บทที่ 2 การวิเคราะหขอมูลเบื้องตน

( 20 ชั่วโมง ) สถิติเปนวิชาที่มีบทบาทในชีวิตประจําวัน และเปนวิชาที่มีบทบาทในแทบทุกวงการ การใหผูเรียนไดมีความรูพ้ืนฐานทางสถิติอยางเพียงพอ และสามารถวิเคราะหขอมูลอยางงายไดจึงเปนสิ่งที่จําเปนตอการเรียนรูของผูเรียน ผลการเรียนรูท่ีคาดหวัง 1. เลือกใชคากลางที่เหมาะสมกับขอมูลที่กําหนดใหและวัตถุประสงคที่ตองการ 2. วิเคราะหขอมูลเบื้องตนโดยใชคากลาง (คาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม) การ

วัดการกระจายโดยใชสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และการหาตําแหนงที่ของขอมูลโดยใช เปอรเซ็นไทลได

3. ใชขอมูลขาวสารและคาสถิติชวยในการตัดสินใจบางอยางได ผลการเรียนรูดังกลาวเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้นทางดานความรู ในการเรียนการสอนทุกครั้งผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรูทางดานทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตรที่จําเปน และสอดแทรกกิจกรรม ปญหา หรือคําถามที่เสริมสรางทักษะกระบวนการเหลานั้นดวย นอกจากนั้นควรปลูกฝงใหผูเรียนทํางานอยางเปนระบบ มีระเบียบวินัย รอบคอบ มีความรับผิดชอบ มีวิจารณญาณและมีความเชื่อมั่นในตนเอง ขอเสนอแนะ 1. สถิติเปนวิชาที่วาดวยการวิเคราะหขอมูลเพื่อหาขอสรุปจากขอมูลเพื่ออธิบายหรือตอบปญหาที่สนใจ การวิเคราะหขอมูลที่ผูเรียนจะตองศึกษาในชั้นนี้เปนศาสตรที่กลาวถึงการสรุปสาระสําคัญที่มีอยูในขอมูลและนําเสนอขอมูลดวยคาสถิติ เชน คากลาง

10

คาการวัดการกระจาย แผนภาพ ฯลฯ เพื่ออธิบายลักษณะของขอมูลชุดนั้น ซึ่งในปจจุบันไดมีการพัฒนาโปรแกรมสําเร็จรูป เครื่องคํานวณ เชน เครื่องคิดเลขที่สามารถหาคาสถิติได ทําใหสามารถหาคาที่ตองการไดอยางรวดเร็ว ในปจจุบันการเรียนการสอนวิชาสถิติ จึงไมจําเปนตองมุงฝกทักษะการหาคาสถิติตาง ๆ ใหถูกตองแมนยํา เนื่องจากในชีวิตจริงของผูเรียนจะตองใชเครื่องคํานวณมาชวยในการหาคาสถิติที่ตองการอยูแลว สิ่งที่ผูสอนควรคํานึงคือการสอนใหผูเรียนมีความรูพ้ืนฐาน มีความเขาใจ และสามารถนําความรู ความเขาใจในวิชาสถิติไปใชในการแกปญหาและชวยในการตัดสินใจบางอยางได 2. เนื่องจากในชวงชั้นที่ 3 (ม.1 – ม.3) ผูเรียนมีพ้ืนฐานในเรื่องการหาคากลางมาแลว ดังนั้น การกลาวถึงการหาคากลางในชวงชั้นนี้จึงกลาวถึงในลักษณะของการทบทวน และในสวนที่เพิ่มเติมจากวิธีการที่กลาวไวตอจากชวงชั้นที่ 3 เชน การหาคากลางของขอมูลที่แจกแจงความถี่ในรูปอันตรภาคชั้น สําหรับวิธีการหาคากลางโดยการทอนคาของขอมูลใหนอยลง ดังวิธีการในตัวอยางที่ 12 หัวขอการหาคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลที่แจกแจงความถี่แลว มีไวเพื่อใหผูเรียนไดเขาใจวิธีการหาคากลางแบบตาง ๆ และอาจหาคากลางของขอมูลที่มีจํานวนไมมากนักโดยใชวิธีการขางตนไดเมื่อไมมีเครื่องคํานวณชวย แตไมมีวัตถุประสงคใหผูเรียนฝกทักษะในสวนนี้แตอยางใด 3. การสรางตารางแจกแจงความถี่นั้นเปนการจัดระบบขอมูลเบื้องตน แตมีขอเสีย คือ ทําใหเราไมทราบคาที่แทจริงของขอมูล ทราบแตเพียงคราว ๆ วา คาของขอมูลอยูในชวงที่กลาวถึง ดังนั้นยิ่งอันตรภาคชั้นมีความกวางมากขึ้นก็ยิ่งทําใหเราทราบลักษณะของขอมูลนอยลง รวมทั้งการนําตารางที่ไดไปหาคากลางของขอมูล เมื่อแตละตารางที่สรางข้ึนมีอันตรภาคชั้นไมเทากันจะทําใหไดคากลางที่แตกตางกันดวย ในปจจุบันนี้การหาคาสถิติของขอมูลที่มีจํานวนมากมักจะใชเครื่องคิดเลขหรือโปรแกรมคอมพิวเตอรทางสถิติมาชวยในการคํานวณซึ่งจะทําใหตัดปญหาเรื่องการแบงอันตรภาคชั้นออกไป ดังนั้น ผูสอนจึงควรชี้แจงใหผูเรียนมีความเขาใจในเรื่องนี้ดวย 4. การแจกแจงความถี่โดยใชแผนภาพตน-ใบ เปนวิธีการจัดระบบขอมูลที่เราสามารถทราบคาที่แทจริงของขอมูลได และสามารถวิเคราะหขอมูลอยางคราว ๆ จากแผนภาพดังกลาวได การใชแผนภาพตน-ใบ เปนวิธีการสรุปขอมูลโดยแผนภาพและจัด

11

กลุมหรือจัดเรียงขอมูลไวดวยกัน นอกจากนี้ยังมีโปรแกรมคอมพิวเตอรที่สามารถสรางแผนภาพดังกลาวไดดวย การนําวิธีการแจกแจงความถี่โดยใชแผนภาพตน-ใบ ซึ่งเปนวิธีการที่ไดมีการพัฒนาขึ้นเมื่อไมนานมากนัก ทําใหผูเรียนไดเรียนรูวิธีการใชแผนภาพและสามารถนําแผนภาพตน -ใบ ไปใชในการวิเคราะหขอมูลเบื้องตนได เชน ดูลักษณะการกระจายของขอมูล ในกรณีที่มีขอมูลเบื้องตนไมมากนัก กิจกรรมเสนอแนะ กิจกรรมที่ 1 จุดประสงค เพื่อใหผูเรียนไดเห็นวา การเลือกตัวอยางโดยการสุมจะทําใหไดตัวอยาง

ซึ่งเปนตัวแทนของประชากรที่มีคาสถิติ เชน คากลาง คาที่ใชวัดการกระจาย มีคาใกลเคียงกับคาที่ไดจากประชากร

ผูสอนยกตัวอยางขอมูลที่เปนคะแนน ซึ่งมีจํานวนขอมูลทั้งหมด 500 รายการ และถือวาขอมูลชุดนี้คือขอมูลที่ไดจากประชากร (ขอมูลชุดนี้มีคาเฉลี่ยเลขคณิต (µ) 50 และมีสวนเบี่ยงมาตรฐาน (σ) 10 ทั้งนี้ผูสอนไมตองบอกรายละเอียดสวนนี้ใหผูเรียนทราบ)

ขอมูลท้ังหมดของประชากรนํามาแจกแจงความถี่ไดดังนี้

คะแนน ความถี่ คะแนน ความถี่ 20 21 22 23 24 25 26 27

1 0 0 1 1 1 1 1

28 29 30 31 32 33 34 35

2 2 3 3 4 5 6 6

12

คะแนน ความถี่ คะแนน ความถี่ 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58

7 9

10 11 12 13 14 16 17 18 18 19 19 20 20 20 19 19 18 18 17 16 14

59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

13 12 11 10 9 7 6 6 5 4 3 3 2 2 1 1 1 1 1 0 0 1

ผูสอนใหผูเรียนสุมตัวอยางโดยมีข้ันตอนดังนี้

13

1. ใหผูเรียนชวยกันเขียนสลากของขอมูลที่เปนคะแนนทั้งหมด 500 รายการใสกลองไว (นั่นคือ เขียนคะแนนบนสลาก ใหจํานวนสลากของแตละคะแนนเทากับความถี่ของคะแนนนั้น เชน เขียนคะแนน 20 จํานวน 1 ใบ ไมตองเขียนคะแนน 21 เพราะมีความถี่เปน 0 และเขียนคะแนน 50 จํานวน 20 ใบ) 2. ผูสอนแบงผูเรียนในชั้นเปนกลุม กลุมละ 3 ถึง 4 คน ใหผูเรียนในแตละกลุมชวยกันหยิบสลากขอมูลกลุมละ 20 ชิ้น โดยกลุมแรกหยิบสลาก 20 ชิ้น จดขอมูลที่ไดไว แลวคืนสลากที่หยิบมาไวในกลองอยางเดิม เขยากลองแลวใหกลุมตอไปทําเหมือนกันจนครบทุกกลุม 3. เมื่อผูเรียนทํากิจกรรมในขอ 2 แลว ใหเขียนขอมูลที่ไดเรียงจากขอมูลที่มีคานอยไปหาคามาก แลวใหหา คาเฉลี่ยเลขคณิต ( X ) มัธยฐาน และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (s) ตัวอยางขอมูล 10 ชุด ชุดละ 20 ตัวอยาง ที่นักเรียนสุมขึ้นมาอาจเปนดังนี้

ชุดท่ี ขอมูล 1. 55 48 55 50 51 64 48 39* 49 48 54 59 66* 42 53 51 44 58 57 45

2. 44 47 43 63 60 69 47 56 46 36 53 52 49 72* 47 34 66 49 26* 63

3. 79 58 72 80* 56 46 64 44* 59 55 60 60 47 44 47 62 50 47 45 58

4. 52 51 38 58 42 53 47 50 43 55 42 59 63* 46 57 53 54 34* 48 50

5. 53 53 64 51 52 48 42 58 40 58 51 42 60 57 47 40* 68* 51 55 46

6. 33* 49 50 37 40 51 38 55 62 58 46 68* 43 35 63 41 42 36 45 48

7. 45 55 54 46 49 62 47 49 50 48 48 53 25* 52 44 48 39 63* 57 51

8. 59 47 36 43 53 37 66* 52 48 39 56 63 65 35* 58 37 62 55 58 52

9. 61* 20* 46 53 30 39 44 57 61 48 59 34 59 43 55 41 35 26 48 31

10. 54 52 41* 60* 53 51 53 49 47 50 48 52 45 42 55 49 58 43 57 50 * คาที่มากที่สุดหรือนอยที่สุดของขอมูลแตละชุด

14

หมายเหตุ ในทางปฏิบัติ ผูสอนใหผูเรียนเปนผูสุมขอมูลแตละชุดดวยตนเองตามวิธีการที่ไดกลาวมาขางตน ตัวอยางที่ใหไวนี้ มีไวเพื่อใชยกตัวอยางในการอภิปรายในตอนตอไปเทานั้น

จากขอมูลที่ได ผูสอนใหผูเรียนแตละกลุมสรางแผนภาพตน -ใบ แลวหาคาเฉลี่ยเลขคณิต สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และพิสัยของขอมูลที่ได โดยอาจดําเนินการดังนี้ 1. ผูสอนใหผูเรียนพิจารณาแผนภาพตน -ใบ ที่เขียนไว แลวประมาณคาเฉลี่ย เลขคณิตวาควรมีคาเทาใด เชน ขอมูลจากชุดที่ 1 3 9 4 2 4 5 8 8 8 9 5 0 1 1 3 4 5 5 7 8 9 6 4 6 จากขอมูลในแผนภาพตน -ใบ ของชุดที่ 1 ผูเรียนควรประมาณวา คา X ควรมีคาใกลเคียงกับ 50 โดยอาจมีคามากกวา 50 เล็กนอย เนื่องจากขอมูลสวนใหญอยูในชวง 50 – 59 และขอมูลที่มีคามากกวา 50 มี 11 จํานวน ซึ่งมากกวาขอมูลที่มีคานอยกวา 50 ที่มี 8 จํานวน จากนั้นผูสอนใหผูเรียนหาคา X , มัธยฐาน สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และพิสัยจากคาจริง ซึ่งจะได X = 51.8 มัธยฐาน เทากับ 51 s = 6.95 และ พิสัย เทากับ 66 – 39 = 27 ผูสอนใหผูเรียนกลุมอื่นประมาณคา X โดยใชวิธีการเชนเดียวกับที่กลาวมาแลว เชน จากขอมูลของชุดที่ 3

15

ขอมูลจากชุดที่ 3 4 4 4 5 6 7 7 7 5 0 5 6 8 8 9 6 0 0 2 4 7 2 9 8 0 จะเห็นวา ขอมูลที่มีคานอยกวา 60 มีทั้งหมด 13 คา ซึ่งนาจะมีคาประมาณ 50 × 13 หรือ 650 และคาที่มากกวาหรือเทากับ 60 คะแนน มี 7 คา ซึ่งนาจะมีคาประมาณ 65 × 7 หรือ 455 และเมื่อนําผลรวมจากคาประมาณซึ่งเทากับ 650 + 455 หรือ 1105 มาหาคาเฉลี่ย จะไดคา X ซึ่งเปนคาประมาณเทากับ 1105 ÷ 20 หรือ 55.25 เมื่อหาคา X , มัธยฐาน สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และพิสัยโดยการคํานวณจากคาจริง จะได X = 56.65 มัธยฐาน เทากับ 56 58

2+ = 57

s = 10.98 และ พิสัย เทากับ 80 – 44 หรือ 36 ผูสอนใหผูเรียนกลุมอื่น ๆ ทํากิจกรรมเชนเดียวกันจนครบทุกกลุม เพื่อใหผู เรียนฝกวิธีการประมาณคา X โดยพิจารณาจากแผนภาพตน -ใบ และใชทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรที่เหมาะสม กิจกรรมที่กลาวมานี้ไมไดเนนความถูกตองเรื่องการประมาณคาแตตองการใหผูเรียนมองภาพความสัมพันธของขอมูลโดยใชแผนภาพตน -ใบ และฝกทักษะการวิเคราะหขอมูลเบื้องตน 2. เมื่อผูเรียนหาคา X ของขอมูลไดแลว ใหผูเรียนแตละกลุมพิจารณาวา ขอมูลแตละตัวในขอมูลตัวอยางของกลุมตางจากคา X มากหรือนอยเพียงใด จากนั้นจึงใหสองกลุมใด ๆ จับคูกันแลวพิจารณาโดยใชการประมาณคาและอธิบายเหตุผลวา ขอมูลของกลุมใดควรจะมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานมากกวากัน เมื่อไดขอสรุปแลวใหผูเรียนหา

16

สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยการคํานวณจากสูตรเพื่อพิจารณาวาขอสรุปที่ไดจากการประมาณใกลความจริงมากหรือนอยเพียงใด

3. ในกรณีที่มีเครื่องคิดเลขที่สามารถหาคาสถิติเบื้องตนได ผูสอนใหผูเรียน หาคา µ และ σ ของประชากรที่กําหนดให (ในกรณีที่ไมมีเครื่องคิดเลขใหผูสอนบอกคาดังกลาวแกผูเรียน) แลวใหผูเรียนชวยกันพิจารณาวา ขอมูลของผูเรียนแตละกลุมมีคาเฉลี่ยเลขคณิต และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานแตกตางจากคาดังกลาวของประชากรมากนอยเพียงใด

การสุมตัวอยางที่กลาวมา ผูสอนอาจจะใหผูเรียนทํากิจกรรมซ้ํา โดยใหสุมตัวอยางเพิ่มเติมจาก 20 ตัวอยาง เปน 50 หรือ 100 ตัวอยาง เพื่อใหไดจํานวนตัวอยางเพิ่มมากขึ้น แลวพิจารณาใหมวา ขอสรุปจากจํานวนตัวอยางที่มากขึ้นจะทําใหคาเฉลี่ยเลขคณิต และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ไดจากตัวอยางใกลเคียงกับคาที่ไดจากประชากรมากขึ้นหรือไม แมวาขอสรุปที่ไดจากการทํากิจกรรมที่กลาวมาในตัวอยาง จะไมไดใชวิธีการสถิติ ข้ันสูงและไมสามารถใหขอสรุปในกรณีทั่วไปไดก็ตาม แตการใชกิจกรรมนี้มีจุดประสงคที่จะแสดงใหผูเรียนไดมองเห็นความสัมพันธระหวางคาสถิติของขอมูลตัวอยางที่เลือกข้ึนมาโดยการสุม กับคาสถิติของประชากร โดยผูสอนควรบอกใหผูเรียนไดทราบวาในทางปฏิบัติ การที่จะเลือกตัวอยางขึ้นมาจากประชากรใดนั้นจะตองอาศัยความรูทางดานคณิตศาสตร และสถิติ อีกมากซึ่ ง ผู เรี ยนจะได เรี ยนเมื่ อ เลือก เรี ยนวิชาสถิติ ในระดับอุดมศึกษา กิจกรรมที่ 2 จุดประสงค เพื่อใหผูเรียนเขาใจความหมายของคากลางและการกระจายของขอมูล ขั้นตอนการดําเนินกิจกรรม

1. ผูสอนตั้งคําถามใหผูเรียนดังนี้ ถามีขอมูลสองชุดที่มีคาเฉลี่ยเทากันแลว จะบอกไดหรือไมวาขอมูลที่มีคาเฉลี่ย

เลขคณิตเทากันจะตองมีขอมูลที่มีการกระจายใกลเคียงกัน โดยใหผู เรียนตอบโดยยกตัวอยางเพื่อแสดงเหตุผลประกอบ

17

ในกรณีที่ผูเรียนไมสามารถยกตัวอยางเพื่อแสดงเหตุผลประกอบคําตอบได ใหผูสอนยกตัวอยางขอมูลที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากันหลาย ๆ ตัวอยางเพื่อใหผูเรียนสรุปคําตอบ เชน ผูสอนยกตัวอยางขอมูล 4 ชุด ซึ่งแตละชุดประกอบดวยขอมูล 5 จํานวน และมี X เทากับ 5 ดังนี้

ชุดที่ 1 ชุดที่ 2 ชุดที่ 3 ชุดที่ 4 1 1 1 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 9 9 9

2. ผูสอนแนะนําใหผูเรียนหาพิสัยของขอมูลแตละชุด เพื่อแสดงวาคาดังกลาวสามารถบอกลักษณะของขอมูลไดอยางคราว ๆ วามีการกระจายมากนอยเพียงใด จากนั้นผูสอนจึงสรุปใหผูเรียนทราบวา การใชคากลางซึ่งในที่นี้ใชคาเฉลี่ยเลขคณิต ไมสามารถบอกลักษณะการกระจายของขอมูลท่ีกําหนดใหได แตเราอาจใชพิสัยเพื่อบอกลักษณะการกระจายของขอมูลอยางคราว ๆ ได 3. ผูสอนตั้งคําถามกับผูเรียนตอวา ถามีขอมูลสองชุดที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิตและพิสัยเทากันแลว ขอมูลทั้งสองชุดจะตองเหมือนกันหรือมีลักษณะใกลเคียงกันหรือไม โดยใหผูเรียนยกตัวอยางประกอบเหตุผลในการตอบ ในกรณีที่ผูเรียนไมสามารถยกตัวอยางได ผูสอนอาจแสดงตัวอยางตอไปนี้ เพื่อใหผูเรียนเขาใจวา พิสัยสามารถบอกลักษณะการกระจายของขอมูลไดอยางคราว ๆ เทานั้น ชุดที่ 1 ชุดที่ 2 ชุดที่ 3 1 1 1 1 4 2 5 5 5 6 8 9 9 9 9

18

4. ผูสอนแนะนําวิธีการวัดการกระจายของขอมูล โดยใชการเฉลี่ยความแตกตางของขอมูลแตละคาจากคาเฉลี่ยเลขคณิต ซึ่งวิธีที่นิยมใชกันทั่วไปคือการใชสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานตามวิธีการในหนังสือเรียน

ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท 1. จากตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบของนักเรียน 100 คน ตอไปนี้ 1) จงสรางตารางแจกแจงความถี่สะสมของคะแนนสอบของนักเรียนกลุมนี้ 2) จากตารางแจกแจงความถี่สะสมในขอ 1) จงหาวามัธยฐานของขอมูลชุดนี้อยู

ในชวงคะแนนใด 3) จงหารอยละของจํานวนนักเรียนที่ไดคะแนนต่ํากวา 51 คะแนน

คะแนน จํานวนนักเรียน 21 – 30 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100

2 3 5 11 15 23 26 15

รวม 100

2. ขอมูลในลักษณะใดตอไปนี้ที่ไมควรใชคาเฉลี่ยเลขคณิตในการหาคากลาง 1) ความเร็วของรถยนต (กิโลเมตร / ชั่วโมง) 2) เพศ (ชาย หญิง) 3) อายุ (ป) 4) ระดับคะแนน (1, 2, 3, 4, 5) 5) น้ําหนัก (ต่ํากวามาตรฐาน อยูในเกณฑมาตรฐาน เกินมาตรฐาน)

19

3. จากขอมูลที่กําหนดให

3 15 21 30 9 11 4 18 21 30 30 14 5 11 22 23 13 12 5 13 12 21 4 13 8

1) จงสรางแผนภาพตน-ใบ 2) จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมของขอมูลชุดนี้

4. ขอมูลที่เปนเวลาที่คนไขใชในการรอพบแพทยในโรงพยาบาลแหงหนึ่งเปนดังนี้

เวลา (นาที) 0 1 2 3

3 9 4 5 5 4 8 5 1 8 4 1 3 2 3 2 3 1 1 2 3 1 0 0 0

1) จงหา เวลาที่นานที่สุดที่คนไขตองรอพบแพทย 2) เวลาที่คนไขตองรอพบแพทยต่ํากวา 10 นาที มีกี่เปอรเซ็นตของขอมูลทั้งหมด 3) จงหามัธยฐานของขอมูลชุดนี้

5. จากตารางแผนภาพตน-ใบ ที่แสดงอายุของนักทองเที่ยวที่เดินทางมาเที่ยวเกาะชาง ตอไปนี้ อายุ (ป) 0 6 7 3 9 3 4 6 6 4 0 0 1 2 2 2 4 7 5 3 5 8 1 3 2 1 6 1 1 2

20

จงหา 1) จํานวนนักทองเที่ยวกลุมนี้ 2) อายุที่นอยที่สุด และอายุที่มากที่สุดของนักทองเที่ยวกลุมนี้ 3) คาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมของอายุของนักทองเที่ยวกลุมนี้ 6. จากผลการสอบวิชาคณิตศาสตร นัทไดคะแนนเทากับเปอรเซ็นไทลที่ 65 ขอความใด ตอไปนี้ถูกตอง 1) นัทสอบไดคะแนน 65% 2) 35% ของนักเรียนที่เขาสอบไดคะแนนเทากับหรือนอยกวาคะแนนที่นัทได 3) 65% ของนักเรียนที่เขาสอบไดคะแนนมากกวาคะแนนของนัท 4) 65% ของนักเรียนที่เขาสอบไดคะแนนนอยกวาหรือเทากับคะแนนของนัท 7. ในการสอบครั้งหนึ่งมีผูเขาสอบทั้งหมด 280 คน ถาเปอรเซ็นไทลที่ 75 ของคะแนน สอบครั้งนี้คือ 84 จงหาวา มีนักเรียนกี่คนที่สอบไดคะแนนนอยกวาหรือเทากับ 84 คะแนน

เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท 1. 1)

คะแนน ความถี่ ความถี่สะสม 21 – 30 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90

91 – 100

2 3 5 11 15 23 26 15

2 5 10 21 36 59 85

100

21

2) มัธยฐานอยูในชวงคะแนน 71 – 80 3) จํานวนนักเรียนที่ไดคะแนนต่ํากวา 51 คะแนน มี 10 100

100× = 10%

2. ขอมูลที่ไมควรใชคาเฉลี่ยเลขคณิตในการหาคากลาง ไดแก 2) เพศ (ชาย, หญิง) 5) น้ําหนัก (ต่ํากวามาตรฐาน, อยูในเกณฑมาตรฐาน, เกินมาตรฐาน) 3. 1) 0 3 4 4 5 5 8 9 1 1 1 2 2 3 3 3 4 5 8 2 1 1 1 2 3 3 0 0 0 2) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 14.72 มัธยฐาน คือ 13

ฐานนิยม สําหรับขอมูลชุดนี้อาจกลาวไดวาไมมีฐานนิยมเพราะมีคาที่มีความถี่เทากันมากกวาสองคา ไดแก 13, 21 และ 30

4. 1) 30 นาที 2) 28% 3) 13 นาที 5. 1) 25 คน 2) อายุนอยที่สุด คือ 6 ป อายุมากที่สุด คือ 62 ป 3) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 43.44 มัธยฐาน คือ 42 ฐานนิยม คือ 42

22

6. ขอ 4) 65% ของนักเรียนที่เขาสอบไดคะแนนนอยกวาหรือเทากับคะแนนของนัท 7. คะแนน 84 คะแนนคือคะแนนในตําแหนง P75 นั่นคือ ถามีนักเรียน 100 คน จะมี 75 คนที่ไดคะแนนนอยกวาหรือเทากับ 84

ดังนั้น เมื่อมีนักเรียน 280 คน จะมีนักเรียน 75 280100

× = 210 คนที่ไดคะแนน นอยกวาหรือเทากับ 84 คะแนน

เฉลยแบบฝกหดั

เฉลยแบบฝกหัด 2.1 1. 1)

ยอดเงินที่จาย (บาท) จํานวนลูกคา ต่ํากวา 100 100 – 199 200 – 299 300 – 399 400 – 499 500 – 599 600 – 699

2 4 11 13 14 5 1

2) 400 – 499 บาท 3) มากกวา 1 คน 4) ประมาณจํานวนเงินในชวงต่ํากวา 100 ใหเทากับ 50 บาท หาคากึ่งกลางของ แตละอันตรภาคชั้นและประมาณจํานวนเงินที่ลูกคาจายโดยใชจุดกึ่งกลาง

23

จุดกึ่งกลาง จํานวนลูกคา จํานวนเงิน 50

149.5 249.5 349.5 449.5 549.5 649.5

2 4 11 13 14 5 1

50 × 2 149.5 × 4

249.5 × 11 349.5 × 13 449.5 × 14 549.5 × 5 649.5 × 1

รวม 17,676 ลูกคาทั้ง 50 คนใชเงินในการซื้อสินคาประมาณ 17,676 บาท 2. จากตารางแจกแจงความถี่สะสมที่กําหนดให จะไดตารางแจกแจงความถี่ดังนี้

อายุ (ป) ความถี่ (คน) 10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69

2 15 10 5 0 3

รวม 35

1) จากตารางแจกแจงความถี่ที่ได คนที่มีอายุอยูในชวง 10 - 19 ป มี 2 คน ชวง 20 – 29 ป มี 15 คน ชวง 30 – 39 ป มี 10 คน ชวง 40 – 49 ป มี 5 คน ไมมีคนที่มีอายุอยูในชวง 50 – 59 ป และคนที่มีอายุอยูในชวง 60 – 69 ป มี 3 คน

2) 20 – 29 ป

24

3. 1) 80 – 89 คะแนน ม ี8 คน 60 – 89 คะแนน มี 49 คน 2) 3 คน 3) 70 – 79 คะแนน 4) 31 คน 4. 1) เนื่องจากคาต่ําสุดของขอมูลคือ 345 คน และสูงสุดคือ 730 คน สรางตารางแจกแจงความถี่ใหมี 10 อันตรภาคชั้นไดดังนี้

จํานวนประชากร รอยขีด จํานวนหมูบาน 341 – 380 381 – 420 421 – 460 461 – 500 501 – 540 541 – 580 581 – 620 621 – 660 661 – 700 701 – 740

// //// //

//// //// //// //// //// //// / //// //// / //// //// /

/// / /

2 7 5

14 11 11 11 3 1 1

25

2) อันตรภาคชั้น ความถี่ ความถี่สะสม

341 – 380 381 – 420 421 – 460 461 – 500 501 – 540 541 – 580 581 – 620 621 – 660 661 – 700 701 – 740

2 7 5

14 11 11 11 3 1 1

2 9 14 28 39 50 61 64 65 66

(1) 28 หมูบาน (2) 48 หมูบาน (3) จํานวนหมูบานที่มีประชากรอาศัยอยูเกิน 660 คน เทากับ 66 – 64 หรือ 2 หมูบาน ซึ่งคิดเปนรอยละ 2 100

66× หรือประมาณรอยละ 3

5. 1)

เวลา (t นาที) รอยขีด ความถี่ 0 < t ≤ 5

5 < t ≤ 10 10 < t ≤ 15 15 < t ≤ 20 20 < t ≤ 25 25 < t ≤ 30

/ ////

//// //// //// //// //// /

/

1 5 9 10 6 1

รวม 32

26

2) จากตารางนักเรียนจํานวนมากที่สุดใชเวลาเดินทางมากกวา 15 นาที แตไมเกิน 20 นาที

3 ) จากขอมูลขางตนนาจะสรุปไดวา ที่พักของนักเรียนเหลานี้ไมไกลจากโรงเรียนมากนัก (ครูกับผู เรียนอาจอภิปรายเพิ่มเติมจากขอมูลก็ได โดยคําตอบและคําอธิบายที่ใหควรสมเหตุสมผล และอาจเปนประเด็นใหทําการสํารวจขอมูลตอไป)

6. 1) จํานวนเด็ก (คน) รอยขีด ความถี่

(ครอบครัว) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

//// //// /

//// //// //// //// //// // //// //

// /// /

5 6

19 7 7 2 3 0 1

รวม 50 2) (1) 19 ครอบครัว (2) 25 ครอบครัว (6 + 19) (3) 11 ครอบครัว (5 + 6) (4) 30 ครอบครัว (19 + 6 + 5) (5) 20 ครอบครัว (50 – 30) (6) 30 ครอบครัว (19 + 6 + 5) 3) (1) 20 100

50× หรือ รอยละ 40 (2) 30 100

50× หรือ รอยละ 60

(3) 20 10050

× หรือ รอยละ 40 (4) 13 10050

× หรือ รอยละ 26

27

7. 1) คะแนน ความถี่ ความถี่สัมพัทธ ความถี่สะสม 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99

2 0 6 6 10 13 8

4.44 0

13.33 13.33 22.22 28.89 17.78

2 2 8 14 24 37 45

2) ชวงคะแนน 80 – 89 คะแนน 3) 13.3% 4) 37 คน 5) 17.8% 8. 1) (1) 2,467,839 คน (2) 38,074 คน (3) 4,954,109 คน (4) 3,794,796 คน 2) (1) 16.53% (2) 1.73% (3) 24.32% (4) 33.24% (5) 31.75% 9. 1) นักเรียนที่ไดคะแนนวิชาคณิตศาสตรตั้งแต 80 ถึง 89 คะแนน มี 8 คน นักเรียนที่ไดคะแนนวิชาคณิตศาสตรตั้งแต 60 ถึง 89 คะแนน มี 58 – 9 = 49 คน 2) นักเรียนที่ไดคะแนนวิชาคณิตศาสตรต่ํากวา 50 คะแนน มี 3 คน 3) ชวงคะแนนที่มีจํานวนนักเรียนไดมากที่สุด คือ ชวง 70 – 79 คะแนน 4) นักเรียนที่ไดคะแนนวิชาคณิตศาสตรตั้งแต 70 คะแนนขึ้นไป มี 60 – 29 = 31 คน

28

10. 1) ระดับคะแนน จํานวนนักเรียน

4 3 2 1

ไมผาน

8 13 10 12 2

รวม 45

2) ระดับคะแนน 3 11. 1)

คะแนนสอบ ความถี่ ความถี่สะสม 701 – 800 601 – 700 501 – 600 401 – 500 301 – 400 201 – 300

4 10 15 18 11 2

60 56 46 31 13 2

2) จํานวนนักเรียนที่ไดคะแนนมากกวา 700 คะแนน ม ี 4 คน จํานวนนักเรียนที่ไดคะแนนต่ํากวา 301 คะแนน มี 2 คน

จํานวนนักเรียนทั้งสองกลุมเทากับ 6 คน คิดเปนรอยละ 6 10060

× หรือ 10% ของจํานวนนักเรียนทั้งหมด

29

กิจกรรม กิจกรรมนี้ผูสอนใหผูเรียนแบงกลุมกันกําหนดระดับคะแนนและใหแตละกลุม มานําเสนอความคิดเห็นของตน เพื่อฝกทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร โดยใชความรูสถิติในเรื่องที่เรียนมา ทั้งนี้อาจใชคะแนนในโจทยขอ 11 หรือนักเรียนกําหนดคะแนนขึ้นเองก็ได

เฉลยแบบฝกหัด 2.2.1 1. 1) ตารางแจกแจงความถี่ของจํานวนบุหรี่ที่ผูปวยสูบในแตละวัน

จํานวนบุหรี่ (มวน) รอยขีด จํานวนผูปวย (คน) 7 – 9

10 – 12 13 – 15 16 – 18 19 – 21

/ //// //// //// //

1 5 4 4 2

2) ฮิสโทแกรมแสดงจํานวนบุหรี่ที่ผูปวยสูบในแตละวัน

1 0

3 2

5 4

จํานวนบุหรี่ (มวน)

จํานวนผูปวย (คน)

11 8 14 17 20

30

2. 1) ตารางแจกแจงความถี่ของน้ําหนักนักเรียน 50 คน

น้ําหนัก รอยขีด ความถี่ 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64

/// //// //// //// //// //// //// / //// //// /// ////

3 9

21 13 4

2) ฮิสโทแกรมแสดงน้ําหนักนักเรียน

3. 1) นักเรียนที่สูงที่สุด สูง 175 เซนติเมตร นักเรียนที่เตี้ยที่สุด สูง 151 เซนติเมตร ทั้งสองคนมีความสูงแตกตางกัน 24 เซนติเมตร 2) ตารางแจกแจงความถี่แสดงความสูงของนักเรียน

ความสูง รอยขีด จํานวนนักเรียน 150 – 156 155 – 159 160 – 164 165 – 169 170 – 174 175 – 179

//// // //// //// //// /// //// //// //// / //// /// /

7 18 10 6 8 1

3 0

9 6

15 12

น้ําหนัก (กิโลกรัม)

จํานวนนักเรียน (คน)

21 18

42 47 52 57 62

31

3) ฮิสโทแกรมแสดงความสูงของนักเรียน 4. 1) 50 ผล 2) 36 ผล คิดเปน 72% ของจํานวนผลสมทั้งหมด 3)

3 0

9 6

15 12

152 ความสูง (ซม.)

จํานวนนักเรียน (คน)

157 162 167 172

21 18

177

2 0

6 4

10 8

64.5 น้ําหนัก (กรัม) / ผล

จํานวนผลสม (ผล)

74.5 84.5 94.5 104.5

12

114.5 124.5 134.5

32

เฉลยแบบฝกหัด 2.2.2 1. 1) จากขอมูลที่กําหนดใหนํามาจัดเรียงใหมไดดังนี้ 19 24 24 24 23 31 35 36 38 34 38 33 36 44 43 47 44 42 49 48 จากขอมูลที่จัดเรียงขางตนนํามาเขียนแผนภาพตน-ใบ ไดดังนี้ 1 9 2 3 4 4 4 3 1 3 4 5 6 6 8 8 4 2 3 4 4 7 8 9 2) จากแผนภาพตน-ใบ พบวา ในชวง 30 – 39 คะแนนมีจํานวนนักเรียนมากที่สุด 2. 1) จากขอมูลที่กําหนดใหเขียนแผนภาพตน-ใบ ไดดงันี้ 0 7 8 9 1 1 2 3 4 6 7 8 8 9 2 2 2 4 5 3 0 2 2 3 4 5 4 1 3 5 6 5 1 6 6 6 1 2) อายุต่ําสุดของผูเขาชมนิทรรศการ คือ 7 ป อายุสูงสุดของผูเขาชมนิทรรศการ คือ 61 ป 3) ผูเขาชมนิทรรศการมีอายุอยูในชวง 10 – 19 ป มากที่สุด

33

3. 1) 12 3 9 9 13 1 2 5 7 14 4 8 15 0 1 1 3 4 4 8 9 16 0 0 1 6 17 0 5 6 18 0 3 5 9 19 8 20 6 2) คนไขมีความดันโลหิตในชวง 150 – 159 มากที่สุด 4. 1) 9 20 20 60 80 90 10 00 40 11 20 40 50 70 12 40 40 60 60 70 13 00 30 50 60 60 14 00 30 60 80 15 20 50 60 70 16 10 80 17 20 18 19 40 20 00 90

9 20 แทน 920 10 00 แทน 1000

34

2) พนักงานไดรับเงินสมทบในชวง 900 – 990 บาท 1200 – 1290 บาท และ 1300 – 1390 บาท ชวงละ 5 คนเทากัน จึงอาจกลาวไดวาไมมีชวงจํานวนเงินใดที่มีพนักงานจํานวนมากที่สุดไดรับเงินในชวงนั้น

3) พนักงานที่ไดรับเงินสมทบในชวงต่ําสุด มี 5 คน ซึ่งมากกวาพนักงานที่ไดรับเงินสมทบในชวงสูงสุด 3 คน

5. 1) 25 คน 2) เวลาที่นอยที่สุด 41 นาที เวลาที่มากที่สุด 90 นาที 6. มี 11 คน หรือคิดเปน 11 100

25× หรือ 44%

7. 1) 0 5 5 1 0 0 5 5 2 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5 3 0 0 0 0 5 4 0 5 5 2) 20 – 29 นาที 8. 1) 9 0 5 8 10 4 4 5 6 11 1 2 3 7 12 2 2 3 4 5 8 8 13 1 2 3 4 5 9 9

2) มี 14 10025

× หรือ 56%

35

9. 1) คาประมาณของความสูงของตนไมที่ประมาณไวสูงมากที่สุด คือ 6.6 เมตร คาประมาณของความสูงของตนไมที่ประมาณไวสูงนอยที่สุด คือ 2.4 เมตร 2) จํานวนนักเรียนที่ประมาณความสูงของตนไมต่ํากวา 4 เมตร มี 12 100

30× = 40%

เฉลยแบบฝกหัด 2.3

1. เนื่องจากมีนักเรียน 9 คน ที่ไดคะแนนสอบนอยกวาหรือเทากับ 25 คะแนน และ คะแนน 25 คะแนนเปนคะแนนในตําแนง P25 ดังนั้น นักเรียน 9 คน คิดเปนรอยละ 25 ของจํานวนนักเรียนที่เขาสอบทั้งหมด ถาใหจํานวนนักเรียนทั้งหมด คือ N คน จะได 25 N

100× = 9 ซึ่งได N = 36

นั่นคือ มีนักเรียนเขาสอบครั้งนี้ทั้งหมด 36 คน หมายเหต ุ อาจมีนักเรยีนบางคนคิดวา P25 คือคะแนนของนักเรียนในตาํแหนงที่ 9 แลว ใชสูตร

เขียนสมการ 25(N +1) = 9100 จะไดวา N = 35 และตอบวามีนักเรียนเขาสอบทั้งหมด

35 คน การตอบเชนนี้ก็ถือวาเปนคําตอบที่ถูกตองเชนกนั เพราะคะแนน 25 ซ่ึงเปนคะแนนของตําแหนง P25 อาจเปนคะแนนของนักเรียนคนที่ 9 หรืออยูระหวางคะแนนของคนที่ 9 และคนที่ 10 ก็ได และถาคะแนน 25 เปนคะแนนของคนที่ 9 ก็จะไดวามีนกัเรียนเขาสอบ 35 คน แตถาคะแนนนั้นเปนคะแนนระหวางคนที่ 9 และคนที่ 10 ก็จะไดวามีนกัเรียนเขาสอบ 36 คน ดังนั้นเมื่อนักเรียนตอบ 35 หรือ 36 คน ก็ถือวาตอบถูกตองทั้งคู ขึ้นอยูวานกัเรียนมีกระบวนการคิดเชนไร

2. คะแนนในตําแหนงเปอรเซ็นไทลที่ 40 เทากับ 78 คะแนน และมีนักเรียน 8 คนที่ไดคะแนนเทากับหรือนอยกวา 78 คะแนน

จาก 40 N 8100

× = จะได N = 20 ดังนั้น จะมีนักเรียนที่ไดคะแนนมากกวา 78 คะแนน อยู 20 – 8 หรือ 12 คน

3. เนื่องจาก 20 10025

× = 80% ดังนั้น คะแนน 92 คะแนนอยูในเปอรเซ็นไทลที่ 80

36

4. 80% ของคนที่สอบวิชาภาษาไทยเหมือนเตาไดคะแนนนอยกวาหรือเทากับคะแนน ที่เตาได

5. 6 คน

6. เนื่องจากรอยละ 68 ของนักเรียนที่เขาสอบทั้งหมด 25 คน เทากับ 68 25100

× หรือ 17 คน ดังนั้น คะแนนที่อยูในตําแหนงเปอรเซ็นไทลที ่68 คือ 88 คะแนน

7. จากขอมูลที่กําหนดให สรางแผนภาพตน-ใบไดดังนี้ 3 0 4 9 4 0 7 9 5 0 0 1 2 2 3 4 4 4 4 5 6 7 8 8 9 6 0 1 3 4 4 9 9 9 7 0 1 จากแผนภาพตน-ใบ 1) นักเรียนตองสอบได 52 คะแนน จึงจะมีนักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวาคะแนนนี้ ประมาณรอยละ 30 หรือประมาณ 10 คน จาก 32 คน นักเรียนตองสอบได 56 คะแนน จึงจะมีนักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวาคะแนนนี้ ประมาณรอยละ 55 หรอืประมาณ 18 คน จาก 32 คน 2) นักเรียนตองสอบได 54 คะแนน จึงจะมีนักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวาคะแนนนี้ ประมาณ 4 ใน 10 หรือประมาณ 13 คน จาก 32 คน นักเรียนตองสอบได 69 คะแนน จึงจะมีนักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวาคะแนนนี้ ประมาณ 9 ใน 10 หรือประมาณ 29 คน จาก 32 คน 3) นักเรียนตองสอบได 63 คะแนน จึงจะมีนักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวาอยู 3 ใน 4 หรือประมาณ 24 คน จาก 32 คน

37

เฉลยแบบฝกหัด 2.4

1. คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 8 มัธยฐาน คือ 8 ฐานนิยม คือ 8 ขอความที่เปนจริงสําหรับขอมูลชุดนี้คือ ขอความ 2) และขอความ 4)

2. คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 40 มัธยฐาน คือ 40 ดังนั้น ขอความ 2) ถูกตอง

3. ขอมูลทั้งหมด 7 จํานวน มีคาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 81 จะได ผลรวมของขอมูลทั้ง 7 จํานวน คือ 81 × 7 = 567 ตัดขอมูลออกไป 1 จํานวน คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 78 จะไดผลรวมของขอมูล 6 จํานวน คือ 78 × 6 = 468 นั่นคือ ขอมูลที่ถูกตัดออกไปมีคา 567 – 468 = 99

4. 1) X = 3 มัธยฐาน = 3 ฐานนิยม = 3 2) X = 3 มัธยฐาน = 2 ฐานนิยม = 1 3) X = 2 มัธยฐาน = 1 ฐานนิยม = 1 4) X = 4 มัธยฐาน = 3 ฐานนิยม = 1 จะได ขอมูลชุด 1) ที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมเทากัน

5. คาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักนักเรียนสามคน คือ 38 กิโลกรมั จะไดผลรวมของน้ําหนักของนักเรียนสามคน เทากับ 38 × 3 = 114 กิโลกรัม มีนักเรียนหนึ่งคนในกลุมนี้หนัก 46 กิโลกรัม ดังนั้น อีกสองคนที่เหลือมีน้ําหนักรวมกัน 114 – 46 = 68 กิโลกรัม แตสองคนที่เหลือมีน้ําหนักเทากัน จะไดวา แตละคนมีน้ําหนัก 68

2 = 34 กิโลกรัม

38

6. ตองการคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบ 4 ครั้งเปน 85 คะแนน จะไดผลรวมของคะแนนสอบ 4 ครั้ง เทากับ 85 × 4 = 340 คะแนน สอบ 3 ครั้ง เจี๊ยบไดคะแนน 78, 89 และ 82 คะแนน ดังนั้น สอบครั้งที่ 4 เจี๊ยบตองไดคะแนน 340 – (78 + 89 + 82) = 91 คะแนน

7. มัธยฐาน คือ 87 ซึ่งตองอยูเปนอันดับที่ 3 ของขอมูลที่เรียงคะแนนจากนอยไปมาก ฐานนิยมคือ 80 ซึ่งนอยกวามัธยฐาน ดังนั้นขอมูลมี 80 อยู 2 จํานวน คาเฉลี่ยเลขคณิตเปน 86 จะไดผลรวมของขอมูลทั้ง 5 จํานวนเปน 86 × 5 = 430 คะแนน นั่นคือ ขอมูลอีก 2 จํานวน ตองมีผลรวมเปน 430 – (87 + 80 + 80) = 183 คะแนน ขอมูลที่อยูถัดจากมัธยฐานไปจะมีคานอยที่สุดที่เปนไปไดคือ 88 คะแนน ดังนั้น คะแนนสอบสูงสุดที่เปนไปไดคือ 183 – 88 = 95 คะแนน

8. คาเฉลี่ยเลขคณิตของจํานวนเต็มบวกหาจํานวน คือ 360 จะได ผลรวมของจํานวนเต็มบวกหาจํานวน เทากับ 360 × 5 = 1800 สองจํานวนสุดทาย คือ 102 และ 99 นั่นคือ ผลรวมของจํานวนเต็มบวกอีกสามจํานวน ที่เหลือจะเปน 1800 – (102 + 99) = 1599 และมีการเรียงลําดับจํานวนจากมากไปนอย นั่นคอื สองจํานวนกอนหนา คะแนนสูงสุด จะมีคานอยสุดที่เปนไปไดคือ 102 กับ 102 ดังนั้น จํานวนมากที่สุดที่เปนไปไดคือ 1599 – (102 + 102) = 1395

9. คาเฉลี่ยเลขคณิตของหาวิชา ตองได 90 เปนอยางนอย จะไดผลรวมของคะแนนหาวิชา อยางนอยตองเทากับ 90 × 5 = 450 คะแนน ผลการสอบ 4 ครั้ง เกงสอบได 85, 89, 87 และ 96 คะแนน

ดังนั้น ครั้งที่ 5 เกงตองไดคะแนนอยางนอย 450 – (85 + 89 + 87 + 96) = 93 คะแนน

10. 1) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 8 จะได ตัวเลขที่สุมไดที่มากกวาคาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 10 กับ 13 ดังนั้น ความนาจะเปน เทากับ 2

6 = 1

3

39

2) มัธยฐานเทากับ 7 82+ = 7.5

จะไมมีตัวเลขที่สุมไดที่มีคาเทากับมัธยฐาน ดังนั้น ความนาจะเปนที่จะสุมไดตัวเลขที่เทากับ มัธยฐานจึงเปน 0

11. คาเฉลี่ยเลขคณิต เทากับ 17 14 11 6 x5

+ + + + = 48 x5+

แยกกรณีพิจารณาคา x กรณีท่ี 1 ถา x ≤ 11 มัธยฐานคือ 11 จะได 48 x

5+ = 11

x = 55 – 48 = 7

กรณีท่ี 2 ถา 11 < x < 14 มัธยฐานคือ x จะได 48 x

5+ = x

48 + x = 5x x = 12

กรณีท่ี 3 ถา x ≥ 14 มัธยฐานคือ 14 จะได 48 x

5+ = 14

x = 70 – 48 = 22 นั่นคือ x มคีาเทากับ 7, 12 และ 22 จะทําใหคาเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐานของ

ขอมูลมีคาเทากัน

12. 1) ควรใชมัธยฐานเปนตัวแทนของขอมูลชุดนี้ เพราะจากแผนภาพขอมูลสวนใหญ อยูในชวง 3 – 29 และขอมูลมีการกระจายมาก 2) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 28 มัธยฐาน คือ 22

40

13. 1) แผนภาพตน-ใบ 12 3 9 9 13 1 2 5 7 14 4 8 15 0 1 1 3 4 4 8 9 16 0 0 1 6 17 0 5 6 18 0 3 5 9 19 8 20 6 2) จากแผนภาพควรใชคาเฉลี่ยเลขคณิตเปนคากลางแทนขอมูลชุดนี้ เพราะขอมูล ไมกระจายมาก 3) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 158.23 มัธยฐาน คือ 154 158

2+ = 156

ขอสังเกต ขอมูลชุดนี้ไมกระจายมาก ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิต และมัธยฐาน จึงไมแตกตางกันมาก

14. 1) คาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนที่คาดวาจะไดควรจะสูงกวาคาเฉลี่ยเลขคณิตของ คะแนนจริง เนื่องจากคะแนนสวนใหญ (16 จาก 21 จํานวน) มีคาอยูระหวาง 30 – 48 คะแนน ในขณะนี้คะแนนจริงที่มีคาระหวาง 30 – 50 คะแนน มี 13 จํานวน จาก 21 จํานวน 2) คาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนที่คาดวาจะได คือ 36.43 คะแนน คาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนที่นักเรียนไดจริง คือ 33.05 คะแนน ซึ่งคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนที่คาดวาจะไดมีคาสูงกวาคะแนนที่นักเรียนไดจริง

41

15. 1) จํานวนนักเรียนทั้งหมดที่ทําแบบทดสอบ มี 25 คน 2) เวลาที่มากที่สุดที่ใชทําแบบทดสอบ 90 นาที เวลานอยที่สุดที่ใชทําแบบทดสอบ 41 นาที 3) มัธยฐาน คือ 65 นาที ฐานนิยม คือ 71 นาที

16. 1) นักเรียนที่สูงที่สุดสูง 172 เซนติเมตร 2) คาเฉลี่ยเลขคณิตของความสูง คือ 157.6 เซนติเมตร มัธยฐาน คือ 159 เซนติเมตร 3) นักเรียนที่สูงมากกวา 169 เซนติเมตร ม ี20% ของจํานวนนักเรียนทั้งหมด

17. X = 25.04 กิโลกรัม มัธยฐาน = 22 กิโลกรัม ฐานนิยม = 22 กิโลกรัม

เฉลยแบบฝกหักหัด 2.5 1. 1) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย

จะได s ≈ = 7 24− = 1.25

X = 205

= 4

หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = n

2i

i 1(X X)

n 1=

−

−

∑

จะได s = 4 1 1 9 14

+ + + + = 4 = 2

พิสัย 4

42

2) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย

จะได s ≈ = 37 204− = 4.25

X = 1505

= 30

หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = n

2i

i 1(X X)

n 1=

−

−

∑

s = 100 25 9 1 494

+ + + + = 46 ≈ 6.78 3) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈ 6 1

4−

= 1.25 X = 33

11 = 3

หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = 4 0 1 4 1 9 1 4 1 0 110

+ + + + + + + + + + ≈ 2.60 ≈ 1.61 4) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈ 12 2

4− = 2.5

X = 6012

= 5

หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = 4 49 0 1 4 9 1 0 1 0 0 111

+ + + + + + + + + + + ≈ 6.3636 ≈ 2.52

พิสัย 4

43

5) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈ 15 54− = 2.5

X = 606

= 10

หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = 25 9 1 1 9 255

+ + + + + ≈ 14 ≈ 3.74 6) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈ 95 74

4− = 5.25

X = 5887

= 84

หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = 16 25 121 4 16 64 1006

+ + + + + + ≈ 57.67 ≈ 7.59 7) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈ 75 42

4− = 8.25

X = 58010

= 58 หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = 256 169 100 100 16 4 36 144 256 289

9+ + + + + + + + +

= 152.22 ≈ 12.34 8) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈ 21 3

4− = 4.5

X = 11010

= 11 หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = 9 100 4 16 25 16 64 9 36 1

9+ + + + + + + + +

= 31.11 ≈ 5.58

44

9) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈ 116 994− = 4.25

X = 7637

= 109

หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = 64 36 25 100 9 9 496

+ + + + + + ≈ 48.67 ≈ 6.98 10) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈ 2.5 1.6

4− = 0.225

X = 14.77

= 2.1 หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = 0 0.01 0.04 0.25 0.16 0.01 0.09

6+ + + + + +

= 0.0933 ≈ 0.306 2. 1) a 2) c 3) d 4) g 5) b 6) e 7) f 3. พิจารณาความแตกตางคาจากการสังเกตกับคา X ของขอมูลแตละชุดดังนี้ 1) ขอมูล 0, 10, 20, 30, 40 มี X = 20

5

ii 1

X X=

−∑ = 20 + 10 + 0 + 10 + 20

= 60

0 10 20 30 40 × × × × ×

45

2) ขอมูล 0, 0, 20, 40, 40 มี X = 20

5

ii 1

X X=

−∑ = 20 + 20 + 0 + 20 + 20

= 80 3) ขอมูล 0, 19, 20, 21, 40 มี X = 20

5

ii 1

X X=

−∑ = 20 + 1 + 0 + 1 + 20

= 42 พิจารณาจากคา

5

ii 1

X X=

−∑ ของขอมูลแตละชุด พบวา ขอมูลในขอ 2) ควรมี

การกระจายมากที่สุด และขอมูลในขอ 3) ควรมีการกระจายนอยที่สุด และเมื่อหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตรพบวา สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลในแตละขอมีดังนี้

1) s = 15.81 2) s = 20 3) s = 14.16 4. 1) ขอมูล 5, 5, 5, 5, 5, 5 มี X = 5 จะเห็นวา ขอมูลแตละตัวไมแตกตางจากคาเฉลี่ยเลขคณิต ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดนี้จะเทากับ 0 2) ขอมูล 10, 10, 10, 20, 20, 20 มี X = 15 จะเห็นวา ขอมูลแตละตัวตางจากคาเฉลี่ยเลขคณิต เทากับ 5 และ iX X− = 5

พิจารณาคา 6

ii 1

X X

6=

−∑ ของขอมูลชุดนี้ซึ่งเทากับ 6 5

6× หรือ 5

แสดงวา สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดนี้ควรมีคาใกลเคียง 5 จากการหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จากสูตรพบวา s = 5.47

0 10 20 30 40 × × × × ×

0 10 20 30 40 × × × × ×

46

3) ขอมูล 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 มี X = 14

พิจารณาคา 9

ii 1

X X

9=

−∑ ของขอมูลชุดนี ้ ซึ่งเทากับ

8 6 4 2 0 2 4 6 89

+ + + + + + + + ≈ 4.4 แสดงวา สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดนี้ควรมีคาใกลเคียง 5 จากการหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จากสูตรพบวา s = 5.47 4) ขอมูล 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 มี X = 25

พิจารณาคา 9

ii 1

X X

9=

−∑ ของขอมูลชุดนี ้ ซึ่งเทากับ

20 15 10 5 0 5 10 15 209

+ + + + + + + + = 1009

≈ 11.11 แสดงวา ขอมูลชุดนี้ไมควรมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานใกลเคียงกับ 5 จากการหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จากสูตรพบวา s = 13.69 5. ขอมูลชุดแรก 16, 23, 34, 56, 78, 92, 93 มี X = 56 ขอมูลชุดที่สอง 20, 27, 38, 60, 82, 96, 97 มี X = 60 พิจารณาความแตกตางคาจากการสังเกตกับคา X ของขอมูลแตละชุดดังนี้ ชุดแรก X 60= ชุดที่สอง

15 25 35 45 55 65 75 85 95 105

X 56=

19 29 39 49 59 69 79 89 99 109

× × × × × × ×

× × × × × × ×

47

จากแผนภาพจะเห็นวา ขอมูลทั้ง 2 ชุด มีการกระจายจากคาเฉลี่ยเลขคณิต ( X ) ในลักษณะที่ใกลเคียงกัน ดังนั้น ถาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดแรกมีคา 30 (โดยประมาณ) สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดที่สองควรจะมีคา 30 (โดยประมาณ) ดวย หาคาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลทั้งสองชุด โดยใชสูตรไดดังนี้

ขอมูลชุดแรก s = n

2i

i 1(X X)

n 1=

−

−

∑

s = 1600 1089 484 0 484 1296 13696

+ + + + + +

= 63226

≈ 32.46

ขอมูลชุดที่สอง s = n

2i

i 1(X X)

n 1=

−

−

∑

s = 1600 1089 484 0 484 1296 13696

+ + + + + +

= 63226

≈ 32.46 จากการคํานวณคาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานพบวา สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ ขอมูลทั้งสองชุดนี้เทากัน 6. 1) X = 201

10 = 20.1

2) s = n

2i

i 1(X X)

n 1=

−

−

∑

= 0.01 0.01 1.21 0.81 0.81 4.41 0.01 3.61 8.41 9.619

+ + + + + + + + +

= 28.99

≈ 1.79

48

3) ถาขอมูลชุดนี้มีคาเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐานเทากัน ขอมูลชดุนี้ควรจะมีการ กระจายแบบสมมาตร 7. 1) X = 51 และ s = 2.26 2) เนื่องจากการสุมชั่งน้ําหนักมันสําปะหลัง 15 กระสอบ พบวา คาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักมันสําปะหลังหนึ่งกระสอบ คือ 51 กิโลกรัม ดังนั้น ถาใหน้ําหนักของมันสําปะหลังหนึ่งกระสอบ คือ 51 กิโลกรัม รถบรรทุกซึง่บรรทุกน้ําหนักไดไมเกิน 5 ตัน (5,000 กิโลกรัม) จึงควรบรรทุก มันสําปะหลัง ไดไมเกินคันละ 5000

51 หรือ 98 กระสอบ

เฉลยคําถามเพิ่มเติม 1. 1) จากแผนภาพกลองของนักเรียนหอง ม.5/1 คาต่ําสุด คือ 60 คาสูงสุดคือ 100 และ Q1 = 67, Q2 = 75 และ Q3 = 88 ดังนั้น 25% ของนักเรียนหอง 5/1 ที่ไดคะแนนอยูในกลุมต่ําสุด อยูในชวง คะแนน 60 – 67 โดยมีคะแนนต่ําสุด 60 และคะแนนสูงสุด 67 คะแนน 2) จากแผนภาพกลองของนักเรียนหอง ม.5/2

60 67 75 88

100

64 77 85 91

98

49

คาต่ําสุดคือ 64 คาสูงสุดคือ 98 และ Q1 = 77, Q2 = 85 และ Q3 = 91 ดังนั้น นักเรียนหอง ม. 5/2 ที่ไดคะแนนมากกวาหรือเทากับ 91 คะแนน มีประมาณ 25% 3) มีนักเรียนหอง ม. 5/1 อยู 50% ที่ไดคะแนนนอยกวาหรือเทากับ 75 คะแนน 4) มีนักเรียนหอง ม. 5/2 อยู 75% ที่ไดคะแนนมากกวาหรือเทากับ 77 คะแนน 5) ถาผูสอนใหระดับคะแนน 4 แกผูสอบที่ไดคะแนนตั้งแต 80 คะแนนขึ้นไป จากแผนภาพกลองพบวา นักเรียนหอง ม.5/2 มีผูที่สอบไดคะแนน 80 คะแนน ซึ่งไดระดับคะแนน 4 เกิน 50% ในขณะที่หอง ม.5/1 มีนักเรียนที่ไดคะแนน ตั้งแต 80 คะแนนขึ้นไป ไมถึง 50% (เนื่องจาก Q2 เทากับ 75 คะแนน) ดังนั้น หอง ม.5/2 ควรจะมีผูที่ไดระดับคะแนน 4 มากกวาหอง ม.5/1 2. เปนไปไมไดที่แผนภาพที่สามจะแทนคะแนนเฉลี่ยจากการสอบทั้งสองครั้งของ

นักเรียนแตละคนในกลุมนี้ เพราะคะแนนสูงสุดของแผนภาพที่สาม ไมใชคะแนนเฉลี่ยสูงสุดของนักเรียนกลุมนี้ ถึงแมวานักเรียนที่ไดคะแนนสูงสุดจากการสอบทั้งสองครั้งเปนคนเดียวกันก็ตาม

หมายเหตุ ผูสอนอาจใหผูเรียนอภิปรายรวมกันวาถาคะแนนเต็มของการสอบแตละ ครั้งไมเทากัน เหตุผลขางตนยังเปนไปไดหรือไม