SECCIONES CÓNICAS:LA ELIPSE

Prof. Carlos A. BlancoI.E.S. María de Molina (Zamora)

Eje

SECCIONES CÓNICAS (I)• Se define un cono

como una superficie de revolución que se obtiene al girar una recta llamada generatriz alrededor de una recta secante a ella llamada eje.

• El punto de corte de ambas rectas es el vértice del cono.

Generatriz

Vértice

SECCIONES CÓNICAS (II)Al intersecar un cono con un plano que no pase por el vértice, se obtienen las diferentes cónicas no degeneradas. Llamamos al ángulo que forma la generatriz con el eje. Entonces, si es el ángulo que forma el plano con el eje, se tiene que:

1. Si el plano es perpendicular al eje se obtiene una circunferencia.

2. Si se obtiene una elipse.

3. Si el plano es paralelo a la generatriz se obtiene una parábola.

4. Si se obtiene una hipérbola.

CircunferenciaElipse

ParábolaHipérbola

Imagen realizada a partir de otra tomada de es.wikipedia.org/wiki/Sección_cónica

SECCIONES CÓNICAS (III)Un experimento que se puede realizar es apuntar con una linterna a una pared en algo de oscuridad. La forma que adoptará la luz de la linterna contra la pared, según la inclinación que tenga la linterna, irá formando las distintas secciones cónicas.

ELIPSE DEFINICIÓNUna elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos; es constante.• En la elipse de la

figura, el punto medio del segmento que une los focos es el centro de la elipse.

• La recta que une los focos es el eje mayor.

• Su perpendicular por el centro es el eje menor.

CentroEje menor

Eje mayor

ELIPSE ELEMENTOS• Los puntos de corte de la elipse con los ejes son los vértices. • es la semidistancia focal.• es el semieje mayor.• es el semieje menor.

Vértices

c

a

b

ELIPSE RELACIÓN FUNDAMENTAL• Puesto que los vértices del eje mayor son puntos de la elipse

. • Puesto que los vértices del eje menor son puntos de la elipse

para • Se ve un triángulo rectángulo con hipotenusa a y catetos b y c• Tenemos entonces la relación fundamental de la elipse.

a + c

a caa

𝑎2=𝑏2+𝑐2

bc

ELIPSE ECUACIÓNPara hallar la ecuación de la elipse, suponemos que y son los focos, el semieje mayor y el semieje menor, siendo . Si es un punto de la elipse:

𝑑 (𝐹 1 ,𝑃 )+𝑑 (𝐹2 ,𝑃 )=2𝑎⟹√ (𝑥−𝑐 )2+𝑦 2+√ (𝑥+𝑐 )2+𝑦2=2𝑎

Operando nos queda

(𝑎2−𝑐2 ) 𝑥2+𝑎2 𝑦2=𝑎2 (𝑎2−𝑐2 )⟺𝑏2𝑥2+𝑎2𝑦 2=𝑎2𝑏2

𝑥2

𝑎2+ 𝑦2

𝑏2=1

Lo que es equivalente a

En una elipse, se llama excentricidad al cociente y determina el achatamiento. Será un valor entre 0 y 1, tanto más próximo a 0 cuánto más se parezca la elipse a una circunferencia y más próximo a 1 cuánto más achatada.

ECUACIONES DE LA ELIPSESuponiendo que el centro es el origen de coordenadas, tenemos las siguientes posibilidades.

Si el centro es el punto entonces es:

ó

𝑥2

𝑎2+ 𝑦2

𝑏2=1 𝑦2

𝑎2+𝑥

2

𝑏2=1

según sea la orientación de la elipse.

CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE• Trazamos circunferencias centradas en los focos cuya suma

de radios sea constante.• Los puntos de intersección serán los puntos de la elipse.

LA ELIPSE CON ELMÉTODO DEL JARDINERO

• Atamos una hilo en cada uno de los focos y manteniéndolo tenso con un lapicero, trazamos la elipse.

• Este es conocido como el “método del jardinero”.

PROPIEDAD DE LA ELIPSELa elipse tiene una importante propiedad de reflexión

Si desde uno de los focos se emite un rayo de luz, que se refleja en el interior de la elipse, el rayo reflejado pasará por el otro foco.

Gráficamente, la recta perpendicular a la tangente a una elipse en un punto es la bisectriz del ángulo formado por los radio- vectores de dicho punto.Se usa para diseñar las bóvedas de las estaciones de metro.

ELIPSES Y MOVIMIENTO PLANETARIOEl movimiento que describen los planetas alrededor de su estrella sigue una elipse, estando la estrella en uno de los focos.

Además, el planeta se mueve más deprisa en los momentos en los que está más cerca de la estrella, y más despacio cuando está más alejado de la misma.

EJERCICIOS DE ELIPSESHay dos tipos de ejercicios de elipses:

El primer tipo de ejercicio trata de encontrar la ecuación de la elipse a partir de unos datos determinados

El segundo tipo de ejercicio trata de encontrar los elementos más destacados de la elipse y realizar un dibujo aproximado a partir de la ecuación.

En este tipo de ejercicio, puede ser que nos den la ecuación de la elipse en forma reducida (más fácil)

Ó puede ser que nos den la ecuación de la elipse en forma desarrollada (más difícil)

EJERCICIO 1 DE ELIPSESHalla la ecuación de la elipse de centro el punto de , cuya semidistancia focal es 4 y cuyos radio-vectores de un punto son 7 y 3.

Para hallar la ecuación de una elipse necesitamos conocer el centro y los semiejes.

Como los radio-vectores de un punto son 7 y 3 se tiene que:

7+3=2𝑎⟹𝑎=5Ya tenemos a y c. Hallamos b con la relación fundamental

52=𝑏2+42⟹𝑏=3Puesto que también tenemos el centro, la elipse es

(𝑥−2 )2

52+

(𝑦−3 )2

32=1

EJERCICIO 2 DE ELIPSESHalla todos los elementos de la elipse

A la vista de la ecuación sabemos el centro y los semiejes.

Siendo además el semieje mayor el paralelo al eje y. Hallamos pues la semidistancia focal y con todo ello hallamos los focos y los vértices.

32=22+𝑐2⟹𝑐=√5,

,

,

, y

EJERCICIO 3 DE ELIPSESHalla los elementos de la elipse

A la vista de la ecuación sabemos el centro y los semiejes.

Siendo además el semieje mayor el paralelo al eje x. Hallamos pues la semidistancia focal y con todo ello hallamos los focos y los vértices.

42=22+𝑐2⟹𝑐=√12,

,

, y

, y

En primer lugar completamos cuadrados para hallar la ecuación reducida. (𝑥+2 )2

42+

(𝑦−2 )2

22=1

CONICAS Y ESFERAS DE DANDELIN

• En las siguientes imágenes se puede observar que las secciones cónicas cumplen las definiciones como lugares geométricos.

• Las imágenes proceden de la página http://www.aulamatematicas.org/Conicas/ConicasSeccionesCono.htm

• Para saber más sobre las esferas de Dandelin, clic aquí

CONICAS Y ESFERAS DE DANDELIN

Que es la longitud de la generatriz entre y y no depende del punto