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ECUACIÓN DE LA CONTINUIDAD
Tomando como referencia la figura, nos dice que un fluido fluye de la sección 1 a la
sección 2 con una rapidez constante. Esto es la cantidad de fluido que pasa por
cualquier sección en un cierto tiempo dado que es constante. En este caso decimos
que es un flujo constante. Entonces la masa del fluido que pasa por la sección 2 en un
tiempo dado, debe ser la misma que la que fluye por la sección 1 en un mismo tiempo.
Entonces como se sabe que:
Reemplazamos y tenemos:
ECUACION DE CONTINUIDAD
Si el fluido que circula entre las secciones 1 y 2 es incomprensible, entonces
( ) se le considera como iguales, la ecuación de continuidad se expresa
por:
2
Como se sabe que:
Se puede decir que:
PROBLEMA:
En la figura que se muestra a continuación, el diámetro interior del tuvo en las
secciones 1 y 2 es de 50mm y 100mm respectivamente. Esta fluyendo agua a
70°C con una velocidad promedio de 8m/s en la sección 1. Calcule lo siguiente:
a) La velocidad en la sección 2.
b) La rapidez de flujo de volumen.
SOLUCION:
El Caudal o gasto (Q) tiene como
unidades: (
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a) La velocidad en la sección 2.
b) La rapidez de flujo de volumen.
=>
ECUACIÓN DEBERNOULLI
El principio de Bernoulli expresa que en un fluido ideal
(sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto
cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su
recorrido. La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres
componentes:
Cinética:es la energía debida a la velocidad que posea el fluido.
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Potencial gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido
posea.
Energía de flujo: es la energía que un fluido contiene debido a la
presión que posee.
Entonces la cantidad total de energía de estas tres formas que posee el
elemento de fluido será la suma representada con E:
Ecuación de Energía
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Si no se agrega energía al fluido o se pierde entre las secciones 1 y 2, entonces
el principio de conservación de la energía requiere que:
Ecuación de Bernoulli
PROBLEMA:
Esta fluyendo un aceite(S=0.84) desde el deposito A, a través de una tubería
de 15 cm diámetro y hasta el punto B. ¿Qué presión en tendrá que
actuar sobre A para que circulen 13 lps (litros por segundo) de aceite. Si por
fricción se pierde una carga igual a 23.5 y en la entrada a la tubería se
pierde 0.5 ?
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SOLUCION:
Ecuación de la Energía entre A y B
Resolviendo:
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TEOREMA DE TORRICELLI
El teorema de Torricelli primero tomamos en cuenta la Ecuación de Bernoulli
que nos dice:
Ecuación de Bernoulli
En este ejemplo clásico, el fluido está fluyendo del lado de un tanque por una
boquilla lisa redonda. Para determinar la velocidad del flujo que se obtiene en la
boquilla utilizamos la ecuación de Bernoulli entre el punto de referencia en la
parte superior del fluido y un punto en el chorro que se obtiene de la boquilla.
Pero como: es aproximadamente cero. Entonces resolviendo
para la se obtiene:
Haciendo h = , tenemos:
Ecuación de Torricelli
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PROBLEMA:
Un cilindro vertical de vidrio tiene un diámetro interior de 150 mm y un agujero taladrado cerca de la base. Se mantiene un nivel constante de agua de 350 mm por encima del agujero del que sale horizontalmente hacia el exterior un chorro de 5 mm de diámetro. ¿Cuál es la velocidad del agua a la salida del chorro?
SOLUCIÓN:
Del dibujo se observa que
Los puntos A y B están a la misma altura.
prácticamente nula.
En B la presión estática se reduce a la atmosférica yen A la presión es
Aplicando Bernoulli
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Consideramos que:
Entonces usamos el teorema de Torricelli
ECUACIÓN GENERAL DE LA ENERGÍA
La ecuación general de la energía, es una expansión de la ecuación de
Bernoulli, que hace posible resolver problemas en los que se presenta pérdidas
y adiciones de energía. La interpretación lógica se puede ver en la siguiente
imagen.
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Ecuación de la Energía
= Energía añadida o agregada al fluido por una bomba u otro dispositivo.
= Energía retirada o removida del fluido mediante un dispositivo mecánico,
por ejemplo una turbina.
= Perdidas de energía por parte del fluido por efecto de fricción o por
presencia de válvulas, conectores, y rugosidad de tuberías.
Al igual que con la ecuación de Bernoulli, cada término de la ecuación
representa una cantidad de energía por unidad de peso de fluido que fluye en
el sistema. Las unidades SI típicas son: N. m/N o metros. Las unidades en el
sistema Británico de Unidades son: Lb – pie/Lb o pie.
PERDIDAS DE CARGA POR ACCESORIOS Y FRICCIÓN
a) PÉRDIDAS DE ENERGÍA
Las pérdidas de energía por accesorios se dan por cambios de dirección y
velocidad del fluido en válvulas te, codos, aberturas graduales y súbitas entre
otros.
Las pérdidas por fricción se dan por el contacto del fluido con las paredes de
las tuberías y conductos que por lo general son rugosos.
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Pérdidas de energía debido a la fricción
Es dada por la ecuación de Darcy (utilizada para flujo laminar y turbulento)
Dónde:
= Longitud de la tubería
= Diámetro nominal del conducto
= Velocidad de flujo
= Coeficiente de fricción (adimensional)
Como obtener el coeficiente de fricción
Para calcular el coeficiente de fricción “f” se usa el diagrama de Moody, o las
siguientes ecuaciones.
El diagrama de Moody muestra el factor de fricción , graficado contra el
número de Reynolds , con una serie de curvas paramétricas relacionadas con
la rugosidad relativa
Para flujo laminar y tuberías sin rugosidad f= 64/ Re
Para flujo turbulento usar mejor la ecuación de P.K. SWANCE y A.K. JAIN.
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Pérdidas de energía por fricción en conductos no circulares
Reemplazar en la ecuación de Darcy D=4R
Se obtiene entonces
Pérdidas por accesorios
Dónde:
= perdida menores
= coeficiente de resistencia
= velocidad promedio
= El coeficiente de resistencia
es medido experimentalmente y
depende del tipo de accesorio y de
la velocidad promedio.
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Accesorios Típicos
Coeficiente de pérdida para componentes de tubería
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Pérdidas Menores: Válvulas
Las válvulas controlan el caudal por medio de un mecanismo para ajustar el
coeficiente de pérdida global del sistema al valor deseado. Al abrir la válvula se
reduce K, produciendo el caudal deseado.
Pérdidas Menores: Condiciones de flujo de entrada
Cuando un fluido pasa desde un estanque o depósito hacia una tubería, se
generan pérdidas que dependen de la forma como se conecta la tubería al
depósito (condiciones de entrada):
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Pérdidas Menores: Condiciones de flujo de salida
Una pérdida de carga (la pérdida de salida) se produce cuando un fluido pasa
desde una tubería hacia un depósito.
PROBLEMA:
De un recipiente grande fluye agua con una rapidez de 1.20pie³/s a través de
un sistema de conductos como el que se muestra en la figura. Calcule la
cantidad total de energía perdida del sistema debido a la presencia de la
válvula, los codos, la entrada del tubo y la fricción del fluido.
2
1
1
1
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SOLUCION:
Entonces utilizamos la Ecuación de la energía:
Q= 1.20 pie³/s
Superficie del recipiente expuesta a la atmosfera.
Corriente libre del fluido expuesta a la atmosfera.
El agua en el depósito se encuentra en reposo.
No hay dispositivos mecánicos en el sistema.
Despejamos y tenemos:
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Reemplazamos los valores hallados lo reemplazamos y tenemos:
NÚMERO DE REYNOLDS
El número de Reynolds ( ) es un número adimensional utilizado en mecánica
de fluidos, diseño de reactores y fenómenos de transporte para caracterizar el
movimiento de un fluido. Este número recibe su nombre en honor de Osborne
Reynolds (1842-1912), quien lo describió en 1883.
El número de Reynolds relaciona la densidad, viscosidad, velocidad y dimensión
típica de un flujo en una expresión adimensional, que interviene en numerosos
problemas de dinámica de fluidos.
El número de Reynolds es un indicador para determinar si un flujo es
laminar(número de Reynolds pequeño) o turbulento (número de Reynolds
grande).
Para un fluido que circula por el interior de una tubería circular recta, el número
de Reynolds viene dado por:
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O equivalentemente por: si se sabe que
Dónde:
: Densidad del fluido
: Velocidad característica del fluido
: Diámetro de la tubería a través de la cual circula el fluido o longitud
característica del sistema
: Viscosidad dinámica del fluido
: Viscosidad cinemática del fluido
Rangos de Importancia del :
Para aplicaciones prácticas en tuberías, si el Re es mayor a 4.000, el flujo
será turbulento, en tanto que si el Re es menor a 2.000, el flujo será
laminar.
En el rango entre 2.000 y 4.000 es imposible predecir qué flujo existe y a
esta zona se le llama Zona Crítica.
Números críticos de Reynolds
Para flujo en conductos, el número de Reynolds adopta la primera de las
expresiones anteriores.
Normalmente se trabaja con los siguientes rangos:
Si Re es menor o igual a 2000 entonces Flujo LAMINAR
Si Re es mayor o igual a 4000 entonces Flujo TURBULENTO
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Si 2000 < Re < 4000 Región CRÍTICA (no es posible predecir el
régimen del flujo).
Número crítico inferior de Reynolds: Valor del Reynolds por debajo del
cual el régimen es necesariamente laminar. Cualquier perturbación es
amortiguada por la viscosidad.
Uso del Diagrama de Moody
El diagrama de Moody se utiliza para ayudar a determinar el valor del factor
de fricción para el turbulento. Debe conocerse el valor del número de
Reynolds y la rugosidad relativa. Por tanto, los datos básicos que se
requieren son el diámetro interior de la tubería, el material de que esta
hecho, la velocidad del flujo y el tipo del fluido y su temperatura, a partir de
los cuales se determina la viscosidad.
PROBLEMA:
Se tiene un sistema de tubería de 4 pulgadas por donde circula un aceite de
densidad 58,9 , y una viscosidad de 1,5 centipoises, si la velocidad
media es . Determine su número de Reynolds.
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SOLUCION:
Los valores de las variables son:
=
= =
=
Aplicando la fórmula:
Nota: se observa que
las dimensiones se
cancelan, de forma que
el número de Reynolds
es adimensional.
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ECUACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO E
IMPULSO
Ecuación de la Fuerza:
Siempre que la magnitud o dirección de la velocidad de un cuerpo cambie, se
requiere una fuerza para llevar a cabo dicho cambio. La segunda ley de Newton
del movimiento se utiliza con frecuencia para expresar este concepto en forma
matemática; la manera más común es:
En la ecuación es apropiada para la utilización con cuerpos sólidos. Puesto que
la masa permanece constante y la aceleración del cuerpo completo se puede
determinar. El problema de flujo de fluidos, un flujo continuo provoca que se
presente una aceleración, por lo que es apropiada una forma diferente de la
ecuación de Newton.
Eltérmino puede interpretarse como la velocidad de flujo de masa, esto es, la
cantidad de masa fluyendo en un determinado lapso. Donde, M se relaciona
con la velocidad del flujo de masa Q por la relación:
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Donde es la densidad del fluido. Por consiguiente se puede decir que:
Ecuación de la Fuerza
Ecuación de Impulso – Movimiento:
La ecuación de fuerza se relaciona con otro principio de la dinámica de fluidos,
la ecuación impulso – momento. El impulso se define como la fuerza que actúa
sobre un cuerpo en un periodo y se indica por:
La cual depende del cambio total en tiempo es apropiada cuando se este
tratando con condiciones del flujo estacionario. Cuando cambien las
condiciones, se utiliza:
Donde es la cantidad de cambio en tiempo expresada en forma diferencial. El
momento se define como el producto de la masa de un cuerpo y su velocidad.
El cambio de momento es :
En un sentido instantaneo:
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En donde se puede agrupar con la ecuación de la energía:
Con eso se demuestra la ecuación impulso – momento para condiciones de flujo
estacionario.
PROBLEMA:
Un chorro de agua de una pulgada de diámetro que tiene una velocidad de 20
pies/s se deflecta por medio de una paleta curvada a 90°, como se muestra en
la figura. El chorro fluye libremente en la atmosfera sobre un plano horizontal.
Calcule las fuerzas x e y que ejerce la paleta sobre el agua.
Chorro de agua
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SOLUCION:
Por consiguiente: Suponiendo que
Para la dirección “y”, suponiendo que , la fuerza es:
V1
V2
Rx
+x
+y
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CAPA LÍMITE
En el proceso del movimiento de un fluido aparecen las siguientesfuerzas sobre
el volumen de control del sistema
a) Fuerzas de presión, normales a la superficie de control debido a la
diferencia de presión.
b) Fuerza gravitatoria, por efecto del campo gravitatorio sobre la
masadel fluido.
c) Fuerza viscosa, debida a los efectos viscosos producidos durante el
movimiento del fluido en las proximidades de la superficie de control.
La fricción del fluido viscoso sobre la superficie del sólido provoca una tensión
de cizalladura proporcional al gradiente vertical de velocidades. La distribución
de velocidades va desde cero en el contacto con la superficie hasta la velocidad
máxima para las zonas alejadas de la superficie. La región comprendida entre
ambos estados se denomina capa límite superficial.
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, es la viscosidad
que en el caso de
fluidos newtonianos
es constante.
Según la geometría de la capa límite en el interior del volumen de
control, los procesos pueden ser de flujo externo o flujo interno.
