Chuyen de phuong trinh he phuong trinh on thi dai hoc

Chuyên đề Phương trình, bất phương trình, Hệ phương trình

GV: NGUYỄN MẠNH HÙNG TEL: 0947876689

1

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH , HỆ PHƯƠNG TRÌNH

A. PHƯƠNG TRÌNH . I. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO.

1. Phương trình dạng: 4 3 2 0ax bx cx bx a (Phương trình này gọi là phương trình đối xứng bậc 4). Để

giải phương trình này ta chia cả hai vế cho 2 ( 0)x x . Rồi đặt ẩn phụ 1t xx

.

2. Phương trình dạng 4 3 2 2 0, .ax bx cx kbx ka k (Phương trình này gọi là phương trình hồi quy).

Để giải phương trình này ta cũng chia cho x2 và đặt ẩn phụ kt xx

.

3. Phương trình dạng ( )( )( )( ) ,x a x b x c x d m a d b c , Ta nhóm ( )( ) ( )( )x a x d x b x c m , từ đó đi đến cách đặt ẩn phụ.

4. Phương trình dạng 2( )( )( )( ) ,x a x b x c x d mx ad bc . Ta nhóm

2( )( ) ( )( )x a x d x b x c mx , rồi chia hai vế cho x2 và đặt ẩn phụ adt xx

5. Phương trình dạng ( )( )( ) , , ( )( )( )2

a b cd x a x b x c mx d m d a d b d c . Đặt y x d .

6. Phương trình dạng 4 4( ) ( )x a x b c , đặt ẩn phụ 2

a bt x

7. Phương trình dạng

2 2

2 2

2 2

2

2 2

0

0

ax axax axax axaxax ax

mx nx pbx d cx dmx c px cnx c qx cmx c pxnx c qx c

Bài 1: Giải các phương trình.

a. 4 4( 1) 2( 1)x x b. 4 3 210 26 10 1 0x x x x c. 4 33 3 1 0x x x

d. 4 3 23 14 6 4 0x x x x e. 4 29 5 ( 3)x x x f. 2 2 2( 6 9) ( 4 9)x x x x x

Bài 2. Giải các phương trình.

a. ( 1)( 1)( 2) 3x x x x b. ( 2)( 3)( 7)( 8) 144x x x x c. ( 5)( 6)( 8)( 9) 40x x x x

d. 2(6 5) (3 2)( 1) 35x x x e. 3( 5)( 6)( 7) 8x x x x f. 4 22 8 3x x x

g. 4 4( 2) ( 8) 272x x h. 4 24 32x x i. 4 8 7x x

Bài 3. Giải các phương trình

a. 2 2

2 7 13 2 3 5 2

x xx x x x

b. 2

2 2

10 15 4 06 15 12 15

x x xx x x x

c. 2 2

2 2

3 5 5 5 14 5 6 5 4

x x x xx x x x



2

d. 2

22

4 12( 2)

xxx

e. 2 2 2

2

2 2 420 5 48 01 1 1

x x xx x x

f. 2

22 15

( 1)xx

x

II. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Các phương trình cơ bản.

2

( ) 0( ) ( )

( ) ( )g x

f x g xf x g x

( ) 0, ( ( ) 0)( ) ( )

( ) ( )f x g x

f x g xf x g x

( ) 0 ( ) 0( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0

( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( )

f x f xf x g x h x g x g x

f x g x f x g x h x f x g x k x

33

,( ) ( )

( ) ( ).

f gf x g x

f x g xxaùc ñònh

+) Phương trình 3 3 3 3 33 3 ( )A B C A B AB A B C sau đó thế 3 3 3A B C đưa phương trình về dạng 33 . .A B A B C C

+) Nếu phương trình có dạng có dạng ( ) ( ) ( ) ( )f x h x g x k x có ( ) ( ) ( ) ( )f x g x k x h x thì chuyển

phương trình về dạng: ( ) ( ) ( ) ( )f x g x k x h x , Bình phương và giải theo phương trình hệ quả.

+) Nếu phương trình có dạng ( ) ( ) ( ) ( )f x h x g x k x với ( ). ( ) ( ). ( )f x g x k x h x , ta chuyển phương trình

về dạng ( ) ( ) ( ) ( )f x g x k x h x rồi bình phương hai vế và giải phương trình hệ quả.

Dạng 1: Phương pháp biến đổi tương đương


a. 2 3 10 2 b. 2 1 1 (3 ) c. 3 2 8+ 7 x x x x x x x x x

2d. 8 1 1 e. ( 1) ( 2) 2 f. 4 3 10 3 2x x x x x x x x x x

Bài 5. Giải các Phương trình a. 5 1 1 2 4 b. 3 3 5 2 4 c. 10 1 3 5 9 4 + 2 2 x x x x x x x x x x

d. 3 3 1 2 2 2x x x x e. 3

21 1 1 22

x x x x xx

Bài 6. Giải phương trình 3 3 3 3 3a. 2 2 3 1 b. 2 3 12( 1) x x x x x c. 22 1 3 1 0x x x

Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ

1. Phương trình dạng 1: . ( ) ( ) 0a f x b f x c . Đặt ( ), 0.t f x t

2. Phương trình dạng 2. ( ) . ( ) ( )a f x m b f x n c f x p , Đặt ( )t f x



3

3. Phương trình có ( ) ( )f x g x và ( ). ( )f x g x , nhưng ( ) ( ) :f x g x k const ta sẽ đặt

( ) ( )t f x g x suy ra ( ). ( )f x g x theo t. và đưa phương trình đã cho về ẩn t, giải ra và tìm ra t.

4. Phương trình có chứa ( ); ( )f x g x trong đó ( ). ( )f x g x k ta đặt ẩn phụ ( )t f x

5. Phương trình có dạng . ( ) . ( ) . ( ). ( )a A x b B x c A x B x , ta xét hai trường hợp của B(x)=0 và ( ) 0B x ,

với ( ) 0B x ta chia hai vế phương trình cho B(x).

6. Phương trình có dạng 2 2au bv c mu nv , bình phương hai vế của phương trình đưa phương

trình về phương trình đẳng cấp bậc hai.


2 22.( 4)( 1) 3 5 2 6 b. 2(x 3 1) 3 3 0

23252 22. 3 4 5 4 1 0 d. 2 3 1124

a x x x x x x x

c x x x x x x x

e. 2 217 9 17x x x x f. 5 1 6x x (HD: Đặt 1, 0.t x t Ta có nghiệm là 11 17

2x ) g. 2(2014 )(1 1 )x x x (HD: Đặt 1t x -> x=0)

Bài 8. Giải phương trình

23 49 132 24. 3 1 8 2 1 b. 5 ( 1)( 4) . 3 1 2 32 4 2

a x x x x x c x x x x x

2. 3 + 6 = ( 3)(6 )+3 e. 2 3 1 3 2 2 5 3 2d x x x x x x x x x

. 1 4 ( 1)(4 ) 5 f x x x x g. 23 2 6 2 4 4 10 3x x x x (B-2011)


32 3 3 2 2 4 2. 2(x 3 2) 3 8 b. 1=x +3x-1 c. x -3x+1= - 1 3

2 2d. 6 3 1 3 6 19

a x x x x x

x x x x x

e. 2 32( 2) 5 1x x f. 2 32 5 1 7 1x x x g. 3 2 33 2 ( 2) 6 0x x x x

h. 2 2 4 23 1 1x x x x i. 2 22 2 1 3 4 1x x x x x

k. 2 25 14 9 20 5 1x x x x x

Dạng 3.Đặt ẩn phụ nhưng vẫn còn ẩn ban đầu (còn gọi là đặt ẩn phụ không hoàn toàn)




4

2 2 2 2 2a. 2(1-x) 2 1 = x -2x-1 b. 2( 2( 2) +2 2 ) = 9 16 c. x +3x+1= (x+3) 1

1 1 12 2 2 2d. (4x-1) 1 2 2 1 . x - 3x - (x+1) 4 5 + 5=0 f. 1 +3 = 2x +

x x x x x x

xx x x e x x xx x x

2g. 4 1 1 3 2 1 1x x x x

Dạng 4. Đưa về phương trình tích

Phương trình có dạng: u+v=1+uv ( 1)( 1) 0u v

Phương trình có dạng: ( )( ) 0au bv ab uv u b v a

Bài 11. Giải các phương trình sau

2 2 2a. 7 10 3 2 2 5 6 b. 2 3 2 3 5 3 2 2 9 52c. x +3 8 3 2 10 16 2 d. x - 4 4 ( 4) 2 ( 4) 0

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x


2 2a. 2 1 ( 1) =0 b. x +2 7 =2 1+ 8 7 +1 x x x x x x x x x x


2 3 2 4a. 1 2( 1) 1 1 3 1 b. 1 1 1 1x x x x x x x x x x

c. 3 3x x x d. 22 3 9 4x x x

e. 2 23 32 3. 9 ( 2) 2 3 3 ( 2)x x x x x

Hướng dẫn : c. Bình phương hai vế ta có phương trình 3 31 103 3 0 ( )3 3 3

x x x x

d. HD: Phương trình tương đương 2 2(1 3 ) 9x x

e. Phương trình tương đương 33 32 3 0x x -> x=1

Dạng 5. Đưa về ptr chứa dấu GTTĐ và giản ước các thừa số giống nhau ở cả 2 vế. I.Đưa về phương trình chứa dấu GTTĐ




5

3a. 3 4 1 3 4 1 4 b. 2 1 2 12

21 2 12 2 2 2c. 6 9 2 2 1 d. 1 22

e. 2 2 1 10 6 1 2 5 4 1

xx x x x x x x x

x xx x x x x x

x x x x x x

II.Phương pháp giản ước


2 2 2 2

2 2 2

a. x(x 1) x(x 2) x b. x 3x 2 x 4x 3 2 x 5x 4

c. x 2009x 2008 x 2010x 2009 2 x 2011x 2010

d. x(x 1) x(x 2) 2 x(x 3)

Dạng 6. Phương pháp nhân liên hợp


2 2 2 23 33

2

a . x 3x 2 x x 1 4 x 3 b. (2 x ) (2 x )7 x ) (7 x ) 3

c. x ( x 1 1)( x 17 5) d. x 2 4 x 2 x 5 2 x 5 x

Bài 17. Giải các phương trình 2 2 2 23a. 2 x x 6 x x 3 2(x ) b.1 x 2x 4x 1 2x 1

x

2 2 2 2

2 2 2 2 2

c. x 3x 2 x 3 x 2 x 2x 3 d. 2 x 7x 10 x 12x 20 x

e. 3x 7x 3 x 2 3x 5x 1 x 3x 4 f. 3x 1 6 x 3x 14x 8 0(B.2010)

g. 2 215 3 2 8x x x h. 2 22 16 18 1 2 4x x x x

i. 2 32 11 21 3 4 4 0x x x k. 3 2 31 3 2 3 2x x x

l. 3 2 4 1 2 3x x x m. 2 22 1 1 3x x x x x

Dạng 7. Phương pháp đưa về hệ

+) ( ) ( )n ma f x b f x c . Đưa về hệ bằng cách đặt: ( )( )

n

m

u a f xv b f x

+) Phương trình có dạng: 2x x a a . Đưa về hệ bằng cách đặt: 5t x , Ta có hệ: 2

255

x tt x

+) Phương trình có dạng: ( ) ,n ax b c dx e mx n với ;d ca m e cb n , đưa về hệ bằng cách: đặt n ax b dy e



6


32 2 2 243 3 3

32 2 24 4 33 3

x 3 10 x 5 b. x 7 x 1 c. 8 x 8 x 1 d. 17 x 2x 1 1

e. 41 x 41 x 4 f. (3x 1) (3x 1) 9x 1 1 g.2 3x 2 3 6 5x 8 0(A.09)

a.

h. 3 33 325 25 30x x x x i. 44

12 12

x x k. 5 1 6x x

l. 6 2 6 2 835 5

x xx x


42 3 3 2 3 2 3 2 24 4 4

2

a. x x(1 x) (1 x) 1 x x x (1 x) b.5 x 1 2(x 2) c. 10 x 8 3(x x 6) d.(x 3) x 8x 48 28 x

e. x(x 2) 2x 1 3x 4x 1


2 3 23

2 2

a. x x 7 7 b. x +1=2 2x 1 c. x x 5 5 d. 4 4 x x

x 3e. 2(x 1) 2 f. 2x 15=4(8x +8x 5) 2

g. 24 9 7 728x x x

h. 2 6 3 3x x x i. 3 23 3 5 8 36 53 25x x x x

k. 3 23 12 7 64 96 40 3x x x x l. 3 235 2 1 81 162 117 17x x x x

Dạng 8. Phương pháp lượng giác hóa

Bài 21. Giải các phương trình 2 2 2 3 3 2a. 1 1 x x(1 2 1 x ). b. 1 1 x (1 x) (1 x) 2 1 x

2x 2 3c. x 1 d. 3x 1 x 4x21 x

e. 2

2 3 3 2 11 1 (1 ) (1 )33xx x x f. 3 3 2x x x (trích từ THTT).

g. 2 2 2

22

1 ( 1)12 2 (1 )

x xxx x x

h. 3 1 6 2x x


2 2 3 2 3 2

2 32 6 4 2 2

2

a . 1+ 1 x 2 x b . x + (1 x ) = x 2(1 x )

(1 x )c. 2 x 1 x = d . 64x 112x + 56x 7 2 1 x

1 x



7

Dạng 9. Phương pháp hàm số

Nội dung phương pháp: *Nếu phương trình có dạng: ( )f x m . Xét hàm số ( )y f x , nếu hàm số này luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng I (miền I là các khoảng, đoạn không rời nhau) nếu phương trình có nghiệm x0 thì phương trình có nghiệm duy nhất.

* Nếu phương trình có dạng ( ) ( )f x g x . Dùng lập luận (thường là dùng đạo hàm) khẳng định hàm f(x), g(x) theo thứ tự đồng biến, nghịch biến trên một khoảng I (và ngược lại).

Tìm ra nghiệm x0 của phương trình phương trình trên, thế thì phương trình có nghiệm đó là duy nhất. * Nếu phương trình có dạng ( ) ( )f x f y , với hàm số đặc trưng ( )y f t luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên miền I thế thì trên I phương trình ( ) ( )f x f y tương đương với x=y.

* Nếu phương trình có dạng ( )f x m . Trong đó hàm f’(x)=0 có một nghiệm trên miền I thế thì phương trình ( )f x m có nhiều nhất hai nghiệm trên I.


a. 29 1 9 1 2x x b. 2 235 24 5 4x x x

c. 3 3(2 5) 21 6 3 2 5 (7 2 ) 0x x x x d. 2

2

2 21 1 2 02 1 1

x xx x

e. 1 1 21 8 15x x

f. 2

2

| | | 3 1|8 6 1| 3 |

x xx xx x

g. 6 4

2

16cos 2cossin54 51cos

x xxx

h. 2

2

2

2 (2 ) 42 tan

1

x x xx x

với (0; )

2x . i. 24 1 1x x k. 24 1 4 1 1x x

l. 5 3 1 3 4 0x x x m. 2 23 2 3 9 (4 2) 1 1 0x x x x x

n. 33 2 24 5 6 7 9 4x x x x x o. 1 4 510 12

x xx x

p. 3(1 ) 1x x

q. 21 3 1x x x x r. 23 6 7 1x x x

s. 3 2 3 2( 1) (5 ) 3 5 3( 1)x x x x x x t. 3 23 2 8 60 151 128x x x x .

u. 51 1x x x v. 7 5 1 8 5 0x x x

w. 2 4(3 2) (24 21) 8 7 2 8 7x x x x x 8

Dạng 10. Một số phương pháp khác. Bài 24. Giải các phương trình (Đưa về tổng các số ko âm)

32a. 4 x 1 x 5x 6 b. x y 1+2y x 1= xy2

14 2 2 2c. x -2x x 2x 16 +2(x -3x+10)=0 d. x + y-1 + z 2 (x y z).2

Bài 25. Giải các phương trình (Đánh giá)

TGS

Pencil

TGS

Pencil



8

x 9x 12a. x 7 9 x x 16x 66 b. 2x9x 1

2 2 2 2 2 29c. x 3x (x 2x 2)(x 4x 7) d. x 4x 6 2x 5x 3 3x 9x 52

5 2 7 2 2 2e. 4x 3 2 1. f . 7x 22x 28 7x 8x 13 31x 14x 4 3 3(x 2).x 1

23 2 2 2

22

2

x 1g. 5x 3x 3x 2 3x . h. x 2x 2x 1 3x 4x 12 2

x 6x 15i. x 6x 18x 6x 11

Bài 26. Giải các phương trình 3a . ( x 1 1) 2 x 1 2 x

2

2 2

2 1 x 16 7b. 4 x 2x 2 c. x 32xx x 3 x 3

2 1 3 x 5 x 4 7 x 2d. e. x x 2 x 3 x 2 x 3x x x x x x

Bài 27. Giải các phương trình sau. 2 2 2a. x 2x 5 x 2x 10 29 b. 3 x 1 7x (x 9)(x 48)

2x2 2c. x (x 2) x (4 x) 33

1 1 3 1 2 3 3 1 2 32 2 2d. 2(x ) 2(x ) 2(x ) 32 2 4 4 4 4

Dạng 10. Bài toán chứa tham số Bài 28. Giải và biện luận các phương trình sau.

22

2

m ma. x 4m 16 2 x 2m 4 x 0 b. x x x(x 1) x 1

Bài 29. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất.

4 x x 5 m b. 24 2 4 1x x x m

Bài 30. Tìm m để phương trình sau có nghiệm

a. x 3 6 x (x 3)(6 x) m b. 2 23 2 3 3x x x mx m

c. 2 2 4 2 2( 1 1 2) 2 1 1 1m x x x x x (B- 2004) d. 243 1 1 2 1x m x x (A-07)

Bài 31. Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt.

a. 2 2 2 1x mx x (B- 2006) b. 2 2 8 ( 2)x x m x (B-2007)

c. 4 42 2 2 6 2 6x x x x m (A -2008)

III. PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT.



9

Bài 32. Giải các phương trình (Đặt ẩn phụ)

a. 2 22 1 2 64 5.2 6 0x x x x b. 2 1 2 2( 1)3 3 1 6.3 3x x x x c. 3 2cos 1 cos4 7.4 2 0x x

d. 5.2 7 10 2.5x x x e. (26 15 3) 2(7 4 3) 2(2 3) 1x x x

Bài 33. Giải các phương trình sau:

a. 12 2 1

2

1log (4 4).log (4 1) log8

x x b. 4 2 2 4log (log ) log (log ) 2x x c. 225log (125 ).log 1x x x

d. 3 31log 3 log log 3 log2x xx x e. 3log 9( 2) 3( 2) 9( 2)xx x

f. 2 2 2 2 2log (1 ) ( 5) log( 1) 5 0x x x x g. 22 2log 1 log 1x x

Bài 34. Giải các phương trình (Đưa về phương trình tích)

a. 2 1 15 7 175 35 0x x x b. 2 1 | 3| 6 2 | 3| 4 1.2 2 .2 2x x x xx x c. 2 2 21 ( 1)4 2 2 1x x x x

d. 84 22

1 1log ( 3) log ( 1) log (4 )2 4

x x x e. 2 3 31 14 4

3 1log ( 2) 3 log (4 ) log ( 6)2 4

x x x

f. 2 3 4 20log log log logx x x x g. 2 2 23 3 6log ( 1).log ( 1) log ( 1)x x x x x x

Bài 35. Giải các phương trình (Lôgarit hóa)

a. 4 1 3 22 1

5 7

x x

b. log 21000xx x c. log 5

5 log3 10x

xx

d. 1

511

log 5 log 56.5 11xx

Bài 36. Giải các phương trình (Phương pháp hàm số)

a. 6 8 10x x x b. 22 1 3x

x c. 3 22 8 14x x x d. 2 23.25 (3 10)5 3 0x xx x

e. 2 3 2.3 3 (12 7 ) 8 19 12x x xx x x x f. 2 1 1.3 (3 2 ) 2(2 3 )x x x x xx x

g. 3 21 1 15 4 3 2 2 5 7 17.2 3 6

x x x xx x x x x x h. 6log

2 6log ( 3 ) logxx x

i. 2 3log (1 ) logx x k. 2 2 2log 9 log log 32.3 xx x x l. 2 34( 2) log ( 3) log ( 2) 15( 1)x x x x

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ

Bài 1.

a. Khai triển và rút gọn được phương trình 4 3 24 6 4 1 0 1 3 3 2 3x x x x x

b. Phương trình đối xứng, Đs: 3 8, 2 3x x c. Phương trình hồi quy, Đs: 1 51 2;2

x x

d. Phương trình hồi quy, 5 331 3;2

x x e. Chia hai vế cho x2, Đs: 3 213; 1;

2x

f. Chia hai vế cho x2, Đs: 5 619; 1;2

.

Bài 2.



10

a. 1 132

x b. 5 1536; 1;

2x c. 10; 4x d. 5 21

6 e. Đặt y = x+9, 9x

f. 1 2 g. 4; 6 h. 1 5 i. 1 2 8 2 22

.

Bài 3.

a. Chia cả tử và mẫu cho x, ta được 11 976

x b. 3;5;9 66x c. 4 11

d. Thêm 22 .2

xxx

vào cả hai vế và được 1 5x e. 23;3

x f. 3 21 5 5;2 2

Bài 4. a. 14x b. 1;2 2x c. 5; 6x x d. 8x e. 90;8

x x f. 3x .

Bài 5, Bài 6: tương tự bài 4.

Bài 7. Đáp số: a. 2; 7x x b. Đặt 2 13 2 ( )2

u x x u u l rồi tìm ra x.

c. Đặt 2 4 5 1 4( ) 2u x x u u l x d. 1; 2x x

Bài 8. a. đặt 4 1u x suy ra 42 ( ) 153

u u l x b. 5; 8x x c. 52;3

x x

d. Đặt 3 6 3 1( ) 3; 6u x x u u l x x

e. Đặt 2 3 1 3 2( ) 25 6 17u x x u u l x f. 0; 3x x

g. Biến đổi phương trình về dạng: 23( 2 2 2 ) 4 4 10 3x x x x , Đặt 62 2 2 0, 35

t x x t t x

Bài 9. a. 3 13x b. vô nghiệm c. 1x

Bài 10. a.Đặt 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1 4u x x u x x x x u x , ta có phương trình : 2 2(1 ) 4 0u x u x 2 2 1 6u u x x .

b. Đặt đk và bình phương hai vế, ta được phương trình 2 24(2 4 8 4 4 2(4 )) 9 16x x x x . Đưa phương

trình về dạng: 2 2 24(8 2 ) 16 8 2 8 0x x x x . Đặt 28 2u x 4 2

3x .

c. 2 2x d. Đặt 2 1u x 43

x e. 52;4

x x

f. Đặt 211 (1 3 1) 2 0 2( 1 1) 1 1u u x u x u x u xx

1 5

2x

g. Đặt 2 2 1 31 (2 1 ) 2(1 2 1 ) 0 0,52 1

u xu x u x u x x x x

u x

.

Bài 11. a. 2; 4x x b. 5x c. 5x d. 8x



11

Bài 12. a. 2x b. 4; 5x x

Bài 13. a. Đặt điều kiện và biến đổi phương trình về: 24( 1 1 )(2 1 1 1) 0 0;25

x x x x x x

b. x=2.

____________________________________________________________________________________________



12

B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH

I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Chú ý: Với bất phương trình vô tỷ các phương pháp đặt ẩn phụ và việc nhận dạng các dạng bất phương trình, tương tự như đối với phương trình vô tỷ. Ta xét một số dạng sau.

Dạng 1. Biến đổi tương đương. Bài 1. Giải các bất phương trình

2 2 2

2 2 22 3

a. 6x 1 4x 1 0 c. x 4x 5+2x 3 b. x 2x 15 x 2 d. 4 1 x - 2 x > 0x 2 xx 35 1 1 2 1 3 1 1e.x > f. 0 g. x x h.

12 x x x x 4 x 2x 1 4 x

8x

2 2k. x 3 x 2 2x 4 0 l. 3x 5x 4 3x 5x 2 1

Bài 2. Giải các bất phương trình. 2

2 22

222 2

2xa. x 3 2x 8+ 7 x b. (x - 4x) 2x 3x 2 0 c. <x+21 (3 9 2x)

2(x 16)1 1 4x 7 xd. <3 e. (x-3) x 4 x 9 f. x 3x x 3 x 3

2

2

1 21 4x x 12x 8g. 0 h. 2x 4 2 2 xx 1 9x 16

i. 5 1 1 2 4x x x (A_2005)

Bài 3. Giải các bất phương trình.

2 2 2 2 2 2a. x 3x 2 x 4x 3 2 x 5x 4 b. x 8x 15 x 2x 15 2(2x 9x 9) 3c. x 1 2 x 1 d. 5 x - x 3< -1+ (5 x)( x 3)

Dạng 2. Đặt ẩn phụ Bài 4. Giải bất phương trình.

2

2 2

2 2

5 1a x 4 x 1 3 x 5x 2 6 b 5 x 2x 42x2 x

c x 2x 8 6 x 4 x 2 d 7x 7 7x 6 2 49x 7x 42 181 4x

1 x 1e 2 2 x x 18x 7 f x 1 x 4x 1 3 x B 20122 4

. ( )( ) .

. ( )( ) . .

. ( ) . ( _ )

Dạng 3. Phương pháp đánh giá

Bài 5. Giải bất phương trình

2 2 2

2 2 2 2

2

a. x x 1 x x 1 2 b. 1 2x 1 2x 2 x

x xc. 3x 12x 73 2(11 x) x x 4 d. x(1 2 x ) 3 2 x e. 1 (A 2010)1 2(x x 1)

Dạng 4. Phương pháp hàm số Bài 6. Giải các bất phương trình.



13

2 3 2a. x (x 1) 3x x 1 1 0 b. 2x 3x 6x 16 4 x 2 3

c. 2 ( 3 5 4 3) 15 5 2 92 9 3

x x x xx

d. 3 20133 1 2 4 3 .2012

x x x

e. 2 22 3 6 11 3 1x x x x x x f. 53 3 2 2 62 1

x xx

Dạng 5. Bài toán chứa tham số

Bài 7. a. Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm

1) 4 x x 5 2011m 2) mx - x 4 m 1 b.Tìm m để BPT sau

1) 24 (4 x)(2 x) x 2x a 18 nghiệm đúng với mọi x thuộc [-2;4].

2) 2m( x 2x 2 1) x(2 x) 0, nghiệm đúng với mọi x thuộc [ 0;1+ 3 ].

3) 2 2 2(x 1) 3m x x 2 4 , nghiệm đúng với mọi x thuộc [ 0; 1].

21 x 1 x4) ( ) 3( ) 2 m 0x x

, có nghiệm thỏa mọi 0x .

II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT.

Bài 8. Giải các bất phương trình sau. (Đặt ẩn phụ)

a. x x 1 x9 3 2 3 9 b. 2 2 22x x 1 2x x 1 2x x25 9 34.15 c.

2 2 2x x 1 x (x 1)4 2 2 1

d. x x 12 1

2

log (2 1).log (2 2) 2 e. 2 2 22 1 4

2

log x log x 3 5(log x 3) f. 3x xlog (8x) log (8x )

Bài 9. Giải các bất phương trình sau. (Pp biến đổi tương đương đưa về phương trình siêu việt cơ bản)

a. x 2 x 3 x 4 x 1 x 22 2 2 7 7 b. 2x 10 3 x 2 x 5 1 3 x 23 4.3 3 c. 2 x 1 x 2 x4x 3 .x 3 2x .3 2x 6

d. 1 33

x 1log log 0x 1

e. x 1

2log (3.2 1) 1x

f. x

3

x 1 1log (9 3 ) 3

g. xx 16log log (4 16) 1 h. 2 2 x x 21 5x 3x 2x 4x .3 2x.3 . 2 5x 3x

Bài 10. Giải các bất phương trình sau. (PP Lôgarit hóa)

a. 2x 3x 2 2x 3x1 505 .7 .7 .55 7

b. 2log x 4x 32 c. 2log x 3log x 1x 1000 d.

26 6log x log x6 x 12

Bài 11. Giải các bpt sau. (PP hàm số)

a. x3 4 x b. x x x1 1 12 3 1

6 3 2

c. x x2 3log (2 1) log (2 4 ) 2

d. 2 23 5log 2 x 5x 5 1 log x 5x 9 2 e. 2 |x 4|

3log (8x x 13) 3

Bài 12. Một số bài toán chứa tham số.



14

a. Tìm m để Bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi số thực x: 2 21 log(x 1) log(mx 6x m) 0

b. Tìm m để Bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x 0 : x 1 x xm.2 (2m 1)(7 3 5) (7 3 5) 0 .

c. Tìm m để mọi nghiệm của bất phương trình x x4 13.2 36 0 đều là nghiệm của bất phương trình 2 2 2

5 25log (mx 4x m) 1 log (x 1)

III. BÀI TẬP TỔNG HỢP. Bài 13. Giải các bất phương trình sau:

IV. HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ.



15

C. HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Dạng 1. Hệ bậc nhất 2 ẩn.

Bài 1. Giải các hệ

3x 2y 5 2x y 1a. b.

2x 3y 7 2 2x 3y 4 3

3 6 12x y x y

c.1 1 0

2x y x y

Bài 2. Cho hệ phương trình x my 3mmx y 2m 1

a. Giải và biện luận hệ trên theo tham số m. b. Tìm các số nguyên dương m sao cho hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x,y nguyên.

Bài 3. Cho hệ phương trình 23x y m 2m

4x y 2

. Tìm m để hệ trên có nghiệm (x;y) sao cho x+y nhỏ nhất.

Bài 4. Cho hệ phương trình mx y 22x y m

. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn y2=2013x.

Bài 5. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất

2 1(m 1) m mx y2 2(m 2) 2(m 1)x y

Bài 6. Cho hệ phương trình 2

x my 3mmx y m 2

. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x2 – 3x -2y >0.

Bài 7. Cho 2 đường thẳng 1

22

: (m 1)x 2y m 1 0: x (m 1)y m 0.

Tìm m để giao điểm của 2 đường thẳng trên nằm trên trục tung.

Dạng 2. Hệ bậc nhất 3 ẩn.

Bài 8. Giải hệ phương trình 2x 3y z 5 2ay 3bx 4c

a. x y 3z 7 b. 4cx 2az 3b3x y 4z 2 3bz 4cy 2a

Dạng 3. Hệ đối xứng loại 1 Là hệ phương trình mà hoán đổi vị trí của các ẩn cho nhau thì từng phương trình trong hệ vẫn là chính nó. Với dạng hệ này, cách giải là chúng ta biến đổi để đặt ẩn phụ. Nếu hệ này có nghiệm (a;b) thì (b;a) cũng là nghiệm. Bài 9. Giải hệ



16

a.

2 22

3 854 4( )( ) 13

1 1323

xy x yx y

xx y

2 2 2 2 4 4

2 2 4 2 2 4 2 2

3 3 2 22

2 2

x y xy 7 x xy y 4 x y 17b. c. d.

x y x y 8 x x y y 8 x y xy 3

x y 12x y 35 x xy y 7

e. f. g. xx y 5x y xy 30

2 y 18

y x

Bài 10. Giải hệ

2 2

22 2

2 2

2 2

1 1x y 5x(3x 2y)(x 1) 12x yx y x y 2

a. b. c. 1 1xy x y 1 x 2y 4x 8 0x y 9x y

x y y x 30(x x 1)(y y 1) 3d. e.

(1 x)(1 y) 6 x x y y 35

2 2 2 2(2x y) 5(4x y ) 6(2x y) 0 f. .12x y 3

2x y

Bài 11. Tìm m để hệ phương trình:

3 3

x y 3a.

x y 2m

có nghiệm. 2 2

2

x y xy 4 2b.

(x y) m 2xy

có nghiệm duy nhất.

2 2

x y xy mc.

x y xy m 1

vô nghiệm. 2 2x y x y 4

d.xy(x 1)(y 1) 3m

có nghiệm.

3 33 3

1 1x y 3x y

e. 1 1x y 9m 18x y

có

nghiệm.

Dạng 4. Hệ đối xứng loại 2.

Là hệ mà khi chúng ta đổi vai trò x và y cho nhau thì các phương trình trong hệ đổi chỗ cho nhau. Cách giải của dạng hệ này thường là chúng ta khử hệ số tự do bằng cách cộng hoặc trừ các phương trình trong hệ cho nhau. Bài 12. Giải hệ phương trình

3 2 2 3 2

3 2 2 3 2

3 2

3 2

x 1 2y x 3x y y 1 x 3x 8y x 2x y 1 0a. b. c. d.

y 1 2x y 3y x x 1 y 3y 8x y 2y x 1 0

1 32xx 1 2(x x y) y x

e. f.1 3y 1 2(y y x) 2yx y

22

2

22

2

1 y 2 y3x 2y 3y x 3y 4.y x xg. h. k.

xx 21 y 3x 43x3y 2x yyx

Bài 13. giải hệ



17

22 2 3 2

2 2 2

23

2xyx x yx 91 y 2 y x 2x 9

a. b.2xyy 91 x 2 x y y x

y 2y 9

(THTT tháng 11/2009)

Dạng 5. Hệ đẳng cấp bậc hai, bậc ba, hệ bán đẳng cấp.

Là hệ có dạng: 2 2

2 2' ' ' 'ax bxy cy da x b xy c y d

. Cách giải: Đặt x = ty hoặc là ta khử hệ số tự do để đưa về phương

trình thuần nhất bậc hai theo hai ẩn x, y và giải x theo y.

Bài 14. a.Giải hệ: 2 2

2 2

14 21 22 39 035 28 111 10 0

x y x yx y x y

(ĐS: (0;0), (-3;1))

b. 3 3

2 2

8 23 6

x x y yx y

(HD: Biến đổi về hệ bán đẳng cấp bậc ba, ĐS (-3;1), (-3;-1),

6 6 6 64 ; , 4 ; 413 13 13 13

)

c. 3 3

2 2

4 161 5(1 )x y y x

y x

(ĐS: (0; 2),(1; 3),( 1;3) )

d. 2 2

2 2

2 23 5 3 5

x xy yx xy y

e.

2 2

2 2 5

2( )(4 2 ) 2x yx y x y xy y

(ĐS: (1;1), (-1;-1))

f. 2 2

4

( )( ) 15x y x yy y x

(ĐS: 3 3(2;1),(2 3; 3) )

g. 2

3 2 2 3

5 3 33

x y x xyx x y y

(Thi thử Ams Hà Nội 2013; ĐS: (1/2; 1/2), (-1;1))

Bài 15. a. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

2 2

2

2x xy y 1.

(x y) m xy

c. Tìm GTLN,GTNN của P = 2x2+xy-y2 với x,y thỏa mãn x2-2xy+3y2=4.

Dạng 6. Phương pháp hàm số.

Bài 16. Giải các hệ phương trình sau:

a. 2

2 2

(4x 1)x (y 3) 5 2y 0

4x y 2 3 4x 7

(A_2010) b.

2 2

1 y x2 1x yx

y x 1 1 3x 3

c. 3

(3 x) 2 x 2y 2y 1 0

2 2 x (2y 1) 1

d.

3 3 28x y 3y 5y 4x 3

2x y 5 2x 2



18

e. 2 2

3 3

6x y 5xy 7x 3y 2 0

x x 1 y y 1

f.

3

2

2y 2x 1 x 3 1 x y

y 2x 1 2xy 1 x

Dạng 7. Hệ phương trình có dạng: 2 2

1 1 1 1 1 12 2

2 2 2 2 2 2

0

0

a x b y c xy d x e y fa x b y c xy d x e y f

Cách giải: Với dạng hệ này, ta sẽ tìm số thực k sao cho lấy phương trình(1)+k.PT(2) có thể phân tích thành nhân tử. Để làm điều này, ta đặt: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2; ; . ; ; ;a a ka b b kb c c k c d d kd e e ke f f kf .

Khi đó k là nghiệm của phương trình 2 2 24dec baf ae bd fc

Ví dụ 1: a.

2 2

2

15574 3 (3 1) ( . 2011)25

x y

x x y x HSG Ng An

Hướng giải: Đặt 1 571 4 , 1, 3 , 3 , ,5 25

a k b c k d k e k f k . Thay vào 2 2 24dec baf ae bd fc ,

Ta có: 3 2638 1207 148 20 0 2k k k k . Do đó ta lấy phương trình 1 + với phương trình(2) . 2. Vì thế ta có thể giải như sau: Lấy phương trình(2) nhân 2 rồi cộng với phương trình (1) theo từng vế, ta có phương

trình : 2 2 1192(3 1) 9 6 025

y x y x x . Tính ' 14425y và tìm được

7 173 ; 35 5

y x y x . Từ đó

tìm được nghiệm của hệ là: 2 1 11 2( ; ),( ; )5 5 5 25


a. 2 2

2 2

14 21 6 45 14 035 28 41 122 56 0

x y xx y x y

(ĐS: (3; 2),(2;1) ) b.

3 3

2 2

352 3 4 9x y

x y x y

(ĐS: (-2;3); (-3;2))

c. 3 3

2 2

92 4 0x y

x y x y

(ĐS: (-1;2); (-2;1)) d.

2 3 2

2 2 2

3 4 2 02 0

x y x xx y x y

(ĐS: (1;-1))

e. 3 2

2 2

3 6 3 498 10 25 9

x xy xy xx xy y y x

(ĐS: (-1;5), (-1;3))

Dạng 8. Bài tập tổng hợp.

Các phương pháp thường dùng để giải các hệ dạng này: + Phương pháp thế + Phương pháp đánh giá + Phương pháp đặt ẩn phụ… Bài 17. Giải các hệ phương trình

2 2 2 2

2

2 4

22

4x 9y 6x 11 5y x y 6x 2y 0a. b. c.

2x 3y 12 x y 8 0 3x 6xy x 3y 0

(x 2y 1)(x 2y 2) 02x + x y 1 0 (x y) 4(x yd. e. f.

xy y 3y 1 0x + 12x+2y+10=0

2) 117 0

x y 25

Bài 18. Giải hệ phương trình



19

a. 3 2 22 1 1

( 1) 1 10

x x y x y y

x y y

(ĐS: (3;3)) b.

2 6 2

2 3 2

xy x yy

x x y x y

2 2 2 232

2 3 24 3 2 2

24 2

1 1x(x y 1) 3 0 x yxy x 1 7yx yc. d. e. 5(x y) 1 x y xy 1 13y

2y x 1x5x y x y xy xy xy x y xx 2x y x y 2x 94f. g. h.

5 x 2xy 6x 6x y xy(1 2x)4

2 2

2 2 2 4 4 3 23

2 3 3 2 2 2 2

2 2 3

2 2

2y

x 2y y x 1 2x 2y

x y -2x+y =0 x y 2 x y 2x y 9i. k. l. l.

3x y 62x - 4x+3+y =0 x 2x 2x y x xy y y 0

5x y 16x 16 0 x 4y ym. n.

5x y 4xy 16x 8y 16 0

3

2 23

6 3x 2y16xx y o.

1 y 5(1 x ) 2x y 3

Bài 19. Giải các hệ

32 2 2 2 2

2 3 2 22

3 3 2

4 2 2

(x y) 8xy 2(x y)(8 xy)(x 1)y 2x x y z 2xy zx zy 3

a b. c. 1 15x 10x 4y 9 0 x y yz zx 2xy 1x yx y

x y 2011x 2011y 0 y(x 4) (x y) 1d. e.

x y 1 (x 1)(x y 2) y

2 2 2

2

4 2

2 2

x (x xy y ) 1 f.

x(x y x y) 1

698x yg. 81

x y xy 3x 4y 4 0

Bài 20. Giải hệ 3

2 2

2 2

2 2

x y x y x y xy 3 x y x y 2 2x y 1 x y 1a. b. c. d.3x 2y 4x y 25x y x y 2 x 1 y 1 4

x y 5x y 2xy 8 23( x y ) 4 x y y x 2e. f. g.

xy 9 x y 4 x y xy

2

2 3 4 2 3 4

2 2

2 2

2

4x y 1 x y 1 h.5x 2y 4

21

x y 1 1 4(x y) 3(x y) x(x y 1) y(2y 1) x x x x y y y yk. l. m.3 x 2y y x 12 2(x y) x y 12x y

22xyx y 1x yn.

x y x y

x y 7 1y x xy o. (x,y > 0)

xy(x y) 78

Bài 21. Giải các hệ phương trình



20

a.

3 2 3 2

2 2

x 3x 9x 22 y 3y 9y1x y x y2

(A_2012) b. 3 2 2 2

xy x 2 02x x x y 2xy y 0

(D-2012)

c. 2 2 3

2 2 2

5x 4xy 3y 2(x y) 0xy(x y ) 2 (x y)

(A_2011) d.

2

2 2

(4x 1)x (y 3) 5 2y 0

4x y 2 3 4x 7

(A_2010)

e. 2 2 2 2

2

(x y)(x xy y 3) 3(x y ) 2

4 x 2 16 3y x 8

f.

2 3

2 3 24 8 4 12 5 4 13 18 94 8 4 2 1 2 7 2 0

x x y y y xx x x y y y

g. (2 ) 5(3 ) 4

x y xy x y xyx y xy x y xy h.

2 211

x y x y x yx y

i. 33

3

yx y xx

x y x x

k. 4 4 2 2

2 26 41

( ) 10x y x yxy x y

l. 44

2 2

1 1 2

2 ( 1) 6 1 0

x x y y

x x y y y

(A_2013) m.

2 2

2 2

2 3 3 2 1 0

4 4 2 4

x y xy x y

x y x x y x y

(B_2013)

n. 2 3 2

2 2 2 2 4 4

5 3 2 (1 2 ) 22 2

x y y x y yx y x y x y

o.

33

3

yx y xx

x y x x

(ĐS: (1;8))

Bài 22. (D_2011) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 3 2

22 ( 2)

1 2x y x xy m

x x y m

.

Bài 23. a.(CĐ 2011). Giải hệ phương trình 2 22 2 3 2

2 2x y x y

x xy y

b.(A_2006) 3

1 1 4x y xy

x y

c. Tìm m để hệ có nghiệm 11 3

x yx x y y m

d.

3 3 2

4 4

6 15 3 14 04

x y x x yx y x y

II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT. Bài 22. Giải các hệ phương trình

a.

2 2x xy y

2 24 4

2 161log (x y ) log (xy)2

b. 2 2log(x y ) 1 3log 2

log(x y) log(x y) log3

c.

3x 1 y 2 y 3x

2

2 2 3.2

3x 1 xy x 1

d. 3 3log (xy) log 2

2 2

4 2 (xy)x y 12x 12y 42 0

e.

x y x y

x y

e e 2x 2e x y 1

f.

2 2

log(1 2x) log(1 2y) 2(x y)2x 9xy 2012y 0

e. 2 y 1

2 x 1

x x 2x 2 3 1

y y 2y 2 3 1

f.

3 3 y x

4 2

x y 2 2(x 1)(y y 1) x(y 2) 1

g.

x 1

2 x

2 y 1 0y 3.4 3

h. (B_2005) 2 39 3

1 2 13log (9 ) log 3

x yx y

i. (A_2004) 1 4

42 2

1log ( ) log 1

25

y xy

x y

k. (D_2002)3 2

12 5 44 22 2

x

x x

x

y y

y



21

l. 1

32 8

174 6 2.9 03

log (8 8) log (2 1) 3

x x y

x x y

III. HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ. Bài 2. b. m = 0, m = -2, m = 1, m = -3. Bài 3. m = -1. Bài 4. m = 2011, m = -2015.

Bài 5. m 2 6;m 0, m 2,m 1 3 Bài 6. m 4 m 1 .

Bài 8. b. 2 2 2 2 2 2 2 2 24a 9b 16c 4a 9b 16c 4a 9b 16cx , y , z

24bc 16ca 12ab

Bài 9. a. (1;2), (2;1), (1; 3), ( 3;1) , b. 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; )2 2 2 2 2 2 2 2

c. (2; 1), ( 1;2), ( 2;1), (1; 2) , e. (2;3), (3;2) f. (4;8), (8;4)

Bài 10. a. (0;1), ( 1;0) , b. 3 5 3 5 3 5 3 5( ;1), ( ;1), (1; ), (1; )2 2 2 2 , c. 3 11(1; ),( 2;6), (2; 2), ( 3; )

2 2

d. ( 1; 2), ( 2; 1) , e. (4;9), (9;4) , f. 3 1 3 1( ; ), ( ; )4 2 8 4

Bài 11. a. 27m8

, b. m 4 , c. 5 m 34 , d. 17 4m

48 3

, e. 7 m 24 .

Bài 12. Các hệ đối xứng loại 2. Bạn đọc tự giải. Bài 13. a. Trừ hai phương trình cho nhau vế theo vế ta có phương trình

2 2

x y 1(x y) x y 0 x yy 2 x 2x 91 y 91

. Thay vào phương trình đầu của hệ ta có

2 2 2 2

2

1 1x 91 x 2 x x 91 10 x 2 1 x 9 (x 3) (x 3) 1 0x 2 1x 91 10

x 3

b. ta thấy x y 0 là một nghiệm của hệ. Ta xét trường hợp x và y khác 0.

Cộng hai phương trình với nhau, vế theo vế, ta có: 2 2

2 23 3

1 12xy x y(x 1) 8 (y 1) 8

Với xy 0 , theo BĐT Cauchy thì vế trái luôn nhỏ hơn hoặc bằng vế phải, dấu bằng xảy ra khi x y 1 .

Với xy 0 ta có vế trái âm, vế phải dương nên phương trình vô nghiệm.

Vậy hệ có hai nghiệm là (0;0), (1;1)

Bài 14. Các hệ phương trình đẳng cấp, bạn đọc tự giải. Bài 15. a. HD: Đưa về hệ phương trình đẳng cấp, đặt x ty , cô lập m và xét hàm số

2

2

t t 1 1f (t) , t ( , 1) ( , )2t t 1 2

14 5 7m28 11 7

b. MaxP 3(2 6), MinP 3(2 6)



22

Bài 16. a. 2 2(4x 1)x (y 3) 5 2y 0 (4x 1)2x (5 2y 1) 5 2y . Phương trình này có dạng

f (2x) f ( 5 2y) với 2f (t) t(t 1), t . 22

2 5 4x 12x 5 2y 4x 2 3 4x 7 x y 22 2

b. Biến đổi phương trình về dạng: 2y x y 2x x 2xy (y 2x)(y x ) 0 .

Với y 2x , ta có phương trình 2 2 2 2x2x x 1 1 3x 3 x 12x 3

. Xét hai hàm số ở hai vế trái và

phải trên khoảng (0; ) , ta có nghiệm của phương trình là x 3 ( 3;2 3) .

Với y x thì hệ vô nghiệm. Vậy hệ có nghiệm là ( 3;2 3)

c. ĐS: 1 1 5 5 5( ;6), ;2 2 4

d. Biến đổi phương trình đầu trong hệ thành 3 32(2x) (2x) 2(y 1) (y 1) . Xét hàm số 3f (t) 2t t , t 2x y 1 y 2x 1

e. Xét hàm số 3f (t) t t 1, t 1 x y (1;1)

f. 3 3 3 32y y 2( 1 x) 1 x y 1 x x c , y 2 sin10 20

os

Education

Chuyen de phuong trinh he phuong trinh on thi dai hoc