20130922 lecture3 matiyasevich

Что можно делатьс вещественными числамии нельзя делать с целыми

числами

Часть 2. Десятая проблема Гильберта

Ю.В.Матиясевич

Санкт-Петербургское отделениеМатематического института им. В. А. Стеклова РАН

http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat



числами

Часть 2. Десятая проблема Гильберта






числамиЧасть 2. Десятая проблема Гильберта





Давид Гильберт, “Математические проблемы” , [1900]

10. Entscheidung der Losbarkeit einer diophantischenGleichung. Eine diophantische Gleichung mit irgendwelchenUnbekannten und mit ganzen rationalen Zahlkoefficienten seivorgelegt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchen sichmittels einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden lasst,ob die Gleichung in ganzen rationalen Zahlen losbar ist.

10. Решение проблемы разрешимости для произвольногодиофантова уравнения. Пусть дано произвольноедиофантово уравнение с произвольным числом неизвестных ицелыми рациональными коэффициентами; требуется указатьобщий метод, следуя которому можно было бы в конечноечисло шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение вцелых рациональных числах или нет.

Давид Гильберт, “Математические проблемы” , [1900]10. Entscheidung der Losbarkeit einer diophantischenGleichung. Eine diophantische Gleichung mit irgendwelchenUnbekannten und mit ganzen rationalen Zahlkoefficienten seivorgelegt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchen sichmittels einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden lasst,ob die Gleichung in ganzen rationalen Zahlen losbar ist.


Давид Гильберт, “Математические проблемы” , [1900]10. Entscheidung der Losbarkeit einer diophantischenGleichung. Eine diophantische Gleichung mit irgendwelchenUnbekannten und mit ganzen rationalen Zahlkoefficienten seivorgelegt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchen sichmittels einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden lasst,ob die Gleichung in ganzen rationalen Zahlen losbar ist.


Диофантовы уравненияОпределение. Диофантово уравнение имеет вид

M(x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами.

Греческий математик Диофант жил, скорее всего, в 3-ем векенашей эры.


M(x1, . . . , xm) = 0,


Греческий математик Диофант жил, скорее всего, в 3-ем векенашей эры.

Полиномиальные уравнения у древних греков

x2 = 2

1

1

��

x


x2 = 2

1

1

��

x


x2 = 2

1

1

��

x


x2 = 2

1

1

��

x

Давид Гильберт, “Математические проблемы” , [1900]10. Решение проблемы разрешимости для произвольногодиофантова уравнения. Пусть дано произвольноедиофантово уравнение с произвольным числом неизвестных ицелыми рациональными коэффициентами; требуется указатьобщий метод, следуя которому можно было бы в конечноечисло шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение вцелых рациональных числах или нет.

Целые рациональные числа – что это такое? – это числа 0,±1, ±2, ±3, . . .


Целые рациональные числа

– это числа 0, ±1, ±2, ±3, . . .


Целые рациональные числа – это числа 0, ±1, ±2, ±3, . . .


M(x1, . . . , xm) = 0,


Диофант искал решения в (положительных) рациональныхчислах

Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений вцелых числах

Можно также ограничиться только решениями вположительных целых числах или только в неотрицательныхцелых числах


M(x1, . . . , xm) = 0,






M(x1, . . . , xm) = 0,






M(x1, . . . , xm) = 0,






M(x1, . . . , xm) = 0,





От Диофанта до ГильбертаДиофант жил – когда?

От Диофанта до ГильбертаДиофант жил, скорее всего, в 3-ем веке нашей эры.


Гильберт сформулировал проблемы – когда?


Гильберт сформулировал проблемы в 1900 году




Массовые проблемыВ современной терминологии 10-я проблема Гильбертаявляется массовой проблемой, то есть проблемой, состоящейиз счетного числа вопросов, на каждый из которых требуетсядать ответ ДА или НЕТ. Суть массовой проблемы состоит втребовании найти единый универсальный метод, которыйпозволял бы ответить на любой из этих вопросов.

Среди двадцати трёх “Математических проблем” Гильберта10-я является единственной массовой проблемой и она можетрассматриваться как проблема информатики.


Среди двадцати трёх “Математических проблем” Гильберта10-я является единственной массовой проблемой

и она можетрассматриваться как проблема информатики.





ОтветСегодня мы знаем, что 10-я проблема Гильберта решения неимеет. Это означает, что она неразрешима как массоваяпроблема:

Теорема (Неразрешимость 10-й проблемы Гильберта) Несуществует алгоритма, который по узнавал бы попроизвольному диофантову уравнению, имеет ли оно решения.

В этом смысле говорят об отрицательном решении 10-йпроблемы Гильберта.










Первая неразрешимая массовая проблема в чистойматематике

A. A. Марков (сын) Emil L. Post1903–1979 1897–1954

Recursively enumerable sets ofpositive integers and their deci-sion problems. Bulletin AMS,50, 284–316 (1944); reprintedin: The Collected Works ofE. L. Post, Davis, M. (ed),Birkhauser, Boston, 1994.

Hilbert’s 10th problem “begs foran unsolvability proof” Emil L. Post

1897–1954

Хронология

I Начало 50-х годов: гипотеза, которую выдвинул MartinDavis.

I Начало 60-х годов: частичный прогресс, который достиглиMartin Davis, Hilary Putnam и Julia Robinson.

I 1970 год: последний шаг сделал Ю.Матиясевич.

ХронологияI Начало 50-х годов: гипотеза, которую выдвинул Martin

Davis.

I Начало 60-х годов: частичный прогресс, который достиглиMartin Davis, Hilary Putnam и Julia Robinson.



Davis.I Начало 60-х годов: частичный прогресс, который достигли

Martin Davis, Hilary Putnam и Julia Robinson.



Davis.I Начало 60-х годов: частичный прогресс, который достигли

Martin Davis, Hilary Putnam и Julia Robinson.I 1970 год: последний шаг сделал Ю.Матиясевич.

An e-mail

Dear Professor,

you are wrong. I am a brilliant young programmer andlast night I wrote a sophisticated program in Java##.My program solves Hilbert’s tenth problem in the__positive__ sense. Namely, for every Diophantineequation given as input, the program will print 1 or 0depending on whether the equation has a solution ornot.

The attachment contains my ingenious program. You canrun it on your favorite Diophantine equations and seehow fast my program works.

Have a fun, Professor!

An e-mailDear Professor,




Точка зрения студента

Для любого многочлена M:

S

-M = 0

-1, если существует хотя бы одно

решение

0, если решений вообще не суще-ствует



S-M = 0


решение




S-M = 0


решение


Точка зрения студентаДля любого многочлена M:

S-M = 0


решение


Точка зрения профессора:

Существует многочлен MS такой, что

S-MS = 0

-

0, но решение существует1, но решений не существуетДРУГОЙ ОТВЕТостановка без ответане останавливаетсяи ничего не печатает

Точка зрения профессора:Существует многочлен MS такой, что

S-MS = 0

-

0, но решение существует1, но решений не существуетДРУГОЙ ОТВЕТ

ОШИБКА

остановка без ответане останавливаетсяи ничего не печатает


S-MS = 0

-


ОШИБКА



S-MS = 0

-

0, но решение существует

1, но решений не существуетДРУГОЙ ОТВЕТостановка без ответане останавливаетсяи ничего не печатает


S-MS = 0

-

0, но решение существует1, но решений не существует

ДРУГОЙ ОТВЕТостановка без ответане останавливаетсяи ничего не печатает


S-MS = 0

-




S-MS = 0

-

0, но решение существует1, но решений не существуетДРУГОЙ ОТВЕТостановка без ответа

не останавливаетсяи ничего не печатает


S-MS = 0

-

0, но решение существует1, но решений не существуетДРУГОЙ ОТВЕТостановка без ответане останавливаетсяи ничего не печатает

Программа профессора

P-S

-MS = 0

S - ОШИБКА


P

-S

-MS = 0

S - ОШИБКА


P-S

-MS = 0

S - ОШИБКА


P-S

-MS = 0

S - ОШИБКА


P-S

-MS = 0

S -

ОШИБКА


P-S

-MS = 0

S - ОШИБКА

Усовершенствованная программа профессора

P-SS-MS = 0 - ОШИБКА


P-SS-MS = 0 - ОШИБКА

Формальное доказательство того,что S ошибется на MS

-�


P-SS-MS = 0 -

0, но решение существует1, но решений нетДРУГОЙ ОТВЕТостановка без ответане останавливается

Формальное доказательство того,что S ошибется на MS

-�


P-SS-MS = 0 -

0, но решение существует1, но решений нетДРУГОЙ ОТВЕТостановка без ответане останавливается

Доказательство того, что:

I если S выдает 0, то уравнениеMS = 0 имеет решение

I если S выдает 1, то уравнениеMS = 0 решений не имеет

-�


M(x1, . . . , xm) = 0,






M(x1, . . . , xm) = 0,






M(x1, . . . , xm) = 0,






M(x1, . . . , xm) = 0,






M(x1, . . . , xm) = 0,





Натуральные числа против целых

(x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3

Имеет ли это уравнение решение в целых числах?Да, и это тривиально: y = −1, z = x .

Имеет ли это уравнение решение в неотрицательных целыхчислах?Нет, не имеет, но это нетривиально (частный случай Великойтеоремы Ферма).


(x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3

Имеет ли это уравнение решение в целых числах?

Да, и это тривиально: y = −1, z = x .



(x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3




(x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3


Имеет ли это уравнение решение в неотрицательных целыхчислах?

Нет, не имеет, но это нетривиально (частный случай Великойтеоремы Ферма).


(x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3



От целых чисел к натуральнымДиофантово уравнение

P(x1, . . . , xm) = 0

имеет решение в целых числах x1, . . . , xm тогда и только тогда,когда диофантово уравнение

P(p1 − q1, . . . , pm − qm) = 0.

имеет решение в натуральных числах p1, . . . , pm, q1, . . . , qm.

Говорят, что массовая проблема распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в целых числах сводится к массовойпроблеме распознавания разрешимости диофантовыхуравнений в натуральных числах.

От целых чисел к натуральнымДиофантово уравнение

P(x1, . . . , xm) = 0

имеет решение в целых числах x1, . . . , xm тогда и только тогда,когда диофантово уравнение

P(p1 − q1, . . . , pm − qm) = 0.

имеет решение в натуральных числах p1, . . . , pm, q1, . . . , qm.

Говорят, что массовая проблема распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в целых числах сводится к массовойпроблеме распознавания разрешимости диофантовыхуравнений в натуральных числах.

От натуральных чисел к целымДиофантово уравнение

P(p1, . . . , pm) = 0

имеет решение в натуральных числах тогда и только тогда,когда диофантово уравнение

P(w21 + x2

1 + y21 + z2

1 , . . . ,w2m + x2

m + y2m + z2

m) = 0.

имеет решение в целых числах.

Теорема (Joseph-Louis Lagrange [1770], знал и PierreFermat, но не опубликовал) Каждое натуральное числоявляется суммой четырех квадратов.

Таким образом, массовая проблема распознаванияразрешимости диофантовых уравнений в натуральных целыхчислах сводится к массовой проблеме распознаванияразрешимости диофантовых уравнений в целых числах.


P(p1, . . . , pm) = 0


P(w21 + x2

1 + y21 + z2

1 , . . . ,w2m + x2

m + y2m + z2

m) = 0.





P(p1, . . . , pm) = 0


P(w21 + x2

1 + y21 + z2

1 , . . . ,w2m + x2

m + y2m + z2

m) = 0.




Натуральные числа против целыхУ нас есть два сведения:

I массовая проблема распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в целых числах сводится кмассовой проблеме распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в натуральных числах.

I массовая проблема распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в натуральных целых числахсводится к массовой проблеме распознаванияразрешимости диофантовых уравнений в целых числах.

Таким образом, массовая проблема распознаванияразрешимости диофантовых уравнений в целых числахэквивалентна массовой проблеме распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в натуральных числах.

Мы будем заниматься решением уравнений в натуральныхчислах 0, 1, 2, . . .












Уравнения с параметрамиСемейство диофантовых уравнений имеет вид

M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменныекоторго разделены на две группы:

I параметры a1, . . . ,an;I неизвестные x1, . . . ,xm.

Рассмотрим множествоM такое, что

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒∃x1 . . . xm{M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}.

Множества, имеющие такие представления называютсядиофантовыми.


M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0,


I параметры a1, . . . ,an;

I неизвестные x1, . . . ,xm.Рассмотрим множествоM такое, что

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒∃x1 . . . xm{M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}.



M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0,




〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒∃x1 . . . xm{M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}.



M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0,




〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒∃x1 . . . xm{M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}.



M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0,




〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒∃x1 . . . xm{M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}.


Примеры диофантовых множеств

I Множество всех полных квадратов, представленоуравнением

a− x2 = 0

I Множество всех составных чисел, представленоуравнением

a− (x1 + 2)(x2 + 2) = 0

I Множество всех нестепеней числа 2, представленоуравнением

a− (2x1 + 3)x2 = 0

Примеры диофантовых множествI Множество всех полных квадратов, представлено

уравнением

a− x2 = 0


a− (x1 + 2)(x2 + 2) = 0


a− (2x1 + 3)x2 = 0


уравнениемa− x2 = 0


a− (x1 + 2)(x2 + 2) = 0


a− (2x1 + 3)x2 = 0




a− (x1 + 2)(x2 + 2) = 0


a− (2x1 + 3)x2 = 0




a− (x1 + 2)(x2 + 2) = 0


a− (2x1 + 3)x2 = 0




a− (x1 + 2)(x2 + 2) = 0


a− (2x1 + 3)x2 = 0




a− (x1 + 2)(x2 + 2) = 0


a− (2x1 + 3)x2 = 0

Программа Диофанта

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒

∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0

}

D-〈a1, . . . , an〉 -остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M

вечная работа в противном случае

for (y=0;;y++)

for (x1=0;x1<y;x1++)........................for (xm=0;xm<y;xm++)if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0) STOP


〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒

∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0

}



for (y=0;;y++)



〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}



for (y=0;;y++)



〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}



for (y=0;;y++)



〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}

D

-〈a1, . . . , an〉 -остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M


for (y=0;;y++)



〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}

D-〈a1, . . . , an〉

-остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M


for (y=0;;y++)



〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}



for (y=0;;y++)for (x1=0;x1<y;x1++)........................for (xm=0;xm<y;xm++)if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0) STOP


〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}



for (y=0;;y++)


Перечислимые множества

Определение. МножествоM, состоящее из n-ок натуральныхчисел называется перечислимым, если можно написатьпрограмму R, такую что

R-〈a1, . . . , an〉 -остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M


Эквивалентное определение. МножествоM, состоящее изn-ок натуральных чисел называется перечислимым, еслиможно написать программу P которая (работая бесконечнодолго) будет печатать только элементы множестваM инапечатает каждое из них, быть может, много раз.

Перечислимые множестваОпределение. МножествоM, состоящее из n-ок натуральныхчисел называется перечислимым, если можно написатьпрограмму R, такую что








Вторая программа Диофанта

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}

for (y=0;;y++)for (a1=0;a1<y;a1++).......................for (an=0;an<y;an++)for (x1=0;x1<y;x1++)........................for (xm=0;xm<y;xm++)if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0)

print(a1,...,an)

Вторая программа Диофанта

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}

for (y=0;;y++)for (a1=0;a1<y;a1++).......................for (an=0;an<y;an++)for (x1=0;x1<y;x1++)........................for (xm=0;xm<y;xm++)if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0)

print(a1,...,an)

Пример

P(a1, x1, x2) = a1 − (x1 + 2)(x2 + 2)

for y dofor a1 to y dofor x1 to y dofor x2 to y doif a1 - (x1 + 2)*(x2 + 2)=0 thenprint(a1) fi

od od od od

4, 4, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 8, 8, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 4, 6, 6, 8, 8, 9,10, 10, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 12, 12, 12,12, 4, 6, 6,. . .

Пример

P(a1, x1, x2) = a1 − (x1 + 2)(x2 + 2)


od od od od

4, 4, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 8, 8, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 4, 6, 6, 8, 8, 9,10, 10, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 12, 12, 12,12, 4, 6, 6,. . .

Пример

P(a1, x1, x2) = a1 − (x1 + 2)(x2 + 2)


od od od od

4, 4, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 8, 8, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 4, 6, 6, 8, 8, 9,10, 10, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 12, 12, 12,12, 4, 6, 6,. . .

Перечислимые множества













Гипотеза Martin’a Davis’а

Тривиальный факт. Каждое диофантово множество являетсяперечислимым.

Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимоемножество является диофантовым.

Гипотеза M. Davis’а была доказана в 1970 году.

DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество идиофантово множество совпадают.

Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson, Юрий Матиясевич

























Перечисление диофантовых уравнений

M1(a, x) = 0, . . . , Mk(a, x) = 0, . . .


Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . , Mk(a, x) = 0, . . .



?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)



?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?

if S outputs 0then print(1)

if S outputs 0then print(k). . . . . .

? ?



?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?



? ?



?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?



? ?

S(Mk(k , x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS



?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?



? ?

S(Mk(k, x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS



?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?



? ?

S(Mk(k , x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS ⇔ ∃x{MS(k , x) = 0}



?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?



? ?

S(Mk(k, x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS ⇔ ∃x{MkS (k, x) = 0}



?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?



? ?

S(Mk(k, x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS ⇔ ∃x{MkS (k, x) = 0}

S(MkS (kS , x) = 0)



?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?



? ?

S(Mk(k, x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS ⇔ ∃x{MkS (k, x) = 0}

S(MkS (kS , x) = 0) =?



?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?



? ?

S(Mk(k, x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS ⇔ ∃x{MkS (k, x) = 0}

S(MkS (kS , x) = 0) = 0



?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?



? ?

S(Mk(k, x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS ⇔ ∃x{MkS (k, x) = 0}

S(MkS (kS , x) = 0) = 0 ⇒ kS ∈MS



?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?



? ?S(Mk(k, x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS ⇔ ∃x{MkS (k, x) = 0}

S(MkS (kS , x) = 0) = 0 ⇒ kS ∈MS ⇒ ∃x{MkS (kS , x) = 0}



?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?



? ?

S(Mk(k, x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS ⇔ ∃x{MkS (k, x) = 0}

S(MkS (kS , x) = 0) = 1



?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?



? ?

S(Mk(k, x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS ⇔ ∃x{MkS (k, x) = 0}

S(MkS (kS , x) = 0) = 1 ⇒ kS 6∈ MS



?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?



? ?S(Mk(k, x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS ⇔ ∃x{MkS (k, x) = 0}

S(MkS (kS , x) = 0) = 1 ⇒ kS 6∈ MS ⇒ ¬∃x{MkS (kS , x) = 0}

Универсальное уравнение

Список всех однопараметрических уравнений:

M1(a, x1, . . . ) = 0, . . . ,Mk(a, x1, . . . ) = 0, . . .

〈a, k〉 ∈ U⇔ ∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0}

〈a, k〉 ∈ U ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k , y1, . . . , yn) = 0}

∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0} ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k , y1, . . . , yn) = 0}

Универсальное уравнениеСписок всех однопараметрических уравнений:

M1(a, x1, . . . ) = 0, . . . ,Mk(a, x1, . . . ) = 0, . . .

〈a, k〉 ∈ U⇔ ∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0}

〈a, k〉 ∈ U ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k , y1, . . . , yn) = 0}

∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0} ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k , y1, . . . , yn) = 0}


M1(a, x1, . . . ) = 0, . . . ,Mk(a, x1, . . . ) = 0, . . .

〈a, k〉 ∈ U⇔ ∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0}

〈a, k〉 ∈ U ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k , y1, . . . , yn) = 0}

∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0} ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k , y1, . . . , yn) = 0}


M1(a, x1, . . . ) = 0, . . . ,Mk(a, x1, . . . ) = 0, . . .

〈a, k〉 ∈ U⇔ ∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0}

〈a, k〉 ∈ U ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k , y1, . . . , yn) = 0}

∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0} ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k , y1, . . . , yn) = 0}


M1(a, x1, . . . ) = 0, . . . ,Mk(a, x1, . . . ) = 0, . . .

〈a, k〉 ∈ U⇔ ∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0}

〈a, k〉 ∈ U ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k , y1, . . . , yn) = 0}

∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0} ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k , y1, . . . , yn) = 0}

Текущие рекордыЗадача о решении произвольного параметрическогодиофантова уравнения может быть сведена к решениюэквивалентного диофантова уравнения, имеющего степень D иN неизвестных, где в качестве 〈D,N〉 можно взять любую изследующих пар:

〈4, 58〉, 〈8, 38〉, 〈12, 32〉, 〈16, 29〉, 〈20, 28〉, 〈24, 26〉, 〈28, 25〉, 〈36, 24〉,〈96, 21〉, 〈2668, 19〉, 〈2× 105, 14〉, 〈6.6× 1043, 13〉, 〈1.3× 1044, 12〉,

〈4.6× 1044, 11〉, 〈8.6× 1044, 10〉, 〈1.6× 1045, 9〉.

Непростой многочлен для простых чиселТеорема (J.P.Jones, D.Sato, H.Wada, D.Wiens, [1976])Множество всех простых чисел – это в точности множествовсех положительных значений, принимаемых многочленом

(k + 2) { 1 −[wz + h + j − q]2

− [(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h − z]2

− [2n + p + q + z − e]2

−[16(k + 1)3(k + 2)(n + 1)2 + 1− f 2]2

−[e3(e + 2)(a+ 1)2 + 1− o2]2

−[(a2 − 1)y2 + 1− x2]2

−[16r2y4(a2 − 1) + 1− u2]2 − [n + l + v − y ]2

−[((a+ u2(u2 − a))2 − 1

)(n + 4dy)2 + 1− (x + cu)2

]2−

[(a2 − 1)l2 + 1−m2]2

−[q + y(a− p − 1) + s(2ap + 2a− p2 − 2p − 2)− x

]2−

[z + pl(a− p) + t(2ap − p2 − 1)− pm

]2− [ai + k + 1− l − i ]2

−[p + l(a− n − 1) + b(2an + 2a− n2 − 2n − 2)−m

]2 }при натуральных значениях 26 переменных a, b, c , . . . , x , y , z .

Диофантовы машиныФормализация недетерминизма

Leonard Adleman и Kenneth Manders [1976] ввели понятиенедетерминированной диофантовой машины, NDDM .

NDDM

P(a, x1, . . . , xm)?= 0 �-

? --

входa

угадатьx1, . . . , xm

ДА НЕТ

принять a отвергнуть

DPRM-теорема: NDDM имееют такую же вычислительнуюсилу как, например, машины Тьюринга, то есть любоемножество, принимаемое некоторой машиной Тьюринга,принимается некоторой NDDM, и, очевидно, наоборот.



NDDM

P(a, x1, . . . , xm)?= 0 �-

? --

входa


ДА НЕТ





NDDM

P(a, x1, . . . , xm)?= 0 �-

? --

входa


ДА НЕТ



Диофантова сложностьОпределения

NDDM

P(a, x1, . . . , xm)?= 0 �-

? --

входa


ДА НЕТ


SIZE(a)=минимально возможное значение |x1|+ · · ·+ |xm|, где|x | обозначает длину двоичной записи x .

Диофантова сложностьОпределения

NDDM

P(a, x1, . . . , xm)?= 0 �-

? --

входa


ДА НЕТ


SIZE(a)=минимально возможное значение |x1|+ · · ·+ |xm|, где|x | обозначает длину двоичной записи x .

Диофантова сложностьD vs NP

Leonard Adleman и Kenneth Manders [1975] ввели врассмотрение класс D состоящий из множествM имеющихпредставления вида

a ∈M ⇐⇒⇐⇒ ∃x1 . . . xm

[P(a, x1, . . . , xm) = 0& |x1|+ · · ·+ |xm| ≤ |a|k

].

Открытая проблема. D ?= NP.

Диофантова сложностьD vs NP

Leonard Adleman и Kenneth Manders [1975] ввели врассмотрение класс D состоящий из множествM имеющихпредставления вида

a ∈M ⇐⇒⇐⇒ ∃x1 . . . xm

[P(a, x1, . . . , xm) = 0& |x1|+ · · ·+ |xm| ≤ |a|k

].

Открытая проблема. D ?= NP.

Давид Гильберт, “Математические проблемы” , [1900]Вместе с тем бывает и так, что мы добиваемся ответа при недостаточ-

ных предпосылках, или идя в неправильном направлении, и вследствии этогоне достигаем цели. Тогда возникает задача доказать неразрешимость дан-ной проблемы при принятых предпосылках и выбранном направлении. Такиедоказательства невозможности проводились еще старыми математиками, на-пример, когда они обнаруживали, что отношение гипотенузы равнобедрен-ного прямоугольного треугольника к его катету есть иррациональное число.В новейшей математике доказательства невозможности решений определен-ных проблем играют выдающуюся роль; там мы констатируем, что такиестарые и трудные проблемы, как доказательство аксиомы о параллельных,как квадратура круга или решение уравнения пятой степени в радикалах,получили все же строгое, вполне удовлетворяющее нас решение, хотя и вдругом направлении, чем то, которое сначала предполагалось.

Этот удивительный факт наряду с другими философскими основаниямисоздает у нас уверенность, которую разделяет, несомненно, каждый матема-тик, но которую до сих пор никто не подтвердил доказательством, – уверен-ность в том, что каждая определенная математическая проблема непременнодолжна быть доступна строгому решению или в том смысле, что удается по-лучить ответ на поставленный вопрос, или же в том смысле, что будет уста-новлена невозможность ее решения и вместе с тем доказана неизбежностьнеудачи всех попыток ее решить.

DPR-теорема

Теорема (Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson[1961]). Для каждого перечислимого множества можнопостроить его экспоненциально диофантово представление:

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒∃x1 . . . xm{EL(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = ER(a1, . . . , an, x1, . . . , xm)}

где EL и ER – выражения, построенные по традиционным пра-вилам из переменных и конкретных натуральных чисел с по-мощью операций сложения, умножения и возведения в степень.




DPR-теоремаТеорема (Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson[1961]). Для каждого перечислимого множества можнопостроить его экспоненциально диофантово представление:


















An e-mail

Dear Professor,




An e-mailDear Professor,




Регистровые машины

Регистровая машина имеет конечное количество регистровR1, . . . ,Rn каждый из которых может содержать произвольнобольшое натуральное число. Машина выполняет программусостоящую из конечного числа инструкций снабженныхметками S1, . . . ,Sm. Когда машина выполняет инструкцию сметкой Sk , мы говорим, что машина находится в состоянии Sk .

Инструкции бывают трёх типов:I. Sk : R`+ +;SiII. Sk : R`−−; Si ;SjIII. Sk : STOP

Lambek [1961], Melzak [1961], Minsky [1961], Minsky [1967],Shepherdson и Sturgis [1963]

Регистровые машиныРегистровая машина имеет конечное количество регистровR1, . . . ,Rn каждый из которых может содержать произвольнобольшое натуральное число.

Машина выполняет программусостоящую из конечного числа инструкций снабженныхметками S1, . . . ,Sm. Когда машина выполняет инструкцию сметкой Sk , мы говорим, что машина находится в состоянии Sk .



Регистровые машиныРегистровая машина имеет конечное количество регистровR1, . . . ,Rn каждый из которых может содержать произвольнобольшое натуральное число. Машина выполняет программусостоящую из конечного числа инструкций снабженныхметками S1, . . . ,Sm. Когда машина выполняет инструкцию сметкой Sk , мы говорим, что машина находится в состоянии Sk .




Инструкции бывают трёх типов:

I. Sk : R`+ +;SiII. Sk : R`−−; Si ;SjIII. Sk : STOP



Инструкции бывают трёх типов:I. Sk : R`+ +;Si

II. Sk : R`−−; Si ;SjIII. Sk : STOP



Инструкции бывают трёх типов:I. Sk : R`+ +;SiII. Sk : R`−−; Si ;Sj

III. Sk : STOP








ПримерS1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP

Начальное состояние S1

Начальное содержимое регистров R1=a, R2=0

В каком случае машина остановится?













Протокол

q . . . t + 1 t . . . 0S1 s1,q . . . s1,t+1 s1,t . . . s1,0...

......

......

......

Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0...

......

......

......

Sm sm,q . . . sm,t+1 sm,t . . . sm,0

sk,t =

{1, если на шаге t машина была в состоянии k0 в противном случае

Протокол

q . . . t + 1 t . . . 0S1 s1,q . . . s1,t+1 s1,t . . . s1,0...

......

......

......

Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0...

......

......

......

Sm sm,q . . . sm,t+1 sm,t . . . sm,0

sk,t =

{1, если на шаге t машина была в состоянии k0 в противном случае

Протокол

q . . . t + 1 t . . . 0...

......

......

......

Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0...

......

......

......

R1 r1,q . . . r1,t+1 r1,t . . . r1,0...

......

......

......

R` r`,q . . . r`,t+1 r`,t . . . r`,0...

......

......

......

Rn rn,q . . . rn,t+1 rn,t . . . rn,0

r`,t – это содержимое `-го регистра на шаге t

Протоколq . . . t + 1 t . . . 0

......

......

......

...Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0...

......

......

......

......

......

......

...R` r`,q . . . r`,t+1 r`,t . . . r`,0...

......

......

......

Z1 z1,q . . . z1,t+1 z1,t . . . z1,0...

......

......

......

Z` z`,q . . . z`,t+1 z`,t . . . z`,0...

......

......

......

Zn zn,q . . . zn,t+1 zn,t . . . zn,0

z`,t =

{1, если r`,t > 00 в противном случае


r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t

r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t

s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t

s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0


r1,t+1 =

r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t

r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0


r1,t+1 = r1,t

+ s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t

r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0


r1,t+1 = r1,t + s7,t

+ s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t

r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0


r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t

− z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t

r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0


r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t

− z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t

r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0


r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t

− z1,ts4,t − z1,ts5,t

r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0


r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t

− z1,ts5,t

r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 =

r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t

+ s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t + s3,t

− z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 =

(1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t

s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 =

z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t

s3,t+1 =

z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t

s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t

s3,t+1 = z1,ts2,t

+ z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t

s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t

s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t

s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t

s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t

s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 =

s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t

s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t

s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t

s5,t+1 = z1,ts4,t

s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t

s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 =

z1,ts4,t

s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 =

(1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t

+ s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t

s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 =

z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 =

(1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t

+ s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t

s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 =

(1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 =

1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1

s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0

r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 =

a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a

r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1

s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0



r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t

s1,t+1 = (1− z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t


s6,t+1 = (1− z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t

s8,t+1 = (1− z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1− z1,t)s2,t

s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0

sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0

Новые значения регистров

r`,t+1 = r`,t +∑+

` sk,t −∑−

` z`,tsk,t

где∑+

` -суммирование ведется по всем инструкциям вида

Sk : R`+ +; Si ,

а∑−

` -суммирование – по всем инструкциям вида

Sk : R`−−; Si ; Sj .


r`,t+1 = r`,t +∑+

` sk,t −∑−

` z`,tsk,t

где∑+


Sk : R`+ +; Si ,

а∑−


Sk : R`−−; Si ; Sj .


r`,t+1 = r`,t +∑+

` sk,t −∑−

` z`,tsk,t

где∑+


Sk : R`+ +; Si ,

а∑−


Sk : R`−−; Si ; Sj .

Новые состояния

sd ,t+1 =∑+

d sk,t +∑−

d z`,tsk,t +∑0

d(1− z`,t)sk,t

где∑+

d -суммирование ведется по всем инструкциям вида

Sk : R`+ +; Sd ,∑−d -суммирование ведется по всем инструкциям вида

Sk : R`−−; Sd ; Sj ,

а∑0

d -суммирование – по всем инструкциям вида

Sk : R`−−; Si ; Sd .


sd ,t+1 =∑+

d sk,t +∑−

d z`,tsk,t +∑0

d(1− z`,t)sk,t

где∑+


Sk : R`+ +; Sd ,

∑−d -суммирование ведется по всем инструкциям вида

Sk : R`−−; Sd ; Sj ,

а∑0


Sk : R`−−; Si ; Sd .


sd ,t+1 =∑+

d sk,t +∑−

d z`,tsk,t +∑0

d(1− z`,t)sk,t

где∑+



Sk : R`−−; Sd ; Sj ,

а∑0


Sk : R`−−; Si ; Sd .


sd ,t+1 =∑+

d sk,t +∑−

d z`,tsk,t +∑0

d(1− z`,t)sk,t

где∑+



Sk : R`−−; Sd ; Sj ,

а∑0


Sk : R`−−; Si ; Sd .

Начальные значения

Всегда начинаем в состоянии S1:

s1,0 = 1,

s2,0 = · · · = sm,0 = 0.

(Единственная) входная величина a помещается в регистр R1:

r1,0 = a,

все остальные регистры пусты:

r2,0 = · · · = rn,0 = 0.

Начальные значенияВсегда начинаем в состоянии S1:

s1,0 = 1,

s2,0 = · · · = sm,0 = 0.


r1,0 = a,


r2,0 = · · · = rn,0 = 0.


s1,0 = 1,

s2,0 = · · · = sm,0 = 0.


r1,0 = a,


r2,0 = · · · = rn,0 = 0.


s1,0 = 1,

s2,0 = · · · = sm,0 = 0.


r1,0 = a,


r2,0 = · · · = rn,0 = 0.

ОстановкаSm является единственной командой STOP:

sm,q = 1,

s1,q = · · · = sm−1,q = 0.

При остановке все регистры пусты:

r1,q = · · · = rn,q = 0.

Протокол

q . . . t + 1 t . . . 0

b = 2c+1

......

......

......

...Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0

= sk =∑q

t=0 sk,tbt

......

......

......

......

......

......

......

R` r`,q . . . r`,t+1 r`,t . . . r`,0

= r` =∑q

t=0 r`,tbt

......

......

......

......

......

......

......

Z` z`,q . . . z`,t+1 z`,t . . . z`,0

= z` =∑q

t=0 z`,tbt

......

......

......

...

Протокол

q . . . t + 1 t . . . 0

b = 2c+1

......

......

......

...Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0

=

sk =∑q

t=0 sk,tbt

......

......

......

......

......

......

......

R` r`,q . . . r`,t+1 r`,t . . . r`,0

= r` =∑q

t=0 r`,tbt

......

......

......

......

......

......

......

Z` z`,q . . . z`,t+1 z`,t . . . z`,0

= z` =∑q

t=0 z`,tbt

......

......

......

...

Протокол

q . . . t + 1 t . . . 0

b = 2c+1

......

......

......

...Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 = sk =

∑qt=0 sk,tb

t

......

......

......

......

......

......

......

R` r`,q . . . r`,t+1 r`,t . . . r`,0

= r` =∑q

t=0 r`,tbt

......

......

......

......

......

......

......

Z` z`,q . . . z`,t+1 z`,t . . . z`,0

= z` =∑q

t=0 z`,tbt

......

......

......

...

Протокол

q . . . t + 1 t . . . 0

b = 2c+1

......

......

......


∑qt=0 sk,tb

t

......

......

......

......

......

......

......

R` r`,q . . . r`,t+1 r`,t . . . r`,0 = r` =∑q

t=0 r`,tbt

......

......

......

......

......

......

......

Z` z`,q . . . z`,t+1 z`,t . . . z`,0

= z` =∑q

t=0 z`,tbt

......

......

......

...

Протокол

q . . . t + 1 t . . . 0

b = 2c+1

......

......

......


∑qt=0 sk,tb

t

......

......

......

......

......

......

......

R` r`,q . . . r`,t+1 r`,t . . . r`,0 = r` =∑q

t=0 r`,tbt

......

......

......

......

......

......

......

Z` z`,q . . . z`,t+1 z`,t . . . z`,0 = z` =∑q

t=0 z`,tbt

......

......

......

...

Протокол

q . . . t + 1 t . . . 0 b = 2c+1

......

......

......


∑qt=0 sk,tb

t

......

......

......

......

......

......

......

R` r`,q . . . r`,t+1 r`,t . . . r`,0 = r` =∑q

t=0 r`,tbt

......

......

......

......

......

......

......

Z` z`,q . . . z`,t+1 z`,t . . . z`,0 = z` =∑q

t=0 z`,tbt

......

......

......

...

Поразрядное умножение

a =∞∑k=0

ak2k b =∞∑k=0

bk2k

a& b =∞∑k=0

akbk2k


a =∞∑k=0

ak2k b =∞∑k=0

bk2k

a& b =∞∑k=0

akbk2k


sk =

q∑t=0

sk,tbt r` =

q∑t=0

r`,tbt z` =

q∑t=0

z`,tbt

q−1∑t=0

r`,t+1

bt+1

=

q−1∑t=0

(

r`,t

bt+1

+∑+

` sk,t

bt+1

−∑−

` z`,tsk,t

bt+1)

r` − r`,0 = br` + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk)

r1 − a = br1 + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk)

r` = br` + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk), ` = 2, . . . , n


sk =

q∑t=0

sk,tbt r` =

q∑t=0

r`,tbt z` =

q∑t=0

z`,tbt

q−1∑t=0

r`,t+1

bt+1

=

q−1∑t=0

(

r`,t

bt+1

+∑+

` sk,t

bt+1

−∑−

` z`,tsk,t

bt+1)

r` − r`,0 = br` + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk)

r1 − a = br1 + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk)

r` = br` + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk), ` = 2, . . . , n


sk =

q∑t=0

sk,tbt r` =

q∑t=0

r`,tbt z` =

q∑t=0

z`,tbt

q−1∑t=0

r`,t+1

bt+1

=

q−1∑t=0

(

r`,t

bt+1

+∑+

` sk,t

bt+1

−∑−

` z`,tsk,t

bt+1)

r` − r`,0 = br` + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk)

r1 − a = br1 + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk)

r` = br` + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk), ` = 2, . . . , n


sk =

q∑t=0

sk,tbt r` =

q∑t=0

r`,tbt z` =

q∑t=0

z`,tbt

q−1∑t=0

r`,t+1

bt+1

=

q−1∑t=0

(

r`,t

bt+1

+∑+

` sk,t

bt+1

−∑−

` z`,tsk,t

bt+1)

r` − r`,0 = br` + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk)

r1 − a = br1 + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk)

r` = br` + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk), ` = 2, . . . , n


sk =

q∑t=0

sk,tbt r` =

q∑t=0

r`,tbt z` =

q∑t=0

z`,tbt

q−1∑t=0

r`,t+1bt+1 =

q−1∑t=0

(

r`,tbt+1 +

∑+` sk,tb

t+1 −∑−

` z`,tsk,tbt+1

)

r` − r`,0 = br` + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk)

r1 − a = br1 + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk)

r` = br` + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk), ` = 2, . . . , n


sk =

q∑t=0

sk,tbt r` =

q∑t=0

r`,tbt z` =

q∑t=0

z`,tbt

q−1∑t=0

r`,t+1bt+1 =

q−1∑t=0

(r`,tb

t+1 +∑+

` sk,tbt+1 −

∑−` z`,tsk,tb

t+1)

r` − r`,0 = br` + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk)

r1 − a = br1 + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk)

r` = br` + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk), ` = 2, . . . , n


sk =

q∑t=0

sk,tbt r` =

q∑t=0

r`,tbt z` =

q∑t=0

z`,tbt

q−1∑t=0

r`,t+1bt+1 =

q−1∑t=0

(r`,tb

t+1 +∑+

` sk,tbt+1 −

∑−` z`,tsk,tb

t+1)

r` − r`,0 = br` + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk)

r1 − a = br1 + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk)

r` = br` + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk), ` = 2, . . . , n


sk =

q∑t=0

sk,tbt r` =

q∑t=0

r`,tbt z` =

q∑t=0

z`,tbt

q−1∑t=0

r`,t+1bt+1 =

q−1∑t=0

(r`,tb

t+1 +∑+

` sk,tbt+1 −

∑−` z`,tsk,tb

t+1)

r` − r`,0 = br` + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk)

r1 − a = br1 + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk)

r` = br` + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk), ` = 2, . . . , n


sk =

q∑t=0

sk,tbt r` =

q∑t=0

r`,tbt z` =

q∑t=0

z`,tbt

q−1∑t=0

r`,t+1bt+1 =

q−1∑t=0

(r`,tb

t+1 +∑+

` sk,tbt+1 −

∑−` z`,tsk,tb

t+1)

r` − r`,0 = br` + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk)

r1 − a = br1 + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk)

r` = br` + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk), ` = 2, . . . , n


sk =

q∑t=0

sk,tbt z` =

q∑t=0

z`,tbt

q−1∑t=0

sd ,t+1

bt+1

=

=

q−1∑t=0

(

∑+d sk,t

bt+1

+∑−

d z`,tsk,t

bt+1

+∑0

d(1− z`,t)sk,t

bt+1)

sd − sd ,0 = b∑+

d sk + b∑+

d (z` & sk) + b∑0

d((e − z`) & sk)

e =

q−1∑t=0

1 · bt+1 =bq − 1b − 1


sk =

q∑t=0

sk,tbt z` =

q∑t=0

z`,tbt

q−1∑t=0

sd ,t+1

bt+1

=

=

q−1∑t=0

(

∑+d sk,t

bt+1

+∑−

d z`,tsk,t

bt+1

+∑0

d(1− z`,t)sk,t

bt+1)

sd − sd ,0 = b∑+

d sk + b∑+

d (z` & sk) + b∑0

d((e − z`) & sk)

e =

q−1∑t=0

1 · bt+1 =bq − 1b − 1


sk =

q∑t=0

sk,tbt z` =

q∑t=0

z`,tbt

q−1∑t=0

sd ,t+1

bt+1

=

=

q−1∑t=0

(

∑+d sk,t

bt+1

+∑−

d z`,tsk,t

bt+1

+∑0

d(1− z`,t)sk,t

bt+1)

sd − sd ,0 = b∑+

d sk + b∑+

d (z` & sk) + b∑0

d((e − z`) & sk)

e =

q−1∑t=0

1 · bt+1 =bq − 1b − 1


sk =

q∑t=0

sk,tbt z` =

q∑t=0

z`,tbt

q−1∑t=0

sd ,t+1

bt+1

=

=

q−1∑t=0

(

∑+d sk,t

bt+1

+∑−

d z`,tsk,t

bt+1

+∑0

d(1− z`,t)sk,t

bt+1)

sd − sd ,0 = b∑+

d sk + b∑+

d (z` & sk) + b∑0

d((e − z`) & sk)

e =

q−1∑t=0

1 · bt+1 =bq − 1b − 1


sk =

q∑t=0

sk,tbt z` =

q∑t=0

z`,tbt

q−1∑t=0

sd ,t+1bt+1 =

=

q−1∑t=0

(

∑+d sk,tb

t+1 +∑−

d z`,tsk,tbt+1 +

∑0d(1− z`,t)sk,tb

t+1

)

sd − sd ,0 = b∑+

d sk + b∑+

d (z` & sk) + b∑0

d((e − z`) & sk)

e =

q−1∑t=0

1 · bt+1 =bq − 1b − 1


sk =

q∑t=0

sk,tbt z` =

q∑t=0

z`,tbt

q−1∑t=0

sd ,t+1bt+1 =

=

q−1∑t=0

(∑+d sk,tb

t+1 +∑−

d z`,tsk,tbt+1 +


t+1)

sd − sd ,0 = b∑+

d sk + b∑+

d (z` & sk) + b∑0

d((e − z`) & sk)

e =

q−1∑t=0

1 · bt+1 =bq − 1b − 1


sk =

q∑t=0

sk,tbt z` =

q∑t=0

z`,tbt

q−1∑t=0

sd ,t+1bt+1 =

=

q−1∑t=0

(∑+d sk,tb

t+1 +∑−

d z`,tsk,tbt+1 +


t+1)

sd − sd ,0 = b∑+

d sk + b∑+

d (z` & sk) + b∑0

d((e − z`) & sk)

e =

q−1∑t=0

1 · bt+1 =bq − 1b − 1


sk =

q∑t=0

sk,tbt z` =

q∑t=0

z`,tbt

q−1∑t=0

sd ,t+1bt+1 =

=

q−1∑t=0

(∑+d sk,tb

t+1 +∑−

d z`,tsk,tbt+1 +


t+1)

sd − sd ,0 = b∑+

d sk + b∑+

d (z` & sk) + b∑0

d((e − z`) & sk)

e =

q−1∑t=0

1 · bt+1 =bq − 1b − 1


sk =

q∑t=0

sk,tbt z` =

q∑t=0

z`,tbt

q−1∑t=0

sd ,t+1bt+1 =

=

q−1∑t=0

(∑+d sk,tb

t+1 +∑−

d z`,tsk,tbt+1 +


t+1)

sd − sd ,0 = b∑+

d sk + b∑+

d (z` & sk) + b∑0

d((e − z`) & sk)

e =

q−1∑t=0

1 · bt+1 =bq − 1b − 1

Индикаторы нуля

z`,t =

{0, если r`,t = 01 в противном случае

b = 2c+1 r`,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1

2c − 1 + r`,t =

{01 . . . 1, если r`,t = 01 ∗ · · · ∗ в противном случае

2c & (2c − 1 + r`,t) = 2cz`,t

q∑t=0

(2c & (2c − 1 + r`,t))

bt

=

q∑t=0

2cz`,t

bt

2c f & ((2c − 1)f + r`) = 2cz`

f =

q∑t=0

1 · bt+1 =bq+1 − 1b − 1


z`,t =


b = 2c+1 r`,t ≤ 2c − 1

= 01 . . . 1

2c − 1 + r`,t =


2c & (2c − 1 + r`,t) = 2cz`,t

q∑t=0

(2c & (2c − 1 + r`,t))

bt

=

q∑t=0

2cz`,t

bt

2c f & ((2c − 1)f + r`) = 2cz`

f =

q∑t=0

1 · bt+1 =bq+1 − 1b − 1


z`,t =


b = 2c+1 r`,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1

2c − 1 + r`,t =


2c & (2c − 1 + r`,t) = 2cz`,t

q∑t=0

(2c & (2c − 1 + r`,t))

bt

=

q∑t=0

2cz`,t

bt

2c f & ((2c − 1)f + r`) = 2cz`

f =

q∑t=0

1 · bt+1 =bq+1 − 1b − 1


z`,t =


b = 2c+1 r`,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1

2c − 1 + r`,t =


2c & (2c − 1 + r`,t) = 2cz`,t

q∑t=0

(2c & (2c − 1 + r`,t))

bt

=

q∑t=0

2cz`,t

bt

2c f & ((2c − 1)f + r`) = 2cz`

f =

q∑t=0

1 · bt+1 =bq+1 − 1b − 1


z`,t =


b = 2c+1 r`,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1

2c − 1 + r`,t =


2c & (2c − 1 + r`,t) = 2cz`,t

q∑t=0

(2c & (2c − 1 + r`,t))bt =

q∑t=0

2cz`,tbt

2c f & ((2c − 1)f + r`) = 2cz`

f =

q∑t=0

1 · bt+1 =bq+1 − 1b − 1


z`,t =


b = 2c+1 r`,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1

2c − 1 + r`,t =


2c & (2c − 1 + r`,t) = 2cz`,t

q∑t=0

(2c & (2c − 1 + r`,t))bt =

q∑t=0

2cz`,tbt

2c f & ((2c − 1)f + r`) = 2cz` f =

q∑t=0

1 · bt+1 =bq+1 − 1b − 1


z`,t =


b = 2c+1 r`,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1

2c − 1 + r`,t =


2c & (2c − 1 + r`,t) = 2cz`,t

q∑t=0

(2c & (2c − 1 + r`,t))bt =

q∑t=0

2cz`,tbt

2c f & ((2c − 1)f + r`) = 2cz` f =

q∑t=0

1 · bt+1 =bq+1 − 1b − 1


z`,t =


b = 2c+1 r`,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1

2c − 1 + r`,t =


2c & (2c − 1 + r`,t) = 2cz`,t

q∑t=0

(2c & (2c − 1 + r`,t))bt =

q∑t=0

2cz`,tbt

2c f & ((2c − 1)f + r`) = 2cz` f =

q∑t=0

1 · bt+1 =bq+1 − 1b − 1

Выбор c

r`,t < b

= 2c+1 r`,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1

2c − 1 + r`,t =


q∑t=0

(

2c & r`,t

)bt

= 0

2c f & r` = 0

f =

q∑t=0

1 · bt+1 =bq+1 − 1b − 1

Выбор c

r`,t < b = 2c+1

r`,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1

2c − 1 + r`,t =


q∑t=0

(

2c & r`,t

)bt

= 0

2c f & r` = 0

f =

q∑t=0

1 · bt+1 =bq+1 − 1b − 1

Выбор c

r`,t < b = 2c+1 r`,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1

2c − 1 + r`,t =


q∑t=0

(

2c & r`,t

)bt

= 0

2c f & r` = 0

f =

q∑t=0

1 · bt+1 =bq+1 − 1b − 1

Выбор c

r`,t < b = 2c+1 r`,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1

2c − 1 + r`,t =


q∑t=0

(

2c & r`,t

)bt

= 0

2c f & r` = 0

f =

q∑t=0

1 · bt+1 =bq+1 − 1b − 1

Выбор c

r`,t < b = 2c+1 r`,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1

2c − 1 + r`,t =


q∑t=0

(

2c & r`,t

)bt

= 0

2c f & r` = 0

f =

q∑t=0

1 · bt+1 =bq+1 − 1b − 1

Выбор c

r`,t < b = 2c+1 r`,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1

2c − 1 + r`,t =


q∑t=0

(

2c & r`,t

)bt

= 0

2c f & r` = 0

f =

q∑t=0

1 · bt+1 =bq+1 − 1b − 1

Выбор c

r`,t < b = 2c+1 r`,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1

2c − 1 + r`,t =


q∑t=0

(

2c & r`,t

)bt

= 0

2c f & r` = 0

f =

q∑t=0

1 · bt+1 =bq+1 − 1b − 1

Выбор c

r`,t < b = 2c+1 r`,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1

2c − 1 + r`,t =


q∑t=0

(2c & r`,t)bt = 0

2c f & r` = 0

f =

q∑t=0

1 · bt+1 =bq+1 − 1b − 1

Выбор c

r`,t < b = 2c+1 r`,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1

2c − 1 + r`,t =


q∑t=0

(2c & r`,t)bt = 0

2c f & r` = 0 f =

q∑t=0

1 · bt+1 =bq+1 − 1b − 1

Все условия

b = 2c+1

r` − r`,0 = br` + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk)

sd − sd ,0 = b∑+

d sk + b∑+

d (z` & sk) + b∑0

d((e − z`) & sk)

e =bq − 1b − 1

2c f & ((2c − 1)f + r`) = 2cz` f =bq+1 − 1b − 1

2c f & r` = 0 sm = bq


b = 2c+1

r` − r`,0 = br` + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk)

sd − sd ,0 = b∑+

d sk + b∑+

d (z` & sk) + b∑0

d((e − z`) & sk)

e =bq − 1b − 1

2c f & ((2c − 1)f + r`) = 2cz` f =bq+1 − 1b − 1

2c f & r` = 0 sm = bq


b = 2c+1

r` − r`,0 = br` + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk)

sd − sd ,0 = b∑+

d sk + b∑+

d (z` & sk) + b∑0

d((e − z`) & sk)

e =bq − 1b − 1

2c f & ((2c − 1)f + r`) = 2cz` f =bq+1 − 1b − 1

2c f & r` = 0 sm = bq


b = 2c+1

r` − r`,0 = br` + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk)

sd − sd ,0 = b∑+

d sk + b∑+

d (z` & sk) + b∑0

d((e − z`) & sk)

e =bq − 1b − 1

2c f & ((2c − 1)f + r`) = 2cz` f =bq+1 − 1b − 1

2c f & r` = 0 sm = bq


b = 2c+1

r` − r`,0 = br` + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk)

sd − sd ,0 = b∑+

d sk + b∑+

d (z` & sk) + b∑0

d((e − z`) & sk)

e =bq − 1b − 1

2c f & ((2c − 1)f + r`) = 2cz` f =bq+1 − 1b − 1

2c f & r` = 0 sm = bq


b = 2c+1

r` − r`,0 = br` + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk)

sd − sd ,0 = b∑+

d sk + b∑+

d (z` & sk) + b∑0

d((e − z`) & sk)

e =bq − 1b − 1

2c f & ((2c − 1)f + r`) = 2cz` f =bq+1 − 1b − 1

2c f & r` = 0 sm = bq


b = 2c+1

r` − r`,0 = br` + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk)

sd − sd ,0 = b∑+

d sk + b∑+

d (z` & sk) + b∑0

d((e − z`) & sk)

e =bq − 1b − 1

2c f & ((2c − 1)f + r`) = 2cz` f =bq+1 − 1b − 1

2c f & r` = 0

sm = bq


b = 2c+1

r` − r`,0 = br` + b∑+

` sk − b∑−

` (z` & sk)

sd − sd ,0 = b∑+

d sk + b∑+

d (z` & sk) + b∑0

d((e − z`) & sk)

e =bq − 1b − 1

2c f & ((2c − 1)f + r`) = 2cz` f =bq+1 − 1b − 1

2c f & r` = 0 sm = bq

Теорема Куммера

(m + n

m

)= Cm

m+n

=(m + n)!

m!n!

= 2α2(m,n)3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .

Теорема (Ernst Eduard Kummer [1852]). Запишем числа mи n в позиционной системе счисления с основанием p и сложимих «в столбик»; αp(m, n) равно количеству переносов изразряда в разряд при этом сложении.


(m + n

m

)= Cm

m+n

=(m + n)!

m!n!

= 2α2(m,n)3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .



(m + n

m

)= Cm

m+n

=(m + n)!

m!n!

= 2α2(m,n)3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .



(m + n

m

)= Cm

m+n

=(m + n)!

m!n!

= 2α2(m,n)3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .

Теорема (Ernst Eduard Kummer [1852]). Запишем числа mи n в позиционной системе счисления с основанием p и сложимих «в столбик»;

αp(m, n) равно количеству переносов изразряда в разряд при этом сложении.


(m + n

m

)= Cm

m+n

=(m + n)!

m!n!

= 2α2(m,n)3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .



(m + n

m

)=

(m + n)!

m!n!

= 2α2(m,n)3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .

k! = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .

αp(m, n) = βp(m + n)− βp(m)− βp(n)


(m + n

m

)=

(m + n)!

m!n!

= 2α2(m,n)3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .

k! = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .



(m + n

m

)=

(m + n)!

m!n!

= 2α2(m,n)3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .

k! = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .



k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .

Имеется⌊k

p

⌋чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . ,

⌊k

p

⌋p

Имеется⌊k

p2

⌋чисел кратных p2: p2, 2p2, 3p2, . . . ,

⌊k

p2

⌋p2

Имеется⌊k

p3


⌊k

p3

⌋p3

...

βp(k) =

⌊k

p

⌋+

⌊k

p2

⌋+

⌊k

p3

⌋+ . . .


k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .

Имеется⌊k

p

⌋чисел кратных p:

p, 2p, 3p, . . . ,

⌊k

p

⌋p

Имеется⌊k

p2


⌊k

p2

⌋p2

Имеется⌊k

p3


⌊k

p3

⌋p3

...

βp(k) =

⌊k

p

⌋+

⌊k

p2

⌋+

⌊k

p3

⌋+ . . .


k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .

Имеется⌊k

p

⌋чисел кратных p:

p, 2p, 3p, . . . ,⌊k

p

⌋p

Имеется⌊k

p2


⌊k

p2

⌋p2

Имеется⌊k

p3


⌊k

p3

⌋p3

...

βp(k) =

⌊k

p

⌋+

⌊k

p2

⌋+

⌊k

p3

⌋+ . . .


k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .

Имеется⌊k

p


⌊k

p

⌋p

Имеется⌊k

p2


⌊k

p2

⌋p2

Имеется⌊k

p3


⌊k

p3

⌋p3

...

βp(k) =

⌊k

p

⌋+

⌊k

p2

⌋+

⌊k

p3

⌋+ . . .


k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .

Имеется⌊k

p


⌊k

p

⌋p

Имеется⌊k

p2


⌊k

p2

⌋p2

Имеется⌊k

p3


⌊k

p3

⌋p3

...

βp(k) =

⌊k

p

⌋+

⌊k

p2

⌋+

⌊k

p3

⌋+ . . .


k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .

Имеется⌊k

p


⌊k

p

⌋p

Имеется⌊k

p2


⌊k

p2

⌋p2

Имеется⌊k

p3


⌊k

p3

⌋p3

...

βp(k) =

⌊k

p

⌋+

⌊k

p2

⌋+

⌊k

p3

⌋+ . . .


k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .

Имеется⌊k

p


⌊k

p

⌋p

Имеется⌊k

p2


⌊k

p2

⌋p2

Имеется⌊k

p3


⌊k

p3

⌋p3

...

βp(k) =

⌊k

p

⌋+

⌊k

p2

⌋+

⌊k

p3

⌋+ . . .


k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .

Имеется⌊k

p


⌊k

p

⌋p

Имеется⌊k

p2


⌊k

p2

⌋p2

Имеется⌊k

p3


⌊k

p3

⌋p3

...

βp(k) =

⌊k

p

⌋+

⌊k

p2

⌋+

⌊k

p3

⌋+ . . .


(m + n

m

)=

(m + n)!

m!n!

= 2α2(m,n)3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .

k! = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .


=

⌊m + n

p

⌋+

⌊m + n

p2

⌋+

⌊m + n

p3

⌋+ . . .

−⌊m

p

⌋−⌊m

p2

⌋−⌊m

p3

⌋− . . .

−⌊n

p

⌋−⌊n

p2

⌋−⌊n

p3

⌋− . . .


(m + n

m

)=

(m + n)!

m!n!

= 2α2(m,n)3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .

k! = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .


=

⌊m + n

p

⌋+

⌊m + n

p2

⌋+

⌊m + n

p3

⌋+ . . .

−⌊m

p

⌋−⌊m

p2

⌋−⌊m

p3

⌋− . . .

−⌊n

p

⌋−⌊n

p2

⌋−⌊n

p3

⌋− . . .


(m + n

m

)=

(m + n)!

m!n!

= 2α2(m,n)3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .

k! = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .


=

⌊m + n

p

⌋+

⌊m + n

p2

⌋+

⌊m + n

p3

⌋+ . . .

−⌊m

p

⌋−⌊m

p2

⌋−⌊m

p3

⌋− . . .

−⌊n

p

⌋−⌊n

p2

⌋−⌊n

p3

⌋− . . .


(m + n

m

)=

(m + n)!

m!n!

= 2α2(m,n)3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .

k! = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .


=

⌊m + n

p

⌋+

⌊m + n

p2

⌋+

⌊m + n

p3

⌋+ . . .

−⌊m

p

⌋−⌊m

p2

⌋−⌊m

p3

⌋− . . .

−⌊n

p

⌋−⌊n

p2

⌋−⌊n

p3

⌋− . . .


(m + n

m

)=

(m + n)!

m!n!

= 2α2(m,n)3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .

k! = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .


=

⌊m + n

p

⌋+

⌊m + n

p2

⌋+

⌊m + n

p3

⌋+ . . .

−⌊m

p

⌋−⌊m

p2

⌋−⌊m

p3

⌋− . . .

−⌊n

p

⌋−⌊n

p2

⌋−⌊n

p3

⌋− . . .



=

⌊m + n

p

⌋+

⌊m + n

p2

⌋+

⌊m + n

p3

⌋+ . . .

−⌊m

p

⌋−⌊m

p2

⌋−⌊m

p3

⌋− . . .

−⌊n

p

⌋−⌊n

p2

⌋−⌊n

p3

⌋− . . .

=

(⌊m + n

p

⌋−⌊m

p

⌋−⌊n

p

⌋)+

(⌊m + n

p2

⌋−⌊m

p2

⌋−⌊n

p2

⌋)+

+

(⌊m + n

p3

⌋−⌊m

p3

⌋−⌊n

p3

⌋)+ . . .



=

⌊m + n

p

⌋+

⌊m + n

p2

⌋+

⌊m + n

p3

⌋+ . . .

−⌊m

p

⌋−⌊m

p2

⌋−⌊m

p3

⌋− . . .

−⌊n

p

⌋−⌊n

p2

⌋−⌊n

p3

⌋− . . .

=

(⌊m + n

p

⌋−⌊m

p

⌋−⌊n

p

⌋)+

(⌊m + n

p2

⌋−⌊m

p2

⌋−⌊n

p2

⌋)+

+

(⌊m + n

p3

⌋−⌊m

p3

⌋−⌊n

p3

⌋)+ . . .


⌊m + n

pk

⌋−⌊m

pk

⌋−⌊n

pk

⌋=

{1, если есть перенос0, если нет переноса

m =∑r

j=0 mjpj = mr . . . mk mk−1 . . . m0

n =∑r

j=0 njpj = nr . . . nk nk−1 . . . n0

m + n =∑r

j=0 `jpj = `r . . . `k `k−1 . . . `0

bm/pkc = mr . . . mk

bn/pkc = nr . . . nkb(m + n)/pkc = `r . . . `k


⌊m + n

pk

⌋−⌊m

pk

⌋−⌊n

pk

⌋=

{1, если есть перенос0, если нет переноса

m =∑r

j=0 mjpj = mr . . . mk mk−1 . . . m0

n =∑r

j=0 njpj = nr . . . nk nk−1 . . . n0

m + n =∑r

j=0 `jpj = `r . . . `k `k−1 . . . `0

bm/pkc = mr . . . mk

bn/pkc = nr . . . nkb(m + n)/pkc = `r . . . `k



=

⌊m + n

p

⌋+

⌊m + n

p2

⌋+

⌊m + n

p3

⌋+ . . .

−⌊m

p

⌋−⌊m

p2

⌋−⌊m

p3

⌋− . . .

−⌊n

p

⌋−⌊n

p2

⌋−⌊n

p3

⌋− . . .

=

(⌊m + n

p

⌋−⌊m

p

⌋−⌊n

p

⌋)+

(⌊m + n

p2

⌋−⌊m

p2

⌋−⌊n

p2

⌋)+

+

(⌊m + n

p3

⌋−⌊m

p3

⌋−⌊n

p3

⌋)+ . . .



=

⌊m + n

p

⌋+

⌊m + n

p2

⌋+

⌊m + n

p3

⌋+ . . .

−⌊m

p

⌋−⌊m

p2

⌋−⌊m

p3

⌋− . . .

−⌊n

p

⌋−⌊n

p2

⌋−⌊n

p3

⌋− . . .

=

(⌊m + n

p

⌋−⌊m

p

⌋−⌊n

p

⌋)+

(⌊m + n

p2

⌋−⌊m

p2

⌋−⌊n

p2

⌋)+

+

(⌊m + n

p3

⌋−⌊m

p3

⌋−⌊n

p3

⌋)+ . . .

Следствие теоремы Куммера

Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системесчисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разрядв том и только том случае, когда биномиальный коэффициент(a+b

a

)явлется нечетным, то есть существует натуральное число

d такое, что (a + b

a

)= 2d + 1.

Следствие теоремы КуммераЛемма. При сложении чисел a и b в двоичной системесчисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разрядв том и только том случае, когда биномиальный коэффициент(a+b

a

)явлется нечетным

, то есть существует натуральное числоd такое, что (

a + b

a

)= 2d + 1.

Следствие теоремы КуммераЛемма. При сложении чисел a и b в двоичной системесчисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разрядв том и только том случае, когда биномиальный коэффициент(a+b

a

)явлется нечетным, то есть существует натуральное число

d такое, что (a + b

a

)= 2d + 1.


a =∞∑k=0

ak2k b =∞∑k=0

bk2k c =∞∑k=0

ck2k

a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . .c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .

a− c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . .b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . .

c = a&b


a =∞∑k=0

ak2k b =∞∑k=0

bk2k c =∞∑k=0

ck2k

a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . .c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .

a− c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . .b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . .

c = a&b


a =∞∑k=0

ak2k b =∞∑k=0

bk2k c =∞∑k=0

ck2k

a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . .c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .

a− c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . .b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . .

c = a&b


a =∞∑k=0

ak2k b =∞∑k=0

bk2k c =∞∑k=0

ck2k

a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . .c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .

a− c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . .b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . .

c = a&b


a =∞∑k=0

ak2k b =∞∑k=0

bk2k c =∞∑k=0

ck2k

a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . .c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .

a− c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . .b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . .

c = a&b =⇒(a

c

)нечетн.


a =∞∑k=0

ak2k b =∞∑k=0

bk2k c =∞∑k=0

ck2k

a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . .c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .

a− c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . .b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . .

c = a&b =⇒(a

c

)нечетн. ∧

(b

c

)нечетн.


a =∞∑k=0

ak2k b =∞∑k=0

bk2k c =∞∑k=0

ck2k

a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . .c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .

a− c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . .b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . .

c = a&b =⇒(a

c

)нечетн. ∧

(b

c

)нечетн. ∧

∧(

(a− c) + (b − c)

a− c

)нечетн.


a =∞∑k=0

ak2k b =∞∑k=0

bk2k c =∞∑k=0

ck2k

a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . .c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .

a− c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . .b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . .

c = a&b =⇒(a

c

)нечетн. ∧

(b

c

)нечетн. ∧

∧(

(a− c) + (b − c)

a− c

)нечетн.


a =∞∑k=0

ak2k b =∞∑k=0

bk2k c =∞∑k=0

ck2k

a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . .c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .

a− c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . .b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . .

c = a&b ⇐=

(a

c

)нечетн. ∧

(b

c

)нечетн. ∧

∧(

(a− c) + (b − c)

a− c

)нечетн.


a =∞∑k=0

ak2k b =∞∑k=0

bk2k c =∞∑k=0

ck2k

a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . .c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .

a− c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . .b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . .

c = a&b ⇐⇒(a

c

)нечетн. ∧

(b

c

)нечетн. ∧

∧(

(a− c) + (b − c)

a− c

)нечетн.


a =∞∑k=0

ak2k b =∞∑k=0

bk2k c =∞∑k=0

ck2k

a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . .c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .

a− c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . .b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . .

c = a&b ⇐⇒(a

c

)нечетн. ∧

(b

c

)нечетн. ∧

∧(

(a− c) + (b − c)

a− c

)нечетн.


a =∞∑k=0

ak2k b =∞∑k=0

bk2k c =∞∑k=0

ck2k

a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . .c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .

a− c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . .b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . .

c = a&b ⇐⇒(a

c

)нечетн. ∧

(b

c

)нечетн. ∧

∧(

(a− c) + (b − c)

a− c

)нечетн.

Биномиальные коэффициенты

(1 + u)m =

(m

m

)um +

(m

m − 1

)um−1 +

(m

m − 2

)um−2+

+ · · ·+(m

n

)un + · · ·+

(m

1

)u +

(m

0

)

2m =

(m

0

)+ · · ·+

(m

n

)+ · · ·+

(m

m

)

c =

(m

n

)⇐⇒ ∃upq{(1 + u)m = pun+1 + cun + q ∧

c < u ∧ q < un−1 ∧ u > 2m}


(1 + u)m =

(m

m

)um +

(m

m − 1

)um−1 +

(m

m − 2

)um−2+

+ · · ·+(m

n

)un + · · ·+

(m

1

)u +

(m

0

)

2m =

(m

0

)+ · · ·+

(m

n

)+ · · ·+

(m

m

)

c =

(m

n

)⇐⇒ ∃upq{(1 + u)m = pun+1 + cun + q ∧

c < u ∧ q < un−1 ∧ u > 2m}


(1 + u)m =

(m

m

)um +

(m

m − 1

)um−1 +

(m

m − 2

)um−2+

+ · · ·+(m

n

)un + · · ·+

(m

1

)u +

(m

0

)

2m =

(m

0

)+ · · ·+

(m

n

)+ · · ·+

(m

m

)

c =

(m

n

)⇐⇒ ∃upq{(1 + u)m = pun+1 + cun + q ∧

c < u ∧ q < un−1 ∧ u > 2m}


(1 + u)m =

(m

m

)um +

(m

m − 1

)um−1 +

(m

m − 2

)um−2+

+ · · ·+(m

n

)un + · · ·+

(m

1

)u +

(m

0

)

2m =

(m

0

)+ · · ·+

(m

n

)+ · · ·+

(m

m

)

c =

(m

n

)⇐⇒ ∃upq{(1 + u)m = pun+1 + cun + q ∧

c < u ∧ q < un−1 ∧ u > 2m}

Education

20130922 lecture3 matiyasevich