Ligouras mat v_esame_quesintdef2011_01

LIGOURAS Panagiote

I.I.S. “Leonardo da Vinci – Galileo Galilei” Noci (BA)

Matematica e Informatica

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ESAME DI STATOMatematica Liceo Scientifico

Integral i definit iI ta l ia , Europa e Amer iche – anni 2011 -2015

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Panagiote LIGOURAS 02 / ++ Versione 2016-01

Integrali definiti

Se f(x) è continua in [a; b], esiste un numero c ϵ [a; b] tale

he f(c) è uguale al valore medio della funzione in [a; b]

𝒇 𝒄 =𝟏

𝒃 − 𝒂 𝒂

𝒃

𝒇 𝒙 𝒅𝒙

Se f(x) è una funzione continua in [a; b] ed F(x) è una sua

primitiva, allora:

𝒂

𝒃

𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒃 − 𝑭 𝒂

Se f(x) è una funzione continua in [a; b] ed F(x) definita in

[a; b] è la funzione integrale associata a f(x), definita da:

𝑭 𝒙 = 𝒂

𝒙

𝒇 𝒕 𝒅𝒕

Allora la F(x) è derivabile in [a; b] e risulta:

F’(x) = f(x)

per ogni x del intervallo [a; b]


Integrali definiti

Area S della regione di piano limitata dai grafici di due

funzioni f e g continue in [a; b] e tali che f(x) ≥ g(x)

𝑺 = 𝒂

𝒃

𝒇 𝒙 − 𝒈 𝒙 𝒅𝒙

Volume V di un solido limitato da due piani

perpendicolari all’asse x, passanti per (a; 0) e (b; 0).

Volume V del solido generato nella rotazione completa

intorno all’asse x del trapezoide limitato dal grafico di

una funzione continua f nell’intervallo [a; b]

𝑽 = 𝒂

𝒃

𝑺 𝒙 𝒅𝒙

𝑽 = π 𝒂

𝒃

𝒇 𝒙 𝟐 𝒅𝒙

Essendo S(x) l’area della sezione del solido ottenuta con un piano perpendicolare all’asse delle ascisse e passante per il punto di coordinate (x; 0)


Integrali definiti – Quesito n.3 – Italia – 2011

Il volume richiesto si ottiene sottraendo al volume del cilindro di raggio 2 e altezza 8 (generato dalla rotazione attorno all’asse y del segmento AB) il volume del solido ottenuto dalla rotazione attorno all’asse y, relativo all’intervallo [0; 8], dell’arco di equazione:

𝑥 = 3 𝑦

Quindi,



L’area richiesta è data da:

1

𝜋2𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 −

𝜋2

2

𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 =

= 𝑠𝑒𝑛𝑥 1

𝜋2 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝜋

2

2 = ⋯ =

= 1 − 𝑠𝑒𝑛1 − 𝑠𝑒𝑛2 + 1 = 2 − 𝑠𝑒𝑛1 − 𝑠𝑒𝑛2 ≅ 𝟎. 𝟐𝟓



Il volume richiesto si può ottenere utilizzando il cosiddetto metodo dei “gusci cilindrici”, che conduce alla formula:

Nel nostro caso si tratta di calcolare l’integrale:

𝑉 = 2𝜋 0

𝑎

𝑥 ∙ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑉 = 2𝜋 0

𝜋

𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 =

= 2𝜋 0

𝜋

𝑥 ∙ −𝑐𝑜𝑠𝑥 ′ 𝑑𝑥 =

= 2𝜋 −𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 0𝜋 =

𝑥 ∙ −𝑐𝑜𝑠𝑥 ′ 𝑑𝑥 =

= − 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ′ 𝑑𝑥 =

= −𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥 ′𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 =

= −𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 =

= −𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑘= 2𝜋 𝜋 = 𝟐𝝅𝟐


Integrali definiti – Quesito n.5 – Italia supp.– 2011

Il valor medio richiesto è dato da:

Cerchiamo una primitiva di 𝑒𝑥(𝑥2 + 𝑥 + 1) integrando per parti:

Quindi:



Il volume del solido F si ottiene calcolando il seguente integrale:

dove 𝐴(𝑦) è l’area del quadrato di lato𝐴𝐵 = 𝑥𝐴


Integrali definiti – Quesito n.5 – Italia str.– 2011

Osserviamo che la funzione da 1 a 3 è positiva, quindi il volume del solido richiesto è dato da:



Il valor medio di una funzione f(x) continua in un intervallo [a; b] è dato da:


Integrali definiti – Quesito n.2 – Europa – 2011





Il valor medio richiesto si ottiene calcolando il seguente integrale:

1

𝑒 − 1 1

𝑒 1

𝑥𝑑𝑥 =

=1

𝑒 − 1𝑙𝑛 𝑥 1

𝑒 =

=1

𝑒 − 1𝑙𝑛 𝑒 − 𝑙𝑛 1 =

=𝟏

𝒆 − 𝟏



La superficie S è rappresentata nella figura:

Più in dettaglio la superficie S:

Il volume del solido Σ è:

A(x) l’area del triangolo equilatero di lato f(x):



Il valor medio richiesto è dato da:

I valori assunti agli estremi dell’intervallo sono:

La loro media geometrica è:



Il volume di Σ si calcola mediante l’integrale:

essendo A(x) l’area del rettangolo con dimensioni 𝑙𝑛 𝑥 𝑒 4𝑙𝑛𝑥

Quindi

Allora



Quindi

Allora

Il volume infinitesimo d𝑉 è dato da

Integrando per parti cerchiamo una primitiva



Il valor medio richiesto è



Il valor medio della funzione nell’intervallo dato è:

Cerchiamo una primitiva integrando per parti:

Quindi:



Il volume richiesto si ottiene calcolando l’integrale:

Dove S(x) è l’area del triangolo equilatero di lato 𝑓(𝑥) = 1 + 𝑡𝑔𝑥.

Allora:

Pertanto:

Quindi:


Integrali definiti – Quesito n.4 – Americhe – 2014

Il volume richiesto si ottiene calcolando l’integrale:

Quindi



L’area della parte di piano richiesta è:

Il volume richiesto si ottiene sottraendo al volume 𝑉1 ottenuto dalla rotazione attorno all’asse x del trapezoide ABCD il volume 𝑉2

del cono ottenuto dalla rotazione attorno all’asse x del triangolo T(che ha raggio AD = 1 e altezza AB = 1).



Troviamo una primitiva

Troviamo il valore medio


Integrali definiti – Quesito n.4 – Italia ord. – 2014

Il solido in questione può essere visto come somma di infiniti rettangoli di dimensioni f(x) ed h(x), quindi il suo volume si ottiene calcolando l’integrale:


Integrali definiti – Quesito n.7 – Italia ord. – 2014

Per il teorema della media il valore medio è dato da:

Allora:


Integrali definiti – Quesito n.5 – Italia str. – 2014

Il volume di S si ottiene calcolando l’integrale:

Essendo 𝐴(𝑥) l’area dell’esagono regolare di lato 𝐴𝐵 = 2𝑦, con y ordinata del punto B dell’iperbole e 2 < 𝑦 < 4.

Il volume del solido S è dato da:


Integrali definiti – Quesito n.9 – Italia str. – 2014

Il valor medio richiesto si ottiene calcolando l’integrale:



In base alla simmetria ricordata prima e alle intersezioni tra le due curve, il volume richiesto è

La retta 𝑦 = 3 diventa 𝑌=0 e la funzione 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥 + 3 diventa: 𝑌 + 3 = 𝑋3 − 3𝑋 + 3 cioè 𝑌 = 𝑋3 − 3𝑋 = 𝑓(𝑋)

Per trovare il volume è utile effettuare la traslazione in modo che la retta y=3 coincide con l’asse x; tale traslazione ha vettore v=(0;-3) ed equazioni:

Studiamo sommariamente la curva di equazione 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥 + 3, continua su tutto R. Essa interseca l’asse delle ordinate in y=3.

La derivata seconda è: 𝑦′′ = 6𝑥 ≥ 0 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0∶ x=0 è punto di flesso e, trattandosi di una cubica, il punto F=(0;3) è centro di simmetria per la curva stessa. Notiamo che la retta e la curva dati si intersecano quando 𝑥3 − 3𝑥 = 0 , 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑑𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑥 = 0 𝑒 𝑝𝑒𝑟 𝑥 =

Tende a ±∞ se x tende a ±∞; la sua derivata prima è: 𝑦′ = 3𝑥2 − 3 ≥ 0𝑠𝑒: 𝑥2 ≥ 1 quindi per 𝑥 ≤ −1 𝑜𝑟 𝑥 ≥ 1: in tali intervalli la funzione è crescente; cioè 𝑥=−1 è punto di massimo relativo e 𝑥 = 1 punto di minimo relativo.



Osserviamo che la funzione è continua nell’intervallo chiuso [1; 6] , infatti il limite sinistro e il limite destro nel 3 sono uguali a 2, che è anche il valore di f(3).

Il valore x in cui la funzione assume il valor medio è la soluzione dell’equazione



Per il noto “teorema della media” il valor medio richiesto dal quesito è dato da:

e tenuto conto il significato geometrico dell’integrale definito


Integrali definiti – Quesito n.1 – Italia supp. – 2015

Calcoliamo la funzione integrale determinando una primitiva di 𝑙𝑛(𝑡):

Allora:

Intersechiamo le due funzioni:

deve essere x > 0

Per cui:


Integrali definiti – Quesito n.5 – Italia supp. – 2015

Trasliamo la retta e la parabola secondo il vettore 𝑣(−2;0) e le equazioni di questa traslazione sono:

L’equazione della retta 𝑋 = 0 (𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡𝑒)

La nuova parabola ha equazione: 𝑌2 = 8(𝑋 + 2) → 𝑌2 = 8𝑋 + 16 →

La parte di piano compresa fra la retta e la parabola (segmento parabolico) deve ora ruotare intorno all’esse delle y, come indicato in figura.

Il volume richiesto si può quindi ottenere mediante il calcolo del seguente integrale:



Il volume del tronco si può ottenere, per esempio, come volume del solido ottenuto dalla rotazione del segmento di estremi (0;𝑟) 𝑒 (ℎ;𝑅) attorno all’asse delle x; la retta passante per gli estremi del segmento ha equazione:

Il volume richiesto si ottiene quindi mediante il seguente integrale definito:



Rappresentiamo graficamente la funzione ed il rettangolo:

Per cui, il rapporto richiesto è dato da:

Panagiote LIGOURAS 20 / 20 Versione 2016.01

Grazie!!!

A l b e r o b e l l o

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Questa presentazione è disponibile anche all’indirizzo:http://www.slideshare.net/panagioteligouras/

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