Cfsd 2016 matematica - aula 1 e 2 - v2

15/01/2016

1

Curso preparatório para concurso bombeiros mg 2016

Disciplina: Matemática

Prof. Nicodemos

Material de aula em:

www.quimicaealgomais.blogspot.com.br

[email protected] bombeiros 2015, pag 30

Noções básicas• Conjunto agrupamento, coleção

• Conjunto dos times de futebol para os quais os alunos

de uma classe torcem:

Brasiliense, Gama, Ceilândia finito

• Conjunto dos dias em que uma pessoa pratica natação:

segunda-feira, quarta-feira, sexta-feira finito

• Conjunto dos números pares:

0, 2, 4, 6, 8... infinito

•A = {1, 3, 5, 7, 9} ou A = {5, 1, 3, 9, 7}

•B = {0, 2, 4, 6, 8, ...}

Uma propriedade dos elementosA = x | x é um número ímpar positivo menor que 10

A = , , , ,

1 A

2 A

Diagrama de Venn

http://www.quimicaealgomais.blogspot.com.br/

mailto:[email protected]

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Igualdade de conjuntos

Conjunto A dos números naturais menores que 5

B = {0, 1, 2, 3, 4}

A = B, pois ambos têm os mesmos elementos.

Conjunto vazio C = ou C = { }

Conjunto unitário D = {capital do Brasil}

Conjunto universo U = {população do Brasil},

no estudo da migração

Subconjuntos de um conjuntoA é subconjunto de B se, e somente se, todos os elementos de A pertencerem a B.

Subconjuntos de um conjunto

C = {xx é um número primo par}

D = {xx é um número primo menor que 10}

P = {xx é um número primo}

C P

D C

Complementar de um conjunto

•A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

•B = {0, 2, 4}

•Complementar do conjunto B em relação a A é o conjunto formado

pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B.

𝐶𝐴𝐵 = A – B = { 1, 3, 5}

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União de conjuntos

2 Operações com conjuntos

Dados os conjuntos A e B, a união de A e B é o conjunto

formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.

A B = {x | x A ou x B}

União de conjuntos

Hachure a união dos conjuntos M e N:


Interseção de conjuntosDados os conjuntos A e B, a intersecção de A e B é o conjunto

formado pelos elementos que pertencem a A e a B.

A B = {x | x A e x B}


Interseção de conjuntosHachure a intersecção dos conjuntos M e N:


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4

Diferença de conjuntosDados os conjuntos A e B, a diferença de A e B é o conjunto

formado pelos elementos que pertencem a A, mas não a B.

A − B = {x | x A e x B}


Diferença de conjuntos

Hachure a diferença dos conjuntos M e N:


Problemas com operações de conjuntosNuma sala de aula:

15 alunos jogam basquete como única atividade esportiva;

25 jogam futebol, também como única atividade esportiva;

7 praticam duas atividades: basquete e futebol.

Quantos alunos foram pesquisados, sabendo-se que todos optaram pelo

menos por um dos dois esportes?


Num supermercado:

150 pessoas compraram o refrigerante C;

75 compraram o refrigerante P.

Quantas compraram os dois refrigerantes, sabendo que foram pesquisadas 200 pessoas?

C P


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5

Uma lanchonete vendeu 1.500 hambúrgueres.

Sabendo-se que 725 deles foram pedidos com queijo,

quantos hambúrgueres sem queijo foram vendidos?


Hambúrguer (H)

NÚMEROS NATURAIS

“São os números que

usamos quando precisamos

contar coisas.”

1

2

3

4

São todos os números inteiros não-

negativos.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

Propriedades dos Nº Naturais

1) A soma de dois números naturais é um número natural.

2) A multiplicação de dois números naturais é um número natural.

3) Se n é um número natural, então n+1 é o sucessor de n e n é oantecessor de n+1

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6

NÚMEROS INTEIROS

Pelos Naturais é impossível!

Como efetuar a subtração de 3 – 4? “São todos os números que pertencem aos Naturais

acrescido dos seus respectivos opostos.”

Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

1. Inteiros não Negativos (Z+):

Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

2. Inteiros não Positivos (Z-):

Z- = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0}

SUBCONJUNTOS DOS INTEIROS

3. Inteiros não negativos e não nulos (Z*+):

Z*+ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

4. Inteiros não positivos e não nulos (Z*-):

Z*- = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1}

SUBCONJUNTOS DOS INTEIROS

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Propriedades dos Nº Inteiros

1) Todo número natural é um número inteiro.

2) A soma e a diferença entre dois números inteiros resulta em umoutro número inteiro.

3) A multiplicação (produto) entre dois números inteiros é um númerointeiro.

NÚMEROS RACIONAIS

Como dividir um osso para dois cachorros?

Os Inteiros não permitem a resolver este problema!

Q = Z { números fracionários }

Q = {a/b | a, b Z e b 0}

“Para resolver isso foram criados os números

fracionários.”1. Racionais não Negativos e não nulos (Q*+):

Q*+ = {Z*+} {Todos os números fracionários não negativos}

2. Racionais não Positivos e não nulos (Q*-):

Q*- = {Z*-} {Todos os números fracionários não Positivos}

SUBCONJUNTOS DOS RACIONAIS

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8

3. Racionais não Negativos (R+):

Q+ = {Z+} {Todos os números fracionários não negativos}

4. Racionais não Positivos (Q-):

Q- = {Z-} {Todos os números fracionários não Positivos}

SUBCONJUNTOS DOS RACIONAIS2,252

Número Racional.

Finitos algarismos após a vírgula.

2,252525...Número Racional.

Infinitos algarismos periódicos após a vírgula

(dízima periódica).

3,1415926...Não é um número Racional.

Infinitos algarismos aleatórios após a vírgula

Propriedades dos Nº Racionais

1) Todo número natural e todo número inteiro é um número racional.

2) A soma ou a diferença entre dois números racionais resulta em umoutro número racional.

3) O produto entre dois números racionais é um número racional.

4) O quociente entre dois número racionais, sendo o divisor diferentede zero, é um número racional.

NÚMEROS IRRACIONAIS

Como descrever números

que não são inteiros nem

fracionários?

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O "IRRACIONAIS“ é formado por todos os

números que NÃO podem ser representados

por uma fração de números inteiros.

I = {Todos os números que Q não consegue descrever}

Raizes inexatas.

Inf. algarismos não periódicos após a vírgula.

3,1415926...Número PI.

Supercomputadores já conseguiram calcular

bilhões de casas decimais .

2,7182818...Número de Euler.

Como Pi, já foram calculadas bilhões de casas

decimais.

3

2 = 1,41421...

5 ; 8...

Propriedades dos Nº Irracionais

1) Um número irracional não é um número racional.

2) A soma ou a diferença entre um número irracional com um número racional é um número irracional.

3) A produto entre um número irracional e um número racional é um número irracional.

4) O quociente entre um número irracional e número racional , diferente de zero, é um número irracional.

NÚMEROS REAIS

“Descreve todo o conjunto

dos números racionais e

irracionais”

R = { Q } { I }

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Conjunto dos números reaisReunião do conjunto dos números racionais com o dos

irracionais = conjunto dos números reais

(Conjunto dos

números

irracionais)

N Z Q

I

R

RNúmeros Reais

QNúmeros Racionais

..., -3/2, -1, -1/2, 0, 1/2, 1, 3/2, ...

ZNúmeros Inteiros

...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...

N Números naturais

0, 1, 2, 3, 4...

INúmeros Irracionais

2

3

3 5

e

NÚMEROS IMAGINÁRIOS

“Descreve todo o conjunto

dos números reais e

números complexos”

1i

RNúmeros Reais

QNúmeros Racionais

..., -3/2, -1, -1/2, 0, 1/2, 1, 3/2, ...

ZNúmeros Inteiros

...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...

N Números naturais

0, 1, 2, 3, 4...

INúmeros Irracionais

2

3

3 5

e

CNúmeros Imaginários

1i

1

03 4i

00

4i

2

3 4iy xi

z

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Intervalo aberto

4 Intervalos e produto cartesiano

{x a < x < b} ou a, b

{x −4 < x < 0} ou −4, 0

Intervalo fechado

{x a x b} ou a, b

{x −4 x 0} ou −4, 0


−

Intervalo fechado à esquerda

Intervalo fechado à direita


IntervalosObserve as representações gráficas e algébricas:

{x x > a} ou ]a, +∞[

{x x ≥ a} ou [a, +∞[

{x x < a} ou ]−∞, a[

{x x a} ou

]−∞, a]


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12

Operações com intervalos

A B

A B = {x –3 x 8} ou [–3, 8]



A B

A B = {x 0 < x < 2} ou ]0, 2[



A – B

A – B = {x –3 x 0} ou [–3, 0]



B – A

B – A = {x 2 x 8} ou [2, 8]


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Produto cartesianoA = {1, 2, 3}

B = {4, 5}

A x B = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}.


Produto cartesianoA = {1, 2, 3}

B = {4, 5}

B x A = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}


CONJUNTOS

SUBCONJUNTOS OPERAÇÕES COM

CONJUNTOS

PRODUTO

CARTESIANO

COMPLEMENTAR

UNIÃO

DIFERENÇA

INTERSECÇÃO

CONJUNTOS

NUMÉRICOS

Problemas Envolvendo Conjuntos.

Exemplos:

As provas de recuperação em matemática e física de uma escola

foram feitas no mesmo dia e durante a prova, observou-se a

presença de 42 alunos. Sabendo-se que 25 alunos fizeram a prova

de matemática e 32 fizeram a de física, determine:

a)O número de alunos que fizeram as duas provas;

b)O número de alunos que fizeram apenas a prova de matemática;

c)O número de alunos que fizeram apenas a prova de física.

Fórmula para a Resolução de Problemas.

)()()()( BAnBnAnBAn

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Numa pesquisa sobre a qualidade dos serviços oferecidos pelas empresas de fornecimento de água (A), energia elétrica (E) e TV por assinatura (T) de um bairro, obteve-se um grande número de reclamações.A tabela a seguir expressa o número de reclamações de 300 entrevistados durante a pesquisa.

Com base na tabela, determine:

a) O número de pessoas que não reclamaram de nenhum serviço;

b) O número de entrevistados que reclamaram apenas do serviço

oferecido pela empresa de fornecimento de água;

c) O número de entrevistados que reclamaram de apenas um servi-

ço;

d) O número de entrevistados que reclamaram de pelo menos dois

serviços.

Regras de divisibilidade.

Quando um número é divisível por:

2 = ParEx: 234

3 = Soma dos algarismos formar um numero divisível por 3

Ex: 1452 1+4+5+2=12

4= Quando os dois últimos algarismos formar um número

divisível por 4

Ex: 234032 234032Ex: 325400 325400

5 = Quando terminar em zero ou 5

Ex: 2345

6 = Quando ele for divisível por 2 e 3 simultaneamente

Ex: 1452 1+4+5+2=12 e é par.

7= Retira-se o ultimo algarismo e diminui do que restou o

dobro do numero tirado

Ex: 217 217 21 – 2.7 = 21 - 14 = 7

2345

8= Quando os três últimos algarismos formar um número

divisível por 8

Ex: 12032 12032Ex: 12000 12000

9 = Soma dos algarismos formar um numero divisível por 9

Ex: 32562

10 = Quando terminar em zero

Ex: 14520

11= Regra do pula-pula

Ex: 37125 37125 7+2 – (3+1+5) = 9 – 9 = 0

3+2+5+6+2 = 18

12 = Quando for divisível por 3 e 4 ao mesmo tempo

Ex: 12132 1+2+1+3+2 = 9 12132

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Números Primos

Todo número que possui apenas dois divisores naturais: 1 e ele próprio.

Ex.: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...

113 é um número primo?Como reconhecer um número primo?

Epístola de Eratóstenes

Relaciona-se todos os números que elevado ao quadrado será

menor que o 113

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10

É primo

Quais dos números seguintes são primos?

a) 157

b) 249

c) 437

7532630 2

Decomposição em fatores primos

630 2315 3105 335 57 71

Quantidade de divisores de um número

...zyxn pnm

...1p1n1md

630 2315 3105 335 57 71

7532630 2

11111211d

24d

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• Dados dois ou mais números o Mínimo MúltiploComum, MMC é o menor número que é múltiplodos outros dois ( ou mais números).

•MMC em eventos que se repetem

• Dado dois ou mais números, denomina-seMáximo divisor comum ( M.D.C) dessesnúmeros o maior desses divisores•MDC em eventos do tipo “se cabe num lugar,caixa, gaveta, etc”

Vamos encontrar o m.m.c.( 12, 36, 18)

Primeiro encontramos:

Múltiplos de 12: 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72,...

Múltiplos de 36: 0 , 36, 72, 108, 144, 180,...

Múltiplos de 18: 0, 18 36, 54, 72, 90, 108,...

Os múltiplos comuns são: 0, 36, 72,....

Sem contar o zero.

m.m.c ( 12, 36, 18) = 36

Vamos encontrar o MDC ( 12, 36, 18)

D(12)={1, 2, 3, 4, 6, 12}

D(36)= {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 }

D(18)= {1, 2, 3, 6, 9, 18}

Divisores comuns= 1, 2, 3, 6

Maior divisor comum 12, 36 e 18

MDC(12, 36, 18) = 6

Vamos agora encontrar o MMC e o MDC

por um método muito prático!

Usaremos o método da Fatoração Simultânea

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Primeiro escrevemos os números lado a lado separado por vírgula.

12, 36, 18

Colocamos uma reta vertical.

2

Dividimos todos os números por umprimo divisor de todos.

6, 18,

9

Dividimos novamente por um primodivisor de todos.

3

2,

6, 3Como não temos um primo divisor detodos, Já temos o MDC, basta fazer2x3=6Continuamos a fatoração

3

2, 2, 1 21, 1, 1

Agora fazendo 2x3x3x2 temos o MMC, que é 36

Então MMC(12, 36, 18)=36 e MDC(12,36,18)= 6

Observe agora o que acontece com o MMC ecom o MDC dos números 10 e 11

Não há primo divisor comum!

Então o MDC(10, 11) = 1

O MMC(10,11)= 2x5x11= 10x11=110

Números que tenham como MDC= 1, são chamadosde números primos entre si!

10, 11 2

5, 11 5

1, 11 11

1,

1

M.D.C e M.M.C

36, 54

18, 27

6, 9

2, 3

M.D.C 183254,36 2

36, 54

18, 27

9, 27

3, 9

1, 3

1, 1

M.M.C 1083254,36 32

2

3

3

2

2

3

3

3

M.D.C e M.M.C

732126 2 7532420 2

M.D.C 732)420,126(

M.M.C 7532)420,126( 22

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Números primos entre siNúmeros que possuem o M.D.C igual a 1.

Ex.: 7 e 15;

4, 27 e 125

Calcule o M.D.C e o M.M.C dos números:

a) 105 e 75

b) 65 e 24

Calcule a quantidade de divisores dos números:

a) 40

b) 180

FGV | Duas rodas gigantes começam a girar, num mesmo instante, com uma pessoa

na posição mais baixa em cada uma. A primeira dá uma volta em 30 segundos e a

segunda em 35 segundos. As duas pessoas estarão, novamente na posição mais

baixa após:

a. 1 min 10 seg

b. 3 min

c. 3 min 30 seg

d. 4 min

Resolução:

Dica: MMC ou MDC?

Resultado maior ou menor que os dados do problema?

Resultado maior.

MMC 30 - 35

6 - 7

1 - 7

1 - 1

5

65 . 6 . 7 = 210 segundos

7

1’ - - - - - - 60’’

x’ - - - - - - 210’’

60.x = 210

x = 3,5’

3minutos e

30 segundo

PUC-SP | Um lojista dispõe de três peças de um tecido, cujos comprimentos são

48 m, 60 m e 80 m. Nas três peças o tecido tem a mesma largura. Deseja vender o

tecido em retalhos iguais, cada um tendo a largura das peças e o maior

comprimento possível, de modo a utilizar todo o tecido das peças. Quantos

retalhos ele deverá obter?Resolução:

Dica: MMC ou MDC? Resultado maior ou menor que os dados do problema?

Resultado menor:

MDC48,60,80

24,30,60

12,15,20

2

22 x 2 = 4 (TAMANHO DOS RETALHOS)

12+15+20 = 47

Gabarito: 47

Resolução:

UNICAMP | Em uma classe existem menos de 40 alunos. Se o professor de

Matemática resolve formar grupos de 6 em 6 alunos, ou de 10 em 10 alunos, ou de

15 em 15 alunos, sempre sobra 1 aluno. Quantos alunos têm a classe?

Dica: Note que em toda divisão sobra 1 aluno, ou seja, o número de

alunos que sobra em cada divisão é comum a todos.

6 -10 - 15

3 - 5 - 15

1 - 5 - 5

1 - 1 - 1

2

3

5

2 . 3 . 5 = 30

Como sempre sobra 1, o

número de alunos é 31.

Gabarito: 31

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Resolução:

Dica: Repare que a questão pede um horário de partida COMUM a todos.

15 - 20 - 25

3 - 4 - 5

1 - 4 - 5

1 - 1 - 5

1 - 1 - 1

5

3

4

5

5 . 3 . 4 . 5 = 300’ = 5h

Como eles partem as 7h, o próximo

encontro será as 12h.

Gabarito: e

UFSM | Estudos e simulações são necessários para melhorar o trânsito. Por

exemplo, imagine que, de um terminal rodoviário, partam os ônibus de três

empresas A, B e C. Os ônibus da empresa A partem a cada 15 minutos; da empresa

B, a cada 20 minutos; da empresa C, a cada 25 minutos. Às 7h, partem

simultaneamente 3 ônibus, um de cada empresa. A próxima partida simultânea dos

ônibus das 3 empresas será às:

a. 9h b. 9h50mim

c. 10h30mim d. 11h

e. 12h

Números opostos ou simétricos

3 e -3

½ e - ½

Números inversos ou recíprocos

5 e 1/5

7/9 e 9/7

Conjunto dos números inteiros (ℤ)

Simetria em relação ao zero.

0-1-2-3-4 1 2 43

Potenciação

Radiciação

ASSUNTOS ABORDADOS

NÚMEROS INTEIROS

2,... 1, 0, 1,2,3,..,Z

NÚMEROS NATURAIS

4,... 3, 2, 1, 0,N

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NÚMEROS RACIONAIS

0 q Z, q Z, p ;q

pQ

São frações entre números inteiros.

NÚMEROS IRRACIONAISNúmeros decimais que não são exatos nem

dízimas periódicas.

...14159,3

...41421,12

NÚMEROS REAIS

RQZN

Chama-se conjunto dos números reais (R)

aquele formado pela união dos conjuntos

dos números racionais e irracionais.

RETA REALO conjunto dos números reais pode ser

representado por um conjunto de pontos

de uma reta, chamada reta real.

OPERAÇÕES EM NAs operações fundamentais são adição e

multiplicação. Suas inversas são,

respectivamente, a subtração e a divisão

exata.

Se an=b, o n° a é denominado base, n é o

expoente e b é o resultado.

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Propriedades da Potenciação

0)(b b

a

b

a e)

a(a.b) d)

a)(a c)

0)(a aa

ab)

a.aa a)

m

mm

mmm

m.nnm

n-m

n

m

nmnm

b.

POTENCIAÇÃO

a) Base positiva: potência positiva

b) Base negativa:

b.1) expoente par: potência positiva

b.2) expoente ímpar: potência negativa

81

16

3

2

3

24

44

813)3).(3).(3).(3()3( 44

8

1

2

1

2

1.

2

1.

2

1

2

133

Propriedades da Potenciação

53232

nmnm

5555

aaa

1) Produto de potências de mesma base

Ex:

2) Quociente de potências de mesma base

42-6

2

6

n-m

n

m

222

2

0)(a aa

a

Ex:

3) Potência de potência

62.332

m.nnm

33)(3

a)(a

Ex:

4) Potências de um produto

Ex:2222

mmm

204.5(5.4)

.a(a.b)

b

Propriedades da Potênciação

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22

Propriedades da Potênciação

5) Potência de um quociente

Ex:

81

16

9

4

9

4

0)(b b

a

b

a

2

22

m

mm

Expoente Inteiro Negativo

)RN, a(naa

a *

n

n

n

11

3

5

3

5

5

3

9

1

3

1

3

1)3(

11

2

2

2

Ex:

Exemplo

5142

1

2

14

2

1

2

1

1

2

222

1

1

1

12

111

2

Expoente Fracionário Racional

Z) m N R, n (a aa *n mn

m

e

273999

1

244)4(

32 32

32

3

2 12

1

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RADICIAÇÃO

008,0)2,0(2,010

2

10

2

1000

8008,0

32)2(2)2(32

333

3

33

55 55

É a operação inversa da potenciação.

Propriedades da Radiciação

aa e)

aa d)

aa c)

0)(b b

a

b

ab)

abb a a)

pn pmn m

nmn m

n mm

n

nn

n

nnn


4444

nnn

6323 2:

abb a 1)

Ex

333

3

nn

n

32

6

2

6:

0)(b b

a

b

a2)

Ex


15533 5

nmn m

333:

aa 4)

Ex

3 223

n mmn

22:

aa 3)

Ex

15/01/2016

24

Expoente Fracionário Racional

Z) m N R, n (a aa *n mn

m

e

273999

1

244)4(

32 32

32

3

2 12

1

Simplificando Radicais

23632233223

32233232883 b)

2222 8 a)

224

2425

236 336 36

Simplificar um radical é reduzir o radicando à

sua expressão mais simples.

Exemplos:

Operando com radicais

A soma ou diferença de radicais semelhantes é um radical

semelhante a eles, cujo coeficiente é a soma ou a

diferença de seus coeficientes.Exemplo:

22

32

2

1532

2

12523

Racionalizando Denominadores

O processo geral consiste em multiplicar-se numerador e

denominador por um mesmo fator (o que não altera a

fração), chamado fator racionalizante. Ele é escolhido

de forma a desaparecer a raiz do donominador.Exemplos:

2

153

15

156

15

15

15

6

15

6

232

26

2

26

2

2

2

6

2

6

2

)

)

b

a

15/01/2016

25

Grandezas e medidas

Instrumento: balança

Unidade: quilograma

Grandeza: massa

Instrumento: relógio

Unidade: hora

Grandeza: tempo

Instrumento: trena

Unidade: metro

Grandeza:

comprimento

Instrumento:Jarra medidora

Unidade: litro

Grandeza:

capacidade

Grandezas, unidades de medida e instrumentos de medida

SCIE

NC

E P

HO

TOLI

BR

AR

Y /

GET

TYIM

AG

ESFE

RN

AN

DO

BU

ENO

/ P

ULS

AR

IMA

GEN

S

SÉR

GIO

DO

TTA

JR.

/ A

RQ

UIV

O D

A E

DIT

OR

A

GA

RY

OM

BLE

R/

DO

RLI

NG

KIN

DER

SLEY

/ G

ETTY

IMA

GES

97

Grandezas e medidas

Medir é comparar duas grandezas de mesma espécie, verificando quantas

vezes uma contém a outra (unidade de medida).

Grandeza comprimento

A medida do comprimento do

tampo, pode ser medida pelo palmo

da mão, ou por uma régua, fita

métrica, etc.

A ideia de medida e as várias grandezas

unidade

1 cm

PAULO MANZI / ARQUIVO DA EDITORA

98

Grandezas e medidasGrandeza superfície

Grandeza massa

Popularmente se diz “peso”, porém

a balança fornece a medida de

massa de um objeto, ou seja, a sua

quantidade de matéria.

unidade


99

Grandezas e medidasGrandeza volume

Outras grandezas

Grandezas usadas na informática:

B = byte (unidade de informação)

kB = Kilobyte (1024 bytes)

MB = Megabyte (1024 kB)

GB = Gigabyte (1024 MB)

TB = Terabyte (1024 GB)

Exemplos:

128 MB = 128 000 000 B = 128 . 106 B (bytes).

unidade


10

0

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26

Grandezas e medidas

1h 49 min

+ 25 min

1h 74 min

Horas, minutos e segundos

= 1h + 60 min + 14 min = 1h + 1h + 14 min = 2h e 14 min

1hora = 60 minutos = 3600 segundos

1 dia = 24 horas = 1440 minutos

Medida de tempo

101

Link paraambiente online

Grandezas e medidas

Unidades de medida de comprimento

Chama-se Sistema Métrico Decimal porque, a partir de uma unidade-padrão

(ou unidade fundamental), as demais são obtidas multiplicando ou dividindo

pelas potências de 10 (10, 100, 1000).

Unidades padronizadas de medida

Múltiplos do metro

Unidade-padrão

(ou unidade

fundamental)

Submúltiplos do metro

quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro

km hm dam m dm cm mm

1000 m 100 m 10 m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

102

Grandezas e medidas

km hm dam m dm cm mm

×10 ×10 ×10 ×10 ×10 ×10

: 10: 10: 10: 10: 10: 10

Transformações envolvendo unidades de medida de comprimento

Exemplo:

Vamos transformar 3,728 metros em centímetros.

m dm cm

×10 ×10 3,728 × 100 = 372,8 cm

10 × 10 = 100

103

Grandezas e medidasUnidades de medida de massa

Massa Peso

Relacionado a

quantidade de

matéria

Intensidade com

que a gravidade

atrai um corpo

≠

Múltiplos do grama

Unidade-padrão

(ou unidade

fundamental)

Submúltiplos do grama

quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama

kg hg dag g dg cg mg

1000 g 100 g 10 g 1g 0,1g 0,01g 0,001g

104

http://www.portalpedagogico.com.br/sitepages/exibeswf.html?p_width=790&p_height=480&p_src=http://stg2.novoser.com.br/SER_PP CDJogos/010595/index.html

15/01/2016

27

Grandezas e medidasTransformações envolvendo unidades de medida de massa

Exemplo:

Vamos transformar 46 miligramas em decigramas.

dg cg mg

: 10 : 10

46 : 100 = 0,46 dg

kg hg dag g dg cg mg

×10 ×10 ×10 ×10 ×10 ×10

: 10: 10: 10: 10: 10: 10

105

Grandezas e medidas

Unidades de medida de superfície ou unidades de área

O metro quadrado corresponde à área de uma

região quadrada com 1 m em cada lado.

Múltiplos do

metro quadrado

Unidade-padrão

(ou unidade

fundamental)

Submúltiplos

do metro quadrado

quilômetro

quadrado

hectômetro

quadrado

decâmetro

quadradometro quadrado

decímetro

quadrado

centímetro

quadrado

milímetro

quadrado

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

1 000 000 m2 10 000 m2 100 m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2

1 m

1 m1 m2

106

Grandezas e medidasUnidades de medida de capacidade

Capacidade é uma grandeza que indica a quantidade de líquido ou gás que

cabe em uma vasilha, reservatório, etc.

Múltiplos do litro

Unidade-padrão

(ou unidade

fundamental)

Submúltiplos do litro

quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro

kℓ hℓ daℓ ℓ dℓ cℓ mℓ

1000 ℓ 100 ℓ 10 ℓ 1ℓ 0,1ℓ 0,01ℓ 0,001ℓ

JAC

EK/

KIN

O.C

OM

.BR

SÉR

GIO

DO

TTA

JR.

/ A

RQ

UIV

O

DA

ED

ITO

RA

FER

NA

ND

O F

AV

OR

ETTO

/ C

RIA

R

IMA

GEM

107

Grandezas e medidasTransformações envolvendo as unidades de medida de capacidade

Exemplo:

Vamos transformar 3,875 hectolitros em centilitros.

3,875 × 10 000 =38750 cℓ

10 × 10 × 10 × 10 = 10 000

kℓ hℓ daℓ ℓ dℓ cℓ mℓ

×10 ×10 ×10 ×10 ×10 ×10

: 10: 10: 10: 10: 10: 10

hℓ daℓ ℓ dℓ cℓ

×10 ×10 ×10 ×10

108

15/01/2016

28

Grandezas e medidasTransformações envolvendo as unidades de área

Exemplo:

Vamos transformar 378,1 decímetros quadrados em metros quadrados.

m2

: 100

dm2378,1 : 100 = 3,781 m2


×100 ×100 ×100 ×100 ×100 ×100

: 100: 100: 100: 100: 100: 100

109

Grandezas e medidas

Unidades de medida de volume

O metro cúbico (m3) corresponde ao volume

(espaço ocupado) de um cubo com 1 m de aresta.

Múltiplos do

metro cúbico

Unidade-

padrão(ou unidade

fundamental)

Submúltiplos

do metro cúbico

quilômetro cúbicohectômetro

cúbico

decâmetro

cúbico

metro

cúbico

decímetro

cúbico

centímetro

cúbicomilímetro cúbico


1 000 000 000 m3 1 000 000 m3 1 000 m3 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001m3

1 m

1 m

1 m

110

Grandezas e medidasTransformações envolvendo unidades de medida de volume

Exemplo:

Vamos transformar 5,8 decímetros cúbicos em centímetros cúbicos.

dm3 cm3

×1000

5,8 × 1000 =5800 m3


×1000 ×1000 ×1000 ×1000 ×1000 ×1000

: 1000: 1000: 1000: 1000: 1000: 1000

111


Grandezas e medidas

Ideia de perímetro

Perímetro

FOTO

S: S

ÉRG

IO D

OTT

A J

R.

/ A

RQ

UIV

O D

A E

DIT

OR

A

Perímetro é a medida do comprimento de um contorno.

112

http://www.projetotelaris.com.br/sitepages/exibeswf.html?p_width=788&p_height=500&p_src=http://portalpedagogico.aticascipione.com.br/jogos/010906/index.html

15/01/2016

29

Grandezas e medidasPerímetro de um polígono

O perímetro de um polígono é soma das medidas do comprimento

dos seus lados.

3 cm + 3 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm = 12 cm

3 cm 3 cm

2 cm

2 cm

2 cm

113

Grandezas e medidas

Calcular a área de uma figura plana é medir a região do plano

ocupada por essa figura. Isso é feito comparando-se a figura plana

com uma unidade de área.

unidade de área área de A = 6 U

Medida de uma superfície: área de uma região plana

U U U U

U U U

114

Grandezas e medidasÁrea de uma região retangular

Comprimento ou base: 5 cm

Largura: 3 cm

Área da região retangular: 15 cm2

5 cm × 3 cm = 15 cm2

unidade

1 cm2

comprimento ou base:5 cm

largura

ou altura:

3 cm

115

Grandezas e medidasFórmula da área de uma região retangular

Área = (medida da base) × (medida da altura) ou A = b . a

Área de uma região quadrada

A = ℓ ×ℓ ou A = ℓ2

b (base)

a (altura)

ℓ

ℓ

116

15/01/2016

30

Grandezas e medidasÁrea de uma região limitada por um paralelogramo

A = b . a

a

b b

a

117

Grandezas e medidas

Área de uma região triangular

Observe o paralelogramo:

O triângulo é a metade de um paralelogramo

altura (a)

base (b)

A =

118

Grandezas e medidasÁrea de uma região limitada por um trapézio

(B + b)

A =

A área deste paralelogramo é: (B + b) . a

base menor (b)b

base maior (B)B b

B

altura (a)

119

Grandezas e medidasÁrea de uma região limitada por um losango

Área da região retangular: D . d

d

D

dd

D

A =

120


http://www.portalpedagogico.com.br/sitepages/exibeswf.html?p_width=790&p_height=480&p_src=http://stg2.novoser.com.br/SER_PP CDJogos/010597/index.html

15/01/2016

31

Grandezas e medidas

O volume expressa quanto espaço ocupa uma figura

espacial. As unidades-padrão de volume são baseadas

em cubos e são chamadas de unidades cúbicas.

Medida do volume de um paralelepípedo

V = a . b . c

Volume

a

b

c

121

Grandezas e medidasVolume e capacidade

Um recipiente com volume de 1 dm3 tem

capacidade para 1ℓ.

1 dm3 1ℓ

assim como 1 dm3 = 1000 cm3

1000 cm3 1ℓ

PA

ULO

MA

NZI

/ A

RQ

UIV

O D

A E

DIT

OR

A

122

Razão

É a divisão de dois números

5 1

20 4

1

2

2 1

10 5

De cada 10 alunos, 2 gostam de

Matemática

Um dia de sol, para cada dois de

chuva

De cada 20 habitantes, 5 são

analfabetos

RazãoComparação

3 ou 3:5

5

4,5 ou 4,5:2

2

Antecedente

Consequente

Exemplo - Razão

A Maria e o João dividiram uma pizza entre si. AMaria ficou com 4 fatias da pizza e o João ficoucom 5 fatias.

Qual é a razão entre o número fatias da Maria e onúmero de fatias do João?

Resposta: A razão é de 4:5 (lê-se 4 para 5).

15/01/2016

32

Razão

Na escala de um mapa o antecedente da razão costuma

ser 1 e as unidades utilizadas são as mesmas, nos dois

termos da razão.

1,6 cm (distância no mapa entre Cascais e Estoril)

3,2 km = 320000 cm (distância real entre Cascais e

Estoril)

A razão é 1,6:320000. Mas como o antecedente deve

ser 1, temos de dividir os termos da razão por 1,6.

(1,6 : 1,6 = 1 e 320000 : 1,6 = 200000)

A escala do mapa é 1:200000.

Exercícios – Razão

1. A distância entre duas cidades num mapa de escala 1:2000 é de 8,5 cm. Qual a distância real entre essas duas cidades?

2. Pedrinho resolveu 20 problemas de Matemática e acertou 18. Cláudia resolveu 30 problemas e acertou 24. Quem apresentou o melhor desempenho?

3. Uma equipe de futebol obteve, durante o ano de 2010, 26 vitórias, 15 empates e 11 derrotas. Qual é a razão do número de vitórias para o número total de partidas disputadas?

Exercícios

2) No início de uma partida de futebol, a altura média dos 11 jogadores

de um dos times era de 1,72 m. Ainda no primeiro tempo, um desses

jogadores, com 1,77m de altura foi substituído. Em seu lugar, entrou um

outro que media 1,68m de altura. No segundo tempo, outro jogador, com

1,73m de altura foi expulso. Ao terminar a partida qual era a média de

altura dos jogadores desse time?

1) A largura e o comprimento de um terreno retangular estão na razão de

4 para 7. Admitindo-se que o perímetro desse terreno seja 66 m,

determine a largura (em metros).

3) Um grupo de 12 amigos deveria dividir igualmente o valor da conta

em um bar. Na hora de pagar, três pessoas não tinham dinheiro e, por

isso, cada uma das outras teve que pagar R$ 5,00 a mais do que o

previsto. Qual foi o valor da conta?

Proporção

É a igualdade entre duas razões

d

c

b

a ou ( a : b = c : d )

lê-se : “a está para b, assim como c está para d ”

15/01/2016

33

Proporção

d

c

b

a

MeiosExtremos

( a : b = c : d )

Meios

Extremos

Propriedade Fundamental:

O produto dos meios é igual ao produto dos extremos

Exemplo - Proporção

Numa escola a proporção entre o número de professores e o númerode auxiliares é de 16 para 2.

Sabendo que o número total de funcionários é de 108, quantosprofessores e quantos auxiliares existem na escola?

𝑅𝑎𝑧ã𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒 𝑎𝑢𝑥𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟𝑒𝑠 16 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠

2 𝑎𝑢𝑥𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟𝑒𝑠

𝑅𝑎𝑧ã𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜𝑠 𝑒 𝑎𝑢𝑥𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟𝑒𝑠 16 + 2 = 18 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜𝑠

2 𝑎𝑢𝑥𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟𝑒𝑠

18

2=108

𝑥 18 . 𝑥 = 108 . 2 𝑥 =

108 .2

18 𝑥 = 12 𝑎𝑢𝑥𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟𝑒𝑠

16

2=𝑥

12 2 . 𝑥 = 16 . 12 𝑥 =

16 .12

2 𝑥 = 96 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠

Proporção

Exercício

Numa escola, a razão do número de professores

para o número de auxiliares é de 16:2.

Que conclusão podemos tirar da informação dada?

RESPOSTA

Como a razão entre o número de professores e o número

de auxiliares é de 16:2, podemos concluir que para cada

16 professores existem 2 auxiliares.

Proporção

Se o número total de professores e auxiliares forigual a 108, quantos professores e quantos auxiliarestêm a escola?

18 108 16 108 172896

16 18 18x x x

x

RESPOSTA:

Por cada 18 trabalhadores existem 16 professores.

Então, para 108 trabalhadores haverá x professores.

A escola tem 96 professores e

108 – 96 = 12 auxiliares.

15/01/2016

34

ProporçãoUma propriedade fundamental para série de razões iguais (ou proporção

múltipla) é a seguinte: em uma série de razões iguais, a soma dos

numeradores está para a soma dos denominadores assim como qualquer

numerador está para o seu respectivo denominador.

6 10 12 8 6 10 12 8 6 10 12 8

3 5 6 4 3 5 6 4 3 5 6 4

Divisão em partes diretamente proporcionais

Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros

números dados significa encontrar parcelas desse número que são

diretamente proporcionais aos números dados e que, somadas,

reproduzam esse número.

Divisão em partes diretamente proporcionais

Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros

números dados significa encontrar parcelas desse número que são

diretamente proporcionais aos números dados e que, somadas,

reproduzam esse número.

1) João e Pedro resolveram trabalhar juntos para resolverem um problema hidráulico

em um prédio, serviço pelo qual receberão R$ 990,00. Como João trabalhou durante

6 horas e Pedro durante 5 horas, como eles deverão dividir com justiça os R$ 990,00

que serão pagos por essa tarefa?

2) Três sócios A, B e C resolvem abrir uma pizzaria. O primeiro investiu 30 mil reais,

o segundo 40 mil reais e o terceiro 50 mil reais. Após 1 ano de funcionamento, a

pizzaria deu um lucro de 24 mil reais. Se esse lucro for distribuído aos sócios de

forma que a quantia recebida seja diretamente proporcional ao valor investido,

determine quanto cada um recebeu.

Divisão em partes inversamente proporcionais

Dividir um número em partes inversamente proporcionais a outros

números dados é encontrar parcelas desse número que sejam

diretamente proporcionais aos inversos desses números dados.

Exercício:

João e Pedro vão trabalhar por um mesmo período de tempo para

fabricar e vender por R$ 1.600,00 um certo artigo. Se João chegou

atrasado por 3 dias e Pedro 5 dias, como efetuar essa divisão com

justiça?

Exercícios - Proporção

1) João e Pedro resolveram trabalhar juntos para resolverem umproblema hidráulico em um prédio, serviço pelo qual receberão R$990,00. Como João trabalhou durante 6 horas e Pedro durante 5horas, como eles deverão dividir com justiça os R$ 990,00 que serãopagos por essa tarefa?

2) Três sócios A, B e C resolvem abrir uma pizzaria. O primeiro investiu30 mil reais, o segundo 40 mil reais e o terceiro 50 mil reais. Após 1ano de funcionamento, a pizzaria deu um lucro de 24 mil reais. Seesse lucro for distribuído aos sócios de forma que a quantia recebidaseja diretamente proporcional ao valor investido, determine quantocada um recebeu.

15/01/2016

35

Porcentagem

𝒙% =𝒙

𝟏𝟎𝟎Forma Percentual Forma Unitária

25% =25

100=1

4= 0,25

A porcentagem depende da referência

100 + 10% = 110

110 - 10% = 99

10% de 110 = 11

10% de 100 = 10

Exercícios – Calcule:

1) 10% de 29 + 4,2% de 17

2) 5,3% de 18,45 – 3,4% de 2,7

3) 0,4% de 125 + 16% de 234,25

4) 4% de 1.439,25 + 30% de 17.432

5) 45% de 208 – 15% de 23 + 80% de 12

Grandezas Proporcionais

A proporcionalidade entre grandezas pode ser direta ou

inversa. Esquematicamente, se duas grandezas são

diretamente proporcionais podemos representá-las como:

x y ou x y

Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais

quando, aumentando ou diminuindo uma delas numa

determinada razão, a outra aumenta ou diminui nessa

mesma razão.

15/01/2016

36

Grandezas Diretamente Proporcionais

• RESUMO

Dadas duas grandezas X e Y, Y é diretamente proporcional a

X se:

Para X = 0 também Y = 0;

Para X ≠ 0 e Y ≠ 0, o quociente entre dois quaisquer valores

correspondentes é um número constante (k).

O número k é a constante de proporcionalidade direta.

Y

X


Uma papelaria, um cliente pagou por 7 cadernos iguais a quantia de 8,75euros.

Quanto teria pago se tivesse comprado 9 daqueles cadernos?

RESOLUÇÃO:

Podemos usar uma proporção. Sabemos que 7 cadernos estão para8,75 euros, pelo que 9 cadernos estarão para x euros. Assim:

Resposta: Por 9 cadernos o cliente teria pago 11,25 euros.

7 9 8,75 9 78,7511,25

8,75 7 7x x x

x


Para fazer um determinado bolo, a razão entre o peso (em grama) doaçucar e o peso da farinha é de 5:2.

Se usares 160 g de açucar, quantos gramas de farinha deves usar?

RESOLUÇÃO:

Podemos usar uma proporção. Sabemos que 5 g de açucar estãopara 2 g de farinha, pelo que 160 g de açucar estarão para x g de farinha.Assim:

Resposta: Deveremos usar 64 g de farinha.

5 160 2 160 32064

2 5 5x x x

x


Uma torneira deita uniformemente, para um tanque que de inicio estavavazio, 4 litros de água por minuto.

Ao fim de meia hora quantos litros de água deitou a torneira ?

RESOLUÇÃO:

Podemos também usar uma proporção. Sabemos que 4 litros deágua estão para 1 minuto, pelo que x litros de água estarão para 30minutos (meia hora). Assim:

Resposta: Ao fim de meia hora a torneira deitou 120 litros de água.

4 4 30 120120

1 30 1 1

xx x x

15/01/2016

37


A mãe da Teresa comprou 1232 dólares americanos por 1000 euros.

À mesma taxa de câmbio, quantos dólares americanos poderiacomprar com 50 euros?

RESOLUÇÃO:

Podemos também usar uma proporção. Sabemos que 1232 dólaresamericanos estão para 1000 euros, pelo que x dólares americanosestarão para 50 euros. Assim:

Resposta: Com 50 euros, a mãe da Teresa poderia tercomprado 61,6 dólares americanos.

1232 1232 50 6160061,6

1000 50 1000 1000

xx x x


1 2 3 4 6Nº MAÇÃS (N)

PREÇO (P) 500 1 000 1 500 2 000 3 000

Duas grandezas são diretamente proporcionais,

quando ao aumentar uma, a outra também

aumenta na mesma proporção.

x 2X 3 x 4 x 6

x 2

X 3 x 4x 6


1 2 3 4 6Nº MAÇÃS (N)

PREÇO (P) 500 1 000 1 500 2 000 3 000

500

3 000

2 500

1 000

1 500

2 000

1 65432

Duas grandezas são diretamente proporcionais, se

ao representa-las graficamente obtemos uma linha

reta que passa pela origem.


1 2 3 4 6Nº MAÇÃS (N)

PREÇO (P) 500 1 000 1 500 2 000 3 000

P

N=

500

1=

1 000

2=

1 500

3=

2 000

4=

3 000

6= 500 = k

P

N= k P = k N

Duas grandezas são diretamente

proporcionais, se estão ligadas por um

quociente constante.

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Proporção Inversa ou Grandezas Inversamente Proporcionais

Se duas grandezas forem inversamente proporcionais

podemos representá-las como:

x y ou x y

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando,

aumentando (ou diminuindo) uma delas numa determinada

razão, a outra diminui (ou aumenta) na mesma razão.

ExemploGrandezas Inversamente Proporcionais

Um automóvel para percorrer 120 km, gasta:1 hora rodando a 120 km/h

2 horas rodando a 60 km/h3 horas rodando a 40 km/h

4 horas rodando a 30 km/h

6 horas rodando a 20 km/h

Velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais

Quando aumento a velocidade, diminuo o tempo

Grandezas Inversamente Proporcionais

120 60 40 30 20VELOCIDADE (V)

TEMPO (t) 1 2 3 4 6

Duas grandezas são inversamente proporcionais,

quando ao aumentar uma, a outra diminui na

mesma proporção, e vice-versa.

÷ 2÷ 3 ÷ 4 ÷ 6

x 2

X 3 x 4x 6

X = 120 km


20

120

100

40

60

80

1 65432


se ao representar-as graficamente obtemos uma

curva chamada hipérbola.

120 60 40 30 20VELOCIDADE (V)

TEMPO (t) 1 2 3 4 6

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= k

k

t=VV · t = k


se estiverem ligadas por um produto constante.

120 60 40 30 20VELOCIDADE (V)

TEMPO (t) 1 2 3 4 6

V · t = (120)(1) = (60)(2) = (40)(3) = (30)(4)= (20)(6) = 120

Regra de TrêsA regra de três é simplesmente um método

para resolver as proporções sem precisar de

armá-las.

A regra de três ganha seu nome do seu uso,

pois é usada para determinar um quarto valor de

um proporção quando são conhecidos três deles.

Tabela de Valores

A regra de três se vale muito de tabelas para a

fácil visualização do problema.

Faz-se assim:

Manoel decide fazer um túnel

de1Km de extensão.

Como o túnel em questão é estreito, somente um

máximo de 20 trabalhadores pode trabalhar na

escavação ao mesmo tempo.

Pesquisa google;julho 2008

• Como dispunha de 30 trabalhadores, Manoel resolveudividi-los em 2 grupos de 15 trabalhadores, cada grupoescavando de um lado da montanha a fim de aumentarprodutividade.

• Originalmente, a escavação gastaria 3 meses. Emquanto tempo terminará a escavação com o novoarranjo?

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Primeiro colocamos o problema em uma

tabela:

Importante lembrar que devemos sempre usar a mesma

unidade para grandezas do mesmo tipo nas tabelas.

Agora, marcamos o sentido de crescimento, das

grandezas, com setas. Neste caso o tempo diminuiu por

que o número de trabalhadores aumentou.

Se as setas marcam o mesmo sentido, as grandezas são

diretamente proporcionais. Se marcam sentidos opostos,

são inversamente proporcionais.

No caso de proporção inversa, multiplicamos

os valores da tabela em linha reta e igualando,

obtendo:

Que é a própria proporção inversa em forma

de produto, previamente mostrada.

O túnel em questão media 1km, se 30 trabalhadores

terminaram essa distância em 2 meses, qual distância cada

grupo de 15 trabalhadores percorreu no mesmo intervalo

de tempo?

Proporção direta, multiplica-se cruzado e igual a:

Observamos que a relação obtida é uma forma da

proporção:

Regra de 3 SimplesGrandezas Diretamente Proporcionais

• Num certo instante do dia, um poste com 12 m de altura projeta uma sombra de 3 m no chão. Qual o comprimento da sombra de uma pessoa localizada ao lado do poste, medindo 1,6 m de altura, neste mesmo instante?

3,0 m 1,6 m

12 m x m

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Continuação


• Quanto maior a altura, maior a sombra!

3,0 m 1,6 m

12 m x m

Altura do Objeto Altura da Sombra

3,0 m 12 m

1,6 m X m

3

1,6=12

𝑥

3. 𝑥 = 1,6 . 12

𝑥 =1,6 . 12

3𝑥 = 6,4 𝑚

Regra de 3 Simples


• Um avião voando a uma velocidade de 300 km/h faz o percurso entre duas cidades em 2 horas. Se aumentarmos a velocidade do avião, para 400 km/h, qual será o tempo necessário para fazer o mesmo percurso?

A B

Velocidade = 300 km/h → Tempo = 2 horas

Velocidade = 400 km/h → Tempo = x horas

Continuação

• Grandezas Inversamente Proporcionais

Quanto maior a velocidade, menor será o tempo!

A B

Velocidade = 300 km/h → Tempo = 2 horas

Velocidade = 400 km/h → Tempo = x horas

Velocidade do Avião Tempo da Viagem

300 km/h 2 horas

400 km/h X horas

Velocidade do Avião Tempo da Viagem

300 km/h x horas

400 km/h 2 horas

300

400=𝑥

2300.2 = 400. 𝑥

𝑥 = 1,5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

Exercícios de Regra de 3 Simples

1. Aplicando R$ 500,00 na poupança o valor dos juros em um mês seria de R$ 2,50. Caso seja aplicado R$ 2 100,00 no mesmo mês, qual seria o valor dos juros?

2. Em uma panificadora são produzidos 90 pães de 15 gramas cada um. Caso queira produzir pães de 10 gramas, quantos iremos obter?

3. Uma usina produz 500 litros de álcool com 6 000 kg de cana – de – açúcar. Determine quantos litros de álcool são produzidos com 15 000 kg de cana.

4. Uma equipe de 5 professores gastaram 12 dias para corrigir as provas de um vestibular. Considerando a mesma proporção, quantos dias levarão 30 professores para corrigir as provas?

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Regra de Três compostaPodemos interpretar de outra maneira o problema anterior:

Ao dividir os grupos, de 20 trabalhadores cavando 1km em 3 meses,

chegamos ao problema de quanto tempo levou para que os 30

trabalhadores cavassem apenas a metade, 500m?

Devemos agora, assumir um sentido arbitrário para o tempo. No

caso, consideramos o tempo diminuindo. Em relação aos trabalhadores,

quanto menos tempo mais trabalhadores são necessários. Em relação a

distância, menos tempo faz com que a distância diminua.

Separamos a incógnita de um lado da tabela e começamos um processo de

multiplicações sucessivas. A primeira segue as mesmas regras da regra de três simples,

e neste caso será cruzada.

Depois, quando as duas grandezas vizinhas forem diretamente proporcionais

(setas na mesma direção), multiplica-se cruzado, quando inversamente proporcionais

(setas em posição invertida), multiplica-se cruzado. Igualamos os caminhos.

Obtemos então a solução:

2 meses

Regra de 3 Composta


• Uma família de 8 pessoas consome 5 kg de carne em 2 dias. Quantos kg de carne essa família irá consumir em 4 dias se dois membros da família estiverem ausentes?

Quantidade Carne Pessoas na Família Dias5 Kg 8 pessoas 2 dias

X Kg 6 pessoas 4 dias

Menos pessoas, menosconsumo de carne

Menos dias, menosconsumo de carne


Continuação

Quantidade Carne Pessoas na Família Dias5 Kg 8 pessoas 2 dias

X Kg 6 pessoas 4 dias

5

𝑥=8

6.2

45 . 6 . 4 = 𝑥 . 8 . 2 120 = 16 . 𝑥

𝑥 = 7,5 𝑑𝑖𝑎𝑠

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Regra de 3 Composta


• Quinze pessoas trabalhando 8 horas por dia durante 5 dias conseguem limpar um certo terreno. Quantas horas por dia 10 pessoas precisariam trabalhar para limpar o mesmo terreno em 6 dias?

Horas por Dia Pessoas Dias8 h / dia 15 pessoas 5 dias

X h / dia 10 pessoas 6 dias

Menos pessoas, maishoras de trabalho por dia

Menos dias, mais horas de trabalho por dia


Continuação



8

𝑥=10

15.6

5



8 . 15 . 5 = 𝑥 . 10 . 6 600 = 60 . 𝑥

𝑥 = 10 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑎

Exercícios

1. Um texto ocupa 6 páginas de 45 linhas cada uma, com 80 letras (ou espaços) em cada linha. Para torná-lo mais legível, diminui-se para 30 o número de linhas por página e para 40 o número de letras (ou espaços) por linha. Considerando as novas condições, determine o número de páginas ocupadas.

2. Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em 40 minutos, em quanto tempo 3 dessas impressoras produziriam 2000 desses panfletos?

3. Se foram empregados 4 kg de fios para tecer 14 m de uma maquete de fazenda com 80 cm de largura, quantos quilogramas serão necessários para produzir 350 m de uma maquete de fazenda com 120 cm largura?

4. Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas adquiridas seria suficiente para quantos dias?

Exercícios 2

Dois ciclistas se deslocam com velocidades constantes de 30km/h e

27km/h, respectivamente, percorrendo uma mesma distância. Se um

gasta 18 minutos a mais que o outro, determine o tempo gasto pelo

ciclista mais lento.

Regra de três simples

Exercícios 1

Se para tomar um banho de 12 minutos uma pessoa gasta 0,45

kWh, quanto consumirá se aumentar o tempo de seu banho para 20

minutos?W = P.T, onde:

W - energia consumida;

P - potência do eletrodoméstico considerado;

T - tempo de utilização do eletrodoméstico.

V = E/T, onde:

V - velocidade;

E - espaço;

T - tempo.

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Exercícios 2

Se 45 máquinas realizam uma obra em 16 dias, funcionando 7 horas por

dia, quantas máquinas seriam necessárias para realizar esta obra em 12

dias, funcionando 10 horas por dia?

Regra de três composta

Exercícios 1

Três operários, trabalhando durante 6 dias, produzem 400 peças.

Quantas peças desse mesmo tipo produzirão 7 operários, trabalhando 9

dias?

PORCENTAGEM

exemplos:

A gasolina teve um aumento de 15%

Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00

O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00

Dos jogadores que jogam no Flamengo, 90% são craques.

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Flamengo, 90 são

craques.

Razão centesimal

Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-

se razão centesimal. Alguns exemplos:

Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas

centesimais ou taxas percentuais.

Considere o seguinte problema:

João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?

ara solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%)

sobre o total de cavalos.

Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma

taxa percentual a um determinado valor.

Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa

a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definição:

MATEMATICA FINANCEIRA

a)Calcular 12% de 200

b)Calcular 65 % de 180

c)Calcula 15% de 66

d)Calcular 25% de 100

e)Calcular 30% de 130.

f) Calcular 30% de 200 kg.

g)Calcular 20% de R$123,45

h)Calcular 22,4 % de 345 litros

i) Calcular 21 % de 492 metros

j) Calcular 9,8% de R$ 280,00

k)Calcular 0,7% R$123,00

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1. Calcule o valor de:

a)100 + 10%

b)220 + 28%

c)300 + 3,8%

d)282 + 36 %

e)870 + 34 %

f) 100 – 2,3%

g)345 – 47,7%

h)3,90 – 5%

2. A gasolina teve um aumento de 15% este mês. Sendo que o preço

médio em Juína do litro da gasolina é de R$ 3,30. De quantos reais foi

este aumento? E qual o valor do litros depois deste aumento? E

supomos que o preço da gasolina estivesse baixado 9,34% qual seria o

valor do litro depois deste reajuste?

1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas,

transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

2) Em uma maratona o competidor deve percorrer 42 195 metros. Se um competidor

fizer apenas 85% da prova quantos metros ele percorreu?

3) Uma geladeira cujo o preço a vista é de R$ 830,00 tem um acréscimo de 7,8 % no

seu preço se for paga em 3 x sem juros qual o valor de cada prestação?

4) Jéssica gastou 28% do que tinha e ainda restou R$ 130,00 quanto ela tinha e

quanto ela gastou?

5) Existem 200 livros em uma biblioteca, sendo que 30% são de matemática 30% são

de Português 20% são de administração e o restante são de inglês. Qual a

quantidade de cada livro?

6) Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% de fichas estão etiquetadas

com numero par. Quantas fichas têm a etiqueta com numero par?

7) Em uma indústria trabalham 389 mulheres. Esse numero corresponde a 42,5% do total de

empregados. Quantas pessoas trabalham, ao todo nessa indústria?

8) Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço marcado na

etiqueta. Se paguei R$ 690,00 pela mercadoria, qual o preço original dessa mercadoria?

9) O salario de um trabalhador era de R$ 840,00 e passou a ser de R$ 966,00. Qual foi a

porcentagem de aumento?

10) Ao fazer uma viagem foi percebido que foi percorrido 380 km, sendo que a viagem é de

um percurso total de 1280 km. Quantos % foi percorrido?

11) Em uma determinada cidade com 80 000 habitantes foi feito um levantamento pelo IBGE,

onde foi constatado que 25% da população é do sexo masculino 33,87% é do sexo feminino,

28,3% são crianças e o restante são de idosos.

Qual a porcentagem de idosos?

Qual a quantidade de pessoas do sexo masculino?

Qual a quantidade de pessoas do sexo feminino?

Qual a quantidade de crianças? E de Idosos?

Juros simples

Na prática da Matemática Financeira, o juro é o elemento que nos permite levar um

valor de uma data para outra, isto é, são os juros que nos permitem levar um Valor

Presente para um Valor Futuro ou vice-versa. Enfim, são os juros que nos permitem

comparar valores e decidirmos pela melhor alternativa de compra, venda ou

pagamento.

Capital (C) Pode ser chamado de principal, capital inicial, valor presente, valor

atual, montante inicial, valor de aquisição, valor à vista.

Juros (J) Quando uma pessoa empresta a outra um valor monetário, durante certo

tempo, é cobrado um valor pelo uso do dinheiro. Esse valor é denominado juros.

Taxa de juros (i) A taxa de juros representa os juros numa certa unidade de tempo.

A taxa obrigatoriamente deverá explicitar a unidade de tempo

Tempo (n) Quando falamos em tempo, leia-se NÚMERO DE PERÍODOS.

Montante (M) Pode ser chamado de montante, montante final, valor futuro. É o

valor de resgate. Obviamente o montante é maior do que o capital inicial. O montante

é, em suma, o capital mais os juros

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Quando tivermos o valor do capital, a taxa de juros eo tempo da aplicação, para a

obtenção do juro iremos utilizar a fórmula:

J= C.i.n

Quando tivermos o valor do juro, a taxa de juros eo tempo da aplicação, para a

obtenção do valor do capital utilizaremos a fórmula:

C= J__

(1+i . n)

Quando tivermos o valor do juro o valor do capital eo tempo da aplicação, para a

obtenção da taxa de juros utilizaremos a fórmula:

i= J__

c . n

Quando tivermos o valor do juro, o valor do capital ea taxa de juros, para a obtenção

do tempo da aplicação iremos utilizar a fórmula

n= J__

c . i

montante: M = C +J

1) Um capital de R$14400,00, aplicado a 22% ao ano, rendeu 880 de juros.

Durante quantos dias esteve empregado:2) Um capital de R$ 12 000,00 aplicado a 8 % ao mês, rendeu R$ 330,00 de juros.

Durante quantos dias esteve empregado?3) Se um capital de R$ 21 600,00 rendeu R$ 1600,00 de juros em 90 dias, qual é a

taxa de juros simples anual dessa aplicação

4) Se um capital de R$ 41 000,00 rendeu 900,00 de juros em 45 dias, qual é a taxa

de juros simples mensal desta aplicação?

5) Um capital de R$ 6000,00 foi aplicado durante 3 meses, á juros simples, a taxa de 16% a.a. pede –se: JUROS AO MÊS ? MONTANTE NO FINAL DE UM

MÊS?6) Calcular o juro simples referente a um capital de R$ 2400,00 nas seguintes

condições:

a) 21% a.a, com prazo de 1 ano.b) 21% a.a, , com prazo de 3 anos

c) 21% a.a, com prazo de 3 meses

7) Calcule juros simples auferidos de uma aplicação de R$ 3500,00 a taxa de 38% a.a,

pelo prazo de 5 meses

8) Um capital de R$ 19000,00 foi aplicado a juros simples a taxa de 38%a.a , pelo

prazo de 56 dias. Obtenha os juros comerciais e exatos para esta aplicação.

9) Comprei o material para a reforma da minha casa, pelo qual pagarei um total de

R$ 36 664,00. o seu valor a vista era de R$ 27000,00 e a taxa de juros é de 2,4 %

a.m. Por quantos anos eu pagarei por este material.

10) O valor principal de uma aplicação é de R$ 2000,00. Resgatou- se um total de R$

2450,00 após 1 mês . Qual o valor de juros a.d ?

11) Calcule o montante e os juros referentes a um capital de R$ 45423,50 investido a

0,3% a.d, durante 1,5 anos.

12) O valor do capital de uma aplicação é de 10000,00, resgatou-se um total de

19000,00, após 1 semestre . Qual o valor da taxa de juros a.d

13. Um cliente aplicou em um banco um capital de R$ 20000,00, á taxa de juros de 1% ao

mês, no regime de juros simples. Calcule o montante no final do 1°, 2°, 3°, 4° e 5° meses.

14. Calcule o capital que deve ser depositado numa aplicação sob o regime de juros

simples, durante 8 meses, á taxa de 3,5% ao mês para se conseguir um montante de R$

190,00? Usar = C= M_

(1+i . n) 15. Um banco oferece uma taxa de 5% ao mês no regime de juros simples para uma

aplicação de 42 dias. Qual o juro que remunera um capital de R% 5000,00? Qual o valor do

montante?

16.Um comerciante realiza uma operação de empréstimo no valor de R$ 6000,00. assina

uma nota promissória de neste valor, com vencimento para seis meses. O Banco cobra os juros antecipadamente através de uma taxa de desconto de 1% ao mês. Qual o valor

do desconto? Usar: desconto = M . I . N

17. Uma duplicata no valor de R$ 6000,00 , com vencimento para 6 meses, é apresentada

ao banco para uma operação de desconto. O banco entrega ao comerciante o valor líquido de R$ 5640,00. Qual a taxa de desconto utilizada pelo banco?

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Juros compostos

O valor dos juros em cada período é obtido pela aplicação da taxa

ao saldo existente no final do período anterior, isto é calculado em função

do montante.

No regime de juros compostos, os juros são adicionados ao capital e

passam a render juros também, formando o montante o qual sera a base

de capitalização no inicio do período seguinte. O crescimento do dinheiro

ao longo do tempo é denominado CAPITALIZAÇÃO.

Para encontrar o montante:

M= C.(1+i)^n

Para o calculo do Capital

C=M

(1+i)^nPara encontrar valor de desconto:

C= M.(1-i.n)

1. Qual o montante produzido por um capital de R$ 7000,00 aplicados a uma taxa de

juros mensais de 1,5% durante um ano.

2. Calcule o valor do capital que, aplicado a uma taxa de 2% ao mês, durante 10

meses a quantia final do rendimento é de R$ 15 237,43.

3. Um investidor aplicou R$ 20000,00, á taxa de juros de 10% ao ano. Calcule o

montante no final do 1°, 2°, 3°, 4°, 5° anos.

4. Quanto se deve investir hoje para que no final de 3 anos sejam resgatados R$

26620,00 a uma taxa de 10% ao ano?

5. Um investidor aplicou R$ 200,00, á taxa de 1% ao mês no regime de juros simples.

Calcule o montante no final do 1°, 2°, 3°, 4° meses.

6. Você recebe uma proposta para investir hoje R$ 300,00 a receber R$ R$528,60

dentro de 5 (cinco) meses, no regime de juros compostos. Qual a taxa de juros

mensal?

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Cfsd 2016 matematica - aula 1 e 2 - v2