Regla del Trapecio para Segmentos MúltiplesCLASE 12

Integración Numérica en Excel

Una manera de mejorar la exactitud de la regla del trapecio es la dividir el

intervalo de integración [𝑎, 𝑏] en un conjunto de segmentos (figura 1) y aplicar el

método a cada uno de ellos. Se suman las áreas de los segmentos individuales y

se obtiene la integral en el intervalo completo. A las ecuaciones resultantes se les

conoce como formulas de integración de segmentos múltiples o formulas de

integración compuestas.

Integración Numérica en Excel

Figura 1. Esquema de la regla del trapecio con segmentos múltiples

← ℎ →← ℎ →

Integración Numérica en Excel

Si hay 𝑛 + 1 puntos igualmente espaciados, habrá 𝑛 segmentos de igual anchura

(ℎ)

La integral total se puede representar como la suma de las integrales parciales:

h =𝑏 − 𝑎

𝑛…… …… …… …(1)

𝐼 =

𝑥0

𝑥1

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +

𝑥1

𝑥2

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + ⋯+

𝑥𝑛−1

𝑥𝑛

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 …… …… . (2)

Integración Numérica en Excel

Sustituyendo la regla del trapecio para cada una de las integrales:

Mediante la agrupación de términos se obtiene la fórmula general del método del

trapecio:

I = ℎ𝑓(𝑥1) − 𝑓 𝑥0

2+ ℎ

𝑓(𝑥2) − 𝑓 𝑥1

2+ ⋯ℎ

𝑓(𝑥𝑛) − 𝑓 𝑥𝑛−1

2… …… …… …(3)

𝐼 =ℎ

2𝑓 𝑥𝑜 + 2

𝑖=1

𝑛−1

𝑓 𝑥𝑖 + 𝑓 𝑥𝑛 …… …… …… …… …… (4)

Integración Numérica en Excel

El error global del método del trapecio se obtiene al sumar los errores individuales

de cada segmento

En donde 𝑓"(𝜀𝑖) es la segunda derivada de la función evaluada en el punto 𝑒𝑥

localizada dentro del segmento 𝑖, que se puede estimar con la expresión:

𝐸𝑡 =− 𝑏 − 𝑎 3

12𝑛3

𝑖=1

𝑛−1

𝑓" 𝜀𝑖 … …… …… …(5)

𝑓" = 𝑖=1

𝑛 𝑓"(𝜀𝑖)

𝑛… …… …… …… …… …(6)

Integración Numérica en Excel

Por tanto 𝑓"(𝜀𝑖) = 𝑛𝑓" y la ecuación se reescribe como:

𝐸𝑡 =− 𝑏 − 𝑎 3

12𝑛2 𝑓" … …… …… …(7)

Código alternativo en Matlab.

Ejemplo

Evalué la siguiente integral −3

51 − 𝑥 − 4𝑥3 + 3𝑥5 𝑑𝑥

a. Analíticamente

b. Con la regla del trapecio de segmentos múltiples, utilizar solo 6 trapecios.

c. Con el uso de la herramienta Excel

Código alternativo en Matlab.

Solución

a. En forma analítica

𝐼 =

−3

5

1 − 𝑥 − 4𝑥3 + 3𝑥5 𝑑𝑥 = 𝑥 −𝑥2

2− 𝑥4 +

1

2𝑥6

−3

5

𝐼 = 5 −25

2− 625 +

1

215625 − −3 −

9

2− 81 +

1

2729 = 7180 − 276 = 6904

Código alternativo en Matlab.

Solución

b. Con la formula para segmentos múltiples. Para 𝑛 = 6

𝐼 =𝑏 − 𝑎

2𝑛𝑓 𝑥0 + 2

𝑖=1

5

𝑓 𝑥𝑖 + 𝑓 𝑥6 … …… … . (8)

Código alternativo en Matlab.

Solución

Donde ℎ =5−(−3)

6= 1.3333, y las correspondientes funciones evaluadas en los puntos

de 𝑥0 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑥6:𝑓 𝑥0 = 𝑓 −3 = −617

𝑓 𝑥1 = 𝑓 −1.6666 = −17.3977𝑓 𝑥2 = 𝑓 −0,3334 = 1.4693𝑓 𝑥3 = 𝑓 0.9999 = −1.0002𝑓 𝑥4 = 𝑓 2.3332 = 155.2952𝑓 𝑥5 = 𝑓 3.6666 = 1788.0073

𝑓 𝑥6 = 𝑓 5 = 8871

Código alternativo en Matlab.

Solución

Al sustituir los valores anteriores en (8) se tiene:

𝐼 = 5 − (3)−617 + 2 −17.3977 + 1.4693 − 1.002 + 155.2952 + 1788.0073 + 8871

2(6)

𝐼 = 8071.1652, con un error porcentual real:

𝐸𝑉 =6904 − 8071.1652

6904100 = 16.9%

Código alternativo en Matlab.

Solución

c. Con el usos de la herramienta de Excel se obtienen los siguientes resultados

Código alternativo en Matlab.