Ba dạng hệ phương trình cơ bản

Hệ phương trình Thầy Hồng Trí Quang

1

Phần I. CÁC HỆ CƠ BẢN

1. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI I

Là hệ khi đổi chỗ x và y cho nhau thì mỗi phương trình vẫn không thay đổi

PP giải: Đặt: x y S

xy P

Chú ý: 2 2 24 0x y xy x y nên 2 4S P

Bài 1. Giải hệ phương trình 2 2

3 3

30

35

x y y x

x y

Bài 2. Giải hệ phương trình 2 2 18

( 1)( 1) 72

x y x y

xy x y

Bài tự luyện

Bài 3. Giải hệ phương trình

1) 2 2

1

7

x y xy

x y xy

2)

2 2

5

7

x y xy

x y xy

3)

2 2 1

3

x xy y

x y xy

Đs 1) ( 1;2); (2; 1); ( 1; 3); ( 3; 1)

Bài 4. Biến đổi các hệ phương trình sau về dạng18

72

u v

uv

1) 2 2

2 2

18

( ) 72

x y

xy x y

2) 2 2 18

( 1)( 1) 72

x y x y

xy x y

; 3) 2 2

2 2

18

( ) 72

x y

xy x y

4) 2 4 18

( 2)(2 ) 72

x x y

x x x y

5) 2 2 18

( 2 )( ) 72

x y xy

xy x y y x

Đặt ẩn phụ đưa phương trình về hệ đối xứng loại I.

Phương trình: √𝑎 − 𝑓(𝑥)𝑛 ± √𝑏 + 𝑓(𝑥)𝑚 = 𝑐.

Đặt: 𝑢 = √𝑎 − 𝑓(𝑥)𝑛 , 𝑣 = √𝑏 + 𝑓(𝑥)𝑚. Ta có hệ: {

𝑢 ± 𝑣 = 𝑐𝑢𝑛 + 𝑣𝑚 = 𝑎 + 𝑏

Bài 5. Giải phương trình 3 31 2 1 2 2x x


2

Bài 6. Giải phương trình: 2

1 12

2x x

1 31

2x x

Bài tương tự

Bài 7. Giải phương trình:

a) 4 45 1 2 1x x Đs x = 0; x = 5.

b) 4 4 17 3x x

Đặt ẩn phụ đưa hpt không đối xứng về hpt đối xứng loại I

Sau khi đặt ẩn phụ, đưa về hệ đối xứng loại I nhưng ta không nhất thiết đặt tổng - tích

Bài 8. Giải hệ phương trình: x+1+ y 4

7x y


3 2 3 2

2 2

3 9 22 3 9

1

2

x x x y y y

x y x y

(x, y R).

Bài 10. D – 2009. Giải hệ phương trình: 2

2

x(x y 1) 3

5(x y) 1

x

Bài tự luyện

Bài 11. Giải hệ phương trình:

a) 3

1 1 4

x y xy

x y

(3;3) b)1 1 3

5 ( 1)( 1)

x y

x y x y

Đs(2;5), (5;2)

𝑎) 𝐷𝑆 (4; 4); 𝑏)

Bài 12. Giải hệ phương trình: 2 2

8

9 9 10

x y

x y

.


a)

2 2 2 8 2

4

x y xy

x y

(4;4) b)

3 3

2 2

19

8 8 2

x y

x y xy x y

(đặt z = -y)


3

Bài 14. Biến đổi các hệ phương trình sau về dạng 2 2

7

21

a b

a b

1) 2 2

4 4 2 2

7

21

x y xy

x y x y

2)

2 2

2 2

1 17

1 121

x yx y

x yx y

3) 2 2 2

1 7

( 1) 21

xy x y

xy x y

4) 2 2 2

( ) 1 9

( 2) 21 1

x y y y

x y y y

5) 2 2

4 4 2 2

4 7

4 ( ) 21

x y x

x y x x y


2 2 2 2 3

2 1

x xy y x y

xy x y

(đặt x + 1 = u)

Bài 16. Giải hệ phương trình sau: {𝑥(𝑥𝑦 + 1) + 𝑦(𝑥𝑦 − 1) = 14

𝑥𝑦(𝑥2 − 𝑦2) = 24


5

( ) 6

xx y

y

xx y

y

Đs 3 1

2;1 , ;2 2

Bài 18. Giải hệ phương trình 2

1 6

2 2( 1) 1 29

x y

x x y x y

. (3;10), (2;17)


2 2

2 2

1 1 8 0

1

1 1 4

x y xy

x y

x y

.


2 3 2

3

2

2

x y y

x y y

.


2

2

1 ( ) 4

( 1)(y x 2)

x y y x y

x y

Đs (1;2), (-2;5)

Bài 22. D – 2009 Giải hệ phương trình 2

2

( 1) 3 0

5( ) 1 0

x x y

x yx


4


3 2

2

3 (6 ) 2 18 0

3

x y x xy

x x y

1; 3x

Hệ ( 2)(3 ) 18 0

( 2) (3 ) 0

x x x y

x x x y

Đặt

( 2)

3

a x x

b x y

2. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI II

Là hệ gồm 2 phương trình mà khi ta thay x bởi y và y bởi x thì phương trình trên trở thành phương

trình dưới và phương trình dưới trở thành phương trình trên.

Cách giải: Lấy vế trừ vế nhóm thừa số chung đưa về phương trình tích

( ). ( , ) 0( ; ) 0

x yx y F x y

F x y

Bài 24. Giải hệ phương trình sau9 7 4

7 9 4

x y

x y

Bài 25. Giải hệ phương trình sau

2

2

12x y

y1

2y xx


2

2

3 2 3

3 2 3

x x y

y y x

(1 ; 1)

Bài tương tự


a)

2 2

2 2

4

4

x y y

xy x

. Đáp số:

x 2

y 2. b)

3 2

3 2

1 2

1 2

x x x y

y y y x

.


a)

2

2

5 4 0

5 4 0

x y

y x

b)1 2 3

( 1; 1), (2;2)2 1 3

x y

x y

b) Cách 2: xét x > y thì PT (2) < PT (1)


2 3

2 3

y

x

x y

y x

Đs

1 5 1 50;0 ; ;

2 2


5


4 2 3

4 2 3

90

8

90

8

x y xy x

y x yx y

9 9 1 1

0;0 , ; , ;1 , 1;8 8 2 2


2

2

23

22

32

yy

x

xx

y


2

42 2

2

42 2

1 11 5 2 1

( 1)

1 11 5 2 1

( 1)

y y yx x

x x xy y

5 1 5 1

;2 2

Đặt ẩn phụ đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại II

Phương trình dạng 𝑥𝑛 + 𝑏 = 𝑎 √𝑎𝑥 − 𝑏𝑛

.

Đặt 𝑦 = √𝑎𝑥 − 𝑏𝑛

. Ta có hệ: {𝑥𝑛 + 𝑏 = 𝑎𝑦𝑦𝑛 + 𝑏 = 𝑎𝑥

Bài 33. Giải phương trình sau:

a) 3 31 2 2 1x x

b) 22 6 1 4 5x x x Đs {1 2; 1 3}

Bài 34. Giải phương trình

a) 2 2 2 2 1x x x Đs 2 2x

b) 2 73 6 3

3

xx x

HD chia 3 hai vế

5 73 7 69x x

6 6

c) 2 5=5 x x

Dạng gần đối xứng

Những hệ dạng này chỉ gồm một pt đối xứng, hoặc hai phương trình gần như đối xứng về số mũ của

biến, chỉ sai khác hệ số tự do hoặc dấu.

Bài 35. Giải hệ phương trình 2

1 1 (1)

2 1 0 (2)

x yx y

x xy


6


1 12 2 (1)

1 12 2 (2)

yx

xy

Lời giải.

Kết hợp hai phương trình dạng gần đối xứng


4 3

4 3

12 3 3

4

12 3 3

4

x y x

y x y

1 3 1 3

;2 2


2 2

2 2

2 2

2 2

21

7

41

x y x y

x y

y x x y

x y

32 7 15

;7 2 154

Tương tự

Bài 39. (A – 2003) Giải hệ phương trình

3

1 1(1)

2 1 (2)

x yx y

y x


2 2

2 2

1 1 18

1 1 2

x x y x y x y y

x x y x y x y y

(4;4)

Education

Ba dạng hệ phương trình cơ bản