Licenciatura en Mercadotecnia

Curso Análisis de Decisiones

AsesorLuis Edgar Machorro Flores

Equipo 4Merary López Alfaro

Oswaldo M. NavarroValdézVioleta Ramírez Peralta

METODO SIMPLEX 

Es un método analítico de solución de problemas de programación lineal, que es capaz de resolver métodos complejos, además permite ir mejorando la solución en cada paso, ya que camina de vértice a vértice de un poliedro, de manera que aumente o disminuya.

METODO SIMPLEX

• El Método Simplex trabaja basándose en ecuaciones y las restricciones iniciales que se modela, para ello hay que convertir inecuaciones a ecuaciones utilizando unas variables denominadas de holgura y exceso, éstas adquieren un gran valor en el análisis de sensibilidad y juegan un rol fundamental en la creación de la matriz identidad base del Simplex.

• Estas variables suelen estar representadas por la letra “S”, se suman si la restricción es de signo “<=” y se restan si la restricción es de signo “>=”.

UN EJEMPLO SERIA:

PASOS DEL METODO SIMPLEX1.- hallar una solución básica factible inicial. a) Convertir las desigualdades en igualdades. b) Igualar la función objetivo a ceroc) Escribir la tabla inicial Simplex ( en las columnas todas las

variables del problema, y en las filas los coeficientes de las igualdades obtenidas).

 2.- Prueba de Optimidad: determinar si la solución inicial es óptima. 3.- Para escoger la variable de decisión que entra en la base, nos

fijamos en la primera fila, la de los coeficientes de la función objetivo y escogemos la variable con el coeficiente negativo mayor.

a) si existen dos o más coeficientes iguales que cumplan con lo anterior, se elige cualquiera de ellos.

b) si en la primer fila no existiera ningún coeficiente negativo, significa que se a alcanzado la solución óptima.

 

PASOS DEL METODO SIMPLEX4.- Para todos los problemas de maximización y minimización, la variable

que sale es la variable básica que tiene la razón más pequeña (positiva). a) para determinar la razón de cada renglón, se divide cada término de la

otra columna, por el término correspondiente de la columna pivote, siempre que éstos últimos sean mayores que cero.

b) si hubiese algún elemento menor o igual que cero, no se hace dicho cociente. En caso de que todos los elementos fueran menores o iguales a cero, entonces, tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir.

c) El término de la columna pivote que en la división anterior de lugar al menor cociente positivo, indica la fila de la variable de holgura, que sale de la base, llamada, fila pivote.

 5.- En la intersección de la fila y columna pivote se encuentra el elemento

pivote. 6.- Se determina la nueva solución básica factible, construyendo una nueva

tabla en la forma apropiada de eliminación de Gauss, debajo de la que se tiene, para cambiar el coeficiente de la nueva variable básica en el renglón pivote a 1, se divide todo el renglón entre el número pivote:

Nueva fila del pivote= renglón o fila pivote antigua/número pivote.

PASOS DEL METODO SIMPLEX

7.- Para el resto de las filas:Nueva fila= (vieja fila) – (coeficiente de la nueva fila en

la columna de la variable entrante)(nueva fila del pivote)

8.- si en los elementos de la primera fila hay un coeficiente negativo, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima, entonces se repite el proceso.

9.- si todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son positivos, hemos llegado a la solución óptima

Ejercicio

• La Cía. Line tiene una pequeña planta ubicada en la localidad de Rochester. Produce dos artículos industriales, el A y el B. El departamento de contabilidad ha determinado que A otorga una utilidad de $10 y el B $12. Cada producto pasa por tres departamentos en la planta. Los requerimientos de tiempo para cada producto y el tiempo total disponible en cada departamento son los siguientes:

Ejercicio Departamento Horas

requeridas A B

Horas disponibles

1 2 3 1500

2 3 2 1500

3 1 1

600

Expresando lo anterior en lenguaje algebraico, deseando maximizar la función objetivo tenemos:Z = 10A + 12B sujeto a:2A + 3B <= 15003A + 2B <= 1500 A + B <= 600En donde A = número de unidades producidas de A B = número de unidades producidas de B

Ejercicio• Para poder usar el método simplex, es necesario

convertir primero las tres desigualdades en ecuaciones para los departamentos, esto se logra sumando una variable de holgura para cada departamento, i.e. sumando a cada desigualdad la variable que tome la holgura o el tiempo no utilizado en cada departamento. Usaremos las siguientes variables de holgura en horas:

• S1 = tiempo no utilizado en el departamento 1

• S2 = tiempo no utilizado en el departamento 2

• S3 = tiempo no utilizado en el departamento 3

• Por lo que podemos escribir:

Ejercicio• El tiempo disponible en el departamento 1 son las horas

disponibles del departamento menos el tiempo empleado para producir los productos A y B, i.e.

• S1 = 1500 – 2A – 3B y de la misma forma para los otros dos departamentos:

• S2 = 1500 – 3A – 2B

• S3 = 600 – A – B

• Para el algoritmo simplex, la ecuación a maximizar se escribe:• Z = 10A + 12B + 0S1 + 0S2 + 0S3

• Sujeto a:• 1500 = 2A + 3B + S1 + 0S2 + 0S3

• 1500 = 3A + 2B + 0S1 + S2 + 0S3

• 600 = A + B + 0S1 + 0S2 + S3

Ejercicio

• Lo anterior se simplifica formando una tabla de la siguiente forma:

• Tabla I

Cj

Mezcla de productos

cantidad

$10 A

$12 B

$0 S1

$0 S2

$0 S3

$0

S1 1500

2 3 1 0 0

$0

S2 1500

3 2 0 1 0

$0

S3 600

1 1 0 0 1

Zj $0 $0

$0 $0 $0 $0

Cj – Zj $10

$12

$0 $0 $0

Ejercicio• Los 4 pasos empleados para efectuar las iteraciones que nos

permitan llegar a la solución óptima y lograr la secuencia de las tablas intermedias que se verán a continuación son:

• Paso 1. Seleccione la columna de valor positivo más alto• Paso 2. Determine la fila (antigua) reemplazada• Paso 3. Calcule los valores para la fila (nueva) reemplazada• Paso 4. Calcule los nuevos valores para las filas restantes

• Para llevar a cabo el paso cuatro, emplearemos la fórmula:

• (elemento anterior en la fila restante) – {( elemento interseccional anterior de la fila restante) x (elemento nuevo correspondiente en la fila reemplazada)} = (nuevo valor para la fila restante)

Ejercicio

• Aplicando los pasos descritos anteriormen- te, tenemos la Tabla:

Cj Mezcla

Cant

$10 A

$12 B

$0 S1

$0 S2

$0 S3

$12

B 300 0 1 1 0 -2

$0 S2 0 0 0 1 1 -5

$0 A 300 1 0 -1 0 3

Zj 6600

$10

$12 $2 $0 $6

Cj – Zj $0

$0 -$2 $0 -$6

Ejercicio

• Observamos que la contribución total para la empresa es de $6600, ya que todos los valores de la fila Cj – Zj son cero o negativos.

• El resultado óptimo es: 300 unidades de A y 300 unidades de B

• BIBLIOGRAFÍA:• Thierauf, Robert J Introducción a la

Investigación de Operaciones• Ed. Limusa México, 1984