2. Kalkulu bektoriala

Bektorearen definizioa

Magnitude eskalar Moduluak definitu

Magnitude bektorial

Modulua+

Norabidea+

Noranzkoa

Masa, tenperatura, …

Abiadura, indarra, …

Grafikoki

A

O noranzkoa

norabidea

aplikazio puntua

bektorea

modulua

bektore unitarioa

Bektoreen arteko batuketa eta kenketaIzan bitez eta bi bektore:

A

A B

B

A B +

Kenketa egiteko:

A

-B A B -

Propietateak

• Trukakorra:

• Elkarkorra:

• Bektore nulua:

• Aurkako bektorea:

Bektore eta eskalar arteko biderketa

Propietateak

• Trukakorra:

• Elkarkorra:

• Eskalarraren batuketarekiko banakorra:

• Bektorearen batuketarekiko banakorra:

• Eskalar unitatea:

-ren modulua:

-ren norabidea = -ren norabidea

-ren noranzkoa: n > 0 bada -ren noranzkoa

n < 0 bada - -ren noranzkoa

Erreferentzia-sistema triortogonal cartesiarra

O

x

y

z

i

k j

A x

A y

A z

A

Hiru ardatz: OX, OY, OZ Elkarrekiko perpendikularrak

bektore unitarioak

Triedro Zuzena

E.S.-ren oinarria

bektorearen osagai kartesiarrak

A-ren proiekzioak ardatz bakoitzean

Modulua: 21222zyx AAAAA

bektorearen luzera adierazi. Beti > 0 !!

Kosinu zuzentzaileak: Bektoreak ardatz bakoitzarekin osatzen dituen angeluen kosinuak dira.

A

AxcosA

AycosA

Azcos 1coscoscos 222

Erreferentzia-sistema triortogonal cartesiarra

2D-ko kasuan:

y

x

cosAAx sincos AAAy

Dena angelu bakar baten menpe utz daiteke.

Bektoreen arteko biderketa

Propietateak

• Trukakorra:

• Batuketarekiko banakorra:

• Eskalar baten biderketarekiko elkarkorra:

• Bektore unitarioak:

• Baldin

•

cosABBA o1800

zzyyxx BABABABA Osagai cartesiarren menpe:

Ortogonalak!!

BIDERKETA ESKALARRABIDERKETA ESKALARRA

Biderketa eskalarra

Biderik laburrena jarraituz

Bektoreen arteko biderketa

Propietateak

• Antitrukakorra:

• Batuketarekiko banakorra:

• Eskalar baten biderketarekiko elkarkorra:

• Bektore unitarioak:

Osagai cartesiarren menpe:

BIDERKETA BEKTORIALABIDERKETA BEKTORIALA

Biderketa bektoriala

Biderik laburrena jarraituz

A

B n

A B

zyx

zyx

BBB

AAA

kji

BA

Modulua:

Bektoreen arteko biderketa

Propietateak

• Baldin

•

Osagai cartesiarren menpe:

BIDERKETA BEKTORIALABIDERKETA BEKTORIALA

Biderketa bektoriala

Biderik laburrena jarraituz

A

B n

A B

zyx

zyx

BBB

AAA

kji

BA

Modulua:

Paraleloak!!

, bi bektoreek osatzen duten paralelogramoaren azalera da.

Eremu eskalar eta bektorialakEremua: espazioko zonalde bat zeinetan magnitude fisiko eskalar zein bektorial bat definituta dagoen.

Eremu eskalar Eremu bektorial)t,z,y,x(A

),,,( tzyx

Adib: Tenperatura, presioa, … Adib: eremu magnetikoa, …

Gainazal equipotentziala: eskalarrak balio bera hartzen duten espazioko leku geometrikoak.

Eremu lerroa: eremu bektorialaren norabidea ematen dute espazioko puntu bakoitzean.

Eremua t-ren menpekoa ez bada EREMU GELDIKOR

Funtzio eskalar eta bektorialen deribatuakBektore baten deribatua eskalar batekiko

Izan bedi funtzio bektoriala:

Deribatu partzialak

)(tV

t

V

dt

Vdt

0lim V eremuaren deribatua, kurbaren

tangentea da puntu guztietan. kdt

dVj

dt

dVi

dt

dV

dt

Vd zyx ˆˆˆ

Osagai cartesiarren menpe:

dt

Bd

dt

Ad

dt

BAd

)(

dt

BdAB

dt

Ad

dt

BAd

)(

- Bektoreen baturaren deribatua:

- Biderketa eskalarraren deribatua:

- Biderketa bektorialaren deribatua:

dt

BdAB

dt

Ad

dt

BAd

)(

Izan bedi .)z,y,x(Deribatu partziala: Aldagaietariko batekiko deribatua da (beste guztiak konstante

mantenduz).

x

y

z

Diferentzial totala: dzz

dyy

dxx

d

Eremu bektorial baten lerro-integrala

a

b C rd

A

Eremu bektoriala

kurbaren gaineko arku-elementua

espazioko kurba ( ) ( ) cos

b b

a a

A r dr A r dr

Lerro integrala:

Eremu bektorial anitz dago, zeinen lerro-integrala ez den kurbaren mendekoa, baizik eta hasierako eta amaierako puntuen menpekoa bakarrik. Orduan,

( ) ( ) ( )b b

a a

A r dr d b a

)r(A

eremu bektoriala kontserbakorra dela esaten dugu:

( ) ( ) ( )b b

a a

A r dr d b a

= 0 bada.

Eremu bektorial baten fluxuaFluxua: gainazal bat zeharkatzen duen “eremu kantitatea”.

Izan bedi eremu bektoriala eta S gainazala: )r(A

A

n

dS

Sd

: gainazal elementu diferentziala “gainazal-bektorea”

Fluxua:

ˆ( ) ( ) ( ) cos S S S

A r dS A r dSn A r dS

cosAdSndSASdAd

Eremuaren gainazal integrala edo eremuaren fluxua S gainazalean zehar