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Resolución de una ecuación trigonométrica, paso a paso.
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HKV TEXVictor Solano Mora
1Tema: Ecuaciones trigonométricas
Obtener el conjunto solución de
2 ⋅ senx ⋅ cosx − cos2 x + sen2 x = 0
Solución:
Primero se factoriza un −1 en los términos que están al cuadrado y se agrupan con paréntesis de lasiguiente manera:
(2 ⋅ senx ⋅ cosx) − (cos2 x − sen2 x) = 0
Ahora se aplican las identidades de ángulo doble para el seno y el coseno, las cuales corresponden asen(2x) = 2 ⋅ senx ⋅ cosx y cos(2x) = cos2 x − sen2 x, entonces obtenemos:
sen(2x) − cos(2x) = 0
Lo anterior es equivalente a tener:
sen(2x) = cos(2x)Esta última ecuación se puede dividir por cos(2x) y obtenemos:
tan(2x) = 1
En este punto, se resuelve la ecuación en el intervalo [0,2π[, de donde se obtiene que:
2x = π4 ∨ 2x = 5π4
Las cuales son equivalentes a tener:
x = π8 ∨ x = 5π8
Finalmente, ampliamos el conjunto solución a todos los reales añdiendo el periodo de tan(2x) que esπ
2 ,de esta forma el conjunto solución queda:
S = {x ∈ R/x = π8 + kπ2 , con k ∈ Z}