3 rozamiento

Tema 3. Problemas rozamiento.Profesorado

Grupo A: María Tirado MirandaGrupo B: Jorge Portí DuránGrupo C: Artur Schmitt

Tema 3. Problemas rozamiento.Material elaborado por Jorge Portí Durán y Juan Francisco Gómez Lopera

2.‐Una barra AC homogénea está en equilibrio apoyada en lospuntos A y B de una superficie cilíndrica. Suponiendo que lasuperficie es lisa en A y rugosa en B, determinar las reaccionesen A y B sobre la barra, así como el valor mínimo delcoeficiente estático de rozamiento en B. Datos: peso de labarra 100kg, longitud L=6m, a=3.2m, =30.


A

B a

L

Los contactos se sustituyen por reacciones normales a la superficie en A y a lavarilla en B. La figura muestra la barra con las reacciones y algunasdimensiones necesarias.

Solución: NA = 10.8kg,NB = 81.2kg,FR = 40.6kg.

0 cos sin 0 (1)0 sin cos 0 (2)

0 cos 0 (3)2

x A R

y B A

Az B

R N P FR N N P

LM a N P

Ecuaciones de equilibrio:


Diagrama de fuerzas y reacciones

A

BC

NA

a

R

yx

G

P

RBy=NB

RBx=FR

RB

NOTA SOBRE LA REACCIÓN EN B:

Nótese que la reacción en Bintroducida por el rozamientoequivale a la de una articulación,siendo su componente y unanormal, siempre positiva, y sucomponente x, el rozamiento, quepuede ser positivo o negativo.

Mínimo valor del coeficiente de rozamiento en B


• Las fuerzas obtenidas aseguran el equilibrio, pero sabemos que lafuerza de rozamiento tiene un máximo determinado por elcoeficiente estático de rozamiento, de modo que FR≤ Frmax=µeN.

• Esto significa que, conocidos FR y N, µe debe cumplir µe≥ FR /N.

• En definitiva, µe debe superar un momento mínimo µmin= FR /N.

• En nuestro caso y para el punto B, µmin= FR /NB =40.6/81.2=0.5.

4.‐ Un cuerpo A de masa m se apoya sobre un segundo cuerpo Bde masa mB, que a su vez se apoya sobre una superficie plana.Los coeficientes estáticos y dinámicos de rozamiento entre A y Bson eAB y cAC y entre B y la superficie plana son eB y cB. Sobreel cuerpo B se ejerce una fuerza horizontal de módulo F.Determinar: a) el mínimo valor de F para que el sistema deslice ydetermine la fuerza de rozamiento, FR1, entre A y B en esepreciso instante. b) el mínimo valor de F para que el cuerpo Adeslice respecto de B y el rozamiento entre los cuerpos A y B.


B

A

F

a) Estudio del deslizamiento del cuerpo inferior

Fd1 genera la situación de deslizamiento inminente del cuerpo B:• Rozamiento máximo entre B y el

suelo. • El rozamiento entre A y B no es

máximo.• La aceleración del sistema y de cada

parte es nula, por tanto, se trata de un PROBLEMA DE EQUILIBRIO

B

A

PB

PA

NB

NB

Fd1

Sistema global

B Fd1

PB

NB

NB

NA

FRA

Cuerpo inferior

A PA

NA

FRA

Cuerpo superior


a) Estudio del deslizamiento del cuerpo inferior

B

A

PB

PA

NB

NB

Fd1

A PA

NA

FRA

Equilibrio del sistema global, situación de deslizamiento inminente:

0 ,

0 0.y A A

x RA

R N P

R F

donde g es la aceleración de la gravedad.El sistema se comporta como un solo cuerpo de peso la suma de ambos pesos.

Equilibrio del cuerpo superior:

1

0 ,

0 ( ) ( ) ,y B A B

x d eB B eB A B eB A B

R N P P

R F N P P m m g

El cuerpo superior no detecta rozamiento del inferior puesto que éste aún no se ha movido.


Cuestiones previas:• Se trata de un problema dinámico en el que una

fuerza F provoca movimiento del sistema con una aceleración horizontal, a.

• El rozamiento FRB es el valor dinámico, cBNB, puesto que hay movimiento relativo entre B y el suelo.

• El rozamiento FRA genera la aceleración en el cuerpo superior, pero, mientras A y B se muevan juntos, se trata de una situación de rozamiento estático entre A y B, es decir, 0≤ FRA ≤ eABNA.

• Mayor aceleración implica mayor rozamiento, FRA .• La situación de deslizamiento inminente del cuerpo

A respecto del B se produce cuando FRA alcanza su valor máximo, eABNA, y ocurre para F=Fd2.

b) Estudio del deslizamiento del cuerpo superior respecto al inferior


B FPB

NB

cB NB

NA

FRAa

A PA

NA

FRA

a

Fd2

b) Estudio del deslizamiento del cuerpo superior respecto al inferior: DESLIZAMIENTO INMINENTE

Movimiento del sistema superior con una aceleración horizontal, a:

2

0 (3)

(4)y B A B B A B

x B d cB B eAB A B

R N N P N P P

R m a F N N m a

Movimiento del sistema inferior:

2 y eAB AeAB d eAB cB A B

A

Pa g F m m gm

Resolviendo el sistema:

0 (1)

(2)

y A A

eAB Ax A eAB A eAB A A eAB

A

R N P

PR m a N P m a a gm


B FPB

NB

cB NB

NA

FRAa

A PA

NA

FRA

a

Fd2

6.‐ El bloque A pesa 50N y el bloque B pesa 25N. Si elcoeficiente de rozamiento estático entre todas las superficieses 0.15, determine el valor de para el cual el movimiento esinminente.

Figura 6

A

B


Esquemas de cuerpo libre y estrategia de resolución

A

B

PB

PA

NB

NB

T

T

NA

B

PB

NB

NB

T

NA

A

PA

T

NA

NA

Sistema global: 2 ecuaciones y 3 incógnitas

Sistema superior: 2 ecuaciones y 3 incógnitas

Cuerpo inferior: 2 ecuaciones y 3 incógnitas

Estrategia:Resolver 2 cualesquiera de los sistemas indicados.


Resolución

A

B

PB

PA

NB

NB

T

T

A

PA

T

NA

NA

Equilibrio del sistema global:

Solución: T=31.0N y =46.4°

0 2 sin 0 (1)

0 cos 0 (2)x B A B

y B A B

R T N P P

R N P P

0 sin 0 (3)0 cos 0 (4)

x A A

y A A

R T N PR N P

Equilibrio del cuerpo superior:x

y


7.‐ El bloque A de peso 200kg se apoya sobre el bloque B depeso 400kg y éste a su vez sobre un plano inclinado. El bloqueA se sujeta a una pared mediante un cable paralelo al planoinclinado. Determinar el ángulo para el cual se inicia eldeslizamiento de los bloques. El coeficiente de rozamiento entodas las superficies es 0.20.

A

B




Sistema superior: 2 ecuaciones y 3 incógnitas

Cuerpo inferior: 2 ecuaciones y 3 incógnitas

Estrategia:Resolver 2 cualesquiera de los sistemas indicados.

A

PA

T

NA

NA

AB

PB

PA NB

NB

T

B

PB

NB

NB

NA

NA


Resolución

A

PA

T

NA

NA

AB

PB

PA NB

NB

T

Equilibrio del sistema global:

Solución: =21°48’

0 sin 0 (1)

0 cos 0 (2)x B A B

y B A B

R T N P P

R N P P

0 sin 0 (3)0 cos 0 (4)

x A A

y A A

R T N PR N P

Equilibrio del cuerpo superior:x

y


11.‐ Dos cuñas de 8 y peso despreciable se utilizan para movery colocar el bloque de 800kg. Si sabemos que el coeficiente derozamiento estático entre todas las superficies de contacto es0.30, determínese la menor fuerza P que es preciso aplicar auna de las dos cuñas. (Sol. 1966N)

800kg

P

8º

8º




Cuña: 2 ecuaciones y 3 incógnitas

Bloque: 2 ecuaciones y 2 incógnitas

Estrategia:a) Resolver el bloque.b) Resolver cuña o sistema global para obtener P.

P

8º

N1

N1

N2

N2

W

P

8ºN3

N3

N2

N2

N1

N1

W

N3

N3


Resolución

P

8º

N1

N1

N2

N2

W

N1

N1

W

N3

N3

Equilibrio del bloque:

Solución: P=1966 N

3 1

1 3

0 0 (1)0 0 (2)

x

y

R N NR N N W

1 2 2

1 2 2

0 cos sin 0 (3)0 sin cos 0 (4)

x

y

R N N NR N P N N W

Equilibrio del sistema global ( =8°):x

y


14.‐ Una cuña de 5 se deberá forzar bajo la base de unamáquina de 1400N en B. Si se sabe que el coeficiente derozamiento estático es 0.2 en todas las superficies, determine lafuerza P necesaria para mover la máquina y determine cómo semoverá la máquina al insertar la cuña. Considere que la máquinaestá en posición prácticamente horizontal, con la cuña levementeinsertada en el punto B, de modo que sólo mantiene contactopuntual en A con el suelo y en B con la cuña.

PA

B

1400N0.4m1m


Cuestiones previas


• Consideraremos la máquina horizontal, pero sólo hay contacto en A conel suelo y en B con la cuña.

• Alcanzada la situación de movimiento inminente se sabe que la cuña sedesplazará, pero se desconoce a priori el movimiento que describirá elbloque.

• Tenemos dos posibilidades:1. A partir de una fuerza P1, la cuña y el bloque presentan un contacto

muy rugoso en B y se produce desplazamiento del bloque en A.2. A partir de una fuerza P2, el bloque y el suelo presentan un contacto

muy rugoso en A y la cuña se introduce debajo del bloque en B,donde se produce deslizamiento.

• Resueltos ambos casos posibles, sucederá aquel que corresponda a unmenor valor de la fuerza P.

• Analizaremos el resultado para encontrar posibles contradicciones en elcaso que no sucede.

a) Caso 1: A partir de P1, se produce deslizamiento en A, pero no en B.




P1

B

NC

NC

NB

FRB

Nótese que sólo se pueden calcular momentos en el esquema central, donde se conoce la posición de todas las fuerzas

Solución para P1

Estrategia 1:a) Resolver el bloque: Rx =0, Ry =0 y MBz =0.b) Resolver el sistema global, Rx =0, Ry =0,

para obtener P1.

P1

AB

W=1400N0.4m1m

NA

NA

NC

NC

AB

W=1400N0.4m1m

NA

NA

NB

FRB


Resolución

Equilibrio del bloque ( =8°):0 -1.4 0.4 0 (1)

0 sin cos 0 (2) 0 cos sin 0 (3)

Bz A

x A B RB

y A B RB

M N WR N N FR N N F W

1

0 0 (4)

0 0 (5)y A C

x A C

R N W N

R N P N

Equilibrio del sistema global ( =8°):

Conclusión parcial. • La situación 1 ocurriría a partir de P1=280N. • Hay que ver si antes ocurre el caso b).• Podríamos haber resuelto esta parte de forma más eficiente.

x

y

NA=400NNB=1001.4NFRB=‐59.95N

NC=1000NP1=280N

P1

AB

W=1400N0.4m1m

NA

NA

NC

NC

AB

W=1400N0.4m1m

NA

NA

NB

FRB


a) Caso 1: A partir de P1, se produce deslizamiento en A, pero no en B.

Estrategia 2, más eficiente

Si la cuña y el cuerpo no deslizan, el sistema bloque‐cuña se comportacomo un solo cuerpo. Resolviendo el sistema bloque‐cuña, deberíamosobtener la solución sin necesidad de descomponerlo en dos cuerpos.

Equilibrio del bloque‐cuña:

1

0 0 (1)

0 0 (2)y A C

x A C

R N N W

R P N N

El resultado muestra que es como si hubiera una sola normal y un solo rozamiento, consecuencia directa del movimiento del sistema como un solo cuerpo rígido.

1

De (1), 1400 .Sustituyendo en (2), 280N.

A C

A C

N N NP N N

Solución:x

y

P1

AB

W=1400N0.4m1m

NA

NA

NC

NC


b) Caso 2: A partir de P2, se produce deslizamiento en B, pero no en A.

Nótese que sólo se pueden calcular momentos en el esquema central, donde se conoce la posición de todas las fuerzas

Solución para P2

Estrategia 1:a) Resolver el bloque: Rx =0, Ry =0 y MBz =0.b) Resolver el sistema global, Rx =0, Ry =0, para

obtener P2.


P2

B

NC

NC

NB

NB


P2

AB

W=1400N0.4m1m

NA

FRA

NC

NC


AB

W=1400N0.4m1m

NA

FRA

NB

NB


Resolución

Equilibrio del bloque ( =8°):0 1.4 1 0 (1)

0 sin cos 0 (2) 0 cos sin 0 (3)

Bz A

x RA B B

y A B B

M N WR F N NR N N N W

Conclusión: • La situación 1 ocurriría a partir de P1=280N, mientras que la situación 2

ocurriría a partir de P2=550.4N.• Resultado: el sistema se mueve como una sola pieza, deslizando en A y C, a

partir de P=280N.

x

y

NA=400NNB=1039.0NFRA=350.4N

2

0 0 (4)

0 0 (5)y A C

x RA C

R N W N

R F P N

Equilibrio del sistema global ( =8°):

NC=1000NP2=550.4N

P2

AB

W=1400N0.4m1m

NA

FRA

NC

NC

AB

W=1400N0.4m1m

NA

FRA

NB

NB


Conclusiones finales

• Se han resuelto dos posibles problemas, obteniéndose que sucede a) pero no b).

• Sólo uno es posible, por lo que debe haber contradicciones en el caso b) que indiquen que no se alcanza esta situación. Busquémoslas.

• Hemos hallado que el caso b) requiere las siguientes fuerzas: NA=400N, FRA=350.4N, NB=1039.0N, NC=1000N y P2=550.4N.

• Sabemos que el rozamiento máximo en A es: FRAmax=µNA=0.2∙400=80N.• Es claro que FRA no puede alcanzar el valor requerido de 350.4N.• Esta contradicción no aparece en el caso a).• En efecto, la resolución completa del caso a) daría las siguientes fuerzas:

NA=400N, NB=1001.4N, FRB=‐59.95N, NC=1000N y P1=280N.• El valor negativo de FRB no es problema, sólo indica sentido contrario.• El valor máximo del rozamiento en B es, FRBmax=µNB=0.2∙1001.4=200.3N. • Este rozamiento máximo es superior al valor requerido de 59.95N, lo que

confirma que ocurre a) y no b).


15.‐ Los bloques A y B de la figura pesan 250N y 300N,respectivamente. El coeficiente de rozamiento estático entretodas las superficies es 0.34. Determine el mayor ángulo quepermite el equilibrio y la tensión del cable para ese ángulo.

A

B


Diagramas de cuerpo libre y resoluciónOpción 1. Suposición inicial: El cuerpo A pesa menos que el B, por lo que a priori parece que el cuerpo B tiende a descender y el A tiende a ascender.Con esta suposición tenemos:

A

T TT

B

PB

NB

NB

PA

A

T

PA NANA

0 3 sin 0 (1)

0 cos 0 (2)x B A B

y B A B

R T N P P

R N P P

0 sin 0 (3)0 cos 0 (4)

x A A

y A A

R T N PR N P

Solución: NA=103.1N, NB=226.7N, T=‐192.7N, α=‐65.66°.Tanto la tensión como el ángulo son negativos. Esto no es coherente, demodo que la suposición de que A asciende y B desciende era incorrecta.

Equilibrio global:

Equilibrio parcial:x

y

Observando nuevamente el problema, parece razonable que las dostensiones produzcan el ascenso de B a pesar de que éste pese más que A.Repitamos el problema con esta hipótesis.


Opción 2. Suposición inicial: El cuerpo A tiende a descender y el cuerpo B tiende a ascender.

0 3 sin 0 (1)

0 cos 0 (2)x B A B

y B A B

R T N P P

R N P P P

0 sin 0 (3)0 cos 0 (4)

x A A

y A A

R T N PR N P

Solución:

NA=103.1N, NB=226.7N, T=192.7N, α=65.65°.Los datos ahora son coherentes y representan la solución del problema.

El cuerpo A desciende a partir de 65.65°.

Diagramas de cuerpo libre y resolución

A

T TT

B

PB

NB

NB

PA

A

T

PA NANA

x

y

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