UNIVERSIDAD NACIONAL UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSMAYOR DE SAN MARCOSUniversidad del Perú, DECANA DE AMERICAUniversidad del Perú, DECANA DE AMERICA

FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICASFACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE ESTADÍSTICAESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE ESTADÍSTICA

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ESTADÍSTICADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ESTADÍSTICA

ANÁLISIS MULTIVARIANTEANÁLISIS MULTIVARIANTE

SEMESTRE ACADÉMICO 2009-IISEMESTRE ACADÉMICO 2009-II

Mg. María Estela Ponce AruneriMg. María Estela Ponce Aruneri

Distribución de Wishart

Definición; si se tiene “m” vectores aleatorios: ( )1 2 mx ,x , .......,x

'

1

m

i ii

W x xde una población Np(0,) y si:

Se le puede considerar como una generalización de la distribución Chi-cuadrado

mp ,ΣW~W

Textos avanzados prueban que cuando Σ es definida positiva y m ≥ p, la densidad de W es:

1 1

( 1)1 2 4 2

1

1( )=c exp

2

2 0.5( 1 )

m p

mp p p pm

i

f tr

c m i

W W W

Si =I ¿? ,p mW ~ W I

Es la forma estándar de la distribución de Wishart

.Si p=1 ¿?

Son independientes

),,(~),,(~2

)(1

2211 ΣWWΣWW

ΣW

mmSí

mE

pp

1 2 1 2

1

,

3 , , ´~ ( , )

4 ,

p

kxp p k

p n

m m

m m A

n

'

W W ~ W Σ

A W ~ W Σ AWA W AΣ

S ~ W Σ

2 2 21 , mw w m ~

Propiedades:

11 12 11 12

21 22 21 22

11 11 22

5 Si es Wishart ( , ), y separamos las variables

en dos conjuntos y consideramos las particiones correspondientes

de las matrices y :

,

,

p

p p

m

m y

W W Σ

Σ W

Σ Σ W WΣ W

Σ Σ W W

W W Σ W W 22,m Σ

6°Si W es Wishart Wp(m, ) y T es una matriz p × q de constantes, entonces T´WT es Wq(m,T´WT). En particular, si t es un vector, entonces:

2m

t'Wt

t' t

Observaciones:

' '

1 1 1

1 ( )

( ) ( )m m m

i i i ii i i

E m

E E E m

W Σ

W x x x x

1 1 2 2

1 1 2 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

2 ~ ( , ), ~ ( , )

( ) ( ) 1

( ) ( ) ( )

~ ( , )

p p

p

m m

E m E m de

E E m m m m

m m

W W Σ W W Σ

W Σ W Σ

W W Σ Σ Σ

W W W Σ

La distribución de Wishart tiene un papel importante en el análisis del estimador de la matriz de varianzas-covarianzas de una distribución Normal multivariada, juega en el análisis multivariante un papel semejante al de la distribución Chicuadrado en el estudio inferencial unidimensional.

Distribución T2 de Hotelling

m ' -1d M d d y M independientes,

Teorema.- Si x y M son independientes con

( , ) , ,p PN md ~ 0 I M ~ W I

1 2 ( , )m T p m'd M d ~

|( , ) , ,p PN mx ~ μ Σ M ~ W Σ

Es una generalización multivariante de la distribución t de Student.

1 2( ) ( ) ( , )m T p m 'x μ M x μ ~

Prueba

1/ 2

1/ 2 1/ 2

11/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2'

1° ( )

( Var

( , )

2 ,

( , )

( ) ( )

P

p

E

m

m

p

d* x - μ

d*) = 0 (d*) = I

d* N 0 I

M W Σ

M* = M W I

x - μ M x - μ

Corolario: Si son el vector de medias y

la matriz de covarianzas de una muestra aleatoria de tamaño “n” extraída de una población con Np(µ, ) y

x , S

ˆ1

n

n

S S

)1,()(ˆ)()())(1( 211 npTnn ~μxSμxμxSμx ''

Teorema:

2, 1( , )

1 p m p

mpT p m F

m p

Tarea: pruebe el siguiente teorema

1 2( ) ( ) ( , )m T p m 'x μ M x μ ~

Prueba:

Utilice