1

О.С. Істер

МА

ТЕ

МА

ТИ

КА

Кам’янець-ПодільськийФОП Сисин О.В.

Абетка2016

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ ДО ВСЬОГО КУРСУ АЛГЕБРИ І ГЕОМЕТРІЇ

БІЛЬШЕ 1200 ПРИКЛАДІВ

1200 ТЕСТОВИХ ЗАВДАНЬ РІЗНОЇ СКЛАДНОСТІ

40 КОНТРОЛЬНИХ ТЕСТІВ

2 КОМПЛЕКСНІ ВАРІАНТИ ТЕСТОВИХ ЗАВДАНЬ

ВІДПОВІДІ

МАТЕМАТИКАДОВІДНИК + ТЕСТИ

Повний повторювальний курс, підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання

та державної підсумкової атестації

ЗНОДПА

2

Істер О. С. Математика. Довідник + тести. Повний повторюваль­ний курс, підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання та державної підсумкової атестації / Олек сандр Істер. – Кам’я­нець­По дільський : ФОП Сисин О. В., 2016. – 576 с.ІSBN 978­617­539­218­8.

Матеріал довідника сформовано відповідно до чинних програми з матема­тики для загальноосвітніх навчальних закладів, затверджених Міністерством освіти і науки України та програми зовнішнього незалежного оцінювання з математики.

Посібник містить теоретичні відомості до всього курсу алгебри і геометрії. Матеріал проілюстровано достатньою кількістю прикладів з повним розв’язанням. У кінці кожного тематичного розділу запропоновано тести різного рівня складності, призначені для самостійної підготовки учнів до проходження зовнішнього незалежного оцінювання з математики. Напри­кінці посібника наводяться два тренувальні комплексні тести у форматі ЗНО та відповіді до них. Матеріал посібника може використовуватися для проведення тематичного оцінювання знань та підготовки до державної під­сумкової атестації.

Для учнів шкіл, ліцеїв, гімназій та абітурієнтів, студентів вищих навчальних за кладів, учителів, викладачів.

ББК 22.1я729

І­89

ББК 22.1я729 І-89

Автор: Істер Олександр Семенович, вчитель вищої категорії, вчитель­методист, автор підручників з математики для 5­8 класів, завдань для державної підсумкової атестації з математики у 9 та 11 класах, 14 статей і більше 140 книг.

© Істер О. С., 2016;© ФОП Сисин О. В., 2016.ІSBN 978­617­539­218­8

3

шанОвнІ чиТачІ!Книга, яку ви тримаєте в руках, є частиною комплексу для підготовки

до державної підсумкової атестації (ДПА) та зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО), що складається з трьох посібників. Теоретичний курс, приклади розв’язування вправ та тестові завдання складено у відповідності до програми зовнішнього незалежного оцінювання з математики (див. сайт Українського центру оцінювання якості освіти http://testportal.gov.ua).

Матеріал цього посібника розбито на 6 розділів: 4 розділи з алгебри і початків аналізу та 2 з геометрії відповідно до вказаної програми.

На початку кожного розділу коротко наведено основні теоретичні ві-домості, які проілюстровано достатньою кількістю прикладів, поданих із повними розв’язаннями. Всі розділи, крім розділу ІV з алгебри та початків аналізу (який містить всього три параграфи), містять контрольні тести. В кін ці кожного розділу запропоновано тестові завдання для самостійного виконання. До всіх завдань у кінці посібника подано відповіді.

Для самостійного виконання у кожному розділі, крім розділу IV з алгебри і початків аналізу, запропоновано: 60 завдань із вибором однієї правильної відповіді; 5 завдань на встановлення відповідності (логічні пари); 20 завдань з короткою відповіддю; 5 структурованих завдань з короткою відповіддю та 5 завдань з повним розв’язанням. Розділ IV з алгебри і початків аналізу містить 20 завдань із вибором однієї правильної відповіді, 3 завдання на встановлення відповідності (логічні пари) і 8 завдань з короткою відповіддю.

Наприкінці посібника наводяться додаток та два тренувальні комплексні тести у форматі ЗНО та відповіді до них.

шанОвнІ абІТурІЄнТи!Зовнішнє незалежне оцінювання з математики – нелегке випробування,

котре проходять як одинадцятикласники, так і випускники попередніх років, що бажають вступити у вищі навчальні заклади.

Запропонований посібник допоможе вам самостійно або за допомогою викладача підготуватися до цього випробування. Спочатку потрібно зас-воїти теоретичні відомості розділу, що вивчається, розглянути приклади розв’язування вправ та розв’язати контрольні тести. Після цього потрібно приступити до самостійного розв’язування тестових завдань. Спочатку не-обхідно розв’язати завдання із вибором однієї правильної відповіді з п’яти запропонованих. Після цього приступити до розв’язування вправ на вста-новлення відповідності. У цих вправах кожне завдання містить інформацію, яку позначено цифрами і буквами. Виконуючи завдання, необхідно встано-вити відповідність (утворити логічні пари). Далі пропонується розв’язати завдання із короткою відповіддю та структуровані завдання із короткою

передмОва

4

відповіддю. Відповіддю до цих завдань є ціле число або скінчений десятко-вий дріб. Після цього слід спробувати розв’язати досить складні завдання з повним розв’язанням.

Після опрацювання цього посібника для продовження підготовки до ДПА та ЗНО, закріплення теоретичних відомостей ми пропонуємо Вам серію з наступних двох посібників:

а) «Математика. Збірник тестових завдань. 936 тестових завдань + 4 ком-плексні варіанти у форматі ЗНО». Ці вправи дають змогу як за допомогою вчителя, так і самостійно закріпити теоретичний матеріал при опрацюванні тестових завдань та підготуватись до тестування у форматі ЗНО;

б) «Математика. Комплексні варіанти завдань у тесовій формі. 20 варіан-тів». Посібник дає змогу закріпити Ваші знання та провести тренувальне пробне зовнішнє оцінювання. Він містить 20 варіантів типових завдань, що повністю відповідають специфікації ЗНО.

Для самоконтролю у згаданих вище посібниках подано відповіді до всіх вправ.

шанОвнІ вчиТелІ!Сподіваюсь, що запропонований посібник допоможе Вам у нелегкій праці

підготовки учнів до державної підсумкової атестації,зовнішнього незалежно-го оцінювання та тематичних контрольних робіт. Маю надію, що посібник стане у пригоді як під час індивідуальних, так і під час групових занять.

Автор щиро вдячний вчителю-методисту Сисин Оксані Володимирівні, чия дружня допомога та цінні поради у процесі роботи над рукописом книги сприяли його покращенню.

Автор

5

алгебраі пОчаТки аналІзу

6

§1. раЦІОнальнІ чиСла.

1. натуральні числа.×исла 1, 2, 3, 4, 5 ... , які використовуються під час лічби предметів,

називають натóралüними числами. Найменше натуральне число – 1, найбільшого – не існує. Множину цілих чисел позначають літерою N.

2. звичайні дроби.×астку від ділення натурального числа à на натуральне число b можна

записати у вигляді çвичаéноãо дроáó ab

, де a – чиселüник дроáó, b – його

çнаменник.Ïравилüним дроáом називається дріб, у якого чисельник менший від

знаменника.Íеïравилüним дроáом називається дріб, у якого чисельник більший від

знаменника або дорівнює йому.Значення правильного дробу менше за 1, а неправильного – не менше за 1.З неправильного дробу можна виділити цілу і дробову частину (отримаємо

м³øане число).

Наприклад: =12 2

25 5

; =175 3

434 4

.

Мішане число можна подати у вигляді неправильного дробу.

Наприклад: ⋅ +

= =1 4 3 1 13

43 3 3

.

Основна властив³стü дроáó: значення дробу не зміниться, якщо чи сельник і знаменник дробу помножити або поділити на одне й те саме нату ральне число.

Наприклад: = =15 15 : 5 320 20 : 5 4

(скоротили дріб 1520

на 5), ⋅

= =⋅

3 3 2 67 7 2 14

(звели

дріб 37

до знаменника 14).

3. десяткові дроби.Звичайний дріб, знаменник якого – натуральне число, записане одиницею

з наступними нулями (10, 100, 1000 тощо) можна записувати десÿтковим дроáом.

Наприклад: =7

0,710

; =13

0,13100

; =197

0,1971000

.

ßкщо в чисельнику звичайного дробу цифр менше, ніж нулів у знамен-нику, то в десятковому дробі після коми дописують зліва до цих цифр стільки нулів, щоб кількість цифр після коми дорівнювала кількості нулів у знаменнику звичайного дробу.

розділ І. чиСла І вирази

7

Наприклад: =19

0,0191000

; =3

0,000310000

.

Властив³стü десÿтковоãо дроáó: значення десяткового дробу не змі-ниться, якщо до нього справа після коми дописати будь-яку кількість нулів.

Десятковими дробами, як і звичайними, можна записувати мішані числа. При цьому цілу чàстину відокремлюють комою, а праворуч від коми запи-сують дробову чàстину:

=3

7 7,310

; =11

4 4,001110000

; =1

19 19,01100

.

4. додатні і від’ємні числа. модуль числа.Пряму лінію з вибраними на ній початком відліку, одиничним відрізком

і напрямом називають координатноþ ïрÿмоþ (мал. 1). Точки цієї прямої зображають числа. Натуральні і дробові числа, які розглядалися раніше, називають додатними і пишуть іноді перед ними знак плюс, а числа, що знаходяться зліва від точки О (початок відліку) – в³д’ємними і пишуть перед ними знак мінус.

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5мàл. 1

Два числа, що відрізняються одне від одного лише знаком, називаються ïротилеæними числами. Наприклад: числа 5 і –5 – протилежні.

Ìодóлем числа називається відстань від початку відліку до точки, що зображує це число на координатній прямій.

Модулем додатного числа і числа нуль є саме це число, а модулем від’ємного числа – протилежне йому число. Модуль числа à позначають знаком a :

, 0,

– , 0.

≥=

<

якùо

якùо

a аa

а а

Наприклад: =2 2 ; =–3,8 3,8 ; =0 0 ; 3 3π − = π − (оскільки 3 0π − > );

( )4 4 4π − = − π − = − π (оскільки 4 0π − < ).

Властивост³ модóлÿ:

1) ≥ 0a ;

2) –a a= ;

3) = =2 2 2a a a ;

4) ⋅ = ⋅a b a b ;

5) =: :a b a b , де ≠ 0b ;

6) − ≤ + ≤ +a b a b a b ;

7) − ≤ − ≤ +a b a b a b .

8

Розділ I

5. Цілі числа, раціональні числа, ірраціональні числа.×исла, протилежні до натуральних, називають ц³лими в³д’ємними. На-

туральні числа, цілі від’ємні числа і нуль утворюють множину ц³лиõ чисел. Вона позначається літерою Z.

Об’єднання множин цілих і дробових чисел (додатних і від’ємних) складають множину рац³оналüниõ чисел. Вона позначається літерою Q.

Áудь-яке раціональне число можна записати у вигляді pq

, де ∈ ∈;p Z q N .

×исла, які не можна записати у вигляді pq

, де ∈ ∈,p Z q N , називають

³ррац³оналüними числами.

6. дійсні числа. Співвідношення між числовими множинами.

Z Q R

мàл. 2

N

Раціональні числа разом з ірраціональними утворюють множину д³éсниõ чисел. Множину дійсних чисел позначають літерою R.

Співвідношення між множинами натуральних, цілих, раціональних і дійсних чисел подано на малюнку 2.

§2. правила пОрІвняння раЦІОнальних чиСел.1. порівняння натуральних чисел.

Із двох натуральних чисел, що мають різну кількість цифр, більшим є те, в якого цифр більше.

Наприклад: 417 < 1922; 12375 > 9873.Із двох натуральних чисел, що мають однакову кількість цифр, більшим

є те, в якого більше одиниць у найвищому розряді.Наприклад: 732 > 698; 1295 < 2003.Із двох натуральних чисел, що мають однакову кількість цифр і однакову

цифру у найвищому розряді, більшим є те, в якого більше одиниць у наступному, нижчому, розряді і т. д.

Наприклад: 1232 > 1217; 14198 < 14199.

2. порівняння десяткових дробів.З двох десяткових дробів á³лüøиé той, у якого більша ціла частина. ßкщо

цілі частини дробів рівні, то більший той, у якого більше десятих, і т. д.Наприклад: 18,7 > 16,92; 12,37 < 12,41; 5,32 > 5,319.

3. порівняння звичайних дробів.Із двох дробів з однаковими знаменниками більший той, чисельник

якого більший.

Наприклад: >4 37 7

; <1 711 11

.

Ùоб порівняти дроби з різними знаменниками, достатньо звести їх до спільного знаменника (тобто, користуючись основною властивістю дробу, записати рівні їм дроби з однаковими знаменниками) і порівняти утворенні дроби.

9

Числа і вирази

Наприклад: щоб порівняти дроби 35

і 47

зведемо їх до спільного

знаменника 35. Маємо ⋅

= =⋅

3 3 7 215 5 7 35

і ⋅

= =⋅

4 4 5 207 7 5 35

. Оскільки >21 2035 35

, то

й >3 45 7

.

Із двох дробів з однаковими чисельниками, більший той, у якого зна-менник менший.

Наприклад: <5 5

,3 2

>11 11

.6 9

4. порівняння додатних і від’ємних чисел.Áудь-яке від’ємне число менше від нуля і менше від будь-якого додатного

числа. Із двох від’ємних чисел більшим є те, модуль якого менший, і меншим є те, модуль якого більший.

Наприклад: 2 > –10; –5 < 0; –3 < –1; –4 > –15.

§3. правила Округлення ЦІлих чиСел І деСяТкОвих дрОбІв.

1. правила округлень натуральних чисел.При окрóãленн³ натóралüноãо числа до певного розряду всі наступні

за цим розрядом цифри замінюють нулями. ßкщо перша наступна за цим розрядом цифра 5, 6, 7, 8 або 9, то останню цифру, що залишилася, збільшують на одиницю. ßкщо перша наступна за цим розрядом цифра 0, 1, 2, 3 або 4, то останню цифру, яка залишилася, не змінюють.

Наприклад, при округленні до сотень: 4520 ≈ 4500, 17287 ≈ 17300, 12950 ≈ 13000.

2. правила округлення десяткових дробів.При окрóãленн³ десÿтковоãо дроáó до певного розряду всі наступні за

цим розрядом цифри замінюють нулями або відкидають (якщо вони стоять після коми). ßкщо перша наступна за цим розрядом цифра 5, 6, 7, 8 або 9, то останню цифру, що залишилася, збільшують на одиницю. ßкщо перша наступна за цим розрядом цифра 0, 1, 2, 3 або 4. то останню цифру, що залишилася, не змінюють.

Наприклад, при округлені до сотих:4,783 ≈ 4,78; 5,925 ≈ 5,93; 4,798 ≈ 4,80.

§4. правила дІй з раЦІОнальними чиСлами.

1. дії з десятковими дробами.Äодаваннÿ ³ в³дн³маннÿ десÿтковиõ дроá³в виконують, як і додавання

натуральних чисел, порозрядно, записуючи їх один під одним так, щоб кома розміщувалася під комою. У сумі або різниці ставлять кому під комою.

10

Розділ I

Наприклад:

Ùоб ïеремноæити десÿтков³ дроáи, треба виконати множення, не звертаючи уваги на коми, а потім у результаті відокремити справа комою стільки цифр, скільки їх стоїть після коми в обох множниках разом. ßкщо ж у результаті отримують менше цифр, ніж треба відокремити комою, то зліва дописують відповідну кількість нулів.

Наприклад:

Ùоб ïомноæити десÿтковиé др³á на 10n, де n – натуральне число, треба в цьому дробі перенести кому на n цифр вправо. ßкщо для перенесення коми не вистачає знаків, то дріб доповнюють справа відповідною кількістю нулів.

Наприклад: 4,17 · 10 = 41,7; 0,29 · 100 = 29; 4,8 · 1000 = 4800.

Ùоá ïомноæити десÿтковиé др³á на 0,1; 0,01; 0,001…, треба в цьому дробі перенести кому вліво на стільки знаків, скільки нулів стоїть у другому множнику перед одиницею (включаючи і нуль цілих). ßкщо для перенесення коми не вистачає знаків, то дріб доповнюють зліва відповідною кількістю нулів.

Наприклад: 17,2 · 0,1 = 1,72; 293 · 0,01 = 2,93; 1,45 · 0,001 = 0,00145.

Ùоá ïод³лити десÿтковиé др³á на натóралüне число, треба виконати ділення, не звертаючи уваги на кому, проте після закінчення ділення цілої частини діленого треба в частці поставити кому.

Наприклад:

Ùоá ïод³лити десÿтковиé др³á на 10n, треба в цьому дробі перенести кому на n цифр уліво, доповнюючи його при недостачі знаків відповідною кількістю нулів зліва.

Наприклад: 14,5 : 10 = 1,45; 2,37 : 100 = 0,0237.

11

Числа і вирази

Ùоá ïод³лити десÿтковиé др³á на десÿтковиé, треба в діленому і дільнику перенести кому на стільки цифр вправо, скільки їх стоїть після коми в дільнику, а потім виконати ділення на натуральне число.

Наприклад: 12,1088 : 2,56 = 1210,88 : 256 = 4,73.

Ùоá ïод³лити десÿтковиé др³á на 0,1; 0,01; 0,001, …, треба в цьому дробі перенести кому вправо на стільки знаків, скільки нулів містить дільник перед одиницею (враховуючи нуль цілих). ßкщо для перенесення коми не вистачає знаків, то дріб доповнюють справа відповідною кількістю нулів.

Наприклад: 4,73 : 0,1 = 47,3; 2,5 : 0,01 = 250; 0,0427 : 0,001 = 42,7.

2. дії зі звичайними дробами.Äроáи ç однаковими çнаменниками додаþтü ³ в³дн³маþтü, використо-

вуючи формули:

++ =

a b a bc c c

і −

− = .a b a bc c c

Наприклад: + =2 3 5

;7 7 7

− =13 2 11

.19 19 19

Ùоá додати аáо в³днÿти дроáи ç р³çними çнаменниками, їх спочатку зводять до спільного знаменника, а потім додають або віднімають одержані дроби з однаковими знаменниками.

Наприклад:

ßк виконують додавання і віднімання мішаних чисел, показано на при-кладах:

Усі властивості дій із дійсними числами (див. с. 13) справедливі і для зви-чайних дробів; їх застосування часто спрощує процес додавання і віднімання.

Наприклад:

+ + + + = + + + + = + + = 7 5 2 7 1 7 2 5 7 1 1 1

1 2 1 2 2 3 5 .9 12 9 12 4 9 9 12 12 4 4 4

Тут використано переставну і сполучну властивості додавання.

Ùоá ïомноæити два дроáи, треба помножити окремо їх чисельники і знаменники, і перший добуток записати чисельником, а другий – зна-менником результату:

12

Розділ I

⋅ = ,a c acb d bd

де ≠ ≠0; 0.b d

Наприклад:

⋅⋅ = ⋅ = = =

⋅3 7 3 7 3 21 1

7 4 ;5 1 5 1 5 5 5

Застосування властивостей дій із дійсними числами часто спрощує процес множення дробів.

Наприклад: 3 19 4 3 4 19 19 19

7 7 1 7 7 .4 31 3 4 3 31 31 31

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =

ßкщо добуток двох дробів дорівнює 1, то такі дроби називають вçаємно оáерненими.

Наприклад: дріб 56

обернений до 65

, оскільки 5 6

1.6 5

⋅ =

Ùоá ïод³лити один др³á на ³нøиé, треба ділене помножити на дріб, обер нений до дільника:

: .= ⋅ =a c a d adb d b c bc

Наприклад: 2 3 2 7 2 7 14

: ;5 7 5 3 5 3 15

⋅= ⋅ = =

⋅

3. дії із додатними та від’ємними числами.Ùоá додати два в³д’ємниõ числа, треба додати їх модулі і поставити

перед одержаним числом знак «–». Наприклад: –2 + (–7) = –9.Ùоá додати два числа ç р³çними çнаками, треба від більшого з модулів

доданків відняти менший модуль і поставити перед різницею знак того доданка, модуль якого більший. Сума двох протилежних чисел дорівнює нулю.

Наприклад: –7 + 7 = 0; 5 + (–3) = 2; –8 + 1 = –7.Ùоá в³д одноãо числа в³днÿти ³нøе, треба до зменшуваного додати

число, протилежне до від’ємника:

( ).− = + −a b a b

13

Числа і вирази

Наприклад: 5 – 9 = 5 + (–9) = –4; –2 – 5 = –2 + (–5) = –7; –3 – (–7) = –3 + 7 = 4.Äоáóток двох чисел з однаковими знаками дорівнює добутку їх модулів.

Добуток двох чисел із різними знаками дорівнює добутку їх модулів, взятому зі знаком «–».

Наприклад: –4 · (–3) = 12; 2 · (–5) = 10.×астка двох чисел з однаковими знаками дорівнює частці від ділення їх

модулів. ×астка двох чисел із різними знаками дорівнює частці від ділення їх модулів, взятій зі знаком «–».

Наприклад: –8 : (–2) = 4; 6 : (–3) = –2; –18 : 6 = –3.

4. властивості дій із дійсними числами.При додаванні дійсних чисел справджується

ïереставна властив³стü: a + b = b + a та сïолóчна властив³стü: (a + b) + c = a + (b + c).

При множенні дійсних чисел справджується ïереставна властив³стü: ab = ba,сïолóчна властив³стü: (ab) · c = a · (bc) та роçïод³лüна властив³стü: (a + b) · c = ac + bc; (a – b) · c = ac – bc.

кОнТрОльний ТеСТ ¹ 1

1. Подати у вигляді неправильного дробу число 3

65

.

А Á В Г Д

325

335

215

395

інша відповідь

2. ßку з наведених цифр можна підставити замість * у запис 41*3 > 4174, щоб утворилася правильна нерівність?

А Á В Г Д

7 0 6 8 4

3. Укажіть правильну нерівність.

А Á В Г Д

0,19 > 0,2 –0,12 < –0,13 –5,1 > –5,99 –0,41 > –0,4 –0,02 > 0,01

4. Укажіть неправильну нерівність.

А Á В Г Д

4 37 7

>1 18 9

>2 37 8

<3 58 12

<8 59 6

<

14

Розділ I

5. Записати десятковий дріб 5,03 у вигляді мішаного числа.

А Á В Г Д

5310

35

103

5100

35

1000503100

6. ßке з округлень числа до десятих зроблене правильно?

А Á В Г Д

2,17 ≈ 2,1 3,82 ≈ 4 4,15 ≈ 4,2 7,392 ≈ 7,39 4,51 ≈ 4,6

7. Знайти частку 87 : 2,6 і округлити її до десятих.

А Á В Г Д

33,5 33,4 33,46 33,47 3,3

8. Знайти значення виразу: (39 – 23,4) : |–65|.

А Á В Г Д

0,24 –0,24 2,4 –2,4 24

9. Обчислити: 3 5 3

41 38 2 1 .4 6 8

− + −

А Á В Г Д

172

2417

424

113

2417

324

інша відповідь

10. Обчислити: 1 1 1 612 2 2 :

3 4 4 13⋅ − .

А Á В Г Д

122

87

48

511

85

328

722

8

11. Виконати дії: ( ) 12,5 13,4 5 : 5 0,25

2− ⋅ − + ⋅ .

12. Відомо, що 2=ab

. ×ому дорівнює частка чисел 0,25a і 1,25b?

73

Числа і вирази

зразки ТеСТОвих завдань.

завдання з вибором однієї правильної відповіді.Çавданнÿ 1-60 маþтü ïо ï’ÿтü вар³ант³в в³дïов³д³, серед ÿкиõ лиøе

один ïравилüниé.

1. У коробці менше 40 цукерок. Цукерки можна порівну розділити між двома або трьома дітьми, але не можна між чотирма. ßка найбільша можлива кількість цукерок може бути в коробці?

А Á В Г Д

27 30 33 36 39

2. В ящику знаходяться білі та чорні кульки у відношенні 3:1. Вкажіть число, яким може виражатися загальна кількість кульок у ящику.

А Á В Г Д

62 63 64 65 70

3. У Сергія є певна кількість слив. ßкщо він розкладе їх у купки по 4 сливи, то одна слива залишиться, а коли розкладе їх по 3, то зайвих слив не виявиться. ßка кількість слив із запропонованих може бути у Сергія?

А Á В Г Д

27 30 32 33 46

4. Відомо, що 410 + n ділиться на 9; яке значення із запропонованих може приймати число n?

А Á В Г Д

4 2 1 7 9

5. ßку з цифр потрібно підставити замість * у число 12 * 34 , щоб воно ділилося на 3 без остачі?

А Á В Г Д

4 6 3 7 2

6. Сума чисел 212 + a ділиться на 5. ßке значення із запропонованих може приймати число a.

А Á В Г Д

319 413 250 719 495

81

Числа і вирази

58. Обчислити: ( ) ( )lg 25 lg 4a b+ , якщо ( )lg = 3ab , > 0, > 0a b .

А Á В Г Д

103 1323

5 6

59. На змаганнях з настільного тенісу брали участь однакові за кількістю хлопчиків і дівчаток команди, усього 34 дівчинки і 51 хлопчик. Скільки дівчаток було в кожній команді?

А Á В Г Д

1 2 3 4 5

60. Довжина кроку батька 70 см, довжина кроку сина 40 см. ßку найменшу відстань вони повинні пройти, щоб кожний зробив ціле число кроків?

А Á В Г Д

3,5 м 5,6 м 2,8 м 28 мнеможливо визначити

завдання на встановлення відповідностей.Ó çавданнÿõ 1-5 до коæноãо ç рÿдк³в ³нформац³¿, ïоçначениõ цифрами,

виáер³тü один ïравилüниé, на Ваøó дóмкó, вар³ант, ïоçначениé áóквоþ.

1. Встановити відповідності між виразами (1-4) та їх значеннями якщо x = 1,5 (А-Д).

1 2 4

2x

x−

+

2 2

2 44 4 4

x xx x x−

⋅− +

3 3

2

1

1

xx x

−+ +

4 ( ) ( )22 4 1x x− + −

2. Встановити відповідність між числовими виразами (1-4) та їхніми зна- ченнями (А-Д).

1 20022 –19982

2 1742 – 174 · 268 + 1342

3 822 + 82 · 76 + 382

4 1212 – 21 · 121 – 121 + 21

A 0,5

Б 1

 –0,5

Г 2,25

Д –1

A 1600

Б 1440

 14400

Г 12000

Д 16000

А Á В Г Д

1

2

3

4

А Á В Г Д

1

2

3

4

82

Розділ I

3. Встановити відповідність між формулами зведення (1-4) та виразами, які їм тотожно дорівнюють (А-Д).

1 ( )sin π + α

2 ( )cos 2π − α

3 3

sin2π − α

4 3

cos2π + α

4. Встановити відповідність між числовими виразами (1-4) та значеннями цих виразів (А-Д).

1 ( )8 50 2−

2 ( )12 2 50

2−

3 ( ) ( )21 15 21 15− +

4 ( )22 3 2 6− +

5. Встановити відповідність між числовими виразами (1-4) та значеннями цих виразів (А-Д).

1 4log 8

2 2log 4

3 8log 2

4 2log 2

завдання з короткоþ відповіддþ.

1. Ціна товару спочатку знизилася на 10%, але згодом нову ціну підняли на 20%. На скільки відсотків кінцева ціна товару більша від початкової?

2. Обчислити: 2 21 4 1192 2,5 98 71

16 75 234− − − .

3. Знайти x із пропорції:

1 1 2 3 14 3,5 2 1 : 0,16 3 :7 5 7 14 6=23 49

41 4084 60

x

− − −

−.

4. Знайти значення виразу: ( ) ( )2 24 4 4 43 27 7 3 27 7 − + + −

.

A 1

Б –sin α

 sin α

Г –cos α

Д cos α

A 6

Б 3

 5

Г –6

Д –3

A 2

Б 23

 32

Г 13

Д 12

А Á В Г Д

1

2

3

4

А Á В Г Д

1

2

3

4

А Á В Г Д

1

2

3

4

83

Числа і вирази

5. Обчислити: 42 37 7

9 39 2 39 3 2− −

− + −.

6. Обчислити: 1,6 1,8

23

3 9

27

− ⋅.

7. Обчислити: 15 16 17 18log 18 log 15 log 16 log 17⋅ ⋅ ⋅ .

8. Обчислити: + ⋅8log 12533 52 log 5 log 27 .

9. Знайти значення виразу: ( )2 4 12

3 log log 16 log 2+ .

10. Знайти значення виразу: 6 6 2 2sin cos 3sin cosα + α + α α, якщо = 12α °.

11. Обчислити кут при =9

xπ

значення виразу ( )3 sin sin3 sin5

cos cos3 cos5

x x x

x x x

+ +

+ +.

12. Спростити вираз:

( ) ( )2 2 2 2 3sin cos sin sin cos cos

2 2π π α − α − π − α α − π − α + α

.

13. Знайти cos 22π + α

, якщо відомо, що ( ) 1

сtg 2 =3

α − π − .

14. Обчислити значення виразу α α + α

sin 1 tg tg2

, якщо = 45α ° .

15. Знайти sin4α , якщо sin2 = 0,6α − і 135 < < 180° α ° .

16. Спростити вираз ( )2 4a b ab a b+ − − + , якщо = 17a ; = 3b .

17. Знайти значення виразу 2

a a b b a bab

a ba b

+ +− ⋅ −+

, якщо a = 2013;

b = 2012.

18. Знайти значення виразу 2 2

2 1xx yx y

−+−

, якщо x = – 3,17; y = –1,17.

19. Знайти значення виразу 2

1 1:

xx

x x x x x x

++

+ + −, якщо x = 1999.

20. Знайти значення виразу 2 2

2 2:

ab ab a ba a

a b a b b a + − − + −

, якщо = 2,a

= 8b .

84

Розділ I

Структуровані завдання з короткоþ відповіддþ

1. Кількість хлопців, які є випускниками деякої школи відноситься до кількості дівчат, як 6 : 7. 1. Скільки всього випускників у даній школі, якщо їх кількість більша

за 110, але менша за 125?

Âідповідь: ,2. Скільки дівчат-випускниць у даній школі?

Âідповідь: ,2. Початкова ціна планшета становила 1800 грн. Під час акції його ціна

була зменшена на 20%.1. Обчисліть ціну планшета під час акції.

Âідповідь: ,2. Скільки відсотків становить початкова ціна планшета від його ціни

під час акції?

Âідповідь: ,

3. Відомо, що −=

+

2 23 1215

2a ba b

. Тоді

1. − =2a b

Âідповідь: ,

2. ( )− − − =3 38 6 2a b ab a b

Âідповідь: ,

4. Відомо, що α = −3

cos5

і π

< α < π2

. Тоді

1. α =sin

Âідповідь: ,

2. π α + =

2 cos

4

Âідповідь: ,

5. ßкщо додатні числа x i y задовольняють умову = 8xy

, то:

1. +=

3x yy

Âідповідь: ,

2. − =2 2log logy x

Âідповідь: ,

85

Числа і вирази

завдання з повним розв’язанням

1. Спростіть вираз:

− − + +− − + +

2 2

2 4 3 3 2 2

1 3b b ab

a ba ab a ab a a b ab та знайдіть

його значення, якщо à = – 0,2; b = 217.

2. Доведіть, що при всіх допустимих значеннях змінної значення виразу

( ) − ⋅ − + −+ −−

3 2

2 2 2 2 2

x xy x y yy xx y x yx y

не залежить від õ і у.

3. Спростіть вираз α α − + α α α α

sin4 cos4 1 1sin cos sin3 sin

.

4. Обчисліть значення виразу − +

+ ⋅ − + −+ −

3 2x y x y x y yx y x yx y y x x y y x

,

якщо õ = 2017, у = 2016.

5. Відомо, що lg 5 = a; lg 3 = b. Знайдіть 30log 8 .

527

Тренувальний ТесТ №1

Завдання 1-20 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише ОДин Правильний. виберіть правильний, на вашу думку, варіант від-повіді, позначте його у бланку а згідно з інструкцією. не робіть інших позначок в бланку а, оскільки комп’ютерна програма реєструватиме їх як помилки!

1. Розташуйте в порядку зростання числа 29

; 0,2; 0,22.

А Б В Г Д

29

; 0,2; 0,22 0,2; 0,22; 29

0,22; 29

; 0,2 0,2; 29

; 0,2229

; 0,22; 0,2

2. Діаграма, зображена на рисунку містить інформацію про кількість про-даних одиниць техніки в супермаркеті електроніки протягом тижня.

ìîá³ëüí³ òåëåôîíè

íîóòáóêè ïëàíøåòè òåëåâ³çîðè öèôðîâ³ ôîòîàïàðàòè

найменування товару

кіл

ькіс

ть

про

даних

одиниць

тех

нік

и

Використовуючи дані діаграми, доберіть таке закінчення речення, щоб утворилося правильне твердження: «Більше, ніж цифрових фотоапаратів, але менше, ніж мобільних телефонів, у цьому супермаркеті продано…»

А Б В Г Д

і ноутбуків, і телевізорів

лише телевізорів

і ноутбуків, і планшетів

лише планшетів

і планшетів, і телевізорів

3. Точки А, В і С належать прямій, що паралельна прямій т. Скільки існує площин, які паралельні прямій т і проходить через точки А, В, і С?

А Б В Г Д

безліч лише три лише дві лише одна жодної

Комплексні варіанти тестових завдань

528

4. На рисунку зображено графік функції ( )y f x= , яка визначена на відрізку

[–5; 4]. Вкажіть область значень цієї функції.

А Б В Г Д

[–5; 4] [–2; 2] [–2; 3] [–3; 4] [–5; –3]

5. Пряма а перетинає перпендикулярні прямі b i c (див. рисунок). Визначте градусну міру кута х.

А Б В Г Д

122° 132° 138° 142° 152°

6. Розв’яжіть рівняння 3 1 1

4 8x x− +

= .

А Б В Г Д

35

−37

35

15

−53

7. AD – медіана трикутника АВС (див рисунок). Вкажіть правильну векторну рівність.

А Б

( )12

AD AB AC= + ( )2AD AB AC= +

В Г Д

( )12

AD AB AC= − + ( )1

2AD AB AC= − ( )1

2AD AC AB= −

y

x

y f x= ( )

b

c

x

52\

543

ВІДПОВІДІ

А Б В Г Д1234

1 А Б В Г Д1234

2 А Б В Г Д1234

3 А Б В Г Д1234

4 А Б В Г Д1234

5

АлгебрА

розділ І. ЧислА І ВирАзи

Контрольні тести.

№ вправи№ теста

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 Б Г В Д В В А А Г Д –127,75 0,42 Г Г В В Г Д Б В В Г 228 –123 Г В Г Г А Б В В Г А –6 20,254 Г Д Г В Г Б Г А В В –1 0,7045 В Д Б Б А Б Г А Б Г 1,4 –56 Г Г В А Г Б Г Б Б Д 3,5 322,57 Б Г В В В Д Г Г В А –0,48 –3,58 А В Г Д А Д В Б В В 0,5 1359 Б Б Б Г Б Г Д Г А Г 890 75

завдання з вибором однієї правильної відповіді

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Б В Г А Д Б Б Г Б Д Г В Б Г Д

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Б В Б В Г В Г Б Д А Г Г В Д Б

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

Г В В В Г А Д Б В Б Г Г Б А Б

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

В Г Д В Б А В Б В Б Д В Г Б В

завдання на встановлення відповідностей

555

Передмова ........................................................................................................... 3

Алгебра і початки аналізу

Розділ І. ЧИСЛА І ВИРАЗИ ............................................................................ 6

§1. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА. .............................................................. 61. Натуральні числа ................................................................. 62. Звичайні дроби. .................................................................... 63. Десяткові дроби.................................................................... 64. Додатні і від’ємні числа. Модуль числа .................................. 75. Цілі числа, раціональні числа, ірраціональні числа ................. 86. Дійсні числа. Співвідношення між числовими множинами ....... 8

§2. ПРАВИЛА ПОРІВНЯННЯ РАЦІОНАЛЬНИх ЧИСеЛ. .................... 81. Порівняння натуральних чисел. ............................................. 82. Порівняння десяткових дробів ............................................... 83. Порівняння звичайних дробів ................................................ 84. Порівняння додатних і від’ємних чисел .................................. 9

§3. ПРАВИЛА ОкРуГЛеННЯ ЦІЛИх ЧИСеЛ І ДеСЯткОВИх ДРОБІВ. .............................................................. 91. Правила округлень натуральних чисел ................................... 92. Правила округлення десяткових дробів .................................. 9

§4. ПРАВИЛА ДІй З РАЦІОНАЛЬНИМИ ЧИСЛАМИ ......................... 91. Дії з десятковими дробами .................................................... 92. Дії зі звичайними дробами .................................................. 113. Дії із додатними та від’ємними числами ............................... 124. Властивості дій із дійсними числами .................................... 13Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 1 .......................................................... 13

§5. ПОДІЛЬНІСтЬ НАтуРАЛЬНИх ЧИСеЛ. .................................... 151. Дільники і кратні ............................................................... 152. Ознаки подільності на 2; 3; 5; 9; 10 ...................................... 153. Прості і складені числа. Розкладання натурального числа

на прості множники ........................................................... 154. Найбільший спільний дільник (НСД) і найменше спільне

кратне (НСк) ..................................................................... 15

§6. тОтОæНІ ВИРАЗИ. тОтОæНІСтЬ. тОтОæНІ ПеРетВОРеННЯ ВИРАЗІВ. ................................................................................ 161. тотожні вирази. тотожність ................................................ 162. тотожні перетворення виразів .............................................. 16

зміст

556

§7. ВІДНОøеННЯ тА ПРОПОРЦІЇ ................................................... 171. Відношення. Пропорція ...................................................... 172. Використання основної властивості пропорції

при розв’язуванні рівнянь ................................................... 183. Прямо пропорційна залежність ............................................ 18

§8. ПеРетВОРеННЯ ДеСЯткОВОГО ДРОБу у ЗВИЧАйНИй тА ЗВИЧАйНОГО у ДеСЯткОВИй ........................................... 191. Перетворення десяткового дробу у звичайний ........................ 192. Перетворення звичайного дробу у скінченний десятковий ....... 193. Перетворення звичайного дробу у нескінчений періодичний

десятковий дріб .................................................................. 194. Десяткове наближення звичайного дробу. .............................. 20Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 2 .......................................................... 20

§9. СтеПІНЬ З НАтуРАЛЬНИМ ПОкАЗНИкОМ .............................. 221. Означення степеня з натуральним показником ...................... 222. Властивості степеня з натуральним показником .................... 22

§10. ОДНОЧЛеН ............................................................................. 221. Означення одночлена .......................................................... 222. Множення одночленів ......................................................... 233. Піднесення одночлена до степеня ......................................... 23

§11. МНОГОЧЛеН ........................................................................... 231. Означення многочлена ........................................................ 232. Додавання і віднімання многочленів ..................................... 233. Множення одночлена на многочлен ...................................... 244. Множення многочленна на многочлен .................................. 24

§12. ÔОРМуЛИ СкОРОЧеНОГО МНОæеННЯ ................................... 24

§13. РОЗкЛАДАННЯ МНОГОЧЛеНІВ НА МНОæНИкИ ..................... 251. Винесення спільного множника за дужки ............................. 252. Спосіб групування .............................................................. 253. Використання ôормул скороченого множення ....................... 25Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 3 .......................................................... 26

§14. АЛГеБРАЇЧНИй ДРІБ .............................................................. 271. Означення алгебраїчного дробу.............................................. 272. Область допустимих значень змінних ..................................... 273. Основна властивість дробу .................................................... 284. Скорочення дробу ................................................................ 285. Зведення дробу до нового знаменника .................................... 28

§15. ПРАВИЛА ВИкОНАННЯ АРИÔМетИЧНИх ДІй З АЛГеБРАЇЧНИМИ ДРОБАМИ ................................................ 281. Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками .... 282. Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками .......... 293. Множення дробів ................................................................. 29

557

4. Піднесення дробу до степеня ................................................. 295. Ділення дробів .................................................................... 30

§16. тОтОæНІ ПеРетВОРеННЯ РАЦІОНАЛЬНИх ВИРАЗІВ ............. 30

§17. СтеПІНЬ З ЦІЛИМ ПОкАЗНИкОМ ........................................... 311. Означення степеня з цілим показником ................................ 312. Властивості степеня з цілим показником .............................. 32Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 4 .......................................................... 32

§18. кВАДРАтНІ кОРеНІ. АРИÔМетИЧНИй кВАДРАтНИй кОРІНЬ ............................................................ 341. Означення квадратного кореня ............................................. 342. Означення ариôметичного квадратного кореня ...................... 343. Властивості ариôметичного квадратного кореня .................... 344. Дії з ариôметичними квадратичними коренями ..................... 35

§19. тОтОæНІ ПеРетВОРеННЯ ВИРАЗІВ, ùО МІСтЯтЬ кВАДРАтНІ кОРеНІ ................................................................ 361. Винесення множника з-під знака кореня .............................. 362. Внесення множника під знак кореня .................................... 363. Скорочення дробів .............................................................. 364. Звільнення дробу від ірраціональності в знаменнику дробу ..... 37

§20. кОРІНЬ n-го СтеПеНЯ. АРИÔМетИЧНИй кОРІНЬ n-го СтеПеНЯ. ............................................................ 371. Означення кореня n-го степеня. ........................................... 372. Означення ариôметичного кореня n-го степеня. ..................... 373. Властивості ариôметичного кореня n-го степеня. ................... 384. Дії з ариôметичними коренями n-го степеня. ........................ 39

§21. тОтОæНІ ПеРетВОРеННЯ ВИРАЗІВ, ùО МІСтЯтЬ АРИÔМетИЧНІ кОРеНІ n-го СтеПеНЯ. ................................... 391. Винесення множника з-під знака кореня. ............................. 392. Внесення множника під знак кореня. ................................... 393. Скорочення дробів. ............................................................. 404. Звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу. ............. 40Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 5 .......................................................... 40

§22. ПОРІВНЯННЯ ДІйСНИх ЧИСеЛ .............................................. 421. Порівняння ірраціональних чисел ........................................ 422. Загальне правило порівняння двох дійсних чисел .................. 42

§23. ЧИСЛОВІ ПРОМІæкИ .............................................................. 431. Означення, зображення та позначення числового проміжку .... 432. Переріз та об’єднання числових проміжків ........................... 44

§24. СтеПІНЬ З РАЦІОНАЛЬНИМ ПОкАЗНИкОМ ............................ 441. Означення степеня з раціональним показником ..................... 442. Властивості степеня з раціональним показником ................... 453. Перетворення виразів, які містять степінь з раціональним

показником ........................................................................ 45

558

§25. ВІДСОткИ ............................................................................... 461. Означення відсотка ............................................................. 462. Знаходження відсотка від числа ........................................... 463. Знаходження числа за значенням його відсотка ..................... 464. Відсоткове відношення двох чисел ....................................... 465. Ôормула складних відсотків ................................................ 47Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 6 .......................................................... 47

§26. ОЗНАЧеННЯ СИНуСА, кОСИНуСА, тАНГеНСА і кОтАНГеНСА ЧИСЛОВОГО АРГуМеНту ........................................................ 491. Градусна та радіанна міра кута ............................................ 492. Одиничне коло ................................................................... 503. кут довільної величини ....................................................... 504. тригонометричні ôункції кута і числового аргумента ............. 515. тригонометричні ôункції деяких кутів ................................. 52

§27. ВЛАСтИВОСтІ тРИГОНОМетРИЧНИх ÔуНкЦІй ..................... 531. Область визначення ............................................................ 532. Область значень ................................................................. 533. Знаки тригонометричних ôункцій у чвертях ......................... 544. Парність і непарність тригонометричних ôункцій .................. 555. Періодичність тригонометричних ôункцій ............................ 55

§28. СПІВВІДНОøеННЯ МІæ тРИГОНОМетРИЧНИМИ ÔуНкЦІЯМИ ОДНОГО й тОГО САМОГО АРГуМеНту ..................................... 561. тотожності, що пов’язують тригонометричні ôункції

одного й того самого аргументу ............................................ 562. Використання співвідношень між тригонометричними

ôункціями одного й того самого аргументу для обчислень ...... 563. Використання співвідношень між тригонометричними

ôункціями одного й того самого аргументу для тотожних перетворень виразів ....................................... 57

Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 7 .......................................................... 57

§29. ÔОРМуЛИ ЗВеДеННЯ тА Їх ЗАСтОСуВАННЯ ......................... 591. Ôормули зведення .............................................................. 592. Застосування ôормул зведення для обчислень ....................... 603. Застосування ôормул зведення для тотожних

перетворень виразів ............................................................ 60

§30. ÔОРМуЛИ ДОДАВАННЯ тА НАСЛІДкИ З НИх ........................ 611. Ôормули додавання ............................................................ 612. Ôормули подвійного і потрійного кута .................................. 623. Ôормули пониження степеня ............................................... 634. Ôормули половинного кута ................................................. 645. Ôормули перетворення суми і різниці однойменних

тригонометричних ôункцій у добуток ................................... 64Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 8 .......................................................... 65

559

§31. ЛОГАРИÔМ. ............................................................................ 671. Означення логариôма. ........................................................ 672. Десятковий і натуральний логариôми. ................................. 673. Властивості логариôмів. ...................................................... 684. тотожні перетворення виразів, що містять логариôми. .......... 69Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 9 .......................................................... 71

ЗРАЗкИ теСтОВИх ЗАВДАНЬ ........................................................ 73

Розділ ІІ. РІВíяííя І íåРІВíîСòІ

§1. РІВНЯННЯ З ОДНІЄþ ЗМІННОþ. ............................................ 861. Означення рівняння з однією змінною. ................................. 862. корінь (розв’язок) рівняння з однією змінною. ...................... 863. Рівносильні рівняння. ......................................................... 864. Властивості рівнянь. ........................................................... 86

§2. ЛІНІйНІ РІВНЯННЯ, РіВНЯННЯ, ùО ЗВОДЯтЬСЯ ДО ЛІНІйНИх ............................. 871. Лінійне рівняння. ............................................................... 872. Рівняння, що зводяться до лінійних. .................................... 87

§3. РІВНЯННЯ З ДВОМА ЗМІННИМИ. СИСтеМИ РІВНЯНЬ З ДВОМА ЗМІННИМИ. .............................. 881. Рівняння з двома змінними. ................................................ 882. Розв’язок рівняння з двома змінними ................................... 883. Рівносильні рівняння з двома змінними. ............................... 884. Системи рівнянь з двома змінними. ...................................... 885. Означення рівносильних систем. .......................................... 89

§4. МетОДИ РОЗВ’ЯЗуВАННЯ СИСтеМ ЛІНІйНИх РІВНЯНЬ. ....... 891. Лінійне рівняння з двома змінними. .................................... 892. Граôік лінійного рівняння з двома змінними. ....................... 893. Граôічний спосіб розв’язування систем. ................................ 904. Розв’язування систем двох лінійних рівнянь

з двома змінними способом підстановки ................................ 905. Розв’язування системи двох лінійних рівнянь

з двома змінними способом додавання .................................. 91Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 1 .......................................................... 92

§5. кВАДРАтНІ РІВНЯННЯ. .......................................................... 931. Означення квадратного рівняння. ........................................ 932. Неповне квадратне рівняння. ............................................... 933. Ôормули коренів квадратного рівняння. ............................... 94

§6. теОРеМА ВІЄтА. ..................................................................... 95

§7. РОЗВ’ЯЗуВАННЯ РІВНЯНЬ, ùО ЗВОДЯтЬСЯ ДО кВАДРАтНИх. ......................................... 961. Дробові раціональні рівняння. ............................................. 96

560

2. Метод розкладання многочлена на множники. .................................................................... 98

3. Біквадратні рівняння. ......................................................... 984. Метод заміни змінних. ........................................................ 98Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 2 .......................................................... 99

§8. кВАДРАтНИй тРИЧЛеН ........................................................1011. Означення квадратного тричлена ........................................1012. Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники. .....101

§9. РОЗВ’ЯЗуВАННЯ СИСтеМ РІВНЯНЬ ДРуГОГО СтеПеНЯ З ДВОМА ЗМІННИМИ. ..............................1021. Спосіб підстановки ............................................................1022. Спосіб додавання ...............................................................1023. Заміна змінних .................................................................103

§10. ЗАСтОСуВАННЯ РІВНЯНЬ ДО РОЗВ’ЯЗуВАННЯ текСтОВИх ЗАДАЧ ...............................1041. Загальна схема. .................................................................1042. Розв’язування текстових задач за допомогою

лінійних рівнянь. ..............................................................1043. Розв’язування текстових задач за допомогою квадратних рівнянь. ...............................................................1044. Задачі на рух, що зводяться до дробових

раціональних рівнянь. .......................................................1055. Задачі на роботу, що зводяться до дробових

раціональних рівнянь. .......................................................106

§11. ЗАСтОСуВАННЯ СИСтеМ РІВНЯНЬ ДО РОЗВ’ЯЗуВАННЯ текСтОВИх ЗАДАЧ ...............................1071. Загальна схема. .................................................................1072. Розв’язування текстових задач за допомогою

системи лінійних рівнянь. ..................................................1073. Розв’язування текстових задач за допомогою

систем рівнянь другого степеня. ..........................................107Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 3 .........................................................108

§12. НеРІВНОСтІ ...........................................................................1101. Означення нерівності з однією змінною. ..............................1102. Розв’язок нерівності з однією змінною. ................................1103. Рівносильні нерівності. ......................................................1104. Властивості нерівностей з однією змінною............................110

§13. ЛІНІйНІ НеРІВНОСтІ З ОДНІЄþ ЗМІННОþ. ...........................1101. Розв’язування лінійних нерівностей. ...................................1102. Розв’язування нерівностей, що зводяться до лінійних. ..........111

§14. СИСтеМИ НеРІВНОСтей З ОДНІЄþ ЗМІННОþ тА Їх РОЗВ’ЯЗуВАННЯ. .........................................................1111. Система нерівностей з однією змінною .................................111

561

2. Загальна схема розв’язування систем нерівностей. ................1123. Розв’язування систем лінійних нерівностей. .........................112

§15. кВАДРАтНА НеРІВНІСтЬ. ......................................................1131. Означення квадратної нерівності. ........................................1132. Розв’язування квадратної нерівності. ..................................113

§16. МетОД ІНтеРВАЛІВ ...............................................................115

§17. РІВНЯННЯ, ùО МІСтЯтЬ ЗМІННу ПІД ЗНАкОМ МОДуЛЯ ......1161. Рівняння виду ( )f x a= де a – число ...................................116

2. Рівняння виду ( ) ( )=f x g x ................................................117

3. Рівняння виду ( ) ( )=f x g x ...............................................117

4. Рівняння, що містять декілька знаків модуля ......................117

§18. НеРІВНОСтІ, ùО МІСтЯтЬ ЗМІННу ПІД ЗНАкОМ МОДуЛЯ. ...1191. Нерівності виду ( )f x a> та ( )f x a≥ , а – число ..................119

2. Нерівності виду ( )f x a< та ( ) ,f x a≤ а – число ..................119

3. Загальний підхід до розв’язування нерівностей, що містять знак модуля. ....................................................120

Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 4 .........................................................121

§19. ІРРАЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ. ..................................................122

1. Рівняння ( )n f x a= , а – число ............................................122

2. Рівняння виду ( ) ( )n nf x g x= .............................................123

3. Рівняння виду ( ) ( )n f x g x= ...............................................123

4. Розв’язування ірраціональних рівнянь, що містять кілька квадратних коренів. ................................124

5. Заміна змінних у ірраціональному рівнянні. ........................126

§20. СИСтеМИ, ùО МІСтЯтЬ ІРРАЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ. ............126

§21. ІРРАЦІОНАЛЬНІ НеРІВНОСтІ. ................................................1271. Найпростіші ірраціональні нерівності ..................................127

2. Нерівності виду ( ) ( )n nf x g x> , ( ) ( )n nf x g x≥ . ...................128

3. Нерівності виду ( ) ( )f x g x< , ( ) ( )f x g x≤ ...........................129

4. Нерівності виду ( ) ( ),f x g x> ( ) ( )f x g x≥ ..........................130

5. Розв’язування ірраціональних нерівностей, що містять декілька квадратних коренів. .............................................130

Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 5 .........................................................131

562

§22. АРкСИНуС, АРккОСИНуС, АРктАНГеНС І АРккОтАНГеНС ЧИСЛА. .....................................................1331. Арксинус і арккосинус числа ..............................................1332. Арктангенс і арккотангенс .................................................134

§23. НАйПРОСтІøІ тРИГОНОМетРИЧНІ РІВНЯННЯ. ....................1341. Рівняння sin t = a .............................................................1342. Рівняння cos t = a .............................................................1363. Рівняння tg t = a ...............................................................1374. Рівняння ctg t = a .............................................................1375. тригонометричні рівняння, які зводяться

до найпростіших. ..............................................................138

§24. МетОДИ РОЗВ’ЯЗуВАННЯ тРИГОНОМетРИЧНИх РІВНЯНЬ. ..1381. Заміна змінних у тригонометричних рівняннях. ...................1382. Зведення тригонометричного рівняння

до однієї ôункції одного аргументу .....................................1393. Метод розкладання на множники. .......................................1404. Однорідні тригонометричні рівняння та рівняння,

що зводяться до однорідних. ...............................................1415. Рівняння виду a sin x + b cos x = c .....................................142

§25. СИСтеМИ, ùО МІСтЯтЬ тРИГОНОМетРИЧНІ РІВНЯННЯ. ......143

§26. НАйПРОСтІøІ тРИГОНОМетРИЧНІ НеРІВНОСтІ. ..................144Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 6 .........................................................148

§27. ПОкАЗНИкОВІ РІВНЯННЯ. ....................................................1501. Рівняння ax = b, де a > 0, a ≠ 1 ...........................................1502. Рівняння af(x) = ag(x), де a > 0, a ≠ 1 ....................................1513. Зведення показникових рівнянь до найпростіших

способом винесення спільного множника за дужки. ..............1514. Рівняння виду af(x) = bf(x), де a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, a ≠ b ....1515. Заміна змінних у показникових рівняннях ..........................1526. Однорідні показникові рівняння .........................................152

§28. ПОкАЗНИкОВІ НеРІВНОСтІ. ..................................................1531. Нерівності виду ax ≥ b, ax > b, ax ≤ b, ax < b, де a > 0, a ≠ 1 ........1532. Нерівності виду af(x) ≥ ag(x), af(x) > ag(x), де a > 0, a ≠ 1 .............1543. Розв’язування складніших показникових нерівностей. ..........154

§29. ЛОГАРИÔМІЧНІ РІВНЯННЯ ...................................................1551. Рівняння виду logax = b ....................................................1552. Рівняння виду logaf(x) = logag(x) .........................................1563. Рівняння виду logaf(x) = g(x) ..............................................1564. Рівняння, які зводяться до найпростіших за допомогою

ôормул логариôмування ....................................................1565. Заміна змінних у логариôмічних рівняннях. ........................157

563

§30. ЛОГАРИÔМІЧНІ НеРІВНОСтІ. ................................................1581. Нерівності виду logax ≥ b, logax > b, logax ≤ b, logax < b .........1582. Нерівності виду logaf(x) ≥ logag(x), logaf(x) > logag(x) .............1583. Розв’язування складніших логариôмічних нерівностей .........159

§31. СИСтеМИ, ùО МІСтЯтЬ ПОкАЗНИкОВІ І ЛОГАРИÔМІЧНІ РІВНЯННЯ. ................................................160Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 7 .........................................................162

§32. РОЗВ’ЯЗуВАННЯ РІВНЯНЬ, НеРІВНОСтей тА СИСтеМ З ПАРАМетРАМИ. ........................1641. Розв’язування рівнянь із параметрами. ................................1642. Розв’язування нерівностей з параметрами. ...........................1653. Розв’язування систем з параметром .....................................166

§33. ЗАСтОСуВАННЯ ВЛАСтИВОСтей ÔуНкЦІй ДО РОЗВ’ЯЗуВАННЯ РІВНЯНЬ тА НеРІВНОСтей. ..................1671. Використання ОДЗ рівняння або нерівності,

яка є порожньою множиною або скінченною множиною. .......1672. Оцінювання лівої і правої частини рівняння або нерівності. ...1683. Використання монотонності ôункції

при розв’язуванні рівняння. ...............................................168

§34. ВИкОРИСтАННЯ ГРАÔІЧНОГО МетОДу РОЗВ’ЯЗуВАННЯ І ДОСЛІДæеННЯ РІВНЯНЬ, НеРІВНОСтей тА СИСтеМ. ...........1691. Використання граôічного методу розв’язування

і дослідження рівнянь. .......................................................1692. Використання граôічного методу розв’язування

і дослідження нерівностей. .................................................1703. Використання граôічного методу розв’язування

і дослідження системи рівнянь. ..........................................171Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 8 .........................................................172

ЗРАЗкИ теСтОВИх ЗАВДАНЬ .......................................................174

Розділ ІІІ. ФУíКЦІя .................................................................................... 188

§1. ОСНОВНІ ВІДОМОСтІ ПРО ÔуНкЦІþ. .....................................1881. Означення ôункції. ............................................................1882. Область визначення ôункції. ..............................................1883. Область значень ôункції. ...................................................1894. табличний спосіб задання ôункції. .....................................1895. Граôік ôункції. Граôічний спосіб задання ôункції. ..............1896. Нулі ôункції. ....................................................................1907. Проміжки зростання та спадання ôункції. точки максимуму

і точки мінімуму ôункції. Максимуми і мінімуми ôункції. ...190

§2. ОБеРНеНА ÔуНкЦІЯ. ............................................................191

§3. ПАРНІСтЬ І НеПАРНІСтЬ ÔуНкЦІЇ. .......................................192

564

§4. ЛІНІйНА ÔуНкЦІЯ. ...............................................................1931. Означення та граôік лінійної ôункції. .................................1932. Пряма пропорційність. .......................................................1943. Властивості лінійної ôункції. .............................................195Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 1 .........................................................195

§5. ÔуНкЦІЇ 2; ;k

y y x y xx

= = = , Їх ГРАÔІкИ

тА ВЛАСтИВОСтІ. ..................................................................197

1. Ôункція k

yx

= , її граôік ....................................................197

2. Ôункція 2y x= , її граôік ...................................................198

3. Ôункція 2; ;k

y y x y xx

= = = , її граôік ôункції .....................................198

4. Властивості ôункції 2; ;k

y y x y xx

= = = ...........................199

§6. ÔуНкЦІЯ y = ax2 + bx + c, a ≠ 0, ЇЇ ГРАÔІк тА ВЛАСтИВОСтІ. .2001. Означення квадратичної ôункції, її граôік ..........................2002. Властивості ôункції y = ax2 + bx + c ...................................201

§7. СтеПеНеВА ÔуНкЦІЯ, ЇЇ ГРАÔІк І ВЛАСтИВОСтІ. ................2011. Означення степеневої ôункції. ............................................2012. Ôункція y = xα, α – натуральне число .................................2013. Ôункція y = xα, якщо α = 0 ................................................2024. Ôункція y = xα, α – ціле від’ємне число. ............................2025. Ôункція y = xα, α – не ціле додатне число ...........................2026. Ôункція y = xα, α – не ціле від’ємне число. ..........................2037. Властивості степеневої ôункції ...........................................204Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 2 .........................................................205

§8. ПеРІОДИЧНІСтЬ ÔуНкЦІЇ. ....................................................2071. Означення періодичної ôункції. ..........................................2072. Найменший додатний період тригонометричних ôункцій. .....207

§9. тРИГОНОМетРИЧНІ ÔуНкЦІЇ, Їх ГРАÔІкИ тА ВЛАСтИВОСтІ. ..................................................................2081. Ôункція y = sin x, її граôік................................................2082. Ôункція y = cos x, її граôік ...............................................2093. Ôункція y = tg x, її граôік .................................................2094. Ôункція y = ctg x, її граôік ...............................................2105. Властивості тригонометричних ôункцій. ..............................211

§10. ПОкАЗНИкОВА ÔуНкЦІЯ, ЇЇ ГРАÔІк І ВЛАСтИВОСтІ. ....................................................................2121. Означення показникової ôункції. ........................................2122. Граôік показникової ôункції. .............................................2123. Властивості показникової ôункції. ......................................213

565

§11. ЛОГАРИÔМІЧНА ÔуНкЦІЯ, ЇЇ ГРАÔІк тА ВЛАСтИВОСтІ. ..................................................................2131. Означення логариôмічної ôункції. ......................................2132. Граôік логариôмічної ôункції. ...........................................2133. Властивості логариôмічної ôункції. ....................................215

§12. ПОБуДОВА ГРАÔІкІВ ÔуНкЦІй ЗА ДОПОМОГОþ ГеОМетРИЧНИх ПеРетВОРеНЬ ВІДОМИх ГРАÔІкІВ ÔуНкЦІй ...............................................................215

1. f(x) → f(x) + n ...................................................................215

2. f(x) → f(x + m) ..................................................................216

3. f(x) → –f(x) .......................................................................2164. f(x) → kf(x), де k > 0, k ≠ 1 .................................................2165. Послідовне використання декількох перетворень послідовно

для побудови граôіка ôункцій. ...........................................217Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 3 .........................................................218

§13. ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСтІ. .....................................................2211. Означення числової послідовності.

Члени числової послідовності .............................................2212. Числові послідовності, що задані ôормулою. ........................2213. Числові послідовності, що задані переліком її членів. ...........2214. Задання числових послідовностей описом її членів. ..............2215. Числові послідовності, що задані таблицями ........................2226. Числові послідовності, що задані рекурентно. ......................222

§14. АРИÔМетИЧНА ПРОГРеСІЯ. ..................................................2221. Означення ариôметичної прогресії. .....................................2222. Ôормула n-го члена ариôметичної прогресії. ........................2233. Властивості ариôметичної прогресії. ...................................2234. Сума n перших членів ариôметичної прогресії. ....................224

§15. ГеОМетРИЧНА ПРОГРеСІЯ. ...................................................2251. Означення геометричної прогресії. ......................................2252. Ôормула n-го члена геометричної прогресії. .........................2263. Властивості геометричної прогресії. .....................................2264. Сума n перших членів геометричної прогресії. .....................226

§16. НеСкІНЧеННА ГеОМетРИЧНА ПРОГРеСІЯ ЗІ ЗНАМеННИкОМ 1q < тА ЇЇ СуМА. .....................................227

1. Сума нескінченної геометричної прогресії зі знаменником 1q < ........................................................227

2. Перетворення нескінченних десяткових періодичних дробів у звичайні ............................................228

§17. ПОхІДНА ÔуНкЦІЇ. ...............................................................2311. Означення похідної ôункції в точці. ....................................231

566

2. таблиця похідних елементарних ôункцій. ...........................2313. Правила знаходження похідної суми, різниці,

добутку, частки двох ôункцій. ............................................2324. Знаходження числового значення похідної ôункції

в точці для заданого значення аргументу. ............................2335. Похідна складеної ôункції. ................................................234

§18. ГеОМетРИЧНИй тА ÔІЗИЧНИй ЗМІСт ПОхІДНОЇ..................2351. Геометричний зміст похідної. .............................................2352. Рівняння дотичної до граôіка ôункції. ................................2363. Ôізичний зміст похідної. ....................................................237

§19. ЗНАхОДæеННЯ ПРОМІæкІВ МОНОтОННОСтІ тА екСтРеМуМІВ ÔуНкЦІЇ ЗА ДОПОМОГОþ ПОхІДНОЇ. .......2371. Достатня умова зростання (спадання) ôункції на проміжку.

Знаходження проміжків монотонності ôункції. ....................2372. Знаходження точок екстремуму та екстремумів ôункції. .......239

§20. ЗАСтОСуВАННЯ ПОхІДНОЇ ДО ДОСЛІДæеННЯ ÔуНкЦІЇ тА ПОБуДОВИ ЇхНІх ГРАÔІкІВ ..................................................241

§21. ЗНАхОДæеННЯ НАйБІЛЬøОГО І НАйМеНøОГО ЗНАЧеННЯ ÔуНкЦІЇ тА ВІДРІЗку. ПРИкЛАДНІ ЗАДАЧІ НА ЗНАхОДæеННЯ НАйБІЛЬøОГО І НАйМеНøОГО ЗНАЧеНЬ. .2441. Знаходження найбільшого і найменшого

значення ôункції на відрізку. .............................................2442. Прикладні задачі на знаходження найбільшого або (і)

найменшого значення деякої величини. ...............................245

§22. ПеРВІСНА. тАБЛИЦЯ ПеРВІСНИх. ПРАВИЛА ЗНАхОДæеННЯ ПеРВІСНИх. ................................2481. Означення первісної. ..........................................................2482. Основна властивість первісних. ...........................................2493. таблиця первісних. ............................................................2494. Правила знаходження первісних. ........................................250

§23. ВИЗНАЧеНИй ІНтеГРАЛ. ÔОРМуЛА НЬþтОНА-ЛейБНІЦА. ....252

§24. ЗАСтОСуВАННЯ ВИЗНАЧеНОГО ІНтеГРАЛА ДО ОБЧИСЛеННЯ ПЛОù кРИВОЛІНІйНИх тРАПеЦІй, ПЛОù ПЛОСкИх ÔІГуР тА ДО ПРИкЛАДНИх ЗАДАЧ. ..........2531. Означення криволінійної трапеції та знаходження її площі. ..2532. Обчислення площ плоских ôігур. ........................................2543. Обчислення об’єму тіла обертання. ......................................2554. Переміщення матеріальної точки,

що рухається прямолінійно. ...............................................2565. Робота сили, що діє на матеріальну точку. ...........................256Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 6 .........................................................257

ЗРАЗкИ теСтОВИх ЗАВДАНЬ. ......................................................259

567

Розділ ІV. åЛåìåíòИ КîìБІíАòîРИКИ, ПîЧАòКИ òåîРІЇ éìîВІРíîСòåé òА åЛåìåíòИ СòАòИСòИКИ ...................... 276

§1. еЛеМеНтИ кОМБІНАтОРИкИ. ...............................................2761. Правило суми і правило добутку. ........................................2762. Поняття ôакторіалу. ..........................................................2773. Розміщення. .....................................................................2774. Перестановки. ...................................................................2785. комбінації (сполучення). ....................................................279

§2. йМОВІРНІСтЬ ВИПАДкОВОЇ ПОДІЇ. ........................................2801. Випадковий дослід і випадкова подія. .................................2802. Вірогідна подія та неможлива подія. ...................................2803. класичне означення ймовірності випадкової події. ................2804. Розв’язування задач на підрахунок ймовірностей за допомогою

ôормул комбінаторики. ......................................................281

§3. еЛеМеНтИ СтАтИСтИкИ. .....................................................2821. Генеральна сукупність та вибірка. .......................................2823. Систематизація і ранжування вибірки. ................................2824. Вибіркові характеристики. .................................................2835. Граôічна ôорма подання статистичної інôормації. ................284

ЗРАЗкИ теСтОВИх ЗАВДАНЬ. ......................................................285

геометріяРозділ І. ПЛАíІìåòРІя .............................................................................. 292

§1. НАйПРОСтІøІ ГеОМетРИЧНІ ÔІГуРИ НА ПЛОùИНІ тА Їх ВЛАСтИВОСтІ. ..............................................................2921. точка і пряма. ..................................................................2922. Промінь. ...........................................................................2933. Відрізок. ...........................................................................2934. Ламана. ............................................................................2945. кут. .................................................................................2946. Бісектриса кута. ................................................................295

§2. АкСІОМИ ПЛАНІМетРІЇ. ........................................................295

§3. СуМІæНІ тА ВеРтИкАЛЬНІ кутИ. ........................................2961. Суміжні кути, їх властивості. .............................................2962. Вертикальні кути, їх властивості. .......................................2963. кут між прямими. .............................................................297

§4. ПеРПеНДИкуЛЯРНІ ПРЯМІ. ПеРПеНДИкуЛЯР І ПОхИЛА, СеРеДИННИй ПеРПеНДИкуЛЯР. ........................2971. Перпендикулярні прямі. ....................................................2972. Перпендикуляр і похила, відстань від точки до прямої. ........2973. Серединний перпендикуляр. ...............................................298

568

§5. ПАРАЛеЛЬНІ ПРЯМІ. ОЗНАкИ тА ВЛАСтИВОСтІ ПАРАЛеЛЬНИх ПРІМИх. .......................................................2991. Паралельні прямі. .............................................................2992. кути, утворені при перетині двох прямих січною. ................2993. Ознаки паралельності прямих. ............................................2994. Властивості паралельних прямих. .......................................300Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 1 .........................................................301

§6. теОРеМА ÔАЛеСА, уЗАГАЛЬНеНА теОРеМА ÔАЛеСА. .........3031. теорема Ôалеса. ................................................................3032. узагальнена теорема Ôалеса. ..............................................304

§7. кОЛО. кРуГ. ..........................................................................3041. коло, його елементи. .........................................................3042. круг, його елементи. .........................................................3063. Центральні та вписані кути. ...............................................3064. Властивість двох хорд, що перетинаються. ...........................3075. Дотична до кола та її властивості. .......................................3086. Взаємне розміщення двох кіл. ............................................3097. Довжина кола. Довжина дуги кола. ....................................311

§8. тРИкутНИкИ. .......................................................................3121. трикутник і його основні елементи. ....................................3122. Види трикутників. .............................................................3123. Ознаки рівності трикутників. .............................................313

§9. МеДІАНА, БІСектРИСА, ВИСОтА тРИкутНИкА тА Їх ВЛАСтИВОСтІ. ..............................................................3151. Медіана трикутника. .........................................................3152. Бісектриси трикутника. .....................................................3163. Висоти трикутника. ...........................................................3174. Властивість медіани рівнобедреного трикутника. ..................318Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 2 .........................................................319

§10. СуМА кутІВ тРИкутНИкА ....................................................321

§11. ЗОВНІøНІй кут тРИкутНИкА .............................................322

§12. НеРІВНІСтЬ тРИкутНИкА ....................................................323

§13. СеРеДНЯ ЛІНІЯ тРИкутНИкА тА ЇЇ ВЛАСтИВОСтІ. ..............323

§14. кОЛО, ОПИСАНе НАВкОЛО тРИкутНИкА. кОЛО, ВПИСАНе В тРИкутНИк. ............................................3241. коло, описане навколо трикутника. ....................................3242. коло, вписане у трикутник. ................................................325Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 3 .........................................................326

§15. ПРЯМОкутНИй тРИкутНИк. ................................................3281. Основні елементи та властивості прямокутного трикутника. ..3282. теорема Піôагора. .............................................................329

569

3. Пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику. ..............3304. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного

трикутника. ......................................................................331

§16. теОРеМА кОСИНуСІВ. теОРеМА СИНуСІВ. ...........................3321. теорема косинусів. ............................................................3322. теорема синусів. ................................................................3343. узагальнена теорема синусів. ..............................................335Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 4 .........................................................335

§17. ЧОтИРИкутНИк тА йОГО еЛеМеНтИ. ..................................337

§18. ПАРАЛеЛОГРАМ, йОГО ВЛАСтИВОСтІ. ....................................... ОЗНАкИ ПАРАЛеЛОГРАМА. ...................................................3381. Означення паралелограма та його властивості. .....................3382. Ознаки паралелограма. ......................................................340

§19. ПРЯМОкутНИк, йОГО ВЛАСтИВОСтІ. ОЗНАкИ ПРЯМОкутНИкА. ....................................................3401. Означення прямокутника та його властивості. ......................3402. Ознаки прямокутника. .......................................................341

§20. РОМБ, йОГО ВЛАСтИВОСтІ. ОЗНАкИ РОМБА. ........................3421. Означення ромба та його властивості. ..................................3422. Ознаки ромба. ...................................................................343

§21. кВАДРАт, йОГО ВЛАСтИВОСтІ. ОЗНАкИ кВАДРАтА. ............3431. Означення квадрата та його властивості. ..............................3432. Ознаки квадрата. ...............................................................344Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 5 .........................................................345

§22. тРАПеЦІЯ, ЇЇ ВЛАСтИВОСтІ тА ВИДИ. СеРеДНЯ ЛІНІЯ тРАПеЦІЇ. ....................................................3471. Означення трапеції, її властивість. ......................................3472. Види трапеції. ...................................................................3473. Середня лінія трапеції, її властивості. .................................349

§23. ВПИСАНІ у кОЛО тА ОПИСАНІ НАВкОЛО кОЛА ЧОтИРИкутНИкИ. ................................................................3501. Чотирикутник, вписаний у коло. ........................................3502. Чотирикутник, описаний навколо кола. ...............................351

§24. МНОГОкутНИк. .....................................................................3511. Многокутник та його елементи. ..........................................3512. Опуклий многокутник. Сума кутів описаного многокутника. .3533. Вписані в коло та описані навколо кола многокутники. ........353

§25. ПРАВИЛЬНИй МНОГОкутНИк. .............................................3541. Означення правильного многокутника. ................................3542. Вписані у коло та описані навколо кола правильні

многокутники. ..................................................................355Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 6 .........................................................356

570

§26. ÔОРМуЛИ ДЛЯ ОБЧИСЛеННЯ ПЛОù. ...................................3571. Ôормули для обчислення площі трикутника. .......................3572. Ôормули для обчислення площі паралелограма. ...................3583. Ôормули для обчислення площі ромба. ................................3604. Ôормули для обчислення площі прямокутника і квадрата. ....3615. Ôормули для обчислення площі трапеції. ............................3626. Ôормули для обчислення площі правильного многокутника......3637. Ôормули для обчислення площі круга та кругового сектора. .....364

§27. ПРЯМОкутНА СИСтеМА кООРДИНАт НА ПЛОùИНІ.НАйПРОСтІøІ ЗАДАЧІ. .........................................................3651. Прямокутна система координат на площині,

координати точки. .............................................................3652. Ôормули для обчислення координат середини відрізка. .........3663. Ôормула для обчислення відстані між двома точками

із заданими координатами. .................................................367

§28. РІВНЯННЯ кОЛА тА ПРЯМОЇ. ................................................3671. Рівняння ôігури на площині. .............................................3672. Рівняння кола. ..................................................................3683. Рівняння прямої. ...............................................................368Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 7 .........................................................370

§29. ВектОР. .................................................................................3721. Поняття вектора. ...............................................................3722. колінеарні вектори. Рівні вектори. ......................................372 3. Додавання і віднімання векторів. ........................................3734. Множення вектора на число. ..............................................374

§30. кООРДИНАтИ ВектОРА. ДІЇ З ВектОРАМИ, ùО ЗАДАНІ кООРДИНАтАМИ. ...............................................3751. координати вектора. ..........................................................3752. Сума та різниця векторів, що задані координатами. ..............3763. Множення вектора, що задано координатами, на число. .............

умова колінеарності векторів. ............................................3764. Розкладання вектора за двома неколінеарними векторами. ....377

§31. СкАЛЯРНИй ДОБутОк ВектОРІВ тА йОГО ВЛАСтИВОСтІ. ....3781. Скалярний добуток векторів. ..............................................3782. Ôормула для знаходження кута між векторами,

що задані координатами. ....................................................3793. умова перпендикулярності векторів,

що задані координатами. ....................................................3794. Скалярний квадрат вектора. ...............................................380

§32. ГеОМетРИЧНІ ПеРетВОРеННЯ. ПеРеМІùеННЯ тА йОГО ВЛАСтИВОСтІ. ...............................3801. Геометричні перетворення ôігур. ........................................3802. Переміщення (рух) та його властивості. ...............................380

571

3. Симетрія відносно точки. ...................................................3814. Симетрія відносно прямої. ..................................................3825. Поворот. ...........................................................................3826. Паралельне перенесення. ....................................................383

§33. ПеРетВОРеННЯ ПОДІБНОСтІ. ГОМОтетІЯ. ............................3841. Перетворення подібності. ...................................................3842. Подібні ôігури. .................................................................3843. Ознаки подібності трикутників. ..........................................3854. Гомотетія. .........................................................................3875. Відношення площ подібних ôігур. ......................................388Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 8 .........................................................389

ЗРАЗкИ теСтОВИх ЗАВДАНЬ. ......................................................391

Розділ ІІ. СòåРåîìåòРІя ........................................................................... 408

§1. ОСНОВНІ ПОНЯттЯ СтеРеОМетРІЇ. АкСІОМИ СтеРеОМетРІЇ тА НАСЛІДкИ З НИх. .....................4081. Основні поняття стереометрії. .............................................4082. Аксіоми стереометрії. ........................................................4083. Найпростіші наслідки з аксіом стереометрії. ........................409

§2. ВЗАЄМНе РОЗМІùеННЯ ПРЯМИх у ПРОСтОРІ. .....................4101. Прямі у просторі. ..............................................................4102. Паралельність прямих у просторі. .......................................4113. Мимобіжні прямі. ..............................................................412

§3. ВЗАЄМНе РОЗМІùеННЯ ПРЯМОЇ І ПЛОùИНИ. .....................4131. Розміщення прямої і площини у просторі. ...........................4132. Паралельність прямої і площини. .......................................413

§4. ВЗАЄМНе РОЗМІùеННЯ ДВОх ПЛОùИН. ..............................4151. Розміщення двох площин у просторі. ..................................4152. Паралельність площин. ......................................................4153. Властивості паралельних площин. .......................................415

§5. ПАРАЛеЛЬНе ПРОектуВАННЯ, йОГО ВЛАСтИВОСтІ. ................ЗОБРАæеННЯ ÔІГуР у СтеРеОМетРІЇ. .................................4171. Паралельне проектування. ..................................................4172. Властивості паралельного проектування. .............................4183. Зображення трикутника та його елементів. ..........................4194. Зображення паралелограма та його видів. ............................4205. Зображення трапеції. .........................................................4216. Зображення правильного шестикутника...............................4217. Зображення кола. ..............................................................422Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 1 .........................................................422

§6. ПеРПеНДИкуЛЯРНІСтЬ ПРЯМИх у ПРОСтОРІ. .....................424

572

§7. ПеРПеНДИкуЛЯРНІСтЬ ПРЯМОЇ І ПЛОùИНИ. .....................4251. Означення прямої, перпендикулярної до площини. ...............4252. Ознака перпендикулярності прямої і площини. ....................4253. Властивості прямих і площин,

перпендикулярних між собою. ............................................426

§8. ПеРПеНДИкуЛЯР І ПОхИЛА. ПРОекЦІЯ ПОхИЛОЇ НА ПЛОùИНу. .....................................4261. Означення перпендикуляра,

похилої та проекції похилої на площину. .............................4262. Властивості перпендикуляра і похилої. ................................426

§9. теОРеМА ПРО тРИ ПеРПеНДИкуЛЯРИ. ................................428

§10. ДВОГРАННИй кут. ПеРПеНДИкуЛЯРНІСтЬ ПЛОùИН. ........4291. Двогранний кут. Лінійний кут двогранного кута. .................4292. Перпендикулярність площин. .............................................430Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 2 .........................................................431

§11. ВІДСтАНІ у ПРОСтОРІ. ..........................................................4341. Відстань від точки до прямої. .............................................4342. Відстань від точки до площини. ..........................................4343. Відстань від прямої до площини. ........................................4354. Відстань між прямими, що належать одній площині. ............4355. Відстань між площинами. ..................................................4366. Відстань між мимобіжними прямими. .................................436

§12. кутИ у ПРОСтОРІ. .................................................................4371. кут між прямими. .............................................................4372. кут між прямою і площиною. .............................................4383. кут між площинами. .........................................................4384. Ортогональне проектування. ...............................................440Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 3 .........................................................441

§13. МНОГОГРАННИкИ тА Їх еЛеМеНтИ .....................................443

§14. ПОНЯттЯ ПеРеРІЗу МНОГОГРАННИкА .................................443

§15. ПРИЗМА. ...............................................................................4441. Означення призми. елементи призми. Види призм. ..............4442. Перерізи призми. ..............................................................4453. Площі повної та бічної поверхонь призми. ...........................4464. Об’єм призми. ...................................................................448

§16. ПАРАЛеЛеПІПеД. ..................................................................4501. Означення паралелепіпеда, його властивості.........................4502. Прямокутний паралелепіпед, його властивості. ....................451Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 4 .........................................................452

§17. ПІРАМІДА. .............................................................................4541. Означення піраміди. елементи піраміди. .............................4542. Правильна піраміда. ..........................................................456

573

3. Перерізи піраміди. .............................................................4574. Площа повної та бічної поверхонь піраміди. ........................4585. Об’єм піраміди. .................................................................459

§18. ЗРІЗАНА ПІРАМІДА. ..............................................................4611. Означення зрізаної піраміди. елементи зрізаної піраміди. .....4612. Правильна зрізана піраміда. ...............................................4623. Діагональний переріз зрізаної піраміди. ..............................4624. Площі повної та бічної поверхонь зрізаної піраміди. .............4635. Об’єм зрізаної піраміди. .....................................................464Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 5 .........................................................464

§19. тІЛА І ПОВеРхНІ ОБеРтАННЯ, Їх еЛеМеНтИ. ......................4661. тіла і поверхні обертання. ..................................................4662. Означення циліндра. елементи циліндра. ............................4673. Перерізи циліндра площинами. ...........................................4684. Площі бічної та повної поверхонь циліндра. .........................4705. Об’єм циліндра. .................................................................470

§20. кОНуС. ..................................................................................4711. Означення конуса. елементи конуса. ...................................4712. Перерізи конуса. ...............................................................4713. Площі бічної та повної поверхонь конуса. ............................4734. Об’єм конуса. ....................................................................474

§21. ЗРІЗАНИй кОНуС. .................................................................4741. Означення зрізаного конуса. елементи зрізаного конуса. .......4742. Осьовий переріз зрізаного конуса. .......................................4753. Площі бічної і повної поверхонь зрізаного конуса. ................4764. Об’єм зрізаного конуса. ......................................................476Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 6 .........................................................477

§22. куЛЯ. СÔеРА. .......................................................................4781. Означення кулі і сôери. елементи кулі і сôери. ...................4782. Взаємне розміщення кулі і площин. ....................................4793. Площина дотична до кулі (сôери). ......................................4804. Переріз кулі площиною. .....................................................4805. Площа сôери. ...................................................................4816. Об’єм кулі. .......................................................................481

§23. кОМБІНАЦІЇ ГеОМетРИЧНИх тІЛ. ........................................4811. Призма, вписана у циліндр. ................................................4822. Призма, описана навколо циліндра. ....................................4823. Піраміда, вписана у конус. .................................................4834. Піраміда, описана навколо конуса. ......................................4845. Многогранник, вписаний в кулю. ........................................4856. Многогранник, описаний навколо кулі. ...............................487Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 7 .........................................................489

574

§24. ÏðЯìîêóòíà ñèñòåìà êîîðäèíàò ó ÏðîñòîðІ. ...............4901. Ïðÿìîêóòíà ñèñòåìà êîîðäèíàò ó ïðîñòîð³. êîîðäèíàòè òî÷êè. .4902. îñîáëèâîñò³ ðîçòàøóâàííÿ òî÷îê ó ïðîñòîð³. ........................4913. îðòîãîíàëüí³ ïðîåêö³¿ òî÷îê íà êîîðäèíàòí³ ïëîùèíè. ..............

³äñòàíü â³ä òî÷êè äî êîîðäèíàòíèõ ïëîùèí. .......................492

§25. Ôîðìóëà äëЯ îáЧèñëåííЯ ÂІäñòàíІ ìІæ äÂîìà òîЧêàìè. .........................................................492

§26. Ôîðìóëà äëЯ îáЧèñëåííЯ êîîðäèíàò ñåðåäèíè ÂІäðІçêà. ............................................................493Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 8 .........................................................493

§27. Âåêòîðè ó ÏðîñòîðІ. äІ¯ íàä Âåêòîðàìè .........................4951. Ïîíÿòòÿ âåêòîðà ó ïðîñòîð³, äîâæèíà âåêòîðà,

êîë³í³àðí³ âåêòîðè, ð³âí³ âåêòîðè. ......................................4952. äîäàâàííÿ ³ â³äí³ìàííÿ âåêòîð³â. ........................................4963. ìíîæåííÿ âåêòîðà íà ÷èñëî. ..............................................496

§28. êîîðäèíàòè Âåêòîðà. äІ¯ íàä Âåêòîðàìè, ùî çàäàíî êîîðäèíàòàìè. ..............................................4961. êîîðäèíàòè âåêòîðà ó ïðîñòîð³. ð³âí³ñòü âåêòîð³â, çàäàíèõ

êîîðäèíàòàìè. ìîäóëü âåêòîðà. ..........................................4972. 䳿 íàä âåêòîðàìè, ùî çàäàí³ êîîðäèíàòàìè. ........................4983. îçíàêà êîë³íåàðíîñò³ âåêòîð³â. ...........................................498

§29. ñêàëЯðíèé äîáóòîê ÂåêòîðІÂ. .........................................4991. ñêàëÿðíèé äîáóòîê âåêòîð³â, éîãî âëàñòèâîñò³. .....................4992. Ôîðìóëà äëÿ çíàõîäæåííÿ êóòà ì³æ âåêòîðàìè,

ùî çàäàí³ êîîðäèíàòàìè. ....................................................5003. óìîâà ïåðïåíäèêóëÿðíîñò³ âåêòîð³â, ùî çàäàí³ êîîðäèíàòàìè. ..501Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 9 .........................................................502

çðàçêè òåñòîÂèõ çàÂäàíü. ......................................................504

äîäàòîêðîçÂ’ЯçóÂàííЯ òåêñòîÂèõ çàäàЧ àðèÔìåòèЧíèìè ñÏîñîáàìè ..............................5191. íàéïðîñò³ø³ çàäà÷³ íà ðóõ ..................................................5192. ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü ðóõó .....................................................5193. çàäà÷³ íà ðóõ ïî ð³÷ö³ ........................................................5204. çàäà÷³, ïîâ’ÿçàí³ ç ðóõîì äâîõ îá’єêò³â ................................5205. çàäà÷³, ïîâ’ÿçàí³ ç âàðò³ñòю òîâàðó .....................................5236. çàäà÷³ íà ðîáîòó ................................................................5237. çíàõîäæåííÿ äðîáó â³ä ÷èñëà. ............................................5248. çíàõîäæåííÿ ÷èñëà çà éîãî äðîáîì ......................................525

êîìÏëåêñíІ ÂàðІàíòè òåñòîÂèõ çàÂäàíüòðåíóâàëüíèé òåñò №1 ............................................................527òðåíóâàëüíèé òåñò №2 ............................................................535

ÂІäÏîÂІäІ ....................................................................................543