บทที่ 1เซต

( 10 ชั่วโมง )

เนื้อหาสาระเรื่อง เซต ถือวาเปนเนื้อหาที่มีความสําคัญตอวิชาคณิตศาสตรเพราะเปน รากฐานและเครื่องมือที่สําคัญในการเรียนรูคณิตศาสตรทุกสาขา เร่ืองเซตที่กลาวถึงในหนังสือเรียน จะเปนพื้นฐานที่เพียงพอตอการนําไปใช โดยมุงใหผูเรียนมีผลการเรียนรู ดังตอไปนี้

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวัง1. มีความคิดรวบยอดเกี่ยวกับเซต สามารถหายูเนียน อินเตอรเซกชัน คอมพลีเมนต และผลตาง

ของเซต2. เขียนแผนภาพแทนเซตและนําไปใชในการแกปญหาที่เกี่ยวกับการหาสมาชิกของเซตได

ผลการเรียนรูดังกลาวเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้นทางดานความรู ในการเรียนการสอนทุกครั้งผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรูทางดานทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตรที่จําเปนและสอดแทรกกิจกรรม ปญหา หรือคําถามที่เสริมสรางทักษะกระบวนการเหลานั้นดวย นอกจากนั้นควรปลูกฝงใหผูเรียนทํางานอยางเปนระบบ มีระเบียบวินัย รอบคอบ มีความรับผิดชอบ มีวิจารณญาณและมีความเชื่อมั่นในตัวเอง

2

ขอเสนอแนะ1. เนื่องจากสาระการเรียนรูคณิตศาสตรในหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน เปนสาระที่จําเปนสําหรับ

ผูเรียนทุกคน สําหรับสาระที่เปนเนื้อหาวิชาที่จัดไวในหนังสือเรียนคณิตศาสตรรายวิชาพื้นฐาน ไดจัดทําไวสําหรับใหผูเรียนที่มีพื้นฐานปานกลางและสูง สามารถอานและทําความเขาใจ ดวยตนเองได สําหรับผูเรียนที่มีพื้นฐานทางคณิตศาสตรไมคอยดี ผูสอนอาจจะตองใชวิธีการสอนที่ทําใหผูเรียนเกิดการเรียนรูใหไดตามมาตรฐานการเรียนรูที่กําหนดไว และจะตองระมัดระวังในการยกตัวอยางที่ไมซับซอนเกินความสามารถของผูเรียน เชน กําหนดใหผูเรียนเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก โดยกําหนดให

1) A = {x⏐x3 = 343}2) B = {x⏐x เปนจํานวนเต็มบวกที่นอยกวา 5}

จากตัวอยางขางตน จะเห็นวาการหาคําตอบในขอ 1) ผูเรียนจะตองมีความเขาใจในเรื่อง เลขยกกําลังและตองมีความสามารถในการคิดคํานวณมากกวาการหาคําตอบในขอ 2) ซ่ึงโดย แทจริงแลวจุดประสงคของการเรียนรูในเรื่องนี้คือ ตองการวัดความรูของผูเรียนวาสามารถเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชกิจากเซตทีก่าํหนดใหแบบบอกเงือ่นไขไดหรือไม แตไมตองการวดัความรู ที่เกี่ยวกับทักษะการคํานวณแตอยางใด ดังนั้นผูสอนจึงควรตองระมัดระวังในการยกตัวอยางใหแกผูเรียนที่มีพื้นฐานทางคณิตศาสตรไมคอยดีแตสําหรับผูเรียนที่มีความสามารถทางคณิตศาสตรสูง ผูสอนอาจยกตัวอยางที่ซับซอนกวา เพื่อพัฒนาความสามารถของผูเรียนได

2. การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไข ควรใหผูเรียนมีอิสระในการตอบ ซ่ึงคําตอบของผูเรียนไมจําเปนตองตรงกับคําตอบที่ผูสอนคิดไว เนื่องจากการบอกเงื่อนไขนั้นสามารถบอกไดหลายแบบ เชน F = {x⏐x เปนจํานวนเต็มบวกที่เปนจํานวนคี่} หรือ F = {x⏐x เปนจํานวนคี่บวก}

3. การใชสัญลักษณแทนเซตวาง มีขอควรระวัง ดังนี้{ } และ ∅ เปนสัญลักษณแทนเซตวาง

แต {0} ไมเปนเซตวาง เพราะมีสมาชิก 1 ตัว คือ 0{{ }} ไมเปนเซตวาง เพราะมีสมาชิก 1 ตัว คือ { }เพื่อใหผูเรียนเขาใจเรื่องนี้ดียิ่งขึ้น ผูสอนอาจยกตัวอยางเปรียบเทียบเซตวางกับสิ่งที่เปน

รูปธรรม เชน เปรียบเทียบเซตวางกับกลองเปลาซึ่งเหมือนกันในแงที่วา เซตวางคือเซตที่ไมมีสมาชิก และกลองเปลาคือกลองที่ไมมีอะไรบรรจุอยูภายในเลย แตถานํากลองเปลาใบหนึ่งใสลงไปในกลองเปลาอีกใบหนึ่งแลวจะพบวา กลองเปลาใบหลังจะไมเปนกลองเปลาอีกตอไป ทั้งนี้เพราะมีกลองเปลาใบแรกบรรจุอยูภายใน

3

4. การสอนเรื่องสมาชิกของเซตและจํานวนสมาชิกของเซต อาจมีตัวอยางเซตที่มีสมาชิกบางตัวเปนเซตบาง เชน {1, 2, {3, 4}} เปนเซตที่มีสมาชิก 3 ตัว คือ 1, 2 และ {3, 4}

5. การสอนเรื่องเซตจํากัดและเซตอนันตนั้น ควรยกตัวอยางเฉพาะเซตที่นาสนใจและมีประโยชนที่จะทําใหเกิดความเขาใจในเรื่องนี้ไดดีขึ้น เชน เซตของนักเรียนในหองเปนเซตจํากัด เซตของเสนผมของคนคนหนึ่งเปนเซตจํากัด เซตของจํานวนเต็มที่มีคาระหวาง 0 และ 10 เปนเซตจํากัด เซตของจํานวนเต็มบวกเปนเซตอนันต เซตของจํานวนจริงที่มีคาตั้งแต 0 ถึง 10 เปนเซตอนันต

ผูเรียนมกัจะเขาใจวา เซตทีม่สีมาชกิเปนจาํนวนมาก ๆ เปนเซตอนนัต เชน เซตของเสนผม เซตของเม็ดทราย เปนตน แตที่แทจริงแลวเซตในทํานองเดียวกับตัวอยางดังกลาวเปนเซตจํากัดซ่ึงผูสอนอาจอธิบายวา เซตเหลานั้นสามารถนับจํานวนสมาชิกไดและมีสมาชิกไมเกินจํานวนนับจํานวนหนึ่ง ดังนั้น เราสามารถบอกจํานวนสมาชิกของเซตนั้นได อยางไรก็ดีในการสอนผูสอนควรหลีกเลี่ยงการยกตัวอยางเซตประเภทนี้ แตถาเล่ียงไมไดก็ควรชี้แจงใหผูเรียนเขาใจใหถูกตองวาเปนเซตจํากัดที่มีจํานวนสมาชิกมากมายไมสะดวกแกการนับ

6. ในการกลาวถึงสมาชิกในเซตครั้งใด ถากําหนดเอกภพสัมพัทธใหแลว จะกลาวถึงสิ่งใด นอกเหนือไปจากสมาชิกในเอกภพสัมพัทธไมได (ผูสอนควรจะชี้แจงดวยวา เมื่อกลาวถึงเซตของจํานวน ถาไมไดกลาวถึงเอกภพสัมพัทธไวใหถือวา เอกภพสัมพัทธ คือ เซตของจํานวนจริง)

7. การเขียนแผนภาพแทนเซตนั้นในหนังสือเรียนมักจะใชรูปวงรี หรือรูปวงกลม ซ่ึงไดกลาวไวในหนังสือเรียนแลวเชนกันวา จะเปนรูปใดก็ไดที่มีลักษณะเปนรูปปด ดังนั้น ผูเรียนอาจเขียนแทนเซตโดยใชรูป ∆ หรือ หรือรูปปดใดกไ็ด

8. ในการแกโจทยปญหาที่เกี่ยวกับยูเนียน อินเตอรเซกชัน และคอมพลีเมนตของเซตจํากัด ควรให ผูเรียนเขียนแผนภาพของเวนน - ออยเลอร กํากับดวยทุกครั้ง เพราะการเขียนแผนภาพจะชวยให ผูเรียนไดเหน็แนวทางในการแกปญหา อีกทัง้ยงัเปนพืน้ฐานตอการศกึษาสาระอืน่ๆ ของคณติศาสตร

4

กิจกรรมเสนอแนะผูสอนอาจใชกิจกรรมตอไปนี้ประกอบการเรียนการสอนเรื่อง แผนภาพของเวนน-ออยเลอร

หรือใหผูเรียนแกปญหาในกจิกรรมหลังจากเรยีนเกีย่วกบัการดาํเนนิการของเซตแลว ผูสอนอาจนาํเสนอเปนใบกิจกรรม โดยใหผูเรียนทําเปนกลุมหรือเดี่ยว ซ่ึงขึ้นอยูกับความเหมาะสมของผูเรียน

ในกิจกรรมนี้มุงหวังใหผูเรียนสามารถอธิบายวิธีการหาคาํตอบหรือวิธีการแกปญหา ซ่ึงจะ เปนการเสริมสรางทักษะกระบวนการแกปญหาและการสื่อสารของผูเรียน

กิจกรรม 1. จงเขียนจํานวน 1 ถึง 12 ลงในแผนภาพแทนเซต A, B และ C โดยมีเงื่อนไขดังนี้

1) จํานวนคี่เปนสมาชิกของเซต A2) จํานวนคูเปนสมาชิกของเซต B3) จํานวนที่หารดวย 3 ลงตัว เปนสมาชิกของเซต C

แนวทางการหาคําตอบ1) เขียนเซต A, B, C แบบแจกแจงสมาชิก ไดดังนี้

A = { 1, 3, 5, 7, 9, 11 }B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 }C = { 3, 6, 9, 12 }

2) นําเซตแตละเซตเขียนลงในแผนภาพที่กําหนดให โดยพิจารณาวาแตละเซตมีสมาชิกรวมกันหรือไม ซ่ึงจะไดคําตอบดังนี้

A B

C U

A B

C

1 5

711

24 10

8612

39

U

5

2. จงเขียนจํานวน 4 ถึง 10 ในแผนภาพแทนเซต A, B และ C โดยใหผลรวมของจํานวนที่เปนสมาชิกในแตละเซตเทากับ 30 และอธิบายวิธีการหาคําตอบ

แนวทางการหาคําตอบจากเงือ่นไขทีโ่จทยกาํหนดวา แตละเซตตองมผีลรวมของจาํนวนทีเ่ปนสมาชกิของเซต เทากบั 30

ดังนั้นสามารถหาเซต A, B, C ไดดังนี้จากแผนภาพพบวา เซต A ประกอบดวยสมาชิก 2 ตัว คือ 1, 2 ซ่ึงมีผลรวมเทากับ 3

แตเงื่อนไขตองการใหมผีลรวมของจาํนวนทีเ่ปนสมาชกิเทากบั 30 ดงันัน้ตองหาสมาชกิทีเ่หลือของ เซต A ซ่ึงมีผลรวมเทากับ 27 ดังรูป (1) หรือ (2)

(1) (2)สวนการหาสมาชิกของ เซต B และ เซต C ก็ทําไดในทํานองเดียวกัน โดยจะไดคําตอบ ดังรูป (3) หรือ (4)

(3) (4)

A B

C

123

U

A B

C

101

586

92

4 7 3U

A B

C

101

78 69

24 3

U

5

A B

C

101

892

U

A B

C

101

89

2

U

6

แบบทดสอบประจําบท แบบทดสอบที่นําเสนอตอไปนี้เปนตัวอยางแบบทดสอบแสดงวิธีทํา ซ่ึงจะใชประเมินผลดานเนื้อหาวิชาของผูเรียนเมื่อเรียนจบในเนื้อหาเรื่องเซต ผูสอนสามารถเลือกและปรับแบบทดสอบใหเหมาะสมกับผูเรียนได ตัวอยางแบบทดสอบ 1. จงยกตัวอยางเซตของสิ่งของหรือกลุมคนที่ทานพบในชีวิตประจําวันมา 2 เซต โดยเขียนแบบ

แจกแจงสมาชิก และเขียนแบบบอกเงื่อนไข

2. ถาทานและเพื่อนมีเงินในกระเปาเปนจํานวนที่ตางกัน เปนไปไดหรือไมวา เซตของชนิดของธนบัตรในกระเปาของทานและเพื่อนจะเปนเซตที่เทากัน จงอธิบายพรอมยกตัวอยางประกอบ

3. ให A = {1, 2, 3, …, 10} 1) จงยกตวัอยางสับเซตของ A มา 3 เซต 2) {1} เปนสมาชิกของเซต A หรือเปนสับเซตของเซต A 4. ให U = {m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w} A = {m, n, p, q, r, t} B = {m, o, p, q, s, u} C = {m, o, p, r, s, t, u, v} จงหา A ∩ B , B ∩ C , A ∩ C และ A ∩ B ∩ C

5. กําหนดให A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} และ C = {3, 4, 5, 6} จงหาเซตตอไปนี้พรอมเขียนแผนภาพแทนเซต 1) A ∪ B 5) B – C 2) A ∪ C 6) C – A 3) A ∩ B 7) (A ∪ B) ∪ C 4) B ∪ C 8) A ∪ (B ∪ C)

7

6. จากแผนภาพที่กําหนดให จงแรเงาเพื่อแสดงบริเวณที่แทนเซตตอไปนี้1) A ∪ B 2) A ∩ B 3) A – B

7. กําหนดให U = {0, 1, 2, 3, 4, 5} , A = {0, 2, 3} และ B = {0, 2}จงหา A – B, A′ , B′

8. ให A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}A – B = {1, 2}

A ∩ C = {1, 3, 5}B ∪ C = {1, 3, 4, 5, 6}

จงหา A, B และ C

9. ให A และ B แทนเซตที่มีสมาชิกเปนจํานวนเต็ม จงยกตัวอยางของเซต A และ B ในแตละขอ ที่มีสมบัติดังตอไปนี้

1) A = A – B2) A ∩ B = ∅3) A ∪ B = A

10. กําหนดให U = {-5, -4, -3, …, 7, 8} A = {x⏐x เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 4 } และ B = {x⏐x เปนจํานวนคู}

1) จงเขียนแผนภาพของเวนน – ออยเลอร แสดง U , A และ B2) จงหา n(A ∩ B) และ n(A ∪ B)

11. จากการสอบถามนักเรียน 80 คน เกี่ยวกับการใชเวลาวาง พบวา มี 15 คน ที่ชอบทั้งเลนกีฬา เลนดนตรี และดูภาพยนตร มี 40 คน ที่ชอบเลนดนตรีและชอบดูภาพยนตร มี 30 คน ที่ชอบเลนกีฬาและดูภาพยนตร ถามีนักเรียน 60 คน ที่ชอบดูภาพยนตร มี 50 คน ที่ชอบเลนดนตรีและมีนักเรียน 40 คน ที่ชอบเลนกีฬา ถามวามีนักเรียนกี่คนที่1) ชอบเลนกีฬาอยางเดียว 2) ชอบเลนดนตรีอยางเดียว 3) ชอบดูภาพยนตรอยางเดียว

A B

U

8 12. ถาในแตละสัปดาหทานจะตองเรียนวิชาคณิตศาสตร 3 วัน และเรียนวิชาภาษาอังกฤษ 3 วัน และ

จะตองเรียนทัง้วิชาคณิตศาสตรและวิชาภาษาอังกฤษในวนัเดียวกนัสัปดาหละ 1 วัน ถามวา 1) ทานเรียนวิชาคณิตศาสตรอยางเดียว สัปดาหละกี่วัน 2) ทานเรียนวิชาภาษาอังกฤษอยางเดียว สัปดาหละกี่วัน

3) ถาจํานวนใน 1 สัปดาห หมายถึง 5 วันที่ทานไปโรงเรียน ทานมีวันที่ไมตองเรียนวิชาใด วิชาหนึ่งในสองวิชานี้หรือไม

ใหเขียนแผนภาพแทนเซตเพื่อหาคําตอบขางตน

เฉลยตัวอยางแบบทดสอบ

1. ตัวอยางเซตของสิ่งของ หรือกลุมคนที่ทานพบในชวีิตประจําวนั ไดแก A = {x⏐x เปนอุปกรณทีใ่ชในการเย็บผา} หรือ A = {จักรเยบ็ผา, เข็มเยบ็ผา, กรรไกร, ดาย} B = {x⏐x เปนวิชาที่ตองสอบเขาเรียนคณะวิทยาศาสตรในสถาบันอุดมศึกษา} หรือ B = {คณิตศาสตร, เคมี, ชีวะ, ฟสิกส, ภาษาอังกฤษ, สังคมศาสตร, ภาษาไทย}

2. ตัวอยางคาํตอบ อรอุมาและสันตินัดไปทานขาวกลางวนัทีร่านอาหารแหงหนึ่ง โดยอรอุมามีเงินในกระเปา มูลคา 1,250 บาท สวนสันติมีเงินในกระเปามูลคา 2,100 บาท ให a แทนธนบัตรชนิดใบละ 500 บาท b แทนธนบัตรชนิดใบละ 100 บาท c แทนธนบัตรชนิดใบละ 50 บาท ให A แทนเซตของชนิดของธนบัตรในกระเปาของอรอุมา ซ่ึงประกอบดวย ธนบัตรชนิดใบละ 500 บาท 2 ใบ แทนดวย a, a ธนบัตรชนิดใบละ 100 บาท 2 ใบ แทนดวย b, b ธนบัตรชนิดใบละ 50 บาท 1 ใบ แทนดวย c ให B แทนเซตของชนิดของธนบัตรในกระเปาของสันติ ซ่ึงประกอบดวย ธนบัตรชนิดใบละ 500 บาท 3 ใบ แทนดวย a, a, a ธนบัตรชนิดใบละ 100 บาท 5 ใบ แทนดวย b, b, b, b, b ธนบัตรชนิดใบละ 50 บาท 2 ใบ แทนดวย c, c จะไดวา A = {a, b, c} B = {a, b, c} ดังนั้น A = B

9

3. ให A = {1, 2, 3, …, 10}1) ตัวอยางสับเซตของเซต A สามเซต ไดแก

(1) B = {1, 2, 3}(2) C = {8, 9}(3) D = {5}

2) {1} เปนสับเซตของเซต A

4. ให U = {m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w} A = {m, n, p, q, r, t} B = {m, o, p, q, s, u} C = {m, o, p, r, s, t, u, v}เขียนสมาชิกของแตละเซตในแผนภาพไดดังนี้

A ∩ B = {m, p, q} B ∩ C = {m, p, o, s, u}A ∩ C = {m, p, r, t}

A ∩ B ∩ C = {m, p}

5. กําหนดให A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} และ C = {3, 4, 5, 6}1) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}

A B

C

n qmpr t o

s uv

w

U

12 34

568

A

B C

U

10

2) A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

3) A ∩ B = {2, 4}

4) B ∪ C = {2, 3, 4, 5, 6, 8}

5) B – C = {2, 8}

12 34

568

UA

B C

12 34

568

UA

B C

12 34

568

UA

B C

12 34

568

UA

B C

11

6) C – A = {5, 6}

7) (A ∪ B) ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

8) A ∪ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

6. 1) A ∪ B 2) A ∩ B 3) A – B

12 34

568

A

B C

U

12 34

568

A

B C

U

12 34

568

A

B C

U

A B

U U

A BA B

U

12

7. กําหนดให U = {0, 1, 2, 3, 4, 5} , A = {0, 2, 3} และ B = {0, 2}

A – B = {3} A′ = {1, 4, 5}

B′ = {1, 3, 4, 5}

8. ให A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}A – B = {1, 2}A ∩ C = {1, 3, 5}B ∪ C = {1, 3, 4, 5, 6}

เขียนแผนภาพแทนเซตขางตนไดดังนี้จากแผนภาพ A = {1, 2, 3, 5, 6}

B = {3, 4, 5, 6} C = {1, 3, 5}

(อาจมีคําตอบอื่นนอกเหนือจากที่เฉลย)

9. ให A และ B แทนเซตที่มีสมาชิกเปนจํานวนเต็ม1) A = A – B

A = {1, 2, 3, 4}B = {5, 6}

A – B = {1, 2, 3, 4} ซ่ึงเทากับเซต A2) A ∩ B = ∅

A = {1, 2, 3, 4}B = {7, 8}

A ∩ B = ∅

U

BA3 0

21 4 5U

A B3

1 4 5

02

2 6 4351

A B

C

U

A B3 0

21 4 5 U

13

3) A ∪ B = AA = {1, 2, 3, 4}B = {1, 2, 3}

A ∪ B = {1, 2, 3, 4} ซ่ึงเทากับเซต A

10. กําหนดให U = {-5, -4, -3, …, 7, 8}A = {x⏐ x เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 4 } หรือ A = {5, 6, 7, 8}B = {x⏐ x เปนจํานวนคู} หรือ B = {-4, -2, 0, 2, 4, 6, 8}

1) เขียนแผนภาพของเวนน – ออยเลอร แสดง U , A และ B ไดดังนี้

2) จากแผนภาพ จะได n(A ∩ B) = 2

และ n(A ∪ B) = 9

11. จากการสอบถามนักเรียน 80 คน เกี่ยวกับการใชเวลาวาง พบวา มี 15 คน ที่ชอบทั้งเลนกีฬาเลนดนตรีและดูภาพยนตร มี 40 คน ที่ชอบเลนดนตรีและชอบดูภาพยนตร มี 30 คน ที่ชอบเลนกีฬาและดูภาพยนตร ถามีนักเรียน 60 คน ที่ชอบดูภาพยนตร มีนักเรียน 50 คน ที่ชอบเลนดนตรี และมีนักเรียน 40 คน ที่ชอบเลนกีฬา

ให A แทนนักเรียนที่ชอบเลนกีฬาB แทนนักเรียนที่ชอบเลนดนตรีC แทนนักเรียนที่ชอบดูภาพยนตร

จากแผนภาพ พบวาจํานวนนักเรียนที่ชอบเลนกีฬาอยางเดียว เทากับ 40 – 15 – 15 หรือ 10 คนจํานวนนักเรียนที่ชอบเลนดนตรีอยางเดียว เทากับ 50 – 15 – 25 หรือ 10 คนจํานวนนักเรียนที่ชอบดูภาพยนตรอยางเดียว เทากับ 60 – 25 – 15 – 15 หรือ 5 คน

UA

B C

10

1515

2510 5

UA B68

57

-4 -20 2 4

-1 -3 -5

1 3

14

12. ในแตละสัปดาหจะตองเรียนวิชาคณิตศาสตร 3 วัน และเรียนวิชาภาษาอังกฤษ 3 วัน และจะตอง เรียนทั้งวิชาคณิตศาสตรและวิชาภาษาอังกฤษในวันเดียวกันสัปดาหละ 1 วันให A = {D1, D2, D3} แทนเซตของวันที่ตองเรียนวิชาคณิตศาสตร

B = {D3, D4, D5} แทนเซตของวันที่ตองเรียนวิชาภาษาอังกฤษn(A) = 3 n(B) = 3 n(A ∩ B) = 1

ก. ใชแผนภาพ

จากแผนภาพ n(A ∪ B) = 5

ข. โดยใชสูตรจากสูตร n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) n(A ∪ B) = 3 + 3 – 1 หรือ 51) จํานวนวันที่เรียนวิชาคณิตศาสตรอยางเดียวเทากับ n(A) – n(A ∩ B) = 3 – 1 หรือ 2 วัน2) จํานวนวันที่เรียนภาษาวิชาอังกฤษอยางเดียวเทากับ n(B) – n(A ∩ B) = 3 – 1 หรือ 2 วัน3) เนื่องจาก n(A ∪ B) = 5 หมายถึง จํานวนวันที่ตองเรียนวิชาคณิตศาสตร หรือวิชาภาษา

อังกฤษในหนึ่งสัปดาหเทากับ 5 ดังนั้น จึงไมมีวันใดในสัปดาหที่ไมเรียนวิชาคณิตศาสตรหรือวิชาภาษาอังกฤษเลย

เฉลยแบบฝกหัดแบบฝกหัด 1.1

1. 1) {จันทบุรี}2) {a, e, i, o, u}3) {10, 11, 12, 13, 14, …, 99}4) {2, 4, 6, 8}5) {101, 102, 103, …}6) {-99, -98, -97, …, -1}7) {4, 5, 6, 7, 8, 9}8) { } หรือ ∅

A B

D3 D5

D1

D2

D4

U

15

2. 1) B มีสมาชิก 1 จํานวน2) C มีสมาชิก 7 จํานวน3) D มีสมาชิก 9 จํานวน4) G ไมมีสมาชิก หรือจํานวนสมาชิกเทากับศูนย

3. 1) N = {x⏐x เปนจํานวนเต็มคี่บวกตั้งแต 1 ถึง 5}2) P = {x⏐x เปนจํานวนเต็ม}3) R = {x⏐x = a2 และ a เปนจํานวนเต็มที่ไมเทากับศูนย}4) T = {x⏐x = 10n และ n เปนจํานวนเต็มบวก}

4. 1) เปนเซตอนันต2) เปนเซตจํากัด3) เปนเซตอนันต4) เปนเซตจํากัด5) เปนเซตอนันต6) เปนเซตอนันต

5. 1) เนื่องจาก ไมมีจํานวนเต็มบวกที่อยูระหวาง 3 และ 4ดังนั้น {x⏐x เปนจํานวนเต็มบวกที่อยูระหวาง 3 และ 4} เปนเซตวาง

2) เนื่องจาก ไมมีจํานวนเต็มที่มากกวา 1 และนอยกวา 2ดังนั้น {x⏐x เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1 และนอยกวา 2} เปนเซตวาง

3) เนื่องจาก มีสมาชิก 2 ตัว คือ 5 และ 7ดังนั้น {x | x เปนจํานวนเฉพาะที่มากกวา 3 และนอยกวา 10} ไมเปนเซตวาง

6. 1) A = {x⏐x แทนพยัญชนะในคํา “กรรมกร”} หรือ A = {ก, ร, ม}B = {x⏐x แทนพยัญชนะในคํา “มรรคา”} หรือ B = {ม, ร, ค}C = {x⏐x แทนพยัญชนะในคํา “มกราคม”} หรือ C = {ม, ก, ร, ค}D = {x⏐x แทนพยัญชนะในคํา “รากไม”} หรือ D = {ร, ก, ม}ดังนั้น A = D

2) E = {7, 14, 21, ..., 343}F = {x⏐x = 7n และ n เปนจํานวนนับที่มีคานอยกวา 50}หรือ F = {7, 14, 21, ..., 343}ดังนั้น E = F

16

3) A = {x⏐x = n11− และ n เปนจํานวนนับ} หรือ A = { ,...

54,

43,

32,

21,0 }

B = { ,...54,

43,

32,

21,0 }

ดังนั้น A = B4) A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {5, 4, 3, 2, 1}

จะเห็นวา สมาชิกทุกตัวของเซต A เปนสมาชิกของเซต Bและ สมาชิกทุกตัวของเซต B เปนสมาชิกของเซต Aดังนั้น A = B

5) C = {0, 1, 3, 7} D = {x⏐x เปนจํานวนเต็มที่มีคานอยกวา 10} หรือ D = { …, 5, 6, 7, 8, 9}

เนื่องจาก 9 ∉ C แต 9 ∈ D ดังนั้น C ≠ D

6) E = {12, 14, 16, 18} และ F = {14, 16, 12, 18}จะเห็นวา สมาชิกทุกตัวของเซต E เปนสมาชิกของเซต Fและ สมาชิกทุกตัวของเซต F เปนสมาชิกของเซต Eดังนั้น E = F

7) K = {x⏐x เปนจํานวนเต็มคูที่นอยกวา 10} หรือ K = { …, – 2, 0, 2, 4, 6, 8}L = {2, 4, 6, 8}เนื่องจาก – 2 ∈ K แต – 2 ∉ Lดังนั้น K ≠ L

8) M = {x⏐x เปนจํานวนเต็ม และ x2 = 36} หรือ M = {– 6, 6} N = {6}

เนื่องจาก – 6 ∈ M แต – 6 ∉ Nดังนั้น M ≠ N

แบบฝกหัด 1.31. (1) ผิด (4) ผิด

(2) ถูก (5) ผิด(3) ถูก (6) ผิด

17

2. (1) สับเซตทั้งหมดของ {1} คือ ∅, {1}(2) สับเซตทั้งหมดของ {1, 2} คือ ∅, {1}, {2}, {1, 2}(3) สับเซตทั้งหมดของ {-1 , 0 , 1} คือ ∅, {-1} , {0} , {1} , {-1,0} , {0,1} , {-1,1} , {-1,0,1}

3. (1) เพาเวอรเซตของ {5} คือ {∅, {5}}(2) เพาเวอรเซตของ {0, 1} คือ {∅, {0}, {1}, {0, 1}}(3) เพาเวอรเซตของ {2 ,3 ,4} คือ {∅, {2}, {3}, {4}, {2 ,3}, {2 ,4}, {3 ,4}, {2,3,4}}

4. สับเซตทั้งหมดของ A ที่มีสมาชิก 1 ตัว ไดแก {1}, {2}, {3}, {4}สับเซตทั้งหมดของ A ที่มีสมาชิก 2 ตัว ไดแก {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}

5.1) A = {1, 2, 3, 4, …, 10}

B = {1, 3, 5, 7, 9}

2) A = {1, 2, 3, 4, …, 10}B = {1, 3, 5, 7, 9}C = {1, 3, 5}

3) A = {1, 2, 3, 4, …, 10}B = {1, 3, 5}C = {2, 4, 6}

U2 4 68 101 3 57 9

AB

U2 4 68 10

1 3 5A

BC7 9

U7 8 9 10

1 3 5

A

B2 4 6C

18

แบบฝกหัด 1.41. 1) A = {2, 3, 7} 3) A′ = {2, 3, 6}

2) A = {3, 4, 5} และ B = {1, 3, 5, 7}

2. 1) A ∩ B = ∅ 5) C′ = {0, 1, 2, 7, 8}2) B ∪ C = {1, 3, 4, 5, 6, 7} 6) C′ ∩ A = {0, 2, 8}3) B ∩ C = {3, 5} 7) C′ ∩ B = {1, 7}4) A ∩ C = {4, 6} 8) (A ∩ B) ∪ B = {1, 3, 5, 7}

3.

1) B′

U

A1 4 5 6

2 3 7

U

A B

2 6

4 35

1 7

U

A2 3 6

1 45 7

U

A B

U

A B

19

2) A ∩ B′

3) A′

4) A′ ∪ B

5) A′ ∪ B′

U

BA

U

A B

U

BA

U

A B

20

4.

1) A′ 2) (A ∪ B)′

3) A′ ∪ B 4) A′ ∩ B

5.

จาก n(U ) = 100, n(A) = 40, n(B) = 25 และ n(A ∩ B) = 6 จะไดn(A – B) = n(A) – n(A ∩ B)

= 40 – 6 = 34

UA B

UA

B

U

BA

U

BA678

U

BA45

678

U

BA 678

U

A B1 2

345

68 7

21

n(B – A) = n(B) – n(A ∩ B)= 25 – 6 = 19

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)= 40 + 25 – 6 = 59

n(A′) = n(U ) – n(A)= 100 – 40 = 60

n(B′) = n(U ) – n(B)= 100 – 25 = 75

n(A ∪ B)′ = n(U ) – n(A ∪ B)= 100 – 59= 41

เซต A – B B – A A ∪ B A′ B′ (A ∪ B)′จํานวนสมาชิก 34 19 59 60 75 41

6.

กําหนดจํานวนสมาชิกของเซตตาง ๆ ในแผนภาพดังตาราง

เซต U A B C A ∩ B A ∩ C B ∩ C A ∩ B ∩ Cจํานวนสมาชิก 50 25 20 30 12 15 10 5

UA

B

UA

B

UA

B

UA B

C

UA

B

UA

B

22

1) A ∪ Cn(A ∪ C) = n(A) + n(C) – n(A ∩ C)

= 25 + 30 – 15= 40

2) A ∪ B ∪ Cn(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B)

– n(A ∩ C) – n(B ∩ C)+ n(A ∩ B ∩ C)

= 25 + 20 + 30 – 12 – 15 – 10 + 5= 43

3) (A ∪ B ∪ C)′n(A ∪ B ∪ C)′ = n(U ) – n (A ∪ B ∪ C)

= 50 – 43= 7

4) n(B – (A ∪ C)) = n(B) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C)+ n(A ∩ B ∩ C)

= 20 – 12 – 10 + 5= 3

5) n((A ∩ B) – C) = n(A ∩ B) – n(A ∩ B ∩ C)= 12 – 5= 7

7. ให A แทนเซตของพอบานที่ชอบดื่มชาB แทนเซตของพอบานที่ชอบดื่มกาแฟ

A ∩ B แทนเซตของพอบานที่ชอบดื่มทั้งชาและกาแฟ A ∪ B แทนเซตของพอบานที่ชอบดื่มชาหรือกาแฟ

n(A) = 60 คน n (A ∩ B) = x คนn(B) = 70 คน

n (A ∪ B) = 120 คน

U

A B

C U

A B

C

U

A B

C

U

A B

C

U

A B

C

U

A B

C

23 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 120 = 60 + 70 – x x = 130 – 120 x = 10 ดังนั้น จํานวนพอบานที่ชอบดื่มทั้งชาและกาแฟเทากับ 10 คน

8. ให U แทนเซตของลูกคาที่ใชพัดลมชนิดตาง ๆ A แทนเซตของลูกคาที่ใชพัดลมชนิดตั้งโตะ B แทนเซตของลูกคาที่ใชพัดลมชนิดแขวนเพดาน A ∩ B แทนเซตของลูกคาที่ใชพัดลมชนิดตั้งโตะ และชนิดแขวนเพดาน A ∪ B แทนเซตของลูกคาที่ใชพัดลมชนิดตั้งโตะ หรือชนิดแขวนเพดาน n(A) = 60% n(B) = 45% n(A ∩ B) = 15% n(A ∪ B) = x%

1) จํานวนลูกคาทีไ่มใชพัดลมทัง้สองชนิด หาไดดังนี ้ n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) A B = 60% + 45% – 15% = 90% จํานวนลูกคาทีไ่มใชพัดลมทัง้สองชนิด คือ n(A ∪ B)′ = n( U ) – n(A ∪ B) = 100% – 90% หรือ 10%

2) จํานวนลูกคาทีใ่ชพัดลมแบบใดแบบหนึ่งเพียงชนดิเดยีว หาไดดังนี ้ จํานวนลูกคาทีใ่ชพัดลมชนิดตั้งโตะเพยีงชนิดเดยีว คือ n(A ∪ B) – n(B) = 90% – 45% = 45%

จํานวนลูกคาทีใ่ชพัดลมแขวนเพดานเพยีงชนิดเดยีว คือ n(A ∪ B) – n(A) = 90% – 60% = 30% ดังนั้น ลูกคาที่ใชพัดลมเพยีงชนิดเดยีว มี 45% + 30% หรือ 75%

U C

A B

U

U

A B

A

B

U

24 9.

A U

B ให U แทนเซตของผูปวยทั้งหมดทีท่ําการสํารวจ A แทนเซตของผูปวยที่สูบบุหร่ี B แทนเซตของผูปวยที่เปนมะเร็งในปอด A ∪ B แทนเซตของผูปวยที่สูบบุหร่ีหรือเปนมะเร็งในปอด A ∩ B แทนเซตของผูปวยที่สูบบุหร่ีและเปนมะเร็งในปอด (A ∪ B)′ แทนเซตของผูปวยที่ไมสูบบหุร่ี และไมเปนมะเร็งที่ปอด n ( U ) = 1,000 คน n(A) = 312 คน n(B) = 180 คน n(A ∪ B)′ = 660 คน n(A ∩ B) = x คน (A ∪ B)′

A B U

n(A ∪ B) = n( U ) – n(A ∪ B)′ = 1,000 – 660 = 340 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 340 = 312 + 180 – x x = 492 – 340 = 152 ดังนั้น จํานวนผูที่สูบบุหร่ีและเปนมะเร็งที่ปอดเทากับ 152 คน คิดเปนรอยละ 100

312152

× หรือ 48.72% ของจํานวนผูสูบบุหร่ีทัง้หมด

25

A B

C

U 10. ให U แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่ทําการสํารวจ A แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานวิชาคณติศาสตร B แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานวิชาสังคมศึกษา C แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานวิชาภาษาไทย A ∩ B แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานวิชาคณติศาสตรและสังคมศึกษา B ∩ C แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานวิชาสังคมศึกษาและภาษาไทย A ∩ C แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานวิชาคณติศาสตรและภาษาไทย A ∩ B ∩ C แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานททั้งสามวชิา A ∪ B ∪ C แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานอยางนอยหนึ่งวิชา n (A ) = 37 คน n(A ∩ B) = 15 คน n(B) = 48 คน n(B ∩ C) = 13 คน n(C) = 45 คน n(A ∩ C) = 15 คน n(A ∩ B ∩ C) = 5 คน n(A ∪ B ∪ C) = x คน n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C) – n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) x = 37 + 48 + 45 – 15 – 13 – 7 + 5 x = 100 ดังนั้น มีจํานวนผูที่สอบผานอยางนอยหนึ่งวิชาเทากับ 100 คน 11. ให U แทนเซตของผูถือหุนในตลาดหลักทรัพยที่ถูกสํารวจทั้งหมด A แทนเซตของผูถือหุนบริษัท ก B แทนเซตของผูถือหุนบริษัท ข C แทนเซตของผูถือหุนบริษัท ค A ∩ B แทนเซตของผูถือหุนบริษัท ก และ ข B ∩ C แทนเซตของผูถือหุนบริษัท ข และ ค A ∩ C แทนเซตของผูถือหุนบริษัท ก และ ค A ∩ B ∩ C แทนเซตของผูถือหุนทั้งสามบริษัท

26

จากจํานวนผูถือหุนที่สํารวจ หาผูถือหุนบริษัทอื่น ๆ ที่ไมใชหุนของทั้งสามบริษัทไดดังนี้

n (U ) = 3,000 คน n(A) = 200 คน n(B) = 250 คน n(C) = 300 คน n(A ∩ B) = 50 คน n(B ∩ C) = 40 คน n(A ∩ C) = 30 คน

n(A ∩ B ∩ C) = 0n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C) – n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)n(A ∪ B ∪ C) = 200 + 250 + 300 – 50 – 40 – 30 + 0 = 630จํานวนผูถือหุนบริษัทอื่น ๆ ที่ไมใชทั้งสามบริษัทนี้มีจํานวนหาไดจากn(A ∪ B ∪ C)′ = n(U ) – n(A ∪ B ∪ C) = 3,000 – 630 = 2,370 คน

12. ให U แทนผูใชบริการขนสงทางรถไฟ รถยนต หรืออ่ืน ๆ ที่ถูกสํารวจ A แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทางรถไฟ B แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทางรถยนต C แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทางเรือA ∩ B แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทางรถไฟและรถยนตB ∩ C แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทางรถยนตและเรือA ∩ C แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทางรถไฟและเรือ

A ∩ B ∩ C แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทั้งทางรถไฟ รถยนต และเรือ (A ∪ B ∪ C)′ แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทางแบบอื่น ๆ ที่ไมใช รถไฟ รถยนต เรือ

n (U ) = x คน n(A ∩ B) = 50 คนn(A) = 100 คน n(B ∩ C) = 25 คนn(B) = 150 คน n(A ∩ C) = 0 คนn(C) = 200 คน n(A ∩ B ∩ C) = 0 คนn(A ∪ B ∪ C)′ = 30 คน

UA B

C

27

n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C) – n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) = 100 + 150 + 200 – 50 – 25 – 0 + 0 = 375 คน

∴ จํานวนผูใชบริการขนสงที่ถูกทําการสํารวจ คือn(U ) = n(A ∪ B ∪ C) + n(A ∪ B ∪ C)′x = 375 + 30 = 405 คน

UA B

C