Phuong Trinh Vo Ty

www.nguoithay.org

Dạng 1.

Chú ý : Ta nên chọn điều kiện đơn giản để giải một cách dễ dàng.

Dạng 2.

Dạng 3.

Dạng 4.

Dạng 5.

Dạng 6.

Chú ý : Phép bình phương hai vế của một phương trình mà không có điều

kiện cho hai vế không âm là một phép biến đổi hệ quả. Sau khi tìm được

nghiệm ta phải thử lại.

b. Ví dụ cơ sở

www.nguoithay.org

Bài 1. Giải phương trình sau :

Giải Điều kiện : Chắc chúng ta có ngay các hướng sau : * Bình phương hai vế phương trình. * Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào.

Ta có nhận xét :

Từ nhận xét này ta có lời giải như sau :

Phương trình đã cho tương đương với

Bình phương hai vế ta được :

Thử lại : là một nghiệm của phương trình đã cho.

Qua lời giải trên ta có nhận xét :

Nếu phương trình :

Mà có : thì ta biến đổi

Chấp Cánh Những Ước Mơ Bay Cao---------------------------------------------------------------------------------

2

www.nguoithay.org


GiảiBình phương hai vế không âm của phương trình ta được :

Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình :

Bình phương hai vế ta có :

Thử lại x = 1 thỏa mãn.

Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Nhận xét : Nếu phương trình :

Mà có : thì ta biến đổi phương trình về dạng :

sau đó bình phương giải phương trình hệ

quả.


Giải

Phương trình đã cho tương đương với


3

www.nguoithay.org



Giải

Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình.

Với x khác 0 ta có .

Khi đó phương trình đã cho tương đương với



Giải

Phương trình đã cho tương đương với :


4

www.nguoithay.org


2. Kỹ thuật trục căn thức ở mẫu

Trong việc giải bài toán phương tình vô tỷ thì có một phương pháp đó là

sử dụng các biểu thức liên hợp. Ta đã biết với a

và b là các số không âm. Thực chất của phương pháp này là nếu nhân một

biểu thức dạng hay là với biểu thức liên hợp mà xuất

hiện một nhân tử chung với biểu thức khác của phương trình thì sau khi đặt nhân tử chung ta chuyển về giải phương trình đơn giản hơn.

2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung

a. Phương pháp cơ sở

Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm như vậy phương

trình luôn đưa về được dạng tích ta có thể giải phương trình

hoặc chứng minh vô nghiệm. Chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh giá

vô nghiệm.




5

www.nguoithay.org

Giải

Ta nhận thấy :


Ta có thể trục căn thức 2 vế ta được :



Giải

Để phương trình có nghiệm thì :

Ta nhận thấy : x = 2 là nghiệm của phương trình như vậy phương trình có thể phân tích về dạng : Để thực hiện được điều đó ta phải nhóm và tách như sau :


6

www.nguoithay.org

Dễ dàng chứng minh được :



GiảiĐiều kiện :

Nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình nên ta biến đổi phương trình

Ta chứng minh :

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3.


7

www.nguoithay.org

2.2. Đưa về hệ tạm


Nếu phương trình vô tỉ có dạng trong đó ở đây C có thể là hằng số, có thể là biểu thức của . Ta có thể giải như sau :

khi đó ta có hệ :



Giải

Ta thấy :

không phải là nghiệm của phương trình đã cho.Xét ta trục căn thức :

Do đó ta có hệ phương trình :

Thử lại nghiệm thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là :


8

www.nguoithay.org


Giải

Ta thấy : như vậy không thỏa mãn điều

kiện trên.

Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt thì bài toán trở nên đơn giản hơn.

3. Phương trình biến đổi về tích


* Tìm tập xác định của phương trình.

* Dùng các phép biến đổi đại số, đưa phương trình dạng

Từ đó suy ra là những phương trình quen thuộc. Nghiệm của phương trình là tập hợp các nghiệm của các phương trình

thuộc tập xác định.

* Đôi khi dùng ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn, đưa về dạng tích Giải phương trình với ẩn phụ, từ đó tìm nghiệm của phương trình đã cho.

* Dùng cách nhóm số hạng, hoặc tách các số hạng … để đưa phương trình về dạng quen thuộc mà ta đã biết cách giải

b. Ví dụ cơ sở Bài 1. Giải phương trình :

GiảiPhương trình đã cho tương đương với :


9

www.nguoithay.org

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là : S = {0 ; –1}

Bài 2. Giải phương trình :

Giải Ta thấy không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Khi ta chia cả hai vế của phương trình cho x ta được :



GiảiĐiều kiện : .




GiảiĐiều kiện : Chia cả hai vế cho ta được :


10

www.nguoithay.org



GiảiĐiều kiện : khi đó phương trình đã cho tương đương với :

Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.


GiảiĐiều kiện : Khi đó phương trình đã cho tương đương với :



11

www.nguoithay.org

Chương II. Phương pháp đặt ẩn số phụ

1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường

Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ để giải chúng ta có thể đặt và chú ý điều kiện của nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo thì việc đặt phụ xem như hoàn toàn. Nói chung những phương trình mà có thể đặt hoàn toàn thường là những phương trình cơ bản mà thôi.



Nhận xét.

Đặt thì phương trình có dạng:

Thay vào tìm được

Vậy x là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.


12

www.nguoithay.org


Giải

Điều kiện :

Đặt thì . Thay vào phương trình đã cho và sau đó

đơn giản ta có phương trình sau :

Ta tìm được bốn nghiệm là :

Do nên chỉ nhận các gái trị


Cách khác : Ta có bình phương hai vế của phương trình đã cho với điều kiện Ta được: từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng.

Đơn giản nhất là ta đặt : và đưa về hệ đối xứng.


GiảiĐiều kiện : Đặt thì phương trình đã cho trở thành :

với


13

www.nguoithay.org

Từ đó ta tìm được các giá trị của


Bài 4. (THTT 3-2005) Giải phương trình sau :


Đặt . Phương trình đã cho tương đương với



GiảiĐiều kiện : Chia cả hai vế của phương trình cho x ta được :

Đặt ta lập tức có ngay lời ngay thôi mà.


GiảiTa thấy không phải là nghiệm của phương trình đã cho.


14

www.nguoithay.org

Chia cả hai vế cho x ta được :

Đặt t = . Khi đó ta có :

Thử lại ta thấy thỏa mãn phương trình đã cho.


Nhận xét : đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn giản mà thôi, đôi khi phương trình đối với lại quá khó giải.

2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với hai biến :

Chúng ta đã biết cách giải phương trình : bằng cách :Ta thấy v = 0 không thỏa mãn phương trình đã cho.

Xét phương trình đã cho trở thành :

Các trường hợp sau cũng đưa về được dạng :

Chúng ta hãy thay các biểu thức bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này.

a. Phương trình dạng :

Như vậy phương trình có thể giải bằng phương pháp trên

nếu


15

www.nguoithay.org

Xuất phát từ đẳng thức :

Các bạn hãy tạo ra những phương trình vô tỷ dạng trên. Chẳng hạn như phương trình :


GiảiĐiều kiện : . Khi đó ta có :

Đặt . Phương trình trở thành :

Khi đó ta tìm được thỏa mãn phương trình đã cho.




Nhận xét : Ta viết


16

www.nguoithay.org

Đồng nhất thức ta được:

Đặt ta được :

Khi đó ta tìm được : thỏa mãn phương trình đã cho.



GiảiNhận xét : Đặt ta sẽ biến phương trình trên về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y :

Khi đó phương trình có nghiệm :

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :

b. Phương trình dạng : Phương trình cho ở dạng này thường khó phát hiện hơn dạng trên, nhưng nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên.


Giải


17

www.nguoithay.org

Ta đặt .

Khi đó phương trình trở thành :

Do đó

Chú ý rằng u và v là hai số không âm nên v = 0.Từ đó . Ta tìm được thỏa mãn phương trình đã cho.Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là :


Giải

Điều kiện : . Bình phương hai vế ta có :

Ta có thể đặt . Khi đó ta có :

Mặt khác do u và v là hai số dương nên

Do đó

Từ đó ta tìm được nghiệm của phương trình đã cho.



18

www.nguoithay.org

GiảiĐiều kiện : . Chuyển vế bình phương ta được :

Nhận xét : không tồn tại số để :

vậy ta không thể đặt .Nhưng may mắn thay ta có :

Ta viết lại phương trình: .

Đến đây chúng ta đã có lời giải của bài toán.

3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Từ những phương trình tích

và

Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát . Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng nàyPhương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau .


GiảiDùng phép đặt . Khi đó ta có :


19

www.nguoithay.org

Từ đó ta tìm được : thỏa mãn phương trình.



GiảiDùng phép đặt : . Khi đó phương trình trở thành :

Bây giờ ta thêm bớt để được phương trình bậc 2 theo t có chẵn

Từ một phương trình đơn giản : khai

triển ra ta sẽ được phương trình sau.


GiảiDùng phép đặt : Phương trình đã cho trở thành : (1)Ta rút thay vào thì được phương trình :

Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t

không có dạng bình phương .


20

www.nguoithay.org

Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo

Cụ thể như sau : thay vào phương trình (1) ta được :


GiảiBình phương hai vế của phương trình ta được :

Ta đặt : . Khi đó

Ta phải tách làm sao cho có dạng chính

phương . Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích.

4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích

Xuất phát từ một số hệ đại số đẹp chúng ta có thể tạo ra được nhữngphương trình vô tỉ mà khi giải nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ.

Xuất phát từ đẳng thức

Ta có :

Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba. Chẳng hạn :


21

www.nguoithay.org


Giải

Dùng phép đặt :

Khi đó ta có :

Giải hệ phương trình trên ta được :



Giải

Đặt

Khi đó ta có :



22

www.nguoithay.org

5. Đặt ẩn phụ đưa về hệ

5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường

Đặt và tìm mối quan hệ giữa và từ đó tìm được hệ theo u,v. Chẳng hạn đối với phương trình :

ta có thể đặt :

ta có hệ


Giải

Đặt

Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau :

Giải hệ phương trình này ta tìm được . Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là :



Đặt


23

www.nguoithay.org

Ta đưa về hệ phương trình sau :

Giải phương trình thứ 2 :

Từ đó tìm ra rồi thay vào tìm nghiệm của phương trình.



Đặt

Thì ta đưa về hệ phương trình sau :

Do đó




Đặt


24

www.nguoithay.org

Khi đó ta được hệ phương trình :

Từ đó ta đã có lời giải của bài toán.

5.2 Xây dựng phương trình vô tỉ từ hệ đối xứng loại II

Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II

Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau :

việc giải hệ này thì đơn giản

Bây giời ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt sao cho

(2) luôn đúng , khi đó ta có phương trình :

Để giải phương trình : ta đặt lại như trên và đưa về hệ

Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 :

Ta sẽ xây dựng được phương trình dạng sau : đặt

khi đó ta có phương trình :

Tương tự cho bậc cao hơn :

Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về dạng :

và đặt để đưa về hệ, chú ý về

dấu của .


25

www.nguoithay.org

Việc chọn thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng

là chọn được.


Giải

Điều kiện :

Phương trình được viết lại như sau :

Đặt thì ta đưa về hệ sau :

Trừ hai vế của phương trình ta được Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là : Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.


Giải

Điều kiện :

Ta biến đổi phương trình như sau :

Đặt ta được hệ phương trình :

Với

Với


5.3 Dạng hệ gần đối xứng


26

www.nguoithay.org

Ta xét hệ phương trình sau :

Đây không phải là hệ đối xứng loại 2 nhưng chúng ta vẫn giải hệ được và từ hệ này chúng ta xây dưng được bài toán phương trình sau :Bài 1. Giải phương trình : Nhận xét : Nếu chúng ta nhóm như những phương trình trước

Đặt thì chúng ta không thu được hệ phương trình mà

chúng ta có thể giải được.Để thu được hệ (1) ta đặt : chọn sao cho hệ chúng ta có thể giải được. Ta có hệ phương trình :

Để giải hệ trên thì ta lấy (1) nhân với k cộng với (2) và mong muốn của của chúng ta là có nghiệm

Nên ta phải có : ta chọn được ngay

Ta có lời giải như sau :

Điều kiện :

Đặt với

Ta có hệ phương trình sau :


27

www.nguoithay.org

Với

Với

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là : S =

Chú ý : khi đã làm quen chúng ta có thể tìm ngay bằng cách viết lại phương trình ta viết lại phương trình như sau :

khi đó đặt nếu đặt thì chúng ta không thu được hệ như mong muốn, ta thấy dấu của cùng dấu với dấu trước căn. * Một cách tổng quát .

Xét hệ phương trình :

Để hệ có nghiệm x = y thì : và Nếu từ (2) tìm được hàm ngược thay vào (1) ta được phương trình Như vậy để xây dựng phương trình theo lối này ta cần xem xét để có hàm ngược và tìm được và hơn nữa hệ phải giải được.

Chương III. Phương pháp đánh giá

1. Dùng hằng đẳng thức


28

www.nguoithay.org

Từ những đánh giá bình phương : ta xây dựng phương trình dạng

Từ phương trình ta khai triển ra

có phương trình :

2. Dùng bất đẳng thức

Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức :

nếu dấu bằng ở (1) và (2) cùng đạt được tại thì là nghiệm của phương trình .

Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ ý tưởng :

Khi đó :

Nếu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn

nhưng có nhiều bài nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không được ta vẫn dùng bất đẳng thức để đánh giá được.

Bài 1. ( OLP 30 tháng 4 năm 2007 )

Giải phương trình sau :


Ta có :

Dấu bằng xảy ra


29

www.nguoithay.org




Biến đổi phương trình ta có :

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :

Áp dụng bất đẳng thức Côsi :

Dấu bằng xảy ra





30

www.nguoithay.org

Mặt khác

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Điều này là không thể xảy ra được.

Vậy phương trình đã cho là vô nghiệm.

3. Chứng minh nghiệm duy nhất

Ở một số phương trình ta có thể thử trực tiếp để thấy nghiệm của chúngrồi tìm cách chứng minh rằng ngoài nghiệm này ra không còn nghiệm nào khác nữa.


Giải* Nếu | x | > 1 thì và Khi đó và

Do đó phương trình vô nghiệm.* Nếu | x | < 1 thì phương trình đã cho cũng vô nghiệm.* Với | x | = 1 thì

Khi đó phương trình đã cho được nghiệm đúng.Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là : S = {– 1 ; 1}

Bài 2. ( Tạp chí toán tuổi thơ THCS ) Giải phương trình sau :


31

www.nguoithay.org


(*)

* Nếu x > 2 thì vế trái của (*) nhỏ hơn vế phải của (*)* Nếu x < 2 thì vế trái của (*) lớn hơn vế phải của (*)* Với x = 2 thì (*) được nghiệm đúng.Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Chương IV. Phương pháp hàm số đơn điệu

1. Phương pháp cơ sở

* Sử dụng tính chất cơ bản của hàm số để giải một số phương trình quen thuộc. Ta có một số hướng sau :

Hướng 1. Thực hiện theo các bước :


32

www.nguoithay.org

Bước 1 : Chuyển phương trình về dạng: Bước 2 : Xét hàm số Bước 3 : Nhận xét :

* Với do đó là nghiệm * Với do đó phương trình vô nghiệm

* Với do đó phương trình vô nghiệm* Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình

Hướng 2. Thực hiện theo các bước : Bước 1 : Chuyển phương trình về dạng: Bước 2 : Dùng lập luận khẳng định rằng và g(x) có những tính chất trái ngược nhau và xác định sao cho Bước 3 : Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình. Hướng 3. Thực hiện theo các bước : Bước 1 : Chuyển phương trình về dạng Bước 2 : Xét hàm số , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu Bước 3 : Khi đó

2. Ví dụ cơ sở

Giải phương trình :

Giải


Xét hàm số là hàm đồng biến trên R

Do đó ta có là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.


33

www.nguoithay.org

Chương V. Phương pháp lượng giác hóa

1. Một số kiến thức cơ sở

Nếu | x | ≤ 1 thì có một số t với sao cho : và

một số y với sao cho

Nếu thì có một số t với sao cho : và một

số y với sao cho


34

www.nguoithay.org

Với mỗi số thực x có sao cho :

Nếu x và y là hai số thực thỏa : thì có một số t với sao cho

Từ đó chúng ta có phương pháp giải toán :

Nếu | x | ≤ 1 thì đặt với hoặc với

Nếu thì đặt , với hoặc , với

Nếu : , là hai số thực thỏa: , thì đặt với

Nếu | x | ≥ a ta có thể đặt : , với , tương tự cho

trường hợp khác.

x là số thực bất kỳ thì đặt :

Tại sao lại phải đặt điều kiện cho t như vậy ? Chúng ta biết rằng khi đặt điều kiện thì phải đảm bảo với mỗi có duy nhất một và điều kiện trên để đảm bào điều này.

2. Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác như thế nào ? Từ công phương trình lượng giác đơn giản : ta có thể tạo ra được phương trình vô tỉ. Chú ý : ta có phương trình vô tỉ: (*)

Nếu thay bằng ta lại có phương trình : (**)

Nếu thay x trong phương trình (*) bởi ta sẽ có phương trình vô tỉ

khó : (***)Việc giải phương trình (**) và (***) không đơn giản chút nào.


35

www.nguoithay.org

Tương tự như vậy từ công thức sin 3x ; sin 4x ;… ta cũng xây dựng được những phương trình vô tỉ theo kiểu lượng giác.

3. Ví dụ cơ sởGiải phương trình sau :

GiảiĐiều kiện : | x | ≤ 1

Với thì

Phương trình đã cho vô nghiệm.

ta đặt : . Khi đó phương trình trở thành :


Chương VI. Tuyển chọn một số bài toán hay

Bài 1. ( Mathemtical Olympiad 30 tháng 4 năm 2006 )




36

www.nguoithay.org













37

www.nguoithay.org






Bài 20. ( Mathemtical Olympiad 30 tháng 4 năm 2010



Bài 23. ( OLP Duyên Hải Đồng Bằng Bắc Bộ năm 2011 )

Bài 24. ( Đề thi chọn đội tuyển thi Toán Toàn Quốc năm 2009 )


38

www.nguoithay.org

Bài 25. ( Childhood journal of mathematics 60 )




Bài 29. ( Documents mathematical equations )






39

www.nguoithay.org













40

www.nguoithay.org












41

www.nguoithay.org












42

www.nguoithay.org











43

www.nguoithay.org












44

www.nguoithay.org











45

www.nguoithay.org












46

www.nguoithay.org












47

www.nguoithay.org


Bài 114. ( Đề thi HSG Nghệ An năm 2008 )

Bài 115. ( Đề thi HSG Cần Thơ năm 2008 )

Bài 116. ( Đề thi HSG Thanh Hóa năm 2008 )

Bài 117. ( Đề thi HSG Quảng Bình năm 2008 )

Bài 118. ( Đề thi HSG Thái Bình năm 2008 )

Bài 119. ( Đề thi HSG Bắc Ninh năm 2008 )

Bài 120. ( Đề thi HSG Nghệ An năm 2009 )

Bài 121. ( Đề thi HSG Nghệ Anh năm 2005 )

Bài 122. ( Đề thi HSG Hà Nội năm 2006 )


48

www.nguoithay.org

Bài 123. ( Đề thi HSG Phú Thọ năm 2007 )


Bài 125. ( Đề thi HSG Bình Định năm 2009 )

Bài 126. ( Bài T4/394 THTT )

Bài 127. ( Bài T9/351 THTT ) Bài 128. ( Bài T4/362 THTT ) Bài 129. ( Bài T4/364 THTT )

Bài 130. ( Bài T4/366 THTT )

Bài 131. ( Bài T4/365 THTT )

Bài 132. ( Bài T7/384 THTT ) Bài 133. ( Tạp chí toán học và tuổi trẻ )

Bài 134. ( Bài T4/388 THTT ) Bài 135. ( Bài T6/389 THTT )


49

www.nguoithay.org

Bài 136. ( Tạp chí toán học và tuổi trẻ ) Bài 137. ( Bài T6/391 THTT )

Bài 138. ( Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Lâm Đồng năm 2010 )

Bài 139. ( Đề thi chọn đội tuyển trường Chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2010 )

Bài 140. ( Đề thi HSG Hải Phòng năm 2010 ) Bài 141. ( Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Phú Yên năm 2010 )

Bài 142. ( Đề thi HSG Nghệ An năm 2010 ) Bài 143. ( Đề thi vào trường KHTN năm 1993 )

Bài 144. ( Đề thi vào trường KHTN năm 1994 )




50

www.nguoithay.org




Bài 150. ( Đề thi vào lớp chuyên Toán trường KHTN năm 1999 )









51

www.nguoithay.org










Bài 167. ( Đề thi HSG Huế năm 1999 )


52

www.nguoithay.org

Bài 168. ( Đề thi HSG Bắc Ninh năm 2010 )











53

www.nguoithay.org










Bài 187. ( BoxMath mathematical journal )


54

www.nguoithay.org











55

www.nguoithay.org












56

www.nguoithay.org











57

www.nguoithay.org












58

www.nguoithay.org












59

www.nguoithay.org












60

www.nguoithay.org

Chương VII. Học toán trên mạng Internet

Công nghệ thông tin và truyền thông đã ảnh hưởng nhiều tới mọi mặt

của đời sống, ngay cả đối với toán học cũng vậy. Hiện nay, để cùng trao đổi

thông tin và thảo luận một vấn đề nào đó của toán học dễ dàng hơn nhiếu so

với một vài năm trước kia, khi mạng Internet chưa phát triển. Có nhiều trang

web hay về toán học để các bạn thảo luận trao đổi và download load tài liệu.

Tôi xin được giới thiệu một số trang web để các bạn tham khảo.

1. http://kinhhoa.violet.vn/user/show/id/16999 2. www.diendantoanhoc.net

3. www.kalva.demon.co.uk4. www.mathnfriend.net5. www.mathvn.com6. http://ebooktoan.com 7. http://forum.mathscope.org/index.php8. http://boxmath.vn/4rum/9. http://mathdoi.com10.www.mathlinks.ro11.http://tailieu.vn/index.html12.http://thay-do.net/13.http://hocmai.vn/14.http://www.truonghoc.com.vn/15.http://truonglang.wordpress.com/16.http://www.math.ac.vn/17.http://thichhoctoan.wordpress.com/18.http://olympiavn.org/forum/index.php19.http://diendankienthuc.net/diendan/forum.php

Việc học tập và download load tài liệu trên mạng Internet giúp chúng ta tiếp cận với những điều mới mẻ hơn nhanh hơn và hiệu quả hơn. Hy vọng


61

http://diendankienthuc.net/diendan/forum.php

http://olympiavn.org/forum/index.php

http://thichhoctoan.wordpress.com/

http://www.math.ac.vn/

http://truonglang.wordpress.com/

http://www.truonghoc.com.vn/

http://hocmai.vn/

http://thay-do.net/

http://tailieu.vn/index.html

http://www.mathlinks.ro/

http://mathdoi.com/

http://boxmath.vn/4rum/

http://forum.mathscope.org/index.php

http://ebooktoan.com/

http://www.mathvn.com/

http://www.mathnfriend.net/

http://www.kalva.demon.co.uk/

http://www.diendantoanhoc.net/

http://kinhhoa.violet.vn/user/show/id/16999

www.nguoithay.org

rằng thế giới toán học trên mạng sẽ ngày càng gần gũi và trở thành một công cụ hiệu quả và bổ ích với tất cả các bạn trong thời gian không xa.


62