1

Dimensi Tiga(Proyeksi & Sudut)

2

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat

Menentukan

proyeksi dan besar sudut dalam

ruang dimensi tiga

3

Proyeksi Pada Bangun Ruang:

proyeksi titik pada garis

proyeksi titik pada bidang

proyeksi garis pada bidang

4

Proyeksi titik pada garis

Dari titik P

ditarik garis m garis k

garis m memotong k di Q,

titik Q adalah

hasil proyeksi

titik P pada k

P

Q

k

m

5

Contoh

Diketahuikubus ABCD.EFGHTentukan proyeksititik A pada garisa. BC b.BDc. ET

(T perpotonganAC dan BD).

A B

CD

H

E F

G

T

6

PembahasanProyeksi titik A pada

a. BC adalah titik

b. BD adalah titik

c. ET adalah titik

A B

CD

H

E F

G

T

B

T

A’

A’(AC ET)

(AB BC)

(AC BD)

7

Proyeksi Titik pada Bidang

Dari titik Pdi luar bidang Hditarik garis g H. Garis g menembusbidang H di titik P’.Titik P’ adalahproyeksi titik P di bidang H

P

P’

g

8

Contoh

Diketahui kubusABCD.EFGH

a. Proyeksi titik Epada bidang ABCDadalah….

b. Proyeksi titik Cpada bidang BDGadalah….

A B

CD

H

E F

G

9

Pembahasana. Proyeksi titik E

pada bidang ABCDadalah

b. Proyeksi titik Cpada bidang BDGadalahCE BDG

A B

CD

H

E F

G

(EA ABCD)

AP

P

10

Proyeksi garis pada bidangProyeksi sebuah gariske sebuah bidangdapat diperoleh dengan memproyek-sikan titik-titik yangterletak pada garis ituke bidang.

A

A’

g

Jadi proyeksi garis g pada bidang H

adalah g’

B

B’g’

11

Fakta-fakta1. Proyeksi garis pada bidang

umumnya berupa garis

2. Jika garis h maka

proyeksi garis h pada bidang

berupa titik.

3. Jika garis g // bidang maka

g’ yaitu proyeksi garis g pada

dan sejajar garis g

12

Contoh 1

Diketahui kubusABCD.EFGH

a. Proyeksi garis EFpada bidang ABCDadalah….A B

CD

H

E F

G

b. Jika panjang rusuk kubus 6 cm,Panjang proyeksi garis CGpada bidang BDG adalah….

13

Pembahasan

a. Proyeksi garis EFpada bidang ABCDberarti menentukanproyeksi titik E dan Fpada bidang ABCD,yaitu titik A dan B

A B

CD

H

E F

G

Jadi proyeksi EF pada ABCD adalah garis AB

14

Pembahasanb. Proyeksi garis CG

pada bidang BDGberarti menentukanproyeksi titik Cdan titik Gpada bidang BDG,yaitu titik P dan G

A B

CD

H

E F

G

Jadi proyeksi CG pada BDG adalah garis PG dan panjangnya?

P

6 cm

15

A B

CD

H

E F

G •Panjang proyeksi CG pada BDG adalah

panjang garis PG.

•PG = ⅔.GR = ⅔.½a√6 = ⅓a√6 = ⅓.6√6

P

R

•Jadi panjang proyeksi garis CGpada bidang BDG adalah 2√6 cm

6 cm

16

Contoh 2Diketahui limasberaturanT.ABCDdengan panjang AB= 16 cm, TA = 18 cmPanjang proyeksi TApada bidang ABCDadalah….

T

A

D C

B16 cm

17

PembahasanProyeksi TApada bidang ABCDadalah AT’.Panjang AT’= ½AC

= ½.16√2= 8√2

T

A

D C

B16 cmT’

Jadi panjang proyeksi TA pada

bidang ABCD adalah 8√2 cm

18

Sudut Pada Bangun Ruang:

Sudut antara dua garis

Sudut antara garis dan bidang

Sudut antara bidang dan bidang

19

Sudut antara Dua GarisYang dimaksud dengan

besar sudut antara

dua garis adalah

besar sudut terkecil

yang dibentuk

oleh kedua

garis tersebut

k

m

20

ContohDiketahui

kubus ABCD.EFGH

Besar sudut antara

garis-garis:

a. AB dengan BG

b. AH dengan AF

c. BE dengan DFA B

CD

H

E F

G

21

PembahasanBesar sudut antara

garis-garis:

a. AB dengan BG

= 900

b. AH dengan AF

= 600 (∆ AFH smss)

c. BE dengan DF

= 900 (BE DF)

A B

CD

H

E F

G

22

P

Q

Sudut antara Garis dan Bidang

Sudut antara garis a dan bidang

dilambangkan (a, )

adalah sudut antaragaris a dan

proyeksinya pada .Sudut antara garis PQ dengan V = sudut antara PQ dengan P’Q= PQP’

P’

23

Contoh 1Diketahui

kubus ABCD.EFGH

panjang rusuk 6 cm.

Gambarlah sudut

antara garis BG

dengan ACGE,

A B

CD

H

E F

G

6 cm

Kemudian hitunglah besar sudutnya!

24

PembahasanProyeksi garis BG

pada bidang ACGE

adalah garis KG(K = titik potong

AC dan BD)A B

C D

H

E F

G

6 cm

Jadi (BG,ACGE) = (BG,KG)

= BGK

K

25

PembahasanBG = 6√2 cmBK = ½BD

= ½.6√2= 3√2 cm

∆BKG siku-siku di KA B

C D

H

E F

G

6 cm

sin BGK =

Jadi, besar BGK = 300

K

BG

BK

2

1

26

23

26

Contoh 2Diketahui

kubus ABCD.EFGH

panjang rusuk 8 cm.

A B

CD

H

E F

G

8 cm

Nilai tangens sudut antara garis CG

dan bidang AFH adalah….

27

Pembahasantan (CG,AFH)

= tan (PQ,AP)= tan APQ

=

=

A B

CD

H

E F

G

8 cm

P

Q

PQ

AQ

8

24

8

28.21

GC

AC21

Nilai tangens sudut antara garis CG

dan bidang AFH adalah ½√2

28

Contoh 3Pada limas

segiempat beraturan

T.ABCD yang semua

rusuknya sama panjang,

sudut antara TA dan bidang ABCD

adalah….

T

A B

CD

a cm

a cm

29

Pembahasan• TA = TB = a cm• AC = a√2 (diagonal

persegi)

• ∆TAC = ∆ siku-sikusamakaki

T

A B

CD

a cm

a cm

sudut antara TA dan bidang ABCD

adalah sudut antara TA dan AC

yang besarnya 450

30

Sudut antara Bidang dan Bidang

Sudut antara

bidang dan bidang

adalah sudut antara

garis g dan h, dimana

g ( , ) dan h ( , ).( , ) garis potong bidang dan

( , )

g

h

31

Contoh 1

Diketahui kubusABCD.EFGH

a. Gambarlah sudutantara bidang BDGdengan ABCD

b. Tentukan nilai sinussudut antara BDGdan ABCD!

A B

CD

H

E F

G

32

Pembahasana. (BDG,ABCD)

• garis potong BDGdan ABCD BD

• garis pada ABCDyang BD AC

• garis pada BDGyang BD GP

A B

CD

H

E F

G

Jadi (BDG,ABCD) = (GP,PC)

= GPC

P

33

Pembahasanb. sin (BDG,ABCD)

= sin GPC

=

=

= ⅓√6A B

CD

H

E F

G

Jadi, sin (BDG,ABCD) = ⅓√6

P

GP

GC

x 6a

a

21 .6

6

6

6

21

34

Contoh 2

Limas beraturanT.ABC, panjangrusuk alas 6 cm danpanjang rusuk tegak9 cm. Nilai sinus sudutantara bidang TABdengan bidang ABCadalah….

A

B

C

T

35

Pembahasan

•sin (TAB,ABC)= sin (TP,PC)= sin TPC•TC = 9 cm, BP = 3 cm•PC =

=•PT =

=

A

B

C

T

P 2236

cm 332722

39

cm 3672

36

• Lihat ∆ TPCPT = 6√2, PC = 3√3

Aturan cosinusTC2 = TP2 + PC2 – 2TP.TC.cos TPC

81 = 72 + 27 – 2.6√2.3√3.cos TPC

36√6.cos TPC = 99 – 81

36√6.cos TPC = 18

cos TPC =

=

A

B

C

T

P2 1

62

1

6

6x

12

6

37

• Lihat ∆ TPC

cos P =

Maka diperoleh

Sin P =

Jadi sinus (TAB,ABC)

=

12

6

12

√6

6 144 -

P 138

12

138

12

138

38

Contoh 3Diketahui kubusABCD.EFGH, pan-jang rusuk 4 cmTitik P dan Qberturut-turutdi tengah-tengahAB dan AD.

A B

CD

H

E F

G

Sudut antara bidang FHQP dan bi-

dang AFH adalah . Nilai cos =…

4 cm

P

Q

39

Pembahasan• (FHQP,AFH)

= (KL,KA)= AKL =

• AK = ½a√6 = 2√6• AL = LM = ¼ AC

= ¼a√2 = √2• KL =

==3√2

A B

CD

H

E F

G4 cm

P

Q

K

L M22

MLKM

18242

40

Pembahasan• AK = 2√6 , AL = √2KL = 3√2

Aturan Cosinus:AL2 = AK2 + KL2 – 2AK.KLcos

2 = 24 + 18 – 2.2√6.3√2.cos24√3.cos = 42 – 2

24√3.cos = 40cos =

K

L MA

Jadi nilai cos = 39

5

39

5

41

SELAMAT BELAJAR