กฎของ Hamilton และ Lagrange’s Equations

กฎของ Hamilton และ Lagrange’s Equations

ณภทรษกร สารพฒน

วตถประสงค

1. เพอศกษาการค านวณกลศาสตรแบบลากรางจ

2. เพอน ากลศาสตรแบบลากรางจ ไปประยกตใชกบการเคลอนทแบบตางๆ ทมความซบซอนและแกปญหาดวยกลศาสตรนวตนไดยาก

For What !!!

Outline : กฎของ Hamilton และ Lagrange’s Equations

• 1. บทน า• 2. Hamilton Principle

• 3. การเคลอนทของแสง ตามแนวคดของ Alexander มหาราช

• 4. การเคลอนทของแสง ตามแนวคดของ Fermat

• 5. การเคลอนทของวตถ ตามแนวคดของ Hamilton

• 6. คณตศาสตรเกยวกบ Euler’s Equation

• 7. คณตศาสตรเกยวกบ Euler’s Equation แบบมเงอนไข

• 8. โมเดลปญหาแบบ “Catenary”

• 9. สมการการเคลอนทของ Lagrange

• 10. ความหมายของ 𝝀𝝏𝒈

𝝏𝒒𝒊

1. บทน าทบทวน กฎของนวตน (Newton’s laws)

กฎขอท 1 กฎของความเฉอย (Inertia) หรอ 𝜮𝑭 = 𝟎

“วตถทหยดนงจะพยายามหยดนงอยกบท ตราบทไมมแรงภายนอกมากระท า สวนวตถทเคลอนทจะเคลอนทเปนเสนตรงดวยความเรวคงท ตราบทไมมแรงภายนอกมากระท าเชนกน“

กฎขอท 2 กฎของแรง (Force) หรอ 𝜮𝑭 = 𝒎𝒂

“ความเรงของวตถจะแปรผนตามแรงทกระท าตอวตถ แตจะแปรผกผนกบมวลของวตถ”

กฎขอท 3 กฎของแรงปฏกรยา (Action = Reaction) หรอ 𝑭 = −𝑭

“แรงทวตถทหนงกระท าตอวตถทสอง ยอมเทากบ แรงทวตถทสองกระท าตอวตถทหนง แตทศทางตรงขามกน”

𝑚 𝑭𝟏𝑭𝟐 𝜮𝑭 = 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐 = 𝟎

𝑚 𝑭𝟏𝑭𝟐 𝜮𝑭 = 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐 ≠ 𝟎

𝑚𝑭

−𝑭

1. บทน าจากทผานมา เราไดศกษาถงกฏของนวตน (กฎขอท 2ของนวตน) ซงสามารถน ามาใชในการ ท านายการเคลอนท ของวตถตางๆ ในกรณทผสงเกตอยนง (หรอมความเรวคงท) จะไดวา

สมการ (1.1)Σ 𝐹 = 𝑚 𝑎 = 𝑚 𝑣 = 𝑚 𝑥

𝑥 =𝑑

𝑑𝑡

𝑑𝑥

𝑑𝑡=

𝑑 𝑥

𝑑𝑡=

𝑑 𝑣

𝑑𝑡= 𝑎

𝑥 คอ ระยะทางทวถเคลอนทได 𝑣 คอ ความเรวของวตถ 𝑎 คอ ความเรงของวตถ

1. บทน า

𝑚 𝐹 เวลา 𝑡1

𝑚 𝐹 เวลา 𝑡2

ต าแหนง 𝑥1 ต าแหนง 𝑥2

𝑦

𝑥

∆𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

∆𝑡 = 𝒕𝟐 − 𝒕𝟏ความเรว 𝑣2

ความเรว 𝑣1

ระยะทางทเปลยนไปตอเวลากคอ “ความเรว” เปน 𝑣 =∆ 𝑥

∆𝑡เมอ 𝑣 = lim

∆𝑡→0

∆ 𝑥

∆𝑡=

𝑑 𝑥

𝑑𝑡

ระยะทางทเปลยนไปตอเวลากคอ “ความเรง” เปน 𝑎 =∆𝑣

∆𝑡เมอ 𝑎 = lim

∆𝑡→0

∆𝑣

∆𝑡=

𝑑𝑣

𝑑𝑡

∆𝒗 = 𝒗𝟐 − 𝒗𝟏

1. บทน า

ภาพท (1) ในขณะทวตถก าลงเลอนลงมากยอมมความเรงในทศขนานกบพนลาดหรออกนยหนง

Σ 𝐹 = 𝑇 + 𝑓𝑘 +𝑚 𝑔 + 𝑁 สมการ (1.2)

𝑁𝑓𝑘

𝑇𝑚 𝑔

𝜃𝜇𝑘

𝑥

𝑦

หาสมการการเคอนทตามแบบของ กฎของนวตนยกตวอยาง กลองกระดาษทเลอนลงมาตามพนลาด ดงจะเหนในภาพท (1)

1. บทน าถากลองเรมเคลอนทดวยความเรวตนเปนศนย และสมประสทธของแรงเสยดทานจลยเปน 𝜇𝑘 จงท านายต าแหนงของกลอง ณ เวลาใดๆ

เนองจากวตถไมมการเคลอนทตามแนวแกน 𝑦

𝑁 = 𝑚 𝑔 cos 𝜃

โดยธรรมชาตของแรงเสยดทานนน แปรผนตรงกบแรง 𝑁

𝑓𝑘 = 𝜇𝑘𝑁 = 𝜇𝑘𝑚 𝑔 cos 𝜃

แรงทเกดจากน าหนกวตถตามแนวแกน 𝑥

𝑇 = 𝑚 𝑔 sin 𝜃 สมการ (1.3)

สมการ (1.4)


𝑁𝑓𝑘

𝑇𝑚 𝑔

𝜃𝜇𝑘

𝑥

𝑦

1. บทน า

Σ𝐹𝑥 = 𝑇 − 𝑓𝑘 = 𝑚 𝑔 sin 𝜃 − 𝜇𝑘𝑚 𝑔 cos 𝜃 = 𝑚 𝑔(sin 𝜃 − 𝜇𝑘 cos 𝜃)

ดงนน แรงลพททกระท ากบวตถตามแนวแกน 𝑥 คอ

จากสมการการเคลอนทของนวตน จะไดวา

𝑥 =Σ𝐹𝑥𝑚

ต าแหนงของกลอง ณ เวลาใดๆ กคอ

𝑑

𝑑𝑡

𝑑 𝑥

𝑑𝑡= 𝑔 sin 𝜃 − 𝜇𝑘 cos 𝜃

𝑥(𝑡) =1

2 𝑔(sin 𝜃 − 𝜇𝑘 cos 𝜃)𝑡

2




𝑑 𝑑 𝑥 = 𝑔 sin 𝜃 − 𝜇𝑘 cos 𝜃 𝑑𝑡 𝑑 𝑡

𝑁𝑓𝑘

𝑇𝑚 𝑔

𝜃𝜇𝑘

𝑥

𝑦


1. บทน า

𝑚 𝑔

𝑚 𝑔

𝑁1

𝑁2

𝑁1

𝑁2

ภาพท (1.2) แสดงการเคลอนทของกลองในรางทเปนเสนโคง เนองจากตวกลองมจดสมผสกบรางอย 2 จด แรงทตวรางกระท ากบกลองจงมความซบซอน อกทงตวรางทโคง ท าใหทศทางของแรง 𝑁1 และ 𝑁2 เปลยนแปลงไปตามแหนงของกลอง

เมอการค านวนหาแรงลพทเปนไปดวยความล าบาก กฏของนวตนตามสมการท (1.1) ในบางครงอาจไมสามารถน ามาศกษาการเคลอนทของวตถในระบบนนๆได

ตามตวอยางขางตน จะเหนวา กลศาสตรของนวตนนนมหวใจส าคญ กคอการหา แรงลพททกระท ากบวตถใดๆ แตในบางกรณ การค านวนหาแรงลพท อาจจะกระท าไดล าบาก ดงจะเหนในภาพท(1.2)

1. บทน ากฏของ Hamilton เปนอกมมมองหนงทสามารถใชในการท านาย การเคลอนทของวตถ ไดคลายๆ กบกฏของนวตน ซงทง 2 ทฤษฏน มประวตความเปนมา ยาวนานไมแพกน

Newton

รเรม Calculus of

Variations

1686

Johann and Jacob Bernoulli

1696

Euler

1744

ขยายขอบเขต

Legendre

1786

Lagrange

1788

Hamilton

1833

Jacobi

1837

ตอยอด

อยางไรกตาม กฏของ Hamilton นน นอกจากจะน ามาใชในแงของกลศาสตร กลาวคอ วาดวยการเคลอนทของอนภาค แลวนน กฏของ Hamilton ยงสามารถน ามาประยกตใชในการศกษาสาขาอนๆของฟสกส ยกตวอยางเชน Optics สนามแมเหลกไฟฟา ทฤษฏสมพธภาพทวไปquantum electrodynamics และอนๆ

2. Hamilton Principleเพอทจะหากฏเกณฑทางฟสกสทสามารถอธบายปรากฏการณตางๆ ของธรรมชาตนน เรมมาตงแตอดต นกวทยาศาสตรมแนวความคดเกยวกบ Minimum Principle กลาวคอ การเคลอนไหวของสรรพสงนน เกดจากการทธรรมชาตพยามทจะท าใหปรมาณในทางฟสกส มคาต าทสด (หรอสงทสด) ยกตวอยางเชน

(1) ลกบอล พยามจะอยในสถานะทม “พลงงาน ต าทสด”

(2) นกธรกจวางแผนการตลาดเพอใหได “ก าไร สงทสด”

(3) การเดนทางไปยงทตาง โดยเลอก“ระยะทางท สนทสด”

3. การเคลอนทของแสง ตามแนวคดของ Alexander มหาราชพระองคทรงสงเกตวา มมสะทอนของแสงนน จะเทากบมมตกทบซงปรากฏการณดงกลาวน สามารถอธบายโดยหลกการทวา การทแสงเดนทางจาก A ไป B โดยผานกระจกนน มนจะเลอก “เสนทางทสนทสด” เสมอ

เมอก าหนดใหกระจกวางในแนวแกน x ดงภาพ สมมตวาแสงเรมเดนทางออกจากจด A กระทบกบกระจกทจด C และพงมายงจด B

ตามล าดบ ดงนน ระยะทางทงหมดทแสงจะตองเดนทางนน มคาเปน

𝑆 = 𝑎2 + 𝑥2 + 𝑏2 + 𝑑 − 𝑥 2

𝑏

𝑎

A

B

𝜃𝑟𝜃𝑖

b

a

d

d-x

x

C

C

C

y

x


3. การเคลอนทของแสง ตามแนวคดของ Alexander มหาราชทงน พสจนไดวา ระยะทาง S จะมคานอยทสด กตอเมอ 𝑑𝑆

𝑑𝑥= 0

สรปไดวา ระยะทางทแสงเดนทางจาก A B “เปนระยะทางสนทสด” เมอ มมตกกระทบ(𝜽𝒊) เทากบ มมสะทอน(𝜽𝒓)

𝑑𝑆

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥𝑎2 + 𝑥2 + 𝑏2 + 𝑑 − 𝑥 2A

B

y

x

𝜃𝑟𝜃𝑖

b

a

d

d-x

x

C

C

C

ดงนน𝑥

𝑎2+𝑥2=

(𝑑−𝑥)

𝑏2+ 𝑑−𝑥 2

0 =1

2

2𝑥

𝑎2 + 𝑥2+1

2

2(𝑑 − 𝑥)(−1)

𝑏2 + 𝑑 − 𝑥 2

กลาวคอ sin 𝜃𝑖 = sin 𝜃𝑟 หรอไดวา 𝜃𝑖 = 𝜃𝑟

ตามแนวคดของ Alexander แสงเลอกทจะเดนตามเสนทางดงกลาวน กเพราะเปน ระยะทางทสนทสด นนเอง




4. การเคลอนทของแสง ตามแนวคดของ Fermat

B𝜃2𝑛2

อยางไรกตาม หลกการของ Alexander นน ไมสามารถอธบายการหกเหของแสงได ดงจะเหนในภาพ ถงแมวา เสนทางทส นทสดจากจด A ไปยง B นน กคอเสนตรงสฟา

แตในความเปนจรงตามธรรมชาตแลว แสงจะมการหกเหเมอมนเดนทางผานรอยตอของวสดตางชนดกน กลาวคอ แสงจะเดนทางตามเสนทางสเขยวนนเอง

Fermat มแนวความคดทแตกตางออกไป จาก Alexander กลาวคอ Fermat คดวาแสงจะเลอกเดนทางจากจด A ไปยงจด B โดยเลอก “เสนทางทใชเวลานอยทสด”

ถาสมมตวา ดชนหกเหของแสงในตวกลางทงสองมคาเปน 𝑛1 และ 𝑛1 ดงทเหนในภาพ เมอน าหลกการของ Fermat พสจนใหเหนจรงวา

𝑛1 sin 𝜃1 = 𝑛2 sin 𝜃2

A

𝑛1

𝜃1

ซงสมการขางตนน เปน สมการการหกเหของแสงตามกฏของ Snell’s นนเอง



B

𝜃2𝑛2

A

𝑛1

Δ𝑆2 = 𝑣2𝑡2


ตามแนวความคด Fermat คดวาแสงจะเลอกเดนทางจากจด A ไปยงจด B โดยเลอก“เสนทางทใชเวลานอยทสด”

𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑡1 + 𝑡2

จากความสมพนธระหวาง เวลา ระยะทาง และความเรว

𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =Δ𝑆1𝑣1

+Δ𝑆2𝑣2

y

x

𝜃1𝑎

𝑏

𝑑

𝑥 𝑑 − 𝑥𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =

𝑎2 + 𝑥2

𝑣1+

𝑏2 + 𝑑 − 𝑥 2

𝑣2





B

𝜃2𝑛2

A

𝑛1

จากตามแนวความคด “เสนทางทใชเวลานอย

ทสด” กตอเมอ 𝑑𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

𝑑𝑥= 0

y

x

𝜃1𝑎

𝑏

𝑑

𝑥 𝑑 − 𝑥

𝑑𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑑𝑥

=𝑑

𝑑𝑥

𝑎2 + 𝑥2

𝑣1+

𝑏2 + 𝑑 − 𝑥 2

𝑣2

0 =1

2𝑣1

2𝑥

𝑎2 + 𝑥2+

1

2𝑣2

2(𝑑 − 𝑥)(−1)

𝑏2 + 𝑑 − 𝑥 2

1

𝑣1

𝑥

𝑎2 + 𝑥2=

1

𝑣2

(𝑑 − 𝑥)

𝑏2 + 𝑑 − 𝑥 2







B

𝜃2𝑛2

A

𝑛1

จากความสมพนธ 𝑛1 =𝑐0

𝑣1และ 𝑛2 =

𝑐0

𝑣2เมอ 𝑐0 ความเรวของคลนแสงในสญญากาศ

y

x

𝜃1𝑎

𝑏

𝑑

𝑥 𝑑 − 𝑥

𝑐0𝑣1

sin 𝜃1 =𝑐0𝑣2

sin 𝜃2

𝑛1 sin 𝜃1 = 𝑛2 sin 𝜃2

ดงนนจะได กฎการหกเหแสง Snell’s คอ



1

𝑣1sin 𝜃1 =

1

𝑣2sin 𝜃2จาก (4.7) จะไดวา



5. การเคลอนทของวตถ ตามแนวคดของ Hamiltonในการศกษาการเคลอนทของวตถใดๆนน Hamilton ตพมพผลงาน 2 ฉบบในป 1834 และ1835 ซงตอมาภายหลงเปนพนฐานของทฤษฏในทางกลศาสตรอกหลายสาขา โดยมใจความวา

การทวตถจะเคลอนทจากจด A ไปยงจด B นน มนจะเลอกเสนทางท 𝑡1𝑡2 𝐿 𝑥𝑖 , 𝑥𝑖 𝑑𝑡 มคานอยทสด

ซงจะไดขยายความดงตอไปน

A

ยกตวอยาง

𝑇 =1

2𝑚𝑣2

𝑈 = 𝑚𝑔𝑦

1) เมอวตถมการเคลอนทกยอมจะมพกด 𝑥𝑖 และความเรว 𝑥𝑖 ทเปลยนแปลงตามเวลา

2) ในขณะทเคลอนไหววตถมพลงงานจลย ซงขนอยกบความเรว 𝑇 = 𝑇 𝑥𝑖

3) ถาวตถอยทามกลางสนาม เชน สนามโนมถวงของโลก สนามไฟฟา มนกยอมมพลงงานศกย 𝑈 =

𝑈 𝑥𝑖4) ใหค านยามของผลตางระหวางพลงงานจลยและ

พลงงานศกยเปน 𝐿 = 𝑇 𝑥𝑖 − 𝑈 𝑥𝑖

B

5) ถงแมวาการเคลอนทจาก A ณ เวลา t1 ไปยง B ณ เวลา t2 จะเปนไปไดหลายเสนทาง เสนทางทจรงนนจะมคา 𝑡1

𝑡2 𝐿 𝑥𝑖 , 𝑥𝑖 𝑑𝑡 นอยทสดเสมอ

5. การเคลอนทของวตถ ตามแนวคดของ Hamiltonตวอยาง การเคลอนทของวตถในสนามแรงโนมถวง บนพนผวโลก

พลงงานจลย 𝑇 𝑥, 𝑦 = 1

2𝑚 𝑥2 + 1

2𝑚 𝑦2

พลงงานศกย 𝑈 𝑦 = 𝑚𝑔𝑦 𝑡

-4162 Js

X-Axis

AB

Y-A

xis

100

0𝑇𝑑𝑡 1

2𝑚 𝑥2 + 1

2𝑚 𝑦2 −𝑚𝑔𝑦 𝑡

𝑥 𝑡 = 𝑡

𝑦 𝑡 = 50𝑡 − 12𝑔𝑡

2

5 Js𝑥 𝑡 = 𝑡

𝑦 𝑡 = 0

1548 Js𝑥 𝑡 = 𝑡

𝑦 𝑡 = 40 sin2𝜋

𝑇𝑡

-2995 Js𝑥 𝑡 = 𝑡

𝑦 𝑡 = 30𝑡

30 𝑇 − 𝑡

𝑡 < 𝑇 2𝑡 ≥ 𝑇 2

2 4 6 8 10

6. คณตศาสตรเกยวกบ Euler’s Equation

สมมตวาเรามคาของ J ซงอยในรปของ Integral J = 𝛼1

𝛼2 𝑑𝛼 𝑓 𝑞, 𝑞

โดยท 𝑓 𝑞, 𝑞 เปนฟงชนสใดๆ 𝑞 ≡ 𝑞 𝛼 𝑞 ≡𝑑𝑞

𝑑𝛼

ถาเราตองการจะหา 𝑓 𝑞, 𝑞 ทท าให J มคาต าทสด จะท าอยางไร?

Euler คนพบวธเปนครงแรกเมอป 1774 โดยกลาววา 𝑓 𝑞, 𝑞 ทท าให J มคาต าทสดนน เปนค าตอบของ สมการ

𝜕𝑓

𝜕𝑞−

𝑑

𝑑𝛼

𝜕𝑓

𝜕 𝑞= 0 สมการ (6.1)

6. คณตศาสตรเกยวกบ Euler’s Equationตวอยาง จงหาเสนทางทส นทสด ระหวางจดสองจด โดยใชสมการของ Euler

y

x

A (x1,y1)

y(x)1) ก าหนดให y(x) เปนสมการของเสนทางทเชอม

ระหวาง จด A และ จด B

2) ดงนนระยะทางทงหมดในการเคลอนทเทากบจาก Pythagorean differential

B (x2,y2)

𝑑𝑠

𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑠 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2

𝑑𝑠 = 𝑑𝑥 1 + 𝑑𝑦2

ระยะทางการเคลอนทงหมดคอ 𝑆 = 𝑥1𝑥2 𝑑𝑥 1 + 𝑑𝑦2 และก าหนด 𝑑𝑦 เปน 𝑦

เมอเขยนใหมจะไดสมการ คอ 𝑆 = 𝑥1𝑥2 𝑑𝑥 1 + 𝑦2




6. คณตศาสตรเกยวกบ Euler’s Equationy

x

A (x1,y1)

y(x)3) เมอเปรยบเทยบกบสมการของ Euler จะได

วา

4) เมอสรางสมการของ Euler ไดดงน

แทนคาฟงกชน 𝑓 𝑦, 𝑦 ในสมการ Euler

B (x2,y2)

𝑑𝑠

𝑑𝑥𝑑𝑦 J = 𝑥1

𝑥2 𝑓 𝑦, 𝑦 𝑑𝑥 จะไดวา 𝑓 𝑦, 𝑦 = 1 + 𝑦2

𝜕𝑓 𝑦, 𝑦

𝜕𝑦−

𝑑

𝑑𝑥

𝜕𝑓 𝑦, 𝑦

𝜕 𝑦= 0

𝜕 1 + 𝑦2

𝜕𝑦−

𝑑

𝑑𝑥

𝜕 1 + 𝑦2

𝜕 𝑦= 0

𝑑

𝑑𝑥

𝑦

1 + 𝑦2= 0

เมอ𝜕 1+ 𝑦2

𝜕𝑦= 0 ดงนนจะไดวา





x

A (x1,y1)

y(x)

เมอพจารณาสมการ (6.7) ท 𝑑𝑑𝑥

𝑦

1+ 𝑦2= 0

B (x2,y2)

𝑑𝑠

𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑦 = 𝑘 1 + 𝑦2

ดงนนจะไดสมการ คอ 𝑦

1+ 𝑦2= 𝑘

กตอเมอ 𝑦

1+ 𝑦2= คาคงท

จดรปสมการใหมไดวา

𝑦2 = 𝑘2 1 + 𝑦2

𝑦2 = 𝑘2 + 𝑘2 𝑦2

𝑦2 − 𝑘2 𝑦2 = 𝑘2

𝑦2 1 − 𝑘2 = 𝑘2

𝑦2 =𝑘2

1 − 𝑘2

เมอ 𝑦 =𝑘2

1−𝑘2 ซงเทยบเทา 𝑦 =𝑑𝑦

𝑑𝑥




x

A (x1,y1)

B (x2,y2) เมอ 𝑦 =𝑑𝑦

𝑑𝑥= คาคงท ดงนนแทน 𝑚 คาคงท

ใด�ๆ�𝑦

𝑑𝑥= 𝑚

𝑑𝑦 = 𝑚𝑑𝑥

𝑦 = 𝑚 𝑑𝑥

จะไดสมการเสนทางทส นทสดระหวางจดสองจด คอ 𝑦 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑐 ซงเปนเสนตรง

เมอ 𝑚 คอ คาความชนของสมการเสนตรง

𝑐 คอ คาคงทใดๆตามขอบเขตสมการ

𝑦 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑐




7. คณตศาสตรเกยวกบ Euler’s Equation แบบมเงอนไขในบางครง การทจะหาจดสงสง หรอต าสดของฟงชนส กมสมการของเงอนไข เขามาเกยวของ

ขอจ ากด : ความยาวรอบรป 2 เมตรฟงชนสทตองการ Optimize : พนท

ตวอยาง มเชอกยาว 2 เมตร จะขดใหเปนวงรปทรงใด จงจะไดพนทสงทสด

0 ) วาดรปใหสวยงาม และ เลอกพกดทเหมาะสม

(r,q)

Polar Coordinate

r=r(q)

(x,y)

Cartesian

y=y(x) r

q

ในกรณของรปทรงขางตน𝜃 ∈ 0,2𝜋

2) สรางสมการเงอนไข 2) ก าหนดใหสมการเงอนไข (Constraint Equations)

1) ก าหนดสงทตองการ Optimize

Lagrange เผยแพรวธการแกเมอป 1788 (44

ปหลงจากสมการของ Euler ในขางตน)3) สรางระบบของ Lagrange undetermined

multiplier และแกสมการ

เรยกวา Lagrange undetermined

multiplier ซงเปนคาคงท

กรณตวอยาง กรณใดๆ ในภาษาแบบ Euler-Lagrange

𝐽 =

𝛼1

𝛼2

𝑓 𝑞, 𝑞 𝑑𝛼𝐴 =

0

2𝜋1

2𝑟 𝜃 2𝑑𝜃𝑑𝐴 =

1

2𝑟 𝜃 2𝑑𝜃

𝑑𝑆 = 𝑟 𝜃 𝑑𝜃

𝑆 =

0

2𝜋

𝑟 𝜃 𝑑𝜃 = 𝐿0 =

0

2𝜋

𝑟 𝜃 𝑑𝜃 − 𝐿0 = 𝑔 𝑞

𝑔 𝑞 →

0

2𝜋

𝑟 𝜃 𝑑𝜃 − 𝐿

𝑞 → 𝑟

𝛼 → 𝜃

𝑓 → 12𝑟2

𝑞 → 𝑟 ≡𝑑𝑟

𝑑𝜃

λ

𝜕𝑓

𝜕𝑞−

𝑑

𝑑𝛼

𝜕𝑓

𝜕 𝑞+ 𝜆

𝜕𝑔

𝜕𝑞= 0




4) ตระเตรยมความพรอมของเทอมตางๆ5) จากนนอางถงสมการของ Lagrange

Undetermined Multiplier Equation

แลวสรางสมการของระบบทก าลงศกษาอย

6) ลย! (โดยใชทกษะทางคณตศาสตร)

𝑔 𝑟 = 0

𝜕𝑓

𝜕𝑟−

𝑑

𝑑𝜃

𝜕𝑓

𝜕 𝑟+ 𝜆

𝜕𝑔

𝜕𝑟= 0

𝜕𝑓

𝜕𝑟=

𝜕

𝜕𝑟

1

2𝑟2 = 𝑟

𝜕𝑓

𝜕 𝑟=

𝜕

𝜕 𝑟

1

2𝑟2 = 0

𝜕𝑔

𝜕𝑟=

𝜕

𝜕𝑟

0

2𝜋

𝑟𝑑𝜃 − 𝐿

=𝜕

𝜕𝑟

0

2𝜋

𝑟𝑑𝜃 −𝜕

𝜕𝑟𝐿

=

0

2𝜋𝜕

𝜕𝑟𝑟 𝑟𝑑𝜃

=

0

2𝜋

𝑑𝜃𝜕𝑔

𝜕𝑟= 2𝜋

𝑟 −𝑑

𝑑𝜃0 + λ2𝜋 = 0

0

2𝜋

𝑟𝑑𝜃 − 𝐿 = 0







จากสมการ Euler-Lagrange

ลดรปใหงายขน



แทนคาของ 𝑟 ในสมการ (7.10) เขาไปในสมการ(7.11)

แทนคาของ λ คอเขาไปในสมการ (7.10)

𝑟 −𝑑

𝑑𝜃0 + λ2𝜋 = 0

0

2𝜋

𝑟𝑑𝜃 − 𝐿 = 0

𝑟 = −λ2𝜋

0

2𝜋

𝑟𝑑𝜃 = 𝐿

0

2𝜋

−λ2𝜋 𝑑𝜃 = 𝐿 −λ2𝜋

0

2𝜋

𝑑𝜃 = 𝐿 𝑟 = − −𝐿

4𝜋2 2𝜋

ซงเปนสมการของวงกลม ทมรศมเทากบ 𝐿

2𝜋จงจะเปนรปทมพนทมากทสด

𝜆 = −𝐿

4𝜋2

𝑟 𝜃 =𝐿

2𝜋สมการ (7.14)สมการ (7.12)


8. โมเดลปญหาแบบ “Catenary”Catenary มรากศพทมาจากค าภาษาลาตนวา “Catena” ซงแปลวา โซ มทมาจากการศกษาลกษณะความโคงของโซ ทปลายทงสองขางขงอยในระดบเดยวกน

ป1638 - Galileo “claims (ขเดา)” วาโซจะหอยเปนรป Parabola

ป1669 - Joachim Jungius พสจนใหเหนจรงวาไมใช Parabola แตทวารปทรงจรงจะเปนอยางไรนน ไมทราบ “แลวรไดไงวาไม Parabola”

ป1671 - Robert Hook ประกาศอยางเปนทางการวาตอราชวงศองกฤษวา สามารถออกแบบรปทรงของโดม ทมความแขงแรงทสด แตไมบอกวธการท า (ปลอยใหงง…)

ป 1697 - Jacob Bernoulli ” ถาลกศษยตวเองใหแกโจทยขอน “- Leibneiz, Huygens และ Johann Bernoulli แกสมการรปทรงของโซไดส าเหรจ

3 ) Euler-Lagrange ส าหรบการแกปญหาIsoperimetric กรณทไมม 𝑥 ในสมการ 𝑈∗

1 ) ก าหนดสงทตองการของ Euler-

Lagrangex

y(+a,0)(-a,0)

y(x) คออะไร?

𝑈∗ = 𝑈 + 𝜆𝑔

𝑈∗ =

−𝑎

+𝑎

𝜌𝑔𝑦 1 + 𝑦 2 + 𝜆 1 + 𝑦 2 𝑑𝑥

ตวอยาง : Catenary

𝑈∗ =

−𝑎

+𝑎

𝐹 𝑦, 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥

2 ) เขยนตามแบบ Euler-Lagrange

𝜕𝐹

𝜕𝑦−

𝑑

𝑑𝑥

𝜕𝐹

𝜕 𝑦= 0

𝐹 − 𝑦𝜕𝐹

𝜕 𝑦= 𝐷

𝐷 คอ เปนคาคงทใดๆ






4) ตระเตรยมความพรอมของเทอมตางๆ5) ลย!! อกแลวครบ…(โดยใชทกษะทางคณตศาสตร)

𝐹 = 𝜌𝑔𝑦 + 𝜆 1 + 𝑦 2

𝑦𝜕𝐹

𝜕 𝑦= 𝑦

𝜕

𝜕 𝑦𝑦 +

𝜆

𝜌𝑔𝜌𝑔 1 − 𝑦 2

𝐹 − 𝑦𝜕𝐹

𝜕 𝑦= 𝐷

แทนคาในสมการ Euler-Lagrange ส าหรบการแกปญหาแบบ Isoperimetric

𝐹 = 𝜌𝑔 𝑦 +𝜆

𝜌𝑔1 + 𝑦 2

𝑦𝜕𝐹

𝜕 𝑦= 𝑦 𝑦 +

𝜆

𝜌𝑔

𝜌𝑔 𝑦

1 + 𝑦 2

𝑦 +𝜆

𝜌𝑔𝜌𝑔 1 + 𝑦 2

− 𝑦 𝑦 +𝜆

𝜌𝑔

𝜌𝑔 𝑦

1 + 𝑦 2= D

𝜌𝑔 𝑦 +𝜆

𝜌𝑔1 + 𝑦 2 −

𝑦 2

1 + 𝑦 2= D

𝜌𝑔𝑦 + 𝜆1

1 + 𝑦 2= D







6 ) แกสมการในรปของ 𝑦 จากสมการ 1

𝑦 =1

𝐷2 𝜌𝑔𝑦 + 𝜆 2 − 1

เมอความสมพนธของ 𝑦 =𝑑𝑦

𝑑𝑥ดงนน

𝑥 = 𝐷 𝑑𝑦

𝜌𝑔𝑦 + 𝜆 2 − 1

𝑥 =𝐷

𝜌𝑔𝑙𝑛 𝜌𝑔𝑦 + 𝜆 + 𝜌𝑔𝑦 + 𝜆 2 − 1 + 𝐶

𝑥 =𝐷

𝜌𝑔cosh−1 𝜌𝑔𝑦 + 𝜆 + 𝐶

หรอในแบบของ cosh−1 𝜃

y(x) =1

𝜌𝑔cosh

𝜌𝑔 𝑥 − 𝐶

𝐷−

𝜆

𝜌𝑔



จดใหอยในรปของ y(x)



ลกษณะความโคงแบบ Catenary เปนความโคงของโดมทใหความ “แขงแรงสงทสด”

The Gateway ณ เมอง St.Louis, USA

สะพาน Golden Gate Bridge แบบCatenary

Why isn't Parabola?

9. สมการการเคลอนทของ Lagrange

ตามหลกการของ Hamilton วตถจะเคลอนทตามเสนทางทท าให 𝑡1𝑡2 𝐿 𝑞𝑖 , 𝑞𝑖 𝑑𝑡 มคานอย

ทสด

โดยท 𝐿 𝑞𝑖 , 𝑞𝑖 กคอผลตางของพลงงานศกยและพลงงานจลย หรอ 𝐿 𝑞𝑖 , 𝑞𝑖 ≡ 𝑇 𝑞𝑖 −

𝑈 𝑞𝑖

ค าถามกคอวา แลวเสนทางทวาน จะหาไดอยางไร?ค าตอบคอ เราสามารถใชหลกการของ Euler มาแกหาจดต าสดไดดงตอไปน

ซง g 𝑞𝑖 คอ สมการขอจ ากด (equations of constraint) ทแสดงถงความสมพนธระหวาพกดตางๆ ทเขยนใหอยในรปมาตรฐาน g 𝑞𝑖 = 0

สมการนเรยกวา Lagrange Equation𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖−

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕 𝑞𝑖+ 𝜆

𝜕𝑔

𝜕𝑞𝑖= 0

ตวอยาง พจารณาระบบทมพกดแบบทรงกระบอก ถาเรางอลวดเปนทรงพาราโบลา ทมสมการ𝑧 = 𝑐𝑟2 จากนนน าลกปดมวล 𝑚 ไปเสยบไวทขางไดขางหนง เสนลวดจะตองหมนดวยความเรวเชงมม 𝜔 เทาได ลดปดจงจะไมหลนลงพน แตอยนงกบท?

วธท า พจารณาพลงงานของระบบทงหมดและ พรอมพจารณาเงอนไขการเคลอนท

𝑇 = 12𝑚 𝑟2 + 𝑟 𝜃2 + 𝑧2

𝑈 = 𝑚𝑔𝑧

𝑧 = 𝑐𝑟2

ตามแบบ Lagrange ไดดงน𝐿 = 𝑇 − 𝑈

𝑧 = 2𝑐 𝑟𝑟

𝜃 = 𝜔𝑡 𝜃 = 𝜔

𝐿 = 𝑚2 𝑟2 + 𝑟2𝜔2 + 4𝑐2𝑟2 𝑟2 −𝑚𝑔𝑐𝑟2







𝑧 = 𝑐𝑟2

𝜔

𝜃

𝑟𝑧

𝑅

𝑥

𝑧

𝑦

จะไดสมการพลงงานของ Lagrange

𝜕𝐿

𝜕𝑟= 𝑚 4𝑐2𝑟 𝑟2 + 𝑟𝜔2 − 2𝑔𝑐𝑟

แทนคาลงในสมการ Lagrange

𝐿 = 𝑚2

𝑟2 + 𝑟2𝜔2 + 4𝑐2𝑟2 𝑟2 −𝑚𝑔𝑐𝑟2

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕 𝑟=

𝑚

22 𝑟 + 16𝑐2𝑟 𝑟2 + 8𝑐2𝑟2 𝑟

𝜕𝐿

𝜕 𝑟=

𝑚

22 𝑟 + 8𝑐2𝑟2 𝑟

𝜕𝐿

𝜕𝑟−

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕 𝑟= 0






𝑧 = 𝑐𝑟2

𝜔

𝜃

𝑟𝑧

𝑅

𝑥

𝑧

𝑦

จะไดสมการ สมการการเคลอนทในรปทว คอ

เมอพจารณาทลกปดลอยนงและไมตก จะเหนไดวา 𝑟 = R = คาคงท ดงนน 𝑟 = 𝑟 = 0 จากสมการขางตนท าใหเราสามารถหาคา 𝜔 ทจะลกปดลอยนงและไมตก คอ

𝑟 1 − 4𝑐2𝑟2 + 𝑟2 4𝑐2𝑟 + 𝑟 2𝑔𝑐 − 𝜔2 = 0

𝑅 2𝑔𝑐 − 𝜔2 = 0

𝜔 = 2𝑔𝑐



𝑧 = 𝑐𝑟2

𝜔

𝜃

𝑟𝑧

𝑅

𝑥

𝑧

𝑦

จะไดคา 𝜔 ทนอยทสดลกปดลอยนงได คอ 2𝑔𝑐

10. ความหมายของ 𝜆 𝜕𝑔

𝜕𝑞𝑖

จากสมการของ Lagrange ในระบบแบบมขอจ ากด

Force of Constrain แปลวาแรง ทมผลท าใหวตถเคลอนทตามขอจ ากดนนๆ

ตวอยาง การเคลอนทของวตถตามแนวราบ ก าหนดใหตวแปรอสระเปน 𝑥, 𝑦

จะไดวา 𝜆 𝜕𝑔

𝜕𝑞𝑖= 𝑚𝑔

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖−

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕 𝑞𝑖+ 𝜆

𝜕𝑔

𝜕𝑞𝑖= 0

𝑚

เราสามารถทจะตความไดวา 𝝀 𝝏𝒈

𝝏𝒒𝒊กคอ Force of Constrain นนเอง

ตวอยาง วตถทเคลอนทบนทรงกลม จงหามม 𝜃0 ทวตถเรมเคลอนทออกจากพนผว

สรางสมการการเคลอนทไดดงน

𝑔 𝑟, 𝜃 = 𝑟 − 𝑎 = 0𝑚

𝜃0

𝑟 = 𝑎

พจารณาเงอนไขขอจ ากดวตถเคลอนทมวล 𝑚 ในทนคอ

พจารณาพลงงานจลน และ พลงงานศกด

𝑇 =𝑚

2 𝑟2 + 𝑟2 𝜃2

𝑈 = 𝑚𝑔𝑟 cos 𝜃

𝐿 = 𝑇 − 𝑈

𝐿 =𝑚

2 𝑟2 + 𝑟2 𝜃2 −𝑚𝑔𝑟 cos 𝜃

𝜕𝐿

𝜕𝑟−

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕 𝑟+ 𝜆

𝜕𝑔

𝜕𝑟= 0

𝜕𝐿

𝜕𝜃−

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕 𝜃+ 𝜆

𝜕𝑔

𝜕𝜃= 0

𝜕𝑔

𝜕𝑟= 1

𝜕𝑔

𝜕𝜃= 0










𝑚

𝜃0

𝑟 = 𝑎

เมอแทนคา 𝐿 ลงในสมการการเคลอนทของ Lagrange ไดดงน𝑚𝑟 𝜃2 −𝑚𝑔 cos 𝜃 − 𝑚 𝑟 + 𝜆 = 0

𝑚𝑔𝑟 sin 𝜃 − 𝑚𝑟2 𝜃 − 2𝑚𝑟 𝑟 𝜃 = 0

เมอแทนคา 𝑟 = 𝑎 ดงนน 𝑟 = 𝑟 = 0

𝑚𝑎 𝜃2 −𝑚𝑔 cos 𝜃 + 𝜆 = 0

𝑚𝑔𝑎 sin 𝜃 − 𝑚𝑎2 𝜃 = 0

𝜃 =𝑔

𝑎sin 𝜃

จากสมการ (10.13) จะไดวา

จาก Chain rule จะได 𝜃 =𝑑

𝑑𝑡

𝑑𝜃

𝑑𝑡=

𝑑 𝜃

𝑑𝑡=

𝑑 𝜃

𝑑𝜃

𝑑𝜃

𝑑𝑡= 𝜃

𝑑 𝜃

𝑑𝜃

สมการ (10.10)

สมการ (10.11)

สมการ (10.12)

สมการ (10.13)

สมการ (10.14)

สมการ (10.15)

𝑚

𝜃0

𝑟 = 𝑎

จากเงอไขของการเคลอน 𝜃 = 0 ท t = 0 เมอ𝜃 = 0 แทนคา 𝜃 ในสมการของ 𝜆 ไดดงน12𝑚𝑎 −

𝑔

𝑎cos 𝜃 +

𝑔

𝑎−𝑚𝑔 cos 𝜃 + 𝜆 = 0

𝜃 𝑑 𝜃 =𝑔

𝑎 sin 𝜃 𝑑𝜃

จะไดวา 𝜆 = 𝑚𝑔 3 cos 𝜃 − 2

เมอแทนคา 𝜃 = 𝜃𝑑 𝜃

𝑑𝜃กลบไปในสมการ (10.14)

𝜃

2= −

𝑔

𝑎cos 𝜃 +

𝑔

𝑎

จากเงอไขมวลจะหลดจากผวโครงเมอ 𝜆 = 0 ดงนนจะคา 𝜃 ทมากทสดท คอ

𝜆 = 0 = 𝑚𝑔 3 cos 𝜃 − 2𝜃0 = cos−1

2

3

สมการ (10.16)

สมการ (10.17)

สมการ (10.18)

สมการ (10.19)

สมการ (10.20)

ตวอยาง ทนยมกนในการแกปญหาแบบ Lagrange

ตวอยาง 10.1

𝜃𝑅

𝑦

𝛼

𝑔

𝑦

𝑥

𝑚1

𝑚1


𝜃1

𝜃2

𝑔

ตวอยาง ทนยมกนในการแกปญหาแบบ Lagrange


𝑔

𝑚1

𝑚3𝑚3

𝛼

𝑔

𝑀


𝑣

1. Σ 𝐹 = 0

2. Σ 𝐹 = 𝑚 𝑥3. 𝐹 = − 𝐹

Sir Isaac Newton

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖−

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕 𝑞𝑖+ 𝜆

𝜕𝑔

𝜕𝑞𝑖= 0

Joseph-Louis Lagrange

สรป : Newton’s Law และ Lagrange’s Equations

แรง พลงงาน

เวกเตอร สเกลาร

ณภทรษกร สารพฒนE-Mail : [email protected]

Thank you for

your attention.

Education

กฎของ Hamilton และ Lagrange’s Equations