòü * çíàê >, < àáî , ùîá óòâîðèëàñü ïðàâèëüíà íåðіâíіñòü àáî ðіâíіñòü:

1) 200 + (–300) * 0; 2) 0 * –150 + 200; 3) 423 + (–423) * 0; 4) –8,2 + 13 * 5; 5) 19 + (–20,7) * –2; 6) –18 * –29 + 11.


1) –180 + 270 * 0; 2) 0 * 130 + (–150);3) 1,17 + (–1,17) * 0; 4) 4,8 + (–3,7) * 1;5) –14,7 + 9,8 * –5; 6) –17,8 * –18 + 1,2.



193


1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) .


1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) .

1045. Ñêëàäè ÷èñëîâèé âèðàç і îá÷èñëè éîãî çíà÷åííÿ:

1) äî ÷èñëà äîäàëè ñóìó ÷èñåë і ;

2) äî ñóìè ÷èñåë –12,42 і 13,67 äîäàëè ÷èñëî .

1046. Ñêëàäè ÷èñëîâèé âèðàç і îá÷èñëè éîãî çíà÷åííÿ:

äî ÷èñëà äîäàëè ñóìó ÷èñåë і .



1049. Äîáåðè êîðіíü ðіâíÿííÿ і âèêîíàé ïåðåâіðêó: 1) y + (–3) 5; 2) –8 + x –3;3) a + 8 –3; 4) 7 + b 2.

1050. Çàìіñòü * ïîñòàâ çíàê + àáî –, ùîá áóëà ïðàâèëüíîþ ðіâíіñòü:

1) (*20) + (*15) –5; 2) (*15) + (*17) –32;3) (*7) + (*9) 2; 4) (*11) + (*11) 0;


Ðîçäië 4

194

5) (*29) + (*11) 40; 6) (*19) + (*19) –38.

1051. Çàìіñòü * ïîñòàâ çíàê + àáî –, ùîá áóëà ïðàâèëüíîþ ðіâíіñòü:

1) (*10) + (*15) 5; 2) (*13) + (*12) 25; 3) (*10) + (*10) –20; 4) (*5) + (*7) –2; 5) (*1) + (*1) 0; 6) (*3) + (*2) 1.

1052. Äî ñóìè ÷èñåë 2,25 і äîäàé ÷èñëî, âçàєìíî îáåð-

íåíå ç ÷èñ ëîì .

1053. Çíàé äè ñóìó, äîäàíêàìè ÿêîї є ÷èñëà: îáåðíåíå і ïðîòèëåæíå äî ÷èñëà 7,5.

1054. ßêà ç íåðіâíîñòåé, äå x < 0, є ïðàâèëüíîþ, à ÿêà — íі:

1) x + 3 > 3; 2) –5 + x < –5; 3) x + 7,6 < 7,6;4) –5 + x > 0; 5) x + x > 0; 6) x + x < x?

1055. ßêà ç íåðіâíîñòåé, äå y > 0, є ïðàâèëüíîþ, à ÿêà — íі:

1) –8 + y > –8; 2) y + (–2,8) < –2,8; 3) y + 7 < 0;4) y + (–0,7) > –0,7; 5) y + y < 0; 6) y + y > y?

1056. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó |a + b| + a, ÿêùî:

1) a –2,5; b 1,7; 2) a ; b .

1057. Çíàé äè ó âіäñîòêàõ çìіíó âåëè÷èíè:1) âіä 5 ò äî 7 ò; 2) âіä 10 ñì äî 7 ñì; 3) âіä 40 ã äî 48 ã; 4) âіä 1 ö äî 90 êã; 5) âіä 80 êîï. äî 1 ãðí; 6) âіä 1 ãîä äî 45 õâ.

1058. Øâèäêіñòü âåëîñèïåäèñòà 18 êì/ãîä. Âèðàçè її ó ìåòðàõ çà õâèëèíó.

1059. Ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 70 ñì. Çíàé äè ïëîùó öüîãî ïðÿìîêóòíèêà, ÿêùî éîãî ñòîðî-íè âіäíîñÿòüñÿ ÿê 3 : 4.

1060. Ïðÿìîêóòíèê ç äîâæèíàìè ñòîðіí 4 ñì і 9 ñì ðîçðіæ íà äâі ÷àñòèíè òàê, ùîá ç íèõ ìîæíà áóëî ñêëàñòè êâàäðàò.



195

40.40. Властивості додаванняÄëÿ äîäàâàííÿ ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë, ÿê і äëÿ äîäàâàí-

íÿ äîäàòíèõ ÷èñåë, ñïðàâäæóþòüñÿ ïåðåñòàâíà і ñïîëó÷íà âëàñòèâîñòі.

Ïåðåñòàâíà âëàñòèâіñòü äîäàâàííÿ.

Äëÿ áóäü-ÿêèõ ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë a і b âèêîíó-єòüñÿ ðіâíіñòü

a + b b + a.

Ïåðåâіðèìî öþ âëàñòèâіñòü íà ïðèêëàäàõ. Ïðèêëàä 1. –8 + (–3) –11; –3 + (–8) –11, òîìó –8 +

+ (–3) –3 + (–8).Ïðèêëàä 2. –2 + 5 3; 5 + (–2) 3, òîìó –2 + 5 5 +

+ (–2).Ñïîëó÷íà âëàñòèâіñòü äîäàâàííÿ.

Äëÿ áóäü-ÿêèõ ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë a, b і c âèêî-íóєòüñÿ ðіâíіñòü

(a + b) + c a + (b + c).

Ïåðåâіðèìî öþ âëàñòèâіñòü íà ïðèêëàäі. Ïðèêëàä 3. (–2 + 7) + (–8) 5 + (–8) –3; –2 + (7 + (–8)) –2 + (–1) –3, òîìó (–2 + 7) + (–8) –2 + (7 + (–8)).

Äëÿ áóäü-ÿêîãî ðàöіîíàëüíîãî ÷èñëà a âèêîíó-þòüñÿ ðіâíîñòі:

a + 0 0 + a a; a + (–a) –a + a 0.

Âëàñòèâîñòі äîäàâàííÿ äàþòü ìîæëèâіñòü ñïðîñòèòè ïðîöåñ îá÷èñëåííÿ ñóìè êіëüêîõ äîäàíêіâ, îáèðàþ÷è çðó÷-íèé ïîðÿäîê îá÷èñëåíü. ßêùî íåîáõіäíî äîäàòè êіëüêà ÷è-ñåë, ñåðåä ÿêèõ є äîäàòíі і âіä’єìíі ÷èñëà, òî ìîæíà îêðå-ìî äîäàòè âñі äîäàòíі ÷èñëà і îêðåìî âñі âіä’єìíі, à ïîòіì äî ñóìè äîäàòíèõ ÷èñåë äîäàòè ñóìó âіä’єìíèõ. ßêùî ñå-ðåä äîäàíêіâ є ïðîòèëåæíі ÷èñëà, òî ñóìà öèõ äîäàíêіâ äî-ðіâíþє íóëþ. Òàêі äîäàíêè ìîæíà çàêðåñëèòè (êàæóòü, ùî äîäàíêè âçàєìíî çíèùèëèñÿ).

Ïðèêëàä 4. Îá÷èñëèòè ñóìó:

–7 + (–4) + 11 + (–5) + 7 + (–12) + 8 + 1.


Ðîçäië 4

196

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ . Çàçíà÷èìî, ùî ñåðåä äîäàíêіâ є ïðîòè-ëåæíі ÷èñëà: –7 і 7, ñóìà ÿêèõ äîðіâíþє íóëþ. Їõ ìîæíà çàêðåñëèòè. Äàëі çãðóïóєìî ÷èñëà ç îäíàêîâèìè çíàêàìè:

+ (–4) + 11 + (–5) + + (–12) + 8 + 1 (–4 + (–5) + (–12)) + (11 + 8 + 1) –21 + 20 –1.

Ó ÷îìó ïîëÿãàþòü ïåðåñòàâíà òà ñïîëó÷íà âëàñòè-âîñòі äîäàâàííÿ? ×îìó äîðіâíþє x + 0; x + (–x)?

1061. (Óñíî) Îá÷èñëè, âðàõîâóþ÷è, ùî a + (–a) 0:1) 7 + (–7) + 8; 2) –11 + (–9) + 9; 3) –2 + 9 + 2.

1062. Çíàé äè ñóìó:1) 4 + (–4); 2) –17 + 17 + (–2); 3) –4 + (–8) + 4.

1063. Ïåðåâіð ïåðåñòàâíó âëàñòèâіñòü äîäàâàííÿ a + b b + a, ÿêùî:

1) a –5; b 7; 2) a 4; b –8; 3) a –4; b –7.

1064. (Óñíî) Îá÷èñëè:1) 5 + (–3) + 2; 2) –7 + 2 + (–1); 3) –4 + (–2) + 5; 4) 6 + (–3) + (–5) + 2.

1065. Âèêîíàé äîäàâàííÿ, îáèðàþ÷è çðó÷íó ïîñëіäîâ-íіñòü îá÷èñëåíü:

1) –8 + 7 + (–7) + 8; 2) 43 + (–20) + (–37) + 20;3) –3,63 + 4,28 + 2,72 + (–7,37); 4) –1,48 + 5 + 1,48 + (–7) + 2.

1066. Âèêîíàé äîäàâàííÿ, îáèðàþ÷è çðó÷íó ïîñëіäîâíіñòü îá÷èñëåíü:

1) –19 + 11 + (–11) + 19; 2) –41 + (–17) + 37 + 17;3) 3,47 + (–1,11) + (–8,89) + 5,53; 4) 1,5 + (–8) + (–1,5) + 7 + (–2).

1067. Ïåðåâіð ñïîëó÷íó âëàñòèâіñòü äîäàâàííÿ (a + b) + c a + + (b + c), ÿêùî:

1) a –5; b 7; c –9; 2) a 11; b –7; c –3.

1068. Ïåðåâіð ñïîëó÷íó âëàñòèâіñòü äîäàâàííÿ (a + b) + c a + + (b + c), ÿêùî:

1) a –8; b –7; c 19; 2) a 14; b 17; c –40.



197


1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ;

6) .


1) ; 2) ;

3) ; 4) .

1071. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó x + (–3) + y, ÿêùî:1) x –8,5; y 7,9; 2) x 4; y 1,2.

1072. Âèêîíàé äîäàâàííÿ:1) 12 + 15 + (–17) + (–18) + 19 + (–1);2) –23 + 28 + (–11) + (–34) + 29 + 11;3) –44,03 + (–62,07) + 92,13 + 1,05;4) –1592,69 + (–29,47) + 113,92 + (–18,01).


1) –18 + (–7) + 14 + 25 + 13 + (–10);2) 37 + (–18) + 23 + 1 + (–42) + (–5);3) 15,7 + 16,3 + (–8,13) + (–18,5);4) 14,5 + (–18,3) + (–17,1) + (–8,9).

1074. Çàìіíè çіðî÷êó çíàêîì >, < àáî , ùîá óòâîðèëàñÿ ïðàâèëüíà ðіâíіñòü àáî íåðіâíіñòü:

1) 2 + (–7) + (–2) * 8 + (–8) + 3;2) 14 + (–2) + (–3) * (–3) + 14 + (–2);3) 0 + 9 + (–8) * 0 + 8 + (–9);4) 4 + (–7) + (–4) + 7 * 11 + 1 + (–11).

1075. Ó êàñі áóëî 1000 ãðí. Ïðîòÿãîì äíÿ êàñèð êіëü-êà ðàçіâ ïðèéìàâ і âèäàâàâ ãðîøі òà çàíîòóâàâ öå òàê:


Ðîçäië 4

198

–140 ãðí; 300 ãðí; –500 ãðí; –120 ãðí; 180 ãðí; 320 ãðí. Ñêіëüêè ãðèâåíü ñòàëî â êàñі â êіíöі äíÿ?

1076. Íà ñêëàäі áóëî 45 áàíîê ç ôàðáîþ. Ïðîòÿãîì äíÿ êîìіðíèê êіëüêà ðàçіâ ïðèéìàâ і âèäàâàâ áàíêè ç ôàð-áîþ òà çðîáèâ òàêі çàïèñè: 12 áàíîê; –18 áàíîê; 7 áàíîê; –8 áàíîê; –11 áàíîê. Ñêіëüêè áàíîê ç ôàðáîþ ñòàëî íà ñêëàäі â êіíöі äíÿ?

1077. Çíàé äè ñóìó âñіõ öіëèõ ÷èñåë, ùî ðîçìіùåíі íà êî-îðäèíàòíіé ïðÿìіé ìіæ ÷èñëàìè:

1) –5,1 і 3,8; 2) –12,3 і 14,5; 3) – і .

1078. Çíàé äè ñóìó âñіõ öіëèõ ÷èñåë, ùî çàäîâîëüíÿþòü íåðіâíіñòü:

1) –4,17 < x < 5,91; 2) –12,5 < x < 10,7.


1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ;

6) .


1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ;

6) .

1081. Ñïðîñòè âèðàç і çíàéäè éîãî çíà÷åííÿ:1) –9,6 + x + 4,42 + (–1,8) + 1,13, ÿêùî x 5; –1,7;



199

2) 4,31 + (–2,42) + a + (–1,17) + (–1,18), ÿêùî a –0,8; 0,47;3) 5,42 + x + (–2,17) + (–2,38) + y + 1,18, ÿêùî x –1,13; y 1,19.

1082. Ñïðîñòè âèðàç і çíàéäè éîãî çíà÷åííÿ:

1) 5,7 + (–4,8) + a + 1,17 + (–3,92), ÿêùî a 1,19; –2,32;2) 4,47 + m + (–2,37) + n + (–0,32) + 1,12, ÿêùî m –3,17; n 0,27.

1083. Äàíî ÷èñëà 9; –8; 7,3; –6,7; –5 і 1,4. Çíàé äè:1) ÷èñëî, ïðîòèëåæíå äî ñóìè öèõ ÷èñåë;2) ñóìó ÷èñåë, ïðîòèëåæíèõ äî äàíèõ ÷èñåë;3) ñóìó ìîäóëіâ öèõ ÷èñåë;4) ìîäóëü ñóìè öèõ ÷èñåë.

1084. Äàíî ÷èñëà 1,8; –2,3; 4,7; –5,8; –4,1. Çíàé äè:1) ÷èñëî, ïðîòèëåæíå äî ñóìè öèõ ÷èñåë;2) ñóìó ÷èñåë, ïðîòèëåæíèõ äî äàíèõ ÷èñåë.

1085. Çà ÿêîї óìîâè ðіâíіñòü a + b + c + d 0 áóäå ïðà-âèëüíîþ, ÿêùî a і d — ïðîòèëåæíі ÷èñëà?

1086. Çà 0,8 êã ïå÷èâà çàïëàòèëè 23,04 ãðí. Ñêіëü-êè òðåáà çàïëàòèòè çà 1,5 êã òàêîãî ïå÷èâà?

1087. Àíäðіé ïіä ÷àñ êàíіêóë ìàâ ðîçâ’ÿçàòè 28 çà-äà÷, à ðîçâ’ÿçàâ 35 çàäà÷. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ çàâäàííÿ âіí âèêîíàâ і íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ ïåð åâèêîíàâ?

1088. Òðè îäíàêîâèõ çà âàãîþ ÿáëóêà âàæ÷і, íіæ ÷îòè-ðè îäíàêîâі ãðóøі. Ùî âàæ÷å: 4 ÿáëóêà ÷è 5 ãðóø?

41.41. Віднімання раціональних чисел

Âіäíіìàííÿ — öå äіÿ, çà äîïîìîãîþ ÿêîї çà äàíîþ ñóìîþ äâîõ äîäàíêіâ і îäíèì ç íèõ çíàõîäÿòü äðóãèé äîäàíîê.

Íàïðèêëàä, –4 + 7 3, òîìó 3 – 7 –4. Òàêèé ñà-ìèé ðåçóëüòàò îòðèìàєìî, ÿêùî äî ÷èñëà 3 äîäàìî ÷èñëî, ïðîòèëåæíå ÷èñëó 7, òîáòî ÷èñëî –7. Ñïðàâäі, 3 + (–7) –4. Òîìó ðіçíèöþ 3 – 7 ìîæíà ïîäàòè ñóìîþ 3 + (–7),


Ðîçäië 4

200

ó ÿêіé äî çìåíøóâàíîãî äîäàєòüñÿ ÷èñëî, ïðîòèëåæíå âіä’єìíèêó: 3 – 7 3 + (–7).

Ìàєìî ïðàâèëî âіäíіìàííÿ ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë:

Ùîá âіä îäíîãî ÷èñëà âіäíÿòè äðóãå, äîñòàò-íüî äî çìåíøóâàíîãî äîäàòè ÷èñëî, ïðîòèëåæ-íå âіä’єìíèêó.

Çàïèøåìî ó âèãëÿäі ôîðìóëè (a і b — áóäü-ÿêі ðàöіî-íàëüíі ÷èñëà):

a – b a + (–b).

Êîëè çìåíøóâàíå áіëüøå çà âіä’єìíèê, òî ðіçíèöÿ äî-äàòíà (íàïðèêëàä, 5 – 3 2; –5 – (–7) –5 + 7 2). Êîëè çìåíøóâàíå ìåíøå çà âіä’єìíèê, òî ðіçíèöÿ âіä’єìíà (íàïðèêëàä, 3 – 9 3 + (–9) –6; –4 – 2 –4 + (–2) –6). Ðіçíèöÿ äîðіâíþє íóëþ, êîëè çìåíøóâàíå і âіä’єìíèê ìіæ ñîáîþ ðіâíі (íàïðèêëàä, 7 – 7 0, –5 – (–5) –5 + 5 0).

Îñêіëüêè âіäíіìàííÿ ìîæíà çàìіíèòè äîäàâàííÿì ïðî-òèëåæíîãî äî âіä’єìíèêà ÷èñëà, òî áóäü-ÿêó ðіçíèöþ ìîæ-íà ïîäàòè ó âèãëÿäі ñóìè.

Ïðèêëàä 1. Îá÷èñëèòè: –12 + 7 – 9 – (–8) + 5.Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. –12 + 7 – 9 – (–8) + 5 –12 + 7 + (–9) +

+ 8 + 5 (–12 + (–9)) + (7 + 8 + 5) –21 + 20 –1.

Ïðèêëàä 2. Ñïðîñòèòè: –1 + m – 5 + 7 – m – (–2).Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. –1 + m – 5 + 7 – m – (–2) –1 + m + (–5) +

+ 7 + (–m) + 2 (–1 + (–5)) + (7 + 2) + (m + (–m)) –6 + 9 + + 0 3.

Ñôîðìóëþé ïðàâèëî âіäíіìàííÿ ðàöіîíàëüíèõ ÷è-ñåë. ßê ìîæíà çàïèñàòè öå ïðàâèëî ó âèãëÿäі áóê-âåíîãî âèðàçó? Ó ÿêîìó âèïàäêó ðіçíèöÿ äâîõ ÷è-ñåë є äîäàòíîþ; є âіä’єìíîþ; äîðіâíþє íóëþ?

1089. Çàìіíè âіäíіìàííÿ äîäàâàííÿì:1) –8,2 – 5,7; 2) 14 – 21,5; 3) –9 – (–17); 4) 19 – (–13,1).

1090. Çàìіíè ðіçíèöþ íà ñóìó: 1) 12 – 14; 2) –18,7 – 5; 3) 17 – (–18,2); 4) –5 – (–8).



201

1091. (Óñíî) Îá÷èñëè:1) 0 – 8; 2) 2 – 4; 3) –2 – 3; 4) –2 – (–5); 5) 7 – (–1); 6) –5 – (–5).

1092. Îá÷èñëè ðіçíèöþ:1) 7 – 13; 2) –5 – 3; 3) 13 – (–7); 4) –12 – (–5); 5) 0 – 12; 6) –5 – (–9);7) 0 – (–18); 8) –8 – (–8).

1093. Âèêîíàé âіäíіìàííÿ:1) 4 – 5; 2) –4 – 7; 3) 12 – (–8); 4) –17 – (–18); 5) 0 – (–15); 6) –3 – (–2); 7) 0 – 5; 8) –4 – (–4).

1094. Âèêîíàé âіäíіìàííÿ:1) 3,4 – 6,7; 2) 12,7 – (–8); 3) –14,7 – 17,4;

4) –18,9 – (–19,2); 5) ; 6) ;

7) ; 8) .

1095. Îá÷èñëè ðіçíèöþ:1) 14,9 – 15,1; 2) 32,5 – (–7); 3) –12,3 – 13,2;

4) –12,9 – (–8,9); 5) ; 6) ;

7) ; 8) .

1096. Çà äàíèìè òàáëèöі çíàéäè ðіçíèöі:

a 4,7 5,2 0 –2,7 –4,2 2,9 –9

b 3,1 9,4 8 3,2 –5,8 –5,4 0

a – b

b – a

ßêó çàêîíîìіðíіñòü ìîæíà ïîìіòèòè?


1) ; 2) ; 3) ; 4) .


Ðîçäië 4

202


1) ; 2) ; 3) ; 4) .

1099. Ïåðåâіð ðіâíіñòü a – (–b) a + b, ÿêùî:1) a 7; b 9; 2) a –0,8; b 0,6;3) a 3; b –5; 4) a –2,7; b –3,1.

1100. Ïåðåâіð ðіâíіñòü x – (–y) x + y, ÿêùî:

1) x 4; y 8; 2) x –0,5; y 0,9;3) x 4; y –7; 4) x –5,1; y –4,9.

1101. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó –4,8 – t, ÿêùî t 2,8; –2,9.

1102. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó –a – 2,5, ÿêùî a 4,2; –1,3.

1103. Çàìіíè âіäíіìàííÿ äîäàâàííÿì і îá÷èñëè:1) –42 + 87 – 56 + 13; 2) –1 + 7 – (–13);3) 4,17 – 5,2 – 1,8; 4) 5,7 + (–1,4) – (–8,9);5) –4,9 + (–5,4) – 10,2; 6) –8,92 – 7,13 – 5,8.

1104. Çàìіíè âіäíіìàííÿ äîäàâàííÿì і îá÷èñëè: 1) 47 – 82 – 11 + 27; 2) –5 – (–8) + 11; 3) 5,92 – 6,92 – 1,9; 4) –5,3 + (–3,9) – 8,7; 5) 9,2 – 1,9 – (–5,8); 6) –4,1 – 4,2 – 4,3.

1105. Çìåíø ÷èñëî –2 íà êîæíå іç ÷èñåë: 1) 8; 2) 3; 3) 1; 4) –2; 5) –7; 6) –11,2.


1) ; 2) ; 3) .


1) ; 2) ; 3) .

1108. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ і çðîáè ïåðåâіðêó: 1) –5 + x 6; 2) x + 7 –9; 3) 4 – x 8.

1109. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ і çðîáè ïåðåâіðêó: 1) x + (–7) 13; 2) 5 – x 13; 3) 9 + x –8.

1110. Íà ñêіëüêè ãðàäóñіâ çíèçèëàñü (ïіäâèùèëàñü) òåìïå-ðàòóðà, ÿêùî ïîêàçè òåðìîìåòðà çìіíèëèñÿ âіä:

1) 4 Ñ äî 7 Ñ; 2) 5 Ñ äî 2 Ñ; 3) 0 Ñ äî –2 Ñ;4) –2 Ñ äî 4 Ñ; 5) –1 Ñ äî –8 Ñ; 6) –3 Ñ äî 4 Ñ?



203

1111. Ñêëàäè ÷èñëîâèé âèðàç і îá÷èñëè éîãî çíà÷åííÿ:1) âіä ÷èñëà 5,7 âіäíÿëè ñóìó ÷èñåë –12,4 і 3,2;2) äî ÷èñëà –1,8 äîäàëè ðіçíèöþ ÷èñåë 3,7 і 4,9.

1112. Îá÷èñëè ðіçíèöþ:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

1113. Âèêîíàé äіþ:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .


1) ; 2) ;

3) ; 4) .


1) ; 2) ;

3) ; 4) .

1116. ßêå ÷èñëî òðåáà âïèñàòè ó âіêîíå÷êî, ùîá îòðèìàòè ïðàâèëüíó ðіâíіñòü?

1) 0 – –7; 2) 4 – –5; 3) – 5 –1; 4) – 9 –2.

1117. Ñïðîñòè âèðàç:1) m + 2 – 13 – m + 24;2) –19 – x + 28 – (–5) + x – 12.


1) 9 + a – (–13) – a – 8; 2) –25 – b + 12 – (–6) + b + 9.

1119. ×è ìîæå ðіçíèöÿ äâîõ ÷èñåë áóòè áіëüøîþ çà çìåí-øóâàíå? Íàâåäè ïðèêëàäè.


Ðîçäië 4

204

1120. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) (x – 5,1) + 18,2 –7,3; 2) 17,9 – (2,7 + x) 20,3.


1) (4,7 – x) – 5,2 –6,3; 2) 7,2 + (3,7 + x) –12,3.

1122. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ:1) |x| + 4 –5; 2) 5 – |x| –2; 3) |x| – 4 –8;4) |x + 7| 2; 5) |x – 5| 4; 6) |6 – x| 2.

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. 4) ßêùî ìîäóëü ÷èñëà äîðіâíþє 2, òî öèì ÷èñëîì є 2 àáî –2. Òîìó x + 7 2 àáî x + 7 –2. x + 7 2, x + 7 –2, x 2 – 7, x –2 – 7, x –5, x –9.Îòæå, x –5 àáî x –9. Â іäïîâ іäü. –5; –9.


1) 7 + |x| –2; 2) |x| – 9 –5; 3) 8 – |x| –2.

1124. ßêі ç ïîäàíèõ íèæ÷å íåðіâíîñòåé є ïðàâèëüíèìè, ÿêùî x > 0:

1) 4 – x < 4; 2) –7,2 – x > –7,2; 3) x – 5 > –5; 4) –x – 2 > –2?

1125. Ïîñòàâ çàìіñòü * çíàê + àáî –, ùîá âèêîíóâàëàñÿ ðіâíіñòü: 35 + (*25) – (*15) – (*45) 40.

1126. Ñêіëüêè ðîçâ’ÿçêіâ ìàє ðіâíÿííÿ x + 5 7?

1127. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó: (4,9 – 4,5)3 252 + 0,42.

1128. Ïðàâèëüíèé äðіá ñêîðîòèëè íà äåÿêå ÷èñ-

ëî é îòðèìàëè äðіá . Çíàé äè çíà÷åííÿ x і y.

1129. ×è є ÷èñëî 1111 + 1212 + 1313 êðàòíèì ÷èñëó 10?

42.42. Розкриття дужокÇãàäàєìî, ÿê äî ÷èñëà a äîäàòè ñóìó ÷èñåë b і c. Ìîæ-

íà ñïî÷àòêó äî a äîäàòè b, à ïîòіì äî îòðèìàíîãî ðåçóëü-òàòó äîäàòè c:

a + (b + c) a + b + c.



205

Ìè çàïèñàëè âèðàç a + (b + c) áåç äóæîê. Òàêå ïåðåòâî-ðåííÿ âèðàçó íàçèâàþòü ðîçêðèòòÿì äóæîê.

Ïðèêëàä 1. Ðîçêðèòè äóæêè ó âèðàçі à + (b – c).Ðî çâ ’ÿ çàííÿ. à + (b – c) a + (b + (–c)) a + b +

+ (–c) a + b – c.

Ïðèêëàä 2. Ðîçêðèòè äóæêè ó âèðàçі a + (–b – c).Ðî çâ ’ÿ çàííÿ. a + (–b – c) a + ((–b) + (–c)) a +

+ (–b) + (–c) a – b – c.Âèðàç a + b – c ìîæíà îòðèìàòè ç âèðàçó a + (b – c),

à âèðàç a – b – c ç âèðàçó a + (–b – c), ÿêùî íå ïèñàòè äóæêè òà çíàê «+» òà çàïèñàòè âñі äîäàíêè, ÿêі áóëè â äóæêàõ, çі ñâîїìè çíàêàìè. Ìàєìî ïðàâèëî ðîçêðèòòÿ äó-æîê, ïåðåä ÿêèìè ñòîїòü çíàê «+»:

ùîá ðîçêðèòè äóæêè, ïåðåä ÿêèìè ñòîїòü çíàê «+», òðåáà íå ïèñàòè äóæêè і çíàê «+», ùî ñòîїòü ïåðåä íèìè, òà çàïèñàòè âñі äîäàíêè çі ñâîїìè çíàêàìè.

Ïðèêëàä 3. Ðîçêðèòè äóæêè і çíàéòè çíà÷åííÿ âèðàçó 5,2 + (–7,2 + 3).

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. 5,2 + (–7,2 + 3) 5,2 – 7,2 + 3 1.Çãàäàєìî і çàïèøåìî ïðàâèëî âіäíіìàííÿ âіä ÷èñëà a

ñóìè ÷èñåë b і c: a – (b + c) a – b – c.Ìè çàïèñàëè âèðàç a – (b + c) áåç äóæîê. Ðîçãëÿíåìî ùå

ïðèêëàä ðîçêðèòòÿ äóæîê, ïåðåä ÿêèìè ñòîїòü çíàê «–».

Ïðèêëàä 4. Ðîçêðèòè äóæêè ó âèðàçі a – (b – c).Ðî çâ ’ÿ çàííÿ. a – (b – c) a – (b + (–c)) a – b – (–c)

a – b + c.Âèðàç a – b – c ìîæíà îòðèìàòè ç âèðàçó a – (b + c),

à âèðàç a – b + c — ç âèðàçó a – (b – c), ÿêùî íå ïèñàòèäóæêè і çíàê «–» òà çàïèñàòè âñі äîäàíêè, ÿêі áóëè â äóæêàõ, ç ïðîòèëåæíèìè çíàêàìè. Ìàєìî ïðàâèëî ðîç-êðèòòÿ äóæîê, ïåðåä ÿêèìè ñòîїòü çíàê «–»:

ùîá ðîçêðèòè äóæêè, ïåðåä ÿêèìè ñòîїòü çíàê «–», òðåáà íå ïèñàòè äóæêè і çíàê «–», ùî ñòîїòü ïåðåä íèìè, òà çàïèñàòè âñі äîäàíêè ç ïðîòèëåæíèìè çíàêàìè.

Ïðèêëàä 5. Ðîçêðèòè äóæêè і çíàéòè çíà÷åííÿ âèðàçó –4,9 – (5,2 – 8,1).


Ðîçäië 4

206

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. –4,9 – (5,2 – 8,1) –4,9 – 5,2 + 8,1 –10,1 + 8,1 –2.

Ïðèêëàä 6. Ñïðîñòèòè âèðàç:1) 7 – (a – 8); 2) (x – 5) – (x + 8).Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. 1) 7 – (a – 8) 7 – a + 8 (7 + 8) – a

15 – a.2) ßê âіäîìî, ïðè çàïèñó äîäàòíèõ ÷èñåë çíàê «+», ÿê

ïðàâèëî, íå ïèøóòü. Òàê ñàìî çíàê «+» íå ïèøóòü íà ïî-÷àòêó ïðèêëàäó ïåðåä äóæêàìè. Îòæå, çàìіñòü + (x – 5) ïèøóòü (x – 5). Ìàєìî:

(x – 5) – (x + 8) x – 5 – x – 8 õ + (–õ) + (–5 – 8) 0 + (–13) –13.

Ñôîðìóëþé ïðàâèëî ðîçêðèòòÿ äóæîê, ïåðåä ÿêèìè ñòîїòü çíàê «+». Ñôîðìóëþé ïðàâèëî ðîçêðèòòÿ äóæîê, ïåðåä ÿêèìè ñòîїòü çíàê «–».

1130. (Óñíî) ßêèé çíàê ñòîїòü ïåðåä äóæêàìè ó âèðàçі:1) (42 + x) – 5; 2) 37 – (x – 2); 3) – (x + 7) – 8; 4) 13 + (x – 8)?

1131. (Óñíî) ×è ïðàâèëüíî ðîçêðèòî äóæêè: 1) (a – 5) + 2 a – 5 + 2; 2) (m + 3) – (k – 5) m + 3 – k – 5;3) 4 + (b – 7) 4 – b – 7; 4) – (a + b – c) –a – b + c?

1132. Ðîçêðèé äóæêè:1) a + (b – 5); 2) (c + 1) + d; 3) – (m – 5); 4) 4 – (m – p).

1133. Ðîçêðèé äóæêè:

1) m + (4 – c); 2) (a – 5) + b;3) – (9 – n); 4) 5 – (–t + p).

1134. Ðîçêðèé äóæêè і îá÷èñëè: 1) 7,3 + (3,5 – 6,3); 2) 3,1 – (5,6 – 6,9); 3) 1,2 – (–1,3 + 1,5); 4) – (7,4 – 10,8) + 1,3;

5) ; 6) .

1135. Ðîçêðèé äóæêè і îá÷èñëè:

1) –0,5 + (–4,2 + 3,9); 2) 1,8 – (2,9 – 4,8);



207

3) 1,7 – (–2,9 + 0,4); 4) –(–2,9 + 5,2) – 1,8;

5) ; 6) .

1136. Ðîçêðèé äóæêè і ñïðîñòè âèðàç:

1) 0,2 + (a + 2,8); 2) ;

3) – (y – 0,8) + 2; 4) 1,2 – (x + 1,6); 5) (a – 7) – (b + 8); 6) – (a – 5) + (x + 8).


1) 1,9 + (3,7 – a); 2) (4 + b) – 3,2; 3) – (p – 4,9) + 0,1; 4) 4 – (m – 3); 5) (m + 1,2) – (n – 1,8); 6) – (x – 2,9) + (y + 5).

1138. Ðîçêðèé äóæêè і ñïðîñòè âèðàç: 1) c – (c + m); 2) – (a – b) – b; 3) a + (–a + 5); 4) (m + 9) – (m + 5); 5) – (4 – p) + (–p + 7); 6) – (d – 1,2 + k) – (1,8 – d).


1) p – (p – a); 2) –t – (–t + m); 3) c + (d – c); 4) (x – 2) – (x + 3); 5) – (a – 4) + (4 – a); 6) – (m – 1,8 – p) + (1,9 – p).

1140. Çàïèøè ñóìó äâîõ âèðàçіâ і ñïðîñòè її: 1) –5 – x і x + 5; 2) 1,9 + p і –3,8 – p; 3) a – b + c і –a + b + 5; 4) –4,2 + 9,8 – x і x – 5,4 + 19,2.

1141. Çàïèøè ñóìó äâîõ âèðàçіâ і ñïðîñòè її:

1) 2 + a і –2,8 – a; 2) m – n + 6 і –m – 7 + n.

1142. Çàïèøè ðіçíèöþ äâîõ âèðàçіâ і ñïðîñòè її: 1) –4,8 + x і x + 3,2; 2) 4,7 – x і –y + 2,9; 3) a – b і –b + p + a; 4) 5 – 9,2 + m і 4,7 + m – 5,9.

1143. Çàïèøè ðіçíèöþ äâîõ âèðàçіâ і ñïðîñòè її: 1) 5 – a і 4,8 – a + b; 2) 4,5 + m – 9,2 і 7,19 + m.

1144. Ðîçêðèé äóæêè і çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó:

1) ; 2) ;


Ðîçäië 4

208

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

1145. Ðîçêðèé äóæêè і îá÷èñëè:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

1146. Ñïðîñòè âèðàç (x + y) – (x – z) + (p – y) і çíàéäè

éîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî ; z –2,19; p 3,89.

1147. Ñïðîñòè âèðàç (a – b) – (a – c) + (b – d) і çíàéäè

éîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî ; c 1,37; d –2,37.

1148. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ, ñïðîñòèâøè ñïî÷àòêó âèðàç ó éîãî ëіâіé ÷àñòèíі:

1) 7,4 – (x – 2,6) 19; 2) 4,3 + (3,1 – x) 12,7; 3) 7,2 – (2,9 + x) –1,9; 4) –5,2 + (y – 4,2) –9,4;

5) ; 6) .

1149. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ, ñïî÷àòêó ñïðîñòèâøè âèðàç ó éîãî ëіâіé ÷àñòèíі:

1) 4,9 – (5,2 – x) –1,8; 2) 1,93 + (x – 3,93) –4,01;

3) .

1150. Âіçüìè â äóæêè òðè îñòàííіõ äîäàíêè, çàïèñàâ-øè ïåðåä äóæêàìè çíàê «+»:

1) –2 + 3 – 7 + 9; 2) a – b + c – d,3) –p – 2,5 – c + d; 4) 7,2 – a – b – c.

1151. Âіçüìè â äóæêè òðè îñòàííіõ äîäàíêè, çàïèñàâøè ïåðåä äóæêàìè çíàê «–»:



209

1) 5 – 7 + 8 – 18; 2) p – t – a + 9; 3) –a – b – c + d; 4) t – p + 2,9 – a. Ðî çâ ’ÿ çàííÿ. 4) t – p + 2,9 – a t – (p – 2,9 + a).

1152. Âіçüìè â äóæêè äâà îñòàííіõ äîäàíêè, îäèí ðàç çà-ïèñàâøè ïåðåä äóæêàìè çíàê «+», à äðóãèé — çíàê «–»:

1) –4 + 5 – 9; 2) p – a + 7; 3) 9 – a – b; 4) a + t + m.1153. Ó ñóìі a + b äîäàíîê a çìåíøèëè íà m, à äîäàíîê b çáіëüøèëè íà m. Äîâåäè, ùî ñóìà çàëèøèëàñÿ íåçìіí-íîþ.

1154. ×è є âçàєìíî ïðîñòèìè ÷èñëà 3927 і 2210?

1155. Ó ìàãàçèíі çà òðè äíі ïðîäàëè 1200 çîøèòіâ. Çà ïåðøèé äåíü ïðîäàëè 28 % óñіõ çîøèòіâ, à çà äðó-ãèé — óäâі÷і áіëüøå, íіæ çà òðåòіé. Ïî ñêіëüêè çîøè-òіâ ïðîäàâàëè êîæíîãî äíÿ?

1156. Çàïèñàíî ÷îòèðè ÷èñëà 2014, 2015, 2017, 2019. Çà îäèí õіä äîçâîëÿєòüñÿ äîäàòè îäèíèöþ äî áóäü-ÿêèõ äâîõ ç íèõ. ×è ìîæíà ÷åðåç êіëüêà õîäіâ îòðèìàòè ÷îòèðè îäíàêîâèõ ÷èñëà?


1. Âèêîíàé äîäàâàííÿ: 1) –2 + (–7); 2) –3,1 + (–4,5).

2. Çíàé äè çíà÷åííÿ ñóìè: 1) –5 + 3; 2) 7,1 + (–3,2).

3. Âèêîíàé âіäíіìàííÿ: 1) 4 – 7; 2) 5,2 – (–4,7).


1) ; 2) ; 3) ; 4) .

5. Âèêîíàé äîäàâàííÿ çðó÷íèì ñïîñîáîì:

–2,1 + 4,7 + (–3,8) + 2,1 + (–7,3) + 4,9 + (–2,8).

6. Ðîçêðèé äóæêè і çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó:

1) 4,1 – (5,9 – 0,8); 2) –4,7 + (–5,7 + 1,9).

7. Ñïðîñòè âèðàç – (a + 9) + (m – 7) – (n – a) і çíàéäè

éîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî ; m 38; n 22.


Ðîçäië 4

210

8. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ, ñïðîñòèâøè ñïî÷àòêó âèðàç ó éîãî ëіâіé ÷àñòèíі: 4,9 – (x – 5,1) –13,2.

9. Çíàé äè ñóìó, äîäàíêàìè ÿêîї є ÷èñëà: îáåðíåíå і ïðîòèëåæíå äî ÷èñëà 6,5.


10. Çàïèøè ÷èñëî ó âèãëÿäі ñóìè òðüîõ ðіâíèõ äî-

äàíêіâ.

11. Ïîñòàâ çàìіñòü * çíàêè «+» àáî «–», ùîá âèêîíóâà-ëàñÿ ðіâíіñòü *15 + (*25) * (–30) * (–45) –55.

12. Âіçüìè â äóæêè òðè îñòàííіõ äîäàíêè, îäèí ðàç ïî-ñòàâ ïåðåä äóæêàìè çíàê «+», à äðóãèé — çíàê «–»:

1) 4 – 5 + 9 – 11; 2) –m + a – 14 – p.

43.43. Множення раціональних чисел

Ðîçãëÿíåìî ñóìó –5 + (–5) + (–5) + (–5). Öÿ ñóìà äî-ðіâíþє ÷èñëó –20. Ç іíøîãî áîêó, –5 + (–5) + (–5) + (–5) (–5) 4. Âіä’єìíèé ìíîæíèê, ùî ñòîїòü íà ïåðøîìó ìіñöі, çàïèñóâàòè â äóæêàõ íå îáîâ’ÿçêîâî; ìîæíà ïèñàòè òàê: –5 4. Îòæå, –5 4 –20. ×èñëà –5 і 4 ìàþòü ïðîòèëåæíі çíàêè, їõ äîáóòîê є ÷èñëîì âіä’єìíèì, à ìîäóëü їõ äî-áóòêó (÷èñëà –20) äîðіâíþє äîáóòêó ìîäóëіâ ìíîæíèêіâ (÷èñåë –5 і 4).

Ñïðàâäі, |–5| |4| |–20|.Ìàєìî ïðàâèëî ìíîæåííÿ äâîõ ÷èñåë ç ðіçíèìè çíà-

êàìè:

äîáóòêîì äâîõ ÷èñåë ç ðіçíèìè çíàêàìè є ÷èñ-ëî âіä’єìíå, ìîäóëü ÿêîãî äîðіâíþє äîáóòêó ìîäóëіâ ìíîæíèêіâ.

Ïðèêëàä 1. –1,8 0,3 – (1,8 0,3) –0,54;

.



211

Ïîðіâíþþ÷è äîáóòêè 5 4 20 і –5 4 –20, ïðèõîäè-ìî äî âèñíîâêó: ïðè çìіíі çíàêà îäíîãî ç ìíîæíèêіâ çíàê äîáóòêó çìіíþєòüñÿ, à éîãî ìîäóëü çàëèøàєòüñÿ òàêèì ñàìèì.

ßêùî æ çìіíèòè çíàêè îáîõ ìíîæíèêіâ, òî äîáóòîê çìі-íèòü çíàê äâі÷і і â ðåçóëüòàòі çíàê äîáóòêó íå çìіíèòüñÿ:

5 4 20; –5 4 –20; –5 (–4) – (–20) 20.

Îòæå, äîáóòêîì äâîõ âіä’єìíèõ ÷èñåë є ÷èñëî äîäàòíå. Ìàєìî ïðàâèëî ìíîæåííÿ äâîõ âіä’єìíèõ ÷èñåë:

äîáóòêîì äâîõ âіä’єìíèõ ÷èñåë є ÷èñëî äîäàò-íå, ìîäóëü ÿêîãî äîðіâíþє äîáóòêó ìîäóëіâ ìíîæíèêіâ.

Ïðèêëàä 2. –2,5 (–3,4) 2,5 3,4 8,5;

.

ßêùî ÷èñëî a — äîäàòíå, âіä’єìíå àáî íóëü, òî a 0 0. Îòæå,

ÿêùî õî÷à á îäèí іç ìíîæíèêіâ äîðіâíþє íóëþ, òî é äîáóòîê äîðіâíþє íóëþ. Íàâïàêè: ÿêùî äîáóòîê äîðіâíþє íóëþ, òî õî÷à á îäèí іç ìíîæíèêіâ äîðіâíþє íóëþ.

Ïðèêëàä 3. –2,8 3,7 0 0; .

Ïðèêëàä 4. Ðîçâ’ÿçàòè ðіâíÿííÿ (x + 7)(x – 6) 0.Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Îñêіëüêè äîáóòîê (x + 7)(x – 6) 0, òî

õ + 7 0 àáî x – 6 0. Òîìó ìàєìî x –7 àáî x 6. Â іäïîâ іäü. –7; 6.

À ùå ðàíіøå...À ùå ðàíіøå...У XVIII ст. видатний вчений, математик і механік Лео нард

Ейлер пояснив правило множення від’ємних чисел приблизно так. Зрозуміло, що –5 4 –20. Тому добуток –5 (–4) не може до-рівнювати –20, але цей добуток якось повинен бути пов’язаний із числом 20. Залишається одна можливість: –5 (–4) 20.


Ðîçäië 4

212

Ñôîðìóëþé ïðàâèëî ìíîæåííÿ äâîõ ÷èñåë ç ðіçíè-ìè çíàêàìè. Ñôîðìóëþé ïðàâèëî ìíîæåííÿ äâîõ âіä’єìíèõ ÷èñåë. ×îìó äîðіâíþє äîáóòîê ÷èñåë, ÿêùî õî÷à á îäèí іç ìíîæíèêіâ äîðіâíþє íóëþ?

1157. (Óñíî) ßêèé çíàê ìàє äîáóòîê:1) –2 3; 2) 7 8,1; 3) –4 (–5); 4) 13 (–9,8)?

1158. (Óñíî) Çíàé äè äîáóòîê:1) 4 6; 2) –5 6; 3) –7 (–3);4) 0 (–12); 5) 7 (–8); 6) –193 0.

1159. Âèêîíàé ìíîæåííÿ:1) 13 19; 2) –13 19; 3) –13 (–19); 4) 13 (–19).

1160. Çíàé äè äîáóòîê:

1) 18 35; 2) –18 35; 3) –18 (–35); 4) 18 (–35).

1161. Çíàé äè äîáóòîê:1) 42 (–3); 2) –27 13;3) –5,7 (–2,4); 4) 8,05 (–4,2).


1) 52 (–5); 2) –37 12; 3) –4,9 (–5,6); 4) 4,01 (–3,2).


1) ; 2) ; 3) ; 4) .

1164. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó –16y, ÿêùî y 2,5; –3,4; –2,5; 3,4.

1165. Çà äàíèìè òàáëèöі çíàéäè äîáóòîê:

a –25 –18 –12 0 0,7 –1,4 –1,6 –1,7b 14 27 –35 –12 –0,05 –2,5 3,7 –2,4

a b

1166. Çà äàíèìè òàáëèöі çíàéäè äîáóòîê:

x –3,2 2,5 0 4,7 –2,3 –7,5–5 x


1) ; 2) ; 3) ; 4) ;



213

5) ; 6) ; 7) ; 8) .


1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

1169. (Óñíî) ßêèé çíàê ìàє äîáóòîê xy, ÿêùî: 1) x > 0, y < 0; 2) x < 0, y < 0; 3) x > 0, y > 0;4) x < 0, y > 0; 5) x 0, y > 0; 6) x < 0, y 0?

1170. Íå âèêîíóþ÷è ìíîæåííÿ, ïîðіâíÿé:1) –4,5 9 і 0; 2) –9,2 (–4,5) і 0; 3) 0 (–27) і 0;4) 7,2 5,2 і 0; 5) –25 37 і 42; 6) –29 (–37) і –4.

1171. ßêèé çíàê >, < àáî òðåáà ïîñòàâèòè çàìіñòü *, ùîá îòðèìàòè ïðàâèëüíó íåðіâíіñòü àáî ðіâíіñòü:

1) –2,9 (–3,7) * 0; 2) 0 (–1,89) * 0;3) 4,45 5,32 * 0; 4) –5,9 3,7 * 0;5) –13 (–28) * –15; 6) –3,7 5,2 * 5,7?

1172. Çíàé äè çíà÷åííÿ äîáóòêó:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

1173. Çíàé äè äîáóòîê:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

1174. (Óñíî) Îá÷èñëè: 1) 5,42 (–10); 2) –0,1 (–3,72);3) –1,2 (–100); 4) 32,7 (–0,01).

1175. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó:

1) (–2,1)2; 2) (–4)3; 3) ;

4) (–0,1)3; 5) (–1)2; 6) (–1)3.


1) x2, ÿêùî x –0,8; 5; ;


Ðîçäië 4

214

2) y3, ÿêùî y –0,2; –3; .


1) , ÿêùî x –1; ; 2) , ÿêùî y –1; 0,2.


1) , ÿêùî m ;

2) n3 – 1,2, ÿêùî n – 3; –0,6.

1179. (Óñíî) ßêèì ÷èñëîì — äîäàòíèì, âіä’єìíèì àáî íó-ëåì — є äîáóòîê òðüîõ ÷èñåë, ÿêùî:

1) äâà ç íèõ — äîäàòíі, à îäíå — âіä’єìíå;2) äâà ç íèõ — âіä’єìíі, à îäíå — äîäàòíå;3) òðè ç íèõ — âіä’єìíі;4) äâà ç íèõ — âіä’єìíі, à îäíå — íóëü?

1180. Ïîðіâíÿé:1) –3,8 4,5 і –17; 2) –3,8 (–2,6) і 10;3) –3,6 0,45 і –1,62.

1181. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) –2 (–4,2 + 5,9); 2) (–0,42 – 0,15) 6,2;3) (4,7 – 9,6) (–3,1) – 4,09; 4) 4,02 (–3,5) – (–0,5) (–0,4).

1182. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó:1) –5 (4,7 – 4,9); 2) (–0,4 – 0,8) 1,5;3) (2,7 – 2,9) (–4,5) – 3,02; 4) –2,8 5 – 4 (–0,7).

1183. Ïîðіâíÿé, íå âèêîíóþ÷è îá÷èñëåíü: 1) (–2,4)2 і 0; 2) 0 і (–3,7)3; 3) (–4,7)4 і –3,2;4) 1,2 і (–2,1)3; 5) (–57)2 і (–57)5; 6) –3,12 і (–3,1)2.

1184. Ïîðіâíÿé, íå âèêîíóþ÷è îá÷èñëåíü: 1) (–1,7)3 і 0; 2) 0 і (–1,8)2; 3) –4,9 і (–1,2)4; 4) (–1,8)3 і 2,9; 5) (–47)5 і (–47)2; 6) (–2,9)3 і –2,93.


1) ; 2) ;

3) ; 4) .



215


1) ; 2) ;

3) ; 4) .

1187. Äîáåðè êîðіíü ðіâíÿííÿ:1) –5 x –35; 2) –7 x 42; 3) 4 x –3,6.

1188. Äîáåðè êîðіíü ðіâíÿííÿ:1) x (–6) 30; 2) –8 x –40; 3) 5 x –4,5.


1) ; 2) x(x – 3) 0;

3) (õ – 7)(x + 18) 0; 4) |x – 1|(x + 2) 0.

1190. Çíàéäè êîðåíі ðіâíÿííÿ:1) –5(x – 8) 0; 2) (x + 2)x 0;3) (x + 5)(x – 7) 0; 4) (x – 8)|x + 3| 0.

1191. Ïðî ÷èñëà x, y і z âіäîìî, ùî xy > 0, xz < 0. ×è ìîæå äîáóòîê yz äîðіâíþâàòè: 1) –7; 2) 0; 3) 7?

1192. ßêîãî íàéáіëüøîãî çíà÷åííÿ ìîæå íàáóâàòè âèðàç 13 – (a + 6)2 і ïðè ÿêîìó çíà÷åííі a öå âіäáóâàєòüñÿ?

1193. Ç îäíієї ñòàíöії ó ïðîòèëåæíèõ íàïðÿìàõ îäíî÷àñíî âèðóøèëè äâà ïîòÿãè. Ïåðøèé ðóõàâñÿ çі

øâèäêіñòþ êì/ãîä, à äðóãèé — êì/ãîä. Çíàé-

äè âіäñòàíü ìіæ ïîòÿãàìè ÷åðåç 2,5 ãîä.

1194. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ x äðіá äîðіâíþє 2?


Ðîçäië 4

216

1195. Ç êâàäðàòà, ñòîðîíà ÿêîãî äîðіâíþє 10 ñì, âèðіçàëè êðóã íàéáіëüøîї ïëîùі. Çíàé äè ïëîùó öüîãî êðóãà і äîâæèíó éîãî êîëà. Íà ñêіëüêè ïëîùà êâàäðà-òà áіëüøà çà ïëîùó êðóãà?

1196. Çíàéäіòü òðåòþ âіä êіíöÿ öèôðó ó äîáóòêó âñіõ íàòóðàëüíèõ ÷èñåë âіä 1 äî 10.

44.44. Переставна і сполучна властивості множення. Коефіцієнт буквеного вираз у

Äëÿ ìíîæåííÿ ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë, ÿê і äëÿ ìíîæåí-íÿ äîäàòíèõ ÷èñåë, ñïðàâäæóþòüñÿ ïåðåñòàâíà і ñïîëó÷íà âëàñòèâîñòі.

Ïåðåñòàâíà âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ.

Äëÿ áóäü-ÿêèõ ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë a і b âèêîíó-єòüñÿ ðіâíіñòü

ab ba.

Ïåðåâіðèìî öþ âëàñòèâіñòü íà ïðèêëàäàõ.Ïðèêëàä 1. –3 2 –6; 2 (–3) –6, òîìó –3 2

2 (–3).Ïðèêëàä 2. –4 (–7) 28; –7 (–4) 28, òîìó –4 (–7)

–7 (–4).Ñïîëó÷íà âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ.

Äëÿ áóäü-ÿêèõ ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë a, b і c âèêî-íóєòüñÿ ðіâíіñòü

(ab)c a(bc).

Ïåðåâіðèìî öþ âëàñòèâіñòü íà ïðèêëàäі.

Ïðèêëàä 3. (–2 3) (–4) –6 (–4) 24; –2 (3 (–4)) –2 (–12) 24, òîìó (–2 3) (–4) –2 (3 (–4)).

Çàóâàæèìî òàêîæ, ùî äëÿ áóäü-ÿêîãî ðàöіîíàëüíîãî ÷èñëà à âèêîíóþòüñÿ ðіâíîñòі:à 1 1 à à; à (–1) –1 à –à; à 0 0 à 0.

Âëàñòèâîñòі ìíîæåííÿ äàþòü ìîæëèâіñòü ñïðîñòèòè ïðîöåñ îá÷èñëåííÿ äîáóòêó êіëüêîõ ìíîæíèêіâ, îáèðàþ÷è çðó÷íèé ïîðÿäîê îá÷èñëåíü.



217

Ïðèêëàä 4.

.

Çàóâàæèìî, ùî äîáóòîê êіëüêîõ ÷èñåë, âіäìіííèõ âіä íóëÿ, — ÷èñëî âіä’єìíå, ÿêùî êіëüêіñòü âіä’єìíèõ ìíîæ-íèêіâ íåïàðíà. ßêùî êіëüêіñòü âіä’єìíèõ ìíîæíèêіâ ïàð-íà, òî äîáóòîê — ÷èñëî äîäàòíå. Äîáóòîê äîðіâíþє íóëþ, ÿêùî õî÷à á îäèí іç ìíîæíèêіâ äîðіâíþє íóëþ.

Âëàñòèâîñòі ìíîæåííÿ äàþòü ìîæëèâіñòü ñïðîùóâàòè âèðàçè.

Ïðèêëàä 5. Ñïðîñòèòè âèðàç –2a 3b (–5).Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. –2a 3b (–5) –2 a 3 b (–5)

(–2 3 (–5)) (a b) 30ab.

×èñëî 30 íàçèâàþòü êîåôіöієíòîì îòðèìàíîãî áóêâåíî-ãî âèðàçó 30ab. Íàïðèêëàä, âèðàç –4õ ìàє êîåôіöієíò –4.

ßêùî âèðàç є äîáóòêîì ÷èñëà і îäíієї àáî êіëü-êîõ áóêâ, òî öå ÷èñëî íàçèâàþòü ÷èñëîâèì êîå-ôіöієíòîì (àáî ïðîñòî êîåôіöієíòîì).

Çàçâè÷àé êîåôіöієíò çàïèñóþòü ïåðåä áóêâåíèì ìíîæ-íèêîì, à êîåôіöієíò 1 íå ïèøóòü. Îòæå, 1 mn mn, áóê-âåíèé âèðàç mn ìàє êîåôіöієíò 1. Çàìіñòü êîåôіöієíòà –1 ïèøóòü òіëüêè çíàê «–». Íàïðèêëàä, çàìіñòü –1 xy ïè-øóòü –xy, òîáòî –1 xy –xy, áóêâåíèé âèðàç –xy ìàє êîåôіöієíò –1.

Ñôîðìóëþâàòè ïåðåñòàâíó і ñïîëó÷íó âëàñòèâîñòі ìíîæåííÿ. ×îìó äîðіâíþє x 1; x (–1); x 0? Ùî íàçèâàþòü êîåôіöієíòîì áóêâåíîãî âèðàçó?

1197. (Óñíî) Âèçíà÷ çíàê äîáóòêó:1) –2 7 (–3) 4; 2) 4 (–9) (–8) (–7);

3) ; 4) –1 (–2) (–3) (–4).

1198. (Óñíî) Íàçâè êîåôіöієíò áóêâåíîãî âèðàçó:

1) 2à; 2) –3b; 3) 0,4xy; 4) ; 5) abc; 6) –nd.


Ðîçäië 4

218

1199. Çàïèøè êîåôіöієíò áóêâåíîãî âèðàçó:

1) 7x; 2) –9y; 3) ; 4) –0,14mp; 5) cd; 6) –t.

1200. Âèêîíàé ìíîæåííÿ çðó÷íèì ñïîñîáîì: 1) –0,5 27 (–2); 2) 4 (–11) (–0,5);3) –0,4 (–117) 5; 4) 1,25 (–3,4) (–8); 5) –47,2 50 (–2); 6) 11 (–4) (–9) (–25).

1201. Âèêîíàé ìíîæåííÿ çðó÷íèì ñïîñîáîì: 1) –0,2 34 (–5); 2) –2 (–0,5) 113;3) 0,25 (–17) (–40); 4) –0,125 (–4,2) (–80);5) –20 (–14,2) (–5); 6) –500 14 0,02 (–2).

1202. Îá÷èñëè, âèêîðèñòîâóþ÷è âëàñòèâîñòі ìíîæåííÿ:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

1203. Îá÷èñëè, âèêîðèñòîâóþ÷è âëàñòèâîñòі ìíîæåííÿ:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

1204. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó –0,5xy, ÿêùî: 1) x –19; y –8; 2) x 0,4; y –4,5.

1205. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó –1,2mn, ÿêùî:1) m –5; n –4,2; 2) m 5,5; n –10.

1206. Íå îá÷èñëþþ÷è, çàìіíè çіðî÷êó çíàêîì >, < àáî , ùîá óòâîðèëàñÿ ïðàâèëüíà ðіâíіñòü àáî íåðіâíіñòü:

1) 32 (–7) (–8) (–11) * 0;2) 0 * –13 (–5) (–7) (–19) 25;3) 14 (–5) (–12) * –9 8 11;4) 11 (–12) 13 0 * 14 (–15) (–16) 0.

1207. Ïîðіâíÿé, íå âèêîíóþ÷è îá÷èñëåíü:1) 0 òà 4 (–3) (–2) (–1);



219

2) –5 (–13) (–12) (–17) òà 0;3) –19 (–18) òà –5 (–7) 8 (–113);4) 9 0 8 (–171) òà –185 (–13) 0 1295.

1208. (Óñíî) Âèçíà÷ çíàê êîåôіöієíòà, ÿêèé îòðèìàєøïіñëÿ ñïðîùåí íÿ âèðàçó:1) –a (–b) (–c); 2) 1,2a (–1,3b);

3) m (–n) (–p); 4) .

1209. Ñïðîñòè âèðàç òà âèïèøè îêðåìî éîãî êîåôіöієíò:1) –2 a 5; 2) –5à 0,2b; 3) 7,2 x (–3) ó; 4) –2,7m (–2n);5) 4,7 5,2 m (–1); 6) 7a (–8b) 3c.

1210. Ñïðîñòè âèðàç òà âèïèøè îêðåìî éîãî êîåôіöієíò:1) –4 m 7; 2) –0,2m (–5a); 3) 4,9p (–2b); 4) 5,9 a 1,2 b (–10); 5) 7,9 (–1) a 8c; 6) –8x (–9y) (–0,01p).


1) ; 2) ;

3) ; 4) .


1) ; 2) ;

3) ; 4) .

1213. Ñïðîñòè âèðàç òà çíàéäè éîãî çíà÷åííÿ:1) –4 x (–8) (–0,1), ÿêùî x 2,5;

2) –0,4a 12,5 (–0,7), ÿêùî a ;

3) , ÿêùî x – ; y –30;

4) , ÿêùî m –3,2; n .


Ðîçäië 4

220

1214. Ñïðîñòè âèðàç òà çíàéäè éîãî çíà÷åííÿ:

1) –2,1 a (–10) , ÿêùî a ;

2) , ÿêùî x –7; y .


1) –0,2x (–0,7) 0,84; 2) .


1) –0,4x (–2) 0,08; 2) .

1217. Çíàé äè äîáóòîê óñіõ öіëèõ ÷èñåë, ÿêі çàäîâîëüíÿþòü ïîäâіéíó íåðіâíіñòü:

1) –5 J õ J 11; 2) –2011,7 < õ < 1995,7.

1218. Çâåäè äðîáè äî íàéìåíøîãî ñïіëü-

íîãî çíàìåííèêà òà ðîçòàøóé їõ ó ïîðÿäêó çðîñòàííÿ.

1219. ßêèì ÷èñëîì, äîäàòíèì ÷è âіä’єìíèì, є çíà-÷åííÿ âèðàçó:1) x4 – y3, ÿêùî x — äîäàòíå ÷èñëî, y — âіä’єìíå;2) a5 + b2, ÿêùî a — äîäàòíå ÷èñë î, b — âіä’єìíå?

1220. Ïîòÿã ïðîõîäèòü ïî ìîñòó çàâäîâæêè 450 ì çà 45 ñ, à ïîâç íåðóõîìîãî ñïîñòåðіãà÷à — çà 15 ñ. Çíàéäіòü äîâæèíó ïîòÿãà òà éîãî øâèäêіñòü.

45.45. Розподільна влас тивість множенняÄëÿ ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë, ÿê і äëÿ äîäàòíèõ ÷èñåë,

ñïðàâäæóєòüñÿ ðîçïîäіëüíà âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ âіäíîñ-íî äîäàâàííÿ:

äëÿ áóäü-ÿêèõ ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë a, b і c âèêî-íóєòüñÿ ðіâíіñòü

(a + b)c ac + bc.



221

Ïåðåâіðèìî öþ âëàñòèâіñòü íà ïðèêëàäі:Ïðèêëàä 1. (–3 + 7) (–2) 4 (–2) –8; (–3 + 7) (–2)

–3 (–2) + 7 (–2) 6 + (–14) –8, òîìó (–3 + 7) (–2) –3 (–2) + 7 (–2).

Ðîçïîäіëüíà âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ ñïðàâäæóєòüñÿ íåçà-ëåæíî âіä êіëüêîñòі äîäàíêіâ ó äóæêàõ. Çàìіíà âèðàçó (a + b)c íà âèðàç ac + bc (àáî âèðàçó c(a + b) íà âèðàç ca + cb) òà-êîæ íàçèâàþòü ðîçêðèòòÿì äóæîê.

Ïðèêëàä 2. Ðîçêðèòè äóæêè: 1) –4(–5a + 7); 2) 7a(–5b + 3 – 2m).Ðî çâ ’ÿ çàííÿ. 1) –4(–5a + 7) –4 (–5à) + (–4) 7 20a + (–28) 20a – 28.

Çàïèøåìî ðîçâ’ÿçàííÿ êîðîòøå, âðàõîâóþ÷è çíàêè ìíîæ-íèêіâ: –4(–5à + 7) 4 5à – 4 7 20a – 28;

2) 7a(–5b + 3 – 2m) 7a (–5b) + 7a 3 + 7a(–2m) –35ab + 21a –14am, àáî êîðîòøå: 7a(–5b + 3 – 2m) –7a 5b + 7a 3 – 7a 2m –35ab + 21a – 14am.

Ðіâíіñòü, ùî âèðàæàє ðîçïîäіëüíó âëàñòèâіñòü ìíîæåí-íÿ, ìîæíà çàïèñàòè, ïîìіíÿâøè ìіñöÿìè ëіâó і ïðàâó ÷àñ-òèíè:

ac + bc (a + b)c.

Öÿ ðіâíіñòü îçíà÷àє: ÿêùî äîáóòêè (ac і bc) ìàþòü ñïіëü-íèé ìíîæíèê (ó íàøîìó âèïàäêó c), òî ïіä ÷àñ äîäàâàííÿ öèõ äîáóòêіâ ñïіëüíèé ìíîæíèê ìîæíà çàïèñàòè çà äóæêà-ìè. Ó äóæêàõ çàëèøàєòüñÿ ñóìà іíøèõ ìíîæíèêіâ (a і b). Çàìіíà âèðàçó ac + bc íà âèðàç (a + b)c (àáî âèðàçó ca + cb íà âèðàç c(a + b)) íàçèâàþòü âèíåñåííÿì ñïіëüíîãî ìíîæíèêà çà äóæêè.

Ïðèêëàä 3. Âèíåñòè çà äóæêè ñïіëüíèé ìíîæíèê:1) 7m – 7n; 2) 4a + 8b – 4.Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Çàóâàæèìî, ùî ñïіëüíèé ìíîæíèê äî-

öіëüíî ïіäêðåñëþâàòè.1) 7m – 7n 7 m + 7 (–1) n 7(m + (–n)) 7(m – n),

àáî êîðîòøå: 7m – 7n 7(m – n);2) 4a + 8b – 4 4 a + 4 2b – 4 1 4(a + 2b – 1).×è ïðàâèëüíî âèíåñåíî ñïіëüíèé ìíîæíèê çà äóæêè,

ìîæíà ïåðåâіðèòè, ðîçêðèâøè äóæêè, à ñàìå: 4(a + 2b – 1) 4a + 8b – 4.

Ðîçïîäіëüíó âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ ìîæíà âèêîðèñòî-âóâàòè äëÿ ñïðîùåííÿ îá÷èñëåíü.


Ðîçäië 4

222

Ïðèêëàä 4. Îá÷èñëè: 1) –49 1,72 – 51 1,72; 2) –98 25.Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. 1) –49 1,72 – 51 1,72 (–49 – 51) 1,72

–100 1,72 –172;2) –98 25 (–100 + 2) 25 –100 25 + 2 25 –2500 +

+ 50 –2450.

Ó ÷îìó ïîëÿãàє ðîçïîäіëüíà âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ? Ùî îçíà÷àє «ðîçêðèòè äóæêè»? Ùî îçíà÷àє «âè-

íåñòè ñïіëüíèé ìíîæíèê çà äóæêè»?

1221. (Óñíî) ×è ïðàâèëüíî ðîçêðèòî äóæêè: 1) 4 (5 + a) 4 5 + a; 2) –9(c + d) –9c – 9d; 3) –2(a – b) –2a – 2b?

1222. Íàçâè ñïіëüíèé ìíîæíèê ó âèðàçі: 1) 2a + 2b; 2) 13a – 19a; 3) mx + my; 4) 7ab – 4bc.

1223. Ïåðåïèøè òà ïіäêðåñëè ñïіëüíèé ìíîæíèê: 1) 7m – 7n; 2) 17x + 9x; 3) ap – ab; 4) 5mx + 9mb.

1224. (Óñíî) ×è ïðàâèëüíî âèíåñåíî ñïіëüíèé ìíîæíèê çà äóæêè:

1) 2x + 2y 2(x + y); 2) 3m – 4m (3 + 4)m;3) 7xy – 8xm 7x(y – m)?

1225. Ïåðåâіð ñïðàâåäëèâіñòü ðîçïîäіëüíîї âëàñòèâîñòі ìíîæåííÿ âіäíîñíî äîäàâàííÿ (a + b)c ac + bc, ÿêùî:

1) a –2,7; b 3,2; c 2,4; 2) a 4,2; b –5; c –0,2.

1226. Ïåðåâіð ñïðàâåäëèâіñòü ðîçïîäіëüíîї âëàñòèâîñòі ìíîæåííÿ âіäíîñíî âіäíіìàííÿ (a – b)c ac – bc, ÿêùî:

1) a –4,2; b –0,8; c 4,5;2) a 2,7; b –0,8; c 0,6.

1227. Ïåðåâіð ñïðàâåäëèâіñòü ðîçïîäіëüíèõ âëàñòèâîñòåé ìíîæåííÿ âіäíîñíî äîäàâàííÿ (a + b)c ac + bc òà âіäíі-ìàííÿ (a – b)c ac – bc, ÿêùî a –4,7; b –5,3; c 4.

1228. Ðîçêðèé äóæêè:1) 2(a + 1); 2) 3(b – 4);3) –2(3a + 1); 4) 5(–1,2x + 3);5) (–3,5x + 2) 4; 6) (x – 1) (–2,5);7) (–a + b) (–1,2); 8) (6a – 5b) 7.

1229. Ðîçêðèé äóæêè:1) 4(m + 1); 2) 5(x – 2); 3) –3(2b + 1);



223

4) (–1,8a + 3) (–5); 5) (–2m – n) 3; 6) –7(b – 1);7) (x – y) (–5); 8) (–4x + 3y) 2.

1230. Âèíåñè çà äóæêè ñïіëüíèé ìíîæíèê:1) 9m – 9n; 2) –5a – 5b; 3) 7a + 7b; 4) ma + mb;5) 10x – yx; 6) 3m + 3; 7) 6ma + 6mb; 8) 7ap – 7ax.

1231. Âèíåñè çà äóæêè ñïіëüíèé ìíîæíèê: 1) 6a + 6m; 2) –2x + 2y; 3) –3p – 3x; 4) mx + nx;5) 8m – am; 6) 4p – 4; 7) 2ab + 2ac; 8) 9ak – 9bk.

1232. Îá÷èñëè, âèêîðèñòîâóþ÷è ðîçïîäіëüíó âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ:

1) 12 17 – 7 12; 2) –12 45 – 15 (–12);3) 1,85 47 – 2,85 47; 4) –0,2 3,8 – 3,7 (–0,2);

5) ; 6) .


1) 14 38 – 38 24; 2) –8 13 – 2 (–8);3) 1,12 37 – 3,12 37; 4) –4,8 (–2,3) + 5,8 (–2,3);

5) ; 6) .

1234. Ðîçêðèé äóæêè òà îá÷èñëè:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

1235. Ðîçêðèé äóæêè òà îá÷èñëè:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .


Ðîçäië 4

224

1236. Ðîçêðèé äóæêè:1) –0,8a(–4b + 3c – 0,9d); 2) (0,7x – 2,5y – 3,8z) (–0,4);

3) ; 4) .

1237. Ðîçêðèé äóæêè:1) –0,7(–2b + 3c – 5a); 2) (0,8p + 2,7a – 3,9b) (–2x);

3) ; 4) .

1238. Îá÷èñëè íàéçðó÷íіøèì ñïîñîáîì:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .


1) ; 2) ;

3) ; 4) .


1) –12 (–99); 2) 999 (–17);3) –101 125; 4) 1001 (–217).


1) –99 17; 2) –12 101; 3) –999 (–13); 4) –1001 29.

1242. Âèíåñè çà äóæêè ñïіëüíèé ìíîæíèê: 1) 3m – 6p + 9t; 2) 5a + 5b – 5; 3) 10m + 15ñ – 25x; 4) 8bx – 16by + 12b; 5) 21ab – 35ac – 7ad; 6) 12ax + 18xm – 24bx.

1243. Âèíåñè çà äóæêè ñïіëüíèé ìíîæíèê:

1) 2a + 4b – 8c; 2) 7x – 7y + 7;3) 12m + 18n –15t; 4) 9a – 12ab + 6ac; 5) 3ax + 6ay – 12ap; 6) 14mn + 21mx – 35am.



225


1) ;

2) – .

1245. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) 4x2, ÿêùî x 8; –8; 2) 7a3, ÿêùî a –2; 2.


1) і ; 2) і .

1247. Âåëîñèïåäèñò ïðîїõàâ âіäñòàíü âіä ìіñòà äî ñåëà çі øâèäêіñòþ 15 êì/ãîä, à ïîâåðòàâñÿ íàçàä çі øâèäêіñòþ 10 êì/ãîä. ßêîþ áóëà ñåðåäíÿ øâèäêіñòü ðóõó âåëîñèïå-äèñòà?

46.46. Подібні доданки та їх зведення

Ðîçïîäіëüíà âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ äàє ìîæëèâіñòü âè-íîñèòè ñïіëüíèé ìíîæíèê çà äóæêè.

Ïðèêëàä 1. Ñïðîñòè âèðàç 7x – 6x + 3x.Ðîçâ ’ÿçàííÿ. Óñі äîäàíêè ìàþòü ñïіëüíèé ìíîæíèê õ.

Ìàєìî: 7x – 6x + 3x (7 – 6 + 3) õ. Ó äóæêàõ çàïèñàíî ñóìó êîåôіöієíòіâ óñіõ äîäàíêіâ, âîíà äîðіâíþє 4.

Òîìó 7x – 6x + 3x 4x.Ó âèðàçі 7x – 6x + 3x äîäàíêè 7x, –6x, 3x ìàþòü ñïіëü-

íó áóêâåíó ÷àñòèíó і âіäðіçíÿþòüñÿ îäèí âіä îäíîãî ëèøå êîåôіöієíòàìè. Òàêі äîäàíêè íàçèâàþòü ïîäіáíèìè.

Äîäàíêè, ùî ìàþòü îäíàêîâó áóêâåíó ÷àñòèíó, íàçèâàþòü ïîäіáíèìè äîäàíêàìè.

Äîäàâàííÿ ïîäіáíèõ äîäàíêіâ íàçèâàþòü çâåäåííÿì ïî-äіáíèõ äîäàíêіâ.

Ùîá çâåñòè ïîäіáíі äîäàíêè, äîñòàòíüî äîäà-òè їõ êîå ôіöієíòè і çíàéäåíèé ðåçóëüòàò ïî-ìíîæèòè íà ñïіëüíó áóêâåíó ÷àñòèíó.


Ðîçäië 4

226

Ïðèêëàä 2. Çâåñòè ïîäіáíі äîäàíêè: 1) 4a + a – 6a; 2) 7b – – 3b – 4b.

Ðî çâ ’ÿ çàííÿ. 1) Ó öüîìó ïðèêëàäі âñі äîäàíêè ïîäіá-íі, îñêіëüêè â íèõ ñïіëüíà ÷àñòèíà a. Äîäàþ÷è êîåôіöієíòè, ìàєìî: 4 + 1 – 6 –1. Îòæå, 4a + a – 6a –1 a –a; 2) 7b – – 3b – 4b 0 b 0.

Âèðàç ìîæå ìіñòèòè äîäàíêè ç ðіçíèìè áóêâåíèìè ÷àñ-òèíàìè. Òîäі äîäàíêè ìîæíà îá’єäíàòè ó ãðóïè ç îäíàêî-âîþ áóêâåíîþ ÷àñòèíîþ. Äîäàíêè ç ðіçíèõ ãðóï äîöіëüíî ïіäêðåñëþâàòè ïî-ðіçíîìó.

Ïðèêëàä 3. Ñïðîñòèòè âèðàç 4a + 5b – 7a + 4 + 3b. Ðî çâ ’ÿ çàííÿ. 4a + 5b – 7a + 4 + 3b –3a + 8b + 4.

Ïðèêëàä 4. Ðîçâ’ÿçàòè ðіâíÿííÿ 4(x + 2) – (x – 2) 13. Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Ðîçêðèєìî äóæêè: 4x + 8 – x + 2 13.

Çâåäåìî ïîäіáíі äîäàíêè 3x + 10 13. Äàëі 3x 13 – 10; 3x 3; x 3 : 3; x 1.

ßêі äîäàíêè íàçèâàþòü ïîäіáíèìè? ßê çâåñòè ïîäіá íі äîäàíêè?

1248. Íàçâè ïîäіáíі äîäàíêè ó âèðàçі:1) 3a + 2a – 4; 2) 7b + 9 – 9b; 3) 3x + y – y.

1249. Ïåðåïèøè òà ïіäêðåñëè ïîäіáíі äîäàíêè: 1) 7m + 2m – 5; 2) 4p – 3 – 2ð; 3) 7t + 9k – 7t.

1250. (Óñíî) Çâåäè ïîäіáíі äîäàíêè:1) 7x – 3x; 2) 9b + 7b; 3) 9y – 9y; 4) –5m + 4m.

1251. Çâåäè ïîäіáíі äîäàíêè:1) 5x + 4x; 2) 3y – y; 3) 7m + m; 4) 4b + b – 2b;5) –2a – 3a; 6) 2p + 2p; 7) –2n + n; 8) 7m – 2m – 5m.

1252. Çâåäè ïîäіáíі äîäàíêè:1) 7y + 3y; 2) 5m – m; 3) 2t + t; 4) 7y + y – 6y;5) –3p – 5p; 6) 3b + 3b; 7) –3a + a; 8) 4x – x – 3x.

1253. (Óñíî) Ñïðîñòè âèðàç òà çíàéäè éîãî çíà÷åííÿ: 1) –2x – 8x, ÿêùî x 1,3; 2) 4m – 5m, ÿêùî m –2.

1254. Ñïðîñòè âèðàç òà îá÷èñëè éîãî çíà÷åííÿ:1) 4x – 2x, ÿêùî x –2,7; 2) –6m + 9m, ÿêùî m –4;

3) –8y – 6y, ÿêùî y ; 4) 9p – 8p, ÿêùî p .



227

1255. Ñïðîñòè âèðàç òà çíàéäè éîãî çíà÷åííÿ:1) 9a – 6a, ÿêùî a –3,4; 2) –7p – 9p, ÿêùî p .

1256. (Óñíî) Çâåäè ïîäіáíі äîäàíêè: 1) 4m + a – 2m + 3a; 2) –5b + 9 + 4b; 3) –3x + 2y – 3y + 4x; 4) 7 – 2m + 3m.

1257. Çâåäè ïîäіáíі äîäàíêè:

1) 7a – 3b – 5a + 4b; 2) ;

3) –5x + 9y – 7x – 8y; 4) 0,47m – 0,49m – 0,52m; 5) 18,2p + 9,2x – 9,7p; 6) a + b + a – b.

1258. Çâåäè ïîäіáíі äîäàíêè:

1) 5m – 4n – 3m + 2n; 2) ;

3) –2x + 3y – 3x + 5y; 4) 0,12a – 0,48a – 0,37a; 5) 12,9b + 13,7c – 4,5b; 6) m + t – m + t.

1259. Íà ìàëþíêó 85 AB 3a; BC 2a. Ñêëàäè âèðàç äëÿ îá÷èñëåí-íÿ äîâæèíè âіäðіçêà ÀÑ. Ñïðîñòè öåé âèðàç òà çíàéäè éîãî çíà÷åíí ÿ, ÿêùî: 1) a 3 ñì; 2) a 8 äì.

1260. Íà ìàëþíêó 85 AC 7m; BC 3m. Ñêëàäè âèðàç äëÿ îá÷èñëåííÿ äîâæèíè âіäðіçêà AB. Ñïðîñòè öåé âèðàç òà çíàéäè éîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî: 1) m 4 ñì; 2) m 5 äì.

1261. Ðîçêðèé äóæêè і çâåäè ïîäіáíі äîäàíêè: 1) 2(3x – 5) + 4x; 2) – (7a + 8) + 3a;3) 7x + (x – 3); 4) 2y – 3(y – 5).

1262. Ðîçêðèé äóæêè і çâåäè ïîäіáíі äîäàíêè: 1) –2(3x – 5) + 8(2 – 4x); 2) –9(4a + m) + 5(m – 9a);3) (4x – 0,5) 0,2 + (2x + 0,3) (–0,5); 4) 3,2(4b – 3a) – 2,8(b + 2a).

1263. Ðîçêðèé äóæêè і çâåäè ïîäіáíі äîäàíêè: 1) –4(7 – 2x) + 6(3x – 5); 2) 2(a – 2b) – 7(2a + 3b); 3) (3m – 2) (–0,7) + (4 – 2m) 0,5; 4) 4,2(5x – 2y) – 2,7(3x – y).

1264. Ñïðîñòè âèðàç òà çíàéäè éîãî çíà÷åííÿ:1) – (2m – 0,2) + 2(4m – 0,1), ÿêùî m 0,7;2) 3(2x – 0,8) – (6x + 0,4), ÿêùî x 1,83.

Ìàë. 85


Ðîçäië 4

228

1265. Ñïðîñòè âèðàç òà çíàéäè éîãî çíà÷åííÿ:1) – (3a – 1,2) + 3(2a – 0,4), ÿêùî a 0,2;2) 4(2m – 0,9) – (8m – 0,2), ÿêùî m 0,132.


1) ; 2) ;

3) ; 4) .


1) ; 2) ;

3) ; 4) .

1268. Ñïðîñòè âèðàç:1) (–1,8a + 2,5b) 4 – 3(3,2a + 0,9b – 2) – (2,8a – 7);

2) .

1269. Ñïðîñòè âèðàç:1) (–0,7x + 0, 6y) 5 – 3(0,4y – 1,5x – 1) – (2,7x – 8);

2) .


1) 0,6x + 0,4x – 0,84x 0,832; 2) .


1) 0,47x – 0,5x + 1,3x 15,24; 2) .

1272. Äîâåäè, ùî çíà÷åííÿ âèðàçó (2x – 3) 0,2 – (3x – 4) 0,5 – (2,6 – 1,1x)

íå çàëåæèòü âіä çíà÷åííÿ çìіííîї.

1273. Äîâåäè, ùî çíà÷åííÿ âèðàçó (3y – 0,8) 0,4 – 0,2(5 – 2y) – (1,6y – 0,8)

íå çàëåæèòü âіä çíà÷åííÿ çìіííîї.

1274. Çíàé äè ïåðèìåòð ìíîãîêóòíèêà, çîáðàæåíîãî íà ìà-ëþíêó 86. Ñïðîñòè îòðèìàíèé âèðàç òà çíàéäè éîãî çíà-÷åííÿ, ÿêùî b 8 ñì, c 9 ñì.



229

1275. Äîâåäè, ùî çíà÷åííÿ âèðàçó 4(0,3x – 5,1) – 0,3(4x – 2,5) ïðè áóäü-ÿêîìó çíà÷åííі çìіííîї íàáóâàє âіä’єìíîãî çíà÷åííÿ.

1276. Äîâåäè, ùî çíà÷åííÿ âèðàçó 0,6(18x – 7) – 1,8(6x – 4) ïðè áóäü-ÿêîìó çíà÷åííі çìіííîї íàáóâàє äîäàòíîãî çíà-÷åííÿ.

1277. Äîâåäè, ùî ïðè áóäü-ÿêîìó íàòóðàëüíîìó çíà÷åí-

íі n çíà÷åííÿ âèðàçó êðàòíå ÷èñëó 7.

1278. Äîâåäè, ùî ïðè áóäü-ÿêîìó íàòóðàëüíîìó çíà÷åííі m çíà÷åííÿ âèðàçó 9(3m – 8) + 2(25 – 11m) + 23 íå äіëèòüñÿ íà 5.

1279. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó 9a – (3a + 2b), ÿêùî 3a – b 0,9.

1280. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó –2x – (6y – 5x), ÿêùî x – 2y 0,4.

1281. Çàïèøè òðè äðîáè, ùî äîðіâíþþòü äðîáó .


1) 0,375 і ; 2) 0,42 і ; 3) 1,75 і ; 4) 2,125 і .

1283. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî íàâìàííÿ âèáðàíå âіä 1 äî 25 íàòóðàëüíå ÷èñëî áóäå ïðîñòèì?

1284. Íà ìàëþíêó 87 çîáðàæåíî öåãëè-íó. ßê çà äîïîìîãîþ òðüîõ òàêèõ öåãëèí і ëіíіéêè (àáî ðóëåòêè) âèìіðÿòè äîâæèíó âіäðіçêà AB?


1. Çíàé äè äîáóòîê: 1) 37 (–5); 2) –25 (–9).

2. Íàçâè êîåôіöієíò áóêâåíîãî âèðàçó:1) 7b; 2) –5a; 3) –0,8t; 4) p.

Ìàë. 86

Ìàë. 87


Ðîçäië 4

230

3. Çâåäè ïîäіáíі äîäàíêè: 1) 4m – 5m; 2) 2y + 3y – 9y.

4. Âèêîíàé äії çðó÷íèì ñïîñîáîì:1) –0,2 39 (–5); 2) 4 29 – 14 29.

5. Îá÷èñëè: 1) (–4,2)2; 2) (–0,8)3.

6. Ñïðîñòè: 1) –1,5a (–2b); 2) –5x + 3y + 7x – 9y.

7. Äîâåäè, ùî çíà÷åííÿ âèðàçó –0,6(x – 3,7) + 0,2(3x – 5) íå çàëåæèòü âіä çíà÷åííÿ çìіííîї.


9. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó –8a – (4a – 6b), ÿêùî b – 2a –4.


10. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ (x – 1)(x + 2) 0.

11. Çíàé äè êîðіíü ðіâíÿííÿ .

12. Îá÷èñëè çðó÷íèì ñïîñîáîì

47.47. Ділення раціональних чисел

Äіëåííÿ — öå äіÿ, ïіä ÷àñ âèêîíàííÿ ÿêîї çà äàíèì äî-áóòêîì і îäíèì іç ìíîæíèêіâ çíàõîäÿòü äðóãèé ìíîæíèê.

Îñêіëüêè 2 (–5) –10, òî –10 : (–5) 2. Â îñòàííіé ðіâíîñòі –10 — äіëåíå, (–5) — äіëüíèê, 2 — ÷àñòêà; äі-ëåíå і äіëüíèê — ÷èñëà âіä’єìíі, ÷àñòêà — ÷èñëî äîäàòíå. Ìîäóëü ÷àñòêè äîðіâíþє ìîäóëþ äіëåíîãî, ùî äіëèòüñÿ íà ìîäóëü äіëüíèêà. Ñïðàâäі, |–10| : |–5| |2|.

Ìàєìî ïðàâèëî äіëåííÿ äâîõ âіä’єìíèõ ÷èñåë:

÷àñòêà âіä äіëåííÿ äâîõ âіä’єìíèõ ÷èñåë є ÷èñëîì äîäàòíèì; ùîá çíàéòè ìîäóëü ÷àñòêè, òðåáà ìîäóëü äіëåíîãî ïîäіëèòè íà ìîäóëü äіëüíèêà.

Ïðèêëàä 1. –2,8 : (–0,7) 2,8 : 0,7 4;

.



231

Îñêіëüêè –3 4 –12, òî –12 : 4 –3, à –2 (–3) 6, òî 6 : (–3) –2. ßêùî äіëåíå і äіëüíèê — ÷èñëà ðіçíèõ çíàêіâ, òî ÷àñòêà — ÷èñëî âіä’єìíå, à ìîäóëü ÷àñòêè äîðіâíþє ìî-äóëþ äіëåíîãî, ùî äіëèòüñÿ íà ìîäóëü äіëüíèêà. Ñïðàâäі, |–12| : |4| |–3| і |6| : |–3| |–2|. Ìàєìî ïðàâèëî äіëåííÿ äâîõ ÷èñåë ç ðіçíèìè çíàêàìè:

÷àñòêà âіä äіëåííÿ äâîõ ÷èñåë ç ðіçíèìè çíà-êàìè є ÷èñëîì âіä’єìíèì; ùîá çíàéòè ìîäóëü ÷àñòêè, òðåáà ìîäóëü äіëåíîãî ïîäіëèòè íà ìîäóëü äіëüíèêà.

Ïðèêëàä 2. 1) –3,8 : 2 – (3,8 : 2) –1,9;

2) .

Ïðèêëàä 3. Ðîçâ’ÿçàòè ðіâíÿííÿ 2(3x – 2) – (4x + 3) –19.

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Ðîçêðèєìî äóæêè: 6x – 4 – 4x – 3 –19; 2x – 7 –19; 2x –19 + 7; 2x –12; x –12 : 2; x –6.

ßêùî a — áóäü-ÿêå ðàöіîíàëüíå ÷èñëî, òî a : 1 a. ßêùî a — áóäü-ÿêå ðàöіîíàëüíå ÷èñëî, âіäìіííå âіä

íóëÿ, òî a : a 1 і 0 : a 0.Íàãàäàєìî, ùî íà íóëü äіëèòè íå ìîæíà: .

Ñôîðìóëþé ïðàâèëî äіëåííÿ äâîõ âіä’єìíèõ ÷èñåë. Ñôîðìóëþé ïðàâèëî äіëåííÿ äâîõ ÷èñåë ç ðіçíèìè

çíàêàìè.

1285. (Óñíî) Çíàéäè çíàê ÷àñòêè:1) –14 : 12; 2) –8 : (–16); 3) 37 : (–4); 4) 0 : (–2).

1286. ßêèé çíàê (+ ÷è –) ìàє ÷àñòêà: 1) –18 : (–16); 2) 20 : (–32); 3) –14 : 5; 4) –8 : (–128); 5) –12 : 0,1; 6) 14 : (–8)?

1287. (Óñíî) ×è ïðàâèëüíî âèêîíàíî äіëåííÿ:1) –4 : 2 –2; 2) –8 : (–2) –4;3) 5 : (–1) –5; 4) 17 : (–1) 17?

1288. (Óñíî) Âèêîíàé äіëåííÿ: 1) –20 : (–2); 2) 14 : (–7); 3) –44 : 11; 4) –13 : (–1).


Ðîçäië 4

232

1289. Âèêîíàé äіëåííÿ:1) –12 : 2; 2) –14 : (–2); 3) 8 : (–4); 4) 1,8 : (–2); 5) 7 : (–1); 6) –5 : (–1).

1290. Âèêîíàé äіëåííÿ: 1) –14 : (–7); 2) 15 : (–3); 3) –10 : (–2); 4) –4,7 : 1; 5) 19 : (–1); 6) –8 : (–1).

1291. (Óñíî) ßêèì, äîäàòíèì ÷è âіä’єìíèì, є êîðіíü ðіâíÿííÿ:1) –4x –179; 2) 5x –1392; 3) 14,2 : x –0,8?

1292. (Óñíî) Çíàé äè êîðіíü ðіâíÿííÿ: 1) 4x –8; 2) –7x –14; 3) –4 : x 1; 4) –18 : x –2.

1293. Çà äàíèìè òàáëèöі çíàéäè ÷àñòêó:

a 20 –143 –152 –129 13 0 137 –19b –2 –11 8 –129 –13 –2015 –1 –1

a : b

1294. Âèêîíàé äіëåííÿ:1) –3,6 : 9; 2) 10,32 : (–2,5); 3) –11,7 : (–1,8);

4) –0,45 : 0,09; 5) ; 6) ;

7) ; 8) .

1295. Çà äàíèìè òàáëèöі çíàéäè ÷àñòêó:

x –8,4 8,88 –3,289 15

y –0,7 –2,4 1,3 12

x : y

1296. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó –15 : x – 3,6, ÿêùî x –0,3; –5.

1297. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó –12 : a – 4,8, ÿêùî a = –4; 0,3.


1 ) ; 2) ;



233

3) ; 4) .

1299. Îá÷èñëè ÷àñòêó:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

1300. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ:1) –2,6x –3,51; 2) 10,64 : x –1,4;3) –0,18x 1,17; 4) –18,06 : x 4,2;

5) ; 6) .

1301. Çíàéäè êîðіíü ðіâíÿííÿ:1) –3,6x 7,2; 2) –1 : x –0,01; 3) 0,18 x –0,099; 4) –7,5 : x –0,5;

5) ; 6) .


1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .


1) ; 2) ; 3) .

1304. Âèêîíàé äії:1) –280 : (–4) + 7 (–3); 2) 120 : (–6) – (–18) : 2.


x –2 4 –2,5 1,6

x : (–4) –5 : x

1306. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçіâ a : (–5) òà –4 : a, ÿêùî a –20; –0,4; 0,8; 1,6.


Ðîçäië 4

234

1307. Çíàé äè êîðіíü ðіâíÿííÿ: 1) 2x – 5x 0,57; 2) 14x – 5x –11,7; 3) 1,7x – 0,2x – 1,8x –4,5.

1308. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) 7x – 9x 0,38; 2) 14x – 8x –7,2; 3) 1,9x – 0,2x – 2,4x –1,12.

1309. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó:1) (4,08 : (–1,7) – 0,6) : 0,15 + 37,8;2) (–48,75 : 3,9 + 8,2) (–4) : (–0,2).

1310. Îá÷èñëè:1) –2,8 35 : (–0,49) + (–13,25) : (–5,3);2) 9,6 : (8,9 – 11,3) – (–4,64) : (–5,8).

1311. Âèêîíàé äії :

1) ; 2) ;

3) ;

4) .


1) ; 2) ;

3) ; 4) .

1313. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ, ñïðîñòèâøè ñïî÷àòêó éîãî ëіâó ÷àñòèíó:

1) –0,8x (–0,4) –0,96; 2) .

1314. Ñïðîñòèâøè ñïî÷àòêó ëіâó ÷àñòèíó ðіâíÿííÿ, ðîç-â’ÿæè éîãî:

1) –0,2x 4 –0,104; 2) (–0,6õ) –1,44.


1) ; 2) –0,8(x – 2,5) –6,4;

3) 4,3(1 – x) –10,75; 4) ;



235

5) 36,18 : (x + 2,8) –4,5; 6) –12,6 : (x + 32,7) –0,63.

1316. Çíàé äè êîðіíü ðіâíÿííÿ:

1) ; 2) ;

3) 3,9 : (x + 0,13) –2,6.

1317. Ïîðіâíÿé çíà÷åííÿ âèðàçіâ і , ÿêùî

a –1.

1318. Ïîð іâíÿé çíà÷åííÿ âèðàçіâ і , ÿêùî b –2.


1) ;

2) –4(2x – 5) + 3(5x – 7) –15;3) |4x| + 7 9; 4) |2x – 3| 5.

1320. Çàïèøè âñі äіëüíèêè ÷èñëà: 1) 25; 2) 48; 3) 60.

1321. Çàïèøè òðè ÷èñëà, ÿêі êðàòíі ÷èñëó: 1) 7; 2) 13; 3) 18.

1322. Çà òðè äíі â ñóïåðìàðêåòі ïðîäàëè 252 êã êàð-

òîïëі. Ïåðøîãî äíÿ ïðîäàëè öієї êіëüêîñòі, à äðóãî-

ãî — öієї êіëüêîñòі. Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ êàðòîïëі

ïðîäàëè òðåòüîãî äíÿ?

1323. ×è іñíóє êâàäðàò, äîâæèíà ñòîðîíè ÿêîãî â ñàí-òèìåòðàõ є öіëèì ÷èñëîì, à ïëîùà ïðè öüîìó äîðіâíþє 501 501 501 501 ñì2?

48.48. Розв’язування рівнянь. Основні властивості рівняння

Äî öüîãî ÷àñó ìè ðîçâ’ÿçóâàëè ðіâíÿííÿ, âèêîðèñòîâó-þ÷è çàëåæíîñòі ìіæ êîìïîíåíòàìè äіé. Ðîçãëÿíåìî îñíî-âíі âëàñòèâîñòі ðіâíÿííÿ, ùî íàäàäóòü ìîæëèâіñòü çíà÷-íî ñïðîñòèòè ïðîöåñ ðîçâ’ÿçóâàííÿ çíàéîìèõ íàì âèäіâ ðіâíÿíü òà íàâ÷èòèñÿ ðîçâ’ÿçóâàòè íîâі âèäè ðіâíÿíü.


Ðîçäië 4

236

Ïðèêëàä 1. Ðîçâ’ÿçàòè ðіâíÿííÿ 3 (x + 2) 18. Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Çà ïðàâèëîì çíàõîäæåííÿ íåâіäîìîãî

ìíîæíèêà ìàєìî x + 2 18 : 3, x + 2 6. Öå ñàìå ðіâ-íÿííÿ ìîæíà îòðèìàòè, ÿêùî îáèäâі ÷àñòèíè ïî÷àòêîâî-ãî ðіâíÿííÿ ïîäіëèòè íà 3 àáî ïîìíîæèòè îáèäâі ÷àñòè-

íè íà . Çàêіí÷óþ÷è ðîçâ’ÿçóâàííÿ ðіâíÿííÿ, çíàéäåìî

x 6 – 2; x 4.

×èñëî 4 є êîðåíåì ÿê ðіâíÿííÿ x + 2 6 (áî 4 + 2 6), òàê і êîðåíåì ðіâíÿííÿ 3 (x + 2) 18 (áî 3 (4 + 2) 18). Ìàєìî òàêó âëàñòèâіñòü ðіâíÿííÿ:

êîðåíі ðіâíÿííÿ íå çìіíÿòüñÿ, ÿêùî éîãî îáèä-âі ÷àñòèíè ïîìíîæèòè àáî ïîäіëèòè íà îäíå é òå ñàìå âіäìіííå âіä íóëÿ ÷èñëî.

Ïðèêëàä 2. Ðîçâ’ÿçàòè ðіâíÿííÿ x + 2 7. Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Çà ïðàâèëîì çíàõîäæåííÿ íåâіäîìîãî

äîäàíêà ìàєìî x 7 – 2. Öå ðіâíÿííÿ ìîæíà îäåðæàòè ç ïî÷àòêîâîãî, ÿêùî ïåðåíåñòè äîäàíîê 2 ç ëіâîї ÷àñòèíè â ïðàâó, çìіíèâøè çíàê öüîãî äîäàíêà íà ïðîòèëåæíèé (ç «+» íà «–»). Îñòàòî÷íî ìàєìî x 5.

Ïðèêëàä 3. Ðîçâ’ÿçàòè ðіâíÿííÿ x – 3 8. Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Çà ïðàâèëîì çíàõîäæåííÿ íåâіäîìîãî

çìåíøóâàíîãî ìàєìî x 8 + 3. Öå ðіâíÿííÿ ìîæíà îäåð-æàòè ç ïî÷àòêîâîãî, ÿêùî ïåðåíåñòè äîäàíîê –3 ç ëіâîї ÷àñòèíè â ïðàâó, çìіíèâøè çíàê äîäàíêà íà ïðîòèëåæíèé (ç «–» íà «+»). Îòæå, x 11 — êîðіíü ðіâíÿííÿ.

Ìàєìî ùå îäíó âëàñòèâіñòü ðіâíÿííÿ:

êîðåíі ðіâíÿííÿ íå çìіíÿòüñÿ, ÿêùî äåÿêèé äî-äàíîê ïåðåíåñòè ç îäíієї ÷àñòèíè ðіâíÿííÿ â іíøó, çìіíèâøè ïðè öüîìó éîãî çíàê íà ïðîòè-ëåæíèé.

Âèõîäÿ÷è ç íàâåäåíèõ âëàñòèâîñòåé, ñêëàäåìî çàãàëüíó ñõåìó ðîçâ’ÿçóâàííÿ ðіâíÿíü, ÿêó çàñòîñóєìî â íàñòóïíî-ìó ïðèêëàäі.

Ïðèêëàä 4. Ðîçâ’ÿçàòè ðіâíÿííÿ 4(x – 3) – 12x 3(2 – x) + 7.



237


1 Ðîçêðèєìî äóæêè 4x – 12 – 12x 6 – 3x + 7

2Çâåäåìî ïîäіáíі äîäàíêè â ëіâіé і ïðàâіé ÷àñòèíàõ ðіâíÿííÿ

–8x – 12 13 – 3x

3

Ïåðåíåñåìî äîäàíêè, ÿêі ìіñ-òÿòü íåâіäîìå, â îäíó ÷àñòèíó ðіâíÿííÿ (÷àñòіøå â ëіâó),à ðåøòó äîäàíêіâ — ó іíøó ÷àñ-òèíó ðіâíÿííÿ, çìіíèâøè ïðè öüîìó їõ çíàêè íà ïðîòèëåæíі

–8x + 3x 13 + 12

4Çâåäåìî ïîäіáíі äîäàíêè â ëіâіé òà ïðàâіé ÷àñòèíàõ ðіâíÿííÿ

–5x 25

5 Çíàéäåìî êîðіíü ðіâíÿííÿx 25 : (–5)

x –5

6 Ïåðåâіðêà (áàæàíî)

ëіâà ÷àñòèíà 4(–5 – 3) – 12 (–5) 28

ïðàâà ÷àñòèíà 3(2 – (–5)) + 7 28

À ùå ðàíіøå...À ùå ðàíіøå...У «геометричній алгебрі» давніх греків розв’язати рівняння

означало побудувати відрізок, що дорівнює додатному кореню рівняння.

Паростки нової «арифметичної алгебри» зустрічаються у Діо-фанта. Зоокрема в «Арифметиці» він розглядає таку задачу.

Задача Діофанта. Якщо додати до 20 і відняти від 100 одне й те саме число, то отримана сума буде в 4 рази більшою за отри-ману різницю. Знайти невідоме число.

Спробуй розв’язати цю задачу!Майже 4 тисячі років тому в Давньому Єгипті вже розв’язували

найпростіші рівняння.Другу з розглянутих у цьому параграфі властивостей рівнянь

вперше відкрив арабський математик Мухаммед аль-Хорезмі (783 – близько 850), автор ґрунтовної роботи «Кітаб аль-Джебр аль-Мукабала» («Книга про відновлення та протиставлення»). Називав аль-Хорезмі цю властивість аль-джебр, тобто «віднов-лення».


Ðîçäië 4

238

Ñôîðìóëþé îñíîâíі âëàñòèâîñòі ðіâíÿííÿ. ßê ïå-ðåíåñòè äîäàíêè ç îäíієї ÷àñòèíè ðіâíÿííÿ â іíøó?

1324. (Óñíî) ×è є ÷èñëî –3 êîðåíåì ðіâíÿííÿ:1) x + 2 1; 2) x 7 –21; 3) x – 2 –5; 4) x : 3 1?

1325. ×è є ÷èñëî –8 êîðåíåì ðіâíÿííÿ:1) x + 6 –2; 2) 3 – x –5; 3) 4 x 32; 4) 16 : x –2?

1326. (Óñíî) Çíàé äè êîðіíü ðіâíÿííÿ:1) x – 7 8; 2) 2 + x 1; 3) x 5 –10; 4) x : 2 –3.

1327. (Óñíî) ×è ïðàâèëüíî ïåðåíåñåíî äîäàíêè â òàêèõ ðіâíÿííÿõ:

1) 5x + 7 x, 2) –4x + 9 2x, 5x – x 7; –4x – 2x –9; 3) –2x – 7 –3x + 9, 4) 7x – 2 2x – 3, –2õ + 3x 9 + 7; 7x – 2x –3 – 2?

1328. Ïåðåíåñè ç ëіâîї ÷àñòèíè ðіâíÿííÿ â ïðàâó äîäàíîê, ÿêèé íå ìіñòèòü íåâіäîìîãî:

1) 4x + 2 7; 2) –5x – 3 9; 3) 3x – 9 0; 4) –7x + 2 3.

1329. Ïåðåíåñè ç ïðàâîї ÷àñòèíè ðіâíÿííÿ â ëіâó äîäàíîê, ÿêèé ìіñòèòü íåâіäîìå:

1) 3x 5 – 2x; 2) 7m –5 + 2m; 3) –3y 4 – 5ó; 4) –7p 2p + 7.

1330. Çáåðè â ëіâіé ÷àñòèíі ðіâíÿííÿ âñі äîäàíêè, ùî ìіñ-òÿòü íåâіäîìå, à â ïðàâіé — óñі äîäàíêè, ÿêі íå ìіñòÿòü íåâіäîìîãî:

1) 9x + 5 7 – 5x; 2) 4m – 2 5m + 3;3) –4y – 7 –2y + 9.

1331. Çáåðè â ëіâіé ÷àñòèíі ðіâíÿííÿ âñі äîäàíêè, ÿêі ìіñ-òÿòü íåâіäîìå, à â ïðàâіé — óñі äîäàíêè, ÿêі íå ìіñòÿòü íåâіäîìîãî:

1) –3x + 7 8 – 2x; 2) 5y + 2 –3y – 3; 3) –9p – 5 4p + 7.

1332. ×è є êîðåíåì ðіâíÿííÿ 2(x + 7) 8 ÷èñëî: 1) –2; 2) –3?

1333. ×è є êîðåíåì ðіâíÿííÿ 5(x + 2) –20 ÷èñëî: 1) –6; 2) –5?



239

1334. Çíàé äè êîðіíü ðіâíÿííÿ:1) 2x + 6 8; 2) 3 – 4y –1; 3) –10 + 5m 4;4) 7x 3x – 5; 5) –2m 14 + 8m; 6) 3y –5y + 16.

1335. Ðîçâ’ÿ æè ðіâíÿííÿ:1) 3x + 10 16; 2) 2 – 3y –4; 3) –5 + 2t –7;4) 5x –8 + x; 5) –4y 7 + 3y; 6) 8m –2m + 9.

1336. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ:1) 5x + 3 4x + 8; 2) 3x –16 8x + 19;3) 5 – 3x 4 – 2x; 4) 0,8m + 2,4 0,4m – 1,6;5) 0,17x – 1,8 0,18x + 1,2;6) 0,8x + 1,16 0,9x – 1,8.

1337. Çíàéäè êîðіíü ðіâíÿííÿ:1) 6x + 12 5x + 3; 2) 7y – 11 10y + 16;3) 3m + 7 6m – 2; 4) 4,6 + 0,6y 0,3y – 2,3;5) 0,27x – 3,8 0,28x + 5,2;6) 0,7m + 1,98 0,8m – 4,4.


1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .


1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

1340. Ïîÿñíè êîæíèé «êðîê» ðîçâ’ÿçóâàííÿ ðіâíÿííÿ:1) 2(x – 3) 5x, 2) 3(4x – 1) –7(x – 2), 2x – 6 5x, 12x – 3 –7x + 14, 2x – 5x 6, 12x + 7x 14 + 3, –3x 6, 19õ 17, x 6 : (–3), x 17 : 19,

x –2; .


Ðîçäië 4

240

1341. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ:1) 2(x – 3) 4x; 2) – (4x – 3) –x;3) –4(x + 5) –16; 4) 3(x + 7) 2(x – 8);5) 4(–x + 7) – (x + 2); 6) –3(2 – x) 4(x + 9).

1342. Çíàé äè êîðіíü ðіâíÿííÿ:1) 3(x – 4) 5x; 2) – (5x – 8) –x;3) –5(x + 2) –15; 4) 7(x – 2) 6(x + 1); 5) 3(–x + 2) – (x – 8); 6) –5(7–x) 6(x + 2).

1343. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ:1) 3(x – 2) –10x; 2) – (2x – 5) –5x; 3) –3(x – 3) 7; 4) 5(x + 2) 11(x – 3).

1344. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ:1) 4(x – 2) –5x; 2) – (4x – 7) –7x; 3) –6(x – 1) 13; 4) 2(x + 1) 9(x – 3).

1345. Çíàé äè êîðіíü ðіâíÿííÿ:1) 2(0,2x – 3) – 8(0,7x – 4) 39;2) 3,2(2 – 3y) 3(0,8y – 1) + 3,4;3) 3(0,4x + 7) – 4(0,8x – 3) 2;4) 0,3(2x – 1) – 0,9 0,2(5x – 2).

1346. Çíàé äè êîðіíü ðіâíÿííÿ:1) 5(0,3x + 6) – 4(0,2x – 7) –5;2) 0,5(3x – 4) + 4,4 0,9(4x – 2).

1347. Âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòèâіñòü ïðîïîðöії, ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ:

1) ; 2) ;

3) .


1) ; 2) ;

3) ; 4) .


1) ; 2) ;



241

3) .

1350. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі x âèðàçè 5(2 – x) і –3(5 + 2x) íàáóâàþòü ðіâíèõ çíà÷åíü?

1351. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі y âèðàçè 0,3(5y – 7) і 3(0,2y + 3,2) íàáóâàþòü ðіâíèõ çíà÷åíü?


1) ;

2) .


1) ;

2) .

1354. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі à ðіâíÿííÿ (a – 8)x 5 + 3a ìàє êîðіíü, ùî äîðіâíþє ÷èñëó 2?

1355. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ:1) 2(x – 2) + x 3(x – 1); 2) 4(x – 2) + 2x 2(3x – 4).

1356. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî

; .

1357. Çà ïåðøó ãîäèíó âåëîñèïåäèñò ïðîїõàâ 15 % âіäñòàíі, ïіñëÿ ÷îãî éîìó çàëèøèëîñÿ ïðîїõàòè ùå

êì. ßêó âіäñòàíü ìàâ ïðîїõàòè âåëîñèïåäèñò?


Ðîçäië 4

242

1358. Äî 120 ã 10-âіäñîòêîâîãî ðîç÷èíó ñîëі äîëèëè 80 ã âîäè. ßêà êîíöåíòðàöіÿ ñîëі ó íîâîìó ðîç÷èíі?

1359. Êîæíå ðåáðî êóáà çáіëüøèëè íà 10 %. Íà ñêіëü-êè âіäñîòêіâ çáіëüøèëàñÿ ïëîùà éîãî ïîâåðõíі і íà ñêіëü-êè âіäñîòêіâ çáіëüøèâñÿ éîãî îá’єì?

49.49. Розв’язування задач за допомогою рівнянь

Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàäè ðîçâ’ÿçóâàííÿ òåêñòîâèõ çàäà÷ çà äîïîìîãîþ ðіâíÿíü.

Çàäà ÷à 1. Ó äâîõ êîøèêàõ ðàçîì 28 ÿáëóê, ïðè÷îìó â äðóãîìó íà 4 ÿáëóêà áіëüøå, íіæ ó ïåðøîìó. Ñêіëüêè ÿáëóê ó êîæíîìó êîøèêó?

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Ïîçíà÷èìî êіëüêіñòü ÿáëóê ó ïåðøî-ìó êîøèêó áóêâîþ x, òîäі êіëüêіñòü ÿáëóê ó äðóãîìó áóäå (x + 4). Çàãàëüíà êіëüêіñòü ÿáëóê x + (x + 4) çà óìîâîþ çàäà÷і äîðіâíþє 28. Ìàєìî ðіâíÿííÿ:

x + (x + 4) 28.

Ðîçâ’ÿæåìî öå ðіâíÿííÿ: x + x + 4 28, 2x 28 – 4, 2x 24, x 24 : 2, x 12.

Îòæå, â ïåðøîìó êîøèêó áóëî 12 ÿáëóê, à â äðóãî-ìó — 12 + 4 16 (ÿáëóê).

Ïåðåâ іðêà. Ó äðóãîìó êîøèêó ÿáëóê íà 4 áіëüøå, íіæ ó ïåðøîìó (16 – 12 4), â îáîõ êîøèêàõ ðàçîì 28 ÿáëóê (12 + 16 28), ùî âіäïîâіäàє óìîâі çàäà÷і.

Â іäïîâ іäü. 12 ÿáëóê ó ïåðøîìó êîøèêó, 16 ÿáëóê — ó äðóãîìó.

Ðîçâ’ÿçàâøè çàäà÷ó çà äîïîìîãîþ ðіâíÿííÿ, ïðàâèëü-íіñòü її ðîçâ’ÿçàííÿ òðåáà ïåðåâіðèòè çà óìîâîþ çàäà÷і, à íå çà ñêëàäåíèì ðіâíÿííÿì.

Îòæå, ðîçâ’ÿçóâàòè çàäà÷ó çà äîïîìîãîþ ðіâíÿí-íÿ ìîæíà çà òàêèì ïëàíîì:1) ïîçíà÷àєìî äåÿêó íåâіäîìó âåëè÷èíó (÷èñëî) áóêâîþ, íàïðèêëàä, õ;2) іíøі íåâіäîìі âåëè÷èíè âèðàæàєìî ÷åðåç öþ áóêâó;



243

3) âèõîäÿ÷è ç óìîâè çàäà÷і, ñêëàäàєìî ðіâíÿííÿ;4) ðîçâ’ÿçóєìî öå ðіâíÿííÿ;5) çíàõîäèìî іíøі íåâіäîìі âåëè÷èíè, ÿêùî öüîãî âèìàãàє óìîâà çàäà÷і;6) ïåðåâіðêà (íåîáîâ’ÿçêîâî);7) âіäïîâіäü.

Çàäà÷à 2. Ïî òðüîõ ÿùèêàõ ðîçêëàëè 35 áàíîê êîíñåð-âіâ òàê, ùî â ïåðøîìó ÿùèêó ñòàëî óäâі÷і ìåíøå áàíîê, íіæ ó äðóãîìó, і íà 3 ìåíøå, íіæ ó òðåòüîìó. Ïî ñêіëüêè áàíîê êîíñåðâіâ ñòàëî â êîæíîìó ÿùèêó?

Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. Ïîçíà÷èìî êіëüêіñòü áàíîê êîíñåðâіâ ó ïåðøîìó ÿùèêó áóêâîþ x, òîäі êіëüêіñòü áàíîê ó äðóãîìó ÿùèêó — 2x, à â òðåòüîìó — (x + 3). Ó òðüîõ ÿùèêàõ ðàçîì x + 2x + (x + 3) áàíîê, ùî çà óìîâîþ äîðіâíþє 35. Ìàєìî ðіâíÿííÿ:

x + 2x + (x + 3) 35.

Ðîçâ’ÿæåìî éîãî: x + 2x + x + 3 35, 4x 35 – 3, 4x 32, x 32 : 4, x 8.

Ó ïåðøîìó ÿùèêó 8 áàíîê, ó äðóãîìó – 2 8 16 (áà-íîê), ó òðåòüîìó – 8 + 3 11 (áàíîê).

Ïåðåâіðêó çðîáіòü ñàìîñòіéíî.Â іäïîâ іäü. Ó ïåðøîìó ÿùèêó 8 áàíîê, ó äðóãîìó —

16 áàíîê, ó òðåòüîìó — 11 áàíîê.

Ïîÿñíè, ÿê çà äîïîìîãîþ ðіâíÿíü ðîçâ’ÿçàòè çàäà÷і 1 і 2. ßêі åòàïè ìîæíà âèäіëèòè, ðîçâ’ÿçóþ÷è çà-äà÷ó çà äîïîìîãîþ ðіâíÿííÿ?

1360. (Óñíî) Ïåðøå іç ÷èñåë íà 8 ìåíøå çà äðóãå. Ìåí-øå іç ÷èñåë ïîçíà÷åíî ÷åðåç x. Âèðàçè ÷åðåç x äðóãå ÷èñëî.

1361. Ïåðøå іç ÷èñåë íà 5 áіëüøå çà äðóãå. Áіëüøå іç ÷è-ñåë ïîçíà÷åíî ÷åðåç x. Âèðàçè ÷åðåç õ ìåíøå ÷èñëî.

1362. (Óñíî) Ïåðøå іç ÷èñåë ó 3 ðàçè ìåíøå âіä äðóãîãî. Ìåí-øå іç ÷èñåë ïîçíà÷åíî ÷åðåç x. Âèðàçè ÷åðåç x äðóãå ÷èñëî.

1363. Ïëîùà äâîõ äіëÿíîê äîðіâíþє 48 ãà. Çíàé äè ïëî-ùó êîæíîї ç äіëÿíîê, ÿêùî ïëîùà ïåðøîї íà 12 ãà ìåíøà çà ïëîùó äðóãîї.


Ðîçäië 4

244

1364. Ó äâîõ âàãîíàõ ìåòðî ðàçîì 78 ïàñàæèðіâ, ïðè÷îìó â ïåðøîìó âàãîíі ïàñàæèðіâ íà 6 ìåíøå, íіæ ó äðóãîìó. Ïî ñêіëüêè ïàñàæèðіâ ó êîæíîìó ç âàãîíіâ?

1365. Äðіò äîâæèíîþ 508 ì ðîçðіçàëè íà äâі ÷àñòèíè, ïåð-øà ç ÿêèõ ó 3 ðàçè äîâøà çà äðóãó. Çíàé äè äîâæèíó êîæ-íîї ÷àñòèíè.

1366. 42 ïàêåòè ðîçêëàëè ïî äâîõ ÿùèêàõ òàê, ùî â ïåðøî-ìó ïàêåòіâ óäâі÷і áіëüøå, íіæ ó äðóãîìó. Ïî ñêіëüêè ïàêåòіâ ó êîæíîìó ç ÿùèêіâ?

1367. ×èñëî õ äîäàëè äî ÷èñëà, ÿêå äîðіâíþє ïîäâîєíîìó ÷èñëó õ, і îäåðæàëè 72. Çíàé äè õ.

1368. Âіä ÷èñëà 56 âіäíÿëè ÷èñëî x і îäåðæàëè ïîòðîєíå ÷èñ ëî x. Çíàé äè x.

1369. Ïðîìіíü äіëèòü ðîçãîðíóòèé êóò íà äâà êóòè. Çíàé-äè öі êóòè, ÿêùî îäèí ç íèõ íà 30 áіëüøèé çà äðóãèé.

1370. Ïðî ìіíü äіëèòü ïðÿìèé êóò íà äâà êóòè. Çíàé äè öі êóòè, ÿêùî îäèí ç íèõ óäâі÷і áіëüøèé çà äðóãèé.

1371. Îäíà іç ñòîðіí òðèêóòíèêà äîðіâíþє 10 ñì, à äðóãà ñòîðîíà — óäâі÷і áіëüøà çà òðåòþ. Çíàé äè äîâæèíè äâîõ íåâіäîìèõ ñòîðіí òðèêóòíèêà, ÿêùî éîãî ïåðèìåòð 28 ñì.

1372. Øèðèíà ïðÿìîêóòíîї äіëÿíêè íà 10 ì êîðîòøà âіä її äîâæèíè, à ïåðèìåòð äîðіâíþє 128 ì. Îá÷èñëè ïëîùó äіëÿíêè.

1373. Îäíà іç ñòîðіí ïðÿìîêóòíèêà íà 8 ñì ìåíøà çà äðó-ãó, à éîãî ïåðèìåòð äîðіâíþє 44 ñì. Çíàé äè ïëîùó ïðÿìî-êóòíèêà.

1374. Ó ñàäó ðîñòå â 5 ðàç áіëüøå ÿáëóíü, íіæ ñëèâ. Ñêіëü-êè ðîñòå ÿáëóíü і ñêіëüêè ñëèâ, ÿêùî ñëèâ íà 16 ìåíøå, íіæ ÿáëóíü?

1375. Áàòüêî óòðè÷і âàæ÷èé çà ñèíà. Çíàé äè, ñêіëüêè âà-æèòü áàòüêî, ÿêùî âіí íà 52 êã âàæ÷èé çà ñèíà.

1376. Ïåðøå ÷èñëî â 2,5 ðàçà áіëüøå çà äðóãå. ßêùî âіä ïåðøîãî ÷èñëà âіäíÿòè 10, à äî äðóãîãî äîäàòè 5, òî îòðè-ìàєìî ðіâíі ìіæ ñîáîþ ÷èñëà. Çíàé äè ïî÷àòêîâі ÷èñëà.

1377. Íà îäíîìó äåðåâі ñèäіëî â 4 ðàçè áіëüøå ãîðîáöіâ, íіæ íà іíøîìó. Êîëè іç öüîãî äåðåâà çëåòіëî 12 ãîðîáöіâ, òî íà îáîõ äåðåâàõ ãîðîáöіâ ñòàëî ïîðіâíó. Ñêіëüêè ãîðîá-öіâ ñèäіëî ñïî÷àòêó íà êîæíîìó äåðåâі?



245

1378. Ñåðåäíє àðèôìåòè÷íå äâîõ ÷èñåë äîðіâíþє 2,6. Çíàé-äè öі ÷èñëà, ÿêùî îäíå ç íèõ óòðè÷і áіëüøå çà äðóãå.

1379. Ñåðãіé çà êîíòðîëüíó ðîáîòó îòðèìàâ íà 2 áàëè áіëü-øå, íіæ Ïåòðî. Ñêіëüêè áàëіâ îòðèìàâ êîæåí õëîïåöü, ÿêùî ñåðåäíє àðèôìåòè÷íå їõ îöіíîê äîðіâíþє 9?

1380. Ó äâîõ ïà÷êàõ 60 êíèæîê, ïðè÷îìó êіëüêіñòü êíè-

æîê ó ïåðøіé ïà÷öі ñòàíîâèòü êіëüêîñòі êíèæîê äðóãîї.

Ïî ñêіëüêè êíèæîê ó êîæíіé ïà÷öі?

1381. Äîâæèíà äðóãîї ñòðі÷êè íà 3 ì áіëüøà, íіæ äîâæè-íà ïåðøîї, ïðè÷îìó äîâæèíà ïåðøîї ñòðі÷êè ñòàíîâèòü

äîâæèíè äðóãîї. ßêà äîâæèíà ó êîæíîї ñòðі÷êè?

1382. Ó ïåðøіé áðèãàäі ïðàöþє íà 6 îñіá ìåíøå, íіæ ó äðóãіé. Ñêіëüêè îñіá ïðàöþє â êîæíіé áðèãàäі, ÿêùî êіëüêіñòü ðîáіòíèêіâ ïåðøîї áðèãàäè ñòàíîâèòü 80 % âіä êіëüêîñòі ðîáіòíèêіâ äðóãîї?

1383. Ó äâîõ õëîïöіâ ðàçîì 380 íàêëåéîê, ïðè÷îìó êіëü-êіñòü íàêëåéîê îäíîãî õëîïöÿ ñòàíîâèòü 90 % âіä êіëü-êîñòі íàêëåéîê äðóãîãî. Ñêіëüêè íàêëåéîê ìàє êîæåí ç õëîïöіâ?

1384. Ó ïåðøîìó âàãîíі â ðàçà áіëüøå âóãіëëÿ, íіæ

ó äðóãîìó. ßêùî ç ïåðøîãî âàãîíà âçÿòè ò, à â äðóãèé

äîäàòè ò, òî âóãіëëÿ ó âàãîíàõ ñòàíå ïîðіâíó. Ñêіëüêè

òîíí âóãіëëÿ â êîæíîìó âàãîíі?

1385. Íà ïåðøîìó ñàìîñêèäі âàíòàæó â 3 ðàçè ìåíøå,

íіæ íà äðóãîìó. ßêùî íà ïåðøèé ñàìîñêèä äîäàòè ò,

à ç äðóãîãî çíÿòè ò, òî âàíòàæó íà îáîõ ñàìîñêèäàõ ñòà-

íå ïîðіâíó. Ñêіëüêè òîíí âàíòàæó íà êîæíîìó ñàìîñêèäі?

1386. Ó òðüîõ ëіòíіõ îçäîðîâ÷èõ òàáîðàõ «Îðëÿòêî», «Çіð-êà» òà «Äðóæáà» çà çìіíó âіäïî÷èëî 232 øêîëÿðі. Ó «Çіð-öі» âäâі÷і áіëüøå äіòåé, íіæ â «Îðëÿòêó», à â «Äðóæáі» íà 16 äіòåé áіëüøå, íіæ â «Îðëÿòêó». Ñêіëüêè øêîëÿðіâ âіäïî÷èëî â êîæíîìó òàáîðі?


Ðîçäië 4

246

1387. Íà òðüîõ âàíòàæіâêàõ áóëî 5,1 ò çåðíà, ïðè÷îìó íà äðóãіé áóëî çåðíà óäâі÷і áіëüøå, íіæ íà ïåðøіé, à íà òðå-òіé — íà 0,3 ò áіëüøå, íіæ íà ïåðøіé. Ñêіëüêè òîíí çåðíà áóëî íà êîæíіé âàíòàæіâöі?

1388. Ñóìà òðüîõ ÷èñåë äîðіâíþє 54. Ïåðøå ÷èñëî ñòàíî-

âèòü 90 % âіä äðóãîãî, à òðåòє — âіä äðóãîãî. Çíàé äè

äîáóòîê öèõ òðüîõ ÷èñåë.

1389. Ïåðèìåòð òðèêóòíèêà äîðіâíþє 46 äì. Äîâæèíà äðóãîї ñòîðîíè ñòàíîâèòü 60 % äîâæèíè ïåðøîї, à äîâæè-

íà òðåòüîї ñòîðîíè — âіä ïåðøîї. Çíàé äè äîâæèíè ñòî-

ðіí òðèêóòíèêà.

1390. Âåëîñèïåäèñò їõàâ ïî øîñå çі øâèäêіñòþ 12 êì/ãîä, à ïî ґðóíòîâіé äîðîçі — çі øâèäêіñòþ 9 êì/ãîä. Çàãàëîì âіí ïîäîëàâ 27 êì. Ñêіëüêè ÷àñó їõàâ âåëîñèïåäèñò ïî øîñå і ñêіëüêè ïî ґðóíòîâіé äîðîçі, ÿêùî ïî ґðóíòîâіé äî-ðîçі âіí їõàâ íà 0,5 ãîä ìåíøå, íіæ ïî øîñå?


Ðóõ v, êì/ãîä t, ãîä s, êìïî øîñå 12 x 12x

27 êìïî ґðóíòîâіé äîðîçі

9 x – 0,5 9(x – 0,5)

Ìàєìî ðіâíÿííÿ 12x + 9(x – 0,5) 27, ðîçâ’ÿçàâøè ÿêå, îòðèìàєìî x 1,5. Îòæå, âåëîñèïåäèñò їõàâ 1,5 ãîä ïî øîñå і 1 ãîä ïî ґðóíòîâіé äîðîçі.

1391. Ïåðøó äіëÿíêó øëÿõó ìîòîöèêëіñò äîëàâ çі øâèä-êіñòþ 63 êì/ãîä, à äðóãó — çі øâèäêіñòþ 45 êì/ãîä. Çà-ãàëîì âіí ïîäîëàâ 184,5 êì. Çà ñêіëüêè ãîäèí ìîòîöèêëіñò ïðîїõàâ ïåðøó äіëÿíêó øëÿõó і çà ñêіëüêè äðóãó, ÿêùî íà ïåðøó äіëÿíêó âіí âèòðàòèâ íà 0,5 ãîä ìåíøå, íіæ íà äðóãó?



247

1392. Âåëîñèïåäèñò äîëàє âіäñòàíü ìіæ ñåëàìè çà 2 ãîä, à ïіøîõіä — çà 4,8 ãîä. Çíàé äè øâèäêіñòü âåëîñèïåäèñòà і øâèäêіñòü ïіøîõîäà, ÿêùî øâèäêіñòü ïіøîõîäà íà 7 êì/ãîä ìåíøà âіä øâèäêîñòі âåëîñèïåäèñòà.

1393. Êіëîãðàì ÿáëóê íà 4 ãðí äåøåâøèé çà êіëîãðàì ãðóø, à 5 êã ÿáëóê êîøòóþòü òàê ñàìî, ÿê 3 êã ãðóø. Ñêіëüêè êîøòóє 1 êã ÿáëóê і ñêіëüêè — 1 êã ãðóø?

1394. Êіëîãðàì ïå÷èâà íà 12 ãðí äåøåâøèé çà êіëîãðàì öó-êåðîê. Çà 5 êã ïå÷èâà çàïëàòèëè ñòіëüêè, ñêіëüêè çà 3 êã öóêåðîê. Ñêіëüêè êîøòóє 1 êã ïå÷èâà і ñêіëüêè — 1 êã öóêåðîê?

1395. Ó äâîõ ìàðøðóòíèõ òàêñі їõàëà îäíàêîâà êіëüêіñòü ïàñàæèðіâ. Ïіñëÿ òîãî ÿê ç ïåðøîãî òàêñі âèéøëî 4 ïàñà-æèðè, à ç äðóãîãî — 12, ïàñàæèðіâ ó ïåðøîìó çàëèøèëî-ñÿ óäâі÷і áіëüøå, íіæ ó äðóãîìó. Ñêіëüêè ïàñàæèðіâ áóëî â êîæíîìó òàêñі ñïî÷àòêó?

1396. Íà äâîõ ïîëèöÿõ êíèæîê áóëî ïîðіâíó. Ïіñëÿ òîãî ÿê ç ïåðøîї ïîëèöі çíÿëè îäíó êíèæêó, à ç äðóãîї — 19, êíèæîê íà ïåðøіé ïîëèöі çàëèøèëîñÿ óòðè÷і áіëüøå, íіæ íà äðóãіé. Ñêіëüêè êíèæîê áóëî íà êîæíіé ïîëèöі ñïî-÷àòêó?

1397. Ïðèäáàëè 8 ðó÷îê ïî 1 ãðí 60 êîï. і ïî 1 ãðí 80 êîï., çàïëàòèâøè çà âñþ ïîêóïêó 13 ãðí 40 êîï. Ñêіëü-êè êóïèëè ðó÷îê ïî 1 ãðí 60 êîï.?

1398. Ïðèäáàëè 15 çîøèòіâ ïî 1 ãðí 20 êîï. і ïî 1 ãðí 80 êîï., çàïëàòèâøè çà âñþ ïîêóïêó 23 ãðí 40 êîï. Ïî ñêіëüêè çîøèòіâ êîæíîãî âèäó áóëî ïðèäáàíî?

1399. Ó ïåðøîìó áàêó 55 ë îëії, à ó äðóãîìó — 45 ë. Ïіñ-ëÿ òîãî ÿê ç ïåðøîãî áàêà íàïîâíèëè 8 áóòëіâ, à ç äðóãî-ãî — 6 òàêèõ ñàìèõ áóòëіâ, îëії â áàêàõ ñòàëî ïîðіâíó. Ñêіëüêè ëіòðіâ îëії âìіùóє îäèí áóòåëü?1400. Ó Ñåðãіÿ 54 ãðí, à â Ìàðіéêè 66 ãðí. Ïіñëÿ òîãî ÿê Ñåðãіé ïðèäáàâ 2 òіñòå÷êà, à Ìàðіéêà — 4 òàêèõ ñàìèõ òіñòå÷êà, ãðîøåé ó íèõ ñòàëî ïîðіâíó. Ñêіëüêè êîø òóє îäíå òіñòå÷êî?

1401. Ïåðøèé îïåðàòîð íàáèðàє ðóêîïèñ íà 1,5 ãîä äî-âøå, íіæ äðóãèé, ïðè÷îìó çà îäíó ãîäèíó ïåðøèé íàáèðàє 8 ñòîðіíîê, à äðóãèé — 10 ñòîðіíîê. Ñêіëüêè ÷àñó âèòðà-òèòü ïåðøèé îïåðàòîð íà íàáіð öüîãî ðóêîïèñó?


Ðîçäië 4

248

1402. Çà îäíó ãîäèíó ó÷åíü âèãîòîâëÿє 10 äåòàëåé, à ìàé-ñòåð — 15 äåòàëåé. Ïåâíó êіëüêіñòü äåòàëåé ìàéñòåð ìîæå âèãîòîâèòè íà 2 ãîä øâèäøå, íіæ ó÷åíü. Çà ÿêèé ÷àñ öþ êіëüêіñòü äåòàëåé âèãîòîâèòü ìàéñòåð?

1403. Ðіçíèöÿ äâîõ ÷èñåë 55. Çíàé äè öі ÷èñëà, ÿêùî 30 %

âіä áіëüøîãî ç íèõ äîðіâíþє âіä ìåíøîãî.

1404. Ïåðøå ÷èñëî íà 9 áіëüøå çà äðóãå. âіä ïåðøîãî

÷èñëà äîðіâíþє 50 % âіä äðóãîãî. Çíàé äè öі ÷èñëà.

1405. Ó ïåðøîìó áàêó 140 ë âîäè, à â äðóãîìó — 108 ë. Ùîõâèëèíè ç ïåðøîãî áàêà âèëèâàєòüñÿ 5 ë âîäè, à ç äðóãîãî — 6 ë. ×åðåç ñêіëüêè õâèëèí ó ïåðøîìó áàêó âîäè çàëèøèòüñÿ ó 2,5 ðàçà áіëüøå, íіæ ó äðóãîìó?

1406. Ó ïåðøіé äіæöі áóëî âòðè÷і áіëüøå ìåäó, íіæ ó äðó-ãіé. Êîëè ç ïåðøîї äіæêè âçÿëè 80 êã, à ç äðóãîї — 30 êã, òî â äðóãіé äіæöі ìåäó çàëèøèëîñÿ íà 90 êã ìåíøå, íіæ ó ïåðøіé. Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ ìåäó áóëî â êîæíіé äіæöі ñïî÷àòêó?

1407. Ó ïåðøіé ïà÷öі óäâі÷і áіëüøå çîøèòіâ, íіæ ó äðóãіé. Ïіñëÿ òîãî ÿê ç äðóãîї ïà÷êè 20 çîøèòіâ ïåðåêëàëè â ïåð-øó, ó äðóãіé çîøèòіâ ñòàëî â 4 ðàçè ìåíøå, íіæ ó ïåðøіé. Ñêіëüêè çîøèòіâ áóëî â êîæíіé ïà÷öі ñïî÷àòêó?

1408. Ó ïåðøîìó ìіøêó áóëî âäâі÷і áіëüøå áîðîøíà, íіæ ó äðóãîìó. Ïіñëÿ òîãî ÿê ç äðóãîãî ìіøêà ïåðåñèïàëè 5 êã ó ïåðøèé, ó äðóãîìó áîðîøíà ñòàëî âòðè÷і ìåíøå, íіæ ó ïåðøîìó. Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ áîðîøíà áóëî â êîæ-íîìó ìіøêó ñïî÷àòêó?


1) 15 äî 12; 2) 20 äî 55; 3) 5,5 äî 4,4; 4) äî .

1410. Âèêîðèñòîâóþ÷è ðіâíіñòü 6 3 9 2, çàïè-øè âñі ìîæëèâі ïðîïîðöії.


1) ; 2) .



249

1412. Ñâіæі ñëèâè ìіñòÿòü 60 % âîäè, à ÷îðíîñëèâ (ñóøåíі ñëèâè) — 15 % âîäè. Ñêіëüêè ñâіæèõ ñëèâ òðåáà âçÿòè, ùîá îòðèìàòè 8 êã ÷îðíîñëèâó?

1413. Ç ïàïåðîâîї øàõîâîї äîøêè âèðіçàíî äâі ïðîòèëåæíі êóòîâі êëі-òèíêè (ìàë. 88). ×è ìîæíà ïіñëÿ öüîãî ðîçðіçàòè äîøêó íà ïðÿìîêóò-íèêè, ùî ìіñòÿòü ïî 2 êëіòèíêè?


1. Âèêîíàé äіëåííÿ: 1) –12 : (–2); 2) 27 : (–3).

2. ßêèé çíàê («+» ÷è «–») ìàє êîðіíü ðіâíÿííÿ:1) 2x –17; 2) –5x –17?

3. ×è є ÷èñëî –2 êîðåíåì ðіâíÿííÿ:1) x + 3 –1; 2) 4x –8?


5. Çíàé äè êîðіíü ðіâíÿííÿ 3x – 5 5x + 9.

6. Ó áàñêåòáîëüíіé ñåêöії ó 4 ðàçè áіëüøå ó÷íіâ, íіæ ó ñåêöії øàõіâ. Ñêіëüêè ó÷íіâ ó ñåêöії øàõіâ, ÿêùî їõ òàì íà 18 ìåíøå, íіæ ó áàñêåòáîëüíіé ñåêöії?

7. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ 0,3(x – 6) 0,4(8 – x) – 7,1.

8. Ó ïåðøîìó êîøèêó ÿáëóê áóëî âäâі÷і áіëüøå, íіæ ó äðóãîìó. Ïіñëÿ òîãî ÿê ç äðóãîãî êîøèêà ïåðåêëàëè â ïåðøèé 3 ÿáëóêà, ó ïåðøîìó êîøèêó ÿáëóê ñòàëî âòðè÷і áіëüøå, íіæ ó äðóãîìó. Ñêіëüêè ÿáëóê áóëî â êîæíîìó êîøèêó ñïî÷àòêó?


9. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó .

10. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ |5x| + 9 12.

11. Ïðè ÿêèõ öіëèõ çíà÷åííÿõ a êîðåíåì ðіâíÿííÿ ax 8 є öіëå ÷èñëî?

Ìàë. 88


Ðîçäië 4

250

50.50. Розв’язування вправ на всі дії з раціональними числами

1414. (Óñíî) Îá÷èñëè:1) 5 + (–3); 2) –3 + (–8); 3) 4 – 7; 4) –2 – (–4); 5) –5,3 (–10); 6) –4,2 0,1; 7) 4,7 : (–10); 8) –8,3 : (–0,1).

1415. (Óñíî) Îá÷èñëè:1) 9 + (–9) + 10; 2) –8 + (–7) + 8; 3) –2 50 (–8); 4) 4 (–17) 0.

1416. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó:1) –5,3 + (–4,9); 2) –2,9 + 1,3; 3) 0 – 7; 4) 14,2 – (–1); 5) 21 (–13); 6) –12 (–14); 7) –1,8 : (–2); 8) –2,5 : 0,5.

1417. Îá÷èñëè:1) –4,7 + 5,9; 2) –2,7 + (–3,8); 3) 1 – 8; 4) –3 – (–2); 5) –14 18; 6) –25 (–16);7) –1,6 : 4; 8) –5,7 : (–0,3).

1418. (Óñíî) Ñïðîñòè:1) 3p – 2p; 2) 4x – 5x; 3) –2y + 5y; 4) –3y – y; 5) m – m; 6) –2p + p.

1419. (Óñíî) Çíàé äè êîðіíü ðіâíÿííÿ: 1) õ + 3 2; 2) õ – 3 –5;3) õ (–7) 21; 4) õ : (–4) –5.


1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) .


1) ; 2) ; 3) ;



251

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) .

1422. Çíàé äè ñåðåäíє àðèôìåòè÷íå ÷èñåë:1) 12,5; –13,8; –5,3; 2) 12,7; –2,5; –14,1; 3,5.

1423. Çíàé äè ñåðåäíє àðèôìåòè÷íå ÷èñåë:1) 7,8; –13,6; 2) –2,5; 3,7; 4,9; –5,6; –8.


x –2 –5 4 5 –5 –4y 3 –2 –8 –3 4 –11

x + yx – y

1425. Îá÷èñëè, ïîòіì çàïîâíè òàáëè÷êè âіäïîâіäíèìè áóê-âàìè òà ïðî÷èòàé іì’ÿ òà ïðіçâèùå âèäàòíîãî óêðàїíñüêî-ãî ïèñüìåííèêà:

1) –4,5 + (–2,7) Ð; 2) –2,7 + 3,8 Â; 3) –5,2 – 4,7 І; 4) 5,2 – (–2,5) Î; 5) –1,2 4,5 À; 6) –1,8 (–5,5) Ê; 7) –8,1 : (–1,8) Í; 8) 8,5 : (–2,5) Ô.

–9,9 1,1 –5,4 4,5 –3,4 –7,2 –5,4 4,5 9,9 7,7

1426. Îá÷èñëè, ïîòіì çàïîâíè òàáëè÷êè âіäïîâіäíèìè áóê-âàìè òà ïðî÷èòàé ïðіçâèùå âèäàòíîãî óêðàїíñüêîãî ìàòå-ìàòèêà:

1) –2,7 + (–3,8) À; 2) 4,9 – 5,8 Ó;3) –2,7 – (–3,6) Ê; 4) 3,6 (–1,5) ×; 5) –8 (–4,7) Â; 6) –12 : 2,5 Ð.

0,9 –4,8 –6,5 37,6 –5,4 –0,9 0,9

1427. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó 29,4 – a : b, ÿêùî: 1) a –33,5; b 2,5; 2) a –32,16; b –2,4.

1428. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó x : y – 23,7, ÿêùî: 1) x –3,3; y 1,2; 2) x –7,12; y –4,45.


Ðîçäië 4

252


a –3 –8 3

b 4 –5 –0,4

a b

a : b


x –4 –12 7 –3,6

y 5 –3 –0,2 –2,5

x + y

x – y

xy

x : y


1) ; 2) ; 3) ; 4) .


1) ; 2) ; 3) ; 4) .


1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .


1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .



253

1435. Ùî áіëüøå: ñóìà ÷èñåë 0,5 і –3,2 ÷è їõ äîáóòîê? Íà ñêіëüêè?

1436. Íà ñêіëüêè ñóìà ÷èñåë –7,2 і –6,4 ìåíøà âіä їõ ÷àñòêè?

1437. Íà ñêіëüêè ÷àñòêà ÷èñåë –5,75 і 2,3 áіëüøà çà їõ ñóìó?

1438. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ:1) 0,4(3 – 2x) + 2,4 0,2(3 + 2x);

2) .

1439. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ:1) 0,3(5 – x) + 1,3 0,4(3x – 8);

2) .


1) ;

2) .

1441. Âèêîíàé äії .

1442. Ñêëàäè ðіâíÿííÿ çà ñõåìîþ òà ðîçâ’ÿæè éîãî (ñòðіë-êà íàïðÿìëåíà äî áіëüøîãî ÷èñëà):

1) 2)

1443. Çíàé äè ñóìó ÷îòèðüîõ ÷èñåë, ïåðøå ç ÿêèõ äîðіâíþє –4,7, à êîæíå íàñòóïíå íà 1,8 áіëüøå çà ïîïåðåäíє.

1444. Çíàé äè ñóìó ÷îòèðüîõ ÷èñåë, ïåðøå ç ÿêèõ äîðіâ-íþє 2,7, à êîæíå íàñòóïíå íà 1,6 ìåíøå âіä ïîïåðåäíüîãî.

1445. (Óñíî) Äîâåäè, ùî êîëè x 0, y 0, òî çíà÷åííÿ âè-

ðàçіâ xy òà ìàє îäèí і òîé ñàìèé çíàê.


Ðîçäië 4

254


1) ; 2) .


1) ; 2) .


1) ;

2) 0,25(3x – 4) 0,45(4x – 2) – 2,2.


1) ;

2) 0,2(õ – 3) – 0,58 0,35(6x – 5).

1450. Äîâåäè, ùî çíà÷åííÿ âèðàçó 3(13 – 2x) – 4(x – 8) + + 5(2x + 8) íå çàëåæèòü âіä çíà÷åííÿ çìіííîї.

1451. Äîâåäè, ùî çíà÷åííÿ âèðàçó –2(3y – 5) + 7(5 – 2y) + + 10(2y – 8) íå çàëåæèòü âіä çíà÷åííÿ çìіííîї.



1454. Ñïðîñòè âèðàç òà çíàé-

äè éîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî .

1455. Ñïðîñòè âèðàç òà çíàéäè

éîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî a –5.



255


1) ; 2) .

1457. Îá÷èñëè .

1458. Íàêðåñëè êîîðäèíàòíó ïðÿìó, âçÿâøè çà îäè-íè÷íèé âіäðіçîê ï’ÿòü êëіòèíîê çîøèòà. Ïîçíà÷ íà íіé

òî÷êè À(–0,6); Â(2,4), Ñ , D , Å(–1,8), F .

1459. ×è ìîæíà, âèêîðèñòîâóþ÷è ëèøå öèôðè 2 і 3, çàïèñàòè äåÿêå íàòóðàëüíå ÷èñëî, êðàòíå: 1) 2; 2) 5; 3) 10; 4) 3; 5) 9?

1460. Çàïèøè ó âèãëÿäі íåñêіí÷åííîãî äåñÿòêîâîãî ïåðіîäè÷íîãî äðîáó ÷àñòêó: 1) 2 : 9; 2) 7 : 11; 3) 13 : 12; 4) 100 : 99.

1461. Îäíó çі ñòîðіí ïðÿìîêóòíèêà çáіëüøèëè íà 20 %, à äðóãó – íà 30 %, óòâîðèâøè íîâèé ïðÿìîêóò-íèê. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çáіëüøèëàñÿ ïëîùà ïðÿìî-êóòíèêà?

1462. ßêå íàéáіëüøå íàòóðàëüíå ÷èñëî ìîæíà çàïèñà-òè çà äîïîìîãîþ: 1) äâîõ ï’ÿòіðîê; 2) òðüîõ äâіéîê?

51.51. Перпендикулярні пряміÄâі ïðÿìі, ùî ìàþòü îäíó ñïіëüíó òî÷êó, íàçèâàþòü

ïðÿìèìè, ùî ïåðåòèíàþòüñÿ. Їõ ñïіëüíó òî÷êó íàçèâà-þòü òî÷êîþ ïåðåòèíó.

Íà ìàëþíêó 89 ïðÿìі à і b ïåðåòè-íàþòüñÿ, Ì — òî÷êà їõ ïåðåòèíó. Äâі ïðÿìі, ïåðåòèíàþ÷èñü, îêðіì ðîçãîðíó-òèõ, óòâîðþþòü ÷îòèðè êóòè çі ñïіëü-íîþ âåðøèíîþ, ãðàäóñíà ìіðà ÿêèõ ìåíøà âіä 180. Ïðÿìі ÀÂ і ÑD (ìàë. 90) ïåðåòèíàþòüñÿ

Ìàë. 89


Ðîçäië 4

256

â òî÷öі Î, ïðè÷îìó îäèí ç óòâîðåíèõ êóòіâ — ïðÿìèé:ÀÎD 90. Ó öüîìó âèïàäêó ïðÿìі ÀÂ і ÑD íàçè-âàþòü ïåðïåíäèêóëÿðíèìè (âіä ëàòèíñüêîãî ñëîâà perpendicularis — ïðÿìîâèñíèé).

Îñêіëüêè êóò ÑÎD — ðîçãîðíóòèé (ÑÎD 180), òî ÑÎÀ 180 – ÀÎD 180 – 90 90. Àíàëîãі÷íî ìіð-êóþ÷è, ìàєìî: ÑÎÂ 90, ÂÎD 90.

Ïðÿìі, ùî ïåðåòèíàþòüñÿ ïіä ïðÿìèì êóòîì, íà-çèâàþòü ïåðïåíäèêóëÿðíèìè.

Îòæå, íà ìàëþíêó 90 ïðÿìі ÀÂ і ÑD — ïåðïåíäèêó-ëÿðíі. Ïåðïåíäèêóëÿðíіñòü ïðÿìèõ ïîçíà÷àþòü çíàêîì . Çàïèñóþòü: ÀÂ ÑD, ÷èòàþòü: «ïðÿìà ÀÂ ïåðïåíäèêó-ëÿðíà äî ïðÿìîї ÑD».


Äëÿ ïîáóäîâè ïåðïåíäèêóëÿðíèõ ïðÿìèõ ìîæíà âèêî-ðèñòàòè òðàíñïîðòèð (ìàë. 91) àáî êðåñëÿðñüêèé êîñèíåöü.

Ïðèêëàä. Íåõàé äàíî òî÷êó M, ÿêà íå íàëåæèòü ïðÿ-ìіé a. Âèêîðèñòîâóþ÷è êðåñëÿðñüêèé êîñèíåöü, ïîáóäóé ïðÿìó, ÿêà ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó Ì і є ïåðïåíäèêóëÿð-íîþ äî ïðÿìîї à.

Ðî çâ ’ÿ çàííÿ. 1) Ðîçìіñòèìî êîñèíåöü òàê, ùîá îäíà çі ñòîðіí éîãî ïðÿìîãî êóòà ëåæàëà íà ïðÿìіé à, à äðóãà ïðîõîäèëà ÷åðåç òî÷êó Ì (ìàë. 92).

2) Ïðîâåäåìî âіäðіçîê óçäîâæ ñòîðîíè êîñèíöÿ âіä òî÷-êè Ì äî ïåðåòèíó ç ïðÿìîþ à. Ïîçíà÷èìî îòðèìàíó òî÷êó áóêâîþ N (ìàë. 92).

3) Ïîáóäóєìî ïðÿìó ÌN (ìàë. 93). Çàïèøåìî: ÌN à. Àíàëîãі÷íî ìîæíà çà äîïîìîãîþ êîñèíöÿ âèêîíàòè ïî-áóäîâó ïðÿìîї, ïåðïåíäèêóëÿðíîї äî ïðÿìîї a, ÿêùî òî÷-êà Ì íàëåæèòü ïðÿìіé a (ìàë. 94).



257

Ìàë. 92 Ìàë. 93 Ìàë. 94

Âіäðіçêè (àáî ïðîìåíі), ùî ëåæàòü íà ïåðïåíäè-êóëÿðíèõ ïðÿìèõ, íàçèâàþòü ïåðïåíäèêóëÿðíè-ìè âіäðіçêàìè (àáî ïðîìåíÿìè).

Íà ìàëþíêó 95 çîáðàæåíî ïåðïåíäèêóëÿðíі âіäðіçêè ÀÂ і ÑD, à íà ìàëþíêó 96 — ïåðïåíäèêóëÿðíі ïðîìåíі ÌK і NP.


ßêі ïðÿìі íàçèâàþòü ïåðïåíäèêóëÿðíèìè? Çà äî-ïîìîãîþ ÿêèõ іíñòðóìåíòіâ ìîæíà ïîáóäóâàòè ïåð-ïåíäèêóëÿðíі ïðÿìі? ßêі âіäðіçêè і ÿêі ïðîìåíі íàçèâàþòü ïåðïåíäèêóëÿðíèìè?

1463. Íà ìàëþíêó 90: ÀÎD 90. ßê íàçèâàþòü ïðÿ-ìі ÀÂ і ÑD?

1464. Âèçíà÷ íà îêî, ÿêі ïðÿìі íà ìàëþíêàõ 97—100 є ïåðïåíäèêóëÿðíèìè. Ïåðåâіð öå, êîðèñòóþ÷èñü êîñèíöåì àáî òðàíñïîðòèðîì.

Ìàë. 97 Ìàë. 98 Ìàë. 99 Ìàë. 100


Ðîçäië 4

258

1465. Íà ìàëþíêó 101 MKPN — ïðÿìîêóòíèê. Âèïèøè âñі ïàðè ïåð-ïåíäèêóëÿðíèõ ïðÿìèõ.

1466. Íàâåäè ç äîâêіëëÿ ïðèêëàäè ïåðïåíäèêóëÿðíèõ ïðÿìèõ.

1467. Íàêðåñëè ïðÿìó a òà òî÷êè Ñ і D òàê, ÿê ïîêàçàíî íà ìàëþíêó 102. Çà äîïîìîãîþ êîñèíöÿ ïîáóäóé ïðÿìó ÑK, ïåðïåíäèêóëÿðíó äî ïðÿìîї à, òà ïðÿìó DF, ïåðïåíäèêóëÿðíó äî ïðÿìîї à.

1468. ×åðåç òî÷êó A, ùî íå íàëåæèòü ïðÿìіé m, ïîáóäóé çà äîïîìîãîþ êîñèíöÿ ïðÿìó n, ïåðïåíäèêóëÿðíó äî ïðÿìîї m.

1469. ×åðåç òî÷êó Q, ùî íàëåæèòü ïðÿìіé a, ïîáóäóé çà äîïîìîãîþ êîñèíöÿ ïðÿìó b, ïåðïåíäèêóëÿðíó äî ïðÿ-ìîї a.

1470. Çíàé äè âñі ïàðè ïåðïåíäèêó-ëÿðíèõ ïðÿìèõ íà ìàëþíêó 103. Âè-êîíàé âіäïîâіäíі çàïèñè.

1471. Íàêðåñëè êóò AOB, ãðàäóñ-íà ìіðà ÿêîãî äîðіâíþє 65. Íà ñòî-ðîíі OA ïîçíà÷ òî÷êó K, âіääàëåíó âіä âåðøèíè êóòà íà 3 ñì. Ïðîâåäè ÷åðåç òî÷êó K ïðÿìі, ïåðïåíäèêóëÿðíі äî ïðÿìèõ ÀÎ і ÂÎ.

1472. Íàêðåñëè êóò MKP, ãðàäóñíà ìіðà ÿêîãî äîðіâ-íþє 50. Íà ñòîðîíі KP ïîçíà÷ òî÷êó A, âіääàëåíó âіä âåð-øèíè êóòà íà 2,5 ñì. Ïðîâåäè ÷åðåç òî÷êó A ïðÿìі, ïåð-ïåíäèêóëÿðíі äî ïðÿìèõ KM і KP.

1473. Íàêðåñëè ÷îòèðèêóòíèê ÀÂÑD òàêèé, ùî:1) ÀÂ ÂÑ;2) ÀÂ ÂÑ, ÀÂ ÀD; 3) ÀÂ ÀD, ÂÑ CD.

1474. Íàêðåñëè ãîñòðîêóòíèé òðèêóòíèê ÀÂÑ. Ïðîâåäè ÷åðåç êîæíó éîãî âåðøèíó ïðÿìó, ïåðïåíäèêóëÿðíó äî ïðîòèëåæíîї ñòîðîíè. Âèêîíàé âіäïîâіäíі çàïèñè.

Ìàë. 101

Ìàë. 102

Ìàë. 103



259

1475. Íàêðåñëè òóïîêóòíèé òðèêóòíèê ÌNK. Ïðîâåäè ÷åðåç êîæíó ç éîãî âåðøèí ïðÿìó, ïåðïåíäèêóëÿðíó äî ïðÿìîї, ùî ìіñòèòü ïðîòèëåæíó ñòîðîíó (íàïðèêëàä, ÷å-ðåç âåðøèíó Ì ïðîâåäè ïðÿìó, ïåðïåíäèêóëÿðíó äî ïðÿ-ìîї, ùî ìіñòèòü ñòîðîíó NK). Âèêîíàé âіäïîâіäíі çàïèñè.

1476. Çàïèøè âñі öіëі ÷èñëà, ùî ìіñòÿòüñÿ íà êîîð äèíàòíіé ïðÿìіé ìіæ ÷èñëàìè: 1) –5,73 і 0,8; 2) –14,9 і –5,7.

1477. Ñïëàâ ìіñòèòü äâі ÷àñòèíè öèíêó і ï’ÿòü ÷àñ-òèí çàëіçà. Âèçíà÷ ìàñó ñïëàâó, ÿêùî çàëіçà â íüîìó íà 768 ã áіëüøå, íіæ öèíêó.

1478. Äîâåäè, ùî çі ñòà íàòóðàëüíèõ ÷èñåë âіä 1 äî 100 íå ìîæíà âèáðàòè ñіìäåñÿò îäíå ÷èñëî òàê, ùîá їõ ñóìà äîðіâíþâàëà ñóìі іíøèõ ÷èñåë.

52.52. Паралельні пряміÄâі ðіçíі ïðÿìі, ïîáóäîâàíі íà àðêóøі ïàïåðó àáî äîø-

öі, ìîæóòü ïåðåòèíàòèñÿ â îäíіé òî÷öі (ìàë. 104) àáî íå ïåðåòèíàòèñÿ (ìàë. 105). Àðêóø ïàïåðó, äîøêà äàþòü óÿâëåííÿ ïðî ïëîùèíó. Òàêîæ óÿâëåííÿ ïðî ïëîùèíó äà-þòü ïîâåðõíÿ ñòîëà, øèáêà òîùî.

Ìàë. 104 Ìàë. 105 Ìàë. 106

Äâі ïðÿìі, ÿêі ëåæàòü â îäíіé ïëîùèíі і íå ïåðå-òèíàþòüñÿ, íàçèâàþòü ïàðàëåëüíèìè (âіä ãðåöü-êîãî ñëîâà parallelos – òîé, ùî éäå ïîðó÷).

Íà ìàëþíêó 105 çîáðàæåíî ïàðàëåëüíі ïðÿìі à і b. Ïàðàëåëüíіñòü ïðÿìèõ ïîçíà÷àþòü çíàêîì ||. Çàïèñóþòü: à || b, ÷èòàþòü: «ïðÿìà à ïàðàëåëüíà ïðÿìіé b».

Óÿâëåííÿ ïðî ïàðàëåëüíі ïðÿìі äàє íàì, íàïðèêëàä, ïðÿìà äіëÿíêà çàëіçíè÷íèõ ðåéîê (ìàë. 106).


Ðîçäië 4

260

Ïðèêëàä. Äàíî ïðÿìó à і òî÷êó N, ÿêà íå íàëåæèòü ïðÿìіé à (ìàë. 107). Çà äîïîìîãîþ êîñèíöÿ і ëіíіéêè ïî-áóäóâàòè ïðÿìó, ÿêà ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó N і ïàðàëåëü-íà ïðÿìіé a.

Ðî çâ ’ÿ çàííÿ. 1) Îäíó ñòîðîíó ïðÿìîãî êóòà êîñèíöÿ ïðèêëàäàєìî äî ïðÿìîї à.

2) Äî äðóãîї ñòîðîíè ïðÿìîãî êóòà êîñèíöÿ ïðèêëàäàєìî ëіíіéêó.

3) Ïåðåñóâàєìî êîñèíåöü óçäîâæ ëіíіéêè äîòè, äîêè äðóãà ñòîðîíà ïðÿìîãî êóòà êîñèíöÿ íå ïðîéäå ÷å-ðåç òî÷êó N.

4) Óçäîâæ öієї ñòîðîíè ïðîâîäèìî ïðÿìó b. Ìàєìî a || b.Íàâåäåíà ïîáóäîâà ґðóíòóєòüñÿ íà òàêіé âëàñòèâîñòі:

ÿêùî äâі ïðÿìі íà ïëîùèíі ïåðïåíäèêóëÿðíі äî òðåòüîї ïðÿìîї, òî âîíè ïàðàëåëüíі (ìàë. 108).

Öþ âëàñòèâіñòü áóäå äîâåäåíî â ñòàðøèõ êëàñàõ.

Âіäðіçêè (àáî ïðîìåíі), ùî ëåæàòü íà ïàðàëåëü-íèõ ïðÿìèõ, íàçèâàþòü ïàðàëåëüíèìè âіäðіçêà-ìè (àáî ïðîìåíÿìè).

Ìàë. 108 Ìàë. 109 Ìàë. 110

Íà ìàëþíêó 109 çîáðàæåíî ïàðàëåëüíі âіäðіçêè ÀÂ і ÑD, à íà ìàëþíêó 110 — ïàðàëåëüíі ïðîìåíі MK і NP.

Ùî äàє íàì óÿâëåííÿ ïðî ïëîùèíó? ßêі ïðÿìі íàçèâàþòü ïàðàëåëüíèìè? Çà äîïîìîãîþ ÿêèõ іí-ñòðóìåíòіâ ìîæíà ïîáóäóâàòè ïàðàëåëüíі ïðÿìі? ×è ìîæóòü ïåðåòèíàòèñÿ äâі ïðÿìі, ïåðïåíäèêó-

ëÿðíі äî òðåòüîї ïðÿìîї? ßêі âіäðіçêè і ÿêі ïðîìåíі íàçèâàþòü ïàðàëåëüíèìè?

Ìàë. 107



261

1479. (Óñíî) Íàâåäè ïðèêëàäè ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ ç äîâêіëëÿ.

1480. Âèçíà÷ íà îêî ïàðè ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ íà ìàëþí-êó 111. Ïåðåâіð öå, êîðèñòóþ÷èñü êîñèíöåì і ëіíіéêîþ. Âèêîíàé âіäïîâіäíі çàïèñè.

1481. Íà ìàëþíêó 112 ABCD — ïðÿìîêóòíèê. Çàïèøè ïàðè ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ.

Ìàë. 111 Ìàë. 112

1482. Ïðîâåäè ïðÿìó à òà ïîçíà÷ òî÷êè Ì і N, ÿê ïî-êàçàíî íà ìàëþíêó 113. Çà äîïîìîãîþ êîñèíöÿ і ëіíіéêè ïîáóäóé ïðÿìі ÌÐ і NK, ïàðàëåëüíі ïðÿìіé à. Ïåðåêîíàé-ñÿ, ùî ÌÐ || NK.

Ìàë. 113 Ìàë. 114

1483. Ïðîâåäè ïðÿìó b òà ïîçíà÷ òî÷êè Ñ і D, ÿê ïîêàçàíî íà ìàëþíêó 114. Çà äîïîìîãîþ êîñèíöÿ і ëіíіéêè ïîáóäóé ïðÿìі ÑK і DÌ, ïàðàëåëüíі ïðÿìіé b. Ïåðåêîíàéñÿ, ùî ÑK || DÌ.

1484. Ïîáóäóé êóò ÀÎÂ, ãðàäóñíà ìіðà ÿêîãî äîðіâíþє 115. Ïîçíà÷ ó âíóòðіøíіé îáëàñòі êóòà òî÷êó D і ïðîâåäè ÷åðåç öþ òî÷êó ïðÿìі, ïàðàëåëüíі ïðîìåíÿì ÀÎ і ÂÎ.

1485. Ïîáóäóé êóò ÑÎD, ãðàäóñíà ìіðà ÿêîãî äîðіâíþє 70. Ïîçíà÷ ó âíóòðіøíіé îáëàñòі êóòà òî÷êó À і ïðîâåäè ÷åðåç öþ òî÷êó ïðÿìі, ïàðàëåëüíі ïðîìåíÿì ÑÎ і DÎ.

1486. Íàêðåñëè ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê ÀÂÑ. Ïðîâåäè ÷åðåç êîæíó ç éîãî âåðøèí ïðÿìó, ïàðàëåëüíó ïðÿìіé,


Ðîçäië 4

262

ùî ìіñòèòü ïðîòèëåæíó ñòîðîíó òðèêóòíèêà (íàïðèêëàä, ÷åðåç âåðøèíó À ñëіä ïðîâåñòè ïðÿìó, ïàðàëåëüíó ïðÿ-ìіé ÂÑ). Çðîáè âіäïîâіäíі çàïèñè.

1487. Íàêðåñëè ãîñòðîêóòíèé òðèêóòíèê MNK. Ïðîâåäè ÷åðåç êîæíó ç éîãî âåðøèí ïðÿìó, ïàðàëåëüíó ïðÿìіé, ùî ìіñòèòü ïðîòèëåæíó ñòîðîíó.

1488. Íàêðåñëè ÷îòèðèêóòíèê, ó ÿêîãî:1) äâі ñòîðîíè ïàðàëåëüíі, à äâі іíøі — íåïàðàëåëüíі;2) ïðîòèëåæíі ñòîðîíè ïîïàðíî ïàðàëåëüíі.

1489. Íà ìàëþíêó 115 çîáðàæåíî ïðÿìîêóòíèé ïàðàëåëåïіïåä. Çíàé äè ïî òðè ïàðè:

1) ïàðàëåëüíèõ ðåáåð;2) ðåáåð, ùî íå ïåðåòèíàþòüñÿ, àëå íå є ïàðàëåëüíèìè;3) ïåðïåíäèêóëÿðíèõ ðåáåð.

1490. Çàìіíè çіðî÷êó çíàêîì >, < àáî , ùîá óòâî-ðèëàñÿ ïðàâèëüíà íåðіâíіñòü àáî ðіâíіñòü:1) –12 + (–3) * –14; 2) –18 + 7 * –11; 3) –5 – 4 * 9; 4) 4 – (–5) * –9.


1) 7(6x – 5) 4(x – 3) – 11,6; 2) .

1492. Ó 2011 ðîöі âіê Ñåðãіÿ äîðіâíþâàâ ñóìі öèôð ðîêó éîãî íàðîäæåííÿ. Â ÿêîìó ðîöі íàðîäèâñÿ Ñåðãіé?

53.53. Координатна площина

Ðîçòàøóâàííÿ òî÷êè íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé âèçíà-÷àєòüñÿ ÷èñëîì, ÿêå íàçèâàþòü êîîðäèíàòîþ öієї òî÷êè. À ÿê âèçíà÷èòè ðîçòàøóâàííÿ òî÷êè íà ïëîùèíі?

Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàä.Ïðèêëàä 1. Ïåòðî êóïèâ êâèòîê ó êіíîòåàòð, íà ÿêîìó

íàïèñàíî: «Ðÿä 4, ìіñöå 7», à Ìàðіÿ: «Ðÿä 7, ìіñöå 4». Íà ìàëþíêó 116 ïîêàçàíî ìіñöÿ, íà ÿêèõ áóäóòü ñèäіòè äіòè

Ìàë. 115



263

ïіä ÷àñ êіíîñåàíñó. Ðîçòàøóâàííÿ ãëÿ äà÷à â çàëі êіíîòåàòðó ìîæíà çà-ïèñàòè òàê: äëÿ Ïåòðà (4; 7), à äëÿ Ìàðії (7; 4), äå â äóæêàõ ñïî÷àòêó çàïèñàíî íîìåð ðÿäó, à çà íèì — íî-ìåð ìіñöÿ â öüîìó ðÿäó.

Ðîçòàøóâàííÿ ãëÿäà÷à â çàëі êіíî-òåàòðó âèçíà÷àєòüñÿ äâîìà ÷èñëàìè. Òàê ñàìî äâîìà ÷èñëàìè âèçíà÷àєòüñÿ ðîçòàøóâàííÿ òî÷êè íà ïëîùèíі.

Ïðîâåäåìî äâі ïåðïåíäèêóëÿðíі êîîðäèíàòíі ïðÿìі, ÿêі ïåðåòèíàþòüñÿ â òî÷öі Î (ìàë. 117) — їõ ñïіëüíîìó ïî÷àòêó âіäëіêó. Öі ïðÿìі íàçèâàþòü îñÿìè êîîðäèíàò, òî÷êó Î — ïî÷àòêîì êîîðäèíàò. Ãîðèçîíòàëüíó âіñü íà-çèâàþòü âіññþ àáñöèñ і ïîçíà÷àþòü áóêâîþ õ; âåðòèêàëü-íó âіñü íàçèâàþòü âіññþ îðäèíàò і ïîçíà÷àþòü áóêâîþ ó. Âіñü àáñöèñ і âіñü îðäèíàò óòâîðþþòü ïðÿìîêóòíó ñèñ-òåìó êîîðäèíàò íà ïëîùèíі. Ïëîùèíó, íà ÿêіé çàäàíî ïðÿìîêóòíó ñèñòåìó êîîðäèíàò, íàçèâàþòü êîîðäèíàò-íîþ ïëîùèíîþ.

Ìàë. 117 Ìàë. 118

Ïðèêëàä 2. Íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі ïîçíà÷èìî òî÷-êó À (ìàë. 118). Ïðîâåäåìî ÷åðåç öþ òî÷êó ïðÿìó ÀN, ïåðïåíäèêóëÿðíó äî îñі àáñöèñ, і ïðÿìó ÀK, ïåðïåíäèêó-

Ìàë. 116


Ðîçäië 4

264

ëÿðíó äî îñі îðäèíàò. Òî÷êà N íàëåæèòü îñі àáñöèñ і ìàє êîîðäèíàòó –3, à òî÷êà K íàëåæèòü îñі îðäèíàò і ìàє êîîð-äèíàòó 4. ×èñëî –3 íàçèâàþòü àáñöèñîþ òî÷êè À, à ÷èñ-ëî 4 — îðäèíàòîþ òî÷êè À.

Àáñöèñó і îðäèíàòó ðàçîì íàçèâàþòü êîîðäèíàòàìè òî÷êè. Êîîðäèíàòè òî÷êè çàïèñóþòü ó äóæêàõ: À(–3; 4), ÷èòàþòü: «òî÷êà À ç êîîðäèíàòàìè –3 і 4».

Çàïèñóþ÷è êîîðäèíàòè òî÷êè, àáñöèñó çàâæäè ïè-øóòü íà ïåðøîìó ìіñöі, à îðäèíàòó — íà äðóãîìó.

Àíàëîãі÷íî çíàõîäèìî êîîðäèíàòè òî÷îê Â(3; 1) і Ñ(–2; –3).

Ïðèêëàä 3. ßêùî òî÷êà ëåæèòü íà îñі àáñöèñ, òî її îðäèíàòà äîðіâíþє íóëþ; ÿêùî òî÷êà ëåæèòü íà îñі îð-äèíàò, òî її àáñöèñà äîðіâíþє íóëþ. Íà ìàëþíêó 119 òî÷êè D, Ì, N, Ð, Î ìàþòü êîîðäèíàòè: D(0; 1), Ì(3; 0), N(0; –3), Ð(–4; 0), Î(0; 0).

Òåïåð ìîæíà äàòè âіäïîâіäü íà çà-ïèòàííÿ, ïîñòàâëåíå íà ïî÷àòêó ïà-ðàãðàôà: ùîá âèçíà÷èòè ðîçòàøó-âàííÿ áóäü-ÿêîї òî÷êè íà ïëîùèíі,

òðåáà çíàòè її êîîðäèíàòè. Êîæíіé òî÷öі íà êîîðäèíàò-íіé ïëîùèíі âіäïîâіäàє âïîðÿäêîâàíà ïàðà ÷èñåë — її àá-ñöèñà і îðäèíàòà. Íàâïàêè, êîæíіé âïîðÿäêîâàíіé ïàðі ÷èñåë âіäïîâіäàє îäíà òî÷êà ïëîùèíè, äëÿ ÿêîї öі ÷èñëà є êîîðäèíàòàìè.

Ïðèêëàä 4. Ïîáóäóєìî íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі òî÷êó L (3; –4) (ìàë. 120). Äëÿ öüîãî:

1) íà îñі àáñöèñ çíàéäåìî òî÷êó ç êîîðäèíàòîþ 3, ÷å-ðåç íåї ïðîâåäåìî ïðÿìó, ïåðïåíäèêóëÿðíó äî îñі àáñöèñ (îñі x);

2) íà îñі îðäèíàò çíàéäåìî òî÷êó ç êîîðäèíàòîþ –4, ÷å-ðåç íåї ïðîâåäåìî ïðÿìó, ïåðïåíäèêóëÿðíó äî îñі îðäèíàò (îñі ó);

3) òî÷êó ïåðåòèíó ïðîâåäåíèõ ïðÿìèõ ïîçíà÷èìî áóê-âîþ L, öÿ òî÷êà є øóêàíîþ, áî її àáñöèñà äîðіâíþє 3, à îðäèíàòà äîðіâíþє –4.

Òî÷êó L ìîæíà áóëî ïîáóäóâàòè іíàêøå: âіäðàõóâàâøè âіä òî÷êè Î ïðàâîðó÷ 3 îäèíèöі, à ïîòіì âіä îòðèìàíîї òî÷êè âíèç 4 îäèíèöі.

Ìàë. 119



265

Îñі êîîðäèíàò ðîçáèâàþòü ïëîùèíó íà ÷îòèðè ÷àñòèíè, ÿêі íàçèâàþòü êîîðäèíàòíèìè ÷âåðòÿìè, àáî êîîðäè-íàòíèìè êóòàìè. Íóìåðàöіþ ÷âåðòåé і çíàêè êîîðäèíàò ó ÷âåðòÿõ ïîêàçàíî íà ìàëþíêó 121.

Ìàë. 120 Ìàë. 121

À ùå ðàíіøå...À ùå ðàíіøå...Описану систему координат називають також декартовою

системою координат на честь французького філософа і мате-матика Рене Декарта (1596—1650), якому належить ідея вве-дення координат у математиці.

ßê íàçèâàþòü îñі êîîðäèíàò? ßê íàçèâàþòü òî÷-êó ïåðåòèíó îñåé êîîðäèíàò? ßê íàçèâàþòü ïàðó ÷èñåë, ùî âèçíà÷àє ïîëîæåííÿ òî÷êè íà ïëîùèíі? ßê çàïèñóþòü êîîðäèíàòè òî÷êè? ßê ïîäіëåíî

êîîðäèíàòíó ïëîùèíó íà ÷âåðòі?

1493. Íàçâè àáñöèñó і îðäèíàòó òî÷êè: À(–2; 3); Â(4; 0); Ñ(12; –5); D(0; 8).

1494. Äàíî òî÷êè: À(2; –3); Â(4; 2); Ñ(–3; 5); D(5; 4). Íà-çâè òî÷êó:1) àáñöèñà ÿêîї äîðіâíþє 4; 2) îðäèíàòà ÿêîї äîðіâíþє 5; 3) àáñöèñà ÿêîї äîðіâíþє 2; 4) îðäèíàòà ÿêîї äîðіâíþє 4.

1495. Äàíî òî÷êè: S(–5; 2); Ì(3; –4); Â(–4; –5); F(2; 3). Óêàæè òî÷êó:1) àáñöèñà ÿêîї äîðіâíþє –4; 2) îðäèíàòà ÿêîї äîðіâíþє 2; 3) àáñöèñà ÿêîї äîðіâíþє 3; 4) îðäèíàòà ÿêîї äîðіâíþє 3.


Ðîçäië 4

266

1496. Ó ÿêèõ êîîðäèíàòíèõ êóòàõ çíàõîäÿòüñÿ òî÷êè, ÿêі çîáðàæåíî íà ìàëþíêó 122?


Ìàë. 122 Ìàë. 123

1498. Çíàé äè êîîðäèíàòè òî÷îê, ÿêі çîáðàæåíî íà ìà-ëþíêó 124.

1499. Çíàé äè êîîðäèíàòè òî÷îê, ÿêі çîáðàæåíî íà ìàëþí-êó 125.

Ìàë. 124 Ìàë. 125

1500. Çàïèøè êîîðäèíàòè äâîõ òî÷îê, ÿêі:1) íàëåæàòü îñі àáñöèñ; 2) íàëåæàòü îñі îðäèíàò; 3) ìàþòü àáñöèñó –2; 4) ìàþòü îðäèíàòó 4.

1501. Çàïèøè êîîðäèíàòè òðüîõ òî÷îê, ÿêі:

1) ìàþòü àáñöèñó 7; 2) ìàþòü îðäèíàòó –3.



267

1502. Çà ìàëþíêîì 126 íàçâè:1) êîîðäèíàòè òî÷îê A, Â, Ñ, D, Ì, K;2) àáñöèñè òî÷îê A, K, D;3) îðäèíàòè òî÷îê B, Ñ, Ì;4) òî÷êó, îðäèíàòà ÿêîї äîðіâíþє íóëþ;5) òî÷êó, àáñöèñà ÿêîї äîðіâíþє íóëþ;6) òî÷êè, ùî ìàþòü îäíàêîâі îð-äèíàòè.

1503. Òóðèñòè ñêëàëè ìàðøðóò ïîõîäó (ìàë. 127), ñòàðòі ôіíіø ÿêîãî â òî÷öі Î, à çóïèíêè â òî÷êàõ À, Â, Ñ,N і Å. Äîâæèíі îäíієї êëіòèíêè âіäïîâіäàє 1 êì. Ïðîäîâ-æè çàïèñ, ùî îïèñóє ìàðøðóò: Î 2 êì íà ñõіä (òî÷-êà À) ... ... ... ... ... (òî÷êà Î).

Ìàë. 127 Ìàë. 128

1504. Çíàé äè êîîðäèíàòè òî÷îê À, Â, Ñ, D, Å, F, G íà ìà-ëþíêó 128.

1505. Çíàé äè êîîðäèíàòè òî÷îê À, Â, Ñ, D, Å, F, G, Í íà ìàëþíêó 129.

1506. (Óñíî) Íà ìàëþíêó 130 Ox і Oy — ïåðïåíäèêóëÿðíі øîñåéíі äîðîãè, øòðèõè — êіëîìåòðîâі ñòîâïè. Íà ÿêіé âіäñòàíі âіä øîñå Ox і âіä øîñå Oy ðîçòàøîâàíî áóäè-íîê, ÿêèé ïîçíà÷åíî òî÷êîþ A; òî÷êîþ B; òî÷êîþ C; òî÷-êîþ D?

1507. Ïîáóäóé ñèñòåìó êîîðäèíàò, âçÿâøè çà îäèíè÷íèé âіäðіçîê äîâæèíó îäíієї êëіòèíêè. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàò-

Ìàë. 126


Ðîçäië 4

268

íіé ïëîùèíі òî÷êè À(1; 4), Â(–2; 5), Ñ(–3; 3), D(5; –2), Å(0; 3), F(2; –3), Ì(–4; 0), N(–1; –4).

Ìàë. 129 Ìàë. 130

1508. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі òî÷êè: Ì(2; 5), N(–3; 4), K(2; –5), Ð(–1; –3), F(0; –5), Å(4; –3), Ò(–1; 0), D(1; 4).

1509. Ïîáóäóé òî÷êó M(–3; 4) і òî÷êó N, êîîðäèíàòàìè ÿêîї є ÷èñëà, ïðîòèëåæíі âіäïîâіäíèì êîîðäèíàòàì òî÷-êè Ì. Çíàé äè ñåðåäèíó âіäðіçêà MN.

1510. Ïîçíà÷ òî÷êó À(3; –2) òà òî÷êó B, êîîðäèíàòè ÿêîї äîðіâíþþòü ìîäóëÿì âіäïîâіäíèõ êîîðäèíàò òî÷êè À. Çíàé äè ñåðåäèíó âіäðіçêà AB.

1511. Íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі íàêðåñëè ÷îòèðèêóòíèê ABCD, ÿêùî A(2; –3), B(2; 4), C(–2; 4), D(–2; –3). ßê íà-çèâàþòü òàêèé ÷îòèðèêóòíèê?

1512. Íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі íàêðåñëè ÷îòèðèêóòíèê KLMN, ÿêùî: K(–2; –4), L(–2; 1), M(3; 1), N(3; –4). ßê íàçèâàþòü òàêèé ÷îòèðèêóòíèê?

1513. Íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі ïîáóäóé ÷îòèðè òî÷êè, àáñöèñè ÿêèõ äîðіâíþþòü –2. ×è ëåæàòü öі òî÷êè íà îäíіé ïðÿìіé?

1514. Íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі ïîáóäóé ÷îòèðè òî÷êè, îðäèíàòè ÿêèõ äîðіâíþþòü 3. ×è ëåæàòü öі ò î÷êè íà îä-íіé ïðÿìіé?

1515. Ó ÿêіé ÷âåðòі ðîçòàøîâóþòüñÿ òî÷êè: À(–2; 5),

Â(0,7; 0,8), Ñ , D(9,8; –17,3)?



269

1516. Ó ÿêіé ÷âåðòі ðîçòàøîâóþòüñÿ òî÷êè: À(–2; –7),

Â(17; –20), Ñ(–0,2; 0,03), D ?

1517. (Óñíî) Ó ÿêіé ÷âåðòі ëåæèòü òî÷êà M(x; y), ÿêùî:1) õ > 0, ó < 0; 2) õ > 0, ó > 0; 3) õ < 0, ó > 0; 4) x < 0, y < 0?

1518. Íà ìàëþíêó 131 òî÷êè êîîðäèíàòíîї ïëîùèíè íà-çâàíî áóêâàìè óêðàїíñüêîї àáåòêè. Çàìіíè êîîðäèíàòè òî÷îê âіäïîâіäíèìè áóêâàìè і ïðî÷èòàé ïðіçâèùà óêðàїí-ñüêèõ ïîåòіâ:

1) (2; 4), (–4; 2), (–2; –4), (2; 4);2) (4; –2), (–6; 0), (4; 2), (6; 0);3) (–4; 2), (0; 6), (6; 0), (0; 6), (–4; –2), (4; 2);4) (–2; 4), (2; –4), (2; 4), (–4; 2), (0; –6), (–4; –2), (–2; 4), (2; –4).

Ìàë. 131 Ìàë. 132

1519. Íà ìàëþíêó 132 òî÷êè êîîðäèíàòíîї ïëîùèíè íàçâàíî áóêâàìè óêðàїíñüêîї àáåòêè. Çàìіíè êîîðäèíàòè òî÷îê âіäïîâіäíèìè áóêâàìè òà ïðî÷èòàé íàçâè ìіñò Óêðà-їíè:

1) (1; 3), (2; –2), (4; 1), (1; –3); 2) (0; 5), (–2; 2), (1; –3), (–4; –1), (1; –3);3) (–4; 1), (2; 2), (–1; –3), (0; –5), (4; –1), (–2; 2), (1; 3);4) (2; 2), (–4; 1), (0; –5), (–1; 3), (–2; –2).


Ðîçäië 4

270

1520. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі òî÷êè Å(6; 6), Ì(–2; 2), N(4; 1), Ð(–2; 4). Ïðîâåäè ïðÿìі EM і NP. Çíàé-äè êîîðäèíàòè òî÷îê ïåðåòèíó:

1) ïðÿìèõ EM і NP; 2) ïðÿìîї EM ç âіññþ àáñöèñ; 3) ïðÿìîї NP ç âіññþ îðäèíàò.

1521. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі òî÷êè À(–8; 1), Â(2; –6), Ñ(4; 7), D(–8; 9). Ïðîâåäè ïðÿìі ÀÑ і ÂD. Çíàé äè êîîðäèíàòè òî÷êè ïåðåòèíó:

1) ïðÿìèõ ÀÑ і ÂD; 2) ïðÿìîї ÀÑ ç âіññþ àáñöèñ; 3) ïðÿìîї ÂD ç âіññþ îðäèíàò.

1522. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі òî÷êè Ì(5; –3), N(4; 2) і K(–1; 2). Ïðîâåäè ïðîìåíі ÌN і ÌK. Çíàé äè ìіðó êóòà NÌK çà äîïîìîãîþ òðàíñïîðòèðà.

1523. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі òî÷êè Ì(0; 6), N(12; 2) і K(–8; –2). Ïðîâåäè ïðîìåíі ÌN і MK. Çíàé äè ìіðó êóòà KMN çà äîïîìîãîþ òðàíñïîðòèðà.

1524. 1) ßê íàçèâàþòü ÷îòèðèêóòíèê, ÿêèé çîáðàæåíî íà ìàëþíêó 133?

2) Çíàé äè êîîðäèíàòè âåðøèí ÷îòèðèêóòíèêà KLMN.3) Çíàé äè ïëîùó і ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà KLMN.

Ìàë. 133 Ìàë. 134

1525. 1) ßê íàçèâàþòü ÷îòèðèêóòíèê, ÿêèé çîáðàæåíî íà ìàëþíêó 134?

2) Çíàé äè êîîðäèíàòè âåðøèí ÷îòèðèêóòíèêà ABCD.3) Çíàé äè ïëîùó і ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà ABCD.

1526. Íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі ïðîâåäè ïðÿìó, ùî ïðî-õîäèòü ÷åðåç òî÷êè A(5; 4) і Â(–1; 1). Ïîçíà÷ íà öіé ïðÿ-ìіé:



271

1) òî÷êó, àáñöèñà ÿêîї äîðіâíþє 1; 2) òî÷êó, îðäèíàòà ÿêîї äîðіâíþє 0.Çàïèøè êîîðäèíàòè îòðèìàíèõ òî÷îê.

1527. Íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі ïðîâåäè ïðÿìó, ùî ïðîõî-äèòü ÷åðåç òî÷êè C(2; 6) і D(–2; –2). Ïîçíà÷ íà öіé ïðÿìіé:

1) òî÷êó, àáñöèñà ÿêîї äîðіâíþє 0; 2) òî÷êó, îðäèíàòà ÿêîї äîðіâíþє 4.Çàïèøè êîîðäèíàòè öèõ òî÷îê.

1528. Äàíî êîîðäèíàòè òðüîõ âåðøèí ïðÿìîêóòíèêà ABCD: A(–4; 1), Â(2; 1), Ñ(2; –3).

1) Íàêðåñëè öåé ïðÿìîêóòíèê.2) Çíàé äè êîîðäèíàòè òî÷êè D.3) Çíàé äè êîîðäèíàòè òî÷êè ïåðåòèíó âіäðіçêіâ AC і BD (äіàãîíàëåé ïðÿìîêóòíèêà).4) Çíàé äè ïëîùó і ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà.

1529. Äàíî êîîðäèíàòè äâîõ âåðøèí êâàäðàòà ABCD: A(–1; 2) і B(4; 2).

1) Íàêðåñëè êâàäðàò ABCD (äâà âèïàäêè).2) Çíàé äè êîîðäèíàòè òî÷îê C і D.3) Çíàé äè ïëîùó і ïåðèìåòð êâàäðàòà.

1530. Ïîáóäóé êîëî іç öåíòðîì ó òî÷öі O(2; –1), ÿêå ïðî-õîäèòü ÷åðåç òî÷êó A(1; 2). ×è íàëåæàòü êîëó òî÷êè B(–1; 0), Ñ(–2; –1), D(1; –4), E(4; –2)?

1531. Ìàëþєìî çà êîîðäèíàòàìè. Íàêðåñëè íà êîîð-äèíàòíіé ïëîùèíі çàìêíåíó ëàìàíó, ïîñëіäîâíèìè âåðøè-íàìè ÿêîї є òî÷êè ç êîîðäèíàòàìè: (1; 7), (0; 10), (–1; 11), (–2; 10), (0; 7), (–2; 5), (–7; 3), (–8; 0), (–9; 1), (–9; 0), (–7; –2), (–2; –2), (–3; –1), (–4; –1), (–1; 3), (0; –2), (1; –2), (0; 0), (0; 3), (1; 4), (2; 4), (3; 5), (2; 6), (1; 9), (0; 10) òà òî÷êó (1; 6). ßêó òâàðèíó íàìàëüîâàíî?

1532. Ìàëþєìî çà êîîðäèíàòàìè. Íàêðåñëè íà êîîðäè-íàòíіé ïëîùèíі äâі çàìêíåíі ëàìàíі, ïîñëіäîâíèìè âåð-øèíàìè ÿêèõ є òî÷êè ç êîîðäèíàòàìè: (4; –1), (7; –2), (–2; –3), (–10; 4), (–3; 2), (1; 5), (8; 3), (7; –2) і (–10; 4), (–12; 6), (–9; 9), (–12; 8), (–15; 9), (–12; 6). Ïîçíà÷ òî÷êó (4; 2). ßêà òâàðèíà òîáі ïîñìіõàєòüñÿ?

1533. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі âñі òî÷êè, ó ÿêèõ àáñöèñà і îðäèíàòà — íåâіä’єìíі ÷èñëà, à їõ ñóìà äîðіâ-íþє 5. ßêó ôіãóðó óòâîðÿòü öі òî÷êè?


Ðîçäië 4

272

1534. Çîáðàçè íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі ìíîæèíó òî÷îê (x; y) òàêèõ, ùî:

1) –1 J x J 3, ó — äîâіëüíå; 2) x I 0, y J 0;

3) x 0, y I 0; 4) J 1, J 2.

1535. Âèêîðèñòîâóþ÷è òàáëèöþ ñóìè î÷îê, ùî âè-ïàëè íà ãðàíÿõ äâîõ ãðàëüíèõ êóáèêіâ ïðè їõ îäíî÷àñ-íîìó ïіäêèäàííі (äèâ. çàäà÷ó № 658), çíàéäè éìîâіð-íіñòü òàêîї ïîäії:1) A — ñóìà î÷îê íà ãðàíÿõ êóáèêà äîðіâíþє 3;2) B — ñóìà î÷îê íà ãðàíÿõ êóáèêà áіëüøà çà 10;3) C — ñóìà î÷îê íà ãðàíÿõ êóáèêà є íàéìåíøîþ ç óñіõ ìîæëèâèõ.

1536. Ñïðîñòè âèðàç (2x – y) + (y – 3x) – (2y – 4x)

òà çíàéäè éîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî x , y .

1537. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó 2(3õ – 5ó) – 5(2õ –– 4ó), ÿêùî 5y – 2x –17.

1538. Ó øåñòè êîðîáêàõ ëåæàòü êóëüêè: ó ïåðøіé – 1, â äðóãіé – 2, ó òðåòіé – 3, ó ÷åòâåðòіé – 4, ó ï’ÿòіé – 5, ó øîñòіé – 6. Çà îäèí õіä äîçâîëÿєòüñÿ â áóäü-ÿêі äâі êî-ðîáêè äîäàòè ïî îäíіé êóëüöі. ×è ìîæíà çà êіëüêà õîäіâ çðіâíÿòè êіëüêіñòü êóëüîê ó âñіõ êîðîáêàõ?

54.54. Приклади графіків залежностей між величинами

Íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі ìîæíà áóäóâàòè ãðàôіêè çà-ëåæíîñòåé ìіæ ðіçíèìè âåëè÷èíàìè.

Ïðèêëàä 1. Ìåòåîðîëîãè ïðîòÿãîì äîáè âèìіðþâàëè òåìïåðàòóðó ïîâіò ðÿ ÷åðåç êîæíі äâі ãîäèíè. Çà ðåçóëüòà-òàìè âèìіðþâàíü áóëî ñêëàäåíî òàáëèöþ:

t, ãîä 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

T, Ñ 4 2 0 –3 –4 –1 2 5 7 5 4 3 1

Öÿ òàáëèöÿ õàðàêòåðèçóє çàëåæíіñòü òåìïåðàòóðè ïî-âіòðÿ âіä ÷àñó. Òàêó çàëåæíіñòü ìîæíà çîáðàçèòè ãðàôі÷-íî. Äëÿ öüîãî ïîáóäóєìî ïðÿìîêóòíó ñèñòåìó êîîðäèíàò (ìàë. 135). Íà îñі àáñöèñ áóäåìî âіäêëàäàòè çíà÷åííÿ



273

Ìàë. 135

Ìàë. 136

÷àñó (t, ãîä) òàê, ùî îäíіé êëіòèíöі âіäïîâіäàòèìå îäíà ãîäèíà, à íà îñі îðäèíàò âіäêëàäàòèìåìî çíà÷åííÿ òåìïå-ðàòóðè (Ò, Ñ) òàê, ùî îäíіé êëіòèíöі âіäïîâіäàòèìå îäèí ãðàäóñ. Äàëі íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі ïîáóäóєìî âñі òî÷-êè, êîîðäèíàòàìè ÿêèõ є âіäïîâіäíі ÷èñëà ç òàáëèöі, — âñüîãî 13 òî÷îê: (0; 4), (2; 2), ..., (24; 1). Àáñöèñà êîæíîї òî÷êè — çíà÷åííÿ ÷àñó, à îðäèíàòà — çíà÷åííÿ òåìïå-ðàòóðè ïîâіòðÿ â öåé ÷àñ. ßêáè ìåòåîðîëîãè âèìіðþâàëè òåìïåðàòóðó ÷àñòіøå (íàïðèêëàä, ÷åðåç êîæíó ãîäèíó ÷è


Ðîçäië 4

274

êîæíі 30 õâ), òî îäåðæàëè á çíà÷íî áіëüøå òî÷îê, ÿêі á ëåæàëè ùіëüíіøå îäíà äî îäíîї íà êîîðäèíàòíіé ïëîùè-íі. ßêùî ïðèïóñòèòè, ùî ðіçêèõ ñòðèáêіâ òåìïåðàòóðè íå áóëî і ñïîëó÷èòè çíàéäåíі òî÷êè ïëàâíîþ ëі íієþ, òî îäåð-æèìî ãðàôіê çàëåæíîñòі òåìïåðàòóðè ïîâіòðÿ âіä ÷àñó (ìàë. 136).

Ïîáóäîâàíèé ãðàôіê íàî÷íî îïèñóє çìіíó òåìïåðàòóðè ïðîòÿãîì äîáè. Çà äîïîìîãîþ ãðàôіêà ìîæíà äàòè âіäïî-âіäі íà áàãàòî çàïèòàíü.

Ïðèêëàä 2. Êîðèñòóþ÷èñü ãðàôіêîì, ïîáóäîâàíèì ó ïðèêëàäі 1, çíàéòè:

1) ÿêîþ áóëà òåìïåðàòóðà îá 11 ãîä;2) î êîòðіé ãîäèíі òåìïåðàòóðà ñòàíîâèëà 3 Ñ.Ðîçâ ’ÿ çàííÿ. 1) Íà îñі àáñöèñ, äå âіäêëàäåíî ÷àñ t,

çíàéäåìî ÷èñëî 11. Áóäóєìî ïðÿìó, ïåðïåíäèêóëÿðíó äî îñі àáñöèñ, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó (11; 0). Öÿ ïðÿìà ïåðåòèíàє ãðàôіê ó òî÷öі A. Çíàéäåìî îðäèíàòó òî÷êè A. Âîíà äîðіâíþє 1. Îòæå, îá 11 ãîä òåìïåðàòóðà áóëà 1 Ñ.

2) Íà îñі îðäèíàò, äå âіäêëàäåíî çíà÷åííÿ òåìïåðà-òóðè T, çíàéäåìî ÷èñëî 3. Áóäóєìî ïðÿìó, ïåðïåíäèêó-ëÿðíó äî îñі îðäèíàò, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó (0; 3). Öÿ ïðÿìà ïåðåòèíàє ãðàôіê ó òðüîõ òî÷êàõ: B, C і D. Çíàéäå-ìî àáñöèñè öèõ òî÷îê: 1, 13, 22 âіäïîâіäíî. Îòæå, òåìïå-ðàòóðà 3 Ñ áóëà áëèçüêî 1 ãîä, áëèçüêî 13 ãîä і áëèçüêî 22 ãîä.

Ïðèêëàä 3. Ìîòîöèêëіñò ðóõàâñÿ çі øâèäêіñòþ 40 êì/ãîä. Âіí ïîðàõóâàâ çàëåæíіñòü âіäñòàíі (s, êì) âіä ÷àñó (t, ãîä) é îäåðæàâ òàáëèöþ:

t, ãîä 0 1 2 3 4 5

s, êì 0 40 80 120 160 200

Ïîáóäóєìî ãðàôіê öüîãî ðóõó. Íà îñі àáñöèñ âіäêëàäà-єìî çíà÷åííÿ ÷àñó (t, ãîä) òàê, ùî îäíіé ãîäèíі âіäïîâіäàє äâі êëіòèíêè, à íà îñі îðäèíàò âіäêëàäàєìî çíà÷åííÿ âіä-ñòàíі (s, êì) òàê, ùî îäíіé êëіòèíöі âіäïîâіäàє âіäñòàíü 20 êì. Ïîáóäóєìî òî÷êè (0; 0), (1; 40), (2; 80), (3; 120), (4; 160) і (5; 200). Ïðèêëàâøè ëіíіéêó äî ïîáóäîâàíèõ òî÷îê, áà÷èìî, ùî âîíè ëåæàòü íà îäíіé ïðÿìіé. Ñïîëó-



275

÷èâøè òî÷êè âіäðіçêàìè, îäåðæè ìî ãðàôіê çàëåæíîñòі âіäñòàíі âіä ÷àñó ïðè ñòàëіé øâèäêîñòі (ìàë. 137).

Öþ çàëåæíіñòü âіäñòàíі s (ó êì) âіä ÷àñó t (ó ãîä) ìîæíà çàäàòè ôîðìóëîþ s 40t.

ßê і â ïîïåðåäíüîìó ïðèêëàäі, êîðèñòóþ÷èñü ãðàôіêîì, ìè ìîæå-ìî ðîçâ’ÿçàòè çàäà÷і äâîõ òèïіâ: çíàþ÷è ÷àñ, çíàéòè âіäñòàíü, ÿêó ïîäîëàëè çà öåé ÷àñ, і, íàâïàêè, çíàéòè ÷àñ, çà ÿêèé ïîäîëàëè äåÿ-êó âіäñòàíü.

Ðîçãëÿíü ïðèêëàä 1 і ïîÿñíè, ÿê ïîáóäóâàòè ãðà-ôіê çàëåæíîñòі òåìïåðàòóðè âіä ÷àñó. Ùî ìîæ-íà çíàé òè, âèêîðèñòîâóþ÷è ãðàôіê ç ïðèêëàäó 1? Ðîçãëÿíü ïðèêëàä 3 і ïîÿñíè, ÿê ïîáóäóâàòè ãðà-

ôіê çàëåæíîñòі âіäñòàíі âіä ÷àñó.

1539. Ïîáóäóé ãðàôіê çàëåæíîñòі òåìïåðàòóðè ïîâіòðÿ (T, Ñ) âіä ÷àñó (t, ãîä) çà äàíèìè òàêîї òàáëèöі:

t, ãîä 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

T, Ñ 3 1 1 –1 –2 –4 –3 –2 0 1 3 3 4

1540. Ïîáóäóé ãðàôіê çàëåæíîñòі òåìïåðàòóðè ïîâіòðÿ (T, Ñ) âіä ÷àñó (t, ãîä) çà äàíèìè òàêîї òàáëèöі:

t, ãîä 0 1 2 3 4 5 6 7 8

T, Ñ 2 1 –1 –2 –4 –5 –3 –1 1

1541. Ìàéñòåð çà îäíó ãîäèíó âèãîòîâëÿє 10 äåòàëåé. Çà-ïîâíè â çîøèòі òàáëèöþ çàëåæíîñòі êіëüêîñòі âèãîòîâëå-íèõ äåòàëåé n âіä òðèâàëîñòі ðîáîòè t:

t, ãîä 1 2 3 4 5 6 7 8

n, äåò.

1542. Ðó÷êà êîøòóє 2 ãðí. Çàïîâíè â çîøèòі òàáëèöþ çà-ëåæíîñòі ìіæ êіëüêіñòþ n ïðèäáàíèõ ðó÷îê і їõ âàðòіñòþ Ñ.

n, øò. 1 2 3 4 5

Ñ, ãðí

Ìàë. 137


Ðîçäië 4

276

1543. Íà ìàëþíêó 138 çîáðàæåíî ãðàôіê çàëåæíîñòі òåì-ïåðàòóðè ïîâіòðÿ (Ò, Ñ) âіä ÷àñó (t, ãîä) ïðîòÿãîì äîáè. Êîðèñòóþ÷èñü ãðàôіêîì, çíàéäè: 1) ÿêîþ áóëà òåìïåðàòó-ðà ïîâіòðÿ î 2 ãîä; î 6 ãîä; î 10 ãîä; î 14 ãîä;

Ìàë. 138

2) î êîòðіé ãîäèíі òåìïåðàòóðà ïîâіòðÿ áóëà –5 Ñ; –2 Ñ; 1 Ñ.

1544. Êîðèñòóþ÷èñü ãðàôіêîì çàëåæíîñòі òåìïåðàòóðè ïî-âіòðÿ (T, Ñ) âіä ÷àñó (t, ãîä) çà ìàëþíêîì 139, çíàéäè:

1) ÿêîþ áóëà òåìïåðàòóðà ïîâіòðÿ î 4 ãîä; î 8 ãîä; î 16 ãîä;2) î êî òðіé ãîäèíі òåìïåðàòóðà ïîâіòðÿ áóëà –4 Ñ; –1 Ñ; 5 Ñ.

1545. Íà ìàëþíêó 139 çîáðàæåíî ãðàôіê çàëåæíîñòі âіäñòàíі s (ó êì), ÿêó ïðîїõàâ àâòîìîáіëü, âіä ÷àñó ðóõó t (ó ãîä):

1) ÿêó âіäñòàíü s ïðîїõàâ àâòî-ìîáіëü, ÿêùî t 1 ãîä; 3 ãîä; 4 ãîä; 2) çà ÿêèé ÷àñ t àâòîìîáіëü ïðî-їõàâ âіäñòàíü s, ÿêùî s 100 êì; 200 êì; 3) ÿêó âіäñòàíü çàãàëîì ïîäîëàâ àâòîìîáіëü і çà ÿêèé ÷àñ?

1546. Íà ìàëþíêó 140 çîáðàæåíî ãðàôіê çàëåæíîñòі âіä-ñòàíі s (ó êì), ÿêó ïðîїõàâ âåëîñèïåäèñò, âіä ÷àñó t (ó ãîä):

1) ÿêîþ áóëà âіäñòàíü s, êîëè t 1 ãîä; 3 ãîä;

Ìàë. 139



277

2) çà ÿêèé ÷àñ t âåëîñèïåäèñò ïðîїõàâ âіäñòàíü s, ÿêùî s 30 êì; s 60 êì;3) ÿêó âіäñòàíü çàãàëîì ïîäîëàâ âåëîñèïåäèñò і çà ÿêèé ÷àñ?

1547. (Óñíî) Çà ãðàôіêîì (ìàë. 138) äàé âіäïîâіäі íà çàïè-òàííÿ:

1) î êîòðіé ãîäèíі òåìïåðàòóðà áóëà íàéíèæ÷îþ, ÿêîþ ñàìå;2) î êîòðіé ãîäèíі òåìïåðàòóðà áóëà íàéâèùîþ, ÿêîþ ñàìå;3) ïðîòÿãîì ÿêîãî ÷àñó òåìïå-ðàòóðà ïîâіòðÿ áóëà íèæ÷îþ âіä íóëÿ, âèùîþ çà íóëü;4) íà ñêіëüêè ãðàäóñіâ çìіíèëà-ñÿ òåìïåðàòóðà â ïðîìіæêó ÷àñó âіä 4 ãîä äî 10 ãîä; âіä 16 ãîä äî 22 ãîä;5) ïðîòÿãîì ÿêîãî ÷àñó òåìïå-ðàòóðà çíèæóâàëàñü, ïðîòÿãîì ÿêîãî ïіäâèùóâàëàñü?

1548. Ïіøîõіä ïðîõîäèòü îäíó é òó ñàìó âіäñòàíü ó 12 êì ç ðіçíèìè øâèäêîñòÿìè.

1) Ñêëàäè â çîøèòі òàáëèöþ çàëåæíîñòі âèòðà÷åíîãî ÷àñó t (ó ãîä) âіä øâèäêîñòі ðóõó v (ó êì/ãîä):

v, êì/ãîä 2 3 4 5 6

t, ãîä

2) Ïîáóäóé ãðàôіê çàëåæíîñòі ÷àñó t âіä øâèäêîñòі ðóõó v.

1549. Îïåðàòîð êîìï’þòåðíîãî íàáîðó ïîâèíåí íàáðàòè ðóêîïèñ îáñÿãîì 30 ñòîðіíîê.

1) Ñêëàäè â çîøèòі òàáëèöþ çàëåæíîñòі âèòðà÷åíîãî ÷àñó t (ó ãîä) âіä ïðîäóêòèâíîñòі ïðàöі N (ó ñòîð./ãîä):

N, còîð./ãîä 2 3 4 5 6

t, ãîä

2) Ïîáóäóé ãðàôіê çàëåæíîñòі ÷àñó t âіä ïðîäóêòèâíîñ-òі ïðàöі N.

Ìàë. 140


Ðîçäië 4

278

1550. Íà ìàëþíêó 141 çîáðàæåíî ãðàôіê ðóõó òóðèñòà. Íà îñі àáñöèñ âіäêëàäåíî ÷àñ t (ó ãîä), à íà îñі îðäèíàò — âіä-ñòàíü òóðèñòà âіä òàáîðó s (ó êì). Çíàé äè:

1) íà ÿêіé âіäñòàíі âіä òàáîðó òóðèñò áóâ ÷åðåç 3 ãîä ïіñëÿ âèõîäó ç íüîãî; ÷åðåç 5 ãîä; ÷åðåç 8 ãîä;2) ñêіëüêè ÷àñó âèòðàòèâ òóðèñò íà çóïèíêó;3) ÷åðåç ñêіëüêè ãîäèí ïіñëÿ âèõîäó ç òàáîðó òóðèñò áóâ çà 6 êì âіä òàáîðó; çà 9 êì âіä òàáîðó.

Ìàë. 141 Ìàë. 142

1551. Íà ìàëþíêó 142 çîáðàæåíî ãðàôіê ðóõó òóðèñòà. Íà îñі àáñöèñ âіäêëàäåíî ÷àñ t (ó ãîä), à íà îñі îðäèíàò — âіä-ñòàíü s (ó êì), íà ÿêіé ïåðåáóâàє òóðèñò âіä ñâîãî áóäèí-êó. Çíàé äè:

1) íà ÿêіé âіäñòàíі âіä áóäèíêó òóðèñò áóâ ÷åðåç 2 ãîä ïіñëÿ âè õîäó ç íüîãî; ÷åðåç 4 ãîä; ÷åðåç 8 ãîä;2) ñêіëüêè ÷àñó òóðèñò âèòðàòèâ íà çóïèíêó;3) ÷åðåç ñêіëüêè ãîäèí ïіñëÿ âèõîäó ç áóäèíêó òóðèñò áóâ çà 4 êì âіä íüîãî; çà 8 êì âіä íüîãî.

1552. Íà ìàëþíêó 143 çîáðàæåíî äâà ãðàôіêè çàëåæ-íîñòåé òåìïåðàòóðè ïîâіòðÿ (T, Ñ) âіä ÷àñó (t, ãîä) ó äâîõ ìіñòàõ: Êèєâі (ñèíіì êîëüîðîì) і Ëüâîâі (÷åðâîíèì êî-ëüîðîì) â îäèí і òîé ñàìèé äåíü. Êîðèñòóþ÷èñü ãðàôіêîì, âèçíà÷:

1) ÿêó òåìïåðàòóðó ïîêàçàâ òåðìîìåòð ó êîæíîìó ç ìіñò î 2 ãîä; î 4 ãîä; î 12 ãîä; î 22 ãîä;2) î êîòðіé ãîäèíі â êîæíîìó ç öèõ ìіñò òåðìîìåòð ïî-êàçóâàâ 0 Ñ; 2 Ñ;3) ó ÿêèé ïåðіîä ÷àñó òåìïåðàòóðà ïîâіòðÿ â êîæíîìó ç öèõ ìіñò áóëà íèæ÷îþ âіä íóëÿ; âèùîþ çà íóëü;



279

4) î êîòðіé ãîäèíі òåìïåðàòóðà ïîâіòðÿ â êîæíîìó ç öèõ ìіñò áóëà îäíàêîâîþ; ÿêîþ ñàìå;

Ìàë. 143

5) ó ÿêèé ïåðіîä ÷àñó òåìïåðàòóðà ïîâіòðÿ â Êèєâі áóëà âèùîþ, íіæ ó Ëüâîâі; ó Ëüâîâі áóëà âèùîþ, íіæ ó Êèєâі;6) ÿêîþ â êîæíîìó ç öèõ ìіñò áóëà íàéíèæ÷à òåìïåðà-òóðà; íàéâèùà;7) ÿêó òåìïåðàòóðó ïîâіòðÿ ïîêàçóâàâ òåðìîìåòð ó Ëüâî-âі, êîëè â Êèєâі áóëî –2 Ñ.

1553. Ó áàêó 3500 ë âîäè. Ùîãîäèíè ç áàêà âèëèâàєòüñÿ 500 ë âîäè.

1) Ñêëàäè â çîøèòі òàáëèöþ çàëåæíîñòі îá’єìó âîäè p (ó ë), ùî çàëèøàєòüñÿ ó áàêó, âіä ÷àñó t (ó ãîä):

t, ãîä 0 1 2 3 4 5 6 7

p, ë 3500

2) Ïîáóäóé ãðàôіê çàëåæíîñòі îá’єìó âîäè p âіä ÷àñó t.

1554. Ó áàêó 30 ë âîäè. Ùîõâèëèíè ç áàêà âèëèâàєòüñÿ 5 ë.1) Ñêëàäè â çîøèòі òàáëèöþ çàëåæíîñòі îá’єìó âîäè p (ó ë), ùî çàëèøàєòüñÿ ó áàêó, âіä ÷àñó t (ó õâ):

t, õâ 0 1 2 3 4 5 6

p, ë 30



Ðîçäië 4

280


1) ; 2) 56 : 63 x : 9.

1556. Íàêðåñëè ÷îòèðèêóòíèê ABCD òàê, ùî: 1) AB BC і AB || CD; 2) AB BC, AB || CD, AD || BC.

1557. Çíàé äè ñóìó, äîäàíêàìè ÿêîї є ÷èñëà: îáåð-íåíå і ïðîòèëåæíå ÷èñëó 8,25.

1558. ×è ìîæíà ç ïðÿìîêóòíèõ ïàðà-ëåëåïіïåäіâ 112 ñêëàñòè êóá 333 áåç îäíîãî êóáèêà íà ðåáðі (ìàë. 144)?


1. Îá÷èñëè:1) –2,7 + 1,2; 2) 4 – 8; 3) 13 (–8); 4) –42 : (–2).

2. Ó ÿêîìó ç âèïàäêіâ íà ìàëþíêó 148 çîáðàæåíî ïåð-ïåíäèêóëÿðíі ïðÿìі, à â ÿêîìó — ïàðàëåëüíі ïðÿìі? Âè-êîíàé âіäïîâіäíі çàïèñè.

Ìàë. 148


4. Ïîáóäóé ïðÿìó BC, ïîçíà÷ òî÷êó N, ùî їé íå íàëå-æèòü. Çà äîïîìîãîþ êîñèíöÿ і ëіíіéêè ïîáóäóé ïðÿìó NL, ïåðïåíäèêóëÿðíó äî ïðÿìîї BC, òà ïðÿìó NK, ïàðàëåëüíó ïðÿìіé BC.

5. Çíàé äè êîîðäèíàòè òî÷îê, ÿêі çîáðàæåíî íà ìàëþí-êó 150.

Ìàë. 144


Äëÿ òèõ, õòî ëþáèòü ìàòåìàòèêó

281

Ìàë. 149 Ìàë. 150

6. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі òî÷êè: M(–2; 1), N(0; –3), K(4; –5), P(–3; –4).

7. Çíàé äè çíà÷åííÿ âèðàçó (–2,42 – (–5,57)) : (–0,7) + (–8) (–0,6).

8. Ó ðåçåðâóàðі 4 ì3 âîäè. Ùîõâèëèíè ç íüîãî âèëèâà-єòüñÿ 0,5 ì3.

1) Ñêëàäè òàáëèöþ çàëåæíîñòі îá’єìó âîäè p (ó ì3), ùî çàëèøàєòüñÿ â ðåçåðâóàðі, âіä ÷àñó t (ó õâ):

t, õâ 0 1 2 3 4 5 6 7 8

p, ì3 4



9. Çíàé äè 16 % âіä çíà÷åííÿ âèðàçó:

.

10. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі òî÷êè (x; y) òàêі, ùî:

1) 0 J y J 2, x — äîâіëüíå ÷èñëî; 2) x J 0, y I 0.

ÄËß ÒÈÕ, ÕÒÎ ËÞÁÈÒÜ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÓ

1559. ßêó êîîðäèíàòó ìàє òî÷êà Ì êîîðäèíàòíîї ïðÿìîї, ðіâíîâіääàëåíà âіä òî÷îê A(–2014) і B(2024)?

1560. ßêîþ öèôðîþ çàêіí÷óєòüñÿ çíà÷åííÿ âèðàçó: 41 42 43 45 – 52 53 54 57?


282

1561. 1) Íàòóðàëüíå ÷èñëî x êðàòíå ÷èñëó 2 і êðàòíå ÷èñëó 5. ×è ìîæíà ñòâåðäæóâàòè, ùî ÷èñëî x êðàòíå ÷èñëó 10?

2) Íàòóðàëüíå ÷èñëî y êðàòíå ÷èñëó 2 і êðàòíå ÷èñëó 6. ×è ìîæíà ñòâåðäæóâàòè, ùî ÷èñëî y êðàòíå ÷èñëó 12?

1562. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ |x + b| a, äå a і b — äåÿêі ÷èñëà.

1563. ×è є ÷èñëî 2015105 – 276106 êðàòíèì ÷èñëó 10?

1564. Äîâåäè, ùî äëÿ áóäü-ÿêèõ öіëèõ ÷èñåë a, b і c çíà÷åííÿ âèðàçó |a – b| + |b – c| + |c – a| є ïàðíèì ÷èñëîì.

1565. Ó Ñåðãіÿ 1150 ìàðîê íà òàêі òåìè: âèäàòíі óêðàїíöі, ñïîðò, àâòîìîáіëі, òâàðèíè. Êіëüêіñòü ìàðîê ïî òåìàõ çî-áðàæåíî íà ñòîâï÷àñòіé äіàãðàìі (ìàë. 151). Âèçíà÷ ç òî÷-íіñòþ äî äåñÿòêіâ êіëüêіñòü ìàðîê ïî êîæíіé òåìі.

Ìàë. 151

1566. Äî ÷èñåë 100 і 1000 äîïèñàëè ïðàâîðó÷ öèôðó 1. ßêå іç ÷èñåë çáіëüøèëîñÿ íà áіëüøó êіëüêіñòü âіäñîòêіâ?

1567. Äâîє õëîïöіâ ðàçîì ìàëè 24 ãðí. Êîëè Ñåðãіé âè-

òðàòèâ ñâîїõ ãðîøåé, à Ïåòðî — 0,65 ñâîїõ ãðîøåé, òî

â íèõ çàëèøèëîñü ãðîøåé ïîðіâíó. Ñêіëüêè ãðîøåé áóëî ó êîæ íîãî õëîïöÿ ñïî÷àòêó?

1568. Äîâåäè, ùî > .



283

1569. Ñêîðîòè äðіá: 1) ; 2) .

1570. Êîëè ìîєìó áàòüêîâі âèïîâíèâñÿ 31 ðіê, ìåíі áóëî 8 ðîêіâ, à çàðàç áàòüêî ñòàðøèé çà ìåíå âäâі÷і. Ñêіëüêè ðîêіâ çàðàç ìåíі?

1571. Íà ïëîùèíі ÷åðåç äàíó òî÷êó ïðîâåëè 6 ïðÿìèõ. ßêà íàéáіëüøà êіëüêіñòü ïðÿìèõ êóòіâ ìîæå ïðè öüîìó óòâîðèòèñÿ?

1572. Є ðó÷êè ÷îòèðüîõ ðіçíèõ êîëüîðіâ: ñèíüîãî, ÷îðíî-ãî, ÷åðâîíîãî і çåëåíîãî. Íàâìàííÿ âèáèðàþòü äâі ðó÷êè. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî:

1) îäíà ç íèõ ñèíüîãî êîëüîðó, à äðóãà — ÷îðíîãî êî-ëüîðó;2) ñåðåä âèáðàíèõ є ðó÷êà çåëåíîãî êîëüîðó?

1573. Çà ïåðøèé äåíü ðîáіòíèê ïåðåâèêîíàâ çàìîâëåííÿ íà 5 %, à çà äðóãèé — íà 7 %. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ ðî-áіòíèê ïåðåâèêîíàâ çàìîâëåííÿ çà öі äâà äíі?

1574. Çà 5 äíіâ 8 êîðіâ ÷îðíîї ìàñòі і 6 êîðіâ ðóäîї ìàñòі äàëè òàêó ñàìó êіëüêіñòü ìîëîêà, ñêіëüêè 6 êîðіâ ÷îðíîї ìàñòі і 10 ðóäîї çà 4 äíі. ßêі êîðîâè áіëüø ïðîäóêòèâíі — ÷îðíîї ìàñòі ÷è ðóäîї?

1575. ßêà íàéìåíøà êіëüêіñòü ó÷íіâ ìîæå áóòè ó ìàòåìà-òè÷íîìó ãóðòêó, ÿêùî âіäîìî, ùî õëîïöіâ ó íüîìó áіëüøå íіæ 50 %, àëå ìåíøå íіæ 60 %? Ñêіëüêè ñåðåä íèõ õëîï-öіâ?

1576. Âіäðіçîê ïîäіëèëè íà ÷àñòèíè ó âіäíîøåííі 2 : 5 : 7. Âіäñòàíü ìіæ ñåðåäèíàìè ïåðøèõ äâîõ ÷àñòèí äîðіâíþє 7 ñì. Çíàéäè äîâæèíó äàíîãî âіäðіçêà.

1577. ×è äіëèòüñÿ ÷èñëî 2014! íà ? (Íàãàäàє-

ìî, ùî 2014! 1 2 3 4 ... 2013 2014.)

1578. Çàïèøè ó ðÿäîê ñіì ÷èñåë òàêèõ, ùîá ñóìà áóäü-ÿêèõ äâîõ ñóñіäíіõ ÷èñåë áóëà âіä’єìíîþ, à ñóìà âñіõ ñåìè ÷èñåë — äîäàòíîþ.

1579. Çíàé äè âñі òàêі ÷èñëà p, ùîá p і p + 17 áóëè ïðîñòè-ìè ÷èñëàìè.


284

1580. Îëåêñàíäð Ñåìåíîâè÷ âèïèâ ÷àøêè ÷îðíîї êàâè і

äîëèâ її ìîëîêîì. Ïîòіì âіí âèïèâ ÷àøêè і çíîâó äîëèâ

її ìîëîêîì. Çãîäîì Îëåêñàíäð Ñåìåíîâè÷ âèïèâ ùå ïіâ-÷àøêè і çíîâó äîëèâ її ìîëîêîì. Íàðåøòі âіí âèïèâ ïîâíó ÷àøêó. ×îãî Îëåêñàíäð Ñåìåíîâè÷ âèïèâ áіëüøå, êàâè ÷è ìîëîêà?

1581. Äâà âåëîñèïåäèñòè ðóõàþòüñÿ ïî âåëîòðåêó, äîâæè-íà ÿêîãî 450 ì. Âîíè çóñòðі÷àþòüñÿ ÷åðåç êîæíó õâèëèíó, ÿêùî ðóõàþòüñÿ â ïðîòèëåæíèõ íàïðÿìàõ, і ÷åðåç êîæíі 9 õâ, ÿêùî ðóõàþòüñÿ â îäíîìó íàïðÿìі. Çíàé äè øâèä-êіñòü êîæíîãî âåëîñèïåäèñòà.

1582. Êîòðà çàðàç ãîäèíà, ÿêùî äî êіíöÿ äîáè çàëèøèëî-

ñÿ òîãî, ùî âæå ïðîéøëî âіä її ïî÷àòêó?

1583. 16 ñëèâ êîøòóþòü ñòіëüêè ãðèâåíü, ñêіëüêè ñëèâ ìîæíà êóïèòè íà îäíó ãðèâíþ. Ñêіëüêè êîøòóþòü 20 ñëèâ?

1584. ßêùî ðàõóâàòè çîøèòè äåñÿòêàìè, òî 2 çîøèòè íå âèñòà÷èòü äî öіëîї êіëüêîñòі äåñÿòêіâ. ßêùî ðàõóâàòè çî-øèòè äþæèíàìè (òîáòî ïî 12), òî äî öіëîї êіëüêîñòі äþ-æèí íå âèñòà÷èòü 4 çîøèòè. Ñêіëüêè âñüîãî áóëî çîøèòіâ, ÿêùî їõ áóëî áіëüøå çà 300, àëå ìåíøå çà 400?

1585. Êîëè ó Ìèêîëè â ïëÿøöі áóëî íà 20 % «Æèâ÷èêà» áіëüøå, íіæ ó Ãëіáà, âіí âèïèâ çі ñâîєї ïëÿøêè 19 % її âìіñòó, à Ãëіá çі ñâîєї — 2 % âìіñòó. Ó êîãî ç äðóçіâ çà-ëèøèëîñÿ áіëüøå «Æèâ÷èêà»?

1586. Ïîçàâ÷îðà Äìèòðó áóëî ùå òіëüêè 10 ðîêіâ, à íà-ñòóïíîãî ðîêó éîìó âèïîâíèòüñÿ 13. ßê öå ìîæå áóòè?

1587. Êâàäðàò 77 çàïîâíåíî ÷èñëàìè òàê, ùî äîáóòîê ÷èñåë ó êîæíîìó ñòîâï÷èêó є âіä’єìíèì. Äîâåäè, ùî çíàé äåòüñÿ і ðÿäîê, ó ÿêîìó äîáóòîê ÷èñåë òàêîæ áóäå âіä’єìíèì.


285

Âіäïîâіäі òà âêàçіâêè äî âïðàâ

Ðîçäіë 1

23. 1) 9890; 2) 10 008. 24. 72. 41. 1), 3) Íі; 2), 4) òàê. 61. 1) 1002; 2) 1035; 3) 1020; 4) 1020. 62. 1020; 1320; 1620; 1920; 1125; 1425; 1725. 77. 1), 2), 3) Íі. 78. 1), 2), Íі. 79. 1), 2), 3) Ñêëàäåíèì. 89. 5 êîøèêіâ ïî 17 ÿáëóê, àáî 17 êîøèêіâ ïî 5 ÿáëóê. 92. 770 5 7 11 2. 111. 15. 113. 12. 114. 7 âàãî-íіâ; 11 âàãîíіâ. 115. 30 áóêåòіâ ïî 7 áіëèõ, 5 æîâòèõ і 3 ÷åðâî-íèõ òðîÿíäè. 119. 1) 5; 2) 1; 3) 6. 129. 1 ì 50 ñì. 130. 440 ì. 131. 2 áåðåçíÿ. 132. ×åðåç 180 äіá, ó ñóáîòó. 133. 120.

Ðîçäіë 2

163. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 164. Íà 42. 165. 1) 25; 2) 24;

3) 11; 4) 81. 166. 1) 4; 2) 32; 3) 5; 4) 120. 167. 1) 22; 2) 7;

3) 1. 168. a 45; b 6. 169. x 26; y 9. 170. 1) ; 2) ;

3) ; 4) . 173. 121 ñì2. 174. 72. 189. Ôðàíêî. 190. Õàðêіâ.

197. Ïåðøèé. 198. 1) 1; 2; 3; 2) 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14.

199. 1) 1; 2; 3; 4; 5; 2) 4; 5; 6; 7; 8; 9. 200. 1) Íàïðèêëàä,

і ; 2) íàïðèêëàä, і . 201. Íàïðèêëàä, і .

204. 103. 205. Íі. 222. . 223. ë. 227. ì. 228. 1) Ìàëþê

áàíêè âàðåííÿ, Êàðëñîí – ; 2) ; ; . 229. 1) Íі; 2) .

230. 1) ; 2) òàê. 232. . 256. êã. 257. äì. 259. 1) ;

2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 260. 1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) . 261. 1) ; 2) . 262. 1) ; 2) .

263. 1) ; 2) . 264. 1) ; 2) . 265. 46 äì. 266. 9 êã.

267. êì; êì; êì. 268. Ñàøêî – êã; Äìèòðî –


286

êã; Ñåðãіé – êã. 269. 1) Çáіëüøèòüñÿ íà ; 2) çáіëü-

øèòüñÿ íà . 270. 1) 0,04; 2) 1. 271. a 3. 273. 1) 3; 2) 25.

279. 1) 0,57; 2) 0,115; 3) 5,428; 4) 0,8. 280. 1) 1,21; 2) 0,505; 3) 3,825; 4) 8. 281. 1) 0,(05); 2) 1,(72); 3) 3,58(3); 4) 0,4(629). 282. 1) 1,(1); 2) 0,4(6); 3) 7,(3); 4) 2,3(09). 285. ×åðâîíîї. 288. Íі, îñêіëüêè, ÿêùî äðîáè äîäàòè, òî ÷èñåëüíèê áóäå ïàðíèì ÷èñëîì, à çíàìåííèê – íåïàðíèì. Òàêèé äðіá íå ìîæå äîðіâíþ-âàòè 1. 297. 49,64 ì. 298. 1,9 äì. 299. 13,5 êì/ãîä. 300. 1) 4,22; 2) 1,01. 303. Òàê, íàïðèêëàä 64 2 + 19 + 43. 327. 445 êì.

328. êì. 329. 1) ; 2) 18; 3) ; 4) . 330. 1) 16; 2) ;

3) 11; 4) . 331. 1) ; 2) 6; 3) . 332. 1) ; 2) 4. 337. 4.

338. 5,2. 342. Âêàçіâêà. Çà äîïîìîãîþ âіäåð 5 ë і 7 ë ìîæíà âіäìіðÿòè

2 ë âîäè. 362. 24 êã. 363. 190 êã. 364. 60 òîðòіâ, 75 òîðòіâ, 135 òîð-

òіâ. 365. 105 êã. 366. 6,75 ì. 367. 85,8 êã. 368. Çíà÷åííÿ ðіâíі

ìіæ ñîáîþ. 369. 1) x > y; 2) x > y. 371. 531 і 102. 385. 1) ; 2) .

386. 1) ; 2) . 387. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) y; 6) .

388. 1) 0,47; 2) 5; 3) 7,42. 414. 1) ; 2) . 415. 1) 6; 2) .

416. Øâèäêіñòü äðóãîãî àâòîìîáіëÿ â 1,125 ðàçà áіëüøà çà

øâèäêіñòü ïåðøîãî. 417. 48 êã. 419. 4 ãîä. 420. 1) ; 2) 3; 3) ;

4) . 421. 1) ; 2) 4; 3) ; 4) . 422. ×åðåç 2 ãîä 40 õâ.

423. ×åðåç 1 ãîä 10 õâ. 424. 1) 12; 2) . 425. 1) ; 2) .

426. Íà ãîä 32 õâ. 427. 54 ò і 66 ò. 428. 32 ðîêè і 6 ðîêіâ.

429. 50 ãðèáіâ і 20 ãðèáіâ. 433. Ó 5 ðàçіâ. 446. 54 êã. 447. 8,4. 448. 7.

449. 480 êì. 450. êì. 451. 70. 452. 1000. 453. 60. 454. 260.

455. 31,2 ò. 456. 45 êì. 459. Ïðèáëèçíî çà 4 ðîêè. 484. êã.

485. 69,66 êã. 486. 40,5 ãà. 488. 0,7 ì; 0,49 ì2. 489. êì/ãîä.

492. 28 ôëîðèíòіâ. 493. 1) ; 2) . 494. 1) ; 2) .


287

Âiäïîâiäi495. 363 êì. 496. 1) ; 2) . 497. 15. 498. ãîä. 499. äîáè.

500. . 501. . 502. êã; êã. 503. 221. 507. 12.

508. Íà 20 %.

Ðîçäіë 3

520. 1) 15 : 2; 2) 5 : 7; 3) 1 : 6; 4) 3 : 4. 521. 1) 20 : 3; 2) 4 : 5; 3) 9 : 2; 4) 1 : 6. 522. 12. 523. 25. 526. 1) 7; 2) 6; 3) 5;

4) 3. 542. 1) ; 2) 5; 3) 27. 543. 1) 85; 2) 8. 546. 1) ;

2) . 548. 1) 5,5; 2) . 549. 1) ; 2) 2,3. 551. 2,

àáî 12,5, àáî 8. 554. 95. 571. 65 êã. 572. 987,5 ã. 573. 8 äíіâ. 574. 0,35 ö. 577. 840 âіäåð. 578. 540 êã. 581. 8 : 5. 582. 10. 595. 15 ñì. 596. 8 ñì. 597. Çà 12,5 õâ. 602. 1 : 1 200 000. 606. 270 êì. 607. 4,8 ñì. 609. 4,8 êã. 610. 1 : 250 000; 18 êì. 611. 1 : 400 000; 1,2 ñì. 612. 33,6 ò. 613. 1 : 1 000 500. 614. 16 ñì. 616. 0,4 ñì. 618. 24. 619. Ôðàíêî. 627. 24 ñì; 20 ñì; 16 ñì. 628. 21 ñì. 629. 12 ñì; 18 ñì; 24 ñì. 630. 1050 ãðí;

1400 ãðí; 980 ãðí. 631. 10 400 ãðí; 11 700 ãðí; 9360 ãðí.

632. x 84; y 42; z 56. 635. 170 : 1. 651. . 652. 1) ; 2) .

658. 2) ; 3) ; 4) . 659. 1) ; 2) ; 3) . 660. 1) ; 2) ;

3) ; 4) . 661. 1) ; 2) ; 3) ; 4) 0. 662. 1) ; 2) ; 3) ;

4) . 663. . 664. . 665. . 666. ×åòâåðòó. 667. 1) ; 2) ; 3) ;

4) . 671. Íà ìàëþíêó 152 ïîäàíî ïåðøó ëàìà-

íó. Äðóãîї ëàìàíîї íå іñíóє, îñêіëüêè ÷èñëî ëà-íîê òàêîї ëàìàíîї ìàє áóòè óäâі÷і áіëüøå, íіæ òî÷îê ïåðåòèíó, òîáòî êіëüêіñòü ëàíîê ëàìàíîї, ÿêà ïåðåòèíàє êîæíó ëàíêó îäèí ðàç, є ïàðíèì ÷èñëîì. 680. 2,25 êì/ãîä. 681. 97,2 ãðí. 682. 400. 684. 4 ãîä. 685. Çà 4,2 ãîä. 686. 4 ìàøèíè. 687. Íà 5 äíіâ. 689. 23. 716. 5 %. 717. 1) 25 %; 2) 20 %. 718. 1) 25 %; 2) 20%. 719. 12 %. 720. 72 %. 721. 205,2 ãðí; íà 14,5 %. 722. 391 ãðí; çìåíøèëàñÿ íà 2,25 %.

723. Íà 25 %. 724. Íà %. 726. 150 çâ. 727. . 728. 4.

Ìàë. 152


288

729. Ïåðøå ÷èñëî áіëüøå. Âêàçіâêà. 1 2 3 ... 20 > 2 5 10 11 ... 20 > 1012 і 1 + 2 + ... + 1 000 000 < 1 000 000 1 000 000 1012. 743. 5904 ãðí. 744. 777,6 ñì3. 745. 240 êã і 272 êã. 746. 4,64 êã. 747. 261 ã. 748. 150 і 250. 749. 200; 100; 160. 750. 4 êã. 751. 1) Íà 30 %; 2) íà 69 %. 755. Òàê, 36 3 3 2 2 1 1 ... 1 32 + 32 + 22 + 22 + 12 + 12 + ... + 12.

774. 5 ñì. 775. ñì. 776. 60,3 êì/ãîä. 777. 71,2 êì/ãîä.

778. 4 ñì. 781. Òàê. 794. 176,625 ì2. 795. 200,96 ñì2. 796. 62,8 ñì2. 797. 110 ì2. 798. 45,7812 äì2. 799. 10 ñì. 800. 4 äì. 803. Ïëîùà ïåðøîãî êðóãà ó 9 ðàçіâ áіëüøà çà ïëîùó äðóãîãî. 804. 1,884 êã; 3,768 êã. 807. 97,2 ãðí. 818. 7.

819. 40 êã. 820. 168. 821. %. 822.

28,26 (ñì2). 823. . 837. 1) 64; 2) 8. 838. 27. 839. 5 ñì;

10 ñì; 10 ñì. 841. Çà 20 ãîä. 842. Òàê, íàïðèêëàä, .

Ðîçäіë 4

858. 4104. 879. AB 2; BC 3; BD 3,5; BE 1,5. 880. 1) A; 2) N; 3) Q. 881. C(–1); D(0,5); M(4,5). 885. Çìåíøèòè ó 3 ðàçè. 908. 4028. 909. 1) –3; 2) 5. 912. 19,2 і 48. 913. 6 ñïðîá. 930. 1) –5;

5; 2) 0; 3) –3,5; 3,5; 4) ; . 931. 1) –11; 11; 2) –1; 1.

932. 1) –5; 5; 2) íåìàє òàêîãî çíà÷åííÿ x; 3) –6; 6; 4) 0. 933. 1) –8; 8; 2) íåìàє òàêèõ çíà÷åíü y; 3) –4; 4; 4) íåìàє òà-êèõ çíà÷åíü y. 934. 1) –2; –1; 0; 1; 2; 2) –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 3) 0; 4) íåìàє òàêèõ çíà÷åíü x. 936. Íà ìàëþíêàõ 75 і 77: ; íà ìàëþíêàõ 76 і 78: . 938. 1) Òàê; 2) íі. 940. 1) 399; 2) 401. 941. 1) 1; 2) ðіâíÿííÿ íå ìàє ðîçâ’ÿçêіâ; 3) 4; 4) –1; 1. 942. 1) 5; 2) 2; 3) ðіâíÿííÿ íå ìàє ðîçâ’ÿçêіâ; 4) –2; 2. 947. 1) Òàê; 2) íі. 973. 32. 975. 1) –14; 2) –12. 976. 1) –18; 2) –12. 977. 1) –5; 2) –14. 983. 1) –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 2) –3; –2. 984. –5; –4; –3; –2; –1; 0. 985. Íàïðè-

êëàä, ; ; . 987. 1), 3) Òàê; 2), 4) íі. 990. 11; 12; 15;

24 і 36. 1006. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) . 1007. 1) ; 2) ; 3) ; 4) –5,35; 5) –5,5;

6) –7,4. 1008. . 1009. –6. 1010. . 1013. 4) .


289

Âiäïîâiäi1014. . 1015. . 1018. 50,24 ñì2.

1043. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) . 1044. 1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 1045. 1) 1;

2) . 1046. . 1047. 0,2. 1048. . 1052. . 1053. .

1054. 1); 4); 5) – íåïðàâèëüíі; 2); 3); 6) – ïðàâèëü-íі. 1055. 1); 4); 6) – ïðàâèëüíі; 2); 3); 5) – íåïðàâèëüíі.

1056. 1) –1,7; 2) . 1058. 300 ì/õâ. 1059. 300 ñì2. 1075. 1040 ãðí.

1076. 27 áàíîê. 1077. 1) –9; 2) 27; 3) –2013. 1078. 1) 5; 2) –23.

1079. 1) ; 2) ; 3) ; 4) –56,23; 5) ; 6) .

1080. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 1085. ßêùî

b і c – ïðîòèëåæíі ÷èñëà. 1087. 125 %; 25 %. 1111. 1) 14,9;

2) –3. 1112. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 1113. 1) ; 2) ;

3) ; 4) . 1114. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 1115. 1) ;

2) ; 3) 1,95; 4) –2,95. 1117. 1) 13; 2) 2. 1118. 1) 14; 2) 2.

1120. 1) –20,4; 2) –5,1. 1121. 1) 5,8; 2) –23,2. 1122. 1), 3) Ðіâíÿí-íÿ íå ìàє ðîçâ’ÿçêіâ; 2) –7; 7; 5) 1; 9; 6) 4; 8. 1123. 1) Ðіâíÿííÿ íå ìàє ðîçâ’ÿçêіâ; 2) –4, 4; 3) –10, 10; 1124. 1) òà 3). 1126. Äâà.

1127. 40,16. 1128. x 12; y 5. 1129. Òàê. 1144. 1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) ; 6) . 1145. 1) ; 2) ; 3) –10;

4) ; 5) ; 6) 3. 1146. z + p; 1,7. 1147. c – d; 3,74. 1148. 1) –9;

2) –5,3; 3) 6,2; 4) 0; 5) 4; 6) . 1149. 1) –1,5; 2) –2,01; 3) .

1156. Íі. 1185. 1) ; 2) ; 3) –0,8; 4) –5,5. 1186. 1) ;

2) 2; 3) –0,9; 4) –1,85. 1187. 1) 7; 2) –6; 3) –0,9. 1188. 1) –5; 2) 5; 3) –0,9. 1189. 1) –3; 2) 0; 3; 3) –18; 7; 4) –2; 1. 1190. 1) 8; 2) –2; 0; 3) –5; 7; 4) –3; 8. 1191. 1) Òàê; 2),


290

3) íі. 1192. 13, ÿêùî a –6. 1193. 308,5 êì. 1194. –12; 12. 1196. 8. Âêàçіâêà. , òîìó öåé äîáó-òîê çàêіí÷óєòüñÿ äâîìà íóëÿìè. 1211. 1) 0,63; 2) –6,3; 3) –8;

4) 30. 1212. 1) –0,51; 2) 1,4; 3) ; 4) 36. 1215. 1) 6; 2) .

1216. 1) 0,1; 2) . 1217. 1), 2) 0. 1220. 225 ì; 15 ì/ñ.

1236. 1) 3,2ab – 2,4ac + 0,72ad; 2) –0,28x + y + 1,52z; 3) –22t ++ 16b – 30z; 4) –2xy + 21xz – 29xt. 1237. 1) 1,4b – 2,1c + 3,5a; 2) –1,6xp – 5,4ax + 7,8bx; 3) –20a – 33b + c; 4) –2ab + 15ac –– 38ay. 1238. 1) –45; 2) –8,5; 3) –35; 4) 0. 1239. 1) 60; 2) –1,6;

3) –49; 4) 26. 1244. 1) 457,8; 2) . 1247. 12 êì/ãîä.

1266. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

1267. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

1268. 1) –19,6a + 7,3b + 13; 2) –1,6. 1269. 1) –1,7x + 1,8y + 11;

2) –1,5. 1270. 1) 5,2; 2) . 1271. 1) 12; 2) 6. 1277. Âêàçіâêà.

Ïіñëÿ ñïðîùåííÿ âèðàçó îòðèìàєìî 21n. 1278. Âêàçіâêà. Ïіñëÿ ñïðîùåííÿ âèðàçó îòðèìàєìî 5m + 1. 1279. 1,8. 1280. 1,2.

1283. . 1309. 1) 17,8; 2) –86. 1310. 1) 202,5; 2) –4,8.

1311. 1) ; 2) ; 3) 1; 4) –11. 1312. 1) ; 2) ; 3) 26,23;

4) –10. 1313. 1) –3; 2) 10,8. 1314. 1) 0,13; 2) –5,6. 1315. 1) ;

2) 10,5; 3) 3,5; 4) ; 5) –10,84; 6) –12,7. 1316. 1) ; 2) –4;

3) –1,63. 1319. 1) –21; 2) –2; 3) 0,5; –0,5; 4) 4; –1. 1322. 93 êã. 1323. Íі, îñêіëüêè ÷èñëî 501 501 501 501 êðàòíå 3, àëå íå êðàò-íå 9, à òîìó íå ìîæå áóòè êâàäðàòîì öіëîãî ÷èñëà. 1345. 1) –2,5; 2) 0,5; 3) 15,5; 4) –2. 1346. 1) –90; 2) 2. 1347. 1) 5,5; 2) 0,0125;

3) 5. 1348. 1) 8,4; 2) ; 3) –9; 4) 1. 1349. 1) –31; 2) –7,2; 3) .

1350. –25. 1351. 13. 1352. 1) –2; 2) 1,01. 1353. 1) –0,6; 2) –3. 1354. a –21. 1355. 1) Ðіâíÿííÿ íå ìàє ðîçâ’ÿçêіâ; 2) x – áóäü-ÿêå

÷èñëî. 1356. . 1357. 81 êì. 1358. 6 %. 1359. 21 %; 33,1 %.

1386. 54 äåòàëі; 108 äåòàëåé; 70 äåòàëåé. 1387. 1,2 ò; 2,4 ò; 1,5 ò. 1388. 5760. 1389. 20 äì; 12 äì; 14 äì. 1391. 1,5 ãîä; 2 ãîä. 1392. 12 êì/ãîä; 5 êì/ãîä. 1393. 6 ãðí; 10 ãðí. 1394. 18 ãðí;


291

Âiäïîâiäi30 ãðí. 1395. 20 ïàñàæèðіâ. 1396. 28 êíèæîê. 1397. 5. 1398. 6 çîøèòіâ ïî 1 ãðí 20 êîï. і 9 çîøèòіâ ïî 1 ãðí 80 êîï.1399. 5 ë. 1400. 6 ãðí. 1401. 7,5 ãîä. 1402. 4 ãîä. 1403. 100 і 45. 1404. 27 і 18. 1405. 13 õâ. 1406. 210 êã і 70 êã. 1407. 100 çî-øèòіâ і 50 çîøèòіâ. 1408. 40 êã і 20 êã. 1411. 1) 6;

2) . 1412. 17 êã. 1413. Íі. Âêàçіâêà. Êîæíèé іç ïðÿìîêóò-

íèêіâ ïîâèíåí ìіñòèòè ïî îäíіé áіëіé і îäíіé ÷îðíіé êëіòèí-

öі. 1438. 1) 2,5; 2) . 1439. 1) 4; 2) 1. 1440. 1) 3,37; 2) .

1441. . 1442. 1) x –2,7; 2) x . 1443. –8. 1444. 1,2.

1446. 1) ; 2) –4,4. 1447. 1) 35; 2) –3,2. 1448. 1) 3; 2) 2.

1449. 1) 4; 2) 0,3. 1452. . 1453. –1. 1454. ; .

1455. ; 68,4. 1456. 1) 0; 2) –125. 1457. . 1461. Íà 56 %.

1462. 1) 55 3125; 2) 222 4 194 304. 1491. 1) 0,3; 2) 3. 1492. 1991 ð. 1533. Âіäðіçîê, êіíöі ÿêîãî — òî÷êè ç êîîðäè-íàòàìè (0; 5) і (5; 0). 1537. –34. 1538. Íі. 1558. Íі. Âêàçіâêà. Çàñòîñóé іäåþ ôàðáóâàííÿ ó äâà êîëüîðè â «øàõîâîìó» ïîðÿäêó êóáèêіâ.


1559. M(5). 1560. 8. 1561. 1) Òàê; 2) íі, íàïðèêëàä y 6. 1562. ßêùî , òî ðіâíÿííÿ íå ìàє ðîçâ’ÿçêіâ; ÿêùî , òî ; ÿêùî , òî àáî . 1563. Íі, áî çàêіí-÷óєòüñÿ 9. 1565. Âèäàòíі óêðàїíöі – 390 ìàðîê, ñïîðò – 310 ìàðîê, àâòîìîáіëі – 180 ìàðîê, òâàðèíè – 270 ìàðîê. 1566. ×èñëî 100. 1567. Ó Ñåðãіÿ – 14 ãðí, ó Ïåòðà – 10 ãðí. 1568. Âêàçіâêà.

Êîæíèé іç äîäàíêіâ ëіâîї ÷àñòèíè íå ìåíøèé âіä . 1569. 1) ;

2) . 1570. 23. 1571. 12. 1572. 1) ; 2) . 1573. Íà 6 %.

1574. Êîðîâè ðóäîї ìàñòі. 1575. 7 ó÷íіâ, ñåðåä íèõ 4 õëîïöі. 1576. 28 ñì. 1577. Òàê, îñêіëüêè 2 є ìíîæíèêîì ÷èñëà 2014! áіëüøå 1000 ðàçіâ. 1578. Íàïðèêëàä, òàê 4; –5; 4; –5; 4; –5; 4. 1579. p 2. 1580. Ïîðіâíó (ïî îäíіé ÷àøöі). 1581. 250 ì/õâ і 200 ì/õâ. 1582. 15 ãîä 00 õâ. 1583. 5 ãðí. 1584. 308 àáî 368. 1585. Ó Ãëіáà. 1586. Íàïðèêëàä, Äìèòðî íàðîäèâñÿ 31 ãðóäíÿ 2003 ð., à ñüîãîäíі – 1 ñі÷íÿ 2015 ð. 1587. Âêàçіâêà. Îñêіëüêè äîáóòîê ÷èñåë ó êîæíîìó ñòîâï÷èêó âіä’єìíèé, òî äîáóòîê óñіõ ÷èñåë êâàäðàòà òàêîæ âіä’єìíèé.


292

Ïðåäìåòíèé ïîêàæ÷èê

Àáñöèñà òî÷êè 264

Âåðøèíà êîíóñà 155Âçàєìíî îáåðíåíі ÷èñëà 73– ïðîñòі ÷èñëà 22Âèíåñåííÿ ñïіëüíîãî ìíîæíè-êà çà äóæêè 221Âèïàäêîâà ïîäіÿ 117Âèñîòà êîíóñà 155– öèëіíäðà 154Âіä’єìíèé íàïðÿì êîîðäèíàòíîї ïðÿìîї 165Âіä’єìíі ÷èñëà 162Âіäíіìàííÿ äðîáіâ 42– ìіøàíèõ ÷èñåë 47– ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë 200Âіäíîøåííÿ äâîõ âåëè÷èí 95 – – ÷èñåë 95Âіäñîòêîâå âіäíîøåííÿ äâîõ ÷èñåë 131, 137Âіðîãіäíà ïîäіÿ 118Âіñü àáñöèñ 263– îðäèíàò 263Âëàñòèâîñòі ìîäóëÿ 175– ðіâíÿíü 236

Äåñÿòêîâå íàáëèæåííÿ çâè÷àé-íîãî äðîáó 58Äіàãðàìà 150Äіàìåòð êîëà 141– êóëі 155Äіëåííÿ çâè÷àéíèõ äðîáіâ 76– ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë 230, 231Äіëüíèê íàòóðàëüíîãî ÷èñëà 5Äîâæèíà êîëà 142Äîäàâàííÿ âіä’єìíèõ ÷èñåë 185– äâîõ ÷èñåë ç ðіçíèìè çíàêà-ìè 189– äðîáіâ 42– ìіøàíèõ ÷èñåë 47Äîäàòêîâèé ìíîæíèê 37

Äîäàòíèé íàïðÿì êîîðäèíàò-íîї ïðÿìîї 165Äîäàòíі ÷èñëà 162

Çâåäåííÿ äðîáіâ äî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà 37– ïîäіáíèõ äîäàíêіâ 225Çìіíà âåëè÷èíè ó âіäñîòêàõ 133Çíàõîäæåííÿ âіäñîòêіâ âіä ÷èñëà 69, 137– äðîáó âіä ÷èñëà 68– ÷èñëà çà éîãî âіäñîòêîì 83, 137– – – – äðîáîì 82

Éìîâіðíіñòü âèïàäêîâîї ïîäії 118

Êîåôіöієíò 217Êîëî 140Êîíóñ 154Êîîðäèíàòà òî÷êè 264Êîîðäèíàòíà ïëîùèíà 263– ïðÿìà 165Êîîðäèíàòíі ÷âåðòі 264Êðàéíі ÷ëåíè ïðîïîðöії 98Êðàòíі ÷èñëà 6Êðóã 145Êðóãîâèé ñåêòîð 146Êðóãîâі äіàãðàìè 150Êóëÿ 155

Ìàñøòàá 109Ìíîæåííÿ çâè÷àéíèõ äðîáіâ 62– ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë 210, 211Ìîäóëü ÷èñëà 174

Íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê 21Íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå 25Íàéìåíøèé ñïіëüíèé çíàìåí-íèê 37


293

Íåìîæëèâà ïîäіÿ 118Íåïàðíі ÷èñëà 10Íåñêіí÷åííèé äåñÿòêîâèéïå ðіîäè÷íèé äðіá 54Íåñêîðîòíèé äðіá 32

Îáåðíåíà ïðîïîðöіéíà çàëåæ-íіñòü 127– ïðîïîðöіéíіñòü âåëè÷èí 127Îáåðíåíå âіäíîøåííÿ 96Îçíàêè ïîäіëüíîñòі íà 2, 5 òà 10 9– – íà 9 òà 3 12Îðäèíàòà òî÷êè 264Îñі êîîðäèíàò 263Îñíîâà êîíóñà 155– öèëіíäðà 154Îñíîâíà âëàñòèâіñòü âіäíîøåí-íÿ 95– – äðîáó 31– – ïðîïîðöії 99

Ïàðàëåëüíі âіäðіçêè 260– ïðîìåíі 260– ïðÿìі 259Ïàðíі ÷èñëà 10Ïåðåñòàâíà âëàñòèâіñòü äîäà-âàííÿ 195– – ìíîæåííÿ 63, 216Ïåðåòâîðåííÿ çâè÷àéíîãî äðî-áó ó äåñÿòêîâèé 53Ïåðïåíäèêóëÿðíі âіäðіçêè 257– ïðîìåíі 257– ïðÿìі 256Ïëîùà êðóãà 146Ïîâíèé êóò 146Ïîäіáíі äîäàíêè 225 Ïîðіâíÿííÿ ðàöіîíàëüíèõ ÷è-ñåë 178, 179Ïî÷àòîê âіäëіêó êîîðäèíàòíîї ïðÿìîї 165– êîîðäèíàò 263

Ïðîïîðöіéíèé ïîäіë ÷èñëà(âåëè÷èíè) 114Ïðîïîðöіÿ 98Ïðîñòі ÷èñëà 14Ïðîòèëåæíі ÷èñëà 170Ïðÿìà ïðîïîðöіéíà çàëåæ-íіñòü 103– ïðîïîðöіéíіñòü âåëè÷èí 104Ïðÿìîêóòíà ñèñòåìà êîîðäè-íàò 263

Ðàäіóñ êîëà 141– êóëі 155– îñíîâè êîíóñà 155– – öèëіíäðà 154Ðàöіîíàëüíі ÷èñëà 171Ðîçâ’ÿçóâàííÿ ðіâíÿíü 236Ðîçêëàäàííÿ íà ïðîñòі ìíîæ-íèêè 18Ðîçêðèòòÿ äóæîê 205, 221Ðîçïîäіëüíà âëàñòèâіñòü ìíî-æåííÿ 63, 220

Ñåðåäíі ÷ëåíè ïðîïîðöії 98Ñêëàäåíі ÷èñëà 15Ñêîðî÷åííÿ äðîáó 31 Ñïіëüíå êðàòíå 25Ñïіëüíèé äіëüíèê 21– çíàìåííèê 37Ñïîëó÷íà âëàñòèâіñòü äîäàâàí-íÿ 195, 216– – ìíîæåííÿ 63Ñòîâï÷àñòі äіàãðàìè 150Ñôåðà 155

Öåíòð êîëà 140– – êóëі 155Öіëі ÷èñëà 171Öèëіíäð 154


294

Çì і ñ ò

Øàíîâíèé øåñòèêëàñíèêó! .............................................. 3

РОЗДІЛ 1. ПОДІЛЬНІСТЬ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ§ 1. Äіëüíèêè і êðàòíі íàòóðàëüíîãî ÷èñëà ....................... 5§ 2. Îçíàêè ïîäіëüíîñòі íà 10, 5 òà 2 ............................... 9§ 3. Îçíàêè ïîäіëüíîñòі íà 9 òà 3 ..................................... 11§ 4. Ïðîñòі òà ñêëàäåíі ÷èñëà .......................................... 14§ 5. Ðîçêëàäàííÿ ÷èñåë íà ïðîñòі ìíîæíèêè .................... 18§ 6. Íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê .................................. 20§ 7. Íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ......................................... 25Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü № 1 (§ 1 – § 7) .................. 28

РОЗДІЛ 2. ЗВИЧАЙНІ ДРОБИ§ 8. Îñíîâíà âëàñòèâіñòü äðîáó. Ñêîðî÷åííÿ äðîáó ............. 30§ 9. Íàéìåíøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê äðîáіâ. Çâåäåííÿ äðîáіâ äî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà. Ïîðіâíÿííÿ äðîáіâ .......... 36§ 10. Äîäàâàííÿ і âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç ðіçíèìè çíàìåííèêàìè ................................................................ 42§ 11. Äîäàâàííÿ і âіäíіìàííÿ ìіøàíèõ ÷èñåë .................... 47§ 12. Ïåðåòâîðåííÿ çâè÷àéíèõ äðîáіâ ó äåñÿòêîâі. Íåñêіí÷åííі ïåðіîäè÷íі äåñÿòêîâі äðîáè ........................... 53§ 13. Äåñÿòêîâå íàáëèæåííÿ çâè÷àéíîãî äðîáó .................. 58Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü № 2 (§ 8 – § 13) ................. 60§ 14. Ìíîæåííÿ çâè÷àéíèõ äðîáіâ ................................... 61§ 15. Çíàõîäæåííÿ äðîáó âіä ÷èñëà .................................. 68§ 16. Âçàєìíî îáåðíåíі ÷èñëà ........................................... 73§ 17. Äіëåííÿ çâè÷àéíèõ äðîáіâ ....................................... 76§ 18. Çíàõîäæåííÿ ÷èñëà çà éîãî äðîáîì .......................... 82§ 19. Ðîçâ’ÿçóâàííÿ âïðàâ íà âñі äії çі çâè÷àéíèìè òà äåñÿòêîâèìè äðîáàìè .................................................. 87Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü № 3 (§ 14 – § 19) ............... 92

РОЗДІЛ 3. ВІДНОШЕННЯ І ПРОПОРЦІЇ § 20. Âіäíîøåííÿ. Îñíîâíà âëàñòèâіñòü âіäíîøåííÿ ........... 94§ 21. Ïðîïîðöіÿ. Îñíîâíà âëàñòèâіñòü ïðîïîðöії ................ 98§ 22. Ïðÿìà ïðîïîðöіéíà çàëåæíіñòü ................................ 103§ 23. Ìàñøòàá. Çíàõîäæåííÿ âіäñòàíåé íà êàðòі ............... 108§ 24. Ïîäіë ÷èñëà ó äàíîìó âіäíîøåííі ............................ 114§ 25. Éìîâіðíіñòü âèïàäêîâîї ïîäії ................................... 117Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü № 4 (§ 20 – § 25) ............... 126§ 26. Îáåðíåíà ïðîïîðöіéíà çàëåæíіñòü ............................ 127


295

§ 27. Âіäñîòêîâå âіäíîøåííÿ äâîõ ÷èñåë. Çìіíà âåëè÷èíè ó âіäñîòêàõ ...................................................... 131§ 28. Âіäñîòêîâі ðîçðàõóíêè ............................................ 137§ 29. Êîëî. Äîâæèíà êîëà ............................................... 140§ 30. Êðóã. Ïëîùà êðóãà. Êðóãîâèé ñåêòîð ....................... 145§ 31. Ñòîâï÷àñòі і êðóãîâі äіàãðàìè .................................. 150§ 32. Öèëіíäð. Êîíóñ. Êóëÿ ............................................ 154Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü № 5 (§ 26 – § 32) ............... 158

РОЗДІЛ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ НАД НИМИ § 33. Äîäàòíі òà âіä’єìíі ÷èñëà. ×èñëî 0 .......................... 160§ 34. Êîîðäèíàòíà ïðÿìà ................................................ 165§ 35. Ïðîòèëåæíі ÷èñëà. Öіëі ÷èñëà. Ðàöіîíàëüíі ÷èñëà .... 170§ 36. Ìîäóëü ÷èñëà ......................................................... 173§ 37. Ïîðіâíÿííÿ ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë .............................. 178Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü № 6 (§ 33 – § 37) ............... 184§ 38. Äîäàâàííÿ âіä’єìíèõ ÷èñåë ..................................... 185§ 39. Äîäàâàííÿ äâîõ ÷èñåë ç ðіçíèìè çíàêàìè ................. 189§ 40. Âëàñòèâîñòі äîäàâàííÿ ............................................ 195§ 41. Âіäíіìàííÿ ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë ............................... 199§ 42. Ðîçêðèòòÿ äóæîê .................................................... 204Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü № 7 (§ 38 – § 42) ............... 209§ 43. Ìíîæåííÿ ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë ................................ 210§ 44. Ïåðåñòàâíà і ñïîëó÷íà âëàñòèâîñòі ìíîæåííÿ. Êîåôіöієíò áóêâåíîãî âèðàçó ........................................... 216§ 45. Ðîçïîäіëüíà âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ .......................... 220§ 46. Ïîäіáíі äîäàíêè òà їõ çâåäåííÿ ............................... 225Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü № 8 (§ 43 – § 46) ............... 229§ 47. Äіëåííÿ ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë ................................... 230§ 48. Ðîçâ’ÿçóâàííÿ ðіâíÿíü. Îñíîâíі âëàñòèâîñòі ðіâíÿííÿ ........................................................................ 235§ 49. Ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ çà äîïîìîãîþ ðіâíÿíü ............... 242Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü № 9 (§ 47 – § 49) ............... 249§ 50. Ðîçâ’ÿçóâàííÿ âïðàâ íà âñі äії ç ðàöіîíàëüíèìè ÷èñëàìè ......................................................................... 250§ 51. Ïåðïåíäèêóëÿðíі ïðÿìі .......................................... 255§ 52. Ïàðàëåëüíі ïðÿìі ................................................... 259§ 53. Êîîðäèíàòíà ïëîùèíà ............................................ 262§ 54. Ïðèêëàäè ãðàôіêіâ çàëåæíîñòі ìіæ âåëè÷èíàìè ........ 272Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü № 10 (§ 50 – § 54) ............. 280

Äëÿ òèõ, õòî ëþáèòü ìàòåìàòèêó ...................................... 281Âіäïîâіäі òà âêàçіâêè äî âïðàâ ......................................... 285Ïðåäìåòíèé ïîêàæ÷èê .................................................... 292


Íàâ÷àëüíå âèäàííÿ

ІÑÒÅÐ Îëåêñàíäð Ñåìåíîâè÷

ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀÏіäðó÷íèê äëÿ 6 êëàñó

çàãàëüíîîñâіòíіõ íàâ÷àëüíèõ çàêëàäіâ

Ðåêîìåíäîâàíî Ìіíіñòåðñòâîì îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè

Ãîëîâíèé ðåäàêòîð Íàòàëіÿ ÇàáëîöüêàÐåäàêòîðè Ãàëèíà Êðèâîëàïîâà, Îëåíà Ìîâ÷àí

Õóäîæíі ðåäàêòîðè Âàñèëü Ìàðóùèíåöü, Ëþäìèëà ÊóçíåöîâàÎáêëàäèíêà Òåòÿíè Êóù

Òåõíі÷íèé ðåäàêòîð Öåçàðèíà ÔåäîñіõіíàÊîìï’þòåðíà âåðñòêà, іëþñòðàöії Þðіÿ Ëåáåäєâà

Êîðåêòîðè Ëàðèñà Ëåóñüêà, Іííà Іâàíþñü

Âèäàíî çà ðàõóíîê äåðæàâíèõ êîøòіâ. Ïðîäàæ çàáîðîíåíî

Ôîðìàò 6090/16.Óì. äðóê. àðê. 18,5. Îáë.-âèä. àðê. 17,08.

Òèðàæ 101 647 ïð. Âèä. № 1469.Çàì. № .

Âèäàâíèöòâî «Ãåíåçà», âóë. Òèìîøåíêà, 2-ë, ì. Êèїâ, 04212.Ñâіäîöòâî ñóá’єêòà âèäàâíè÷îї ñïðàâè

ñåðіÿ ÄÊ № 3966 âіä 01.02.2011.

Âіääðóêîâàíî ç ãîòîâèõ ïîçèòèâіâ óÒÎÂ «ÏÅÒ», âóë. Îëüìіíñüêîãî, 17, ì. Õàðêіâ, 61024.

Ñâіäîöòâî ñóá’єêòà âèäàâíè÷îї ñïðàâè ñåðіÿ ÄÊ № 4526 âіä 18.04.2013.

Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_R.indd 296Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_R.indd 296 28.05.2014 15:28:1328.05.2014 15:28:13

Education

підручник істер 6 клас математика