BAB III

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDINER

3.1. Klasifikasi Persamaan Differensial

Pada umumnya dikenal dua jenis persamaan diferensial, yaitu persamaan

diferensial biasa (PDB) dan Persamaan diferensial Parsial (PDP). Untuk mengetahui

perbedaan kedua jenis persemaan diferensial itu dapat dilihat dalam definisi sebagai

berikut :

a. Persamaan diferensial (PD). Suatu persamaan yang meliputi turunan fungsi

dari satu atau lebih variable terikat terhadap satu atau lebih variable bebas

disebut persamaan diferensial. Selanjutnya jika turunan fungsi itu hanya

tergantung pada satu variable bebas maka disebut Persamaan Diferensial

Biasa (PDB), dan bila tergantung pada lebih dari satu variable bebas disebut

Persamaan Diferensial Parsial (PDP).

Persamaan Diferensial Biasa :

1.

2.

Persamaan Diferensial Parial :

1.

2.

b. Order Suatu PD. Order suatu PD adalah order tertinggi dari turunan dalam

persamaan F(x, y, y’, y’’,……….,yn)

35

1. adalah PDP order 1

2. adalah PDP order 2

c. Degree Suatu PD. Degree adalah derajat atau power tertinggi dari suatu suku

diferensial

1. adalah PDP, order 2, degree 2

(nonlinier)

3.2. Penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa (PDB) order 1

PDB order 1 dapat diselesaiak dengan cara :

a. Persamaan eksak (exact equation)

b. Persamaan yang dapat dipisahkan (Separable equation)

c. Persamaan Homogen (Homogeneus equation)

d. Faktor Integral

3.2.1. Persamaan Eksak

Persamaan Umum PDB order 1 dalam dy/dx dapat dinyatakan dengan :

Mdx + Ndy = 0

Dengan M dan M merupakan fungsi x.

Syarat persamaan eksak adalah jika :

Contoh :

1. Selesaikan PD dibawah ini :

(x3 – y sin x) dx + (cos x + 2y)dy = 0 (1)

Dimana :

36

M = x3 – y sin x

N = cos x + 2y

Maka ;

dM/dy = -sin x

dN/dx = - sin x

jadi : (PDB eksak)

Jika penyelesaian umumnya adalah, dimana :

= f(x,y)

Maka jika diturunkan akan menjadi :

(2)

Bandingkan persamaan (1) dengan persamaan (2)

(2a)

(2b)

Jika M atau d/dx diintegralkan ke x maka :

= ¼ x4 + y cos x + f(y) (3)

Jika persamaan (3) diturunkan parsial terhadap y maka :

(4)

Persamaan (4) adalah sama dengan persamaan (2b), sehingga

Cos x + f’(y) = cos x + 2y

f’(y) = 2y , jika diintegralkan akan diperoleh :

f(y) = y2 + C (5)

Substitusikan persamaan (5) ke persamaan (3)

= ¼ x4 + y cos x + 2y + C

Jadi PUPD adalah :

37

¼ x4 + y cos x + y2 + C

Secara singkat cara penyelsaian PD eksak adalah :

3.2.2 Persamaan yang dapat dipisahkan (separable equation)

Jika persamaan Mdx + Ndy = 0 dapat diubah menjadi f(x) dx + g(y) dy,

persamaan diferensial ini disebut PD yang dapat dipisahkan. Sedangkan

penyelesaiannya adalah :

Contoh :

2. Selesaikan PD berikut ini :

x(1 + y2)1/2 + y(1+x2)1/2 dy/dx = 0

Penyelesaian :

PD dapat diubah menjadi dalam bentuk :

x(1 + y2)1/2 dx = - y(1+x2)1/2 dy

Dipisahkan variabelnya :

38

1. M diintegralkan terhadap x, akan diperoleh 2. dideferensialkan terhadap y3. Samakan antara d/dy = N akan diperoleh f(y)4. Masukan f(y) ke PUPD ()

Jika diintegralkan :

PUPD :

(1 + x2)1/2 + (1 + y2)1/2 = C

3.2.3. Persamaan Homogen

Persamaan diferensial disebut dengan persamaan homogen adalah jika

persamaannya berbentuk :

(1)

PD ini diselesaikan dengan substitusi

y = x (2)

dy/dx = + x d/dx (3)

Jika persamaan (3) disubtitusikan ke persamaan (1) akan diperoleh :

(4)

Jika persamaan (4) diintegralkan akan diperoleh

Contoh :

39

3. Selesaikan PD dibawah ini

2xy dy/dx – y2 + x2 = 0

Penyelesaian :

Jika PD dibagi dengan x2 akan menjadi :

Substitusikan persamaan (2) dan (4) ke persamaan di atas :

Jika diintegralkan akan diperoleh :

ln (1-2) = - ln x + ln a

(1-2) = Cx-1

Jadi PUPDnya adalah :

x2 – y2 = Cx

3.2.4. Faktor Integral

Persamaan umum PD yang dapat diselesaikan dengan faktor integral :

dy/dx + P(x)y = Q(y)

40

Faktor pengintegralan diberikan dalam bentuk :

Persamaan umumnya dapat ditulis :

Dengan penyelsaian umumya :

Atau,

Contoh soal :

4. Selesaikan PD berikut ini :

dy/dx + y cotg x = tg x

Penyelesaian :

P(x) = cotg x

Q(x) = tg x

PUPD :

Dimana :

Jadi

y sin x =

y sin x =

Catatan :

Sin2x = 1 – cos2x

41

Sehingga :

y sinx =

y sin x =

y sin x = ln (sec x + tan x) – sin x + C

Faktor Pengintegralan yang lain :

Misal terdapat suatu persamaan diferensial berbentuk :

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

Dimana :

Persamaan ini dapat diubah menjadi suatu PD eksak dengan mengalikannya

dengan suatu faktor .

M dx + N dy =0

Dimana :

Sehingga persamaan ini dapat diselesaiak dengan PD eksak.

Contoh :

5. Selesaiak PD dibawah ini :

(3xy2 + 2y) dy + (2x2 + x)dy =0

Penyelesaian :

M = (3xy2 + 2y)

42

N = (2x2 + x)

Dapat dilihat bahwa :

Jika M dan N dikalikan dengan x maka akan menjadi

M = (3x2y2 + 2xy)

N = (2x3 + x2)

Dapat dilihat bahwa :

PD dapat diselesaikan dengan PD eksak.

2.3. Persamaan Diferensial Biasa Orde 2

Persamaan umum PDB order 2 adalah :

Secara umum PDB order 2 dikelmpokkan menjadi 2 kelompok :

1. PDB order 2 non linier

a. Persamaan tidak mengandung y

43

b. Persamaan tidak mengandung x

c. Persamaan homogen

2. PDB order 2 linier

a. Koefisien dalam persamaan merupakan konstanta

b. Koefisien dalam persamaan merupakan fugsi x

2.3.1. PDB Order 2 Non Linier

a. Persamaan tidak mengandung y

PDB order 2 yang tidak mengandung y dapat berbentuk :

i. Dalam hal ini tidak mengandung dy/dx dan y

Penyelesaiannya adalah dengan integrasi dua kali.

Contoh soal:

6. Selesaiak PDB order 2 dibawah ini :

y’’ = 2x + 2

Penyelesaian :

Jika diintegralkan lagi akan menjadi :

Y = 1/3 x3 + x2 + C1x + C2

ii. Dalam hal ini tidak mengandung y

Penyelesaiannya adalah dengan substitusi P = dy/dx, sehingga akan

dihasilkan suatu PDB order 1.

44

Contoh soal :

7. Selesaikan PD dibawah ini :

Penyelesaian :

Substitusi :

P = dy/dx

dP/dx = d2y/dx2

Persamaan menjadi :

Adalah PDB order 1 dan dapat diselesaikan .

b. Persamaan Tidak Mengandung x

Persamaan umumnya adalah :

Penyelesaiannya adalah dengan subtitusi = y’.

y’’ =

Akan diperoleh persamaan :

Persamaan diatas merupakan PDB order 1

45

Contoh soal :

8. Selesaiakan PD dibawah ini :

Penyelesaian :

Subtitusi :

y’ = dan

PD akan menjadi :

2y2 dy = dx

Y3 = x + C

Jadi PUPD nya adalah :

Y3 – x + C = 0

2.3.2. PDB Orde 2 Linier

46

Persamaan umum PDB order 2 adalah :

Dimana P, Q, R adalah konstanta

Penyelesaian umum PDB order 2 linier :

Substitusi :

y = u + v

Sehingga persamaan menjadi :

Persamaan diatas dapat dipecah menjadi dua :

(Complementary Function = CF)

(Particular Integral = PI)

Persamaan kemudian diselesaiak perkelompok yaitu CF dan PI

PUPD = CF + PI = yc + yp

Penyelesaian Complementary Function (yc)

Contoh 9.

47

Selesaikan PD dibawah ini :

Penyelesaian :

Misal :

y = Am. emx

dy/dx = Am. m. emx

d2y/dx2= Am.m2.emx

yc = Am1.em1x + Am2.em2x

yc = A em1x + B.em2x

Persamaan akan menjadi :

Am.m2.emx – 5. Am. m. emx + 6. Am. emx = 0

Am.emx(m2 – 5m + 6)=0

Am.emx((m-2)+(m-3))=0

Jadi :

m1 = 2

m2 = 3 (AKAR-AKARNYA BERBEDA)

yc = A.e2x + B.e3x

Contoh 10.

Selesaiakan PD dibawah ini

y’’ + 6y’ + 6y = 0

Penyelesaian :

m2 + 6m + 9 = 0

(m + 3)2 = 0

m1 = m2 = -3 (AKAR-AKARNYA SAMA)

48

yc = (Ax + B)e-3x

Contoh 11.

Selesaiakan PD dibawah ini

y’’ – 4 y’ + 5y = 0

Penyelesaian :

m2 - 4m + 5 = 0

m1,2 = 2

m1,2 = 2

m1,2 = 2

m1 = 2 + i

m2 = 2 – i (AKAR-AKARNYA IMAJINER)

yc = (A cos x + B sin x) e2x

Penyelesaian Particular Integral (yp)

Persamaan umum :

(x) dapat konstanta ataupun variabel

Secara umum particular integral adapt diselesaikan dengan :

a. Metode Undetermined coefficient (Prinsip coba-coba)

49

b. Metode Invers Operator

Pada modul ini hanya akan dibahas metode undetermined coefficient

a. Jika (x) adalah konstanta ( K )

dicoba dengan asumsi :

yp = C , ,

Jika dimasukkan ke PI maka

0 + 0 + Ryp = K

yp = K/R

Contoh 12.

Selesaikan PD dibawah ini :

Penyelesaian :

Penyelesaian CF

m2 + m – 2 = 0

(m – 1) (m + 2) = 0

50

Jika pada suatu PI harga R=0, maka ambil harga coba-coba yp = Cx

M1 = 1

M2 = -2

Yc = A.ex + B.e-2x

Penyelesaian PI

yp = C , ,

masukkan ke PD

0 + 0 -2yp = 3

yp = -3/2

jadi PUPD : y = yc + yp

y = A.ex + B.e-2x – 3/2

b. Jika (x) adalah polinomial

(x) = ao + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + .......+ an xn

Maka penyelesaian PI adalah :

yp = o + 1 x + 2 x2 + 3 x3 + .......+ n xn

Subsitusikan ke PI kemudian disamakan.

Contoh 13.

Selesaikan PD dibawah ini

51

Penyelesaian :

Penyelesaian CF

m – 4m + 4 = 0

(m – 2) (m – 2) =0

M1 =2

M2 = 2

yc = (Ax + B)e2x

Penyelesaian PI

Dicoba

yp = p + q x + r x2 + s x3

Jika dimasukan ke PD akan diperoleh

+ 4 (p + q x + r x2 + s x3) = 4 x + 8x3

Samakan ruas kiri dengan ruas kanan untuk x dengan pangkat yang sama.

Xo : 2r – 4q + 4p = 0

X1 : 6s – 8r + 4q = 4

X2 : -12s + 4r = 0

X3 : 4s + = 0

Jika diselesaikan akan diperoleh :

p = 7, q = 10, r = 6, s = 2

Jadi Yp nya adalah :

52

Yp = 7 + 10 x + 6 x2 + 2 X3

Dan PUPDnya adalah :

y = yc + yp = (Ax + B)e2x + 7 + 10 x + 6 x2 + 2 X3

c. Φ(x) adalah eksponensialΦ(x) = T exp(rx)Dicoba yp = α erx

Jika disubtitusikan ke PDB order 2 akan diperoleh :

P + + R.α erx = T erx

( P r2+ Qr + R) α erx = T erx

Harga α kemudian dimasukkan key p

d. Φ(x) adalah trigonometriΦ(x) = G sin nx + H cos nxDicoba :Yp = L sin nx + M cos nx

Jika disubstitusikan ke PDB order 2 akan diperoleh :

53

Coba dibuktikan sendiri !!!

54