บทที่ 2ฟงกชันตรีโกณมิติ

( 40 ชั่วโมง )

วิชาตรีโกณมิติแตเดิมไมไดนิยาม ไซน โคไซน แทนเจนต ในรูปของฟงกชัน แตนิยามในรูปของอัตราสวนระหวางความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และเมื่อนําไปประยุกตสวนมากก็จะเปนการประยุกตในเรื่องระยะทาง ความสูง โดยอาศัยรูปสามเหลี่ยม ดวยเหตุนี้จึงทําใหบางคนคิดวาวิชาตรีโกณมิติเปนวิชาที่เกี่ยวกับดานและมุมของรูปสามเหลี่ยมเทานั้น และเมื่อเขียน sin x ก็ทําใหเขาใจวา x เปนขนาดของมุมแตเพียงอยางเดียว แตในปจจุบันมีการใชวิชาการนี้อยางกวางขวาง เชน ในการศึกษาเกี่ยวกับวิชาแสง เสียงและในวิชาแคลคูลัส การอินทิเกรตฟงกชันบางชนิดจะตองใชฟงกชันตรีโกณมิติชวยในการอินทิเกรต ดังนั้นการศึกษาวิชาตรีโกณมิติจึงไมควรจะจํากัดอยูเฉพาะเรื่องที่เกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม ดังนั้นเพื่อใหผูเรียนมีความเขาใจวิชาตรีโกณมิติกวางขวางขึ้นจึงไดจัดสาระการเรียนรูตามลําดับดังนี้ ฟงกชันไซนและโคไซน คาของฟงกชันไซนและโคไซน ฟงกชันตรีโกณมิติอ่ืนๆ ฟงกชันตรีโกณมิติของมุม การใชตารางคาฟงกชันตรีโกณมิติ ฟงกชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลตางของจํานวนจริงหรือมุม ตัวผกผันของฟงกชันตรีโกณมิติ เอกลักษณและสมการตรีโกณมิติ กฎของโคไซนและไซน และการหาระยะทางและความสูง

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวัง1. มีความคิดรวบยอดเกี่ยวกับฟงกชันตรีโกณมิติ และเขียนกราฟของฟงกชันที่กําหนดใหได2. นําความรูเร่ืองฟงกชันตรีโกณมิติและการประยุกตไปใชแกปญหาได

ผลการเรียนรูที่คาดหวังเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้นทางดานความรูดังนั้นในการจัดการเรียนรู ผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรูดานทักษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตรดวยการสอดแทรกกิจกรรมหรือโจทยปญหาที่จะสงเสริมใหผูเรียนเกิดทักษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตรที่จําเปนอันไดแก ความสามารถในการแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตรและการนําเสนอ การเชื่อมโยงความรูตาง ๆ ทางคณิตศาสตรและเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอ่ืน และการคิดริเร่ิมสรางสรรค นอกจากนั้นกิจกรรมการเรียนรู ควรสงเสริมใหผูเรียนตระหนักใน คุณคาและมีเจตคติที่ดีตอวิชาคณิตศาสตร ตลอดจนฝกใหนักเรียนทํางานอยางเปนระบบ มีระเบียบวินัย รอบคอบมีความรับผิดชอบ มีวิจารณญาณ และมีความเชื่อมั่นในตนเอง

52

ปญหาและขอเสนอแนะ1. ในการเริ่มตนสอนบทนี้ ผูสอนควรเริ่มตนสอนโดยถือเสมือนวาผูเรียนไมเคยเรียนตรีโกณมิติ

มาเลย เพื่อใหผูเรียนเขาใจวาฟงกชันตรีโกณมิติเปนฟงกชันของจํานวนจริงกอน แลวจึงคอยกลาวถึงฟงกชันตรีโกณมิติของมุม ดังลําดับหัวขอที่ใหไวในหนังสือเรียน มิฉะนั้นจะเปนการยากที่จะใหผูเรียนเขาใจบทนิยามของฟงกชันตรีโกณมิติของจํานวนจริง เนื่องจากผูเรียนมักจะนึกถึงฟงกชันของมุมและคาของฟงกชันของมุม

2. ความรูพื้นฐานในการเรียนบทนี้ไดแกความรูในเรื่องวงกลมหนึ่งหนวย การสมมาตรและความยาวของสวนโคงของวงกลม

3. เมื่อเร่ิมสอน ผูสอนควรทําใหผูเรียนเขาใจเกี่ยวกับการวัดระยะไปตามสวนโคงของวงกลมหนึ่งหนวยใหยาว θ หนวย โดยเริ่มวัดจากจุด (1, 0) ไปถึงจุด (x, y) โดยคิดทิศทางและควรกําหนด θ เปนจํานวนจริงตาง ๆ เชน 2, -2, 7, 1

3, 2 เปนตน จํานวนจริงที่สําคัญอีกจํานวนหนึ่งก็คือ π ซ่ึงเปน

จํานวนอตรรกยะที่มีคา 3.14159265358979323846… เหตุที่ใชจํานวนจริง π เพราะความยาวของเสนรอบวงอยูในรูปของ π และในการนิยามฟงกชันตรีโกณมิติ จะนิยามโดยใชวงกลมหนึ่งหนวย ในบทนี้จะใชคา πเทากับ 3.1416

4. กราฟของความสัมพันธ 2 2{ (x, y) (x h) (y k) 1 }− + − = จะเปนวงกลมรัศมี 1 หนวย (unitcircle) ซ่ึงมีจุดศูนยกลางอยูที่จุด (h, k) ในหนังสือเรียนนี้เมื่อกลาวถึง วงกลมหนึ่งหนวย (The unit circle)จะหมายถึงวงกลมรัศมี 1 หนวยที่มีจุดศูนยกลางอยูที่จุดกําเนิดซึ่งเปนกราฟของความสัมพันธ

2 2{ (x, y) x y 1 }+ = เทานั้น5. ผูสอนควรใหผูเรียนเขาใจความหมายของสัญลักษณ เชน cos θ 2 , cos2θ , (cos θ)2 วาเหมือน

กันหรือตางกันอยางไร6. ในการหาคาของฟงกชันไซนและโคไซนของจํานวนจริงบางจํานวน เชน , ,

6 4 3π π π นั้นใชทฤษฎี

ทางเรขาคณิตเกี่ยวกับวงกลม ดังนั้นเพื่อชวยใหผูเรียนเขาใจไดรวดเร็วข้ึน ผูสอนควรทบทวนทฤษฎีบทตอไปนี้“ในวงกลมเดียวกันหรือวงกลมที่เทากัน คอรดที่ตัดสวนโคงออกไดยาวเทากันยอมยาวเทากัน”

ผูสอนอาจชวยใหผูเรียนเขาใจทฤษฎีบทดังกลาวไดดังนี้6.1 โดยใชความรูเกี่ยวกับสมมาตรซึ่งใชวิธีพับรูปใหทับกันสนิท เชน จากรูป ใหสวนโคง AB เทากับสวนโคง BC จะเห็นวา OB เปนแกนสมมาตร ของรูปสามเหลี่ยมฐานโคง OAB กับรูปสามเหลี่ยมฐานโคง OBC AB ทับกับ BC สนิท นั่นคือ คอรด AB เทากับคอรด BC6.2 โดยการพิสูจน ซ่ึงการพิสูจนนี้ตองใชความรูที่วา “ในวงกลมเดียวกัน

O

BA

C

53

หรือวงกลมที่เทากัน มุมที่จุดศูนยกลางซึ่งรองรับดวยสวนโคงที่เทากัน ยอมเทากัน” ดังนี้ให A เปนจุดศูนยกลางของวงกลม และใหสวนโคง BC ยาวเทากับสวนโคง CDดังนั้น BAC CAD

∧ ∧

=

จะได ∆ ABC ≅ ∆ ACD (ด.ม.ด.)ดังนั้น คอรด BC ยาวเทากับคอรด CD

หมายเหตุ สําหรับความรูที่วา “ในวงกลมเดียวกันมุมที่จุดศูนยกลางซึ่งรองรับดวยสวนโคงที่เทากันยอมยาวเทากัน” นั้น ผูเรียนไดเรียนมาแลวในชั้นชวงชั้นที่ 3 ซ่ึงผูสอนอาจทบทวนความรูดังกลาวโดยใชวิธีดังตอไปนี้

มุมที่จุดศูนยกลางซึ่งรองรับดวยสวนโคงที่ยาว 2πr หนวย มีขนาดกี่องศา ( 360° )

มุมที่จุดศูนยกลางซึ่งรองรับดวยสวนโคงที่ยาว 1 หนวย มีขนาดกี่องศา (r

180π

o

)

มุมที่จุดศูนยกลางซึ่งรองรับดวยสวนโคงที่ยาว a หนวย มีขนาดกี่องศา (r

180π

o

) a

ดังนั้นถามีสวนโคงยาว a หนวยเทากันและ r เปนรัศมีของวงกลมมุมที่จุดศูนยกลางจึงเทากันคือ 180a

rπ องศา

7. หนังสือเรียนจะแสดงเฉพาะ θ ที่เปนบวกและจุดปลายสวนโคงที่ยาว θ หนวย อยูในควอดรันตที่หนึ่งผูสอนควรแสดงรูปในกรณีที่จุดปลายสวนโคงที่ยาว θ หนวย ตกอยูในควอดรันตที่ 2 (ดังรูป ก) หรือควอดรันตที่ 3หรือควอดรันตที่ 4 ตลอดจนกรณีที่ θ เปนจํานวนลบ เชน ดังรูป ขเพื่อใหผูเรียนเห็นวาสําหรับทุกคาของ θ ∈ R

sin ( - θ ) = - sin θcos ( - θ ) = cos θ

8. หลังจากที่ผูเรียนไดรูจักฟงกชัน tangent, cotangent, cosecant และ secant แลวควรใหผูเรียน

AB

C D

aar

O

Y

X(1, 0)

θ

- θ

0

รูป กY

X(1, 0)- θ

θ

0

รูป ข

54

สรุปขอความตอไปนี้ได โดยใชบทนิยามของฟงกชันเหลานี้และผลที่ไดจากขอ 7 เมื่อ θ เปนจํานวนจริง

tan ( - θ ) = - tan θcot ( - θ ) = - cot θcosec ( - θ ) = - cosec θsec ( - θ ) = sec θ

9. คาของฟงกชันตรีโกณมิติในตารางที่กําหนดไวใหทายหนังสือเรียนนั้น สวนใหญเปนคาโดยประมาณ แตมีบางคาที่เปนคาที่ถูกตอง เชน sin 30° = 0.5000, tan 45° = 1.0000 ในหนังสือเรียนจะเขียนคาของฟงกชันตรีโกณมิติของจํานวนจริง (หรือมุม) ที่กําหนดใหวาเทากับคาที่อานไดจากตาราง จะไมใชเครื่องหมาย ≈ เชน sin

4π = 0.7071

ถาตองการจะตรวจสอบวาคาของฟงกชันตรีโกณมิติของจํานวนจริง (หรือมุม) ที่กําหนดใหคาใดเปนคาโดยประมาณ คาใดเปนคาที่แทจริง อาจทําไดโดยอาศัยสมการ sin 2θ + cos 2θ = 1 ถาคานั้นสอดคลองกับสมการแสดงวาเปนคาที่แทจริง ถาใกลเคียงก็แสดงวาเปนคาประมาณ เชน

จากตาราง sin 41° = .6561 cos 41° = .7547

จะได sin2 41° + cos2 41° = .430467 + .569572 ≈ 1.000 จะเห็นวาคาดังกลาวไมสอดคลองกับสมการ sin 2θ + cos 2θ = 1

ดังนั้นคา sin2 41° และ cos2 41° ที่ไดจากตารางจึงเปนคาโดยประมาณ10. ผูสอนควรใหผูเรียนสังเกตวา เมื่อ 0 ≤ x ≤

2π

1) sin x, tan x, sec x จะมีคาเพิ่มขึ้น เมื่อ x เพิ่มขึ้น 2) cos x, cot x, cosec x จะมีคาลดลง เมื่อ x เพิ่มขึ้น

3) sin x, tan x, sec x จะมีคาลดลง เมื่อ x ลดลง 4) cos x, cot x, cosec x จะมีคาเพิ่มขึ้น เมื่อ x ลดลง

ขอสังเกตนี้มีประโยชนในการเขียนกราฟและการหาคาของฟงกชันตรีโกณมิติเมื่อกําหนดจํานวนจริง (หรือมุม) ให หรือการหาจํานวนจริง (หรือมุม) เมื่อกําหนดคาของฟงกชันตรีโกณมิติให โดยที่คาที่กําหนดใหนั้นไมอยูในตาราง ดังนั้น การประมาณคาของฟงกชันตรีโกณมิติที่เพิ่มขึ้นหรือลดลง จึงควรจะพิจารณาสมบัติของฟงกชันดังกลาวขางตน

55

11. ในการสอนใหผูเรียนเขียนกราฟของ y = sin x หรือ y = cos x โดยใชวงกลมหนึ่งหนวยนั้นผูสอนอาจสรางและใชอุปกรณดังนี้

วัสดุท่ีใช ไม 2 แผน (แผนบนเปนรูปวงกลมหนึ่งหนวยติดอยูบนแผนไมรูปสี่เหล่ียม)ตะปูและเชือก 1 เสน (หรือแถบกระดาษ)

วิธีใช 1) ใชเชือกหรือแถบกระดาษวัดรอบรูปวงกลมหนึ่งหนวย ความยาวที่ไดจะเปน 2π หนวย แลวแบงสเกลบนเชือกหรือแถบกระดาษเปน π,

2π ,

3π ,

4π ,

8π หรือจํานวนอื่นๆ

ตามตองการ 2) ใชเชือกหรือกระดาษวัดระยะไปตามสวนโคง (โดยคิดทิศทาง) จนไดความยาวของ สวนโคง ตามตองการ ใหจุดปลายของสวนโคงนั้นเปนจุด B หาระยะหางระหวาง จุด B กับ สวนของเสนตรง AM และ สวนของเสนตรง PQ (โดยคิดเครื่องหมาย) ไดเปนระยะ BF และ BD ตามลําดับ 3) นําคาของความยาวของสวนโคงถึงจุด B กับระยะ BF มาลงจุด ( AB , BF ) บน ระนาบแกนมุมฉาก XY โดยท่ี

แกน X เปนแกนบอกความยาวของสวนโคง โดยคิดทิศทางการวัดแกน Y เปนแกนบอกระยะหางระหวางจุดปลายโคงนั้นกับ สวนของเสนตรง AM (คิดทิศทางการวัด)

4) จุดอื่น ๆ จะหาไดในทํานองเดียวกัน เชน ( AC , CE )− ทําเชนนี้ไปเรื่อยๆ ก็จะได กราฟของ y = sin x

5) ในทํานองเดียวกัน กราฟของ y = cos x หาไดจากการลงจุดซึ่งเปนคูอันดับของ

M A (1, 0)

PD B

FE

C GQ

0

56

ความยาวสวนโคง กับ ระยะตั้งฉากจากจุดปลายสวนโคงนั้นกับสวนของเสนตรง PQ(บนระนาบแกนมุมฉาก XY) โดยคิดทิศทางการวัด เชน ( AB , BD )

หมายเหตุ AB หมายถึงความยาวของสวนโคง AB

12. ในการใชตารางคาฟงกชันตรีโกณมิติเพื่อหาคาของฟงกชันตรีโกณมิติที่ θ เมื่อกําหนด θ ใหหรือเพื่อหาคา θ เมื่อกําหนดคาของฟงกชันตรีโกณมิติที่ θ นั้น ผูสอนควรจะทบทวนสมบัติของฟงกชันดังตอไปนี้

1) ถา f เปนฟงกชัน และ θ1 = θ2

จะได f (θ1) = f (θ2) เชน ถา θ =

4π จะได sin θ = sin

4π

2) ถา f เปนฟงกชันแตไมเปนฟงกชัน 1 - 1และ f (θ1) = f (θ2)

ไมอาจสรุปไดวา θ1 = θ2

เชน จาก sin π = 0 และ sin 2π = 0 ดังนั้น sin π = sin 2π = 0

แต π ≠ 2π

13. ในการพิจารณาชวงที่มีกราฟเหมือนกันของฟงกชันที่เปนคาบ (periodic function) นั้นจะเริ่มจากจุดใดก็ได เชน กราฟของ y = sin x ซ่ึงมีคาบเปน 2π อาจพิจารณาชวงที่มีกราฟซ้ํากันไดดังรูป

14. ในเรื่องของฟงกชันที่เปนคาบ นอกจากจะกลาวถึงเรื่องคาบ ยังกลาวถึงเรื่องแอมพลิจูด ซ่ึงคาบและแอมพลิจูดจะบอกลักษณะและขอบเขตของกราฟ ดังนั้น ผูสอนควรใหผูเรียนเขียนกราฟเหลานี้บนกระดาษกราฟแลวใหสังเกตดูวากราฟของแตละฟงกชันมีคาบและมีแอมพลิจูดเปนอยางไร เชน

X

Y

01

-1-π-2π π 2π

2π 2π

2π 2π 2π2π 2π

57

จากรูป กราฟของ y = sin x และ y = 2sin x มีคาบเทากันคือ 2π แตมีแอมพลิจูดตางกันคือ มีคาเปน 1 และ 2 ตามลําดับ

15. ในหนังสือเรียนไมไดใหบทนิยามของฟงกชันที่เปนคาบไว เพราะไมไดมุงหวังใหผูเรียนสามารถพิสูจนไดวาฟงกชันที่กําหนดใหเปนฟงกชันที่เปนคาบหรือไม สําหรับบทนิยามของฟงกชันที่เปนคาบเปนดังนี้

“ฟงกชัน f ซ่ึงไมเปนฟงกชันคงตัว จะเปนฟงกชันที่เปนคาบก็ตอเมื่อมีจํานวนจริง p ที่ทําใหf (x + p) = f (x) สําหรับทุกคาของ x และ x + p ที่อยูในโดเมนของ f

และถา p เปนจํานวนบวกที่นอยที่สุดที่ทําใหฟงกชัน f มีสมบัติดังกลาวจะเรียก p วาคาบ(fundamental period) ของฟงกชัน f”

16. เนื่องจากบทเรียนนี้เปนการใหนักเรียนรูจักฟงกชันตรีโกณมิติในลักษณะของฟงกชันที่จับคูระหวางจํานวน θ ซ่ึงเปนความยาวของสวนโคงบนวงกลมหนึ่งหนวยกับจํานวนจริงซึ่งสัมพันธกับจุดปลายของสวนโคง ผูสอนควรเริ่มตนดวยการทบทวนความหมายของฟงกชันเสียกอน และใหผูเรียนไดเรียนรูและเกิดทักษะในการแกปญหาเกี่ยวกับฟงกชันไซน และฟงกชันโคไซนใหดีกอนที่จะแนะนําใหรูจักฟงกชันตรีโกณมิติอ่ืนๆ เพื่อใหผูเรียนเกิดแนวคิดที่ชัดเจนและสามารถนําแนวคิดที่ไดไปปรับใชได

17. กรณีที่ผูเรียนมีความสับสนในการจับคูระหวางความยาวสวนโคง 3π

, 4π

และ 6π

กับคูอันดับ (21

, 23

) , ( 2

1,

21

) และ (23

,21

) ผูสอนอาจใหผูเรียนวาดรูปเพื่อแสดงจุดปลาย

ของสวนโคงที่ยาว 3π

, 4π

และ 6π

และเปรียบเทียบคาของ 21

, 23

และ 2

1 วาสามารถเรียงคาจาก

มากไปนอยหรือจากนอยไปมากไดเชนใด ก็จะชวยใหผูเรียนสามารถจับคูระหวางความยาวสวนโคงและจุดปลายสวนโคงไดถูกตอง

X

Y

y = 2sin xy = sin x

π012

-2-1

-π-2π 2π

58

18. เมื่อผูเรียนสามารถหาคาของฟงกชันตรีโกณมิติของจํานวนจริงหรือของมุม α ± β ไดแลว

ผูสอนควรใหผูเรียนหาคาของฟงกชันตรีโกณมิติ π ± α , 2π± α เปรียบเทียบกับผลที่ไดมากอนหนานี้

เชน ผูเรียนควรหาไดวาsin (π + α) = sin πcos α + cos πsin α

= - sin α

หรือ cos(2π

- α ) = cos2π

cos α + sin 2π

sin α

= sin α เปนตน ในกรณีที่หาคา tan ( )

2π± α และ cot ( )

2π± α ตองเปลี่ยนใหอยูในรูป sin ( )

2π± α และ

cos ( )2π± α เสียกอน19. ในหนังสือเรียนไมไดกลาวถึงโดเมนและเรนจของฟงกชันผกผันของฟงกชัน cotangent, cosecant

และ secant ซ่ึงถาผูเรียนถามผูสอนอาจตอบวาหนังสือบางเลมกําหนดโดเมนและเรนจดังนี้

ฟงกชัน โดเมน เรนจarccotangent R {y | 0 < y < π}arcsecant {x | x ≥ 1 หรือ x ≤ -1} {y | 0 ≤ y <

2π หรือ

2π < y ≤ π}

arccosecant {x | x ≥ 1 หรือ x ≤ -1} {y | 0 < y ≤ 2π หรือ -

2π ≤ y < 0}

20. ผูสอนควรบอกผูเรียนวาเอกลักษณใดที่ไดพิสูจนแลว สามารถนําไปอางอิงได และผูสอนควรแนะนําเอกลักษณที่เห็นวาสําคัญ เชน

1) เอกลักษณพื้นฐาน (basic identities) 1sin

cscθ =

θ

1cossec

θ =θ

sin 1tancos cot

θθ = =

θ θ

sin ( ) sin−θ = − θ

cos ( ) cos−θ = θ

tan ( ) tan−θ = − θ

59

2) เอกลักษณแบบพีทาโกรัส (Pythagorean identities) 2 2sin cos 1θ + θ =

2 21 tan sec+ θ = θ

2 21 cot csc+ θ = θ

3) เอกลักษณแบบฟงกชันรวม (Cofunction identities) sin ( x) cos x

2π− =

cos ( x) sin x2π− =

tan ( x) cot x2π− =

4) เอกลักษณแบบผลบวกและผลตาง sin ( ) sin cos cos sinα ± β = α β ± α β

cos ( ) cos cos sin sinα ± β = α β α βm

tan tantan ( )1 tan tan

α ± βα ± β =

α βm

5) เอกลักษณแบบจํานวนทวีคูณ sin 2x 2 sin x cos x=

2 2cos 2x cos x sin x= −

2

2 tan xtan 2x1 tan x

=−

2 1 cos 2xsin x2

−=

2 1 cos 2xcos x2

+=

6) เอกลักษณแบบครึ่งมุม x 1 cos xsin

2 2−

= ±

x 1 cos xcos2 2

+= ±

x 1 cos xtan2 1 cos x

−= ±

+

60

21. เพื่อใหผูเรียนไมมีความรูสึกวาเอกลักษณตรีโกณมิติมีมากเกินไป ผูสอนควรใหผูเรียนเลือกจําเฉพาะบางเอกลักษณ แลวนําเอกลักษณเหลานั้นไปพัฒนาเปนเอกลักษณอ่ืนๆ เชน

จากเอกลักษณ 2 2sin cos 1θ + θ = ซ่ึงไดมาจากสมการของวงกลมหนึ่งหนวย x2 + y2 = 1 เมื่อนํา sin2θ หารตลอดจะได

2 21 cot csc+ θ = θ

เมื่อนํา cos2θ หารตลอดจะได tan2θ + 1 = sec2θ

หรือจากเอกลักษณ sin( α+ β) สามารถพัฒนาไปสู sin 2x เปนตน

22. ในการสอนการพิสูจนเอกลักษณ สําหรับผูเรียนที่มีความสามารถทางการเรียนไมมากนัก ผูสอนควรเริ่มตนจากการยกตัวอยางที่งายกอน แลวจึงคอยๆยกตัวอยางที่ยากขึ้น เพื่อให ผูเรียนไมเกิดความทอถอยตั้งแตแรก ดังตัวอยางตอไปนี้

ตัวอยางที่ 1 จงพิสูจนวา sin2(–θ) + cos2(–θ) = 1วิธีทํา sin2(–θ) + cos2(–θ) = [sin(–θ)]2 + [cos(–θ)]2

= (–sin θ)2 + (cos θ)2

= (sin θ)2 + (cos θ)2

= 1

ตัวอยางที่ 2 จงพิสูจนวา 2 2sin ( ) cos ( )sin( ) cos( )

−θ − −θ−θ − −θ

= cos θ – sin θ

วิธีทํา2 2sin ( ) cos ( )sin( ) cos( )

−θ − −θ−θ − −θ

=2 2[sin( )] [cos( )]

sin( ) cos( )−θ − −θ−θ − −θ

=2 2( sin ) (cos )

sin cos− θ − θ− θ− θ

=2 2(sin ) (cos )

sin cosθ − θ

− θ− θ

= (sin cos )(sin cos )(sin cos )

θ− θ θ+ θ− θ+ θ

= cos θ – sin θ

61

ตัวอยางที่ 3 จงพิสูจนวา 1 tan1 cot+ θ+ θ

= tan θ

วิธีทํา 1 tan1 cot+ θ+ θ

= 1 tan11tan

+ θ

+θ

= 1 tantan 1tan

+ θθ+θ

= tan (1 tan )tan 1θ + θ

θ+= tan θ

ตัวอยางที่ 4 จงพิสูจนวา sin 1 cos1 cos sin

θ + θ+

+ θ θ = 2 csc θ

วิธีทํา sin 1 cos1 cos sin

θ + θ+

+ θ θ=

2 2sin (1 cos )(1 cos )(sin )

θ+ + θ+ θ θ

=2 2sin 1 2cos cos(1 cos )(sin )θ+ + θ+ θ+ θ θ

=2 2(sin cos ) 1 2cos(1 cos )(sin )θ+ θ + + θ+ θ θ

= 2 2cos(1 cos )(sin )

+ θ+ θ θ

= 2(1 cos )(1 cos )(sin )

+ θ+ θ θ

= 2(1 cos )(1 cos )(sin )

+ θ+ θ θ

= 2sinθ

= 2 csc θ

ตัวอยางที่ 5 จงพิสูจนวา 1 coscos 1 sin

θ−

θ + θ = tan θ

วิธีทํา 1 coscos 1 sin

θ−

θ + θ=

21 sin coscos (1 sin )+ θ− θ

θ + θ

=2sin (1 cos )

cos (1 sin )θ+ − θθ + θ

62

=2sin sin

cos (1 sin )θ+ θθ + θ

= sin (1 sin )cos (1 sin )

θ + θθ + θ

= tan θ

23. การพิสูจนเอกลักษณโดยทั่ว ๆ ไปไมมีกฏเกณฑแนนอนตายตัว เพียงแตพยายามแสดงใหเห็นวาทั้งสองขางของสมการนั้นเทากันจริงสําหรับทุกคาของสมาชิกที่อยูในโดเมนของฟงกชันทั้งหมดในสมการโดยอาศัยเอกลักษณที่พิสูจนแลวการพิสูจนเอกลักษณอาจจะเริ่มทําจากนิพจนที่อยูทางซายของสมการใหเหมือนกับนิพจนที่อยูทางขวาของสมการ หรือทําจากนิพจนที่อยูทางขวาของสมการใหเหมือนกับนิพจนที่อยูทางซายของสมการ หรืออาจจะทําจากนิพจนที่อยูแตละขางของสมการใหผลสุดทายเปนนิพจนเดียวกันสําหรับบางเอกลักษณการทําจากนิพจนที่อยูแตละขางของสมการใหผลสุดทาย เปนนิพจนเดียวกันจะสะดวกกวาการทําจากนิพจนขางใดขางหนึ่งใหเหมือนกับนิพจนอีกขางหนึ่งดังตัวอยางตอไปนี้

จงพิสูจน 2 2tan sin cot cos 2 sin cos cot tanθ θ + θ θ + θ θ = θ + θ

LS = 2 2sin cossin cos 2 sin coscos sin

θ θθ + θ + θ θ

θ θ

=3 3sin cos 2 sin cos

cos sinθ θ+ + θ θ

θ θ

=4 4 2 2sin cos 2 sin cos

sin cosθ + θ + θ θ

θ θ

=2 2 2 2(sin cos ) (sin cos )

sin cosθ + θ θ + θ

θ θ

= 1sin cosθ θ

RS = cos sinsin cos

θ θ+

θ θ

=2 2cos sinsin cosθ + θθ θ

= 1sin cosθ θ

LS = RS

24. ในเรื่องการแกสมการตรีโกณมิติ เมื่อเอกภพสัมพัทธคือ เซตของจํานวนจริงหรือมุม ในกรณีที่หาคา θ เมื่อ 0 < θ < 2π ไดมากกวา 1 คานั้น การตอบคําตอบในรูปของคาทั่วไป ไมจําเปนตองใหผูเรียน

63

เขียนคําตอบรวมเปนคาเดียวเสมอไป ผูเรียนสามารถตอบในรูปของคาทั่วไปของแตละคาของ θ เมื่อ0 < θ < 2π ไดก็เพียงพอแลว ตัวอยางเชนจงแกสมการ cot θ = 1จะได θ = 5,

4 4π π เมื่อ 0 ≤ θ < 2π

ดังนั้น คาทั่วไปของ θ คือ 2nπ + 4π และ 2nπ + 5

4π เมื่อ n ∈ I

ผูเรียนไมจําเปนตองตอบไดวาคาทั่วไปของ θ คือ nπ + 4π เมื่อ n ∈ I

25. ในโจทยปญหาที่เกี่ยวกับเรื่องระยะทางและความสูง กรณีที่โจทยกลาวถึงผูสังเกตมองดูวัตถุเปนมุมกมหรือมุมเงย โดยที่โจทยไมไดกําหนดความสูงของผูสังเกตให ใหถือวาความสูงของผูสังเกตเปนศูนยหนวย

กิจกรรมเสนอแนะบทนิยามของฟงกชันไซนและโคไซน

ในการสอนบทนิยามของฟงกชันไซนโดยใชวงกลมหนึ่งหนวย ตลอดจนการหาคาของฟงกชันนั้นผูสอนควรทบทวนเกี่ยวกับการสมมาตรและความยาวของเสนรอบวงซึ่งอาจทําไดดังนี้

1. ผูสอนทบทวนความรูเร่ืองสมมาตร โดยใหผูเรียนดูจากรูปและบอกแกนสมมาตร เชน

รูปสี่เหล่ียมนี้มีเสนทแยงมุมเปนแกนสมมาตร

สวนโคงครึ่งวงกลมนี้มีแกน Y เปนแกนสมมาตร

Y

X0

64

สวนของเสนตรง AB สมมาตรกับสวนของเสนตรง CD โดยมีแกน Y เปนแกนสมมาตร

จุด A สมมาตรกับจุด D โดยมีแกน Y เปน แกนสมมาตร

จากความรูเร่ืองสมมาตรนี้จะนําไปใชในการหาโคออรดิเนตของจุดตาง ๆผูสอนกําหนดจุดสองจุดใด ๆ ซ่ึงสมมาตรกันโดยมีแกน X หรือแกน Y เปนแกนสมมาตรและ

กําหนดโคออรดิเนตของจุดหนึ่งให ใหผูเรียนบอกโคออรดิเนตของอีกจุดหนึ่ง เชน จากรูป

ใหจุด A (4, 1) สมมาตรกับจุด B โดยมีแกน X เปนแกนสมมาตรใหจุด P(-2, 3) สมมาตรกับจุด Q โดยมีแกน Y เปนแกนสมมาตรผูเรียนควรบอกไดวาโคออรดิเนตของจุด B และ Q คือ(4, -1) และ (2, 3) ตามลําดับ

2. ผูสอนทบทวนเรื่องวงกลมซึ่งผูเรียนควรจะบอกสิ่งตอไปนี้ได 2.1 ความสัมพันธ 2 2{ (x, y) x y 1 }+ = มีกราฟเปนวงกลม จุดศูนยกลางอยูที่จุด (0, 0)

รัศมี 1 หนวย ซ่ึงผูสอนแนะนําผูเรียนวาจะเรียกวงกลมนี้วา “วงกลมหนึ่งหนวย” 2.2 เสนรอบวงของวงกลมหนึ่งหนวยยาว 2π หนวย 2.3 วงกลมหนึ่งหนวยตัดแกน X ที่จุด (1, 0) และ (-1, 0) ตัดแกน Y ที่จุด (0, 1) และ

(0, -1) 2.4 ความยาวของสวนโคงของวงกลมหนึ่งหนวยที่วัดจากจุด (1, 0) ในทิศทวนเข็มนาฬิกา

ไปยังจุด (0, 1) , (-1, 0) , (0, -1) , (1, 0) ยาวเทากับ 3, ,2 2π π

π และ 2π หนวย ตามลําดับ 2.5 ความยาวของสวนโคงของวงกลมหนึ่งหนวยที่วัดจากจุด (1, 0) ในทิศทวนเข็มนาฬิกา

ไปยังจุดกึ่งกลางของสวนโคงที่เชื่อมระหวาง 1) จุด (1, 0) กับจุด (0, 1) ยาว

4π หนวย

2) จุด (0, 1) กับจุด (-1, 0) ยาว 34π หนวย

C D A B

O

Y

X

Y

X

QP(-2, 3)

A(4, 1)

B0

65

3) จุด (-1, 0) กับจุด (0, -1) ยาว 54π หนวย

4) จุด (0, -1) กับจุด (1, 0) ยาว 74π หนวย

ผูสอนบอกขอตกลงกับผูเรียนวาถาวัดระยะสวนโคงไปในทิศทางตามเข็มนาฬิกา จะแทนความยาวของสวนโคงดวยจํานวนลบ แตถาวัดทวนเข็มนาฬิกาจะแทนความยาวของสวนโคงดวยจํานวนบวก แลวผูสอนใหผูเรียนบอกความยาวสวนโคง ดังเชนในขอ 2.4 และ 2.5 แตใหวัดในทิศตามเข็มนาฬิกา

3. ผูสอนใหผูเรียนบอกโคออรดิเนตของจุดปลายของสวนโคงของวงกลมหนึ่งหนวยที่เร่ิมวัดจากจุด (1, 0) ไปยาว θ หนวย (โดยคิดทิศทาง) ซ่ึงผูสอนตกลงกับผูเรียนวาตอไปนี้จะเรียกจุดปลายที่ไดวา “จุดปลายสวนโคงที่ยาว θ หนวย” และผูสอนอาจใชวิธีการดังนี้

3.1 ผูสอนใหผูเรียนบอกจุดปลายสวนโคงที่ยาว 0, 2π , π, 3

2π , 2π ซ่ึงผูเรียนควรตอบไดวา

คือจุด (1, 0) , (0, 1) , (-1, 0) , (0, -1) , (1, 0) ตามลําดับ 3.2 ผูสอนใหผูเรียนบอกจุดปลายสวนโคงที่ยาว

2π

− , - π, 32π

− , -2π ซ่ึงผูเรียนควรตอบไดวาคือจุด (0, -1) , (-1, 0) , (0, 1) , (1, 0) ตามลําดับ

3.3 ผูสอนและผูเรียนอาจชวยกันหาจุดปลายสวนโคงที่ยาว , ,4 6 3π π π หนวย โดยยังไมตอง

กลาวถึงชื่อไซนและโคไซน หลังจากชวยกันหาไดแลว ผูเรียนควรบอกจุดปลายของสวนโคงที่ยาวn n n, ,4 6 3π π π เมื่อ n เปนจํานวนเต็มได โดยใชวิธีการนับเพิ่มทีละสวน และในทํานองเดียวกันควรบอกจุด

ปลายสวนโคงที่ยาว 2n , 2n , 2n4 6 3π π π

π + π + π + ได เมื่อ n เปนจํานวนเต็มใดๆ4. ผูเรียนควรสรุปไดวา เมื่อกําหนดจํานวนจริง θ ให 1 คาก็จะมีจุดปลายสวนโคงที่ยาว θ หนวย

เพียงจุดเดียวเทานั้น เชนถา

4π

θ = จะไดจุดปลายสวนโคงที่ยาว θ หนวย จุดเดียวเทานั้น คือ จุด 2 2( , )2 2

ถา 6π

θ = จะไดจุดปลายสวนโคงที่ยาว θ หนวย จุดเดียวเทานั้น คือ จุด 3 1( , )2 2

ถา 2π

θ = จะไดจุดปลายสวนโคงที่ยาว θ หนวย จุดเดียวเทานั้น คือ จุด ( 0, 1 )

5. จากขอ 4 ผูสอนใหผูเรียนบอกคูอันดับซึ่งสมาชิกตัวหนาเปนจํานวนจริง θ ที่แทนความยาวสวนโคง และสมาชิกตัวหลัง คือ พิกัดหลังของจุดปลายสวนโคงที่ยาว θ หนวย ซ่ึงผูเรียนควรบอกคูอันดับไดเชน 2 1( , ) , ( , ) , ( ,1)

4 2 6 2 2π π π

66

ผูสอนและผูเรียนชวยกันสรุปวา เนื่องจากคูอันดับเหลานี้มีเปนจํานวนมาก จึงไมสามารถเขียนเซตของคูอันดับดังกลาวแบบแจกแจงจากสมาชิกได แตสามารถเขียนเซตนี้แบบบอกเงื่อนไขได

6. ผูสอนและผูเรียนชวยกันเขียนเซตของคูอันดับดังกลาวแบบบอกเงื่อนไข จะได f = { (θ, y)θ เปนจํานวนจริง และ y เปนพิกัดหลังของจุด ( x, y) ซ่ึงเปนจุดปลายสวนโคงที่ยาว θ หนวย}

ผูสอนถามผูเรียนวา f เปนฟงกชันหรือไม ซ่ึงผูเรียนควรจะตอบไดวาเปนฟงกชันพรอมทั้งบอกเหตุผลได

ผูสอนบอกผูเรียนวาฟงกชันนี้ เรียกวา ฟงกชันไซน (sine) ดังนั้นsine คือ { (θ, y)θ เปนจํานวนจริง และ y เปนพิกัดหลังของจุด( x, y) ซ่ึงเปนจุดปลายสวนโคงที่ยาว θหนวย}

7. ผูสอนทบทวนความรูในเรื่องคาของฟงกชันวา เมื่อ f เปนฟงกชัน และ (x, y) ∈ f จะไดวา y เปนคาของฟงกชัน f ที่ x หรือเขียนไดวา y = f (x)

ดังนั้นผูเรียนควรบอกไดวา เมื่อ (θ, y) ∈ sine จะไดวา y เปนคาของฟงกชันไซนที่ θ หรือเขียนไดวา y = sine(θ) ซ่ึงผูสอนบอกผูเรียนวานิยมเขียนเปน y = sin θ

8. ผูสอนใหผูเรียนบอกคูอันดับซึ่งสมาชิกตัวหนาเปนจํานวนจริง θ ที่แทนความยาวสวนโคงและสมาชิกตัวหลังคือ พิกัดแรกของจุดปลายสวนโคงที่ยาว θ หนวย แลวใชวิธีการในทํานองเดียวกันกับขอ 5, 6และ 7 เพื่อใหนักเรียนสรุปไดวา x = cosine(θ) หรือ x = cos θ

9. ผูสอนใหผูเรียนบอกโดเมนและเรนจของฟงกชันทั้งสองซึ่งผูเรียนควรบอกไดวาDsine = Dcosine = RRsine = Rcosine = {x 1 x 1}− ≤ ≤

10. ผูสอนฝกใหผูเรียนหาคาของฟงกชันไซนและโคไซนที่ θ สําหรับ θ บางจํานวน เชน50, , , , ,

2 3 6 6π π π π

π ฯลฯ11. ผูสอนใหผูเรียนหาความสัมพันธระหวาง sin θ และ cos θ ซ่ึงผูเรียนควรสรุปไดวา

sin2θ + cos2θ = 112. ผูสอนแนะนําใหผูเรียนเขาใจความหมายของสัญลักษณ cos2θ กับ (cos θ)2 และ cos θ2

ฟงกชันตรีโกณมิติอ่ืน ๆในการสอนเกี่ยวกับบทนิยามของฟงกชันตรีโกณมิติอ่ืน ๆ ผูสอนอาจทบทวนความรูเร่ืองพีชคณิต

ของฟงกชันและใชวิธีการดังตอไปนี้

67

1. ผูสอนยกตัวอยางฟงกชันพีชคณิต 2 ฟงกชัน แลวใหผูเรียนหาผลหารของฟงกชันพรอมทั้งบอกโดเมนของฟงกชันผลลัพธ เชน

ให f = { (x, y) | y = 1} g = { (x, y) | y = x - 5}

ซ่ึงผูเรียนควรตอบไดวา f 1{(x, y) y }g x 5

= =−

และ โดเมนของ fg

คือ { x | x ≠ 5 }

2. ผูสอนกําหนดฟงกชัน g และ h ตอไปนี้ g = { (θ, y) | y = sin θ}

h = { (θ, y) | y = cos θ} ใหผูเรียนบอกโดเมนของ g และ h และใหหา g

h และ

gh ผูเรียนควรตอบไดวา

Dh = Dg = R g

h = { (θ, y) | y = sin

cosθθ

, cos θ ≠ 0}hg

= { (θ, y) | y = cossin

θθ

, sin θ ≠ 0}

3. ผูสอนบอกผูเรียนวาฟงกชัน gh

นี้เรียกวาฟงกชัน tangent และ gh เรียกวา ฟงกชัน cotangent

และเนื่องจาก (θ, y) ∈ tangent ผูเรียนควรบอกไดวา y = tangent θ = sin

cosθθ

, cos θ ≠ 0

ในทํานองเดียวกันเมื่อ (θ, y) ∈ cotangent ผูเรียนควรบอกไดวา y = cotangent θ = cos

sinθθ

, sin θ ≠ 0

4. ผูสอนแนะนําผูเรียนวาอาจเขียน “tangent” ยอๆ เปน “tan” ได แลวผูสอนใหผูเรียนหาโดเมนและเรนจของฟงกชัน tan ซ่ึงผูเรียนควรตอบไดวา

Dtan = { x | x ∈ Dsin ∩ Dcos , cos x ≠ 0 } แต cos x ≠ 0 เมื่อ x ≠ n

2π , โดยที่ n เปนจํานวนคี่

นั่นคือ Dtan = { x | x ∈ R , x ≠ n2π , n เปนจํานวนคี่ }

และแนะนําฟงกชัน cot ในทํานองเดียวกัน5. ผูสอนใชคําถามเพื่อใหผูเรียนสรุปเกี่ยวกับฟงกชัน cosecant ดังนี้

ถาให f = { (θ, y) | y = 1} g = { (θ, y) | y = sin θ}

68

จะได fg

= { (θ, y) | y = 1sin θ

, sin θ ≠ 0}

ผูสอนบอกผูเรียนวาฟงกชัน fg

นี้เรียกวาฟงกชัน cosecant ดังนั้น

cosecant คือ { (θ, y) | y = 1sin θ

, sin θ ≠ 0}

และเนื่องจาก (θ, y) ∈ cosecant ผูเรียนควรบอกไดวา y = cosecant θ = 1

sin θ , sin θ ≠ 0

6. ผูสอนแนะนําสัญลักษณ cosec และ csc แลวใหผูเรียนบอกโดเมนและเรนจของฟงกชันcosecant ผูเรียนควรตอบไดวา

Dcosec = { x | x ∈ Dsin ∩ R , sin x ≠ 0 } แต sin θ ≠ 0 เมื่อ θ ≠ nπ โดยที่ n เปนจํานวนเต็ม นั่นคือ Dcosec = { x | x ∈ R , x ≠ nπ , n ∈ I }

การพิจารณาเรนจของฟงกชัน cosecant คือพิจารณา cosec x ทําไดดังนี้ เนื่องจาก -1 ≤ sin x ≤ 1 นั่นคือ sin x 1≤

จะได 11sin x

≤

cosec x 1≥

นั่นคือ cosec x ≥ 1 หรือ cosec x ≤ -1 ดังนั้น Rcosec = { x | x ≥ 1 หรือ x ≤ -1 }7. ผูสอนใชวิธีการเดียวกันนี้สําหรับฟงกชันตรีโกณมิติอ่ืน ๆ8. ผูสอนใหผูเรียนหาความสัมพันธระหวางฟงกชันตรีโกณมิติตาง ๆ เชน 1 + tan2θ = sec2θ ,

1 + cot2θ = cosec2θ หลังจากนั้นฝกใหผูเรียนใชความสัมพันธเหลานี้ โดยการหาคาของฟงกชันหนึ่งเมื่อกําหนดคาของฟงกชันอีกฟงกชันหนึ่งให เชน

(1) กําหนด sin θ = 0.40 , 2π

< θ < π ใหหา cos θ (โดยใช sin2θ + cos2θ = 1) (2) กําหนด tan θ = 0.75 ,

2π

< θ < π ใหหา sec θ (โดยใช 1 + tan2θ = sec2θ ) (3) กําหนด cot θ = 0.75 ,

2π

< θ < π ใหหา cosec θ (โดยใช 1 + cot2θ = cosec2θ )

69

การหา cos (α - β) เม่ือ α , β เปนจํานวนจริงหรือมุมใด ๆ1. ผูสอนทบทวนความรูเกี่ยวกับฟงกชันตรีโกณมิติและระยะทางระหวางจุด 2 จุดซึ่งผูเรียนควรจะ

บอกไดวา 1.1 ถา (m, n) เปนจุดปลายสวนโคงที่ยาว θ หนวยแลว จะได m = cos θ และ n = sin θ 1.2 2 2sin cos 1θ + θ =

1.3 ระยะระหวางจุด (a, b) และ (c, d) เทากับ 2 2(a c) (b d)− + −

2. ผูสอนและผูเรียนชวยกันหา cos (α - β) ตามขั้นตอนดวยวิธีการตอไปนี้ เนื่องจากในวงกลมหนึ่งหนวย จุดปลายสวนโคงที่ยาว θ หนวย คือจุด (cos θ , sin θ) ดังนั้น

นักเรียนควรบอกไดวา ถา P1 เปนจุดปลายสวนโคงที่ยาว α หนวย จะไดโคออรดิเนตของจุด P1 คือ (cos α , sin α)

ถา P2 เปนจุดปลายสวนโคงที่ยาว β หนวย จะไดโคออรดิเนตของจุด P2 คือ (cos β , sin β) ถา P3 เปนจุดปลายสวนโคงที่ยาว α - β หนวย จะไดโคออรดิเนตของจุด P3 คือ

(cos (α - β) , sin (α - β))

เนื่องจากสวนโคง P1P2 และสวนโคง AP3 ตางก็ยาวเทากับ α - βดังนั้น คอรด P1 P2 ยาวเทากับคอรด AP3

นั่นคือ 1 2 3P P AP=

2 2(cos cos ) (sin sin )α− β + α − β = 2 2{cos ( ) 1} sin ( )α − β − + α − β

ยกกําลังสองทั้งสองขาง จะได2 2(cos cos sin sin )− α β + α β = 2 2 cos ( )− α− β

2(cos cos sin sin )− α β + α β = 2 cos ( )− α− β

ดังนั้น cos ( ) cos cos sin sinα− β = α β + α β

P1

Y

X0

P2

A (1, 0)

βα

Y

X0 A (1, 0)

P2 ( cos β , sin β)

P1 ( cos α , sin α )

P3 ( cos (α - β ) , sin (α - β ) )

70

ตัวผกผันของฟงกชันตรีโกณมิติ1. ผูสอนอาจทบทวนเรื่องตัวผกผันของฟงกชัน โดยกําหนดฟงกชันทั้งแบบบอกเงื่อนไขและแบบ

แจกแจงสมาชิกแลวใหนักเรียนหาตัวผกผันของแตละฟงกชันนั้น เชนf = { (1, 2) , (2, 4) , (4, 6) , (5, 4) }g = 2{ (x, y) y x 5 }= +

h = { (x, y) 2y 3x 4 }− =

ผูเรียนควรหาตัวผกผันของแตละฟงกชันนั้นไดและบอกไดวาเปนฟงกชันหรือไม2. ผูสอนทบทวนเรื่องฟงกชันผกผันซึ่งผูเรียนควรบอกไดวาคือตัวผกผันของฟงกชันที่เปนฟงกชัน

และฟงกชัน 1 – 1 เทานั้นที่มีฟงกชันผกผัน3. ผูสอนใหผูเรียนพิจารณาฟงกชัน { (x, y) y sin x }= ใหผูเรียนบอกตัวผกผันของฟงกชันนี้และ

บอกดวยวาเปนฟงกชันหรือไม เพราะเหตุใด ผูเรียนควรตอบไดวาคือ { (x, y) x sin y }= ซ่ึงไมเปนฟงกชัน เพราะฟงกชันไซนไมเปนฟงกชัน 1 – 1 ในการพิจารณาวาตัวผกผันของฟงกชันไซน เปนฟงกชันหรือไม ผูสอนอาจใหผูเรียนพิจารณาจากกราฟของ y = sin x ก็ได

4. จากกราฟของ y = sin x ผูสอนและผูเรียนชวยกันพิจารณาหาชวงบนแกน X ที่ทําใหกราฟเปนฟงกชัน 1 – 1 และฟงกชันนั้นมีเรนจเปน [-1, 1] ซ่ึงผูเรียนควรหาชวงไดตาง ๆ กัน เชน [ 3,

2 2π π ] ,

[ 3 5,2 2π π ] , [ ,

2 2π π

− ] , [ 3 ,2 2π π

− − ]

23π0 X

Y

1

-1 2π

23π

−2π

−

1

-10 X

Y

2π

−

X

Y

1

-10

2π

23π

2π0

1

-1X

Y

52π

71

5. ผูสอนใหผูเรียนเขียนฟงกชันที่มีกราฟอยูในแตละชวงที่หาได ซ่ึงผูเรียนควรเขียนไดดังนี้3{(x, y) y sin x, x }

2 2π π

= ≤ ≤

3 5{(x, y) y sin x, x }2 2π π

= ≤ ≤

{(x, y) y sin x, x }2 2π π

= − ≤ ≤

3{(x, y) y sin x, x }2 2− π π

= ≤ ≤ −

.

.

.6. จากฟงกชันที่ไดในขอ 5 ผูสอนใหผูเรียนบอกฟงกชันที่มี 0 เปนสมาชิกในโดเมนผูเรียนควรตอบ

ไดวาคือ {(x, y) y sin x, x }2 2π π

= − ≤ ≤ ซ่ึงผูสอนบอกผูเรียนวา โดยท่ัวไปมักนิยมใหเปนฟงกชันผกผัน

ของฟงกชันไซน จะเรียกฟงกชันนี้วา arcsine ดังนั้น arcsine คือ{(x, y) x sin y, y }

2 2π π

= − ≤ ≤

นั่นคือ สําหรับ (x, y) ∈ arcsine จะได y = arcsin x เมื่อ x = sin y และ y

2 2π π

− ≤ ≤

7. ผูสอนอาจใชวิธีการทํานองเดียวกับขางตนในการใหนิยามฟงกชัน arccosine และ arctangentดังนั้น arccosine คือ { (x, y) x cos y, 0 y }= ≤ ≤ π

และ arctangent คือ { (x, y) x tan y, y }2 2π π

= − < <

8. ใหผูเรียนสรุปโดเมนและเรนจของฟงกชัน arcsine, arccosine และ arctangent

9. ผูสอนฝกใหผูเรียนหาคาของฟงกชันผกผันทั้งสาม ซ่ึงผูเรียนจําเปนตองทราบวาคาของฟงกชันผกผันตองอยูในเรนจของฟงกชันผกผันนั้น ๆ เชน ผูสอนใหผูเรียนแทนคา arcsin 2

2

เมื่อให arcsin 22

= t แลว นักเรียนควรบอกไดวา

sin t = 22

และ t2 2π π

− ≤ ≤

ดังนั้น t = 4π นั่นคือ arcsin 2

2 =

4π

72

การเขียนกราฟของฟงกชันไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติเปนกราฟที่มีความสําคัญ โดยเฉพาะกราฟของฟงกชันไซนและโคไซน เนื่องจากผูเรียนมีความรูพื้นฐานในการเขียนกราฟมาแลว ดังนั้นการเขียนกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ ผูสอนอาจดําเนินการตามตัวอยางตอไปนี้ เพื่อใหผูเรียนเกิดทักษะในการเขียนกราฟของฟงกชันไซนและโคไซน

กราฟของ y = sin x 0 ≤ x ≤ π

โดเมน คือ [0, π ] เรนจ คือ [0, 1]

กราฟของ y = sin x , 0 ≤ x ≤ 2π กราฟของ y = sin x x ∈ R

โดเมน คือ [0, 2π] เรนจ คือ [–1, 1] โดเมน คือ เซตของจํานวนจริง เรนจ คือ [–1, 1]

ฟงกชันตรีโกณมิติทุกฟงกชันเปนฟงกชันที่เปนคาบ กราฟของฟงกชันในแตละชวงยอยจะมีลักษณะเหมือนกัน ความยาวของชวงยอยที่ส้ันที่สุดที่มีสมบัติดังกลาว เรียกวาคาบ คาบของฟงกชัน y = sin x เทากับ 2π ดังรูป

x sin x0 0

6π 1

2

2π 156π 1

2

π 0

12

1

6π

2π 5

6π

X

Y

0 π

X1

–12π π

Y

0 X

Y

1

–1 –π π 2π

X

Y

1–1

2π 2π 2π

–2π–4π 2π 4π

2π

0

73

การแบงคาบของกราฟ y = sin x อาจจะตางจากตัวอยางขางตนก็ไดแตคาบจะเทากับ 2π เสมอ

ฟงกชันไซนมีคาสูงสุดเทากับ 1 และคาต่ําสุดเทากับ - 1 คร่ึงหนึ่งของคาสูงสุดลบดวยคาต่ําสุดของฟงกชันไซน 1 ( 1)( 1)

2− −

= เรียกวาแอมพลิจูดนั่นคือ ฟงกชัน y = sin x มีคาบเทากับ 2π และแอมพลิจูดเทากับ 1

กราฟของ y = a sin x a ∈Ra = 1, y = sin x, 0 ≤ x ≤ 2π

ฟงกชัน y = sin x มีคาบ เทากับ 2π และแอมพลิจูดเทากับ 1กราฟของ y = sin x ตัดแกน X ที่จุด (0, 0), (π, 0) และ (2π, 0)

a = 2, y = 2 sin x, 0 ≤ x ≤ 2π

ฟงกชัน y = 2 sin x มีคาบ เทากับ 2π และแอมพลิจูดเทากับ 2กราฟของ y = 2 sin x ตัดแกน X ที่จุด (0, 0), (π, 0) และ (2π, 0)

1

–12π π X

Y

0

2

–22π π X

Y

0

X

Y

1–1

2π

–2π–4π 2π 4π

2π 2π 2π 2π

0

74

a = 12

, y = 12

sin x, 0 ≤ x ≤ 2π

ฟงกชัน y = 12

sin x มีคาบ เทากับ 2π และแอมพลิจูดเทากับ 12

กราฟของ y = 12

sin x ตัดแกน X ที่จุด (0, 0), (π, 0) และ (2π, 0)

a = –1, y = – sin x, 0 ≤ x ≤ 2π

ฟงกชัน y = – sin x มีคาบ เทากับ 2π และแอมพลิจูดเทากับ 1กราฟของ y = – sin x ตัดแกน X ที่จุด (0, 0), (π, 0) และ (2π, 0)

กราฟของ y = sin(nx) , n ∈Rn = 2, y = sin 2x, 0 ≤ x ≤ 2π

ฟงกชัน y = sin 2x มีคาบ เทากับ π และแอมพลิจูดเทากับ 1กราฟของ y = sin 2x ตัดแกน X ที่จุด (0, 0), (

2π , 0), (π, 0), ( 3

2π , 0) และ (2π, 0)

1

–12π π X

Y

0

1

–1X

Y

0 2π π

12

2π π X

Y

012

−

75

n = 12

, y = sin 12

x, 0 ≤ x ≤ 2π

ฟงกชัน y = sin 12

x มีคาบ เทากับ 4π และแอมพลิจูดเทากับ 1

กราฟของ y = sin 12

x ตัดแกน X ที่จุด (0, 0), (2π, 0) และ (4π, 0)ในกรณีทั่วไป

เมื่อทราบคาบและแอมพลิจูดของฟงกชันไซนที่กําหนดให เราสามารถรางกราฟของฟงกชันไซนอยางคราว ๆ ไดดังตัวอยางที่ไดกลาวมาแลว

กราฟของฟงกชันโคไซนเราสามารถเขียนกราฟของฟงกชันโคไซนไดในทํานองเดียวกับการเขียนกราฟ

ของฟงกชันไซนตามที่ไดกลาวมาโดยทั่วไป

f : R → R, f(x) = cos (nx)คาบ เทากับ 2

nπ แอมพลิจูด เทากับ 1 เรนจ คือ [–1, 1]

f : R → R, f(x) = a cos (nx), n, a > 0คาบ เทากับ 2

nπ แอมพลิจูด เทากับ a เรนจ คือ [–a, a]

12 X

Y

0 4π 2π

f : R → R, f(x) = sin (nx)คาบ เทากับ 2

nπ แอมพลิจูด เทากับ 1 เรนจ คือ [–1, 1]

f : R → R, f(x) = a sin (nx), n, a > 0คาบ เทากับ 2

nπ แอมพลิจูด เทากับ a เรนจ คือ [–a, a]

76

กราฟของ y = cos x , 0 ≤ x ≤ 2π

กราฟของ y = cos x , –2π ≤ x ≤ 2π

ฟงกชัน y = cos x มีคาบเทากับ 2π และแอมพลิจูดเทากับ 1กราฟของฟงกชัน y = cos x ตัดแกน X ที่จุด 3( , 0)

2π

− , ( , 0)2π

− , ( , 0)2π และ 3( , 0)

2π

เมื่อผูเรียนมีความเขาใจและสามารถเขียนกราฟของฟงกชันไซน และ ฟงกชันโคไซน ไดแลวผูสอนควรฝกใหผูเรียนเขียนกราฟของฟงกชันไซน และ ฟงกชันโคไซน ที่มีรูปแบบตางไปจากเดิม ซ่ึงในที่นี้จะขอยกตัวอยางเพียงการเขียนกราฟของฟงกชันไซนเทานั้น เพราะเมื่อผูเรียนมีความเขาใจหลักการแลวก็จะสามารถเขียนฟงกชันตรีโกณมิติอ่ืนๆ โดยอาศัยหลักการเดียวกันนี้ได

ตัวอยาง จงเขียนกราฟของ y = – sin x + 2วิธีทํา จากกราฟของ y = sin x เขียนกราฟของ y = – sin x ไดดังนี้

1

–1X

Y

0 2π π

x cos x0 1

2π 0π –132π 0

2π 1

32π

2π

2π

−32π

−0–2π 2π X

Y

2

-2

Y

X–π2π π 2π 5

2π

32π

2π

−

y = sin x

0

77

จากกราฟ y = – sin x เขียนกราฟของ y = – sin x + 2 ไดดังนี้

สําหรับตัวอยางที่ 1 – 3 ในหนังสือเรียน หัวขอ 2.8 หนา 142 – 143 นั้น ผูสอนอาจอาศัยกราฟเพื่อชวยใหผูเรียนเกิดความเขาใจ และสามารถหาคําตอบไดงายและรวดเร็วข้ึน โดยขอยกตัวอยางที่ 1เพียงตัวอยางเดียว ดังนี้ตัวอยางที่ 1 จงหาคาของ arcsin 1วิธีทํา ให arcsin 1 = θ จะได sin θ = 1

หาคา θ เมื่อ 22π

≤θ≤π

− และ sin θ = 1

พิจารณากราฟ y = sin θ

จากกราฟ จะพบวา เมื่อ 22π

≤θ≤π

− จะมี θ = 2π เพียงคาเดียวที่ sin θ = 1

ดังนั้น arcsin 1 = 2π

–π2π

π 2π

52π3

2π

2π

−

2

-2

Y

X

y = –sin x

0

–π2π π 2π 5

2π

32π

2π

−

4

2

-2

Y

X

y = –sin x + 2

0

52π3

2π

2π

− 2π

Y

θ–π π 2π–1

1

0

78

ตัวอยางแบบทดสอบประจาํบท

1. กําหนดให sin α + cos α = 1.2 จงหาคาของ sin3α + cos3α

2. จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC กําหนดให AC = 4 หนวย , BP = 1 หนวย และ BP ⊥AC ที่จุด P จงหาคามุม θ

3. กําหนดให a และ b เปนคาคงตัว และ 23 4cos

1 2sin− + θ

− θ = a + b sin θ

จงหาคา a และ b ที่ทําใหสมการนี้เปนจริงทุก ๆ คามุม θ4. จงหาคามุม x ทั้งหมด ซ่ึง 0 ≤ x ≤ 2π และ sin 2x + cos 2x + sin x + cos x + 1 = 05. รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง มีดานทั้งสามยาว x, y และ 2 2x xy y+ + หนวย

จงหามุมที่ใหญที่สุดของรูปสามเหลี่ยมนี้6. กําหนดให ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมใดๆ ที่อยูภายในวงกลม ซ่ึง AB = 2 หนวย ,

BC = 3 หนวย, CD = 4 หนวย และ DA = 6 หนวย ดังรูป จงหาความยาวดาน AC

7. จงหาคา x ที่ทําใหสมการ cos10x – sin10x = 1 เปนจริง เมื่อ 0 ≤ x ≤ 2π8. กําหนดให sin 54° = cos 36° จงหาคาของ sin 18°9. ถาความยาวของเข็มยาวและเข็มสั้นของนาฬิกาเทากับ 6 เซนติเมตร และ 4 เซนติเมตร

ตามลําดับ จงหาระยะทางจากจุดปลายของเข็มยาวไปยังจุดปลายของเข็มสั้น เมื่อนาฬิกาเรือนนี้บอกเวลา 14.00 น.

A

B

D

C

32x

6 4

A

B Cθ

P

79

10. รูปสามเหลี่ยม ABC รูปหนึ่งมี AC = BC และ ABAC

= r จงพิสูจนวา

cos A + cos B + cos C = 1 + r – 2r2

เฉลยตัวอยางแบบทดสอบ

1. เนื่องจาก sin α + cos α = 1.2 ---------- (1)ยกกําลังสองทั้งสองขาง จะได

(sin α + cos α)2 = (1.2)2

sin2α + 2 sin α cos α + cos2α = 1.44 1 + 2 sin α cos α = 1.44

sin α cos α = 0.22 ---------- (2)ดังนั้น (sin α + cos α)3 = (1.2)3

sin3α + 3 sin2 α cos α + 3 sin α cos2α + cos3α = 1.728 sin3α + 3 sin α cos α (sin α + cos α) + cos3α = 1.728 ---------- (3)แทนคาสมการ (1) และ (2) ลงในสมการ (3) sin3α + 3(0.22)(1.2) + cos3α = 1.728ดังนั้น sin3α + cos3α = 0.936

2. พื้นที่ ∆ ABC = 12

(4)(1) = 2 ----------- (1)

แตพื้นที่ ∆ ABC = 12

AB⋅BC

= 12

AC sin θ ⋅ AC cos θ

= 8 sin θ cos θ= 4 sin 2θ ----------- (2)

จากสมการ (1) และ (2)จะได 2 = 4 sin 2θ

sin 2θ = 12

ดังนั้น 2θ = 30° หรือ 150°นั่นคือ θ = 15° หรือ 75°

80

3.23 4cos

1 2sin− + θ

− θ=

23 4(1 sin )1 2sin

− + − θ− θ

=21 4sin

1 2sin− θ− θ

= (1 2sin )(1 2sin )1 2sin

− θ + θ− θ

= 1 + 2 sin θ

เนื่องจากโจทยกําหนดให 23 4cos

1 2sin− + θ

− θ = a + b sin θ

ดังนั้น a = 1 และ b = 2

4. sin 2x + cos 2x + sin x + cos x + 1 = 0 , 0 ≤ x ≤ 2π2 sin x cos x + 2 cos2x – 1 + sin x + cos x + 1 = 0 sin x (2 cos x + 1) + cos x (2 cos x + 1) = 0

(sin x + cos x)(2 cos x + 1) = 0ถา sin x + cos x =0sin x 1cos x

+ = 0

tan x = –1x = 3 7,

4 4π π

ถา 2 cos x + 1 = 0cos x = 1

2−

x = 2 4,3 3π π

ดังนั้น x = 2 4 3, ,3 3 4π π π หรือ 7

4π

5. เนื่องจาก 2 2x xy y+ + เปนดานที่ยาวที่สุด ดังนั้น มุมตรงขามดาน 2 2x xy y+ +

เปนมุมที่ใหญที่สุดโดยกฎของโคไซนจะได x2 + xy + y2 = x2 + y2 – 2xy cos θ

cos θ = 12

−

θ = 120°ดังนั้น มุมที่ใหญที่สุดมีขนาดเทากับ 120°

x yθ

2 2x xy y+ +

81

6. ใชกฎของโคไซน พิจารณารูป ∆ ABC และ ∆ ADC จาก ∆ ABC จะได x2 = 4 + 9 – 12 cos B ---------- (1)จาก ∆ ADC จะได x2 = 36 + 16 – 48 cos D ---------- (2)เนื่องจากรูปสี่เหล่ียม ABCD อยูภายในวงกลม จะไดวา D B

∧ ∧+ = 180°

ดังนั้น cos D = cos (180° – B)= – cos B

แทนคา cos D ลงในสมการ (2)จะได x2 = 36 + 16 + 48 cos B ---------- (3)(3) – (1) , 0 = 39 + 60 cos B

cos B = 3960

−

แทนคา cos B ลงใน (1)จะได x2 = 13 – (12) ( 39

60− )

= 1045

ดังนั้น x = 1045

7. cos10x – sin10x = 1 cos10x = 1 + sin10x ---------- (1)

เนื่องจาก 0 ≤ cos10x ≤ 1 และ 1 + sin10x ≥ 1คําตอบของสมการ (1) จะเปนไปไดเพียงกรณีเดียวเมื่อ cos10x = 1 และ sin10x = 0

cos10x = 1 จะได cos x = 1 หรือ cos x = –1ดังนั้น x = 0, π หรือ 2π

sin10x = 0 จะได sin x = 0ดังนั้น x = 0, π หรือ 2πนั่นคือ x = 0, π, 2π

8. เนื่องจาก sin 54° = cos 36°sin (3 × 18°) = cos (2 × 18°)

เพราะวา sin 3A = 3 sin A – 4 sin3Aและ cos 2A = 1 – 2 sin2A

82

ให x = sin A = sin 18°จะได 3x – 4x3 = 1 – 2x2

4x3 – 2x2 – 3x + 1 = 0(x – 1)(4x2 + 2x – 1) = 0 , x ≠ 1

4x2 + 2x – 1 = 0

x = 2 2 58

− ±

ดังนั้น sin 18° = 1 54

− +

9. มุมระหวางเข็มยาวและเข็มสั้นเมื่อนาฬิกาบอกเวลา 14.00 น. คือ 60°

จากกฎของโคไซน จะไดd2 = 62 + 42 – 2(6)(4) cos 60°

= 36 + 16 – 24= 28

d = 28 = 2 7

ดังนั้น ระยะทางจากจุดปลายของเข็มยาวไปยังจุดปลายของเข็มสั้น เมื่อนาฬิกาบอกเวลา 14.00 น. เทากับ 2 7 เซนติเมตร

10. จากรูป ให AC = BC = 1จากที่โจทยกําหนด AB

AC = r

จะได AB = rโดยกฎของโคไซน

cos A = cos B = 2r และ cos C =

2r12

−

ดังนั้น cos A + cos B + cos C = 2r r r(1 )

2 2 2+ + −

= 2r1 r2

+ −

12

6

3910

11 12

457

8

60°6

4

d

A D B

C

83

เฉลยแบบฝกหัด 2.2 ก

1. 1) 0, –1 2) 0, 13) 0, –1 4) 0, 15) –1, 0 6) 1, 07) –1, 0 8) 1, 09) 1, 0 10) –1, 011) 0, –1 12) 0, –113) 0, –1 14) 0, –115) –1, 0 16) 1, 0

2.θ sin θ cos θ

32π

43π

65π

67π

45π

34π

35π

47π

611π

23

22

21

21

−

22

−

23

−

23

−

22

−

21

−

21

−

22

−

23

−

23

−

22

−

21

−

21

22

23

84

3. 1) 0, π, 2π, 3π, –π ฯลฯ2) 5 9 3 7, , , ,

2 2 2 2 2π π π π π

− − ฯลฯ

3) 3 5 3, , , ,2 2 2 2 2π π π π − π

− − ฯลฯ

4) 0, 2π, 4π, 6π, –2π ฯลฯ5) 3 7 11 5, , , ,

2 2 2 2 2π π π π π

− − ฯลฯ

6) π, 3π, 5π, –π, –3π ฯลฯ7) 5 13 7 11, , , ,

6 6 6 6 6π π π π π

− − ฯลฯ

8) 3 5 11 3 5, , , ,4 4 4 4 4π π π π π

− − ฯลฯ

9) 4 5 10 2, , , ,3 3 3 3 3π π π π π

− − ฯลฯ

4. 1) 2 2,2 2

− 2) 2 2,2 2

3) 2 2,2 2

4) 2 2,2 2

−

5) 3 1,2 2

− 6) 1 3,2 2

−

7) 3 1,2 2

− 8) 3 1,2 2

9) 1 3,2 2

10) 3 1,2 2

−

5. ไมมี เพราะ –1 ≤ sin θ ≤ 1

เฉลยแบบฝกหัด 2.2 ข

1. ควอดรันตที่ 1 และ 22. ควอดรันตที่ 2 และ 33. cos2x – sin2x = 1

2

cos2x – (1 – cos2x) = 12

85

2cos2x – 1 = 12

cos2x = 34

cos x = 32

− , x2π≤ ≤ π

4. 1) sin 1312π = sin( )

12π

π+ = sin12π

−

cos 1312π = cos( )

12π

π+ = cos12π

−

2) 5sin3π = sin(2 )

3π

π− = sin3π

−

5cos3π = cos(2 )

3π

π− = cos3π

3) 7sin6π = sin( )

6π

π+ = sin6π

−

7cos6π = cos( )

6π

π+ = cos6π

−

4) 7sin10π = 3sin( )

10π

π− = 3sin10π

7cos10π = 3cos( )

10π

π− = 3cos10π

−

5) 9sin5π = sin(2 )

5π

π− = sin5π

−

9cos5π = cos(2 )

5π

π− = cos5π

6) 16sin( )7π

− = 16sin7π

− = 2sin(2 )7π

− π+ = 2sin7π

−

16cos( )7π

− = 16cos7π = 2cos(2 )

7π

π+ = 2cos7π

5. 1) จาก sin2θ + cos2θ = 1cos2θ = 1 – sin2θ

cos θ = 21 sin− θ

∴ cos θ = 21 (0.4848)−

= 0.8746

86

2) sin (π – θ) = sin θ= 0.4848

3) cos (π + θ) = –cos θ= –0.8746

4) sin (–θ) = –sin θ= –0.4848

5) cos (θ – 2π ) = cos θ= 0.8746

6) sin (3π – θ) = sin θ= 0.4848

6. sin( )θ− π = – sin( )π−θ

= –sin θ = 3

5−

7. 1) เท็จ2) จริง3) จริง

เฉลยแบบฝกหัด 2.3

1. 1) ควอดรันตที่ 12) ควอดรันตที่ 33) ควอดรันตที่ 24) ควอดรันตที่ 2

87

2. sin cos tan cosec sec cot

1) 0 0 1 0 – 1 – 2)

2π 1 0 – 1 – 0

3) 4π 2

2 2

2 1 2 2 1

4) 34π 2

2 2

2− –1 2 2− –1

5) 23π 3

2 1

2− 3− 2 3

3 –2 1

3−

6) π 0 –1 0 – –1 –

7) 74π 2

2− 2

2 –1 2− 2 –1

8) 43π 3

2− 1

2− 3 2 3

3− 2− 1

3

9) 72π –1 0 – –1 – 0

10) 52π 1 0 – 1 – 0

11) 2π 0 1 0 – 1 –

12) 34π

− 22

− 22

− 1 2− 2− 1

13) 54π

− 22

22

− –1 2 2− –1

14)3π

− 32

− 12

3− 2 33

− 2 13

−

15) –π 0 –1 0 – –1 – 16) 5

2π

− –1 0 – –1 – 0

17) 72π

− 1 0 – 1 – 0 18) –2π 0 1 0 – 1 –

3. cos θ = 21 sin− θ

= 21 0.48−

≈ 0.88

จํานวนจริงฟงกชัน

88

tan θ = sincos

θθ

= 0.480.88

≈ 0.55

cosec θ = 1sinθ

= 10.48

≈ 2.08

sec θ = 1cosθ

= 10.88

≈ 1.14

cot θ = cossin

θθ

= 0.880.48

≈ 1.83

4. วิธีที่ 1 sec θ + cosec θ = 5 53 4+ วิธีที่ 2 cosθ = 21 sin− θ

= 20 1512+ = 161

25−

= 3512

= 925

= 35

≈ 2.92 จะได sec θ = 53

ดังนั้น sec θ + cosec θ =

5 53 4+

= 20 1512+

≈ 2.92

5. วิธีที่ 1 2 cos θ + cot θ = 32 310

+

วิธีที่ 2

= 610

+ 3 sec2θ = 1 + tan2θ

= 3 10 35

+ = 119

+ = 109

= 10 535

+

sec θ = 103

ดังนั้น 2 cos θ + cot θ

= 32 310

+

= 3 10 35

+

= 10 535

+

4 5

θ3

110

θ3

89

6. 1) 4 3 13

+ = 4 3 33+

2) 1 3 62 3 4+ − = 6 4 3 3 6

12+ −

3) 1 32

− + = 2 3 12−

4) 2 32+

5) 2

7. 1) ไมจริง เพราะ cos2 3π π +

= 5cos

6π

= cos (π – 6π )

= cos6π

−

= 32

−

cos cos2 3π π+ = 10

2+ = 1

2

∴ cos( )2 3π π+ ≠ cos cos

2 3π π+

2) จริง

3) ไมจริง เพราะ sin sin6 3π π+ = 1 3

2 2+

sin2π = 1

∴ sin sin6 3π π+ ≠ sin

2π

4) ไมจริง เพราะ cos 2cos6 3π π+ = 3 1

2+

5cos6π = cos( )

6π

π−

= cos6π

−

= 32

−

∴ cos 2cos6 3π π+ ≠ 5cos

6π

90

5) ไมจริง เพราะ cos sin4 4π π+ = 2 2

2 2+

= 2

sin2π = 1

∴ cos sin4 4π π+ ≠ sin

2π

เฉลยแบบฝกหัด 2.4

1. 1) 120° 2) –150°3) 396° 4) 720°5) 171.89° หรือ 171° 53′

2. 1) 53π 2) 169

270π

−

3) 74π

− 4) 449π

5) 259π

−

3. 215π

4. sin cos tan cosec sec cot

1) 150° 12

32

− 33

− 2 2 33

− 3−

2) 120° 32

12

− 3− 2 33

–2 – 33

3) 315° 22

− 22

–1 2− 2 –1

4) –315° 22

22

1 2 2 1

5) 930° 12

− 32

− 33

–2 2 33

− 3

มุมฟงกชัน

91

5. 1)2 23tan 135 sec 3002sin 330

° − °°

=2 23( 1) (2)122

− − −

= 3 41−−

= 1

2) tan( 480 ) sin( 840 )cos( 390 )

− ° − − °− °

=33232

+

=2 3 32 232

+= 3 3 2

2 3× = 3

6. sin A = 122 61

= 661

cos A = 102 61

= 561

tan A = 1210

= 65

sin B = 102 61

= 561

cos B = 122 61

= 661

tan B = 1012

= 56

จาก sin A = CD10

ดังนั้น CD = 61061

× = 6061

หนวย ≈ 7.68 หนวย

cos B = DB12

ดังนั้น BD = 61261

× = 7261

หนวย ≈ 9.22 หนวย

7. กําหนด cos A = 47

ดังนั้น sin A = 337

tan A = 334

cosec A = 7 3333

sec A = 74

cot A = 4 3333

2 61

A

BC 12

10 D

A

7

4

33

92

8. เนื่องจาก –1 ≤ cos ≤ 1 หรือ 0 ≤ cos θ ≤ 1 0 ≤ 1

secθ ≤ 1

0 ≤ 1secθ

≤ 1

ดังนั้น sec θ ≥ 1จะไดวา ไมมีจํานวนจริง θ ใด ที่ทําให sec θ < 1

9. มี เพราะเรนจของฟงกชัน tangent เปนเซตของจํานวนจริง

10. เนื่องจาก tan2x = sec2x – 1จะไดsec2x + sec2x – 1 = 7

2

2sec2x = 92

sec x = 32

±

แต x2π< < π ดังนั้น sec x = 3

2−

จะได cos x = 23

−

11. วิธีท่ี 1 32 = a2 + 12

a2 = 9 – 1 = 8a = 2 2

เนื่องจาก θ อยูในควอดรันตที่ 2

จะได tan θ = 12 2

− = 24

−

วิธีท่ี 2 เพราะวา sec θ < 0 ดังนั้น cos θ < 0 ดวย

จาก sin θ = 13

จะทําให cos θ = 211 ( )3

− = 2 23

−

ดังนั้น tan θ = sincos

θθ

= 1 33 2 2×−

= 24

−

3

a

1θ

93

12. วิธีท่ี 1 a2 = 12 + 52

a = 26

เนื่องจาก θ อยูในควอดรันตที่ 3

จะได cos θ = 526

− = 5 2626

−

วิธีท่ี 2 เพราะวา sin θ < 0 ดังนั้น cosec θ < 0 ดวยจาก cot θ = 5 จะได cosec2θ = 1 + cot2θ

= 1 + 25cosec θ = 26−

sin θ = 126

−

จาก cot θ = cos θ5 = cos1

26

θ

−

cos θ = 5 2626

−

เฉลยแบบฝกหัด 2.5

1. 1) ควอดรันตที่ 1 หรือ ควอดรันตที่ 22) ควอดรันตที่ 2 หรือ ควอดรันตที่ 33) ควอดรันตที่ 2 หรือ ควอดรันตที่ 44) ควอดรันตที่ 1 หรือ ควอดรันตที่ 35) ควอดรันตที่ 1 หรือ ควอดรันตที่ 2

2. BCAB

= sin 20°

BC = 10 (0.342) = 3.42 เซนติเมตรACAB

= cos 20°

AC = 10 (0.9397) = 9.397 เซนติเมตร

3

a

1θ

20°

B

AC

10

94

3. BPAB

= sin 70°

BP = 5(0.9397)= 4.6985 เซนติเมตร

BC = BPsin50°

= 4.69850.7660

= 6.1338 เซนติเมตร

AP = AB cos 70° = 5(0.3420) = 1.71 เซนติเมตรPC = BC cos 50° = 6.1338 × 0.6428 = 3.9428 เซนติเมตรAC = AP + PC = 1.71 + 3.9428 = 5.6528 เซนติเมตร

4. BD = AB cos 40°= 6(0.7660)= 4.5960 เซนติเมตร

AD = AB sin 40°= 6(0.6428)= 3.8568 เซนติเมตร

DC = AD cot 30° = 3.8568 × 1.7321 = 6.680 เซนติเมตรCA = AD

sin30° = 2 × 6.680 = 13.360 เซนติเมตร

BC = BD + DC = 4.5960 + 6.680 = 11.276 เซนติเมตร

5. จากสมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วจะได BD = DC = 20″BDAB

= cos 70°

AB = BDcos70°

= 200.3420

= 58.4795 นิ้ว

∴ เสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วยาว 58.4795 + 58.4795 + 40 = 156.959 นิ้ว

P50°70°

B

A C

5

40° 30°

110°6

DB C

A

A

CB40″D

70°70°

95

6. จาก DEBE

= tan 40°

DE = 60(0.8391) = 50.346∴ ตึกที่สูงกวา สูง 40 + 50.346 = 90.346 ฟุต

7. จากรูป BCAB

= sin 60°

AB = BCsin 60°

= 50 23× = 100 3

3

∴ ระยะทางที่นักวายน้ําวายขามฝง เทากับ 100 33

เมตร

8. จากรูป x = AD – ACและ AE = AD = AB

= 90 เซนติเมตรเนื่องจาก AC

AB = cos 15°

AC = 90 cos 15° = 86.931

นั่นคือ x = 90 – 86.931 = 3.069 เซนติเมตร

เฉลยแบบฝกหัด 2.6

1. 1) แอมพลิจูด เทากับ 12

คาบ คือ 21π = 2π

2) แอมพลิจูด เทากับ 3คาบ คือ 2

1π = 2π

3) แอมพลิจูด เทากับ 3คาบ คือ 2

12

π = 4π

A C

D

EB 40°40 ฟุต

60 ฟุต

CA

B

60°50 เมตร

D

E B

A15° 15°

C x เซนติเมตร

96

4) แอมพลิจูด เทากับ 4คาบ คือ 2

3π

5) แอมพลิจูด เทากับ 12

− = 12

คาบ คือ 24π =

2π

6) แอมพลิจูด เทากับ 2− = 2คาบ คือ 21

2

π = 4π

7) แอมพลิจูด เทากับ 1คาบ คือ 2π

8) แอมพลิจูด เทากับ 3คาบ คือ 2π

2. 1) y = 1 sin 22

θ

2) y = 1 cos2

θ

Y

θ

Y

θ

97

3) y = 1 sin( 2 )2

− θ

4) y = 1 sin( 2 )2

− − θ

5) y = 12sin 12

− θ−

Y

θ

θ

Y

θ

Y

98

6) y = 12cos 12

− θ+

7) y = 2sin 2 1θ+

8) y = 2cos 2 1θ−

Y

θ

θ

Y

θ

Y

99

3. 1) จ 2) ฉ3) ก 4) ฌ5) ซ 6) ข7) ค 8) ช9) ง

เฉลยแบบฝกหัด 2.7

1. 1) cos (60° + 45°) = cos 60° cos 45° – sin 60° sin 45°

= 1 2 3 22 2 2 2

−

= 2 64 4

−

= 2 64−

= 1 ( 2 6)4

−

2) cos 3( )2 3π π− = 3 3cos cos sin sin

2 3 2 3π π π π

+

= 30 ( 1)2

+ −

= 32

−

3) cos 165° = cos (120° + 45°)= cos 120° cos 45° – sin 120° sin 45°= 1 2 3 2

2 2 2 2 − −

= 2 64 4

− −

= 1 ( 2 6)4

− +

100

4) cos 225° = cos (180° + 45°)= cos 180° cos 45° – sin 180° sin 45°

= (–1) 22

– 0

= 22

−

5) sin 105° = sin (60° + 45°)= sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45°

= 3 22 2

+ 1 22 2

= 6 24 4

+

= 1 ( 6 2)4

+

6) sin 135° = sin (90° + 45°)= sin 90° cos 45° + cos 90° sin 45°

= 2(1) 02

+

= 22

7) tan 75° = tan (30° + 45°)= tan 30 tan 45

1 tan30 tan 45° + °

− ° °

=3 1331 (1)3

+

−

= 3 3 33 3 3+

×−

= 3 33 3+−

8) tan 105° = tan (60° + 45°)= tan 60 tan 45

1 tan 60 tan 45° + °

− ° °

101

= 3 11 ( 3)(1)

+−

= 1 31 3+−

9) sin 1712π = 3sin

2 12π π −

= 3 3sin cos cos sin2 12 2 12π π π π

−

= ( 1)cos 03 4π π − − −

= cos cos sin sin3 4 3 4π π π π − +

= 1 2 3 22 2 2 2

− +

= 1 ( 2 6)4

− +

10) cos 712π = cos

2 12π π +

= cos cos sin sin2 12 2 12π π π π

−

= 0 (1)sin3 4π π − −

= sin cos cos sin3 4 3 4π π π π − −

= 3 2 1 22 2 2 2

− −

= 1 ( 2 6)4

−

11) 19tan12π = 7tan( )

12π

π+

=7tan tan1271 tan tan12

ππ+

π− π

=1 301 31 0

++

−−

= 1 31 3+−

102

12) 7tan12π = tan 105°

= 1 31 3+−

13) sin12π −

= sin

12π −

= sin3 4

π π − −

= sin cos cos sin3 4 3 4π π π π − −

= 3 2 1 22 2 2 2

− −

= 1 ( 2 6)4

−

14) sec12π −

= 1

cos12π −

= 1

cos12π

= 1

cos3 4π π −

= 1

cos cos sin sin3 4 3 4π π π π

+

= 11 2 3 22 2 2 2

+

= 42 6+

= 4 2 62 6 2 6

−⋅

+ −

= 4( 2 6)2 6−−

= 6 2−

103

15) 5cot12π −

= 1

5tan12π −

= 17tan12π − π

= 17tan tan1271 tan tan12

π − π

π + π

= 11 3 01 3+

−−

= 1 31 3−+

2. 5 5sin sin cos cos2 2 2 2π π π π − + −

= (–1)(1) + 0 = –1

3. sin sin cos cos3 4 4 3π π π π − + −

= 3 2 2 1

2 2 2 2 − +

= 6 24 4

− +

= 1 ( 2 6)4

−

4. 1) sin 20° cos 10° + cos 20° sin 10° = sin (20° + 10°)= sin 30°= 1

2

2) cos 70° cos 20° – sin 70° sin 20° = cos (70° + 20°)= cos 90°= 0

104

3) tan 20 tan 251 tan 20 tan 25

° + °− ° °

= tan (20° + 25°)= tan 45°= 1

4) 7 7sin cos cos sin12 12 12 12π π π π

− = 7sin( )12 12π π−

= sin( )2π

−

= –1

5) 5 5sin cos sin cos12 12 12 12π π π π

− = 5sin( )12 12π π−

= sin( )3π

−

= 32

−

5. 1)

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β= 3 2

5 5

+ 4 1

5 5 −

= 6 45 5 5 5

−

= 25 5

= 2 525

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β= 4 2 3 1

5 55 5 − −

= 8 35 5 5 5

+ = 115 5

= 11 525

53

4α

1

2

5

β

105

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β= 3 2 4 1

5 55 5 − −

= 6 45 5 5 5

+ = 105 5

= 2 55

tan (α – β) = tan tan1 tan tan

α − β+ α β

=3 14 23 114 2

− −

+ −

=5458

= 5 84 5× = 2

2)

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

= 4 1 3 35 2 5 2

+ −

= 4 3 310 10

− = 1 (4 3 3)10

−

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

= 3 1 4 35 2 5 2

− −

= 3 4 310 10

− − = 1 (3 4 3)10

− +

54

3α

23

1β

106

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

= 4 1 3 35 2 5 2

− −

= 4 3 310 10

+ = 1 (4 3 3)10

+

tan (α – β) = tan tan1 tan tan

α − β+ α β

=4 3341 ( 3)3

− − + −

=4 3 33

3 4 33

− −

−

= 4 3 34 3 3+

−

= 48 25 339+

3)

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

= 5 1 12 313 2 13 2

− + −

= 5 12 326 26

− −

= 1 (5 12 3)26

− +

135

12α

2

1

3

β

107

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

= 12 1 5 313 2 13 2

− − −

= 12 5 326 26

−

= 1 (12 5 3)26

−

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β= 5 1 12 3

13 2 13 2 − − −

= 5 12 326 26

− +

= 1 (12 3 5)26

−

tan (α – β) = tan tan1 tan tan

α − β+ α β

=5 ( 3)1251 ( 3)12

− − − + − −

=12 3 512

12 5 312

−

+

= 12 3 55 3 12

−+

6. 1) sin2π + θ

= sin cos cos sin

2 2π π

θ+ θ

= cos θ

2) cos

θ+π2

= cos2π cos θ – sin

2π sin θ

= – sin θ

3) sin

θ−π2

= sin2π cos θ – cos

2π sin θ

= cos θ

108

4) sin( )π+ θ = sin π cos θ + cos π sin θ= – sin θ

5) cos

θ−π2

3 = cos2

3π cos θ + sin2

3π sin θ

= – sin θ6) 3sin

2π + θ

= 3 3sin cos cos sin

2 2π π

θ+ θ

= – cos θ7) tan (π – θ) = tan tan

1 tan tanπ− θ

+ π θ

= 0 tan1 0− θ+

= – tan θ8) sin (α + β) + sin (α – β) = sin α cos β + cos α sin β + sin α cosβ

– cos α sin β= 2 sin α cos β

9) sin( )sin cos

α +βα β

= sin cos cos sinsin cos

α β+ α βα β

= cos sin1sin cos

α β+

α β

= 1 cot tan+ α β

10) cos( )cos cos

α +βα β

= cos cos sin sincos cos

α β− α βα β

= sin sin1cos cos

α β−

α β

= 1 tan tan− α β

11) sin( )sin( )

α +βα −β

= sin cos cos sinsin cos cos sin

α β+ α βα β− α β

= sin cos cos sinsin cos cos sin sin cos cos sin

α β α β+

α β− α β α β− α β

= 1 11 cot tan tan cot 1

+− α β α β−

109

= 1 1tan tan1 1tan tan

+β α

− −α β

= tan tantan tan tan tan

α β+

α − β α − β

= tan tantan tan

α + βα − β

7. 1) tan (α – β) = sin( )cos( )

α −βα −β

= sin cos cos sincos cos sin sin

α β− α βα β+ α β

=sin cos cos sincos cos cos coscos cos sin sincos cos cos cos

α β α β−

α β α βα β α β

+α β α β

, cos 0, cos 0α ≠ β ≠

= tan tan1 tan tan

α − β+ α β

2) 2 cos α sin β = cos α sinβ + cos α sin β= sin (α + β) – sin α cos β – sin (α – β) + sin α cos β= sin (α + β) – sin (α – β)

3) 2 cos α cos β = cos α cosβ + cos α cos β = cos (α + β) + sin α sin β + cos (α – β) – sin α sin β = cos (α + β) + cos (α – β)

4) 2 sin α sin β = sin α sinβ + sin α sin β = cos (α – β) – cos α cos β + cos α cos β – cos (α + β) = cos (α – β) – cos (α + β)

5) เนื่องจาก sin (x + y) – sin (x – y) = 2 cos x sin yให α = x + y, β = x – y จะได x =

2α +β , y =

2α −β

∴ sin α – sin β = 2 cos 2

α +β

sin 2

α −β

110

6) เนื่องจาก cos (x + y) + cos (x – y) = 2 cos x cos yให α = x + y, β = x – yจะได x =

2α +β , y =

2α −β

∴ cos α + cos β = 2 cos 2

α +β

cos 2

α −β

7) เนื่องจาก cos (x + y) – cos (x – y) = –2 sin α sin βให α = x + y, β = x – yจะได x =

2α +β , y =

2α −β

∴ cos α – cos β = –2 sin2

α +β

sin 2

α −β

8) จาก 2 2sin cos2 2α α+ = 1

2sin2α = 21 cos

2α

−

sin2α = 21 cos

2α

± −

จาก 2cos2α

=cos 2 1

22

α + = cos 1

2α +

∴ sin2α = cos 11

2α +

± −

= 2 cos 12

− α −±

= 1 cos2

− α±

9) จาก 2 2sin cos2 2α α+ = 1

cos2α = 21 sin

2α

± −

จาก 2sin2α

=1 cos2

22

α − = 1 cos

2− α

111

∴ cos2α = 1 cos1

2− α

± −

= 2 1 cos2

− + α±

= 1 cos2

+ α±

10) tan2α =

sin2

cos2

α

α

=1 cos2

1 cos2

− α±

+ α±

= 1 cos1 cos− α

±+ α

8. 1) sin (90° – A) = sin 90° cos A – cos 90° sin A= cos A

2) tan (90° – A) = tan 90 tanA1 tan90 tanA

° −+ °

=1 1

cot 90 cot A11

cot 90 cot A

−°

+°

=cot A cot 90cot 90 cot Acot 90 cot A 1cot 90 cot A

− °°

° +°

= cot A 00 1

−+

= cot A

3) cot (90° – B) = 1tan(90 B)° −

= 1cot B

= tan B4) sec (90° – A) = 1

cos(90 A)° −

= 1cos90 cosA sin 90 sinA° + °

= 1sinA

= csc A

112

5) csc (90° – B) = 1sin(90 B)° −

= 1sin 90 cosB cos90 sin B° − °

= 1cosB

= sec B6) sin (90° + A) = sin 90° cos A + cos 90° sin A

= cos A7) cos (270° – A) = cos 270° cos A + sin 270° sin A

= – sin A8) tan (270° – A) = sin(270 A)

cos(270 A)° −° −

= sin 270 cosA cos270 sin Acos270 cosA sin 270 sinA

° − °° + °

= cosAsinA

−−

= cot A

9. 1) cos (x – 30°) – cos (x + 30°) = 2 sin x sin 30°= 2sin x

2= sin x

2) cos (x + 45°) + cos (x – 45°) = 2 cos x cos 45°= 2 2

2 cos x

= 2 cos x

3) sin (x – 30°) + sin (x + 30°) = 2 sin x cos 30°= 2 3

2 sin x

= 3 sin x0

4) sin (x + y) sin (x – y) = (sin x cos y + cos x sin y)(sin x cos y – cos x sin y) = sin2x cos2y – cos2xsin2y = sin2x (1 – sin2y) – (1 – sin2x) sin2y = sin2x – sin2x sin2y – sin2y + sin2x sin2y = sin2x – sin2y

113

10. cos 2x = 2 cos2x – 1

=232 1

7 −

= 92 149

−

= 3149

−

11. tan 2x = 22 tan x1 tan x−

= 2

122112

−

= 1114

−= 4

3

12. cos 32° = cos 642° 1 coscos

2 2 α + α

= ±

= 1 cos642

+ ° Q 32° อยูในควอดรันตที่ 1

= 1 0.442

+ = 0.72 = 0.849

13. sin 0.52 = 1.04sin2

= 1 cos1.042

−

= 1 0.52−

= 0.25 = 0.5

14. cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y= 3 12 4 5

5 13 5 13 − − − −

= 36 2065 65

+ = 5665

15. sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y513

− = 3 4cos y sin y5 5

+

114

1) เพราะวา 0 < x < 2π , sin x = 3

5

ดังนั้น cos x = 21 sin x− = 9125

− = 45

เพราะวา π < x + y < 32π , sin (x + y) = 5

13−

ดังนั้น cos (x + y) = 21 sin (x y)− − + = 1213

−

sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y 5

13− = 3 4cos y sin y

5 5+ ---------- (*)

cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y 12

13− = 4 3cos y sin y

5 5− ---------- (**)

(*) × 4 – (**) × 3 จะได 255

sin y = 20 3613

− +

ดังนั้น sin y = 1665

2) tan (x + y) = sin(x y)cos(x y)

++

=5131213

−

−

= 512

เฉลยแบบฝกหัด 2.8

1. 1) arcsin 0ให arcsin 0 = θ จะได sin θ = 0หาคา θ เมื่อ

2 2π π

− ≤ θ ≤ และ sin θ = 0

จะพบวา เมื่อ 2 2π π

− ≤ θ ≤ จะมี θ = 0 เพียงคาเดียวที่ sin θ = 0ดังนั้น arcsin 0 = 0

115

2) arccos 1ให arcsin 0 = θ จะได cos θ = 1หาคา θ เมื่อ 0 ≤ θ ≤ π และ cos θ = 1จะพบวา เมื่อ 0 ≤ θ ≤ π จะมี θ = 0 เพียงคาเดียวที่ cos θ = 1ดังนั้น arccos 1 = 0

3) arcsin (–1)ให arcsin (–1) = θ จะได sin θ = –1หาคา θ เมื่อ

2 2π π

− ≤ θ ≤ และ sin θ = –1

จะพบวา เมื่อ 2 2π π

− ≤ θ ≤ จะมี θ = 2π

− เพียงคาเดียวที่ sin θ = –1

ดังนั้น arcsin (–1) = 2π

−

4) arccos –1ให arccos (–1) = θ จะได cos θ = –1หาคา θ เมื่อ 0 ≤ θ ≤ π และ cos θ = –1จะพบวา เมื่อ 0 ≤ θ ≤ π จะมี θ = π เพียงคาเดียวที่ cos θ = –1ดังนั้น arccos (–1) = π

5) arctan 0ให arctan 0 = θ จะได tan θ = 0หาคา θ เมื่อ

2 2π π

− < θ < และ tan θ = 0

จะพบวา เมื่อ 2 2π π

− < θ < จะมี θ = 0 เพียงคาเดียวที่ tan θ = 0ดังนั้น arctan 0 = 0

6) arctan (–1)ให arctan (–1) = θ จะได tan θ = –1

116

หาคา θ เมื่อ 2 2π π

− < θ < และ tan θ = –1

จะพบวา เมื่อ 2 2π π

− < θ < จะมี θ = 4π

− เพียงคาเดียวที่ tan θ = –1

ดังนั้น arctan (–1) = 4π

−

7) arcsin 22

ให arcsin 22

= θ จะได sin θ = 22

หาคา θ เมื่อ 2 2π π

− ≤ θ ≤ และ sin θ = 22

จะพบวา เมื่อ 2 2π π

− ≤ θ ≤ จะมี θ = 4π เพียงคาเดียวที่ sin θ = 2

2

ดังนั้น arcsin 22

= 4π

8) arctan 33

ให arctan 33

= θ จะได tan θ = 33

หาคา θ เมื่อ 2 2π π

− < θ < และ tan θ = 33

จะพบวา เมื่อ 2 2π π

− < θ < จะมี θ = 6π เพียงคาเดียวที่ tan θ = 3

3

ดังนั้น arctan 33

= 6π

9) arctan 3

ให arctan 3 = θ จะได tan θ = 3

หาคา θ เมื่อ 2 2π π

− < θ < และ tan θ = 3

จะพบวา เมื่อ 2 2π π

− < θ < จะมี θ = 3π เพียงคาเดียวที่ tan θ = 3

ดังนั้น arctan 3 = 3π

117

10) arcsin 3( )2

−

ให arcsin 3( )2

− = θ จะได sin θ = 32

−

หาคา θ เมื่อ 2 2π π

− ≤ θ ≤ และ sin θ = 32

−

จะพบวา เมื่อ 2 2π π

− ≤ θ ≤ จะมี θ = 3π

− เพียงคาเดียวที่ sin θ = 32

−

ดังนั้น arcsin 3( )2

− = 3π

−

11) arccos 3( )2

−

ให arccos 3( )2

− = θ จะได cos θ = 32

−

หาคา θ เมื่อ 0 ≤ θ ≤ π และ cos θ = 32

−

จะพบวา เมื่อ 0 ≤ θ ≤ π จะมี θ = 56π เพียงคาเดียวที่ cos θ = 3

2−

ดังนั้น arccos 3( )2

− = 56π

12) arcsin 2( )2

−

ให arcsin 2( )2

− = θ จะได sin θ = 22

−

หาคา θ เมื่อ 2 2π π

− ≤ θ ≤ และ sin θ = 22

−

จะพบวา เมื่อ 2 2π π

− ≤ θ ≤ จะมี θ = 4π

− เพียงคาเดียวที่ sin θ = 22

−

ดังนั้น arcsin 2( )2

− = 4π

−

2. 1) 81° 10′ 2) 54° 50′ 3) 55° 40′4) 26° 50′ 5) 20° 10′

3. 1) 3cos(arcsin( ))2

−

ให arcsin 32

−

= θ จะได sin θ = 32

−

118

หา θ ที่ sin θ = 32

− และ 2π

− ≤ θ ≤ 2π

แต sin3π −

= 3

2−

จะได arcsin 32

−

= 3π

−

ดังนั้น cos (arcsin 32

−

) = cos( )3π

−

= 12

2) 1sin(arcsin( ))2

−

ให arcsin 12

−

= θ จะได sin θ = 12

−

หา θ ที่ sin θ = 12

− และ 2π

− ≤ θ ≤ 2π

แต sin6π −

= 1

2−

จะได arcsin 12

−

= 6π

−

ดังนั้น 1sin(arcsin( ))2

− = sin( )6π

−

= 12

−

3) 3cos(arccos( ))2

−

ให arccos 32

−

= θ จะได cos θ = 32

−

หา θ ที่ cos θ = 32

− และ 0 ≤ θ ≤ π

แต 5cos6π = 3

2−

จะได arccos 32

−

= 56π

ดังนั้น 3cos(arccos( ))2

− = 5csc6π

= 32

−

119

4) 1tan(arcsin )3

ให arcsin 13

= θ จะได sin θ = 13

หา θ ที่ sin θ = 13

และ 2 2π π

− ≤ θ ≤

เนื่องจาก sin θ > 0 และ 2 2π π

− ≤ θ ≤

ใชรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และทฤษฎีบทพีทาโกรัส หาคําตอบไดดังนี้จากรูป sin θ = 1

3

และ tan θ = 12 2

= 24

ดังนั้น 1tan(arcsin )3

= tan θ

= 24

5) 1tan(arccos )3

ให arccos 13

= θ จะได cos θ = 13

หา θ ที่ cos θ = 13

และ 0 ≤ θ ≤ πเนื่องจาก cos θ > 0 และ 0 ≤ θ ≤ πใชรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และทฤษฎีบทพีทาโกรัส หาคําตอบไดดังนี้

จากรูป cos θ = 13

และ tan θ = 2 2

ดังนั้น 1tan(arccos )3

= tan θ = 2 2

6) 1tan(arctan )2

ให arctan 12

= θ จะได tan θ = 12

หา θ ที่ tan θ = 12

และ2π

− < θ < 2π

เนื่องจาก tan θ > 0 และ2π

− < θ < 2π

3 1

2 2

( 2 2 , 1)

θ

3

1

2 2

(1, 2 2 )

θ

120

ดังนั้น 1tan(arctan )2

= tan θ = 12

7) 2cos(arcsin )3

ให arcsin 23

= θ จะได sin θ = 23

หา θ ที่ sin θ = 23

และ2 2π π

− ≤ θ ≤

เนื่องจาก sin θ > 0 และ2 2π π

− ≤ θ ≤

ใชรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และทฤษฎีบทพีทาโกรัส หาคําตอบไดดังนี้

จากรูป sin θ = 23

และ cos θ = 73

ดังนั้น 3cos(arcsin )3

= cos θ

= 73

8) 2cot(arcsin( ))3

−

ให arcsin 2( )3

− = θ จะได sin θ = 23

−

หา θ ที่ sin θ = 23

− และ2π

− ≤ θ ≤ 2π

เนื่องจาก sin θ < 0 และ2π

− ≤ θ ≤ 2π

ใชรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และทฤษฎีบทพีทาโกรัส หาคําตอบไดดังนี้จากรูป sin θ = 2

3−

และ cot θ = 72

− = 142

−

ดังนั้น 2cot(arcsin( )3

− = cot θ

= 142

−

3θ

2

7

( 7, 2)

θ

23

( 7 , 2− )

7

121

9) csc (arctan 12

)

ให arctan 12

= θ จะได tan θ = 12

หา θ ที่ tan θ = 12

และ2π

− < θ < 2π

เนื่องจาก tan θ > 0 และ2π

− < θ < 2π

ใชรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และทฤษฎีบทพีทาโกรัส หาคําตอบไดดังนี้จากรูป tan θ = 1

2และ csc θ = 5ดังนั้น csc (arctan 1

2) = csc θ

= 510) sin (arctan (–3))

ให arctan (–3) = θ จะได tan θ = –3หา θ ที่ tan θ = –3 และ

2π

− < θ < 2π

เนื่องจาก tan θ < 0 และ2π

− < θ < 2π

ใชรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และทฤษฎีบทพีทาโกรัส หาคําตอบไดดังนี้จากรูป tan θ = –3และ sin θ = 3

10−

ดังนั้น sin (arctan (–3)) = sin θ = 3 10

10−

11) 3cot(arccos( ))3

−

ให arccos 33

−

= θ จะได cos = 33

−

หา θ ที่ cos θ = 33

− และ 0 ≤ θ ≤ πเนื่องจาก cos θ < 0 และ 0 ≤ θ ≤ πใชรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และทฤษฎีบทพีทาโกรัส หาคําตอบไดดังนี้

θ

103

(1, –3)

1

(2, 1)

θ

5 1

2

122

จากรูป cos θ = 33

−

และ cot θ = 36

− = 22

−

ดังนั้น 3cot(arccos( ))3

− = cot θ

= 22

−

12) 2 5sec(arcsin )5

ให arcsin 2 55

= θ จะได sin θ = 2 55

หา θ ที่ sin θ = 2 55

และ2 2π π

− ≤ θ ≤

เนื่องจาก sin θ > 0 และ2 2π π

− ≤ θ ≤

ใชรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และทฤษฎีบทพีทาโกรัส หาคําตอบไดดังนี้จากรูป sin θ = 2 5

5

และ sec θ = 55

= 5

ดังนั้น 2 5sec(arcsin )5

= sec θ = 5

13) 1csc(arccos )3

ให arccos 13

= θ จะได cos θ = 13

หา θ ที่ cos θ = 13

และ 0 ≤ θ ≤ πเนื่องจาก cos θ > 0 และ 0 ≤ θ ≤ πใชรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และทฤษฎีบทพีทาโกรัส หาคําตอบไดดังนี้

จากรูป cos θ = 13

และ csc θ = 32 2

ดังนั้น 1csc(arccos )3

= csc θ

36

θ

( 3, 6)−

3

5θ

2 5

5

( 5, 2 5)

(1,2 2 )

θ

3

1

2 2

123

= 32 2

= 3 24

14) tan (arcsin 0.7030)ให arcsin 0.7030 = θ จะได sin θ = 0.7030หา θ ที่ sin x = 0.7030 และ

2 2π π

− ≤ θ ≤

เปดตารางได θ = 44° 40′ดังนั้น tan (arcsin 0.7030) = tan 44° 40′

= 0.9884

15) tan (arcsin (cos )6π ) = tan (arcsin 3

2)

ให arcsin 32

= θ จะได sin θ = 32

หา θ ที่ sin θ = 32

และ 2 2π π

− ≤ θ ≤

แต sin 3π = 3

2

จะได arcsin (cos 6π ) =

3π

ดังนั้น tan (arcsin (cos 6π ) = tan

3π = 3

16) cos (arctan 3.2709)ให arctan 3.2709 = θ จะได tan θ = 3.2709หา θ ที่ tan θ = 3.2709 และ

2 2π π

− < θ <

เปดตารางได tan 73° = 3.2709จะได arctan 3.2709 = 73°ดังนั้น cos (arctan 3.2709) = cos 73°

= 0.2924

17) cos2(arcsin 0.9261)ให arcsin 0.9261 = θ จะได sin θ = 0.9261

124

หา θ ที่ sin θ = 0.9261 และ2 2π π

− ≤ θ ≤

เปดตารางได sin 67° 50′ = 0.9261จะได arcsin 0.9261 = 67° 50′ดังนั้น cos2(arcsin 0.9261) = cos2 67° 50′

= (0.3773)2

= 0.1424

18) sin (arctan 2)ให arctan 2 = θ จะได tan θ = 2หา θ ที่ tan θ = 2 และ

2π

− < θ < 2π

เนื่องจาก tan θ > 0 และ 2π

− < θ < 2π

จากรูป tan θ = 2และ sin θ = 2

5 = 2 5

5

ดังนั้น sin (arctan 2) = sin θ = 2 5

5

19) sin (2 arccos a) , a > 0ให arccos a = θ , จะได cos θ = aหา θ ที่ cos θ = a และ 0 ≤ θ ≤ π เนื่องจาก cos θ > 0 และ 0 ≤ θ ≤ πใชรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและทฤษฎีบทพีทาโกรัสหาคําตอบไดดังนี้

sin θ = 21 a−

cos θ = aดังนั้น sin (2 arccos a) = sin 2θ = 2 sin θ cos θ = 22 1 a a−

= 22a 1 a−

(1, 2)

θ

5

1

2

a

1θ

21 a−

125

20) 3 3sin(arccos arcsin( ))5 5+ −

ให arccos 35

= α จะได cos α = 35

หา α ที่ cos α = 35

และ 0 ≤ α ≤ π

เนื่องจาก cos α > 0 และ 0 ≤ α ≤ π

ใชรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และทฤษฎีบทพีทาโกรัส หาคําตอบไดดังนี้จากรูป sin α = 4

5

cos β = 35

ให arcsin 3( )5

− = β จะได sin β = 35

−

หา β ที่ sin β = 35

− และ2 2π π

− ≤ β ≤

เนื่องจาก sin β < 0 และ2 2π π

− ≤ β ≤

ใชรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และทฤษฎีบทพีทาโกรัส หาคําตอบไดดังนี้จากรูป sin β = 3

5−

cos β = 45

ดังนั้น sin (arccos 35

+ arcsin (– 35

) = sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β = 4 4 3 3( )( ) ( )( )

5 5 5 5+ −

= 16 925 25

− = 725

α3

45

β

5 3

4

126

4. 1) ให arcsin θ = xจะได sin x = θ และ x

2 2π π

− ≤ ≤

จาก cos 2x = 1 – 2 sin2x = 1 – 2θ2

ดังนั้น cos (2 arcsin θ) = cos 2x = 1 – 2θ2

2) ให arcsin 45

= x

ดังนั้น sin x = 45

และ x2 2π π

− ≤ ≤

จะได cos x = 16125

− = 35

ให arccos 1213

= y

ดังนั้น cos y = 1213

และ 0 y≤ ≤ π

จะได sin y = 1441169

− = 513

ให arcsin 1665

= z

ดังนั้น sin z = 1665

และ z2 2π π

− ≤ ≤

จะได cos z = 2161 ( )65

− = 6365

เพราะวา sin (x + y + z) = sin (x + (y + z)]

= sin x cos (y + z) + cos x sin (y + z)= sin x (cos y cos z – sin y sin z) + cos x (sin y cos z + cos y sin z)= 4 12 63 5 16 3 5 63 12 16( ) ( )5 13 65 13 65 5 13 65 13 65

⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅

นั่นคือ sin (x + y + z) = 1 จะได x + y + z = 2π

ดังนั้น 4 12 16arcsin arccos arcsin5 13 65+ + =

2π

127

3) arcsin 12

+ arcsin 32

=6 3π π+ =

2π

– arcsin (–1) = 2π

ดังนั้น arcsin 12

+ arcsin 32

= – arcsin (–1)

4) ให arctan x = θจะได tan θ = x และ

2 2π π

− < θ <

sec (arctan x) = sec θ (sec2θ = 1 + tan2θ)= 21 tan+ θ

= 21 x+

5) ให arctan 13

= θ

ดังนั้น tan θ = 13

และ2 2π π

− < θ <

เนื่องจาก tan θ > 0 จะได 0 < θ < 2π นั่นคือ 0 < 2θ < π

เพราะวา tan 2θ = 22 tan1 tan

θ− θ

=23119

−

= 34

เนื่องจาก 0 < 2θ < π และ tan 2θ > 0 จะได 0 < 2θ < 2π

จะได 2θ = arctan 34

นั่นคือ 2 arctan 13

= arctan 34

6) ให arcsin x = θจะได sin θ = x และ

2 2π π

− ≤ θ ≤

ดังนั้น cos θ = 21 x−

128

เพราะวา sin 2θ = 2 sin θ cos θ = 22x 1 x−

ดังนั้น sin (2 arcsin x) = 22x 1 x−

5. 1) ให arctan x = θจะได tan θ = x และ

2 2π π

− < θ <

ดังนั้น – tan θ = –x และ2 2π π

− < −θ <

tan(–θ) = –x และ2 2π π

− < −θ <

จะได arctan (–x) = –θนั่นคือ arctan x + arctan (–x) = θ + (–θ) = 0

อีกวิธีหนึ่งให arctan x = θ จะได tan θ = x และ

2 2π π

− < θ <

ให arctan (–x) = β จะได tan β = –x และ2 2π π

− < β <

เพราะวา tan (θ + β) = tan tan1 tan tan

θ+ β− θ β

= x ( x)1 x( x)+ −− −

= 0จาก

2 2π π

− < θ < และ2 2π π

− < β < จะได −π < θ+β < πดังนั้น θ+β = 0นั่นคือ arctan x + arctan (–x) = 0

2) ให arcsin x = y

sin y = x และ y2 2π π

− ≤ ≤

ให arccos x = z cos z = x และ 0 z≤ ≤ π

129

ดังนั้น sin y = cos z โดยที่ 0 y2π

≤ ≤ และ 0 z2π

≤ ≤

จะได y = z =4π

นั่นคือ arcsin x + arccos x = y + z = 4 4π π+ =

2π

3) ให arctan x = A จะได tan A = x และ A2 2π π

− < <

ให arctan y = B จะได tan B = y และ B2 2π π

− < <

เมื่อ A2 2π π

− < < และ B2 2π π

− < < จะได –π < A + B < π

แต arctan x + arctan y < 2π

− จะได A + B < 2π

−

นั่นคือ –π < A + B < 2π

−

0 < π + (A + B) < 2π

จาก tan (π + (A + B)) = tan (A + B)= tanA tan B

1 tanA tan B+

−

= x y1 xy+−

จะได π + (A + B) = arctan x y1 xy+−

A + B = –π + arctan x y1 xy+−

นั่นคือ arctan x + arctan y = –π + arctan x y1 xy+−

4) ให arctan x = A จะได tan A = x และ A2 2π π

− < <

ให arctan y = B จะได tan B = y และ B2 2π π

− < <

เมื่อ A2 2π π

− < < และ B2 2π π

− < < จะได –π < A + B < π

แต arctan x + arctan y > 2π จะได A + B >

2π

นั่นคือ A B2π< + < π

(A B) 02π

− < −π+ + <

130

จาก tan (–π + (A + B)) = tan (A + B)= tanA tan B

1 tanA tan B+

−

= x y1 xy+−

จะได –π + (A + B) = arctan x y1 xy+−

A + B = π + arctan x y1 xy+−

นั่นคือ arctan x + arctan y = π + arctan x y1 xy+−

เฉลยแบบฝกหัด 2.9 (1)

1. 1) csc θ ⋅ cos θ = 1sinθ

cos θ

= cossin

θθ

= cot θ

2) 1 + tan2(–θ) =2

2sin ( )1cos ( )

−θ+

−θ

=2 2

2cos ( ) sin ( )

cos−θ + −θ

θ

= 21

cos θ

= sec2θ

3) cos θ (tan θ + cot θ) = cos θ tan θ + cos θ cot θ= sin coscos ( ) cos ( )

cos sinθ θ

θ + θθ θ

=2 2sin cossinθ+ θ

θ

= 1sinθ

= csc θ

131

4) tan θ cot θ – cos2θ = sincos

θθ

2cos cossin

θ− θ

θ

= 1 – cos2θ

= sin2θ

5) (sec θ – 1)(sec θ + 1) = sec2θ – 1= tan2θ

6) (sec θ + tan θ)(sec θ – tan θ) = sec2θ – tan2θ

= 1

7) sin2θ (1 + cot2θ) = sin2θ + sin2θ 2

2cossin

θθ

= sin2θ + cos2θ

= 1

8) (sin θ + cos θ)2 + (sin θ – cos θ)2 = sin2θ + 2 sin θ cos θ + cos2θ + sin2θ – 2 sinθ cos θ + cos2θ

= 2 sin2θ + 2 cos2θ

= 2 (sin2θ + cos2θ)= 2

9) sec4θ – sec2θ = sec2θ (sec2θ – 1)= (tan2θ + 1)tan2θ

= tan4θ + tan2θ

10) sec θ – tan θ = 1cosθ

– sincos

θθ

= 1 sin (1 sin )cos (1 sin )− θ + θ

×θ + θ

=21 sin

cos (1 sin )− θθ + θ

=2cos

cos (1 sin )θ

θ + θ

= cos1 sin

θ+ θ

132

11) 3 sin2θ + 4 cos2θ = 3(1 – cos2θ) + 4 cos2θ

= 3 – 3 cos2θ + 4 cos2θ

= 3 + cos2θ

12)2cos1

1 sinθ

−+ θ

=21 sin 1 sin

1 sin 1 sin+ θ − θ

−+ θ + θ

=21 sin 1 sin

1 sin+ θ− + θ

+ θ

= sin (1 sin )1 sinθ + θ+ θ

= sin θ

13) 1 tan1 tan+ θ− θ

=sin1cossin1cos

θ+

θθ

−θ

=cos sincos

cos sincos

θ+ θθ

θ− θθ

= cos sincos sin

θ+ θθ− θ

=cos 1sincos 1sin

θ+

θθ−

θ

= cot 1cot 1

θ+θ−

14) sec sincsc cos

θ θ+

θ θ= sin sin

cos cosθ θ+

θ θ

= 2sincos

θθ

= 2 tan θ

15) 1 sin1 sin+ θ− θ

=1 sinsin sin1 sinsin sin

θ+

θ θθ

−θ θ

= csc 1csc 1

θ+θ−

133

16) 1 sin coscos 1 sin− θ

+θ − θ

=2 21 2sin sin cos

cos (1 sin )− θ+ θ+ θ

θ − θ

=2 21 2sin sin 1 sin

cos (1 sin )− θ+ θ+ − θ

θ − θ

= 2(1 sin )cos (1 sin )

− θθ − θ

= 2cosθ

= 2 sec θ 17) sin

sin cosθ

θ− θ= 1

sin cossinθ− θ

θ

= 11 cot− θ

18) 1 sin1 sin− θ+ θ

= 1 sin1 sin− θ+ θ

1 sin1 sin− θ− θ

=2

21 2sin sin

1 sin− θ+ θ

− θ

=2

21 2sin sin

cos− θ+ θ

θ

= 2 22

2sinsec tancos

θθ− + θ

θ

= sec2θ – 2 sec θ tan θ + tan2θ

= (sec θ – tan θ)2

19) cos sin1 tan 1 cot

θ θ+

− θ − θ= cos sin

sin cos1 1cos sin

θ θ+

θ θ− −

θ θ

=2 2cos sin

cos sin sin cosθ θ

+θ− θ θ− θ

=2 2cos sin

cos sinθ− θθ− θ

= (cos sin )(cos sin )cos sin

θ− θ θ+ θθ− θ

= sin θ + cos θ20) cot tan

1 tan 1 cotθ θ

+− θ − θ

=2cot tan

1 tan tan 1θ θ

+− θ θ−

=21 tan

tan1 tan

− θθ− θ

134

=31 tan

tan (1 tan )− θθ − θ

=2(1 tan )(1 tan tan )

tan (1 tan )− θ + θ+ θ

θ − θ

= 1 + tan θ + cot θ

2. 1) cos x sin xsec x csc x

+ = cos2x + sin2x= 1

2) cot θ cos θ + sin θ =2 2cos sin

sin sinθ θ+

θ θ

= 1sinθ

= csc θ

3) csc x – sin x = 21 sin x

sin x sin x−

=21 1 cos x

sin x− +

= cos x cot x

4) sin2α cot2α + tan2α cos2α =2

22

cossinsin

αα

α +

22

2sin coscos

αα

α

= 2 2cos sinα + α

= 15) sec θ – sec θ sin2θ = sec θ (1 – sin2θ)

=21 sin

cos− θ

θ

= cos θ

6) 2 sin2α – 1 = 2(1 – cos2α) – 1= 2 – 2 cos2α – 1= 1 – 2cos2α

7) tan2θ – cot2θ = (sec2θ – 1) – (csc2θ – 1)= sec2θ – csc2θ

135

8) tan2θ – sin2θ =2 2 2

2sin sin cos

cosθ− θ θ

θ

=2 2

2sin (1 cos )

cos− θ

θ

=2 2

2sin sincosθ θ

θ

= tan2θ sin2θ

3. 1) sin2θ tan θ + cos2θ cot θ + 2 sinθ cos θ = (1 – cos2θ) tan θ + (1 – sin2θ) cot θ+ 2 sin θ cos θ

= tan θ – cos2θ sincos

θθ

+ cot θ

– sin2θ cossin

θθ

+ 2 sinθ cosθ = tan θ + cot θ

2) 2 22sin cos cos

1 sin sin cosθ θ− θ

− θ+ θ− θ= 2 2

cos (2sin 1)1 sin sin 1 sin

θ θ−− θ+ θ− + θ

= 2cos (2sin 1)2sin sinθ θ−

θ− θ

= cos (2sin 1)sin (2sin 1)

θ θ−θ θ−

= cot θ

4. 1) cos (α + β) cos (α – β) = (cos α cos β – sin α sin β)(cos α cos β+ sin α cos β)

= cos2α cos2β – sin2α sin2β

= cos2α – cos2α sin2β – sin2β + sin2β cos2β

= cos2α – sin2β

2) cos (45° – θ) – sin (45° + θ) = cos 45° cos θ + sin 45° sin θ – sin 45°cos θ – cos 45° sin θ

= 22

(cos θ + sin θ – cos θ – sin θ)= 0

136

3) tan (45° – α) = t an 45 tan1 tan 45 tan

° − α+ ° α

= 1 tan1 tan− α+ α

4) cot 2θ + tan θ = cos 2sin 2

θθ

+ sincos

θθ

=2 2cos sin

2sin cosθ− θθ θ

+ sincos

θθ

= cos sin sin2sin 2cos cos

θ θ θ− +

θ θ θ

= cos sin2sin 2cos

θ θ+

θ θ

=2 22cos 2sin

4sin cosθ+ θθ θ

=2 22(cos sin )

2(2sin cos )θ+ θθ θ

= 1sin 2θ

= csc 2θ5) tan( ) tan

1 tan( ) tanα −β + β

− α −β β= tan (α – β + β)

= tan α

5. 1) sin 21 cos 2

θ+ θ

= 22sin cos1 2cos 1

θ θ+ θ−

= sincos

θθ

= tan θ

2) cot α – tan α = cos sinsin cos

α α−

α α

=2 2cos sinsin cosα − αα α

= 2cos 2sin 2

αα

= 2 cot 2α

3) 2(sin cos )2 2θ θ− = 2 2sin 2sin cos cos

2 2 2 2θ θ θ θ− +

= 1 – sin 2( )2θ

= 1 – sin θ

137

4) sin 2 sincos 2 cos 1

θ+ θθ+ θ+

= 22sin cos sin2cos 1 cos 1

θ θ+ θθ− + θ+

= sin (2cos 1)cos (2cos 1)

θ θ+θ θ+

= tan θ

6. 1) cos 3θ = cos (2θ + θ)= cos 2θ cos θ – sin 2θ sin θ= (cos2θ – sin2θ) cos θ – 2 sinθ2 cos θ= cos3θ – (1 – cos2θ) cos θ – 2 cosθ (1 – cos2θ)= cos3θ – cos θ + cos3θ – 2 cos θ + 2 cos3θ

= 4 cos3θ – 3cos θ

2) cos 4θ = cos (2θ + 2θ)= cos 2θ cos 2θ – sin 2θ sin 2θ= (2 cos2θ – 1)2 – 4 sin2θ cos2 θ= 4 cos4θ – 4 cos2θ + 1 – 4 cos2θ (1 – cos2θ)= 4 cos4θ – 4 cos2θ + 1 – 4 cos2θ + 4 cos4θ

= 8 cos4θ – 8 cos2θ + 1

3) tan 3θ = tan (2θ + θ)= tan 2 tan

1 tan 2 tanθ+ θ

− θ θ

= 2

2

2

2 tan tan1 tan

2 tan11 tan

θ+ θ

− θθ

−− θ

=2

2 22 tan tan (1 tan )1 tan 2 tanθ+ θ − θ− θ− θ

=3

23 tan tan1 3tan

θ− θ− θ

7. 1) sin A = sin (180° – (B + C))= sin (B + C)

138

2) cos A = cos (180° – (B + C))= – cos (B + C)

3) sin A + sin B + sin C = A B A B2sin cos sinC2 2+ −

+

= A B A B2sin cos sin[180 (A B)]2 2+ −

+ °− +

= A B A B2sin cos sin(A B)2 2+ −

+ +

= A B A B A B A B2sin cos 2sin cos2 2 2 2+ − + +

+

= A B A B A B2sin (cos cos )2 2 2+ − +

+

=A B A B A B A B( ) ( )180 C 2 2 2 22sin( )2cos cos

2 2 2

− + − ++ −°−

= C A B4sin(90 )cos cos2 2 2

° −

= C C A B4(sin 90 cos cos90 sin )cos cos2 2 2 2

° − °

= A B C4cos cos cos2 2 2

4) cos A + cos B + cos C = A B A B2cos cos cosC2 2+ −

+

= 2180 C A B C2cos( ) cos (1 2sin )2 2 2° − −

+ −

= 2C A B C1 2sin cos 2sin2 2 2

−+ −

= C A B 180 (A B)1 2sin (cos sin )2 2 2

− °− ++ −

= C A B A B1 2sin (cos sin(90 )2 2 2

− ++ − °−

= C A B A B1 2sin (cos cos )2 2 2

− ++ −

=A B A B A B A B

C 2 2 2 21 2sin [ 2sin sin ]2 2 2

− + − + + − + −

= C A B1 2sin [ 2sin sin( )]2 2 2

+ − −

= C A B1 2sin [ 2sin ( sin )]2 2 2

+ − −

= A B C1 4sin sin sin2 2 2

+

139

8. 1) sin8 sin 2cos8 cos 2

θ+ θθ+ θ

= sin(5 3 ) sin(5 3 )cos(5 3 ) cos(5 3 )

θ+ θ + θ− θθ+ θ + θ− θ

= 2sin 5 cos32cos5 cos3

θ θθ θ

= tan 5θ

2) sin θ + sin 3θ + sin 5θ + sin 7θ= sin (2θ + θ) + sin (2θ – θ) + sin (6θ + θ) + sin (6θ – θ)= 2 sin 2θ cos θ + 2 sin 6θ cosθ= 2 cos θ (sin 2θ + sin 6θ)= 2 cos θ [sin(4θ + 2θ ) + sin (4θ – 2θ)]= 2 cos θ 2 sin 4θ cos 2θ= 4 cos θ sin 4θ cos 2θ

3) sin sin 3 sin 5cos cos3 cos5

θ+ θ+ θθ+ θ+ θ

= sin 3 [sin(3 2 ) sin(3 2 )]cos3 [cos(3 2 ) cos(3 2 )]

θ+ θ+ θ + θ− θθ+ θ+ θ + θ− θ

= sin 3 2sin 3 cos 2cos3 2cos3 cos 2

θ+ θ θθ+ θ θ

= sin 3 [1 2cos 2 ]cos3 [1 2cos 2 ]

θ + θθ + θ

= tan 3θ

4) cos2A + cos2(60° + A) + cos2(60° – A)= cos2A + cos (60° + A) cos (60° + A) + cos (60 – A) cos (60 – A)= cos2A + [cos 60° cos A – sin 60° sin A]2 + [cos 60° cos A + sin 60° sin A]2

=2 2

2 1 3 1 3cos A cosA sinA cosA sinA2 2 2 2

+ − + +

= cos2A + 14

cos2A – 32

cos A sin A + 34

sin2A + 14

cos2A + 32

cos A sin A

+ 34

sin2A

= 2 23 3cos A sin A2 2

+

= 2 23 (cos A sin A)2

+

= 32

140

5) cos 20° cos 40° cos 80° = 1 cos 20 [2cos80 cos 40 ]2

° ° °

= 1 cos 20 [cos120 cos 40 ]2

° ° + °

= 1 1cos 20 [2cos 20 cos 40 ]4 4

− °+ ° °

= 1 1cos 20 [cos60 cos 20 ]4 4

− °+ °+ °

= 1 1 1cos 20 cos60 cos 204 4 4

− °+ °+ °

= 1 14 2×

= 18

เฉลยแบบฝกหัด 2.9 (2)

1. 1) 2 cos2θ + cos θ = 0cos θ (2 cos θ + 1) = 0cos θ = 0 และ 2 cos θ + 1 = 0 θ = 3,

2 2π π cos θ = 1

2−

θ = 2 4,3 3π π

ดังนั้น θ = 2 4 3, , ,2 3 3 2π π π π

2) 2 sin2θ – sin θ – 1 = 0(2 sin θ + 1)(sin θ – 1) = 02 sin θ + 1 = 0 และ sin θ – 1 = 0 sin θ = 1

2− sin θ = 1

θ = 7 11,6 6π π θ =

2π

ดังนั้น θ = 2π , 7 11,6 6π π

141

3) tan θ = 2 sin θsin 2sincos

θ− θ

θ= 0

1sin 2cos

θ − θ = 0

sin θ = 0 และ 1 2cos

−θ

= 0

θ = 0, π 1cosθ

= 2

cos θ = 12

θ = 5,3 3π π

ดังนั้น θ = 0, 3π , π, 5

3π

2. 1) 4 sin2x – 3 = 0 จะได sin x = 32

±

ดังนั้น x = 2 4 5, , ,3 3 3 3π π π π

2) tan x ( sin x + 1) = 0ถา tan x = 0 จะได x = 0, πถา sin x + 1 = 0 นั่นคือ sin x = –1แต 3tan

2π หาคาไมได

ดังนั้น x = 0, π

3) cos x (2 cos x – 3 ) = 0ถา cos x = 0 จะได x = 3,

2 2π π

ถา 2 cos x – 3 = 0 นั่นคือ cos x = 32

จะได x = 11,6 6π π

ดังนั้น x = 3 11, , ,6 2 2 6π π π π

4) sin x ( 4 sin2x – 1) = 0ถา sin x = 0 จะได x = 0, πถา 4 sin2x – 1 = 0

142

sin x = 12

± จะได x = 5 7 11, , ,6 6 6 6π π π π

ดังนั้น x = 0, 5 7 11, , , ,6 6 6 6π π π π

π

5) sin2x – cos x + 5 = 01 – cos2x – cos x + 5 = 0cos2x + cos x – 6 = 0 จะได (cos x + 3)(cos x – 2) = 0ถา cos x + 3 = 0 จะได cos x = –3ถา cos x – 2 = 0 จะได cos x = 2แต cos 1θ ≤ เสมอ ดังนั้น จึงไมมีคา x ใดที่สอดคลองกับสมการ

6) 3 sec x – cos x + 2 = 03 cos x 2cos x

− + = 0 , cos x ≠ 03 – cos2x + 2 cos x = 0 นั่นคือ (cos x – 3)(cos x + 1) = 0ถา cos x – 3 = 0 ไมมีคา x ใดที่สอคคลองกับสมการนี้ถา cos x + 1 = 0 นั่นคือ cos x = –1 จะได x = πดังนั้น x = π

7) 23 csc x 2csc x+ = 0

23 2

sin xsin x+ = 0, sin x ≠ 0

3 2sin x+ = 0, sin x ≠ 0 sin x = 3

2− จะได x = 4 5,

3 3π π

ดังนั้น x = 4 5,3 3π π

8) cos 2x + 2cos2 x2

= 1

2 cos2x – 1 + (2 cos2 x2

– 1) = 02 cos2x – 1 + cos x = 0(2 cos x – 1)(cos x + 1) = 0

143

ถา 2 cos x – 1 = 0 นั่นคือ cos x = 12

จะได x = 3π , 5

3π

ถา cos x + 1 = 0 นั่นคือ cos x = –1 จะได x = πดังนั้น x = 5, ,

3 3π ππ

9) 2sin2x – 3 cos x – 3 = 02(1 – cos2x) – 3 cos x – 3 = 02 cos2x + 3 cos x + 1 = 0(2 cos x + 1)(cos x + 1) = 0ถา 2 cos x + 1 = 0 นั่นคือ cos x = 1

2− จะได x = 2 4,

3 3π π

ถา cos x + 1 = 0 นั่นคือ cos x = –1 จะได x = πดังนั้น x = 2 4, ,

3 3π ππ

10) cot x + 2 sin x = csc xcos x + 2 sin2x = 1 , sin x ≠ 02cos2x – cos x – 1 = 0(2 cos x + 1)(cos x – 1 ) = 0ถา 2 cos x + 1 = 0 นั่นคือ cos x = 1

2− จะได x = 2 4,

3 3π π

ถา cos x – 1 = 0 นั่นคือ cos x = 1 จะได x = 0แต x = 0 ทําให sin x = 0ดังนั้น x = 2 4,

3 3π π

3. 1) 2 sin θ – 1 = 0 นั่นคือ sin θ = 12

จะได θ = 30°, 150°ดังนั้น เซตคําตอบ คือ {30°, 150°}

2) 3 tan2θ – 1 = 0 นั่นคือ 1tan3

θ = ± จะได θ = 30°, 150°, 210°, 330°

ดังนั้น เซตคําตอบ คือ {30°, 150°, 210°, 330°}3) 3 csc2θ + 2 csc θ = 0 จะได csc θ ( 3 csc θ + 2) = 0

ถา csc θ = 0 ไมมีคา θ ที่ทําให csc θ = 0

144

ถา 3 csc θ + 2 = 0 นั่นคือ csc θ = 23

−

หรือ sin θ = 32

− จะได θ = 240° , 300°ดังนั้น เซตคําตอบ คือ {240° , 300°}

4) 4 tan2θ – 3 sec2θ = 04 tan2θ – 3 (1 + tan2θ) = 0 จะได tan2θ = 3นั่นคือ tan θ = 3± จะได θ = 60°, 120°, 240°, 300°ดังนั้น เซตคําตอบ คือ {60°, 120°, 240°, 300°}

5) 2 cos2θ + 2 cos 2θ = 1 หรือ 2 cos2θ + 2(2 cos2θ – 1) = 1นั่นคือ 6 cos2θ – 3 = 0 หรือ cos2θ = 1

2

นั่นคือ cos θ = 12

± จะได θ = 45°, 135°, 225°, 315°

ดังนั้น เซตคําตอบ คือ {45°, 135°, 225°, 315°}

6) sin 2θ – cos2θ + 3 sin2θ = 02 sin θ cos θ – cos2θ + 3 sin2θ = 0(3 sin θ – cos θ)(sin θ + cos θ) = 0ถา 3 sin θ – cos θ = 0 จะได tan θ = 1

3 ≈ 0.3333

จากตาราง tan 18° 30′ = 0.3346 และ tan 18° 20′ = 0.3314คาของฟงกชันเพิ่มขึ้น 0.0032 คาของมุมเพิ่มขึ้น 10 ลิปดาคาของฟงกชันเพิ่มขึ้น 0.0019 คาของมุมเพิ่มขึ้น 10 0.0019

0.0032× = 5.94 ลิปดา

จะได tan 18° 25.9′ = 0.3333ดังนั้น ถา tan θ = 1

3 จะได θ ≈ 18° 26′, 198° 26′

ถา sin θ + cos θ = 0 นั่นคือ tan θ = –1 จะได θ = 135°, 315°ดังนั้น เซตคําตอบ คือ {18° 26′, 135° , 198° 26′, 315°}

7) 4 csc θ – 4 sin θ = 2 2 cot θ

นํา sin θ คูณตลอดจะได 4 – 4sin2θ = 2 2 cosθ

145

2 – 2 + 2 cos2θ = 2 cosθ

2 cos2θ – 2 cosθ = 0 นั่นคือ cos θ (2 cos θ – 2 ) = 0ถา cos θ = 0 จะได θ = 90° , 270°ถา 2 cos θ – 2 = 0 นั่นคือ cos θ = 2

2 จะได θ = 45°, 315°

ดังนั้น เซตคําตอบ คือ {45°, 90°, 270°, 315°}

8) cos θ + 4 sin θ – sin 2θ = 2cos θ + 4 sin θ – 2 sin θ cos θ – 2 = 0cos θ – 2 – 2 sin θ (cos θ – 2) = 0(cos θ – 2)(1 – 2 sin θ) = 0ถา cos θ – 2 = 0 นั่นคือ cos θ = 2 ซึ่งไมมีคา θ ที่สอดคลองกับสมการนี้ถา 1 – 2 sin θ = 0 นั่นคือ sin θ = 1

2 จะได θ = 30°, 150°

ดังนั้น เซตคําตอบ คือ {30°, 150°}

9) 4 cos4θ = (sin 2θ)2 หรือ 4 cos4θ – (2 sin θ cos θ)2 = 0นั่นคือ 4 cos4θ – 4 sin2θ cos2θ = 0ดังนั้น 4 cos2θ (cos2θ – sin2θ) = 0ถา 4 cos2θ = 0 นั่นคือ cos θ = 0 จะได θ = 90°, 270°ถา cos2θ – sin2θ = 0 นั่นคือ 1 – 2 sin2θ = 0ดังนั้น sin2θ = 1

2 นั่นคือ sin θ = 1

2±

จะได θ = 45°, 135°, 225°, 315°ดังนั้น เซตคําตอบ คือ {45°, 90°, 135°, 225°, 270°, 315°}

10) sin 5θ + sin 3θ = 0(5 3 ) (5 3 )2sin cos2 2

θ+ θ θ− θ = 0 นั่นคือ 2 sin 4θ cos θ = 0ถา cos θ = 0 จะได θ = 90°, 270°ถา sin 4θ = 0 จะได 4θ = 0°, 180°, 360°, 540°, 720°, ..., 1260°

θ = 0°, 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270°, 315°ดังนั้น เซตคําตอบ คือ {0°, 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270°, 315°}

146

11) sin 3θ cos θ – cos 3θ sin θ = cos θsin (3θ – θ) = cos θ2 sin θ cos θ = cos θ

(2 sin θ – 1) cos θ = 0ถา cos θ = 0 จะได θ = 90°, 270°ถา 2 sin θ – 1 = 0 นั่นคือ sin θ = 1

2 จะได θ = 30°, 150°

ดังนั้น เซตคําตอบ คือ {30°, 90°, 150°, 270°}

4. 1) 4 sin2θ = 1 จะได sin θ = 12

±

นั่นคือ θ = 5 7 11, , ,6 6 6 6π π π π

คาทั่วไปของ θ ที่จะทําใหสมการเปนจริง คือ 5 7 112n ,2n ,2n ,2n

6 6 6 6π π π π

π+ π+ π+ π+ เมื่อ n เปนจํานวนเต็ม

หรืออาจเขียนคําตอบรวมกันเปน n6π

π± เมื่อ n เปนจํานวนเต็ม

2) tan2x – 3 = 0 จะได tan x = 3±

x = 2 4 5, , ,3 3 3 3π π π π

คาทั่วไปของ x ที่ทําใหสมการนี้เปนจริง คือ2 4 52n ,2n , 2n ,2n

3 3 3 3π π π π

π+ π+ π+ π+ เมื่อ n เปนจํานวนเต็ม

หรืออาจเขียนคําตอบรวมกันเปน n3π

π± เมื่อ n เปนจํานวนเต็ม

3) tan θ sin θ + tanθ = 0 นั่นคือ tan θ (sin θ + 1) = 0ถา tan θ = 0 จะได θ = 0, πถา sin θ + 1 = 0 นั่นคือ sin θ = –1 จะได θ = 3

2π

แตถา θ = 32π , tan θ ไมอาจจะหาคาได

ดังนั้น คาทั่วไปของ θ ที่ทําใหสมการนี้เปนจริงคือ 2nπ + 0°, 2nπ + π เมื่อ n ∈ Iหรือ θ = nπ เมื่อ n เปนจํานวนเต็ม

147

4) sec2θ – 2 tan θ = 0 นั่นคือ 1 + tan2θ – 2 tan θ = 0จะได (tan θ – 1)2 = 0tan θ – 1 = 0 นั่นคือ tan θ = 1 จะได θ =

4π , 5

4π

ดังนั้น คาทั่วไปของ θ ที่ทําใหสมการนี้เปนจริงคือ 2nπ + 4π , 52n

4π

π+

เมื่อ n เปนจํานวนเต็ม หรือ θ = n4π

π+ เมื่อ n เปนจํานวนเต็ม

5) cos 2θ = sin θ1 – 2 sin2θ = sin θ นั่นคือ (2 sin θ – 1) (sin θ + 1) = 0ถา 2 sin θ – 1 = 0 นั่นคือ sin θ = 1

2 จะได θ = 5,

6 6π π

ถา sin θ + 1 = 0 นั่นคือ sin θ = –1 จะได θ = 32π

คาทั่วไปของ θ คือ 2nπ + 6π , 2nπ + 5

6π , 2nπ + 3

2π เมื่อ n ∈ I

เฉลยแบบฝกหัด 2.10

1. 1) จากกฎของโคไซน a2 = b2 + c2 – 2bc cos A= (40)2 + (60)2 – 2 × 40 × 60 cos 60°= 2800

ดังนั้น a = 20 7

2) 2 19

3) 254.344) จากกฎของโคไซน cos B = 2 2 2a c b

2ac+ −

= 2 2 212 8 72 12 8+ −× ×

= 0.8281

จากตาราง cos 34° = 0.8290 และ cos 34° 10′ = 0.8274คาของโคไซนเพิ่มขึ้น 0.0016 คาของมุมลดลง 10 ลิปดาคาของโคไซนเพิ่มขึ้น 0.0007 คาของมุมลดลง 10 0.0007

0.0016× = 4.4 ลิปดา

148

cos (34° 10′ – 4.4′) = 0.8274 + 0.0007 cos 34° 5.6′ = 0.8281

ดังนั้น B = 34° 5.6′

5) จากกฎของโคไซน cos A = 2 2 2b c a2bc+ −

= 2 2 2(3.7) (5.2) (8.4)2 3.7 5.2+ −× ×

= –0.7752

จากตาราง cos 39° 10 ′ = 0.7753 และ cos 39° 20′ = 0.7735คาของโคไซนเพิ่มขึ้น 0.0018 คาของมุมลดลง 10 ลิปดาคาของโคไซนเพิ่มขึ้น 0.0001 คาของมุมลดลง 10 0.0001

0.0018× = 0.56 ลิปดา

ดังนั้น cos 39° 10.56′ = 0.7752cos (180° - 39° 10.56′) = –cos 39° 10.56′ = –0.7752cos 140° 49.44′ = –0.7752

ดังนั้น A = 140° 49.44′

2. 1) A = 45°, C = 60°, b = 20 จงหา cเนื่องจาก A + B + C = 180°ดังนั้น B = 180° – A – C = 180° – 45° – 60° = 75°จากกฎของไซน sinB

b = sinC

csin 7520

° = sin 60c

°

ดังนั้น c = 20sin60sin75

°°

= 20 0.86600.9659× = 17.93

2) 16.063) 14.93, 13.39

3. 1) a = 15, b = 20 และ C = 65°พ้ืนที่รูปสามเหลี่ยม ABC = 1

2ab sin C = 1

2 × 15 × 20 sin 65°

= 150 × 0.9063 = 135.9450 ตารางหนวย

149

2) 213.9280 ตารางหนวย3) 179.107 ตารางหนวย

4. 1)∧

A = 25° , ∧

B = 30.74 , c = 20.362)

∧

C = 37° , a = 85.82 , b = 57.563)

∧

B = 60° , ∧

C = 90° , c = 2 หรือ ∧

B = 120° , ∧

C = 30° , c = 14)

∧

A = 45° , ∧

C = 75° , a = 2 3 หรือ ∧

A = 15° , ∧

C = 105° , a = 3 – 3

5)∧

A = 75° , ∧

C = 60° , a = 3.86 หรือ ∧

A = 15° , ∧

C = 120° , a = 1.035

5. ให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน ABC∧ = 135°AB = 10 ซม. AD = 5 ซม.DAB

∧ = 180° – 135° = 45°

ใน ∆ ABD, BD2 = AD2 + AB2 – 2AD⋅AB cos 45°= 25 + 100 – 2 × 5 × 10 × 0.707 = 54.3

BD = 7.36

6. ให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว มีฐาน BC ยาว 60 หนวยBAC

∧ = 30°ดังนั้น ABC∧ = 180 30

2° − ° = 75°

sinBACBC

∧

= sinABCAC

∧

AC = sin 75 60sin30

° ×°

= 0.9659 × 60 × 2 = 115.908ดังนั้น AB + AC + BC = (2 × 115.908) + 60 = 291.816 หนวย

7. ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผา AB = 32 เซนติเมตร , BC = 24 เซนติเมตร ใน ∆ ABC, AC2 = AB2 + BC2 = 1024 + 576

D C

BA135°

A

CB 60

30°

D C

BA 32

O 24

150

AC = 40แต ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผา ดังนั้น AC = BD = 40จะได AO = OD = 40

2 = 20

ใน ∆ AOD , cos AOD∧ = 2 2 2AO OD AD2 AO OD+ −⋅ ⋅

= 400 400 5762 20 20+ −× ×

= 0.28

จากตาราง AOD∧ = 73° 45′

8. ABCD เปนที่ดินรูปสี่เหลี่ยมของกลา ซึ่งมีAD = DC , ABC∧ = 30° , BC = 20 , AB = 40

พ้ืนที่ของ ABCD = พ้ืนที่ของ ∆ ADC + พ้ืนที่ของ ∆ ABCCE = BC sin 30° = 20 × 1

2 = 10

จะได พ้ืนที่ ∆ ABC = 12

× AB × CE = 12

× 40 × 10 = 200 ม.2

AC2 = BC2 + AB2 - 2AB⋅BC cos 30° = 2000-800 3

พ้ืนที่ ∆ ADC = 12

× AD × DC = 12

AD2

แต AC2 = AD2 + DC2 = 2 AD2

จะได AD2 = 12

AC2

ดังนั้น พ้ืนที่ ∆ ADC = 12

AD2 = 14

AC2

= 14

(2000-800 3 ) = 500 – 200 3

พ้ืนที่ ABCD = 500 – 200 3 +200 = 700 – 200 × 1.732ดังนั้น กลามีที่ดิน เทากับ 353.6 ตารางเมตร

9. ก ข ค และ จ เปนตําแหนงที่บานของแกว ขวัญ คนึงและจิต ตั้งอยูตามลําดับ

ขค = 50 เมตร, ∧

กค จ = 45° , ∧

ข จ ค = 30°∧

ค ขจ = 180° – 30° – 45° = 105°

D C

BEA30°

ก ข ค

จ30°

45°

151

ใน ∆ คขจ sin∧

ข จ คขค = sin

∧ค ข จจค

sin3050

° =

จค = 50sin 75sin 30

°°

= 50 × 2 × 0.9659 = 96.59

ใน ∆ กจค, กจ = จค sin 45° = 96.59 × 0.7071แมน้ํากวาง 68.3 เมตร

10. จงพิสูจน Hero’s Formula ที่กลาววาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ = s (s a)(s b)(s c)− − − เมื่อ a, b หรือ c เปนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมและ s = a b c

2+ +

พ้ืนที่รูปสามเหลี่ยมใด ๆ = 12

bc sin Asin A = 21 cos A− และ cos A = 2 2 2b c a

2 bc+ −

ดังนั้น พ้ืนที่รูปสามเหลี่ยม = 12

bc 21 cos A− = 12

bc 2 2 22b c a1 ( )

2 bc+ −

−

= 12

bc 2 2 2 2 2

2

(2bc) (b c a )(2 bc)− + −

= 2 2 2 2 2 21 bc (2bc b c a )(2bc b c a )2 2 bc⋅ − − + + + −

= 2 2 2 2 2 21 a (b 2bc c (b 2bc c ) a4

− − + + + −

= 2 2 2 21 a (b c) (b c) a4

− − + −

= 1 (a b c)(a b c)(b c a)(b c a)4

− + + − + − + +

พ้ืนที่รูปสามเหลี่ยม = (a b c a b c a b c a b c( )( a)( b)( c)2 2 2 2+ + + + + + + +

− − −

กําหนดให s = a b c2

+ +

ดังนั้น พ้ืนที่รูปสามเหลี่ยมใด ๆ = s (s a)(s b)(s c)− − −

sin 105°จค

152

เฉลยแบบฝกหัด 2.11

1. BC เปนความสูงของตึก CD เปนความสูงของเสาอากาศA เปนจุดที่มองยอดตึกและยอดเสาอากาศมุมเงย BAC = 30° และมุมเงย BAD = 60°ใน ∆ ABD , BD = AB tan 60° = 18 3 เมตรใน ∆ ABC , BC = AB tan 30° = 18

3 = 6 3 เมตร

ดังนั้น DC = 18 3 – 6 3 = 12 3 เมตร

2. AB เปนประภาคารหลังหนึ่งC และ D เปนตําแหนงที่เรือสองลําจอดอยูหางกัน 60 เมตรมุมเงย ACB = 45° และมุมเงย ADB = 30°ใน ∆ ABC, BC = AB

tan 45° จะได BC = AB

ใน ∆ ABD, BD = ABtan30°

= 3 AB

เพราะวา BD – BC = CDนั่นคือ 3 AB – AB = 60 จะได AB ≈ 60

0.732

ดังนั้น เรือลําที่อยูใกลประภาคารอยูหางจากประภาคาร 81.96 เมตร

3. AB2 = AC2 + BC2 – 2 AC⋅BC cos 75° = (3.2)2 + (2.4)2 – 2 × 3.2 × 2.4 × 0.2588

= 10.24 + 5.76 – 3.98AB ≈ 3.47

ดังนั้น บึงกวาง 3.47 เมตร

4. ให EF เปนเสาอากาศของสถานีโทรทัศนแหงหนึ่งH และ G เปนจุดที่พิชัยยืนหางจากเสาอากาศ 100 และ200 เมตร ตามลําดับ

A

D

C

B 30°60°

DCB

A

30°45°

αθ

200 100F

E

GH

153

มุมเงย EHF = θ และมุมเงย EFG = αเพราะวา θ + α = 90° จะได α = 90° – θใน ∆ EHF, EF

FH = tan θ

EF = 100 tan θ …………… (1)ใน ∆ EGF, FF

FG = tan α = tan (90° – θ) = sin (90 )

cos(90 )°−θ°−θ

EF = 200 cossin

θθ

…………… (2)

(1) = (2) จะได 100 tan θ = 200tanθ

tan θ = 2

ดังนั้น เสาอากาศสูง 100 × 2 = 141.4 เมตร

5. CAB∧ = 47° – 32° = 15°

ACD∧ = 90° – 47° = 43°

BCE∧ = 90° – CBE∧ = 90° – 77° = 13°

ดังนั้น ACB∧ = ACD∧ – BCE∧ = 43° – 13° = 30°

และ ABC∧ = 180° – CAB∧ – ACB∧ = 180° – 15° – 30°

= 135°ใน ∆ ABC, sinB

AC = sinC

100

AC = 100sinBsinC

= 100sin135sin30

°°

= 100sin 45sin30

°°

ใน ∆ ACD, CD = ACsin 47sin90

°°

= 100sin 45 sin 47sin30 sin90

° °° °

= 1100 0.73121 12

× ×

× ≈ 103.36

ดังนั้น ความสูงของเนินดินจากพื้นราบ 103.36 เมตร

6. G เปนปอมยามซึ่งอยูทางทิศตะวันออกของตึกH เปนรถบรรทุกซึ่งจอดอยูทางทิศใตของปอมยามEF เปนตึกสูง 15 ชั้น EGF∧ = 60° , EHF∧ = 30°F G

E

H

60°

30°

47° 32°

10077°

A D

C

EB

154

ตึกหลังนี้สูง 15 × 4 = 60 เมตรใน ∆ EFG, GF = EF

tan60° = 20 3

ใน ∆ EFH, FH = EFtan30°

= 60 3

ใน ∆ FGH, GH2 = HF2 – FG2 = (60 3 )2 – (20 3 )2

รถบรรทุกอยูหางจากปอมยาม 40 6 เมตร

7. ให EF เปนภูเขาลูกหนึ่งG เปนจุดที่สุดายืนอยูทางทิศตะวันออกเฉียงใตของภูเขาGH เปนระยะที่สุดาเดินไปทางทิศตะวันตกเฉียงใต 500 เมตรดังนั้น GF ตั้งฉากกับ GH

ใน ∆ EFH, FH = EFtan35°

= EF0.7002

ใน ∆ EFG, FG = EFtan65°

= EF2.1445

ใน ∆ FGH, GH2 = FH2 – FG2

5002 = 2EF( )0.7002

– 2EF( )2.1445

EF2 = 250000 × 0.5488 = 137200EF ≈ 370.4

ดังนั้น ภูเขาสูง 370.4 เมตร

8. ใน ∆ ABD, BD = htan (45 )°+α

ใน ∆ ABC, BC = htan (45 )°−α

CD = BC – BD= h 1 1

tan (45 ) tan (45 )

− °−α °+α

E

GH

F 65°35°

เหนือ

ตก ออก

ใต

A

B

h

DC45°+α45°–α

155

= h tan (45 ) tan (45 )tan (45 ) tan (45 )

°+ α − °−α °−α °+α

= h tan 45 tan tan 45 tan1 tan 45 tan 1 tan 45 tantan 45 tan tan 45 tan1 tan 45 tan 1 tan 45 tan

°+ α °− α − − ° α + ° α °− α °+ α × + ° α − ° α

= h (1 tan )(1 tan ) (1 tan )(1 tan )(1 tan )(1 tan )

+ α + α − − α − α + α − α

= h 2 2(1 tan ) (1 tan )(1 tan )(1 tan )

+ α − − α + α − α

= h (1 tan 1 tan )(1 tan 1 tan )(1 tan )(1 tan )

+ α+ − α + α− + α + α − α

= h 2

2 2 tan1 tan × α − α

= 2h tan 2αดังนั้น วัตถุทั้งสองหางกัน 2h tan 2α เมตร

9. A เปนจุดที่ชายคนนี้ยืนอยูBC แทนความสูงของภูเขาCD แทนหอคอยจากรูป จะได DAC∧ = 12°,BCA

∧ = 53° DCA∧ = 127° ,

CDA∧ = 41°

จากกฎของไซน sinDACDC

∧

= sinCDAAC

∧

จะได AC = 60sin 41sin12

°°

= 60(0.7156)0.2079

= 206.52จาก sin 37° = BC

ACBC = 206.52 (0.6018)

= 124.28ดังนั้น ชายคนนี้อยูหางจากฐานหอคอย 206.52 เมตร และ ภูเขาสูง 124.28 เมตร

60 เมตร

49° 37°

C

D

B A

156

10. จากรูป XY แทนความสูงของประภาคารเพราะวา ZXA∧ = XAB∧ = 30°

ZXB∧ = XBY∧ = 40°จะได AXB∧ = 10° , XBA∧ = 140°

จากกฎของไซน sin BXAAB

∧

= sinXABBX

∧

จะได sin10100

° = sin 30BX

°

BX = 100(0.5)0.1736

= 288.02

จากกฎของไซน sinXBAAX

∧

= sin BXAAB

∧

จะได sin140AX

° = sin10100

°

AX = 100(0.6428)0.1736

= 370.28

จากกฎของไซน sinXYBBX

∧

= sinXBYXY

∧

จะได sin 90288.02

° = sin 40XY

°

XY = 288.02 (0.6428)= 185.14

ดังนั้น ยอดประภาคารอยูหางจากจุด A เทากับ 370.28 เมตร ยอดประภาคารอยูหางจากจุด B เทากับ 288.02 เมตร ประภาคารสูงเทากับ 185.14 เมตร

11. จากกฎของโคไซน AB2 = OB2 + OA2 – 2(OB)(OA) cos BOA∧

จะได AB2 = 42 + 62 – 2(4)(6) cos 30° = 16 + 36 - 48 3( )

2 = 52 – 24(1.7321)

40° 30°X Z

Y AB 100 เมตร

A

B

O 6 กิโลเมตร

4 กิโลเมตร

30°

157

= 10.4296 AB = 3.23

ดังนั้น A และ B อยูหางกันประมาณ 3.23 กิโลเมตร

12. ∆ AOB, AB2 = OA2 + OB2 – 2(OA)(OB) cos AOB∧

จะได 82 = 7.52 + 7.52 – 2(7.5)(7.5) cos AOB∧

82 = 2(7.5)2(1 – cos AOB)cos AOB∧ =

2

281

2(7.5)−

= 0.4311จากการเปดตาราง cos 64° 20′ = 0.4331

cos 64° 30′ = 0.4305คาของฟงกชันโคไซนตางกัน 0.002 มุมตางกัน 10 0.002

0.0026× = 7.7′

จะได cos 64° 27.7′ = 0.4311นั่นคือ AOB

∧ = 64° 27.7′ ---------- *∆ AO′B , AB2 = O′A2 + O′B2 – 2(O′A)(O′B) cos AO E∧

′

จะได 82 = 62 + 62 – 2(6)(6) cos AO B∧′

cos AO E∧′ =

2

2812(6)

−

= 0.1111จากการเปดตาราง cos 83° 40′ = 0.1103

cos 83° 30′ = 0.1132คาของฟงกชันโคไซนตางกัน 0.0008 มุมตางกัน 10 0.0008

0.0029× = 2.8

จะได cos 83° 37.2′ = 0.1111นั่นคือ AO E

∧′ = 83° 37.2′ ---------- **

A7.5 6

O′

B

O 8

158

13. จาก AC2 = AB2 + BC2

จะได AC2 = 122 + 52

AC = 13จาก EC2 = AE2 + AC2

จะได EC2 = 62 + 132

= 205EC = 14.3

จากกฎของโคไซน AE2 = AC2 + EC2 – 2(AC)(EC) cos ACE∧

36 = 169 + 205 – 2(13)(14.3) cos ACE∧

cos ACE∧ = 0.9091จะได ACE

∧ = 24° 37.5′ ---------- *เพราะวา HF = EG = AC = DB = 13

DF = EC = 14.3จากกฎของโคไซน HF2 = HD2 + DF2 – 2(HD)(DF) cos HDF∧

169 = 36 + 205 – 2(36)(14.3) cos HDF∧

cos HDF∧ = 0.0699จะได HDF∧ = 86° ---------- **จาก ∆ HCG, HC2 = CG2 + HG2

จะได HC2 = 36 + 144= 180

HC = 13.4จากกฎของโคไซน EH2 = EC2 + HC2 – 2(EC)(HC) cos ECH∧

25 = 205 + 180 – 2(14.3)(13.4) cos ECH∧

cos ECH∧ = 0.5349จะได ECH∧ = 57° 40′ ---------- ***

A B

C

GH

E D F

56

12