FRM Lecture 5

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Рыночный рискТоварыВведениеФьючерсыХеджированиеАкцииОпционыGreeksLTCM

Управление финансовыми рискамиЗанятие 5

А.В. Сурков

Факультет экономикиЕвропейский университет в Санкт-Петербурге

9 мая 2011 г.


рисками

А.В. Сурков


Содержание

Рыночный рискТоварные рынки

ВведениеФьючерсыХеджирование

Рынок акцийОпционыGreeks

LTCM


рисками

А.В. Сурков


Содержание

Рыночный рискТоварные рынки

ВведениеФьючерсыХеджирование

Рынок акцийОпционыGreeks

LTCM


рисками

А.В. Сурков


Товары (1)

I Продукты сельского хозяйстваI Зерно (пшеница, ячмень, рис, овес)I Масличные (соя, рапс, плоды масличной пальмы,

льняное семя)I Мягкие товары (softs) (кофе, какао, сахара, хлопка,

чай, перец)I Шерсть, шелк, тканиI Скот, мясные продукты, молоко, сырI Фрукты, сок

I МеталлыI Неблагородные металлы (цинк, алюминий, свинец,

никель)I Стратегические металлы (висмут, ванадий)I Младшие (minor) металлы (хром, кобальт)I Благородные металлы (золото, серебро, палладий,

платина)


рисками

А.В. Сурков


Товары (2)

I ЭнергоносителиI Сырая нефть, бензин, авиационный керосин, мазут,

другие нефтепродуктыI Природный газ, сжиженный природный газI Уголь

I ЭлектроэнергияI Квоты на выбросы (green trading)

I Диоксид серыI Оксиды азотаI Парниковые газы

I Погода


рисками

А.В. Сурков


Контракты

I СпотI ФьючерсыI Опционы на фьючерсыI Товарные свопы


рисками

А.В. Сурков


Доставка (1)

I In store – за доставку до обусловленного складаотвечает продавец

I Ex store – за доставку до обусловленного склада ипогрузку отвечает продавец

I Free on board (FOB) – франко-борт, продавецвыполнил поставку, когда товар перешел черезпоручни судна в обусловленном порту


рисками

А.В. Сурков


Доставка (2)

I Free alongside ship (FAS) – продавец несет всерасходы по страхованию и транспортировке грузавплоть до доставки товара к борту судна; покупательсамостоятельно организует погрузку итранспортировку товара до места назначения

I Cost, insurance and freight (CIF) – продавец несет всерасходы по доставке товара в порт отгрузки,страхованию товара, погрузке и фрахту до портаназначения

I Exchange for futures or physicals (EFP) – возможенобмен физической позиции на фьючерс


рисками

А.В. Сурков


Форвардная цена

I Convenience yield (y > 0)/Storage cost (y < 0)

Fte−rτ = Ste

−yτ

I Contango – фьючерсы торгуются с премией поотношению к цене спот (y < r)

I Backwardation – фьючерсы торгуются со скидкой поотношению к цене спот (y > r)

I Причина «перевернутого рынка», в основном,состоит в нехватке текущих запасов товара. Поэтомурынок золота почти всегда в contango


рисками

А.В. Сурков


Отступление: MGRM (1)

I Metallgesellschaft Refining & MarketingI 1992: начала ежемесячную продажу 10-летних

контрактов на поставку нефти по фиксированнойцене выше цены спот

I MGRM хеджировала позицию покупкойкраткосрочных фьючерсов NYMEX (по цене нижецены спот, т.е. дешевле, чем продавала)

I 1993: рынок перешел от backwardation к contango истратегия MGRM стала приносить убытки(фьючерсная цена стала выше спот и, порой, вышецены продажи по контракту MGRM)


рисками

А.В. Сурков


Отступление: MGRM (1)

I Цены на нефть упали, а так как размер позиций былгигантским из-за margin call по хеждирующимпозициям возникли проблемы с ликвидностью

I Потери $1.3 млрд.I Однако, можно предположить, что, даже если бы

MGRM осталась на рынке, другие участники рынкане преминули бы поживиться за ее счет из-за еебольшой постоянной потребности в краткосрочныхфьючерсах


рисками

А.В. Сурков


Оптимальное хеджирование

δV = δS + NδF

σ2δV = σ2δS + N2σ2δF + 2Ncov (δS , δF )

∂σ2δV∂N

= 0 ⇒ N∗ =cov (δS , δF )

σ2δF= ρδSδF

σδSσδF

δS = α + βδF + ε ⇒ N∗ = β̂

σ2δV∗

= σ2δS −[cov (δS , δF )]2

σ2δF

R2 =σ2δS − σ2δV

∗

σ2δS= ρ2δSδF

σ∗δV = σ∗δS

√1− R2


рисками

А.В. Сурков


Задача

Авиакомпании потребуется 10 000 тонн керосина через3 месяца. Компания опасается повышения цен и хочетиспользовать для хеджирования фьючерсы NYMEX нанефть.

I Номинал фьючерса на нефть 42 000 галлоновI Текущая цена керосина S = $277/тоннаI Фьючерсная цена нефти F = $0.6903/галлонI σδS/S = 21.17%, σδF/F = 18.59%,

corr (δS/S , δF/F ) = 0.8243

I Должна ли компания купить или продатьфьючерсы? Найти σδS , N∗, σ∗δV


рисками

А.В. Сурков


Ответ

I σδS = 0.2117 · 277 · 10 000 = 586 409

I σδF = 0.1859 · 0.6903 · 42 000 = 5 390

I Нужно купить N∗ = 0.8243 · 586 409/5 390 ' 90контрактов

I R2 = 0.82432 = 0.6795

I σ∗δV = 586 409√

1− 0.6795 ' 332 000


рисками

А.В. Сурков


Ответ

I σδS = 0.2117 · 277 · 10 000 = 586 409

I σδF = 0.1859 · 0.6903 · 42 000 = 5 390


I R2 = 0.82432 = 0.6795

I σ∗δV = 586 409√

1− 0.6795 ' 332 000


рисками

А.В. Сурков


Ответ

I σδS = 0.2117 · 277 · 10 000 = 586 409

I σδF = 0.1859 · 0.6903 · 42 000 = 5 390


I R2 = 0.82432 = 0.6795

I σ∗δV = 586 409√

1− 0.6795 ' 332 000


рисками

А.В. Сурков


Ответ

I σδS = 0.2117 · 277 · 10 000 = 586 409

I σδF = 0.1859 · 0.6903 · 42 000 = 5 390


I R2 = 0.82432 = 0.6795

I σ∗δV = 586 409√

1− 0.6795 ' 332 000


рисками

А.В. Сурков


Ответ

I σδS = 0.2117 · 277 · 10 000 = 586 409

I σδF = 0.1859 · 0.6903 · 42 000 = 5 390


I R2 = 0.82432 = 0.6795

I σ∗δV = 586 409√

1− 0.6795 ' 332 000


рисками

А.В. Сурков


Обозначения

I St – цена спот базового активаI Ft – текущая форвардная цена базового активаI K – цена исполнения контрактаI ft , ct , pt– текущая цена производного финансового

инструментаI r – безрисковая ставкаI y – дивидендная доходность (зарубежная ставка

процента)I σ – волатильность цены базового активаI τ = T − t – время до момента исполнения


рисками

А.В. Сурков


Цена форвардного контракта

Для покупателя цена форвардного контракта

ft = Ste−yτ − Ke−rτ


рисками

А.В. Сурков


Цена европейского опциона

ct = Ste−yτN(d1)− Ke−rτN(d2)

pt = Ste−yτ [N(d1)− 1]− Ke−rτ [N(d2)− 1]

N(d) =1√2π

d∫−∞

e−x2/2dx

d1 =ln (Ste

−yτ/Ke−rτ )

σ√τ

+σ√τ

2

d2 = d1 − σ√τ


рисками

А.В. Сурков


Пример: цена опциона call

0

2

4

6

8

10

12

14

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

C

S

tau=0tau=10tau=30tau=60tau=90

r = 2%, y = 0, K = 100, σ = 30%


рисками

А.В. Сурков


Пример: цена опциона put

0

2

4

6

8

10

12

14

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

P

S

tau=0

tau=10

tau=30

tau=60

tau=90

r = 2%, y = 0, K = 100, σ = 30%


рисками

А.В. Сурков


Дельта для опциона call

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

Delta

S

tau=1

tau=10

tau=30

tau=60

tau=90

∆c =∂ct∂St

= e−yτN(d1)


рисками

А.В. Сурков


Дельта для опциона put

1,0

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

Delta

S

tau=1

tau=10

tau=30

tau=60

tau=90

∆p =∂pt∂St

= e−yτ [N(d1)− 1]


рисками

А.В. Сурков


Гамма для опционов call и put

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

Gamma

S

tau=10

tau=30

tau=60

tau=90

Γc = Γp =∂2ct∂S2

t

=1

σSt√

2πτe−d

21/2−yτ


рисками

А.В. Сурков


Вега для опционов call и put

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

Vega

S


Λc = Λp =∂ct∂σ

=St√τ√

2πe−d

21/2−yτ


рисками

А.В. Сурков


Ро для опциона call

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

Rho

S


ρc =∂ct∂r

= Kτe−rτN(d2)


рисками

А.В. Сурков


Ро для опциона put

‐20

‐18

‐16

‐14

‐12

‐10

‐8

‐6

‐4

‐2

0

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

Rho

S


ρp =∂pt∂r

= −Kτe−rτN(−d2)


рисками

А.В. Сурков


Чувствительность к y для опциона call

‐22

‐17

‐12

‐7

‐2

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

Rho*

S


ρ∗c =∂ct∂y

= −Stτe−yτN(d1)


рисками

А.В. Сурков


Чувствительность к y для опциона put

0

2

4

6

8

10

12

14

16

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

Rho*

S


ρ∗p =∂pt∂y

= Stτe−yτN(−d1)


рисками

А.В. Сурков


Тета

Θc =∂ct∂t

= −∂ct∂τ

=

− Stσ

2√

2πτe−d

21/2−yτ + ySte

−yτN(d1)− rKe−rτN(d2)

Θp =∂pt∂t

= −∂pt∂τ

=

− Stσ

2√

2πτe−d

21/2−yτ − ySte

−yτN(−d1) + rKe−rτN(−d2)

Θ +1

2σ2S2

t Γ + (r − y)St∆ = rft


рисками

А.В. Сурков


Тета для опциона call (из расчета на день)

0,35

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

Thetape

rday

S

tau=1

tau=10

tau=30

tau=60

tau=90


рисками

А.В. Сурков


Тета для опциона put (из расчета на день)

0,35

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

0,05

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110

Thetape

rday

S



рисками

А.В. Сурков


VaR

VaR(dc) = ∆ · VaR(dS)− 1

2Γ [VaR(dS)]2


рисками

А.В. Сурков


Отступление: LTCM (1)

I Long-Term Capital Management (LTCM) – хедж-фонд,основан в 1994 главой отдела по торговлеоблигациями Salomon Brothers, капитал $4.7 млрд. Вправление входили Myron Scholes и Robert C. Merton

I Демонстрировал доходность до 40% в первые годы(правда, SP500 рос примерно также)

I Одна из стратегий LTCM состояла в открытиипозиций с нулевой дюрацией. При этом фонд беретна себя риск, связанный со спредом


рисками

А.В. Сурков



I Фонд ожидал спокойного рынка и сокращенияспредов

I Продавал облигации Германии, покупал другиеевропейский облигации, ожидая сокращения спредовв связи с введением зоны Евро. Так и произошло, ноне сразу!

I Покупал облигации Бразилии и Аргентины,продавал казначейские облигации, однакокредитные спреды возросли

I Ожидал, что ставки в России упадут, а в Япониивырастут. В Японии ставки упали, а Россияобъявила дефолт


рисками

А.В. Сурков



I Фонд приобретал свопы (получал fixed, платил float),продавал вкороткую казначейские облигации.

I 21 августа 1998 г. произошли события, совпадениекоторых нетипично:

I доходность к погашению казначейских облигацийупала с 5.38% до 5.32%

I плавающая ставка возросла с 6.01% до 6.05%

I Это привело к потерям $400 млн.I Кроме того, LTCM продавал опционы, когда они

казались дешевыми, осуществляя динамическоехеждирование

I Рост волатильности 21 августа 1998 г. привел крезкому удорожанию опционов

I Это привело к потерям $550 млн.

Education

FRM Lecture 5