DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

1. Phân tích thành các tổng không âm

Phương pháp A + B + C = 0

Nếu A, B, C đều không âm thì A = B = C = 0

Nếu A, B > 0 thì C < 0

Bài 87. Giải phương trình nghiệm nguyên

a) 2 23 6 10 0x x y y ; b) 2 2 2 22 4 4 5 0x y x y zxy

Bài 88. Tìm số tự nhiên có 4 chữ số biết rằng số đó bằng tổng bình phương của số tạo bởi hai chữ

số đầu và hai chữ số cuối, biết rằng hai chữ số cuối giống nhau.

Bài 89. Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình:

3 3 3 2 24 2 3 0x y xy y x y

Tự luyện

Bài 90. Giải phương trình nghiệm nguyên

a) 2 2  5 4 4 4 0x y xy y b) 2 2 21 3 1x y x y

Bài 91. Tìm nghiệm nguyên dương của pt: 3𝑥2 + 2𝑦2 + 𝑧2 + 4𝑥𝑦 + 2𝑦𝑧 = 26 − 2𝑥𝑧

Bài 92. Tìm nghiệm nguyên không âm của pt: 𝑥2 + 𝑦3 − 3𝑦2 = 65 − 3𝑦

2. Nguyên lí Kẹp

Phương pháp

Nếu số chính phương (hoặc lập phương) bị kẹp giữa hai số chính phương (lập phương)

liên tiếp thì phải bằng một trong hai số đó. Ví dụ 2 2 2( 1) ( 1)a b a a b ( ; )a b N

Tương tự với biểu thức của tích hai số tự nhiên liên tiếp.

Việc dự đoán biểu thức kẹp thường biến đổi biểu thức đã cho thành bình phương và dựa

vào biểu thức chính phương gần nhất.

Bài 93. Chuyên KHTN 2014 V2

Cho x, y là những số nguyên lớn hơn 1 sao cho: 2 24 7 7x y x y là số chính phương. Chứng

minh rằng x = y

Bài 94. Giải phương trình nghiệm nguyên 𝑥4 + 2𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 + 1 = 𝑦2

Bài 95. Giải phương trình nghiệm nguyên 𝑥4 − 2𝑦2 = 1

Bài 96. Giải phương trình nghiệm nguyên 9𝑥2 − 6𝑥 = 𝑦3

Bài 97. Giải phương trình nghiệm nguyên 2 2008 20081 x x x y

Tự luyện

Bài 98. Giải phương trình nghiệm nguyên: 𝑥2 + 𝑥 = 𝑦4 + 𝑦3 + 𝑦2 + 𝑦

Bài 99. Tìm nghiệm nguyên của pt: 𝑦3 = 𝑥6 + 2𝑥4 − 1000

Bài 100. Chứng minh rằng tất cả các phương trình: 6 4 2 3x ax bx c y với 3;4;5a ,

4;5;...;12b , 1;2;...;8c đều không có nghiệm nguyên

Bài 101. Giải phương trình nghiệm nguyên: 4 4 4 2 2 2 22 3 4 1 0x y z x z x z

Bài 102. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:

3 3 33 31 2 ... 7x x x x y

3. Sắp thứ tự các ẩn

Bài 103. Giải phương trình nghiệm nguyên dương

a)  xyz x y z

b) 2 2x y z xyz

Bài 104. Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn điều kiện 3x x chia hết cho xy – 1

Bài 105. Tìm các số nguyên dương x và y sao cho x + 1 chia hết cho y và y + 1 chia hết cho x

Mở rộng với bài 3 số Tìm các số nguyên dương x, y, z biết (𝑥𝑦 + 1) chia hết cho z, (𝑦𝑧 + 1)

chia hết cho x và (𝑥𝑧 + 1) chia hết cho y.

Bài 106. Tìm các cặp số nguyên dương ,x y thỏa mãn 2 3x y và 2 3y x đều là các số chính

phương.

Bài 107. Tìm tất cả các số nguyên dương phân biệt a, b, c thỏa mãn điều kiện abc-1 chia hết cho

(a-1) (b-1) (c-1).

các nghiệm của bài toán là: a=2, b=4,c=8; a=3,b=5, c=15

Bài 108. Chuyên SPHN 2011

Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng 𝑝 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 với a, b, c là các số nguyên dương sao

cho 𝑎4 + 𝑏4 + 𝑐4 chia hết cho p.

Đs a=b=c=1 p=3 thỏa mãn

Bài 109. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2 2n a b với a, b là các số nguyên dương

nguyên tố cùng nhau và ab chia hết cho mọi số nguyên tố bé hơn hoặc bằng n

Các cặp (a; b) thỏa mãn đề bài là (4; 3); (3; 2); (2; 1).

Tự luyện

Bài 110. Giải phương trình nghiệm nguyên

1

𝑥2(𝑥2 + 𝑦2)+

1

(𝑥2 + 𝑦2)(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)+

1

𝑥2(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)= 1

Bài 111. Tìm tất cả các số nguyên tố a, b, c sao cho ab + bc + ca > abc.

Bài 112. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x; y) thỏa mãn:{2𝑥 = 2𝑦

2𝑦 = 2𝑥

Bài 113. Tìm các số nguyên dương ; ; ;wx y z phân biệt thỏa điều kiện:

2 2 2 2w 3( w)x y z x y z

Bài 114. Tìm tất cả bộ ba số nguyên dương ; ;x y z thỏa mãn điều kiện:

1 1 11 1 1 2

x y z

Bài 115. Tìm tất cả các bộ ba ( ; ; )x y z nguyên dương sao cho: 2xy yz zx xyz

4. Bất đẳng thức số học

Cho a, b là hai số tự nhiên nếu |b a thì 0a

b a

Bài 116. Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn điều kiện

a) 2 1xy chia hết cho (x – 1)(y – 1)

b) 24 8 3x x chia hết cho 4xy – 1

Bài 117. Tìm các số nguyên dương x, y, z biết (𝑥𝑦 + 1) chia hết cho z, (𝑦𝑧 + 1) chia hết cho x

và (𝑥𝑧 + 1) chia hết cho y.

Bài 118. Tìm bộ số nguyên dương (m, n) sao cho p = m2+n2 là số nguyên tố và m3 + n3 – 4 chia

hết cho p

Tự luyện

Bài 119. Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn điều kiện 2( 2)x chia hết cho xy + 1;

Bài 120. Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: 2 2 2 2 23 18 2 3 18 27x y z y z x .

Bài 121. Cho a, b Z và a ≠ b thỏa mãn: ab(a+b) chia hết cho a2 + ab + b2. Chứng minh rằng: |a

– b| > 3 ab

5. Đánh giá

Bài 122. Giải phương trình nghiệm nguyên dương (𝑥 + 𝑦)4 = 40𝑦 + 1

Bài 123. Giải phương trình nghiệm nguyên (𝑥2 − 𝑦2)2 = 10𝑦 + 9

Bài 124. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 2

2 2 1 16x y y

Bài 125. Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm ;x y thỏa mãn 3 2 38 8 8x x x y

Sử dụng BĐT AM – GM

Bài 126. Giải phương trình nghiệm nguyên dương của phương trình: 2 2 2 3x y y z z x xyz

Bài 127. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3

6 3 2 2 2 2 215 3 5x z x z x y z y .

Cauchy

Bài 128. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 2

2 2 4 4 24 28 17 4 49x y x y y

Tự luyện

Bài 129. Tìm các số nguyên thỏa mãn BĐT sau: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 < 𝑥𝑦 + 3𝑦 + 2𝑧 − 3

Bài 130. Tìm tất cả các cặp số nguyên ;x y thỏa mãn phương trình: 3 3 2 8x y xy

Luyện tập phần 2

Bài 131. Giải phương trình nghiệm nguyên dương 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 − 2𝑦𝑧 + 2 + 𝑧 = 0

Bài 132. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: ...x x x y (1993 dấu căn).

Bài 133. Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:

𝑎) √𝑥 + √𝑦 − 1 + √𝑧 − 2 =1

2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧);

𝑏) 1

√𝑥 − 2+

1

√𝑦 − 1+

1225

√𝑧 − 771= 74 − √𝑥 − 2 − √𝑦 − 1 − √𝑧 − 771

Bài 134. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2012 2011 2

2011 4023 2012

x y

x y y x z