) Qu tienen en comn los movimientos de un disco compacto (CD), una ruedal.....ide sillas voladoras, una sierra circular y un ventilador de techo? Ninguno pue-de representarse adecuadamente como un punto en movimiento; todos implican uncuerpo que gira sobre un eje que est fijo en algn marco de referencia inercial.

La rotacin se da en todos los niveles, desde el movimiento de los electronesen los tomos hasta los movimientos de las galaxias enteras. Necesitamos de m-todos generales para analizar el movimiento de un cuerpo en rotacin. En este ca-ptulo y en el siguiente consideraremos los cuerpos con tamao y fanna definidosque en general pueden tener movimiento rotacional adems del traslacional.

Los cuerpos reales pueden ser muy complicados; las fuerzas que actan sobreeUos pueden deformarlos: estirarlos, torcerlos y aplastarlos. Por el momento hare-mos caso omiso de esto y supondremos que el cuerpo tiene forma y tamao per-fectamente definidos e inmutables. Llamamos a este modelo idealizado cuerporgido. Este captulo y el siguiente tratan principalmente del movimiento rotacio-D:3:I de un cuerpo rigido.

Comenzaremos con el lenguaje de la cinemtica para describir el movimiento.OCJCioual. Luego veremos la energa cintica de la rotacin, la clave para usar los,,::~:~de::energa en el movimiento rotacional. En el captulo 10 deduciremos11 dinmicos que relacionan las fuerzas sobre un cuerpo con su movi-

~ ........ ioual.

ROTACIN DECUERPOS RGIDOS

Sin importar dnde nos sentemos en unasilla voladora de un aparato de feria girato-rio, tendremos la misma velocidad angulary aceleracin angular. Sin embargo, nues-tra velocidad lineal y nuestra aceleracinlineal dependen de qu tan lejos nos senta-mos del eje de rotacin. En general, cuantoms lejos estemos del eje, mayores sernnuestra velocidad y aceleracin lineales,y nuestra emocin ser mayor.

Si duplica su distancia respecto aleje de rotacin del aparato, cuntas veces mayor ser su rapidez? Cuntas vecesmayor ser su aceleracin hacia el eje derotacin?

327

328 CA P1TUL o 9 I ROlacin de cuerpos rgidos

, 9.1 I Velocidad y aceleracin angulares

(,'

9.1 Aguja de velocimetro (UD ejemplo decuerpo rigido) que gira en sentido antiho-rario sobre un eje fijo que pasa por O y esperpendicular al plano del diagrama.

Un ngulo en radianes es la razn de dos longitudes, as que es un numero puro,sin dimensiones. Si s = 3.0 m y r = 2.0 m, entonces (J = 1.5, pero a menudo es-cribiremos esto como 1.5 rad para distinguirlo de un ngulo medido en grados orevoluciones.

La circunferencia de un crculo (es decir, la longitud del arco que rodea al crcu-lo) es 2r. veces el radio, as que hay 2r. (unos 6.283) radianes en una revolucin(360 Q). Por tanto

360'I rad = ~- = 57.3

2"

Velocidad angular

Al analizar el movimiento rotacional, pensemos primero en un cuerpo rgido quegira sobre un eje fijo, es decir, un eje que est en reposo en algn marco de referencia inercial y no cambia de direccin relaliva al marco. El cuerpo podra seruna flecha de mOlor, un trozo de asado en una brocheta o un tiovivo.

La figura 9.1 muestra un cuerpo rgido (en este caso, la aguja indicadora de unvelocmetro) que gira sobre un eje fijo que pasa por el punto O y es perpendicularal plano del diagrama, que llamamos plano'\y. Una forma de describir la rotacinde este cuerpo seria escoger un punto P del cuerpo y seguir la pista a sus coorde-nadas x y y. Este mtodo no es el ms cmodo, pues requiere dos nmeros (las doscoordenadas) para especificar la posicin rotacional del cuerpo. En vez de ello,observamos que la linea OP est fija en el cuerpo y gira con l. El ngulo Oqueesta lnea fonna con el eje +x describe la posicin rotacional del cuerpo; usare-mos esta cantidad nica 8 como coordenada de rotacin.

La coordenada angular Ode un cuerpo rigido que gira sobre un eje fijo puedeser positiva o negativa. Si escogemos que los ngulos positivos se midan en sentido antihorario desde el eje +x, entonces el ngulo Oen la figura 9.1 es positivo.Si escogemos la direccin horaria como la de rotacin positiva, 8 ser negativo enla figura 9.1. Cuando consideramos el movimiemo rectilneo de una particula, fueindispensable especificar la direccin del desplazamiento positivo sobre esa linea;al analizar la rotacin sobre un eje fijo, es igualmente indispensable especificar ladireccin de rotacin positiva.

Al describir un movimiento rotacional, la forma ms natural de medir el ngulo8no es en grados, sino en radianes. Como se muestra en la figura 9.13, un radin(l rad) es el ngulo subtendido en el centro de un crculo por un arco de longitudigual al radio del crculo. En la figura 9.2b, un ngulo Oes subtendido por un arcode longitud s en un circulo de radio 1'. El valor de 8 (en radianes) es igual a s entre r.

s0=- osea s = rO (9.1),

Asimismo, 180 = r.rad, 90 = 1rI2 rad, etc. Si insistiramos en medir 8en graodos, tendramos que haber incluido un factor ms (2r./360) en el lado derecho des= rOen la ecuacin (9.1). Al medir ngulos en radianes, mantenemos la relacinentre el ngulo y la distancia a lo largo de un arco lo ms sencilla posible.

I I\ \

-

I;

I,

11Il1

lb,

9..2 Un ngulo 8 en radianes se define ro-roo el cociente de la longitud del arco s yel radio r.

La coordenada () de la figura 9.1 especifica la posicin rotacional de un cuerpo rigido en un instante dado. Podemos describir el movimiento rotacional del cuerpoen trminos de la razn de cambio de 8, de forma anloga a como describimos elmovimiento rectilneo en el captulo 2. En la figura 9.3a una lnea de referencia

9.1 1 Velocidad y aceleracin angulares 329

y

,....

-

\ \ I I

-'1c+---'

(.) lb)

(9.2)

9.3 (a) Desplazamiento angular Ji8 de un cuerpo en rotacin. (b) Cada parte de un cuer-po rigido tiene la misma velocidad angular.

OP en un cuerpo que gira forma un ngulo 81 con el eje +x en el instante tI' Enun instante posterior '2' el ngulo cambi a ~. Definimos la ,relocidad angularmedia Wmed-: del cuerpo en el intervalo t1J = '2 -11 como la razn del desplaza-miento angular 68 = 82 - 81 Y61:

82 - 81 ,(JW = =

mtd:; t2 t lit

El subndice 4 indica que el cuerpo de la figura 9.3a est girando en tomo al eje l,que es perpendicular al plano del diagrama. La "elocidad angular instantneaw:; es el lmite de Wm.d-: cuando .dI tiende a cero, es decir, la derivada de 8 con res-pecto a t:

ao dOW.= lm-~-

;1,.-1) 6t dt (definicin de velocidad angular) (9.3)

Cuando nos referimos simplemente a "'velocidad angular" hablamos de la velocidad angular instantnea, no de la velocidad angular media.

La velocidad angular w:; puede scrpositiva o negativa, dependiendo de la direc-cin en que el cuerpo rgido gira. La rapidez angular w, que usaremos mucho enlas secciones 9.3 y 9.4, es la magnitud de la velocidad angular. Al igual que la ra-pidez ordinaria (lineal) v, la rapidez angular nunca es negaliva.

O:lIlI~!!J!!J Tenga presente la distincin entre velocidad angular w~ y veladdad ordinaria IJ~ (seccin 2.2). Si un objeto tiene una velocidad IJ~. el objeto ensu totalidad se mueve a lo largo del eje x. En contraste, si un objeto tiene unavelocidad angular w:. est girando en torno al eje z. No quiere decir que el objeto se mueve a lo largo del eje z.

Diferentes puntoS de un cuerpo rigido en rotacin se mueven diferentes distancias en un tiempo dado, dependiendo de la dstancia respecto al eje de rotacin.Dado que el cuerpo es rgido, lodos los puntos giran el msmo ngulo en el mismo tiempo (Fig. 9.3b). Por tanto, en cualquier instante, todas las partes de uncwrpo rigido en rotacion tienen la misma velocidad angular. La velocidad angubr es posi'o"'3 si el cuerpo gira en la direccin de 8 creciente, y negativa si lo ha

el I::! dImxin de 8 decreciente.

330 CAPTULO 9 I Rotacindecuerposrgidos

Si () est en radianes, la unidad de velocidad angular es el radin por segundo(rad/s). Suelen usarse otras unidades, como revoluciones por minuto (rev/mio orpm). Dado que 1 rey = 21T rad, dos conversiones tiles son

2rrlrev/s = 21T rad/s y 1rev/min = 1 rpm = 6rad/s

Es decir, 1 rad/s es alrededor de 10 rpm.

_ Clculo de la velocidad angular

5.0s - 2.0s

I mdl( Ire')1 60')= 78- -- --.- = 740 rev/mins 271" rad 1 mmOl - 01 250 rad - 16 radW..-.ro., = --- ~ ------ = 78 rad/st2 - t

d) Usamos la ecuacin (9.3):d8 d

w. = - =-[(2.0rad/s3)1 3] = (2.0 rad/s3 )(3tl ), dt dI

= (6.0rad/s3)t!En el instante I = 5.0 s,

W, = (6.0rad/s3 )(5.0s)2 = !50rad/s

Para usar la ecuacin (9.1), el ngulo debe expresarse en radianes.Omitimos "radianes" de la unidad de s porque een realidad es unnmero adimensional; s es una distancia y se mide en metros, igualque r.e) En la ecuacin (9.2) tenemos

EVALUAR: Nuestro resultado en la parte (d) muestra que l, es pro-porcional a t1 y, por tanto, aumenta con el tiempo. Nuestros resulta-dos numricos son congruentes con este resultado: la velocidadangular instantnea de 150 rad/s en t = 5.0 s es mayor que la velo-cidad angular media de 78 radls para el intervalo de 3.0 s previo aese instante (de t = 2.0 s a t2 = 5.0 s).

b) El volante tiene un desplazamiento angular de !I(} = ~ - 01 =250 rad - 16 rad = 234 rad. El radio r es 0.18 m (la mitad del di-metro). La ecuacin (9.1) da

s = re = (0.18 m)(234 rad) = 42 m

EJECUTAR: a) Sustituimos los valores de 1en la ecuacin dada:(JI = (2.0 rad/s3 )(2.0 S)3 = 16 rad

3600(16rad)-- = 9200271" rad

O2 = (2.0 rad/s3)(5.0 s)J = 250 rad360"

= (250rad)-- = 14,0002rr rad

9.4 Volante giratorio de un motor de autom,,:il.

El dimetro del volante es de 0.36 m. a) Calcule al ngulo e, en ra-dianes y en grados, en /1 = 2.0 s y /2 = 5.0 s. b) Calcule la distan-cia que una partcula en el borde se mueve durante ese intervalo.e) Calcule la velocidad angular media, en radls y en rpm, entre t1 =2.0 s y t2 = 5.0 s. d) Calcule la velocidad angular instantnea a lost=tl=5.0s.

( ;>Volante

dimetro" 0.36 m

--=== L ..--~ .~-)-~.u..!,

, -~~

9.1 I Velocidad y aceleracin angulares 331

y

,,

" y

Cicrre la manodCJl:cha en ladiR:il'l dela TQlaCin I

E1P'l'~""~~apunta enJ~~

direccin de ;, :,

(.) (C)"',

332

Ejemplo9.2

CAPTULO 9 I Rotacin de cuerpos rgidos

La unidad que se acosrumbra usar para la aceleracin angular es el radin por se-gundo por segundo (radls2). De ahora en adelante, usaremos el trmino "acelera-cin angular" para referimos a la aceleracin angular instantnea, no a la media.

Dado que J = d6ldr, tambin podemos expresar la aceleracin angular comola segunda derivada de la coordenada angular:

d dO d 2(}Q: = dI dI = dt2 (9.6)

Seguramente el lector ya se percat de que estamos usando letras griegas paralas cantidades de la cinemtica angular: () para la posicin, w. para la velocidad y0: para la aceleracin angulares. stas son anlogas a x para la posicin, v-' para lavelocidad y Q" para la aceleracin, respectivamente, en el movimiento rectilneo.En ambos casos, la velocidad es la razn de cambio de la posicin con respecto altiempo y la aceleracin es la razn de cambio de la velocidad con respecto al tiempo. A veces, usaremos los trminos velocidad lineal y aceleracin lineal para refe-rirnos a las cantidades que definimos en los capitulos 2 y 3, haciendo unadistincin clara entre stas y las cantidades angulares presentadas en este captulo.

En el movimienlO rotacional, si la aceleracin angular Q: es positiva, aumentala velocidad angular w:; si Q: es negativa, w: disminuye. La rotacin se est acele-rando si Q;: YW;: lienen el mismo signo, y frenndose si tienen signos opuestos.(Eslas relaciones son idnticas a las que existen entre la aceleracin lineal a~ y lavelocidad lineal u~ en el movimiento rectilneo; vase la seccin 2.3).

Clculo de la aceleracin angular

\

En el ejemplo 9.1, vimos que la velocidad angular instantlinea w,del volanle en cualquier instante I est dada por

w, = (6.0radls3 )t2a) Calcule la acelcracin angular media entre ti "" 2.0 s y t1 = 5.0 s.b) Calcule la aceleracin angular instantnea en el instante /2 = 5.0 s.

lm!!1il!llIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: Usaremos las ecuaciones (9.4) y (9.5)para obtener las dos incgnilas, la aceleracin angular media a........,entre tI y t1 Yla aceleracin angular instantnea fl!, en t = 12

EJECUTAR: a) Los valores de W, en los dos instantes sonWl, = (6.0 radlsl )(2.0 S)2 = 24 radlsWz., = (6.0 radlsl ) (5.0 S)2 = ISO radls

Por la ecuacin (9.4), la aceleracin angular media es

150 radls - 24 radlsam

333

, ,, ,, ,

t .J

Q, apunta en la misma direccin que wsi la rotacin se est acelerando, y en la di-reccin opuesta si se est frenando (Fig. 9.7).

El vector de aceleracin angular nos ser muy til en el captulo lO cuandoveamos lo que sucede cuando el eje de rotacin puede cambiar de direccin. Eneste captulo el eje de rolacin siempre estar fijo y slo necesilaremos usar lacomponenle Z. Q;:-

9.2 I Rotacin con aceleracin angular constante

La figura 9.8 es una grfica de w:: y a. contrn tiempo para cierto cuerpo en rota-cin. En qu intervalos de tiempo la rotacin se est acelerando? En qu inter-valos se est frenando?

Acelerindosc Frenando

9.2 I Rotacin con aceleracin angular constante9.7 Cuando el eje de rotacin es fijo, losvectores de aceleracin angular y velocidad angular estn sobre ese eje.

En el capitulo 2, vimos que el movimiento rectilneo es muy sencillo si la acelera-cin es constante. Lo mismo sucede con el movimiento rotacional sobre un eje fi-jo. Si la aceleracin angular es constante, podemos deducir ecuaciones para lavelocidad y la posicin angulares siguiendo el mismo procedimiento que usamospara el movimiento rectilneo en la seccin 2,4. De hecho, las ecuaciones que va-mos a deducir son id6uicas a las ecuaciones (2.8), (2.12), (2.13) Y(2.14) si sustituimos x por 8, VI por w, y Q" por a" Sugerimos repasar la seccin 2,4 anles decontinuar.

Sea Wo:: la velocidad angular de un cuerpo rigido en t = OYsea w, su velocidadangular en cualquier instante posterior t. la aceleracin angular Q:: es constante eigual al valor medio en cualquier intervalo. Usando la ecuacin (9.4) en el intervalo de Oa 1, tenemos

9.8 Grfica de velocidad angular w: yaceleracin angular (.1: contra liempo paraun cuerpo que gira.

es decir

(slo aceleracin angular constante) (9.7)

Tambin sabemos que w",...:: es el desplazamiento angular total (8 - 60) divididoentre el inlervalo de tiempo (t- O);

Act"!vPhyscs7.7 Cinemtica rotacional

(9.8)2Wmed-::=

El producto CJ.::f es el cambio total de w:: entre t = OYel instante posterior t; la velocidad angular w, en el instante t es la suma del valor inicial Wo: y este cambio.

Con aceleracin angular constame, la velocidad angular cambia a una razn uni-forme, as que su valor medio entre Oy t es la media de los valores inicial y fmal:

w~ + w,

(9.9)8 - 80w ~---....0.:: t~O

Si igualamos las ecuaciones (9.8) y (9.9) Y multiplicamos el resultado por 1, obte-nemos

(slo aceleracin angular constante) (9.10)

334 CAPTULO 91 ROlaci6ndecuerposrfgidos

Para obtener una relacin eone 8 y t que no incluya a w:. sustituimos la ecuacin(9.7) en la ecuacin (9.10):

(slo aceleracin angular constante) (9.11)

18 - 80 - 2"[""" + (""" + a,r)]r1

8 = 80 + Jo;,l + "2a/

Es decir, si en t = Oel cuerpo tiene una posicin angular 80 y una velocidad angu-lar Jo::, su posicin angular 9 en cualquier instante posterior t ser la suma de trestnninos: su posicin angular inicial 80. ms la rotacin~ que tendria si la velocidad angular fuera constante, ms una rotacin adicional ial1 causada por elcambio en la velocidad angular.

Siguiendo el mismo procedimiento que para el movimiento rectilneo en la sec-cin 2.4, combinamos las ecuaciones (9.7) y (9.11) para obtener una relacin en-tre 8y w: que no contenga a t. Lo invilamos a hacerlo, siguiendo el procedimientoque empleamos para obtener la ecuacin (2.13). (Vase ejercicio 9.12). De hecho,dada la analoga perfecta entre las cantidades rectilneas y rotacionales, podemostomar la ecuacin (2.13) y sustituir cada cantidad rectilnea por su contraparte ro--tacional. Obtenemos

(s6lo aceleracin angular constante) (9.12)

,-UlPAD Tenga presente que estos resultados son vlidos slo si la acelera-dn angular a, es constante; no trate de aplicarlos a problemas en los que a, noes constante. En la tabla 9.1 se muestra la analoga entre las ecuaciones (9.7),(9.10), (9.11) Y(9.12) para rotadn sobre un eje fijo y aceleracin angular cons-tante, y las ecuaciones correspondientes para el movimiento rectilneo con ace-leracin lineal constante.

Tabla 9.1 Comparacin del movimiento lineal y angular con aceleracin constanteRotacin sobN! un eje tijo conaceleracin angular constante

Movimiellto rectilneo conaceleracin lineal constante

,===------===:.::::.":::::...:==-a~ = constantev~ = Vo.. + a~t

1 ,x = Xo + vart + 2a,r

v; = vo..l + 2a~(x - xo)1

x - Xu = 2(v, + Uo.)t

a, = constantew,=WQ,+a.

1O = 0+ foL' + -a,lo .....,. 2"

W,2 = Wo,2 + 2a,(0 - 00 )1

0- 00 = 2(w, + Wn,)1

Ejemplo93 Rotacin con aceleracin angular constante

Imagine que acaba de ver una pelcula en DVD y el disco se est de-teniendo. La velocidad angular del disco en t = Oes de 27.5 cad/s ysu aceleracin angular constante es de -10.0 radl!t. Una lnea PQ enla superficie del disco est a lo largo del eje +x en t = O(Fig. 9.9).a) Qu velocidad angular tiene el disco en I = 0.300 s? b) Qu n-gulo fonna la linea PQ con el eje +x en ese instante?

El!!I3IDIDENTIFICAR: La aceleracin angular del disco es constante, asque podemos usar cualquiera de las ecuaciones que dedujimos enesta seccin. Las inc6gnilllS son la \'elocidad angular y el desplaza-miento angular en t = 0.300 s.

9.3 l Relacin entre cinemtica lineal y angular 335

PLANTEAR: Nos dan la velocidad angular inicial Wg" = 27.5 radls,el ngulo inicial 80 = Oentre la linea PQy el eje +x,laaceleracinangular a, = -10.0 radls2y el tiempo f =0.300 Sque nos nleresa.Con esta informacin, lo ms fcil es usar las ecuaciones (9.7) y(9.11) para obtener las incgnitas w, y (J, respectivamente.

EJECUTAR: a) Por la ecuacin (9.7), en I = OJOO s tenemosW, = Wo: + er,1 = 27.5 rad/s + (-10.0 radls1 ) (0.300 s)

= 24.5 radls

b) Por la ecuacin (9.11),I

8 = 90 + ""'0::' + '2a!

y Di=:ci60 dela roc:aci6o

+-----1f->

,= O + (27.5 rad/s)(0.300 s) + '2( -10.0 rndls2)(0.300 s}2

("")= 7.S0rad = 7.S0rad -- = 1.24rcv21T radEl OVO ha girado una revolucin completa ms 0.24 dc revolu-

cin, es decir un ngulo adicional de (0.24 rev)(3600/rev) = 87.Por tanto, la lnea PQ fonna un ngulo de 87 con el eje +x.

EVALUAR: Nuestra respuesta a la parte (a) nos dice que la velocidadangular ha disminuido, lo cual es natural dado que a, es negativa.Tambin podemos usar el valor de w, que obtuvimos en la pane (a)

9,9 La linea PQ sobre un disco OVO girando en t = O. Cul esel ngulo que hace esta lnea con el eje + x en t = 0.300 s?

para comprobar nuestro resultado () de la parte (b). Para ello, despe-jamos el ngulo 8de la ecuacin (9.12), W,2 = w0:2 + 2Cl:,(9 - (Jo),

(w'-''''')8=90 + ' -v,2a,(24.5 radlsF- (27.5 rad/s)2

=0+ ( ') =7.80rad2 -10.0 radlsEsto coincide con el resultado que obtuvimos antes.

En cunto tiempo se para el DVD del ejemplo 9.37 Cuntas revoluciones giraentre t = O Yel instante en que se para?

9.3 I Relacin entre cinemtica lineal y angular

9.10 Cuerpo rgido que gira sobre un ejefijo que pasa por el punto O. La distancia sque recorre el punto P del cuerpo es iguala r9 si Ose mide en radianes. La velocidadlineal u del punto P es igual a rw si la ve-locidad angular w se mide en radls.

p

8,

--rw

y

w

x-;:--, L-~'"

,,,,,

-;--'o--"I'---L_--f->, O,,,,,

"'-

Cmo obtenemos la velocidad y aceleracin lineales de un punto dado de un cuer-po rigdo en rotacin? Necesitamos la respuesta para continuar con nuestro estudiode la rotacin. Por ejemplo, para obtener la energa cintica de un cuerpo en rotacin,debemos partir de K =!mu] para una partcula, y esto requiere conocer u para cadapartcula del cuerpo. Por tanto, vale la pena deducir relaciones generales entre la ve-kx:idad y aceleracin angulares de un cuerpo rgido que gira sobre un eje fijo y la\-ekJcidad y aceleracin lineales de un punto o partcula especfica del cuerpo.

Cuando un cuerpo rigido gira sobre un eje fijo, lodas sus particulas se muevenes una trayectoria circular. El crculo yace en un plano perpendicular al eje y estcentrado en el eje. La rapidez de una particula es directamente proporconal a lavelocidad angular del cuerpo; CUanto ms rpidamente gira el cuerpo, mayor esla rapidez de cada partcula. En la figura 9.10, el punto P est a una distanciaconstante r del eje de rotacin, as que se mueve en un crculo de radio r. En cual-quier instante, el ngulo O(en rad) y la longitud de arco s estn relacionadas por

s = rO

336 e A p T u LO 9 I Rotacin de cuerpos rgidos

Derivamos esto respecto al tiempo, observando que r es constante para una partcu-la especifica, y obtenemos el valor absoluto de ambos lados:

Ahora, Ids/dd es el valor absoluto de la razn de cambio de la longitud de arco, quees igual a la rapidez lineal instantnea u de la partcula. De manera anloga', IdO/dll,el valor absoluto de la razn de cambio del ngulo, es la rapidez angular instant-nea w, es decir, la magnitud de la velocidad angular instantnea en rad/s. As,

v = rw (relacin entre rapidez lineal y angular) (9.13)

ya,,,,, = ro

9.11 La componente de aceleracin delpunto P paralela a ves a"", = m; la compo-nente perpendicular a ti, dirigida radialmen-te hacia el eje de rotacin, es arad = w2 r. Elcuerpo rigdo que se muestra aqu se estacelerando.

Cuanto ms lejos del eje est un punto, mayor es su rapidez lineal. La direccin delvector de velocidad lineal es siempre tangente a la trayectoria circular (Fig. 9.10).

(;I!lII!l\l!l!l Tenga presente la distincin entre las velocidades lineal y angularu y w (que aparecen en la ecuacin (9.13 y las velocidades lineal y angular uxyw,. las cantidades sin subindices. u y w, nunca son negativas; son las magnitudesde los vectores vy ro, respectivamente, y sus valores slo nos dicen con qu ra-pidez el cuerpo se est moviendo (u) o est girando (w). las cantidades corres-pondientes con sublndice, Ux y W,. pueden ser positivas o negativas; su signoindica la direccin del movimiento.

Podemos representar la aceleracin de una partcula que se mueve en un circulo entrminos de sus componentes centrpeta y tangencial, arad Yatm (Fig. 9.11), como hici-mos en la seccin 3.4. Le recomendamos repasar esa seccin. Vimos que la compo-nente tangencial de aceleracin a lan , la componente paralela a la velocidadinstantnea, acta cambiando la magnitud de la velocidad de la partcula (su rapidez)y es igual a la razn de cambio de la rapidez. Derivando la ecuacin (9.13), obtenemos

dv dwa =-=r-=ra (9.14)

tan d! d!(aceleracin tangencial de un punto de u-n cuerpo en rotacin)

Esta componente de la aceleracin de la partcula siempre es tangente a la trayec-toria circular de la partcula.

La cantidad o: = dw/d! de la ecuacin (9.14) es la razn de cambio de la rapi-dez angular. No es idntica a O:z = dw/d!, que es la razn de cambio de la veloci-dad angular. Por ejemplo, consideremos un cuerpo que gira de modo que su vectorde velocidad angular apunta en la direccin -l (Fig. 9.Sc). Si la rapidez angular delcuerpo est aumentando a razn de 10 rad/s por segundo, entonces o: = 10 rad/s2.Sin embargo, w, es negativa y se est volviendo ms negativa a medida que la rota-cin se acelera, asi que Cl'z = -10 rad/s2. La regla para la rotacin en torno a un ejefijo es que o: es igual a a, si w, es positiva e igual a -a: si w, es negativa.

La componente de la aceleracin de la partcula que est dirigida hacia el eje derotacin, la componente centrpeta de aceleracin arad, est asociada al cambiode direccin de la velocidad de la partcula. En la seccin 3.4 dedujimos la relacinarad = v2/r. Podemos expresar esto en trminos de ! usando la ecuacin (9.13):

9.3 I Relacin entre cinemtica lineal y angular 337

u2 a... = -; = w-r

(aceleracin centrpeta de un punto de un cuerpo en rotacin)(9.15)

Esto se cumple en todo instante mm si wy v no son conSfan/es. La componentecentrpeta siempre apunta hacia el cje de rotacin.

La suma vectorial de las componentes centrpeta y tangencial de la aceleracinde una partcula en un cuerpo en rotacin es la aceleracin lineal ti (Fig. 9.11).

Es importante recordar que la ecuacin (9.1), s = rO, es vlida s-lo si Ose mide en radianes. lo mismo sucede con todas las ecuaciones derivadasde ella, incluidas las ecuaciones (9.13), (9.14) Y (9.15). Al usar estas e

338 CAPTULO 9 I Rotaci6ndecuerposrgidos

EVALUAR: Observe que desechamos la unidad "radin" de nues-tros resultados para a,,,,,, a"d Ya. Podemos hacerlo porque el "ra-din" es una cantidad adimensional.

La magnitud a es unas nueve veces g, la aceleracin debida a la gra-vedad. Puede demostrar que, si la rapidez angular se duplica a20.0 radls pero a no cambia, la magnitud de la aceleracin, a, au-menta a 322 mis! (casi 33g)?

Ejemplo95 Diseo de una hlice

EJECUTAR: Primero convertimos w a radls (vase la Fig. 9.12):

slo tiene una componente radial, la cual obtendremos con la ecua-cin(9.15).

1.03 m

wyr" =

EVALUAR: De 'i,F = ma, la hlice debe ejercer una fuerza de 6.5X 104 N sobre cada kg de material en la punta. Es por esto que lashlices se fabrican con matcriales rcsistentes (por 10 gcncral unaaleacin de aluminio). O. a) Exprese la energa cintica de rotacin delcuerpo en tnninos de I y r. b) Exprese la razn de cambio de di-cha energa en tnninos de 1, r y dTld/. c) Un volante grande tieneI = 8.0 kg. m l ; qu energia cintica tiene cuando el periodo de ro-tacin es de 1.5 s? d) Con qu razn cambia la energia cintica delvolante de la parte (e) en el instante en que el periodo es de 1.5 s yest cambiando a razn de dTldr = OJKl6O?9,50 Una cuerda uniforme de 10.0 m de longirud y masa de 3.00kg cuelga con un extremo sujeto al techo de un gimnasio y el Otrotocando apenas el piso. El extremo superior se suelta y la cuerdacae al piso. Cmo cambia la energia potencial gravitacional si lacuerda queda plana sobre el piso (no enrollada)?9.51 Centro de mISa de un objeto extendido. cuanto ttabajodebe efectuar un luchador para elevar el centro de masa de su opo-nente de 120 kg una distancia vertical de 0.700 m?

Seccin 9.5 Teorema de 105 ejes paralelos9.52 Calcule el momento de inercia de un aro (anillo hueco de pa-redes delgadas) con masa M y radio R alrededor de un eje perpen-dicular al plano del aro y que pasa por un borde.9,53 Alrededor de qu eje tendr. una esfera uniforme de maderabalsa el mismo momento de inercia que tiene una esfera bueca deplomo con la misma masa y radio alrededor de un eje que pasa porun dimetro?9.54 Use el teorema de los ejes paralelos para demostrar que losmomentos de inercia dados en las partes (a) y (b) de la tabla 9.2 soncongruentes.9,55 Una lmina de acero rectangular delgada tiene lados que mi-den a y b y una masa de M. Use el teorema de los ejes paralelos pa-ra calcular el momento dc inercia dc la lmina alrededor de un ejepcrpendicular al plano de la lmina y que pasa por una esquina.9.56 a) Para la lmina rectangular delgada que se muestra en lapane (d) de la tabla 9.2, calculc el momento de inercia en tomo a uneje que est en el plano de la placa, pasa por el centro de la placa y

es paralelo al eje que se muestra en la figura. b) Calcule el momen-to de inercia de la placa en torno a un eje que est en el plano de laplaca, pasa por el centro de la placa y es perpendicular al eje dela parte (a).

*Seccin 9.6 Clculos de momento de inercia*9.57 Utilizando la infonnacin de la tabla 9.2 y el teorema de losejes paralelos, calcule el momento de inereia de la varilla de masaM y longitud L de la figura 9.24 alrededor de un eje que pasa por O,a una distancia arbitraria h de un cxtremo. Compare su resultadocon el obtenido por integracin en el ejemplo 9.12 (secci6n 9.6).*9.58 Use la ecuacin (9.20) para calcular el momento de inerciade UD disco slido uniforme de masa M y radio R alrededor de UDeje perpendicular al plano del disco y que pasa por el centro.*9.59 Use la ecuacin (9.20) para calcular el momento de inerciade una varilla delgada unifonne con masa M y longitud L alrededorde un eje en un extremo, perpendicular a la varilla.*9.60 La masa por unidad de longitud de una varilla delgada delongitud L varia con la distancia al extremo izquierdo, donde x = O,scgn dmldx = yx, donde y tiene unidades de kgjm1. a) Calcule lamasa total de la varilla en trminos de 'Y y L. b) Use la ecuacin(9.20) para calcular el momento de inercia de la varilla para un ejeen el extremo izquierdo, perpendicular a la varilla. Use la expresinque dedujo en la parte (a) para expresar len tenninos de M y L.Compare su resultado con el de una varilla unifonne y explique lasdiferencias. c) Repita la parte (b) para un ejc en el extremo derechode la varilla y compare los resultados de las partes (b) y (c). Expli-que las diferencias.

Problemas

9,61 Dibuje una rueda que yacc en el plano del papel Ygira en sen-tido antihorario. E.scoja un punto en el borde ydibuje un vector rdel centro a ese punto. a) Qu direccin tiene ;;,? b) Demuestreque la velocidad del punto es v = wx r. c) Demuestre que la ace-leracin radial del punto es ii...... =wx V = W X (w x r)(Vase el ejercicio 9.2g).9.62 Viaje a Marte. Imagine que trabaja en un proyeclO de la NA-SA para enviar un cohete a Marte. El cohete despegara de la Tierracuando sta y Marte estn alineados con el Sol. Como primer pasode los clculos suponga que los dos planetas ticnen rbita circular.Si en este momento Marte est 60 adelante de la Tierra en su rbi-ta alrededor del Sol, cundo deber lanzarse el cohete? (Nota: To-dos los planetas giran en torno al Sol en la misma direccin, y unao marciano equivale a 1.9 aos terrestres.)

-9.63 Velocmetro. El velocmetro dc un automvil efccta unaconvcrsin entre la rapidez angular de las ruedas y la rapidez linealdel vehcalo, se supone que los neumticos son de tamaiio estndarque no resbalan en el pavimento. a) Si los neumticos estndar deun auto tienen 24 pulgadas de dimetro, con qu razn (en rpm)estn girando las ruedas cuando el auto circula a velocidad de auto-pista (60 mph)? b) Suponga que se instalan neumticos extra-gran-des, de 30 pulgadas de dimetro, en el mismo auto. Cual es larapidez real del vehculo cuando el velocmetro marca 60 mph"? c)Si ahora se instalan llantas pequeas, de 20 pulgadas de dimetro,

Problemas 357

qu marcar el velocimetro cuando se est circulando realmente a50 mph?9.64 a) Demuestre que si un objeto parte del reposo y gira sobre uneje fijo con aceleracin angular constante, la aceleracin radial dcun punto del objeto es direclamente proporcional a su desplaza-miclmangular. b) Qu ngulo ha girado el objeto cuando la ace-leracin resultante de un punto forma un ngulo de 36.9 con ladireccin radial?9.65 Un rodillo de una imprenta gira un ngulo dado por f:K..t) = yr2- {3f (y = 3.20 radls2 y (3 = 0.500 radls3). a) Calcule la velocidadangular del rodillo en funcin de t. b) Calcule la aceleracin angu-lar del rodillo en funcin de l. c) Cul es la mxima velocidad an-gular positiva que alcanza, y en qu instante 1ocurre esto?*9.66 Una rueda de bicicleta de 0.33 m de radio gira con acelera-cin angular a(t) = y - {31 (y = 1.80 radls2 y (3 = 0.25 radlsJ). Larueda est en reposo en t = O. a) Calcule la velocidad y el despla-zamiento angulares en funcin del tiempo. b) Calcule la mximavelocidad y el mximo desplazamiento angulares positivos de larueda. (Sugerencia: Vase la seccin 2.6.)9.67 Cuando un coche de juguete de 0.180 kg Y 15.0 cm de longi-tud es empujado rpidamente por el piso, almacena energia en suvolante que tiene un momento de inercia de 4.00 X 10-~ kg . m2 Lapublicidad asegura que el coche se puede hacer viajar con una rapi-dez a escala de hasta 700 km/h, La rapidez a escala es la rapidez delcoche multiplicada por el cociente de la longitud de un coche realentre la longitud del juguete. Suponga que un coche real mide 3.0m. a) Con una rapidez a escala de 700 km/h, qu rapidez traslacio-nal real tiene el coche? b) Si toda la energia cintica que est ini-cialmenle en el volante se convierte en energia cintica traslaeionaldel juguete, cunta energa se almacen en el volante? c) Qu ve~locidad angular inicial del volante se necesit para almacenar laenergia calculada en (b)?9.68 Un aula Chevrolet Corvelte clsico modelo 1957, con masa de1240 kg, parte del reposo y tiene una aceleracin tangencal cons-tante de 3.00 rrJs2 en una pista circular de prueba de 60.0 m de ra-dio. Trate el aula como particula. a) Qu aceleracin angular tiene?b) Qu rapidez angular tiene 6.00 s despus de arrancar? c) Quaceleracin radial tiene en este instante? d) Dibuje una vista superiorde la pista, el aUla, el vector de velocidad y las componentes del vec-tor de la aceleracin a los 6.00 s. e) Qu magnitudes tienen la ace-leracin total y la fuerza neta del auto en este inslanle? f) Qungulo forman esos vectores con la velocidad del auto a los 6.00 s?9.69 El volante de una troqueladora tiene un momento de inerciade 16.0 kg m2 y gira a 300 rpm, suministrando la energa necesa-ria para una operacin de troquelado rpido. a} Calcule la rapidezen rpm que tendr el volantc despus de una operacin que requie-re 4000 J de trabajo. b) Qu potencia constante debe alimentarseal volante (en watts) para que recupere su rapidez inicial en 5.00 s?9.70 Una albndiga totalmente incomible, con masa de 40.0 g, quepretendan servir en la cafetera, se sujela al extremo libre de un hi-lo de 2.50 m sujeto al techo. Se tira lateralmente de la albndigahasta que el hilo forma un ngulo de 36.9 con la vertical, y se suel-ta. al Qu velocidad angular (magnitud y direccin) tiene la albn-diga la primera vez que su aceleracin angular es cero'! b) Cundoes a~ = Opor segunda vez? c) En los instantes descritos en las par-tes (a) y (b), qu magnitud y direccin tiene la aceleracin radial

de la albndiga? d) Demuestre que la respuesta a la parte (c) es in-dependiente de la longitud del hilo.9.71 La banda de una aspiradora pasa por un eje de 0.45 cm de ra-dio y una rucda dc 2.00 cm de radio. La disposicin de estas.piezases similar a la de la cadena y las ruedas dentadas de la figura 9.15.El motor gira el eje a 60.0 rev/s, y la banda gira la rueda, que se co-necta mediante otro eje" al rodillo que saca el polvo de la alfombraque se est limpiando. Suponga que la banda no resbala ni en el ejeni en la rueda. a) Qu rapidez tiene un punto en la banda? b) Quvelocidad angular tiene la rueda en radls?9.72 El motor de una sierra circular gira a 3450 rpm. Una polea co-nectada al eje del motor impulsa una segunda polea con la mitad deldimetro mediante una correa en "\1". Una hoja de 0.208 m de di-metro est montada en el mismo eje giratorio que la segunda polea.a) El operador se descuida y la hoja atrapa y lanza hacia atrs un tro-cito de madera que se mueve con rapidez lineal igual a la rap.ideztangencial del borde de la hoja. Calcule dicha rapidez. b) Calcule laaceleracin radial de un punto en el borde dc la hoja para ver porque d aserrn no se adhiere a los dientes.9.73 Una rueda cambia su velocidad angular con una aceleracinangular constante al girar sobre un eje fijo que pasa por su centro.a) Demuestre que el cambio de magnitud de la aceleracin radial deun punto de la rueda durante cualquier lapso es el doble del produc-lO de la aceleracin angular, el desplazamiento angular y la distan-cia perpendicular del punto al eje. b} La aceleracin radial de unpunto de la rueda a 0.250 m del eje cambia de 25.0 rrJs" a 85.0 rrJs2mientras la rueda gUa 15.0 rad. Calcule la aceleracin tangencial deeste punto. e) Demuestre que el cambio de energa cinticade la rueda dwanle cualquier lapso es el producto del momento deinercia alrededor del eje. la aceleracin angular y el desplazamien-to angular. d) Dwante el desplazamiento de 15.0 rad de la parte (b),la energa cinetica de la rueda aumenta de 20.0 J a 45.0 J. Qu mo-mento de inercia tiene la rueda en tomo al eje de rotacin?9.74 Una esfera consisle en UD centro esferico slido de maderacon densidad de 800 kg,m.3 Yradio de 0.20 m, cubierto por una ca-pa delgada de pIorno con densidad por irea de 20 kglm2. Calcule elmomento de inercia de esla esfera en tomo a un eje que pasa por sucentro.9.75 Estime el momento de inercia deusled en tomo a un eje ver-tical que pasa por el centro de la parte superior de la cabeza, estan-do parado en posicin erguida y roo los brazos extendidos a loslados. Haga aproximaciones razonables y mida o estime las canti-dades necesarias.9.76 Una varilla uniforme de 5O.0an de longitud y masa de 0.]20kg se dobla en su centro para darle fOllDa de V, con un ngulo de70.0 en su vrtice. Calcule el momentode inaria de este objeto entomo a un eje perpendicular al plano de la Vy que pasa por su ver-tice.9.77 Se ha sugerido que las plantas e1ctriQlS aprovechen las horasde bajo consumo (por ejemplo, despues de media noche) para gene-rar energia mecnica y almacenarla basta que se necesite durantelos periodos de carga maxima, como a medio da. Una propuestaconsiste en almacenar la energa en enormes volantes que giren so-bre cojinetes casi sin friccin. Considere un volante de hierro (den-sidad 7800 kglmJ) con forma de disco uniforme de 10.0 cm deespesor. a) Qu dimetro deberia tener semejante disco pam alma-

358 CA pfTULO 9 I Rotacin de cuerpos rfgidos

cenar 10.0 megajoules de energa cintica al girar a 90.0 rpm en tor-no a un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro? b) Quaceleracin centrpeta tendria un punto en su borde al girar con es-ta rapidez?9.78 Los !reS objetos uniformes de la figura 9.29 tienen la mismamasa m. A es un cilindro slido de radio R. B es un cilindro huecodelgado de radio R. e es un cubo slido de 2R por lado. Los obje-tos tienen ejes de rotacin perpendiculares a la pgina que pasanpor el centro de masa. a) Qu objeto liene menor momento deinercia? Explique b) Qu objelo tiene mayor momento de inercia?Explique. e) En qu lugar relativo quedara el momento de inercia deuna esfera slida uniforme si su radio es R, su masa es m y el ejede rotacin pasa por el centro de la esfera? Explique.

Figura 930 Problema 9.85.

de y la rueda gira mientras la cuerda se desenrolla. Detennina quela masa tiene una rapidez de 5.00 mis despus de haber descendido2.00 ro. a) Qu momento de inercia tiene la rueda para un eje per-pendicular que pasa por su centro? b) Su jefe lc dice quc se requie-re un I ms grandc y le pide disear una rueda con la misma masay radio que tenga I = 19.0 kg m2. Qu le conteSIa usted?9.83 Un metro de 0.160 kg pivotea sobre un extremo de modo quepuede girar sin friccin alredcdor de un eje horizontal. El metro sesostiene en posicin horizontal y se suella. Al pasar por la vertical,calcule a) el cambio de energa potencial gravitacional que ha habido; b) la rapidez angular del metro; c) la rapidez lineal del extremoopuesto al eje. d) Compare la respuesta de la parte (e) con la rapi:-dez de una partcula que ha cado 1.00 m desde el reposo.9.84 Exactamente una vuelta de una cuerda flexible de masa m es-t enrollada en un cilindro unifonne de masa M y radio R que girasin friccin sobre un eje horizontal a lo largo del eje del cilindro.Un extremo de la cuerda est sujeto al cilindro, el cual inicia con ra-pidez angular Wo- Despues de una ~olucio,la cuerda se ha desen-rollado y cuelga verticalmente, tangente al cilindro. Calcule larapidcz angular del cilindro y la rapidez lineal del extremo inferiorde la cuerda en este instante. Puede hacer caso omiso del espesor dela cuerda. (Sugerencia: Use la ecuacin (9.18).)9.85 La polea de la figura 9.30 tiene radio R y momento de inercial. La cuerda no resbala sobre la polea y sta gira sobre un eje sinfriccin. El coefeiente de friccin cinliea enlre el bloque A y lamesa es .Lo.. El sistema se suelta del reposo y el bloque B dcscien-de. La masa de A es //l,4, y la de B, //la- Use mtodos de energa pa-ra calcular la rapidez de B en funcin de la distancia d que hadescendido.

9.86 La polea de la figura 9.31liene 0.160 m de radio y su mo-mento de inercia es de 0.480 kg.ml . La cuerda no resbala en lapolea. Use mtodos de energa 4.00 kgpara calcular la rapidez del blo-que de 4.00 kg justo antes degolpear el piso.9.87 Se cuelga un aro delgadode radio R de un clavo. El aro se 2.00 t.desplaza lateralmente un ngulof3 respecto a su posicin de equi- Figura 9.31 Problema 9.86.librio y se suelta. Qu rapidezangular tiene al volver a su posicin de equilibrio? (Sugerencia:Use la ecuacin (9.18).)

e

/BA

Figura 9.29 Problema 9.78.

9.79 La Tierra, que no es una esfera uniforme, tiene un momentode inercia de 0.3308MR2 alrededor de un eje que pasa por sus po-los. La Tierra tarda 86,164 s en dar una re\'olucin. Use el apendi-ce F para calcular a) la energa cinetica de la Tierra debida a estarotacin y b) la energa cintica de la lerra debida a su movimiento orbital en torno al Sol. e) Explique cmo sabemos, por el \'alor elmomento de inercia de la Tierra, que su masa est concentrada ensu centro.9.80 Un disco slido uniforme de masa m y radio R pi\'otea sobreun eje borizontal que pasa por su centro, y un objelo pequeno con lamisma masa //l se sujeta al borde del disco. Si el disco se suelta dclreposo con el objeto en el extremo de un radio horizontal, calcule lavelocidad angular cuando el objeto est directamente abajo del eje.9.81 Un anuncio met3lico de una concesionaria de automviles esun tringulo rectngulo delgado y unifonne con base de longitud by altura h. La masa del anuncio es M. a) Calcule su momento deinercia para la rOlacin en lomo al calelo de longitud h? b) Si M::5.40 kg, b = 1.60 my h = 1.20 m, qu energiacintica tienc el le-trero cuando est girando a 2.00 revls en lomo a un eje que coincide con el cateto de 1.20 m?9.82 Medicin de J. Imagine que trabaja como pasante en una em-presa de ingenieros y le piden que mida el momenlo de inercia deuna rueda grande para su rotacin en torno a un eje que pasa por suceotro. Dado que usted fue bucn estudiante de fisica, sabe 10 quedebe hacer. Mide la rueda y detennina que su dimetro es de 0.740m y que tiene un peso de 280 N. Luego monta la rueda, empleandocojineles sin friccin, en un eje horizontal que pasa por el centro dela rueda. Enrolla una cuerda ligera en el borde de la rueda y cuelgauna masa de 8.00 kg del extremo libre, como se muestra en lafigura 9.19. Ahora suelta la masa desde el reposo; la masa descien-

2.

Problemas 359

Figura 90ll Problema 9.92.

rededor de un eje que pasa por su centro original, perpendicular alplano del disco (Sugt'rencia: Calcule el momento de inercia de lapieza que se quit al disco.) b) Calcule el momento de inercia deldisco agujerado en tomo a UD eje que pasa por el centro del aguje-ro, perpendicular al plano del disco.9.94 Se hace un pndulo con una esfera slida uniforme de masaM y radio R suspendida del extremo de WJa \'llrilla ligera. La distan-cia del pivote en el extremo superior de la ~'llrilla al centro de la es-fera es L. El momento de inercia lp del pendulo para la rotacinalrededor del pivote suele aproximarse con MLl. a) Use el tcoremade los ejes paralelos para demostrar que. si R es el S"dc L y se des-precia la masa de la varilla, l p es slo 0.1,.. mayorqIE MI:. b) Si lamasa de la varilla es el 1% de M y Res mucho menor que L, querelacin hay entre 1''Orill. para un eje en el pivote, y ML"?9.95 Teorema de los ejes perpendIculares. Considere un cuerporigido que es una lmina delgada plana de fornta arbitraria en elplano.\}J, con el origen de coordenadas O situado en cualquier pun-to dentro o fuera del cuerpo. Sean 1~ e 1)' los momentos de inercia al-rededor de los ejes x y y, y sea 10 el momento de inercia alrededorde un eje que pasa por O, perpendicular al plano. a) ConsiderandoelemeDlos de masa m, con coordenadas (x,y), demuestre que 1~ +I? =- lo- ste es el teorema de los ejes perpendiculares. El punto Ono tiene quc ser el centro de masa. b) Para una arandela delgada conmasa M y radios inrerior y exterior R1 y Rz, use el teorema de losejes perpc:ndiculares para calcular el momento de inercia alrededorde un eje que est en el plano de la arandela y que pasa por su cen-tro. Puede usar la informacin de la tabla 9.2. e) Use elleorema delos ejes perpendiculares para demostrar que, en el caso de una lmi-na delgada cuadrada con masa M y longitud de lado L, el momentode inercia en tomo a cualquier eje en el plano de la lmina que pa-se por el centro de la lmina es ~ML2. Puede usar la informacin dela tabla 9.2.9.96 Una varilla uniforme delgada se dobla formando un cuadradode lado a. Si la masa (otal es M, calcule el momento de inercia al-rededor de un eje que pasa por el centro y es perpendicular al planodel cuadrado. (Sugerencia: Use el teorema de los ejes paralelos.)-9.97 La densidad de un cilindro de radio R y masa M aumenta li-nealmente con la distancia r al eje del cilindro, p = ar, donde a esuna constante positiva. a) Calcule el momento de inercia del cilin-dro alrededor de un eje longitu-dinal que pasa por su centro, entrminos de M y R. b) Su res-puesta es mayor o menor que elmomento de inercia de un cilin-dro con la misma masa y radiopero densidad uniforme? Expli-que por qu este resultado es l-gico cualitativamente.9.98 EUl"l'lIas de neutrones )'reslos de supernO\'ls. la nebu-losa dd Cangrejo es una nube degas brillante de unos 10 aos luz'de dimetro, a una distanciaaproximada de 6500 aos luz dela Tierra (Fig. 9.34). Es el resi- Fig-ura 9.34 Problema 9.98.

R,

\.50 kg

TR,

Figura 9.32 Problema 9.89.

9.88 Un autobs en Zurich, Suiza, obtena su potencia motriz de laenerga almacenada en un volante grande, cuya rapidez se aumen-taba peridicamente, cuando el autobs bacia una parada, con unmotor elctrico que entonces podia conectarse a las lin~ elctri-cas. El volante era un cilindro slido de 1000 leg Y 1.80 m de dia-metro; su rapidez angular maxima era de 3000 rpm. a) Con estarapidez angular, que energa cintica tiene el volante? b) Si la po-tencia media que requeria el autobs era de 1.86 x lO" W, cuantotiempo poda operar entre paradas?9.89 Dos discos mecilicos, con radios R1 =- 2.50 cm y R2 =: 5.00cm y masas MI =- 0.80 kg YM2 = 1.60 kg, se sueldan juntos y semontan en un eje sin friccin que pasa por su centro comn (Fig.9.32). a) Qu momento de iner-cia total tienen los discos? b) Unhilo ligero se enrolla en el discoms chico y se cuelga de l unbloque de \.50 kg. Si el bloquese suelta del reposo a una alturade 2.00 m sobre el piso, qu ra-pidez tiene justo antes de gol-pear.e1 piso? e) Repita la parte(b) pero ahora con el hilo enro-llado en el disco grande. En qucaso alcanza mayor rapidez elbloque? Explique su respuesta.9.90 En el sistema de cilindro ymasa del ejemplo 9.9 (seccin9.4), suponga que la masa m quecae es de hule ideal, de modo que no pierde e,?erga mecnica algolpear el piso. a) Si el cilindro no gira inicialmente y la masa m sesuelta del reposo desde una altura h, a qu altura rebOlar la masasi lo hace venicalmente? b) Explique, en trminos de energa, porqu la respuesta a (a) es menor que h.9.91 En el sistema que se muestra en la figura 9.19, una masa de12.0 kg se suelta desde el reposo y cae, haciendo que el cilindrouniforme de masa 10.0 kg Ydimetro 30.0 cm gire en torno a un ejesin friccin que pasa por su centro. Qu distancia deber descen-der la masa para impartir al cilindro 250 J de energa cintica?9.92 En la figura 9.33, el cilindro y la polea giran sin friccin enlomo a ejes horizontales estacio-narios que pasan por su respecti-\'0 centro. Se enrolla una cuerdaligera en el cilindro, la cual pasapor la polea y tiene una caja de3.00 leg suspendida de su extre-mo libre. No bay deslizamientoentre la cuerda y la superficie dela polea. El cilindro uniformetiene masa de 5.00 kg Yradio de 40.0 cm. La polea es UD disco uni-forme con masa de 2.00 kg Yradio de 20.0 cm. La caja se suelta des-de el reposo y desciende mientras la cuerda se desenrolla delciIiDdro. Cakuk la rapidez que riene la caja cuando ha cado 1.50 m.!.9l Un disco plano uniforme riene masa M y radio R. Se perfora~ d UD agujero circular de radio R/4, centrado en un punto a RJ2

cauro del disco. a) Calcule el momento de inercia del disco al-

360 e A P fT o LO 9 1 Rotacin de cuerpos gidos

Ih

~Ejo

Figura 9.35 Problema dedesafi09.IOO.

masa de la Tierra. e) Use los da-tos dados para calcular el mo-menlo de inercia de la Tierra entrminos de Mfil.*9.100 Calcule el momento deinercia de un cono slido unifor- ....me de masa M y altura h alrede-dor de un eje que pasa por sucentro (Fig. 9.35). El radio de labase circular es R.9.101 En un disco compacto(CD), la msica se codifica enun palIn de boyitos dispuestosen una pista que corre en espiralhacia el borde del disco. Al girar el disco dentro del reproductor, lapista es barrida con una rapidez lineal oonstanle de u = 1.25 mis.Dado que el radio de la pista varia al irse alejando del centro, la ra-pidez angular del disco debe cambiar al reproducirse el CD. (Va-se el ejercicio 9.22.) Veamos que aceleracin angular se necesitapara mantener u constante. La ecuacin de una espiral es r(ff) = ro+ /30, donde ro es el radio de la espiral en O= OY f3 es una cons-tame. En un CD, 1'0 es el radio interior de la pista. Si tomamos la di-reccin de rotacin del CD como positiva, f3 debe ser positiva paraque r aumente al girar el disco y aumentar 8. a) Al girar el disco unngulo pequeo d8, la distancia barrida sobre la pista es ds = r d8.Usando la expresin anterior para r(8), integre ds para obtener ladislaneia total s barrida sobre la pista en funcin de ngulo (otal 8que ha girado el disco. b) Dado que la pista se barre oon rnpidez lineal constante u, la distancia s obtenida en (a) es igual a Uf. Use es-to para obtener 8 en funcin del tiempo. Habr dos soluciones para8; escoja la positiva y explique por qu es la apropiada. e) Con suexpresin para 8(1), caleule la velocidad angular w, y la aceleracinangular 0:, en funcin de f. Es a, constante? d) En un eD, el radiointerior de la pista es de 25.0 mm, el radio aumenta 1.55 Jlm cadarevolucin y la duracin del CD es de 74.0 mino Calcule roY f3 y de-termine el nmero tOlal de revoluciones del disco durante su repro-duccin. e) Con sus resultados de (c) y (d), grafique w, (en rad/s)contra I y 0:, (en rad/s2) contra I entre t = Oy I = 74.0 mino

duo de una estrella que sufri una explosiofl de sllpernora vista enla Tierra en 1054 d.C. Esta nebulosa libera energia a ruz6n de 5 xP I w. unas lOS veces la energa radiada por el Sol. El origen deesa energa es la rotacin rpida de una estrella de nelltrones en elcentro de la nebulosa. Este objeto gira una vez cada 0.0331 s, yes-te periodo est aumentando 4.22 x lO-u s cada segundo que pasa.a) S la rapidez con que la estrella de neutrones pierde energa esigual a la rapidez con que la nebulosa libera energa, calcule el mo-menlo de inercia de la estrella. (Use la expresin deducida en elejercicio 9.49). b) Las leorias sobre supernovas predicen que la es-trella de neutrones de la Nebulosa del Cangrejo tiene una masaaproximadamente 1.4 Ve