1

Основные понятияОсновные понятия

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5 6

7

8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5 6

7

8 9

)(XCY =

Множество допустимых решений

...))(( +XCconv

Выпуклая оболочка

Точки 1-9 - слабо-эффективные точки

Точки 2-5, 7,8 – парето оптимальные. Точки 5 и 7 – не опорные.

2

Непрерывная задачаНепрерывная задача

Следствие 2.1. Множество парето оптимальных решений

многокритериальной задачи линейного программирования

, точно совпадают с множеством

решений задач линейного программирования

где .

Замечание 1.1 В дискретном (целочисленном) случае этот

результат не сохраняется, т.е. существуют парето

оптимальные решения, которые не являются решением для

любой взвешенной суммы критериев.

3

Непрерывная задачаНепрерывная задачаРассмотрим пример линейной двухкритериальной задачи с

непрерывными (не дискретными) переменными. Пусть имеем:

, при , ,

2y

1y

2Cx

4Cx

3Cx

1Cx

Y

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1x4x

3x2x

X

0=α

1 2 3 40

1

2

3

4

31=α

21=α

32=α

1=α

2x

1x

min)xx)(()xx(z →−−−++= 2121 213 αα

4

Влияние весового коэффициентаВлияние весового коэффициента

0

2y

1y

2Cx

4Cx

3Cx

1Cx

Y

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

min,)xx)(()xx(z →−−−++= 2121 213 αα

5

Дискретная задачаДискретная задачаРассмотрим двухкритериальную целочисленную задачу линейного

программирования при условии - целочисленный вектор,

где , , , .

0

1x4x

X

2x3x

1 2 3 40

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -1

-2

-3

-4 -5 -6 -7 -8 -9

a

b

2Cx

c d

3Cx

4Cx

1Cx

6

Модифицируем предыдущую задачу, введя новое ограничение:

, , -целочисленный вектор, где , ,

, .

0 1 2 3 4

4 3 2 1

-1

-2

-3

-4 -5 -6 -7 -8 -9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

7

Метод с - ограничениямиМетод с - ограничениямиεДля двухкритериального случая задача выглядит

следующим образом:

,

которая сводится к задаче следующего вида:

: , ,

или

: ,

Теорема 2.1. является эффективным решением задачи

ДКО тогда и только тогда, когда существует такое, что

является решением или существует , такое что

является решением .

8

Алгоритм метода с - ограничениямиАлгоритм метода с - ограничениямиε1. Полагаем или .

2. Вычисляем идеальную точку и точку надира.

3. Полагаем и .

4. Пока выполняем:

a) Решаем методом ветвей и границ и

оптимальное решение ( ) добавляем к .

b) Полагаем .

5. Исключаем недоминирующие точки из .

9

Численные результатыЧисленные результаты1. , - целочисленный вектор, где ,

, , .Положим, что , , .

Задача сводится к

следующей:

При ограничениях

,

- целые числа.

-9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-1

-2

-3

-4 -5 -6 -7 -8

10

Численные результатыЧисленные результаты2. Рассмотрим задачу Gupta и Malhotra:

при ограничениях ,

, -целочисленные. Множество состоит

из 13 точек, находящихся на многоугольнике .

5 4 3 2 1

0 1 2 3 4

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

11

Численные результатыЧисленные результаты3. Рассмотрим следующую задачу

где , ,

Множество содержит 42 точки

8

7

6

5

4

3

2

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 b

2 b

3 b

4 b

5 b

6 b

0 1 2 3 4 5 6 7 8

5 Cx 2 Cx

3 Cx

4 Cx

2 z

1 z

1 Cx

a

12

Преимущества методаПреимущества метода с - ограничением с - ограничением

• Позволяет решать ДКО задачи.

• Позволяет найти всё парето оптимальное множество.

• Превосходит метод взвешенных норм Чебышева.

• Превосходит метод Gupta и Malhotra , а также метод

Abbas и Chaabanc.