ECUACION DIFERENCIAL HOMOGÉNEA DE COEFICIENTES CONSTANTES

TEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

CONTENIDO

VER INTRODUCCIÓN

VER CASO 1

VER CASO 2

VER CASO 3

VER EJEMPLO APLICADO AL CASO 1

VER EJEMPLO APLICADO AL CASO 2

VER EJEMPLO APLICADO AL CASO 3

VER EJEMPLO APLICADO A

CONDICIÓN INICIAL

VER BIBLIOGRAFIAS

INTRODUCCIÓN

Tiene la forma: 𝑎𝑦′′ + 𝑏𝑦′ + 𝑐𝑦 = 0

Donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅.

Al suponer𝑦 = 𝑒𝑟𝑥, 𝑦′ = 𝑟𝑒𝑟𝑥, 𝑦′′ = 𝑟2𝑒𝑟𝑥

Se remplaza𝑎𝑦′′ + 𝑏𝑦′ + 𝑐𝑦 = 0

𝑎𝑟2𝑒𝑟𝑥 + 𝑏𝑟𝑒𝑟𝑥 + 𝑐𝑒𝑟𝑥 = 0𝑒𝑟𝑥 𝑎𝑟2 + 𝑏𝑟 + 𝑐 = 0

Donde 𝑒𝑟𝑥 ≠ 0

REGRESAR AL CONTENIDO

La siguiente ecuación característica:

𝑎𝑟2 + 𝑏𝑟 + 𝑐 = 0

Es una ecuación cuadrática y aquí se obtiene los valores de 𝑟1 𝑦 𝑟2.

Para sustituir en la solución de la ecuación se tiene lo siguiente:

𝑦1 = 𝑒𝑟1𝑥 , 𝑦2 = 𝑒𝑟2𝑥

𝑟1,2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎REGRESAR AL CONTENIDO

CASO 1: 𝑏2 −4𝑎𝑐 > 0

El resultado son valores reales y

𝑟1 ≠ 𝑟2

Del 𝐶. 𝐹. 𝑆. 𝑒𝑟1𝑥, 𝑒𝑟2𝑥

La solución general es:

𝑦 = 𝐶1𝑒𝑟1𝑥 + 𝐶2𝑒

𝑟2𝑥

REGRESAR AL CONTENIDO

CASO 2: 𝑏2 −4𝑎𝑐 = 0

En este caso son reales e iguales y

𝑟1 = 𝑟2

Al aplicar Abel y si se sabe que 𝑦2 = 𝑥𝑒𝑟1𝑥. Del

𝐶. 𝐹. 𝑆. 𝑒𝑟1𝑥, 𝑥𝑒𝑟2𝑥

La solución general es:

𝑦 = 𝐶1𝑒𝑟1𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒

𝑟2𝑥

REGRESAR AL CONTENIDO

CASO 3: 𝑏2 −4𝑎𝑐 < 0Son complejos conjugados (𝑟1 𝑦 𝑟2).

TEOREMA: Si la solución de la ecuación diferencial 𝑦′′ + 𝑦′𝑃 𝑥 + 𝑦𝑞 𝑥 = 0 es la función compleja𝑢 𝑥 + 𝑗𝑣 𝑥 donde 𝑢 𝑥 ^ 𝑣(𝑥) son funciones de variable real, entonces 𝑢 𝑥 𝑦 𝑣 𝑥 sonsoluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial.

𝑟1,2 = 𝜆 ± 𝑗𝛼

𝑦 = 𝑒 𝜆+𝑗𝛼 𝑥

𝑦 = 𝑒𝜆𝑥𝑒𝑗𝛼𝑥

𝑦 = 𝑒𝜆𝑥 cos 𝛼𝑥 + 𝑗 𝑠𝑒𝑛 𝛼𝑥𝑦 = 𝑒𝜆𝑥 cos 𝛼𝑥 + 𝑗 𝑒𝜆𝑥𝑠𝑒𝑛 𝛼𝑥

Del:𝐶. 𝐹. 𝑆.→ 𝑒𝜆𝑥 cos 𝛼𝑥 , 𝑒𝜆𝑥𝑠𝑒𝑛 𝛼𝑥

La solución general es:𝑦 = 𝐶1𝑒

𝜆𝑧 cos 𝛼𝑥 + 𝐶2𝑒𝜆𝑥𝑠𝑒𝑛 𝛼𝑥

REGRESAR AL CONTENIDO

EJEMPLO APLICADO AL PRIMER CASO

EJEMPLO: Resolver𝑦′′ + 5𝑦′ + 6𝑦 = 0

SOLUCIÓN:

Haciendo que 𝑦 = 1, 𝑦′ = 𝑟, 𝑦′′ = 𝑟2:

𝑦′′ + 5𝑦′ + 6𝑦 = 0𝑟2 + 5𝑟 + 6 = 0𝑎𝑟2 + 𝑏𝑟 + 𝑐 = 0

Los coeficientes son:𝑎 = 1, 𝑏 = 5, 𝑐 = 6

REGRESAR AL CONTENIDO

Utilizando la fórmula general:

𝑟1,2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑟1,2 =−5 ± 52 − 4 1 6

2 1

𝑟1,2 =−5 ± 1

2

𝑟1,2 =−5 ± 1

2Se observa que pertenece al primer caso:

𝑟1 = −3 , 𝑟2 = −2

Así que el Conjunto Fundamental de Soluciones es:

𝐶. 𝐹. 𝑆.→ 𝑒𝑟1𝑥 , 𝑒𝑟2𝑥 = 𝑒−3𝑥 , 𝑒−2𝑥

Y la solución general es:∴ 𝑦 = 𝐶1𝑒

−3𝑥 + 𝐶2𝑒−2𝑥

REGRESAR AL CONTENIDO

EJEMPLO APLICADO AL SEGUNDO CASO

EJEMPLO: Resolver𝑦′′ − 2𝑦′ + 𝑦 = 0

SOLUCIÓN:

Haciendo que 𝑦 = 1, 𝑦′ = 𝑟, 𝑦′′ = 𝑟2:

𝑦′′ − 2𝑦′ + 𝑦 = 0𝑟2 − 2𝑟 + 1 = 0𝑎𝑟2 + 𝑏𝑟 + 𝑐 = 0

Los coeficientes son:𝑎 = 1, 𝑏 = −2, 𝑐 = 1

REGRESAR AL CONTENIDO

REGRESAR AL CONTENIDO

Utilizando la fórmula general:

𝑟1,2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑟1,2 =2 ± −2 2 − 4 1 1

2 1

𝑟1,2 =2 ± 0

2

𝑟1,2 =2

2= 1

Se observa que pertenece al segundo caso:𝑟1 = 1, 𝑟2 = 1

Así que el Conjunto Fundamental de Soluciones es:

𝐶. 𝐹. 𝑆.→ 𝑒𝑟1𝑥, 𝑥𝑒𝑟2𝑥 = 𝑒𝑥, 𝑥𝑒𝑥

Y la solución general es:∴ 𝑦 = 𝐶1𝑒

𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒𝑥

EJEMPLO APLICADO AL TERCER CASO

EJEMPLO: Resolver𝑦′′ + 2𝑦′ + 8 = 0

SOLUCIÓN:

Haciendo que 𝑦 = 1, 𝑦′ = 𝑟, 𝑦′′ = 𝑟2:

𝑦′′ + 2𝑦′ + 8 = 0𝑟2 + 2𝑟 + 8 = 0𝑎𝑟2 + 𝑏𝑟 + 𝑐 = 0

Los coeficientes son:𝑎 = 1, 𝑏 = 2, 𝑐 = 8

REGRESAR AL CONTENIDO

Utilizando la fórmula general:

𝑟1,2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑟1,2 =−2 ± 22 − 4 1 8

2 1

𝑟1,2 =−2 ± −28

2

𝑟1,2 =−2 ± 2 −7

2

𝑟1,2 = −1 ± 𝑗 7

Como pertenece al tercer caso debido aun par de números complejos:

𝜆 = −1 𝑦 𝛼 = 7REGRESAR AL CONTENIDO

REGRESAR AL CONTENIDO

Se observa que pertenece al segundo caso:

𝑟1 = 𝑒−𝑥 cos 7𝑥 , 𝑟2 = 𝑒−𝑥𝑠𝑒𝑛 7𝑥

Así que el Conjunto Fundamental de Soluciones es:

𝐶. 𝐹. 𝑆.→ 𝑒𝜆𝑥 cos 𝛼𝑥 , 𝑒𝜆𝑥𝑠𝑒𝑛 𝛼𝑥 = 𝑒−𝑥 cos 7𝑥 , 𝑒−𝑥𝑠𝑒𝑛 7𝑥

Y la solución general es:

∴ 𝑦 = 𝐶1𝑒−𝑥 cos 7𝑥 + 𝐶2𝑒

−𝑥𝑠𝑒𝑛 7𝑥

EJEMPLO APLICADO A LOS TRES CASOS DE UNA ECUACIÓN HOMOGÉNEA CON VALOR INICIAL EJEMPLO: Encontrar la solución general de

𝑦′′ − 4𝑦′ + 5𝑦 = 0

Con condiciones iniciales 𝑦 0 = 1, 𝑦′ 0 = 6

SOLUCIÓN:

Haciendo que 𝑦 = 1, 𝑦′ = 𝑟, 𝑦′′ = 𝑟2:𝑦′′ − 4𝑦′ + 5𝑦 = 0𝑟2 − 4𝑟 + 5 = 0𝑎𝑟2 + 𝑏𝑟 + 𝑐 = 0

Los coeficientes son:𝑎 = 1, 𝑏 = −4, 𝑐 = 5

REGRESAR AL CONTENIDO

Utilizando la fórmula general:

𝑟1,2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑟1,2 =4 ± −4 2 − 4 1 5

2 1

𝑟1,2 =4 ± −4

2

𝑟1,2 =4 ± 2 −1

2

𝑟1,2 = 2 ± 𝑗

Como pertenece al tercer caso debido aun par de números complejos:

𝜆 = 2 𝑦 𝛼 = 1REGRESAR AL CONTENIDO

Se observa que pertenece al segundo caso:

𝑟1 = 𝑒2𝑥 cos 𝑥 , 𝑟2 = 𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥

Así que el Conjunto Fundamental de Soluciones es:

𝐶. 𝐹. 𝑆.→ 𝑒𝜆𝑥 cos 𝛼𝑥 , 𝑒𝜆𝑥𝑠𝑒𝑛 𝛼𝑥 = 𝑒2𝑥 cos 𝑥 , 𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥

Y la solución general es:

𝑦 = 𝐶1𝑒2𝑥 cos 𝑥 + 𝐶2𝑒

2𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥

REGRESAR AL CONTENIDO

Ahora, utilizando las condiciones, si 𝑦 0 = 1:

𝑦 = 𝐶1𝑒2𝑥 cos 𝑥 + 𝐶2𝑒

2𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥1 = 𝐶1𝑒

0 cos 0 + 𝐶2𝑒0 𝑠𝑒𝑛 0

1 = 𝐶1

𝑦 = 𝑒2𝑥 cos 𝑥 + 𝐶2𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥

Si 𝑦′ 0 = 6:

𝑦 = 𝑒2𝑥 cos 𝑥 + 𝐶2𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑦′ = 2𝑒2𝑥 cos 𝑥 − 𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶2 2𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑒2𝑥 cos 𝑥6 = 2 − 0 + 𝐶2 0 + 1

4 = 𝐶2

Por lo tanto:∴ 𝑦 = 𝑒2𝑥 cos 𝑥 + 4𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥

REGRESAR AL CONTENIDO

BIBLIOGRAFÍASCarmona Jover, I., & Filio López, E. (2011). Ecuaciones diferenciales. México: PEARSON Educación.

D. Zill, D. (2009). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. México: CENGAGE Learning.

Espinosa Ramos, E. (1996). Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. Lima.

Jover, I. C. (1998). Ecuaciones diferenciales. México: PEARSON Educación.

REGRESAR AL CONTENIDO