Introducción a la probabilidad

INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

Lic. Rosa Magallón M.


En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones en las que los resultados observados son diferentes aunque las condiciones iniciales en las que se produce la experiencia sean las mismas. Por ejemplo, al lanzar una moneda unas veces resultará cara y otras cruz.. Estos fenómenos, denominados aleatorios, se ven afectados por la incertidumbre.

En el lenguaje habitual, frases como "probablemente...", "es poco probable que...", "hay muchas posibilidades de que..." hacen referencia a esta incertidumbre.

La teoría de la probabilidad pretende ser una herramienta para modelizar y tratar con situaciones de este tipo. Por otra parte, cuando aplicamos las técnicas estadísticas, análisis e interpretación de los datos, la teoría de la probabilidad proporciona una base para evaluar la fiabilidad de las conclusiones alcanzadas y las inferencias realizadas. Debido al importante papel desempeñado por la probabilidad dentro de la estadística, es necesario familiarizarse con sus elementos básicos, lo que constituye el objetivo de esta clase.

Comenzamos con una motivación sobre la incertidumbre y los distintos grados de incertidumbre, relacionándolos de manera intuitiva con los enfoques más tradicionales para asignar probabilidades. Posteriormente, se introduce el sentido de la probabilidad en términos de experimentos aleatorios, espacio muestral, sucesos, etc. , llegando a la formalización axiomática de la probabilidad y sus principales propiedades, junto con las expresiones de la probabilidad condicionada.

Objetivos de la clase

Familiarizar al estudiante con experiencias de la vida cotidiana en las que interviene el azar. Comprender los enfoques de la probabilidad más usuales así como sus peculiaridades, ventajas e inconvenientes. Manejar el lenguaje de la probabilidad, sus propiedades y aplicarlo a problemas concretos.


1.1. CONCEPTO DE PROBABILIDAD

Se entiende por Probabilidad , la posibilidad de que ocurra un evento en particular. También, se puede considerar como la frecuencia relativa con que ocurre un evento.

Se denomina: “VEHÍCULO DE LA ESTADÍSTICA”

1.2. ENFOQUES DE PROBABILIDAD

La Probabilidad de un evento puede obtenerse de tres formas o en base a tres enfoques:

Clásica a priori

Clásica empírica

Subjetiva


Probabilidad Clásica a priori:

Se refiere al caso mas sencillo de probabilidad. En este caso, la probabilidad de éxito se basa en el conocimiento a priori o previo del proceso involucrado.

N(A)P(A) = ----- N(S)

Donde:

N(A): resultados elementales posibles son favorables en el evento A

N(S): posibles resultados en el espacio muestral

EJEMPLO 1

Si lanzamos una moneda y definimos el evento “que salga sello”

¿Cuál es la probabilidad de que salga sello?

1P(A) = ----- = 0.5 2

Sea A = {Salga sello}

EJEMPLO-2

Si se lanza un dado una vez, el número de eventos posibles

1,2,3,4,5,6

¿Cuál es la probabilidad de obtener el número 3?

1P(A) = ----- = 0.17 6

Sea A = {Salga un 3}


Probabilidad Clásica empírica:

Se requiere de la observación y de la recopilación de datos. También se le denomina a posteriori, ya que el resultado se obtiene después de realizar el experimento un cierto número de veces.

Número de Observaciones n(A)P(A) = --------------- = ----- Tamaño de la muestra n


En una encuesta hecha con una muestra de 250 hogares, se encontró que 100 tenían aire acondicionado,

EJEMPLO-3

¿Cuál es la probabilidad de que un hogar seleccionado en forma aleatoria tenga aire acondicionado ?

100P(A) = ----- = 0.4 250

Sea A = {Hogar tenga aire acondicionado}

1.2. ENFOQUE DE PROBABILIDAD

Probabilidad Subjetiva:

Se refiere a la posibilidad de la ocurrencia de un evento que es asignada por una persona en particular en base a su experiencia o conocimiento.

1.2. ENFOQUE DE PROBABILIDAD

Probabilidad Subjetiva:

Es la posibilidad de que suceda un evento específico, asignada por una persona, basándose en cualquier información disponible.

Si existe poca o ninguna posibilidad en la cual se pueda basar una probabilidad, puede determinarse en forma subjetiva

EJEMPLO-4:

• Estimar la probabilidad de que el equipo de fútbol nacional gane un partido en una copa internacional.

• Estimar la probabilidad de obtener una A en un examen

• Estimar la probabilidad de que el valor de las acciones en la bolsa aumente

1.3. EXPRESIÓN DE LA PROBABILIDAD

Sea P la letra empleada para designar la probabilidad de un evento A , entonces:

• El valor mas pequeño de una probabilidad es 0, el cual indica que un evento es imposible.

• El mayor valor es 1, el cual indica que el evento ocurrirá.

P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A en una sola observación o experimento

En general, 0 ≤ P(A) ≤ 1 , es decir,

IMPORTANTE: NINGUNA PROBABILIDAD PUEDE SER MENOR QUE 0 NI MAYOR A 1.

PRÁCTICA:

Para cada una de las siguientes situaciones, indicar cuál de los enfoques: clásico, a priori y subjetivo sería más útil para determinar el valor de probabilidad adecuado.

1. La probabilidad de que de un embarque de 20 repuestos, un repuesto escogido al azar resulte defectuoso.

2. La probabilidad de que las acciones de una empresa X suban 50 puntos durante los próximos seis meses.

3. La probabilidad de que una persona escogida al azar entre las que entran a un almacén haga una compra.

4. La probabilidad de que al lanzar un dado salga un uno o un seis.

1.4. INDEPENDENCIA DE SUCESOS O EVENTOS

Dados dos eventos A y B, se dice que son:

•Independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro

•Dependientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro evento. Cuando dos eventos son dependientes , se emplea el concepto de probabilidad condicional, P (A/B) (probabilidad de A dado B).

Ejemplo:

•Los resultados de lanzar al aire dos veces sucesivamente una moneda no cargada se consideran eventos independientes porque el resultado del primer lanzamiento no tiene efecto sobre las probabilidades respectivas de que ocurra cara o sello en el segundo lanzamiento.

1.5. SUCESOS Y OPERACIONES

Los elementos básicos de la teoría de probabilidad son los resultados del proceso o fenómeno que se estudia. Cada tipo de ocurrencia posible se conoce como evento o suceso.

Un evento simple lo describe una sola característica. A la unión de todos los eventos posibles se le llama espacio muestral.

Para comprender mejor el concepto de evento, se presenta el siguiente ejemplo:

En una encuesta entre mil hogares, se pregunta a los encuestados si planean comprar un televisor de pantalla plana. Un año después se vuelven a encuestar los mismos hogares para conocer si efectivamente compraron el televisor. Los resultados aparecen en la siguiente tabla:

1.5.1. SUCESOS O EVENTOS

Planeó comprar SI NO TOTALSI 200 50 250

NO 100 650 750Total 300 700 1,000

Compró realmente

COMPORTAMIENTO EN LOS 1,000 HOGARES ENCUESTADOSQUE COMPRARON TELEVISORES DE PANTALLA PLANA



El espacio muestral en este caso está integrando por el conjunto de los 1,000 hogares encuestados. Los eventos o sucesos dentro del espacio muestral depende de cómo se desee clasificar los resultados.

Los posibles eventos en este caso serían:



Planear comprar y no planear comprar

Compró realmente y no compró realmente

La forma en que se subdivide el espacio muestral depende del tipo de probabilidades que se determinarán


5.4.2. OPERACIONES CON EVENTOS

Los eventos dentro de un espacio muestral pueden ocurrir de diversas maneras, por lo que es necesario conocer las operaciones involucradas para obtener las probabilidades. Estas operaciones son:

• Complemento:

Si A denota la ocurrencia de un evento y A´ denota la no ocurrencia de este mismo evento, entonces:

P(A´) = 1 – P(A) o lo que es lo mismo,

P(A) + P(A´) = 1

En el ejemplo anterior se tiene el evento “planear comprar”, el complemento sería “ no planear comprar”



Los eventos dentro de un espacio muestral pueden ocurrir de diversas maneras, por lo que es necesario conocer las operaciones involucradas para obtener las probabilidades. Estas operaciones son:

• Complemento:

Si A denota la ocurrencia de un evento y A´ denota la no ocurrencia de este mismo evento, entonces:

P(A´) = 1 – P(A) o lo que es lo mismo,

P(A) + P(A´) = 1

En el ejemplo anterior se tiene el evento “planear comprar”, el complemento sería “ no planear comprar”


1.5.2. OPERACIONES CON EVENTOS• Multiplicación:

Se utiliza cuando se quiere determinar la probabilidad de ocurrencia conjunta de dos eventos A y B, lo que sería la intersección de A y B. A esta probabilidad se le llama probabilidad conjunta.

Hay dos variaciones de la regla de multiplicación, una es para eventos independientes y otra para eventos dependientes.

Para eventos independientes , la regla de multiplicación es la siguiente:

P(A y B) = P(A) * P(B)

Para eventos dependientes es la siguiente:

P(A y B) = P(A) * P(B/A) donde

P(B/A) es la probabilidad condicional del evento B dado el evento A



• Probabilidad Condicional:

Cuando se calcula la probabilidad de un evento específico A, dada la información de otro evento B, esta probabilidad se llama “probabilidad condicional”.

La probabilidad condicional se denota P(A/B), se lee “probabilidad de A dado B” y se define de la siguiente manera:

P(A/B) = P(A y B)

P(B)

1.6. VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES

Una variable aleatoria es aquella que asume diferentes valores a consecuencia de los resultados de un experimento aleatorio.

En el cálculo de probabilidades estas variables pueden ser unidimensionales o bidimensionales.

Son unidimensionales cuando se refieren a la probabilidad de un evento simple o probabilidad marginal.

En el ejemplo de los 1,000 hogares encuestados la probabilidad de planear comprar sería una probabilidad marginal. La variable aleatoria en este caso depende de un solo resultado.

P(planear comprar) = total que planeó comprar

total de encuestados

= 250/1,000 = 0.25

1.7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

Una variable aleatoria es bidimensional cuando se refiere a fenómenos que contienen dos o más eventos, por lo tanto la probabilidad asociada depende de estos eventos en conjunto.

A esta probabilidad se le llama probabilidad conjunta.

En el ejemplo de los 1,000 hogares encuestados la probabilidad de planear comprar y comprar en realidad se basa en los dos eventos. La variable aleatoria en este caso depende de dos resultados.P(planear comprar y comprar en realidad) = total que planeó comprar y en realidad compró

total de encuestados

= 200/1,000 = 0.20

Las tablas en donde se presentan los resultados correspondientes a la distribución conjunta de varias variables se llaman Tablas de Contingencia.

EJEMPLO PRÁCTICO No. 1

La tabla siguiente contiene los datos sobre el ingreso familiar anual de 500 familias.

En base a los datos obtenidos, calcular:

Número deCategoría Nivel de Ingreso Familias

1 Menos 8000 602 8,000 - 12,999 1003 13,000 - 19,999 1604 20,000 - 29,999 1405 30,000 y más 40

Total 500

INGRESO ANUAL FAMILIAR PARA 500 FAMILIAS

EJEMPLO PRÁCTICO No. 11. La probabilidad de que una familia escogida aleatoriamente tenga

un ingreso de:

a) entre 8,000 y 12,999

b) menos de 13,000

c) menos de 8,000 ó por lo menos 30,000

Observación: cada nivel de ingreso será nombrado en base a la categoría (del 1 al 5)

Solución:

a) P (2) = 100/500 = 0.20

b) P (1 ó 2) = P(1) + P(2) porque son eventos independientes

= 60/500 + 100/500

= 160/500 = 0.32

c) P ( 1 ó 5) = P(1) + P(5)

= 60/500 + 40/500

= 100/500 = 0.20


Edad Hombre Mujer TOTALMenos de 30 60 50 110

30 y más 80 10 90Total 140 60 200

Sexo

TABLA DE CONTINGENCIA DE LOS CLIENTES DE UNALMACÉN DE EQUIPOS DE SONIDO

La tabla de contingencia presentada a continuación describe a 200 personas que entraron a un almacén de equipos de sonido, de acuerdo con su sexo y edad.

En base a la Tabla de contingencia dada, calcular:

1. Una Tabla de Probabilidad Conjunta

2. La probabilidad de que un cliente sea menor de 30 años

3. La probabilidad de que un cliente sea mujer

4. La probabilidad de que un cliente sea hombre

5. La probabilidad de que un cliente sea hombre dado que es menor de 30 años


Solución:1. Tabla de Probabilidad Conjunta:

Edad Hombre Mujer TOTALMenos de 30 0.30 0.25 0.55

30 y más 0.40 0.05 0.45Total 0.70 0.30 1.00

TABLA DE PROBABILIDAD CONJUNTA DE LOS CLIENTESDE UN ALMACÉN DE EQUIPOS DE SONIDO

Sexo

Para obtener el valor de cada probabilidad marginal se divide cada casilla entre el total de datos (200). Ejemplo:

Casilla 1= 60/200= 0.3 Casilla 2= 50/200=0.25


2. Probabilidad de que un cliente sea menor de 30 años

P(Cliente < 30 años) = 0.55

3. Probabilidad de que un cliente sea mujer

P (Cliente sea mujer ) = 0.30

4. Probabilidad de que un cliente sea hombre

P (Cliente sea hombre) = 0.70

5. Probabilidad de que un cliente sea menor de 30 años dado que es hombre.

P ( menor de 30 / hombre) = P (menor de 30 y sea hombre)

P (sea hombre)

= 0.30/0.70

= 0.43


LECTURAS RECOMENDADAS

http://www.consumer.es/web/es/economia_domestica/sociedad-y-consumo/2005/06/02/142588.php

http://www.monografias.com/trabajos32/teoria-probabilidades/teoria-probabilidades.shtml

Education

Introducción a la probabilidad