CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11 (THẦY HOÀNG THÁI VIỆT)

Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số

__________________________________________________________________________

Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 1

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa:

a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có thể

nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí

hiệu: lim 0 hay u 0 khi n + .nunn

b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn là a hay (un) dần tới a khi n dần tới vô cực

(n ), nếu lim 0. nn

u a

Kí hiệu: nlim hay u khi n + .nn

u a a

Chú ý: lim limn nn

u u

.

2. Một vài giới hạn đặc biệt.

a) *

k

1 1lim 0 , lim 0 , n

n ¢

n

b) lim 0 n

q với 1q .

c) Lim(un)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c.

3. Một số định lý về giới hạn của dãy số.

a) Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có : *

nv n

n nu w ¥ và

n

lim lim lim un nv w a a .

b) Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì:

lim lim limn n n nu v u v a b

lim . lim .lim .n n n nu v u v a b

*

n

lim

lim , v 0 n ; 0

lim

nn

n n

uu ab

v v b

¥

lim lim , 0 ,a 0n n nu u a u

4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với 1.q

1lim lim

1n

uS

q

5. Dãy số dần tới vô cực:

a) Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực nu khi n dần tới vơ cực n nếu un lớn

hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim(un)= hay un

khi n .

CHƢƠNG IV: GIỚI HẠN

CHỦ ĐỀ 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ


__________________________________________________________________________


b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là khi n nếu lim nu .Ký hiệu:

lim(un)= hay un khi n .

c) Định lý:

o Nếu : *

nlim 0 u 0 , n

nu ¥ thì

1lim

nu

o Nếu : lim nu thì

1lim 0

nu

B. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

1. Giới hạn của dãy số (un) với n

P nu

Q n

với P,Q là các đa thức:

o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì chia tử số

và mẫu số cho nk để đi đến kết quả : 0

0

limn

au

b

.

o Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)=0.

o Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)= .

2. Giới hạn của dãy số dạng: n

f nu

g n

, f và g là các biển thức chứa căn.

o Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp.

o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp.

C. CÁC VÍ DỤ.

1.

2

22 2

22

22

3 2 5 2 53

3 2 5 3lim lim lim

1 87 87 8 77

n n

n n n n n

n nn n

n nn

2.

2

22

11 41 4

1 4 1 4 5lim lim lim

3 2 23 2 3 33

n n

n n nn

nn

n n

3. 2 2

2 2

2

2 2

2 3 2 32 3

lim 2 3 lim lim

2 3 2 3

n n n n n nn n n

n n n

n n n n n n

2

22

32

2 3 2 3 2lim lim lim 1

1 12 32 32 31 11 1

n n n

n n nn

n nn n

2

2 3n n n là biểu thức liên hợp của 2

2 3n n n


__________________________________________________________________________


4.

1

1 1 1 1 1 21 ... ... .

12 4 8 2 31

2

n

Tổng của cấp số nhân lùi vô

hạn có công bội 1

2

q và số hạng đầu u1=1.

5.

3

33 2 3

22

2 33

2 1 2 11

2 1lim lim lim

1 1 32 32 3

n n

n n n n n

n nn n

n n nn

.

6.

2233 3 3 33

3 3

2233 33

2 2 2.

lim 2 lim

2 2.

n n n n n n

n n

n n n n

3 3

3 3

2 22 23 33 3 3 33 3

22

lim lim

2 2. 2 2.

n nn n

n n n n n n n n

2

233 33

2lim 0

2 2.n n n n

D. BÀI TẬP

1. Tìm các giới hạn:

a) 2

2

7lim

5 2

n n

n

b) 2 1

lim

2

n

n

c) 2

2

3 1lim

4

n

n

d) 3

3

6 3 1lim

7 2

n n

n n

e) 2

3

2 4lim

7 2 9

n n

n n

f) 2

2

2lim

4 2

n

n

g) 33

8 1lim

2 5

n

n

h) 2

lim 2 3n n n

i) lim 1n n

2. Tìm các giới hạn sau:

a) 2

1 2 3 4 ...lim

3

n

n

b)

5sin 7cos

lim

2 1

n n

n


a) 2 2

3 1 1lim

n n

n

b) 3 23

lim 2n n n


__________________________________________________________________________


c) 2 2

lim 1 2n n

d) 2 3 4

2 3 4

1 ...lim a 1, b 1

1 ...

n

n

a a a a a

b b b b b

e) 3

4 2

2lim

3 2

n

n n

f)

1

2

1

lim

2 1

n

n

n

n

g) 2 4

lim 1 3 1n n n

h) 2 63

4 2

1lim

1

n n

n n

i)

2 1 3

lim

1 2

n n n

n n

j) 2 2 2 2

1 1 1 1lim 1 1 1 ... 1

2 3 4 n

k) 2 2 2

1 1 1lim ...

1 2n n n n

4. Tìm tổng các cấp số nhân lùi vô hạn sau:

a) 3

2

2 11 1lim

2

n n

n

b) 2 2

1lim

2 4n n

c) 3 23

lim n n n n

________________________________________________________________________________

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là

L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn K và xn a ,*

n ¥ mà lim(xn)=a đều có

lim[f(xn)]=L.Kí hiệu: limx a

f x L .

2. Một số định lý về giới hạn của hàm số:

a) Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.

b) Định lý 2:Nếu các giới hạn: lim , limx a x a

f x L g x M thì:

lim lim limx a x a x a

f x g x f x g x L M

lim . lim .lim .x a x a x a

f x g x f x g x L M

lim

lim , M 0

lim

x a

x a

x a

f xf x L

g x Mg x

CHỦ ĐỀ 2 :GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ


__________________________________________________________________________


lim lim ; 0, 0x a x a

f x f x L f x L

c) Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a),

g(x) f(x)h(x) ,x K x a và lim lim limx a x a x a

g x h x L f x L .

3. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:

a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) = a , đều có

lim[f(xn)]= thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu: limx a

f x .

b) Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) = đều có lim[f(xn)] = L , thì ta nói f(x) có giới hạn là L

khi x dần tới vô cực, kí hiệu: limx

f x L

.

c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà xn > a *

n ¥ , thì ta

nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu : limx a

f x . Nếu chỉ đòi hỏi với mọi dãy số

(xn), xn < a *

n ¥ thì ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại a , kí hiệu: limx a

f x

B. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau:

1. Giới hạn của hàm số dạng:

0lim

0x a

f x

g x

o Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2.

o Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp.

2. Giới hạn của hàm số dạng:

lim x

f x

g x

o Chia tử và mẫu cho xk với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu x thì coi như x>0, nếu

x thì coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn.

3. Giới hạn của hàm số dạng: lim . 0.x

f x g x

. Ta biến đổi về dạng:

4. Giới hạn của hàm số dạng: lim -x

f x g x

o Đưa về dạng:

limx

f x g x

f x g x

C. CÁC VÍ DỤ

1.

22

2

2 3 2 23 2 12lim 3

2 2 2 4x

x x

x

2.

2

2 2 2

2 13 2lim lim lim 1 2 1 1

2 2x x x

x xx xx

x x

.Chia tử và mẫu cho (x-2).


__________________________________________________________________________


3.

23 3 3

1 2 1 2 3 3 1 4 3 31 2

lim lim lim

3 3 3 3 1 2 3 3 3 3 1 2x x x

x x x x xx

x x x x x x

3 3

3 3 3 3 3 3.3 36 1

lim lim

12 23 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2x x

x x x

x x x

4. 2

3

3 1lim

3x

x x

x

(vì tử dần về 1 còn mẫu dần về 0).Cụ thể:

2

3

2

3

3 1lim

3

3 1lim

3

x

x

x x

x

x x

x

5.

2 23 2

23 21 1 1

1 2 1 2 12 1lim lim lim

4 5 2 1 21 2x x x

x x x x xx x

x x x x xx x

.

6.

2

22 2

22

22

2 3 1 32

2 3 2lim lim lim 2

111 11

x x x

x x

x x x x x

xx

xx

7. 1

lim 1 0x

x

8. 2

2

2

11

1 1lim lim lim 1 1x x x

xx x

x x x

9. 2

2 2

2

1 11 1

1 1lim lim lim lim 1 1x x x x

x xx x x

x x x x

.

10. Cho hàm số :

2

3 x 1

x+a x>1

x

x x

f x

. Tìm a để hàm số có giới hạn khi x dần tới 1 và

tìm giới hạn đó.

Giải

Ta có : 2

1 1

lim lim 3 3x x

f x x x .

1 1

lim lim 1x x

x af x a

x

Vậy 1

lim 3 1 3 2x

f x a a


__________________________________________________________________________


11.

2

3

2

2 2 2

2 2 48lim lim lim 2 4 12

2 2x x x

x x xxx x

x x

. Dạng

0

0

.

12.

3

33 2 3

33

33

2 1 2 11

2 1 1lim lim lim

12 12 1 22

x x x

x x

x x x x x

xx

xx

. Dạng

.

13.

2

2

22

3 3 33 3 3

2

2 3 1

2 3 12lim 3 1 lim lim

. 1 . 1 . 1x x x

x x

x xx

x x

x x x x x x

x

2

3

3

1 12 3

6lim 6

111

x

x x

x

14. 2 2

2 2

2

2 2

3 33

lim 3 lim lim

3 3x x x

x x x x x xx x x

x x x

x x x x x x

2 2

2

3 31

3 1lim lim lim

21 33 31 1

x x x

x

x x x

x x x x x x

x xx

.

Dạng .

D. BÀI TẬP.


a) 3 2

0

lim 4 10x

x x

b) 2

3

lim 5 7x

x x

c) 2

1

5lim

5x

x

x

d) 2

3

2 15lim

3x

x x

x

e) 2

21

2 3 1lim

1x

x x

x

f) 3 2

1

1lim

1x

x x x

x

g) 4 4

limx a

x a

x a

h) 2

7

3 3lim

2x

x x

x


__________________________________________________________________________


2. Tìm các giới hạn :

a) 2

0

1 1limx

x x x

x

b) 2

2lim

4 1 3x

x x

x

c) 3

0

1 1lim

3x

x

x

d) 3

21

1lim

3 2x

x

x

e)

2

22

3 2lim

2x

x x

x

f) 2

3 21

2 3 1lim

1x

x x

x x x

g) 2

3

4 3lim

3x

x x

x

h)

6 5

21

4 5lim

1x

x x x

x

i) 3

22

8 11 7lim

3 2x

x x

x x


a) 2

2

3 5 1lim

2x

x x

x

b)

2 2

4

1 . 7 2

lim

2 1x

x x

x

c)

2

3

2 1 5 3

lim

2 1 1x

x x

x x

d) 2

lim 4x

x x x

e)

2

sin 2 2cos

lim

1x

x x

x x

.

4. Tìm giới hạn bên phải, bên trái của hàm số f(x) tại x=x0 và xét xem 0

limx x

f x

có tồn

tại không trong các trƣờng hợp sau:

a)

2 1 x>1

5 3 x 1

x

xf x

x

tại x0 = 1

b)

2

2

2 x>1

1

1 x 1

x x

f x x

x x

tại x0 = 1

c)

2

4 x<2

2

1 2 x 2

x

f x x

x

tại x0 = 2

d) 3

2

3 2

5 4

x xf x

x x

tại x0 = 1


__________________________________________________________________________


5. Tìm các giới hạn:

a) 2

lim 5x

x x x

b) 2

lim 3x

x x x

________________________________________________________________________________

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Hàm số liên tục tại một điểm trên một khoảng:

o Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b). Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x0 (a;b)

nếu: 0

0limx x

f x f x

.Điểm x0 tại đó f(x) không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm

số.

o f(x) xác định trên khoảng (a;b)

liên tục tại điểm x0 (a;b) 00 0

0lim lim lim

x xx x x x

f x f x f x f x .

o f(x) xác định trên khoảng (a;b) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi

điểm thuộc khoảng ấy.

o f(x) xác định trên khoảng [a;b] được gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nếu nó liên tục trên

khoảng (a;b) và

lim

lim

x a

x b

f x f a

f x f b

2. Một số định lý về hàm số liên tục:

o Định lý 1: f(x) và g(x) liên tục tại x0 thì:

, . , 0

f xf x g x f x g x g x

g x

cũng liên tục tại x0 .

o Đinh lý 2: Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của

chúng.

o Định lý 3: f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó đạt GTLN, GTNN và mọi giá trị trung giữa

GTLN và GTNN trên đoạn đó.

Hệ quả: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm

c(a;b) sao cho f(c) = 0 . Tức là có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).

B. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

1. Xét tính liên tục của hàm số dạng:

0

0

x x

a x=x

g x

f x

o Tìm 0

limx x

g x

.Hàm số liên tục tại x0 0

limx x

g x a

.

HÀM SỐ LIÊN TỤC


__________________________________________________________________________


2. Xét tính liên tục của hàm số dạng:

0

0

0

x<x

x=x

x>x

g x

f x a

h x

o Tìm :

0 0

0 0

0

lim lim

lim lim

x x x x

x x x x

f x g x

f x g x

f x

. Hàm số liên tục tại x = x0

0 0

0lim limx x x x

f x f x f x a .

3. Chứng minh phƣơng trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b).

o Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b].

o Chứng tỏ f(a).f(b)<0

Khi đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b).

Nếu chưa có (a;b) thì ta cần tính các giá trị f(x) để tìm a và b. Muốn chứng minh f(x)=0 có

hai , ba nghiệm thì ta tìm hai , ba khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng f(x)=0 đều có

nghiệm.

C. CÁC VÍ DỤ.

1. Cho hàm số:

2

1 x 1

1

a x=1

x

f x x

a là hằng số. Xét tính liên tục của hàm số

tại x0 = 1.

Giải

Hàm số xác định với mọi x thuộc R.

Ta có f(1) = a.

2

1 1 1

1 11lim lim lim 1 2

1 1x x x

x xxx

x x

Nếu a=2 thì hàm số liên tục tại x0 = 1.

Nếu a 2 thì hàm số gián đoạn tại x0 = 1.

2. Cho hàm số:

2

1 x 0

x x 0

x

f x

. Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 0.

Giải

Hàm số xác định với mọi x thuộc R.

Ta có f(0) = 0


__________________________________________________________________________


0 0

2

0 0 0 0

lim lim 0

lim lim 1 1 0= lim lim

x x

x x x x

f x x

f x x f x x

.

Vậy hàm số không liên tục tại x0 = 0.

3. Cho hàm số:

2

2 x 1

x +x-1 x 1

ax

f x

. Xét tính liên tục của hàm số trên toàn

trục số.

Giải

x >1 ta có f(x) = ax +2 hàm số liên tục.

x <1 ta có f(x) = x2+x-1 hàm số liên tục.

Khi x = 1:

Ta có f(1) = a+2

1 1

2

1 1

lim lim 2 2

lim lim 1 1

x x

x x

f x ax a

f x x x

.

Hàm số liên tục tại x0 = 1 nếu a = -1.

Hàm số gián đoạn tại x0 = 1 nếu a -1.

Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số nếu a = -1.Hàm số liên tục trên ;1 1; nếu

a -1.

D. BÀI TẬP

1. Xét xem các hàm số sau có liên tục tại mọi x không, nếu chúng không liên tục thì chỉ ra

các điểm gián đoạn.

a) f(x) = x3 – 2x

2 + 3x + 1

b) 2

2 1

3 2

xf x

x x

c) 2

2

5 6

2

x xf x

x x

d)

2

16 x 4

4

8 x=4

x

f x x

2. Cho hàm số:

2

x 2

3 x>2

ax

f x

a là hằng số . Tìm a để f(x) liên tục tại mọi x,

khi đó hãy vẽ đồ thị của hàm số.

3. Chứng minh rằng phƣơng trình:

a) 3x2+2x-2=0 có ít nhất một nghiệm

b) 4x4+2x

2-x-3=0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc (-1;1).

c) x3-3x+1=0 có ba nghiệm phân biệt.

d) x4-x-3=0 có một nghiệm thuộc (1;2).

e) 2x3-6x+1=0 có ba nghiệm thuộc đoạn [-2;2].

4. Xác định a để các hàm số sau liên tục trên R:


__________________________________________________________________________


a)

33 2

x>2

2

1 x 2

4

x

xf x

ax

b)

1 x<0

x 0

f x

x a

5. Xét tính liên tục tại x0 của các hàm số f(x) trong các trƣờng hợp sau:

a)

1 2 3 x 2

2

1 x 2

x

f x x

tại x0 = 2

b)

3 2

-x +2x-2 x 1

1

4 x 1

x

f x x

tại x0 = 1.

c)

2

2x -x-6

x 3 0

3

x 0

x=3

x

x x

f x a

b

tại ại x0 = 0 và tại x0 = 3.

Sở GD&ĐT Phú Yên ĐỀ KIỂM TRA ĐẠI SỐ 11

Trường THPT Trần Suyền ( Chương IV: Giới hạn

Câu1:(5 điểm) Tìm các giới hạn sau:

a) nn

nn

3

3

2

126lim b)

82

7lim

4

x

x

x c)

1

25lim

1

x

x

x

d) 2limx

x x x

e) 3

0

1 2 1 3limx

x x

x

f) )753lim( 23 nn

Câu 2:(3 điểm)

Cho

2,1

2,2

65

)(

2

nêuxmx

nêuxx

xx

xf .Xét tính liên tục của hàm số tại điểm 2ox .

MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA CHƢƠNG

GIỚI HẠN ĐẠI SỐ 11


__________________________________________________________________________


Câu 3: (2 điểm) Chứng minh rằng phương trình :

0354 xx có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2;0).

ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT CHƢƠNG 4

MÔN: ĐẠI SỐ 11NC( Năm học : 2010-2011)

Câu 1: (6 điểm) Tìm các giới han sau:

a) 4 5

lim

2 3

n

n

b) 7 5lim 3 5 7 4

xx x x

c)

3

2 1lim

3x

x

x

d)

2

3

3 11 6lim

3x

x x

x

e) 2lim 2

xx x x

f)

3

0

1 2 1 3limx

x x

x

Câu 2: (3điểm) Cho hàm số:

2,3

2,2

2107

)(

xmx

xx

x

xf , Tìm m để hàm số liên tục tại x = 2.

Câu 3:( 1điểm) Cho phương trình: 4 2010 5

1 32 0m m x x , m là tham số

CMR phương trình trên luôn có ít nhất một nghiệm dương với mọi giá trị của tham số m

Đề 01

Bµi 1: TÝnh 2

lim 2 5x

x

Bµi 2: T×m çc gíi h¹n sau:

a) 2

3

3 4lim

2 5

n n

n n

b)

2 3lim

5

n

n

c)

22 1lim

3 2x

x x x

x

d) 22

2lim

3 2x

x x

x x

e) 2lim 2 1 4 4 2

xx x x

f)

6

sin6

lim3 2 osxx

x

c

Bµi 3:XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè sau trªn tËp x¸c ®Þnh cña nã

y = f(x) = 2 2 , 1

, 1

x x x

x a x

, víi a lµ tham sè.

Bµi 4: Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh x3 – 3x + 1 = 0 cã ba nghiÖm ph©n biÖt trong kho¶ng (-2 ;

2).

Đề 02

Câu 1:Tính các giới hạn sau:

a) 3 5

lim4 7

n

n

b)

2

3

2 3 7lim

9 2

n n

n n

Câu 2:Tính các giới hạn sau


__________________________________________________________________________


a) 3 2

5lim( 5 10 8)x

x x x

b) 3 2

22

2 8lim

3 2x

x x x

x x

c)

2 5 2lim

2 1x

x x

x

d) 2lim ( 3 1 3)x

x x

e)3 3

2

4 3 4lim

9 5 1 4x

x x x

x x x

Câu 3: a) Tìm số thực a sao cho hàm số

2

3

1 10

1 1( )1

02

xv i x

xf x

a v i x

í

í

Liên tục trên ¡

b) Chứng minh rằng phương trình: sin 1 0x x có nghiệm.

Đề 03

Câu 1: Tính giới hạn:

a.3

2

3 5 7lim

2

n n

n

b. 2lim 4 5n n n


a) 2lim (3 5 7)x

x x

b) 21

2 1lim

3 4x

x

x x

c) 3 3lim ( 1 )

xx x

d) 2

23

9lim

2 7 3x

x

x x

e,

24 2 1 3 1lim

3 5x

x x x

x

Câu 3:a) Tìm a để hàm số sau liên tục với mọi x R

3 3 2 22

2( )1

a + 24

xv i x

xf x

x v i x

í

í

b) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm: 32 10 7 0x x

Đề 04

C©u 1: TÝnh :

a)2

lim 11

n

n

b)

1lim

1n n c)

2

1

3 5 2lim

1x

x x

x

d) 2

1

2lim

1x

x

x

e)

2

2 3lim

2 3x

x

x

. f)

3

20

1 os2xlim

sinx

c

x

C©u 2: T×m sè thùc a sao cho hµm sè:

3 3 2; x 1

1

1-a ; x=1

x x

f x x

x

liªn tôc trªn R


__________________________________________________________________________


C©u 3: Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh sau lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m:

2 51 3 1 0m x x

C©u 4: T×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè 1

1

1

2

1

2n n

u

u u

. Khi ®ã tÝnh : limUn

Đề 05

Câu 1: Tính giới hạn:

a)3

2

9 5 7lim

2

n n

n

b) 2lim 2 1 2n n n

Câu 2: Tính các giới hạn sau:

a) 2lim ( 3 5 7)x

x x

b) 21

12 1lim

3 4x

x

x x

c) lim ( 4 1 4 5)

xx x

d)

2

23

9lim

2 7 3x

x

x x

e)

2 2

3

2 1 . 5 2lim

3 2 ( 1)x

x x

x x

Câu 3:a) Tìm a để hàm số sau liên tục với mọi x R

3 3 2 22

2( )1

a + 24

xv i x

xf x

x v i x

í

í

b) Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi m: 6 5 4 3 2(2 3 ) 3 7 0x mx x mx m x m m

Đề 06

Bµi 1. T×m çc giíi h¹n sau:

1. 2

2lim

3 3 ... 3

n

nn 2.

21

1 2lim

1 1xx

x x

3.

4

2 33

. 1lim

1 . 1x

x x

x x

4. 2lim 1x

x x x

5. 3

3

5 3 4 2lim

3x

x x x

x

.

Bµi 2 . XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè sau trªn tËp x¸c ®Þnh cña nã: f(x) =

22 5 3, 3

3

7 , 3

x xx

x

a x

.

Bµi 3. Chøng minh ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt ba nghiÖm: x5 = 5x + 1.

Đề 07



__________________________________________________________________________


1. 21

lim1 3 ... (2 1)n

n

n

2.

31

3 1lim

1 1x x x

3. lim 12x

xx

x

4.

5

31

1lim

1x

x

x

5.

3

2

3 2 3 3 1lim

2x

x x x

x

.

Bµi 2. XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè sau trªn tËp x¸c ®Þnh cña nã:

f(x) =

23 2 16, 2

2

2 , 2

x xx

x

x

.

Bµi 3. Chøng minh ph¬ng tr×nh sau cã ba nghiÖm ph©n biÖt: 2x3 + 1 = 5x.

Đề 08


1. 2lim 3n

n n n

2. 2

3 2lim

2 2x

x

x x x

3.

2

41

2 1limx

x x x

x x

4. 2 33 3

0

1 1limx

x x x

x

5.

3

2

4 6lim

2x

x x

x

.

Bµi 2 . XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè f(x) = 2

1 6; 2

2 2 2

3 ; 2

xx x x

x

t¹i ®iÓm x = –2.

Bµi 3 . Chøng minh ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: sin x + 1 = x2 – x.

Đề 09


1. 2lim 2 2n

n n n

2. 2 2 2

lim2 3x

x x x

x

3.

2

41

2 1limx

x x x

x x

4. 2 33 3

0

1 1limx

x x x

x

5.

3

2

4 2lim

2x

x x

x

. 6)

0

1 osxlim

sinx.sin2xx

c

Bµi 2 . XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè f(x) = 2

1 6; 2

2 2 2

2 ; 2

xx x x

x

t¹i ®iÓm x = 2.

Bµi 3 . Chøng minh ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: cos x + 1 = x2 + x.

Đề 10

C©u 1. T×m çc giíi h¹n sau

a) 2

2lim

11 3x

x

x

b)

2

2

3 2lim

2x

x x

x

c)

2

3 5lim

2 4x

x

x

d) 3 2lim 5 2 1x

x x x

e) 2lim 3 2x

x x x

f)

3

2s inx- 3lim

2cosx-1x


__________________________________________________________________________


Câu 2. Tính tổng S = 9 + 3 + 1 +…+ 3

1

3n + ….

Câu 3 Phương trình sau: 3 23 4 7 0x x x có nghiệm hay không trong khoảng ( -4;0)

Câu 4. Xét tính liên tục của hàm số sau trên R

4

1

2

)(

2

x

xx

xf

Đề 11

C©u 1. T×m çc giíi h¹n sau:

a)

0

1 2 1lim

2x

x

x b)

2

2

3 2lim

2x

x x

x

c)

3

4lim

3x

x

x

d) 3 2lim (3 2 1)x

x x x

e) 3 3 22 1

lim5 1x

x x x

x

d)

2

2

2

s inx- 1+coslim

osx

x

c x

Câu 2.Tính tổng S = 1 1 1 1

..... ..2 4 8 2n

Câu 3. Chứng minh phương trình sau : x3 - 3x - 1 = 0 có 2 nghiệm

Câu 4.Xét tính liên tục của hàm số sau 2

1 os2x; 0

( ) sin

osx ;x<0

cx

f x x

c

ĐỀ SỐ 12:

Câu 1: Tính các giới hạn sau:

a)3 2

3

3 1lim

1 2 2

n n

n n

b)

2 4

3 3

( 1) (2 1)lim

(2 3) .

n n

n n

c)

1 2

2

2 3.4 1lim

3 2.4 2

n n

n n


a)2

21

2 5 3lim

1x

x x

x

b)

2

3

2 1lim

3x

x x

x

c) 2lim ( 4 2 1 2 )

xx x x

d)

2

2lim

3 4 1x

x x

x

Câu 3: a.Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập 0;3

9

ê 32 3( )

5 ê 3

xn u x

xf x

x n u x

b.Chứng minh rằng phương trình 3 3 1 0x x có ít nhất 2 nghiệm, trong đó có một nghiệm: 5

0 3x

ĐỀ SỐ 13:


a. 4

2 4

2 1lim

2 3 2

n n

n n

b.

3 3

4 2

(2 1) ( 1)lim

(1 2 ) .( 2)

n n

n n

c.

1 2

1 1

2 3.2 3.4lim

4 2.3 1

n n

n n


Nếu x 1

Nếu x= -1


__________________________________________________________________________


a)2

21

3 4 7lim

1x

x x

x

b.

2

1

2lim

1x

x x

x

c. 2lim ( 1 )

xx x x

d.

1

3 1 2lim

1x

x x

x

e)

20

1 osxlim

sin xx

c

Câu 3:Định a để hàm số liên tục trên 2; biết :

32 3 2; 2

2

ax+1 ;x=2

x xx

f x x

a) Chứng minh rằng phương trình 3 3 1 0x x có ít nhất 2 nghiệm.

Trường THPT Nguyễn Du ĐỀ KT 1 TIẾT CHƢƠNG IV(Đại số nâng cao 11) Đề A

Tổ : Toán-Tin

Câu 1: Tính các giới hạn sau :

a)2

1

3 2 7

1limx

x x

x

b)

2

2

2 5 2

62lim

x x

x xx

c)

3

1

2

1limx

x x

x

d)

54

1

2 1 2

1limx

x x

x

Câu 2: Cho f(x) =

2

4 2

3 2 x> 1

1

3 2 x 1

x xkhi

x

m m khi

Tìm m để hàm số liên tục tại xo =1 .

Câu 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm trong (-1;2) : 5 23 2 3 0x x mx

Trường THPT Nguyễn Du ĐỀ KT 1 TIẾT CHƢƠNG IV(Đại số nâng cao 11) Đề B

Tổ : Toán-Tin

Câu 1: Tính các giới hạn sau :

a) 3

2

66

2limx

x x

x

b)

2

22

3 5 2

6limx

x x

x x

c)

2

1

3 2 7

1limx

x x

x

d)

5 6

1

4 5 4 3

1limx

x x

x

Câu 2: Cho f(x) =

2

4 2

3 4 x> 1

1

4 x 1

x xkhi

x

m m khi

Tìm m để hàm số liên tục tại xo =1

Câu 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc ( 2;1) : 5 22( 1) 3 0x m x mx

Trường THPT Nguyễn Du ĐỀ KT 1 TIẾT CHƢƠNG IV(Đại số nâng cao 11) Đề C

Tổ : Toán-Tin

Câu 1: Tính các giới hạn sau : a) 3

2

66

2limx

x x

x

b)

2

22

3 5 2

6limx

x x

x x

c) 2

1

3 2 7

1limx

x x

x

d)

5 6

20

cos os

sinlimx

x c x

x

e)

sin(2013 )lim

sin(2012 )x

x

x


__________________________________________________________________________


Câu 2: Cho f(x) =

2

4 2

3 2 x> 1

1

3 2 x 1

x xkhi

x

m m khi

Tìm m để hàm số liên tục tại xo =1

Câu 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc ( 2;1) : 5 22( 1) 3 0x m x mx

Ñeà 1:

Baøi 1:Tìm giôùi haïn cuûa haøm soá:

a)

2

22

3 5 2lim

4 4x

x x

x x

b)

24

3 5lim

6 8x

x

x x

;

c) 7 5lim 3 5 7 4x

x x x

; d) 2lim 2x

x x x

Baøi 2: Tìm giá trị của tham số m để hàm số liên tục trên tập xác định

2

62

( ) 2

2 2

x xvôùi x

f x x

x m vôùi x

Baøi 3: Chöùng minh phöông trình sau coù ít nhaát 2 nghieäm: x5+6x

4 -1=0

ĐỀ KIỂM TRA

Câu 1 (3điểm):Tính giới hạn của các dãy số sau: 2 2 3

4 52

3 3

2 (2n 3)(5 2)) lim b)lim

1 3 54 2

)lim( 1 )

n n n na

n nn n n

c n n

Câu 2(3điểm) :Tính giới hạn của các hàm số sau:

3

20

3 2

5 4 2

2 2

1 2x 1 3xlim

-6x +7x 4x +3) lim

8x 5x 2x 1

b) lim ( 4 )

)x

x

x

x

a

x x x

c

Câu 3(4điểm ):

a) Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x = 2

2x+5 3 nêu x >2

2( ) x

- nêu x 26

xf x


__________________________________________________________________________


b) Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m

22 ( 1) ( 2) 2x-3=0m x x

ĐỀ KIỂM TRA CHƢƠNG GIỚI HẠN. ĐỀ 01

Câu 1. (2 điểm). Tính các giới hạn sau:

a) 3 5

lim4 7

n

n

b)

2

3

2 3 7lim

9 2

n n

n n


a) 3 2

5lim( 5 10 8)x

x x x

b) 3 2

22

2 8lim

3 2x

x x x

x x

c) 2 5 2

lim2 1x

x x

x

d)

2

41

2 1limx

x x x

x x

Câu 3. (2 điểm). Xét tính liên tục của hàm số sau trên R : 2x x 2

khi x 1f (x) x 1

4 khi x 1

Câu 4. (2 điểm). Phương trình sau: 3 23 4 7 0x x x có nghiệm hay không trong khoảng ( -4;0)

ĐỀ KIỂM TRA CHƢƠNG GIỚI HẠN. ĐỀ 02


a) 2 5

lim6 1

n

n b)

2

4

2 1lim

3 2

n n

n n


a) 3 2

2lim(5 10 10 8)

x

x x x b) 3 2

22

2 8lim

3 2x

x x x

x x

c) 2 5 2

lim2 1

x

x x

x d)

2

41

2 1limx

x x x

x x


khi x 2f (x) x 2

3 khi x 2



a) 3 5

lim4 7

n

n

b)

2

3

2 3 7lim

9 2

n n

n n



__________________________________________________________________________


a) 3 2

5lim( 5 10 8)x

x x x

b) 3 2

22

2 8lim

3 2

x

x x x

x x

c) 2 5 2

lim2 1x

x x

x

d)

2

41

2 1limx

x x x

x x


khi x 1f (x) x 1

4 khi x 1


Education

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11 (THẦY HOÀNG THÁI VIỆT)