ECUACIONES BICUADRADASTema 7

LÓGICO MÁTEMATICA

DOCENTE: Mg. ROBERTH MANUEL RIVAS MANAY

Ecuaciones BICUADRADAS• ECUACIÓNES BICUADRADAS.‑

• Son aquellas que, mediante un cambio de variable, se transforman en ecuaciones de segundo grado.

• • Tiene la forma a.x4 + b. x2 + c = 0

• Si hacemos x2 = y , tenemos que x4 = y2 quedando:• a.y2 + b. y + c = 0 , que es una ecuación de segundo grado.

• También tienen la forma a.x6 + b. x3 + c = 0

• Si hacemos x3 = y , tenemos que x6 = y2 quedando:• a.y2 + b. y + c = 0 , que es una ecuación de segundo grado.

• IMPORTANTE: En ambos casos hay que deshacer el cambio, pues hay que hallar el valor de la variable x , no de la variable y.

• EJEMPLO_1 DE ECUACIÓNES BICUADRADAS.‑

• Sea x4 - 13.x2 + 36 = 0

• Si hacemos x2 = y , tenemos que x4 = y2 quedando:• y2 - 13. y + 36 = 0 , que es una ecuación de segundo grado.

• -(-13) +/- √[(-13)2 – 4.1.36]• Resolviéndola: y = -------------------------------------- = • 2.1• 13 +/- √[169 – 144] 13 +/- √ 25 13 +/- 5 • = ---------------------------- = ------------------ = -------------- = 9 y 4• 2 2 2

• Deshacemos el cambio:

• Si x2 = y = 9 x = +/- √ 9 x = +/- 3 x1 = 3 , x2 = -3

• Si x2 = y = 4 x = +/- √ 4 x = +/- 2 x3 = 2 , x4 = -2

• Que son las 4 raíces, ceros o soluciones de la ecuación dada.

• EJEMPLO_2 DE ECUACIÓNES BICUADRADAS.‑

• Sea 3.x4 - 74.x2 - 25 = 0

• Si hacemos x2 = y , tenemos que x4 = y2 quedando:• 3.y2 - 74. y - 25 = 0 , que es una ecuación de segundo grado.

• -(-74) +/- √[(-74)2 – 4.3.(-25)]• Resolviéndola: y = ----------------------------------------- = • 2.3• 74 +/- √[5476 + 300] 74 +/- √ 5776 74 + /- 76 • = ---------------------------- = ---------------------- = -------------- = 25 y - 1 / 3• 6 6 6

• Deshacemos el cambio:

• Si x2 = y = 25 x = +/- √ 25 x = +/- 5 x1 = 5 , x2 = - 5

• Si x2 = y = - 1/3 x = +/- √ - 1/3 x3 y x4 no son reales

• Que son las 4 raíces, dos reales y dos no reales.

• EJEMPLO DE ECUACIÓNES BICUADRADAS.‑

• Sea x6 - 9.x3 + 8 = 0

• Si hacemos x3 = y , tenemos que x6 = y2 quedando:• y2 - 9. y + 8 = 0 , que es una ecuación de segundo grado.

• -(-9) +/- √[(-9)2 – 4.1.8]• Resolviéndola: y = ---------------------------------- = • 2.1• 9 +/- √[81 – 32] 9 +/- √ 49 9 +/- 7 • = ----------------------- = ------------------ = -------------- = 8 y 1• 2 2 2

• Deshacemos el cambio:• 3 • Si x3 = y = 8 x = √ 8 x = 2 x1 = 2 , x2 y x3 no reales• 3 • Si x3 = y = 1 x = √ 1 x = 1 x4 = 1 , x5 y x6 no reales

• Que son las 6 soluciones de la ecuación dada, de ellas sólo 2 son reales.