10/11/2019

1

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

CHƯƠNG 2

10/10/2019 1

NỘI DUNG

Hệ phương trình, dạng ma trận, nghiệm

Giải hệ bằng phương pháp khử Gauss

Giải và biện luận hệ Cramer

Hệ phương trình thuần nhất

Ứng dụng

10/10/2019 2

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Dạng tổng quát

aij gọi là các hệ số

bj: hệ số tự do

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

...............................................

...

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

10/10/2019 3

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Dạng ma trận

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

...

...

...................... ... ...

...

n

n

m m mn n m

a a a x b

a a a x b

a a a x b

A X B

10/10/2019 4

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Dạng ma trận

Ma trận A gọi là ma trận hệ số.

X: ma trận cột các ẩn số

B: ma trận hệ số tự do hay cột tự do

Nghiệm của phương trình là một bộ số:

Sao cho khi thay vào thì mọi phương trình trong hệ đều thỏa mãn.

A X B

1 2 1 2, ,..., , ,...,

n nx x x c c c

10/10/2019 5

MỘT SỐ KHÁI NIỆM

Nếu số phương trình bằng số ẩn và detA≠0 Hệ Crammer

Nếu hệ số tự do triệt tiêu Hệ thuần nhất

Hai hệ phương trình tuyến tính gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Ma trận hệ số bổ sung hay ma trận mở rộng

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

n

n

m m mn m

a a a b

a a a bA A B

a a a b

Augmented matrix

10/10/2019 6

10/11/2019

2

ĐỊNH LÝ TỒN TẠI NGHIỆM

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

n

n

m m mn m

a a a b

a a a bA A B r A r A

a a a b

11 12 1 1

21 22 2 2

0 0 0 0

n

n

a a a b

a a a br A r A

b

10/10/2019 7

VÍ DỤ

Các hệ phương trình sau có nghiệm hay không?

2 3 1 2 3 4

1 3 1 2 3 4

1 2 3 1 2 3 4

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 1 2 4 2

) 2 ) 2 1

2 2 2 1 7 4 11 5

2 2

2 4 1)3 4 0

2 4 1

x x x x x x

a x x b x x x x

x x x x x x x

x x x

x x xcx x x

x x x

10/10/2019 8

VÍ DỤ 2

10/10/2019 9

HỆ CRAMER

Phương pháp ma trận nghịch đảo

Phương pháp định thức

1. .AX B X A B

Định lý. Hệ Cramer với ma trận hệ số là A có nghiệm duy nhất và nghiệm của nó được xác định bởi: xi=Di/D. Trong đó D=detA và Di là định thức của ma trận thu được từ A bằng cách thay cột thứ i bởi cột hệ số tự do.

det

deti i

i

A Dx

A D10/10/2019 10

HỆ CRAMER – SỬ DỤNG ĐỊNH THỨC

11 12 1 1 12 1

21 22 2 2 22 2

1

1

2

2

1 2

... ...

... ...;

...................... ... ......................

... ...

n n

n n

n n nn n n nnn

b

b

b

a a a b a a

a a a b a aA B A

a a a b a a

1

2

12 1

22 2

1 1

2

...

...det

....................

...

n

n

n n nn

b

b

b

a a

a aD A

a a

10/10/2019 11

HỆ CRAMER – SỬ DỤNG ĐỊNH THỨC

Vì detA khác 0 nên tồn tại ma trận nghịch đảo A-1. Do đó:

Ta có:

1. .AX B X A B

10/10/2019 12

10/11/2019

3

VÍ DỤ 3

Giải hệ phương trình sau:

Giải.

Cách 1. Ta có:

Vậy hệ có nghiệm duy nhất.

Nghiệm của hệ (1,1,-2)

10/10/2019 13

VÍ DỤ 3

Cách 2. Ta có:

Ta tính được:

Vậy nghiệm của hệ là:

1

3 3 0 5 18 11 1

12 18 12 1 18 118 18

12 6 6 5 36 2

X A B

10/10/2019 14

VÍ DỤ 4

Tìm điều kiện để hệ sau đây là hệ Cramer. Tìm nghiệm của hệ trong trường hợp này.

10/10/2019 15

SỐ NGHIỆM CỦA HỆ TỔNG QUÁT

Cho hệ phương trình A.X=B với m phương trình và n ẩn.

Trong trường hợp ii) hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào n-r(A) tham số.

i) Heä pt coù nghieäm duy nhaát

ii) Heä pt coù voâ soá nghieäm

iii) Heä pt voâ nghieäm

iv) Heä pt coù nghieäm

r A r A n

r A r A n

r A r A

r A r A

10/10/2019 16

PP KHỬ GAUSS - JORDAN

- Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang.

- Ở dạng này ta dễ dàng nhận biết hệ có nghiệm hay không và việc giải tìm nghiệm cũng đơn giản hơn.

Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng?

-

-

-

10/10/2019 17

PHƯƠNG PHÁP GAUSS – JORDAN

bdsc hang

r rA A B A A B

10/10/2019 18

10/11/2019

4

VÍ DỤ 5

10/10/2019 19

VÍ DỤ 6

Giải và biện luận hệ phương trình:

Giải.

Ma trận hệ số bổ sung:

10/10/2019 20

VÍ DỤ 6

Biện luận.

10/10/2019 21

BIỆN LUẬN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CRAMER

Cho hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số A là ma trận vuông.

Ñaët:

Neáu thì heä coù nghieäm duy nhaát:

Neáu vaø toàn taïi thì heä voâ nghieäm.

Neáu thì heä voâ nghieäm

hoaëc voâ soá nghieäm.

Ta giaûi tieáp

1 1

1

det ; det ; ...; det

) 0

) 0 0

) ... 0

n n

ii

i

n

D A D A D A

i D

Dx

Dii D D

ii D D D

baèng phöông phaùp Gauss.

10/10/2019 22

VÍ DỤ 6

Ta có:

Sinh viên tự làm tiếp

1 1

2 1 3 3

1 1 1 1 1

det 1 1 detA 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

detA 1 1 1 det 1 1

1 1 1 1 1

m

D A m D m

m m

m m

D D A m

m

10/10/2019 23

VÍ DỤ 7

Giải và biện luận hệ phương trình sau

1 2 3

1 2 32

1 2 3

1 4

) ) 8

2 4

mx x x ax y z

a x mx x m b x by z

x by zx x mx m

10/10/2019 24

10/11/2019

5

HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT

Hệ thuần nhất có dạng:

Hoặc dạng ma trận:

Ma trận mở rộng:

Để thuận tiện ta chỉ xét và biến đổi trên ma trận A.

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

0

0

0

n n

n n

m m mn n

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

. 0A X

| 0A A r A r A

10/10/2019 25

TÍNH CHẤT

1. Hệ phương trình thuần nhất luôn luôn có nghiệm.

2. (0,0,…,0) luôn là nghiệm của hệ, gọi là nghiệm tầmthường.

3. Mọi tổ hợp tuyến tính các nghiệm của hệ thuần nhấtcũng là nghiệm. Do đó, hệ thuần nhất hoặc chỉ cónghiệm tầm thường hoặc có vô số nghiệm.

Q. Khi nào thì hệ có nghiệm tầm thường? Vô số nghiệm?

A.

10/10/2019 26

VÍ DỤ 8

Giải hệ phương trình

Giải.

Xét ma trận hệ số của phương trình.

10/10/2019 27

VÍ DỤ 8

Hệ đã cho tương đương với hệ:

Tập nghiệm của hệ là:

Nghiệm cơ sở (basic solutions):

8, 6,1,0 ; 7,5,0,1

10/10/2019 28

BÀI 1

Cho hai ma trận:

Tìm ma trận nghịch đảo của A.

Tìm X biết: X.A=3B

1 2 3 1 2 1

3 2 4 3 1 0

2 1 0 2 1 1

A B

10/10/2019 29

BÀI 2

Giải các phương trình sau

1 2 3 4

1 2 31 2 3 4

1 2 31 2 3

1 2 31 2 3 4

02 2 1

3 2 5) 2 3 6 1 )

5 47

7 3 10

x x x xx x x

x x x xa x x x b

x x xx x x m

x x x x

10/10/2019 30

10/11/2019

6

BÀI 3

Giải các hệ phương trình sau

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 9 6

) 3 5 4 ) 2 3 4 21

4 7 5 7 3 6

2 2 4

4 3 2 6)8 5 3 4 12

3 3 11 5 6

x y z x y z

a x y z b x y z

x y z x y z

x x x x

x x x xcx x x x

x x x x

10/10/2019 31

BÀI 4

Tìm m để ma trận sau khả nghịch

1 1

1 1

1 1 1

m

A m

m m

10/10/2019 32

BÀI 5

Cho hệ phương trình tuyến tính.

A) Tìm a, b để hệ có nghiệm duy nhất

B) Tìm a, b để hệ trên có nghiệm với mọi m

1

( 1) ( 1)

x y mz

x my z a

x m y m z b

10/10/2019 33

BÀI 6

Giải và biện luận theo m

1 2 3

1 2 3

21 2 3

) 2 2 2 4

3 3 3

) 2 ( 1) ( 1) 1

1

x x mx m

a m x x m x

x x x m m

mx y z m

b x m y m z m

x y mz

10/10/2019 34

ỨNG DỤNG MA TRẬN TRONG KINH TẾ

Công ty Honda có hai đại lý bán xe X và Y. Hai đại lý này chỉ chuyên bán xe Dream II và xe môtô. Doanh số bán hàng trong tháng 8 & 9 của 2 đại lý được ghi lại như sau:

a/ Tính toán doanh số trong 2 tháng 8 và 9 cho mỗi đại lý và mỗi loại xe.

b/ Tính sự gia tăng doanh số từ tháng 8 đến tháng 9.

c/ Nếu tiền huê hồng Công ty Honda trả cho đại lý là 5% doanh thu. Tính tiền huê hồng của mỗi đại lý cho mỗi loại xe nhận được trong tháng 9.

Tháng 8

Dream II Môtô

Đại lý X $ 18,000 $ 36,000

Đại lý Y $ 36,000 $ 0

Tháng 9

Dream II Môtô

Đại lý X $ 72,000 $ 144,000

Đại lý Y $ 90,000 $ 108,000

10/10/2019 35

GIẢI

Ta có:

90000 180000)

126000 108000

54000 108000)

54000 108000

3600 7200)5%.

4500 5400

Xa A B

Y

Xb B A

Y

Xc B

Y

10/10/2019 36

10/11/2019

7

ỨNG DỤNG MA TRẬN TRONG KINH TẾ

Số giờ công lao động cho mỗi sản phẩm được cho như sau:

Tiền lương tính theo giờ:

0.6 0.6 0.2

1.0 0.9 0.3

1.5 1.2 0.4

cut assemble package

product A

M product B

product C

Factory FactoryI II

6 7

8 10

3 4

cut

assemble

package

N

10/10/2019 37

VÍ DỤ a/ Kích thước của M, N và M*N

b/ Tính M*N và giải thích kết quả.

Giải.

A)

B) Ta có:

a11: chi phí lao động cho sản phẩm A tại nhà máy I.

Bảng kết quả của M*N cho thấy rằng chi phí lao động cho mỗi sản phẩm tại mỗi nhà máy.

9 11

. 14.1 17.2

19.8 24.1

product A

M N product B

product C

11

6

0.6 0.6 0.2 8 9$

3

a

10/10/2019 38

BÀI 1

A) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm

B) Tìm ma trận nghịch đảo:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1

3 2

2 3 3

x x x

x ax x

x x ax

1 2 3

2 5 3

1 0 8

A

10/10/2019 39

BÀI 2

A) Giải phương trình:

B) Tìm m để ma trận sau có hạng bé nhất:

23 2 2

1 2 3 40

3 2 2 2

9 2 3 18

x x x

1 1 2

2 1 5

1 10 6 1

m

B m

10/10/2019 40