Hệ Phương Trình - Phần 2

Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam

H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 1

H PHNG TRNH (Phn II)

101.

22 1

2 3

x y y

x y x y y

102. 2 2 2 2

2

1 3

x y x y

x y x y

103.

2 22 2log 4 log 4 2

4 10 2 2 1

x x y y

xy x y x x

104.

1

1 13

xy xy x

y y yx x x

105.

3 2 2 3

2 2

1 2 30 0

1 11 0

x y y x y y xy

x y x y y y

106.

4 2 2

2 2

4 4 2

2 6 23

x x y y

x y x y

107.

2

2

2

11

1

y x xx

y x y xx

108.

3

4

2 1 27

2 1

x y x

x y

109.

2 2

2 3 2

816

2

8 3 3 4 2

xyx y

x y

x x x x y

y y

110.

4

4

212

4

211

4

x yx

x y

x yy

x y

111.

2 2

2 2

1 6 1

1 6 1

x y y x

y x x y

112. 3 2 3

3

4 12 9 6 5

xy x y

x x x y y

113.

2 2

2 2

11

3 3 17

x y xy x y xy

x y xy x y xy

114.

1

2

2 2 22 1 1 .2

log 2

y xxx

x y

115.

7 6 2

35 2 2

3

6 0y y x

xy x xy

y

116.

2 2

1 1

1 2 4 3

3 .2 7.2x y x y x y

x y y x y

x y

117. 2 2 22 3 ln 2 ln 0

2 3.6 4.3 0

x y

x y x

e e x y x y x xy y xy

118.

2

2 1 2 12

2 3 2 4

x yx y

x y x y x y

119.

3

2 4 3

1 1 2

9 9

x y

x y y x y y

120. 2 2 4 2

2

1

4 5 8 6

x x y y y

x y

121. 2 2

2 2

3

369

x xy xy y x y

x y



122.

3 2

2 1 1

7

x y x y

x y

123. 2 2

1 0

2 0

x x y

y x y x y x

124. 2 2

2 2

1212 27

9

3 4 4 0

x

x x

x y xy x y

125.

3 3 2

4 4

8 4 1

2 8 2 0

x y xy

x y x y

126.

2 2 2 2 2

2 1 2 2 1 2 4 10 1

2 2 1 0

x x y y z

x y z zx yz x y

127.

4 3 3 2 2

3 3

9 9

7

x x y y y x x y x

x y x

128.

3

2

2 2 1 3 1

2 1 2 1

y x x x y

y x xy x

129.

2

3

2 22 3 2 1 11

yx x y

x y

x y x

130.

24 4 9 3

4 2 2 3 3

x x x y xy y

x y x x

131. 3 3 3 2

2 2 2 2

16 9 2 4 3

4 2 3

x y y xy y xy

x y xy y

132.

3 2 3 2

2 2

3 9 22 3 9

1

2

x x x y y y

x y x y

133. 2 2

2

4 5 2

x y

x y x y xy

134.

2 23 2 2 3 32

2 4

2 2 1 5

y yx x y xy x y

x y

135.

22

2

18

1 22 4 3 2

3 72

2 2

yx

x y

y x

x y

136.

3 33

3 2 2 2

2 1, ; 0

5 2 2 4 2 3 3

x y x y xy x y x yx y y

x x x y x x x y

137.

2 2 2 2

10 11

2 3

124 11

4 9

x y xy

x y x y

138.

2 2

log log log log

lg lg 8

x x y yy x

x y

139. 22 1 6 1

4 2

xy xy y y y

xy x y

140.

3 2 2

32

64

3 6

y x x y

x y

141.

3 3 3

2

2 3. 3 1

4 3 3 4 3 2 2 1

y x y

x x x x x

142.

3 2 3 2 2

3

3 5.6 2 0

2

x y x x y

x y y y x

143.

3 2 3

3

3 3 2

1 2log log 3

2 1x y

x x y y

y xx

x y

144.

2 6 3

4

x x y

x y x y



145.

10 102

16 16 2 2

2 2

18 9

2 4 1 10

1 2 0

x yx y x y

y x

x y y x

146. 2

2 3 2 3 2

1 4 8 0

x y y x

y x x

147.

2 4 2 4 2 4

2 3 3 2

3 2 1 2

1 1 2

x y x y x x y

x y x x x y

148.

3

2

2 2 1 20 28

2 2 2

x y x y

x y x x

149.

2

2

2 1 2 2 2 2

4 1 17

x y x x x y

y x x

150.

7 3

2 3

2log 2 3 log 2 2 3

ln 4 1 3 3 7

x y x y

x x x y

151.

2 2

2 2

2

2 3 0

12 3 1 0

6

x y y x y

x yy y x

152.

2

2

22 2

13

2 22

2 2 1 4 0

y

x

x xy

x y x x y x

153.

3 4 1

6 2 1

2 2 16

2 2 16

x y

x x

154.

2 3

2

3

8 2 1 2

2 14 1

3

x y xy y

yx x

155.

3

2

59 3 6 0

3

2 2 2

x y y x

x x y

156. 33

2 2 2 2 1 1

3 1 8 2 1

0

x y x y xy

y x y

x

157.

3

32 3

2 3 3 1

32 29 12 2 4 3

x y x y

x y x x y

158. 2

2 2

4 32 100

x y x

y x y x y

159.

322 2

2 2

3 2

1 log3 2 log 1 log

2 7 8

xx y y

y x y y y x

160. 2 2 3 2 5 7

3 5 2 2 4 1

x y x y

x y x y

161. 4 2 2 4 2 21 1

5 5

1 log 1 log

2 1 1 2 2

x x y x y x y y

x y x y

162.

22

2

332012 ln 2012

2 5 4 5 4

y yx x x

y

x y y x

163.

1 1 6 2 20

3 2 3 2 2 2 18

x y x y x y

x y x y x y

164.

2 2

4 42 2 4

3 2

2 17

x xy y x

x xy y x

165.

2 1 2 1 5 5 9

3 1 3 1 8 3

x y x y x y

x y x y x y

166.

38 2 2 2

2 1 3

x y y y x

y x

167.

2 2 2 2

2 2 2 2

2

17

4

4 52

x x y x x y

x x y x x y

x x y x xy

168.

2

3 2 33

1616 4

2

2 3 3. 3 12 4

x yy x

x y

x x x y



169.

2 2

3 3

4

24 2 2

92 2

xy y x y x y x y

x y x y

170.

2

2 2

2

2 2

1 3

5

1 4

5

x y

x y

y x

x y

171.

2

2

4 2

1 1 4 3

log 3 2 log 1 4

x y x y x y

x y x

172.

2 2 3

2

4 16 3 80 144.

6 12 8 1

y y x x

y y y x x

173.

22

1 4

xy x y xy x y y

x y xy x x

174.

3 2 3 1

53 2 2 2

2

x y x y

xy xy y

175.

2 21 1 1 2 11 1 2

1 1 1

x x y

x y xy

176.

51

2

32 3 1

4

x y

y x x

177. 2 2 2

2 2

3 2 6 3 3 7 7 2

3 4 3 3 1

y y y x x x

y x y x

178.

24 3 2 11 17

3 3 5 3 2

x y y y

y y x x

179.

2 2

3 3

3 1 9 6 2 1 4 16 1

227 227 log log 134 4x x

x y y y x x

y x xy

180.

3 2 2

2

2 6 7 3

92 3 2 1 4

4

y x x x y

y y x

181. 2 2

sin

sin

3 8 3 1 6 2 2 1 8

, 0;4

x y xe

y

x y y y

x y

182.

1

2

1 1y x

x y

x yy x

183. 2

2 2

1 4 3 0

22 9 18 4 3 76

x x y y

x y x

184.

3 2 2

2 2 2

4 1 2 1 6

2 2 4 1 1

x y x x

x y y x x

185.

4 2 2 2 3 2 2

2 2 3312 2 . 7 7 2 7 5 11 10

x y x y y x y x

y x x y x x x

186. 4 2

2

2 6 7 2 9

12 2 5 0

2

x xy y y x

x y xy y

187.

2

3 2

2 0

3 2 1 2 4

x xy y

x xy y x x y

188.

2 3 2

22 2

1 2 2 1 4 7

1 1 5

x x y x y x

x xy x x y x

189.

2

3 2

3 1 2

2 1 2

x x y x y

x x y x y

190. 2 2

2 1 2 1 2 2

4 6 4 1 0

x y y x

x xy y



191. 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 3 2 3

4

x x y y x y

x y xy

192.

3 3

2

2 2 2

31

1 2 1 1log 2 1 3log 2 2 log 1 2 2

2 3 2 2

xyx y

x y

xx y x x y x

x y x

193.

2 2

22 2

1 2 3 2 2 1 5

17 12 4 7 3 8 5

x x xy x y y x y y

x y x y x x y

194.

2

2 2

11 2 16 3 13 3 23 2

4 84

x y x y x y x y x y

x xx y

y

195.

2 23

2 2

1 1 6 2

3 1

x x y x y x x

x xy y

196.

2 2 22 2

1 1 3

6 2 35 6

x y y x

x y x yx y x y xy

xy y x

197.

2 2

2

2 4 2 34 1

1 3 2 5 2 3 3

x yx y

xy y x

x xy x y x x y x y

198.

22 2 2 2 2 2 2

2

2 2 2

13 6 48 3 12

1 3 3 31 1

x y y xy x y y x y y x yy

y x y x y xy xy x x y y

199.

22 2 2

3 3

2 2

3

log 2 1 log 4 4 2 1 3 4 2 1

log 2 4 4 2 1 2

x x y x x x y x y x xy

x x x x y

200.

222 2

2 2 2

16 84 3 1 4 3 4 8 17

1 4 3 8 ln 3 3 0

x y yx x y y y

y x x x x x



CC BI GII Bi 101: iu kin 0 , 2 0x y x y .

t 2 2 2, 2 , 0 33

a ba x y b x y a b a b y a b x y b

.

H cho tr thnh:

2

2

2 2

2 2

0 12 1I3 3

2 4 7 3 3 9 0

a b a ba b a bb

a ab b a ba b a b a b a b

D thy nu 0a b th 3 0 0 0y a b y x , khng tha mn h cho. Nh vy

h I tr thnh:

2 22

1 1

2 8 02 1 4 1 . 7 3 1 3 9 0

a b a b

b bb b b b b b

1

2 (loai) 4

a b

b b

(tha mn)

55 25 22

4 2 16 32 4

x ya x y x

b x y yx y

Vy nghim ca h l , 22;3x y Lu : Xt 0y ri xt trng hp 0y . Vi 0y , thc hin php nhn lin hp:

32 3

2

yx y x y y

x y x y

2 1x y x y .

Tip tc s dng php th 22 1x y y vo phng trnh ny, sau chuyn v, bnh

phng c iu kin ta cng tm c nghim. Bi 102: iu kin 0x y x y .

t 2 2

2 2 2 2, 0 ,2

a ba x y b x y a b ab x y x y

.

Lc ny h cho tr thnh:

22 2

2 42

2 2 23 3

2 2

a b aba b

a b a b abab ab

2

2 42 4

4 16 16 2 28 9 33

2

a b aba b ab

ab ab abab ab abab

2 4 4

00

a b ab a

bab

(v a b ) 4

20

x yx y

x y

(tha mn)

Vy nghim ca h l , 2;2x y

Bi 103: iu kin 1

2y .



Ta thy 2 2 4x x x x nn 2 4 0x x . Tng t 2 4 0y y nn ta c th

nhn lin hp nh sau:

2 2 2 22 2 2log 4 log 4 2 log 4 4 2x x y y x x y y

2

2 2 2 2

2

4 .44 4 4 4 4 4

4

x xx x y y x x y y

y y

2 2

2 2

2 24 4 0 0

4 4

x yx y x y x y

x y

2 2

1 0 04 4

x yx y x y x y

x y

(D thy 2 2

2 2 2 2

4 41 0

4 4 4 4

x x y yx y

x y x y

)

Thay x y vo phng trnh th hai ta c: 2 8 10 2 2 1x x x x (1).

d nhn ta t 2 1, 2 0a x b x a th phng trnh (1) tr thnh:

2 2 2 26 6 0 2 3 0b a ab a ab b a b a b

(+) Nu 2 0 2 2 1 2 0a b x x , iu ny khng th xy ra do 1

2x y .

(+) Nu 2

3 0 3 2 1 2 9 2 1 2a b x x x x (do 2 0x )

2 14 13 0 1 13x x x x (tha mn)

Vy nghim ca h l , 1;1 , 13;13x y Bi 104: iu kin 0, 0x y . H cho vit li thnh:

11

1 1 31 3

xy xy xxy xy x

xy xy x xyxy xy x x xy

n y t 0t xy t th h trn tr thnh:

2 22 2

3 2 23 3 2

1 11 1

1 1 1 3 2 2 01 1 3 2 4 4 0

x t t x t tt t x x t t

t t t t t t tt x t t t t

2

22

11 1 1

0 000 (do 2 2 1 1 0)

xx t t x x

t yxyt t t t


Bi 105: Rt gn a h v dng:

2 2 2 2 2 22 30 0

11 0

x y x y x y xy x y

xy x y xy x y

Ta t 2, 4u x y v xy u v th h trn li tr thnh:



2 2 2 2 2 112 2 30 0 30

11 30 11111

u v uvv v u v u v u v uv

uv uvuv u vuv v u

T 1 suy ra 5uv hoc 6uv .

+) Nu 5 6uv u v . Gii h ny ta tm c cc nghim 5 21 5 21

, ;2 2

x y

v

5 21 5 21

, ;2 2

x y

.

+) Nu 6 5uv u v . Gii h ny ta c cc nghim , 1;2 , 2;1x y .

Vy nghim ca h l 5 21 5 21 5 21 5 21

, ; , ; , 1;2 , 2;12 2 2 2

x y

Bi 106: Bin i h thnh

2 22

2

2 2 10

2 6 23

x y

x y y

t 2 2, 2 2u x v y u th h c vit li thnh:

2 2 10

2 4 6 2 23

u v

u v v

2 2

2

19 410 4

34 19 2 19 4 10

uv u vu v u v

uvuv u v u v u v

12

67

u v

uv

+) Nu 12 , 67u v uv , khng tha mn 2

4u v uv , loi.

+) Nu 4, 3u v uv th 3

1

u

v

(tha mn) hoc

1

3

u

v

(loi do 2u )

Vi 23 12 3

1 32 1

u xx

v yy


Cch gii khc: Chng ta c th dng php rt 223 6

2

yx

y

gii h phng trnh trn.

Bi 107: iu kin 0x . Rt

2

2

1

1

xy

x x

t phng trnh th nht v th vo phng trnh

th hai ta c:

2 22 2 4 2 42 22 2 2 2

1 11 1 1 1 1. .

1 1 1 1

x xx x x x xx

x xx x x x x x x x

2 4 4

2 2 2

2 2 22 2

1 1 11 0 1 1

1 1

x x xx x x

x x x

+) Nu 2 1 1 0x x y .



+) Nu

43

2 4 2

22

11 0 1 1 (*)

1

xx x x

x

t 22 41 1 do 0 1t x t x x t nn phng trnh (*) tng ng vi:

23 3 2 21 1 2 2 0 1 2 0 1 0 1t t t t t t t t t (khng tha mn) Vy h c hai nghim l , 1;0x y Bi 108: iu kin 2, 1x y .

T phng trnh th hai 4 2

1 2 1 2y x y x . Thay vo phng trnh th

nht ta c:

2 3 3 22 2 27 2 4 31 0 1x x x x x x x

Xt hm s 3 22 4 31f x x x x x trn 2; .

o hm: 21

' 3 2 4 0 2;2 2

f x x x xx

nn f x ng bin trn khong

2; . Nhn thy 3 0f nn 1 3 2x y .


Bi 109: iu kin 3 2

0, 0, 03 4

x xx y y

y .

Phng trnh th nht ca h tng ng vi:

2 2 48

16 2 0 4 4 0xy x yxy

x y xy x y x yx y x y

2 224 4 0 4 4 4 0xyx y x y x y x y x yx y

2 2

4 0*

4 4 0

x y

x y x y

Khai thc phng trnh th hai ca h: +) Nu 0x , thay vo phng trnh th hai tm c 0y . Cp s 0, 0x y khng tha

mn phng trnh th nht ca h (loi). +) Nu 0x th png trnh th hai ca h tng ng vi:

2 2 1 2 1

. 18 3 3 4 2 8 3 3 4 2

x x x y x x yx

y y y y x

t 3

0,4

xt t t

y

th 1 tr thnh:

22 1 1 12

3 16 4 12 9 3 16 12 4 12 98 3 3 4 2

t tt t t t t t

t t

2

22 4 2 12 93 4 12 9 12 9 0 3 0 3 2 12 9

3 3

tt t t t t t t



20

6 6 69 4 12 9 0

t xt x y

yt t

m 0 0x y

Kt hp vi 2 2

624

4 0 7*

44 4 0

7, 0

x yx

x y

x y x yy

x y

+) Nu 0x th phng trnh th hai tng ng vi: 2 1

8 3 3 4 2

x x y

y y x 2

Tip tc t 3

0,4

xt t t

y

th 2 tr thnh:

22 1 1 12

3 16 4 12 9 3 16 12 4 12 98 3 3 4 2

t tt t t t t t

t t

2

22 4 2 12 93 4 12 9 12 9 0 3 0 3 2 12 9

3 3

tt t t t t t t

20 2 2 2

3 3 39 4 12 9 0

t x yt x

yt t

m 0 0x y

Kt hp vi 2 2

2

3

4 0 8*

124 4 0

0, 0

yx

x y x

yx y x y

x y

Vy h cho c hai nghim l 24 4

, 8; 12 , ;7 7

x y

Bi 110: iu kin , 0x y . a h v dng:

4

4

21 21

4

21 12

4

x y

x y x

x y

x y y

Cng v theo v 1 v 2 ta c: 4 4

2 1 13

2x y .

Ly 1 tr i 2 v theo v ta c:

4 4

2 22 14

x y

x yx y

.

Nhn 3 v 4 v theo v ta c:

24 1

4 2x y

y x x y x y xyx yx y



2 2 4 0 2 2 0 2 (do 2 0)x x x y y x y y x y x y x y x y 4 42.x y .

Thay vo 3 : 4 4

2 1 1272 192 2 1088 768 2

22.y x

y y .

Vy nghim ca h l , 1088 768 2 ;272 192 2x y Bi 111: Cng v theo v hai phng trnh cho nhau v rt gn ta c:

2 25 5 1

2 2 2x y

(1)

Tr v theo v ca hai phng trnh cho:

6xy y x x y x y x y xy x y y x

2 7 02 7 0

x yx y x y xy

x y xy

+) Nu x y , thay vo (1) tm c , 2;2 , 3;3x y .

+) Nu 1 1 15

2 7 02 2 4

x y xy x y

.

t 5

2a x v

5

2b y th kt hp vi (1) ta c h:

22 2

2

11 122

42 2

1 115 12 22 2 2

4 24 4

ab a ba b a b ab

a b a ba b a b ab

0

1

4

a b

ab

(tha mn)

4

31

4

a b

ab

(loi do 2

4a b ab )

Vi

1 1, ;0

, 3;22 21

, 2;31 1, ;4

2 2

a ba bx y

ab x ya b

Vy h c cc nghim tha mn l , 2;2 , 3;3 , 2;3 , 3;2x y Bi 112: t 1t x th h tng ng vi:

3 2 3 33

1 1 3 2 *

4 3 1 6 54 1 12 1 9 1 6 5

t y t y ty t

t t y yt t t y y

3 3

3 3

22

14 3 6 6 0

4 3 6 6 0

tty ty

t y t yt y t y



n y ta s thy vi 2

1t

y

th

226 63 6 6 6 6 3

1 1

yt y y ty

y y

nn thay vo

phng trnh th hai ca h ta c:

3 3 2 3 2 2 3 2 24 3 0 4 4 4 4 0t y ty t t y ty y ty t y

2 2 2

2 2 0 2 02

y tt t y y t y t y t y

y t

(+) Nu y t , thay vo * : 2

2 1 72 02 4

t t t

, v l.

(+) Nu 2y t , thay vo * :

2

1 17 17 3 1 17, ;

4 4 22 2 0

1 17 3 17 1 17, ;

4 4 2

t x y

t t

t x y

Vy h c hai nghim l 17 3 1 17 3 17 1 17

, ; , ;4 2 4 2

x y

Cch gii khc: Bin i tng ng a v h ng cp ngay t u:

33 33

1 31 3

4 1 3 2 1 04 1 3 2 3 0

y x xy x x

x y y y xx y y x

3 33 3 2

1 3 1 3

4 1 3 3 0 4 1 3 1 0 (*)

y x x y x x

x y y x x y y x

n y ta c (*) l phng trnh ng cp bc ba c th gii c d dng!

Bi 113: Bin i h v dng:

1 12 1 1 12

3 1 18 1 3 1 18 1

xy x y x y xy xy x y

xy x y x y xy xy x y

5 1

18 1 12 3 13

yx y x y x

. Thay tr li phng trnh 1 ta c:

2 3 25 1. 1 5 1 1 18 5 3 4 2 54 10 7 7 24 0

3

yy y y y y y y y y

21 10 17 24 0 1 0 1 2y y y y y x (d thy 210 17 24 0y y ) Vy nghim ca h l , 2;1x y

Bi 114: iu kin 1

22

x .

Phng trnh th hai ca h tng ng vi: 2 12

2 2y yxx

.

Thay vo phng trnh th nht ta c:

2 2 2 22 1 1 . 2 1 1 1 2 2 1 2 2xx x x x xx x



1 2 2 1 2 4 2 2 1 2 3x x x x x x

2

4 2 1 2 3x x x (do iu kin) 2

2

1 2 log 1 2

17 172 log

9 9

x y

x y

Vy nghim ca h l 217 17

, 1;2 , ; 2 log9 9

x y

Bi 115: Vi iu kin 0y th phng trnh th hai ca h tng ng vi:

8 3 2 3 5 5 2 3 3 5 20y x x y xy y x x y x y y x (+) Nu 3x y , thay vo phng trnh th nht ta c:

7 6 6 6 36 0 5 0 5 0 (do 0) 5 5 125y y y y y y y y x

(+) Nu 2 5x y , thay vo phng trnh th nht ta c: 5 2

7 6 5 2

5 2

2 2 4 26 0 6 0

3 3 , v l, loai

y x xy y y y y

y x

Vy nghim ca h l , 125 ; 5 , 4 2 ;2x y

Bi 116: Xt hm s 3

2. 4 72

t

f t t

trn .

Hm s c o hm 3 3

' 2. .ln 4 02 2

t

f t x

(do 3

ln 02 ) nn hm s f x ng

bin trn phng trnh 0f t c nhiu nht mt nghim. Thy rng phng trnh th hai tng ng vi:

1

1 1

3 2. 7 0 2.3 4 7 0 *

2 2

x y x yx y

x y x yx y x y

Thy rng * c dng 0f x y m 1 0f nn * 1 1x y x y . Phng trnh th nht vit li thnh:

2 2 2 21 1 3 1 2 1 3 2 **x y x y x x x x

t 2 2

2 21, 3 22 2

a ba x b x x x nn (**) vit li thnh:

2 2

210

2 2 2

a bab a b a b

2

22

11 3 1 1 0

3 1

xx x x y x

x x

Vy h c mt nghim l , 1;0x y Bi 117: iu kin 2x xy y .

Xt ba trng hp sau:



(+) Nu

2

2 22 2 3 0

ln 2 ln

x ye e

x y x y x y

x y xy xy

2 2 22 3 ln 2 ln 0x ye e x y x y x xy y xy , mu thun vi phng trnh th nht ca h, loi. (+) Nu 2x y tng t cng mu thun vi h, loi.

(+) Nu 2x y th tha mn h. Thay vo phng trnh th hai ta c:

2

2 2 2 2 2 22 3.6 4.3 3. 4 0 4 . 1 03 3 3 3

y y y y

y y y

2 2

3 3

2 24 (do 1 1) log 4 2 log 16

3 3

y y

y x y

.

Vy h c duy nht mt nghim l 2 23 3

, log 16 ; log 4x y

Bi 118: Ta thng chn cch khai thc phng trnh th hai. Nhn xt thm phng trnh th hai l bc hai vi ,x y nn ta s a n v phng trnh bc hai vi mt n v s ch c hai

trng hp xy ra: mt l l mt bnh phng ca mt a thc, cn nu n khng l bnh

phng ca mt a thc m li c h s trc 2x m (nu l phng trnh n y tham s x ) (v

ngc li) th hai l ta s nhn c nh gi ,x y lt vo mt khong no nh iu kin

0 , sau kt hp vi iu kin xc nh ,x y phng trnh th nht suy ra gi tr c

th ca x (hoc y ). Vi bi ton ny th ri vo trng hp th nht.

iu kin 1

,2

x y

. Phng trnh th hai ca h tng ng vi:

2 2 2 22 3 3 2 4 3 1 2 2 4 0x y xy x y x y x y y Xem y l phng trnh n x , tham s y c bit thc:

2 22 29 1 4 2 2 4 10 25 5y y y y y y

Nn phng trnh c hai nghim l 3 1 5

1 2 42

y yx x y x y

.

+) Nu 1 7

2 42 4

x y y

, khng tha mn iu kin xc nh, loi.

+) Nu 1 3

12 2

x y y

. Kt hp iu kin xc nh suy ra 1 3

2 2y

.

Thay vo phng trnh th nht ta c:

2 21 2 1 2

2 1 1 2 1 3 2 2 12 2

y yy y y y

22 3 2 2 1 4 4 1y y y y (*) t 3 2 2 1t y y .



Vi 1 3

2 2y

th 2; 2 2t

(c th dng iu kin yu hn l 0t ) v

2

2 2 24 2 3 2 2 1 4 4 3 2 2 1 4 4 4 3t y y t y y y y

2

2 2 42

4 84 4 1 4

4 4

t t ty y

. Phng trnh (*) c vit li thnh:

2 4

4 2 282 8 8 0 2 2 4 0 24

t tt t t t t t t t t

(do 2;2 2t

)

Quay li bc t ta c 1 3

3 2 2 1 22 2

y y y y

.

+) Vi 1 3

2 2y x

. +) Vi

3 1

2 2y x

.

Vy nghim ca h l 1 3 3 1

, ; , ;2 2 2 2

x y

Bi 119: iu kin 1y .

Phng trnh th hai ca h tng ng vi:

2 3 4 3 39 9 0 9 0 9 0x xy xy y x y x y y y x y y y Thy rng 1y th 3 9 0y y nn suy ra x y . Thay vo phng trnh th nht:

3 1 1 2x x

n y ta t 33 1 , 1 2 , 0a x b x a b th ta c:

23 2 3 2

22 2

1 2 2 02 4 4 2

b aa b b a

a a aa b a a a

2

1 1 3 1 3

b a

a a a

(tha mn)

+) Nu 31 1 1 1 0 1a x a x y .

+) Nu 3

31 3 1 3 1 1 11 6 3 11 6 3a x a x y .

+) Nu 3

31 3 1 3 1 1 11 6 3 11 6 3a x a x y .

Vy h c ba nghim l , 0;0 , 11 6 3 ; 11 6 3 , 11 6 3 ; 11 6 3x y

Bi 120: iu kin 5

4x

.


3 6 2 4 2 2 2 4 2 20 0x y xy y x y x xy y y x y

2

2 2 4 2

2 2 40

0

x yx y x xy y y

x y xy y



+) Nu

2 22 2 4 430 0 0

2 4

y yx y xy y x y x y

.

Cp s ny khng tha mn phng trnh th hai ca h.

+) Nu 2 0x y , thay vo phng trnh th hai ta c:

4 5 8 6 4 5 8 2 4 5 8 36x x x x x x

2 2

23 230 0

5 52 4 5 8 23 5

42 41 04 4 5 8 23 5

x xx x x

x xx x x

21 1 1x y y .

Vy nghim ca h l , 1; 1x y Bi 121: iu kin 0x y .

Dng php t n ph

2 2 2 22

22 22, 0

u v x yu x xyu v

u v x y u vv xy y

H cho tr thnh 2 2 22 2

2 22 2 2 2

4 5 093

369369 369

u v u vu v u vu v u v

u vu v u v

2 2

4 5 0

369

u v

u v

(do 0u v th 0u v , khng tha mn)

15

12

u

v

(tha mn)

Vi

22 2

22 2 22

2251515 225

12 144 15 12 8112

x xyx xyu x xy

v xy y x yxy y

2 25225

169 (do 0)

xx xy

yx y x y

Vy h c mt nghim l , 25;16x y Ch : Nu cha tinh trong vic t n ph th trong bi ny c th gii theo hng sau: Thy rng phng trnh th nht l phng trnh ng cp vi ,x y nn ta bnh phng hai v

phng trnh th nht ln kh cn, sau ta c mt kt qu kh p:

2

2 9 2 9x x y y x y x y xy x y x y xy x y

Dng nh kt qu ny p hn nhiu so vi li gii trn (phng trnh trn l phng trnh

ng cp vi ,x y )!

Bi 122: iu kin 3 7x (suy ra t phng trnh th hai) v 1 0y .

d nhn, ta t , 1a x b y 6 7 , 0a b th phng trnh th nht ca h c vit li thnh: 2 22 0 2 0 0a ab b a b a b a b (do 2 0a b ).

Suy ra 1 1 1x y x y y x . Thay vo phng trnh th hai ta c:

23 3 2 21 7 2 8 0 2 4 0 2 1 1x x x x x x x x x y x



(d thy rng

2

2 1 154 02 4

x x x

)

Vy nghim ca h l , 2;1x y Bi 123: iu kin 0, 1x x y .


1 1 1 2 1 1 2 1x x y x x y x y y x y

22

002 2

4 1 2 4

yyy x

y x y y x

Phng trnh th hai ca h tng ng vi: 2

2y x y x y x y x (do 0y )

Lc ny ta c h:

2

12 2 22 2 2 2

142 2 2 2 0

4

yy x yx y y x

xxy y y y y yy x y x

Th li thy hai nghim ny u tha mn h.

Vy nghim ca h l 1

, 4;2 , ; 14

x y

Bi 124: Xem phng trnh th hai ca h nh phng trnh n y, tham s x :

2 22 3 4 0y x y x x

Phng trnh ny c nghim 24

0 3 4 0 03

x x x .

Vi iu kin ny ta c nh gi sau:

22

2 324 8 121

2 27 273 3 9

x

x x

nn suy ra 4

3x ,

thay vo phng trnh th hai ca h:

2 24 16 8 16 42 4 4 0 . 03 9 3 9 3

y y y y y

Vy nghim duy nht ca h cho l 4 4

, ;3 3

x y

Bi 125: t 2t y th h tng ng vi:

3 2 23 3 2

4 4 3 3

11 1

4 4 0 4 1 1 0

t x t xx t xt

x t x t x x t t

3 2 2

3 3 2 3 3 2

0 04 1 0

4 1 0 4 4

x xx x xt t x

x t tx x t tx

Thy rng 0x khng tha mn h phng trnh nn 3 3 24 4 2x t tx .

Mt khc 3 3 21 4 4 4 4x t xt , kt hp vi 2 ta suy ra

3 2 2 2 23 4 0 3 4 0 03

xt xt tx t t xt x t t x t



TH1: Nu 0 0t y , khng tha mn h ban u.

TH2: Nu t x , thay vo 1 ta c: 3 3 3 31

1 1 12 2

tx x x x x y .

TH3: Nu 3

xt , thay vo 1 ta c:

3 3 33

3 3

25 3 11 1

27 9 27 25 200

x x xx x y .

Vy h c cc nghim l 3 3

3 1, 1;2 , ;

25 200x y

Bi 126: iu kin 10 1 0z .

Bin i phng trnh th hai ca h:

2 22 2 2 2 22 2 2 2 1 0 1 0x y z xy yz zx x y xy x y z xy

1

0

11

yx y z x

xyz x y x

x

Thay vo phng trnh th nht ca h thnh:

2 2

2

4 1 42 1 2 1 12 1 2 4 1 10 4 1 10

x xx xx x x x

x x x xx

22

1 14 17 4 1 10 *x x

xx

t 1

2t x tx

(do 2 v 1 10 0t t ) th 2 22

12t x

x nn * tr thnh:

2

22

24 2

54 25 v 224 25 4 1 10

4 25 16 1 1016 200 160 609 0

t t tt t

t tx t t

2

57 1 7 7 332

2 2 42 7 2 3 4 20 29 0

tt x x

xt t t t

+) Nu 7 33 1 7 33 7

4 4 2x y z x y

x

.

+) Nu 7 33 1 7 33 7

4 4 2x y z x y

x

.

Vy nghim ca h l 7 33 7 33 7 7 33 7 33 7

, , ; ; , ; ;4 4 2 4 4 2

x y z

Bi 127: Phng trnh th nht ca h tng ng vi:

24 3 3 2 229 0 9 0

9

x yx xy x y x y x y x y x x y

x x y

+) Nu x y , thy ngay khng tha mn phng trnh th hai, loi.



+) Nu 2

9 * 0x x y x . Bin i phng trnh th hai:

3 3 3 3 337 77x y x y x y xx x

Thay vo * ta c 2 2

3 2 3 333 37 7 7

9 2 9x x x x x x x xx x x

2

33 6 2 432 . 7 7 9x x x x x x

Ta thy v tri ca phng trnh ny l mt hm s ng bin trn 0; nn phng trnh ny c nhiu nht mt nghim. Thy rng 1x l mt nghim ca phng trnh. Vi 1 2x y .

Vy h c duy nht mt nghim l , 1;2x y

Bi 128: iu kin 1 1x .

t 1 0 2a x a th 2 1a x . Thay vo phng trnh th nht ca h: 3 2 3 3 2 22 2 1 3 2 0 2 2 2 1 0y a a a y y a y a y a y ya a

y a (do

2 22 2 32 2 2 1 2 1 0

2 2

a ay ya a y

)

Vy 1y x . Thay vo phng trnh th hai ca h c: 2 21 2 1 2 1x x x x .

t cos 0;x t t th phng trnh trn tr thnh:

2 2 21 cos 2cos 1 2cos . 1 cos 2sin cos2 sin 22

tt t t t t t

2 sin 2 sin 2 sin sin 22 4 2 4

t tt t

42 2

6 34 2

3 42 2

4 2 10 5

tt kt k

kt

t k t k

m 3

0;10

t t

3 3 3cos 1 cos 2 sin

10 10 20x y

.

Vy h phng trnh c nghim l 3 3

, cos ; 2 sin10 20

x y

Bi 129: y l mt phng trnh kh v n phi s dng phng php nh gi. u tin ta

hy tm iu kin xc nh: 21

; 0 ;2

x x y x y x .

By gi ta s i khai thc iu kin ny kt hp vi cc phng trnh cho:

+) Nu 0y th h s tr thnh 2 3

22

1. 0

2 3 2 1 112 3 2 1 11

xx x x

x xx x

(v l).



+) Nu 23

0 0 0y

y x x yx y

. C hai trng hp xy ra:

TH1: Nu 3

0 00

00

y yx y

x yx y

, khng tha mn iu kin xc nh.

TH2: Nu 3

00

0

yx y

x y

. Khi phng trnh th nht tng ng vi:

32 22

23 3

111

y x yx y x yx x y y y

x y x yx x y y

32 3

11 y x yx y x y

x yx x y y

(1).

n y, ta thy rng nu 1x y th VT(1) dng, VP(1) m, khng tha mn. Tng t vi

trng hp 0 1x y cng khng tha mn.

Thy rng 1x y tha mn. Thay vo phng trnh th hai ta c:

22 22 1 3 2 1 11 4 4 3 2 1 9 0x x x x x x

2 5 24 4 15 3 2 2 1 0 2 5 2 3 3. 02 1 2

xx x x x x

x

3 5 3

2 5 2 3 0 2 5 0 12 22 1 2

x x x x y xx

(D thy 3 3

2 3 1 3 332 1 2

xx

do 1

2x )

Vy nghim ca h l 5 3

, ;2 2

x y

Bi 130: iu kin 24 4 9 0, 0x x x y xy v 2 2 0x y x . T phng trnh th nht ta c nhn xt 0y .

Nu 0y thay vo h:

2 904 4 9 08

4 2 2 3 3 4 2 2 3 3

x xx x x

x x x x x x

(v nghim)

Vy ta phi c 0y . Kt hp vi iu kin ta suy ra 0x .

p dng bt ng thc Cauchy ta c:

3 3 4 2 2 2 2 2 6 4 10 8 4 10x x y x x y x x y x y Phng trnh th nht ca h tng ng vi:

24 4 9 2 0x x x y y xy y

2 2 2

2

4 4 90

4 4 9

x y x x y xy y

xy yx x x y y



2

4 4 4 90

4 4 9

x y x y x y x y

xy yx x x y y

28 4 9

04 4 9

x y yx y

xy yx x x y y

Vi 8 4 10x y v 0y th 28 4 9

04 4 9

x y y

xy yx x x y y

nn phng trnh trn

tng ng vi x y .

Thay vo phng trnh th hai ta c:

2 24 3 2 3 3 48 2 9 3 39 42 81 0x x x x x x x x

27 (khng TM) 1 (TM) 1

13x x y

.

Vy nghim ca h l , 1;1x y Bi 131: Nhn thy 0y khng tha mn h nn ta chia hai v ca phng trnh th nht cho

3y v chia hai v ca phng trnh th hai cho 2y ta c:

32

22

3 22

2

3 316 9 2 1 4 4 2 1

316 9 2 1 4 2 14 2 1

x x x x xy y

x x x xx xy

2

2

23 3

3 14 2 1 1

33 1

16 9 8 1

xx x x

yy

yx x

Vy nghim ca h l , 1; 1x y

Bi 132: Xem phng trnh th hai nh l phng trnh n x, tham s y :

2 2 1 02

x x y y

Phng trnh c nghim 2 21

1 4 0 4 4 3 02

x y y y y

3 1

;2 2

y

.

Tng t, ta c c 1 3

;2 2

x

.

Kt hp hai iu trn ta suy ra: 3 1

1 ;2 2

x

v

1 31 ;

2 2y

.

Phng trnh th nht tng ng vi: 3 2

1 12 1 1 12 1x x y y (1).

Xt hm s 3 12f t t t trn 3 3

D ;2 2

.

o hm 2' 3 12 0f t t vi mi Dt . Nh vy hm s f t nghch bin trn D, m phng trnh li c dng 1 1 1 1 2f x f y x y x y .



Thay vo phng trnh th hai ca h ta c:

2 2 2

1 3

1 3 2 22 2 2 4 0

3 12 2

2 2

y x

y y y y y y

y x

Vy h phng trnh c hai nghim l 3 1 1 3

, ; , ;2 2 2 2

x y

( thi i hc Khi A nm 2012) Cch gii khc: T p n ca B Gio dc o to, ta c th rt ra mt kinh nghim nh

gi x , y mt cch nhanh hn l nhm ht 2 2, , ,x x y y cho hng ng thc ri sau

nh gi (nu cha s hng xy th khng lm nh th ny). Lm nh th s rt ngn c thi gian trnh by cng nh s gp t sai st hn. C th nh sau:

Vi phng trnh th hai ta bin i thnh:

2 21 1

12 2

x y

.

T y ta c 1

1 12

x

v 1

1 12

y

.

Mt vn t ra l lm sao c th bit c x 1 = y + 1. chnh l dng phng php h s bt nh, c th ta t x = y + a v bin i v tri phng trnh th nht v:

3 2 3 2 2 3 23 9 22 3 3 3 6 9 3 9 22y a y a y a y a y a y y a a a n y ta phi c v tri bng v phi, iu ny xy ra khi v ch khi:

2

3 2

1 1

3 3 32

3 6 9 9

3 9 22 0

aa

a a

a a a

.

Nh vy nn a = 2, tc l x = y + 2. T y c th bin i x 1 = y + 1 hoc x + 1 = y + 3, a phng trnh th nht v cc hm s khc nhau. Ta cng c th gii h trn bng cch a v h i xng bng n ph t = x. Khi a c h v h i xng loi I, t n ph S = y + t v P = yt.

Bi 133: iu kin 0

, 00

x yx y

xy

.

Lc ny nhn thy hai v c phng trnh th hai ng bc nn ta s phn tch n thnh nhn

t. V thun tin trong qua trnh bin i, ta t , , 0a x b y a b . Phng trnh th hai ca h tr thnh:

4 4 2 2 4 3 3 44 5 2 4 10 5 0a b a b ab a a b ab b (*). Nu b = 0, thay vo phng trnh trn ta c a = 0. Vy tc l x = y = 0, mu thun phng trnh th nht.

Vy b 0. Ta chia hai v ca (*) cho 4 0b ta c:

4 3

4. 10. 5. 1 0a a a

b b b

.

t 0a

t tb

th phng trnh trn li tr thnh:



4 3 24 10 5 1 0 1 2 1 2 4 1 0t t t t t t t 2 6 2 6

1 (TM) 2 (kTM) (TM) (kTM)2 2

t t t t

.

+) Vi 1 1 1a x

t x yb y

.

Thay vo phng trnh th nht: 2 1 1x x x y .

+) Vi 2 6 2 6 2 6 5 2 6

2 2 2 2

a xt x y

b y

.

Thay vo phng trnh th nht: 5 2 6 28 8 6 4 6 6

22 25 25

y y y x

.

Vy h c hai nghim l 4 6 28 8 6

, 1;1 , ;25 25

x y

Bi 134: iu kin: 2x v 2 1y . Phng trnh th nht tng ng vi:

3 2 2 2 2 32 0x x y xy x xy y y

3 3 3 2 2 2 2 0x y x x y xy x xy y 2 2 2 2 2 2 0x y x y xy x x y xy x y xy 2 22 1 0x y x y xy

2 2

2 1 0 2 1

00

x y y x

x yx y xy

Thy rng 0x y khng tha mn iu kin xc nh, loi.

Thay 2 1y x vo phng trnh th hai ta c: 2 4 1 5x x (1)

+) Nu 3

24

x

th 2 2x v 4 1 3 2 4 1 5x x x , mu thun (1).

+) 2x tha mn (1).

+) Nu 2x th 2 2x v 4 1 3 2 4 1 5x x x , mu thun (1), loi.

Nh vy (1) c mt nghim l x = 2 5y .

H c duy nht mt nghim , 2;5x y Bi 135: iu kin , 0x y .

Xt hm s 2 3

22

t tf t trn 0; . Nhn thy rng khi t tng th c 2

2t v 3

2

t u

tng, v th nn f t ng bin trn 0; .

Mt khc phng trnh th hai ca h c dng 72

f x y m ta li c 7

12

f , tc l

phng trnh th hai tng ng vi 1 1x y x y (1).

Vit li phng trnh th nht ca h nh sau:

2

2 2 21

81 1 16 122 3 4 3 2 2 3 2 3 2

yx x yx y x y

(*)



Xt hm s 2 12 3tg t t trn 0; . Mt ln na ta thy khi t tng th c

2 12t v 3 t

u tng, v vy nn g t ng bin trn 0; . Mt khc (*) c dng:

2 2 4g x g y x y x y (2).

Gii h (1) v (2) cho ta nghim

4

5

1

5

x

y

, tha mn iu kin.

Vy nghim ca h l 4 1

, ;5 5

x y

Bi 136: y l mt h phng trnh kh!

iu kin 3 3 2 0x y xy x y .

(+) Nu 0x th 3 3 0, 2 0x y xy x y 3 3 2 0x y xy x y , khng tha mn iu kin. (+) Nu 0x . Phng trnh th nht ca h tng ng vi:

3 33 1 2 0x y x y xy x y x y

23 3

2 3 33 3

210

21

x y xy x y x yx y


2 2 2 2

2 3 33 3

10

21

x y x y x yx y


2 2

2 3 33 3

11 0 *

21

x yx y


D thy rng vi , 0x y th

2 2

2 3 33 3

10

21

x y


nn * 1 0 1x y y x . Do 0y nn 1x . Thay vo phng trnh th hai ca h ta c:

3 2 2 25 2 2 1 4 2 3 1 3x x x x x x x x

3 2 2 25 4 2 2 3 2x x x x x x x (1)

2

3 2 2 25 4 2 2 2 3x x x x x x x (do hai v u dng)

6 5 4 3 2 6 5 4 3 210 33 44 36 16 4 5 16 30 41 33 18x x x x x x x x x x x x 5 4 3 25 17 14 5 17 14 0x x x x x (**)

n y c th nhm c ba nghim p ca phng trnh l 1x , 2x v 7

5x

ri

dng s Hoc-ne chia a thc, th nhng ta c nh gi sau:



Vi 1x th 5 25 5x x ; 417 17x x v 414 14x nn v tri ca phng trnh (**) lun khng m. V vy (**) c mt nghim l 1 0x y . Th li nghim ny tha mn h.


Bi 137: t 2 3a x y v 2 24b xy a b th h phng trnh tr thnh:

22

2 22

10 1101

124 11 2124 1 121

12 10 10

ab

aa b

a aaa b b a a

2 2 2 2

3 2 2 4 3 2

124 1240 10 12 20 100124 10 102 1 1

10 12 10 12

a a a a a aa a

a a a a a a a

4 3 2

4 3 2

4 3 2

30 164 480 12001 20 76 240 600 0

10 12

a a a aa a a a

a a a

(*)

n y ta bt u p dng cch gii phng trnh bc 4. Cch gii ph hp vi bi ton ny

l a phng trnh cho v phng trnh trng phng, tc l t 20

54.1

t a a t

.

Thay vo (*) v rt gn ta c: 4 274 625 0t t 31 6 5 31 6t a .

(+) Nu 5 31 6

5 31 65 31 6

a b

th 2x v 3y l nghim ca phng trnh:

2 26 5 31 6

6 0 5 31 6 05 31 6

t at b t

.

Phng trnh ny c hai nghim l 6 186 5 6

5 31 6t

. T tm c hai nghim ca h l:

6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6

, ; , ;10 2 31 2 6 15 3 31 3 6 10 2 31 2 6 15 3 31 3 6

x y

(+) Nu 5 31 6

5 31 65 31 6

a b

. Tng t ta cng tm c hai nghim l:

6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6

, ; , ;10 2 31 2 6 15 3 31 3 6 10 2 31 2 6 15 3 31 3 6

x y

(+) Nu 31 6 5

5 31 65 31 6

a b

. H c thm hai nghim l:

6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6

, ; , ;10 2 31 2 6 15 3 31 3 6 10 2 31 2 6 15 3 31 3 6

x y

(+) Nu 5 31 6

5 31 66 31 5

a b

. H c thm hai nghim:



186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6 6

, ; , ;10 2 31 2 6 15 3 31 3 6 10 2 31 2 6 15 3 31 3 6

x y

Vy h c tt c 8 nghim l:

6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6

, ; , ; ,10 2 31 2 6 15 3 31 3 6 10 2 31 2 6 15 3 31 3 6

6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6; , ; ,

10 2 31 2 6 15 3 31 3 6 10 2 31 2 6 15 3 31 3 6

6 186 5 6

10 2 31

x y

6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6; , ; ,

2 6 15 3 31 3 6 10 2 31 2 6 15 3 31 3 6

186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6 6; , ;

10 2 31 2 6 15 3 31 3 6 10 2 31 2 6 15 3 31 3 6

Cch gii khc: Qua qu trnh bin i trn th chng ta thy rt phc tp nu c s dng mt cch gii mang sc l a v tng v tch S, P. Cch gii sau y s gip tit kim c thi gian hn: Nhn hai v ca phng trnh th nht vi (2x + 3y) v nhn hai v ca phng trnh th hai

vi ( 2 24 9x y ) ta c:

2 2 2 2

2 2 2 2

2 3 3 210 2 3 2 3 10

*4 9 9 4

124 4 9 4 9 124

x y x yy x x y

x y x yy x x x

t 3

2a xx

v 2

3b yy

th h (*) tr thnh:

2 210

12 12 124

a b

a b

H phng trnh ny d tm c nghim a, b v d th tr li tm x, y. Bi 138: Trc tin ta i tm iu kin xc nh h phng trnh. H ny khng kh,yu cu lm c h phng trnh ny l cn phi nm vng kin thc v logarit.

iu kin 0 , 1 , 0 , 1 , log 0xx x y y y v log 0y x .

Khai thc iu kin log 0x y v log 0y x ta c

, 0;1

, 1;

x y

x y

Xt phng trnh th nht: Thy rng vi x = y th tha mn phng trnh cho. By gi ta s xt x khc y, c th l ta s gi s x < y (do vai tr ca x v y l bnh ng) d trnh by.

(+) Nu 0 < x < y < 1. Lc ny ta c:

0 log 1 log log 0

log 1 log log 0

x x x

y y y

y y

x x

, iu ny mu thun

vi phng trnh th nht ca h. (+) Tng t cho trng hp 1 < x < y, ta cng c iu mu thun.



Nh vy phng trnh th nht ca h tng ng vi x = y.

Th vo phng trnh th hai ta c: 2100 100

lg 4 lg 2 1 1

100 100

x y

x xx y

.

Vy nghim ca h l 1 1

, 100;100 , ;100 100

x y

Bi 139: Ta rt x t phng trnh th hai: (v r rng

khng tha mn phng trnh th hai ca h nn ta c th chia c). Th vo phng trnh th nht ta c:

2 4 3 24 2 4 2

. . . 2 1 6 1 18 19 1 01 1

y yy y y y y y y y y

y y

21 1

1 2 1 9 4 1 0 1 2 1 0 10

2

y x

y y y y y yy x

(tha mn)

Vy h c hai nghim l 1

, 1;1 , 0;2

x y

Bi 140: iu kin 2 64x y . T phng trnh th hai ta rt:

2

2 6 4 23 6 9 27 21y x x x x . Thay vo phng trnh th nht ta c:

2 2

6 4 2 2 2 6 4 29 27 21 64 9 27 21x x x x x x x x (*)

Nhn thy khi 2x tng v tri ca (*) th cng tng (bin 2x ), ngc li v phi ca (*) gim

nn phng trnh (*) c nhiu nht 1 nghim. Mt khc ta thy 2 0x l mt nghim ca (*)

nn (*) 2 0 0x x . Vi x = 0, thay vo h tm c y = 2. Nghim ny tha mn h.

Vy nghim ca h l , 0;2x y Bi 141: iu kin 2 1x . Phng trnh th hai ca h tng ng vi:

24 4 3 3 2 1 2 2 1 1 0x x x x x x

2 2

2 3 2 1 1 0x x x

2 3 0 2 3 01

12 1 1 0

x x x xx

xx

.

Thay x = 1 vo phng trnh th nht ta c: 3 31 3 . 3 1y y .

t 33 3 1 1 3t y t y . Ta c h:

33 3

2 23 3 3

1 31 3 1 3

31 3 3 3

y ty t y t

y t y yt t t yt y y t t y

4 2

1 4 21

yx y y x

y

1y



3

32 2

1 3

1 3 *3 0

y t y t

y yy t y yt t

(d thy 2 2 3 0y yt t )

Ta i gii phng trnh (*) 3 3 1y y . Ta c nhn xt sau:

Nu 3 22 3 . 3 2.1 2y y y y y , tc l iu ny mu thun (*). Vy nn 2y .

Vi iu kin trn th ta c th t 2cos 0;y z z . Lc ny (*) tr thnh:

3 31 1 2 2

8cos 6cos 1 4cos 3cos cos32 2 9 3

kz z z z z z k

Vi iu kin 0;z ta tm c 12

9z

v 2

4

9z

.

T suy ra c 2

cos9

y

hoc 4

cos9

y

.

Vy h c hai nghim l 2 4

, 1;cos , 1;cos9 9

x y

Bi 142: Vi h phng trnh dng ny, s c hai hng tip cn chng: * Hng th nht: t phng trnh th nht rt ra lin h gia x v y ri th vo phng trnh th hai c phng trnh ng cp. * Hng th hai: h cha nhiu cn nn ta ngh ngay n vic nhn lin hp. C th vi h phng trnh ny ta s dng hng th hai (nu i theo hng th nht th s khng c kt qu!). iu kin: 0x y .

(+) Nu y = 0, thay vo phng trnh th hai ta tm c x = 0. Cp s ny khng tha mn phng trnh th nht, loi. (+) Nu y > 0 th phng trnh th hai ca h tng ng vi:

2

2 2 0y x y y x y x

22 2

. 2 02

y x y xy x

y x y y x

2

212 0

2

y xy x

y x y y x

2x y (d thy biu thc trong du ngoc vung lun dng vi y > 0)

Thay vo phng trnh th nht ta c: 2

2 2 2 3 3 3 33 5.6 2 0 5. 4 0 4 12 2 2 2

x x x x

x x x

.

+) Nu 3 3

2 2

34 log 4 log 2

2 2

xx

x y

.

+) Nu 3

1 0 02

x

x y

, khng tha mn, loi.

Vy h c duy nht mt nghim l 3 32 2

, log 4 ; log 2x y



Bi 143: Hng gii dng h phng trnh ny qu quen thuc. l a hai v phng trnh th nht v cng mt hm v o hm rt ra quan h gia x v y. Ngay t u bi cho ta mt gi : x 2 = y 1 1x y (bi v nu 2 1x y th biu thc trong cc php

ly logarit s l mt biu thc theo bin x, sau ta phi dng o hm rt phc tp, phc tp ngay c trong php ly o hm).

iu kin . 2

1 2 0; 0; 01

xy x x y

y

hoc

0 2 , 1

0 1

x x

y

.

a phng trnh th nht ca h v dng: 3 23 23 1 3 1x x y y (1).

Xt hm s 3 23f t t t trn 0 ;2 2; . o hm: ' 3 2f t t t . D thy hm s ng bin trn 2; v nghch bin trn 0 ;2 .

(+) Nu 2 2

1 1 2

x x

y y

. Lc ny (1) c dng 1f x f y vi ; 1 2;x y v

hm s f t ng bin trn 2; nn (1) 1x y .

(+) Tng t cho trng hp 0 2 , 1

0 1

x x

y

, ta cng c 1x y .

Tm li ta c x = y + 1. Th vo phng trnh th hai ta c:

3

3 0 3 1 2x x y x , tha mn iu kin.


Bi 144: iu kin 20; 0; 6 6 0x y x y x x .


2 2 2233 3

6 15 6 156 6 3

yy y

x y x y x y x y x yx x y

H lc ny tr thnh: (I)

6 15

34

x y x y x yy

x y x y

.

Ta t ; , 0a x y b x y a b th (I) l tr thnh:

2 2 2

2 4 3 22 2

4 46 15

4 8 22 15 04 6 15

a b a ba b b

a b b b bb b b

3 2 3 24 4

1 7 15 15 0 1 0 7 15 15 0

a b b a

b b b b b b b b

+) Vi

2

2

9 51 0 1 3

41

x y a xb b a

yx y b

, tha mn h.

+) Vi 0;b , ta xt hm s 3 27 15 15f b b b b . Hm s c o hm: 2' 3 14 15f b b b .

5

' 0 33

f b b b .



Ta c: 5 680

0 15 0 , , 3 243 27

f f f

v limx

f b

nn vi 0;b th ta

lun c 3 27 15 15 0b b b . n y ta khng cn xt trng hp ny na.

Vy nghim ca h l , 5;4x y Bi 145: Nhn thy rng h ny c cha s m kh cao v hn na phng trnh th nht ca

h i xng vi x , y v xut hin cc tng nh 10 10

16 16

2 2,

x yx y

y x

v cc tch xy nn ta

ngh n vic dng bt ng thc. iu kin 0x v 1y .

Vit li phng trnh th nht: 10 10

16 16 4 4 2 2

2 22 6 4 8

x yx y x y x y

y x

(1).

p dng bt ng thc Cauchy:

10 10 10 104 4

2 2 2 22 2.2 4

x y x yx y

y x x y

.

16 16 16 16 2 281 1 1 1 1 1 8 8x y x y x y .

Cng hai bt ng thc cng chiu trn ta c: 10 10

16 16 4 4 2 2

2 22 6 4 8

x yx y x y x y

y x

.

Nh vy VT(1) VP(1), th nn c (1) th ta phi c ng thc hai bt ng thc trn xy ra:

(1)

10 10

2 2 2

16 16

1

1

x y

y x x y

x y

(do 1y ) 1 1

1 1

x x

y y

Th li ta ch thy 1;1 tha mn h. y cng chnh l nghim duy nht ca h.

Vy nghim ca h l , 1;1x y Bi 146: iu kin 1y v 2 4x . Khng kh pht hin phng trnh th nht ca h

l phng trnh ng bc. Tht vy, phng trnh th nht vit li thnh:

2

2 2 3 2 3 4 2 3 2 3x y x y x y x y

4 2 12 2 9 6 2 3 2 6 2. 3 0x y x y y x x x y y

2

3 2 0 2 2x y x y y x . Do 1y nn 1x .

Thay vo phng trnh th hai ca h ta c: 21 4 8 0x x x (*).

Phng trnh ny chng ta khng th x theo kiu t n ph. Nhn thy rng x = 3 l mt nghim ca phng trnh, ta s dng nhn lin hp chng minh l nghim duy nht.

(*) 21 2 9 1 4 0x x x

3 3

3 3 01 2 4 1

x xx x

x x



1 1

3 3 01 2 4 1

x xx x

(**)

Vi 1 4x th 1 1 1 1 1

3 1 3 02 2 21 2 4 1

xx x

nn (**) c

nghim duy nht l x = 3, suy ra y = 5.

Vy nghim duy nht ca h l

Bi 147: iu kin .

Ly phng trnh th nht tr i phng trnh th hai v theo v ta c:

22 4 4 2 4 3 3 23 2 1 2 1 1 2x y x y x x x y y x x x y

2 222 3 24 1 1 1x y x y x y .

Ta c:

22

2 222 3 2

22 3 2

4 1 24 1 1 1

1 1

x yx y x y x y

x y x y

.

Nh vy du ng thc phi xy ra, tc l:

2

3 2

2

1 0

1

0

x y

x y x y

x y

.

Th li thy 1;1 tha mn h phng trnh.

Vy nghim ca h l , 1;1x y Bi 148: iu kin 2 0x y .

Khng kh a phng trnh th hai v dng:

2 2

2 1 1x y x (cng thm vo hai v mt lng l 1x )

2

2 1 12 2

x y xx y x

x y x

(+) Nu 2

02

2

xx y x

y x x

. Thay vo phng trnh th nht ta c:

2 3 2 22 1

2 1 10 28 13 11 30 0 150 (KTM)

13

x y

x x x x x x x xx

(+) Nu 2

22 2

2 3 4

xx y x

y x x

. Thay vo phng trnh th nht ta c:

2 3 2 23 2

2 3 3 10 3 4 28 9 33 18 0 22 (KTM)

3

x y

x x x x x x x xx

Nh vy h c hai nghim l , 2;1 , 3;2x y Bi 149: iu kin 1x .

, 3 ;5x y 2 4 23 2 0x y x y



Vi mi s thc ,a b ta c: 2 22a b a b a b . Du ng thc xy ra 0a b .

Ta thy phng trnh th nht c dng: 22

2 1 2 2 1x y x x y x

nn n

tng ng vi 2 1 2 1x y x y x x .


2

22 1 4 1 17 4 4 1 1 4 1 17x x x x x x x x x x .

24 18 0 2x x x (tha mn) 9

4x

(loi).

Vi 2x th 3y , tha mn h cho.

Nh vy nghim ca h l , 2;3x y

Bi 150: iu kin 2 3 0x y .

Xt hm s 3 7log 2 2logf t t t trn 0; .

o hm:

ln7 ln9 ln811 2' 0 0

2 ln3 ln7 2 ln 21

tf t t

t t t t

(do ln7 ln9 0 v

ln81 0 ).

Ta vit phng trnh (1) li thnh: 3 7log 2 2 3 2log 2 3 0x y x y (*). (*) c dng 2 3 0f x y m 2 3f x y ng bin v 7 0f nn (*) 2 3 7x y . Thay vo phng trnh th hai ta c:

2 3 3 2ln 4 1 3. 2 6 ln 4 1 0x x x x x x x x (**) Xt hm s 3 26 ln 4 1g x x x x x trn .

o hm:

2

22 2 2

22 2

7 11924

8 1 24 14 7 24 24' 3 6 3 3 0

4 1 4 1 1 154

8 16

xx x x

g x x x xx x x x

x

nn g x ng bin trn . Mt khc 0 0g nn (**) 7

03

x y .

Vy nghim duy nht ca h l 7

, 0;3

x y

Bi 151: iu kin 23 0x y .

Khng kh nhn ra phng trnh th nht l phng trnh ng cp:

2

2 2 2 2 2

2

3 23 0 3 3 2 0

3

x y yx y y x y x y y x y y

x y y

(+) Nu 22 2 2

0 03 2

3 4

y yx y y

x y y x y

.

Th vo phng trnh th hai ca h ta c:



4 2

2 2 4 2 212 3 1 0 2 18 6 66

y yy y y y y y y

2 2

2 4 3 24 2 2

18 6 6 0 3 1 0

35 216 395 216 35 02 18 6 6

y y y y

y y y yy y y y

22

2 2

3 1 03 1 0

25 429 13 697 25 7 5 13 5 0

14 10

y yy y

y y y y y y

13 69 119 13 69

10 50

13 69 119 13 69

10 50

y x

y x

(+) Nu 22

03

2

yx y y

x y

. Th vo phng trnh th hai ta c:

24 2 4 2

2 2 4 1 4 13 72 3 2 1 0 4 06 8 16 6

y y y yy y y y

, v l.

Vy h c hai nghim l 119 13 69 13 69 119 13 69 13 69

, ; , ;50 10 50 10

x y

Bi 152: iu kin 0x . Vi iu kin ny th phng trnh th hai ca h tng ng vi:

2 2

2 2 2 2

2

1 22 2 2 1 0 2 1 0 2 1 0

xx y x x y x x y x x y x y

x

.

Thay vo phng trnh th nht ca h ta c:

2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 2 1 1 2 1 1 2

2

1 2 3 1 1 1 12 2 2 2 2 2

2 2 2

x x x x x x

x x x x x xx x

x xx

2 2

2 2 2 2

1 1 2 1 1 22

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 22 2 2 2

22 2 2

x x x x

x x x xx x

xx x x x

(*)

Xt hm s 22

t tf t trn .

Hm s c o hm 1

' 2 ln 2 02

tf t t nn f t ng bin trn . Mt khc (*)

c dng 2

2 2

1 1 2x xf f

x x

nn (*)

2

2 2

1 1 22

x xx

x x

(do 0x )

3

4y

.

Vy nghim ca h l 3

, 2;4

x y

Bi 153: t 22 , 2 , 0x ya b a b . Ta c nhn xt sau: 3 316 2. 2a a .

H phng trnh tr thnh:

3 2

3 2

2 16 1

2 16 2

a b

b a



Ly (1) tr i (2) v theo v ta c:

3 3 2 2 2 22 0 2 2 0a b a b a b a b ab a b

2 2 2 2 0

a b

a b ab a b

(+) Nu a b , thay tr li (1) ta c:

3 2 2 21

2 16 2 4 8 0 2 2 2 2 1

2

x y

x

a b a a a ay

(+) Nu 2 2 2 22 2 0 2 2 0a b ab a b a b a b b . a tn ti th ta phi c

2 22

2 4 2 0 23

a b b b b

. Tng t ta c 2

23

a

.

Nh vy 3 3

3 2

2 2

2 8, 0;2 2 16

2 2.2 8

aa b a b

b

(*).

Mt khc bi ra li cho du bng (*) xy ra, tc l 2a b ( gii trn).

Vy nghim ca h l 1

, 1;2

x y

Bi 154: iu kin 3 4 0 0x x x . Bin i phng trnh th nht ca h:

2 2 3 2 22 4 8 0 2 4 2 0 2 0x xy xy y x x y y x y x y x y 2x y (do 2 0x y ).

Thay vo phng trnh th hai ca h ta c phng trnh n x :

2

23 3 2 21

4 1 1 3 3 4 0 4 3 4. 2 03

xx x x x x x x x x

2 24 4 2 0x x x x 2 2

2 2

22

4 44 4 4 4 0 2 1

4 44 2

x x x xx x x x x y

x xx x

.

Vy nghim ca h l , 2;1x y Bi 155: iu kin 2y .


3 25

9 3 6 3 9 1 3 6. 3 53

x x y y x x y y

(*).

Xt hm s 2 1f t t t trn . o hm 2' 3 1 0f t t t nn hm s ng bin

trn . Mt khc (*) li c dng 3 3 6f x f y nn n tng ng vi:

2 2

0 03 3 6

9 3 6 3 2

x xx y

x y y x

Th vo phng trnh th hai ra c:



2

2 2 2 2 3 22 3 4 2 3 4 2 2 4 0x x x x x x x x x x (**).

Vi 0x th 3 22 2 4 0x x x nn (**) 0 2x y . Vy, h cho c mt nghim l , 0;2x y Bi 156: Biu thc trong cn vit li thnh 2 1 1 0x y m 0x nn 1 0y . Phng trnh th nht ca h tng ng vi:

2 1 2 1. 1 2 1 0 2 1 1 2 1 2 1 0x x y y x y x y 2 1 1 0x y (v 0x nn 2 1 2 1 0x y ) 2y x (1).

Phng trnh th hai tng ng vi: 3 33 33 1 3 1 8 3 1 3 1 8 2y y x y y y x x (*).

Xt hm s 3f t t t trn . Hm s c o hm 2' 3 1 0f t t t nn f t

ng bin trn . Mt khc phng trnh (*) li c dng 3 3 1 2f y f x nn phng trnh (*) 3 3 1 2y x (2).

Kt hp (1) v (2) ta c h

3

33

222 3 1

8 6 1 32 6 12

y xy xx y

x xx xy x

By gi ta i gii phng trnh (3). Nhn xt rng nu 1x th 3 28 6 8 6 2x x x x , mu thun vi phng trnh (3). Vy ta phi c 0 1x .

Vi iu kin trn th ta c th t cos 0;2

x t t

. Lc ny (3) tr thnh:

3 31 1 1

8cos 6cos 1 4cos 3cos cos3 22 2 3 3

t t t t t t k k

Vi 0;2

t

th ta tm c cos 2cos

9 9 9t x y

.

Vy nghim ca h l , cos ; 2cos9 9

x y

Bi 157: iu kin 2x + 3y 1 v 3 3 0x y .

Vi iu kin trn th phng trnh th nht ca h ta s dng php nhn lin hp:

32 3 3 1x y x y (1)

33

2 3 31

2 3 3

x y x y

x y x y

3 32 3 3 2x y x y x x (2).

Ly (2) tr i (1) v theo v ta c: 3 3 3 32 3 2 1 4 3 4 2 2x y x x x y x x (3).

Ly (1) cng vi (2) v theo v:

3

3

6 4 3 2

2 1 *2 2 3 2 1

4 2 3 4 2 4 4 1

x xx y x x

x y x x x x x

(4).

Bin i phng trnh th hai ca h thnh:



3

2 324 29 4 2 3 2 4 3x x y x x y (5).

Th (3), (4) vo (5) ta c phng trnh:

3

6 4 3 2 2 324 29 4 2 4 4 1 2 4 2 2x x x x x x x x x

4 2 22 8 24 18 0 2 1 3 2 3 0x x x x x x x 1 3x x (tha mn (*))

+) Nu x = 1, thay vo (4) ta c: 1

4 2 3 43

y y

. Th li thy cp s ny tha mn.

+) Nu x = 3, thay vo (4) ta c: 127

4 3 6 4843

y y . Cp s ny cng l nghim

ca h phng trnh.


, 1; , 3;3 3

x y

Bi 158: iu kin xc nh x y v 2x .

Vi bi ton ny chng ta s ng dng mnh php nhn lin hp. u tin ta xt: TH1: 2 2x y x y . Thay vo phng trnh th nht tm c 3x . Vy nhng vi

cp s x = 3, y = 2 li khng tha mn phng trnh th hai, loi. TH2: Vi 2 2x y x y . Thc hin php nhn lin hp phng trnh th nht:

2 22 2 (1) 2 2 (2)

22

x y x yx y x x y x

x y x

Ly (1) tr i (2) v theo v ta c:

2

2

222

2 2 232 2 4 362 4 2

2

yyy

x yx y yx

(3).

Ly (1) cng vi (2) v theo v ta c: 6

2 4 62

yx y x y y

(4).

Th (3) v (4) vo phng trnh th hai ca h:

2 26 2 4 36 44 14 72 100 2y y y y y y y (tha mn). Vi y = 2, thay tr li (3) ta c 3x . Th li thy , 3;2x y l nghim ca h.

Vy nghim ca h l , 3;2x y Bi 159: iu kin , 0x y .

Vi iu kin ny th phng trnh th nht ca h tng ng: 2

2 3

2

13 2 log

yx x

y

.

Ta thy v phi ca phng trnh ny VP 2 2

2log log 2 1

y

y

nn ta cng phi c v phi

ln hn hoc bng 1, tc l:

2 22 3 3 23 2 1 2 3 1 0 2 1 1 0 1 0 1x x x x x x x x (do x > 0).

Thay tr li phng trnh th nht ta c:



2 2

2

2

1 1log 1 2 1 0 1

y yy y

y y

.

Th li thy 1;1 l nghim ca h.

Vy nghim ca h l , 1;1x y Bi 160: iu kin 2 3 2 , 5 , 2 4x y x y x y .

Bi ton ny mt ln na li s dng ng dng ca php nhn lin hp. Trc ht, ta thy rng mun php nhn lin hp c ngha th ta phi c iu kin sau:

2 2 3 2 5 0x y x y . Vy nn ta i xt hai trng hp:

TH1: Nu 2 2 3 2 5x y x y . Kt hp vi phng trnh th nht ca h ta c:

4298172 32 2 3 2

16162

7 313295

2 164

xx yx y

x y yx y

, khng tha mn 2 4x y , loi.

TH2: Nu 2 2 3 2 5 0x y x y . Lc ny ta thc hin nhn lin hp:

2 2 3 2 5 7x y x y (1)

4 2 3 2 5 9 13 137 2 2 3 2 5

72 2 3 2 5

x y x y x yx y x y

x y x y

(2).

Ly (1) tr i (2) v theo v ri rt gn ta c: 62 9 13

514

x yx y

(*).

Phng trnh th hai ca h:

3 5 2 2 4 1x y x y (3)

9 5 4 2 41 3 5 2 2 4 17 13 61

3 5 2 2 4

x y x yx y x y x y

x y x y

(4).

Ly (4) cng vi (3) v theo v v rt gn ta c: 17 13 62

56

x yx y

(**).

T (*) v (**) ta suy ra 62 9 13 17 13 62 62 23

14 6 13

x y x y xy

.

Thay vo (3) ta c phng trnh n x nh sau:

3 10 3 10

3 . 2. 1 3 10 3 2 3 10 1313 13

x xx x

9 10 3 4 3 10 13 4 13 3 10 39 13 2 13 3 10x x x x x

2 2

39 13 0 3 11 3

117 90 27 039 13 4.13. 3 10

x xx y

x xx x

.

Th li thy x = 1 v y = 3 tha mn h.

Vy nghim ca h l , 1;3x y Bi 161: iu kin , 0x y v 2 2x y .

Phng trnh th nht ca h vit li thnh:



4 4 2 2 1 15 5

1 log logx y x y x y

(*).

+) Nu 0x y th suy ra

4 4

1 1

5 5

log log

x y

x y

VT(*) > 0, VP(*) < 0, khng tha mn.

+) Nu 0y x , tng t trn ta cng c iu mu thun.

+) Thy rng x = y tha mn (*) (lc ny VT = VP = 0). Vy, (*) tng ng vi x = y. Thay vo phng trnh th hai ta c:

2 1 1 2 2 1 2 1 2 2x x x x x x x (**).

Xt hm s 2f t t t trn 0; . Hm s c o hm ' 2 1 0 0;f t t t nn f t ng bin trn 0; . Mt

khc phng trnh (**) c dng 2 1 2f x f x nn n tng ng vi: 2 1 2 2 1 2 1 1x x x x x y .

Vy h c nghim duy nht l , 1;1x y

Bi 162: iu kin 5

, 04

x y .

Phng trnh th nht ca h tng ng vi: 22 332012 ln 2012 ln

y yx x x y (*).

Xt hm s 2 32012 lnt tf t t trn 0; .

Hm s c o hm: 2 3 1' 2 3 .2012 .ln 2012 0 0t tf t t t

t

. Vy nn f t ng

bin trn 0; . Mt khc (*) c dng 5

4f x f y x y .

Thay vo phng trnh th hai ca h ta c:

2

2 22 5 4 5 4 2 5 4 5 4 0x x x x x x x x

5 4 2 5 4 0 5 4 0x x x x x x (do 2 5 4 0x x ) 2

1 15 4 5 4 0

4 4

x yx x x x

x y

Vy h c hai nghim l , 1;1 , 4;4x y Bi 163: iu kin 1x y v 3 2x y .

Bin i h phng trnh thnh: (I)

1 1 2 3 2 16

3 2 3 2 2 1 16

x y x y x y

x y x y x y

Tr v theo v hai phng trnh ta c:

1 1 3 2 1 2 3 2 2 1 0x y x y x y x y x y x y

1 1 2 3 2 3 2 2x y x y x y x y (*) Nhn thy rng nu 1 0x y th thay vo (I) ta c:



32 3 2 16 3 2 8

3 2 4 43 2 3 2 16

x y x y

x yx y x y

, mu thun.

Suy ra 1 0x y . Tng t ta cng c 3 2 0x y . Tip tc nh gi. Ta c:

+) Nu 1 4 1 2 0x y x y v 1 1 8x y x y .

Kt hp vi (*) ta c 3 2 2 0 2 3 2 8x y x y .

Nh vy ta c 1 1 2 3 2 8 8 16x y x y x y , mu thun phng trnh th nht ca h, loi. +) Nu 0 1 4x y , tng t trn ta cng c iu mu thun.

+) Vi 1 4x y th thay vo h (I) ta tm c 3 2 4x y . Tip tc gii h bc nht hai

n ta tm c 1

2x v

9

2y .

Vy nghim ca h l 1 9

, ;2 2

x y

Bi 164: Khng kh nhn ra y l mt h ng cp.

lm bi ton gn hn ta t n ph 2a x xy v 2 2b y 2b th h tr thnh:

4 4 4

44 4

33

1781 17. *

a bxa b x

a b xa b a b

By gi ta i gii quyt phng trnh (*) v n l mt phng trnh ng cp vi a , b.

(*) 44

44 4

481 17 0 81 1 17 1 0

a aa b a b

b b

(do b > 2)

t a

tb

th phng trnh trn tr thnh:

44 4 3 281 1 17 1 0 64 68 102 68 64 0t t t t t t

2 12 2 1 32 46 32 0 22

t t t t t t (d thy 232 46 32t t > 0).

+) Nu t = 2 th 2 22 2x xy y . Kt hp vi mt phng trnh ca h ta c:

2 22 2 2 2

222 2

2 22 2 2 0 2

223 2 32 3

x xy yx xy y x y x y

x yx xy xy xx xy y x

2

2 2 3

0 12 2

x y x x

y yy y

+) Nu 1

2t th 2 22 2y x xy . Kt hp vi mt phng trnh trong h ban u ta c:

22 2

222 2

2 2 12 2

2 23 32 3

y x x y x yy x xy

y x x yx xy xx xy y x

(d thy x khc 0)



2

1 1 3

0 22 2 2

x y x x

y yy y

Vy h c 4 nghim l , 1;0 , 2;0 , 3; 1 , 3; 2x y Bi 165: iu kin 2 1x y v 3 1x y .

Cng cho hai v ca hai phng trnh trong h ta c:

2 1 2 1 5 5 3 3 1 3 1 8 9x y x y x y x y x y x y

2 1 2 1 6 3 1 3 1 3 9x y x y y x y x y x

2 1 2 1 3 2 1 3 1 3 1 3 3 1x y x y x y x y x y x y (*)

Xt hm s 3 23f t t t trn 0; . Hm s c o hm 2' 3 6 0f t t t vi mi 0;t nn hm s f t ng bin trn

0; . Mt khc (*) c dng 2 1 3 1f x y f x y 2 1 3 1x y x y . Vit li phng trnh th nht ca h:

2 1 2 1 4 2 1 3 1 4x y x y x y x y

2 1 2 1 3 2 1 4x y x y x y (**).

Phng trnh (**) li c dng 2 1 4f x y vi f t ng bin trn 0; , m ta li

c 1 4f nn (**)

2

2 1 1 52 1 1 3 1

3 1 1 6

5

xx y

x y x yx y

y

Vy nghim ca h l 2 6

, ;5 5

x y

Bi 166: iu kin 2y v 2 1 0x .

Bin i phng trnh th nht ca h thnh: 22 4 1 1 2x x y y (*). Xt hm s 2 1f t t t trn . Hm s c o hm 2' 3 1 0f t t nn hm s ng bin trn .

Mt khc (*) li c dng 20

2 2 2 24 2

xf x f y x y

y x

Thay vo phng trnh th hai ta c: 24 2 1 1x x (**).

Ta thy rng vi 0x th v tri ca (**) ln hn hoc bng 1, v du ng thc xy ra khi 0 2x y .

Vy h c nghim duy nht , 0;2x y

Bi 167: iu kin 0x y v 2 4 0x xy . u tin, ta nn x l phng trnh th hai

ca h. t 2a x xy th phng trnh th hai ca h tr thnh:

2

2

4 524 52 45 45

4 52

aa a a x xy

a a

(*).



D thy rng phng trnh th nht ca h l phng trnh mt n, v hn na n cn l phng trnh ng cp. C th dng cch quy ng x l phng trnh th nht.

t 2 2

2 20

x x yt t

x x y

th phng trnh th nht tr thnh:

21 17 14 17 4 0 44 4

t t t t tt

.

+) Nu 2 2 2 2 2 2

2 2 2

04 4 5 3

25 9

xt x x y x x y x y x

x y x

2 2

00

416 25

5

xx

xyx y

Kt hp vi phng trnh (*) ca h ta c:

2 2 2

0 0 0

5 154 4 4

4 125 5 5

45 945 45

5 5

x x x

x xx x xy y y

y y

x xy x x

+) Nu 2 2 2 2 2 2

2 2 2

014 5 3

25 94

xt x x y x x y x y x

x y x

Gii tng t trn ta c hai nghim l 5

4

x

y

v

15

12

x

y

.

Vy nghim ca h l , 5;4 , 5; 4 , 15; 12 , 15;12x y Bi 168: Phng trnh th nht ch l mt bin dng ca mt dng rt quen thuc m ta tng lm qua nhiu. Vi iu kin 0y th phng trnh th nht tng ng:

2 16

2 16 4 02

x yx y x y

x y

4 2 4

2 4 2 4 02

xy x yx y x y

x y

4

2 4 2 4 02

x yx y x y

x y

22 4 0 1

4 8 4 0 2

x y

x y x y

By gi ta phi tm cch chng minh (2) khng xy ra. Nh vy th nu ta chng minh x > 0 l tha thy (2) v l.



(2) 2 24

yy x x . Thay vo phng trnh th hai ta c:

3 2 3 23

32 3 3 . 3 6 12 4

4

yx x x x x (*)

Xt hm s 3 23 6 12f x x x x trn ;0 . o hm 2' 3 6 6f x x x .

Ta c ' 0 1 3f t x . Ch c nghim 1 3 ;0x . y cng chnh l im cc i ca hm s trn ;0 .

Vy 3 23 6 12 1 3 6 3 20 0f x x x x f . Kt hp vi 0y , ta suy ra vi x khng dng th VT(*) < 0, khng tha mn 0x . Li thy vi x > 0 th VT(2) > 0 (do 0y ). Vy (2) khng th xy ra.

Rt cuc phng trnh th nht tng ng: 2 4 0 4 2 2x y y x x .


3 2 3 3 3 3 23 32 3 3. 6 4 6 3. 6 3 6 4x x x x x x x x x x x

33 336 3. 6 1 3 1x x x x x x (**). Xt hm s 3 3g t t t trn . D thy rng khi t tng th g t tng nn g t ng bin.

Mt khc (**) c dng 3 33 36 1 6 1g x x g x x x x (***). (***) 33 3 26 1 2 3 3 1 0x x x x x x (3). Ta gii phng trnh ny trn 0;2 . Dng my tnh bm nghim thy rng n ch c duy nht mt nghim thc > 2 nn ta s chng minh (3) v nghim trn 0;2 . Xt hm s 3 22 3 3 1h x x x x trn 0;2 .

o hm: 2' 6 6 3h x x x . Ta c: 1 3

' 02

h x x

. Ch c 1 3

0;22

x

.

Li c 1 3 6 3 3

0 1 0, 02 2

h h

v 2 3 0h chng t 0h x , tc l

(3) v nghim.

Vy h phng trnh cho v nghim

Bi 169: Nhn nhn thy bc v tri ca phng trnh th nht l 2, ca v phi phng trnh

th nht l 1

2, ca v tri phng trnh th hai l

3

2 v bc ca v phi phng trnh th hai l

bc 0 nn ta ngh n vic gii h theo kiu ng cp. iu kin 0x y v x y .

bi ton tr trn n gin v gn gng, ta t 2

x ya

v , 0

2

x yb a b

. Suy ra

2 2x a b v 2 2y a b .

Lc ny h cho tr thnh:



2 2 2 2 2 23 3

4 2. 2 24

9

a b a b a b a b a b

a b

2 23 3

2 12

9

a b a b a b ab

a b

(t phng trnh th hai d thy a + b > 0)

3 2 2 3 3 33 2 2 33 3 3 3

9 2 2 122 2 12

9 9

a a b ab b a ba a b ab b

a b a b

3 33 3

2 23 2 2

99

3 2 2 5 06 9 9 30 0

a ba b

a b a ab ba a b a b

2 2

3 3 3 3

2 0 2 5 0I II

9 9

a b a ab b

a b a b

D thy c h (II) v nghim do

2 22 2 92 5 0 2 0 0

4 2

b ba ab b a a b

,

khng tha mn 3 3 9a b .

Gii h 2 5

(I)1 3

a x

b y


Bi 170: iu kin 2 2 0x y .

H ny kh th v. Vi nhn xt rng 3

5 v

4

5 c tng bnh phng l 1 (ci ny hay gp trong

gii phng trnh lng gic m!) nn ta c bnh phng n ln xem sao. H cho ta bin i thnh h phng trnh h qu sau:

22 2

2 22 2 2 2 2 2

2 222 2 2 22 2

22 2

1 9

25 1 11

1 16

25

x y

x y x y y x

x y x yy x

x y

2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 4 2 2

2 2 22 2 2 2 2 2

2 21 1

x y x y x y x x y y x y y x x y

x y x y x y

2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2

2 2 22 2

11 1 1

x y x y x y x yx y x y

x yx y

2 2 2 2 2 2 21 0 1 1 0 1 0 1x y x y x y y y . (t h cho d thy rng 21 0x ).



+) Nu y = 1, thay vo h ban u ta c: 22

2 2

2

2 3

3 10 3 01 53

1 4 9 0

1 5

x

x xxx

x x

x

.

+) Nu y = 1, thay vo h ban u: 22

2 2

2

2 3

3 10 3 0 11 5

31 4 1 9 0

1 5

x

x xxx

x x

x

.

Nh vy h cho c hai nghim l 1

, 3;1 , ; 13

x y

Cch gii khc: T h ta c xy khc 0.

Nhn hai v phng trnh th nht vi x : 2 22 2

1 3

5

x y x

x y

(1).

Nhn hai v phng trnh th hai vi y : 2 22 2

1 4

5

y x y

x y

(2).

Ly (1) tr i (2) v theo v ta c: 2 2 2 22 2 2 2

1 1 3 4 3 40

5 5 5 5

x y y x x y x y

x y x y

.

n y th cng vic kh d dng! Bi 171: iu kin 0x y , 3 2 0x y v 1x .

C th nhn thy ngay phng trnh th nht ca h l phng trnh n t = x + y. Ta s dng

php nhn lin hp gii quyt phng trnh ny. Vi vic nhm nghim 1

2x y th ta s

nhm cc s hng phng trnh th nht ca h nh sau:

24 1 3 1 0x y x y x y

2 2 12 2 1 2 2 1 0

3 1

x yx y x y

x y x y

12 2 1 2 2 1 0 2 2 1

3 1x y x y x y

x y x y

.

(d thy vi x + y khng m th biu thc trong du ngoc vung lun dng) Thay vo phng trnh th hai ca h ta c:

2

4 2 22log 1 log 1 4 log 1 log 1 4x x x x (do 1x )

221 2 5

log 1 2 1 2 32 2

xx x x y

Vy nghim ca h l 5

, 3;2

x y

Bi 172: iu kin 0x . Phng trnh th hai ca h tng ng vi:



33 23 26 12 8 8 2 2 2 2 2 4y y y x x y x y x y x .

Th vo phng trnh th nht ta c:

2 23 34 12 3 80 144. 3 3 20 36.x x x x x x (*) Nhn thy rng nu lp phng hai v ca (*) th s c mt phng trnh bc rt cao (bc 9). Nu chuyn v ri o hm th cng khng kh thi do ta khng nh gi c o hm dng (hay m) hon ton. V vy vic nhm nghim x = 1 nhn lin hp s pht huy hiu qu hn c trong trng hp ny.

(*) 2 3 23 33 3 16 36 1 3 3 7 36 1x x x x x x x

2 22 23 33 3

36 1 361 4 7 1 4 7 0

1 1

xx x x x x x

x x x x

2 23 3

1

4 7 1 36 **

x

x x x x

Vic ca chng ta l i x l (**). Cng vic cng kh n gin, vi 0x th ta thy khi x tng

th hm s 2 23 34 7 1f x x x x x cng tng, do (**) c nhiu nht mt nghim. Ta thy x = 1 l mt nghim ca (**), v cng l nghim duy nht ca (**). Nh vy vic gi phng trnh n x cho ta x = 1, suy ra y = 4.

Vy h c nghim duy nht , 1;1x y

Bi 173: iu kin , 0x y v 2 0xy x y xy . Cng t vic nhn xt phng trnh th nht c cha qu nhiu du cn nn ta ngh ngay n

vic s dng php nhn lin hp x y v 2xy x y xy y

, nhng iu

kin cha (phi c 0x y ) nn ta phi xt thm trng hp y = 0.

Vi y = 0, thay vo h ta c 22

02 0

1 41 4

xx x

x x xx x x

, r rng mu thun.

Vy y khc 0. By gi ta hon ton c th thc hin php nhn lin hp:

2 2 0xy x y xy x y y xy x y xy y x y

2 20

2

xy y x y xy x y

x yxy x y xy y

20

2

x y y xy x y

x yxy x y xy y

.

2 1

0

2

x y

y xy

x yxy x y xy y

+) Nu x = y, thay vo phng trnh th hai ta c:

2 2 2 3 21 4 1 3 4 2 3 4 0x x x x x x x x x x x



21 4 0 1x x x x (tha) 1 172

x

(tha) 1 17

2x

(loi).

Vy trng hp ny h c hai nghim l 1;1 v 1 17 1 17

;2 2

.

+) Ta s i chng minh

2 10 *

2

y xy

x yxy x y xy y

khng xy ra.

Tht vy, phng trnh th hai tng ng vi: 24

1y xy x x

x

.

Xt hm s 24

1f x x x

x

trn 0; .

o hm

2 2

2 2 2

1 2 5 52 1 1 44' 2 1

1 1 1

x x xx xf x x

x x x

.

Ta c: 2' 0 1 2 5 5 0 1f x x x x x . Qua im x = 1, 'f x i du t m sang dng nn x = 1 l im cc tiu ca th hm s

f x . Tc l vi 0;x , ta c 1 2 2 2 0f x f y xy y xy .

Nh vy, ta c

2

0

2

y xy

xy x y xy y

m

10

x y

nn (*) khng xy ra.

Vy h c hai nghim l 1 17 1 17

, 1;1 , ;2 2

x y

Bi 174: iu kin 2

5 ,3

x y v 3y x .

t 3a y x v 1 0, 0b y a b th 2 23 3 1 3 3b a y y x x nn phng trnh th nht tr thnh:

2 2 2 23 2 2 3 0 3 0 0b a ab a ab b a b a b a b a b . (d thy vi b dng th a + b > 0)

Nh vy 3 1 2 1a b y x y x y .

Thay vo phng trnh th hai ta c: 23 2 2 2 3 2y y y y (*).

Nhn thy (*) c nghim y = 2 nn ta s s dng php nhn lin hp x l (*) nh sau:

(*) 2 4 2

2 2 1 2 2 1 03 2 2 3 2 2

yy y y y

y y y y

2

2 1 3 2 2 2

y

y y y

+) Nu y = 2 suy ra x = 3.

+) Vi 2

3y th r rng 2 2 14 62 1 3 2 2 2. 1 . 2 2

3 3 9y y y

.



Nh vy, h c nghim duy nht l , 3;2x y Bi 175: iu kin 1 x , 1 y v 0xy .

T phng trnh th nht nhn xt rng 0x , t suy ra x , y 0;1 0 1xy . Ta thy phng trnh th hai c dng c bit m ta tng gp. Ta s dng bt ng thc rt ra x = y nh sau:

2

2 21 1 1 1 1 11 1 21 1 1 11 1 x y x yx y

(*)

n y ta s chng minh: 1 1 4

2 11 1 1x y xy

(vi 0 1xy ).

Tht vy

2 21 1 2 2 1 11 1 1

x yxy x y x y

x y xy

2 2 2 2 2 2x y xy x y xy x y xy

2 2

2 2 0 0x y xy xy xy x y x y xy x y .

2

1 0x y xy , iu ny ng do 2

0x y v 0 1xy .

Vy, 1 ng. Kt hp vi (*) suy ra 2

1 1 4

1 1 1x y xy

.

Ly cn hai v ta c :1 1 2

1 1 1x y xy

.

Du ng thc xy ra 1xy

x yx y

(do 0 < x , y 1).

Vy phng trnh th hai ca h tng ng vi 0x y , 1x . Thay vo phng trnh th

nht ta c: 2 21 1 1 2 1x x x (**). S kh phc tp nu ta bnh phng kh cn v t n ph 21a x cho phng trnh va nhn c. Nhng nu c mt vn kha kh gii phng trnh v t th s nhn thy bi ton ny s n gin nu dng php lng gic ha.

Vi iu kin 0 1x , ta t 2 2sin 0; 1 cos cos2

x t t x t t

(do 0;2

t

nn cost > 0). Lc ny phng trnh (**) tr thnh:

23

1 cos sin 1 2cos 2cos sin sin2 2 cos 2.sin .cos2 2 2 2

t t t tt t t t t

3 2cos 0 sin

2 2 2

t t

4

2 46 2 3

kt k t k t k



Vi 0;2

t

, ta tm c hai nghim tha mn l

1

2

1sin

6 6 2

sin 12 2

t x y

t x y

Vy h c hai nghim tha mn l 1 1

, 1;1 , ;2 2

x y

Lu : giai on bin i 1xy

x yx y

, y c mt cht rt gn. Bin i y ca

n l 1 1xy x y

x yx y

. n y c th thy x = y = 1 l nghim ca h.

C th gii phng trnh bng cch bnh phng: 2

2 2 21 1 1 2 1x x x .

t 21 0 1a x a th phng trnh trn tr thnh:

22 4 3 2 21 1 1 2 4 4 3 3 0 1 4 3 0a a a a a a a a a a . T y cng d dng tm c nghim ca phng trnh. Bi 176: iu kin 1y v 1x .


2

2

5 5

25 21

212 551

42

x x

y x

y x xy x

Th vo phng trnh th hai ta c:

2 221 35 2 3 1 5 6 2 3 1 04 4

x x x x x x x x

3 2 2 3 1 0 3 2 2 1 0x x x x x x x (*)

Vi 5

2x th 2 0 2 2 1 0x x x . Nh vy (*) 3x (tha mn)

3

4y

.

Vy h c nghim duy nht 3

, 3;4

x y

Bi 177: Cc biu thc trong cn u dng. Cng hai phng trnh ca h v theo v ta c:

2 2 2 2 23 4 2 3 3 2 6 3 1 3 7 7 2y x y x y y x x x

2 2 2 2 2 23 2 6 3 3 2 6 3 7 7 7 7y y x y y x x x (*). Xt hm s 2f t t t trn 0; . Hm s c o hm ' 2 1 0 0;f t t t nn f t ng bin trn 0; .

Mt khc (*) c dng 2 2 23 2 6 3 7 7f y y x f x nn (*)

2 2 2 2 23 2 6 3 7 7 3 4 2 1 0y y x x y x y .



Kt hp vi phng trnh th hai ca h ta c:

2 2

2 22 2

3 2 03 4 2 1 0

3 4 2 1 03 4 3 3 1 0

y xy x y

y x yy x y x

2 22

3 2 3 2

23 30 7 03 3 2 4 2 3 2 1 0

y x y x

x xx x x

1

1

x

y

(tha mn iu kin)

7

23

25

23

x

y

(tha mn)


, 1; 1 , ;23 23

x y

Bi 178: iu kin 0y v 4 3x .

Vi bi nh trn th ta ch nh c phng trnh th hai trc:

23 3 5 3 2 3 10 3 15 0y y x x y y xy x 5 2 3 5 0 5 3 2 0y y x y y y x

3 2 0y x (do y + 5 > 0) 2

3

yx

. T y cn suy ra

17

4y do

3

4x .

Th vo phng trnh th nht ca h ta c: 24 17

2 11 173 3

yy y y (*).

Nhn thy rng phng trnh (*) s tr nn rt phc tp nu ta bnh phng loi b du cn. Vy nn ta ngh ngay n vic nhn lin hp (v n cha n hai du cn). Th lin hp hai s hng cha cn ny ta thy ngay c nhn t chung, v vy ta lm nh sau:

(*) 24 17

2 11 17 03 3

yy y y

2

4 17

3 32 11 17 0

4 17

3 3

yy

y yy

y

21

17 2 11 0 17 0 17 53 12 51

y y y y xy y

.

(d thy vi 17

4y th biu thc trong du ngoc vung lun dng).

Vy nghim duy nht ca h l , 5;7x y Bi 179: iu kin 0, 0x y .

Vi iu kin trn ta c nh gi sau:

+) Nu x > y > 0 th

3 3

3 3

227 227227 227 0

log loglog log 134 4 0

134 4 0

x y

x y

y xy x xy

xy

, iu ny mu thun

phng trnh th hai ca h nn loi. +) Tng t vi trng hp y > x > 0, ta cng loi.



Thy rng vi x = y th tha mn phng trnh th hai. Vy phng trnh th hai ca h tng ng vi x = y > 0.

Thay vo phng trnh th nht ta c: 2 23 1 9 6 2 1 4 16 1x x x x x x .

2 23 1 3 1 1 3 1 4 16 1 4x x x x x x (*).

Xt hm s 2 1f t t t t trn 0; . Hm s c o hm:

22

' 1 1 01

tf t t

t

vi mi 0;t nn f t ng bin trn 0; .

Mt khc (*) c dng 3 1 4 3 1 4 1f x f x x x x (tha mn) 1y .

Vy h c duy nht mt nghim l , 1;1x y Bi 180: iu kin 1 3y .

Phng trnh th nht ca h tng ng vi: 332 2 1 1y y x x (*).

Xt hm s 32f t t t trn . Hm s c o hm 2' 6 1 0f t t t nn hm s ng bin trn . Mt khc (*) li c dng 1 1f y f x y x . Thay vo phng trnh th hai ta c:

2

292 3 1 2 2 4 4 2 2 2 4 9 164

xx x x x x

22 2

16 2 4 2 4 16 2 2 4 9 16

x

x x x x x

2 22 22 22 2

9 32 8 2 8 2 0 (**)9 8 32 16 8 2 0

xx

x x xx x x

+) Nu 2 2 22 2 4 8 2 9 32 4 22 8 2 0 2 8 2

32 02 0

x x xx x x x x

xx

.

Thay vo (**) thy khng tha mn.

+) Nu 24 2

2 8 2 03

x x x

, lc ny ta c th thc hin php nhn lin hp:

(*)

2

2 2

2 2

8 9 32 89 32 0 9 32 1 0

2 8 2 2 8 2

xx x

x x x x

2

2

9 32 0 (1)

2 8 2 8 0 (2)

x

x x

Gii (1) ta c 4 2 3 4 2

13 3

x y x

(loi 4 2

3x

).

Vi 2 2x th x + 8 > 0 nn 22 8 2 8 0x x , v vy (2) khng th xy ra.

Vy nghim ca h l 4 2 3 4 2

, ;3 3

x y



Ch : Vi nhng ai khng cn thn nu khng xt trng hp 22 8 2 0x x th s rt d

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Hệ Phương Trình - Phần 2